Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
Cours 3: Inversion des matrices dans lapratique...
Clément RauLaboratoire de Mathématiques de ToulouseUniversité Paul Sabatier-IUT GEA Ponsan
Module complémentaire de maths, année 2012
Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’uneapplication linéaire/matrice
Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matriceCritère d’inversibilité : le déterminant
2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’uneapplication linéaire/matrice
Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matriceCritère d’inversibilité : le déterminant
2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Rappel : Notion d’application bijective
DefinitionSoit f : U → V une application linéaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Rappel : Notion d’application bijective
DefinitionSoit f : U → V une application linéaire. On dit que f estbijective si pour tout y de V , il existe un unique x dans U telque f (x) = y .
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Notion d’inverse d’un application linéaire bijective
Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse notée f−1
f−1 : V → U
qui à chaque y de V associe l’unique x de U tel que y = f (x).
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Notion d’inverse d’un application linéaire bijective
Dans le cas où f est bijective, on peut lui fabriquer uneapplication inverse notée f−1
f−1 : V → U
qui à chaque y de V associe l’unique x de U tel que y = f (x).
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Propriétés évidentes de l’inverse
On a :f−1 est bijective(f−1)−1 = fpour tout x dans U, f−1(f (x)) = x ,
ie : f−1of = IdU
pour tout y dans V , f (f−1(y)) = y ,
ie : fof−1 = IdV
si f est linéaire, alors f−1 l’est aussi.Clément Rau Cours 3: Inversion des matrices dans la pratique...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
Puisque une matrice est une représentation d’une applicationlinéaire (dans de certaines bases), la notion d’inverse d’uneapplication linéaire se translate aux matrices...
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
On considère une application linéaire bijective f : Rn → Rm
Soit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et Ba
Soit B la matrice de f−1 dans les bases Ba et Bd
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
On considère une application linéaire bijective f : Rn → Rm
Soit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et Ba
Soit B la matrice de f−1 dans les bases Ba et Bd
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
On considère une application linéaire bijective f : Rn → Rm
Soit Bd et Ba des bases respectives de Rn et Rm.Soit A la matrice de f dans les bases Bd et Ba
Soit B la matrice de f−1 dans les bases Ba et Bd
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
Puisque la multiplication matricielle a été construite pourprolonger la composition des applications, des égalités
f−1of = IdRn fof−1 = IdRm
on déduit :BA = Idn AB = Idm,
où Idp =
1 · · · 0...
. . ....
0 · · · 1
(de taille p)
DefinitionLa matrice B s’appelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A−1.
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
Puisque la multiplication matricielle a été construite pourprolonger la composition des applications, des égalités
f−1of = IdRn fof−1 = IdRm
on déduit :BA = Idn AB = Idm,
où Idp =
1 · · · 0...
. . ....
0 · · · 1
(de taille p)
DefinitionLa matrice B s’appelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A−1.
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
Puisque la multiplication matricielle a été construite pourprolonger la composition des applications, des égalités
f−1of = IdRn fof−1 = IdRm
on déduit :BA = Idn AB = Idm,
où Idp =
1 · · · 0...
. . ....
0 · · · 1
(de taille p)
DefinitionLa matrice B s’appelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A−1.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Définition de l’inverse d’une matrice
Puisque la multiplication matricielle a été construite pourprolonger la composition des applications, des égalités
f−1of = IdRn fof−1 = IdRm
on déduit :BA = Idn AB = Idm,
où Idp =
1 · · · 0...
. . ....
0 · · · 1
(de taille p)
DefinitionLa matrice B s’appelle la matrice inverse de A. On la noteparfois A−1.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Déterminant
Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice estinversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.
A chaque matrice A, on associe un nombre appelédeterminant de A et noté det(A).
det :Mn → RA 7→ det(A).
Ce nombre a la propriété "magique" suivante :
A est inversible⇔ det(A) 6= 0.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Déterminant
Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice estinversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.
A chaque matrice A, on associe un nombre appelédeterminant de A et noté det(A).
det :Mn → RA 7→ det(A).
Ce nombre a la propriété "magique" suivante :
A est inversible⇔ det(A) 6= 0.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Déterminant
Il existe un critère tres pratique pour savoir si une matrice estinversible. Le fondement de ce critère ne rentre pas dans lecadre de ce cours, mais son utilisation fait partie du cours.
A chaque matrice A, on associe un nombre appelédeterminant de A et noté det(A).
det :Mn → RA 7→ det(A).
Ce nombre a la propriété "magique" suivante :
A est inversible⇔ det(A) 6= 0.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Calcul de déterminants de matrices d’ordre 2 et 3
det((
a bc d
)) = ad − bc
det(
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Calcul de déterminants de matrices d’ordre 2 et 3
det((
a bc d
)) = ad − bc
det(
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Pour s’en souvenir, on peut écrire :
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3
et
remarquer que le déterminant est la différence entre la sommedes diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.
det(
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Pour s’en souvenir, on peut écrire :
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3
et
remarquer que le déterminant est la différence entre la sommedes diagonales vers le bas et des diagonales vers le haut.
det(
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
) = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3
− (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques exemples
det((
4 3−1 2
)) = 11, donc la matrice est inversible.
det((
4 −1−1 1/4
)) = 0, donc la matrice n’admet pas
d’inverse.
det(
2 −4 42 0 14 1 1
) = −2, donc la matrice est inversible.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques exemples
det((
4 3−1 2
)) = 11, donc la matrice est inversible.
det((
4 −1−1 1/4
)) = 0, donc la matrice n’admet pas
d’inverse.
det(
2 −4 42 0 14 1 1
) = −2, donc la matrice est inversible.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques exemples
det((
4 3−1 2
)) = 11, donc la matrice est inversible.
det((
4 −1−1 1/4
)) = 0, donc la matrice n’admet pas
d’inverse.
det(
2 −4 42 0 14 1 1
) = −2, donc la matrice est inversible.
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Calcul de déterminant de matrices d’ordre supérieur
A l’aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peutcalculer le déterminant d’une matrice d’ordre 4, à l’aidedes déterminants de matrices d’ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer ledéterminant d’une matrice d’ordre n à l’aide desdéterminants de matrices d’ordre n − 1.
4 Voir poly pour plus de détails
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Calcul de déterminant de matrices d’ordre supérieur
A l’aide des cofacteurs (voir poly pour la déf), on peutcalculer le déterminant d’une matrice d’ordre 4, à l’aidedes déterminants de matrices d’ordre 3.Plus généralement, les cofacteurs permettent de caculer ledéterminant d’une matrice d’ordre n à l’aide desdéterminants de matrices d’ordre n − 1.
4 Voir poly pour plus de détails
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques propriétés des déterminants
det(Id) = 1det(AB) = det(A)det(B)
det(A−1) = 1det(A) .
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques propriétés des déterminants
det(Id) = 1det(AB) = det(A)det(B)
det(A−1) = 1det(A) .
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Quelques propriétés des déterminants
det(Id) = 1det(AB) = det(A)det(B)
det(A−1) = 1det(A) .
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Comment calculer l’inverse d’une matrice
Il existe diverses méthodes pour calculer l’inverse d’unematrice A.
Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diversessous matrices de A.
(voir poly...)
Avec un logiciel ...Algorithme du pivot de Gauss.
Objet des sections suivantes
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Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matrice
Critère d’inversibilité : le déterminant
Comment calculer l’inverse d’une matrice
Il existe diverses méthodes pour calculer l’inverse d’unematrice A.
Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diversessous matrices de A.
(voir poly...)
Avec un logiciel ...Algorithme du pivot de Gauss.
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Critère d’inversibilité : le déterminant
Comment calculer l’inverse d’une matrice
Il existe diverses méthodes pour calculer l’inverse d’unematrice A.
Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diversessous matrices de A.
(voir poly...)
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Comment calculer l’inverse d’une matrice
Il existe diverses méthodes pour calculer l’inverse d’unematrice A.
Méthode des cofacteurs, calcul déterminants de diversessous matrices de A.
(voir poly...)
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
1 Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’uneapplication linéaire/matrice
Notion d’inverse d’une application linéaireInverse d’une matriceCritère d’inversibilité : le déterminant
2 Pivot de Gauss sur les matricesBut de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Soit A une matrice carré (supposée inversible), on chercheà obtenir la matrice :
A−1
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Soit A une matrice carré (supposée inversible), on chercheà obtenir la matrice :
A−1
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Rappel sur la représentation d’une application linéairepar une matrice
Rappel : Si A représente la matrice d’un application linéaire f(bijective) dans une certaine base B = (e1,e2, ...,en), lescolonnes de A sont les f (ei),
f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓
A = MB(f ) =
a1,1a2,1
...an,1
a1,2a2,2
...an,2
· · ·
· · ·
a1,na2,n
...an,n
e1e2...
en
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Rappel sur la représentation d’une application linéairepar une matrice
Rappel : Si A représente la matrice d’un application linéaire f(bijective) dans une certaine base B = (e1,e2, ...,en), lescolonnes de A sont les f (ei),
f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓
A = MB(f ) =
a1,1a2,1
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...an,2
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a1,na2,n
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Rappel sur la représentation d’une application linéairepar une matrice
Rappel : Si A représente la matrice d’un application linéaire f(bijective) dans une certaine base B = (e1,e2, ...,en), lescolonnes de A sont les f (ei),
f (e1) f (e2) · · · f (en)↓ ↓ ↓
A = MB(f ) =
a1,1a2,1
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Donc, en notant A−1 = B, on a :
f−1(e1) f−1(e2) · · · f−1(en)↓ ↓ ↓
A−1 = B = MB(f−1) =
b1,1b2,1
...bn,1
b1,2b2,2
...bn,2
· · ·
· · ·
b1,nb2,n
...bn,n
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Donc, en notant A−1 = B, on a :
f−1(e1) f−1(e2) · · · f−1(en)↓ ↓ ↓
A−1 = B = MB(f−1) =
b1,1b2,1
...bn,1
b1,2b2,2
...bn,2
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b1,nb2,n
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Trouver la matrice A−1 revient donc à calculer les f−1(ei)pour i = 1..nTrouver la matrice A−1 revient donc à résoudre les nsystèmes linéaires f (x) = ei pour i = 1..nOn va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dansla section précédente pour chacun de ces n sytèmes.Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne lescalculs simultanément en les présentant ainsi :
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Trouver la matrice A−1 revient donc à calculer les f−1(ei)pour i = 1..nTrouver la matrice A−1 revient donc à résoudre les nsystèmes linéaires f (x) = ei pour i = 1..nOn va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dansla section précédente pour chacun de ces n sytèmes.Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne lescalculs simultanément en les présentant ainsi :
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Trouver la matrice A−1 revient donc à calculer les f−1(ei)pour i = 1..nTrouver la matrice A−1 revient donc à résoudre les nsystèmes linéaires f (x) = ei pour i = 1..nOn va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dansla section précédente pour chacun de ces n sytèmes.Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne lescalculs simultanément en les présentant ainsi :
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Trouver la matrice A−1 revient donc à calculer les f−1(ei)pour i = 1..nTrouver la matrice A−1 revient donc à résoudre les nsystèmes linéaires f (x) = ei pour i = 1..nOn va utiliser la méthode du pivot de Gauss introduit dansla section précédente pour chacun de ces n sytèmes.Pour éviter de "re faire" n fois les calculs, on méne lescalculs simultanément en les présentant ainsi :
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Rappel de l’épisode précédent sur l’inverse d’une application linéaire/matricePivot de Gauss sur les matrices
But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
On veut calculer l’inverse de la matrice suivante :
A =
2 −4 42 0 14 1 1
On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss". 2 −4 4 1 0 0
2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Ycomme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, ona mis cette fois, tous les vecteurs ei (dont on cherche lesantécédants)Remarque : On peut retenir que l’on met la matrice Id à droitede A.
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
On veut calculer l’inverse de la matrice suivante :
A =
2 −4 42 0 14 1 1
On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss". 2 −4 4 1 0 0
2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Ycomme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, ona mis cette fois, tous les vecteurs ei (dont on cherche lesantécédants)Remarque : On peut retenir que l’on met la matrice Id à droitede A.
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
On veut calculer l’inverse de la matrice suivante :
A =
2 −4 42 0 14 1 1
On commence par présenter les choses sous la forme "Gauss". 2 −4 4 1 0 0
2 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Au lieu de mettre à droite de la matrice un seul vecteur Ycomme pour les sytèmes linéaires de la section précédente, ona mis cette fois, tous les vecteurs ei (dont on cherche lesantécédants)Remarque : On peut retenir que l’on met la matrice Id à droitede A.
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Le coefficient a1,1 est non nul on effectue doncL2 ← L2 − L1 et L3 ← L3 − 2L1. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 est non nul on effectue donc L2 ← 1
4L2pour simplifier la suite des calculs. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 9 −7 −2 0 1
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2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Le coefficient a1,1 est non nul on effectue doncL2 ← L2 − L1 et L3 ← L3 − 2L1. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 est non nul on effectue donc L2 ← 1
4L2pour simplifier la suite des calculs. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 9 −7 −2 0 1
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2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Le coefficient a1,1 est non nul on effectue doncL2 ← L2 − L1 et L3 ← L3 − 2L1. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 est non nul on effectue donc L2 ← 1
4L2pour simplifier la suite des calculs. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 9 −7 −2 0 1
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2 −4 4 1 0 02 0 1 0 1 04 1 1 0 0 1
Le coefficient a1,1 est non nul on effectue doncL2 ← L2 − L1 et L3 ← L3 − 2L1. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 4 −3 −1 1 00 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 est non nul on effectue donc L2 ← 1
4L2pour simplifier la suite des calculs. On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 9 −7 −2 0 1
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
2 −4 4 1 0 00 1 −3
4 −14
14 0
0 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 −7 + 274 −2 + 9
4 −94 1
Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".
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2 −4 4 1 0 00 1 −3
4 −14
14 0
0 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 −7 + 274 −2 + 9
4 −94 1
Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".
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2 −4 4 1 0 00 1 −3
4 −14
14 0
0 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 −7 + 274 −2 + 9
4 −94 1
Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".
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2 −4 4 1 0 00 1 −3
4 −14
14 0
0 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 −7 + 274 −2 + 9
4 −94 1
Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".
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2 −4 4 1 0 00 1 −3
4 −14
14 0
0 9 −7 −2 0 1
Le coefficient a2,2 vaut 1 on effectue donc L3 ← L3 − 9L2.On obtient, 2 −4 4 1 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 −7 + 274 −2 + 9
4 −94 1
Le coefficient a3,3 est non nul. La matrice est doncinversible ! On pourrait alors résoudre chaque système en"remontant" les équations comme dans la sectionprécédente...Là encore, on peut mener directement cescalculs sur ces "tableaux".
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Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue doncL3 ← −4L3 et L1 ← 1
2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 1 −1 9 −4
Le coefficient a3,3 est non nul on effectue doncL2 ← L2 +
34L3 et L1 ← L1 − 2L3. On obtient, 1 −2 0 5
2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
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Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue doncL3 ← −4L3 et L1 ← 1
2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 1 −1 9 −4
Le coefficient a3,3 est non nul on effectue doncL2 ← L2 +
34L3 et L1 ← L1 − 2L3. On obtient, 1 −2 0 5
2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue doncL3 ← −4L3 et L1 ← 1
2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 1 −1 9 −4
Le coefficient a3,3 est non nul on effectue doncL2 ← L2 +
34L3 et L1 ← L1 − 2L3. On obtient, 1 −2 0 5
2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Pour obtenir des 1 sur la diagonale, on effectue doncL3 ← −4L3 et L1 ← 1
2L1. On obtient, 1 −2 2 12 0 0
0 1 −34 −1
414 0
0 0 1 −1 9 −4
Le coefficient a3,3 est non nul on effectue doncL2 ← L2 +
34L3 et L1 ← L1 − 2L3. On obtient, 1 −2 0 5
2 −18 80 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Enfin, on fait L1 ← L1 + 2L2 et on obtient, 1 0 0 12 −4 2
0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
On a réussi à obtenir l’identité à gauche, la matrice dedroite est donc A−1.ie :
A−1 =
12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4
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Enfin, on fait L1 ← L1 + 2L2 et on obtient, 1 0 0 12 −4 2
0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
On a réussi à obtenir l’identité à gauche, la matrice dedroite est donc A−1.ie :
A−1 =
12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Enfin, on fait L1 ← L1 + 2L2 et on obtient, 1 0 0 12 −4 2
0 1 0 −1 7 −30 0 1 −1 9 −4
On a réussi à obtenir l’identité à gauche, la matrice dedroite est donc A−1.ie :
A−1 =
12 −4 2−1 7 −3−1 9 −4
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Notation de l’algo général
On notera :Lk
i la ligne i de la matrice A à l’itération k ,ak
i,j le scalaire ai,j de la matrice A à l’itération k .
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But de l’algorithmePrésentation de la méthodeDiposition des calculs : un exempleL’algorithme général
Algo général
L’algorithme de Gauss-Jordan (pour aller jusqu’à une matricetriangulaire) est le suivant :
Pour k allant de 1 à nS’il existe une ligne i ≥ k telle que ak−1
i,k 6= 0,échanger cette ligne i et la ligne k : Li ↔ Lk
Lkk ← 1
ak−1k,k
Lk−1k
Pour i allant de 1 à n et i 6= kLk
i ← Lk−1i − ak−1
i,k × Lkk
Sinon A n’est pas inversible, abandonner.
Après l’étape k de l’algorithme, la colonne k a tous sescoefficients nuls sauf celui de la diagonale qui vaut 1 et ceux endessous de la diagonale...
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