1
Cours de béton arméComportement du béton en flexion
simple
Dr Ir P. Boeraeve - Unité 9 Construction - 2007
BAC3 - HEMES -Gramme
2
Conventions/notations
� Signes :� + compression� - traction
Min Maj NOM
3
Etats limites
� ELU
Fk * γF
ELU
G Q
Effet défavorable 1,35 1,5
Effet favorable 1,0 0,0
γγγγF
4
Etats limites
• ELS Fk * γF
ELS G Q
Effet défavorable 1,0 1,0
Effet favorable 1,0 0,0
γγγγF
5
Méthode des coefficients partiels
� Concept de sécurité
Fk * γF ≤ Rk / γmAmplification des actionset minoration des résistances
Valeurs de CALCUL
(indice « d » : DESIGN)
Fd ≤ Rd
6
Coefficients partiels
ELU ELS
G Q G Q
Effet défavorable 1,35 1,5 1,0 1,0
Effet favorable 1,0 0,0 1,0 0,0
Sur les sollicitations : γF
BETON γc = 1.5 (acc. 1,0)ACIER (armatures) γs = 1.15(acc. 1,0)
Sur les résistances : γm (minoration)
γF
7
� Indiquez les parties de béton comprimé en bleu
� Indiquez les parties de béton tendues en rouge
�
8
Loi de constitutive du
béton σ = f(ε)� Diagramme idéalisés de calcul
� Parabole-rectangle1.5
0.85
ckcd c
c
ff avec etα γ
γα
= =
=� Triangle-rectangle
fctm
� Rectangle
0.2 εεεεcu3
9
Loi constitutive de l’acier des
armatures σ = f(ε)
� ACIER ARMATURES
� Diagramme de calcul simplifié avec palier plastique
1.15
yk
yd
s
s
ff avec
γγ
=
=
Les barres à haute adhérence (HA) sont généralement en S500 (fyk=500 MPa), donc fyd = 500/1.15 = 435 MPa
10
� Acier : zones en traction (résistance : 500 MPa)
� Béton : zones en compression (résistance 40 MPa)
� Sections d’acier faibles
11
12
13
14
� La poutre est maintenant totalement armée
15
� DOC4 : comportement en flexion
�
Questions
16
17
Fissures de compressionFissures de traction
18
DDééformations/contraintesformations/contraintes
Que peut-on déduire des mesures par jauge?
1. ………………………………………………………………………
2. ………………………………………………………………………
19
20
Flexion pureFlexion pure
La courbe Moment (M)-
Courbure (φφφφ)))) montre les 4
stades de la poutre
φ = (ε / y) = [ σ / E ] / y
= [(My / I) / E] / y
φ = M / ( E I )
I : Élastique, non fissuré
2 : Élastique, fissuré
3 : Plastique, fissuré4 : Rupture
21
DomaineDomaine 1 : 1 : PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine
éélastiquelastique non non fissurfissuréé
I : Élastique, non fissuré
22
DomaineDomaine 1 : 1 : PoutrePoutre BA, BA,
domainedomaine éélastiquelastique non non fissurfissurééPoutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une
section d’acier As.
Determiner la position de l’axe neutre (=CG), le
moment d’inertie Izz de la poutre non fissurée (béton
équivalent). En déduire les contraintes dans le béton
et dans les armatures produites par un moment M.
Ec – Module de Young – béton (Concrete)
Es – Module de Young –Acier (Steel)
As – Section d’acier
d – hauteur utile
b – largeur
h – hauteur
�
23
MMéécaniquecanique de de MatMatéériauxriaux : section : section
composcomposééee de de deuxdeux matmatéériauxriaux
1. Transformer la section mixte en section
homogénéisée (ici Acier-> Béton équivalent)
2. Position du CG (axe neutre)
3. Moment d’Inertie
4. Contraintes
24
MMéécaniquecanique de de MatMatéériauxriaux : section : section
composcomposééee de de deuxdeux matmatéériauxriaux
, ,c c équiv c c équiv c s s s sN A A E A Eσ ε ε= = =
1. Transformer la section mixte (élastique) en section
homogénéisée (ici Acier � Béton équivalent)
Le béton équivalent à As doit transmettre le même effort, or sa déformation est εs.
, .sc équiv s s
c
EA A n A
E⇒ = =
s s s s s sN A A Eσ ε= =
25
Solution (section non Solution (section non fissurfissurééee))
= - +béton
béton
acier
- +béton
béton
Béton équivalent=
n = Es/Ec
As
n.A s
As
As
xenf
Axe neutre
26
Solution (Solution (domainedomaine éélastiquelastique non non
fissurfissuréé))
s
c
E
En =
( )( )
( ) ( )
2
s
s
232
s
12
1
112 2
. .( ).
enf
enf enf
e enf e enf
c s
bhn A d
xbh n A
bh hI x bh d x n A
M x M d xf f n
I I
+ −=
+ −
= + − + − −
−= =
.( )e ect
M h xf
I
−=
27
Contrainte dans les armatures ?
n = Es/Ec
Ec
Es
ε
f
εs
fsc
fs
εs
εc
bfc= Ec. εc
d Contraintes dans le béton
fsc = Ec. εs
fs = Es. εs
=Es. fsc/Ec
= n. fsc
h
xenf
28
DomaineDomaine 2 : 2 : PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine
éélastiquelastique fissurfissuréé
2 : Élastique, fissuré
29
DomaineDomaine 2 : 2 : PoutrePoutre BA, BA,
domainedomaine éélastiquelastique fissurfissuréé
Poutre rectangulaire ( b x h ) armée avec une
section d’acier As.
Determiner la position de l’axe neutre (=CG) et le
moment d’inertie Izz de la poutre fissurée. En
déduire les contraintes.
Ec – Module de Young – béton (Concrete)
Es – Module de Young –Acier (Steel)
As – Section d’acier
d – hauteur utile
b – largeur
h – hauteur
�
30
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine
éélastiquelastique fissurfissuréé
c.
2
efbx fC =
fc= Ec. εc
fs = Es. εs
�
xef
………
s sT f A=…………
31
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
1. La section n’est soumise qu’à un moment de
flexion, les efforts C et T sont donc égaux
On exprime ainsi l’ équilibre de la section
s c
s2
efx bf f
A
=
�
On obtient finalement :
s s c2
efx bT C f A f
= → =
……………………………………………
………………………………………
…………………
32
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
c s s s
s c
2 2
ef ef
E A nA
E x b x b
εε
= =
2. Les matériaux sont élastiques, donc, ils
respectent la loi de Hooke qui s’écrit :
Donc :
Remplacez dans l ’expression précédente :
�………
fc= Ec. εc fs = Es. εs……………… …………………
c cs s s
2ef
Ex b E A
ε ε=………………………………………
33
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
2. Il n’y a pas de déplacement
relatif entre les armatures et le
béton et les sections restent planes :
condition de compatibilité.
Déduire du diagramme des ε une
relation entre εc et εs
�
xef
…………………
………
s c
ef efd x x
ε ε=−………………………………………
34
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine
éélastiquelastique fissurfissuréé
s2ef
ef ef
x nA
d x x b=
−
Donc :
2s s2 2
0ef ef
nA nAx x d
b b
+ − =
Réarrangeons l’équation sous la forme.
35
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
2 22 2 0ef efx n d x n dρ ρ+ − =sA
bdρ =
Utilisons le rapport de la section d’acier à la section
de béton (“pourcentage” d’armature).
Réécrivons sous une forme non-dimensionelle en
fonction de xe/d.
2
2 2 0ef efx x
n nd d
ρ ρ + − =
………………………
………………………….
36
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
La solution de cette équation est :
( )
( )
2
2
2 2 8
2
2
ef
ef
n n nx
d
xn n n
d
ρ ρ ρ
ρ ρ ρ
− ± + =
= + −
………………………
………………………
37
Appl2 Appl2 -- PoutrePoutre BA, BA, domainedomaine éélastiquelastique
fissurfissuréé
Le moment d’inertie vaut :
�
xef
( )23
2
s12 2
ef ef
ef ef ef
bx xI bx d x nA
= + + −
………………………………………
38
Application 2 Application 2 PoutrePoutre BA, BA,
domainedomaine éélastiquelastique fissurfissuréé
xef ( )2 2efx
n n nd
ρ ρ ρ = + −
( )3
2
s3
ef
ef ef
bxI d x nA= + −
sA
bdρ =
s
c
E
En =
. .( ).
ef ef ef ef
c s
ef ef
M x M d xf f n
I I
−= =
39
DomaineDomaine 3 : 3 : plasticitplasticitéé
� Ce domaine n’est intéressant que par son stade ultime : la rupture
3 : Plastique, fissuré4 : Rupture
40
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé
4 : Rupture
41
εεεε=0.0035
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, , PoutrePoutre
BA BA rectangulairerectangulaire (A(Ass, h et b , h et b fixfixééss, , calculcalcul de de
MrdMrd))La zone comprimée est modélisée par un
diagramme rectangulaire équivalent.
εc,max=0.0035 (si classe résistance ≤ C50/60)
fs=fyd pour une rupture ductile (souhaitable)
hypothèses
42
s yd
cd0.8u
A fx
bf⇒ =
1. La section n’est soumise qu’à un moment de
flexion, C et T sont donc égaux
On exprime ainsi l’équilibre de la section
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, , PoutrePoutre
BA BA rectangulairerectangulaire
cd0.8 uC x bf=
�……………
………………………………………
s ydT A f=
………………
………………
43
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par
plasticitplasticitéé
2. Les efforts internes C et T sont équivalents à un
moment qui est le moment résistant de calcul Mrd.
Donc :
Mrd
�
( )rdM = T 0.4 ud x−………………
44
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par
plasticitplasticitéé=0.00353. Vérification que les armatures sont bien
plastifiées : yd
s y
s
f
Eε ε> =
xu
�
s c
s
0.0035.( )
u u
u
u
d x x
d x
x
ε ε
ε
= ⇒−
−=
………………………………………
…………………………………………
Il n’y a pas de ………… relatif entre les
armatures et le béton et les sections
restent ………. : condition de
compatibilité. Déduire du diagramme
des ε la relation entre εc et εs
45
ExerciceExercice
Moment résistant de calcul Mrd= ?
(cotes en cm pour le béton!)
b= 20 cm
h= 40 cm
d= 35 cm
Béton C25/30armatures : 2 φφφφ 20 HA en S500
solution
�
46
Pour assurer une ductilité suffisante, l’EC2 impose,
en flexion simple, une limite au rapport xu/d :(xu/d)lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance ≤ C35/45 et(xu/d)lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance ≥ C40/50.
1. Cette limite est-elle un maximum ou un minimum?
2. Déduisez le domaine de validité des déformations dans
l’armature. Quelle en est la conséquence si fyd=435MPa ?
DomaineDomaine 4 : rupture par 4 : rupture par plasticitplasticitéé, ,
PoutrePoutre BA BA rectangulairerectangulaire �
bétons de classe de résistance ≤ C35/45
εs est toujours < ou > que 0.004278
bétons de classe de résistance ≥ C40/50
εs est toujours < ou > que 0.0065
……………
…………… solution