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CENTRE UNIVERSITAIRE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DPARTEMENT GNIE CIVILUNIVERSIT BLAISE PASCAL - CLERMONT-FERRAND 2
Jean-Pierre MUZEAU Septembre 2010
CCOONNSSTTRRUUCCTTIIOONN MMEETTAALLLLIIQQUUEE
Eurocode 3Version EN 1993-1-1
Rsistances des sections et des barres
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Eurocode 3 : version EN 1993 Contruction Mtallique Rsistance des sections et des barres
Jean-Pierre MUZEAU Page 1/66 Septembre 2010
SOMMAIRE
CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES ACIERS DE CM ............................... 3
RSISTANCE DES SECTIONS ET DES BARRES ................................................. 4
1 - Prambule........................................................................................................... 4
2 - Coefficients partiels ........................................................................................... 4
1-RSISTANCE DES SECTIONS TRANSVERSALES ............................................ 6
1 Gnralits ........................................................................................................ 6
2 - Caractristiques des sections transversales ....................................................... 7
2.1 - Aire brute .............................................................................................. 7
2.2 - Aire nette ............................................................................................... 73 - Effort axial de traction ....................................................................................... 8
4 - Effort axial de compression .............................................................................. 9
5 Moment flchissant .......................................................................................... 10
5.1 Flexion simple ...................................................................................... 10
5.2 - Flexion dvie........................................................................................ 11
6 Cisaillement ..................................................................................................... 13
6.1 Calcul plastique .................................................................................... 13
6.2 - Calcul lastique ..................................................................................... 15
6.3 - Rsistance au voilement par cisaillement ............................................. 16
7 Moment flchissant et effort tranchant ............................................................. 16
8 Moment flchissant et effort axial .................................................................... 17
8.1 Flexion compose.................................................................................. 17
8.2 - Flexion compose dvie....................................................................... 21
9 Moment flchissant, effort tranchant et effort axial .......................................... 22
2RSISTANCE DES BARRES .......................................................................... 23
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1 Les courbes europennes de flambement ......................................................... 23
1.1 - Origine des courbes europennes de flambement ................................. 23
1.2 - lancement de rfrence et courbe dEuler .......................................... 23
1.3 - Formulation des courbes europennes de flambement ......................... 25
2 - Flambement des barres uniformes comprimes ................................................ 29
2.1 - Rsistance au flambement..................................................................... 29
2.2 - Courbes de flambement ........................................................................ 30
2.3 - lancement pour le flambement par flexion ......................................... 33
2.4 - lancement pour le flambement par par torsion ou par flexion- torsion 33
3 - Dversement des barres flchies ........................................................................ 35
3.1 - Rsistance au dversement ................................................................... 35
3.2 - Courbes de dversement ........................................................................ 363.3 - Courbes de dversement pour profils lamins ou sections soudesquivalentes.................................................................................................... 37
4 - Barres uniformes flchies et comprimes........................................................... 38
4.1 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classes 1 et 2 ....... 39
4.2 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 3 ................ 42
4.3 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 4 ................ 43
4.4 - Sensibilit la dformation par torsion ................................................. 43
4.5 - Vrification aux extrmits de la barre ................................................. 44
ETATS LIMITES DE SERVICE .......................................................................... 45
1 - Prambule........................................................................................................... 45
2 Les dplacements............................................................................................... 46
2.1 - Flches verticales ................................................................................... 46
2.2 - Flches horizontales............................................................................... 47
3 Les vibrations (effets dynamiques).................................................................... 48
BIBLIOGRAPHIE............................................................................................. 50
ANNEXE 1 :Capacit de rsistance dune section transversale soumise une flexioncompose ........................................................................................................ 53
ANNEXE 2 :Valeurs tabules des 5 courbes de flambement .................................. 63
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CARACTRISTIQUES MCANIQUES DES ACIERSDE CONSTRUCTION MTALLIQUE
Aciers rpondant la norme EN 10025-2 : aciers de construction non allis
paisseur S 235 S 275 S 355 S 450
< t fy fu fy fu fy fu fy fu(mm) (MPa)
0 40 235 360 275 430 355 510 440 550
40 80 215 360 255 410 335 470 410 550
Aciers rpondant la norme EN 10025-4 : aciers de construction obtenus parlaminage thermomcanique
paisseur S 275 M/ML S 355 M/ML S 420 M/ML S 460 M/ML< t fy fu fy fu fy fu fy fu(mm) (MPa)
0 40 275 370 355 470 420 520 460 540
40 80 255 360 355 450 390 500 430 530
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RSISTANCE DES SECTIONS ETDES BARRES
1-PRAMBULE
Ce document concerne les sous-paragraphes de l'EN 1993-1-1 [1] et de lAnnexeNationale franaise [2] suivants :
- 6.2:Rsistance des sections transversales,
- 6.3:Rsistance des barres aux instabilits,
- Annexe AX1de lAnnexe Nationale :Moment critique de dversement.
Il suit la prsentation des mthodes d'analyse structurale (Clause 5) et celle concernantla classification des sections (Clause 5.5).
Enfin, il ne concerne que les instabilits de flambement et de dversement.
Il est noter que la version finale EN de lEurocode ne fournissant plus dlments ausujet de la longueur de flambement, il est conseill de se rfrer une annexe de la versionENV [3] :
- Annexe E:Longueur de flambement d'un lment comprim.
Le prsent document est scind en deux chapitres principaux. Le premier concerne la
rsistance des sections transversales et le second le calcul des barres.
2-COEFFICIENTS PARTIELS
Les coefficients partiels ncessaires la dtermination des capacits portantes dessections et des barres sont les suivants (Clause 6.1) :
- rsistance des sections transversales, quelle que soit la classe :
0,10=M
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- rsistance des barres aux instabilits :
0,11=
- rsistance la rupture des sections transversales en traction (rsistance de la sectionnette dans les zones dassemblages) :
25,12=M
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1 - RSISTANCE DES SECTIONS TRANSVERSALES
Aprs un bref rappel des notions de section brute et section nette, nous tudionssuccessivement la rsistance des sections transversales lorsqu'elles sont soumises dessollicitations provoques par les actions suivantes :
- effort axial de traction,
- effort axial de compression,
- moment flchissant,
- effort tranchant,
- moment flchissant et effort tranchant,
- moment flchissant et effort axial,
- moment flchissant, effort tranchant et effort axial.
1 -GNRALITS
Il est noter que toutesles classes de sections peuvent tre vrifies vis--vis de leurrsistance lastique ( condition de prendre en compte les proprits de la section efficace
pour la Classe 4).
Pour une vrification en lasticit, le critre limite suivant peut tre utilis au pointcritique de la section transversale, sauf si dautres formules dinteraction sappliquent (cas des 5.2, 7 et 8 du prsent document) :
13
2
00
,
0
,
2
0
,
2
0
,
+
+
M
yEd
M
yEdz
M
yEdx
M
yEdz
M
yEdx fffff
si : Edx, est la valeur de calcul de la contrainte longitudinale locale au point considr,
Edz, est la valeur de calcul de la contrainte transversale locale au point considr,
Ed est la valeur de calcul de la contrainte de cisaillement locale au point considr.
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Ce type de vrification place gnralement en scurit puisquil ne prend pas en compteune distribution plastique partielle des contraintes mais il ne conduit pas undimensionnement conomique.
Comme approximation plaant en scurit pour toutes les classes de sections
transversales, on peut galement utiliser une sommation linaire des rapports Sollicitation/ Rsistance propres chaque sollicitation agissante du type :
1,
,
,
,
+
+
Rdz
Edz
Rdy
Edy
Rd
Ed
M
M
M
M
N
N
si : RdN , RdyM , et RdzM , sont respectivement les valeurs de calcul de la rsistance
axiale et en flexion selon les deux axes,
EdN , EdyM , et EdzM , sont respectivement les valeurs de calcul de leffort normal
et des moments flchissants selon les deux axes.
2 -CARACTRISTIQUES DES SECTIONS TRANSVERSALES
2.1 - Aire brute
L'aire brute est calcule partir des dimensions nominales des pices sans dduire les
trous pratiqus pour les fixations (Clause 6.2.2.1). Elle est note A .
2.2 - Aire nette
L'aire nette est gale l'aire brute diminue des aires des trous et autres ouvertures(Clause 6.2.2.2). Elle est note netA .
Lorsque les trous sont en quinconce, l'aire dduire est la plus grande des valeurssuivantes :
aire des trous qui ne sont pas en quinconce dans n'importe quelle sectiontransversale perpendiculaire l'axe de la barre,
p
sdnt
4
2
0
si : s est le pas en quinconce ou lentraxe de deux trous conscutifs dans la ligne, mesurperpendiculairement laxe de la barre (figure 1),
p est lentraxe de deux mmes trous mesur perpendiculairement laxe de la barre
test lpaisseur,
n est le nombre de trous situs sur toute ligne diagonale ou en zigzag stendant sur lalargeur de la barre ou partie de barre,
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0d est le diamtre de trou.
ss
2
3
5
1
p
p
4
Direction dela sollicitation
Figure 1 - Calcul de la section nette
Cette valeur forfaitaire ( )pts 4/2 est issue des travaux de Cochrane [4]. Elle prsentel'avantage d'une formulation simple en sachant que l'erreur commise comparativement unethorie plus fine ne dpasse pas 10 15 %.
3 -EFFORT AXIAL DE TRACTION
La valeur de calcul de leffort de traction EdN dans chaque section transversale doit
vrifier la condition : RdtEd NN , (Clause 6.2.3) si RdtN , est la rsistance de calcul de la
section la traction.
Cette dernire est, en gnral, gale la plus petite des deux valeurs :
2
0
90M
unetRd,u
MyRd,pl
fA,N
fAN
=
=
La premire expression correspond la rsistance plastique de calcul de la section brute et laseconde la rsistance ultime de calcul de la section nette au droit des trous de fixation.
Les notations yf et uf correspondent respectivement la limite d'lasticit et la
rsistance la traction de l'acier considr (voir Clause 3.2).
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Il est noter que, dans le cas d'assemblages de catgorie C, cest--dire pour lesassemblages par boulons hr prcontraints pour lesquels aucun glissement n'est autoris l'tatlimite ultime (EN 1993-1-8 Clause 3.4.1), une troisime expression doit tre vrifie :
0, M
ynet
Rdnet
fA
N =
Lorsqu'un comportement ductile est ncessaire, c'est--dire lorsque la section brute doitse plastifier avant rupture de la section nette (dimensionnement en capacit), il convient devrifier une condition supplmentaire :
RduRdpl NN ,,
de manire ce que l'assemblage ne constitue pas une zone de rupture potentielle.
Cette condition peut encore scrire :
209,0
M
unet
M
y fAfA
ou encore :0
29,0M
M
u
ynet
f
f
A
A
et on peut remarquer que si
0
2
9,0M
M
u
ynet f
fAA
< , relation qui ne dpend que de
caractristiques gomtriques, mcaniques et de coefficients partiels, la condition ne peut pastre vrifie. Cest le cas de certaines cornires par exemple.
4 -EFFORT AXIAL DE COMPRESSION
La valeur de calcul de leffort de compression EdN dans chaque section transversale
doit satisfaire la condition : RdcEd NN , (Clause 6.2.4) si RdcN , est la rsistance de calcul
la compression de la section transversale.
Pour les sections transversales de Classe 1, 2 ou 3, RdcN , est gal leffort de
rsistance plastique de calcul, soit :
0,,
M
yRdplRdc
fANN
==
Ainsi, la diffrence de la traction, il n'y a pas lieu de dduire les trous de fixation pourvrifier une section comprime. L'aire de calcul est donc celle de la section brute. Toutefois,si des trous oblongs ou surdimensionns existent, il convient de diminuer laire de sectionrsistante en consquence.
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Pour les sections de Classe 4, elle devient :
0,
M
yeffRdc
fAN
=
si effA est laire efficace de la section transversale (pour prendre en compte les effets de
voilement local).
Il est important de souligner que cette vrification des sections comprimes nest querarement dterminante car elle ne s'applique qu'aux barres trs faible lancement (pourlesquels le flambement nest pas craindre).
En effet, si la condition 2,0 (oE
fy
= si est llancement de la barre :
ic
l
= , avec cl longueur critique de flambement et i rayon de giration) nest pas vrifie,
il convient de sassurer de la rsistance de la barre vis--vis du flambement. Dans ce cas, uncoefficient vient rduire la capacit portante de la barre et le facteur partiel prendre en
compte n'est plus 0M mais 1M (Clause 6.3.1).
La vrification de la section transversale la compression est donc limite au cas despoteaux courts ou trapus.
5 -MOMENT FLCHISSANT
Nous nous limitons ici aux vrifications effectuer dans le cas de sollicitations deflexion simple ou dvie. Il importe toutefois de rappeler que la flexion peut induire dudversement. Si cette instabilit risque de se produire, la dmarche de vrification est pluscomplexe. Elle est indique dans la deuxime partie de ce document car elle concerne alors lavrification de la barreconcerne.
La valeur de calcul du moment flchissant EdM dans chaque section transversale doit
satisfaire la condition : RdcEd MM , o RdcM , est la rsistance de calcul de la sectiontransversale la flexion. Attention, RdcM , est dtermin en prenant en compte les trous de
fixation ventuels.
5.1 - Flexion simple
5.1.1 - Sections sans trous de fixation
En labsence deffort tranchant, la rsistance de calcul d'une section sans trous de
fixation (Clause 6.2.5 (2)) est gale aux expressions suivantes (fonction de la Classe de lasection transversale) :
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- Section de Classe 1 ou 2 :0
,,M
yplRdplRdc
fWMM
== , moment de rsistance
plastique de calcul de la section brute,
- Sections de Classe 3 : 0
min,,,
M
yelRdelRdc
fW
MM == , moment de rsistance
lastique de calcul de la section brute,
- Sections de Classe 4 :0
min,,0,
M
yeffRdRdc
fWMM
== , moment de rsistance de
calcul de la section brute ou voilement local.
Les notations plW et min,elW correspondent respectivement au module plastique et au
module lastique minimal de la section brute alors que min,effW correspond au modulelastique minimal de la section efficace.
Pour le lecteur intress, il est bon de signaler que la rfrence [5] contient des rappelsconcernant la dtermination du module plastique des sections courantes.
5.1.2 - Sections avec trous de fixation
Dans certains cas, lorsque la section comporte des trous de fixation, le calcul est men,pour une section rduite (Clause 6.2.5 (4)).
Si la condition :02
.9,0
M
yf
M
unetf fAfA
est vrifie, le calcul peut tre men en section brute sans tenir compte des trous de fixation( netfA . est la section nette de la semelle tendue et fA sa section brute).
Dans le cas contraire, on adopte pour la semelle tendue, une aire rduite qui respectecette condition.
5.2 - Flexion dvie
Attention, cette vrification napparat pas explicitement dans lEN 1993-1-1 mais elleest intgre la Clause concernant la combinaison Flexion et effort normal (Clause 6.2.9).Pour vrifier une section en flexion dvie, en labsence deffort tranchant, il suffit donc dedterminer les diffrentes valeurs de calcul correspondant au cas o leffort normal est nul.
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5.2.1 - Sections transversales de classe 1 ou 2
Pour vrifier la rsistance la flexion dvie des sections de Classe 1 ou 2(Clause 6.2.9.1 (6)), il faut, en premier lieu, valuer la rsistance plastique suivant les deuxdirections y et z , soit RdyplM .. et RdzplM .. .
La vrification est alors la suivante :
1,,
,
,,
,
+
Rdzpl
Edz
Rdypl
Edy
M
M
M
M
o et dpendent de la nature des lments tudis :
- sections en I ou en H : 2= et 1=
- profils creux circulaires : 2== - profils creux rectangulaires : 66,1==
- barres rectangulaires et plats : 73,1==
5.2.2 - Sections transversales de classe 3
Pour ces sections (Clause 6.2.9.2), il convient que la contrainte longitudinale maximalesatisfasse le critre suivant :
0.
MyEdx
f
si Edx. est la valeur de calcul de la contrainte longitudinale locale due la combinaison des
moments suivants les deux axes principaux y et en prenant en compte les trous de fixationventuels.
Ceci peut encore s'crire :
0min,,
,
min,,
,
M
y
zel
Edz
yel
Edy f
W
M
W
M
+
5.2.3 - Sections transversales de classe 4
Pour ces sections (Clause 6.2.9.3), la vrification consiste s'assurer que la contraintelongitudinale maximale Edx. calcule en utilisant les largeurs efficaces des paroiscomprimes remplit la condition :
0.
M
yEdx
f
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ce qui peut encore s'crire :
0min,,
,
min,,
,
M
y
zeff
Edz
yeff
Edy f
W
M
W
M
+
avec min,effW , module lastique minimal de la section efficace, la section transversale tant
suppose uniquement soumise un moment flchissant suivant l'axe considr (y ou z ).
6 -CISAILLEMENT
La valeur de calcul de leffort tranchant EdV dans chaque section transversale doit
satisfaire la condition :RdcEd
VV,
oRdc
V,
est la valeur de calcul de la rsistance au
cisaillement (Clause 6.2.6).
Par un calcul plastique, RdplRdc VV ,, = . Pour un calcul lastique, RdcV , est la valeur
de calcul de la rsistance lastique au cisaillement.
6.1 Calcul plastique
En labsence de torsion, la rsistance de calcul RdplV , est gale la valeur :
0,
3
M
y
vRdpl
f
AV
=
si vA est l'aire de cisaillement.
On retrouve donc ici le critre de plasticit de Von Miss :3
yy
f= .
y y
z
z
b
tw
tf
hy y
z
z
b
tw
tf
y y
z
z
b
tr r
Figure 2 - Notations
-
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Pour les sections courantes, et en utilisant les notations de la figure 2, l'aire decisaillement vA peut tre dtermine par les relations suivantes :
- sections lamines en I ou en H, flchies dans le plan de l'me :
( ) fwfvz trttbAA 22 ++=
z
z
y yG
Avz
hw
z
z
y y
Awz
Figure 3 - Aire de cisaillement pour les profils en I ou en H flchis autour de l'axe fort
Cette aire, reprsente la figure 3, ne doit pas tre infrieure ww th si wh est la hauteur
de lme ( )2 fw thh = . La valeur 1= est conseille mais lEN 1993-1-1 renvoie
lEN 1993-1-5 (plaques planes) pour plus de renseignements
- sections lamines en U flchies dans le plan de l'me :
( ) fwfvz trttbAA ++= 2
- sections soudes en I, en H ou en caisson flchies dans le plan de l'me :
= )( wwvz thA
- sections soudes en I, en H ou en caisson, flchies dans un plan perpendiculaire l'me :
)(= wwvy thAA
- sections creuses rectangulaires lamines d'paisseur uniforme flchies dans un planparallle la hauteur :
hb
hAAvz +
=
- sections creuses rectangulaires lamines d'paisseur uniforme flchies dans un plan
perpendiculaire la hauteur :
-
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hb
bAAvy +
=
- sections creuses circulaires d'paisseur uniforme :
AAv
2=
Pour les autres types de sections, la dtermination de l'aire de cisaillement vA doit tre
dtermine par analogie.
6.2 Calcul lastique
Pour un calcul lastique et en labsence de risque de voilement (voir suivant), lecritre suivant peut tre utilis pour un point critique de la section transversale :
0
3
M
y
EdEd
f
tI
SV
=
si : EdV est la valeur de leffort tranchant de calcul,
Sest le moment statique de laire, quel que soit le ct du point considr,
Iest le moment dinertie de flexion de la section transversale considre,
test lpaisseur au point considr.
Pour les sections en I ou en H, lexpression prcdente peut tre approche par larelation suivante :
0
3
M
y
w
EdEd
f
A
V
= si : 6,0
w
f
A
A
avec : fA aire dune semelle,
wA aire de lme ( www thA = , voir figure 3).
6.3 Rsistance au voilement par cisaillement
L'instabilit relative aux actions de cisaillement est le voilement.
Bien qu'il ne soit pas tudi dans ce document, il convient de souligner que pour uneme non raidie, le voilement nest pas craindre si llancement de cette me est tel que :
-
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72
w
w
t
h
o peut tre pris gal 1 en se plaant du ct de la scurit et o yf/235= .
Dans tous les autres cas, il convient de se rfrer lEN 1993-1-5.
7 -MOMENT FLCHISSANT ET EFFORT TRANCHANT
Dans le cas, le plus frquent, o le moment flchissant qui agit sur une sectiontransversale est associ un effort tranchant, la combinaison de ces deux sollicitations dpendde leur intensit relative (Clause 6.2.8). En effet, pour les petites valeurs de l'effort tranchant,
la rduction de la capacit portante de la section est si faible qu'elle est compense parl'crouissage du matriau et qu'elle peut donc tre nglige.
Si la valeur de calcul de l'effort tranchant ne dpasse pas 50 % de la rsistance plastiquede calcul au cisaillement RdplV , , alors seul l'effet du moment flchissant est pris en compte.
Dans le cas contraire, la valeur de rsistance la flexion de la section transversale
RdVM , est rduite de la manire suivante :
- pour les sections transversales semelles gales flchies dans le plan de l'me :
0
2
,,, 4 M
y
w
wyplRdVy
f
t
AWM
= mais : RdycRdVy MM ,,,,
avec :
2
,12
=
Rdpl
Ed
V
V
- pour les autres cas, RdVM , est pris gal au moment de rsistance plastique de la
section transversale dtermin en utilisant une limite d'lasticit rduite : ( ) yf1 pour l'aire de cisaillement sans dpasser RdcM , .
8 -MOMENT FLCHISSANT ET EFFORT AXIAL
Il convient de ne pas oublier que la combinaison moment flchissant et effort axial peutinduire des instabilits de flambement et de dversement. Il est donc trs important d'effectuergalement ces vrifications qui sont explicites dans la seconde partie de ce document.
-
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8.1 - Flexion compose
8.1.1 - Sections transversales de Classe 1 ou 2
En l'absence d'effort tranchant, la vrification effectuer (Clause 5.4.8.1) est la
suivante :
RdNEd MM ,
avec RdNM , , moment de rsistance plastique de calcul rduit par la prise en compte de
l'effort normal.
Pour les sections comportant des semelles, l'Eurocode 3 considre que la rduction dumoment plastique, due la prsence d'un effort normal faible, est compense par l'crouissagede l'acier et peut ainsi tre nglige. Lorsque l'effet de l'effort normal mobilise la moiti de la
rsistance plastique de l'me la traction ou le quart de celle de la section transversalecomplte, il n'est plus possible de faire cette hypothse et la section doit tre vrifie enflexion compose. Ces hypothses sont mises en vidence par les courbes relles d'interactiondonnes la figure 4 [6]. Elles sont dmontres dans lAnnexe 1 du prsent document.
Flexion autourde l'axe fort - yy
Rd,y,pl
Ed
M
M
Rd,pl
Ed
N
N
Rd,y,pl
Ed
M
M
Rd,pl
Ed
N
N
Figure 4-1 - Interaction Effort normal - Moment flchissant / axe y-y
-
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Flexion autourde l'axe faible - zz
Rd,z,pl
Ed
M
M
Rd,pl
Ed
N
N
Rd,z,pl
Ed
M
M
Rd,pl
EdN
N
Figure 4-2 - Interaction Effort normal - Moment flchissant / axe z-z
En posantRdpl
Ed
N
Nn
,= , rapport de l'effort normal de calcul sur la rsistance plastique
de calcul, et en posant galement
A
tbAa
f2= (rapport de l'aire de l'me sur l'aire totale du
profil) avec la condition 5,0a , on obtient les expressions suivantes :
pour un plat sans trou de fixation, on retrouve lexpression bien connue(Clause 6.2.9.1 (3)) :
=
2
,,, 1
Rdpl
EdRdplRdN N
NMM
La vrification scrit alors :
1
2
,,
+
Rdpl
Ed
Rdpl
Ed
N
N
M
M
-
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pour les sections transversales de profils lamins en I ou en H (Clause 6.2.9.1 (5)) :
- Flexion daxe fort :
= a
n
MM RdyplRdyN 5,01
1
,,,, mais : RdyplRdyN MM ,,,,
Cette condition est reprsente sur le diagramme de la figure 5. On remarque quedaprs la condition prcdente, linfluence de leffort normal est nglige tant
que : RdyplRdyN MM ,,,, , soit
a
n
5,01
11 , soit na 15,01 , ou encore :
Rdpl
Ed
N
Nna
,5,0 = , ce qui scrit finalement : RdplEd NaN ,5,0< .
NEd
MEd
Npl,Rd
0,5 a Npl,Rd
Diagrammesimplifi
Courbe relle
Mpl,y,RdMel,y,RdMN,y,Rd
NEd
Figure 5 - Diagramme simplifi retenu pour les sections en I ou en H flchies selon laxe fort
- Flexion daxe faible, si an> :
=2
,,,, 11
a
anMM RdzplRdzN
- Flexion daxe faible, si an :
RdzplRdzN MM ,,,, =
-
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- pour les profils creux rectangulaires paisseur uniforme, ces relations s'crivent :
=w
RdyplRdyN a
nMM
5,01
1,,,, mais : RdyplRdyN MM ,,,,
et :
=f
RdzplRdzN a
nMM
5,01
1,,,, mais : RdzplRdzN MM ,,,,
avec :A
thAaf
2= mais : 5,0fa
et :
A
tbAaw
2= mais : 5,0aw
8.1.2 - Sections transversales de classe 3
En l'absence d'effort tranchant, il s'agit de vrifier (Clause 6.2.9.2) que la contraintelongitudinale remplit la condition :
0,
M
yEdx
f
soit encore : 1
0min,,
,
0min,,
,
0
++
M
yzel
Edz
M
yyel
Edy
M
y
Edf
W
Mf
W
Mf
A
N
qui correspond, bien sr, une vrification en lasticit.
8.1.3 - Sections transversales de classe 4
En l'absence d'effort tranchant et comme prcdemment, il s'agit de vrifier
(Clause 6.2.9.3) que la contrainte longitudinale
0,
M
yEdx
f
calcule en utilisant les largeurs efficaces des parois comprimes.
Soit la condition :
1
0min,,
,
0min,,
,
0
+
++
+
M
yzeff
NzEdEdz
M
yyeff
NyEdEdy
M
yeff
Ed
fW
eNM
fW
eNM
fA
N
-
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o : Ne est le dcalage daxe neutre selon laxe de flexion considr en supposant la
section transversale soumise la seule compression.
8.2 - Flexion compose dvie
Dans le cas d'une flexion bi-axiale avec effort normal (Clause 6.2.9.1 (6)), lavrification prend la forme :
1,,
,
,,
,
+
RdzN
Edz
RdyN
Edy
M
M
M
M
o et dpendent de la nature des lments tudis.
Pour se placer en scurit, les termes et peuvent tre pris gaux 1mais, pour uncalcul plus prcis, les valeurs suivantes peuvent tre avantageusement utilises :
- sections en I ou en H : 2= et n5= mais avec 1
- profils creux circulaires : 2==
- profils creux rectangulaires :213,11
66,1
n== et en respectant : 6 et 6
O dans tous les cas :Rdpl
Ed
N
Nn
,=
9 -MOMENT FLCHISSANT,EFFORT TRANCHANT ET EFFORT AXIAL
Si RdplEd VV ,5,0 (soit 50 % de la rsistance plastique au cisaillement), on peut
ngliger son influence pour la combinaison effort axial - moment flchissant (Clause 6.2.10).On est alors ramen au cas prcdent.
SiRdplEd
VV,
5,0> , on ne peut plus ngliger son influence et il convient d'utiliser une
limite d'lasticit rduite yf)1( avec
2
,12
=
Rdpl
Ed
V
V .
-
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2 - RSISTANCE DES BARRES
1 -LES COURBES EUROPENNES DE FLAMBEMENT
Les courbes europennes de flambement sont la base de la vrification des instabilitsdes barres au sens de la norme EN 1993-1-1. Issues dun vaste programme dessais au niveau
europen, elles ont ensuite t mises sous la forme analytique qui est celle qui a t retenuedans la norme europenne.
1.1 - Origine des courbes europennes de flambement
A partir de 1960, un programme exprimental t men par la Convention Europennede la Construction Mtallique (C.E.C.M.) pour tudier le comportement au flambement de
poteaux en acier. Plus de 1100 essais ont t raliss dans toute lEurope sur des lmentsvaris (I, H, T, U, tubes carrs et circulaires) et pour diffrentes valeurs de l'lancement( 17040 ). Une approche probabiliste associe une analyse thorique a montr qu'il
tait possible de tracer des courbes dcrivant la rsistance des poteaux en fonction d'unlancement de rfrence .
Les imperfections qui ont t prises en compte, sont, d'une part, une imperfectiongomtrique de la forme d'une demi-onde sinusodale d'amplitude gale 1/1000 de lalongueur du poteau et, d'autre part, les effets des contraintes rsiduelles relatives chaqueforme de section transversale.
1.2 lancement de rfrence et courbe dEuler
Si l est la longueur critique de flambement dune barre idale comprime, lexpression
de sa force critique dEuler est :2
2
l
EINcr
= .
La contrainte critique dEuler scrit alors :2
2
lA
EI
A
Ncrcr
== .
-
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En utilisant le rayon de giration A/Ii= et llancement i/l= , cr , elle devient :
2
2
Ecr= .
On peut ainsi tracer la courbe correspondante dans un diagramme , (figure 6).
0
50
100
150
200
250
0 50 100 150
Limite en compression simple
Courbe de flambement
d'Euler
fy
Figure 6 Courbe dEuler dans un diagramme ,
En appelant 1 llancement pour lequel ycr f= , il vient :yf
E =1 . Cet
lancement correspond ainsi llancement maximum pour lequel la barre idale peut tresollicite sa limite dlasticit.
En posant 1/= et yf/= , le diagramme prcdent peut tre trac dans un
repre adimensionnel ), qui devient ainsi indpendant de la valeur de la limitedlasticit. Ce nouveau diagramme est reprsent la figure 7.
-
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0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,01
Limite en compression simple
Courbe de flambement
d'Euler
1
Figure 7 Courbe dEuler dans un diagramme ),
Cest dans ce repre que seront reprsentes les courbes europennes de flambement.On note que dans ce systmes daxes, le point dintersection entre la courbe de flambement
dEuler et la limite en compression simple a pour coordonnes (1, 1).
Llancement rduit1
= est gal
E
fy
= .
Il peut galement sexprimer sous la forme :cr
pl
cr
yy
N
N
N
fA
E
f===
2
2
.
1.3 - Formulation des courbes europennes de flambement
La mise en quation des courbes europennes de flambement est due R. Maquoi etJ. Rondal [7]. Elle correspond une formulation d'Ayrton-Perry.
Si l'on considre un dfaut de rectitude initial de forme sinusodale et d'amplitudemaximale 0e (figure 8), la dformation initiale peut tre crite sous la forme :
=
L
xey
sin00
-
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N
N
x
y
e
e
o
Dforme initiale
Dforme finaleL
Figure 8 - Flambement d'un poteau avec dfaut initial
L'quation diffrentielle de la dforme d'un poteau bi-articul charg axialement etpossdant un dfaut de rectitude initial, est la suivante :
( ) 002
2
=++ EIyyNdxyd
En remplaant y0 par son expression et aprs introduction des conditions aux limites,la solution de cette quation est :
=
L
xsin
1N
Ne
ycr
0
crN tant l'effort axial critique d'Euler.
La flche maximale totale e au milieu du poteau ( )/Lx 2= s'crit alors sous la forme :
cr
0
cr
00
N
N1
e
1N
Ne
ee
=
+=
qui fait apparatre le terme ( )crNN/1/1 appel facteur d'amplification.
-
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En prenant en compte le moment flchissant maximal ( eN ) d au flambement et en
appelant elW le module de flexion lastique de la section ( I/vWel= ), l'atteinte de la premire
plastification dans un poteau libre de contraintes rsiduelles rpond au critre :
yel
maxmax fW
eN
A
N=+
Si maxN est l'effort normal maximum limit par le flambement et b la contrainte
normale maximale (A
Nmaxb = ), nous avons :
yel
bbel
maxmax fW
Ae
W
Ae
A
N
A
N=+=+
ou, en introduisant la contrainte critique d'Euler2
2
Ecr= :
yel
cr
bbb fW
Ae=
+
1
0
qui peut tre facilement crit sous la forme :
( )( ) elcrbbybcr WA
ef 0 =
Cette quation est la forme de base de l'quation d'Ayrton-Perrysi l'on pose :
elW
Ae0=
Le terme reprsente l'imperfection de rectitude initiale du poteau mais il peut aussireprsenter d'autres dfauts comme les contraintes rsiduelles ou l'excentricit des chargesappliques par exemple. Il est alors appel facteur d'imperfection gnralise.
En posantl
e0= , on peut crire ce terme sous la forme :
elW
Al=
En utilisant les termes i/l= , v/IWel= et A/Ii =2 , peut tre exprim de la
manire suivante :
-
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v
i
=
o le terme v/i correspond au diamtre relatif de l'ellipse d'inertie suivant la direction o
apparat le flambement.
Posonspl
max
y
b
N
N
f ==
. Comme yf/E= , en introduisant 1= quand
0 , la relation prcdente s'crit, pour MPa255=yf :
v
i, 01590
=
car, en effet, les courbes europennes de flambement ont t tablies pour une valeur fixe dela limite dlasticit, la valeur relle de yf n'ayant qu'une influence trs faible sur le rsultat
comparativement aux autres paramtres.
En posant :v/i
,
1590=
nous obtenons : )0 = .
En revenant l'criture de l'quation d'Ayrton-Perry et en divisant par le produitycrf , il vient :
y
b
y
b
cr
b
ff =
11
y
b
y
b
cr
y
y
b
ff
f
f =
11
( ) =
11
2
ou, en dveloppant : 011222 =+
++
En remplaant par son expression en fonction de et en rsolvant cette quation dusecond degr en , si nous retenons la plus petite racine, nous obtenons :
-
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( ) ( )2
2220
20
2
411
++++
=
En posant : ( )
++=
220150 ,, et en choisissant 200 ,= , il vient :
2
22
=
En multipliant numrateur et dnominateur par le terme conjugu,22 + , nous
obtenons :
22222
222 1
+=
+
+=
qui est la formulation des courbes europennes retenue dans l'Eurocode 3 :
22
1
+=
Cinq valeurs diffrentes de ont t choisies pour reprsenter les diffrents rencontrsdans la pratique. Elles sont associes l'intensit des imperfections et croissent avec elles.Elles ont ainsi conduit cinq courbes distinctes nommes respectivementa0, a, b, cet d.
2 -FLAMBEMENT DES BARRES UNIFORMES COMPRIMES
Comme nous venons de le voir, au sens de lEurocode 3, l'tude du flambement desbarres comprimes est fonde sur lutilisation des courbes europennes de flambement.
2.1 Rsistance au flambement
Pour sassurer de la rsistance d'une barre comprime vis--vis du flambement(EN 1993-1-1, 6.3.1.1), il convient de vrifier lexpression suivante :
0,1,
Rdb
Ed
N
N
o : EdN est la valeur de calcul de leffort de compression,
-
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Rd,bN est la rsistance de calcul de la barre comprime au flambement.
Dans le cas gnral, cette dernire est prise gale :
1M
yRd,b
fA
N
= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,
1M
yeffRd,b
fAN
= pour les sections transversales de Classe 4.
o : est le coefficient de rduction pour le mode de flambement appropri.
2.2 Courbes de flambement
Pour les barres section transversale constante, le coefficient de rduction tablidans le paragraphe prcdent, sexprime par la relation suivante (EN 1993-1-1, 6.3.1.2) :
11
22
+=
:mais
o : ( )
++=
220150 ,,
avec : facteur dimperfection (donn dans le tableau 1)
cr
pl
N
N= pour les sections de Classes 1, 2 et 3,
cr
yeff
N
fA= pour les sections de Classe 4.
si : A est l'aire de la section brute,
et si : crN est leffort normal critique de flambement lastique pour le mode de
flambement appropri, bas sur les proprits de la section brute.
Tableau 1 - Facteurs d'imperfections des cinq courbes de flambement
Courbe de flambement a0 a b c d 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76
-
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Les cinq courbes de flambement )(f = sont traces la figure 9. Les valeurstabules donnant les valeurs de pour les diffrentes valeurs du facteur dimperfection sontdonnes en Annexe 2 la fin du document. Le facteur dimperfection est li aux types desections transversales, aux modes de fabrication, aux axes de flambement1 et la limite
dlasticit de lacier. Pour le flambement par flexion, il est donn dans le tableau 2.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Courbe a0Courbe aCourbe bCourbe cCourbe dLimite d'lasticit
Courbe d'Euler
0,2
Limite en compression simple
Courbe de flambement
d'Euler
a
d
b
c
a0
Figure 9 - Courbes de flambement
La vrification de la stabilit au flambement doit tre effectue si > 0 2, ou si
040,N
N
cr
Ed > .
Dans le cas contraire, si 20, ou si 040,NN
cr
Ed , elle nest pas ncessaire.
1Nota: Le flambement est assimilable une sollicitation de flexion compose. L'axe de flambement est celui quicorrespond l'axe qui porte le moment quivalent N e. Exemple :
N N x
y e
Axe deflambement z-z
-
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En dautres termes, pour les faibles lancements, le flambement nest pas craindre etseules les vrifications de sections transversales sappliquent. Cest pourquoi les courbes deflambement prsentent un palier pour les faibles lancements rduits.
Tableau 2 Choix de la courbe de flambement selon les sections transversales
Courbes deflambement
Section transversale Limites
Flambementselon laxe
(ou autour delaxe)
S235S275S355S420
S460
tf40 mmy-yz-z
ab
a0a0
h/b
>1,2
40 mm tf100
y-yz-z bc aa
tf100y-yz-z
bc
aa
Sectionslaminesen
IouenH
tf z
z
y y
b
h
h/b
1,2
tf> 100y-yz-z
dd
cc
tf40 mmy-yz-z
bc
bc
Sec
tionsIou
H
soudes
tf tfz
z
y y
z
z
y y
tf> 40 mm
y-y
z-z
c
d
c
d
Finies chaud Quelconque a a0
Sections
creuses
Formes froid Quelconque c c
En gnral Quelconque b b
Sectionse
ncaisson
soudes
b
h
z
z
y y
tf
tw
Soudures paissesa >0,5 tf
b/tf< 30h/tw< 30
Quelconque c c
Sections en U, T et pleines Quelconque c cSections en L Quelconque b b
-
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2.3 lancement pour le flambement par flexion
Nous avons dtermin, dans le paragraphe prcdent, les expressions de llancementrduit dans le cas du flambement par flexion (figure 10) :
crpl
N
N= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,
cr
yeff
N
fA= pour les sections transversales de Classe 4.
G
Figure 10 - Flambement par flexion
Nous avons galement montr que 1 sexprime sous la forme :yf
E =1 .
En posant =235
fy, comme E = 210 GPa, si yf est exprim en MPa, il scrit :
9931 ,= .
La difficult principale rside dans la dtermination de leffort critique de flambement
crN et plus prcisment de la longueur de flambement. Si lAnnexe E de la version ENV de
lEurocode 3 donnait des indications pour dterminer cette longueur de flambement, il nenest rien dans la version finale de lEN 1993-1-1. Une possibilit pour dterminer la longueurde flambement rside dans le recours une analyse non linaire. Il reste bien sr possible decontinuer utiliser lAnnexe E de lENV [3] qui, rappelons-le, sappuie sur les abaques deWood [8].
2.4 lancement pour le flambement par torsion ou par flexion- torsion
Pour les barres constitues de sections transversales ouvertes non bi-symtriques, il peuttre ncessaire de mener une vrification de la rsistance au flambement par torsion et parflexion-torsion.
-
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G GC
Figure 11 - Flambement par torsion Figure 12 - Flambement par flexion-torsion
Ce type de flambement est souvent le cas :
pour les sections ouvertes centre de symtrie sensibles au flambement partorsion (figure 11 par exemple),
pour les sections ouvertes non symtriques sensibles au flambement par flexion-torsion (figure 12 par exemple).
Il convient alors de dterminer llancement rduit T pour le flambement par torsionou par flexion-torsion par :
cr
y
T N
fA
= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3,
cr
yeffT
N
fA= pour les sections transversales de Classe 4,
o : TF,crcr NN = mais cr,Tcr NN < .
cr,TN est leffort critique de flambement lastique par torsion,
Ncr,TF est leffort critique de flambement lastique par flexion-torsion
Ces deux grandeurs dpendent des sections transversales :
+=
2
2
20
1
T,cr
wtT,cr
EIGI
iN
l
si : 20
20
2220
zyiii zy +++=
avec : 0y et 0z coordonnes du centre de cisaillement par rapport au centre de
gravit de la section brute (figure 13).
-
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GC
y0 z
zy
y
Figure 13 Centre de cisaillement - Notations
Pour une section symtrique par rapport laxe y-y par exemple
+
+=
ycr
Tcr
ycr
Tcr
ycr
TcrycrTFcr
N
N
i
y
N
N
N
NNN
,
,2
0
0
2
,
,
,
,,, 411
2
avec :2
0
01
=
i
y
Dautres informations sont disponibles dans la partie 1-3 de lEurocode 3 (EN 1993-1-3) qui concerne les lments parois minces forms froid pour lesquels ce type dinstabilitest tudier presque systmatiquement.
3 -DVERSEMENT DES BARRES FLCHIES
3.1 Rsistance au dversement
La rsistance de calcul d'une barre flchie non maintenue latralement, et doncsusceptible de dverser (EN 1993-1-1, Clause 6.3.2.1), doit tre prise gale :
1MyyLTRd.b fWM =
o : yW est le module de rsistance appropri pris de la faon suivante :
y,ply WW = pour les sections transversales de Classe 1 ou 2,
y,ely WW = pour les sections transversales de Classe 3,
y,effy WW = pour les sections transversales de Classe 4,
LTest le coefficient de rduction pour le dversement.
-
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3.2 Courbes de dversement
La valeur de ce coefficient LTpeut tre obtenue par l'expression :
22
1
LTLTLTLT +
=
o : ( )
++=
220150 LTLTLTLT ,,
avec :cr
yyLT
M
fW=
Mcr
est le moment critique pour le dversement lastique.
LTest le facteur d'imperfection pour le dversement, il est donn dans le tableau 3.
Tableau 3 Valeurs recommandes pour les facteurs dimperfection des courbes dedversement
Courbe de dversement a b c d
LT 0,21 0,34 0,49 0,76
Le choix des courbes de dversement est prcis dans le tableau 4.
Tableau 4 Choix des courbes de dversement
Sections transversales Limites Courbes de dversement2h/b aSections en I lamines2h/b> b2h/b cSections en I soudes2h/b> d
Autres sections - d
La vrification au dversement n'est ncessaire que lorsque 20,LT > . Dans le cascontraire ou si la poutre est maintenue latralement sur toute sa longueur, le dversement (ouflambement latral) n'est pas craindre.
Il est noter que la dtermination du moment critique de dversement lastique nestpas indiqu dans la version finale de lEN 1993-1-1 alors quelle correspondait lAnnexe Fde la version ENV. Lannexe AX1 de lAnnexe Nationale [2] apporte nanmoins tous les
lments ncessaires lvaluation de crM .
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3.3 Courbes de dversement pour profils lamins ou sections soudesquivalentes
Daprs cette Annexe Nationale, une section soude quivalente est une sectionreconstitue soude en I telle que :
le rapport des inerties de semelles dans leur plan est 1,2
la section est symtrique par rapport lme
3w
maxf
t
t
Dans ce cas, les valeurs de LT peuvent tre dtermines par les expressionssuivantes :
22
1
LTLTLTLT
+= mais
21
01
LTLT
LT ,
( ) 20150 LT,LTLTLTLT , ++=
avec au maximum 400 ,,LT = et au minimum 750,= .
LAnnexe Nationale prcise comment dterminer 0,LT et LT :
Sections lamines en I doublement symtriques :
h
b,,,LT 10200 += et 02040
2= LTLT h
b,,
Sections soudes en I doublement symtriques :
h
b,,LT 300 = et 025050
2= LTLT h
b,,
Autres types de sections :
200
,,LT = et 760,LT =
et pour toutes les sections : 01,=
Dans ce cas, le choix des courbes de dversement est prcis dans le tableau 5.
-
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Tableau 5 Choix des courbes de dversement associes aux profils lamins ou sectionssoudes quivalentes
Sections transversales Limites Courbes de dversement2h/b bSections en I lamines2h/b> c2h/b cSections en I soudes2h/b> d
4 BARRES UNIFORMES FLCHIES ET COMPRIMES
Les sollicitations de flexion sont amplifies par l'effet de flambement (figure 14).
M
N
M
N
v
x
y
M
N.v
N
Effort axial Moment flchissant
l
(effets du 2 ordre)me
Figure 14 - Sollicitation de flexion compose
Au sens de lEN 1993-1-1, la vrification des barres uniformes flchies et comprimessapplique aux barres sections transversales bi-symtriques non sensibles ladistorsion.
Une distinction est faite entre :
les barres qui ne sont pas sensibles aux dformations par torsion (sections creusesou sections maintenues en torsion),
les barres sensibles aux dformations par torsion (sections transversales ouvertes
et non maintenues en torsion).
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La stabilit en flexion compose avec risque de flambement et de dversement, s'appuiesur les relations gnrales suivantes :
1
1
111
111
+
++
+
+
++
+
M
Rk,z
Ed,zEd,zzz
M
Rk,yLT
Ed,yEd,yzy
M
Rkz
Ed
M
Rk,z
Ed,zEd,zyz
M
Rk,yLT
Ed,yEd,yyy
M
Rky
Ed
M
MMk
M
MMk
NN
M
MMk
M
MMk
NN
o :
EdN , Ed,yM et Ed,zM sont les valeurs de calcul de leffort de compression et de
moments maximaux dans la barre par rapportrespectivement laxe y-y et laxe z-z.
Ed,yM et Ed,zM sont les moments provoqus par le dcalage de laxe
neutre pour les sections transversales de Classe 4.
y et z sont les facteurs de rduction dus au flambement par
flexion
LT est le facteur de rduction d au dversement
yyk , yzk , zyk , zzk sont les facteurs dinteraction. Ils ont t drivs partir
de deux approches alternatives. La mthode 1, dite mthode franco-belge et la mthode 2 encore appele mthode germano-autrichienne .
Les deux mthodes sont proposes dans lEN 1993-1-1 en laissant le soin aux AnnexesNationales de fixer ou non le choix entre ces mthodes. Cest la mthode 1 qui a t retenuepar lAnnexe Nationale franaise [2]. Cest donc la seule que sera prsente ici. Il est noterquun document explicatif va tre publi trs prochainement [8]. Il expose la construction deces deux mthodes de calcul et il contient de nombreux exemples dapplication quiddramatisent lapparente complexit des deux formulations.
4.1 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classes 1 et 2
Pour les barres dont les sections transversales sont de Classes 1 et 2, les expressionsprcdentes se rduisent :
-
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1
1
++
++
Rd,z,pl
Ed,zzz
Rd,y,plLT
Ed,yzy
Rd,plz
Ed
Rd,z,pl
Ed,zyz
Rd,y,plLT
Ed,yyy
Rd,ply
Ed
M
M
kM
M
kN
N
M
Mk
M
Mk
N
N
avec les coefficients :yy
y,cr
Ed
ymLTmyyy C
N
NCCk
1
1=
y
z
yz
z,cr
Ed
ymzyz w
w,
C
N
NCk 60
1
1=
z
y
zy
y,cr
Ed
zmLTmyzy w
w,
CN
NCCk 60
1
1=
zz
z,cr
Ed
zmzzz
CN
NCk
1
1=
dans lesquels :
y,cr
Edy
y,cr
Ed
y
N
N
N
N
=1
1
z,cr
Edz
z,cr
Ed
z
N
N
N
N
=1
1
si : 51,W
Ww
y,el
y,ply =
51,W
Ww
z,el
z,plz =
1MRk
Edpl
/N
Nn
=
-
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avec :
y,pl
y,elLTplmaxmy
ymaxmy
yyyy W
WbnC
w
,C
w
,)w(C
+=
222 6161211
o :Rdzpl
Edz
RdyplLT
EdyLTLT M
M
M
Mab
,,
,
,,mod,
,205,0
=
z,pl
z,el
y
zLTpl
z
maxmzzyz W
W
w
w,cn
w
C)w(C 6014211
5
22
+=
RdyplLTmy
Edy
LTLT MC
Mac
,,mod,
,
4
20
510
+=
y,pl
y,el
z
yLTpl
y
maxmyyzy W
W
w
w,dn
w
C)w(C 6014211
5
22
+=
Rdzplmz
Edz
RdyplLTmy
Edy
zLTLT MC
M
MC
Mad
,,
,
,,mod,
,4
0
1,02
+=
+= plLTmz
zmz
zzzz neCw
Cw
wC2max
2max
2 6,16,12)1(1
RdyplLTmy
Edy
zLTLT MC
Mae
,,mod,
,4
0
1,07,1
+=
si :
=z
ymax
max
et si :
=
2LT
mod,LT
mod,LTLT
mod,LT 10,1
maisf
avec : ( ) ( ) 1fmais8,021k15,01f 2LTc
=
et si : 01 =
y
TLT
I
Ia qui doit tre pris gal 0 si le dversement est empch ( LTa est
destin assurer la transition entre les sections ouvertes et les sections fermes)
-
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Les valeurs du moment uniforme quivalent sont donnes dans le tableau 6.
Tableau 6 Facteur de moment uniforme quivalent
Diagramme de moment 0,miC
M1M1
-1 1
i,cr
Edii,mi N
N),(,,,C 3303602107900 ++=
M(x)
M(x)
i,cr
Ed
Ed,i
xi,mi N
N
)x(ML
IEC
+= 11
2
2
0
)x(Edi,M : moment maximal Edy,M ou Edz,M
x : flche maximale locale le long de la barre
i,cr
Ed,mi N
N,C 18010 =
i,cr
Ed
,mi N
N
,C 03010 +=
4.2 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 3
Pour les barres dont les sections transversales sont de Classe 3, les expressionsprcdentes deviennent :
1
1
++
++
Rd,z,el
Ed,zyz
Rd,y,elLT
Ed,yyy
Rd,ply
Ed
Rd,z,el
Ed,zzzRd,y,elLT
Ed,yzyRd,plz
Ed
M
Mk
M
Mk
N
N
MMk
MMk
NN
avec :
y,cr
Ed
ymLTmyyy
N
NCCk
=
1
-
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z,cr
Ed
ymzyz
N
NCk
=
1
y,cr
EdzmLTmyzy
N
NCCk
=
1
z,cr
Ed
zmzzz
N
NCk
=
1
Les autres termes sont identiques ceux donns prcdemment.
4.3 - Rgles pour les barres de sections transversales de Classe 4
Pour les barres dont les sections transversales sont de Classe 4, les expressions devrification scrivent :
1
111
+
++
+
M
yz,eff
Edz,NEd,zzz
M
yy,effLT
Edy,NEd,yzy
M
yeffz
EdfW
NeMk
fW
NeMk
fAN
1
111
++++
M
yz,eff
Edz,NEd,zyz
M
yy,effLT
Edy,NEd,yyy
M
effy
EdfW
NeMkfWNeMk
fyAN
4.4 - Sensibilit la dformation par torsion
Elle dpend de la valeur de 0 , lancement rduit dans le cas du moment flchissantuniforme, cest--dire 01,y = dans la tableau 6.
Llancement lim,0 limite a pour expression :
4,,
1lim,0 112,0
=
TFcr
Ed
zcr
Ed
N
N
N
NC
Les valeurs de 0 infrieures lim,0 correspondent des barres qui ne sont passensibles aux dformations par torsion linverse des valeurs suprieures. Le tableau 7synthtise les termes myC , mzC et mLTC prendre en compte selon les cas.
-
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Tableau 7 Coefficients mC selon la sensibilit aux dformations par torsion
Si lim,00 Si lim,00 > ,
0,mymy CC =
0,mzmz CC =
01,CmLT =
LTy
LTy,my,mymy
aa)C(CC
++=
11 00
0,mzmz CC =
=
T,cr
Ed
z,cr
Ed
LTmymLT
N
N
N
N
aCC
11
2
y,elEd
Ed,yy W
A
N
M= pour les sections transversales de Classes 1, 2 et 3
y,eff
eff
Ed
Ed,yy W
A
N
M= pour les sections transversales de Classe 4
Dans ces expressions sont utilises les grandeurs suivantes :
y,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion selon laxe y-y
z,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion selon laxe z-z
T,crN effort normal critique de flambement lastique par torsion
TF,crN effort normal critique de flambement lastique par flexion-torsion
TI inertie de torsion de ST Venant
yI moment dinertie de flexion par rapport laxe y-y
1C facteur dpendant du chargement et des conditions aux extrmits prendre dans la littrature.
4.5 Vrification aux extrmits de la barre
En plus de la vrification de la rsistance aux instabilits, il convient de vrifier larsistance des sections transversales chaque extrmit de la barre.
-
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ETATS LIMITES DE SERVICE
1PRAMBULE
Les Etats Limites de Service (E.L.S.) correspondent aux tats au-del desquels les
exigences daptitude au service (ou lutilisation) de la structure ne sont plus respectes. Ondistingue :
- les ELS irrversibles : ce sont ceux qui resteront dpasss en permanence lorsqueles actions lorigine du dpassement auront disparu ;
- les ELS rversibles : ce sont ceux qui ne seront plus dpass lorsque les actions lorigine du dpassement auront disparu.
Ces tats limites concernent donc :
laptitude au fonctionnement de la structure,
le confort des utilisateurs,
laspect du btiment ou de louvrage.
On peut citer quelques exemples dELS :
- Les dformations (flches) qui altrent laptitude au fonctionnement ou laspect delouvrage ou de ses installations, qui engendrent des dgts aux lmentssecondaires (cas de cloisons qui fissurent du fait quelles reposent sur de poutrestrop flchies) et qui affectent galement le confort des utilisateurs.
- Les vibrations, qui perturbent et limitent laptitude au fonctionnement(exploitation) de la structure et qui nuisent au confort des personnes.
- Les fissurations, qui altrent laspect et la durabilit de louvrage (cloisons, murssecondaires, bardages) et qui peuvent, long terme, affecter la capacit portante delouvrage (fissuration sur appui dune poutre mixte continue).
- Les dfauts dtanchit, qui limitent laptitude au fonctionnement de louvrage.
-
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2LES DPLACEMENTS
Nous donnons ici les dplacements maximums autoriss sous les combinaisonsdactions propres lELS.
2.1 - Flches verticales
La figure 15 reprsente les flches verticales dans le cas dune poutre flchiesimplement appuye.
wc
wmaxwtot
w3
w1
Figure 15 Dcomposition des diffrentes flches dune poutre flchie
Les symboles utiliss sont les suivants :
1w : flche due aux actions permanentes,
3w : flche additionnelle due aux actions variables,
cw : contreflche dans llment structural non charg,
La flche totale, totw , est donc telle que : 31tot www +=
La flche rsiduelle totale maxw , incluant la contreflche, a pour expression :
c31max wwww +=
Les valeurs limites recommandes pour les flches verticales des poutres de btimentsont donnes dans le tableau 7 o L est la porte de la poutre. Il convient de leur comparer lesvaleurs calcules partir des combinaisons caractristiques. Pour les poutres en porte--faux,la longueur L considrer est gale deux fois la longueur du porte--faux.
-
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Tableau 7 Valeurs limites maximales recommandes pour les flches verticales
LimitesConditions
wmax w3
Toitures en gnral (non accessibles aux usagers) L / 200 L / 250
Toitures supportant frquemment du personnel autre que lepersonnel d'entretien
L / 200 L / 300
Planchers en gnral L / 200 L /300
Planchers et toitures supportant des cloisons en pltre ou enautres matriaux fragiles ou rigides
L / 250 L / 350
Planchers supportant des poteaux L / 400 L / 500
Cas o wmaxpeut nuire laspect du btiment L /250
2.2 - Flches horizontales
LEC3 propose galement des limites pour les dplacements horizontaux reprsents la figure 16.
Figure 16 Dfinition des dplacements horizontaux
Ici, les symboles utiliss sont les suivants :
u : dplacement horizontal sur la hauteur H du btiment
iu : dplacement horizontal sur la hauteur iH dun tage
iH : hauteur du poteau ou de ltage ;
H : hauteur totale de la structure ;
iL : distance entre deux portiques conscutifs ou la longueur de la lisse.
-
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Tableau 8 Valeurs limites recommandes pour les flches horizontales
Type de construction Limites
Btiments industriels niveau unique sans pont roulant, avec parois non fragiles
-dplacement en tte de poteaux-dplacement diffrentiel en tte entre deux portiques conscutifs
150/H 150/H
Elments supports de bardage mtallique (hors encadrement de baies)
-lisses
-montants (flche propre)
150/Li
150/Hi
Autres btiments niveau unique, sans pont roulant
-dplacement en tte de poteaux
-dplacement diffrentiel en tte entre deux portiques conscutifs
250/Hi
200/Li
Btiments industriels plusieurs niveaux, sans pont roulant, avec parois non fragiles
-entre chaque tage
-pour la structure dans son ensemble: si H 30 m
si H > 30 m
200/Hi
200/H
300/H
Autres btiments plusieurs niveaux sans ponts roulants
-entre chaque tage 300/Hi
-pour la structure dans son ensemble : si H 10 m 300/H
si 10 m < H 30 mH10200
H
+
si H > 30 m 500/H
Pour les ossatures supports de chemin de roulement (non abordes dans le cadre de cecours), le lecteur est invit consulter le tableau 3 de lAnnexe Nationale.
3LES VIBRATIONS (effets dynamiques)
Les constructions doivent galement tre prmunies contre les effets des vibrations etles amplifications dynamiques dues aux phnomnes de rsonance. Ces effets peuvent trecauss par les machines, laction du vent, les dplacements de personnes lintrieur de
btiments.
Pour le fonctionnement de la structure ou le confort de lutilisateur, il convient de
maintenir la frquence naturelle des vibrations de la structure ou de llment structural au-dessus de valeurs appropries, selon la fonction du btiment et la source des vibrations.
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En labsence de spcifications particulires, les limitations sur les frquences propres devibrations les plus basses des planchers des structures sont donnes au tableau xxx
Dans le calcul de la frquence propre, la masse retenir relative aux chargesdexploitation correspond 20 % des charges dexploitation prise en compte dans la
combinaison caractristique. Lorsquune part des charges dexploitation correspond deslments non structuraux rigidement fixs la construction (cloisons lgres par exemple), lamasse correspondante retenir est 100 % de cette part et 20 % pour le reste.
Lorsque la premire frquence propre est infrieure la frquence limite recommande(tableau 10.2), il convient de procder une analyse plus affine de la rponse dynamique dela structure, en tenant compte de lamortissement.
Tableau 9 Valeurs limites des frquences de vibrations les plus basses des planchers
Nature des locaux Frquence propre
Habitations, bureaux 2,6 Hz
Gymnases, salles de danse 5 Hz
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BIBLIOGRAPHIE
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APK Construction Mtallique et Mixte Acier-Bton. Tome 1 : Calcul etdimensionnement, Eyrolles 1996.
APK Construction Mtallique et Mixte Acier-Bton.Tome 2 : Conception et mise en
uvre, Eyrolles 1996.
M. HIRT et R. BEZ Construction Mtallique. Notions fondamentales et mthodes dedimensionnement, Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 10, Presses Polytechniqueset Universitaires Romandes, Lausanne, 1994.
J. BROZZETTI, M. HIRT et R. BEZ Construction Mtallique. Exemples numriquesadapts aux Eurocodes, Complment au Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 10,Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 1994.
M. HIRT et M. CRISINEL Charpentes Mtallique. Conception et dimensionnementdes halles de btiments, Trait de Gnie Civil de lEPFL, Vol. 11, PressesPolytechniques et Universitaires Romandes, Lausanne, 2004.
P. MATRE Formulaire de la Construction Mtallique, ditions du Moniteur,2medition, 2001.
ESDEP - CD-ROM : Support pdagogique pour lenseignement de la ConstructionMtallique, Cahiers de lAPK, n23, OTUA 1999
SSEDTA CD-ROM : Eurocodes pour les Structures en Acier. laboration duneApproche Transnationale, Cahiers de lAPK, n29, OTUA 2001.
NFATEC CD-ROM : Web-based training for Engineers in the Eurocodes forStructural Steel Designen version franaise, Cahiers de lAPK, n42, OTUA 2006.
OUVRAGE DE BASE EN LANGUE ANGLAISE
P. DOWLING, P. KNOWLES et G. OWENS - Structural Steel Design, Butterworths,1988.
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OUVRAGES TECHNOLOGIQUES INTRESSANTS LIRE EN COMPLMENT
Le MONITEUR - Construire en acier,ditions du Moniteur, 1993.
OTUA -Lexique de Construction Mtallique et de Rsistance des Matriaux, 1992.
F. HART, W. HENN et H. SONTAG - Structure acier - Btiments tages, Publimtal,1986.
OUVRAGES OU ARTICLES SPCIALISS RFRENCS DANS LE TEXTE
[1] EN 1993-1-1 :2004 Eurocode 3 - Calcul des structures en acier. Partie 1-1: Rglesgnrales et Rgles pour les Btiments. CEN/TC 250, dcembre 2004.
[2] NF EN 1993-1-1, Annexe Nationale Eurocode 3 - Calcul des structures en acier.Partie 1-1: Rgles gnrales et Rgles pour les Btiment. AFNOR, aot 2005.
[3] ENV 1993-1-1 - EUROCODE 3 et Document d'Application Nationale - Calcul desstructures en acier. Partie 1-1: Rgles gnrales et Rgles pour les Btiments.P 22-311-0, Eyrolles 1996.
[4] COCHRANE V.H.-Rules for rivets holes deductions in tension members.EngineeringNews-Record, n89, novembre 1922.
[5] LEQUIEN P.-Modules plastiques de sections courantes.Construction Mtallique, n4,1990.
[6] LESCOUARC'H Y.- Capacit de rsistance d'une section soumise divers types desollicitations.Construction Mtallique, n2, 1977.
[7] MAQUOI R. et RONDAL J.-Mise en quation des nouvelles courbes europennes deflambement.Construction Mtallique, n1, 1978.
[8] WOOD R.H.- Effective lengths of columns in multi-storey buildings. The StructuralEngineer, Vol.52 :7, 235-244, 1974.
[9] BOISSONNADE N., GREINER R. et JASPART J.P. -Rules for Member stability inEN 1993-1-1. Background documentation and design guidelines. CECM-TC8Stabilit ( paratre fin 2006-dbut 2007).
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Eurocode 3 : version EN 1993 Construction Mtallique - Rsistance des sections et des barres
Jean-Pierre MUZEAU Page 51/66 Septembre 2010
Annexe 1
CCAAPPAACCIITTDDEERRSSIISSTTAANNCCEEDDUUNNEESSEECCTTIIOONNTTRRAANNSSVVEERRSSAALLEESSOOUUMMIISSEE
UUNNEEFFLLEEXXIIOONNCCOOMMPPOOSSEE
Ce texte est issu de la rfrence [1] dont la dmarche est adapte aux notations actuelles desEurocodes.
1 - Plastification dune section transversale en flexioncompose
Soit une section transversale bi-symtrique, soumise une sollicitation de flexion compose.Les efforts ultimes correspondant la plastification de la section, sont nots Nuet Mu.
Laxe neutre plastique est la distance z0de laxe de symtrie.
Nu
Mu
- fy
fy
z0
z
Gy
b(z)h/2 ANP
Ce diagramme peut tre dcompos en deux diagrammes spars ayant pour rsultante uneffort normal seul Nuet lautre un moment de flexion seul Mude la manire suivante :
+=Nu Nu
Mu Mu
fy
- fy
- fy
- fy
fy
Z0
-
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Les efforts ultimes correspondant la plastification de la section transversale sont donns parles deux quations suivantes :
dzzbfNz
yu ).(20
0= (1)
dzzbzfMh
zyu).(.2
2/
0= (2)
1.1.- Section rectangulaire
Dans le cas dune section rectangulaire, les expressions (1) et (2) deviennent :
000..2..2.2 0
0zfbzfbdzbfN y
zy
zyu === (3)
Nu
Mu
- fy
fy
z0
z
Gy
b
h
ANP
( )
=
=== 20
2202
2/
22/2
.22
2/.22
.2..2
00
zhfbzhfbzfbdzbzfM yy
h
z
yh
zyu (4)
En liminant 0z entre les deux quations, nous obtenons :
y
u
fb
Nz
.20= (5)
do :
=
22
.22. yuyu fb
NhfbM (6)
Leffort normal et le moment plastique dune telle section transversale sont respectivement :
ypl fhbN ..= (7)
et :4
..
4.
2..2
2y
yplfhb
fhh
bM == (8)
Nous pouvons alors crire les efforts ultimes des quations (5) et (6) sous la forme :
-
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=
==
=
ypl
upl
plpl
upl
pl
upl
y
uyfu
fhbN
NhM
MN
NhM
N
NhM
fb
NbhM
...
.1
.4
.1
4
.
.44 2
22222
=
2
21
pl
upluNNMM
soit :
2
1
=
pl
u
pl
u
N
N
M
M (9)
La courbe correspondant cette fonction est donne la figure suivante :
1.2.- Section en I flchie autour de laxe fort
Les notations sont les suivantes :
y y
z
z
b
tw
tfr
-
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Pour ce calcul, nous allons ngliger la prsence des rayons de raccordement me-semelle.
Posons laire de lme Aw gale : fw tbAA ..2=
Pour une telle section, leffort normal et le moment plastique sont les suivants :
ypl fAN .= (10)
et : ywfyffypl ftth
fthtbM .2
)(.2
,
+= (11)
ou :( ) ( ) ywffwypl ftthth
AAM
+
= 2, .24
1)(
2
soit encore : ( ) ywffwypl fAththAAM
+= .2
41)(
2, (12)
Pour calculer les expressions analytiques des courbes dinteraction des quations (1) et (2), ilconvient de distinguer la position de laxe neutre plastique : dans lme ou dans une semelle.
1.2.1. - Si laxe neutre plastique passe par lme du profil(cest--dire siA
A
N
N w
pl
u 0 ) :
+=Nu Nu
Mu, Mu,
fy
- fy
- fy
- fy
fy
z0
ANP
000..2..2.2 0
0zftzftdztfN yw
zyw
zwyu === (13)
2
2
2222
2
2, 2..2
2.2..2..2
00
h
th
y
th
z
yw
h
thy
th
z wyyu
f
f
f
f zfb
zftdzbzfdztzfM
+=+=
+
=22
20
2
, 22.
2. fyfywyu t
hhfbzt
hftM
-
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( )fyffywyu thftbzth
ftM +
= ..2
. 20
2
, (14)
De l quation (13), on dduit :
yw
u
ft
Nz
.20= (15)
En remplaant 0z par sa valeur dans (14), il vient :
( )fyfyw
ufywyu thftbft
Nt
hftM +
= ...22
.
22
, (16)
2
,
22
, 2.
.22.
+
= fywyplyw
ufywyu t
hftM
ft
Nt
hftM (17)
yplyw
uywyu Mft
NftM ,
2
, .2. +
= (18)
yplyw
u
ypl
yu
Mft
N
M
M
,
2
,
,
..41
= (19)
2,
2
,
,
..4
11
pl
yplyw
pl
u
ypl
yu
N
Mft
N
N
M
M
= (20)
Daprs lexpression (12), nous avons :
( ) ywffwypl fAththAA
M +
= .241
)(2, (12)
Le terme du dnominateur de lquation (20) scrit :
: ( ) ( )
( )22
2,
..2
4
1)(
24..4
y
ywff
ww
pl
yplyw
fA
fAthth
AAt
N
Mft
+
=
( )22
, 1.2)(12..4
A
Athth
A
AAt
N
Mft wff
ww
pl
yplyw
+
=
-
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( )22
, 1.2)(1.2..4
AAthtth
A
AtA
N
Mft wfwf
ww
pl
yplyw
+
= (21)
En remarquant que : wfw tthA ).2( = , il vient :
22
2, 1
)(1.2
.2..4A
AthA
A
th
AA
N
Mft wf
w
f
w
pl
yplyw
+
=
soit :2
22
, 11
.22..4
AAAA
A
A
th
th
N
Mft ww
w
f
f
pl
yplyw
+
=
ou :
2
2
,
1.22..4
+
= A
A
A
A
A
A
th
th
N
M
ftwww
f
f
pl
ypl
yw (22)
Lexpression (20) peut donc scrire sous la forme indique dans la rfrence [1] :
2
2
,
,
12
2
11
+
=
AAAth
thN
N
M
M
www AAA
f
fpl
u
ypl
yu (23)
1.2.2. - Si laxe neutre plastique passe par les semelles(cest--dire si 1pl
uw
NN
AA )
fy
th
ywz
thy
th
wyut
h
zzfbzftdzbfdztfN
f
f
f
+=+=
2
.2.2.2.20
2
02
20
0 (24)
( )
+= fyfywu th
zfbthftN2
.22. 0 (25)
=== 20
22/22/, 4
.2
.2..2
00
zh
fbz
fbdzzbfM y
h
z
yh
zyyu (26)
De (25) on tire :
+
= fy
fywut
h
fb
thftNz
2.2
2.0 (27)
-
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En remplaant 0z par sa valeur dans (26), il vient :
( )
+=
22
, 2..22.
4. f
yfywuyyu thfb
thftNhfbM
( ) ( )
+
+
+= fy
fywuf
y
fywuyyu t
h
fb
thftNht
h
fb
thftNhfbM
2..2
2.
22..2
2.
2.,
( )
( ) ( )
+= y
fywu
fy
fywu
fyyu fb
thftN
tfb
thftN
thfbM ..2
2.
..2
2.
.,
( ) ( ) ( )
+=y
fywuf
fywuffyyu fb
thftNht
thftNtthfbM
..2
2.)2(
2
2..,
qui scrit finalement comme dans la rfrence [1] :
( ) [ ]
+=
yf
ywfuffywuyffyu b
ftthNththftNfthtbM
..2
).2().2().2(.
2
1., (28)
qui peut encore se mettre sous une forme un peu plus condense :
( ) ( )
++=
y
ywufywuyffyu fb
fANthfANfthtbM
..2
.)2(.
2
1.,
Selon lquation (26),
=
fy
ywut
hz
fb
fAN
2.2
.0 . En consquence, si ft
hz =
20,
0.2
. =y
ywu
fbfAN et si
20hz = , f
y
ywu tfb
fAN =.2
. .
Donc, lorsque laxe neutre plastique est situ dans une semelle,y
ywu
fb
fAN
.2
est compris
entre 0 et ft .
En dautres termes, lquation suivante place toujours en scurit :
( ) ( ) )(.21., fywuyffyu thfANfthtbM