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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Methodes avancees en gestion d’actifs Partie 2
Le modele de Black-Litterman
Arthur Charpentier
http ://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/
blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/
Master 1, Universite Rennes 1
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Plan du cours
• Mesurer les risques Les hypotheses classiques Au dela du modele Gaussien, introduction aux copules• Le modele de Black & Litterman• Rappels sur les resultats de Markowitz• Estimation des parametres, introduction a l’approche bayesienne• Le modele de Black & Litterman• Portefeuille optimal pour d’autres criteres de risque Calcul de la VaR et de la TVaR pour un portefeuille Optimisation sous contrainte de VaR ou de TVaR
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Les approches traditionnelles en gestion d’actifs
Les methodes de base de la gestion d’actifs reposent sur l’optimisation lineaire etoptimisation quadratique.
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Pourquoi une approche moyenne variance ?
Une premiere reponse est que l’optimisation moyenne variance correspond a unprobleme d’optimisatin d’esperance d’utilite dans le cas ou le fonction d’utiliteest quadratique u(x) = x− γx2. Dans ce cas,
E(u(X)) = E(X)− γ[E (X)2 + V ar(X)
]Markowitz evoque cette construction, malgre ses (nombreux) defauts : l’utiliten’est pas croissante, en particulier pour les grandes valeurs, et de plus lademande d’actif sans risque croıt necessairement avec la richesse.
Une seconde reponse est la suivante : lorsque le coefficient d’aversion absolue estconstant, alors u(x) = −e−γx. En effet
coeff. Arrow Pratt = − u′′(x)u′(x)
= −−γ2e−γx
γe−γx= γ.
Dans ce cas, si la distribution de la X est normale, alors maximiser l’esperanced’utilite revient a maximiser E (x)− γ
2V ar(X). Un rapide calcul d’integral
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montre en effet que
E(u(X)) = − exp(γ[E (x)− γ
2V ar(X)
]).
Une troisieme reponse a ete apporter par Ingersoll (1987).
Si la distribution de X est normale, et donc characterisee par sa moyenne et savariance, alors necessairement, on peut definir des courbes d’indifference dansl’espace moyenne-variance, et compte tenu des proprietes de fonctions d’utilites,ces courbes d’indifference seront croissantes et concaves.
Une quatrieme reponse est apportee par la formule de Taylor, a condition que lerisque soit ”petit”. En effet, notons que
u (x0 + h) ≈ u (x0) + u′(x0)h+12u′′(x0)h2
= u (x0) + u′(x0)[h+
12u′′(x0)u′(x0)
h2
]ou on retrouve le coefficient d’aversion pour le risque d’Arrow Pratt, note A.
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Alors
E (u (x0 +X)) ≈ u (x0) + u′(x0)[E(X)− 1
2AE(X2)]
= u (x0) + u′(x0)[E(X)− A
2E (X)2 − A
2V ar(X)
]
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Diversification et taille du portefeuille
La variance du portefeuille sur n titres est de la forme suivante
V ar(α′X) =n∑i=1
α2iσ
2i︸ ︷︷ ︸
risque propre
+ 2∑i>j
αiαjρijσiσj︸ ︷︷ ︸risque systematique
.
Pour simplifier, si on suppose le portefeuille equipondere, i.e. αi = 1/n, alors
risque propre ≤max
σ2i
n
→ 0 lorsque n→∞,
si l’on suppose les variances uniformement bornees. De plus,
risque systematique =n2 − nn2
σn
ou σn est la covariance moyenne des n actifs. Aussi, risque systematique → σ.
La diversification (au sens d’une augmentation de la taille du portefeuille) faitalors converger la variance du portefeuille vers un niveau plancher.
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Diversification et corrlation
Supposons que l’on dispose de deux actifs, notes 1 et 2, tels que les rendementsde ces deux titres verifient X1
X2
∼ N µ1
µ2
,
σ21 ρσ1σ2
ρσ1σ2 σ22
Un portefeuille est alors constitue avec les deux titres, avec pour poidsω = (ω1, ω2). Les deux premiers moments sont alors
E(ω1X1 + ω2X2) = ω1µ1 + ω2µ2
V ar(ω1X1 + ω2X2) = ω21σ
21 + 2ω1ω2ρσ1σ2 + ω2
2σ22 .
Si l’on se fixe le rendement espere et un prix pour ce portefeuille (equivalent asupposer que ω soit un vecteur de poids), la variance du portefeuille en decouleaussitot.
Le graphique suivant montrer l’evolution de la variance du portefeuille en
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
fonction du choix du rendement espere pour le portefeuille, avec ou sanscontrainte d’interdiction de vente a decouvert.
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
Fig. 1 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.5.
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
Fig. 2 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
Fig. 3 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.9.
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0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
Fig. 4 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.5.
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0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.02
50.
030
0.03
50.
040
0.04
50.
050
0.05
5
Fig. 5 – Moyenne et ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.9.
Le graphique ci-dessous montre l’evolution de la variance en fonction de lacorrelation et de la moyenne esperee. Les courbes bleues correspondent au cas ou
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la rentabilite esperee est soit µ1, soit µ2. Les courbes rouges correspondent au casou la rentabilite esperee est comprise entre µ1 et µ2. Les courbes vertescorrespondent au cas ou la rentabilite esperee est inferieure a infµ1, µ2 ousuperieure a supµ1, µ2 .
Correlation
−1.0−0.5
0.00.5
1.0 Ren
dem
ent m
oyen
0.02
0.03
0.04
0.050.06
Ecart−type 0.1
0.2
0.3
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Correlation
Ren
dem
ent m
oyen
0.05
0.05
0.1
0.1
0.1
0.15
0.15
0.2
0.2
0.25
0.25 0.3
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Correlation
Eca
rt−
type
Fig. 6 – Moyenne, ecart-type et correlation, deux titres.
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Pratique de la gestion d’actifs
En pratique, les programmes peuvent etre un peu plus complexes afin de tenircompte des realites, en particulier• limites sur la vente a decouvert (limitee ou non autorisee)• limites sur la concentration sur certains titres• limites sur la concentration par secteurs industriels ou par pays• prise en compte de couts de transationsLe cadre general est le suivant
minωω′Σ + γ′ω s.c.
c− ≤ Aω ≤ c+
b− ≤ ω ≤ b+
Par exemple, pour une optimisation de portefeuille sans vente a decouvert,
A = (1, 1, · · · , 1), c− = c+ = 1, b− = (0, 0, · · · , 0)′ et b+ = (1, 1, · · · , 1).
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pour une optimisation de portefeuille sans vente a decouvert, avec un rendementespere cible, µ?,
A =
µ1, µ2, · · · , µk1, 1, · · · , 1
, c− = (µ?, 1)′, c+ = (∞, 1)′,
b− = (0, 0, · · · , 0)′ et b+ = (1, 1, · · · , 1).
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Exemple pratique sur quelques actifs
Il existe plusieurs packages de gestion d’actifs sous R, dont library(fPortfolio) etlibrary(portfolio).
Considerons les series suivants, i.e. monthly data set of US smallcap equities
> Data = as.timeSeries(data(smallcap.ts))
> Data = Data[, c("BKE", "GG", "GYMB", "KRON")]
> (MU=apply(Data,2,mean))
BKE GG GYMB KRON
0.02749712 0.02198486 0.01204526 0.03570639
> (SIGMA=apply(Data,2,sd))
BKE GG GYMB KRON
0.1500879 0.1899235 0.2226543 0.1674082
> portfolioData(Data,spec=portfolioSpec())
On ne retient que 4 titres.
La fonction portfolioFrontier(Data) calcule la frontiere d’efficience desportefeuilles construits a partir de ces 4 titres. Le trace de la frontiere d’efficiencese fait alors simplement
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> Frontier = portfolioFrontier(Data)
> frontierPlot(Frontier)
Il s’agit simplement de la resolution du programme de Markowitz, i.e.
minω′Σω sous la contrainte ω′µ ≥ µ0.
Par des arguments de convexite, les deux programmes suivants sont equivaments
ω∗ = argmaxE(ω′R) sous la contrainte V ar(ω′R) ≤ ν.
ω∗ = argminV ar(ω′R) sous la contrainte E(ω′R) ≥ ε.
L’ensemble des couples moyenne-ecart-type atteignables est note
E =(√
ω′Σω,ω′µ)
, ω vecteur de proportions, i.e. ω ∈ S
ou S est le simplexe en dimension n, i.e.
S =
ω ∈ Rn avec
n∑i=1
ωi = 1
.
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La frontiere de E est alors une parabole, appelee frontiere d’efficience.
La forme parabolique de la frontiere d’efficience se traduit par plusieurs points
– il existe un portefeuille efficicace qui minimise le risque, appele portefeuille devariance minimale
– la partie superieure de la frontiere est croissance, i.e. on peut augmenter(indefiniment) le rendement esperes des portefeuilles efficients, mais le risqueaugmentera
– enfin la courbe d’efficience est concave, i.e. l’augmentation de la variance estplus forte que le gain un esperance. Fisher Black avvait traduit la concavite dela maniere suivante “pour obtenir des gains attendus”
Definition 1. Une allocation ω est dite efficiente s’il n’est pas possible detrouver une allocation proposant le meme rentabilite moyen, pour une variancestrictement plus faible, ou de maniere duale, de trouver une allocation proposantla meme variance, pour un rentabilite espere strictement plus eleve.
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On s’interesse au programme d’optimisation
ω∗ = argminV ar(ω′R) sous les contraintes E(ω′R) ≥ ε, et ω′I = 1
Rappelons que de maniere generale, pour resoudre un programme d’optimisationde la forme
ω∗ = argminf(ω) sous les contraintes g1(ω) = ... = gp(ω) = 0,
ou g1, ..., gp sont p fonctions continument derivables, une condition necessairepour que ω∗ soit une solution est qu’il existe une solution (ω∗, λ) aux n+ p
equations
∂
∂αi(f(ω) + λ1g1(ω) + ...+ λpgp(ω)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,
et∂
∂λj(f(ω) + λ1g1(ω) + ...+ λpgp(ω)) = 0 pour j = 1, 2, ..., p.
Les constantes λ = (λ1, ..., λp) sont appelees multiplicateurs de Lagrange, et lafonction α 7→ (α) + λ1g1(α) + ...+ λpgp(α) est appelee le Lagrangien associe au
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
probleme d’optimisation.
Dans le probleme qui nous interesse, on cherche a minimiser V ar(ω′R), soitω′Σω, sous deux contraintes. On cherche alors a resoudre
∂
∂αi(ω′Σω + λ1(ω′I− 1) + λ2(ω′µ− ε)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,
et∂
∂λj(ω′Σω + λ1(ω′I− 1) + λ2(ω′µ− ε)) = 0 pour j = 1, 2.
En notant que∂
∂ωω′Σω = 2Σω et
∂
∂ωR′ω = R,
on en deduit que α∗ doit necessairement etre de la forme
ω∗ = λ1Σ−1I + λ2Σ−1R,
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ou les multiplicateurs de Lagrange sont donnees par le systeme λ1I′Σ−1R+ λ2I′Σ−1I = 1
λ1R′Σ−1µ+ λ2R
′Σ−1I = ε,
En posant a = I′Σ−1R, b = R′Σ−1R et c = I′Σ−1I, on peut reecrire le derniersysteme sous la forme λ1a+ λ2c = 1
λ1c+ λ2a = ε,
En notant d = bc− a2, on en deduit que
λ1 =cε− ad
et λ2 =b− aεd
.
De cette expression des multiplicateurs de Lagrange, on peut en deduire, a l’aidede la condition de premier ordre Σα = λ1R+ λ2I que la variance du portefeuilleoptimale s’ecrit
σ2∗ = ω′Σω = λ1ε+ λ2,
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soit encore, par substitution
σ2∗ =
cε2 − 2aε+ b
d
Proposition 2. S’il n’y a pas d’actif sans risque, la frontiere d’efficience dansun cadre moyenne-variance est une parabole d’equation
σ2∗ =
cε2 − 2aε+ b
d,
ou ε designe le rentabilite espere du portefeuille.
De plus, on peut obtenir les ponderations optimales
ω∗ = Σ−1 (λ1R+ λ2I) ,
qui peut se reecrire sous forme d’une combinaison lineaire.
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Proposition 3. Les portefeuilles optimaux s’ecrivent comme des combinaisonslineaires par rapport au rentabilite exige, i.e.
ω = p+ εq,
ou p et q ne dependent que de la matrice de variance-covariance des rentabilites
p =1d
(bΣ−1I− aΣ−1R) et q =1d
(cΣ−1R− aΣ−1I).
p est une allocation de portefeuille au sens ou p′I = 1, alors que q indique lafaon dont le portefeuille initial p doit etre modifie (q′I = 0).
p est alors le portefeuille dont le rentabilite espere est nul, et p+ q est leportefeuille de rentabilite unitaire (Merton (1972)). Notons qu’on peut aussiecrire
ω = (1− ε)p+ ε(p+ q).
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
00
.25
Frontière moyenne−variance, portefeuilles admissibles
Ecart−type
Esp
éra
nce
Portefeuille efficient
Portefeuilles admissibles
0.00 0.05 0.10 0.15 0.200
.00
0.0
50
.10
0.1
50
.20
0.2
5
Frontière moyenne−variance, portefeuille conservateur
Ecart−type
Esp
éra
nce
Portefeuille conservateur
Fig. 7 – Allocations efficace et admissibles, et approche conservatrice.25
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
MV
| so
lveR
quad
prog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
Tar
get R
etur
n[m
ean]
BKE
GG
GYMB
KRON
Fig. 8 – Frontiere d”efficience, sans contrainte. 26
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi traver la frontiere d’efficience avec contrainte, par exemple pas devente a decouvert,
> Frontier = portfolioFrontier(Data,constraints = "Short")
> frontierPlot(Frontier)
Il s’agit simplement de la resolution du programme de Markowitz, i.e.
minω′Σωs.c.ω′µ ≥ µ0.
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
MV
| so
lveR
quad
prog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
Tar
get R
etur
n[m
ean]
BKE
GG
GYMB
KRON
Fig. 9 – Frontiere d”efficience, sans contrainte. 28
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi construire le portefeuille de variance minimale, tangeant, ouequireparti
> minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "purple")
> tangencyPoints(Frontier, pch = 19, col = "blue")
> tangencyLines(Frontier, col = "blue")
> equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red")
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
MV
| so
lveR
quad
prog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
Tar
get R
etur
n[m
ean]
BKE
GG
GYMB
KRON
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pour le portefeuille tangeant, on a l’allocation suivante entre les 4 actifs
> Porf.T=tangencyPortfolio(Data)
> weightsPie(Porf.T)
On peut d’ailleurs utiliser weightsSlider(Frontier) pour des graphiques interractifsde composition des portefeuille.
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.005
0.015
0.025
0.035
MV | s
olveR
quad
prog
Target Risk
Targe
t Retu
rnEfficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +KRON +
Weights
MV | s
olveR
quad
prog
BKEGGGYMBKRON
+29.5 %+33.2 %+9.3 %+28 %
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.00.2
0.40.6
0.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
0789
Weights
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
1
Weights
32
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.005
0.015
0.025
0.035
MV | s
olveR
quad
prog
Target Risk
Targe
t Retu
rnEfficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +
Weights
MV | s
olveR
quad
prog
BKEGGGYMB
+11.5 %+40.4 %+48.1 %
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.00.2
0.40.6
0.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
0789
Weights
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
1
Weights
33
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.005
0.015
0.025
0.035
MV | s
olveR
quad
prog
Target Risk
Targe
t Retu
rnEfficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +
KRON +
Weights
MV | s
olveR
quad
prog
BKEGGGYMBKRON
+27 %+36.6 %+24.5 %+11.9 %
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.00.2
0.40.6
0.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
0789
Weights
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
1
Weights
34
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.005
0.015
0.025
0.035
MV | s
olveR
quad
prog
Target Risk
Targe
t Retu
rnEfficient Frontier
BKE +
GG +
KRON +
Weights
MV | s
olveR
quad
prog
BKEGGKRON
+16.6 %+18.2 %+65.2 %
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.00.2
0.40.6
0.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
0789
Weights
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
1
Weights
35
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.005
0.015
0.025
0.035
MV | s
olveR
quad
prog
Target Risk
Targe
t Retu
rnEfficient Frontier
BKE +
GG +
KRON +
Weights
MV | s
olveR
quad
prog
BKEGGKRON
+4.8 %+7.7 %+87.5 %
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.00.2
0.40.6
0.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
0789
Weights
0.00.2
0.40.6
0.81.0 BKE
GGGYMBKRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weig
ht
MV | s
olveR
quad
prog |
minR
isk =
0.093
1
Weights
36
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi construire tous les portefeuilles ne comportant que 2 actifs (sur les4)
> twoAssetsLines(Frontier, lty = 3, col = "grey")
37
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
MV
| so
lveR
quad
prog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
Tar
get R
etur
n[m
ean]
BKE
GG
GYMB
KRON
38
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Considerons le cas ou trois actifs sont consideres,
µ =
0.05
0.15
0.10
et Σ =
0.12 0.2 · 0.1 · 0.4 0.5 · 0.1 · 0.2
0.42 −0.4 · 0.4 · 0.20.22
.La premiere contrainte du programme est que la somme des ponderations (αi)vale 1, et la second est que l’esperance de rentabilite du portefeuille soit egale a ε.Aussi α1 + α2 + α3 = 1
0.05α1 + 0.15α2 + 0.1α3 = ε
On peut reecrire ces contraintes sous la forme
α1 = α ∈ R, α3 =0.15− 0.1α− ε
0.05et α2 = 1− α− α3
On cherche alors a minimiser la variance, sous cette contrainte : il suffit deparcourir R. Sur la Figure 11, a gauche sont representes les cas ou la correlationentre les titres 1 et 3 change, et a droite, le cas d’actifs equicorreles, avec une
39
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
correlation allant de −0.4 et 0.5. La courbe en trait plus epais correspondant aucas d’acifs independants (au sens L2).
40
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
−4 −2 0 2 4 6
05
10
15
20
25
Variance d’un portefeuille de trois titres
Pondération du premier titre
Va
ria
nce
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50
.00
0.0
50
.10
0.1
50
.20
Portefeuilles de trois−titres (r=0.2,0.5,−0.4)
Ecart−type
Esp
éra
nce
Fig. 10 – Variance du portefeuille pour ε = 5%, 10% et 15%, et representation dela frontiere d’efficience. 41
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience
Ecart−type
Esp
éra
nce
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.0
00
.05
0.1
00
.15
0.2
0
Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience
Ecart−type
Esp
éra
nce
Fig. 11 – Influence de la matrice de correlation entre les rentabilites.
42
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 5 10 15
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Ecart−type
Rend
emen
t moy
en
0 5 10 15
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Ecart−type
Espé
ranc
e
Fig. 12 – Representation moyenne v.s ecart-type des 150 titres.
43
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 5 #0 #5
!#.0
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0.0
0.5
#.0
#.5
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Fig. 13 – Frontiere d’efficience, portefeuilles de 5 titres.44
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
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Fig. 14 – Frontiere d’efficience, portefeuilles de 10 titres.45
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
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Fig. 15 – Frontiere d’efficience, portefeuilles de 20 titres.46
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le probleme des couts de transaction
the more assets, the less risky the portfolio (in terms of variance). But it mightbe more expensive to invest in 200 assets (sometimes more), and one might beinterest to find 10 assets such that the associated efficient frontier is close to theone with much more assets.
47
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Fig. 16 – Random subportfolios.
Considering all possible combinaisons of 5 assets among 35 is time consuming,
since(
535
)portfolio should be considered, i.e. more than 375, 000. From a
48
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
computational point of view, if the set of assets was larger, e.g. 100 or 200, therewould be not technique.
Analogousely, one might find natural to see if it could be possible to define 10clusters of assets, and then to pick up one asset in each cluster.
49
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
A02
A34
A16
A19
A18
A08
A30 A07
A14 A
01A
20A
33A
12A
27A
25A
32A
09A
15A
13A
21A
17A
11A
31 A10
A03
A05
A06 A04
A24
A22
A29
A23
A28
A26
A35
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Cluster Dendrogram (Ward) distance, 35 assets
hclust (*, "ward")
Hei
ght
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Fig. 17 – Finding clusters to define classes.
Normalized principal component analysis can be interesting. But principal axisare defined as a linear combination of all assets, so the idea will be to find for
50
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
each axis one asset with coordinate being either 1 or −1 : the projection will bestrong on this axis, and null on the others.
A01
A02
A03 A04
A05
A06
A07 A08
A09
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20 A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29 A30
A31
A32 A33
A34
A35
Fig. 18 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA
51
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Fig. 19 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA
52
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 5 10 15 20 25 30 35
05
1015
2025
3035
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Fig. 20 – Correlation between assets (the darker, the larger).
53
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le probleme de l’estimation des parametres
Rappelons que et sont ici supposes connues, mais en realite, il faut les estimer.
Plusieurs techniques ont ete proposees,• dans le cas du modele Gaussien, par des methodes de type maximum de
vraisemblance ou methode des moments• dans le cas du modele Gaussien, par des methodes bayesiennesLe plus simple est de supposer des log-rendements Xi,t Gaussiens, N (µi, σ2
i ).
54
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
−0.
015
−0.
010
−0.
005
0.00
00.
005
0.01
0
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Period Sept 2002−July 2004
Period Feb 2001−Aug 2002
Fig. 21 – Efficient frontier on two periods.
55
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.
004
−0.
002
0.00
00.
002
0.00
40.
006
Standard deviation
Exp
ecte
d va
lue
Fig. 22 – Distribution of (σi, µi).
56
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Estimation des parametres
Considerons le cas ou on dispose d’un echantillon X = (X1, ...Xn), suppose i.i.d.de loi N (µ, σ2). On cherchera a estimer le parametre (vectoriel) θ = (µ, σ2).
Un estimateur θ est une fonction des observations, i.e. θ (X) .
Pour mesurer la dispersion de θ (en temps que variable aleatoire) par rapport ala vraie valeur θ (inconnue), on se donne une distance, notee ‖·‖. On definie alors
– une fonction de perte, qui est la variable aleatoire∥∥∥θ − θ∥∥∥2
– le biais qui est la valeur∥∥∥E(θ)− θ
∥∥∥– l’inefficience qui est la valeur
√E(∥∥∥θ − E(θ)
∥∥∥2
)
Notons qu’alors
E(fonction de perte) = biais2 + inefficience2
Parmi les techniques classiques d’estimation, la plus classique est la methode du
57
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
maximum de vraisemblance. On cherche alors
θ = arg max L ou arg max logL
ou L (θ;X) =n∏i=1
fθ (Xi).
Dans le cas Gaussien rappelons que
θ =(µ, σ2
)=
1n
n∑i=1
Xi,1n
n∑i=1
(Xi −
1n
n∑i=1
Xi
)2
On peut montrer que E (µ) = µ et E(σ2)
= n−1n σ2.
On peut montrer que l’estimateur ainsi construit est asymptotiquement Gaussien,et que la matrice de variance covariance est donnee par l’information de Fisher.
58
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Une introduction a l’estimation Bayesienne
Tout d’abord, si l’on suppose que θ soit aleatoire, nous devons noter que
X|θ suit une loi normale N (µ, σ2) ou θ = (µ, σ2),
i.e. conditionnellement a θ qui est inconnu (et suppose aleaoire) les Xi suiventdes lois normales independantes.
L’idee est ici d’utiliser la formule de Bayes pour trouver la loi de θ (pris commevariable aleatoire) en fonction des Xi. En particulier
fθ|x (θ) =fθ (θ)fx (x)
fx|θ (x) ∝ fθ (θ) fx|θ (x)
ou
– fθ (θ) est appelee loi a priori du parametre θ– fx|θ (x) est la loi de l’echantillon, correspondant a la vraisemblance,
conditionnellement a θ
Parmi les choix possible pour la loi a priori, on peut utiliser deux techniques
59
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
– une loi non-informative,– une loi qui permet d’avoir des calculs simples : on utilise alors une loi dite
conjuguee si la loi des Xi est dans la famille des lois exponentielles.
En statistique classique, θ est un parametre inconnu, de l’on cherche a estimer al’aide d’un echantillon x1, · · · , xn, en supposant que les xi sont des realisationsindependants de variables Xi, dont la loi est Fθ.
Supposons que les Xi ∼ N (θ, σ2). Un estimateur naturel de θ, a partir del’echantillon est
θ = x =x1 + · · ·+ xn
n.
En statistique bayesienne, Θ est un parametre aleatoire. On se donne a prioriune loi pour Θ, et on etudie la loi a posteriori, conditionnellement aX = (X1, · · · , Xn).
Dans l’exemple precedant, on suppose - par exemple - que Θ suit a priori une loi
60
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
normale N (0, 1). On a ainsi X|Θ ∼ N (Θ, σ2I)
Θ ∼ N (α, β), loi a priori
A l’aide de la famille de Bayes, on peut en d’eduire la loi (non-conditionnelle) deX mais surtout la loi conditionnelle de Θ sachant X, appelee loi a posteriori.Ici
f(θ|X = x) =f(θ,x)f(x)
=f(θ)f(x)
f(x|Θ = θ).
Afin de pouvoir mener les calculs en entiers, on peut reecrire cette expression
f(θ|X = x) =f(θ)∫
f(x|θ)f(θ)dθf(x|Θ = θ).
En poursuivant les calculs, on peut alors obtenir simplement que
θ|X = x ∼ N(
(α
β2+∑ni=1 xiσ2
)/(1β2
+n
σ2), (
1β2
+n
σ2)−1
).
61
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 23 – Distribution a priori de Θ, i.e. N (0, 1)
62
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 24 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1
63
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 25 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2
64
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 26 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3
65
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 27 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4
66
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 28 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5
67
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 29 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10
68
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 30 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x20
69
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 31 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50
70
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 32 – Distribution a priori de Θ, i.e. N (1.5, 0.5)
71
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 33 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1
72
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 34 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2
73
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 35 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3
74
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 36 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4
75
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 37 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5
76
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 38 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10
77
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bayesienne
−1 0 1 2
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Fig. 39 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50
78
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Plus generalement, dans le cas Gaussien, on peut supposer
µ|σ2 ∼ N(µ0,
σ2
λ0
)et
1σ2∼ G
(ν0,
1σ2
0
)i.e. on parlera de modele normal-inverse Gamma. Alors la distribution aposteriori de des parametres, conditionnellement aux Xi suit une loi de la memefamille, mais avec des parametres mis a jour. En particulier
µ|σ2, X ∼ N(λ0µ0 +
∑Xi
λ0 + n,
σ2
λ0 + n
)et
1σ2|X ∼ G
ν0 + n,1
σ20 + λ0µ2
0 +∑Xi − (λ0µ0+
∑Xi)
2
λ0+n
(qui peut etre generalise dans le cadre des vecteurs Gaussiens).
Un fois determinee la loi dite a posteriori, il convient de proposer un estimateur,appelee estimateur bayesien, pour θ. Une idee naturelle est de poser
θ = E (θ|X1, ..., Xn)
79
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Estimation et portefeuilles optimaux
En pratique, l’approche de Markowitz marche mal (on parle du paradoxe deMarkowitz) : en pratique, des portefeuilles equiponderes sont meilleurs que desportefeuilles optimises.
L’optimisation basee sur les moyennes et variances estimees conduit a introduireexcessivement les outilers (qui ne sont des anormalites statistiques).
La formule synthetique est que l’optimisation au sens de Markowitz correspond aune maximisation des erreurs.
L’idee des modeles bayesiens et de l’approche de Black et Littermann est derobustifier l’estimation
80
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Approche classique et portefeuilles optimaux
Naturellement, on ecrit le programme d’optimisation sur les grandeurs estimees
arg minα∈R
α′Σα s.c. α′µ ≥ η
devientarg minα′Σα s.c. α′µ ≥ η
On obtient alors un estimateur optimal sur les estimations, note α∗. On peutlegitimement se demander si l’optimun d’une d’estimation est l’estimation d’unoptimum, i.e.
α∗?= α∗
Plus generalement, supposons que l’on s’interesse a mminimiser une fonction plusgenerale que la variance du portefeuille, i.e.
arg minR(α) ou plutot arg minR(α)
arg maxS(α) ou plutot arg maxS(α)
81
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
ou R est appelee mesure de risque, et S est une mesure de satisfaction.
Parmi les propritetes classiques de S, on peut supposer une propriteted’invariance d’echelle, S(λα) = λS(α) pour tout λ > 0 (homogene de degre 1) ouau contraire d’homogeneite S(λα) = S(α) pour tout λ > 0 (homogene de degre0).
Il y a aussi une propritete de sous-addivite (ou de sur-addivite), i.e.
S(α+ β) ≤ S(α) + S(β) ou S(α+ β) ≥ S(α) + S(β)
Un propriete un peu plus technique est une propritete de convexite (ou deconcavite), i.e.
S(λα+ (1− λ)β) ≤ λS(α) + (1− λ)S(β)
ou
S(λα+ (1− λ)β) ≥ λS(α) + (1− λ)S(β).
Parmi les fonctions classiques S,
82
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
celles qui decoulent de l’approche par esperance d’utilite, de von Neumann &Morgenstein, S(α) = E(u(α′X)), e.g. une utilite logarithmique u (x) = log(x),une fonction d’utilite puissance u(x) = x1−1/γ , une fonction exponentielleu(x) = exp (−x/α).
celles qui decoulent d’une propriete d’indifference d’utilite, i.e.S(α) = u−1(E(u(α′X))).
celles qui decoulent de l’approche duale, de Yaari, S(α) =, e.g. une fonctionquantile, ou une mesure de risque coherence, e.g. une TV aR. On peut aussiconsiderer une mesure de risque spectrale
Dans le premier cas, si on considere une utilite exponentielle avec des risquesGaussiens, on retrouve par exemple
S(α) = α′µ− α′Σα2
Dans le cas de la V aR, on peut utiliser l’approximation dite de Cornish-Fisher.
83
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Approche bayesienne et portefeuilles optimaux
Le modele le plus simple a considerer pour µ sachant Σ,
µ|Σ ∼ N(µ0,
ΣT0
)Pour la loi de Σ, il est naturel de supposer une loi de Wishart,
Σ−1 ∼ W(ν0,
Σ−10
ν0
)ou Σ0 une matrice symmetrique positive, et ν0 est une constante positive.
On en deduit alors la loi non-conditionnelle µ,
µ ∼ St(ν0, µ0,
Σ0
T0
)de telle sorte que E(µ) = µ0 et cov(µ) =
ν0
ν0 − 2ΣT0
. De plus E(Σ−1) = Σ−10 .
L’incertitude associee a la matrice de variance-covariance est plus complique a
84
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
ecrire,
cov(vec(Σ−1)) =1ν0
(In2 +Knn)(Σ−1
0 ⊗ Σ−10
)ou vec est la fonction qui met les colonnes de la matrice Σ−1 dans une matricediagonale, K estest une matrice de commutation, et ⊗ designe le produit deKronecker.
Considerons desormais la distribution a posteriori base sur T observations.Posons alors
T1 = T0 + T , µ1 =1T1
(T0µ0 + T µ)
ν1 = ν0 + T et Σ1 =1ν1
(ν0Σ0 + T Σ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1
T0
)de telle sorte que
µ|Σ ∼ N(µ1,
ΣT1
)et Σ−1 ∼ W
(ν0,
Σ−11
ν1
)
85
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
ce qui donne la loi (non-conditionnelle)
µ ∼ St(ν1, µ1,
Σ1
T1
)on en deduit alors les proprietes suivantes sur la loi a posteriori de µ
E (µ) =T0
T0 + Tµ0 +
T
T0 + Tµ
etV ar (µ) =
1T1
ν1
ν1 − 2Σ1
De meme, on peut obtenir des proprietes sur la loi a posteriori de Σ
E (Σ) =1
ν0 + T + n+ 1
(ν0Σ0 + T Σ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1
T0
)et
cov(vec(Σ)) =2ν2
1
(ν1 + n+ 1)3
(D′n(Σ−1
1 ⊗ Σ−11
)Dn
)−1
Rappelons que l’on cherche a resoudre - de maniere tres generale - un probleme
86
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
de la formeα∗ = arg maxS(α)
Par exemple
α∗ = arg maxα′µ− 1
2γα′Σα
Dans le cadre d’une approche par indifference d’utilite
S(α) = u−1(E(u(α′X))) que l’on notera Sθ(α)
ou X suit une loi de parametre θ.
Dans l’approche classique, on pose
α∗ = arg maxSθ(α).
Dans le cadre bayesien, nous avons note
µ =T0
T0 + Tµ0 +
T
T0 + Tµ
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
et
Σ =1
ν0 + T + n+ 1
(ν0Σ0 + T Σ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)′1T + 1
T0
)
88
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le modele de Black & Litterman avec R
La library(BLCOP) permet de mettre en oeuvre l’approche de Black & Litterman.
L’equation centrale du programme de Black & Litterman est la suivante
µ =[(τΣ)−1 + P ′Ω−1P
]−1 [(τΣ)−1Π + P ′Ω−1Q
]ou• Π est le vecteur de taille n des rendements (dits de long terme)• Σ est une matrice n× n de covariance des actifs, i.e. Σ,• δ est un parametre d’aversion au risque• τ mesure l’incertitude de la variance a l’equilibrecorrespondant aux information de long terme, et• P est la matrice identite n× n• Q est le vecteur de taille n donnant l’excdent de rendement sur chacun des
actifs• Ω est la matrice diagonale de la variance des perceptionsL’equation de Black & Litterman est parfois presentee commme une correction
89
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
des rendements Π,
µ = Π + τΣP ′ (PτΣP ′ + Ω)−1 [Q− PΠ]
Le facteur τ sera plus ou moins faible en fonction de la crdiliibte donnee aumarche.
90
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
La resolution d’un probleme d’allocation d’actifs necessite deux grandeurs,
– un estimateur de la moyenne des rendements µ– un estimateur de la matrice de variance-covariance des rendements Σ
Pour estimer la moyenne, on peut prendre la moyenne arithmetique desrendements historiques, ou des anticipations de rendements.
Pour estimer la variance, on utilise les donnees historiques, via une moyennearithmetique, ou un estimateur EWMA (qui correspond a un modeleGARCH(1, 1) dans le cas univarie. Ici, on suppose que
covt(Xi, Xj) = ω + αui,t−1vi,t−1 + βcovt−1(Xi, Xj)
en generalisant l’ecriture que nous avions en dimension 1, d’un GARCH(1, 1), i.e.
V art(Xi) = σ2i,t = ω + αε2
i,t−1 + βσ2i,t−1
Le portefeuille initial est un portefeuille d’equilibre predefini, de poids ω∗, etd’evoluer autour de se portefeuille avec plus ou moins d’ecart, selon le degre deconfiance dans les scenarios. On cherche a resoudre, par exemple, un programme
91
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
de la forme suivante
minω
(ω − ω∗)′Σ(ω − ω∗) s.c.
ω′µ = η
0 ≤ ωi ≤ 1∑ωi = 1
L’approche de Black & Litterman propose de definir une allocation d’actifs enreference a un portefeuille initial a partir de ”vues” sur un sous-ensemble, ou surla totalite, des actifs.
On se donne alors des vecteurs de rendements a l’equilibre Π = λΣω∗.
Pour aller au dela de ce portefeuille de base, on integre des ”vues” avec un degrede confiance sur tout ou partie des actifs. On considere alors un portefeuille quisera la moyenne entre le portefeuille d’equilibre et les vues. Ceci peut etre justifiepar un modele bayesien, on l’on cherche le vecteur des rendements esperes aposteriori, apres integration des vues. Aussi,
µ =(
(τΣ)−1 + P ′Ω−1P)−1 (
(τΣ)−1 Π + P ′Ω−1V)
92
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Idzorek (2002) propose de calibrer le modele de telle sorte que le degre deconfiance apparaisse comme une variable distribuee sur [0, 1] centre autour de1/2, et que les deviations des poids soient doublees si on passe de 1/2 a 1, ettendent vers 0 si le degre de confiance tend vers 0.
Formellement on cherche Σ telle que Σi,i =12ω
1CDi
, ou ω est la somme des
elements de P ′ΣP , et CDi est le degre de confiance dans la vue i.
Parallelement, τ est tel que τ =2k
k∑i=1
CDi.
Notons que l’on suppose ici que Ω, la matrice de variance attendue des erreurs,est une matrice diagonale. Cette hypothese est (trop) forte d’un point de vue dela finance comportementale.
Black & Litterman propose de n’integrer que des vues sur la moyenne desrendements.
Qian & Gorman ont propose un modele integrant des vues sur la moyenne et la
93
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
variance des rendements, avec µ = Π + (ΣP ′)Ω−1 (V − PΠ)
Σ = Σ + (ΣP ′)[Ω−1ΣvΩ−1 − Ω−1
](PΣ)
ou naturellement Σv designe la matrice de variance anticipee.
Considerons le portefeuille suivant
P = ω′X =12X1 +
32X2 −X3
Notre croyance a priori est que P ∼ N (0.05; 0.1). Supposons que l’on ait a notredisposition d’un autre actif X4.> Matrice=matrix(c(.5,1.5,-1,0),nrow=1,ncol=4)
> vue=BLViews(P=Matrice,q=.06,confidences = 100,
+ assetNames = colnames(Data))
Il faut ensuite donner les moyennes et variance a priori. Le plus simple est desupposer les moyennes nulles, et d’utiliser la variance historique,> library(corpcor)
94
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
> moy.prior=rep(0,4)
> var.prior=unclass(cov.shrink(Data))
Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1
Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002
L’interet de cette methode est de pouvoir en deduire unes estimation duparametre λ
On peut alors en deduire la distribution a posteriori, melant la loi a priori et lesvues.
> posteriorEst(views=vue,sigma=var.prior,alpha=moy.prior,tau=.5)
Prior means:
BKE GG GYMB KRON
0 0 0 0
Posterior means:
BKE GG GYMB KRON
0.002346602 0.022983752 -0.014915312 -0.004058411
Posterior covariance:
BKE GG GYMB KRON
BKE 0.047975085 -0.005078094 0.011005451 0.010793786
GG -0.005078094 0.038741658 0.003026534 -0.005623743
95
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
GYMB 0.011005451 0.003026534 0.044142855 0.006239874
KRON 0.010793786 -0.005623743 0.006239874 0.047781422
attr(,"lambda")
[1] 0.3001854
attr(,"lambda.estimated")
[1] TRUE
attr(,"lambda.var")
[1] 1
attr(,"lambda.var.estimated")
[1] TRUE
Pour etudier la robustesse, on peut utiliser d’autres vues, par exemple, supposerqu’un portefeuille compose de la moyenne des trois derniers titres suit une loiN (0.07; 0.15),> Matrice <- matrix(ncol = 3, nrow = 1, dimnames = list(NULL, colnames(Data)[2:4]))
> Matrice[,1:3] <- rep(1/3,3)
> Matrice
GG GYMB KRON
[1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333
> vue2=addBLViews(Matrice,.07,90,vue)
> vue2
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 100
2 : 0.333333333333333*GG+0.333333333333333*GYMB+0.333333333333333*KRON=0.07 . Confidence: 90
On peut alors lancer la phase d’optimisation de portefeuille,
> marche=as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("market")]
> taux =as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("t90")]
> posterior=BLPosterior(as.matrix(Data),vue2,tau=.5,marketIndex = as.matrix(marche))
Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1
Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002
> posterior
Prior means:
BKE GG GYMB KRON
0.01986394 0.01445708 0.01317127 0.02922796
Posterior means:
BKE GG GYMB KRON
0.02712333 0.04168138 0.02192929 0.04325334
Posterior covariance:
BKE GG GYMB KRON
BKE 0.047770391 -0.005488871 0.010311980 0.010182121
GG -0.005488871 0.037917318 0.001634891 -0.006851220
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Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.004167658
KRON 0.010182121 -0.006851220 0.004167658 0.045953656
attr(,"lambda")
[1] 0.3001854
attr(,"lambda.estimated")
[1] TRUE
attr(,"lambda.var")
[1] 1
attr(,"lambda.var.estimated")
[1] TRUE
> opt=optimalPortfolios(posterior,doPlot=TRUE)
> opt
$priorPfolioWeights
BKE GG GYMB KRON
0.1871428 0.2311983 0.0000000 0.5816589
$postPfolioWeights
BKE GG GYMB KRON
0.002424798 0.524147656 0.000000000 0.473427546
98
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
BKE GG KRON
PriorPosterior
Optimal weights
Wei
ghts
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Si l’on s’interesse a un programme d’optimisation avec contrainte, il suffit derajouter les contraintes dans l’optimisation. Par exemple, si les positions courtessont interdites
99
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
> contraintes = list()
> contraintes$bvec=1
> contraintes$meq=1
> contraintes$Amat=matrix(rep(1,5),5,1)
> contraintes
$bvec
[1] 1
$meq
[1] 1
$Amat
[,1]
[1,] 1
[2,] 1
[3,] 1
[4,] 1
> opt=optimalPortfolios(posterior,contraints=contraintes)
On peut d’ailleurs obtenir plus generalement le degre confiance de l’allocationoptimale dans un des titres. Par exemple, pour le premier actif,
100
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
> densityPlots(posterior,assetsSel="KRON")
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
GG
Den
sity
PriorPosterior
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
KROND
ensi
ty
PriorPosterior
Mais plus generallement, aussi lieu de supposer un modele Gaussien mis a jour, ilest possible de supposer des distributions jointes plus complexes. De meme pourles vues, on l’on n’est plus oblige de supposer un modele Gaussien.
101
Arthur CHARPENTIER - methodes avancees en gestion d’actifs (2008/2009)
Notons que l’on peut s’affranchir de l’hypothese de normalite : pour une loi deStudent multivariee, de matrice de dispersion Σ, a ν = 5 degres de liberte,
> md=mvdistribution("mt",mean=mu,S=sigma,df=nu)
102