J. Jayez – Les treillis 1/ 44
Cours Introduction à la logique classiqueLes Treillis
Jacques Jayez, ENS-LSH, L2C2
2008-2009, semestre 1
J. Jayez – Les treillis 2/ 44
Ordres
Ordres I
◮ Propriétés d’une relation R sur un ensemble X
◮ Réflexivité : R(x ,x) pour tout x ∈ X .
◮ Symétrie : si R(x ,y), R(y,x) pour tout x ,y ∈ X .
◮ Transitivité : si R(x ,y) et R(y, z), alors R(x , z).
◮ Antisymétrie : si R(x ,y) et R(y,x), alors x = y.
J. Jayez – Les treillis 3/ 44
Ordres
Ordres II
◮ Irréflexivité : ¬R(x ,x) pour tout x ∈ X .
◮ Connexité : R(x ,y) ou R(y,x) pour tout x ,y ∈ X .
◮ Linéarité : R(x ,y), R(y,x) ou x = y pour tout x ,y ∈ X .
◮ Sérialité : pour tout x ∈ X il existe au moins uny ∈ X tel que R(x ,y).
◮ Caractère Euclidien : si R(x ,y) et R(x , z), alorsR(y, z).
J. Jayez – Les treillis 4/ 44
Ordres
Ordres III
Définition 1
Un préordre sur X est une relation binaire réflexive et
transitive sur X
◮ Si (X ,≤) est un préordre, x ∈ X et y ∈ X sont ditscomparables si x ≤ y ou y ≤ x.
◮ Si x ≤ y et y ≤ x, on dit que x et y sont isomorphes,ce qu’on note x ∼= y.
J. Jayez – Les treillis 5/ 44
Ordres
Ordres IV
Définition 2
Un ordre partiel sur X est une relation binaire réflexive,
transitive et antisymétrique sur X .
◮ «Partiel» parce que pas nécessairement connexe (ou
linéaire).
◮ Si (X ,≤) est un ordre partiel, on note x < y le fait que
x ≤ y et x 6= y
Diagramme de Hasse
b < a, c < a
a
b c
J. Jayez – Les treillis 6/ 44
Information
Information V
◮ Exemple introductif
◮ Situation : ce cours peut a priori avoir lieu dans trois
salles, F124, F129, F130
◮ On suppose que chaque choix exclut les autres : si
F124 alors non-F129 et non-F130, etc.
◮ On peut classer les infos par degré de vague : F124
ou F129 est plus vague que F129 (qui exclut F124 et
F130, par stipulation).
◮ x est plus vague que y : x > y.
J. Jayez – Les treillis 7/ 44
Information
Information VI
F124 ∨ F129 ∨ F130
(F124 ∨ F129) & non-F130 (F124 ∨ F130) & non-F129 (F129 ∨ F130) & non-F124
F124 & non-F129 & non-F130 F129 & non-F124 & non-F130 F130 & non-F124 & non-F129
J. Jayez – Les treillis 8/ 44
Information
Information VII
◮ Deux manières de regarder ce graphe.
1. En termes de situations effectivement réalisées : les
seuls nœuds pertinents sont ceux de la base.
2. En termes d’information communiquée à un agent :
tous les nœuds sont possibles.
◮ Conséquence : à ce stade, le graphe exprime les
situations informationnelles possibles.
J. Jayez – Les treillis 9/ 44
Information
Information VIII
◮ Interprétation de «non».
◮ Si non-A figure dans une situation réelle s, A ne peut
pas y figurer.
◮ Ce n’est pas vrai pour une situation informationnelle
(un état d’information) : un agent peut être placé en
face de deux informations contradictoires.
◮ L’agent sait qu’aucune situation réelle ne correspond
à la description contradictoire.
◮ Mais il ne sait pas quelle est la situation réelle.
J. Jayez – Les treillis 10/ 44
Information
Information IX
◮ Une description (une formule logique dans notre cas)peut donc dénoter deux objets différents.
1. Une situation ou un ensemble de situations réelles2. Un état d’information
Ex. La description (F124 & F129 & non-F130) ne correspond àaucune situation réelle = elle correspond à l’ensemble vide
◮ Elle correspond aussi à un état d’information contradictoire,mais qui peut exister.
Ex. La description (F124 ∨ F129 & non-F130) correspond à unensemble de deux situations réelles : {(F124 & non-F129& non-F130),(non-F124 & F-129 & non-F130)}.
◮ Elle correspond aussi à un état d’information non contradictoire.
J. Jayez – Les treillis 11/ 44
Information
Information X
◮ Comment discrimine-t-on deux descriptions ?
◮ Réponse informationnelle : lorsqu’elles décrivent des
états d’information différents.
☞ Cela vaut même pour des descriptions contradictoires
(qui correspondent à deux ou plusieurs situations
réelles incompatibles).
◮ Réponse de la logique classique :
Définition 3
Deux descriptions sont distinctes seulement si elles
décrivent des (ensembles de) situations réelles
différentes.
J. Jayez – Les treillis 12/ 44
Information
Information XI
◮ Corollaire 1 En logique classique, deux descriptions
contradictoires sont identiques.
◮ Pourquoi ? Parce qu’elles dénotent l’ensemble vide de
situations.
◮ Corollaire 2 Deux descriptions sont différentes
seulement s’il existe au moins une situation (réelle)
qui correspond à l’une mais pas à l’autre. Dans tout
autre cas, elles sont identiques.
J. Jayez – Les treillis 13/ 44
Information
Information XIIF124 ∨ F129 ∨ F130
(F124 ∨ F129) & non-F130 (F124 ∨ F130) & non-F129 (F129 ∨ F130) & non-F124
F124 & non-F129 & non-F130 F129 & non-F124 & non-F130 F130 & non-F124 & non-F129
a•
◮ a représente n’importe quelle description contradic-
toire, par ex. F124 & non-F124 & . . ..
J. Jayez – Les treillis 14/ 44
Information
Information XIII
◮ La relation d’ordre (≤) correspond à ⊆ sur l’ensemblede situations réelles : D1 ≤ D2 = l’ens. des sit. quivérifient D1 ⊆ l’ens. des sit. qui vérifient D2.
◮ le signe ⇒ (dénommé «implication») correspond à ≤,et donc à ⊆.
◮ Une description contradictoire implique n’importe
quelle autre description (ex falso sequitur quodlibet).
◮ Conséquence pour ∅ : une proposition de forme «six ∈ ∅, P(x)» est toujours vraie, car x ∈ ∅ est unedescription contradictoire.
J. Jayez – Les treillis 15/ 44
Information
Information XIV
◮ Pour construire la logique classique, on procède en
trois étapes.
1. On introduit les propriétés fondamentales de & et
∨ , sous forme d’opérations ∧ et ∨ sur des structuresinformationnelles appelées treillis.
2. On introduit la notion de distributivité (treillis
distributifs)
3. On introduit un opérateur - (la négation), de manière
à rendre le treillis «réaliste», au sens de la logique
classique (= sensible aux situations réelles possibles).
Ce sont les treillis booléens (George Boole 1850).
J. Jayez – Les treillis 16/ 44
Treillis
Treillis I
Définition 4
Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X . x est une bornesupérieure (resp. inférieure) de A =déf x ≥ y (resp. ≤ y)pour tout y ∈ A. x est un plus grand (resp. plus petit)élément de A =déf x est une borne supérieure (resp.
inférieure) de A qui appartient à A.
J. Jayez – Les treillis 17/ 44
Treillis
Treillis II
Définition 5
Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X ,∨A désigne un plus
petit élément dans l’ensemble des bornes supérieures de
A
◮ Observation∨A n’existe pas nécessairement. Ex.
sur {a,b, c}.
NON
A B
a b c
OUI
A B
a b c
J. Jayez – Les treillis 18/ 44
Treillis
Treillis III
◮ Observation Tous les éléments de type∨A sont
isomorphes. En effet, soit A′ l’ensemble des b.s. de A.
Si x ,y ∈ A′ sont des plus petits éléments de A′, x ≤ yet y ≤ x.
Définition 6
Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X ,∧A désigne un plus
grand élément dans l’ensemble des bornes inférieures de
A
◮ Les remarques faites pour∨A s’appliquent à
∧A.
J. Jayez – Les treillis 19/ 44
Treillis
Treillis IV
◮ Observation Si∨∅ existe,
∨∅ ≤ x pour tout x ∈ X .
Soit x ∈ X ; alors x est une b.s. de ∅, car x vérifie la propriété que, si
y ∈ ∅, x ≥ y (voir ici). DoncW
∅ ≤ x.
◮ Une définition symétrique existe pour∧
∅ et∧
∅ ≥ xpour tout x ∈ X .
◮
∨∅ et
∧∅ sont notés ⊥ (base) et ⊤ (sommet) du
préordre.
J. Jayez – Les treillis 20/ 44
Treillis
Treillis V
◮ Observation Dans un ordre partiel∨A (ou
∧A) est
unique s’il existe (⇐ antisymétrie).
◮ On écrit a ∨ b et a ∧ b pour∨{a,b} et
∧{a,b}.
◮ Observation Pour tout x ∈ X , a ∨ b ≤ x ssi a ≤ x etb ≤ x.(⇒) Si a ∨ b ≤ x, vu que, par déf. a ≤ a ∨ b et b ≤ a ∨ b, a ≤ x et b ≤ x.
(⇐) Si x ≥ a, b, x est une b.s. de {a, b}. Comme a ∨ b est un plus petit
élement de l’ensemble des b.s. de {a, b}, a ∨ b ≤ x.
◮ Observation Pour tout x ∈ X , a ∧ b ≥ x ssi a ≥ x oub ≥ x.
J. Jayez – Les treillis 21/ 44
Treillis
Treillis VI
◮ Convention Dans ce qui suit, on appellera∨A
l’union de A et∧A la conjonction de A.
◮ On dit que l’union (la conjonction) de A sont finies
lorsque A est fini.
Définition 7
Un treillis est un ordre partiel où toutes les unions et
conjonctions finies existent. Un treillis complet est un
treillis où toutes les unions et conjonctions existent.
J. Jayez – Les treillis 22/ 44
Treillis
Treillis VII
◮ Convention Dans la représentation par diagramme
de Hasse, les ∨ sont en haut et les ∧ en bas despoints concernés.
◮ Exemple de treillis uu u uu u uu
J. Jayez – Les treillis 23/ 44
Treillis
Treillis VIII
◮ Un exemple important de treillis est l’ensemble des
parties d’un ensemble X , ℘(X).
◮ On prend (X ,⊆) comme ordre partiel.
{a, b, c}
{a, b} {a, c} {b, c}
{a} {b} {c}
∅
J. Jayez – Les treillis 24/ 44
Treillis
Treillis IX◮ Dans la déf. ci-dessous, R ↾ X signifie la restriction de la relationR aux éléments de X .
Définition 7
Soit (X ,≤) un treillis. (A ⊆ X ,≤↾ A) est un sous-treillis =déf pour toutensemble fini B ⊆ A,
W
A B =W
X B etV
A B =V
X B.
◮ Cette définition n’impose pas simplement que A soit un treillis.
◮ Dans l’exemple ci-dessous, les points noirs forment un treillis mais
pas un sous-treillis (A ∧ B = C dans le sous-ensemble, mais pas dans
l’ensemble de départ).uu E uu E Euu
A E Bu E EC
J. Jayez – Les treillis 25/ 44
Treillis
Treillis X
◮ Quelques propriétés des treillis (x, y et z sont des
éléments quelconques d’un treillis).
1. x ∧ x = x = x ∨ x (idempotence)
2. x ∧ y = y ∧ x et x ∨ y = y ∨ x (commutativité)
3. (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) et (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (associativité)3.1 (a) (x ∧ y) ∧ z ≤ z et (b) (x ∧ y) ∧ z ≤ x ∧ y.3.2 Par (3.1b), (a) (x ∧ y) ∧ z ≤ x et (b) (x ∧ y) ∧ z ≤ y, car x ∧ y ≤ x.3.3 Par (3.1a) et (3.2b), (x ∧ y)∧ z ≤ y ∧ z car pour tout u tel que u ≤ y etu ≤ z, u ≤ y ∧ z.Par (3.2a) et (3.3), (x ∧y)∧ z ≤ x ∧ (y∧ z) (pour la même raison que (3.3)).3.5 On montre de même que x ∧ (y ∧ z) ≤ (x ∧ y) ∧ z.
3.6 Par antisymétrie, (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z).
J. Jayez – Les treillis 26/ 44
Treillis
Treillis XI
4. x ∧ (x ∨ y) = x ∨ (x ∧ y) = x (absorption).
5. x ≤ y ssi x ∧ y = x ou x ∨ y = y.
6. Si y ≤ z, alors x ∧ y ≤ x ∧ z et x ∨ y ≤ x ∨ z (monotonie).Soit u = x ∧ y et v = x ∧ z. Puisque u ≤ y et que y ≤ z par hypothèse,
u ≤ z. Donc, puisque u ≤ x et u ≤ z, u est une borne inf. de {x , z}. Par
définition, on a u ≤ v. La démonstration pour le cas ∨ est symétrique.
7. ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)) ≤ x ∧ (y ∨ z), et x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).Par monotonie, on a x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z) ainsi que x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z).
Donc x ∧ (y ∨ z) est une borne sup. de {x ∧ y, x ∧ z}. Par définition
x ∧ (y ∨ z) ≥ ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)). La démonstration de l’autre cas est
symétrique.
8. Si x ≤ z, alors x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z.Par monotonie, x ∨(y∧z) ≤ x ∨y. On remarque que (y∧z)∨x ≤ (y∧z)∨z
(puisque x ≤ z par hypothèse). Or z ∨ (y ∧ z) = z (absorption), donc
x ∨ (y ∧ z) ≤ z. On n’a plus qu’à appliquer la déf. de ∧.
J. Jayez – Les treillis 27/ 44
Treillis
Treillis XII
Définition 8
Un treillis est modulaire =déf si x ≤ z alorsx ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z
◮ On a vu que si x ≤ z, alors x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z(propriété 8). Pour qu’un treillis soit modulaire, il
suffit donc de montrer que, si x ≤ z, x ∨ (y ∧ z) ≥(x ∨ y) ∧ z.
J. Jayez – Les treillis 28/ 44
Treillis
Treillis XIII
Définition 9
Un treillis est distributif =déf x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)
◮ On a vu que x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (propriété7). Pour qu’un treillis soit distributif, il suffit donc de
montrer que, x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).
◮ Observation Pour tout treillis, les deux propriétés
x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) et x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z)sont équivalentes.Supposons que x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) ; On montre que (x∨y)∧(x∨z) =x ∨ (y∧z). Par hypothèse, on a (x ∨y)∧ (x ∨z) = ((x ∨y)∧x)∨ ((x ∨y)∧z)= x ∨ ((x ∨ y) ∧ z) (propr. 4) = x ∨ ((x ∧ z)∨ (y ∧ z)) (par hyp.) = x ∨ (y ∧ z)(par associativité et propr. 4).
J. Jayez – Les treillis 29/ 44
Treillis booléens
Treillis booléens I
◮ Cette section est très importante : on y introduit les
treillis booléens qui forment la base algébrique de la
logique classique.
◮ En gros, un treillis booléen est un treillis distributif
qui est doté d’une opération de complémentation.
Définition 10
Soit (X ,≤) un treillis et x ∈ X . Un complément de x estun élément y ∈ X tel que x ∧ y = ⊥ et x ∨ y = ⊤.
J. Jayez – Les treillis 30/ 44
Treillis booléens
Treillis booléens II
◮ Observation Si (X ,≤) est distributif, il y a au plus unélément y ∈ X tel que x ∨ y = z et x ∧ y = w.Supposons que x ∧ y = z et x ∨ y = w et que x ∧ y′ = z et x ∨ y′ =
w, avec y 6= y′. On a y = y ∧ (y ∨ x) = y ∧ w = y ∧ (y′ ∨ x) =
(y ∧ y′) ∨ (y ∧ x) = (y ∧ y′) ∨ z. Mais z ≤ y et z ≤ y′, donc z ≤ (y ∧ y′)
et (y ∧ y′) ∨ z = y ∧ y′ (propriété 5). Finalement, y = y ∧ y′. On peut
montrer de façon analogue que y′ = y ∧ y′, donc y = y′.
Définition 11
Un treillis booléen est un treillis distributif où chaque
élément x ∈ X a un complément, noté −x.
◮ Remarque : de par l’observation précédente, le
complément d’un élément est unique.
J. Jayez – Les treillis 31/ 44
Treillis booléens
Treillis booléens III
◮ Quelques propriétés des treillis booléens :
1. −− x = x.On a x ∧ − x = ⊥ = − − x ∧ − x. Donc x et − − x sont deux
compléments de −x. Mais, par définition, un élément a un seul
complément, donc x = −− x.
2. −(x ∧ y) = −x ∨ − y.On a −(x ∧ y) ∧ (x ∧ y) = ⊥. Par ailleurs, on a (x ∧ y) ∧ (−x ∨ −y) = (x ∧ y ∧ − x) ∨ (x ∧ y ∧ − y) = (⊥ ∧ y) ∨ (x ∧ ⊥) = ⊥ ∨ ⊥ =⊥. D’autre part, on a (x ∧ y) ∨ (−x ∨ − y) = (x ∨ − y ∨ −x) ∧ (−x ∨ y ∨ − y) = (⊤ ∨ − y) ∧ (⊤ ∨ − x) = ⊤ ∧ ⊤ = ⊤.
Donc, par unicité du complémentaire, −(x ∧ y) = −x ∨ − y.
3. −(x ∨ y) = −x ∧ − y (preuve analogue).
J. Jayez – Les treillis 32/ 44
Logique classique
Logique classique I
◮ On a vu que les points d’un treillis pouvaient être
considérés comme des descriptions.
◮ Dans un treillis booléen toutes les descriptions
contradictoires coïncident avec la base (⊥) du treillis.
◮ a ∧ − a ∧ . . . = ⊥.
◮ Plus généralement, on peut associer à un ensemble
«complet» de descriptions possibles un treillis boo-
léen.
◮ On obtient alors la logique propositionnelle classique.
Comment ?
J. Jayez – Les treillis 33/ 44
Logique classique
Logique classique II
◮ On considère un ensemble d’expressions atomiques
(propositions atomiques), qui sont les composantes
ultimes des descriptions.
◮ Chaque description (on dit «proposition») a une
syntaxe décrite en (12).
Définition 12
Soit un ensemble P de propositions atomiques. Une expression A estune proposition =déf :1. A est un élément de P, ou2. A est de forme B & C, où B et C sont des propositions, ou3. A est de forme B ∨ C, où B et C sont des propositions, ou4. A est de forme ¬B, où B est une proposition.
J. Jayez – Les treillis 34/ 44
Logique classique
Logique classique III
◮ On a vu que la logique classique traitait les des-
criptions (= propositions) comme portant sur les
ensembles de situations réelles (6= états d’informa-tion).
◮ Imaginons que p et p′ soient deux propositions
atomiques indépendantes (la vérité de l’une ne peut
affecter la vérité de l’autre).
◮ A priori, il y a quatre possibilités p peut correspondre
à la situation réelle ou pas, de même pour p′.
◮ Cela donne une table, où ou est interprété comme la
disjonction non exclusive.
J. Jayez – Les treillis 35/ 44
Logique classique
Logique classique IV
◮ En logique on sert plutôt de 1 ou V(rai) (= réel) et 0
ou F(aux) (= pas réel).
p p′ p ou p′
réel réel réel
réel pas réel réel
pas réel réel réel
pas réel pas réel pas réel
p p′ p ou p′
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
J. Jayez – Les treillis 36/ 44
Logique classique
Logique classique V
◮ On peut regarder ces exemples sous l’angle informa-
tionnel.
◮ Chaque ligne décrit un ensemble de situations. Il y a
priori 4 situations possibles (p et p′, p mais pas p′, p′
mais pas p, ni p ni p′).
◮ p ou p′ décrit l’ensemble des situations où on a p
et/ou p′.
◮ Si on note SH l’ensemble des situations où H est
vraie, on a :
J. Jayez – Les treillis 37/ 44
Logique classique
Logique classique VI
Sp ⊆ Sp ∨ p′ p ≤ p ∨ p′
Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p′ ≤ p ∨ p′
Sp ∪ Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p ∨ p′ ≤ p ∨ p′
Sp ∩ Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p ∧ p′ ≤ p ∨ p′
S6p 6⊆ Sp ∨ p′ −p 6≤ p ∨ p′
S6p′ 6⊆ Sp ∨ p′ −p′ 6≤ p ∨ p′
S6p ∩ S6p′ 6⊆ Sp ∨ p′ −p ∧ − p′ 6≤ p ∨ p′
◮ Question : Est-ce que cet alignement des treillis (≤)et de la logique à deux valeurs (réel/pas réel) fondée
sur les descriptions de situation(s) est un hasard?
◮ Non : l’alignement est systématique.
J. Jayez – Les treillis 38/ 44
Logique classique
Logique classique VII
◮ On considère un ensemble P de propositions ato-miques mutuellement indépendantes.
◮ Chaque situation possible sur P est un choix despropositions de P qui sont réelles (vraies) et de cellesqui sont non réelles (fausses).
◮ Une situation sur P est une fonction P → {1,0}(interprétation, valuation, assignation, selon les terminologies).
◮ L’ensemble des situations possibles est IP = {I : I :P → {1,0}}.
J. Jayez – Les treillis 39/ 44
Logique classique
Logique classique VIII
◮ On peut considérer l’ensemble des assignations
partielles I℘(P) = {I : I : P ′ ⊆ P → {1,0}}.
◮ Chaque assignation partielle est compatible avec un
ensemble d’assignations totales.
◮ Par ex., si P = {p1,p2,p3} p1 = 1,p2 = 0 estcompatible avec les deux assignations p1 = 1,p2 =0,p3 = 1 et p1 = 1,p2 = 0,p3 = 0.
◮ A présent on va fabriquer un ordre dont le domaine
est I℘(P) et dont la relation d’ordre ≤ est ⊆.
◮ Si on interprète ∧ comme l’intersection, ∨ commel’union, − comme la complémentation sur I℘(P), ⊤
comme I℘(P) et ⊥ comme ∅, le résultat est un treillisbooléen.
J. Jayez – Les treillis 40/ 44
Logique classique
Logique classique IX
◮ Exemple pour P = {p, q, r}Les expressions en rouge décrivent toutes les situationspossibles.
◮ On voit que les points du treillis, pris niveau par niveau,correspondent à des situations de plus en plus nombreuses du
bas vers le haut (0, 1, 2, 4, 8).
◮ Les conjonctions (∧) correspondent à la réalisation simultanée dedeux ou plusieurs propositions (dans la/les même(s) situation(s)).
◮ Les disjonctions (∨) correspondent à l’union de situations quiréalisent les termes.
Ex. : p ∨ q correspond à l’union des ensembles de situations quiréalisent p (mais pas q), q (mais pas p) ou p et q.
J. Jayez – Les treillis 41/ 44
Logique classique
Logique classique X⊤
p∨q∨r p∨6 q∨r 6p∨q∨r 6p∨6q∨r p∨q∨6 r p∨6 q∨6 r 6p∨q∨6 r 6p∨6q∨6 r
p∨q p∨6 q 6p∨q 6p∨6q p∨r 6p∨r p∨6 r 6p∨6 r q∨r 6 q∨r q∨6 r 6 q∨6 r
p 6p q 6 q r 6 r
p∧q p∧6 q 6p∧q 6p∧6q p∧r 6p∧r p∧6 r 6p∧6 r q∧r 6 q∧r q∧6 r 6 q∧6 r
p∧q∧r p∧6 q∧r 6p∧q∧r 6p∧6q∧r p∧q∧6 r p∧6 q∧6 r 6p∧q∧6 r 6p∧6q∧6 r
⊥
J. Jayez – Les treillis 42/ 44
Logique classique
Logique classique XI
◮ On a les correspondances suivantes : & = ∧, ∨ = ∨,¬ = −.
Sp & q = Sp ∩ Sq p ∧ q = p ∧ q
p q p & q1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Sp∨q = Sp ∪ Sqp ∨ q = (p ∧ −q) ∨(−p ∧ q) ∨ (p ∧ q)
p q p & q1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
S¬p = S − Sp −p = −pp ¬p1 0
0 1
J. Jayez – Les treillis 43/ 44
Logique classique
Logique classique XII
◮ Le cas de l’implication. Il y a en fait deux interpréta-
tions.
◮ ⇒ = ≤. Cela correspond à un opérateur de nécessité :A ⇒ B nécessairement (= dans tout treillis booléen)en vertu de la forme de A et de B.
◮ Par ex., A⇒ A ∨ B car A ≤ A ∨ B.