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TERMINALE SCours de Mathmatiques
Math-Performance 2006-2007
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TABLE DES MATIERES
Chapitre 1 Limites de suite et de fonction page 4
Chapitre 2 Continuit et tableau de variation page 10
Chapitre 3 Drivation page 12
Chapitre 4 Introduction de la fonction exponentielle page 15
Chapitre 5 Fonctions logarithmes et exponentielles page 18
Chapitre 6 Suite numrique page 21
Chapitre 7 Intgration page 27
Chapitre 8 Intgration et drive page 29
Chapitre 9 Equation diffrentielle page 32
Chapitre 10 Nombres complexes page 33
Chapitre 11 Produit scalaire dans lespace page 39
Chapitre 12 Droites et plans de lespace page 42
Chapitre 13 Conditionnement et indpendance page 46
Chapitre 14 Loi de probabilit page 49
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Chapitre 1
Limites de suite et de fonction
1. Limite dune suiteDfinition
Soit Un une suite de nombres rels.
On dit que
Un admet une limite finie L et on note limn
un L , si tout intervalle ouvert
contenant L contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.
On dit que Un admet une limite gale et on note lim
n un , si pour tout rel
A, lintervalle
A,
contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.
On dit que
Un admet une limite gale et on note limn
un , si pour tout rel
B, lintervalle ,B contient tous les termes de la suite partir dun certain rang.
Exemples
La suite de terme gnral un
1
n2converge vers 0.
En effet tout intervalle qui contient zro, contient aussi lintervalle
a,a
avec a
0 et un a,a 1
n2
a
n
1
adonc tous les termes de la suite un sont contenus dans lintervalle a,a partir du rang n0 vrifiant
n0
1
a. Ainsi la suite
un converge vers 0.
La suite de terme gnral un
n admet une limite gale
En effet
n
A est quivalent n
A2. Lintervalle
A;
contient toutes les valeurs
n partir du rang n0vrifiant n0 A
2 donc limn
n
Proprit
Une suite croissante non majore tend vers linfini.
DmonstrationSoit
un une suite croissante non majore et A un nombre positif. un nest pas majore alors, il existe p tel queup A or un est croissante donc pour tout n p un up A. Tous les termes de la suite appartiennent
lintervalle A, partir du rang p. Ainsi limn
un
Exemple
La suite
n2
est croissante et nest pas majore, on en dduit alors limn
un
Thorme des gendarmes
Soient
un
,
vn
et
wn
trois suites vrifiant partir dun certain rang
un vn wn
limn
un L et l imn
wn Lalors lim
n vn L
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Exemple
Soit un sin n
n, (avec n
0), on a 1 sin n 1 alors 1
n
sin n
n
1
n
limn
1
n 0 et lim
n
1
n 0 alors lim
n
sin n
n 0
2. Limite dune fonction
DfinitionSoit f une fonction dfinie sur Df
On dit que la fonction f admet une limite L appartenant en a et on note lim
x af x L
si pour tout intervalle ouvert
contenant L, f x appartient pour x appartenant Dfsuffisament proche de a.
Il est quivalent dcrire: Pour tout intervalle ouvert
contenant L, il existe un intervalle I
contenant a tel que pour tout x appartenant I, f
x
.
On dit que la fonction f pour limite L appartenant en et on note limx
f x L
si tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f x pour x assez grand.
Il est quivalent dcrire: Pour tout intervalle ouvert
contenant L; il existe A appartenant Df tel que pour tout x appartenant A. f x appartient
On dit que la fonction f a pour limite en et on note lim
x f x
si pour tout rel A lintervalle
A,
contient toutes les valeurs de f
x
pour x assezgrand.
On dit que la fonction f a pour limite en et on note lim
x f x
si pour tout rel B lintervalle
,B contient toutes les valeurs de f
x
pour x assez grand.
Exemple
Montrer que lim
x 12x 3 5
f
x
5
2x
3
5
2x
2
2x
1
,
Soit 0 on a f x 5 ds que 2 x 1 , soit x 1
2En posant
2alors, pour tout 0 il existe 0 tel que x 1 implique f x 5
lim
x
x2 , en effet pour tout M 0, f x M si x2 M, si x
M donc pour tout intervalle
I
M;
si x
M alors f
x
I.
Thorme des gendarmes
Soient f, g et h trois fonctions vrifiant
g
x
f
x
h
x
limx a
h x b limx a
g x balors lim
x af x b
Exemple
Dterminer la limite de
sin x
x2en
Pour tout x 0 1 sin x 1 et donc
1
x2
sin
x
x2
1
x2
Or limx
1
x2
0 et limx
1
x2
0. Daprs le thorme des gendarmes limx
sin x
x2
0.
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Exemples
Dterminer lim
x
1
x 4
limx
1
x
4
4
limX
4
X 2
limx
1
x
4
2
Dterminer lim
x
x2 3x 2
limx
x2 3x 2
limX
X
limx
x2
3x
2
Dterminer lim
x 1
1
x
1
Etudions le signe de x 1:
x
1
x 1 0
limx
1x
1
x
1 0 et x
1 0
limX 0X
0
1
X
limx
1
x
1
1
x
1
limx
1x
1
x
1
0 et x
1
0
limX
0X
0
1
X
limx
1x
1
1
x 1
Dterminer lim
x 2
x
5
x2
5x 6. On transforme
x
5
x2
5x 6sous la forme
x 5
1
x2
5x 6
Etudions le signe de
x2
5x
6:x 2 3
x2 5x
6
limx
2x 2
x2
5x 6 0, x2 5x 6 0
limX
0X 0
1X
limx 2x
2
1
x2 5x 6
limx 2x
2
x
5
3
limx
2x 2
x
5
x2 5x
6
limx
2x
2
x2
5x
6
0,
x2
5x
6
0
limX
0X
0
1
X
limx 2x
2
1
x2
5x 6
limx
2x
2
x 5 3
limx
2x
2
x 5
x2
5x
6
6. Comparaison au voisinage de
ThormeSoient f et g deux fonctions.Si: pour tout x dun intervalle b, , f x g x
lim
x
g x alors lim
x f
x
Exemple
x
0
1
x2
x or limx
x
alors limx
1
x2
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7. Asymptote
Thorme
La droite dquation y b est asymptote horizontale en (respectivement en )
si l imx f
x
b (respectivement si limx f
x
b )
La droite dquation x a est asymptote verticale si limx a
f x
ou si limx a
f x
La droite dquation y ax b avec a 0 est asymptote oblique en (respective-
ment en
) si limx
f x ax b
0 (respectivement limx
f x ax b
0)
Exemple
La fonction dquation y
f
x
x 1
1
xadmet une asymptote oblique dquation y
x 1. En effet f x
x
1
x
1
1
x
x
1
1
xor lim
x
1
x
0 et donc limx
f
x
x
1
0 ainsi y
x
1 est
asymptote oblique la courbe.
8. Compose dune suite et dune fonction
ThormeSoit la fonction f et la suite un . Si lim
n un a et lim
x af x b alors lim
n f un b
Exemple
Soit un
1 1n2
limn
1n2
0 et limx
0
1 x 1 alors limn
1 1n2
1
9. Limite dune fonction comportant des "racines"
MthodeRechercher la limite dune fonction comportant des "racines" est souvent dlicat. Une forme in-dtermine peut apparatre. ll convient alors de transformer la fonction de manire lever lind-termination.
La transformation la plus courante consiste multiplier par la quantit conjugue:
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bIl suffit alors dexploiter cette expression pour lever lindtermination.Une autre transformation consiste factoriser sous la racine:
ab
c
ad
e
a
b
c
a
a
d
e
a
a
b
c
a
d
e
a
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Chapitre 2
Continuit et tableau de variation
1. ContinuitDfinition
Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I et a un lment de I
f est continue en un point a si limx a
f x f a
ThormeToute fonction construite par composition ou opration partir de fonctions polynmes ou trigo-nomtriques est continue.
Remarque
Soit f la courbe reprsentative de la fonction f sur un intervalle I alors f est continue sur I signifie que lon peut
tracer f sur I sans lever le crayon
Exemples
f
x
x2 est continue sur
La fonction f dfinie par f
x
E
x
oE
x
dsigne la partie entire de x nest pascontinue.
0
y
x
2. Thorme des valeurs intermdiaires
ThormeSoit f une fonction dfinie et continue sur un intervalle I. Soient a et b deux nombres rels appar-tenant I. Pour tout rel kcompris entre f
a
et f
b
, il existe au moins un rel c compris entre aet b tel que f
c
k
Corollaire
Si f est une fonction continue strictement monotone sur
a,b
alors pour tout rel k compris entre f a et f b , lquationf x k a une solution unique dans
a; b
0
y
x
f
a
a
k
c
f b
bDmonstrationSoit f strictement monotone (On peut supposer par exemple que f est strictement croissante ce qui signifie que pourtout x et x appartenant
a,b
x
x implique f
x
f
x
.) Soit k appartenant
f
a ,f b
alors daprs lethorme des valeurs intermdiaire il existe c appartenant
a,b
tel que f
c
k. Supposons quil existe un autrec
c vrifiant f
c
k alors lhypothse de stricte monotonie est contredite. Lquation f
x
k admet donc une
unique solution dans a; b
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CorollaireSi f est une fonction continue strictement monotone sur
a; b
(b
ou
) alors pour toutrel kcompris entre f
a
et limx b
f
x
, lquation f
x
ka une solution unique dans
a; b
.
On pourra chercher la solution de lquation f x kpar dichotomie ou balayage avec la calcu-latrice.
Exemples
Soit f
x
x3
2x
1.Montrer que f
x
0 admet une seule solution, encadrer 10 2 prs. en dduire le signe de f .
f
x 3x2 2.
f est donc strictement croissante sur
.De plus lim
x
f
x
et limx
f
x
.
On dresse le tableau de variation ci contre:
x
f
x
f
x
0
f est continue strictement croissante sur
, limage de
par f est
or 0 nous pouvons donc conclure quef
x
0 admet une unique solution dans
note.Pour encadrer 10 2 prs, nous utilisons un tableau de valeurs, obtenue au moyen dune calculatrice.f
1 2 et f 0 1 alors
1; 0
f 0,5 0,125 et f 0,4 0,136 alors
0,5; 0,4
f
0,46
0,017336 et f
0,45
0,08875 alors
0,46;
0,45
f est continue strictement croissante sur
et f 0 ainsi pour tout x
;
f
x 0 et pour tout
x
;
f
x
0
f est la fonction continue dfinie sur
5; 5
dont letableau de variation est reprsent ci contre:Dterminer le nombre de solution de f
x 0.
x
5
3 1 5
f
x
5
10
2
8
Daprs le tableau de variation de f , f est continue strictement croissante sur 5; 3 or 0
5;10
.Lquation f
x
0 admet une unique solution dans
5;
3
f est dcroissante sur
3; 1
et f
1
2 donc pour tout x
3; 1
f
x
2. Lquation f
x
0 na pas de
solution dans 3; 1 f est croissante sur
1; 5
et f 1 2 donc pour tout x
1; 5
f
x 2.
Lquation f
x
0 na pas de solution dans
1; 5
Lquation f
x
0 admet donc une unique solution.
Considrons la fonction f dfinie pour tout x
2; 1
2
par f
x
x2
x
2
Montrer que lquation f
x
1 admet une unique solution.
f est drivable sur
2; 1
2
et f
x
2x
1
2
x2
x 2
Or pour tout x
2; 1
2
f
x 0
f est continue et strictement croissante sur
2; 1
2
et limage de x
2; 1
2
est f
x
0;
5
2
or
5
2
1,12 ainsi 1
0;
5
2
Lquation f
x 1 admet alors une unique solution.
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Chapitre 3
Drivation
1. Rappels de premireDfinitions
Soit y f x une fonction de courbe reprsentative .
f est drivable en x0 si limx x0
f x f x0
x
x0est un nombre A appartenant .
Ce nombre est appel nombre driv not A
f
x0 dy
dx.
f est drivable sur I si pour tout x appartenant I, f est drivable en x.Le nombre driv f x0 est gal au coefficient directeur de la droite tangente la courbe aupoint dabscisse x0.Une quation de la droite tangente la courbe au point M0 dabscisse x0 est:
y f x0 x x0 f x0
Proprit 1
La dfinition de la drive peut se traduire de la faon suivante :Si f est drivable en a alors f x f a x a f a x a x avec lim
x a
x 0.
Cela signifie que lorsque x est proche de a alors une approximation de f
x
est f
a
x
a
f
a
On parlera alors dapproximation affine de f.
x a x reprsente lerreur commise lorsque lon remplace f x par f a x a f a
Proprit 2
Soit f une fonction drivable sur un intervalle
alors
Si f
x
0 pour tout x appartenant
alors f est constante sur
.
Si f x 0 (resp f x 0) pour tout x appartenant alors f est croissante sur . (respf est strictement croissante sur .)
Si f
x
0 (resp f
x
0) pour tout x appartenant
alors f est dcroissante sur
. (respf est strictement dcroissante sur
.)
Soit f une fonction drivable sur un intervalle ouvert .
Si f admet un extremum local en x0 alors f
x0 0.
Soit f une fonction drivable sur un intervalle ouvert et x0 un rel de .
Si la fonction drive sannule en x0 en changeant de signe alors f admet un extremum localen x0.
Proprit 3
Soient u et v deux fonctions drivables sur un mme intervalle et kun nombre rel alors :
u
v est drivable sur
et
u
v
x
u
x
v
x
u v est drivable sur et u v x u x v x u x v x
k
u est drivable sur
et
k
u
x
k
u
x
Si v ne sannule pas sur
alors
u
vest drivable sur
et
u
v
x
u x v x u x v x
v2
x
Soit f
x
ax
b une fonction affine telle que f
appartienne lensemble de dfinitionde u alors u ax b a.u ax b
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Chapitre 4
Introduction de la fonction exponentielle
1. Mthode dEuler
MthodeLa dsintgration nuclaire du radium est une notion traite en physique en classe de terminale S.Si N t dsigne le nombre datome de radium prsent linstant t, nous savons que N t aN t avec aune constante positive. (se reporter au cours de physique.)Connaissant N
0
N0, on souhaite tracer la courbe reprsentative de N, de manire pouvoir visualiserla dsintgration du radium en fonction du temps.Ce problme revient dterminer la courbe reprsentative de Nvrifiant N aN et N 0 N0La mthode dEuler permet dobtenir une construction approche de la courbe reprsentative de N.Lobjet de ce paragraphe est la rsolution dun problme plus simple: Faire une construction approche dela courbe dune fonction f vrifiant f f et f 0 1.
La mthode que nous allons utiliser est la mthode dEuler dcrite dans les lignes suivantes:Lintervalle sur lequel nous tudions la courbe est
0; 1
Considrons lintervalle 0; 1 que nous dcoupons de la faon suivante:x0 0; x1 0 h; x2 x1 h;......; xk
1 xk h; ........ xn 1. On prendra h 0,2 et ensuite h 0,1.f est drivable alors lapproximation affine de f
a
h
est f
a
h f
a
avec h proche de 0On peut crire f
a
h
f
a
h f
a
Ainsi dans notre cas, si on prend a xkf
xk h f xk h f
xk
f
xk h f xk car f
f 1 h f xk
or xk h xk 1 on a alors f xk 1 1 h f xk ,Nous avons alors
f
x1 1 h f x0 1 h f 0 1 h
f
x2
1
h
f
x1
1
h
1
h
1
h
2
ainsi de proche en proche on obtient: f
xk 1 h k
Ainsi si h
0,2 on construit la courbe point par point partir des points M
xk; f xk dont les coordonnessont obtenues dans le tableau ci dessous:
xk 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
f xk 1,2 k 1 1,2 1,44 1,72 2,07 2,48
j
i0
Ainsi si h 0,1 on construit la courbe point par point partir des points M xk; f xk dont les coordonnessont obtenues dans le tableau ci dessous:
xk 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
f xk 1,1 k 1 1,1 1,21 1,33 1,46 1,61
xk 0,6 0,7 0,8 0,9 1
f xk 1,1 k 1,77 1,95 2,14 2,36 2,59
0
j
i
Avec un pas h de plus en plus petit le trac de la courbe est de plus en plus proche de la fonction f.
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2. Fonction exponentielle
ThormeSi f est une fonction drivable non nulle sur vrifiant f x y f x f y avec x ety alorsf 0 1 et pour tout rel x f x k f x o k f 0
Dmonstrationf 0 alors a f a 0f
a 0 f a f 0 soit f a f a f 0 or f a 0 alors f 0 1
Supposons x fixe alors
f
x
y
f
x
y
et
f
x
f
y
f
x
f
y
donc f x y f x f y , en particulier si y 0, f x f x f 0
Thorme et dfinitionIl existe une unique fonction f drivable et strictement positive sur telle que f f et f 0 1Cette fonction est appele fonction exponentielleOn la note f x exp x ex
DmonstrationOn admet lexistence dune fonction f vrifiant f
f et f
0
1.
Montrons lunicit de f . Soit g une autre solution de f
f et f
0
1 alors g
g et g
0
1 Soit h
g
fdfinie
et drivable sur
alors h
g f
g f
f2or g
g et f
f alors h
g f
g f
f2 0.
Il sensuit que h est une fonction constante gale en particulier h
0
g
0
f 0
1
Nous obtenons donc h
x
g x
f
x
1 soit g
f
ThormeSoit kun nombre relIl existe une unique fonction f drivable et strictement positive sur
telle que f
k f et f
0
1.Cette fonction est ekx
3. Proprit de la fonction exponentielle
Proprits
La fonction exponentielle est strictement croissante sur
Pour tout rel x ex
0
Pour tout rel a et b ea
eb est quivalent a
b
Pour tout rel a et b ea eb est quivalent a b
La fonction exponentielle est drivable sur
et pour tout rel x
ex
ex
Si u drivable alors eu u eu
Pour tout rel x et y ex y exey
Pour tout rel x e x
1
ex
Pour tout rel x et y ex y
ex
ey
Pour tout rel x et tout n ex n enx
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4. Trac de la fonction
0 1
1
e
5. Etude des limites
Proprits
lim
x ex
lim
x ex
0
lim
x
ex
x
lim
x
ex
xn
lim
x xex
0
lim
x xnex
0
limx 0
ex
1
x
1
Remarque sur la dtermination de limites
Au voisinage de linfini lexponentielle lemporte sur la fonction puissance.
Si on a une forme indtermine du type
alors vous pouvez essayer de factoriser lexpression, pour leverlindtermination. On peut alors aboutir par exemple une forme du type
.
Si on a une forme indtermine du type 0
alors vous pouvez essayer de dvelopper lexpression, pour lever lind-termination. On peut alors aboutir par exemple une forme du type .
Exemples
En
, x3
ex est une forme indtermine
Pour x
0 x3
ex
x3
1
ex
x3
limx
1 ex
x3
limx
x3
lim
x
x3 1
ex
x3
En ,
ex
x2
1est une forme indtermine
Pour x
0ex
x2
1
ex
x2
1
1 1
x2
lim
x
1
1 1x2
1
limx
ex
x2
limx
exx2
1
1
1
x2
En , x 1 e x est une forme indtermine
Pour x
0 x 1 e x xe x e x 1
ex
x
e x
limx
ex
x
limX
1
X
0
limx
1
ex
x
0lim
x
x
limX
eX 0
limx
e x 0
On obtient donc limx
1
ex
x
e x
0
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Chapitre 5
Fonctions logarithmes et exponentielles
1. Fonction logarithme nprien
Thorme et dfinitionsPour tout nombre a strictement positif il existe un unique nombre rel tel que e a.Ce nombre est appel le logarithme nprien de a et est not ln a
On appelle fonction logarithme nprien la fonction ln qui tout x appartenant
0;
associe ln xOn appelle fonction logarithme dcimale la fonction log qui tout x appartenant
0;
associe log x
ln x
ln10
DmonstationLa fonction exponentielle est continue et strictement croissante de
dans
Ainsi pour tout nombre a 0 il existe
un unique nombre tel que e a
Proprits
ln 1
0 et ln e
1
Pour tout nombre rel x strictement positif eln x x
Pour tout nombre rel x, ln ex
x
ln x est ngatif sur
0; 1
ln x est positif sur
1;
Pour tous nombres rels x et y strictement positifs: ln x
ln y quivaut x
y
Pour tous nombres rels x et y strictement positifs: ln x ln y quivaut x y
La fonction ln est continue drivable et strictement croissante sur
0;
Pour tout nombre rel x strictement positif: ln x
1
x
Si u drivable et strictement positive sur Ialors ln u
u
u
Pour tous nombres rels x et y strictement positifs ln xy
ln x
ln y
Pour tous nombres rels x et y strictement positifs ln
x
y
ln x ln y
Pour tout nombre rel a strictement positif et tout nombre rationnel r ln ar r ln a
Remarques
En gnral ln x y ln x. ln y alors que ex y ex.ey
La proprit ln ar
r ln a est utile pour rsoudre une inquation du type 0,2n
0,3 avec n
en effet 0,2n
0,3
ln0,2n
ln0,3
n ln0,2
ln0,3
n
ln0,3
ln0,2
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2. Trac de la fonction
1
0 e1
3. Etude des limites
Proprits
lim
x ln x
limx 0
ln x
limx 0
x ln x 0
limx 0
xn ln x 0
lim
x
ln x
x
0
lim
x
ln x
xn
0
limx 0
ln
1
x
x
1
Dmonstration
Nous allons nous intresser la dmonstration de limx
0
ln 1 x
x
1. Nous en profiterons pour mettre en vidence
une approximation affine au voisinage de 0, de x ln 1 x .
x
f
x
ln 1 x est drivable sur 1 ; et en particulier en x 0
f
x
1
1 xdonc f
0 1
Nous avons alors f
x
f
0
x f
0
x
x
soit ln
1
x
x
x
x
avec limx
0
x
0
Ainsi une approximation affine de ln 1 x au voisinage de 0 est x.
ln 1 x x x x ln 1 x x 1 x ainsiln
1
x
x 1 x
Or limx
01
x
1 alors limx
0
ln 1 x
x
1
Remarques
Au voisinage de linfini la fonction puissance lemporte sur la fonction logarithme.
limx
0
ln x
x
(En crivant
ln x
x
1
x
ln x le rsultat en dcoule)
4. Fonction exponentielle de base a et racine nime
Dfinition
Soit a un nombre rel strictement positif et diffrent de 1
On appelle fonction exponentielle de base a la fonction dfinie sur par
x
ax ex ln a
Soit n un nombre entier suprieur ou gal 2On appelle fonction racine nime la fonction dfinie sur
par
x
x1n
e1n ln x
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5. Comportement asymptotique spar
y ln x
y
x
y
xy x2y ex
1
1 e
Exemples
Etude de f : x
e kx avec k 0
f est dfinie continue drivable sur
x f
x ke
kx
x
f
x
0lim
x
f x , limx
f x 0
x
f
x
f x
0
Reprsentation graphique de la fonction pourk
0,2; k 0,7 et k 2
k 0,2
k 0,7
k
2
1
0 1
Etude de x
e kx
2avec k
0f est dfinie continue drivable sur
x f
x 2kxe
kx2
x
0 f x 0 et x 0 f x 0lim
x f
x
0, limx
f
x
0
x 0 f
x
f
0
1
0
Reprsentation graphique de la fonction pourk
0,2; k
0,7 et k
2
k 0,2
k 0,7
k
2
1
0 1
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Chapitre 6
Suite numrique
1. Rappels
Notion intuitive de suiteLa notion de suite est une notion que lon peut rencontrer dans la vie quotidienne, par exemple letirage des six numros du loto est une suite de nombres obtenus dune manire alatoire. Nan-moins il y a des suites de nombres qui obissent des lois particulires. Vous avez peut tre djrpondu des tests psychotechniques: on vous propose une srie de nombres et on vous demandede trouver le nombre suivant. Par exemple, soient les nombres 3, 6, 9, 12 . Quel est le nombre sui-vant? Il sagit videment du nombre 15. Pour passer dun nombre au suivant il suffit dajouter 3 chaque fois.Comment traduire mathmatiquement cette situation?On remarque que les nombres 3, 6, 9, 12 sont rangs dans un certain ordre, chaque nombre occupeune position particulire.Il serait peut tre judicieux de proposer une association entre la position occupe par le nombre(qui appartient lensemble des entiers naturels) et la valeur de ce nombre qui appartient len-semble des nombres rels cest dire :
- la position n 1 on associe le nombre rel 3- la position n 2 on associe le nombre rel 6- la position n 3 on associe le nombre rel 9- la position n 4 on associe le nombre rel 12
On dfini alors une application de
dans
o limage de n peut se noter u n .
Ce rsultat peut tre traduit dans le tableau suivant :n 1 2 3 4
u
n
3 6 9 12Dans le paragraphe suivant nous allons dfinir dune manire rigoureuse la notion de suite.
Suite numrique
Soit a , soit Ia n , n a cest dire lensemble de tous les entiers naturels partirde lentier naturel a.
Une suite numrique est une fonction u dfinie de Ia dans soitu : Ia
n u n NotationCompte tenu de cette dfinition, il faudrait utiliser une notation du type u 0 , u 1 , u 2 . . . . .pour dsigner les images de u, mais on prfre la notation en indice uo, u1, u2, . . . . . . .un
un sappelle terme de la suite.Remarques
La notation fonctionnelle u peut tre remplac par lcriture
un ou un a .Une suite tant une application, il est lgitime de dfinir une suite comme on dfinit une application savoir : u n f
n
o f
n
, est une fonction de n, mais nous verrons dans le paragraphe suivant que ce nest pas systmatique.En effet il existe une autre manire de dfinir une suite.
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Mode explicite dune suite
Le terme gnral de la suite est exprim en fonction de n, un f n
Exemples et reprsentations graphiques
un
n 1
n; un n
2; un 1
n; un 1
n; un 1
n 3
Reprsentation graphique de un n2
Puisquune suite est une fonction, on peut obtenir sa re-prsentation graphique. Cherchons la reprsentation gra-phique de un n
2 savoir, la reprsentation graphique
deu :
n
n2
La reprsentation graphique de u se dduit de celle def :
x x2en ne reprsentant que les points dont
les abscisses sont entires.
1
1 2
Mode rcurrent dune suiteUne suite rcurrente est dfinie par la donne de son premier terme et dun procd qui permet
de dterminer un terme en fonction des autres.
un
1 f un u0
Exemples et reprsentations graphiques
un 1 un 1u0 3
un 1 2 unu0 3
un 1
1
2
un 2
un
u0 3
2
Reprsentation graphique de
un
1 1 1
un
u0 1
2
Soit f
x
1
1x
alors un 1 f un
On reprsente u0 1
2sur laxe des abscisses.
On reprsente u1 f u0 sur laxe des ordonnes, en uti-lisant la courbe
f.Pour reprsenter u2 il convient de ramener u1 sur laxe desabscisses en utilisant la fonction y x, il suffit ensuite dedterminer limage de u1 par f en utilisant la courbe f.f
u1 u2 se retrouve alors sur laxe des ordonnes.On ramne u2 sur laxe des abcisses et ensuite on cherchelimage de u2 par f on obtient u3, etc
y 1
1
x
y x
u0
u1
u1
u2
u2
u3
u3
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Suite arithmtique et gomtrique
Suite arithmtique
On appelle suite arithmtique de premier terme u0 et de raison r la suite
un 1 un ru0
Si u est une suite arithmtique de premier terme u0 et de raison r alors un u0 nr
Si u est une suite arithmtique alors pour tout n
p, un
up
n
p
ren particulier un u1 n 1 r
Soit u une suite arithmtique, alors
1er terme dernier terme
u0 u1 ......... un n 1 u0 un
2
nombre de termes
Suite gomtrique
On appelle suite gomtrique de premier terme u0 et de raison q la suite
un 1 qunu0
Si u est une suite gomtrique de premier terme u0 et de raison q alors un u0q
n
Si u est une suite gomtrique alors pour tout n
p, un upq n p
en particulier un u1qn 1
Soit u une suite gomtrique de raison q et de premier terme u0, alors
u0 u1 ......... un u01
q n 1
1
q
1er terme nombre de termes
2. Raisonnement par rcurrence
Principe
Considrons une proposition dpendant dun entier naturel n, que lon nomme P n . Le raison-nement par rcurrence permet de dmontrer que P n est vraie:
Etape 1: On vrifie que la proposition est vraie pour un entier n0
Etape 2: On suppose que la proposition est vraie pour un entier n n0On dmontre que la proposition est vraie pour lentier n 1(Si ltape 2 est vrifie, on dit que
P n est hrditaire.)Conclusion: La proposition est vraie ds que n n0.
Exemple 1
Soit
un 1
1
4un 3
u0 1Montrez que un 4
Etape 1: La proposition est vrifee pour n
0 car u0 4Etape 2: Supposons un 4, montrons que un
1 4.
Daprs lhypoyhse de rcurrence un 4 alors 14
un 1 et donc 14
un 3 1 3
On obtient donc1
4un 3 4 soit un
1 4. Conclusion: un 4 pour tout n
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Exemple 2
Soit la proposition P
n
: "2n est suprieur ou gal n2"Faisons une dmonstration par rcurrence sur lentier n;Etape 1: P
4
est vraie car 24
16 et 42
16 (on remarque que P
3
est fausse).
Etape 2 : On suppose que 2n n2. Dmontrons que 2n 1
n 1
2:
2n
n2 donc 2n 1
2n2. Comparons 2n2 et
n
1
2.
2n2
n 1
2
n2 2n 1. Cest un polynme de degr 2 qui admet deux racines : 1
2 et 1
2
Si n 1
2 et en particulier si n 4 alors n2 2n 1 0 et donc 2n2 n 1 2 0 soit 2n2 n 1 2.Ainsi, pour tout n 4, 2n 1 2n2
n 1
2
Conclusion P(n) est vraie pour n 4.
3. Terminologie relative aux proprits dune suite
DfinitionsLa suite (un est dite croissante (respectivement strictement croissante) si n , un un 1
(respectivement un
un
1)La suite (un est dite dcroissante (respectivement strictement dcroissante) si n ,
un un 1 (respectivement un un 1)
La suite un est dite stationnaire si n un
1 un
La suite un est dite majore sil existe un rel M tel que: n un M
La suite un est dite minore sil existe un rel m tel que : n un m
Une suite qui est la fois majore et minore est dite borne.
Exemple
Soit un 2n avec n
La suite un est termes strictement positifsun 1
un
2n
1
2n 2 et donc un 1
un 1
On en dduit que un 1 un et donc que un est strictement croissante.
Certaines suites ne sont ni croissantes ni dcroissantes, par exemple, un 1 n.
ThormesToute suite croissante et majore converge.Toute suite dcroissante et minore converge.Soit
un une suite dfinie par un 1 f un alors si un converge de limite l et si f est continuealors l est solution de l f l
Exemple
Considrons la suite suivante:
un
1
un
u0 1
4
Montrons par rcurrence que un 1.
La proposition est vraie pour n
0, u 0 1 car1
4
1.
Supposons la proposition vraie lordre n soit un 1 alors
un
1 soit un
1 1Ainsi la proposition est vraie lordre n
1. Conclusion
n
un 1.
Montrons par rcurrence que
un est strictement croissante.
u1
u0
1
4
1
2ainsi u1 u0 la proposition est vrifie au rang n 0
On suppose que la proposition est vraie lordre n alors un
1 un ainsi
un
1
un soit un
2 un
1
La proposition est donc vrifie lordre n
1. Conclusion
n
un
1 unLa suite un est donc strictement croissante. un est donc majore croissante, donc un est convergente.Sa limite L, verifie L
L soit L2
L cest dire L
L
1
0 soit L
0 ou L
1.
Or L
0 est exclu puisque
un est strictement croissante un u0 soit un 1
4donc L
1.
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4. Suites adjacentes
DfinitionDeux suites un et vn sont adjacentes si lune est croissante et lautre dcroissante et si
limn
un vn 0
Exemples
Soit un 1 1
net vn 1
1
n
un 1 un 1
1
n
1 1
1
n
1
n
n
1
un 1 un 0 donc un est croissante.
vn
1 vn 1 1
n 1 1
1
n
1
n n 1 vn
1 vn 0 donc vn est dcroissante.
De plus un vn 1 1
n
1
1
n
2
nor lim
n
2
n
0 ainsi limn
un vn 0
Il en rsulte donc
un et vn sont adjacentes.
Posons f x 12
x 1
Soit
vn
1 1
2vn 1 f vn
v0 5alors v1 3,5 v2 2,75 v3 2,375
Soit
un 1
1
2un 1 f un
u0 0,5alors u1 1,25 u2 1,625 u3 1,8125
y
x
y
1
2 x
1
u0 u1 u2 v0v1v2
Montrons par rcurrence que un est croissante et que vn est dcroissante:u1 u0, on suppose un
1 un alors f un
1 f un soit un
2 un
1 ainsi un est croissante.v0 v1, on suppose vn vn
1 alors f vn f vn
1 soit vn
1 vn
2 ainsi vn est dcroissante.
De plus un
1 vn
1 1
2
un vn ainsi un vn est une suite gomtrique de raison1
2donc lim
n
un vn 0
Il en rsulte donc que un et vn sont deux suites adjacentes.
ThormeSi deux suites
un et vn sont adjacentes avec un croissante et vn dcroissante alors
Pour tout n un
vn
Les deux suites
un et vn convergent et ont mme limite L
Pour tout n un L vn
DmonstrationMontrons que un vnSoit wn vn un alors wn
1 wn vn 1 vn un 1 un daprs le sens de variation de
un et vn wn
1 wn 0, donc wn est dcroissante.Soit n fixe alors pour tout p
n, w n wp or limp
wp 0 donc wn 0 soit un vn
Montrons que
un et vn convergent et ont la mme limite.On a u0 u1 ........un vn .............v1 v0
1. un v0 un est croissante et major par v0 donc un est convergente de limite u
2. vn u0 vn est dcroissante et minor par u0 donc vn est convergente de limite v
3. Pour tout n
un
un
vn
vnlim
n
un vn 0 et limn
vn v et limn
un u alors u 0 v soit u v
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Application
Encadrement de par la mthode darchimde
La mthode darchimde permet dencadrer par deux suites adjacentes qui convergent vers
Encadrement dun nombre rel 10 n prs
On peut encadrer un nombre rel x par deux suites adjacentes qui convergent vers x.
Nous rappelons que E x est la partie entire de x.
La suite dn E
10nx
10ndonne une valeur dcimale approche par dfaut de x 10 n prs.
La suite en 1 E 10nx
10ndonne une valeur dcimale approche par exces de x 10 n prs.
dn et en sont deux suites adjacentes qui convergent vers x.
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Chapitre 7
Intgration
1. Intgrale
DfinitionSoit f une fonction continue et positive. On considre la courbe reprsentative
de f dans un
repre
O,
OI,
OJ
. Laire du domaine situ sous la courbe, entre les droites dquation x
a,
x b et laxe des abscisses est appel intgrale de a b de f not b
af x dx . Cette aire est
exprime en unit daire, lunit daire tant gale laire du paralllogramme de ct
OI
et
OJ
.
Exemple
Lintgrale 3
1
x 2 2 2dx est reprsente par
laire ci contre
0
J
I
ConventionSi f est continue et ngative sur
a,b
alors lintegrale de a b est gale laire du domaine situsous la courbe, entre les droites dquation x
a, x
b et laxe des abscisses, auquel on affecteun signe moins. On parlera alors daire algbrique. Soit f une fonction continue sur
a,b
alorslintgrale de a b est gale la somme des aires algbriques dfinies sur les intervalles o f
x
garde un signe constant.
Exemple
reprsente la courbe reprsentative dune fonction f
impaire. Alors 3
3f
x
dx 0 car la somme alg-
brique des aires sous la courbe est nulle.0
J
I
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DfinitionSoit f une fonction continue dfinie sur un intervalle
a,b
a b alors le nombre rel
1
b a
b
af
x
dx est appel valeur moyenne de la fonction f sur
a,b
.
Proprits
Linarit b
a f g x dx
b
af x dx
b
ag x dx
Pour tout rel : b
af x dx
b
af x dx
Positivit
Si pour tout x
a,b
f x 0 alors b
af x dx 0
Si pour tout x
a,b
f x 0 alors b
af x dx 0
Ordre
Si pour tout x
a,b
f x g x alors b
af x dx
b
ag x dx
Relation de ChaslesPour tout rel c
a,b
alors
b
af
x
dx
c
af
x
dx
b
cf
x
dx
Ingalit de la moyenne
Soient m et M deux nombres rels tels que pour tout x
a,b
, m f x M
alors m 1
b a
b
af x dx M
Exemple
Soit x
1
e; e
alors ln1
e ln x ln e soit 1 ln x 1
En appliquant lingalit de la moyenne on obtient
1
1
e
1
e
e
1e
ln xdx
1
donc 1
e
e2 1
e
1e
ln xdx 1
2. Application
Aire du domaine compris entre deux courbes
Soient f et g deux fonctions continues et po-sitives de courbes reprsentatives respectives
f et g telles que f x g x alors laire dudomaine compris entre ces deux courbes, lesdroites dquation x a et x b avec a b
est b
a
f
g
x
dx .
Dans lexemple ci contre laire hachur est 4
0 f g x dx.
0
J
I
g
f
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MthodeSoit f une fonction dont on cherche une primitve.La mthode consiste rapprocher f des formules du tableau des primitives. Il convient souventde transformer f pour faire apparatre clairement la formule du tableau que lon souhaite utiliser.
Exemples
Une primitive de x6 est
x7
7(de la forme xn)
Une primitive de 2x
3 x2
3x 5 8 est
x2 3x 5 9
9(de la forme u un)
Une primitive de
ln t
t
1
t
ln t estln2 t
2(de la forme u un)
Une primitive de
sin x
cos x
sin x
cos xest
ln cos x (de la formeu
u)
Une primitive de
7
2x 3 6
7
2
2
2x 3 6est
7
2
1
5 2x 3 5(de la forme
u
un)
3. Intgrales et primitivesThorme
Si f est continue sur un intervalle I et si a est un point de I, la fonction F telle que
F x x
af t dt est lunique primitive de f sur I sannulant en a.
DmonstrationDans le cas gnral ce thorme est admis.Faisons une dmonstration dans le cas particulier o f est continue et croissante sur ISoit x0 I et h 0 tel que x0 h I alors
F
x0 h F x0 x0 h
0
f
t
dt
x0
0
f
t
dt
x0 h
0
f
t
dt
0
x0
f
t
dt
x0 h
x0
f
t
dt
f est croissante
t
x0 ; x0 h f x0 f t f x0 h alors
daprs lingalit de la moyenne, f
x0 1
h
x0 h
x0f
t
dt
f
x0 h
On obtient donc f
x0 F
x0 h F x0
h
f
x0 h
Or f est continue en x0 alors limh 0h 0
f x0 h f x0 et donc par application du thorme des gendarmes:
limh
0h
0
F
x0 h F x0
h
f
x0 .
Une dmonstration analogue avec h 0 donne lim
h 0h 0
F
x0 h F x0
h
f
x0
Ainsi limh 0
F
x0
h
F
x0
h f x0 soit F
x0 f x0
DfinitionSoit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux nombres rels de Ialors:
b
af x dx F b F a o F est une primitive de f sur I.
On notera b
af x dx
F x
ba
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4. Intgration par partie
ThormeSoient u et v deux fonctions drivables sur Iet soient u et v leurs drives respectives supposes
continues alors pour tous nombres rels a et b de I b
au t v t dt
u t v t
ba
b
au t v t dt
Dmonstration
uv
t
u
t
v
t
u
t
v
t
alors b
a
uv
t
dt
b
au
t
v
t
u
t
v
t
dt.
La linarit de lintgrale donne: b
a
uv
t
dt
b
au
t
v
t
dt
b
au
t
v
t
dt
uv
t
ba
b
au
t
v
t
dt
b
au
t
v
t
dt
Exemples
Dterminer
1
0x.exdx
Posonsu
x
x u
x
1v
x
ex v
x
ex
alors 1
0x.exdx
x.ex
10
1
0exdx
e
ex
10
e
e
1
1
Dterminer
e
1ln xdx
Posonsu x ln x u x
1
xv
x 1 v x x
alors e
1ln xdx
x ln x
e1
e
1x.
1
xdx
x ln x
e1
e
11dx
x ln x
e1 x
e1
e ln e
1 . l n 1
e
1
1
Dterminer
e
1x ln xdx
Posonsu
x
ln x u
x
1
x
v x x v x x2
2alors
e
1x. ln xdx
ln x.x2
2
e
1
e
1
x2
2.
1
xdx
e2
2
1
2
e
1xdx
e2
2
1
2
x2
2
e
1
e2
2
12
e2
2
12
1
4
1
e2
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ath-Per
form
ance
Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
Chapitre 9
Equation diffrentielle
1. Equation diffrentielle
DfinitionsOn appelle quation diffrentielle linaire du premier ordre lquationa
t
y
t
b
t
y
t
0 (1)o a : I
b : I
sont deux fonctions continues dfinies sur I avec a
t
0 y : I
estune fonction inconnue que nous nous proposons de dterminer.Rsoudre (1) cest trouver toutes les applications y : I
telles que
a
t
y
t
b
t
y
t
0Par convention dcriture on remplace y
t
, y
t
par y , y.Il existe une unique solution de cette quation diffrentielle vrifiant la condition initiale y
avec et
Exemple
y
ky est une quation diffrentielle linaire du premier ordre.
2. Equation diffrentielle du type y ay b
Rsolution de y
ay
b
Soient a et b deux lments de avec a 0
Les solutions de lquation diffrentielle y
ay b sont les fonctions
yk x keax
b
aavec k
DmonstrationConsidrons lquation y
ay
b
E
On montre facilement que yk verifie y
ay
b.Rciproquement supposons que f vrifie y
ay
b alors f
a f
b
Posons u
a f
b alors f
u
a
b
a. On a alors f
u
a.
Ainsi f solution de
E
est quivalent f
a f
b
u
a
u
u
au;
Et donc f solution de
E
u solution de y
ay
E
avec u
a f
b.Posons v
x
u
x
e ax alors v
x
e ax
u
x
au
x
0 car u vrifie
E
ainsi v x 0 donc v x c avec c et donc u x e ax c soit u x ceax
et donc u a f b ceax a f x b soit f x c
aeax
b
a ke ax
b
aen posant k
c
ak
Exemple
Rsoudre y
3y
2
E
et dterminer la solution f telle que f
1
0
Les solutions de cette quation sont les fonctions yk x ke 3x
2
3avec k
On dtermine k tel que yk 1 0 ke3
2
3 0 ke3
2
3soit k
2
3e 3
La solution f de E telle que f 1 est f x 2
3e 3e 3x
2
3
2
3e 3x 3
2
3.
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ath-Per
form
ance
Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
2. Rsolution dans dune quation du second degr
Proprit
Soit az2 bz c 0 avec a , b , c et a 0, une quation du second degr coefficientdans
.Soit
b2 4ac le discriminant associ lquation.
Si
0 alors lquation admet deux solutions distinctes relles:
z1
b
2aet z2
b
2a
Si
0 alors lquation admet une unique solution relle:
z1 b
2a
Si
0 alors lquation admet deux solutions distinctes complexes:
z1 b i
2aet z2
b i
2a
ExempleLquation suivante: z2 z 1 0 admet pour discriminant 12
4
1
1
3.
Lquation admet deux solutions dans
, z1
1 i
3
2et z2
1
i
3
2.
3. Argument dun nombre complexe
DfinitionA tout nombre complexe z
a
ib on associe un point M du plan appel image de z:
z a ib M a,b A tout point M
a,b
du plan on associe un nombre complexe z
a
ib appel affixe de z, onnotera M
z
laffixe du point M de z:
M a,b z a ib
Soit A za et B zb alors zb za est appell affixe du vecteur
AB
Remarque
Soit z a ib un nombre complexe alors son image est le point
M a,b dans le repre O,
i ,
j . Or en utilisant la trigonomtrie nousavons a
OM .coset b OM .sinde plus le thorme de pytha-
gore montre que O M
a2
b2.En remplaant alors dans z
a
ib, nous obtenonsz OM .cos OM .sini OM cos sin i
a2 b2 cos i sin z
cos i sin
i
j
O
M
a
b
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form
ance
Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
DfinitionOn appelle argument du nombre complexe z a ib (z 0) et on note arg z langle dfinie
(2) modulo prs par
cos
a
z
sin b
z
Pour dterminer on pourra saider dun cercle trigonomtrique.
Exemple
Dterminer largument de z
1
i:z
12
12
2 alors, on cherche tel que
cos 1
2
sin 1
2
Nous obtenons alors
4 2k k ,
Dterminer largument de z
3
i:z
32
1
2
2 alors, on cherche tel que
cos
3
2
sin
1
2
Nous obtenons alors
6
2k k
Dfinition
Soit z un nombre complexe non nul alors il scrit z
z
cos
i sin
.
Cette criture sappelle forme trigonomtrique du nombre complexe z
Proprits
On suppose que z 0 et z 0
arg z.z arg z arg z
arg zn n.arg z , pour tout n appartenant
arg
1
z
arg z
arg
z
z
arg
z
arg
z
Proprits
On suppose que z 0
arg z argz
Si k 0 arg kz argz
Si k
0 arg
kz
argz
z rel
argz
k k
z imaginaire pur argz
2 k k
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Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
4. Notation exponentielle
Dfinition
Soit f la fonction
cos
i sin
alors nous verifions que pour tous rels et
, f
f f
On admet que la fonction f est drivable de drive f
sin
i coson obtient alorsf 0 i
Par analogie avec la fonction exponentielle , on crit alors: ei cos i sin
Soit z
tel que argz
2
etz
r alors z
r
cos
i sin
rei
Lcriture rei sappelle forme exponentielle de z
Proprits
ei.ei
ei
ei
ei ei
ei n ein
ei
e iei
1 arg
ei
Exemples
ei 1 ei0 1 e
i
2
i
Proprit
Soit
un cercle de centre
daffixe et de rayon r. SoitM un point daffixe z.M ; tel que z rei I
I est appel quation paramtrique complexe du cercle .
5. Nombre complexe et gomtrie
Proprits
Soient A, B, C trois points daffixes respectives a, b, c dans un repre O; i; j
AB a pour affixe b
a
AB
b
a
i;
AB arg b a
AB,
AC arg
c
a
b
a
Exemples
M z , z 2 i 4 M z , z 2 i 4 M ,AM 4 ,avec A
2; 1 , est le cercle de centre A et de rayon 4.
M
z
z
2
z
i
M
z
z
2
z
i
M
AM
BM
avec
mdiatrice de
AB
avec A
2; 0
et B
0;
1
M z
arg z
1
i
4
M z
arg z
1 i
4
M
z
i;
A M
4
avec A
1; 1
,
est la demi droite dorigine A 1,1 (A exclu) tel que i;
A M
4
.
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Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
Proprits
Soient A, B, C, D quatre points non confondus daffixes respectives a, b, c, d.
A, B, C sont aligns si
AB,
AC
k soit arg
c
a
b
a
k k
AB
AC
si
AB,
AC
2
k soit arg
c
a
b
a
2
k k
A, B, C, D sont cocycliques (appartient un mme cercle) si
CA ,
CB
DA,
DB k,
soit arg
b
c
a
c
arg
b
d
a
d
k k
Exemples
Les resultats suivants ne sont pas connatre mais il est important de savoir les retrouver:
Soit
un cercle de centre C daffixe c et de rayon r alors
M
z
z
c . z c r2
Soient A et B daffixes respectives a et b, soit
la mdiatrice de
AB
M
z
AB
priv de A et B
z
a
z
b
M
z
z
a
z
b
Soient A, B, C, D quatre points daffixes respectives a, b, c, d1) Si ABC est un triangle isocle en A alors
c
a
b
a
2) Si A, B, C, D sont distincts, non aligns et cocycliques alors
c
a
d
b
d
a
c
b
6. Nombres complexes et transformation gomtrique
Proprits
Translation
Soitu un vecteur daffixe a
Lapplication
M
z
M
z
telle que, z z a est une translation de vecteur u
daffixe a
Homothtie
Soit un point du plan daffixe , kun nombre rel diffrent de 0
Lapplication
M
z
M
z
telle que, z k z est une homothtie de
centre
et de rapport k
RotationSoit
un point du plan daffixe , un nombre rel.
Lapplication
M
z
M
z
telle que, z ei z est une rotation de centre
et dangle
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Dmonstration
1) Soit t une translation de vecteur u daffixe a. Soit M z limage de M z par t alors
MM u cest direz
z
a soit z
z
a
2) Soit h une homothtie de centre
et de rapport k
. Soit M
z
limage de M
z
par h alors
M
k
Mcest dire z
k z
3) Soit r une rotation de centre et dangle . Soit M z limage de M z par r alors si M M
M;
M
cest dire arg
z
z
2
(i)
M
M cest direz
z
z
z
1 (ii)
daprs (i) et (ii)z
z
ei soit z ei z
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Chapitre 11
Produit scalaire dans lespace
1. Rappel: Produit scalaire dans le plan
DfinitionSoient
u et
v deux vecteursOn appelle produit scalaire des vecteurs u et v, le nombre rel not u . v tel que:
u . v
u
.
v
.cos u, v si u 0 et v 0
u . v 0 si u 0 ou v 0
On note
u2
u.
u
Proprits
Soient
le plan muni dun repre O, i,j . Soient A, B, C trois points du plan.
AB.
AC AH.AC si
AH et
AC sont dans le mmesens o Hest le projet orthogonal de B sur A,
AC .
A C H
B
AB.
AC AH.AC si
AH et
AC sont en sens oppo-
ss o Hest le projet orthogonal de B sur A,
AC .
CAH
B
Si dans le repre
O; i; j
,
AB a pour coordonne
x; y
et
AC a pour coordonne
x ; y
alors
AB.
AC x.x y.y
Proprits
Proprits gnrales
u . v
v . u
u . v w u . v u . w
u .
v
u . v
(
)
u v 2 u2 2u. v v2
u
v
2
u2
2
u.
v
v2
u v . u v u2 v2
Orthogonalit
Nous rappelons que deux vecteursu
OA et v
OB sont orthogonaux signifie:
soit
u
0 ou
v
0, soit
OA
est perpendiculaire
OB
u et v sont othogonaux si u . v
0
Thorme dAl-KashiABC est un triangle tel que AB c, AC b, BC a, alors on a:a2
b2
c2
2bc cos A
Thorme de la mdiane
A et B sont deux points et Iest le milieu du segment AB
Pour tout point M, MA2 MB2 2MI2 1
2AB2
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Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
Application
Distance dun point une droite:
Soit
le plan muni dun repre O, i,j . Soit
la droite dquationax by c 0 (a et b non tous les deux nuls). Soit A le point decoordonne
x,y
. On appelle distance de A
la distance AH o
Hest le projet orthogonal de A sur
alors AH axA byA c
a2 b2
A
H
Droite et produit scalaire:La droite d passant par A et de vecteur normal n est lensemble des points M du plan tels que
MA .
n 0
Cercle et produit scalaire:
Le cercle de diamtre AB est lensemble des points M du plan tels que
MA .
MB 0
2. Produit scalaire dans lespace
DfinitionSoient
u et v deux vecteurs de lespace.
Soit A un point de lespace alors il existe deux points B et C tels que u
AB et v
ACil existe alors au moins un plan
contenant les points A, B, C.
On appelle produit scalaire deu et v le produit scalaire de u et v dans le plan
Dans un repre orthonormal de lespace
O; i; j; k
, si
u et
v ont pour coordonnes respectives
x; y; z
et
x ; y ; z
alors
u.
v
xx
yy
zz
Proprits
u . v v . u
u .
v
w
u . v
u . w
u . v u . v ( )
3. Orthogonalit dans lespace
Rappel
est orthogonal un plan
, si
est orthogonal deux droites scantes dans ce plan.
Si
est orthogonal
alors toute droite de
est orthogonal
Proprits
Deux droites de lespace de vecteurs directeurs
respectifs u et v sont orthogonales si u. v 0
Une droite
de vecteur directeur u est perpen-
diculaire un plan
sil existe deux vecteurs i etj de non colinaires tels que u. i u.j 0
d
u
i j
Un vecteur
n non nul est normale un plan
si toute droite de vecteur directeur
n est perpen-diculaire
Soit A un point de lespace et
n un vecteur de lespace. Lensemble des points M de lespace
vrifiant
AM .
n
0 est un plan
passant par A et de vecteur normal
n.
Deux plan
et
de vecteurs normaux respectifs
n et
n
sont perpendiculaires si
n.
n
0
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Applications
Equation cartsienne dun plan dans un repre orthonormal, vecteur normal un plan
Soit E lespace muni dun repre orthonormalTout plan de lespace ayant un vecteur normal
n de coordonnes
a; b; c
admet une quationcartsienne de la forme: ax
by
cz
d
0 et rciproquement toute quation de la forme ax
by
cz
d
0 est lquation dun plan de lespace de vecteur normal
n
a; b; c
Expression de la distance dun point un plan
Soit E lespace muni dun repre orthonormalSoit ax by cz d 0 lquation dunplan
de lespace, soit A de coordonnes
xA,yA,zA alors la distance de A est gale
axA byA czA d
a2 b2 c2
A
d
H
Inquation dfinissant un demi espace
Lensemble des points M de lespace vrifiant ax
by
cz
d
0 et lensemble des points Mde lespace verifiant ax
by
cz
d
0 forment deux demi espaces admettant pour frontire le
plan dquation ax by cz d 0
Exemples
Soit
le plan dquation x
y
3
0 alors un vecteur normal
est
n
1;
1; 0
Soit
dquation x
y
z 2 0
Dterminer une inquation du demi-espace ouvert de frontire , contenant le point A 0; 1; 1
On dtermine la valeur de x
y z 2 avec x 0; y 1; z 1: 0
1 1 2 3, alors une inquationdu demi-espace ouvert de frontire
, contenant le point A
0 ; 1 ; 1 est x y z 2 0
Soit
le plan dquation x
y
0 alors la distance du point A
1; 1; 1
est
d 1 1 1 1
12
12
2
2
2
Soient A
2; 0; 0
; B
0; 3; 0
et C
0; 0; 3
trois points de lespace.Dterminer la distance de C
AB
On dtermine dabord une quation du plan
passant par C et orthogonal
AB
Soit H lintersection de
AB
et
alors la distance de C
AB
est CH
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Chapitre 12
Droites et plans de lespace
1. Rappels
Dfinitions
DroiteOn appelle droite d passant par A et de vecteur directeur u lensemble des points M de lespace
tel quil existe t vrifiant
AM tu
SegmentOn appelle segment
AB
lensemble des points M de lespace tel quil existe t
0; 1
vrifiant
AM t
AB
PlanOn appelle plan
passant par A et de vecteurs directeurs u et v lensemble des points M de
lespace tel quil existe et vrifiant
AM u v
BarycentreSoit
A1;1 ; A2;2 ; ......; An;n un systme de points pondrs tel que1 2 ........... n 0 alors il existe un unique point G tel que
1
GA1 2
GA2 .............. n
GAn 0G est appel barycentre des points pondrs
A1;1 ; A2;2 ; ......; An;n
2. Caractrisation barycentrique
Dfinition
La droite
AB
est lensemble des barycentres des points A et B.
Le segment AB est lensemble des barycentres des points A et B affects des coefficients de
mme signe.
Le plan ABC est lensemble des barycentres des points A, B, C.
Lintrieur du triangle ABC est lensemble des barycentres des points A, B, C affects des coef-ficients de mme signe.
Dmonstration
Cas de la droite: Soit M
AB
alors il existe t tel que
AM
t
AB soit
AM
t
AM
MB
soit encore
1
t
AM
t
BM
0 M est donc le barycentre des points pondrs
A;
1
t
et
B; t
Rciproquement: Si M est le barycentre de A et B alors il existe des nombres rels a et b avec a
b
0 tels que:
aAM
bB M 0 soit
AM b
a
b
AB et le point M appartient la droite AB
3. Intersection de plans et de droites
DfinitionReprsentation paramtrique dune droite
Soit
lespace muni dun repre O; i; j; k
Soit A xA; yA; zA un point de et u a; b; c un vecteur non nul.Considrons D passant par A et de vecteur directeur u alors
M x; y; z sil existe un rel t tel que
AM tu soit
x xA tay
y
A
tbz zA tc
soit
S
x xA tay
yA
tbz zA tc
Ce systme est appel reprsentation paramtrique de la droite
, t est le paramtre de cettereprsentation.
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Math-Performance -- Math-Performance -- Math-Perfor
Reprsentation paramtrique dun plan
Soit
lespace muni dun repre O; i; j; k
Soit A
xA; yA; zA un point de u a; b; c un vecteur non nul et v a ; b ; c un vecteur non nul, non colinaire u,Le plan passant par A et de vecteur directeur
u et
v est lensemble des points
M
x; y; z
tel quil existe deux rel et vrifiant
AM
u
v soit
x
xA a a
y yA b b
z
zA c c
soit S
x
xA a a
y yA b b
z
zA c c
Ce systme est appel reprsentation paramtrique du plan
.
Intersection de deux plans
et
sont strictement parallles: leur inter-section est lensemble vide.
et
sont scants suivant d: leur intersec-tion est une droite.
d
et
sont confondus : leur intersection estun plan.
Le problme peut se traiter de manire algbrique:Soit
et
deux plans dquations respectives :ax by cz d 0 et a x by c z d 0Ltude de lintersection de et revient rsoudre le systme:
ax
by
cz
d
0a x
b y
c z
d
0
Exemple
Dterminer lintersection des plans
et
dquation x
y
2 et z
0
Soit M
x; y; z un point de de alors ses coordonnes verifient:
x
y 2
z 0
x 2 yy
yz
0
Lintersection de
et
est une droite passant par A 2 ; 0 ; 0 et de vecteur directeur u 1 ; 1 ; 0
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Intersection dune droite et dun plan.
d est strictement parrallle : Leur intersec-tion est lensemble vide.
et d sont scants: Leur intersection est un
point.
d est contenue dans
: Leur intersection estune droite.
Le problme peut se traiter de manire algbrique:Soit
un plan dquation ax by cz d 0 et d une droite
Si la droite d est dfinie par une reprsentation cartsienne de la forme:
a x b y c z d 0a x b y c z d 0
Ltude de lintersection de
et d revient rsoudre le systme:
ax by cz d 0a x by c z d 0a x b y c z d 0
Si la droite d est dfinie par une reprsentation paramtrique de la forme:
x
xA tay
yA tbz
zA tc
Ltude de lintersection de
et d revient rsoudre le systme:
ax by cz d 0x xA tay yA tbz zA tc
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Exemple
On considre:
:
x t 2y
2t 1z
t 1
: x y z 6 0 : x y z 6 0 et : x y z 4 0
Dterminer lintersection de
et
revient rsoudre le systme:
x t 2y 2t 1z
t 1
x
y
z
6
0
x t 2y 2t 1z
t 1
t
2
2t
1
t
1
6
0
x t 2y 2t 1z
t 1
4t
4
x
3y
1z
2
donc lintersection de
et
est un point M de coordonnes 3; 1; 2 .
Dterminer lintersection de
et
revient rsoudre le systme:
x
t
2y
2t 1z
t 1
x
y
z
6
0
x
t
2y
2t 1z
t 1
t
2
2t
1
t
1
6
0
x
t
2y
2t 1z
t 1
0t
10
0
La dernire quation nadmet pas de solution donc lintersection de
et
est lensemble vide.
Dterminer lintersection de
et
revient rsoudre le systme:
x t 2y
2t 1z
t
1
x
y
z
4
0
x t 2y
2t 1z
t
1
t
2
2t
1
t
1
4
0
x t 2y
2t 1z
t
10t
0
La dernire quation est vraie pour t
donc lintersection de
et
est la droite
Intersection de trois plans
Les trois plans sont strictement parallles: leur intersection est lensemble vide.Deux plans sont strictement parallles et le troisime les coupent suivant deux droites: leur inter-section est lensemble vide.
Deux plans sont scants suivant une droite d et le troisime est strictement parallle d: leurintersection est lensemble vide.Deux plans sont scants selon une droite d et la troisime coupe d en un point A: leur intersectionest un point.Les trois plans ont une droite d en commun: leur intersection est une droite.Les trois plans sont confondus: leur intersection est un plan.
Traitons le problme de manire algbrique:Soient trois plans
,
,
dquations respectivesax
by
cz
d
0 et a x
b y
c z
d
0 et a x
b y
c z
d
0 alors
ltude de lintersection des trois plans revient rsoudre le systme:
ax by cz d 0a x b y c z d 0a x b y c z d 0
Exemple
Dterminer lintersection des trois plans suivants
: x 0 : x y 1 : z 2Dterminer lintersection de ces trois plans revient rsoudre le systme
x
0
x
y 1
z 2
x
0y
1z
2ainsi lintersection des trois plans est le point A
0 ; 1 ; 2
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Chapitre 13
Conditionnement et indpendance
1. Rappels
DfinitionsLangage des ensembles:Soit E un ensemble, A et B deux sous ensembles de E
A B est lensemble des lments de E commun A et B
A
B est lensemble des lments de E qui appartiennent soit A, soit B
A est lensemble des lments de E qui nappartiennent pas A
Card
A
est le nombre dlments de A
DfinitionsLangage des probabilits
Exprience alatoire ou ventualit: Une exprience alatoire ou ventualit est une exp-rience dont le rsultat est leffet du hasard.
Exemple : Le jet dun d est une ventualit
Univers : Lunivers est lensemble (not
de tous les rsultats possibles dune expriencealatoire
Exemple : Pour le jet dun d ={1; 2; 3; 4; 5; 6}
Evnement: Un vnement est une partie de
Exemple : Pour le jet dun d, soit A lvnement obtenir un chiffre divisible par 3 alors A={3; 6}
Evnement lmentaire: On appelle vnement lmentaire tout singleton de
Exemple : Pour le jet dun d, 3 et 6 sont des vnements lmentaires.
Evnement contraire: On appelle vnement contraire dun vnement A, la partie com-plmentaire de A dans
, not A.
Exemple : Pour le jet dun d, si A
2; 4; 6
alors A
1; 3; 5
Evnements incompatibles: Deux vnements A et B sont incompatibles, si A B
Exemple : Pour le jet dun d, A
1; 4; 6
et B
2; 3
sont incompatibles
DfinitionProbabilit
Soit un univers Uayant n lments: U
a1 ; a2;....; an
Dfinir une probabilit sur U, cest associer chaque ai (Pour i variant de 1 n ) un rel positifpi tels que: p1 p2 .... pn 1.On dit alors que la probabilit de lvnement lmentaire ai est pi.
La probabilit dun vnement A est la somme des probabilits des vnements lmentairesinclus dans A. Si A
a1 ; a2; a3 alors p A p a1 p a2 p a3 p1 p2 p3
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Proprit
La probabilit est un nombre compris entre 0 et 1
Lorsque les n vnements lmentaires ai dun univers U sont quiprobables, alors
p
ai 1
npour chaque i 1 i n
Si lvnement A est compos de p ventualits, alors
p
A
p
n
CardA
CardU
nombre de cas f avorable
nombre de cas possible
p
0
p U 1
p
A
1
p
A
p A B p A p B p A B
Remarque
Si A et B sont deux vnements incompatibles (cad A
B
) alorsp
A
B
p
A
p
B
DfinitionsVariable alatoire discrteSoit
lunivers dune exprience alatoire .On appelle variable alatoire discrte toute application de
dans une partie finie de
Evnement
X
xi Une variable alatoire discrte prend donc un nombre fini de valeurs distinctes que lon convientdordonner dans le sens croissant x1 x2 . . . . . . . . . xnPour tout entier i
n lensemble des lments de
tel que X
xi est un vnement de
que lon note X=xi.Loi de probabilitLorsqu chaque valeur ai (avec 1 i n) prise par une variable alatoire X on associe laprobabilit pi de lvnement X ai on dit que lon dfinit la loi de probabilit de X.Esprance, Variance, Ecart typeEsprance: E
X xi.p X xi
Variance: Var
X
E
X2
E
X
2 x2i .p X xi E X
2
Ecart type: X
VarX
Remarques
Lcriture X
xi nest pas une galit ordinaire mais une notation propre aux probabilits.Calculer P
X
xi revient chercher le sous ensemble de qui contient les issues qui ont pour image xi par X
Exemple
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. Lunivers est lensemble des 32 cartes. On dfinit la variablealatoire X : Tirer un as rapporte 10 , tirer une figure rapporte 1 , tirer une autre carte ne rapporte rienLes valeurs prises par la variable alatoire sont 0; 1; 10 cest dire X(
={0; 1; 10}. On a alors{X=10}= {as de
; as de
; as de
; as de
}
{X=1}= {toutes les figures}{X=0}= {toutes les cartes exceptes les as et les figures}
p
X
1
12
32p
X
0
16
32p
X
10
4
32On prsente le rsultat dans un tableau
xi 0 1 10
p
X
xi 1
2
3
8
1
8
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2. Probabilit conditionnelle
IntroductionOn considre un jeu de 54 cartes : - 13
- 13
- 13
- 13
- 2 jokers
Soit A lvnement obtenir un as Soit B lvnement obtenir un cur
Calculons la probabilit de A sur lunivers des 54 cartes : sa probabilit est4
54. On note alors
P A 454
227
Calculons la probabilit de A sur un univers qui se restreint lensemble des curs alors sa
probabilit est1
13on note alors PB A
1
13on a en fait calculer la probabilit de A sur un
univers qui se rduit lensemble des curs, on dit " probabilit de A sachant que B est ralis".On constate que P
A
PB A . On dit alors que les vnements A et B ne sont pas indpendants.(Lvnement B a une influence sur lvnement A)
De plus on a P A B 1
54et P B
13
54on vrifie alors sans peine que PB A
P A B
P B
On considre un jeu de 52 cartes: - 13
- 13
- 13
- 13
Aprs calcul on obtient P A 4
52
1
13
et PB A 1
13
On constate que P A PB A
(La proportion des as dans lensemble des 52 cartes est la mme que la proportion des as danslensemble des curs). On dit que les vnements A et B sont indpendants (B na pas dinfluencesur la ralisation de A)
Dfinitions
Probabilit conditionnelle: PB A
P A B
P
B
Evnements indpendants: A et B sont indpendants si P
A
B
P
A
P
B
Partition: Soit un univers. Les vnements (A1,.....An) forment une partition de si
- La runion de ces vnements est gale
, - Ces vnements sont incompatibles Formule des probabilits totales: Soit (A1,.....An) une partition de alors pour tout vnement
B de , P B P A1 .PA1 B P A2 .PA2 B .............. P An .PAn B
Exemple
Le personnel dune entreprise est compos de 70% de femmes, 10% dentre elles boivent du caf ainsi que 20 % deshommes. Quelle est la proportion des consommateurs de caf dans lentreprise?Soit F lvnement tre une femme, Soit C lvnement boire du caf
Larbre pondr associ est:
C
F
C
C
P F
0,7
PF C 0,1
P F 0,3
PF
C 0,2
F
C FEMMES (F) HOMMES (F)
C
On remarque que C C F C F .Il sagit dune runion dvnements incompatibles alors nous avons
P C P C F P C F P F PF C P F PF C 0,7 0,1 0,3 0,2
0,13
La proportion des consommateur de caf est donc 13%
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Chapitre 14
Loi de probabilit
1. CombinaisonDefinition
Factorielle
On appelle factorielle n et on note n! le produit des n premiers entiers.
Ainsi n! 1 2 .... n Par convention 0! 1.
Combinaison
Soit
un ensemble constitu de n lments, on appelle combinaison de p lments parmin toute partie de ayant p lments.
Le nombre de combinaison de
est
n
p
n!
p!
n
p
!
et se lit p parmi n
Exemples
Le nombre de tierc de 10 chevaux dans le dsordre est
103
Le nombre de combinaison au loto est
496
Le nombre de manire de placer p objets identiques dans n cases est
np
Proprits
n
p
n
1
p 1
n
1
p
n
p
n
n p
a b n n
i 1
ni a
n ibi
2. Lois discrtes
Dfinition
Loi uniforme
Soit Xune variable alatoire prenant n valeurs x1, x2,..........xn
La loi PX dfinie par PX xi 1n pour i 1,...,n est appel loi uniforme
Loi de Bernoulli
Une preuve de bernouilli est une preuve ayant deux issues possibles appels Succs etEchec. Soit X la variable alatoire qui au succs associe 1 avec une probabilit p, et qui lchec associe 0 avec une probabilit 1
p. Xest appel variable alatoire de bernoulli de
paramtre p de loi PX dfinie par PX 1 p PX 0 1 p
Esprance: E X p Variance: V X p 1 p
Loi binomiale
Une exprience est rpte n fois de manire indpendante avec deux issues possibles pourlexprience: S et S o la probabilit dobtenir S est gale p.
La loi de la variable alatoire Xgale au nombre de S est appel loi binomiale de paramtres
n et p dfinie par:P X k
nk
pk 1
p n k
k
0,....,n
.
Esperance: E
X
np Variance: V
X
np
1
p
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Exemples
Considrons une urne contenant 5 jetons blancs et 10 jetons noires. Le jeu consiste tirer 20 fois avec remise. Quel estla probabilit dobtenir 8 jetons blancs. Un tirage est une preuve de bernouilli ayant deux issues possibles S Obtenirun jeton blanc et E " Obtenir un jeton noir"
p
S
p
5
15
1
3et p
E
1
p
2
3On rpte 20 fois lpreuve de manire indpendante. Soit X la variable alatoire gale au nombre de jetons blancs.
Alors P
X
8
208
1
3
8 2
3
12
3. Lois continues
Dfinition
Densit de probabilit
On appelle fonction densit de probabilit toute fonction f continue positive dfinie sur un
intervalle I a,b de ou I a; vrifiant:
Si I
a; b
b
af
x
dx
1
Si I a;
limt
t
af x dx 1
Loi de probabilit
La loi de probabilit P de densit f prenant ses valeurs dans un intervalle Iest dfinie par
Si I
a; b
Pour tout intervalle
,
a,b
P
,
f
x
dx
Si I a; Pour tout intervalle
,
a,
P
,
f x dx
Po