σ1
σ2
σy
σy
σy
σy-
-
Critères de plasticité
Georges Cailletaud
Centre des MatériauxMINES ParisTech/CNRS
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 2 / 43
Chargements biaxiaux
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 3 / 43
Cisaillements
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 4 / 43
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Aspects expérimentaux Mécanique
Passage du laboratoire au monde réel (1)
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Passage du laboratoire au monde réel (1)
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
connueCourbe de traction
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
Dans la plupart des cas, le matériau est caractérisépar une simple courbe de traction
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 7 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Passage du laboratoire au monde réel (2)
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
connueCourbe de traction
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
212 53 10753 88 32107 32 316
Comment
transposer ?
312312332211
Chargement reel complexe
t (s)
σ(M
Pa
)
6050403020100
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Passage du laboratoire au monde réel (2)
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
connueCourbe de traction
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
212 53 10753 88 32107 32 316
Comment
transposer ?
312312332211
Chargement reel complexe
t (s)
σ(M
Pa
)
6050403020100
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Passage du laboratoire au monde réel (2)
0.2% residual strainElastic slope
Tension curve
connueCourbe de traction
ε(mm/mm)
σ(M
Pa)
0.080.070.060.050.040.030.020.010
600
500
400
300
200
100
0
212 53 10753 88 32107 32 316
Comment
transposer ?
312312332211
Chargement reel complexe
t (s)
σ(M
Pa
)
6050403020100
400
350
300
250
200
150
100
50
0
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 8 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Comment caractériser le comportement multiaxial ?
Essais mécaniques multiaxiauxRecherche sur les mécanismes physiques dela déformation
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Comment caractériser le comportement multiaxial ?
Essais mécaniques multiaxiauxRecherche sur les mécanismes physiques dela déformation
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 9 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Essais de traction–torsion sur tube
Specimen traction–torsion
Pour un tube de longueur L, dediamètre 2R et d’épaisseur e :
Déformation mesurée parjauge, ou utilisation de larelation entre l’angle (β) et ladéformation (γ) :
β = γLR
Relation entre le moment (M)et le cisaillement (τ) :
M = 2πeR2τ0 0 0
0 0 σθz
0 σθz σzz
(rθz)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 10 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Essais biaxiauxEssai biaxial sur une éprouvette cruciforme vinylester–fibre de verre
Plus d’info sur le siteSciences de l’Ingénieur, ENS Cachan
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 11 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Essais de cisaillement
Double MontageCisaillement Arcan(caoutchouc)
Doc. Centre des Matériaux, MINES ParisTech
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 12 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Machine de cisaillement
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 13 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Recherche de la surface de charge en traction–cisaillement
Thèse Rousset, ENS Cachan
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 14 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Surface initiale et après première compression
Thèse Rousset, ENS Cachan
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 15 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Surface initiale et chargement carré
Thèse Rousset, ENS Cachan
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 16 / 43
Aspects expérimentaux Mécanique
Résultat de cisaillement du basalte
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 17 / 43
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentales
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentales
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentales
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
CisaillementDéviateur
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Bilan des observations expérimentalesVariable critique ?
Matériaux cristallins se déformant en glissement (alliages, roches)
Réseau cristallin Pas de changement de volume
CisaillementDéviateur
Poudres, géomatériaux, matériaux endommageables
Déviateur+ partie
sphérique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 19 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Système de glissement dans un monocristal
Thèse F. Hanriot (ENSMP-CDM, Evry)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 20 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Système de glissement dans un alliage polycristallin basenickel
Clavel (ECP, Châtenay)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 21 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Rupture sous chargement dynamique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 22 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Loi de Schmid
La déformation s’effectue par glissement sur un système s défini par unplan de normale ns, et une direction de glissement ls, lorsque la cissionrésolue, τs atteint une valeur critique τc
Projection du vecteur contrainte du plan sur la direction de glissement,soit, pour un monocristal soumis à un tenseur de contrainte σ
∼
τs = (σ
∼.ns).ls
Il y a autant de critères linéaires en contrainte que de systèmes deglissement
f (σ∼) = τ
s− τc
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 23 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Construction des surfaces de charge pour des agrégatspolycristallins (Elasticité uniforme)
Alliage à Polycristalsolidification dirigée
Evaluer des surfaces de charge
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 24 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
Un grain cubique orienté selon les axes (001)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
234001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
Un grain désorienté (234)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
2g234001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
Un grain (001) et un grain (234)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
10g2g
234001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
Dix grains au hasard
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
100g10g2g
234001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
Cent grains au hasard
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Aspects expérimentaux Mécanismes
Surface de charge en traction–cisaillement
Tresca100g
10g2g
234001
σ11
σ 12
2001000-100-200
200
100
0
-100
-200
σ211 +4σ2
12 = σ2y , «critère de Tresca»
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 25 / 43
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Caractérisation du cisaillement maximum
Tenseur de contrainte dans le repère principal :=
σ1 0 00 σ2 00 0 σ3
Vecteur contrainte pour une normale n dans le plan (x1–x2) (avecθ = angle(x1,n) :
Tn = σ1 cos2θ+σ2 sin2
θ =σ1 +σ2
2+
σ1−σ2
2cos2θ
|Tt |=(T 2−T 2
n
)1/2=|σ1−σ2|
2sin2θ
Cercle de Mohr :(Tn− σ1 +σ2
2
)2
+T 2t =
(σ1−σ2
2
)2
Cisaillement maxi
|T maxt |= |σ1−σ2|
2Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 28 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Critère de Tresca
σ1σ2σ3Tn
Tt
Tmax
Le cisaillement maximum reste inférieur à une valeur critique.
Maxi,j |σi −σj |−σy = 0
σy est la limite d’élasticité en traction simple
→WIKI
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 29 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Caractérisation d’un matériau isotrope- Invariants du tenseur de contraintes :
I1 = trace(σ∼) =σii
I2 =(1/2) trace(σ∼)2 =(1/2)σijσji
I3 =(1/3) trace(σ∼)3 =(1/3)σijσjk σki
- Invariants du déviateur (s∼
= σ∼− (I1/3) I
∼) :
J1 = trace(s∼) =0
J2 =(1/2) trace(s∼)2 =(1/2)sijsji
J3 =(1/3) trace(s∼)3 =(1/3)sijsjk ski
- On pose :
J = ((3/2)sijsji)0,5 =
((1/2)
((σ1−σ2)
2 +(σ2−σ3)2 +(σ3−σ1)
2))0,5= |σ|
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 30 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Signification physique de J
Sphère dans l’espace des contraintes déviatoriques
Contrainte de cisaillement octaédral :sur une facette de normale (1,1,1), le vecteur contrainte a pourcomposantes normale σoct et tangentielle τoct :
σoct = (1/3) I1 ; τoct = (√
2/3)J
Energie élastique de distorsion (associée à la partie déviatorique de σ∼
etε∼).
Wed =12
s∼
: e∼
=16µ
J2
Critère de von Misesf (σ∼) = J−σy
NB : formulé par Maxwell en 1865, et Huber en 1904 (→WIKI)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 31 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Contour du critère de von Mises dans le plan déviateur
CS
CI
TS
σ1
CS
TSσ2
CS
TS
σ3
TS désigne les points qui peuventse ramener à de la traction simple,CS ceux qui peuvent se ramener àla compression simple (par exempleun chargement biaxial, car un étatoù les seules contraintes non nullessont σ1 = σ2 = σ est équivalent àσ3 =−σ), CI un état de cisaillement
f (σ∼) = J−σy
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 32 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique
Critère de von Mises
f (σ∼) = J−σy
Critère de Tresca
f (σ∼) = Maxi,j |σi −σj |−σy
Utilisation du deuxième et du troisième invariant
f (σ∼) = fct(J2,J3)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 33 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Comparaison des critères de Tresca et von Mises
Dans le plan traction-cisaillement
− von Mises : f (σ,τ) =(σ
2 +3τ2)0,5−σy
−Tresca : f (σ,τ) =(σ
2 +4τ2)0,5−σy
Dans le plan des contraintes principales (σ1,σ2)
− von Mises : f (σ1,σ2) =(σ
21 +σ
22−σ1σ2
)0,5− σy
− Tresca : f (σ1,σ2) = σ2−σy si 0 6 σ1 6 σ2
f (σ1,σ2) = σ1−σy si 0 6 σ2 6 σ1
f (σ1,σ2) = σ1−σ2−σy si σ2 6 0 6 σ1
(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2)
Dans le plan déviateur, von Mises = cercle, Tresca = hexagone
Dans l’espace des contraintes principales, cylindres de génératrice (1,1,1)
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 34 / 43
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Isotrope : Tresca, von Mises
Comparaisons des critères de Tresca et de von Mises
σ12
σ11
τt
τm
σyσy
τm
τt-
-
-
a. En traction-cisaillement (vonMises : τm = σy/
√3, Tresca :
τt = σy/2)
σ1
σ2
σy
σy
σy
σy-
-
b. En traction biaxiale
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 35 / 43
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Modèles insensibles à la pression hydrostatique Un critère anisotrope : Hill
Critères anisotropes
f (σ∼) = ((3/2)Hijkl sij skl)
0,5−σy (ou Hijkl σij σkl)
Critère de Hill
Dans les axes d’orthotropie :
f (σ∼) =(F(σ11−σ22)
2 +G(σ22−σ33)2 +H(σ33−σ11)
2
+2Lσ212 +2Mσ
223 +2Nσ
213)
0,5−σy
Transverse, 3 coefficients indépendants
Symétrie cubique, un seul coefficient
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 37 / 43
Plan
1 Aspects expérimentauxMécaniqueMécanismes
2 Modèles insensibles à la pression hydrostatiqueIsotrope : Tresca, von MisesUn critère anisotrope : Hill
3 Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critère de Drucker-Prager
Combinaison linéaire du premier et du second invariant (avec0 < α < 0.5)
f (σ∼) = (1−α)J +α I1−σy
Limites d’élasticité en traction (σt ) et en compression (σc)
σt = σy σc =−σy/(1−2α)
σ1
2
3
σ
σ
Dans l’espace des contraintesprincipales
I1
J
σy
1−α
σy/α
Dans le plan I1− J
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 39 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critère de Mohr-CoulombCombinaison des contraintes tangentielles et normales dans le plan deMohr
|Tt |<− tan(φ)Tn +C
Peut aussi s’exprimer comme combinaison de la somme et de ladifférence des contraintes extrêmes (σ3 6 σ2 6 σ1)
f (σ∼) = σ1−σ3 +(σ1 +σ3)sinφ−2C cosφ
f<0
σ 3 σ1
T
Tn
t
C cohésion, φ frottement internedu matériau
Si C est nul et φ non nul, matériaupulvérulent
Si φ est nul et C non nul, matériaupurement cohérent
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 40 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Représentation du critère de Mohr-Coulomb
σ
σσ
1
2
3
Dans le plan déviateur on obtient unhexagone irrégulier
TS = 2√
6(C cosφ−p sinφ)/(3+ sinφ)
CS = 2√
6(−C cosφ+p sinφ)/(3−sinφ)
En fonction de la poussée Kp et de lalimite d’élasticité en compression, Rp :
f (σ∼) = Kp σ1−σ3−Rp
Kp =1+ sinφ
1− sinφ= tan2
(π
4+
φ
2
)Rp =−2 cosφC
1− sinφ
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 41 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères «fermés»Le matériau ne doit pas être infiniment résistant en compression
Cap model, ferme par une ellipse le critère de Drücker–Prager,
Modèle de Cam–clay a sa courbe limite définie par deux ellipses dans leplan (I1− J)
−I1
J droitecritique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 42 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères, synthèse
La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être
Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé
Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères, synthèse
La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être
Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé
Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères, synthèse
La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être
Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé
Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères, synthèse
La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être
Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé
Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43
Modèles sensibles à la pression hydrostatique
Critères, synthèse
La frontière du domaine d’élasticité initial est définie par une fonction del’espace des contraintes dans R, qui peut être
Linéaire, par morceaux (Schmid, Tresca)Quadratique, ou de degré plus élevé
Le domaine délimité est convexeLe critère peut dépendre ou non de la pression hydrostatique
Georges Cailletaud (Centre des Matériaux/UMR 7633 ) Critères 15 mars 2010 43 / 43