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Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 01
CUADRILATEROS
Definición. Es aquel polígono de cuadro
lados. En todo cuadrilátero la suma de las
medidas de sus ángulos interiores es 360°.
Cuadrilátero Convexo ABCD
Vértices: A, B, C y D
Elementos Lados: DAyCD,BC,AB
Diagonales: BDy,AC
+ + θ + = 360°
Cuadrilátero Cóncavo PQRT; cóncavo en T
Vértices: P, Q, R y T Elementos Lados: TPyRT,QR,PQ
Diagonales: QTy,PR
x + y + z + w = 360°
Clasificación:
1. Trapezoide. Es aquel cuadrilátero cuyos lados opuestos no son paralelos. Trapezoide asimétrico Trapezoide simétrico
Bisósceles
TEMA:
CUADRILÁTEROS Y CIRCUNFERENCIA
A B
C
D
P R
Q
T x
y
z
A
B
C
D
P R
Q
T
a
a
b
b
Eje de simetría
Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 02
2. Trapecio. Es aquel cuadrilátero que
tiene dos lados opuestos paralelos a los
cuales se les denomina bases.
Si: AD//BC ABCD: trapecio
Elementos:
Bases : BCyAD
Laterales: CDyAB
Base media: MN Altura : h
Tipos de Trapecios
A. Trapecio Escaleno. Es aquel cuyos
laterales son de diferente longitud.
En la figura: AD//BC
AB CD
ABCD es un trapecio escaleno
En la figura: QR//PT
PQ RT
En el caso que: QRPQyPTPQ
PQRT es un trapecio escaleno, llamado trapecio rectángulo
B. Trapecio Isósceles. Es aquel cuyos
laterales son de igual longitud.
En la figura:
Si: BC//AD y AB = CD
ABC es un trapecio isósceles Entonces:
mBAD = mADC; mABC = mBCD
PA = PD; PB = PC AC = BD Sus ángulos opuestos son suplementarios
Propiedades
1.
AD//BC AD//BC//MN
MN : Mediana del trapecio
MN = 2
ba
A
B C
D
M N
a
a b
b
h
A
B C
D
P
Q R
T
A
B C
D
p a a
A
B C
D
M N
b
a
Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 03
Observación: Se cumple: X = 2
nm
2. BC//AD
Si: BQ = QD y AP = PC
BC//AD//PQ
PQ = 2
ba
Observación:
Si: AP = PD
Se cumple:
X = 2
mn
3. Paralelogramo. Es aquel cuadrilátero en
el cual sus dos pares de lados opuestos
son paralelos.
AD//BCyCD//AB
ABCD es un paralelogramo
Propiedades:
- AB = CD y BC = AD
- Sus ángulos opuestos son de igual
medida
- Sus diagonales se bisecan
Tipos de Paralelogramos
A. Romboide
Si: AB BC y BD AC
ABCD: romboide
B. Rombo
Si: AB = BC y BD AC
ABCD: rombo
Consecuencia: BDAC
C. Rectángulo
m n
X
A
B C
D
P Q
b
a
n
A
B C
D
a a
b
b
A
B C
D
a a
b
b
n m
n m
A
B
D
C
a
a
a
a
m m
n
n
A B
C D
P X
m
A D
C B
m
m m
m
Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 04
Si: AB BC, y además es equiángulo
ABCD: rectángulo Consecuencia: AC = BD
D. Cuadrado
Si: AB = BC y AC = BD
ABCD: cuadrado Consecuencia: es equiángulo y las diagonales son bisectrices.
CIRCUNFERENCIA
DEFINICIÓN
Se denomina circunferencia al lugar
geométrico de todos los puntos de un plano
cuya distancia a otro punto del mismo plano
llamado centro, es constante. Esta longitud
constante se denomina radio (r).
CÍRCULO
Es aquella superficie plana determinada por
la unión de una circunferencia y su región
interior.
PROPIEDADES
1. Si: L es tangente OT es radio Entonces:
OT L ; =90°
2. Si: O es centro ABON
Entonces:
AM = MB; mAN = mNB
Centro : O
Radio : OP , OP = r
Cuerda : CD Diámetro : AB , AB = 2r
Secante : m
Tangente : n
Arco : CD , CTD
Flecha Sagita: 𝑀𝐻̅̅ ̅̅ ̅ Punto de Tangencia: T
Longitud de la circunferencia: 2𝜋𝑟 Área del Círculo: 𝜋𝑟2
A
B C
D
m m
m m
O A B
C
D M
H r
P
m
n
T
L
T O
A
M
O
N
B
Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 05
3. Si mAB = mCD
Entonces: AB = CD ; OM = ON
4. Si: m//CD//AB
Entonces: mAC = mBD ;
mCT = mTD
5. Si: PByPA son tangentes y O es centro.
Entonces:
PA = PB ; =
TEOREMA DE PONCELET
En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes
de los catetos es igual a la suma de las longitudes de
la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia
inscrita.
Se cumple:
a + b = c + 2r
Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita.
TEOREMA DE PITHOT
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia,
la suma de las longitudes de dos lados opuestos es
igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.
Se cumple:
a + c = b + d
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS COPLANARES
Circunferencias Exteriores
O1 O2 > R + r
Circunferencias Tangentes Exteriores
O1 O2 = R + r
Circunferencias Secantes
R – r < O1 O2 < R + r
A
M
O
N D
C
B
A
C
B
D
T m
A
B
P
O
C
A B
a b
c
r
A
B
C
D
a
b
c
d
O1
R
O2
r
O1 O2
R
r
O1
R
O2
r
Cuadriláteros y Circunferencia Pág. 06
Circunferencias Tangentes Interiores
O1 O2 = R – r
Circunferencias Interiores
O1 O2 < R – r
Circunferencias Concéntricas
O1
R
O2
r
T
R
O1 O2
r
r
R
O
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