-
Semantica
-
Avem 6 tipuri de simboluri in logica predicatelor:
P di t t Predicate: p, q, r, , p1, q2 etc.
Constante: a, b, c, , z, a1, b4, , ion, mihai, labus etc.
Variabile: x, y, z, x1, y1, z4 etc.
Conective:, , ,,
Paranteze: (, )
Cuantificatori:,
-
Un termen din logica predicatelor este fie o constanta fie o
variabilavariabila.
O formula atomica din logica predicatelor este un predicat
de aritate n urmat de n termeni intre paranteze si cu virgula
intre ei.
-
Def.: Formula bine formata (fbf):
Orice formula atomica este o fbf.
DacaA este o fbf atunciA este o fbf.
DacaA si B sunt fbf, atunci (A B) este o fbf.
DacaA si B sunt fbf, atunci (A B) este o fbf.
DacaA si B sunt fbf, atunci (A B) este o fbf., ( )
DacaA si B sunt fbf, atunci (A B) este o fbf.
-
Def.: Formula bine formata (fbf) continuare:
Daca A este o fbf, x este o variabila, A contine cel putin o aparitie a lui x si
niciun cuantificator de care x sa fie legat, atuncixA este o fbf.
Daca A este o fbf, x este o variabila, A contine cel putin o aparitie a lui x si
niciun cuantificator de care x sa fie legat, atunci xA este o fbf.
-
O propozitie este o entitate care poate fi fie adevarata, fie falsa.
Def.: O propozitie in logica predicatelor este o fbf din logica
predicatelor care nu contine variabile libere (toate variabilele
sunt legate sau instantiate).g
Def.: Daca A este o fbf c o constanta si x o variabila atunciDef.: Daca A este o fbf, c o constanta si x o variabila, atunci
substitutia A[c|x] este fbf care se obtine prin inlocuirea fiecarei
instante a lui x inA prin cinstante a lui x inA prin c.
-
In logica predicatelor, precum in orice limbaj logic, exista doua
tipuri de elemente:
Simboluri logice semnificatia lor este specificata in cadrul limbajului.
Ex.: conectivele, cuantificatorii.
Simboluri nonlogice semnificatia lor nu este definita de structura logica
a limbajului. Ex.: predicatele, constantele.
O interpretare da o semnificatie tuturor elementelor nonlogicep g
ale limbajului.
-
O interpretare in logica predicatelor necesita urmatoarele:
Un univers de definitie (domeniu).
O semnificatie schematica pentru fiecare predicat.
Un obiect care sa fie selectat de fiecare constanta.
Sa luam urmatorul exemplu:
Universul de definitie: personaje de benzi desenate.p j
p(x) x lupta impotriva crimei.
b: Batmanb: Batman.
w: BruceWayne.
-
Exemplu:
Universul de definitie: personaje de benzi desenate.
p(x) x lupta impotriva crimei.
b: Batman.
w: BruceWayne.
Propozitia p(b) e adevarata in aceasta interpretare, dar nu doarp p( ) p ,
datorita acestei interpretari.
p(b) e adevarata datorita acestei interpretari plus a unor p(b) e adevarata datorita acestei interpretari plus a unor
cunostinte despre benzi desenate.
-
Exemplu:
Universul (domeniul) de definitie: personaje de benzi desenate.
p(x) x lupta impotriva crimei.
b: Batman.
w: BruceWayne.
Cum este p(w)?p( )
Fiindca Bruce Wayne e identitatea secreta a lui Batman, b = w,
rezulta ca p(w) e adevaratarezulta ca p(w) e adevarata.
Insa, aceasta fiind identitatea secreta, alte personaje nu stiu ca
( ) d t d i ti (b) d tp(w) e adevarata, desi stiu ca p(b) e adevarata.
-
Dacaamconsideraasignareadevalorideadevarprecumin
logicapropozitiilor,amputeaasignaFsauAfiecareifbf
atomicep(b),p(w)etc.
Arfiechivalentcuainlocuip(b)sip(w)culiteredepropozitii.Arfiechivalentcuainlocuip(b)sip(w)culiteredepropozitii.
Daratunciamignoratoatastructuralogicaapredicatelorsitermenilor.
Inlogicapredicatelor nudamdefinitiiseparatepentrup(b)si Inlogicapredicatelor,nudamdefinitiiseparatepentrup(b)si
p(w),cidamsemnificatiipentrup,b,w.
M i lt f l i i tifi t i Maimult,vremsafolosimsicuantificatori.
-
Cautamasadaruncomplementaralasignariidevaloride
adevardinlogicapropozitiilorpentruointerpretarea
predicatelorsiconstantelor.
Nusepoateutilizaoasignaredevalorideadevarpentru
aceasta,fiindcaunpredicatnuenicifalsniciadevarat.aceasta,fiindcaunpredicatnuenicifalsniciadevarat.
Inexempluldemaidevreme peadevaratdacaeaplicatlui Inexempluldemaidevreme,peadevaratdacaeaplicatlui
Batman,darnuaresenssaneintrebamdacaeadevaratin
generalgeneral.
-
Ointerpretareajutainselectareaobiectelorasupracarorapredicatulesteaplicabil.
Interpretandp(x)dreptxluptaimpotrivacrimei,seselecteazaBatman,Superman,Spidermanetc.
Inmodformal,spunemcaaceastaemultimeamembriloruniversuluidedefinitieasupracaruiapredicatulesteaplicabil.
Aceastamultimepoartanumeledeextensia predicatului.p p
-
Multepredicateaudomeniidedefinitiefoartelargi.
Inexempluldemaisus,nuputemenumeraexhaustivtoti
luptatoriiimpotrivacrimeidinbenziledesenate,cifolosim
limbajulnaturalpentruainterpretapredicatul.limbajulnaturalpentruainterpretapredicatul.
Insainterpretareasinguranuspunecaremembriai
universuluisuntinextensiapredicatului cimaitrebuieuniversuluisuntinextensiapredicatului,cimaitrebuie
cunostintesuplimentaredesprebenzidesenate.
l d l l Ingeneral,extensiaunuipredicatesterezultatulunei
interpretarisialcatorvacunostinte.
-
Cateodatainsaeposibilsaselistezetoateelementeledinextensiapredicatului.
Samaiadaugampredicatulq(x)xtraiesteinlocuintaWaynelaexempluldemaidevreme.p
Atunciextensialuiqestemultimea:extensia(q)={BruceWayne,Alfredmajordomul,DickGrayson}
-
Astfel,nutrebuiecunostintedesprebenzidesenatepentruadeterminaca,inaceastainterpretare,q(w)eadevarat BruceWayneeunuldinmembriiluiq.
Inmodsimilar,xq(x)eadevaratinaceastainterpretare:existacelputinunmembrudinuniverscareesteinextensialuiq.
Inschimbxq(x)efals,fiindcanuesteadevaratcatotimembriidinuniverssuntinextensialuiq maisuntsialtepersonajeinbenziledesenatedecatacesteatrei.
-
Amdefinitsemnificatiaformalaaunuipredicatprinextensiasa.
Cumramaneinsacuconstantelebsiw?
Intelesuluneiconstantedeterminacemembrudinuniverseste
alesdeconstanta.
Individulalesdeconstantasenumestereferentul constantei.
NeputemgandilaliteraconstanteidreptunnumesilareferentNeputemgandilaliteraconstanteidreptunnumesilareferent
dreptlucrulnumit.
Inexemplulnostru bsiwauacelasireferent fiindcasereferala Inexemplulnostru,bsiwauacelasireferent,fiindcasereferala
acelasipersonaj.
-
Unmodel inlogicapredicatelorestestructuraformala
determinatade:
ununivers,
oextensiepentrufiecarepredicat oextensiepentrufiecarepredicat
siunreferentpentrufiecareconstanta.
-
d Saconsideramurmatoareainterpretare: Universul:EchipelespanioledinChampionsLeaguein20092010.
h(x):xesteoechipadinorasulMadrid.
f:Galacticii.
d f b l Dacanustimnimicdesprefotbal,nuputemspunecarepropozitiiinlogicapredicatelorsuntadevarateinaceastainterpretare.
Estepropozitiah(f)adevaratasaufalsa?DepindecaredintreechipelespanioledinChampionsLeague20092010estesupranumitaGalacticii.
Careestemodelulcarecorespundeacesteiinterpretari?
-
EraupatruechipeinChampionsLeague20092010:RealMadrid,
AtleticoMadrid,BarcelonasiSevilla.
DintreacesteaBarcelonasiSevillanusuntdinMadrid.
Asadaravemmodelul:Asadaravemmodelul:
UniversulU={RealMadrid,AtleticoMadrid,Barcelona,Sevilla}
extensia(h)={RealMadrid AtleticoMadrid} extensia(h)={RealMadrid,AtleticoMadrid}
referent(f)={RealMadrid}
A it b i ti i i d f tb l t l Acumnumaitrebuiesastimnimicdesprefotbalpentruaevalua
dacaopropozitiecareilincludepehefalsasauadevaratain
acestmodel.
-
UniversulU={RealMadrid,AtleticoMadrid,Barcelona,Sevilla} extensia(h)={RealMadrid,AtleticoMadrid} referent(f)={RealMadrid} h(f)eadevarat,fiindcareferentulluif,adicaRealMadrid,estein
extensialuih. Atatxh(x)catsixh(x)suntadevarate,fiindca existacelputinunelementdinUcareesteinextensialuih
siexistacelputinunelementdinUcareNUesteinextensialuih
Astfel,modelulcaptureazatoatasemnificatiaformalaainterpretarii.
-
Saconsideramurmatoareainterpretare:
U:numerelenaturalemaimarica0simaimicidecat1o.
e(x):xepar.
n(x):xestenegativ.( ) g
l(x,y):xestemaimicdecaty.
t(x y z):xinmultitcuyesteegalcuzt(x,y,z): xinmultitcuyesteegalcuz .
Careestemodelulcaresepotrivesteacesteiinterpretari?
U={1 2 3 4 5 6 7 8 9} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Extensiapredicatelore saun estesubmultimealuiUpentrucare
f dfiecareesteadevarat.
-
Saconsideramurmatoareainterpretare:
U:numerelenaturalemaimarica0simaimicidecat1o.
e(x):xepar.
n(x):xestenegativ.( ) g
l(x,y):xestemaimicdecaty.
t(x y z):xinmultitcuyesteegalcuzt(x,y,z): xinmultitcuyesteegalcuz .
extensia(e)={2 4 6 8} alegemelementeleparedinU extensia(e)={2,4,6,8} alegemelementeleparedinU.
extensia(n)= nuexistanumerenegativeinU.
-
e(x):xepar.n(x):xestenegativ.l( ) i i d l(x,y):xestemaimicdecaty.t(x,y,z):xinmultitcuyesteegalcuz.
U:numerelenaturalemaimarica0simaimicidecat1o.
Parecaextensialuil: Artrebuisailcontinape1,fiindca1emaimicdecattoatecelelaltenumere
Artrebuisailcontinasipe2,fiindca2emaimicdecattoatecelelaltemaiputin1.
OricemembrudinUinafarade9emaimicdecatunaltmembrudinU.
Amputeadeciscrieextensia(l)={1,2,3,4,5,6,7,8}?
-
Continuare:
Amputeadeciscrieextensia(l)={1,2,3,4,5,6,7,8}?
Insaintromultime,ordineaelementelornuconteaza.
Deciextensia(l)={8,7,6,5,4,3,2,1}.( ) { , 7, , 5, 4, 3, , }
Scriereanunespunenimicdesprecaremembrisuntmaimicidecatalti
membri.
-
Solutia: Trebuiesaaratamca1emaimicdecat8darsicanuavemsisituatia
inversa.
Extensialuilvatrebuisafiealcatuitadinperechiordonatedenumere.
extensia(l)={,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
-
Continuare: t(x,y,z):xinmultitcuyesteegalcuz.
Extensialuitvacontinetripleteordonatedenumeredetipul,fiindca2*4=8.
Ingeneral,extensiaunuipredicatdearitaten esteomultimeatuturorntuplurilorordonateastfelincat a1,a2,,an suntmembriaiuniversului
sipredicatulaplicatluia1,a2,,an esteadevaratinaceastaordine.
-
FieAsiBdouapropozitiiinlogicapredicatelor.AB(BsededucedinA)dacanuexistaniciunmodelincareAsafieadevaratsiBfals. AinseamnacaAesteadevaratinoricemodel.
Definitii: Otautologie inlogicapredicateloresteopropozitieAcareesteadevaratain
oricemodel,A.
Ocontradictie inlogicapredicateloresteopropozitieAcareestefalsainoricemodel,A.
Opropozitieestecontingenta inlogicapredicatelordacasinumaidacanut i i t t l i i i t di tiesteniciotautologieniciocontradictie.
-
Definitii: UnrationamentincareCsededucedinP1,P2,estevalid inlogica
predicatelordacasinumaidacanuexistaniciunmodelincaretoatepremiselesafieadevaratesiconcluziafalsa,{P1,P2,}C.
l f l l d l d l Altfel,estenevalid inlogicapredicatelor.
DouapropozitiiAsiBsuntlogicechivalenteinlogicapredicatelordacasinumaidacaatatABcatsiBAnumaidacaatatABcatsiBA.
Multimea{A1,A2,A3,}esteconsistenta inlogicapredicatelordacasinumaidacaexistacelputinunmodelincaretoatepropozitiilesuntnumaidacaexistacelputinunmodelincaretoatepropozitiilesuntadevarate.
Multimeaesteinconsistenta dacasinumaidacanuexistaunastfeldemodel.
-
Saaratamcaxp(x x) q(d)nuesteotautologie Saaratamcaxp(x,x) q(d)nuesteotautologie. Trebuiesaaratamasadarcapropozitianuesteadevaratainorice
d l d i t f l i t it d lmodel,decicaestefalsaintrunanumitmodel. Dacaevidentiemunmodelincarepropozitiasafiefalsa,atunciam
d t t t t t l idemonstratcanuestetautologie. Pentrucaxp(x,x) q(d)safiefalsa,xp(x,x)trebuiesafie
d i (d)f ladevaratasiq(d)falsa. Vremcaxp(x,x)safieadevarata,inseamnacafiecaremembrual
funiversuluitrebuiesaformezeperechecuelinsusiinextensialuip. q(d)trebuiesafiefals,decireferentulluid nutrebuiesaseaflein
extensialuiq.
-
Vremcaxp(x x)safieadevarata inseamnacafiecaremembru Vremcaxp(x,x)safieadevarata,inseamnacafiecaremembrualuniversuluitrebuiesaformezeperechecuelinsusiinextensial iluip. SaconsideramU={Paris}
extensia(p)={}
q(d)trebuiesafiefals,decireferentulluid nutrebuiesaseafleint i l iextensialuiq.
extensia(q)=
referent(d)=Paris esingurulmembrudinU
Avemastfelunmodelpartial nuamdefinitsialtepredicatesau id l constante,cidoarcelenecesare.
Inacestmodel,propozitiadataestefalsa.
-
Carearputeafisemnificatiapredicatelorsiaconstantelorin Carearputeafisemnificatiapredicatelorsiaconstantelorinlimbajnatural?
U {P i } U={Paris}
extensia(p)={}
i ( ) extensia(q)=
referent(d)=Paris
M d l l ti l t d i tf ld i t t i Modelulpartialarputeacorespundeuneiastfeldeinterpretari: U={Paris}
( ) i i i p(x,y):xesteinaceeasitaracasiy
q(x):xafostfondatinsec.XX
d O lL i il d:OrasulLuminilor
-
Saaratamcaxp(x,x) q(d)nuesteocontradictie. Trebuiesaspecificamunmodelincarefiexp(x,x)estefals,fie
q(d)eadevaratsixp(x,x)estetotadevarat. Unastfeldemodelpartialarfi: U={Paris}
extensia(p)={}
extensia(q)={Paris}
referent(d)=Paris Fiindcaxp(x,x) q(d)nuestenicitautologie,nicicontradictieinseamnaca
estecontingenta.I l t t iti t ti t t b i Ingeneral,pentruaaratacaopropozitieestecontingenta,vatrebuisaspecificamdouamodele:unulincaresafieadevaratasiunulincaresafiefalsa.
-
Saaratamcaxs(x)sixs(x)nusuntlogicechivalente Saaratamcaxs(x)sixs(x)nusuntlogicechivalente. Trebuiesaconstruimunmodelincareceledouapropozitiisaaiba
valoridiferitedeadevarvaloridiferitedeadevar. Dedataaceasta,nevatrebuiununiverscucelputindoimembri. Dacaamaveaunsingurmembru,celedouaaraveaaceeasivaloareDacaamaveaunsingurmembru,celedouaaraveaaceeasivaloare
deadevar. Ilputemfacepexs(x)adevaratincluzandcevadinuniversinp p
extensialuis,iarpexs(x)falsomitandcevadinuniversinextensialuis. U={Paris,Londra}
extensia(s)={Paris}
Acestmodelpartialaratacaceledouapropozitiinusuntlogicechivalente.
-
(r(c) k1(c)) t(c)
Sarevedemunrationamentdesprecareamspuscaesteinvalid
t(c) k2(c)
Sarevedemunrationamentdesprecareamspuscaesteinvalid. Pentruaaratacaesteinvalid,trebuieconstruitunmodelincare
i l fi d t i l i f lpremiselesafieadevaratesiconcluziafalsa. U={Mihai}
h extensia(t)={Mihai}
extensia(k1)={Mihai}
i (k ) extensia(k2)=
extensia(r)={Mihai}
f ( ) Mih i referent(c)=Mihai
Inmodsimilar,putemaratacaomultimedepropozitiiestei t t t i d d li t t itiil tconsistenta,construindunmodelincaretoatepropozitiilesunt
adevarate.
-
Pentruaaratacaopropozitienuesteotautologie construimun Pentruaaratacaopropozitienuesteotautologie,construimunmodelincarepropozitiaefalsa.C t i iti t t l i ? Cumarataminsacaopropozitieeotautologie?
Existaoinfinitatedemodele,nuputemsaleprecizampetoate,t d iti d t i d llaratandcapropozitiaeadevarataincadrullor.
Putemluainsa,spreexemplu,propozitiar(a,a) r(a,a)sisa l i i i i laratamcaesteotautologieprintrunrationamentsimplu.
Existadouafeluridemodele: celeincareeinextensialuir
siceleincarenueste.
-
d f l d d l
r(a, a) r(a, a)
Existadouafeluridemodele: celeincareeinextensialuiR
siceleincarenueste.
Inconsecinta: Inprimulcaz,r(a,a)eadevaratsi,dintabeluldeadevarpentru,r(a,a)
r(a,a)eadevarat.
I ld il ( ) f l i di b l ld d ( ) ( Inaldoileacaz,r(a,a)efalssi,dintabeluldeadevarpentru,r(a,a) r(a,a)eadevarat.
Dinmomentcepropozitiaeadevaratainoricaredinceledouatipuriposibile Dinmomentcepropozitiaeadevaratainoricaredinceledouatipuriposibiledemodel,inseamnacaeotautologie.
Cutoateacestea,rationamentulestefacutintrunmetalimbajsiCutoateacestea,rationamentulestefacutintr unmetalimbajsinuinlogicapredicatelor.
-
Consideramoaltatautologieevidenta:x(r(x,x) r(x,x))
Amputeafitentatisarationamastfel:p
r(x,x) r(x,x)eadevaratainoricemodel,decisix(r(x,x) r(x,x))trebuie
fi d tsafieadevarata.
Darr(x,x) r(x,x)nueadevaratainoricemodel!
Eanureprezintaopropozitie,decinupoatefiniciadevarata,nicifalsa!
Pentruaconsiderasiformuleleatomicecarenusuntpropozitii,p p ,
vomdefiniconceptuldesatisfiabilitate.
-
I t b DA NUIntrebare DA NU
EsteAotautologie? Arata caAeste adevarata inorice model.
Construieste unmodelincareAe falsa.
EsteAocontradictie? Arata caAeste falsa inoricemodel.
Construieste unmodelincareAe adevarata.
EsteAcontingenta? Construieste doua modele Arata cafieAeotautologie EsteAcontingenta? Construieste doua modele,unul incareAeste adevarata sialtul incareeste falsa.
Arata cafieAeotautologie,fieocontradictie.
SuntAsi Bechivalente? Arata caAsi Bauaceeasi Construieste unmodelincareSuntAsi Bechivalente? Arata caAsi Bauaceeasivaloare deadevar inoricemodel.
Construieste unmodelincareAsi Bauvalori diferite deadevar.
EstemultimeaAconsistenta? Construieste unmodelincare Arata capropozitiile nupotfiEstemultimeaAconsistenta? Construieste unmodelincaretoate propozitiile dinAsuntadevarate.
Arata capropozitiile nupotfitoate adevarate inoricemodel.
Estedeductia lui CdinP Arata cainorice modelincare ConstruiesteunmodelincareEstedeductia lui CdinPvalida?
Arata cainorice modelincarePeadevarata,Cesteadevarata.
ConstruiesteunmodelincareP eadevaratasiCfalsa.
-
b l l b d l Cumseinterpreteazaovariabilalibera,deexempluxinp(x)? Vomintroduceoasignaredevariabile ofunctiecarerealizeaza
potrivireaintrefiecarevariabilasiunmembrualuniversuluiU. Def.1:Oformulap(x)estesatisfiabilaintrunmodelMdeo
asignaredevariabilea dacasinumaidacaa(x),obiectulpecareailasigneazaluix,esteinextensialuip(x)inM.
Candesteacumxp(x)satisfiabil? Nuesuficientcap(x)esatisfiabilinMpentrua: Aceastainseamnacaa(x)einextensie(p).
xp(x)necesitacafiecaremembrualluiUsafieinextensie(p).
-
f f b l l f b l Def.2:Pentrufiecaremembruo aluniversuluiU sifiecarevariabilax,fiea[x|o]asignareadevariabilecareatribuieo luix,darrespectaincelelaltecazuridefinitialuia.
Formal:
Def.3:xp(x)esatisfiabilintrunmodelMdeoasignaredevariabilea dacasinumaidaca,pentrufiecareobiecto dinuniversulUalluiM,p(x)esatisfiabilainMprina[x|o].
-
f f f d l f l Def.4:Definimofuncties intrunmodelMastfelincat,pentruoricefbfAsiasignaredevariabilea,s(A,a)=1dacaAesatisfiabilinMdea;altfels(A,a)=0.
1.DacaAesteofbfatomicadeformap(t1,,tn)sioi esteobiectulselectatdeti,atunci
Pentrufiecaretermenti: Dacati esteoconstanta,atuncioi =referent(ti).
Dacati esteovariabila,atuncioi =a(ti).
-
fbf 2.DacaAesteB,cuBfbf,atunci:
3.DacaAesteBC,pentruBsiCfbf,atunci:
4.DacaAesteBC,pentruBsiCfbf,atunci:
5.DacaAesteBC,pentruBsiCfbf,atunci:
-
fbf 6.DacaAesteBC,pentruBsiCfbf,atunci:
7.DacaAestexB,pentruBfbfsivariabilax,atunci:
8.DacaAestexB,pentruBfbfsivariabilax,atunci:
-
d l Saconsideramopropozitiesimplaprecumxp(x): Dinpunctul7deladefinitiasatisfiabilitatii,propozitiaesatisfiabiladaca
[ | ] i f ( )i M fi di Ua[x|o]satisfacep(x)inMpentrufiecareo dinU.
Dinpunctul1,aceastaseintampladacafiecareo seaflainextensialuip.
F t l ( ) ti fi bil d i d d i Faptulcaxp(x)esatisfiabilsaunudepindedeasignareaparticularadevariabilea.D t iti ti fi bil t i t d t Dacaaceastapropozitieesatisfiabila,atuncieaesteadevarata.
Astfelformalizamfaptulcaxp(x)eadevaratadacatoatel l di U i i l ielementeledinUsuntinextensialuip.
-
d l f d l d l d Asadar,incazulfiecareipropozitiidinlogicapredicatelor,dinmotivulcatoatevariabilelesuntlegate,aceastaestesatisfiabilasaunuindiferentdedetaliileasignariidevariabile.
Def.5:OpropozitieAesteadevarata inMdacasinumaidacavreoasignaredevariabilesatisfacepeAinM;altfel,AestefalsainM.
Savedemacumcumputemfolosinotiuniledesatisfiabilitatesiadevarpentruarealizaunrationamentundesuntimplicateoinfinitatedemodele.
-
Demonstrati ca x(r(x x) r(x x)) este o tautologieDemonstrati ca x(r(x, x) r(x, x)) este o tautologie.
SaconsideramunmodelarbitrarMsiunmembruo arbitrardinU.
Dacaseaflainextensialuir,atuncir(x,x)estesatisfiabildeasignarea
devariabilecareilatribuiepeo luix (punctul1dindef.4).
Dinmomentceconsecintaluir(x,x) r(x,x)estesatisfiabila,implicatiaestesatisfiabila(punctul5).
Dacanuseaflainextensialuir,atuncir(x,x)nuestesatisfiabilde
i d i bil il ib i l i ( l )asignareadevariabilecareilatribuiepeo luix (punctul1).
Dinmomentceconditialuir(x,x) r(x,x)estenesatisfiabila,implicatiaestesatisfiabila(punctul5)satisfiabila(punctul5).
-
Demonstrati ca x(r(x x) r(x x)) este o tautologieDemonstrati ca x(r(x, x) r(x, x)) este o tautologie.
r(x,x) r(x,x)estesatisfiabilapentrufiecaremembrudinU,decix(r(x,x)
r(x,x))estesatisfiabiladeoriceasignaredevariabile(punctul7).
Decix(r(x,x) r(x,x))esteadevaratainM(def.adevarului),pentruoriceU
siextensiealuir,decieadevaratainoricemodel,fiindasadarotautologie.siextensiealuir,decieadevaratainoricemodel,fiindasadarotautologie.
-
Demonstrati ca xh(x) se deduce din x(h(x) j(x)).
d d l b h SaconsideramunmodelarbitrarMincarepremisax(h(x) j(x))esteadevarata(vezitabel). Conjunctiah(x) j(x)esatisfiabilaindiferentdeasignareapentrux,asadar
asaestesih(x)(punctul3dindef.4).
h( ) f b l d d b l ( l ) Decixh(x)estesatisfiabiladeoriceasignaredevariabile(punctul7)siadevaratainM(def.adevarului).
Mfiindarbitrarales rezultacaxh(x)esteadevaratainoricemodelincare Mfiindarbitrarales,rezultacaxh(x)esteadevaratainoricemodelincarex(h(x) j(x))eadevarata.
Decix(h(x) j(x))xh(x) Decix(h(x) j(x))xh(x).
Chiarsipentruargumentesimple,rationamentulecomplicat.
Pentruacontracaraacestaspect vomstudiaincursulurmatorsistemeledePentruacontracaraacestaspect,vomstudiaincursulurmatorsistemelededemonstratie.
-
1.Determinatidacafiecarepropozitieesteadevaratasaufalsainmodeluldat:
U={Cristi,Alin}
Extensia(p) {Cristi Alin} Extensia(p)={Cristi,Alin}
Extensia(q)={Alin}
Extensia(r)=( )
Referent(c)=Cristi
1. q(c)2. p(c) r(c)3. r(c) (p(c) q(c))4 xp(x)4. xp(x)5. xq(x)6. x(p(x) q(x))7. xq(x)xp(x)
-
2. Determinatidacafiecarepropozitieesteadevaratasaufalsainmodeluldat:
U={Cristi,Mihai,Ionut}
h extensia(p)={Cristi,Mihai,Ionut}
extensia(q)={Cristi,Mihai}
extensia(r)={ } extensia(r)={,,}
referent(c)=Ionut
1. x(r(x,c) r(c,x))2. x(p(x) q(x))3. x(r(x,c) q(x))4 x(q(x) (p(x) q(x)))4. x(q(x) (p(x) q(x)))5. xyr(x,y)6. xy(r(x,y) r(y,x))
-
3.Determinatidacafiecarepropozitieesteadevaratasaufalsainmodeluldat: U={Tiberiu,Cristina,Edi}
extensia(p)={Tiberiu Cristina Edi} extensia(p)={Tiberiu,Cristina,Edi}
extensia(q)={Cristina}
extensia(r)={Tiberiu,Edi}
referent(c)=Cristina
referent(e)=Edi
1. q(c)q2. q(e)3. r(c) r(e)4 r(c) p(c)4. r(c) p(c)5. x(p(x) q(x))6. xq(x) xr(x)
( ( ) ( ))7. x(q(x) r(x))8. xy(p(x) q(y))
-
4.Scrietimodelulcarecorespundelaurmatoareainterpretare:
U numerenaturaledela10la13 U:numerenaturaledela10la13
p(x):xesteimpar
q(x):desprexsespunecapoartaghinion
r(x,y):xesteurmatorulnumardupay
s(x):xestemaimicdecat9
t(x):xesteunnumarformatdindouacifre
-
5.Arataticafiecaredinurmatoareleestecontingent:
p(a) p(b)
x(t(x,c))
p(c) xp(x)
x(p(x)yq(y)) x(p(x)yq(y))
-
6.Arataticaurmatoareleperechidepropozitiinusuntlogic
echivalente:
p(a),q(a)
xp(x),p(x)
xr(x x) xr(x x) xr(x,x),xr(x,x)
xp(x)q(x),x(p(x)q(x))
xyr(x,y),xyr(x,y)
-
7.Arataticaurmatoarelemultimidepropozitiisunt
iconsistente:
{p(a),q(a),r(a),s(a)}
{p(c,c),p(c,a),p(a,c),p(a,a)}
{p(a) p(b),p(a)xp(x)}p( ) p( ), p( ) p( )
{x(q(x) p(x)),xr(x),x[(p(x) q(x)) r(x)]}
-
8.Construitimodelepentruaaratacaurmatoarelerationamentesuntnevalide:
x(p(x) q(x))x(p(x) q(x))
xq(x)x(p(x) r(x))
q(x) r(x)p(a)
p(b) q(a b)xq(x b)p(b)
p(c)
q(a,b)xq(x,b)
xq(x,b)
xp(x) q(b,b)