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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL
CURVAS CLOTOIDES
DISEÑO VIAL II NOMBRE
LEONARDO CORDOVA
SEXTO SEMESTRE CIVIL
FECHA
22/01/2016
GEOMETRÍA DE LAS CURVAS DE TRANSICIÓN
En un trazado de rectas y curvas circulares, la curvatura pasa de 0 en la recta, a
un valor finito y constante en la curva, lo que produce incomodidad y puede
causar accidentes por la aparición brusca de la fuerza centrífuga.
Para alcanzar el peralte requerido en una curva debe pasarse del bombeo a
dicho peralte, lo cual se reparte 2/3 antes del TE y 1/3 después.
Estas cusas hacen necesario el empleo de un alineamiento de transición.
Otras causas:
- Se tiende alentar la uniformidad de la velocidad.
- Permite el cambio gradual de la deflexión de las ruedas.
- El mayor número de accidentes se relaciona a efectos de entrada y salida.
CLOTOIDE
La clotoide, también denominada radioide de arcos o espiral de Cornú en honor
de Marie Alfred Cornu, es una curva tangente al eje de las abcisas en el origen
y cuyo radio de curvatura disminuye de manera inversamente proporcional a la
distancia recorrida sobre ella. Es por ello que en el punto origen de la curva, el
radio es infinito.
La expresión matemática usual es:
Siendo:
ρ = el radio de curvatura.
s = el desarrollo o arco.
C= la constante de la espiral.
Numerosas curvas cumplen las condiciones requeridas de cambio de curvatura:
El ovalo.
La parábola cúbica.
La lemniscata de Bernoulli.
La espiral de Cornu o Clotoide. (*)
(*) Avanzada por Max Von Leber 1860, introducida en la práctica de la ingeniería
por L. Oerley en 1937.
Ventajas de la Clotoide:
1. La clotoide es una espiral cuya curvatura varía proporcionalmente con la
longitud comenzando en cero desde el origen.
2. Esta característica le da la propiedad de que un móvil que la recorra a
velocidad constante experimente una variación uniforme de la fuerza
centrífuga.
F = 𝑊 𝑉2
𝑔 𝑅
3. La parte de la clotoide a usar es un segmento que no permite apreciar la
forma de la espiral.
4. La fórmula de la Clotoide es sencilla; el producto del radio de curvatura
(R) por la longitud (L) desde el origen hasta ese punto, es constante (K2)
donde K se denomina el parámetro de la curva.
L
Tc Le
Para K = 8 R L RxL K2
2 32 64
4 16 64
8 8 64
16 4 64
5. La magnitud de K se denomina; parámetro de la curva.
6. Todas las Clotoides poseen la misma forma pero distinto tamaño, son
homotéticas con K, pueden desarrollarse tablas para la clotoide unitaria
K=1 y obtener valores para otra clotoide por simple proporción.
7. Las Clotoides de parámetro grande aumentan más lentamente su
curvatura, siendo apropiadas para marcha rápida de vehículos. Las de
parámetro pequeño aumentan rápidamente la curvatura, siendo aptas
para velocidades reducidas y para suavizar sinuosidades del trazado.
R x L = K2
USOS DE LAS CLOTOIDES
a) Transición entre recta y arco de círculo.
b) Enlace de círculos.
c) Como curva de transición total.
d) Curva revertida.
e) Problemas de distribuidores.
f) Clotoide como curva compuesta.
ECUACIONES DE LA CLOTOIDE
Los radios de curvatura están en razón inversa a los desarrollos de sus
respectivos arcos.
R X L = K2
Donde:
L= longitud del arco.
R= radio de curvatura.
K= parámetro.
Para reducir el valor del parámetro se hace:
Considérese la siguiente figura:
Considérese un elemento diferencial dl:
dl = Rdθ dθ = 𝑑𝑙
𝑅
R = 𝐾2
𝐿 dθ =
𝐿 𝑑𝑙
𝐾2
𝜃 = 𝐿2
2 𝐾2
Sustituyendo K2 = R x L Integrando:
𝜃 =𝐿2
2𝑅𝑙 𝜃 =
𝐿
2𝑅 𝐾2 =
𝐿2
2𝜃 𝐾 =
𝐿
√2𝜃
En el punto paramétrico o punto característico L = R:
𝜃 = 1
2 𝑥
180𝑜
𝛱 28o 38' 52,4”
Refiriendo la clotoide a un sistema de coordenadas cuyos ejes son la tangente y
su perpendicular en el origen, donde L = 0
𝑑𝑥 = 𝑑𝑙 cos 𝜃
𝑑𝑦 = 𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑥 = ∫ 𝑑𝑙 cos 𝜃𝐿
0 𝑦 = ∫ 𝑑𝑙 𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝐿
0
Desarrollando en serie cos θ y sen θ e integrando se obtiene:
a. Ecuaciones que definen la clotoide por su longitud.
𝑥 = 𝑙 ( 1 − 𝜃2
5 𝑥 2! +
𝜃4
9 𝑥 4! −
𝜃6
13 𝑥 6!+. . )
𝑦 = 𝑙 ( 𝜃
3−
𝜃3
7 𝑥 3! +
𝜃5
11 𝑥 5! −
𝜃7
15 𝑥 7!+. . )
b. Definen a la clotoide por su parámetro. Sustituyendo 𝑙 = 𝐾 √2 𝜃
𝑥 = 𝐾 [ √2 𝜃 ( 1 − 𝜃2
5 𝑥 2! +
𝜃4
9 𝑥 4! −
𝜃6
13 𝑥 6!+. . )]
𝑦 = 𝐾 [ √2 𝜃 ( 𝜃
3−
𝜃3
7 𝑥 3! +
𝜃5
11 𝑥 5! −
𝜃7
15 𝑥 7!+. . )]
ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
Puntos:
TE = tangente - espiral.
ET = espiral – tangente.
EC = espiral – curva.
CE = curva – espiral.
PC = punto donde se desplaza el TE o TS de la curva circular.
PI = punto de intersección.
Ángulos:
Δo = ángulo de deflexión entre tangentes.
Θ = deflexión entre tangente de entrada y tangente de un punto.
Θe = deflexión entre tangentes de extremos de la clotoide.
Distancias:
Rc = radio de la curva circular.
R = radio de la curvatura de la espiral en cualquier punto.
Le = longitud total de la espiral.
L = longitud de la espiral desde el origen a un punto.
TL = tangente larga.
TC = tangente corta.
TT = tangente total.
Xc, Yc = coordenadas del EC.
K, P = coordenadas de PC
CALCULO DE LOS ELEMENTOS DE LA CLOTOIDE
Topografía:
Vproy. Rc
Dato ℓe
R x ℓ = Rc x ℓe
Radio a una longitud ℓ del origen
θ = ℓ²
2 𝑘² en EC θe =
ℓe²
2 𝑘² θe =
ℓe²
2 𝑅𝑐 ℓe
Radianes
ℓe = 2 Rc θe
Rc = ℓe
2 𝜃e
R = 𝑅𝑐 . ℓe
ℓ
Θe = ℓe
2 𝑅𝑐 ℓe
θ = ℓ²
2 𝑅𝑐 ℓe =
ℓ²
2 (ℓe
2 𝜃𝑒)ℓe
= ℓ²
ℓe² θe = (
ℓ
ℓe)² θe
Angulo de deflexión a una distancia ℓ del origen
Es una transición de tipo clotoide – curva circular – clotoide
Υ = Δ c = Δ − 2θe
𝐿 = 𝑙𝑒 + 𝑙𝑐 + 𝑙𝑒 = 2𝑙𝑒 + 𝑙𝑐
𝐿 = 4 𝑅𝑐 𝜃𝑒 + 𝑅𝑐 Δ𝑐
𝐿 = 𝑅𝑒 (4𝜃𝑒 + δ)
Siendo L la longitud de la curva, 𝜃𝑒 𝑦 Υ en radianes
Sistema de coordenadas cartesianas (X, Y) en el origen de la clotoide.
×= 𝑙 (1 − 𝜃
10
2
+ 𝜃
216
4
− … )
𝑌 = 𝑙 ( 𝜃
3−
𝜃
𝑌2
3+ … )
Para EC Xc, Yc se obtienen haciendo l = le
Sistema de coordenadas polares de un punto (Ø, C):
𝐶 = √𝑥2 + 𝑦2
Ø = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔[ 𝑦
𝑥 ]
Donde:
C= cuerda
Φ= ángulo de la cuerda
Para Ec:
CL = √𝑋𝑐² + 𝑌𝑐²
θ = (ℓ
ℓe)² θe
Φe = arcTang (𝑌𝑐
𝑋𝑐)
Si la curva circular se prolonga en θe se obtiene la coordenada 𝓀, 𝜌
𝓀 = 𝑋𝑐 − 𝑅𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑒
𝜌 = 𝑌𝑐 − 𝑅𝑐 ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑒)
k es aproximadamente igual a la mitad d la longitud de la clotoide.
La clotoide bisecta a ρ en partes prácticamente iguales.
Para Clotoides iguales a la entrada y salida:
Tangente Total
Ee = (ρ + Rc) Sec (Δ/2) – Rc
Externa
En términos de la Semitangente y la Externa de la curva circular:
Tt = k + (Rc + ρ) Tang (Δ/2)
Ee = Rc (Sec (Δ/2) – 1) + ρ Sec (Δ/2)
Tt = T+ ρ Sen (Δ/2) + k
Ee = E+ ρ Sec (Δ/2)
Para calcular la Tangente Larga y la Corta:
Valores de X, Y Tablas, Programas
LONGITUD MÍNIMA DE LA CLOTOIDE
Cambio de dirección del vehículo.
Tres Criterios Transiciones del peralte.
Aparición de la fuerza centrifuga.
1. Le ≥ 30m
2. Le ≥ a x p x n
3. Le ≥ 0,0522 𝑉𝑝³
𝑅𝑐 - 6,64 Vp e (Smirnoff)
Donde:
a = ancho del canal (m)
e = peralte (decimales)
n = 1
𝑆 s: pendiente borde exterior calzada
n = 200
3 +
5
3 Vp
Le (m)
Vp = Velocidad de Proyecto (Km/h)
Rc = Radio de la curva (m)
TL = Xc – Yc Cotg θe
Tc = 𝑌𝑐
𝑆𝑒𝑛𝜃𝑒