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Curvas y superficies en el espacio
J.C. Remiro
Puntos de vista de estudio
Geometría sintética Demócrito y Eudoxo (método de exhausción)
Geometría analítica Jakob Bernoulli
Geometría no euclídea Nikolái Lobachevski, Euler y János Bolyai
Definición de curva
Se denomina curva del espacio al conjunto de puntos P(f(t),g(t),h(t)) dando todos los valores posibles a t y siendo f(t), g(t) y h(t) funciones continuas.
j
O
ik P(f(t),g(t),h(t))
Definición de superficie
Se denomina superficie del espacio al conjunto de puntos P(f(t,s),g(t,s),h(t,s)) que se obtienen dando a t y s todos los posibles valores y siendo f, g y h, funciones continuas.
P(f(t,s),g(t,s),h(t,s))
Coordenadas en el espacio
Dependiendo de los elementos utilizados para definir un punto en el espacio dispondremos de diferentes caracterizaciones de curvas y superficies Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas esféricas
Coordenadas cartesianas
La posición de un punto en el espacio queda determinada en coordenadas cartesianas por la abcisa x, la ordenada y y la altura (cota) z.
j
O
ik
P(x,y,z)
x
y
z
Coordenadas cilíndricas
Un punto queda determinado por la longitud de la proyección del radiovector sobre el plano XY, el ángulo que forma con el eje X la proyección del radiovector sobre el plano XY y la distancia con signo desde el punto P al plano XY.
Y
P(r, ,z)
X
Z
z
Coordenadas esféricas
Un punto queda determinado por la longitud del punto al origen de coordenadas, el ángulo (longitud) y el ángulo (colatitud) .
Y
P(r, , )
X
Z
z
De coordenadas cartesianas a cilíndricas
zzy
xarctg
yxr
zrP
22
),,(
zz
rseny
rx
zyxP cos
),,(
O
P(x,y,z)
x
y
z
APz
B
r
C
zOCz
rsenOBy
rOAx
cos
De coordenadas cartesianas a esféricas
2
),,(
22
222
yxarctg
x
yarctg
zyxr
rP
cos
cos
),,(
rz
senrseny
senrx
zyxPO
P(r, , )
x
y
z
APz
B
r
C
OPz=r·sen
Algunos tipos de superficies
Superficies cilíndricas
Una superficie cilíndrica se encuentra formada por los puntos que pertenecen a todas las rectas (generatrices r) que cortan a una curva (directriz d) y tienen por dirección la de un vector (vector direccional v) no nulo.
j
O
ik
x
y
z
r
d
V = (v1,v2,v3)
Superficies cilíndricas: ec.paramétricas
321 ,, vvv
Vector direccional
Ecuaciones de la directriz
)(),(),( thtgtf
Ecuaciones paramétricas de lasuperficie
3
2
1
)(
)(
)(
kvthz
kvtgy
kvtfx(f(t),g(t),h(t))
j
O
ik
x
y
z
r
(x,y,z)
d
V = (v1,v2,v3)
Superficies cónicas
Una superficie cónica se encuentra formada por todos los puntos de las rectas (generatrices) que pasan por un punto fijo (vértice) y cortan a una curva (directriz)
j
O
ik
x
y
z
d
Superficies cónicas: Ec. paramétricas
321 ,, ppp
Vértice
Ecuaciones de la directriz
)(),(),( thtgtf
Ecuaciones paramétricas de lasuperficie
))((
))((
))((
33
22
11
pthkpx
ptgkpy
ptfkpx
j
O
ik
x
y
z
d (f(x),g(x),h(x))
(p1,p2,p3)
(x,y,z)
Podemos deducir la ecuación de una esfera de centro el origen de coordenadas resolviendo el siguiente problema métrico:
La esfera
La esfera es el lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de otro denominado centro.
RzyxOPOPd 222)(
Gracias …
Recursos externos utilizados
La música de fondo es la canción “enjoyit” del albúm “Point of no return” de Roger Subirana, disponible en Jamendo bajo licencia “creative commons”.
Las imágenes de la diapositiva 11 son del fondo libre de fotografías del site www.pixelperfectdigital.com.
La nube de palabras de la diapositiva 17 se ha realizado utilizando el site www.wordle.net