D E V O I R S U R V E I L L E MATIERE : MATHEMATIQUES CLASSE de : SALLE : PROFESSEUR : DATE : HEURE Début : HEURE fin :

MATERIEL UTILISE : CALCULATRICE AUTORISEE OUI NON Rappel : Tous les prêts, échanges et sorties de documents sont strictement interdits durant les devoirs, tout élève doit prévoir le matériel dont il a besoin.

Compétences : C1 _____________ C3 ____ C6 ____ Exercice 1 :

1)Calculer les fonctions dérivées des fonctions f définies et dérivables sur l’ensemble D :

a)f(x) = ( 2x + 5 ) 4 D=ℝ b)f(x) =√2𝑥+1

𝑥+2 D = [ 0 ; + ∞[

2) Etudier la position de Cf par rapport à la droite d d’équation y= x−3 avec f(x) √𝑥² − 6𝑥 sur [6; +∞[ 3) Soit (un) la suite arithmétique dont on connait u10 =27 et S= u0+u1+……u10 = 132

Calculer le premier terme 𝑢0 et la raison r

4) Soit nu la suite définie par : 𝑢𝑛+1 =1

2𝑢𝑛 + 2 et 𝑢0 = 8 pour n∈ ℕ On définit la suite nv par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 4, avec n ℕ.

Montrer que la suite ( 𝑣𝑛) 𝑒𝑠𝑡 géométrique , en déduire l’expression de vn puis de un en fonction de n Exercice2 Partie A :

Soit la fonction g définie sur ℝ \ { 3} dont on a représenté la

courbe Cg ci-contre , ainsi que la droite D d'équation x 3.

1) Lire sur ce graphique g ( 1 ) , g ' ( 1 ) et g’(-1) 2) On donne ci-dessous les courbes représentatives de 3 fonctions g '1 , g '2 et g '3 . Choisir parmi ces trois fonctions représentées ci-dessous, celle qui pourrait correspondre à la fonction g ' , dérivée de la fonction g et justifier la réponse.

Cg1' Cg2' Cg3'

3) On sait que la fonction g peut être définie par g ( 𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 + 𝑐

3−𝑥 , où a, b sont deux réels .

a) Calculer g ' ( 𝑥 ) b) Utiliser les résultats de la question 1 pour déterminer les réels a , b et c . Partie B :

Soit la fonction f définie sur ℝ \ { 3 } par f ( 𝑥) = 2𝑥 − 4 −8

(3−𝑥)²

On note Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

1/ Calculer f ' ( 𝑥 ) , pour tout x ℝ \ { 3 }

2/ Déterminer les abscisses des points où la courbe Cf admet une tangente parallèle à la droite d’équation y= 3

2𝑥+1

Exercice 3 Partie A

Soit f la fonction définie par f(𝑥) = (4 + 𝑥)√4 − 𝑥² sur [-2 ;2]

1)a) Montrer que f ‘ (𝑥) = −2𝑥2−4𝑥+4

√4−𝑥²

b) Construire le tableau de variation de f Partie B L’entreprise métal veut modéliser une nouvelle boite à outils dont la face avant est de la forme d’un trapèze ABCD avec CD=20 cm =2dm ,CB=20 cm=2dm , AHCD rectangle et CHB triangle rectangle en H avec BH = x dm et dont la base est un rectangle ADEF tel que AD = CH et DE = 20 cm=2dm L’entreprise veut réaliser une boite à volume maximale

Soit V le volume de la boite 1)a) A quel intervalle x appartient-il ? b) Exprimer CH en fonction de x 2)a) Exprimer l’aire du trapèze ABCD en fonction de x

b) En déduire que le volume de la boite vaut V= (4+x)√4 − 𝑥² 3) En déduire la valeur de x pour que le volume soit maximal

Exercice 1 :

1)Calculer les fonctions dérivées des fonctions f définies et dérivables sur l’ensemble D :

a) f est derivable sur ℝ f(x) = ( 2x + 5 ) 4

f’(𝑥) = 8 × (2𝑥 + 5)3 D=ℝ

b)f(x) =√2𝑥+1

𝑥+2 f est dérivable sur D = [ 0 ; + ∞[ sur D, 2𝑥 + 1 > 0 𝑒𝑡 𝑥 + 2 ≠ 0

𝑓′(𝑥) =

2

2√2𝑥 + 1× (𝑥 + 2) − 1 × √2𝑥 + 1

(𝑥 + 2)2=

𝑥 + 2

√2𝑥 + 1− √2𝑥 + 1

(𝑥 + 2)2=

𝑥 + 2 − (√2𝑥 + 1)2

√2𝑥 + 1(𝑥 + 2)2

=

𝑥+2−(2𝑥+1)

√2𝑥+1×

1

(𝑥+2)²=

−𝑥+1

√2𝑥+1×(𝑥+2)²

2) Etudier la position de Cf par rapport à la droite d d’équation y= x−3 avec f(x) √𝑥² − 6𝑥 sur [6; +∞[

sur [6 ; +∞[ 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥(𝑥 − 6) 𝑥2 − 6𝑥 ≥ 0 𝑓(𝑥) − (𝑥 − 3) = √𝑥2 − 6𝑥 − (𝑥 − 3)

sur [6; +∞[ 𝑥 − 3 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 − (𝑥 − 3) < 0 𝑒𝑡 √𝑥2 − 6𝑥 ≥ 0

donc on ne peut pas donner directement le signe de √𝑥2 − 6𝑥 − (𝑥 − 3) sur [6; +∞[

𝑓(𝑥) − (𝑥 − 3) = √𝑥2 − 6𝑥 − (𝑥 − 3) =(√𝑥2−6𝑥−(𝑥−3))(√𝑥2−6𝑥+(𝑥−3))

√𝑥2−6𝑥+(𝑥−3)=

(√𝑥2−6𝑥)2

−(𝑥−3)²

√𝑥2−6𝑥+(𝑥−3)=

𝑥²−6𝑥−(𝑥2−6𝑥+9)

√𝑥²−6𝑥+(𝑥−3)=

−9

√𝑥²−6𝑥+(𝑥−3)

sur [6; +∞[ 𝑥 − 3 > 0 𝑒𝑡 √𝑥2 − 6𝑥 ≥ 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 √𝑥2 − 6𝑥 + (𝑥 − 3) > 0 et -9 <0 donc

−9

√𝑥²−6𝑥+(𝑥−3)< 0 donc 𝑓(𝑥) − (𝑥 − 3) < 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑓(𝑥) < 𝑥 − 3 𝑑𝑜𝑛𝑐

la courbe Cf est au dessous de la droite d’équation y = 𝑥 − 3 𝑠𝑢𝑟 [6; +∞[ 3) Soit (un) la suite arithmétique dont on connait u10 =27 et S= u0+u1+……u10 = 132

S= u0+u1+……u10 = 132 donc 11×𝑢0+𝑢10

2= 132 𝑠𝑜𝑖𝑡 11 × (𝑢0 + 27) = 264 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑢0 =

264

11− 27 = −3

𝑢10 = 𝑢0 + 10 × 𝑟 𝑠𝑜𝑖𝑡 27 = −3 + 10 × 𝑟 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑟 =27+3

10= 3

4) Soit nu la suite définie par : 𝑢𝑛+1 =1

2𝑢𝑛 + 2 et 𝑢0 = 8. On définit la suite nv par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 4, avec n ℕ.

la suite ( 𝑣𝑛) 𝑒𝑠𝑡 géométrique si 𝑣𝑛+1 = 𝑞 × 𝑣𝑛 ,

𝑣𝑛+1 = 𝑢𝑛+1 − 4 = 1

2𝑢𝑛 + 2 − 4=

1

2𝑢𝑛 − 2=

𝑢𝑛−4

2=

𝑣𝑛

2=

1

2𝑣𝑛 donc la suite ( 𝑣𝑛) 𝑒𝑠𝑡 géométrique de raison q=

1

2

de premier terme 𝑣0 = 𝑢0 − 4=4 donc 𝑣𝑛 = 4 × (1

2)𝑛 et 𝑢𝑛 = 𝑣𝑛 + 4 = 4 × (

1

2)𝑛 + 4

Exercice 2 1/ g ( 1 )= -6 A ( 1 ; -6) est sur la courbe Cg g ' ( 1 ) =0 car Cg a une tangente horizontale en A g’(-1) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe Cg , en B ( -1 ; -8 ) passant aussi par C(3 ;-2)

donc g’(-1)=−2−(−8)

3−(−1)=

6

4=

3

2

2/ la fonction g est croissante sur ]−∞; 1] 𝑒𝑡 𝑠𝑢𝑟 [5; +∞[ et g est décroissante sur [1 ;3[ et sur ]3 ; 5] donc sur ]−∞; 1]𝑈 [5; +∞[ g ‘ (𝑥) ≥ 0 st sur [1 ;3[ U]3 ; 5] g’(𝑥) ≤ 0 donc la courbe représentative de g’ doit être au dessus de l’axe des abscisses sur ]−∞; 1]𝑈 [5; +∞[ et au dessous sur [1 ;3[ U]3 ; 5] et Cg’ doit couper l’axe des abscisses aux points d’abscisses x=1 et x=5 ce qui correspond à la coureb Cg’3

3)On sait que la fonction g peut être définie par g (𝑥 ) = 𝑎 𝑥 + 𝑏 + 𝑐

3−𝑥 , où a, b sont deux réels .

a. g ' ( 𝑥 ) = a +c× (−−1

(3−𝑥)2) = 𝑎 +𝑐

(3−𝑥)²

g(1)=-6 donc a+b+𝑐

2= −6 Eq1

g’(1)=0 donc 𝑎 +𝑐

4= 0 𝐸𝑞2 et g’(−1) =

5

2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑎 +

𝑐

16=

3

2 Eq 3

Eq2- Eq3 𝑐

4−

𝑐

16= −

3

2 𝑑𝑜𝑛𝑐

4𝑐

16−

𝑐

16=

−24

16 soit 3c = -24 soit c= -8 donc a =

−𝑐

4= 2

donc 2+b-4=-6 soit b= -6+2=-4 donc g(𝑥) = 2𝑥 − 4 − 8

3−𝑥

Partie B par f ( 𝑥) = 2𝑥 − 4 − 8

3−𝑥

1)f est une fonction rationnelle donc définie et dérivable sur ℝ\{3} f’(𝑥) = 2 −8

(3−𝑥)²

2) Cf a une tangente parallèle à la droite d’équation y= 3

2𝑥+1 donc f ’(𝑥) =

3

2 donc 2 −

8

(3−𝑥)²=

3

2

soit −8

(3−𝑥)2 =3

2− 2 = −

1

2 soit −16 = −(3 − 𝑥)2 𝑠𝑜𝑖𝑡 16 = (3 − 𝑥)2

𝑠𝑜𝑖𝑡 3 − 𝑥 = 4 𝑜𝑢 − 4 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 7

Exercice 3 Soit f la fonction définie par f(𝑥) = (4 + 𝑥)√4 − 𝑥² sur [-2 ;2]

1)f est dérivable si 4−𝑥2 > 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 (2 − 𝑥)(2 + 𝑥) > 0 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥 ∈ ] − 2; 2[

𝑓′(𝑥) = 1 × √4 − 𝑥² + (4 + 𝑥) ×−2𝑥

2√4 − 𝑥2= √4 − 𝑥² −

𝑥(4 + 𝑥)

√4 − 𝑥2=

4 − 𝑥2 − 𝑥2 − 4𝑥

√4 − 𝑥2=

−2𝑥2 − 4𝑥 + 4

√4 − 𝑥²

√4 − 𝑥2 > 0 𝑠𝑢𝑟 ] − 2; 2[ 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑙𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑒 𝑑𝑒 𝑓′𝑒𝑠𝑡 𝑐𝑒𝑙𝑢𝑖 𝑑𝑒 − 2𝑥2 − 4𝑥 + 4 ∆= 16 + 32 = 48

𝑥1 =4−4√3

−4= −1 + √3~0,73 𝑥2 =

4+4√3

−4= −1 − √3 ~ − 2,73

f(−1 + √3 ) = (3+√3 ) √4 − (1 − 2√3 + 3)

=(3+√3 )× √2√3~8,8

2)L’entreprise métal veut modéliser une nouvelle boite à outils dont la face avant est de la forme d’un trapèze ABCD avec CD=20 cm =2dm ,CB=20 cm=2dm , AHC D rectangle et CHB triangle rectangle en H avec BH = x dm et

𝑥 −2 −1 + √3 2

f ‘( 𝑥 ) + 0 −

f ( 𝑥 ) f( (−1 + √3) 0 0

de base un rectangle ADEF tel que AD = CH et DE = 20 cm=2dm L’entreprise veut réaliser une boite à volume maximale

Soit V le volume de la boite 1)a) CHB est rectangle en H donc 0 < BH < CH donc 0 < x < 2 x est dans l’intervalle I = ]0 ;2[ b) CHB est rectangle en H d’après le théorème de Pythagore

BH² +CH²= CB² soit CH² =4-x² donc CH = √4 − 𝑥² avec x∈]0; 2[

2)a) aire(ABCD)=(2+𝑥+2)×√4−𝑥2

2=

1

2(4 + 𝑥)√4 − 𝑥2

b) V=DE× 𝑎𝑖𝑟𝑒 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = 2 × 1

2(4 + 𝑥)√4 − 𝑥2 =(4+x)√4 − 𝑥² = f(x) sur

]0 ;2[

3) D’après la partie A , f a un maximum sur ]-2 ;2 [ en x= -1+√3 ~0.73 𝑞𝑢𝑖 𝑣𝑎𝑢𝑡 𝑒𝑛𝑣𝑖𝑟𝑜𝑛 8, donc la boite à outils a un volume maximal d’environ 8,8 dm3

pour CH~0.73 𝑑𝑚