Dicas elaboradaspelo professor Gilberto
do Sistema de Ensino Energia.
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e ti av s bul rvesti ul rb avestibulardicas do vestibular Confira essa e outras dicas em nosso sitewww.energia.com.br
Matrizes Matriz quadrada
Matriz na qual o número de linhas é igual ao de colunas.
m = n
Observe a matriz quadrada:
a = i + j = n + 1ij
n = ordem da matriz
Traço: soma dos elementos da diagonal principal.
Obs.: Se m π n, a matriz recebe o nome de retangular.
Matrizes especiais
1) Matriz linha (A ) – Possui apenas uma linha.1 x n
Exemplo
A = (1 2 3)1 x 3
2) Matriz coluna (A ) – Apresenta apenas uma coluna.m x 1
Exemplo
A =
3) Matriz nula – Tem todos os elementos nulos.
Exemplo
A = = 02 x 3
4) Matriz diagonal – Matriz quadrada em que a = 0, se i π j.ij
Exemplo
A =
5) Matriz triangular – Possui os elementos acima ou abaixo da diagonal principal nulos.
Exemplo
6) Matriz identidade (In) – InÞ a = ij
Exemplo
I = Obs.: A matriz identidade também é chamada matriz unidade.3
t tTransposta de uma matriz (A , A)
É uma matriz obtida trocando-se, ordenadamente, linha por coluna.
Exemplo
tA =A =
tObs.: Se A = A, A é simétrica.
Exemplo
tA = A =
Oposta de uma matriz (–A)
É uma matriz obtida trocando-se os sinais de seus elementos.
Exemplo
tA = A =
tObs.: Se A = –A, A é anti-simétrica.
Exemplo
tA = A = –A =
O estudo formal de matrizes teve início em 1855 com Arthur Cayley (1821-1895), embora o termo matriz já tenha sido usado por Joseph Sylvester (1814-1897), em uma revista alemã, em 1850.Em textos chineses, de alguns anos antes de Cristo, já se resolviam sistemas lineares, por um processo em que a notação matricial já estava subentendida. Cayley tinha em mente apenas os aspectos algébricos, e não os efeitos práticos, de matrizes quando formulou sua teoria.
Matriz
É uma tabela disposta em m linhas e n colunas. (m, n IN*)
Exemplo
A =
Os elementos da matriz possuem dois índices de localização (i) para a posição da linha e para a posição da coluna (j).
Exemplo
a = 723
Então, genericamente, a matriz é representada por:
A = (a )ij m x n
Igualdade de matrizes
Duas matrizes, A e B, de mesmo tipo, serão iguais se, e somente se, seus elementos correspondentes (que ocupam a mesma posição) forem iguais.
2 3 70 5 2 2 x 3
1 2 3
A = 4 5 6
7 8 9
æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø diagonal principal a ij Þ i = j
diagonal secundária
237 3 x 1
0 0 00 0 0
2 0 00 4 00 0 7
1 0 00 1 00 0 1
2 0 0
A = 3 2 0
5 2 3
æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø
triângular inferior
2 3 5
A = 0 2 3
0 0 3
æ öç ÷ç ÷ç ÷è ø
triângular superior
1, se i = j 0 , se i j π
2 3 41 1 4
2 13 14 4
2 3 43 1 74 7 5
2 3 43 1 74 7 5
–2 3 1 0 –4 2
2 –3 –10 4 –2
0 –22 0
0 2–2 0
0 2–2 0
ij
2x33x2
2x23x3
jix
mxn
mxn
4x1
1x4
ij
m nx
