Dados um número natural n e os números complexos an, an1, an2, ..., a2, a1, a0, denomina-se função polinomial, ou simplesmente, polinômio em C a função dada por:
para todo x C.
1. Conceitos Iniciais
No polinômio P, temos:•an, an1, an2, ..., a2, a1, a0 são os coeficientescoeficientes.
•anxn, an1xn1, ... , a1x, a0 são os termos do polinômiotermos do polinômio.
•a0 é o termo independentetermo independente de x.
•x é a variável.variável.
012
22n
2n1n
1nn
n axaxa...xaxaxa)x(P
Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômioo expoente máximo n é dito grau do polinômio. Indicamos : gr(P) = n.
P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0.
P(x) = 2x 1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1.
é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5.
P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o grau absoluto.
As funções f(x) = 3x4 + x2 5 e g(x) = x5 + x3/4 não são polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um expoente da variável que não é o número natural.
2. Grau de um Polinômio
453 ixxxP
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as operações indicadassubstituindo x por a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Observe esta situação:
Exemplo 1: Se P(x) = x3 + 2x2 x 1, o valor numérico de P(x), para x = 2, é:
P(2) = 23 + 2 22 2 1
P(2) = 8 + 2 4 2 1
P(2) = 13
O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela função polinomial P(x).
Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é a raiz de P(x) a é a raiz de P(x) P(a) = 0 P(a) = 0
3. Valor Numérico de Um Polinômio
Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à variável x.
Indicamos A(x) B(x).
A(x) A(x) B(x) B(x) A( A() = B() = B(), ), C C
Considere os polinômios:
Então: A(x) B(x) A(x) – B(x) 0(a(ann – b – bnn)x)xnn + (a + (ann11 b bnn11)x)xnn11 + … + … + (a+ (a22 b b22)x)x22 + (a + (a11 b b11)x + (a)x + (a00 b b00) ) 0, 0, x x C. C.
Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já vimos, isso ocorre para:
aann b bnn = 0 = 0 a an n = b= bnn;; aann11 b bnn11 = 0 = 0 a ann11 = b = bnn11; … ; ; … ; aa00 b b00 = 0 = 0 a a00 = b = b00
4. Identidade de Polinômios
012
21n
1nn
012
21n
1nn
n
bxbxb...xbxnb)x(B
axaxa...xaxa)x(A
Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo) quando P assume valor numérico zero para todo x completo. Em símbolos indicamos:
Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de P forem nulos. Em símbolos, sendo:
Então devemos ter:
5. Polinômio Nulo
CxxPP ,00
012
21
1 axaxaxaxaxP nn
nn
00121 aaaaa nn
A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais complexas são, também, funções polinomiais complexas.
Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o produto também coeficientes reais.
Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então:
•Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) será igual ao maior entre os graus A(x) e B(x).
•Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) + B(x) ou A(x) B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante poderá ser nulo.
•O grau de A(x) B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Sendo:
1. A soma é definida como:
Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos termos semelhantes.
2. A subtração é definida como:
Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos termos semelhantes.
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
012
21
1 axaxaxaxaxA nn
nn
012
21
1 bxbxbxbxbxB nn
nn
00111
11 baxbaxbaxbaxBxA nnn
nnn
00111
11 baxbaxbaxbaxBxA nnn
nnn
Sendo:
3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo a ixi de A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação.
A(x) + B(x) =
A(x) . B(x) =
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
012
21
1 axaxaxaxaxA nn
nn
012
21
1 bxbxbxbxbxB nn
nn
Exemplo 2: Sendo A(x) = x3 + 2x2 3 e B(x) = x2 + x + 1, determine:
(x3 + 2x2 – 3) + (x2 + x + 1) = x3 + 3x2 + x 2
(x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1) x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3 x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x2 + 5x + 4 e B(x) = 3x3 + 2x2 + x, determine A(x).B(x)
Dispositivo prático:
32
2
32
654
xxx
xx
32 654 xxx 432 12108 xxx
543 181512 xxx
5432 182728134 xxxxx
Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x) (resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:
7. Divisão de Polinômios
xPxrxDxQI
exatadivisãoroudivisorgrrestogrII 0)()(
Esse método, também conhecido como método dos coeficientes a determinarmétodo dos coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:
1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x);
2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos os seus coeficientes (usam-se letras);
3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x) + r(x) = P(x).
7.1 Método de Descartes
Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1:
1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1 Q(x) = ax + b
2. gr(resto) < 3 gr(r) 2 r(x) = cx2 + dx + e
7.1 Método de Descartes
Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x) = 3x3 - 2x2 + 4x -1:Aplicando a relação fundamental da divisão: xPxrxDxQ
27231423 34223 xxxedxcxxxxbax
edxcxbbxbxbxaxaxaxax 223234 423423
2723424323 34234 xxxebxdbaxcbaxbaax
33 a1a
232 ba 024 cba 74 dab 2 be
2312 b
03 b0b
00214 c
4c
7104 d
8d
20 e2e
Logo:
Q(x) = ax + b Q(x) = x Q(x) = x
r(x) = cx2 + dx + e r(x) = -4xr(x) = -4x22 + 8x + 2 + 8x + 2
Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém seguir os seguintes passos:
•Escrever os polinômios (dividendo e divisor) em ordem decrescenteordem decrescente dos seus expoentes e completá-los quando necessáriocompletá-los quando necessário, com termos de coeficiente zero.
•Dividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisorDividir o termo de maior grau do dividendo pelo de maior grau do divisor, o resultado será um termo do quociente.
•Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair esse produto do dividendo.
Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor , a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui.
Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença como um novo dividendo.
7.2 Método da Chave
7.2 Método da Chave
1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx
xxx 832 23
x2
xxx 802 23
1203 2 xx
3
1203 2 xx
0
Exemplo 6: Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:
Logo: Q(x) = xQ(x) = x22 – 2x – 3 e r(x) = 0 – 2x – 3 e r(x) = 0
7.2 Método da Chave
16000 234 xxxx 1x3x34 xx
23 0xx
2x
23 xx
xx 02
x
xx 2
16 x
Exemplo 7: Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.
Logo:
Q(x) = xQ(x) = x33 – x – x22 + x - 1 + x - 1
e e
r(x) = -15r(x) = -15
1
1x
15
Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do termo de grau 1) igual a 1.
Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente de x (o resto será um número real).
Vamos estudar:Teorema do RestoTeorema de D’AlembertAlgoritmo de Briot-RuffiniDivisão pelo binômio (ax + b)Divisão pelo produto (x – a).(x – b)Divisões Sucessivas
7.3 Divisão por binômios do 1º Grau
Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo (x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será sempre um número real. Então:
7.4 Cálculo do Resto
( ).P x x a Q x r
( )x a( )P x
( )Q x r
Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:
Verificamos assim que:
( ).P x x a Q x r
( ).P a a a Q a r
0.P a Q a r
P a r
O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).
Logo:
EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.
4 22 2 3 2 2 2 1r P Resolução:
2 16 12 4 1r P
7r EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.
4 3 22 2 2 2 3 2 6r P
Resolução:
2 16 16 12 6r P
6r
Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter,
Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0.
7.5 Teorema de D’Alembert
P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0 .
EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômioP(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).
3 0P 3 23 2 3 4 3 2 0k
4
27k
Resolução:
7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini
EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão de P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 7 por (x - 2).
2
2a
3 2 5 7
3 4 13 19
Coeficientes do quociente resto
Assim: 23 4 13 19Q x x x e R x
Resolução:
EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 - 20x – 21 por (x + 1)
1
1a
3 8 0 20
3 5 5 15
3 23 5 5 15Q x x x x
6
21
6R x
Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por (x – 3), temos:
EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x4 - 9x3 + 2x2 – 5x – 11, calcular P(3).
3
5 9 2 5
5 6 20 55
Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos:
154
11
154R x
3 154P
Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x) por (x - 2). Então,
EXEMPLO 14: Determine k para que P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2).
2
1 0 0 1
1 2 4 9
Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então:
18 k
k
31 2R x k
31 2 0k
31 2k
5
31
2k
Observe,
Fazendo , temos: 1( )a Q x Q x
P x ax b Q x r
Briot-Ruffini para o binômio (ax + b)Casos em que: 0, 0 1a b e a
bP x a x Q x r
a
bP x x aQ x r
a
1
bP x x Q x r
a
Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para
obtemos e , em que r também é o resto de na
divisão de P(x) por (ax + b) e será o quociente.
Veja que se: 1( )a Q x Q x
1
1Q x Q x
a
bxa
1Q x r
1
1Q x
a
Resulta então que:
Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência,
obtendo:
EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x – 2 por (2x - 1)
2 4 6
2 3 9
21
4
2
12
2x
1
2
1Q x R x
1
1
2Q x Q x
Agora você deve lembrar que:
Substituindo então Q1(x), teremos:
21 92 3
2 2Q x x x
2 3 9
2 4Q x x x e 1
4R x
Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então:
EXEMPLO 16: Qual o resto da divisão de P(x) = x40 - x - 1 por (x - 1)?
401 1 1 1P
1 1P
Logo: 1R x
7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b)
Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos iguais a r1 e r2, respectivamente.Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a) . (x – b).Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são r1 e r2, respectivamente, temos:
1 2P a r e P b r
O resto da divisão de P(x) por (x – a) . (x – b) é um polinômio R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem grau 2. Assim:
P x x a x b Q x mx n
Como: 1 2P a r e P b r
Temos:
P a a a a b Q a ma n
1ma n r
P b b a b b Q b mb n
2mb n r
Com as sentenças obtidas montamos um sistema:
Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n, obtemos:
1
2
ma n r
mb n r
1 2 2 1r r ar brm e n
a b a b
Agora substituindo os valores de m e n encontrados na sentença:
R x mx n
Obtemos:
1 2 2 1r r ar brR x x
a b a b
Observações:
I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos:
Então:
1
2
0 0
0 0
P a r
e
P b r
Ou seja:
0 0 0 0a bR x x
a b a b
0R x
CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b), então P(x) será também divisível pelo produto:
((xx – – aa) . () . (xx – – bb)).
Resolução: Primeiro vamos lembrar que,
EXEMPLO 17: Verificar se o polinômio P(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 é divisível por B(x) = x2 - 1.
2 1B x x
Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então devemos ter:
1 0P
1 0 1 0P e P Vamos então calcular P(1) e P(-1):
3 21 1 4 1 4 1 1P
1 10P
3 21 1 4 1 4 1 1P
1 1B x x x
Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1)
EXEMPLO 18: Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja divisível por (x - 1) e por (x - 2).
E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x)
3a b
Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.
3 21 1 2 1 1P a b
0 1 2 a b
2 16a b
3 22 2 2 2 2P a b
0 8 8 2a b
Agora, vamos resolver o sistema obtido.
3
2 16
a b
a b
13a 10b
3
10
a b
b
2
EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por (x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1, qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto (x - 1).(x - 2)?
Resolução: observe que:1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1) = 2 e P(2) = 1.
1 2P x x x Q x ax b
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no máximo, terá grau 1.
Então:
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:
1 2P x x x Q x ax b
Resolvendo o sistema:
2a b
1 1 1 1 2 1 1P Q a b
2 a b
2 1a b
2 2 1 2 2 2 2P Q a b
1 2a b
2
2 1
a b
a b
2
Encontramos: e .1a 3bAssim: 3R x x
7.8 Divisões Sucessivas
Consideremos um polinômio P(x) divisível por B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por B(x) é um polinômio Q(x).
P x x a x b Q x
Assim:
Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q1(x).
1Q x
Observe a sentença obtida,
1P x x a Q x
Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b). Q(x)
Então, podemos concluir que Q1(x) é divisível por (x – b) e o quociente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x).
Mas, se 1Q x x b Q x
Vamos tentar simplificar:
P x x a x b Q x
1P x x a Q x
Deste modo, podemos concluir que:
( )x a( )P x
1( )Q x 0 ( )x a
1( )Q x 0
x a x b ( )P x
( )Q x 0
EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x3 + 2x2 - 13x + 10 é divisível por (x – 1).(x – 2)
Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 2)
Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por (x - 1).(x - 2)
1
1 2 13 10
1 3 10 0
Coeficientes do Quociente Q(x)
2 1 5 0
EXEMPLO 21: Calcular a e b para queP(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2
Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado por (x – 1) novamente.
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,
1
1 0 1 a
1 1 2 2a
1 1 2 4
b
2a b
6a
6 0
2 0
a
a b
6 4a e b
EXEMPLO 22: Para que o polinômioP(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o produto m.n deve ser igual a:
Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto significa dizer que,
7m n
1 0P e 2 0P
31 1 8 1 1P m n
0 1 8 m n
32 2 8 2 2P m n
0 8 16 2m n
2 8m n
Resolvendo o sistema:
5m e 2n
7
2 8
m n
m n
Obtemos,
Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,
10m n
EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter o valor numérico da expressão a + b.
Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6, então,
e 1 3P
Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b, então,
1 2P x x x Q x ax b
daí,
2 6P
1 2x x ( )P x
( )Q x ax b
1 3 3P a b
2 6 2 6P a b 1a
4b5a b