MikroökonomikDas Haushaltsoptimum
Harald Wiese
Universität Leipzig
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 1 / 37
Gliederung
Einführung
HaushaltstheorieDas BudgetPräferenzen, Indi¤erenzkurven und NutzenfunktionenDas HaushaltsoptimumKomparative StatikEntscheidungen über Arbeitsangebot und SparenUnsicherheitMarktnachfrage und Erlöse
UnternehmenstheorieVollkommene Konkurrenz und WohlfahrtstheorieMarktformenlehreExterne E¤ekte und ö¤entliche Güter
Pareto-optimaler RückblickHarald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 2 / 37
Überblick
Maximierungsproblem des Haushalts
Marginale Zahlungsbereitschaft versus marginaleOpportunitätskosten
Streng konvexe Präferenzen
Lagrange-Ansatz (Exkurs)
Konkave Präferenzen
Perfekte Komplemente
Bekundete Präferenzen
Die Ausgabenfunktion
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 3 / 37
Maximierungsproblem des Haushalts
Haushaltsoptimum =
Güterkombination, die den
Nutzen des Haushaltsunter Einhaltung seines Budgets
maximiert:
maxx1,x2
U (x1, x2)
u. d. N. p1x1 + p2x2 � m
bzw. bei Anfangsausstattung
u. d. N. p1x1 + p2x2 � p1ω1 + p2ω2
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Maximierungsproblem des Haushalts
5
9
78
10
2x
1x
ProblemWelche Güterkombination ist das Haushaltsoptimum?
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Maximierungsproblem des Haushalts
A
2x
1x
Haushaltsoptimum:Wähle ein Güterbündel auf der
höchsten (Maximierung)
erreichbaren (innerhalb desBudgets)
Indi¤erenzkurve!
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Vier Maximierungsprobleme
(a) 1x
2x
(b) 1x
2x
(d) 1x
2x
(c) 1x
2x
Indifferenzkurve
Budgetgerade
A
BIndifferenzkurveBudget
gerade
Budgetgerade
Budgetgerade
Indifferenzkurve
A
A
B
A
Indifferenzkurve
ProblemSind die PunkteA oder B beimonotonenPräferenzenoptimal?
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Marginale Zahlungsbereitschaft MZB versusmarginale Opportunitätskosten MOC
Marginale Zahlungsbereitschaft:Auf wie viele Einheiten von Gut 2 kann der Konsument beimKonsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 verzichten, damiter zwischen beiden Güterbündeln indi¤erent ist?
Marginale Opportunitätskosten:Auf wie viele Einheiten von Gut 2 muss der Konsument beimKonsum einer zusätzlichen Einheit von Gut 1 aufgrund derBudgetrestriktion verzichten?
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MZB versus MOC
MOCMZB
MOC
MZB
2x
1x
MOCxd
xd
xd
xdMZB
BGIK
=>=1
2
1
2
1 Einheitvon Gut 1
1 Einheitvon Gut 1
Erwerb von ...
Verzicht auf ...
Steigung der
Indifferenzkurve Budgetgeraden
Also: Es lohnt sich, den Konsum um eine Einheit auszudehnen.
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MZB versus MOC
MRS > MOC ) erhöhe x1 (falls möglich)
Indifferenzkurven
Budgetgerade
Haushaltsoptimum
1x
2x
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MZB versus MOC
Alternativ: der Haushalt möchte U�x1, mp2 �
p1p2x1�maximieren
Beim Konsum einer zustäzlichen Einheit von Gut 1 folgtNutzenerhöhung um ∂U
∂x1
Verringerung von x2 um MOC =��� dx2dx1 ��� = p1
p2und daher
Nutzenreduktion um ∂U∂x2
��� dx2dx1 ��� (Kettenregel)Erhöhe x1 solange wie
∂U∂x1|{z}
Grenznutzender Erhöhung von x1
>∂U∂x2
����dx2dx1����| {z }
Grenzkostender Erhöhung von x1
oder MRS =∂U∂x1∂U∂x2
>
����dx2dx1���� = MOC
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Streng konvexe PräferenzenCobb-Douglas-Nutzenfunktion
A
1I
2I
3I
2x
1x
1 MRS!= MOC
2 p1x1 + p2x2!= m
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Streng konvexe PräferenzenCobb-Douglas-Nutzenfunktion
Bei Cobb-Douglas-Nutzenfunktionen U (x1, x2) = xa1x1�a2 lautet das
Verhältnis der Grenznutzen
MRS =∂U∂x1∂U∂x2
=axa�11 x1�a2
(1� a) xa1x�a2=x2x1
a1� a
Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten liefern dasHaushaltsoptimum:
x�1 = amp1
x�2 = (1� a) mp2
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Streng konvexe PräferenzenCobb-Douglas-Nutzenfunktion
ProblemOlaf hat die Nutzenfunktion U (D,C) =
pDC
D = Anzahl der Diskobesuche pro Monat und
C = Anzahl der Konzertbesuche pro Monat
Das Budget ist durch
pD = C= 2, 00/Diskobesuch,pC = C= 4, 00/Konzertbesuch undm = C= 64, 00
gegeben.Anstelle von U (D,C) =
pDC auch (U (D,C))2 = DC möglich?
Bestimmen Sie die von Olaf nachgefragten Mengen!Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 14 / 37
Streng konvexe PräferenzenCobb-Douglas-Nutzenfunktion
1. Gossen�sches Gesetz
∂
∂U∂x1∂x1
=∂2U(∂x1)2
< 0
Der Grenznutzen nimmt mit jeder konsumierten Einheit ab.Interpretation nur bei kardinaler Nutzentheorie möglich!2. Gossen�sches Gesetz
MU1p1
=MU2p2
Auch bei ordinaler Nutzentheorie sinnvolle Aussage!
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Nebenbedingung als Gleichung
ist ein Verfahren zur Lösung von Optimierungsproblemen beiNebenbedingungen.
Annahme: monotone und konvexe PräferenzenMaximiere
U (x1, x2)
unter der Nebenbedingung
m� (p1x1 + p2x2) = 0
Bei m� p1x1 � p2x2 � 0 muss das so genannteKuhn-Tucker-Verfahren gewählt werden.
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Lagrangefunktion
L (x1, x2,λ) = U (x1, x2) + λ (m� p1x1 � p2x2)
Wenn man x1 erhöht,hat dies einen direkten (positiven) Ein�uss auf den Nutzen,∂U∂x1> 0,
und einen indirekten (negativen): Der reduzierteBudgetüberschuss
∂ (m� p1x1 � p2x2)∂x1
= �p1 < 0
wird von λ > 0 in reduzierten Nutzen übersetzt, insgesamt alsoλ (�p1).
Optimum: ∂U∂x1
!= λp1.
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Optimalitätsbedingungen
∂L (x1, x2,λ)∂x1
=∂U (x1, x2)
∂x1� λp1
!= 0,
∂L (x1, x2,λ)∂x2
=∂U (x1, x2)
∂x2� λp2
!= 0,
∂L (x1, x2,λ)∂λ
= m� p1x1 � p2x2 != 0.
Daher 2. Gossen�sches Gesetz:
∂U(x1,x2)∂x1p1
!= λ
!=
∂U(x1,x2)∂x2p2
und MRS!= MOC .
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Grenznutzen des Einkommens � Interpretation
λ kann als Grenznutzen des Einkommens interpretiert werden
λ =dUdm.
Dadurch ergibt sich für die Optimierungsbedingung
∂U (x1, x2)∂x1
!=dUdmp1.
aber: U hat m nicht als Argument ...
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Indirekte Nutzenfunktion
V (p1, p2,m) := U (x1 (p1, p2,m) , x2 (p1, p2,m)) .
x1 (p1, p2,m) ist die bei den Preisen p1 und p2 und beim Einkommenm nutzenmaximal nachgefragte Menge von Gut 1.
ProblemBestimmen Sie die indirekte Nutzenfunktion für dieCobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x1, x2) = xa1x
1�a2 (0 < a < 1)!
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Lagrange-Ansatz (Exkurs)Grenznutzen des Einkommens � so richtig
V (p1, p2,m) := U (x1 (p1, p2,m) , x2 (p1, p2,m)) ergibt∂V∂m
=∂U∂x1
∂x1∂m
+∂U∂x2
∂x2∂m
= (λp1)∂x1∂m
+ (λp2)∂x2∂m
= λ
�p1
∂x1∂m
+ p2∂x2∂m
�p1x1 (p1, p2,m) + p2x2 (p1, p2,m) = m führt zu
p1∂x1∂m
+ p2∂x2∂m
= 1
also exakter∂V∂m
= λ.
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Konkave Präferenzen
MOCMZB >
MOCMZB <
2x
1x
MRS > MOC ) erhöhe x1 (falls möglich)MRS < MOC ) reduziere x1 (falls möglich)
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Konkave Präferenzenkonkretes Beispiel
U (x1, x2) = x21 + x22
Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls
x1x2=2x12x2
=∂U∂x1∂U∂x2
= MRS > MOC =p1p2
gilt. Also (fast immer) Randlösungen:
x� (m, p) =
8>>><>>>:�mp1, 0�, p1 < p2n�
mp1, 0�,�0, mp2
�op1 = p2�
0, mp2
�p1 > p2
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Perfekte Substitutegraphische Lösung
1I2I
3I
A
MOCMZB <2x
1x
MRS < MOC ) reduziere x1 (falls möglich)
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Perfekte Substituteanalytische Lösung
U (x1, x2) = ax1 + bx2 mit a > 0 und b > 0
Die Erhöhung des Konsums von Gut 1 erhöht den Nutzen, falls
ab= MRS > MOC =
p1p2
gilt. Also (fast immer) Randlösungen:
x� (m, p) =
8>>><>>>:�mp1, 0�, a
b >p1p2n�
x1, mp2 �p1p2x1�2 R2
+ : x1 2h0, mp1
ioab =
p1p2�
0, mp2
�ab <
p1p2
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Perfekte Komplemente
1I
2I
3I
A
B
2x
1x
1 Eckpunkte bestimmen!
2 p1x1 + p2x2!= m
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Perfekte Komplemente
U(x1, x2) = min(ax1, bx2)
Eckpunkte
ax1!= bx2 oder
x2!=abx1
Budgetgleichung
m!= p1x1 + p2x2 = p1x1 + p2
abx1 = x1(p1 +
abp2)
Für das erste Gut erhält man so
x�1 =m
p1 + abp2
.
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 27 / 37
Haushaltsoptima
ProblemBestimmen Sie Haushaltsoptima bei variablem Einkommen m
für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = 12x21 + x
22 und die Preise
p1 = 1 und p2 = 2;
für lexikographische Präferenzen mit 1 als wichtigem Gut unddie Preise p1 = 2 und p2 = 5;
für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = x1 + 2x2 und die Preisep1 = 1 und p2 = 3;
für die Nutzenfunktion U (x1, x2) = min (x1, 2x2) und die Preisep1 = 1 und p2 = 3!
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Bekundete Präferenzen
Üblicher Weg: Budget und Päferenzen ) Haushaltsoptimum
Alternative: tatsächliche Entscheidungen der Haushalte )Präferenzen.
=) Diese Präferenzen nennt man bekundet. (SH 18)
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Bekundete Präferenzen
2x
1x
2x
1x
A
B
A
B
ProblemSind die angedeutetenEntscheidungen
bei der �acherenBudgetgeraden GüterbündelB und
bei der steilerenBudgetgeraden GüterbündelA
mit Monotonie vereinbar?
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 30 / 37
Maximierungs- und Minimierungsproblem
Maximierung: Finde dasGüterbündel, das den Nutzenbei gegebener Budgetliniemaximiert!
Minimierung: Finde dasGüterbündel, das dieAusgaben, die für einvorgegebenes Nutzenniveaunotwendig sind, minimiert.
A
B
C
Budgetgerade mitEinkommen m
Indifferenzkurve mitNutzenniveau U
2x
1x
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 31 / 37
Die Ausgabenfunktion
e�p1, p2,U
�:= min
x1,x2mit U=U(x1,x2)
(p1x1 + p2x2)
Haushaltsoptimum: kompensierte Nachfrage
χ1�p1, p2,U
�und χ2
�p1, p2,U
�Kompensiert: Um bei Preiserhöhungen das Nutzenniveau zu halten,ist das Einkommen kompensierend zu erhöhen.
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 32 / 37
Die Ausgabenfunktion
Funktion Argumente Optimum
Nutzenfunktion Gütermengenx1 (p1, p2,m) ,x2 (p1, p2,m)
AusgabenfunktionNutzenniveau,Preise
χ1�p1, p2,U
�,
χ2�p1, p2,U
�
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 33 / 37
Die Ausgabenfunktion
χ1 und χ2 = Hicks�sche Nachfrage (kompensierte Nachfrage):gibt an, mit welchem Güterbündel ein angestrebtesNutzenniveau mit geringstmöglichen Ausgaben erreicht wird.
x1 und x2 = Marshall�sche Nachfrage:gibt an, mit welchem Güterbündel das maximale Nutzenniveaubei gegebenem Einkommen erreicht wird.
Fast immer gilt:
x1�p1, p2, e
�p1, p2,U
��= χ1
�p1, p2,U
�.
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 34 / 37
Die Ausgabenfunktion
ProblemBestimmen Sie die Ausgabenfunktion für dieCobb-Douglas-Nutzenfunktion U (x1, x2) = xa1x
1�a2 mit 0 < a < 1!
Geben Sie auch die Gütermengen an, die bei einem vorgegebenenNutzenniveau die Ausgaben minimieren! Hinweis: Sie können mit denGütermengen x�1 = a
mp1und x�2 = (1� a) mp2 arbeiten. Wählen Sie
den Ansatz U = U (x�1 , x�2 ) und ermitteln Sie das Budget
m = e�p1, p2,U
�, das für den vorgegebenen Nutzen U notwendig ist!
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 35 / 37
Zentrale Hörsaalübungen I
Aufgabe D.9.1.Ein Viehzüchter lebt von Milch (Gut 1) und Brot (Gut 2). Er melktjeden Tag seine Kuh und erhält dabei 10 Liter Milch, mit denen erauf den Markt geht, um Brot einzutauschen. Seine Nutzenfunktion istU(x1, x2) = ln x1 + 3 ln x2, wobei x1 und x2 den Konsum an Milchund Brot bezeichnen. Auf dem Markt beträgt der Preis für einen LiterMilch 1 Taler, für einen Laib Brot 5 Taler. Wie viel Milch und wie vielBrot konsumiert der Viehzüchter täglich?
Aufgabe D.9.2.Ein Haushalt mit der Nutzenfunktion U(x1, x2) =
px1 + 2
px2 gibt
sein gesamtes Einkommen m = 16 für die beiden Güter mit denPreisen p1 = 1 und p2 = 4 aus. Bestimmen Sie dasHaushaltsoptimum!
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 36 / 37
Zentrale Hörsaalübungen II
Aufgabe D.9.3.U(x1, x2) = min
�x1, 12x2
�m = 15, p1 = 2 und p2 = 4Haushaltsoptima!
Aufgabe D.9.4.U(x1, x2) = 2x1 + 4x2m = 8, p1 = 2 und p2 = 4Haushaltsoptima!
Aufgabe D.9.5.U (x1, x2) = ln x1 + x2m, p1 und p2 mit mp2 > 1Haushaltsoptima!Ausgabenfunktion!
Harald Wiese (Universität Leipzig) Das Haushaltsoptimum 37 / 37