Download - DECIZII MULTIATRIBUT
1
DEFINIREA MDMA DETERMINIST
MET
OD
E N
UM
ERIC
E ÎN
ING
INER
IE
MN-2009
10.
DE
CIZ
II M
UL
TIA
TR
IBU
T
TUDOR PAUNESCU
BIBLIOGRAFIE
METODE DE EVALUARE A COEFICIENŢILOR DE
IMPORTANŢĂ
METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT
MONODECIDENT
METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT DE
GRUP (MULTIDECIDENT)
“Vrei să plictiseşti pe cineva? Spune-i tot ce şti” Voltaire
2
BIBLIOGRAFIE
[CRU76] L.W.Crum. Ingineria valorii. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1976.
[AND86] M.Andraşiu şa. Metode de decizii multicriteriale. Ed. Tehnică. Bucureşti. 1986.
[FIL02] Fl. Ghe. Filip. Decizie asistată de calculator. Ed. Tehnică. Bucureşti. 2002.
[PUG91] S. Pugh. Total Design. Addison – Wesley Publishing Company 1991
3
1. DEFININIREA MDMA
Atribut – un mijloc de evaluare a unei variante, caracteristică, proprietate, criteriu
1.1. MULTIATRIBUT versus MULTIOBIECTIV
OPTIMIZARE MULTIOBIECTIV –
mulţimea soluţiilor admisibile (generată
de un sistem de restricţii) este infinită,
criteriile de optim se prezintă sub forma
unor funcţii obiectiv care trebuie să fie
minimizate sau maximizate. Metodele
de rezolvare aparţin domeniului
programării matematice.
DECIZIE MULTIATRIBUT – mulţimea
soluţiilor admisibile (variante de decizie)
este finită, iar fiecare variantă este
caracterizată de mai multe atribute
(numerice sau nu) şi se impune
compararea variantelor şi alegerea
variantei optime care să satisfacă maximal
ansamblul atributelor.
În general, în cazul problemelor multiatribut metode diferite pot duce la rezultate diferite
datorită nu inconsistenţei metodelor, ci diversităţii filozofiilor care fundamentează metodele de
optimizare multiatribut.
4
Nr. Car. Tip MULTIATRIBUT MULTIOBIECTIV
1 Criterii definite prin atribute obiective
2 Obiective urmărite implicite explicite
3 Atribute urmăriteexplicite implicite
4 Restricţiiinactive, încorporate în
atributeactive
5 Variante număr finit număr infinit
6Interacţiunea cu decidentul
mare mai mică
7 Utilizare selecţie/evaluare proiectare
5
Glosar
Decizii multiatribut: Multi-Criteria Decision Analysis (MCDA), Multi Criteria Decision Making (MCDM)
Între anii 1940 şi 1970 sistemul informaţional necesar conducerii firmelor a determinat
generarea unui număr exagerat de metode decizionale multiatribut. S-a creat o relaţie
specifică între metoda şi situaţiile decizionale care pot fi rezolvate corect cu aceasta. MDMA
implică un grad de subiectivitate, în consecinţă etica celui ce implementează MDMA joacă un
rol important în precizia şi corectitudinea soluţiilor.
Principala dificultate cu care se confruntă metodele de decizie multiatribut este că metode
diferite pot da soluţii diferite pentru aceeaşi problema. Această situaţie este datorată faptului
ca metodele ordonează variantele ţinând cont în mod diferit de caracteristicile problemei. Deci
nu se pune problema comparabilităţii necontextuale sau compatibilităţii lor.
(S) Teorema lui ARROW afirmă ca nu exista nici o metoda de agregarea ierarhiilor, care
să satisfacă simultan şase condiţii de raţionalitate. Orice metoda de decizie
multicriterială încalcă cel puţin o condiţie Arrow [AND86, pg.188].
6
1.2. MATRICEA CONSECINŢELOR [AND88]
Fie o mulţime de variante V={V1,V2, …, Vm} şi o mulţime de criterii C={C1,C2, …, Cn}. Pentru
fiecare criteriu Cj, j=1,2,...n se asociază fiecărei variante Vi, i=1,2,...m, un vector reprezentând
rezultatul evaluării acelei variante în raport cu criteriul Cj. Acest tablou se numeşte matricea
consecinţelor (MC).
PDMA CARDINALĂ (PDMAC) – orice problemă caracterizată de o MC.
PDMA ORDINALĂ (PDMAO) – o problemă în care se furnizează direct ierarhii ale mulţimii
variantelor pentru fiecare criteriu în parte.
Orice PDMAC PDMAO.
C1 C2 C3 C4 C5 C6
V1 3 4 3 2 2 1
V2 1 1 2 1 3 3
V3 4 2 1 4 1 2
V4 2 3 3 3 2 3
7
Determinarea soluţiilor PDMA constă în:
- selecţie: urmăreşte restrângerea mulţimii variantelor la o submulţime care conţine doar
variantele satisfăcătoare;
- sortare: alternativele sunt grupate în clase distincte definite apriori, sau pe baza unor
similitudini;
- ordonarea variantelor într-un clasament, fie în găsirea directă a variantei optime.
Importanţa criteriilor este evaluată prin coeficienţii de importanţă pj, j=1,2, ...,n care sunt
numere reale ce exprimă importanţa fiecărui criteriu în parte. Vectorul coeficienţilor de
importanţă (ponderile criteriilor) P={p1,p2, …, pn}.
De obicei se lucrează cu valori normalizate 11
n
jjp
8
2. METODE DE EVALUARE A COEFICIENŢILOR DE IMPORTANŢĂ
Matricea consecinţelor conţine, în general, date neomogene, numerice sau nenumerice,
rezultă necesitatea omogenizării.
Dacă omogenizarea se face prin realizarea unei corespondenţe între mulţimea valorilor, în
cazul PDMA a criteriilor, şi o anumită mulţime, corespondenţa se numeşte scalare.
Scalare ordinală – scalare pe mulţimea numerelor naturale. Acest tip nu indică şi distanţele
între entităţi ci numai ordinea.
Scalare într-un interval – mulţimea de corespondenţă este un interval. Acest tip indică şi
distanţa între entităţi.
Normalizare – scalare în intervalul [0,1]
Notaţie: A normalizat se notează în continuare cu R (matricea consecinţelor normalizată).
2.1. SCALARE
9
(P)
Ela
bora
aţi
un
prog
ram
ca
re
să
norm
aliz
eze
vect
oria
l o
mat
rice
a c
onse
cinţ
elor
pe
baza
tut
uror
re
laţi
ilor
1 ş
i 2
2.2.1. Normalizarea vectorială
Exemplul 1
Variantele sunt 4 roboţi industriali.
Criteriile:
C1-volumul spaţiului de operare a RI max
C2-cost de cumpărăre a unui RI min
C3-cost de exploatare anuală a unui RI min
C4-fiabilitatea RI max
2.2. NORMALIZAREA MC
Program Mathcad care normalizeaza C pe baza rel. 1.1, 1.2
)2.1( )1.1(
11
2
m
iij
ijij
m
iij
ijij
a
arsau
a
ar
(2.2) 1
1
(2.1)1
1
112
m
j ij
ijij
m
j ij
ijij
a
arsau
a
ar
pentru criterii de max:
pentru criterii de min:
(1)
(2)
(3)
11
m
iijrpentru 1.2
Relaţia 1.2 se aplică dacă aij>0
10
ijij
ijijij
ij
ijij
aa
aarsau
a
ar
minmax
max
max
ijij
ijijij
ij
ijij
aa
aarsau
a
ar
minmax
min
min
2.2.2. Normalizarea prin transformari liniare:
- criterii de max:
- criterii de min:
(4)
(5)
(P) Elaboraţi un program care să normalizeze vectorial o matrice a consecinţelor pe baza tuturor relaţiilor 4 şi 5
Exemplul 2
11
2.3. STABILIREA COEFICIENŢILOR DE IMPORTANŢĂ A CRITERIILOR
Pentru stabilirea coeficienţilor de importanţă a criteriilor se aplică diverse metode funcţie de
precizia informaţiei deţinute.
Când nu se cunosc plajele reale de variaţie a atributelor se poate aplica metoda [FIL02]:
1. Se ordonează descrescător criteriile în funcţie de creşterea importanţei relative
stabilite de decident C1, C2,...,Cn.
2. Se alocă valoarea x pentru ponderea criteriului de evaluare cel mai puţin important
w1 x (x-necunoscută).
3. Se determină valoarea ponderii wj pentru criteriul Cj prin înmulţirea ponderii wj-1 a
criteriului anterior cu raportul Δwj (Δwj >1): wj=wj-1. Δwj.
4. Se determină valoarea x prin rezolvarea acuaţiei banale:
x.(1+ Δw1 + Δw1 . Δw2+....)=1.
5. Se calculează valorile normalizate ale coeficienţilor de importanţă cu relaţia de la
etapa 3.
12
Exemplul 3
Variantele sunt 4 roboti industriali.
Criteriile:
C1-volumul spatiului de operare a RI max
C2-cost de cumparăre a RI min
C3-cost de exploatare anuală a RI min
C4-fiabilitatea RI max
1. Decidentul stabileşte următoarea ierarhie:
C4 C3=C2 C1
2. Alocă ponderea x criteriului C1 cel mai puţin important
3. Dacă criteriile 2 şi 3 sunt cu 20% mai importante vor avea ponderile 1,2x
4. Dacă criteriul 4 este mai important cu 50% faţă de C1 va avea ponderea 1,5x
5. Din ecuaţia x+2.x.1.2+1.5.x=1 se calculează x şi apoi ponderile criteriilor 2,3,4.
Obs. În exemplul de mai sus s-a făcut raportarea la primul criteriu nu la cel anterior.
13
Definirea şi calculul matricei importanţei relative a criteriilor
1
,...,1,,,/
/1
,
/...//
............
/...//
21
12111
ji
jkikij
jiij
nnnn
n
ppatuncijidaca
nkjibbb
bb
pppppp
pppppp
B (6)
Pentru formarea matricei
importanţei relative a criteriilor se
poate utiliza tabelul alăturat [AND88,
FIL02], care se numeşte scara
fundamentală a lui Saaty a
intensităţii importanţei.
De obicei este cunoscută matricea importanţei relative a criteriilor (B), rezultată din
compararea două câte două criterii:
14
CALCULUL MATRICEI P DIN MATRICEA B
Calculul matricei P din matricea B prin metoda VECTORULUI PROPRIU (S)
Detalii despre vector propriu şi valori proprii vezi în anexa 1 clic
Deoarece matricea B este reală şi simetrică are
doar vectori proprii reali.
Etape
1. Se determină valorile proprii ale matricei B,
şi valoarea maximă λmax=max(λi).
2. Vectorul propriu se calculează din relaţia
B.P=λmax.P
În exemplul alăturat funcţia nv normalizează
un vector oareacare v. La calculul celui mai
mari valori proprii s-a aplicat funcţia Mathcad
Re pentru eliminarea eventualei valori
complexe foarte mici.
Exe
mp
lul
4
15
Calculul matricei P din matricea B prin
metoda CELOR MAI MICI PĂTRATE
Se pune condiţia ca suma pătratelor distanţelor
între coeficienţii de importanţă teoretici şi cei
exprimaţi prin intermediul importanţei relative bij
să fie minimă.
Deci problema este:
Se observă ca problema de programare
matematică este de tip monoobiectiv cu o
restricţie egalitate, deci poate fi rezolvată şi prin
metoda multiplicatorilor lui Lagrange (vezi C07.1
optimizări 1.pps cap 6.3.1) sau direct prin funcţia
Minimize din Mathcad, ca în aplicaţia alăturată.
0,1
min
1
1 1
2
i
n
ii
n
i
n
jijij
pp
ppbz(7)
Obs. Rezultă valori diferite de cele obţinute
prin metoda valorilor proprii, însă proporţiile
sunt asemănătoare
Exe
mp
lul
5
Generarea valorilor aleatoare de start
16
3.1. SISTEMATIZAREA METODELOR DE DECIZIE
C1. MODUL DE AGRAGARE A CRITERIILOR.
1.1 Modele necompesatoare
Între criterii nu exista compensare, în sensul ca pentru o variantă analizată un dezavantaj
dpdv. al unui criteriu nu este compensat printr-un avantaj dpdv. al altui criteriu.
1.2 Modele compesatoare
C2. TIPUL INFORMAŢIILOR
2.1 Fără informaţii preferenţiale
2.2 Cu informaţii preferenţiale
2.2.1 Asupra criteriilor
2.2.2 Asupra variantelor
C3. COMPLEXITATEA INFORMATIILOR
3.1 Nivel standard al informaţiei pentru fiecare criteriu
În afară de matricea A este cunoscut un vector V al nivelurilor standard pentru criterii (filtru
trece/nu trece).
3.2 Se dau preferinţe ordinale asupra criteriilor
3.3 Se dau preferinţe cardinale asupra criteriilor
Se cunoaşte vectorul ponderilor criteriilor P.3. M
ET
OD
E P
EN
TR
U D
EC
IZII
MU
LT
IAT
RIB
UT
MO
NO
DE
CID
EN
T
17
3.2. METODE DECIZIONALE MULTIATRIBUT APLICABILE ÎN
CAZUL ÎN CARE NU EXISTĂ INFORMAŢII PREFERENŢIALE
3.2.0 Despre originea metodelor
3.2.1 Metoda CONVERGENŢEI CONTROLATE
3.2.2 Metoda MAXIMIN - WALD
3.2.3 Metoda MAXIMAX - HURWICZ
3.2.4 Metoda WALD - HURWICZ
3.2.5 Metoda LAPLACE
3.2.6 Metoda SAVAGE (“regretului”)
18
3.2.0 DESPRE ORIGINEA METODELOR
Metodele clasice de alegere în condiţii de incertitudine îşi au originea în teoria jocurilor (von Neuman,
Mongerstern 1953).
În teoria jocurilor se consideră că sunt cunoscute:
- alternativele proprii de acţiune ale fiecărui jucător;
- posibilele strategii ale adversarului (fără a ştii pe care o utilizează);
- posibilele consecinţe (câştiguri şi pierderi) ale adoptării de către cei doi jucători a unei perechi de
alternative;
Se consideră că adversarul nu este o persoană conştientă şi raţională, ci este natura care prin
intermediul unor factori necontrolabili şi imprevizibili, poate afecta consecinţele deciziilor. Deci coloanele din
tabela deciziilor vor corespunde unor posibile stări ale naturii, ale căror probabilităţi nu sunt cunoscute.
În aceste circumstanţe este activă atitudinea faţă de risc a decidentului (pesimist, optimist, prudent).
Astfel metoda Maximin pleacă de la premisa că decidentul este pesimist, la fel şi metoda Savage, pe
când metoda Maximax presupune un decident optimist.
19
3.2.1 Metoda CONVERGENTEI CONTROLATE [PUG91]
Metoda convergentei dirijate/controlate (MCD) se utilizează
frecvent in proiectare, mai exact în faza proiectării CONCEPTUALE
( de principiu, nu de detaliu).
Un avantaj major al MCD comparativ cu alte metode matriceale
constă în alternanţa dintre raţionamentul convergent (analitic) şi cel
divergent (sintetic). Astfel pe măsură ce se fac selecţii (fazele
convergente) şi se generează noi concepte (fazele divergente). Ca
urmare proiectantul este obligat să pătrundă în profunzime
specificaţiile problemei, să aprofundeze soluţiile potenţiale, să
înţeleagă interacţiunile dintre soluţiile propuse, care pot genera soluţii
adiţionale, să înţeleagă de ce o soluţie este mai bună decât alta.
Pentru evaluarea variantelor se utilizează o matrice
asemănatoare matricei consecinţelor ( transpusa) în care simbolurile
au semnificaţiile:
+ pentru o varianta care este avantajoasă dpdv a ctriteriului
curent;
= pentru o varianta medie;
- pentru o varianta care este dezavantajoasă dpdv a criteriului
curent;
Pentru fiecare variantă se însumează separat numarul de
puncte pozitive, negative si neutre.
V1 V2 … Vm
C1 + - + =
… ... … … …
Cn = + + +
Suma + 5 0 3
Suma = 1 6 4
Suma - 4 4 4
20
3.2.2 Metoda MAXIMIN (metoda pesimistă a lui Wald)
Demers pesimist bazat pe ipoteza că se vor realiza cele mai nefavorabile condiţii, ca şi cum adversatul natură
ar dori să-l împiedice pe decident cu orice preţ să obţină rezultate bune. Metoda are analogii cu demersul
ingineresc de proiectare care se ghidează după principiul cazul cel mai dezavantajos (worst case, vezi aplicaţia
lanţuri dimensionale liniare).
Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată R.
Principiul metodei: selectează o variantă, cea mai bună (MAX) în raport cu criteriul care ia valoarea cea mai mică (MIN)
(ideea de compromis):
Aplicaţia 6:
rcriteriiloindicelejiantelorindicelei
njmirVopt ijji
,var
...1,...1,minmax
2
14231231
71.057.0,50.0,71.0,50.0max
57.0;50.0;71.0;50.0
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
V
CVCVCVCV
R
(8)
21Normalizare prin vectorizare (vezi exemplul 1)
Exemplul 6
Funcţia MAXMIN în prima etapă determină minimele de pe fiecare linie, în a 2-a maximul din vectorul determinat anterior.
22
rcriteriiloindicelej,iantelorvarindicelei
n...j,m...i,rmaxmaxVopt ijji
11
432
2441343
211
,,00.100.1,50.00.1,00.1,850.0max
00.1;,00.1;,
00.1;85.0
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
VVV
CVCCVCC
VCV
R
Exemplul 7
(9)
Metoda presupune că vor fi întrunite toate condiţiile cele mai
favorabile şi se urmăreşte obţinerea câştigului maxim posibil.
Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată.
Principiul metodei: selectează o varianta, cea mai buna (MAX) in
raport cu criteriul care ia valoarea cea mai mare (MAX):
Aplicaţia 7:
3.2.3 Metoda MAXIMAX (metoda optimistă a lui Hurwicz)
23
3.2.4 Metoda WALD-HURWICZ
Date de intrare: matricea consecinţelor normalizata R.
Principiul metodei: este o generalizare a metodelor MAXIMIN şi MINMAX
introduce parametrul “gradul de optimism al decidentului” cu val. între 0 şi 1.
Aplicaţie 8:
10
min1maxmax
a
rara ijj
ijji
2
14321
71.157.1,50.1,71.1,35.1max
2/57.1,2/50.12/71.12/)171.0(2/35.12/)85.05.0(
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
5.0
V
CVVVV
R
prudentdecidenta
(10)
(P) Scrieţi un program pentru metoda Hurwicz
24
3.2.5 Metoda LAPLACE
Date de intrare: matricea consecinţelor
normalizată R.
Principiul metodei: selectează o variantă care
atinge maximul valorii medii:
Aplicaţie 9:
rcriteriiloindicelej,iantelorvarindicelei
n...j,m...i,n
r
maxVoptj
ij
i
11
2
4321
46.312.3,1.3,46.3,75.2max
4/12.3,4/1.3,4/46.3,4/75.2
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
V
VVVV
R
(11)
Exemplul 9
25
3.2.6 Metoda SAVAGE (oportunity loss)
Date de intrare: matricea consecinţelor normalizată R.
Principiul metodei: selectează o variantă care minimizează regretul maxim (este o
metoda tip MINMAX a regretului, deci tot o metodă pesimistă):
Aplicaţie 10:
i
jijijij
ijji
Vdecitdeciziealta
Ccritptluatfinuaderegretulrrrr
rcriteriiloindicelejiantelorindiceleinjmirrVopt
.. max
,var,...1,...1,maxmin
2
4321
29.043.0,50.0,29.0,50.0min
43.050.029.050.0
20.025.000.043.0
40.00.050.000.0
00.00.025.029.0
20.050.040.015.0
V
VVVV
RR
(12)
(P) Scrieţi un program pentru metoda Savage
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
R
1-0.85
26
3.3. METODE DECIZIONALE MULTIATRIBUT APLICABILE ÎN CAZUL ÎN
CARE EXISTĂ INFORMAŢII PREFERENŢIALE
3.1.1 SE CUNOASTE NIVELUL STANDARD PENTRU FIECARE CRITERIU
- Metoda CONJUCTIVĂ *, DIJUNCTIVĂ*
3.1.2 SE CUNOSC PREFERINŢELE ORDINALE ASUPRA CRITERIILOR
- Metoda LEXICOGRAFICĂ* - Metoda ELIMINARII PRIN ASPECTE
3.1.3 SE CUNOSC PREFERINŢELE CARDINALE ASUPRA CRITERIILOR
- Metoda PONDERĂRII SIMPLE ADITIVE* - Metoda TOPSIS - Metoda ELECTRE
27
3.3.1. Metoda CONJUCTIVĂ
Date de intrare:
matricea consecinţelor nenormalizată A;
vectorul S care conţine nivelurile
standard ale criteriilor.
Principiul metodei: se selectează acele
variante care au proprietatea:
(toate atributele se încadrează în limita
nivelurile standard)
min..,
;...1max..,
decritptsa
mjdecritptsa
jij
jij
Exe
mp
lul
11
(13)
Pentru datele din exemplul 11:
V1: 3>2; 5>3.2; 6>4.2; 4>2.5 nu
V2: 2.5>2; 4>3.2; 3<4.2; 5>2.5 nu
V3: 3.5>2; 6>3.2; 3<4.2; 3>2.5 nu
V4: 2=2; 3<3.2; 4<4.2; 4>2.5 da
28
3.3.2. Metoda DISJUCTIVĂ
Date de intrare: matricea consecinţelor nenormalizată A
vectorul S care conţine nivelurile standard ale criteriilor.
Principiul metodei: se selectează acele variante pentru care există cel puţin
un j astfel încât cel puţin un criteriu depăşeşte nivelul standard
Obs. Metodele conjuctivă şi disjunctivă sunt de tip filtrare, în general, soluţia
este o mulţime de variante.
(P) Scrieţi o funcţie generală pentru metoda DISJUNCTIVĂ
(14)
min..,
;...1max..,
decritptsa
mjdecritptsa
jij
jij
29
3.3.3. Metoda LEXICOGRAFICĂ
Date de intrare: matricea consecinţelor A, criteriile ordonate descrescător:
C1, C2, ...., Cn.
Principiul metodei:
etapa 1: Se selectează mulţimea variantelor care satisfac la maxim C1:
Dacă V1 are un singur element s-a obţinut solutia, dacă V1 are mai multe
elemente se ia în considerare C2 si se construieşte:
STOP la etapa k dacă: Vk are un singur element sau au fost epuizate toate
criteriile
Aplicaţie 12: vezi exemplul 1 selectie roboti
1
11
1k
mkii amaxaVV
22
12k
Ikii amaxaVVV
22323 ;,
0.40.40.30.2
0.30.30.65.3
0.50.30.45.2
0.40.60.50.3
VCVVCA
1423O
(P)
Scr
ieţi
o fu
ncţie
ge
nera
lă
pen
tru
m
etod
a LE
XIC
OG
RA
FIC
Ă
30
3.3.4. Metoda PONDERARII SIMPLE ADITIVE
Date de intrare: matricea consecinţelor normalizata R, vectorul P.
Principiul metodei: se defineşte funcţia:
Funcţia f este calculată pentru fiecare variantă, soluţia optimă
este cea care are valoarea maximă max(f(Vi)) .
Aplicaţie 13:
RV:f
n
j
n
jjijji p/rpVf
1 1
76.08.0*3.075.0*2.00.1*20.057.0*3.0
78.06.0*3.000.1*2.05.0*20.000.1*3.0
84.00.1*3.000.1*2.06.0*75.071.0*3.0
72.08.0*3.050.0*2.06.0*20.085.0*3.0
80.075.000.157.0
60.000.150.000.1
00.100.175.071.0
80.050.060.085.0
;3.0,2.0,2.0,3.0
4
3
14322
1
f
f
VVVVf
f
RP
(P)
Scr
ieţi
o fu
ncţie
ge
nera
lă
pen
tru
m
etod
a po
nde
rării
sim
ple
ad
itive
31
4. METODE PENTRU DECIZII MULTIATRIBUT DE GRUP (MULTIDECIDENT) (S)
Problema deciziilor multiatribut de grup se defineşte prin:
- o mulţime de decidenţi D={D1, D2, … , Dh};
- o mulţime de variante V={V1, V2, … , Vm};
- o mulţime de criterii M={M1, M2, … , Mn};
fiecărui criteriu i se asociază un coeficient de importanţă pk, P={P1, P2, … ,Ph}.
Fiecare variantă Vi este apreciată de fiecare decident Dj funcţie de criteriul Ck prin valorile aijk, reale
normalizate sau nu. Scopul este găsirea variantei celei mai bune în funcţie de toate criteriile şi toţi
decidenţii [And86].
Un grup de metode specifice sunt extensii tridimensionale ale metodelor bidimensionale (decizii
multiatribut monodecident): metoda ELECTRE, metoda diametrelor etc. Alt grup utilizează teoria grafurilor .
Rezolvări interesante s-au găsit prin abordare fuzzy.
Construcţia metodelor decizionale multiatribut de grup este dificilă datorită consecinţelor rezultate din
teorema lui Arrow. Acesta afirmă că nu există nici o metodă de agregare a ierarhiilor care să satisfacă
simultan şase condiţii de raţionalitate, deci nu există o metodă generală de agregare a preferinţelor
individuale într-o relaţie de preferinţă a grupului, sau altfel spus: orice metodă de decizie multiatribut
încalcă cel puţin o condiţie de raţionalitate enunţată de Arrow [And86].
32
Anexa 1
Vector propriu şi valori proprii (S)
Fie o matrice pătrată nxn A cu elemente reale sau complexe, numărul complex λ se
numeşte valoare proprie a matricei A dacă există un vector nenul X Rn sau Cn, numit
vector propriu a lui A, astfel încât :
A.x= λ.x (a1)
Orice matrice A Rnxn are n valori proprii λk, k=1...n, în general complexe şi nu neapărat
distincte care coincid cu cele n rădăcini ale polinomului caracteristic. Valorile proprii
complex apar în perechi complex conjugate.
Polinom caracteristic
0
...
0
0
...
...
..............
...
...
0 2
1
21
22221
11211
nnnnn
n
n
x
x
x
aaa
aaa
aaa
xIAxxA
(a2)
33
Sistemul de ecuaţii omogene din a2 admite soluţie nebanală numai dacă det(A-λ.I)=0.
det(A-λ.I) este un polinom de grad n în λ care se numeste polinom caracteristic.
Interpretare geometrică a vectorului propriu
Dacă un vector x este transformat prin intermediul
matricei A în vectorul y (A.x=y) şi dacă y= λ.x, unde λ
este real, atunci x este un vector invariant ca directie
după transformarea sa prin A.
Interpretarea vectorului propriu prin prisma teoriei sistemelor
Dacă sistemul de ecuaţii liniar a1 este privit ca o
descriere a legăturii cauză-efect a unui sistem fizic liniar,
unde x sunt datele de intrare, a1 arată că la ieşire se
obţine tot x multiplicat cu o constantă λ.
Deci folosind vectorii proprii se poate decupla un sistem liniar, adică se poate
realiza ca fiecare variabilă de ieşire să depindă numai de o variabilă de intrare.
34
Vectori şi valori proprii în Mathcad
Funcţia eigenvals(A) returnează un vector cu valorile proprii ale matricei pătrate A.
Funcţia eigenvec(A,z) retrurnează un vector propriu normalizat, asociat valorii proprii z.
Funcţia eigenvecs(A) este o generalizare a funcţiei eigenvec(A,z), care furnizează o
matrice conţinând pe coloane toţi vectorii proprii normalizaţi ai matricei A. Coloana i este un
vector propriu asociat valorii proprii i returnate de eigenvals(A).
Funcţiile genvals(M,N) şi genvecs(M,N) sunt funcţii corespondente celor prezentate
anterior, aplicabile în cazul problemei generalizate a valorilor proprii.