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Deducción en laLógica de Predicados
Roberto Moriyón
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Razonamiento
• Recordatorio: El razonamiento se utiliza para obtener nuevos hechos ciertos a partir de otros que lo son o al menos se supone que lo son. Por lo tanto razonar consiste en deducir las consecuencias de un conjunto de axiomas.
• Las reglas de deducción del Cálculo de Predicados permiten deducir a partir de un conjunto de axiomas cualquier consecuencia de ellos.
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Ejemplo de deducción• Axiomas:
– Todas las personas andan– Todo objeto que anda se mueve– Juan no se mueve
Demostrar que Juan no es una persona.
• Posible formalización con proposiciones:
Demostrar ~Persona Juan sabiendo que x,(Persona xAnda x),
x,(Anda xMueve x) y ~Mueve Juan
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Ejemplo de deducción, II
• Utilizando las iniciales:– Los símbolos de predicados unarios P, A y M
representan las condiciones ser una persona, andar y moverse respectivamente.
– El símbolo de constante J representa a Juan.– Axiomas:
A = {x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ }
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Lenguaje lógico
• Un lenguaje lógico está formado por una colección de símbolos de variables, constantes, funciones y predicados.
• En este curso supondremos que hay al menos una constante, lo que implica que el conjunto de valores posibles de las variables no es vacío.
• Esta hipótesis se puede evitar, pero con demostraciones más complicadas.
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Lenguaje lógico, II
• En el ejemplo anterior hay una constante, J, y tres predicados unarios (P, A y M).
• Un lenguaje lógico determina dos lenguajes asociados: términos y fórmulas.
• En el ejemplo anterior hay un solo término, J, e infinitas fórmulas como las que se han mostrado como axiomas.
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Lenguaje lógico, III
Otro ejemplo:
• Constantes: 0.
• Funciones: f (unaria).
• Predicados: = (binario infijo).
• Términos: fff…f0, fff…fx, etc.
• Predicados: f0=ff0, x,fx=0, etc.
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Lenguaje Lógico, IV
• Lenguaje de la Aritmética:– Constantes: 0.– Funciones: S (siguiente, unaria), + (suma,
binaria infija) y * (producto, binaria infija).– Predicado: = (binario infijo).– Términos: SS0+S(x*y) etc.
• También abreviadamente: 2+(x*y+1), etc.
– Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.
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Lenguaje Lógico, V
• Lenguaje de la Semiótica:– Constantes: 0 (cadena vacía).
– Funciones: S (anteposición, unaria) y + (concatenación, binaria).
– Predicado: = (binario infijo)
– Términos: SaSb0+Sa(x+y), etc.
• También abreviadamente: “ab”+Sa(x+y), etc.
– Fórmulas: x,y,~y+Sx=0, etc.
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Ejemplo de deducción, III
Recordamos nuestro ejemplo inicial:
• Predicados unarios: P (es persona), A (anda) y M (se mueve).
• Constante: J (Juan).
• Axiomas: x,(PxAx); x,(AxMx) ; ~MJ.
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Ejemplo de deducción, IV
• Dex,(PxAx) se deduce PJAJ
• De lo anterior se deduce ~AJ~PJ [*]
• De x,(AxMx) se deduce AJMJ
• De lo anterior se deduce ~MJ~AJ
• Por el modus ponens, de lo anterior y ~MJ se deduce ~AP.
• Por el modus ponens, de lo anterior y [*] se deduce ~PJ.
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Ejemplo de deducción, V
• La deducción anterior se escribe habitualmente como sigue:
x,(AxUx) [Axioma]
APUP [R. de especificación]
~UP~AP [R. implicación contrarr.]
~UP [Axioma]
~AP [Modus Ponens]
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Ejemplo de deducción, V
x,(MxAx) [Axioma]
MPAP [R. de especificación]
~AP ~MP [R. implicación contrarr.]
~MP [Modus Ponens]
• La única regla nueva en el ejemplo anterior es la de especificación.
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Lógica de predicados:Reglas de deducción
• Todas las de la lógica proposicional, sustituyendo sus átomos por los de la lógica de predicados (con una limitación en la regla de deducción de implicaciones que se describirá enseguida).
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, II
• Si permitiéramos lenguajes lógicos sin constantes habría que restringir la utilización del modus ponens para no permitir deducciones como
x=x, x=x y,y=y y,y=y
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, III
• Regla de especificación
Ejemplo: a,~Sa=0 ~S(c+SS0)=0
- , [: Cualquier variable]
- , / [: Cualquier variable]
[: Término todas cuyas variables son nuevas]
Sin la restricción anterior, habría deducciones falsas como a,b,b=Sa b,b=Sb
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, IV
• Regla de generalización:Ejemplo:(~x=0 y,x+x=SSy)
x, (~x=0 y,x+x=SSy)- ,
[: Cualquier variable no ligada en ].Significado: Las variables libres pueden tener valor arbitrario.
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, V
Limitación en la regla de deducción de implicaciones (, ):
• La deducción de partida (, ) no puede incluir ninguna generalización sobre ninguna variable libre de .
• Consecuencia: en una deducción auxiliar, no equivalen una fórmula y x,. Se puede aplicar especificación a la última, pero no generalización a la primera.
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Deducción de implicación a partir de inferencia
• Si se permitieran generalizaciones en las deducciones que dan lugar a implicaciones, se podrían hacer deducciones falsas como la siguiente:
• Deducción auxiliar:
a=0 a,a=0 [Generalización]
Sa=0 [Especificación]
• Fórmula deducida: a=0 Sa=0
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, VI
• Regla de intercambio:
Ejemplo: a,~Sa=0 ~a,Sa=0
- A,~B A~,B [: variable]
• Observaciones: x,~ ~x,
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, VII
• Comentario a la regla de intercambio:
,~ ~,Se pueden añadir las reglas
A,~B A~,B
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, VIII
• Regla de existencia:
Ejemplos:
a) a,~Sa=0 b,a,~Sa=b
b) a,~Sa=0 ^ a,~SSa=0 b, (a,~Sa=b ^ a,~SSa=0)
- ,// [: Término en ]
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, IX
• Regla de ámbito:
Ejemplo:
y,(SSy=Sy+S0 vz,Sz=0) (y, SSy=Sy+S0) v z,~Sz=0
- ,(v) (,)v[ no libre en ]
- ,(^) (,)^[ no libre en ]
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, X
• Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas bajo la hipótesis de existencia de constantes:
- ,(^) (,)^- (,)v ,(v)
[ no libre en ]
(pero no en general: las partes derechas pueden ser falsas si el dominio es vacío aunque las partes izquierdas sean ciertas)
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, XI
• Comentario a la regla de ámbito: Las siguientes deducciones son correctas en general:
- (,)^ ,(^)
- ,(v) (,)v[ no libre en ]
La demostración se dará más adelante. Podemos aceptar cuatro reglas de deduc-ción correspondientes a estas deducciones.
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, XII
• Reglas para la igualdad:
R. fundamental: =R. de simetría: = =de Transitividad: =, = =R. de Sustitución: =, //
[, , : Términos]
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Lógica de predicados:Reglas de deducción, XIII
• Las tres primeras reglas de la igualdad se pueden reescribir de manera natural como axiomas (son la idempotencia, simetría y transitividad de la igualdad).
• En general, todo el sistema de reglas se puede sustituir por un conjunto de axiomas junto con una sola regla: el modus ponens.
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Ejemplo de deducción, VI
• Axiomas:– A todos los gatos les gusta el pescado– Todos los gatos comen todo lo que les gusta– Ziggy es un gato
• Demostrar que Ziggy come pescado
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Ejemplo de deducción, VII
• Constantes:– Ziggy z– Pescado p
• Predicados:– x es un gato g x– A y le gusta z t y z– u come w c u w
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Ejemplo de deducción, VIII
1. x, g x t x p [Axioma]
2. x, y, g x ^ t x y c x y [Axioma]
3. g z [Axioma]
4. g z t z p [Espec. 1]
5. t z p [Modus pon.]
6. g z ^ t z p [3, 5]
7. y, g z ^ t z y c z y [Espec. 2]
8. g z ^ t z p c z p [Espec.]
9. c z p [Modus pon.]
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Ejercicio obligatorio
• [PESC] Deducir que algún lenguado es un desgraciado a partir de los siguientes axiomas:– Todo tiburón se come un lenguado– Todo pez grande y blanco es un tiburón– Algunos peces grandes blancos viven en
aguas profundas– Todo lenguado comido por un pez que
vive en aguas profundas es desgraciado
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Universalidad delCálculo de Predicados
• La última demostración es válida independientemente del dominio. Podría ser, por ejemplo, una demostración acerca de números y funciones, alcachofas y caballos o puntos y rectas.
• Esto es cierto en todas las deducciones formales basadas en el Cálculo de Predicados.
• Las personas razonamos en base a unas reglas lógicas fijas, pero guiamos nuestro razonamiento en base a nuestro conocimiento del modelo que tenemos en mente.
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Ejemplo de deducción, IX
x,(F G) (x,F) (x,G)
x,(F G) (x,F) Gy/x
F G y,((~x,F)vGy/x)
[ x,F y,(Gy/xv(~x,F))
F (y,Gy/x)v(~x,F)
G (~x,F)v(y,Gy/x)
Gy/x] (x,F) (y,Gy/x)
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Ejemplo de deducción, X
x,(F G) (x,F) (x,G)
x,(F G) x,~G~Fy/x
F G (x,G)v(~Fy/x)
~G ~F (~Fy/x)v(x,G)
[ x,~G y,((~Fy/x)v(x,G))
~G (y,~Fy/x)v(x,G)
~F (y,Fy/x)(x,G)
~Fy/x]
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Ejemplo de deducción, XI
x, ; ( ) x,• Demostración:
x, (x,~)~ x,((x,~)~)
[ x, ~ (x,~)x,~~ (x,) x,~~ x,~]
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Ejemplo de deducción, XII
,(FvG) (,F)vG [ no libre en G]• Demostración:
[ ~G
[ (FvG)^~G
FvG
~G
~GF
F]
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Ejemplo de deducción, XIII
…
((FvG)^~G) F
x,((FvG)^~G) x,F [VISTO EN CLASE]
((x,FvG)^~G)x,((FvG)^~G) [REGLA DE AMBITO]
[ (x,FvG)^~G
x,((FvG)^~G) [MODUS PONENS]
x,((FvG)^~G) x,F
x,F] [MODUS PONENS]
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Ejemplo de deducción, XIV
…
(x,(FvG))^~Gx,F
(x,(FvG))^~G
x,F] [MODUS PONENS]
~Gx,F
(x,F)vG
UFFFF!!!
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Ejemplo de deducción, XV
x,F, x,G x,F
• Demostración:
[ x,~F [[Reducción al absurdo]]
~F
F
F^~F]
(x,~F) F^~F
(x,~F) (x, F^~F) [General. y ámbito]
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Ejemplo de deducción, XVI
…
(x,Fv~F) (x,F)
Fv~F
G (Fv~F)
x,G x,(Fv~F) [VISTO EN CLASE]
x,G [AXIOMA]
x,(Fv~F)
x,F [MODUS PONENS]
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Ejercicios obligatorios
• [LOB] Se supone que en la lobera hay lobos, que son carnívoros, y hombres, que pueden ser carnívoros o hervíboros. También se supone que los carnívoros no comen lechuga y que Tom, que está en la lobera, la come. Demostrar que Tom es un hombre.
• [ARD] Resolver el ejercicio anterior suponiendo que en la lobera también puede haber ardillas, que son hervíboras, y que los hombres también pueden ser omníboros, así como que los herví-boros no comen carne, que los omníboros comen carne y lechuga y que Tom come carne y lechuga. Es innecesaria alguna de las hipótesis?
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Ejercicios opcionales
[TAUT] Demostrar que las siguientes fórmulas lógicas son tautologías:
• (x,y,P x y) (y,z,(P 0 y ^ P y z)
• (P (Q^R)) ((P Q) ^ (P R))
• ((P Q) ^ (P R)) (P (Q^R))
• ((x, R x v Q x) ^ x,~R x) x,Q x
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Interpretación: Definición formal
• Recordatorio: En los sistemas formales que hemos estudiado una interpretación asigna objetos de un conjunto a partes de la palabra de partida.
• En la Lógica de Predicados una interpretación asigna objetos de un conjunto a los términos y afirmaciones acerca de esos objetos a los predicados.
• El conjunto de objetos asociado a una interpretación se llama su dominio (puede ser vacío).
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Interpretación:Definición formal, II
• Una interpretación I de un lenguaje lógico consiste en un conjunto D (su dominio) y:– Para cada variable , un elemento de D, I.
– Para cada constante c, un elemento de D, cI.
– Para cada símbolo de función n-aria f, una función
fI: DxDx…xD D.
– Para cada símbolo de predicado n-ario P, un subconjunto PI DxDx…xD.
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Interpretación:Definición formal, III
• En la definición anterior las operaciones se consideran funciones binarias.
• La interpretación de los símbolos de un lenguaje formal se extiende a todos los términos y todas las fórmulas del lenguaje:– Los términos se interpretan como elementos
del dominio. Si un término tiene la forma
f(1, …, n), su interpretación es fI(1I, …, nI).
– Las fórmulas se interpretan como booleanos.
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Interpretación:Definición formal, IV
• Las fórmulas se interpretan …– Si una fórmula tiene la forma P(1, …, n), su
interpretación es (1I, …, nI) PI.
– Las fórmulas compuestas se interpretan como en el cálculo de proposiciones. Por ejemplo, F^G se interpreta como FI^GI.
– Las fórmulas con cuantificador se interpretan como sigue:x,F es cierta si xD,FI.
x,F es cierta si xD,FI.
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Teorema de coherencia delCálculo de Predicados
• Si una fórmula F se deduce a partir de un conjunto de fórmulas A, es consecuencia de dicho conjunto de fórmulas.
• Demostración:Es consecuencia de que en cada regla de deducción, si todas fórmulas de su cabecera son ciertas en una interpretación, su cuerpo también es cierto.
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Teorías lógicasDeducción como sistema formal
• Una teoría lógica está formada por un lenguaje lógico, un cálculo lógico (sistema formal) y un conjunto de axiomas, que son fórmulas cerradas. Las fórmulas deducidas de los axiomas se denominan teoremas.
• El conjunto de axiomas de una teoría lógica puede ser infinito, pero tiene que ser recursivo.
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Deducción y consecuencia
• En una teoría lógica basada en el Cálculo de Predicados, dada cualquier deducción que utilice los axiomas Ai para demostrar un teorema T, la fórmula A1^A2^…^AN T es una tautología.
Demostración:
Es consecuencia del teorema de coherencia para el Cálculo de Predicados.
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Modelos
• Un modelo es una interpretación de una teoría lógica en la que todos los axiomas son ciertos (y por lo tanto los teoremas también).
• Ejemplo: En una lógica con un sólo símbolo de función f y un único axioma,
A = { x,y,f x = f y x = y },cualquier conjunto D con una aplicación inyectiva f:DD es un modelo.
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Ejercicios obligatorios
Dar modelos para los siguientes conjuntos de axiomas suponiendo que el lenguaje lógico que se considera no tiene constantes:
• [MOD1] { x,y,x=y }• [MOD2] { x,x=x }• [MOD3] { x,~x=x }• [MOD4] { x,~x=x }• [MOD5] { x,y,x=y }• [MOD6] { y,x,x=y }• [MOD7] { x,y,(~x=y ^ z,(x=z v y=z)) }
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Lógica de predicados con un modelo numérico: Axiomas
x,~Sx=0x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y)x,x.0=0x,y,x.Sy=(x.y)+xx,y,(Sx=Sy x=y)• Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un
teorema, consecuencia de la regla genérica de sustitución.
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Lógica de predicados con modelo numérico: Axiomas, II
• Inducción (conjunto infinito de axiomas)Ejemplo:0+0=0 ^ x,(x+0=xSx+0=Sx)
x,(x+0=x)
- 0/, ,( S/) , [F: Fórmula; V: Variable]Es un conjunto infinito (recursivo) de axiomas, que se pueden utilizar como reglas de deducción.
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Utilización de inducción para demostrar un teorema
• Para demostrar en la lógica de predicados con modelo numérico un teorema de la forma x,F mediante inducción, hay que demostrar dos cosas:– A F0/x
– A x,(FFSx/x)
• Una vez demostrado lo anterior, se tiene que AF0/x^x,(FFSx/x), y por la regla del modus ponens y el axioma de elección para la fórmula F, Ax,F.
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Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre números
• Queremos demostrar por inducción que x,(x+0=x) . Tenemos que ver que:– 0+0=0 x,(x+0=xSx+0=Sx)
• Lo primero es un axioma
• Lo segundo se demuestra mediante la regla de deducción de implicaciones
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Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre números, II
x, (x+0=xSx+0=Sx)0+0=0 0+0=0 ^x,y,Sx+y=S(x+y) (x, (x+0=xSx+0=Sx))y,Sx+y=S(x+y) (0+0=0 ^Sx+0=S(x+0) x,(x+0=xSx+0=Sx))[ x+0=x x,(x+0=x)
Sx+0=Sx] x,(x+0=x)x+0=xSx+0=Sx
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Modelo numérico
• La interpretación
(D =, 00, SS, ++, ..)
es un modelo de la teoría lógica anterior.• Hay más modelos: D = x {0} Z x Q+, con
S(x, y) = (Sx, y)
(x, y) + (p, q) = (x+p, y+q)
(n, 0) . (x, p/q) = (x, p/q) . (n, 0) = (x.n, n.p/q)
(x, p/q) . (y, r/s) = (x.y, p.r/(q.s))
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Lógica de predicados con modelo numérico: Ejemplo de deducción
• Teorema: S0+S0=SS01 x,y,Sx+y=S(x+y) [Ax. 3]2 y,S0+y=S(0+y) [Espec. x 0]3 S0+S0=S(0+S0) [Espec. y S0]4 x,(0+x)=x [Ax. 2]5 (0+S0)=S0 [Espec. a S0]6 S(0+S0)=SS0 [Adición suces.]7 (S0+S0)=SS0 [Transitiv (3, 6)]
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Ejemplo de demostración numérica por inducción
x,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)• Caso x=0:
Partimos del teorema vistoS0+S0=SS0x,~Sx=0 [Axioma 1]~S0=0 [Espec, x0]~S0=0 ^ S0+S0=SS0 [Agrup. Conj.]~S0=0 ^ ~S0=0 ^ S0+S0=SS0 [Agrup. Conj.]z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^ S0+z=SS0) [Existencia]y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^ y+z=SS0) [Existencia]
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Ejemplo de demostración numérica por inducción, II
• Paso de inducción:y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)
u,w,(~u=0^~w=0^u+w=SSSx)[ ~y=0^~z=0^y+z=SSx
~y=0^~z=0y+z=SSxSy+z=SSSx [Modus ponens]~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx]
(~y=0^~z=0^y+z=SSx)(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [D.I.I.]z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx) [Ej.V]y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx)y,z,(~y=0^~z=0^Sy+z=SSSx)x,y,z,(~y=0^~z=0^y+z=SSx) [Inducción]
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Ejemplo: Demostración más sencilla
x,y,Sx+y=S(x+y) ~Sx=0y,S0+y=S(0+y) ~S0=0 ^ ~Sx=0 ^S0+Sx=S(0+Sx) S0+Sx=SSxx,0+x=x z,(~S0=0 ^ ~z=0 ^0+Sx=Sx S0+z=SSx)S0+Sx=SSx y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^x,~Sx=0 y+z=SSx)~S0=0 x, y,z,(~y=0 ^ ~z=0 ^
y+z=SSX)
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Ejercicios opcionales[NUM1] Demostrar las siguientes afirmaciones:• ~S0+SS0=S(S0+0)+SSS(S0+S0)• 6 es un número par• 2 no es el cuadrado de ningún número• 25 es la suma de dos cuadrados• Hay números impares que no son el cuadrado de
otro número
• Si t1 y t2 son términos cerrados de la lógica de la aritmética, o bien t1=t2 es un teorema o ~t1=t2 es un teorema.
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Ejercicios opcionales
[NUM2] Demostrar las siguientes afirmaciones:• Si un número es mayor que otro no nulo, hay un
múltiplo de éste que es mayor que el primero• No todos los números son iguales a 4• Ningún número, salvo el 0 y el 1, es igual a su
cuadrado.• Dos números distintos tienen siguientes
distintos.• No todo número x es una potencia de 2.
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Ejercicios obligatorios
[NUM3] Demostrar cada una de las siguientes fórmulas, o su negación:
• ~x,y,(SSO.y)=xx,y,~(SSO.y)=xx,~y,(SSO.x)=yx,y,~(SSO.x)=y
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Ejercicios obligatorios
[IND] Demostrar por inducción las siguientes afirmaciones:
- Todo número distinto de cero es el siguiente a otro número
- El producto de números naturales es distributivo con respecto a la suma
- Todo múltiplo de cuatro es un múltiplo de dos
![Page 66: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/66.jpg)
Ejercicios opcionales
• [PRDEDN] Escribir un programa que hace deducciones lógicas sobre predicados numéricos a partir de un conjunto de axiomas.
• [PRDEDNUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas sobre números a partir de un conjunto de axiomas.
![Page 67: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/67.jpg)
Lógica de predicados con modelo numérico: Observación
• La afirmación[T] ~z=0~z=x.x.x+y.y.yes un caso particular del Teorema de Fermat, y por lo tanto es un teorema.
• Sin embargo, entre los siglos X y XVIII no se sabía si era un teorema o no. Nadie dudaba entonces que o bien era un teorema o su negación lo era. Sin embargo, no era imposible que ni [T] ni su negación fueran teoremas. Los matemáticos generalmente hacen este tipo de suposiciones.
![Page 68: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/68.jpg)
Lógica de predicados con modelo de cadenas: Axiomas
x,~Sx=0 []
x,0+x=xx,y,Sx+y=S(x+y) []
• Sx=Sy x=y [] (elimin.)
• ~Sx=Sx [,, ]• Nota: x,y,(x=y Sx=Sy) es un
teorema, consecuencia de la regla genérica de sustitución.
![Page 69: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/69.jpg)
Lógica de predicados con modelo de cadenas: Axiomas, II
• InducciónEjemplo: F x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)(y,z,(0+y)+z=0+(y+z) ^
(x,(y,z,(x+y)+z=x+(y+z) y,z,(Sx+y)+z= Sx+(y+z))) x,y,z,(x+y)+z=x+(y+z)
• Axioma:
F0/V, V,<FFS.V/V> [] V,F• Es un conjunto infinito de axiomas que se
pueden utilizar como reglas de deducción.
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Ejemplo sencillo de demostración por inducción sobre cadenas
0+y=y [Axioma de inducción]y+z=y+z x,y,z,(x+y)+z=x+
(y+z)(0+y)+z=y+z0+(y+z)=y+z(0+y)+z=0+(y+z)[ x+(y+z)=(x+y)+z
Sx+(y+z)=S(x+(y+z))…Sx+(y+z)=(Sx+y)+z]
(0+y)+z=0+(y+z) ^ x+(y+z)=(x+y)+zSx+(y+z)=(Sx+y)+z)
![Page 71: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/71.jpg)
Modelo de cadenas
• La interpretación
(D=*, 00, SS, ++)
es un modelo de la teoría lógica anterior.
![Page 72: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/72.jpg)
Lógica de predicados con modelo de cadenas: Ejemplo de predicado
• sinCorchete 0C,sinCorchete CsinCorchete SC
– [, ] . [, ].
• Definición sin utilizar un símbolo nuevo:
x,y,
((C=x+y ^ ~y=0)z,(y=Saz v y=Sbz))
![Page 73: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/73.jpg)
Ejercicios obligatorios
Demostrar las siguientes afirmaciones:
• [STR1] Si dos palabras tienen descomposiciones idénticas como concatenación de otras dos, son iguales
• [STR2] Si dos palabras tienen descomposiciones diferentes como concatenación de otras dos, no tienen por qué ser iguales
• [STR3] La palabra “101010” no es la concatenación de otra palabra consigo misma
![Page 74: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/74.jpg)
Ejercicios opcionales
Demostrar cada una de las siguientes afirmaciones o su negación:
• [STR4] ~x,y,(SaSbO+y)=x• [STR5] x,y,~(SaSbO+y)=x• [STR6] ~x,y,(SaSbO+x)=y• [STR7] x,~y,(SaSbO+x)=y• [STR8] x,y,~(SaSbO+x)=y
![Page 75: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/75.jpg)
Ejercicios opcionales[LENGTH] Se define la longitud de una cadena de
caracteres mediante la función L tal que
L0 = 0 ^ LSaw=Saw ^ LSbw=Saw.
Demostrar que
x,y,u,v,(Lx=u^Ly=vL(x+y)=u+v)
[MENOR] Definir el predicado < sobre cadenas, que significa que la segunda cadena contiene a la primera al comienzo, y demostrar que
x,y,u,v,L(x,u)^L(y,v)^x<y u<v
y la negación de la implicación contraria.
![Page 76: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/76.jpg)
Ejercicios opcionales
• [PRDEDCH] Escribir un programa que hace deducciones lógicas sobre predicados sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.
• [PRDEDCHUS] Escribir un programa que permite al usuario construir paso a paso deducciones lógicas sobre cadenas a partir de un conjunto de axiomas.
![Page 77: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/77.jpg)
Teoría de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF)
• Extensionalidad (mismos elementos igualdad)
• Regularidad
• Especificación [: Fórmula] ({xy|})
• Emparejamiento ({x,y})
• Unión ({y|yx})
![Page 78: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/78.jpg)
Teoría de conjuntos: Axiomas de Zermelo Fraenkel (ZF), II
• Reemplazamiento (imagen de función)
• Infinito [: y,~(yx). S(y): y{y}, xz(x=y)v(xy)]
• Potencia [zx: yzyx] ({y|yx})
• Elección [well-orders: …]
![Page 79: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/79.jpg)
Ejemplo de teorema de la teoría de conjuntos
X, X { y | yy }[ y,(yx~yy) xx^~xx
xx~xx ~y,(yx~yy)]
~xx v ~xx (y,(yx~yy)) ~xx ~y,
(yx~yy)
~xxxx ~y,(yx~yy) v
xx v xx ~y,(yx~yy)
xx ~y,(yx~yy)
![Page 80: Deducción en la Lógica de Predicados Roberto Moriyón](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062222/5665b4711a28abb57c917d99/html5/thumbnails/80.jpg)
Teoría lógica de Zermelo-Fraenkel: Incompletitud
• La afirmación(x,xyz,zx)(u,x,xyz,zx^zu)se conoce como axioma de elección.• En la segunda mitad del siglo XX, Paul
Cohen demostró que el axioma de elección es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
• Ello se debe a que en algunos modelos de la teoría es cierto y en otros no.