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RESISTENCIA DE MATERIALES
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3.6 DEFORMACIÓN DE ELEMENTOS CARGADOS
AXIALMENTE
En la Fig. 3.51 se muestra un elemento AB de longitud L y sección transversal A
uniforme en toda longitud, sometido a la acción de la carga axial P.
Como el elemento AB es un sólido deformable, la distancia entre los puntos A y B
sufrirá una variación, lo cual quiere decir, que habrá un cambio en la longitud L,
Fig. 3.52 este cambio de longitud denomina deformación por fuerza axial,
.
Como el esfuerzo normal inducido en cualquier sección transversal del elemento
es uniformemente distribuido y constante en toda la longitud del mismo, entonces
la deformación unitaria longitudinal ε (en la dirección del eje centroidal
longitudinal) es también constante.
La magnitud de la deformación longitudinal puede
ser determinadas si el comportamiento mecánico del material es linealmente
elástico, es decir, que cumple con la ley de Hooke.
Según la ecuación (3.16):
Y según la ley de Hooke:
Por consiguiente.
Fig. 3.51
Elemento AB sometido a
carga axial.
Fig. 3.52
Deformación del elemento AB
sometido a carga axial
Ecuación 3.16 L
L
E
LE
RESISTENCIA DE MATERIALES
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Como el esfuerzo normal por carga axial se define como:
La deformación por carga axial del elemento AB se puede calcular con la siguiente
ecuación:
Esta ecuación muestra que el alargamiento del
elemento AB, (alargamiento entre los puntos A y B), es directamente proporcional
a la carga P y a la longitud L e inversamente proporcional al módulo de elasticidad
E y al área la sección transversal A. El producto AxE se conoce como rigidez axial
del elemento. Aunque la ecuación 3.17 se dedujo para un elemento bajo carga
axial a tracción, también es aplicable si el elemento está sometido a carga axial de
compresión, en este caso representa el acortamiento de la barra, (acortamiento
entre los puntos A y B). Por lo general por inspección se sabe si un elemento se
alarga o se acorta, sin embargo es posible establecer una convención de signos,
considerando positivo el alargamiento y negativo el acortamiento.
3.6.1 Deformación en elementos con varios segmentos
Se trata del uso de la ecuación (3.17) para el cálculo de deformación y situaciones
más generales. En la Fig. 3.53(a) se muestra un elemento con varios segmentos
prismáticos y cada segmento con carga axial, material o área de la sección
transversal diferentes.
La variación total de la longitud del elemento ABCD o lo que es lo mismo la
deformación total del mismo, , y que representa la variación de la distancia entre
los puntos A y D, se puede obtener sumando las variaciones de longitud o
deformaciones de cada segmento.
Para calcular las deformaciones en cada segmento se determinan las fuerzas
axiales internas para cada segmento; F1, F2 y F3 y se aplica la ecuación 4.2 para
cada uno.
Ecuación 3.17
A
F
EA
LF
321
11
111
EA
LF
33
333
EA
LF
22
222
EA
LF
RESISTENCIA DE MATERIALES
3
2
3
Los cambios de longitud deben sumarse algebraicamente, con los alargamientos
considerados positivos y los acortamientos negativos.
En términos generales, para un elemento prismático, con varios segmentos, cada
uno con fuerzas internas axiales, material, o área de sección transversal diferentes,
la deformación total se puede obtener con la siguiente ecuación:
1
ni i
i i i
F L
A E
El subíndice i es un índice numerador para los varios segmentos de la barra y n es
el número total de segmentos. Se hace hincapié en que Fi no es carga externa sino
fuerza axial interna en el segmento i.
Fig. 3.53 Elemento de tres segmentos prismáticos con fuerzas axiales, área de
secciones transversales y materiales diferente
Ecuación 3.18
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3.6.2 Deformaciones en elementos con sección variable y/o carga variable
Hay situaciones en las cuales la fuerza axial, o el área de la sección transversal, o
ambas varían a lo largo del eje centroidal longitudinal del elemento, como se
ilustra en la Fig. 3.54
El análisis se hace para un segmento diferencial de longitud dy, ubicado en
cualquier posición y dentro del elemento. En la correspondiente sección
transversal actuará la fuerza axial F(y), figura 3.55(b), que puede ser determinada
aplicando ecuaciones de equilibrio estático para cualquiera de las dos porciones
AC o CB, figura 3.55(a).
y (a) (b)
Llamando A(y) el área de la sección transversal de elemento diferencial, el
alargamiento d del mismo se puede expresar como:
Fig. 3.54
Elemento con secciones transversales variables y fuerza axial variable.
Fig. 3.55
(a) y (b) Fuerza axial sobre un elemento
diferencial de la barra AB.
EyA
dyyFd
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El alargamiento del elemento AB se obtiene integrando sobre toda la longitud:
0 0
L L F y dyd
A y E
3.6.3 Compatibilidad geométrica de la deformación.
Esta situación se presenta en estructuras en las cuales cada elemento puede
alargarse o acortarse, pero estas deformaciones deben acomodarse al
desplazamiento de cualquier articulación o junta del sistema.
En la figura 3.56 se muestra una estructura, un marco triangular, que soporta una
carga de 25 kN. Las fuerzas que actúan sobre cada elemento se muestran en la
figura 3.57.
Las fuerzas axiales sobre los elementos AB y BC producen variaciones en las
longitudes de las barras AB y BC, (deformaciones), que se calculan con la
ecuación 3.17. Considerando que el material de cada barra es acero con un módulo
de elasticidad: E = 200 Gpa, se tiene:
3
4 9 2
35360 4.241.48 10
5.06 10 200 10 /AB
AB
FL Nx mx m
AE x mx x N m
Ecuación 3.19
Fig. 3.56 Estructura
ABC.
RESISTENCIA DE MATERIALES
6
4
4 9 2
25000 31.63 10
23 10 200 10 /BC
BC
FL Nx mx m
AE x mx x N m
•
La compatibilidad geométrica de las deformaciones exige que los elementos AB y
BC se muevan de tal forma que mientras varían sus longitudes según los valores
calculados, deben permanecer rectos (sólo están sometidos a fuerza axial) y
continúan unidos en B. El mecanismo mediante el cual se satisface esta condición
se ilustra con las Fig. 3.58 y 3.59.
En primera instancia se supone, que las barras se desconectan en D y se varían sus
longitudes en y, δBC de forma que las longitudes ahora son AB1 y CB2
respectivamente. Para hacer coincidir B1 y B2 sin variar de nuevo las longitudes, se
toma los puntos A y C como centros y se trazan los arcos con radios AB1 y CB2
hasta que se corten en B’’. Por tanto, debido a la acción de la carga externa de 25
kN el punto B de la estructura se mueve al punto B". Fig. 3.58.
Fig. 3.57
Fuerzas sobre cada elemento de la
estructura ABC.
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El desarrollo geométrico del punto B" no es práctico. Sin embargo como las
deformaciones de las barras son muy pequeñas comparadas con las longitudes de
las mismas, (la representación de las deformaciones en la gráfica son
exageradamente grandes), se pueden sustituir, con gran aproximación, los arcos
por las tangentes geométricas a los mismos en los puntos B1 y B2 (o por las
perpendiculares a sus radios AB1 y CB2 respectivamente), obteniendo la
intersección B', como una aproximación a B". Por su simplicidad, en la práctica se
emplea esta aproximación en los cálculos de deformación de estructuras. El
empleo de este método que sustituye los arcos por las tangentes (o perpendiculares
a los radios), se ilustra en la Fig. 3.59, que también permite calcular los
desplazamientos vertical y horizontal que llevan al punto B a ocupar la posición B'.
Fig. 3.58
Marco deformado según desarrollo geométrico.
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Se tienen en cuenta y δBC para situar los puntos B1 y B2 se trazan las
perpendiculares a los radios AB1 Y CB2 ( o las tangentes a los arcos
correspondientes), B1B' y B2B'. Estas perpendiculares se cortan en el punto B',
posición del punto B de la estructura después de aplicada la carga.
3.6.4 Relación de Poisson
Cuando un elemento se somete a la acción de una fuerza axial de tracción, el
alargamiento longitudinal va acompañado de una contracción lateral, o sea una
contracción perpendicular a la dirección de la fuerza axial. Este cambio
deformación muestra en la Fig. 3.60(a) y (b), donde se muestran elemento antes y
después de la aplicación de la carga.
(a) (b)
Fig. 3.59
Marco deformado según
desarrollo analítico .
Fig. 3.60 (a) y (b) Alargamiento longitudinal y contracción lateral. (a)
Elemento antes de aplicar carga. (b) Elemento después de aplicar carga.
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La deformación unitaria lateral en cualquier punto del elemento es proporcional a
la deformación unitaria longitudinal, en el mismo punto, si el material tiene un
comportamiento linealmente elástico. La relación de la deformación unitaria
lateral (’’d) sobre la deformación unitaria longitudinal (L) se conoce
como relación de Poisson y se denota con la letra griega, , por consiguiente:
Para un elemento sometido a fuerza axial de tracción, la deformación unitaria
longitudinal es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa. Para
compresión la situación es opuesta, el elemento se acorta (deformación unitaria
longitudinal negativa) y se ensancha (deformación unitaria lateral positiva).
La tabla 3.3 muestra los valores de la relación de Poisson para varios materiales en
el rango linealmente elástico. Hay que tener en cuenta que la relación de Poisson se
supone que tiene los mismos valores en tracción y compresión.
MATERIAL RELACIÓN DE POISSON (
Aleaciones de aluminio 0.33
Latón 0.34
Bronce 0.34
Hierro fundido 0.2 – 0.3
Cobre y aleaciones de cobre 0.33 – 0.36
Aleaciones de Magnesio 0.35
Níquel 0.31
Acero 0.27 – 0.30
Aleaciones de Titanio 0.33
Plásticos 0.4
Hule 0.45 – 0.50
Vidrio 0.17 – 0.27
Concreto 0.1 – 0.2
Ecuación 3.20
Ecuación 3.21
Tabla 3.3 Valores de la relación de Poisson para algunos materiales.
´
allongitudinunitarianDeformació
lateralunitarianDeformació
´
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Las tres constantes de los materiales, módulo de elasticidad: E, módulo de rigidez:
G y relación de Poisson: se puedan relacionar mediante la ecuación:
EJEMPLO 3.9
Para el elemento ABCDE de acero de E1 = 200Gpa, E2 = 100 Gpa y E3 = 70 Gpa
mostrado en la figura 3.61(a), calcular:
a) La deformación total.
b) El desplazamiento del punto C.
Solución:
Para aplicar las ecuaciones 3.17 y 3.18, el primer paso es determinar las cargas
internas axiales para cada segmento del elemento, lo cual puede hacerse mediante
el método de los diagramas como se observa en la figura 3.61(b).
Ecuación 3.22
Fig. 3.61 (a) Elemento ABCDE. (b) Estado de fuerzas internas (axiales)
sobre el elemento ABCDE.
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EG
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(a) (b)
Aplicando la ecuación 3.17 se obtiene:
Para terminar la deformación total del elemento ABCDE, , se aplica de la
ecuación 3.18
La deformación calculada representa la variación de distancia entre los puntos A y
E. El signo negativo implica que el elemento ABCDE está sufriendo un
acortamiento, lo cual implica que los puntos A y E se acercan. Como el punto A es
fijo y ya que se comprobó la condición de acortamiento del elemento ABCDE, el
punto E necesariamente se desplazará hacia arriba, una distancia igual al valor de
la deformación total: ΔE = cm041,0 ,
Como el punto A en el elemento ABCDE es fijo, el desplazamiento del punto C
será igual a la deformación de la porción AC de la barra..
El signo negativo implica que la porción AC se acorta, lo que hace que el punto C
se desplace hacia arriba una distancia igual al valor de la deformación, o sea que:
=0.027cm.
DECDBCAB
cmcmcmcm 119,0105,0042,0015,0 cm041,0
cmcmBCABAC 042,0015,0 cmAC 027,0
ACC
E
m
mNm
mNBC
4
2924
102,410200105
6.070000
m
mNm
mNAB
4
2924
105.110200105
5.0.30000
m
mNm
mNCD
3
2924
1005.110100102
7.030000
m
mNm
mNDE
3
2924
1019,11070103
5.050000
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EJEMPLO 3.10
Un elemento de acero AB de está colgado libremente de un apoyo, tal como se
muestra en la figura 3.62. Si el peso específico del acero es: /m3 y el
módulo de elasticidad E = 200Gpa, calcular la deformación total del elemento
debido al peso propio del mismo.
(a) (b)
Solución:
La deformación total del elemento AB se calcula aplicando la ecuación 3.19, ya
que está es una situación en la que se presenta carga variable. La fuerza axial F(y)
tiene un valor igual al peso de la porción del elemento que cuelga del diferencial
dy, Fig.3.62 (b).
2
35
9
2
78000 (1.2 )
2.808 10
2 200 10
Nx m
m x mN
x xm
Fig. 3.62
(a) Elemento de acero que cuelga del
apoyo A. (b) fuerza axial sobre el
diferencial dy.
yWyF
yAVolyW
yAyW
L L
E
L
E
y dy
A.E
.A.y
0
2
0
2
2 2
RESISTENCIA DE MATERIALES
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EJEMPLO 3.11
En la figura 3.63(a) se muestra un elemento AB en forma de tronco de cono.
Calcular la deformación total de elemento en función de P, L, D1, D2 y E.
(a) (b)
Solución:
En esta situación particular el área de la sección transversal del elemento es
variable, por consiguiente la deformación total se calcula aplicando la ecuación
3.19. La carga axial interna es constante F = P. Figura de 3.63(b).
La ecuación del área de la sección transversal en función de x, se determina a
través de la geometría mostrada en la Fig. 3.63(b).
Y r(y) se determina según la siguiente relación:
Por consiguiente:
y Por consiguiente:
Fig. 3.63
(a)..Elemento AB en forma
de tronco de cono. (b)
fuerza axial para el
elemento diferencial dx.
L
dyEyA
P
0
2
yryA
yL
Dr
L
DD
y
222
21
2
211
22
y
L
DDDA y
L
dy
EyL
DDD
P
0
2
211
22
y L
D D D r y
2 2
2 1 1 -
RESISTENCIA DE MATERIALES
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Trabajando la integral por sustitución
EJEMPLO 3.12
En la estructura mostrada en la figura 3.64, los elementos AB y AC, son del mismo
material, tienen la misma área de la sección transversal A y la misma longitud L.
Calcular el desplazamiento del punto A, si las uniones A, B y C se hacen mediante
pasadores.
(a) (b)
Solución:
En la Fig. 3.64(b), se muestra el estado de cargas sobre el pasador A.
Fig. 3.64
(a) Estructura ABC (b) cargas
sobre el pasador A.
yL
DDD
22
211 dy
L
DDd
2
21 dDD
Ldy
21
2
LL
DDE
PLd
DDE
LP
021
2
0 21
122
21121121
4
2
1
22
12
DED
PL
DL
L
DDDDDE
PL
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Aplicando ecuaciones de equilibrio estático.
Por consiguiente
Como las fuerzas axiales son iguales en ambas barras así como también la longitud
L, el área de la sección transversal A y además son del mismo material, se
concluye:
Se aplica el principio de la compatibilidad geométrica, teniendo en cuenta que
como la fuerza en los elementos es de tracción, la deformación es un
alargamiento para cada barra.
Al ser las deformaciones iguales para los elementos AB y AC, Fig. 3.65. La
geometría muestra que el punto A tiene un desplazamiento vertical, sobre el eje Y,
esto hace que:
δ Fig. 3.65
Desplazamiento del punto A.
00 21 senFsenFFx
cos
PFPcosFFy
2020
scoAE
PL
AE
FL
221
22 cosAE
PL
cosA