-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Delprøve1
Opgave1a)Sebilag1.
Opgave2a)Givet9x2 −90x +4 y2 +16 y +205=0 .Viomskriverudtrykkettilellipsensligning:
Bilag 1 til opgave 1
Skole: Hold:
Eksamensnr Navn:
- '!'-'-.."i " -'r" -" i "'
x# oI
a
v
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
9x2 −90x +4 y2 +16 y = −2059 x2 −10x( )+4 y2 +4 y( ) = −2059 x + −102( )2 − −102( )2⎛⎝ ⎞⎠ +4 y + 42( )
2− 42( )2⎛⎝ ⎞⎠ = −205
9 x −5( )2 −9⋅25+4 y +2( )2 −4 ⋅4 = −2059 x −5( )2 +4 y +2( )2 = −205+9⋅25+4 ⋅49 x −5( )2 +4 y +2( )2 =369 x −5( )236 +
4 y +2( )236 =1
x −5( )24 +
y +2( )29 =1
Afellipsensligningsesdetatcentrumliggerpunktet(5,-2)ogathalvakserneera=2ogb=3.Opgave3a)Givetfunktionenf (x , y)=3x +4 y. Vedparallelforskydningafniveaulinjernesesdet,atpunktet(6,3)erdetpunkt,hvorviharmindsteværdienforfunktionenf.Mindsteværdiener:f (6,3)=3⋅6+4 ⋅3=30. Opgave4a)ArealetafområdetMbestemmes:
Skæringspunkter:
x2 −3x +4 = −x2 +3x +4−2x2 +6x =0x −2x +6( ) =0x =0∨ x =3
−2x2 +6xdx = − 23 x3 +3x2⎡⎣ ⎤⎦
0
3
∫0
3
= −18+27= 9
ArealetafområdetMer9.
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Opgave5a)Redegøreforaty = −3ln(x)+ 12 x
2 −5x −3erløsningtilx ⋅ ′y −3ln(x)= y + 12 x2.
Vistartermedatbestemme ′y :′y = x − 3
x−5.
Idifferentialligningenudregnesvenstresiden:
VS: x ⋅ x − 3
x−5⎛
⎝⎜⎞⎠⎟−3ln(x)= x2 −3−5x −3ln(x) .
HS: −3ln(x)+ 12 x2 −5x −3+ 12 x2 = −3ln(x)+ x2 −5x −3.
Dahøjre-ogvenstresiderneerens,kanvikonkludere,atfunktionenyerløsningtildifferentialligningen.Opgave6a)Tekstomeksponentiellefunktioner:Eksponentiellefunktioneradskillersigfraf.eks.lineærefunktioner,vedikkehaveenkonstantstigningstakt,menenrelativstigningstakt,dvs.enprocentuelstigningstakt.Omdeneksponentiellefunktiongælderat
f (x)= b⋅ax ,hvora>0oga≠1ogb>0.Dm( f )=!Vm( f )= 0;∞⎤⎦ ⎡⎣f (0)= bFunktionenermonotontaftagende,når0
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Delprøve2
Opgave7a)Lånebeløb:75%af1.600.000kr.=1.200.000kr.Ydelsenpr.kvartaler16.894,31kr.
b)Fasteomkostningerpr.måned3.400kr.Amortiseringdet1.år:
Samletrenteudgiftefter1.år:14.160,22kr.Hertillæggesdefasteudgifter3.400⋅12= 40.800kr.Udgifterialtpr.år:54.960,22kr.Derskalaltsåindtjenes54.960,22kr.vedudlejningafsommerhuset.Antagatsommerhusetudlejes17ugeromåret,davilugeprisenliggepå3.233kr.Udlejerenskaldogværeopmærksompå,atdererenskattefribundgrænsepå40.000kr.året,hvilketbetyderatudlejerenbliverbeskattetaf14.960,22kr.
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Opgave8
a)Givetfunktionenf (x)= −2x +2( )⋅ −x2 +2x +8 .Dm( f )skalopfyldefølgende−x2 +2x +8≥0 .
SomdetfremgåraffigurenvilDm( f )= −2;4⎡⎣ ⎤⎦. Nulpunkter:x = −2∨ x =1∨ x = 4.
b)Forklaringtiludregninger:1. Detubestemteintegralskrives2. Indholdetunderkvadrattegnetsubstitueresmedt.dt = −2x +2dx og
integraletændrestil t dt∫ idet(-2x+2dx)erstattesafdt.
3. Detubestemteintegralbestemmesvha.potensreglen,da t = t12 .
4. 23 −2x2 +2x +8( )
32 + c ,tsubstituerestilbageiudtrykketfra3)
c)Arealetbegrænsetaffunktionenogintervalletfra-2til4.
Arealeter36.
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Opgave9a)Forskriftfordetsamlededækningsbidrag:f (x , y)= −0,5x2 +50x −0,1y2 +30y.
b)VibestemmerN(3000):
p= −502⋅−0,5 =50, q=−302⋅−0,1 =150
K =0−(−0,5)⋅502 −(−0,1)⋅1502 =3500
x −50( )23000−3500
−0,5
+y −150( )
3000−3500−0,1
=1
x −50( )21000 +
y −150( )25000 =1
Herafses,atN(3000)erenellipsemedcentrumi(50,150)oghalvakserne
1000og 5000.
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
c)Bestemmelseafdetstørstmuligedækningsbidrag:Viindsættery = −x +140 idenkvadratiskefunktionpåy’splads:
Vifinderefterfølgendedenafledtefunktion:
y=-40+140=100.Detstørstmuligesamlededækningsbidragopnåsvedsalgaf40MODENAog100TRENTOogMaxDBer:3200.
Opgave10a)Gennemsnitslønogvariansforbådekvinderogmænd:"Titel" "Statistikmedénvariabel""x " 35503.285714286"sx:=sC₋₁x"2896.3531020348"σx:=σCx"2866.6461310766"Titel" "Statistikmedénvariabel""x " 34364.984375"sx:=sC₋₁x"2664.1943330389"σx:=σCx"2643.2983685882Mænd:Gennemsnitsløn35.503kr.Varians2.896kr.Kvinder:Gennemsnitsløn34.364kr.Varians2.643kr.b)VigennemførerenF-testforensvarianserpåniveau5%:Hypoteser:
H0 :σm2 =σ k2
H1 :σm2 ≠σ k2
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Testresultat:"Titel" "F-testfortospredninger""AlternativHyp" "σ1≠σ2""F" 1.1818740935468"PVal" 0.52991627972645Dap-værdienerstørreend0.05kanviikkeafvisenul-hypotesen,ogdetmåderforantagesatvarianserneerens.c)Medudgangspunktiundersøgelsensresultatermådetkonstateres,atmændsmånedligegennemsnitslønerhøjereendentilsvarendeforkvinderne.Variansen(spredningen)imændogkvindersmånedslønerikkesignifikantforskellig.Opgave11a)Antalstabel(Pivot-tabel):AntalafSortarbejde Kolonnenavne
Rækkenavne Ja Nej HovedtotalLand 153 462 615Provins 113 451 564Storby 72 410 482Hovedtotal 338 1323 1661b)Bestemmelseafbidragenetilteststørrelsensamtgennemførelseafuafhængighedstest,herunderberegningafbidragenetilteststørrelsenfrapersoneriprovinsen,dersvarede”nej”.Hypoteser:
H0 : UafhængighedafsvaroglandsdelH1 : Afhængighedafsvaroglandsdel
Testresultat:"Titel" "χ²-uafhængighedstest""χ²" 16.524993806066"PVal" 2.5801395043964E�-4"df" 2.
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Dap-værdienermindreensignifikansniveauetpå5%kanviafvisenul-hypotesen,ogdetmåderforantages,atderersammenhængmellemsvarpåspørgsmålet,sammenlignetmedhvilkenlandsdelrespondenternebori.Deenkeltebidragtildensamledeteststørrelsen:
Afskemaetsesdetat(Provins,nej)bidrogmed0,006969tildensamledeteststørrelse.Udregninger:BeregningafdenforventedeværdiForProvins,nej:
564 ⋅13231661 = 449,23
Beregningafbidraget:451−449,23( )2
449,23 =0,0069 .c)xy-plotsamtlineærregressionsmodel:
"Titel" "Lineærregression(mx+b)""RegEqn" "m*x+b""m" -0.56377295492487"b" 1157.1941569282"r²" 0.70100565881708"r" -0.83726080692761
ŷ = −0,56x +1157,19 .
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
d)Residualplot:
95%konfidensintervalforβ (a):"Titel" "LineærtRegt-interval""RegEqn" "a+b*x""CLower" -0.93157798061622"CUpper" -0.19596792923353Med95%sandsynlighedvilandelen,derudførersortarbejde,liggeiintervallet
−0,94;−0,19⎡⎣ ⎤⎦ .Detkankonstateres,atandelenafsortarbejdeerfaldendeiperiodenfra2008til2017.Detteunderstøttesafbådexy-plottetogregressionsligningenŷ .Bådeoverensstemmelsesgradr=-0,83ogforklaringsgradenr2=0,70ermoderatgode.Opgave12
Givetdifferentialligningendqdt
= −0,06t2 +0,6t +0,6 , 0≤ t ≤15. a)Forskriftforq:
q(t)= −0,02t3 +0,3t2 +0,6t +2
-
PeterBregendalLøsningerMatA
Maj2020CAS:Nspire
Vendepunkteterbestemtgrafiskvha.Nspire.Efter5månedervilafsætningenvoksehurtigst.Seberegningenvedligningen: ′′q (t)=0.
q 5( ) =10.