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2.12. PROBLEMAS RESUELTOS
2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A | = 10 m , |B | = 20 m, |C | = 5 m, |D | = 22 m, α = 40°, φ =
75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) RC−C
Solución:
21,712 288,68 -90 288,68 ,3884
11,020-
Rx
Rytg
resultante vector deldireccion lacalcular para ngentefuncion ta la Aplicando
m 11,861R 11,020- ,3884RyRxR
:Pitagoras de teoremael Aplicando
m 11,020- Ry m ,3884Rx
75sen5-35sen 2240sen 10Ry 2075 cos5 40 cos1053 cos22Rx
Cy-DyAyRy B-Cx-AxDxRx
RyCy-DyAy Rx B-Cx-AxDx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX
a) Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D )
b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C
Datos
A = 10 m
α = 40°
B = 20 m
C = 5 m
φ = 75°
D = 22 m
θ = 35°
��
𝛼
��
𝜑
��
𝜃
��
��
𝑩 𝛼
��
𝜑
��
𝜃
Ax Cx
Cy
Dx
Ay
Dy
R
Ǿ
Ry
Rx
β
��
𝜽
β δ
��
288,33
712,2153 90
90
90
𝑪
��
𝜑
15°°
𝛽
𝑪
𝑹𝑪−𝑪
834,8
)712,2115cos(020,11
)15cos(
mR
R
RR
CC
CC
CC
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2.12.2. Tres vectores de |A | = 100 m, |B | = 75 m y |C | = 165 m, tienen como resultante |R | qué forma 315° con el
vector B , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario
de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector A con la resultante R , b) La componente del
vector R sobre el eje formado por el vector A-A.
Solución:
813,29 8627,0 2sen 11,8627 2sen 3648,1sencos21
100
7570cos16570sen165sensencos2cos
BCxCysencos
BCxCysenAcosA
BCxCyAyAx
CyAyxAx
RyRx
2 Ec. Ry CyAy 1 Ec. Rx xAx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2
2
22
2
2
YX
A
CB
CB
a) El ángulo que forma el vector A con la resultante R
b) La componente del vector R sobre el eje formado por el vector A-A.
Datos
A = 100 u
B = 75 u
C = 165 u
θ = 70°
R=
σ = 45°
Ax θ α
Cx
Ay
B
C
A
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
A
θ
C
813,74
813,2945
024,39
)813,74cos(962,148
)cos(
R componente la de Calculo
m 962,481R
70cos16575813,29cos10045cosR
x AxRx
1 Ec. De
A-A
mR
R
RR
CB
AA
AA
AA
R
α
Ǿ
A
σ
R
Ǿ
A
A
RA-A
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2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A | = 22 m, |B | = 35 m y |C | = 15 m de magnitud. El primero y
el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a)
Encontrar la magnitud del vector |L |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los
vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por F = −2 ∙ A + 3 ∙ R (todos los ángulos se miden en
sentido anti horario).
Solución:
a) Encontrar la magnitud del vector |L |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores.
b) Encontrar la magnitud del vector dado por F = −2 ∙ A + 3 ∙ R
Datos
A = 22 m
B = 35 m
C = 15 m
𝛽 = 80°
θ = 30°
22,149
224,299030
Cy L entre angulo del Calculo
m 91,80
776,60cos222901,3032222901,303
cos23223
cosenos de teoremael Aplicando
22
222
F
F
ARARF
��
θ
��
��
𝛽
Bx
θ
Cx
By
C
B
Cy
A β
776,60
90224,29180
180
180
29,224 776,60 1,787 087,15
26,968
Dx
Dy) tan(
vector deldireccion la de Calculo
m 901,30R 26,968087,15 RyRx
vector del modulo del Calculo
m 26,968 Ry m 087,15Rx
30518035Ry 30cos1580cos3522Rx
Ry By Rx Cx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX
R
R
R
sensen
CyBxA
R
Ǿ
��
β φ
θ
��
Ǿ α
α
mL
L
RL
80,61
901,302
2
L vector del modulo del Calculo
β
δ
𝟑 ∙ ��
−𝟐 ∙ ��
𝜶
∅
𝟑 ∙ ��
−𝟐 ∙ ��
��
∅
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2.12.4. Cuatro vectores de |A | = 50 u, |B | = 75 u, |C | = 90 u y D tienen como resultante |R | = 50 u y se encuentra
en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El
ángulo que forma el vector D con la resultante R b) El modulo y dirección del vector R1 = 3 ∙ D +C
Solución:
a) El ángulo que forma el vector D con la resultante R
b) El modulo del vector R1 = 3 ∙ D +C y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C
Datos
A = 50 u
B = 75 u
C = 90 u
α = 40°
𝜑 = 35°
θ = 70°
R= 50 u
σ = 65°
Dx
θ
Cx
Dy
B C
D
Cy
R
σ
Ry
Rx
B
α
��
θ
��
948,139
948,7465
745,2 254,6770
254,67 96,994
917,153052,35sen sen
R
D3sensen
R
sen
D3
sen
senos los de teoremael Aplicando
994,96
052,35cos90917,513290917,513
cos323
cosenos de teoremael Aplicando
11
11
1
22
1
222
1
CRCR
uR
R
CDCDR
��
𝜑
By
Bx α
𝜑
β
��
A Ay
Ax β
R
β Ǿ
D
σ
052,35
948,7470180
180
180
948,74 -3,718 483,13
50,136
Dx
Dy) tan(
vector deldireccion la de Calculo
917,51D 50,136483,13 DyDxD
vector del modulo del Calculo
u 50,136 Dy u 483,13Dx
6550709040503575Dy 65cos5070cos9040cos5035cos75Dx
Ry CyAyDy Rx CxxBx
Ry CyAyDy Rx CxxBx
RyV Rx V
Y ejey X eje el ene vectoresde sumatoria Aplicando
2222
YX
D
u
D
sensensensen
ByADx
ByADx
γ
δ 3.��
��
R1
R1
C
β γ
D
θ δ
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2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio B = (5,4,3) y F = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los
vectores unitarios B y F c) Hallar los cosenos directores de los vectores B y F
a) realizar los gráficos
B = (5,4,3) F = (2,3, −4)
b) hallar los vectores unitarios B y F
c) Hallar los cosenos directores de los vectores B y F
B = (5,4,3) F = (2,3, −4)
Bx= 5
By= 4
Bz= 3
��
𝛼 𝜃
𝛽
Fx= 2
Fy= 3
Fz=- 4
𝐹
∅
𝛿
𝜑
kji
kji
u
BzByBx
ˆ4243,0ˆ5657,0ˆ7071,0b
071,7
ˆ3ˆ4ˆ5
B
Bb
b unitario vector del Calculo
071,7B
345B
B
B de modulo del Calculo
222
222
kji
kji
u
FzFyFxF
ˆ743,0ˆ557,0ˆ371,0f
385,5
ˆ4ˆ3ˆ2
F
Ff
f unitario vector del Calculo
385,5F
432F
F de modulo del Calculo
222
222
89,64 4243,0071,7
3
Bcos
55,55 5657,0071,7
4
Bcos
0,45 7071,0071,7
5
Bcos
Bz
By
Bx
01,42 743,0385,5
4
Fcos
15,56 557,0385,5
3
Fcos
22,68 371,0385,5
2
Fcos
Fz
Fy
Fx
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2.12.6. Dado los vectores A = (2,5, −3) y C = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los
vectores A y C en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma vectorial
a) Grafico de los vectores A y C
b) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma escalar
c) Hallar el ángulo que forman los vectores A y C en forma vectorial
𝐴
∅ 𝐶
𝑥
𝑦
𝑧
1,87 0,0507 4031,61644,6
2
CA
CAcos cosCACA
2CA 43-453-2 4,4,32,5,-3CA
4031,6 443C
1644,6A 352A
2
222222
222222
u
uCCzCyCx
uAzAyAx
1,87 0,9987 4031,61644,6
4208,39
CA
CxA CACxA
4208,39CxA
23132CxA
ˆ23ˆ1ˆ32CxA
ˆ)5()3()4(2ˆ)3()3()4(2)3()4()4()5(
443
352
ˆˆ
CxA
2
222
sensen
u
kji
kji
kji
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2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y
B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los
ángulos internos del terreno.
a) Graficar la forma del terreno
b) Hallar el área del terreno en forma vectorial
c) Hallar los ángulos internos del terreno.
06,109 2
94,702360
2
2360
36022
angulo del
94,70 9452,0 557,67
382,43
AB
AB ABAB
7B 236B
557,6A 335A
222222
222222
Calculo
xsensenx
kmBzByBx
kmAzAyAx
��
∅
𝐴
𝑥
𝑦
𝑧
∅
𝛼
𝛼
2
2
222
382,43
382,43AxB
33283AxB
ˆ33ˆ28ˆ3AxB
ˆ)3()5()3(6ˆ)2()5()3(6)2()3()3()3(
335
236
ˆˆ
AxB
kmArea
km
kji
kji
kji
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2.12.8. Dado los vectores A y B mostrados en la figura en donde |A | = 30 m y |B | = 50 m. Hallar : a) El producto
escalar A oB , b) Hallar el ángulo que forman A y B en forma vectorial.
a) El producto escalar A xB
b) Hallar el ángulo que forman A y B en forma vectorial.
8
m 6
m
3
m
��
��
Y
X
Z
kjik,j,i-,b
k,j,i-,bk,j,i-,kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
736,28 368,14 38,314 B 57470 28740 7663050ˆBB
57470 28740 76630 ˆ 57470 28740 76630 10,440
63 8f
440,10 638
)6,3,8( )0,3,0()6,0,8(
obtiene se grafico Del
222222
��
��
��
��
2
222222
57,1231AB
)82,26(736,28)41,13()368,14(038,314)(AB
82,26 41,13 0 736,28 368,14 38,314AB
escalar producto del Calculo
82,26 41,13 0 A 8940 4470 0 30ˆAA
8940 4470 0 ˆ 8940 4470 0 6,708
63 0ˆ
708,6 630
)6,3,0( )6,0,8()0,3,8(
obtiene se grafico Del
m
kjikji
kjik,j,ia
k,j,iak,j,ikji
S
Ss
mSSzSySxS
SNCSCSN
��
��
�� ��
81,34 0,8210 3050
57,1231
A
Acos cos
B
BABAB
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2.12.9. Dado los vectores A y B mostrados en la figura en donde |A | = 10 m y |B | = 20 m. Hallar :a) Hallar el
producto vectorial A xB , b) Hallar la componente del vector A sobre eje formado por el vector B-B
a) Hallar el producto vectorial A xB
b) Hallar la componente del vector A sobre eje formado por el vector B-B
5
m 8
m
2
m
��
��
Y
X
Z
kjikj,i-,b
kj,i-,bkj,i-,kji
F
F
mFFzFyFxF
FHNFNFH
0 428,7 18,57 B 0 37140 9285020ˆBB
0 37140 92850 ˆ 0 37140 92850 385,5
02 5f
385,5 025
)0,2,5( )8,2,0()8,0,5(
obtiene se grafico Del
222222
kjik,j,ia
k,j,iak,j,ikji
S
Ss
mSSzSySxS
SNCSCSN
702,9 425,2 0 A 97020 24250 0 10ˆAA
97020 24250 0 ˆ 97020 24250 0 8,246
82 0ˆ
246,8 820
)8,2,0( )8,0,5()0,2,5(
obtiene se grafico Del
222222
��
��
�� ��
mA
AA
kjikji
B
BABAB
BB
BB
901,0
83,84cos10cos
83,84
0,0901 1020
702,9 425,2 0 0 428,7 18,57cos
A
Acos cos
��
�� ��
��
kji
kji
kji
ˆ032,45ˆ166,180ˆ066,73BxA
ˆ)425,2()57,18()4,7(0ˆ),7029()57,18()0(0),7029()428,7()0()4,2(
0428,757,18
,7029425,20
ˆˆ
BxA
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2.12.10. La suma de de 2 vectores A y B es 5i + j + 3k, su producto vectorial A xB = -10i – j + 17k y su producto escalar
A ∙ B = 6 u. ¿Hallar los vectores A y B ?.
k) 0,0543,351244,0(By k) 946,2351,2244,5(A
2Solucion
k) 661,2220,2101,4(By k) 339,0220,3899,0(A
1Solucion
0,054 946,23 946,2 5
1244,5
5
3
661,2 339,03 339,0 5
1899,0
5
3
3,351 351,21 351,2 5
17 244,5
5
1
220,2 220,31 220,3 5
17 899,0
5
1
244,0 244,5 5 244,5
101,4 899,0 5 899,0
352
165354215215
0165215 35
225169154528934 85 525125
22513154517 85 525125
(25)* 105
1
5
3
5
1
5
33
5
17
5
1
5
17
5
15
1035
1031 5
10
5
17
5
1
5
1
5
3
175 153 1013
175 153 1013
17 5 1 1 53 1013
17 1 10
17 10
3 1 5
3 1 5
3 5
2
2
222
222
22
2
222
jiji
jiji
BzBzAzAz
BzBzAzAz
ByByAyAy
ByByAyAy
BxBxAx
BxBxAx
Ax
AxAx
AxAxAxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBzByBx
AzAyAxBxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA
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2.12.11. Se tiene dos vectores A y B cuya suma es S = A + B = −4i − 6j + 2k paralelos entre si y cuyo producto
escalar es -22. Hallar dichos vectores
k) 4,9542,862908,1(By k) 954,2862,8908,5(A
2Solucion
k) 393,1821,7241,5(By k) 607,0821,1241,1(A
1Solucion
4,954 954,222 954,2 908,55,050
393,1 607,02 2 607,0 214,15,050
2,862 ,8628 6 6 862,8 908,55,151
821,7 821,1 6 6 821,1 214,15,151
908,1 5,9084 4 908,5
241,5 241,14 4 241,1
32
22341414
022143
022143
22,25025,294
22,50 ,50 25,15,164
22264
2226 4
22
5,1 ,50
0 5,1 02 03
04 6 042 062
0 4 6 0 42 062
0 0 0
00 0
2 6 4
2 6 4
26 4
2
2
2
222
222
222
jiji
jiji
BzAzBzAzAx,Az
BzAzBzAzAx,Az
ByAyByAyAx,Ay
ByAyByAyAx,Ay
BxAxBxAx
BxAxBxAx
Ax
AxAx
AxAx
AxAxAxAxAxAx
AxAxAxAxAxAx
AzAzAyAyAxAx
AzAzAyAyAxAx
BzAzByAyBxAxBzByBxAzAyAxBA
AyAxAzAx
AyAxAzAxAzAy
AxAyAyAyAxAxAzAxAzAzAxAxAyAzAzAyAzAy
AxAyAyAxAxAzAzAxAyAzAzAy
AyBxByAxAzBxBzAxAzByBzAy
kjikAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBzByBx
AzAyAxBxA
AzBzAyByAxBx
BzAzByAyBxAx
kjikBzAzjByAyiBxAxkBzjByiBxkAzjAyiAxBA
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2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendicular a (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30°
con (0, 0, 4).
k) 544,18350,3,7006(A
1Solucion
350,3 700,65,05,0
2 Ec. De
700,6
896,44
120,5625,1
400880,343 25,0
400544,18 5,0
400
1 Ec. laen 2 Ec.y 3 Ec. la doReemplazan
3 Ec. 544,18 20
22cos
20420
4
0,0,4,,
4 ,0,0,, cos cos
22 anguloun formen (0,0,4) vector elcon vector el que paraCondicion
2 Ec. 5,0 042 00 ,4,2,, 0
0 ,4,2 vector elcon vector del laridadperpenticu deCondicion
1 Ec. 400 20
buscado vector al Llamamos
2
2
22
222
222
222222
ji
AyAxAy
Ax
Ax
Ax
AxAx
AxAx
AzAyAx
AzAz
AzAz
AzAyAx
AzAyAx
CA
CACACA
CA
AxAyAyAxAzAyAxBA
BA
AzAyAxAzAyAxA
kAzjAyiAxA
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2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a.
a
4.a
Y
X
Z
a
60°
60° 60°
a a
392,10 6012 433
:1 Ec laen el doReemplazan
4
00cos00cos4 0000
040
00
0cos
volumen del Calculo
1 Ec 3 2
6
prisma la de volumen del Calculo
)0 ; 4 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de volumen del Calculo a)
333
1
1
3
1
1
1
1
11
asenasena
sena
aasenaaaasena
a
a
senaa
HBxA
aCaBsenaaA
TTT
TT
��
��
��
Y
X
Z
a
4.a
θ
��
��
Y
Z
4.a
a
��
�� X
Z
a θ
22
22
21212
1
2
2
2222
2
2
2
2
1
2222
1
2
1
1
1
196,2 6046
46 6662
626
: totalArea del Calculo
00
00cos0cos i000
00
0cos
4 004
0040040000 400
040
00
volumen del Calculo
)0 ; 4 ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de lsuperficia area del Calculo b)
aAsenaA
senaaAAAAA
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaaBxAA
aAaA
kjiakajaiaaA
a
aHxCA
aHaCaBsenaaA
TT
T
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2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del
pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria .
uausenbsenah
senah
aasenaaahsena
h
a
senaa
HBxA
hCaBsenaaA
T
TT
971,12 249,15b 2000728506,055,2 5,25,2
:1 Ec laen el doReemplazan
00cos00cos 0000
00
00
0cos
volumen del Calculo
1 Ec 5,2 2
5
prisma la de volumen del Calculo
)0 ; ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de altura la de Calculo a)
22
1
1
2
1
1
1
1
11
��
��
Y
Z
5
a
��
�� X
Z
a θ
²24,1124 72971,12971,1255
5 5552
525
: totalArea del Calculo
00
00cos0cos i000
00
0cos
00
00000000 00
00
00
volumen del Calculo
)0 ; ; 0( ) ; 0 ; 0( )0 ; 0 ; ( ) ; 0 ; cos(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de lsuperficia area del Calculo b)
2
2
21212
1
2
2
2222
2
2
2
1
222
1
1
1
1
uAsenA
senaahAAAAA
AA
senaAsenaA
kaajsenaaasenaA
a
senaaBxAA
ahAahA
kjiahkhjaiahA
h
aHxCA
hHaCaBsenaaA
TT
T
Y
X Z b
5 u
��
��
��
Y
X
Z
b
h=5
θ b5,0
b
72°
54° 54°
a a
36° a
baa
bsen
8506,0
5,036
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2.12.15. Cuatro vectores A , B , C y D definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que
define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y
3 52
3437314472 13431
321
434
137
prisma la de volumen del Calculo
)3 ; 2 ; 1( )2 ; 2 ; 2()1 ; 4 ; 3(
)4 ; 3 ; 4( )2 ; 2 ; 2()2 ; 5 ; 2(
)1 ; 3 ; 7( )2 ; 2 ; 2()3 ; 5 ; 5(
: vectoreslos obtiene se grafico Del
prisma la de volumen del Calculo a)
u
HNxL
HHBDHDHB
NNBCNCNB
LLBALALB
𝐴
��
𝐶
�� ��
�� ��