Departamento
De Engenharia Civil
AAnnáálliissee EEssttrruuttuurraall ddee EEddiiffíícciiooss ddee BBeettããoo AArrmmaaddoo Dissertação apresentada para a obtenção do grau de Mestre em
Construção Urbana
Autor
Keila Samira Garcia Robalo
Orientador
Prof. Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo
Instituição
Instituto Politécnico de Coimbra
Instituto Superior de Engenharia de Coimbra
Coimbra, Maio, 2011
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado AGRADECIMENTO
Keila S. G. Robalo. iii
AGRADECIMENTO
Ao terminar esta Tese de Mestrado resta-me registar os sinceros agradecimentos às
individualidades que de várias formas contribuíram para que esta se tornasse numa realidade.
Ao Professor Doutor Ricardo Nuno Francisco do Carmo, orientador da Tese de Mestrado, por
toda a dedicação, compreensão e amizade demonstrada, pelos inúmeros ensinamentos
recebidos, sugestões preciosas, colaboração prestada e pelo estímulo e exigência crescente
que foi impondo à medida que este trabalho caminhava para o seu término.
À Computer and Structures, Inc. (CSI), pelo inestimável contributo prestado nesta
investigação, tendo sido fundamental na prossecução do trabalho, ao ceder-me gratuitamente
o programa de cálculo SAP2000.
Ao Vander Neves, pela amizade e ajuda na realização deste trabalho.
À minha família, amigos e colegas, em especial à Isolina Spencer, pelo apoio, pelas oportunas
manifestações de companheirismo, pelo incentivo e afecto demonstrados ao longo do período
da realização desta dissertação.
A todos o meu profundo agradecimento.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado RESUMO
Keila S. G. Robalo. iv
RESUMO
Na presente dissertação elaborou-se uma análise estrutural de um edifício de betão armado
usando vários modelos de cálculo, desde os mais simples até aos mais sofisticados como o
método dos elementos finitos. O objectivo foi realizar um estudo comparativo entre as
diversas modelações de modo a perceber a influência de certos parâmetros nos esforços dos
elementos estruturais. Os elementos analisados foram: lajes apoiadas em vigas, lajes
fungiformes e pórticos.
Os esforços nas lajes vigadas foram determinados recorrendo às tabelas de Barés e ao
programa Sap2000 utilizando elementos finitos shell para a modelação das lajes. Neste estudo
as lajes foram analisadas considerando as seguintes hipóteses de cálculo: consideração, ou
não, da deformação por corte das lajes (teoria de Reissner-Mindlin e de Kirchhoff), variação
da rigidez à torção da laje, variação da rigidez à flexão e à torção das vigas.
Para o mesmo edifício apresentou-se uma outra solução estrutural, a laje fungiforme. Os
esforços na laje fungiforme foram calculados pelo método dos pórticos equivalentes e pelo
método dos elementos finitos, onde a laje foi modelada mais uma vez com o elemento shell e
os pilares como apoios pontuais. Para além da análise comparativa dos esforços obtidos pelos
dois métodos foram também apresentadas algumas considerações sobre a redução dos
momentos negativos máximos nas lajes.
Por fim, a estrutura do edifício, mais especificamente os pilares e as vigas, foi analisada
considerando diversas modelações, modelação plana dos pórticos e uma modelação
tridimensional dos pórticos com e sem laje. Os resultados provenientes dos diversos modelos
estruturais foram comparados entre si, as diferenças foram analisadas e foram também
apresentadas informações que permitem compreender melhor as razões dessas diferenças.
Realizou-se ainda uma análise comparativa da quantidade de armadura longitudinal em vigas
e pilares determinada para cada modelo.
Palavras-Chave: betão armado, análise estrutural, método dos elementos finitos, modelação,
projecto de estruturas.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ABSTRACT
Keila S. G. Robalo. v
ABSTRACT
In this dissertation was elaborated a structural analysis of a reinforced concrete building using
various calculation models, from the simplest to the most sophisticated as the finite element
method. The goal was to conduct a comparative study between the different modulations in
order to understand the influence of certain parameters in the efforts of structural elements.
The analyzed elements were: slabs supported by beams, flat slabs and frames.
The efforts on the beamed slabs were determined applying the Barés tables and the Sap2000
program using shell finite elements for modelling the slabs. In this study, the slabs were
analyzed considering the following assumptions of calculation: consideration, or not, of
deformation by cutting the slabs (Reissner-Mindlin and Kirchhoff´s theory), variation of the
torsional stiffness of the slab, the variation of bending stiffness and torsion of the beams.
For the same building, it was presented another structural solution, the flat slabs. The efforts
on the flat slabs were calculated by the equivalent frame analysis and by the finite elements
method, where the slabs were modelled with the shell element and the columns as a punctual
support. Besides a comparative analysis of efforts obtained by the two methods, it was also
presented some thoughts on reducing the maximum negative moments in the slabs.
Finally, the structure of the building, specifically the columns and beams, has been analyzed
considering several modelling, plane modelling of frames and three-dimensional modelling of
frames, with and without slab. The results from the various structural models were compared,
and then the differences were analyzed and were given information to enable better
understanding the reasons for these differences. It was also held a comparative analysis of the
amount of longitudinal reinforcement in beams and columns determined for each model.
Keywords: reinforced concrete, structural analysis, finite element method, modelling, design
of structures.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE
Keila S. G. Robalo. vi
ÍNDICE GERAL
AGRADECIMENTO ..................................................................................................................................... III
RESUMO ........................................................................................................................................................ IV
ABSTRACT ...................................................................................................................................................... V
ÍNDICE GERAL ............................................................................................................................................ VI
ÍNDICE DAS FIGURAS ............................................................................................................................ VIII
ÍNDICE DOS QUADROS .............................................................................................................................. XI
1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................... 11
1.1 Enquadramento....................................................................................................................................... 11
1.2 Objectivos e Metodologia ....................................................................................................................... 12
1.3 Organização da tese ................................................................................................................................ 13
2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR ........................................................................................... 14
3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO ARMADO ........................................ 21
3.1 Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às tabelas .............................................................. 24
3.1.1 Aplicação do modelo ...................................................................................................................... 24
3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos ........................................................................................ 26
3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos ......................................................................................... 26
3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade ............................................ 26
3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo...................... 28
3.2 Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos finitos ....................................................... 35
3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje ............................................................................. 36
3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios ...................................................................... 36
3.2.1.2 Formulação do modelo ........................................................................................................ 36
3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação ............................................... 38
3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes ............................................ 38
3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na modelação das
lajes…………….. ............................................................................................................................ 39
3.2.1.6 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à flexão das vigas de
apoios……….. ................................................................................................................................. 40
3.2.1.7 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da laje ............. 41
3.2.1.8 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção da viga. ........... 42
3.2.2 Aplicação do método dos elementos finitos para análise da laje L1 isoladamente ........................... 44
3.2.2.1 Apresentação dos resultados ................................................................................................ 45
3.2.2.2 Análise dos esforços ............................................................................................................ 45
3.3 Análise comparativa dos esforços obtidos recorrendo ao uso das tabelas de Barés e pelo método dos
elementos finitos ........................................................................................................................................... 46
3.3.1 Análise comparativa dos momentos flectores.................................................................................. 46
3.3.2 Análise comparativa da quantidade das armaduras longitudinais principais .................................... 51
4. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES FUNGIFORMES ..................................................................... 53
4.1 Generalidades ......................................................................................................................................... 53
4.2 Análise das lajes fungiformes pelo método dos pórticos equivalentes ..................................................... 56
4.2.1 Aplicação do Modelo ..................................................................................................................... 60
4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos elementos finitos .............................................. 69
4.3.1 Modelação ...................................................................................................................................... 69
4.3.2 Apresentação dos resultados: .......................................................................................................... 70
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE
Keila S. G. Robalo. vii
4.3.3 Redução dos momentos negativos máximos ................................................................................... 71
4.4 Análise comparativa dos esforços obtidos pelo método dos pórticos equivalentes e pelo método dos
elementos finitos ........................................................................................................................................... 72
4.4.1 Análise comparativa dos momentos flectores nos vãos ................................................................... 72
4.4.2 Análise comparativa dos momentos flectores nos apoios. ............................................................... 73
4.4.3 Considerações gerais ...................................................................................................................... 76
5. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ESPACIAIS PÓRTICADAS DE BETÃO ARMADO ........................ 77
5.1 Estrutura a analisar ................................................................................................................................. 77
5.2 Quantificações e combinações das acções ............................................................................................... 78
5.3 Modelação dos pórticos .......................................................................................................................... 78
5.3.1 Modelação plana dos pórticos ......................................................................................................... 78
5.3.2 Modelação tridimensional dos pórticos ........................................................................................... 81
5.4 Apresentação e análise comparativa dos resultados ................................................................................. 83
5.4.1 Esforços nas vigas seleccionadas .................................................................................................... 83
5.4.2 Cálculo das armaduras longitudinais na viga do 1º piso do Pórtico 1............................................... 91
5.4.3 Esforços nos pilares ........................................................................................................................ 92
5.4.4 Análise comparativa das quantidades de armaduras longitudinais nos pilares.................................. 93
5.4.4.1 Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar ............................................................... 93
5.4.4.2 Determinação do limite de esbelteza do pilar, λlim. ............................................................. 95
5.4.4.3 Determinação do momento de dimensionamento MEd ........................................................ 96
5.4.4.4 Cálculo das armaduras longitudinais .................................................................................... 97
6. CONCLUSÕES GERAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS ........................................................ 99
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.......................................................................................................... 103
ANEXOS ........................................................................................................................................................ 106
Anexo I: Análise das lajes maciças vigadas recorrendo às tabelas de Barés ................................................. 106
Anexo II: Análise das lajes maciças fungiformes através do método dos pórticos equivalentes.................... 131
Anexo III: Quantificações das acções nos pórticos ...................................................................................... 145
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE FIGURAS
Keila S. G. Robalo. viii
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural. .................................................................................. 14
Figura 2.2 – Planta do piso 0.............................................................................................................................. 15
Figura 2.3 – Planta dos pisos 1, 2, 3 e 4. ............................................................................................................ 16
Figura 2.4 – Cobertura. ...................................................................................................................................... 17
Figura 2.5 – Casa das máquinas. ........................................................................................................................ 18
Figura 2.6 – Alçado principal. ........................................................................................................................... 19
Figura 2.7 – Alçado posterior. ........................................................................................................................... 19
Figura 2.8 – Alçado posterior esquerdo. ............................................................................................................. 20
Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007). .............................................................. 22
Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007). .......................... 22
Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo. ......................................................................................................... 25
Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes. ................................................................................... 27
Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic Analysis
Reference Manual, 2009). .................................................................................................................................. 35
Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo. ....................................................... 36
Figura 3.7 – Diagramas de momentos flectores para as condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1, respectivamente. ... 41
Figura 3.8 – Modelo 1: Discretização e condições de apoio da laje L1 ............................................................... 44
Figura 3.9 – Modelo 2: Discretização e condições de apoio da laje L1 ............................................................... 44
Figura 3.10 – Momento flector na direcção X. ................................................................................................... 46
Figura 3.11 – Momento flector na direcção Y. ................................................................................................... 47
Figura 3.12 – Momento torsor. .......................................................................................................................... 47
Figura 3.13 – Momentos flectores determinados usando as tabelas de Barés. ..................................................... 48
Figura 3.14 – Momento flector na direcção X e Y, respectivamente. .................................................................. 48
Figura 3.15 – Traçado aproximado do diagrama dos momentos flectores dados pelo método das tabelas de Barés.
.......................................................................................................................................................................... 49
Figura 3.16 – Momento flector na direcção X: corte AA’................................................................................... 49
Figura 3.17 – Momento flector na direcção X: corte BB’. .................................................................................. 49
Figura 3.18 – Momento flector na direcção X: corte CC’. .................................................................................. 50
Figura 3.19 – Momento flector na direcção Y: corte DD’ .................................................................................. 50
Figura 3.20 – Momento flector na direcção Y: corte EE’ ................................................................................... 50
Figura 3.21 – Momento flector na direcção Y: corte FF’ .................................................................................... 50
Figura 4.1– Laje fungiforme com capitel e com espessamento (Henrichs, 2003). ............................................... 53
Figura 4.2 – Laje fungiforme maciça (Ramos, 2006). ........................................................................................ 54
Figura 4.3 – Laje aligeirada com moldes recuperáveis e com moldes embebidos (Ramos, 2006 e Martins, 2009).
.......................................................................................................................................................................... 54
Figura 4.4 – Dimensões mínimas dos pilares. .................................................................................................... 55
Figura 4.5 – Analogia dos pilares circulares com pilares quadrados. .................................................................. 55
Figura 4.6 – Pórticos equivalentes na direcção X (estrutura com um piso). ........................................................ 56
Figura 4.7 – Pórticos equivalentes na direcção Y (estrutura com um piso). ........................................................ 56
Figura 4.8 – Cargas a considerar nos pórticos. ................................................................................................... 56
Figura 4.9 – Acções verticais e geometria do pórtico 2y. ................................................................................... 57
Figura 4.10 – Divisão dos pórticos em faixas (EC2-1-1). ................................................................................... 57
Figura 4.11 – Largura efectiva, be, de uma laje fungiforme (EC2-1-1). .............................................................. 58
Figura 4.12 – Distribuição dos momentos nas faixas do Pórtico 2Y. .................................................................. 58
Figura 4.13 – Disposição dos pilares (Montoya et al). ........................................................................................ 59
Figura 4.14 – Limites máximos para a aplicação do método do pórtico equivalente, na análise de lajes
fungiformes com aberturas (Martins, 2009). ...................................................................................................... 60
Figura 4.15 – Pavimento tomado como exemplo para a análise dos esforços. ..................................................... 60
Figura 4.16 – Pórticos na Direcção X................................................................................................................. 61
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE FIGURAS
Keila S. G. Robalo. ix
Figura 4.17 – Pórticos na Direcção Y................................................................................................................. 62
Figura 4.18- Carregamentos no pórtico2x .......................................................................................................... 63
Figura 4.19 – Modelo de cálculo dos pórticos. ................................................................................................... 64
Figura 4.20- Divisão dos pórticos na direcção x em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. ...... 66
Figura 4.21 – Divisão dos pórticos na direcção y em faixas sobre pilares e faixas centrais segundo EC2-1-1. .... 66
Figura 4.22 – Momentos flectores na direcção X. .............................................................................................. 68
Figura 4.23 – Momentos flectores na direcção Y. .............................................................................................. 68
Figura 4.24 - Discretização da laje e condições de apoios. ................................................................................. 69
Figura 4.25 – Momento flector na direcção X (M11). .......................................................................................... 70
Figura 4.26 – Momento flector na direcção Y (M22). .......................................................................................... 70
Figura 4.27 – Momento torsor (M12). ................................................................................................................. 71
Figura 4.28 - Redução do momento sobre o apoio (Carmo, 2010) ...................................................................... 71
Figura 4.29 – Zonas da laje sujeitas à análise comparativa dos esforços. ............................................................ 72
Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores Mx na secção BB'. .................................................................... 72
Figura 4.31 – Diagrama dos momentos flectores My na secção HH’. ................................................................. 73
Figura 4.32– Diagrama de momentos flectores Mx na secção AA’. .................................................................... 73
Figura 4.33 – Diagrama dos momentos flectores Mx na secção CC’. .................................................................. 74
Figura 4.34 - Diagrama dos momentos flectores Mx na secção DD’. .................................................................. 74
Figura 4.35– Diagrama dos momentos flectores Mx na secção EE’. ................................................................... 75
Figura 4.36 - Diagrama dos momentos flectores My na secção FF’. .................................................................... 75
Figura 4.37 – Diagrama dos momentos flectores My na secção GG’. ................................................................. 76
Figura 5.1 – Pórticos Planos em planta .............................................................................................................. 79
Figura 5.2– Pórticos Planos: vista posterior (Pórtico 1). ..................................................................................... 79
Figura 5.3- Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas. .................................... 80
Figura 5.4 – Simplificações adoptadas. .............................................................................................................. 80
Figura 5.5 - Carga permanente no Pórtico 1. ...................................................................................................... 81
Figura 5.6 – Sobrecarga no Pórtico 1. ................................................................................................................ 81
Figura 5.7 – Modelação tridimensional dos pórticos sem laje. ............................................................................ 82
Figura 5.8 – Modelação tridimensional dos pórticos com laje. ........................................................................... 82
Figura 5.9 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ............................................... 83
Figura 5.10 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 1 do 1º piso. ............................................ 84
Figura 5.11 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 1 do 1º piso. .................................................... 84
Figura 5.12 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 1 do 1º piso ............................................... 84
Figura 5.13 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 4 do 1º piso .............................................. 86
Figura 5.14 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 4 do 1º piso. ............................................ 86
Figura 5.15 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 4 do 1º piso ..................................................... 86
Figura 5.16 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso ............................................... 86
Figura 5.17 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 12 do 1º piso ............................................ 87
Figura 5.18 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 12 do 1º piso ........................................... 88
Figura 5.19 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 12 do 1º piso .................................................... 88
Figura 5.20 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 12 do 1º piso. ............................................ 88
Figura 5.21 – Diagramas d os momentos flectores na viga do pórtico 13 do 1º piso ........................................... 89
Figura 5.22 – Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso ........................................... 89
Figura 5.23 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 13 do 1º piso .................................................... 90
Figura 5.24 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso ............................................. 90
Figura 5.25 – Armadura longitudinal, As (cm2), da viga do Pórtico 1 do 1º piso. ................................................ 91
Figura 5.26 – Determinação da rigidez da ligação: a) Pórtico na direcção X; b) Pórtico na direcção Y. .............. 94
Figura 5.27 – Momento de dimensionamento (Moss e Brooker). ....................................................................... 96
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ÍNDICE DE QUADROS
Keila S. G. Robalo. x
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1. ..................................................................................................... 32
Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-Mindlin/ Timoshenko
.......................................................................................................................................................................... 38
Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/ Timoshenko ........ 39
Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Kirchhoff/Navier- Bernoulli . 39
Quadro 3.5 – Diferença entre os momentos obtidos considerando as condições de cálculos 1.1 e as restantes
condições de cálculos (2.1 e 3.1)........................................................................................................................ 40
Quadro 3.6 – Momentos máximos na laje L1 tendo em conta o efeito da rigidez à torção das vigas de apoios ... 42
Quadro 3.7 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que
consideram J=0.................................................................................................................................................. 43
Quadro 3.8 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os modelos que
consideram J=0,5 ............................................................................................................................................... 43
Quadro 3.9 – Momentos positivos máximos na laje L1 ...................................................................................... 45
Quadro 3.10 – Momentos negativos máximos na laje L1 ................................................................................... 45
Quadro 3.11 – Diferença (em percentagem) entre os momentos de dimensionamento dados pelo método dos
elementos finitos e método das tabelas. .............................................................................................................. 48
Quadro 3.12 – Armaduras longitudinais da laje L1 ............................................................................................ 52
Quadro 4.1 – Espessuras a adoptar numa laje fungiforme (Marchão e Appleton, 2009) ..................................... 55
Quadro 4.2 – Distribuição simplificada dos momentos flectores numa laje fungiforme segundo EC2 e REBAP
(Carmo, 2010). .................................................................................................................................................. 57
Quadro 4.3 – Momentos máximos nos pórticos longitudinais ............................................................................ 64
Quadro 4.4 – Momentos máximos nos pórticos transversais .............................................................................. 65
Quadro 4.5 – Distribuição dos momentos no Pórtico 2x ..................................................................................... 67
Quadro 5.1– Esforços nos pilares P2, P13 e P16 ................................................................................................ 92
Quadro 5.2– Cálculo das armaduras longitudinais no pilar P2 ............................................................................ 97
Quadro 5.3 – Armaduras longitudinais no pilar P2. ............................................................................................ 97
Quadro 5.4 – Armaduras longitudinais no pilar P16 ........................................................................................... 98
CAPÍTULO I
Keila S. G Robalo. 11
1. INTRODUÇÃO
1.1 Enquadramento
Segundo o EC2-1-1, “o objectivo de uma análise estrutural é o de determinar a distribuição,
quer de esforços, quer de tensões, extensões e deslocamentos, em toda ou parte da estrutura.”
Estas análises devem ser realizadas com base nos modelos que traduzem as condições reais da
estrutura, ou seja, modelos que permitem idealizar a geometria e o comportamento das
estruturas.
Até há pouco tempo atrás, a modelação do comportamento real de uma estrutura era quase
impossível pois a análise estrutural era realizada usando modelos que se baseavam em várias
simplificações. Por exemplo, a estrutura tridimensional real era subdividida em subestruturas
(lajes e pórticos) que eram avaliadas separadamente, sem levar em conta a interacção real
existente entre elas.
Com o desenvolvimento dos meios informáticos tornou-se viável a aplicação de métodos que
consideram a interacção entre os vários elementos estruturais, tornando assim os modelos
estruturais um pouco mais realistas. Os pórticos em vez de serem analisados apenas no plano
são considerados em conjunto (estrutura tridimensional) e as lajes podem também ser
analisadas em conjunto com as vigas e pilares. A análise estrutural melhorou
significativamente quando se aplicou o método dos elementos finitos na modelação estrutural.
Hoje em dia existem no mercado vários programas de cálculos baseados no método dos
elementos finitos que permitem modelar as estruturas de modo muito mais rigoroso.
Uma mesma estrutura pode ser analisada através dos diversos modelos estruturais, sendo o
modelo mais adequado aquele que idealiza a estrutura como um todo. Porém, o engenheiro
nem sempre tem acesso aos programas que permitem tais modelações, sentindo-se obrigado a
adoptar modelos mais simples. Portanto, é importante que o engenheiro saiba em que situação
uma estrutura pode ser analisada com base em modelos simplificados, sem que tenha de
preocupar-se com uma análise mais sofisticada, e que tipos de erros são cometidos quando são
utilizados os modelos mais simples. Neste contexto considera-se pertinente analisar uma
estrutura através de modelos simplificados e depois com modelos mais sofisticados, comparar
os resultados fornecidos pelos dois modelos e procurar explicar as possíveis causas para as
diferenças e semelhanças.
Para além de estudos comparativos dos resultados provenientes dos dois modelos referidos
atrás, também julga-se importante avaliar a influência de certos parâmetros nos resultados dos
esforços nas lajes, como a influência da rigidez à torção e à flexão das vigas de apoio, a
influência da consideração da rigidez à torção da laje na modelação bem como as teorias
consideradas na análise das lajes. O estudo destes parâmetros tem o propósito de reforçar a
comparação entre os dois modelos de cálculos dos esforços nas lajes referidos anteriormente,
e demonstrar que os programas de cálculos disponíveis permitem fazer várias adaptações aos
modelos de cálculos utilizados. Por outro lado, o estudo de tais parâmetros serve para
justificar porque é que muitas vezes a utilização dum mesmo programa de cálculo por
utilizadores diferentes na análise de uma mesma estrutura conduzirá, eventualmente, a
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado INTRODUÇÃO
Keila S. G. Robalo. 12
resultados diferentes. Estas diferenças poderão advir das hipóteses de cálculos por eles
admitidas. Neste documento é apresentada e sistematizada informação que permite
compreender melhor as razões dessas diferenças. Dessa forma, julga-se que esta dissertação
pode, eventualmente, melhorar a sensibilidade dos jovens engenheiros para os problemas da
modelação estrutural e ser uma base de reflexão sobre os possíveis “riscos” inerentes à
utilização dos programas de cálculo.
1.2 Objectivos e Metodologia
O objectivo principal desta dissertação é realizar um estudo comparativo entre vários modelos
de análise de uma estrutura de betão armado. Mais especificamente pretende-se:
Analisar uma laje vigada recorrendo ao uso das tabelas e a um programa de elementos
finitos de modo a comparar os esforços e a quantidade de armadura longitudinal obtidos
pelos dois modelos de cálculos. Pretende-se, ainda, avaliar a influência da rigidez à
flexão e à torção das vigas de apoio, a influência da rigidez à torção da laje bem como
as teorias consideradas na análise das lajes nos resultados dos esforços na laje.
Analisar uma laje fungiforme com base no método de cálculo simplificado previsto no
EC2-1-1 e REBAP, dois conjuntos de pórticos em direcções ortogonais, e o método dos
elementos finitos e comparar os esforços obtidos pelos dois modelos de cálculos.
Analisar uma estrutura espacial porticada considerando modelação plana e modelação
tridimensional com e sem laje de modo a avaliar o seu efeito nos esforços das vigas. Os
resultados dos esforços e da quantidade da armadura longitudinal dados pelos três
modelos são comparados entre si.
Para que estes objectivos sejam atingidos, definiu-se um processo de trabalho faseado, com os
seguintes passos:
Realização de uma pesquisa bibliográfica sobre o tema de modo a actualizar os
conhecimentos;
Estudar e aprender a utilizar o programa de cálculo Sap2000;
Realizar as várias análises estruturais e proceder ao estudo comparativo;
Organizar informação e escrever o documento final.
Para a realização do primeiro objectivo foram efectuados trinta e cinco modelos, sendo que o
primeiro foi idealizado de acordo com as tabelas de Barés e os restantes foram elaborados no
programa Sap2000, onde a laje foi modelada isoladamente, variando a sua rigidez à torção e o
tipo de laje (laje Kirchhoff e laje de Reissner-Mindlin) e ainda modelou-se também o
pavimento como um todo, variando o tipo de laje e vigas de apoios (viga de Timoshenko e de
Navier-Bernoulli), a inércia à torção das lajes e das vigas de apoios e a inércia à flexão das
vigas de apoios. a realização do segundo objectivo foram desenvolvidos dois modelos, ambos
idealizados no programa Sap2000. Em relação ao último objectivo foram simulados três
modelos no mesmo programa.
É importante salientar que todos os modelos foram idealizados considerando que os materiais
que constituem o edifício têm comportamento linear elástico.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado INTRODUÇÃO
Keila S. G. Robalo. 13
1.3 Organização da tese
Esta dissertação é composta por seis capítulos e três anexos.
No Capítulo 1 é feita uma introdução à análise estrutural de edifícios de betão armado, são
apresentados os objectivos e descrito resumidamente o modo como a dissertação está
organizada.
No Capítulo 2 é apresentada a arquitectura do edifício que serviu de base à concepção da
estrutura que é analisada ao longo deste trabalho.
No Capítulo 3 é realizada uma análise comparativa entre os resultados dos esforços e das
armaduras de uma laje vigada de betão armado obtidos pelo modelo das tabelas de Barés com
os obtidos recorrendo ao método dos elementos finitos através do programa Sap2000. Neste
capítulo é também avaliada a influência de certos parâmetros possíveis de considerar na
modelação estrutural nos resultados dos esforços nas lajes.
No Capítulo 4 estudam-se dois métodos de análise das lajes fungiformes, o método dos
pórticos equivalentes e o método dos elementos finitos. É analisado um pavimento tomado
como exemplo recorrendo aos dois métodos de cálculos e posteriormente é realizada uma
análise comparativa dos resultados dos esforços.
Ao longo do Capítulo 5 é realizada uma análise linear elástica da estrutura porticada
considerando três tipos de modelação geométrica: plana, tridimensional sem laje e
tridimensional com laje. Os três modelos são idealizados e analisados no programa Sap2000.
Realizou-se uma análise crítica dos resultados tanto ao nível de esforços, como da quantidade
de armaduras longitudinais, obtidos para os diferentes tipos de modelações estruturais. Nestas
modelações manteve-se, sempre que possível, as mesmas hipóteses de cálculo de modo a
minimizar as diferenças.
No Capítulo 6 apresentam-se as conclusões que se julguem relevantes bem como propostas
para os desenvolvimentos futuros.
A dissertação é ainda composta por três anexos:
O Anexo I é o complemento do Capítulo 3, onde estão descritos detalhadamente os
cálculos efectuados através das tabelas de Barés.
No anexo II apresentam-se os pormenores de cálculos das lajes fungiformes através do
método dos pórticos equivalentes.
No Anexo III apresentam-se os carregamentos utilizados na modelação dos pórticos.
CAPÍTULO II
Keila S. G Robalo. 14
2. DESCRIÇÃO DO EDIFÍCIO A ANALISAR
A concepção da estrutura que serve de base ao trabalho desenvolvido resultou da
consideração da arquitectura de um edifício de habitação multifamiliar com as seguintes
características: dois apartamentos por piso e é composto por cave, rés-do-chão, quatro
pavimentos-tipo e cobertura. A arquitectura do edifício é apresentada nas Figuras 2.2 a 2.9.
Usou-se uma arquitectura real para demonstrar que a estrutura em estudo poderia ser real.
A localização do edifício em questão é Coimbra, apesar de que esta informação não é
relevante para este estudo, uma vez que nas análises realizadas não se considerou o efeito das
acções horizontais, sismo e vento (a intensidade destas acções depende da localização do
edifício).
O edifício foi analisado considerando uma estrutura constituída por lajes, vigas e pilares. Para
o mesmo edifício considerou-se uma outra estrutura composta apenas por lajes e pilares. É de
referir que a adopção das duas soluções estruturais tem como pressuposto avaliar os métodos
de cálculo utilizados em cada uma delas. Portanto, não foram realizadas comparações entre as
duas estruturas.
Na concepção da estrutura constituída por lajes, vigas e pilares houve algumas dificuldades
porque tentou-se minimizar o conflito entre a estrutura e o projecto arquitectónico. Na figura
seguinte apresenta-se um caso em que a posição dos pilares influenciou a posição da viga e
esta por sua vez condicionou o aspecto estético do edifício (como não existem paredes nesta
zona não foi possível “disfarçar” a referida viga).
Figura 2.1 – Projecto arquitectónico e projecto estrutural.
Para além dos pisos destinados à habitação, o edifício em estudo tem um piso para
estacionamento o que condiciona ainda mais a disposição dos pilares. No presente trabalho
não foi possível compatibilizar a solução estrutural (com lajes, vigas e pilares) e todas as
condicionantes arquitectónicas. Deste modo refere-se que a posição dos pilares definida para
os pisos de habitação não poderia ser mantida para o piso destinado ao estacionamento.
Considerando os objectivos do trabalho optou-se por ignorar as condicionantes
arquitectónicas do piso de estacionamento. Isto significa que a solução estrutural real para
L1 L3
L4
L2
L5
L6L7
Consola1 Consola2 Consola3
Consola4 Consola5
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 15
este edifício passaria por lajes fungiformes (maior liberdade para a posição dos pilares) ou
então por uma ligeira alteração do projecto de arquitectura.
Figura 2.2 – Planta do piso 0.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 16
Figura 2.3 – Planta dos pisos 1, 2, 3 e 4.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 17
Figura 2.4 – Cobertura.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 18
Figura 2.5 – Casa das máquinas.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 19
Figura 2.6 – Alçado principal.
Figura 2.7 – Alçado posterior.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado DESCRIÇÃO DO EDIFICIO A ANALISAR
Keila S. G. Robalo. 20
Figura 2.8 – Alçado posterior esquerdo.
CAPÍTULO III
Keila S. G Robalo. 21
3. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES VIGADAS DE BETÃO
ARMADO
Uma laje é um elemento cuja dimensão mínima no seu plano não é inferior a cinco vezes a
sua espessura total (EC2-1-1), podendo classificar-se sob diversos pontos de vista,
nomeadamente quanto ao tipo de apoio, à constituição, ao processo de fabrico, ao modo de
flexão dominante e quanto à sua espessura (lajes finas ou espessas, esta classificação depende
da relação entre a espessura e o vão de cálculo).
No que se refere à análise de esforços na laje, as duas últimas classificações têm maior
relevância, pois a classificação da laje de acordo com o modo de flexão dominante permite ter
a ideia do modelo de cálculo a adoptar e a classificação quanto à sua espessura dá
informações ao utilizador quanto à formulação mais adequada para analisar a laje em causa.
Relativamente ao modo de flexão, as lajes classificam-se como armadas numa direcção ou
armadas em duas direcções. As lajes armadas numa direcção são analisadas de forma análoga
à análise das vigas, usando equações da estática se são isostáticas ou mediante as equações da
estática e as equações de compatibilidade de deformações se são hiperestáticas. As lajes
armadas nas duas direcções, por apresentarem comportamentos mais complexos, só são
possíveis de ser analisadas através da resolução de uma equação diferencial que rege o
comportamento da laje, equação de Lagrange. Esta equação pode ser resolvida recorrendo aos
métodos que baseiam na teoria de elasticidade ou métodos que baseiam na teoria de
plasticidade (métodos estático e método cinemático).
Neste trabalho é dado mais ênfase à análise das lajes vigadas de betão armado por modelos
baseados na teoria de elasticidade, ou seja, modelos que para a sua aplicação são admitidas as
seguintes hipóteses (Grupo de Análise de Estruturas, 2005):
Relativamente ao material e à forma da laje:
o O material é perfeitamente elástico, isótropo, homogéneo e obedece a lei de
Hooke;
o A espessura da laje é pequena comparada com as restantes dimensões.
Quanto ao comportamento da laje são admitidas:
o As hipóteses baseadas na teoria de Kirchhoff ou então na teoria de Reissner-
Mindlin.
Para a avaliação do comportamento das lajes de Kirchhoff admite-se que (Castro, 2007):
i. No plano médio, não existem deslocamentos laterais;
ii. No plano médio, os deslocamentos verticais de todos os pontos de uma secção
transversal são pequenos quando comparados com a espessura da laje;
iii. Os pontos sobre rectas normais ao plano médio antes da deformação permanecem
sobre rectas também perpendiculares ao referido plano médio depois da deformação,
isto é:
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 22
Figura 3.1– Definição das rotações segundo Kirchhoff (Castro, 2007).
(3.1)
(3.2)
Rotação do eixo do plano médio (componente de flexão).
A deformação por esforço transverso é ignorada e o estado de deformação é descrito
unicamente pelo deslocamento vertical da laje (w (x,y)).
iv. As tensões normais à superfície médias são desprezíveis em relação às demais tensões;
A teoria de lajes de Reissner pressupõe as mesmas hipóteses definidas pela teoria de
Kirchhoff, excepto a hipótese iii), alterando-se para:
iii. Rectas normais ao plano médio permanecem rectas mas não necessariamente
perpendiculares ao plano médio, depois da deformação, devido à deformação por corte
(Castro, 2007).
Figura 3.2 – Deformação da secção transversal de uma laje; teoria de Mindlin (Castro, 2007).
(3.3)
(3.4)
Rotação correspondente à deformação por esforço transverso.
Para modelar o mais correctamente possível o comportamento da laje é importante saber qual
das teorias referidas anteriormente deve ser a adoptada na sua modelação. Normalmente a
escolha de uma destas teorias depende da classificação das lajes de acordo com a relação entre
a espessura (h) e o menor vão da laje (L), considerando-se que para h ≥ 0,1L as lajes são
espessas e para h ≤ 0,05L as lajes são finas 1 (Castro, 2007).
1Há autores que consideram que as lajes finas são aquelas cuja relação espessura/menor vão é ≤1/5, enquanto
que as lajes espessas são lajes cuja relação espessura/menor vão é ≥1/5.
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 23
A teoria clássica de Kirchhoff é aplicada na análise linear das lajes finas, pois segundo Duarte
(1998), esta teoria interpreta suficientemente bem o comportamento dessas lajes, enquanto
que a utilização da teoria de Reissner-Mindlin é aconselhável sempre que a espessura da laje
ultrapassar os limites que a permitem classificar como laje fina.
Segundo Castro (2007), a análise de lajes baseado na teoria de Reissner-Mindlin é a mais
utilizada, mesmo em situações para as quais se pode deixar de considerar a laje como espessa.
Pois um “bom” elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados
fornecidos pela teoria de Kirchhoff quando a espessura da laje começa a diminuir. Não
esquecendo de realçar que embora esta afirmação seja verdadeira em muitos dos casos, há
situações em que a diminuição da espessura da laje pode conduzir ao fenómeno designado por
locking2. Este fenómeno pode conduzir a uma solução incorrecta ou impossível, tornando
muito pequenos (ou mesmo nulos) os valores calculados para o campo de deslocamentos.
Para além do tipo da laje, há outro parâmetro que também condiciona a escolha da teoria a
adoptar para a análise da laje que é o valor do deslocamento transversal, (Grupo de Análise de
Estruturas, 2005). Segundo eles, quando o deslocamento transversal máximo é inferior a
aproximadamente 1/5 da espessura é aconselhável adoptar a teoria de Kirchhoff para a análise
do comportamento da laje.
No presente capítulo procura-se abordar, no campo da teoria da elasticidade, dois métodos de
análise das lajes vigadas. Um método de análise simplificado no qual recorre-se às tabelas
para calcular os esforços e as lajes são admitidas como isoladas. O outro método é o dos
elementos finitos, onde os esforços são determinados considerando a interdependência das
várias lajes. O cálculo simplificado é desenvolvido recorrendo às tabelas de Barés e Czerny e
o método dos elementos finitos através da utilização do SAP2000.
Para atingir o objectivo pretendido, que é saber quais as diferenças entre os resultados dos
esforços e das armaduras numa laje vigada de betão armado obtidos a partir da aplicação do
modelo das tabelas com os obtidos através do método dos elementos finitos, primeiro
procede-se à sintetização dos princípios de análise de cada um dos modelos, sem grandes
aprofundamentos teóricos, servindo como orientação resumida, porém objectiva.
Posteriormente são aplicados os dois modelos na análise da mesma laje, com o intuito de
mostrar as suas particularidades. Depois são apresentados os resultados obtidos em cada um
dos modelos, a partir dos quais são estimadas as armaduras de acordo com o EC2-1-1.
Finalmente são analisados e comparados os resultados, tanto ao nível dos esforços como das
armaduras.
2Locking é um fenómeno que surge porque na definição dos elementos da matriz de rigidez há coeficientes que
têm parcelas que vêm multiplicadas por h3 (parcela de flexão) e parcelas que vêm multiplicadas apenas por h
(parcela de corte). Quando a espessura da laje começa a diminuir, a parcela de corte começa a predominar sobre
a parcela de flexão, o que faz com que a influência desta última tenda a “desaparecer”. Para solucionar essa
situação normalmente é aplicada a técnica de integração reduzida que consiste na integração numérica da matriz
de rigidez do elemento reduzindo os pontos de Integração de Gauss Legendre, (Castro 2007).
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 24
3.1 Análise de lajes vigadas de betão armado recorrendo às
tabelas
Antes do uso efectivo de programas computacionais para o cálculo de lajes em projectos de
edifícios, a maioria dos casos eram solucionados usando métodos aproximados, entre os
quais, pode-se destacar o método de Marcus (Bernal, 2005 e Montoya et tal, 2000). Com base
no método das diferenças finitas, admitindo as hipóteses de Kirchhoff, foram elaboradas
várias tabelas para o cálculo de esforços nas lajes como as tabelas de Barés, as de Montoya, as
de Czerny, as de Szilard e as tabelas de Rocha (Rocha, 1976, Duarte, 1998 e Montoya et al,
2000). Essas tabelas limitam-se a condições de geometria, de carregamento e do contorno
correntes, ou seja, as condições que levem a soluções exactas da equação que rege o
comportamento das lajes.
A modelação das lajes recorrendo a essas tabelas é feita assumindo simplificações que visam
facilitar o cálculo dos esforços, mas por outro lado não simulam o comportamento real da laje,
por isso os valores obtidos são aproximados. Esse método sustenta-se sobre pressupostos de
que não há interacção entre as lajes e os demais elementos da estrutura (vigas e pilares), no
que se refere às dimensões e rigidez dos mesmos. Portanto, as lajes vigadas são modeladas
desprezando a flexibilidade e a rigidez à torção das vigas. As lajes são também analisadas
isoladamente, com condições de apoio simples, encastrados ou livres, e posteriormente, nos
bordos contínuos é realizado o equilíbrio dos esforços e a consequente redistribuição de
momentos no vão de cada laje. Todo o carregamento actuante na laje, incluindo as cargas das
paredes divisórias e sobrecargas de utilização, é admitido como uniforme sobre toda a
superfície do painel.
Neste estudo são utilizadas as tabelas de Barés e também as de Czerny adaptadas pelo Rocha,
porém estas últimas são aplicadas apenas no caso da avaliação dos momentos positivos após o
equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade.
3.1.1 Aplicação do modelo
O piso tipo sujeito à análise está apresentado na Figura 3.3. Para a análise considerou-se que
todas as lajes têm a mesma espessura cujo valor é 21cm e que estão apoiadas nas vigas com
secção 50cmx30cm.
Foi adoptado um aço A400NR e um betão da classe C25/30 cujas propriedades mecânicas de
interesse para o presente estudo são: resistência característica à compressão fck =25MPa, o
módulo de elasticidade Ec=31GPa e o coeficiente de Poisson ν=0,15. Segundo EC2-1-1, o
cálculo dos esforços elásticos para o estado limite últimos deve ser efectuado admitindo
secções fendilhadas, ou seja ν =0, porém como não foi encontrada tabelas com ν=0, adoptou-
se esse parâmetro igual a 0,15.
As acções consideradas foram as acções permanentes (g) com valor igual a 8,75kN/m2 e as
sobrecargas (q) com valor igual a 2kN/m2. As cargas a considerar no cálculo de esforços
foram determinadas através da aplicação da combinação fundamental, (ver detalhe de cálculos
no Anexo I).
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 25
São apresentados apenas os pormenores de cálculos e os resultados relativos à laje L1, sendo
que os das restantes lajes encontram-se no Anexo I.
Figura 3.3 – Planta estrutural do piso tipo.
Definição do modelo estrutural para o cálculo da laje L1
Classificação da laje L1:
Lx = 6,5m
Ly = 5,5m
O bordo adjacente à consola foi considerado como simplesmente apoiado.
L1 L3
L4
L2
L5
L6L7
Consola1 Consola2 Consola3
Consola4 Consola5
=1,18 laje armada em duas direcções
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 26
3.1.1.1 Cálculos dos momentos positivos
Método de cálculo: Método de Marcus
Combinação das acções:
Recorrendo à Tabela de Barés obteve-se:
μ = 0,15
= 1,18
3.1.1.2 Cálculo dos momentos negativos
Combinação das acções: Psd = 1,5*g +1,5*q = 1,5*8,75 + 1,5*2=16,13kN/m2
Recorrendo à tabela de Barés obteve-se:
μ = 0,15
= 1,18
3.1.1.3 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios de continuidade
Para fazer o equilíbrio de momentos negativos nos bordos de continuidade é necessário
conhecer os momentos negativos nas lajes adjacentes à L1. Na Figura 3.4 apresentam-se os
momentos negativos referentes às três lajes cujos pormenores de cálculos encontram-se no
Anexo I.
Psd1= 14,63 kN/m2
Psd2= 1,50 kN/m2
Mxvs-
= -0,0546 x Psd x a2 = -37,21kN.m/m
Myvs,-
= -0,0853 x Psd x b2 = -41,62kN.m/m
Mxs+
= 0,0190 x Psd x a2 = 12,95kN.m/m
Mys +
= 0,0356 x Psd x b2 = 17,37k.m/m
Mx2= 0,0305 x Psd2 x a2
Mx2=1,93kN.m/m
Momento positivo máximo na direcção X
Mx1= 0,0190 x Psd1 x a2
Mx1=11,74kN.m/m
Mxs += Mx1 +Mx2=13,68kN.m/m
Mys+ = My1 + My2=18,30 kN.m/m
My2= 0,056 x Psd2 x b2
My2=2,54kN.m/m
My1= 0,0356 x Psd1 x b2
My1=15,76kN.m/m
Momento positivo máximo na direcção Y
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 27
Figura 3.4 – Momentos na laje L1 e nas lajes adjacentes.
Após o cálculo dos momentos negativos actuantes na laje L1 e nas lajes adjacentes é
necessário fazer a compatibilização dos momentos flectores negativos.
Na continuidade das lajes L1 e L2 a seguinte compatibilização:
MB= Max
Na continuidade das lajes L1 e L4 o momento equilíbrio é dado por:
MB = Máx
MB= - 44,63kN.m/m
Consola 1
L1
L4
L2
Myvs=-41,62kN.m/m
Myvs=
-37,2
1kN
.m/m
Myvs=-17,02kN.m/m
Myvs=0kN.m/m
Myvs=-47,64kN.m/m
Myvs=
-16,4
7kN
.m/m
MB= - 29,77kN.m/m
kN.m/m
á
,77kN.m/m
kN.m/m
á
kN.m/m
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 28
Na continuidade L1 e consola o momento de equilíbrio é igual ao momento da
consola.
3.1.1.4 Ajuste do momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo
Na laje em estudo verifica-se que numa direcção o momento negativo do equilíbrio é menor
que o momento negativo calculado inicialmente e na outra direcção acontece o contrário.
Sendo assim, a correcção deve ser feita tanto na direcção em que o momento aumentou como
na outra, visto que numa laje armada em duas direcções a alteração do momento negativo
numa direcção afecta os momentos positivos nas duas direcções.
Ajuste dos momentos positivos máximos através das interpolações dos esforços obtidos pelas
tabelas
O My+ e Mx
+ podem ser calculados fazendo a interpolação dos esforços dados pelas tabelas
representadas nas situações a), b) e situação em que se considera uma laje com as mesmas
condições de apoio, com excepção do apoio onde há ajuste de momento negativo que deve ser
considerado simplesmente apoiado (cx ou cy).
Laje 1
Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção X
bx) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção X:
b) Situação após o equilíbrio do momento
negativo nas duas direcções
a) Situação inicial
Psd = 1,5x(Carga permanente + sobrecarga)
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 29
Situação cx)
Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), bx) e cx)
obteve-se o Mx1s+ e o My1s
+:
A redução do momento negativo na direcção X provocou um aumento de momento positivo
na direcção y e uma diminuição na direcção X.
Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção Y
by) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção Y:
Situação cy)
Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), by) e cy)
obteve-se My2+ e Mx 2
+.
Mxvs = -37,21→Mxs=+12,95
Mxvs= 0 →Mxs = +12,88
Mxvs = -29,77→Mx1s=?
↔ Mx1s = 12,93
∆ Mx1s=12,93-12,95 = -0,02
Mxvs = -37,21 →Mys=+17,37
Mxvs = 0 →Mys = +20,98
Mxvs = -29,77→My1s =?
↔ My1s= 18,09
∆ My1s=18,09 -17,37= 0,72
My+ e Mx
+→ ??
Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)
Tabela de Barés: ν= 0,15
Mx+=0,0189*16,13*6,5
2=12,88kN.m/m
My+=0,0430*16,13*5,5
2=20,98kN.m/m
Myvs= -41,62→Mxs= +12,95
Myvs=0 → Mxs =+29,30
Myvs= - 44,63→Mx2s=?
↔ Mx2s=11,77
∆ Mx2s=11,77 -12,95= -1,18
Myvs = - 41,62→Mys = +17,37
Myvs =0 → Mys = + 9,22
Mxvs = - 44,63→ My2s = ?
↔ My2s = 17,96
∆ My2s=17,96 - 17,37 = 0,59
Psd=1,5 x (g+q) =16,13 kN/m2)
Tabela de Barés: ν = 0,15
Mx+
=0,0430 x 6,13 x 6,52 =29,30 kN.m/m
My+=0,0189 x 16,13 x 5,5
2=9,22 kN.m/m
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 30
O aumento do momento negativo na direcção Y provocou um aumento de momento positivo
na direcção Y e uma diminuição na direcção X.
Determinadas as variações de momentos positivos nas duas direcções procedeu-se finalmente
ao cálculo dos momentos positivos Mx+ e My
+:
Mx+
= Mx+ (situação inicial) + ∆ Mx1s
+ ∆ Mx2s= 12,95 - 0,02 - 1,18 =11,75kN.m/m
My+
= My+ (situação inicial) + ∆ My1s
+ ∆ My2s = 17, 37 + 0, 72+0, 59 =18, 68kN.m/m
Ajuste do momento positivo máximo através das tabelas de F.Czerny
Cálculo de My1+
e Mx1+
após o equilíbrio do momento no bordo maior (direcção Y)
Para corrigir os momentos positivos da laje entra-se com um momento no apoio, ΔM igual à
diferença entre o momento de equilíbrio e o momento calculado considerando a laje isolada:
ΔMy = My (situação após o equilíbrio) - My (situação inicial) ↔ ΔMy = - 44,63 - (-41,62) =- 3,01
De acordo com as condições de apoio, o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3 e
atendendo à sua configuração e a da laje na tabela verifica-se que é necessário rodar a laje
90o, logo:
x = y = 0,138
y = x = 0,059
Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento
na direcção Y:
ΔMx1+= x x ΔMy = 0,138x (- 3,01)= -0,4154
ΔMy1+= y x ΔMy = 0,059x (- 3,01)= -0,1776
Cálculo de My2+ e Mx2
+ após o equilíbrio do momento no bordo menor (direcção X)
ΔMx = Mx (situação após o equilíbrio) – Mx (situação inicial) ↔ ΔMx = -29,77- (-37,21) = 7,44
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 31
=
De acordo com as condições de apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 3, logo:
x = -0,024
y = 0,105
Os momentos de correcção dos momentos positivos nos vãos após o equilíbrio de momento
na direcção X:
ΔMx2+= x x ΔMy = - 0,024 x (7,44) = -0,1786
ΔMy2+= y x ΔMy = 0,105 x (7,44) = 0,7812
Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção
X e Y:
ΔMx+= ΔMx1
++ ΔMx2
+= - 0, 4154 + (-0,178)= -0,5940
ΔMy+= ΔMy1
++ ΔMy2
+= - 0, 1776 + 0, 7812=0, 6036
Assim, os momentos positivos finais, Mx+ e My+, após o equilíbrio dos momentos negativos
nos dois bordos são:
Mx+= M
+x (inicial calculado usando Psd=1,5 *(g+q)) + ΔMx
+=12,95 + (-0,5940) =12,34kN.m/m
My+= M
+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMy
+=17,37+0,6036 =17,97kN.m/m
Correcção dos momentos no vão devido ao momento da consola:
Caso se pretenda ter em conta o efeito do momento da consola, os momentos de correcção dos
momentos nos vãos podem ser determinados da seguinte forma:
1. Cálculo do momento sinusoidal (∆M) aplicado no bordo da laje adjacente à consola:
; sendo o momento da consola.
Como o momento na consola tem um efeito favorável nos momentos positivos só se deve
considerar o momento resultante das cargas permanentes cujo valor é -11,39kN.m/m (ver
Anexo I).
2. Determinação dos coeficientes de transmissão x e y.
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 32
O momento sinusoidal está aplicado no bordo maior. De acordo com as condições de
apoio o tipo de laje em análise corresponde ao caso 5 e atendendo à sua configuração e
a da laje na tabela de Czerny verifica-se que é necessário rodar a laje 90o, logo:
x = y =0,113
y = x = 0,050
3. Determinação do momento no vão quando aplicado um momento sinusoidal de valor
igual a -14,51 no bordo
ΔMx3+
= x x ΔM = 0,113x (-14,51)=-1,64
ΔMy3+
= y x ΔM = 0,050 x (-14,51)=-0,73
Os momentos de correcção dos momentos nos vãos após o equilíbrio de momento na direcção
X e Y são dados através das seguintes expressões:
ΔMx+= ΔMx1
++ ΔMx2 +ΔMx3
+= -0,4154+( -0,1786)+ (-1,64) = -2,23
ΔMy+= ΔMy1
++ ΔMy2
+ +ΔMx3
+= -0,1776 + 0,7812+ (-0,73)=-0,13
Assim, os momentos positivos finais, Mx + e My
+, após o equilíbrio dos momentos negativos
nos dois bordos, são:
Mx+=M
+x (inicial calculado usando Psd=1,5* (g+q)) + ΔMx
+= 12,95 +(-2,23)=10,72kN.m/m
My+=M
+y (inicial calculado usando Psd=1,5* (Sop+Cp)) + ΔMy
+=17,37+(-0,13)= 17,24kN.m/m
Momentos de dimensionamento da laje L1
Quadro 3.1– Momentos máximos na laje L1.
Momentos negativos
L1
Mxmáx- My1máx- My2máx
-
-29,77 kN.m/m -44, 3 kN. /m -19,60 kN.m/m
Momentos positivos
Condições de cálculos Mxmáx+ My1máx+
a) 13,68 kN.m/m 18,30 kN.m/m
b) 11,75 kN.m/m 18,68 kN.m/m
c) 12,34 kN.m/m 17,97 kN.m/m
d) 10,72kN.m/m 17,24kN.m/m
Sendo que:
My1máx-: bordo adjacente à L2;
My2máx-: bordo adjacente à consola;
a) - Momentos obtidos através da aplicação do Método de Marcus;
b) - Momentos obtidos após o equilíbrio dos momentos nos apoios através da interpolação
das tabelas de Barés;
c) - Momentos obtidos recorrendo às tabelas de Czerny adaptadas pelo Rocha, após o
equilíbrio dos momentos nos apoios;
d) - Momentos obtidos tendo em conta o efeito do momento da consola.
De acordo com os resultados obtidos pelos dois métodos de correcção dos momentos nos vãos
constata-se que há uma pequena diferença, o que já era de esperar, pois o primeiro método é
baseado nas interpolações de esforços dados pelas tabelas de Barés, onde foi considerado o
coeficiente de Poisson igual a 0,15, enquanto que as tabelas de Czerny foram elaboradas
considerando tal parâmetro nulo (fase fendilhada).
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 33
O momento positivo de dimensionamento é determinado da seguinte maneira:
M+
dim = máx
Sendo assim:
Mx+
dim = 13,68→ momento calculado pelo método de Marcus
My+
dim = 18,68→ momento calculado após o equilíbrio de momento negativo
Momentos de dimensionamento (kN.m/m) na laje L1
Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1
O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido,
pois o momento resultante do equilíbrio nesse bordo é maior que o momento obtido
inicialmente. Sendo assim o comprimento da região com momento negativo é dado pela
seguinte expressão:
Determinação do comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente à
consola
Psd1 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+5) = 17,63 KN/m2
Bordo adjacente à consola
Diagrama dos momentos de dimensionamento da laje L1
O comprimento da região com momento negativo no bordo adjacente a L4 deve ser corrigido
Bordo adjacente à consola
Bordo adjacente a L4
- Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos
- Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus
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Keila S. G. Robalo. 34
Psd2 = 1,5x(Rev+Pp+Sob) = 1,5x(1,5+5,25+2) = 14,13 KN/m2
Psd3 = 1x(rev+Pp+Pd) = 1x(1,5+5,25+2) = 8,75 KN/m2
α = ???:
ay = ax ↔(1-α) x = ↔α x
↔α =
↔α =
↔ α = 0,66
Ao analisar esta estrutura no programa Sap2000 obteve-se o comprimento da região com
momento negativo (X) igual a 1,05 metros.
L1
a=6.5
b=
5.5
ax
ay
19,6kN.m/m
ax =
X
ay =
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 35
3.2 Análise de lajes maciças vigadas pelo método dos elementos
finitos
A determinação dos esforços numa laje tem sido feita através de modelos elásticos que se
baseiam na solução da equação diferencial que rege o comportamento de uma placa. Essas
soluções, como já foi dito anteriormente, limitam-se às lajes com condições de carregamento,
de contornos e de geometria simples que levem a soluções exactas. Para tentar superar tais
limitações recorreu-se a outras técnicas mais sofisticadas, entre as quais cita-se o método dos
elementos finitos.
O método de elementos finitos permite modelar lajes com diversas condições de
carregamento, espessura e forma irregulares, lajes com presença de aberturas e com variadas
condições de contorno, e ainda contempla de maneira mais precisa a interacção entre os
elementos estruturais que compõem a estrutura.
Esse método, apesar de ter sido descoberto há algumas décadas, só há pouco tempo é que se
tornou numa ferramenta corrente dos engenheiros devido à generalização dos meios
informáticos. Hoje encontram-se no mercado vários programas de cálculos de estrutura
baseados nessa metodologia.
Neste documento o programa utilizado para a aplicação deste método é o SAP2000. Este
programa permite efectuar modelações planas e tridimensionais, considerando todos os
elementos que constituem a estrutura. Esses elementos são modelados por elementos finitos
lineares, superfície e de volume. A escolha do elemento mais adequado depende
principalmente da geometria da estrutura a analisar, das cargas a serem consideradas e do seu
comportamento estrutural.
O Sap2000 permite a modelação das lajes com base na teoria de placas de Mindlin ou de
Kirchhoff e com recurso ao elemento finito de casca de três ou quatro nós (Figura 3.5).
Figura 3.5 – Elementos finitos de casca de quatro e três nós, respectivamente (SAP2000 Basic
Analysis Reference Manual, 2009).
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
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3.2.1 Aplicação do modelo para análise global da laje
Apresenta-se em seguida um exemplo de aplicação do método dos elementos finitos através
do programa Sap2000 versão 14.2, que consiste na análise do pavimento que já tinha sido
analisado pelo modelo das tabelas (Figura 3.3). Os dados relativos às propriedades mecânicas
dos elementos são os mesmos.
A análise é global, mas são apresentados apenas os resultados referentes à laje L1.
3.2.1.1 Modelação geométrica e condições de apoios
A geometria da laje em análise foi definida através do modelo preliminar “Grid only” e
posteriormente foi aperfeiçoada com modelos que descrevem o comportamento de cada um
dos elementos constituintes da estrutura em análise. Neste caso considerou-se os elementos
finitos de barra para a modelação das vigas e os elementos finitos de casca de quatro nós na
modelação das lajes.
As lajes foram discretizadas considerando uma malha de 0,5mx0,5m e as vigas foram
discretizadas nos pontos de intersecções com as malhas da laje.
Para os apoios contínuos (vigas), considerou-se as condições descritas mais a frente, e nos
apoios pontuais (pilares) foram restringidas todas as translações.
Figura 3.6 – Discretização e condiçoes de apoios do pavimento em estudo.
3.2.1.2 Formulação do modelo
Numa primeira fase a modelação das lajes foi feita com base na teoria de Reissner-Mindlin,
considerando portanto a deformação de corte. Posteriormente, o mesmo pavimento foi
modelado com a formulação de Kirchhoff, com o objectivo de avaliar a diferença nos
resultados obtidos pelas duas formulações.
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Keila S. G. Robalo. 37
As vigas foram formuladas com base na teoria de Timoshenko3 e posteriormente considerou-
se mais um modelo com o mesmo pavimento, mas considerando que está apoiado sobre vigas
modeladas com base na teoria de Navier-Bernoulli4. Neste estudo também foi analisado o
efeito da flexibilidade das vigas de apoio no comportamento das lajes. Os pavimentos de
edifícios reais têm lajes apoiadas em vigas que são flexíveis. Na análise das lajes usando as
tabelas correntes supõe-se que os apoios são indeformáveis. Para avaliar a influência da
flexibilidade das vigas nos resultados dos esforços nas lajes foi realizado um estudo
admitindo a variação da sua inércia à flexão. Primeiro realizou-se uma formulação em que se
considerou a viga com a sua deformação real, depois admitiu-se que esta é infinitamente
rígida e finalmente considerou-se a hipótese de que a flexibilidade da viga é reduzida para
metade. Com a última hipótese pretendeu-se simular a perda de rigidez devido à fendilhação
das vigas (por flexão e por torção).
Para além dos parâmetros indicados realizou-se também a modelação da laje tendo em conta a
influência da sua rigidez à torção.
Sendo assim, o pavimento em estudo foi analisado baseado nas seguintes hipóteses de
cálculo:
a) Modelação com base na teoria de Reissner-Mindlin e de Timoshenko - Modelo A:
1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à
torção):
1.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
2. Considerando vigas com rigidez de flexão infinita:
2.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
2.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
3. Considerando vigas com rigidez de flexão igual a 0,5:
3.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
3.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
b) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Timoshenko - Modelo B:
1. Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e à
torção):
1.1Considerar a laje com rigidez torsional;
1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
2. Considerando vigas com rigidez infinita:
2.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
2.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
3. Considerando vigas com rigidez de flexão igual a 0,5:
3.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
3.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
c) Modelação com base na formulação de Kirchhoff e de Navier-Bernoulli - Modelo C:
3 Considera deformação de corte (teoria idêntica à teoria de Reissner-Mindlin para as lajes).
4 Ignora a deformação de corte (teoria idêntica à teoria de Kirchhoff para as lajes).
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 38
1.Tendo em conta a deformação “real” das vigas (sem alteração da rigidez à flexão e À
torção):
1.1Considerar a laje com rigidez torsional;
1.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
2. Considerando vigas com rigidez infinita:
2.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
2.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
3. Considerando vigas com rigidez de flexão igual a 0,5:
3.1 Considerar a laje com rigidez torsional;
3.2 Considerar a laje sem rigidez torsional.
A atribuição das propriedades dos elementos foi feita de acordo com as formulações
apresentadas acima não esquecendo de realçar que a laje foi modelada tendo em conta os
princípios de análise elástica linear considerando que o betão é um material isotrópico.
3.2.1.3 Cargas actuantes e carregamento a considerar na modelação
O pavimento a modelar foi sujeito as mesmas cargas consideradas no modelo anterior e foi
feita também a alternância da sobrecarga, em que para a determinação de esforços máximos
na laje L1 foram simuladas as seguintes condições de carregamento, mais adiante designado
por C.car:
Carregamento 1: corresponde à actuação da sobrecarga apenas nas seguintes lajes: L1,
L3, L5, Consola 4 e 5.
Carregamento 2: corresponde a aplicação da sobrecarga apenas nas lajes L1, L2 e L4 e
Consola 1.
Carregamento 3: corresponde ao carregamento total (g+q) do pavimento.
3.2.1.4 Apresentação dos resultados dos momentos flectores nas lajes
Concluída a análise da estrutura ficou-se a conhecer os valores dos momentos flectores nas
lajes. Nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 estão apresentados os momentos flectores máximos obtidos
na laje L1 para as diferentes condições de cálculos referidas anteriormente.
Quadro 3.2 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de Reissner-
Mindlin/ Timoshenko.
Momentos
Mxmáx + Mx máx
- Mymáx
+ My máx
-
Mo
del
o A
1.1 kN.m/m 36,61 -51,08 18,46 -59,03
C.car Carregamento3 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
1.2 kN.m/m 39,19 -56,32 18,78 -63,53
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
2.1 kN.m/m 13,21 -20,72 17,01 -31,49
C.car Carregamento3 Carregamento1 Carregamento1 Carregamento2
2.2 kN.m/m 16,76 -23,57 23,41 -37,96
C.car Carregamento1 Carregamento1 Carregamento1 Carregamento2
3.1 C.car 46,06 -67,40 21,24 -79,91
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
3.2 kN.m/m 50,93 -75,14 23,32 -88,72
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 39
Quadro 3.3 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de
Kirchhoff/ Timoshenko
Momentos flectores Mxmáx
+ Mx máx
- Mymáx
+ My máx
-
Mo
del
o B
1.1
kN.m/m 37,01 -55,81 18,35 -76,31
C.car Carregamento3 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
1.2 kN.m/m 39,93 -58,46 18,24 -83,84
Carregamento2 Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
2.1 kN.m/m 29,79 -32,37 16,50 -37,35
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
2.2 kN.m/m 28,89 -31,78 22,80 -43,59
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
3.1 C.car 46,59 -70,24 20,85 -98,96
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
3.2 kN.m/m 51,78 -79,95 23,37 -112,26
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
Quadro 3.4 – Momentos máximos na laje L1 obtidos com base na formulação de
Kirchhoff/Navier- Bernoulli
Momentos Mxmáx
+ Mx máx
- Mymáx
+ My máx
-
Mo
del
o C
1.1 kN.m/m 35,91 -56,70 18,26 -51,73
C.car Carregamento3 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
1.2 kN.m/m 38,16 -60,14 18,29 -56,43
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
2.1 kN.m/m 10,68 -22,71 16,49 -38,18
C.car Carregamento1 Carregamento1 Carregamento1 Carregamento2
2.2 kN.m/m 15,48 -25,47 23,09 -44,69
C.car Carregamento1 Carregamento1 Carregamento1 Carregamento2
3.1 C.car 45,49 -70,88 20,69 -79,38
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
3.2 kN.m/m 50,41 -77,24 23,01 -89,54
C.car Carregamento2 Carregamento2 Carregamento1 Carregamento2
3.2.1.5 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da teoria utilizada na
modelação das lajes
Os resultados apresentados nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 mostram que existem algumas
discrepâncias entre os modelos. Da análise aos momentos obtidos pelo Modelo A e B nota-se
que a maior diferença surge no cálculo dos momentos positivos na direcção X, para as
condições de cálculos 2.1 e 2.2, onde o Modelo B lidera com uma diferença máxima de
aproximadamente 56% do Modelo A. Já na direcção Y o momento máximo positivo é dado
pelo Modelo A com diferença pouco significativa em relação ao Modelo B, cerca de 3%. Em
relação ao momento negativo nota-se que na direcção X, o valor máximo é também dado pelo
Modelo B, distinguindo cerca de 36% para a condição de cálculo 2.1 e 26% para a condição
de cálculo 2.2, do Modelo A. Na direcção Y verifica-se que para a condição de cálculo 2.1 o
Modelo A resulta momento negativo superior ao Modelo B, com uma diferença máxima de
aproximadamente 16%. Para a condição de cálculo 2.2 na mesma direcção o momento
máximo negativo é dado pelo Modelo B, com uma diferença de aproximadamente 13% do
Modelo A. Para as condições de cálculos 1.1, 1.2, 3.1 e 3.2 constata-se que as diferenças entre
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 40
os momentos são pouco significativas, com excepção dos momentos negativos na direcção Y,
onde os momentos dados pelo Modelo B são superiores aos dados pelo Modelo A, com
diferenças entre 19% e 24%.
Ao comparar os resultados dos momentos flectores dados pelo Modelo A (Quadro 3.2) com
os dados pelo Modelo C (Quadro 3.4) nota-se que, relativamente aos momentos positivos, o
Modelo A fornece valores superiores, sendo que a máxima diferença é de 19%, que
corresponde à diferença entre os momentos positivos dados pela condição de cálculo 2.1. Para
as restantes condições de cálculos as diferenças entre os momentos positivos são inferiores a
10%. Em relação aos momentos negativos nota-se que na direcção X, as diferenças entre os
dois modelos são pouco significativas. Na direcção Y constata-se que para as condições de
cálculos 3 as diferenças entre os modelos também são pouco significativas (máximo de 1%,
para a condição de cálculo 3.2). Para as condições 1.1 e 1.2 as diferenças são de 12% e de
11%, respectivamente, enquanto que para as condições 2.1 a diferença é de 16% e para 2.2 a
diferença é de 15%.
Por último, comparando os resultados dos momentos flectores dados pelo Modelo B com os
dados pelo Modelo C constata-se que a maior diferença registada é de 64%, verificada nos
momentos positivos na direcção X obtidos na formulação 2.1. É de referir que é nesse modelo
e na mesma direcção que se verifica a maior diferença entre os momentos negativos, com
valor de 30%. Na direcção Y as diferenças entre os modelos para a formulação 2.1 são
insignificantes, pois a máxima é de 2%. Para a formulação 2.2 confirma-se a mesma
tendência. Relativamente às restantes formulações, 1.1 1.2, 3.1 e 3.2, as diferenças
significativas verificam-se apenas nos cálculos dos momentos negativos na direcção Y, com
valor máximo de 33%.
3.2.1.6 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à flexão
das vigas de apoios
No cálculo dos esforços das lajes maciças vigadas pelo método tradicional admite-se que a
flexibilidade das vigas de apoio não influencia o valor dos esforços actuantes, porém, de
acordo com os valores apresentados nos Quadros 3.2, 3.3 e 3.4 constata-se o contrário.
Examina-se por exemplo os momentos do Quadro 3.2 (Modelo A), para as condições de
cálculos 1.1, 2.1 e 3.1, que correspondem respectivamente aos apoios com flexibilidade “real”
(sem alteração da rigidez à flexão), apoios infinitamente rígidos e apoios com a flexibilidade
reduzida a metade. Desta análise comparativa verificou-se as diferenças apresentadas no
Quadro 3.5.
Quadro 3.5 – Diferença entre os momentos obtidos considerando as condições de cálculos 1.1
e as restantes condições de cálculos (2.1 e 3.1)
Momentos (kN.m/m)
Modelo A Mxmáx + (%) Mx máx
- (%) Mymáx
+ (%) Mymáx
- (%)
1.1 36,61 - -51,08 - 18,46 - -59,03 -
2.1 13,21 -64% -20,72 -59% 17,01 -8% -31,49 -47%
3.1 46,06 26% -67,40 32% 21,24 15% -79,91 35%
Nas figuras que se seguem apresentam-se também as diferenças nos diagramas dos momentos
flectores dados pelas condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1.
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 41
Figura 3.7 – Diagramas de momentos flectores para as condições de cálculos 1.1, 3.1 e 2.1,
respectivamente.
Perante as diferenças entre os modelos apresentados pode-se concluir que quanto mais
flexível forem as vigas, maiores são os momentos flectores nas lajes e que é importante
considerar as vigas de apoios com a sua rigidez real uma vez que este parâmetro influência
bastante os momentos nas lajes.
3.2.1.7 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção
da laje
Nas modelações em que não é tida em conta a rigidez de torção da laje, todo o carregamento
da laje é equilibrado pela flexão, o que justifica os valores superiores dos momentos flectores
nestas situações. Os momentos apresentados nos Quadros 3.2 (Modelo A) e 3.4 (Modelo C)
mostram exactamente isso. Ao analisar, por exemplo, a situação de cálculo 2 do Modelo A,
constata-se que ao considerar na referida modelação laje com rigidez à torção (2.1), o
momento flector máximo positivo na direcção X é de 13,21kN.m/m, sendo que esse valor
aumenta cerca de 21%, quando não é considerada a rigidez à torção da laje (2.2). Em relação
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 42
ao momento negativo na mesma direcção o incremento é de 12% e na direcção Y, o momento
positivo e negativo aumentaram cerca de 27% e 17% respectivamente. Para as restantes
modelações, situações 1 e 3, o máximo incremento nota-se no momento positivo na direcção
X, com valor de 9% na situação 1 e 10% na situação 3.
Relativamente aos momentos obtidos usando o Modelo B, Quadro 3.3, nota-se que há
situações em que o momento flector é superior na formulação em que é tida em conta a
rigidez de torção da laje, como por exemplo o momento positivo na direcção Y dado pela
condição de cálculo 1.1 é superior ao dado pela condição de cálculo 1.2. Também os
momentos flectores na direcção X, tanto positivo como negativo, dados pela condição de
cálculo 2.1 são superiores aos dados pela condição de cálculo 2.2.
3.2.1.8 Análise dos momentos flectores tendo em conta o efeito da rigidez à torção
da viga.
Até agora todos os modelos de cálculo apresentados consideram as vigas com a sua rigidez à
torção real. No Quadro 3.6 apresentam-se os momentos máximos na laje L1 determinados
considerando que o pavimento está submetido ao Carregamento 2 e às condições de cálculo 1
e 2 do Modelo A, onde se variou apenas a rigidez de torção das vigas de apoios. Portanto,
para cada uma das condições de cálculo referidas foram considerados quatro modelos, sendo
que no primeiro modelo, considerou-se as vigas com a sua rigidez à torção real (J=1), no
segundo admitiu-se que a sua rigidez à torção é nula (J=0) e por ultimo considerou-se as vigas
com apenas metade da rigidez à torção (J=0,5).
Quadro 3.6 – Momentos máximos na laje L1 tendo em conta o efeito da rigidez à torção das
vigas de apoios
Momentos
Rigidez à torção (J) Mxmáx + Mx máx
- Mymáx
+ My máx
-
Vig
a co
m r
igid
ez à
flex
ão r
eal
(1)
Laj
e co
m
torç
ão (
1.1
)
Real 36,60 -51,08 14,77 -59,03
J=0 37,95 -75,73 17,17 -69,68
J=0,5 36,86 -52,21 14,64 -59,34
Laj
e se
m
torç
ão
(1.2
)
Real 39,19 -56,32 14,70 -63,53
J=0 40,22 -64,17 14,92 -65,36
J=0,5 39,68 -58,95 14,83 -64,23
Vig
a rí
gid
a (2
)
Laj
e co
m
torç
ão (
2.1
) Real 13,20 -20,57 15,88 -31,49
J=0 18,93 -21,89 16,95 -34,54
J=0,5 12,78 -20,16 16,25 -32,57
Laj
e se
m
torç
ão
(2.2
)
Real 14,92 -22,89 21,18 -37,96
J=0 16,87 -21,49 23,21 -43,23
J=0,5 15,49 -22,36 21,97 -39,99
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 43
Análise comparativa dos momentos dados pelos modelos que consideram a rigidez à torção
real das vigas de apoios e os modelos que consideram que as vigas não resistem à torção,
J=0.
Quadro 3.7 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os
modelos que consideram J=0
Momentos (kN.m/m)
Rigidez à
torção Mxmáx
+ (%) Mx máx
- (%) Mymáx
+ (%) My máx
- (%)
Vig
a co
m r
igid
ez
à fl
exão
rea
l Laje com
torção
Real 36,60 4%
-51,08 33%
14,77 14%
-59,03 15%
J=0 37,95 -75,73 17,17 -69,68
Laje sem
torção
Real 39,19 3%
-56,32 12%
14,70 1%
-63,53 3%
J=0 40,22 -64,17 14,92 -65,36
Vig
a rí
gid
a Laje com
torção
Real 13,20 30%
-20,57 6%
15,88 6%
-31,49 9%
J=0 18,93 -21,89 16,95 -34,54
Laje sem
torção
Real 14,92 12%
-22,89 -7%
21,18 9%
-37,96 12%
J=0 16,87 -21,49 23,21 -43,23
Os modelos que consideram que as vigas não resistem à torção, J=0, quando comparadas com
os modelos que consideram a rigidez à torção real das vigas de apoios, J=1, nota-se diferenças
significativas, principalmente nos casos em que se considera lajes com torção. Constata-se
também que ao considerar que as vigas não resistem à torção os momentos na laje aumentam
na maioria dos casos, com excepção do momento negativo na direcção Y para a condição de
cálculo onde considera-se vigas rígidas e lajes sem torção.
Analise comparativa dos momentos dados pelos modelos que consideram a rigidez à torção
real das vigas de apoios (J=1) e os modelos que consideram apenas metade da rigidez,
J=0,5.
Quadro 3.8 – Diferença entre os momentos dados pelos modelos que consideram J=1 e os
modelos que consideram J=0,5
Momentos (kN.m/m)
Rigidez à torção
das vigas Mxmáx
+ (%) Mx máx
- (%) Mymáx
+ (%)
My máx
-
(%)
Vig
a co
m r
igid
ez
à fl
exão
rea
l Laje com
torção
Real 36,60 1%
-51,08 2%
14,77 -1%
-59,03 1%
Gj=0,5 36,86 -52,21 14,64 -59,34
Laje sem
torção
Real 39,19 1%
-56,32 4%
14,70 1%
-63,53 1%
Gj=0,5 39,68 -58,95 14,83 -64,23
Vig
a rí
gid
a Laje com
torção
Real 13,20 -3%
-20,57 -2%
15,88 2%
-31,49 3%
Gj=0,5 12,78 -20,16 16,25 -32,57
Laje sem
torção
Real 14,92 4%
-22,89 -2%
21,18 4%
-37,96 5%
Gj=0,5 15,49 -22,36 21,97 -39,99
De acordo com os resultados apresentados no Quadro 3.8 verifica-se que as diferenças entre
os modelos são insignificantes (inferiores a 10%). Por outro lado, constata-se que ao reduzir o
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 44
momento torsor das vigas de apoios os momentos flectores nas lajes aumentam. Porém, com
algumas excepções, como por exemplo, no cálculo de momento positivo na direcção Y para a
condição de cálculo em que se considera as vigas com a sua rigidez à flexão real e laje com
torção, no cálculo dos momentos tanto positivo como negativo na direcção X para a condição
de cálculo que considera vigas rígidas e lajes com torção e ainda no cálculo do momento
negativo na direcção X para a condição de cálculo que considera viga rígida e laje sem torção.
3.2.2 Aplicação do método dos elementos finitos para análise da laje L1
isoladamente
Tal como no modelo das tabelas a análise da laje isoladamente foi feita aplicando o método de
Marcus. Para a determinação dos momentos positivos foram admitidos os seguintes modelos
de cálculos:
Modelo 1: Considera a laje L1 submetida a uma carga Psd1= 1,5 x (g+q/2) =14,63
kN/m2 e com as seguintes condições de apoios:
Figura 3.8 – Modelo 1: Discretização e condições de apoio da laje L1
Modelo 2: Considera a laje L1 submetida a uma carga Psd=1,5x(q/2)=1,5kN/m2 e
com todos os bordos simplesmente apoiados conforme ilustrado na figura que se
segue:
Figura 3.9 – Modelo 2: Discretização e condições de apoio da laje L1
Os momentos positivos máximos na laje L1 são obtidos através da soma dos momentos
positivos resultantes dos dois modelos.
No Quadro 3.9 apresentam-se os valores dos momentos para cada um dos modelos, tendo em
conta as seguintes condições de cálculos:
Bordos encastrados
Bordos simplesmente apoiados
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 45
1. Modelação com base na teoria de Reissner-Mindlin:
a) Considerar a laje com rigidez torsional;
b) Considerar a laje sem rigidez torsional.
2. Modelação com base na teoria de Kirchhoff:
a) Considerar a laje com rigidez torsional;
b) Considerar a laje sem rigidez torsional.
3.2.2.1 Apresentação dos resultados
Quadro 3.9 – Momentos positivos máximos na laje L1
Momentos (kN.m/m)
Modelo 1 Modelo 2 Momentos finais (kN.m/m)
Condições de cálculos Mxmáx + Mymáx
+ Mxmáx
+ Mymáx
+ Mxmáx
+ Mymáx
+
1a 13,89 18,47 1,98 2,62 15,86 21,08
1b 19,64 26,18 3,39 4,46 23,03 30,64
2a 12,68 17,43 1,90 2,53 14,58 19,96
2b 19,24 25,97 3,37 4,46 22,62 30,43
Os momentos negativos foram determinados através do Modelo1, mas considerando que este
está submetido a uma carga igual a 16,13kN/m2 (Psd=1,5*g +1,5*q). De acordo com as
condições de cálculo descritas anteriormente obtiveram-se para os momentos negativos na
laje L1 os valores apresentados no Quadro 3.10.
Quadro 3.10 – Momentos negativos máximos na laje L1
Momentos (kN.m/m)
Condições de cálculos Mxmáx - Mymáx
-
1a -34,27 -38,98
1b -40,15 -47,97
2a -36,35 -41,04
2b -41,35 -49,86
3.2.2.2 Análise dos esforços
Os resultados apresentados no Quadro 3.9 e 3.10 mostram que os momentos calculados pelo
Modelo de Kirchhoff e pelo Modelo de Reissner-Mindlin são aproximados, com diferença
máxima de 8%, ao contrário do que aconteceu na modelação do pavimento como um todo.
Ao analisar o efeito da rigidez à torção da laje constata-se a tendência esperada que é o
aumento do momento flector no caso em que não é tida em conta a rigidez à torção da laje.
Do Quadro 3.9 verifica-se que o incremento do momento positivo na direcção X é de 31%
para o Modelo de Reissner-Mindlin e 36% para o modelo de Kirchhoff. Na direcção Y o
incremento é de 31% para o modelo de Reissner-Mindlin e 34% para o modelo de Kirchhoff.
Quanto aos momentos negativos (Quadro 3.10) verifica-se que na direcção X o incremento
dado pelo Modelo Reissner-Mindlin é de 15% enquanto que o dado pelo modelo de Kirchhoff
é de 12%. Na direcção Y nota-se um aumento de 19% no Modelo de Reissner-Mindlin e 18%
no modelo de Kirchhoff.
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 46
3.3 Análise comparativa dos esforços obtidos recorrendo ao uso
das tabelas de Barés e pelo método dos elementos finitos
3.3.1 Análise comparativa dos momentos flectores
O método das tabelas sustenta-se sobre pressupostos de que não há interacção entre as lajes e
os demais elementos da estrutura (vigas e pilares), no que se refere às dimensões e rigidez dos
mesmos, bem como a influência da laje no comportamento global da estrutura. Das análises
feitas através do método dos elementos finitos recorrendo ao programa Sap2000 nota-se,
explicitamente, que todos esses parâmetros influenciam bastante os esforços nas lajes,
portanto o ideal será modelar a laje tendo em conta todos esses parâmetros de modo a obter
resultados mais realistas.
Nas Figuras 3.10, 3.11, 3.12, 3,13 e 3.14 apresentam-se os diagramas dos momentos flectores
e torsores na laje L1 determinados com base no método dos elementos finitos (M.E.F), em
que se simulou o comportamento do pavimento em estudo o mais próximo da realidade,
Modelo A- condição de cálculo 1.1 (ver Secção 3.2.1) e os diagramas dos momentos obtidos
através do método das tabelas de Barés (ver Secção 3.1.1).
Momentos flectores na laje L1 determinados através do M.E.F: Modelo A - condição de
cálculo 1.1
Figura 3.10 – Momento flector na direcção X.
Momentos flectores na laje L1 determinados através do M.E.F: Modelo A- condição de
cálculo 1.1
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 – Momento
flector na direcção X.
uywdjhsakj
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1- Momento
flector na dire
Mxmáx + =36,61kN.m/m
Mxmáx - =-51,08kN.m/m
≈1,2m ≈0,3
Ponto onde verifica-se
o Mxmáx+
Mxmáx+=36,61kN.m/m
Bordo adjacente a L2
Mxmáx- = -51,08kN.m/m
C’ C
B’ B
A’ A
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 47
Figura 3.11 – Momento flector na direcção Y.
Figura 3.12 – Momento torsor.
Com base nos diagramas apresentados é possível determinar os momentos máximos de
dimensionamento da laje L1 através da aplicação da seguinte fórmula:
Armadura superior:
Bordo adjacente à L2:
Bordo adjacente à L4:
Bordo adjacente à consola:
Armadura inferior:
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 – Momento
flector na direcção X.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 – Momento
flector na direcção Y.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1- Momento
flector na direcção X.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 -
Momento flector na direcção Y.
Mymáx+=18,46kN.m/m
Bordo adjacente a L4
Mymáx-=-59,03kN.m/m
Bordo Adjacente à consola
Mymáx- =-21,96kN.m/m
≈1,7m
≈0,8m
Mymáx+=18,46kN.m/m
Bordo adjacente a L4
Mymáx- =-59,03kN.m/m
Bordo Adjacente à consola
Mymáx- =-21,96kN.m/m
Ponto onde verifica-se
o Mymáx+. D’
D
E’
E
F’
F
1 – Momento flector na direcção Y.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 – Momento
torsor
Mxymáx=5,08kN.m/m
Mxymín=-15,60kN.m/m
Mxymáx=5,08kN.m/m
Mxymín=-15,60kN.m/m
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 48
Momentos flectores na laje L1 determinados usando as Tabelas de Barés (ver detalhe de
cálculo em 3.1.1)
Figura 3.13 – Momentos flectores determinados usando as tabelas de Barés.
Ao analisar os resultados dos esforços dados pelos dois métodos constata-se claramente que o
método dos elementos finitos oferece resultados superiores, diferindo significativamente dos
resultados obtidos com base no método das tabelas, conforme apresentado no Quadro 3.11.
Quadro 3.11 – Diferença (em percentagem) entre os momentos de dimensionamento dados
pelo método dos elementos finitos e método das tabelas.
Método das tabelas M.E.F
Msd (kN.m/m) Msd (kN.m/m) (%)
Direcção X Bordo adjacente a L2 -29,77 -66,68 55%
Vão 13,68 37,25 63%
Direcção Y
Bordo adjacente à consola -19,60 -27,04 28%
Bordo adjacente à L4 -44,63 -65,70 32%
Vão 18,68 19,97 6%
O método das tabelas não dá informação da secção onde se verifica os momentos máximos,
porém através do modelo idealizado no programa Sap2000 em que tentou-se simular as
condições das tabelas (ver as condições de cálculos referidas na Secção 3.2.2, Modelo 2a)
averigua-se, através da Figura 3.14, que o momento máximo negativo na laje L1 verifica-se
nas zonas da laje localizadas aproximadamente ao meio vão das vigas de apoios e o momento
máximo positivo ocorre no vão da laje.
Figura 3.14 – Momento flector na direcção X e Y, respectivamente.
Ao observar os diagramas dos momentos na laje L1 obtidos através do método dos elementos
finitos, Modelo A - condição de cálculo 1.1, constata-se que o momento máximo negativo
Bordo adjacente à consola
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 49
ocorre na secção da laje sobre o apoio pontual e vai diminuindo à medida que se avança para
o meio vão das vigas de apoio (ver Figuras 3.10 e 3.11).
Nas figuras que se seguem apresentam-se os diagramas dos momentos que mostram as
regiões da laje com momento negativo não esquecendo de realçar que o diagrama que
representa os momentos dados pelo método das tabelas foi traçado de acordo com os
diagramas simplificados propostos pelo Czerny (ver Anexo I).
Para facilitar a comparação entre os dois métodos, os momentos dados pelo método dos
elementos finitos são apresentados em cortes.
Figura 3.15 – Traçado aproximado do diagrama dos momentos flectores dados pelo método
das tabelas de Barés.
Figura 3.16 – Momento flector na direcção X: corte AA’.
Figura 3.17 – Momento flector na direcção X: corte BB’.
1,05m
1,18m
1,1m
1,1m
-29,7kN.m/m
13,68kN.m/m
- 4
4,6
3k
N.m
/m
-19,60kN.m/m
B=
5,5
m
a=6,5m
18
,68
kN
.m/m
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
Mx (kN
.m /
m)
m
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
Mx
(k
N.m
/m)
m
Bordo adjacente à L2
Bordo adjacente a L4
Bordo adjacente à consola
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 50
Figura 3.18 – Momento flector na direcção X: corte CC’.
Figura 3.19 – Momento flector na direcção Y: corte DD’
Figura 3.20 – Momento flector na direcção Y: corte EE’
Figura 3.21 – Momento flector na direcção Y: corte FF’
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
Mx
(k
N.m
/m)
m
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
My
(kN
.m /
m)
m
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
My
(kN
.m /
m)
m
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5
My
(kN
.m /
m)
m
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 51
De acordo com o diagrama apresentado na Figura 3.15 constata-se que no bordo considerado
como simplesmente apoiado não há momentos negativos mas ao analisar os diagramas
obtidos com base no método dos elementos finitos em que se tentou simular o comportamento
real da laje (Figuras 3.16, 3.17 e 3.18), nota-se que existe uma região com momentos
negativos que assume no máximo uma distância 0,25 m do apoio.
No bordo adjacente à laje L2 as regiões com momento negativo dado pelos dois métodos têm
comprimentos aproximados, 1,1 metro dado pelo método simplificado de Czerny contra os
1,25 metros obtido através do modelo dos elementos finitos.
Na direcção Y, no bordo adjacente à consola nota-se que o comprimento máximo da região
com momento negativo determinado de forma simplificada aproxima-se muito do
determinado pelo método dos elementos finitos. Já no bordo adjacente à laje L4 o
comprimento da região com momento negativo determinado com base nos elementos finitos é
superior ao obtido através do método simplificado de Czerny, o primeiro toma valor máximo
de 1,6 m aproximadamente e o segundo toma o valor de 1,18m.
3.3.2 Análise comparativa da quantidade das armaduras longitudinais
principais
As armaduras longitudinais da laje em análise, L1, foram determinadas de acordo com o EC2-
1-1 para os momentos flectores máximos positivos e negativos dados pelos dois métodos de
cálculos, o método das tabelas e o método dos elementos finitos (Modelo A, condição de
cálculo 1.1), que posteriormente foram comparadas entre si. Para o efeito foi considerado que
a altura útil da laje, d, igual a 0,18m, betão classe C25/30 (fcd=16,7MPa e fctm=2,6MPa) e aço
A400NR (fsyd=348MPa).
Determinação das armaduras longitudinais (verificação da segurança ao Estado Limite
Último de Resistência à Flexão) para resistir aos esforços dados pelo método das tabelas:
Na direcção X:
Armadura longitudinal principal para resistir ao momento negativo
Mxsd-=-29,77kN.m/m →
→ da tabela obteve-se que
→
.
Armadura longitudinal principal para resistir ao momento positivo
Mxsd+=13,68kN.m/m→
→ da tabela obteve-se que
→
As armaduras longitudinais na direcção Y foram determinadas da mesma maneira, bem como
as armaduras necessárias para resistir aos momentos dados pelo método dos elementos finitos
(M. E. F) e os resultados estão apresentados no Quadro 3.12.
Anál. Estrut. Das Lajes vigadas De Bet. Arm. CAPÍTULO III
Keila S. G. Robalo. 52
Quadro 3.12 – Armaduras longitudinais da laje L1
M. das tabelas M.E.F
Asfinal(cm
2/m) Asfinal(cm
2/m) (%)
Direcção X Bordo adjacente a L2 4,89 11,40 57%
Vão 2,21 6,17 64%
Direcção Y
Bordo adjacente à consola 3,19 4,43 28%
Bordo adjacente à L4 7,45 11,22 34%
Vão 3,04 3,25 7%
Da análise comparativa dos esforços dados pelos dois métodos notou-se que a máxima
diferença é de aproximadamente 63%, porém, ao nível das quantidades das armaduras
longitudinais constata-se através do Quadro 3.12 que a máxima diferença entre os modelos é
de 64%.
CAPÍTULO IV
Keila S. G Robalo. 53
4. ANÁLISE ESTRUTURAL DAS LAJES FUNGIFORMES
As lajes fungiformes são lajes que apoiam directamente nos pilares e são dimensionadas quer
para acções verticais quer para acções horizontais, pois nesse tipo de laje o efeito de pórtico é
garantido pela própria laje.
A determinação dos esforços de dimensionamento neste tipo de lajes é feita com base num
método comprovado, como o método das grelhas, no qual a laje é idealizada como um
conjunto de elementos discretos interligados, o dos elementos finitos, o das charneiras
plásticas e o do pórtico equivalente (EC2-1-1).
Neste capítulo, o estudo focaliza-se na análise dos esforços nas lajes fungiformes recorrendo à
simplificação permitida pelo REBAP e Eurocódigo 2 (método dos pórticos equivalentes) e
método dos elementos finitos através da aplicação do programa de cálculo Sap2000. È
adoptado um pavimento tipo, no qual são aplicados os dois modelos e posteriormente é feita a
análise comparativa dos esforços obtidos.
Antes de desenvolver as questões relacionadas com a análise dos esforços das lajes
fungiformes é feita uma abordagem sucinta dos aspectos relacionados com a sua concepção e
geometria.
4.1 Generalidades
As lajes fungiformes são lajes que apoiam directamente nos pilares, e podem ser maciças ou
aligeiradas (Marchão e Appleton, 2007).
Os pilares podem ter ou não espessamento da sua secção transversal nas proximidades da
ligação com a laje, sendo esse espessamento denominado de capitel, que tem como principal
finalidade evitar o fenómeno de punçoamento na laje. As lajes também podem apresentar um
aumento da espessura próximo do pilar, conhecido nos Estados Unidos como drop panel.
Essa técnica é aplicável sempre que há um elevado momento negativo nessa região ou então
sempre que a espessura necessária para transmitir as acções verticais aos pilares excede a
exigida pela flexão. Há casos, em que é adoptada uma solução com os dois elementos,
(Henrichs, 2003).
Figura 4.1– Laje fungiforme com capitel e com espessamento (Henrichs, 2003).
As lajes fungiformes maciças normalmente são utilizadas em vãos na ordem dos 4 a 6 metros
e para cargas de utilização de valor moderado. No caso de cargas maiores e vãos entre 6 a 10
metros essa solução só é aconselhável se caso o pilar for munido de capitel ou então realizar-
se-á um aumento da espessura da laje junto ao pilar.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 54
Figura 4.2 – Laje fungiforme maciça (Ramos, 2006).
As lajes fungiformes aligeiradas são lajes constituídas por um sistema de nervuras nas duas
direcções, combinado com uma zona maciça junto do pilar e eventualmente com vigas no
alinhamento dos pilares que se designam por bandas de acerto, com altura igual à espessura
da laje. O uso deste tipo de bandas permite uma maior resistência para transmitir esforços
transversos e momentos aos pilares, fornecendo maior resistência e rigidez para suportar
forças horizontais. A zona aligeirada pode ser feita com moldes recuperáveis ou com moldes
embebidos e podem ter dimensões variáveis. A zona maciça junto ao pilar geralmente tem
espessura igual à da laje e a sua largura depende da localização dos pontos de momentos
nulos. Normalmente é considerado que esses pontos encontram-se a uma distância entre o
eixo do pilar e a extremidade do maciço não inferior a 0,15 e não superior a 0,20 do vão
correspondente (Trindade, 2009).
Figura 4.3 – Laje aligeirada com moldes recuperáveis e com moldes embebidos (Ramos, 2006
e Martins, 2009).
No Quadro 4.1 apresenta-se, consoante o tipo de laje fungiforme e em função do seu vão
maior e da sua esbelteza, a espessura mínima a adoptar no caso de laje sujeita a sobrecarga
inferior a 5kN/m2, sendo que os valores apresentados foram obtidos tendo em conta o controlo
indirecto da deformação e o nível de esforços na laje (momento flector, punçoamento e
esforço transverso).
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 55
Quadro 4.1 – Espessuras a adoptar numa laje fungiforme (Marchão e Appleton, 2009)
O quadro apresentado acima, para além de dar informações sobre a espessura mínima a
adoptar para cada tipo de laje, indica também o intervalo dos vãos que se utiliza normalmente
para cada tipo de laje (ver zona cinzenta do Quadro 4.1).
Na Secção 7.4.2 do EC2 e no Anexo I desta dissertação encontram-se expressões que
permitem determinar a relação entre a altura útil e o vão maior da laje fungiforme. No caso
das lajes fungiformes em que o vão é superior a 8,5 metros e que suportam divisórias que
possam ser danificadas por flechas excessivas, o EC2-1-1 aconselha que os valores de L/d
dados pela Expressão I.2 ou I.3 devem ser multiplicados por 8,5/leff (leff em metros, ver
Anexo I).
Em relação aos pilares as dimensões a adoptar dependem da sua forma e da possibilidade de
ter ou não capitel (Montoya et al, 2000). Se o pilar for rectangular ou quadrangular as
dimensões mínimas são as seguintes:
Figura 4.4 – Dimensões mínimas dos pilares.
Se o pilar for circular faz-se primeiramente a analogia com pilares quadrados conforme
ilustrado a seguir.
Figura 4.5 – Analogia dos pilares circulares com pilares quadrados.
Sendo:
h- espessura da laje;
hc – espessura do capitel;
Lb – maior vão na direcção bo (adjacente);
Ll – maior vão na direcção lo (adjacente);
D – diâmetro do pilar.
lo
bo
h
hc
D2
1
bo
bo
bo ≥ 25 cm
bo ≥ h+hc
bo ≥ Lb/20
lo≥ 25 cm
lo ≥ h+hc
lo ≥ Ll/20
P1=P2→ D=2+bo2 → bo=
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 56
4.2 Análise das lajes fungiformes pelo método dos pórticos
equivalentes
O método dos pórticos equivalentes é um processo simplificado para a determinação dos
esforços actuantes nas lajes fungiformes que consiste, conforme citado no EC2-1-1, na:
1. Divisão da laje longitudinalmente e transversalmente em pórticos constituídos por pilares
e por troços de lajes compreendidos entre as linhas médias dos painéis adjacentes.
hfh
Figura 4.7 – Pórticos equivalentes na direcção Y (estrutura com um piso).
2. Determinação das cargas actuantes em cada pórtico. Nas lajes fungiformes, ao contrário do
que acontece nas lajes vigadas, as cargas são aplicadas na totalidade para ambas as direcções.
Essas cargas correspondem à largura da travessa do pórtico multiplicada pelo valor das cargas
actuantes, psd.
Figura 4.8 – Cargas a considerar nos pórticos.
Pórtico
1y
Pórtico
2y
Pórtico
3y
Lx1 Lx2
Lx1/2 Lx1/2 Lx2/2 Lx2/2
Ly
2L
y1
Ly1/2
Ly1/2
Ly2/2
Ly2/2
Lx1/2 Lx1/2 Lx2/2 Lx2/2
Psd x (Ly1/2)
Psd x (Ly1/2+Ly2/2)
Psd x (Ly2/2)
Psd x (Lx1/2) Psd x (Lx1/2+Lx2/2) Psd x (Lx2/2)
Figura 4.6 – Pórticos equivalentes na direcção X (estrutura com um piso).
Pórtico 1x
Pórtico 2x
Ly
2L
y1
Ly1/2
Ly1/2
Ly2/2
Ly2/2 Pórtico 3x
Lx1 Lx2
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 57
Para as cargas verticais (sobrecarga e cargas permanentes) a análise é feita considerando a
rigidez total da travessa.
Figura 4.9 – Acções verticais e geometria do pórtico 2y.
Para acções horizontais (vento e sismo) deve ser considerado apenas 40% da rigidez da
travessa (REBAP considera 50%), de modo a reduzir os momentos flectores transmitidos
entre a laje e o pilar.
(4.2)
3. Determinação dos momentos flectores máximos nos apoios e nos vãos de cada pórtico.
4. Divisão dos pórticos em faixas sobre os pilares e faixas centrais. Segundo EC2-1-1 a
divisão dos pórticos em faixas pode ser feita conforme ilustrado na Figura 4.10.
Figura 4.10 – Divisão dos pórticos em faixas (EC2-1-1).
Da Figura 4.10 constata-se que a faixa sobre os pilares tanto na direcção X como na direcção
Y é definida pelo menor valor entre ly/4 e lx/4, ao contrário do REBAP que considera para o
pórtico na direcção X a faixa sobre pilar igual a ly/4 e na direcção Y igual a lx/4.
Quando existem capitéis de largura maior que ly/3, poderá considerar-se para largura das
faixas sobre os pilares a largura dos capitéis e a largura das faixas centrais deverá ser ajustada
em conformidade, (EC2-1-1).
5. Distribuição dos momentos flectores nas faixas sobre os pilares e nas faixas centrais de
acordo com as condições citadas no Quadro 4.2.
Quadro 4.2 – Distribuição simplificada dos momentos flectores numa laje fungiforme
segundo EC2 e REBAP (Carmo, 2010).
Momentos negativos Momentos positivos
Faixa sobre pilares 60 % - 80 % (REBAP 75%) 50 % - 70 % (REBAP 55%)
Faixa central 40 % - 20 % (REBAP 25%) 50 % - 30 % (REBAP 45%)
NOTA: O total dos momentos negativos e positivos, a resistir conjuntamente pelas faixas sobre pilares e
pelas faixas centrais, deverá ser sempre igual a 100 %.
Pórtico 2y Psdv.(Lx1/2+Lx2/2)
Ly1 Ly2
- Faixa sobre o pilar
- Faixa central
A
B
Secção transversal da laje
(4.1)
Lx1/2+Lx2/2
hlaje
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 58
No caso de haver vigas de bordo devidamente dimensionadas à torção, os momentos
transferidos para os pilares de bordo ou de canto deverão ser limitados ao momento resistente
de uma secção rectangular igual a 0,17.be.d2.fck, sendo be calculado conforme ilustrado na
Figura 4.11. O momento positivo no tramo de extremidade deverá ser calculado em
conformidade (EC2-1-1).
a) Pilar de bordo b) Pilar de canto
- Bordo da laje
Nota: z pode ser cz e y pode ser> cy
Figura 4.11 – Largura efectiva, be, de uma laje fungiforme (EC2-1-1).
Já o REBAP no artigo 119.2 preconiza que no caso em que a travessa do pórtico extremo se
apoiar lateralmente numa parede ou numa viga de bordadura de altura não inferior a 1,5 vezes
a espessura da laje, os momentos flectores na faixa sobre os apoios podem ser considerados
iguais a um quarto dos resultantes da aplicação das percentagens definidas no Quadro 4.2.
Essa parede ou a viga deve ser dimensionada para a carga correspondente à faixa da travessa
sobre apoio, acrescida obviamente das cargas que lhe são directamente aplicadas.
A figura que se segue ilustra a forma como o momento máximo do pórtico equivalente é
distribuído nas faixas sobre os pilares e central.
Figura 4.12 – Distribuição dos momentos nas faixas do Pórtico 2Y.
A
M4
M a
poio
Pó
rtic
o
equiv
alen
te
M a
po
io
M v
ão
M1
M3M4
M2 M2
Pórtico 2y
0,25Lx20,25Lx10,25Lx1 0,25Lx2
M1
M2 M2
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 59
Considerando os coeficientes definidos pelo REBAP, já que esses pertencem ao intervalo
citado pelo EC2-1-1, os momentos M1 (momento negativo na faixa sobre os pilares), M2
(momento negativo na faixa central), M3 (momento positivo na faixa sobre os pilares), e M4
(momento positivo na faixa central) podem ser calculados da seguinte forma:
(4.3)
(4.4)
(4.5)
ã
(4.6)
O método dos pórticos equivalentes é adequado para lajes sujeitas predominantemente a
cargas uniformemente distribuídas e para as quais seja possível considerar um sistema regular
de pórticos ortogonais.
Na situação em que há uma distribuição irregular dos pilares a aplicação desse métodos
método só é aconselhável se os pilares apresentarem no máximo um desvio de 10% em
relação ao alinhamento dos demais, (Pedrozo, 2008 e Montoya et al).
Figura 4.13 – Disposição dos pilares (Montoya et al).
As lajes com aberturas também podem ser analisadas recorrendo ao método dos pórticos
equivalentes, desprezando as aberturas e fazendo passar pelos seus lados uma área de
armadura igual à que é interrompida pela abertura, desde que as suas dimensões e
posicionamento obedeçam aos seguintes limites máximos, (Martins, 2009):
Intersecção das faixas sobre pilar:
(a1, a2)
(4.7)
Intersecção das faixas centrais:
(b1, b2)
(4.8)
Intersecção da faixa sobre o pilar com a faixa central:
(c1, c2)
(4.9)
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
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Figura 4.14 – Limites máximos para a aplicação do método do pórtico equivalente, na análise
de lajes fungiformes com aberturas (Martins, 2009).
4.2.1 Aplicação do Modelo
Para a aplicação deste modelo foi escolhida a laje maciça fungiforme do 1º piso do edifício
apresentado no Capítulo II deste documento. Os pilares são de secção quadrangular,
0,30mx0,30m.
Figura 4.15 – Pavimento tomado como exemplo para a análise dos esforços.
a2
L2/2
Faixa sobre o pilar Faixa sobre o pilar
Fai
xa
sobre
o p
ilar
Fai
xa
sobre
o p
ilar
Faixa central
Fai
xa
centr
al
L1/2 L1/4L1/4
L1
e2d2
d1e1d1
L2/4
L2
L2/4
c1
c2
b1
b2
a1
P1.1 P1.2 P1.3
5.00 5.00 3.00 3.00 4.00
5.0
03
.50
3.5
01
.75
1.5
0
P1.4 P1.5 P1.6
P1.7 P1.8 P1.9 P1.10 P1.11 P1.12
P1.13 P1.18P1.14 P1.15 P1.16 P1.17
P1.19 P1.24P1.20 P1.21 P1.22 P1.23
P1.25 P1.26
2.0
0
2.00
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 61
Como pode-se constatar, a laje fungiforme adoptada para a análise (Figura 4.15) apresenta
aberturas com dimensões superiores aos limites mínimos citados anteriormente, logo pode-se
concluir, à prior, que a aplicação do modelo dos pórticos equivalentes na análise deste
pavimento pode não ser uma boa opção. Contudo, foi feita a análise usando o referido
método, com base nas simplificações que o tornam viável, mas que podem conduzir a
algumas discrepâncias entre os valores obtidos nos cálculos e os valores reais.
É de referir também que podia adoptar-se uma concepção mais económica através da redução
do número dos pilares, mas, de modo a atingir o objectivo pretendido tentou-se obter uma
estrutura com distribuição regular dos pilares. Desta forma torna-se mais viável a aplicação do
método dos pórticos equivalente.
Posteriormente será feita uma outra análise utilizando um método mais rigoroso para esse
cenário com o objectivo de avaliar as diferenças entre os dois métodos de cálculos.
Os dados utilizados na modelação:
Betão da classe C25/30:
fck=25MPa;
Ec=31GPa
Coeficiente de Poisson, ν=0,15.
Divisão da estrutura em pórticos ortogonais:
Figura 4.16 – Pórticos na Direcção X.
cxbcb
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P1.12- significa pilar número 12 do piso 1.
Na definição dos pórticos na direcção X foram ignorados os pilares 25 e 26.
Devido à existência da abertura, o Pórtico 4x foi dividido em dois pórticos independentes,
sendo que o primeiro é definido pelos pilares P19, P20 e P21 e o segundo pelos pilares P22,
P23 e P24.
Os pórticos 3y e 4y foram definidos ignorando a existência da abertura adjacente ao pilar P9.
Espessura da laje
O pavimento em estudo é maciço e está sujeito a uma sobrecarga inferior a 5 kN/m, portanto a
sua espessura pode ser estimada pela expressão:
. O maior vão do pavimento é de 5
metros, logo h a adoptar deve pertencer ao intervalo:
. Adoptou-se
para o cálculo, h igual a 0,20m.
Quantificação e combinação das acções actuantes no pavimento
Foram consideradas apenas as cargas verticais e essas foram determinadas a partir das
dimensões adoptadas para a secção transversal da laje, do peso específico dos materiais e do
uso a que se destina o pavimento. Sendo assim as cargas actuantes no pavimento, cargas
permanentes e cargas variáveis, foram determinadas da seguinte forma:
Carga permanente, g:
Peso próprio: 25kN/m3×0,20m=5kN/m2
Revestimentos: = 1,5kN/ m2
Figura 4.17 – Pórticos na Direcção Y.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
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Paredes divisórias: = 2kN/m2
Carga variável, q:
Sobrecarga: = 2kN/m2
Psd=1,5 x (q+g) =15,75kN/m2
Carregamentos nos Pórticos
O carregamento em cada pórtico é dado pela expressão LpórticoxPsd. Nos casos dos pórticos que
apresentam variabilidade da largura ao longo da sua extensão, esta variabilidade foi tida em
conta nos cálculos dos carregamentos. Por exemplo, no Pórtico 2x os carregamentos a
considerar foram 4,25x15,75=66,94 kN/m
e 2,5x15,75=39,38kN/m. Na figura seguinte
apresentam-se os carregamentos no Pórtico 2x e os carregamentos nos restantes pórticos
encontram-se no Anexo II.
Figura 4.18- Carregamentos no pórtico2x
Cálculo dos momentos nos pórticos equivalentes:
Para o cálculo dos momentos, o pórtico equivalente foi modelado no programa SAP2000
através do elemento do tipo barra e com base na formulação de Timoshenko. Cada pórtico é
constituído por pilares de secção 0,30 x 0,30 e vigas com altura igual à da laje e largura igual
à largura da travessa, (por exemplo para o Pórtico 1x, as vigas apresentam uma secção de
4mx0,20m). Na figura que se segue apresenta-se o modelo de cálculo dos pórticos, e como se
pode verificar tentou-se simular a rigidez real da ligação laje-pilar.
szzzzzzzzzg
gvfvgnbn
66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94kN/m 66,94 k/m
66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m 66,94 kN/m
39,38 kN/m
66,94kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38kN/m
66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m
66,94kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 66,94 kN/m 39,38 kN/m
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Figura 4.19 – Modelo de cálculo dos pórticos.
Para os pórticos que apresentam algumas irregularidades geométricas a modelação foi feita
considerando que todo o pórtico tem a mesma largura, sendo a largura adoptada foi a maior.
Nos quadros que se seguem apresentam os valores dos momentos do piso em análise.
Quadro 4.3 – Momentos máximos nos pórticos longitudinais
Pórtico Troço Ltroço [m] Msd apoio1 [kN.m] Msd vão [kN.m] Msd apoio2 [kN.m]
1x
Externo 1 5,00 -77,21 85,21 -146,13
Interno1 5,00 -141,46 71,91 -108,48
Interno 2 3,00 -75,30 11,24 -43,98
Interno 3 3,00 -43,19 17,52 -63,52
Externo2 4,00 -77,96 61,43 -51,18
2x
Externo1 5,00 -80,28 91,38 -155,34
Interno 1 5,00 150,03 78,13 -112,10
Interno 2 3,00 -71,50 0,83 -35,86
Interno 3 3,00 -41,43 20,97 -67,25
Externo2 4,00 -82,35 66,04 -53,32
3x
Externo 1 5,00 -70,41 73,09 -127,97
Interno1 5,00 -123,45 64,61 -91,89
Interno 2 3,00 -51,14 -5,30 -23,75
Interno 3 3,00 -32,77 18,74 -53,79
Externo2 4,00 -68,28 52,62 -47,00
4x' Externo1’ 5,00 -70,77 72,09 129,62
Externo 2' 5,00 -129,62 72,09 -70,77
4x'' Externo 1'' 3,00 -26,06 23,18 -51,62
Externo2’’ 4,00 -69,21 52,95 -45,42
O Ltroço é o comprimento do vão dos vários tramos de cada pórtico.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
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Quadro 4.4 – Momentos máximos nos pórticos transversais
Pórtico Troço Ltroço [m] Msd apoio1 [kN.m] Msd vão [kN.m] Msd apoio2 [kN.m]
1y
Externo 1 1,50 --- -11,08 -44,30
Interno1 5,00 -69,97 48,87 -78,42
Interno 2 3,50 -51,79 15,31 -38,20
Interno 3 3,50 -33,85 17,45 -51,85
Externo2 1,75 -60,30 -15,08 ---
2y
Externo 1 1,50 --- -22,15 -88,59
Interno1 5,00 -128,76 105,69 -152,04
Interno 2 3,50 -112,25 26,59 -75,75
Interno 3 3,50 -67,86 32,26 -108,80
Externo2 1,75 -120,59 -30,15 ---
3y
Externo 1 1,50 --- -17,72 -70,88
Interno1 5,00 -113,97 83,24 -109,03
Interno 2 3,50 -82,87 5,79 -39,84
Interno 3 3,50 -43,06 24,42 -28,71
Externo2 1,75 -18,94 2,45 -6,30
4y
Externo 1 1,50 --- -13,29 -53,16
Interno1 5,00 -88,27 59,74 -87,56
Interno 2 2,00 -64,23 17,71 -33,06
Interno 3 3,50 -29,73 12,67 -17,29
Externo2 1,75 -11,66 1,66 -3,11
5y
Externo 1 1,50 --- -15,51 -62,02
Interno1 5,00 -94,30 70,99 -108,29
Interno 2 3,50 -75,58 20,09 -53,08
Interno 3 3,50 -47,21 23,60 -74,42
Externo2 1,75 -84,42 -21,11 ---
6y
Externo 1 1,50 --- -8,86 -35,44
Interno1 5,00 -57,24 38,21 -63,22
Interno 2 3,50 -40,24 12,72 -30,79
Interno 3 3,50 -27,25 14,24 -40,74
Externo2 1,75 -48,23 -12,06 ---
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Divisão dos pórticos em faixas
Figura 4.20- Divisão dos pórticos na direcção x em faixas sobre pilares e faixas centrais
segundo EC2-1-1.
Figura 4.21 – Divisão dos pórticos na direcção y em faixas sobre pilares e faixas centrais
segundo EC2-1-1.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
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Distribuição dos momentos nas faixas sobre o pilar e nas faixas centrais
Os momentos foram distribuídos nas faixas admitindo os coeficientes de distribuição
estipulados pelo REBAP, sendo estes pertencentes ao intervalo definido pelo EC2 (ver
Quadro 4.2). No Quadro 4.5 apresenta-se a distribuição dos momentos no pórtico 2x, os
resultados dos restantes pórticos encontram-se no Anexo II.
Quadro 4.5 – Distribuição dos momentos no Pórtico 2x
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa LFaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
2x
Externo 1
Msd
(apoio1) -80,28
Central 2,13 0,25 -20,07 -9,44
Sobre o pilar 2,13 0,75 -60,21 -28,33
Msd (vão) 91,38 Central 2,13 0,45 41,12 19,35
Sobre o pilar 2,13 0,55 50,26 23,65
Msd
(apoio2) -155,34
Central 2,13 0,25 -38,84 -18,28
Sobre o pilar 2,13 0,75 -116,51 -54,83
Interno 1
Msd
(apoio1) -150,03
Central 2,13 0,25 -37,51 -17,65
Sobre o pilar 2,13 0,75 -112,52 -52,95
Msd (vão) 78,13 Central 2,13 0,45 35,16 16,55
Sobre o pilar 2,13 0,55 42,97 20,22
Msd
(apoio2) -112,10
Central 2,13 0,25 -28,03 -13,19
Sobre o pilar 2,13 0,75 -84,08 -39,56
Interno 2
Msd
(apoio1) -71,50
Central 1,75 0,25 -17,88 -10,21
Sobre o pilar 0,75 0,75 -53,63 -71,50
Msd (vão) 0,83 Central 1,75 0,45 0,37 0,21
Sobre o pilar 0,75 0,55 0,46 0,61
Msd
(apoio2) -35,86
Central 3,00 0,25 -8,97 -2,99
Sobre o pilar 0,50 0,75 -26,90 -53,79
Interno 3
Msd
(apoio1) -41,43
Central 2,75 0,25 -10,36 -3,77
Sobre o pilar 1,50 0,75 -31,07 -20,72
Msd (vão) 20,97 Central 2,75 0,45 9,44 3,43
Sobre o pilar 1,50 0,55 11,53 7,69
Msd
(apoio2) -67,25
Central 2,75 0,25 -16,81 -6,11
Sobre o pilar 1,50 0,75 -50,44 -33,63
Externo 2
Msd
(apoio1) -82,35
Central 2,38 0,25 -20,59 -8,67
Sobre o pilar 1,88 0,75 -61,76 -32,94
Msd (vão) 66,04 Central 2,38 0,45 29,72 12,51
Sobre o pilar 1,88 0,55 36,32 19,37
Msd
(apoio2) -53,32
Central 2,38 0,25 -13,33 -5,61
Sobre o pilar 1,88 0,75 -39,99 -21,33
As Figuras 4.22 e 4.23 ilustram a distribuição dos momentos nas lajes. De acordo com o
Quadro 4.5 e os que se encontram no Anexo II salienta-se que num mesmo nó (na mesma
direcção) existem diferentes valores dos momentos, devido ao facto das faixas terem
comprimentos diferentes e também o momento à esquerda e à direita do pilar são diferentes.
No entanto, para o efeito de dimensionamento adoptou-se para cada nó o momento máximo
em valor absoluto.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 68
á
á
Figura 4.22 – Momentos flectores na direcção X. dfgdf
á
á
Figura 4.23 – Momentos flectores na direcção Y.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 69
4.3 Análise das lajes fungiformes maciças pelo método dos
elementos finitos
O método dos elementos finitos é um método numérico que permite a análise de lajes ou de
outros elementos estruturais mais complexos. Actualmente esse método é vulgarmente
utilizado, devido a sua eficácia e facilidade com que permite avaliar o comportamento da
estrutura.
Neste trabalho o método dos elementos finitos é aplicado à laje descrita no subcapítulo
anterior, onde se aplicou o método dos pórticos equivalentes. Os dados admitidos para o
cálculo são também iguais.
4.3.1 Modelação
A laje foi modelada no programa Sap2000, através dos elementos finitos de casca, tendo em
conta a deformação de corte (Laje de Ressin-Meddlin). Por simplificação, os pilares foram
modelados como apoios duplos, uma vez que a sua restrição à rotação da laje é muito fraca.
A discretização da laje foi feita através de malhas de 0,5mx0,5m, sendo estas refinadas para
0,25mx0,25m nas regiões próximas dos pilares.
Figura 4.24 - Discretização da laje e condições de apoios.
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 70
4.3.2 Apresentação dos resultados:
Os resultados dos momentos obtidos para o modelo acima estão descritos nas seguintes
figuras:
M11
-máximo=-135,16 kN.m/m M11
+máximo= 40,4 kN.m/m
Figura 4.25 – Momento flector na direcção X (M11).
M22
-máximo=-142,09 kN.m/m M22
+máximo= 34,73 kN.m/m
Figura 4.26 – Momento flector na direcção Y (M22).
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 71
M12
-máximo= -53,75kN.m/m M12
+máximo= 38,74kN.m/m
Figura 4.27 – Momento torsor (M12).
4.3.3 Redução dos momentos negativos máximos
O EC2-1-1 refere na Secção 5.3.2.2 (3) que nos “casos em que a viga ou a laje é betonada
monologicamente com os apoios, deverá considerar-se para momento de cálculo crítico no
apoio o valor à face do apoio. Em geral, deverá considerar-se para o momento de cálculo e a
reacção transmitidos ao apoio (por exemplo, pilar, parede, etc.) o maior dos valores elásticos
ou redistribuídos. O momento à face do apoio não deverá ser inferior a 0,65 do momento de
encastramento.”
Na Secção 5.3.2.2 (4) menciona ainda que “independentemente do método de análise
utilizado, no caso de continuidade de uma viga ou de uma laje sobre um apoio que se possa
considerar como não impedindo a rotação (por exemplo, sobre paredes), o valor de cálculo
dos momentos de apoio, calculados com base nos vãos iguais entre eixos dos apoios, poderá
ser reduzido de uma quantidade ΔMed”:
Δ
(4.10)
Onde Fed,sup é a reacção de apoio e t é a largura do apoio.
Figura 4.28 - Redução do momento sobre o apoio (Carmo, 2010)
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 72
Por exemplo, o momento negativo máximo na direcção X é de -135,16 kN.m/m e dá-se no
pilar P8 cuja reacção é de 437,95 kN. Sendo assim, o momento de dimensionamento é :
4.4 Análise comparativa dos esforços obtidos pelo método dos
pórticos equivalentes e pelo método dos elementos finitos
A análise comparativa dos momentos obtidos pelos dois métodos foi feita em três regiões
consideradas críticas: região dos apoios, vãos centrais e nas regiões das aberturas. Na Figura
4.29 apresentam-se as diferentes zonas da laje sujeitas à análise comparativa.
Figura 4.29 – Zonas da laje sujeitas à análise comparativa dos esforços.
4.4.1 Análise comparativa dos momentos flectores nos vãos
Corte BB’
Figura 4.30 – Diagrama de momentos flectores Mx na secção BB'.
A Figura 4.30 mostra que os momentos dados pelos dois métodos seguem a mesma tendência,
porém, os obtidos pelo método dos elementos finitos são maiores.
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 73
Corte HH’:
Figura 4.31 – Diagrama dos momentos flectores My na secção HH’.
Tal como acontece no corte BB’, os momentos obtidos pelos dois métodos seguem a mesma
tendência, mas neste caso são aproximadamente iguais, exceptuando os momentos no
intervalo entre 8 a 11 metros. Isto pode ser explicado pe lo facto de ser uma zona próxima das
aberturas, onde no cálculo dos momentos pelo método dos pórticos equivalentes foram feitas
algumas simplificações, como por exemplo, a consideração de uma largura constante ao longo
do pórtico.
4.4.2 Análise comparativa dos momentos flectores nos apoios.
Corte AA’: Extremidade da laje
Figura 4.32– Diagrama de momentos flectores Mx na secção AA’.
Da Figura 4.32 pode-se observar que nos extremos do pavimento os momentos flectores nos
apoios dados pelo método dos pórticos equivalentes são superiores aos determinados pelo
método dos elementos finitos, tendo uma diferença que oscila entre 16% a 51%.
Outra particularidade que se pode averiguar é que segundo o método dos pórticos
equivalentes os vãos possuem tracção nas fibras superiores, enquanto que no método dos
elementos finitos estes possuem tracção nas fibras inferiores. Estas situações requerem
atenção, mas no caso em estudo os valores dos momentos obtidos são irrelevantes.
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF - Redução dos momentos sobre os pilares
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 74
Corte CC’: faixa interna
Figura 4.33 – Diagrama dos momentos flectores Mx na secção CC’.
A Figura 4.33 ilustra explicitamente o facto de que nos apoios os momentos flectores
calculados pelo método dos elementos finitos são significativamente superiores aos
determinados pelo método dos pórticos equivalentes, com uma diferença que varia entre 41 a
60%. Essas diferenças são reduzidas para 33 a 54 % devido a correcção dos momentos nos
apoios.
Nos vãos verifica-se que os momentos negativos determinados pelo método dos elementos
finitos também são maiores que os momentos dados pelo método dos pórticos equivalentes,
exceptuando o caso do vão limitado pelos pilares P2 e P8. Nesse vão os momentos negativos
determinados pelo método dos elementos finitos são inferiores, existindo zonas onde a
diferença entre os momentos calculados pelos dois métodos atinge 39%.
Corte DD’
Figura 4.34 - Diagrama dos momentos flectores Mx na secção DD’.
A Figura 4.34 mostra que nos apoios extremos, P21 e P25, os momentos determinados pelo
método dos pórticos equivalentes são superiores aos determinados pelo método dos elementos
finitos, tal como acontece na Figura 4.32, enquanto que nos apoios internos os momentos
dados pelo método dos elementos finitos são maiores.
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF - Redução dos momentos sobre os pilares
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF - Redução dos momentos sobre os pilares
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 75
P25 é um pilar que foi ignorado no cálculo dos momentos na direcção X pelo método dos
pórticos equivalentes, sendo que o momento ali considerado foi o momento obtido para a
faixa central do pórtico 4x’. De acordo com a Figura 4.34 pode-se concluir que a decisão
tomada origina valores que se aproximam muito dos momentos obtidos pelo método dos
elementos finitos.
No pilar P15 e nos extremos do pavimento, os momentos dados pelo método dos pórticos
equivalentes cobrem satisfatoriamente os momentos determinados pelo método dos elementos
finitos.
No pilar P9, apesar do momento do pico dado pelo método dos elementos finitos ser superior
aos momentos dados pelo método dos pórticos equivalentes, considera-se que este último
fornece valores aceitáveis, pois os momentos resultantes deste método são maiores que os
momentos nas faces do pilar obtido pelo método dos elementos finitos. Por outro lado, o
diagrama do momento dado pelo método dos pórticos equivalentes cobre eficazmente o
diagrama dos momentos dados pelo método dos elementos finitos.
Corte EE’
Figura 4.35– Diagrama dos momentos flectores Mx na secção EE’.
Na determinação dos momentos através do método dos pórticos equivalentes foi considerado
na zona da abertura uma largura superior à largura real da travessa, esta opção poderá
justificar a presença de momentos maiores que os dados pelo método dos elementos finitos.
Corte FF’
Figura 4.36 - Diagrama dos momentos flectores My na secção FF’.
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF - Redução dos momentos sobre os pilares
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF: Redução dos momentos sobre os pilares
Anál. Estrut. Das Lajes Fungiformes CAPÍTULO IV
Keila S. G. Robalo. 76
Conforme pode-se observar na Figura 4.36, os momentos obtidos através do método dos
elementos finitos são bastante superiores aos obtidos pelo modelo dos pórticos equivalentes,
excepto no pilar P4.
Corte GG’
Figura 4.37 – Diagrama dos momentos flectores My na secção GG’.
No ponto médio do P9 o método dos elementos finitos fornece resultados dos momentos
superiores aos determinados pelo método dos pórticos equivalentes, mas os momentos nas
faces do referido pilar, obtidos pelos dois métodos são semelhantes. Face a essa situação e
devido ao facto da área que cobre os momentos distribuídos dados pelo método dos pórticos
equivalentes ser praticamente igual à área do diagrama do modelo dos elementos finitos na
mesma região, pode concluir-se que o método dos pórticos equivalentes fornece valores
satisfatórios para a análise da laje junto ao pilar P9.
Nas zonas junto ao pilar P10 considera-se que os momentos obtidos pelo método dos pórticos
equivalentes apresentam algumas discrepâncias em relação aos resultados do outro método,
nomeadamente o traçado do diagrama dos momentos determinado por esse método não cobre
satisfatoriamente o diagrama dos momentos obtido pelo modelo dos elementos finitos.
4.4.3 Considerações gerais
Através da análise realizada constatou-se que há diferenças significativas entre os momentos
flectores dados pelos dois métodos. Notou-se que de um modo geral o método dos elementos
finitos oferece momentos superiores, razão pela qual pode-se concluir que os resultados dos
momentos dados pelo modelo dos pórticos equivalentes revelam insuficiências para a análise
ao estado limite último de resistência à flexão do pavimento analisado.
O método dos pórticos equivalentes não dá informação sobre o momento torsor na laje e
através do método dos elementos finitos é possível determinar esse esforço. No caso em
estudo obteve-se, através do método dos elementos finitos, momentos torsores que variam
entre -53,75kN.m/m e 38,74kN.m/m. Como se pode verificar isso acarretaria um aumento
significativo dos momentos de dimensionamento e consequentemente da quantidade de
armaduras longitudinais.
Face às situações descritas, pode-se concluir que o método dos pórticos equivalentes não
consegue representar adequadamente o comportamento da laje em estudo.
Método dos pórticos equivalentes
Método dos elementos finitos (MEF)
MEF: Redução dos momentos sobre os pilares
CAPÍTULO V
Keila S. G Robalo. 77
5. ANÁLISE DAS ESTRUTURAS ESPACIAIS PÓRTICADAS DE
BETÃO ARMADO
Os pórticos são estruturas reticuladas constituídos por pilares (elementos com esforço axial
não desprezável) e vigas (elementos sujeitos essencialmente a momentos flectores e a
esforços transversos).
A análise destas estruturas e não só deve ser feita através da utilização de modelos quer de
geometria quer do comportamento que idealizam adequadamente o comportamento da
estrutura. A escolha de um modelo adequado depende da solução estrutural escolhida, da
complexidade da estrutura, do carregamento actuante bem como das ferramentas de cálculo
disponíveis.
Segundo o EC2-1-1 o comportamento dos elementos estruturais é modelado com base numa
análise linear elástica ou com base em análise não lineares. A geometria da estrutura pode ser
definida com base nos modelos planos ou então com base nos modelos tridimensionais.
Neste capítulo o estudo centraliza-se na análise linear elástica da estrutura porticada
considerando dois tipos de modelação geométrica: plana e tridimensional. Os resultados
obtidos, tanto a nível de esforços como das quantidades de armaduras longitudinais, pelas
diferentes modelações estruturais são avaliados e comparados entre si. É de realçar que na
análise dos pórticos será adoptada sempre que possível as mesmas hipóteses de cálculos de
modo a minimizar as diferenças. Uma outra questão abordada neste capítulo é a análise da
influência do comportamento da laje nos pórticos, de modo a medir a sua contribuição para a
rigidez dessas estruturas.
Assim, começa-se por descrever os modelos estruturais a analisar, as caracteristicas dos
materiais e as acções a considerar. Posteriormente, para cada modelo estrutural determina-se
os esforços e as quantidades de armaduras. Finalmente, os resultados referentes a cada modelo
analisado são presentados e comparados.
5.1 Estrutura a analisar
A estrutura sujeita a análise comparativa trata-se do edifício de habitação apresentado no
Capítulo II. Para este estudo foi considerado que as plantas dos pavimentos são todos iguais
de modo a facilitar a elaboração dos modelos, e ainda não foi considerada a existência de
pavimentos como cave, cobertura e casa das máquinas, apesar de estes terem importância
considerável na definição e comportamento da estrutura real. O pé-direito foi considerado
constante em todos os pisos com valor de 2,7m e o vão de cálculo foi definido como a
distância entre os centros dos apoios.
Para a análise admitiu-se que o edifício em questão apresenta pilares com secção 0,30m x
0,30m, vigas com secção 0,30m x 0,50m e lajes com 0,21m de espessura. A laje de escadas
tem uma espessura 0,18m e considerou-se que os degraus têm um espelho com 0,17m de
altura e um cobertor com 0,30 de largura.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 78
Escolheu-se o betão da classe C25/30 e aço A400NR como material estrutural, cujas
características mecânicas consideradas foram: módulo de elasticidade, Ec=31GPa, fck=25MPa;
coeficiente de Poisson, ν=0,15, o peso específico, =25kN/m3 e fsyk=400MPa.
5.2 Quantificações e combinações das acções
Para a análise dos modelos estruturais apresentados considerou-se apenas as acções verticais
(sobrecarga e carga permanente). Portanto, nas lajes foram consideradas como acções
permanentes o seu peso próprio com valor de 5,25kN/m2, o peso do revestimento igual a 1,5
kN/m2, o peso das paredes divisórias igual a 2 kN/m
2 e ainda o peso da parede exterior na
região da Consola 2 com valor igual a 3,56kN/m2
(ver Anexo I e II). Como acções variáveis
considerou-se apenas a sobrecarga cujo valor é de 2kN/m2
em toda a laje, com excepção da
zona da consola a um metro da extremidade exterior onde admitiu-se uma sobrecarga de 5
kN/m2. Em relação às lajes de escadas as acções a considerar encontram-se no Anexo III. Por
simplificação admitiu-se que os carregamentos em todos os pisos são idênticos.
O carregamento actuante sobre as vigas é constituído pelo seu peso próprio, P(viga), que
nesse caso tem o valor de 3,75kN/m e o peso das paredes exteriores, P(p.ext), com valor de
8,91kN/m (ver Anexo III). Numa viga interna onde há uma separação dos apartamentos, para
além do peso próprio também considerou-se o peso da parede, P(p.int), com valor igual a
7,09kN/m (ver Anexo III). Nas vigas também devem ser consideradas as cargas provenientes
das lajes, das escadas e das outras vigas que nelas apoiam. Esta última acção é analisada de
modo diferente dependendo do tipo de modelo considerado, sendo isso um assunto a tratar
mais a frente.
Na modelação dos pórticos colocou-se no nó superior de cada pilar (piso a piso) uma força de
6,1kN, referente ao peso próprio do pilar, (Ppilar).
Para a verificação da segurança em relação aos estados limites últimos, considerou-se a
combinação fundamental das acções, PSd= 1,35g+ 1,5q, onde g são as acções permanentes e q
são as sobrecargas.
5.3 Modelação dos pórticos
Os pórticos podem ser analisados através de vários modelos ou esquemas estruturais, como
por exemplo, modelo de pórticos planos e modelo tridimensional dos pórticos sem laje e
modelo tridimensional incluindo as lajes.
Neste trabalho a estrutura em estudo foi analisada usando os três modelos citados, através do
programa Sap2000, onde as vigas e os pilares foram idealizados através dos elementos finitos
de barras, tendo em conta a deformação por corte (viga de Timoshenko) e as lajes foram
modeladas recorrendo aos elementos finitos shell-thickness (laje de Reissner-Mindlin).
A estruturafoi considerada encastrada ao nível da fundação em todos os modelos.
5.3.1 Modelação plana dos pórticos
A modelação plana da estrutura espacial mais adiante designada por Modelo 1 consiste na
separação de uma estrutura tridimensional em várias estruturas a duas dimensões sendo que
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 79
uma delas é a altura do edifício. A estrutura é representada por um conjunto de pórticos
planos independentes onde cada nó entre os elementos lineares possui três graus de liberdade,
duas translações (esforço axial e transverso) e uma rotação (Momento flector). A utilização
deste modelo não é adequada para estruturas que estejam sujeitas a grande esforços de torção,
ou seja, é mais apropriada para estruturas simétricas ou com pequenas assimetrias.
Nas figuras que se seguem apresentam-se os pórticos da estrutura a analisar.
Figura 5.1 – Pórticos Planos em planta
Figura 5.2– Pórticos Planos: vista posterior (Pórtico 1).
Nesta modelação as lajes não são consideradas. As cargas transmitidas das lajes para as vigas
(reacção das lajes) são determinadas por outros modelos (modelo das grelhas, método dos
elementos finitos, etc.) ou pela área de influência determinada pelas linhas de rotura (método
simplificado que permite determinar as reacções nos apoios das lajes rectangulares
submetidas a carregamento uniformemente distribuído).
Neste trabalho é usado o método da área de influência para a determinação das reacções das
lajes armadas em duas direcções. Este método permite determinar as reacções dos apoios
dessas lajes considerando, para cada apoio, a carga correspondente à área de influência
definida por triângulos ou trapézios. Estas áreas são obtidas traçando-se, a partir dos vértices,
rectas inclinadas de 45º entre dois apoios do mesmo tipo, 60° a partir do apoio encastrado, se
uhggg
hjkhg
Nas figuras que se seguem apresentam-se os pórticos da estrutura a analisar.
L1L3L2
Consola 1
105.44
Pórtico 1
Pórtico 3
Pórtico 6
Pórtico 8
Pórtico 5
Pórtico 4
Pórtico 2
Pórtico 7
Pórtico
9
Pórtico
10
Pórtico
11
Pórtico
13
Pórtico
14
Pórtico
15
Pórtico
12
P1 P2 P3 P4 P5
P10
P17 P18
P11
P1P12
P6 P8 P9P7
P14 P15P16
P19 P20 P21 P22
P1P13
P23 P24
L4
Consola 2 Consola 3
Consola 4 Consola 5
L5 L6L7
a)
dfngm
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 – Pórticos
Planos: a) em planta e b) vista posterior (Pórtico 1).
b)
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 80
o outro for simplesmente apoiado, 90° a partir do apoio simplesmente apoiado, ou encastrado,
quando o bordo perpendicular for livre.
Na Figura 5.3 apresenta-se a aplicação do referido método para a determinação das cargas nas
vigas.
Figura 5.3- Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas.
Na região junto ao pilar P13 as cargas aplicadas sobre as vigas foram simplificadas da
seguinte maneira:
Figura 5.4 – Simplificações adoptadas.
No projecto em análise constata-se que a viga do pórtico 12 apoia sobre a viga do Pórtico 4.
Portanto, esta última deve ser carregada com uma carga pontual de valor igual a 13,5kN
(g=13kN e q=0,5kN) oriunda da viga do Pórtico 12 (ver Anexo III). Essa carga foi
determinada considerando que a viga do pórtico 12 apoia na viga 4 por meio de um apoio
elástico (mola).
Nas Figuras 5.5 e 5.6 apresentam-se detalhadamente as cargas que foram consideradas para a
análise do pórtico tomado como exemplo (Pórtico 1). Os carregamentos considerados nos
bordo adjacente for livre.
Na Figura 4.2 apresentam-se aplicação do referido método.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1-
Reacção das lajes: áreas de influência determinadas pelas linhas de roturas.
maneira:
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Simplificações adoptadas
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 81
restantes pórticos foram determinados da mesma maneira e os resultados encontram-se no
Anexo III.
Figura 5.5 - Carga permanente no Pórtico 1.
Figura 5.6 – Sobrecarga no Pórtico 1.
A laje L2 é armada numa direcção (ver Anexo I), direcção essa que é paralela ao Pórtico1, por
isso considerou-se que o Pórtico 1 suporta apenas 1m do carregamento dessa laje. Dessa
forma parte da carga da laje L2 é duplicada e sendo assim é necessário subtrair no esforço
axial dos pilares a carga que é considerada duas vezes. Esse raciocínio foi aplicado em todas
as situações idênticas.
5.3.2 Modelação tridimensional dos pórticos
A modelação tridimensional da estrutura espacial é um modelo mais rigoroso uma vez que
possibilita a modelação estrutural incluindo todas as vigas e pilares do edifício e, ao contrário
do modelo plano, permite determinar os esforços devido à torção do edifício. Por isso, este
tipo de modelação é mais adequado para a análise de qualquer estrutura, inclusive com
assimetrias. O pórtico tridimensional quando combinado com o modelo das lajes permite a
análise da estrutura como um todo. De modo a avaliar a influência da laje na análise dos
pórticos, numa primeira fase é feita uma modelação sem considerar a laje e depois uma
modelação com laje.
P1 P2 P3 P4 P5
2.0 3.5
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 1)=10,13kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L1) =2*8,75=17,5kN/m
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola1)=10,13kN/m
P(p. ext.)= 8,91kN/m
g (L2)=1*8,75=8,75kN/m
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola2)=15,47kN/m
R(L
2)=
15
,31
kN
R(L
2)=
15
,31
kN
g (L3)=16,41kN/m
2.0
g (L3)=21,88kN/m
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola3)=10,13kN/m
g (L3)=16,41kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p. ext.)=8,91kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P1 P2 P3 P4 P5
2.0 3.5
q (Consola1)= 6 kN/m
q (L1)=2*2= 4 kN/m
q (Consola1)= 6 kN/m
q (L2)=1*2= 2 kN/m
q (Consola2)= 6 kN/m
q (L3)=3,75 kN/m
2.0
q (L3)=5 kN/m
q (Consola3)= 6 kN/m
q (L3)= 3,75 kN/m
R(L
2)=
3,5
kN
R(L
2)=
3,5
kN
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 82
Modelação sem laje
A modelação tridimensional dos pórticos sem laje (Modelo 2) é um modelo composto apenas
por vigas e pilares conforme ilustrado na Figura 5.7.
Figura 5.7 – Modelação tridimensional dos pórticos sem laje.
Os carregamentos a considerar neste tipo de modelação são determinados da mesma maneira
que no Modelo1 com excepção do carregamento proveniente do apoio indirecto da viga do
Pórtico 12 que nesse caso é feito automaticamente.
Modelação com laje
O modelo tridimensional da estrutura em que a laje é incluida na modelação (Modelo 3)
permite avaliar a interacção entre os elementos estruturais de forma mais precisa. Neste
modelo a transferência das cargas das lajes para as vigas, ao contrário do que acontece nos
outros modelos, é feita automaticamente de acordo com a rigidez de cada elemento.
Na Figura 5.8 apresenta-se a estrutura em análise num modelo tridimensional com laje.
Figura 5.8 – Modelação tridimensional dos pórticos com laje.
modelação tridimensional dos pórticos sem laje (Modelo 2) é um modelo composto apenas por
vigas e pilares conforme ilustrado na figura x.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Modelação tridimensional dos pórticos sem laje
Falar da discretização da laje
Na Figura 4.8 apresenta-se a estrutura em análise num modelo tridimensional com laje.
dtghjjjjjvmn
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Modelação tridimensional dos pórticos com laje.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 83
5.4 Apresentação e análise comparativa dos resultados
Depois de definidos os modelos procedeu-se ao cálculo de esforços. Neste caso realizou-se
uma análise linear elástica, como já referiu anteriormente. Dado ao elevado volume de
informação proviniente das referidas modelações, optou-se por apresentar e analisar os
resultados relativos a alguns elementos considerados representativos, como por exemplo as
vigas do 1º piso dos pórticos 1, 4, 10, 12 e 13 e os pilares P2 e P13 e P16 do 1º piso.
Antes de proceder à análise dos esforços convém realçar um pormenor importante sobre a
convenção dos sinais adoptados pelo programa Sap2000 que é diferente da utilizada em
Resistência dos Materiais, principalmente a nível dos esforços transversos. Neste caso o
programa utiliza convenção oposta à usada na em Resistência dos Materiais, ou seja, o
diagrama de esforço transverso é em tudo simétrico em relação ao diagrama que se obtém de
acordo com a convenção adoptada na Resistência dos Materiais. Em relação aos momentos
flectores e esforços axiais a convenção de sinais é exactamente a mesma que utilizada na
Resistência dos Materiais.
5.4.1 Esforços nas vigas seleccionadas
De modo a permitir a melhor comparação dos modelos apresentam-se nas figuras seguintes os
gráficos dos esforços (momento flector, esforço axial, esforço transverso e momento de
torção) resultantes da combinação fundamental das acções consideradas, nas vigas referidas
anteriormente.
Diagramas de esforços na viga do Pórtico 1
Figura 5.9 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 1 do 1º piso.
TGGHDHK
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P3 P4 P5
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 84
Figura 5.10 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 1 do 1º piso.
Figura 5.11 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 1 do 1º piso.
Figura 5.12 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 1 do 1º piso
De acordo com os diagramas de esforços transversos e de momentos flectores na viga do
Pórtico 1 apresentados nas Figuras 5.9, 5.10, constata-se que os Modelos 1 e 2 apresentam
resultados aproximados, enquanto que o Modelo 3 apresenta valores mais reduzidos para
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do piso 1
Bibliografia
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P3 P4 P5
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do 1º piso.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 –
Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do 1º piso.
-5
0
5
10
15
20
25
30
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P4 P3 P5
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 1 do 1º piso.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 –
Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 1 do 1º piso
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kN.m
m
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P4 P5 P3
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 85
esses dois esforços. Ao analisar o momento positivo máximo em cada troço, nota-se que as
diferenças entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 variam entre 20% e 40%. Em
relação aos momentos negativos máximos constata-se que as diferenças entre os dois
primeiros modelos e o Modelo 3 variam entre 28% e 47%.
Para a análise comparativa do esforço transverso toma-se como exemplo a secção à esquerda
do P3, onde verifica-se que a diferença entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 é da
ordem de 44% (esforço transverso máximo dado pelos três modelos são de 218,61kN,
217,14kN e 98,20kN, respectivamente).
De acordo com os valores dos esforços axiais apresentados na Figura 5.11 verifica-se também
que o Modelo 1 e Modelo 2 apresentam valores aproximados. Ao comparar os dois modelos
com o Modelo 3 verifica-se claramente que os resultados dos dois primeiros modelos são
superiores aos do Modelo 3 e com diferenças significativas, pois existem zonas da viga onde
esta diferença atinge 110%. Constata-se que nos apoios os valores dados pelos três modelos
seguem a mesma tendência ao contrário do que acontece nos vãos, pois segundo os Modelos 1
e 2 os esforços axial mantêm-se constante nos vãos, enquanto que no Modelo 3 o diagrama de
esforço axial segue a tendência de uma parábola. Uma outra constatação a fazer é que face ao
Modelo 3, as zonas perto dos apoios intermédios estão à compressão, o que não se verifica
nos outros modelos.
Ao observar os diagramas dos momentos torsores (Figura 5.12), a primeira constatação a
fazer é relativamente à sua forma. Para o Modelo 2 o diagrama do momento torsor é constante
ao longo do vão, enquanto que para o Modelo 3 o diagrama segue a mesma tendência que o
diagrama de esforço transverso, com o valor máximo junto aos apoios e mínimo nos vãos.
Nos apoios constata-se claramente que o momento torsor dado pelo Modelo 3 é superior ao
determinado pelo Modelo 2. Por exemplo, ao analisar a zona junto ao apoio P3 verifica-se que
no Modelo 3 o momento torsor máximo é de 10kN.m e no Modelo 2 esse esforço toma o
valor de 4,28kN, tendo portanto uma diferença de aproximadamente 60%. Dado que esses
momentos torsores são de compatibilidade, justifica-se a diferença entre os dois modelos, não
só entre os valores como também na forma dos diagramas, pelo facto que no Modelo 2 os
valores dos momentos torsores apresentados resultam da compatibilização das deformações
que surgem nas ligações entre as vigas e ainda entre estas e os pilares. Já no Modelo 3 o
momento torsor é resultante não só da ligação entre os elementos referidos anteriormente
como também entre as lajes e as vigas.
De um modo geral pode-se concluir que as diferenças entre os três modelos, neste caso, deve-
se principalmente à influência da laje na modelação. No Modelo 1 e 2 os esforços são
praticamente iguais porque foram admitidas as mesmas condições de carregamento
(determinação das cargas nas vigas foi realizada à parte). No Modelo 3 essas cargas foram
determinadas automaticamente através da introdução a laje na modelação. Esta última
hipótese julga-se ser a mais adequada uma vez que desta forma as cargas são distribuídas nas
vigas de acordo com a sua rigidez. De acordo com este cenário, pode-se concluir que modelar
vigas que se encontram nas condições idênticas às da viga do Pórtico1, pelo Modelo 1 e 2
pode acarretar custos desnecessários para a construção.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 86
Diagramas de esforços na viga do Pórtico 4
Figura 5.13 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 4 do 1º piso
Figura 5.14 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 4 do 1º piso.
Figura 5.15 – Diagramas dos esforços axiais na viga do Pórtico 4 do 1º piso
Figura 5.16 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso
yfffffffffffffff
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-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P12 P13
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 4 do 1º piso.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 1 do 1º piso.
Bibliografia
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 1 do piso 1
Bibliografia
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P3 P4 P5
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P9 P10
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos flectores na viga do pórtico 4 do 1º piso
-40
-20
0
20
40
60
80
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P9 P10 P12 P13
YTUUIK
GHGJHK
-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P1 P2 P3 P4 P5
P12 P13 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 4 do 1º piso.
P1
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 –
Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 4 do 1º piso
-9
-7
-5
-3
-1
1
3
5
7
9
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
kN.m
m
Modelo 2
Modelo 3
P1 P1
P12 P13
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 87
Nesta viga, ao contrário do que aconteceu na viga do Pórtico 1, há diferenças significativas
nos esforços obtidos pelos Modelos 1 e 2. Como se verifica na Figura 5.13, o momento
máximo junto ao apoio P12 dado pelo Modelo 2 é de 4kN.m e pelo Modelo 1 é de 10,5kN.m,
tendo portanto uma diferença entre si de aproximadamente 61%. No vão acontece o contrário,
pois o maior momento é dado pelo Modelo 2 com valor de 28,97kN.m e com diferença de
aproximadamente 23% do Modelo 1, cujo valor do momento máximo obtido é de 22,25kN.m.
Os momentos junto dos apoios dados pelo Modelo 3 são superiores aos resultantes do Modelo
1 e 2. Ao analisar a zona junto do apoio P12, verifica-se que o momento dado pelo Modelo 3
difere cerca de 55% do Modelo1 e aproximadamente 82% do Modelo 2. Nos vãos, o
momento positivo máximo dado pelo Modelo 3 é inferior aos dados pelos Modelos 1 e 2, com
uma diferença de 62% do Modelo 1 e 71% do Modelo 3.
Em relação ao esforço transverso (Figura 5.14) analisam-se três pontos considerados críticos.
No ponto junto ao apoio P12, o esforço transverso máximo é dado pelo Modelo 3 com uma
diferença de 6% do Modelo 1 e 15% do Modelo 2. A 2m do P12 verifica-se uma diferença
significativa entre os modelos. Nesse ponto o esforço transverso dado pelo Modelo 2 é
superior aos restantes, com uma diferença de aproximadamente 44% do Modelo1 e 30% do
Modelo 3. Na secção da viga sobre o pilar P13, o esforço transverso máximo é também dado
pelo Modelo 2 com diferença de cerca de 11% do Modelo 1 e 42% do Modelo 3.
As diferenças entre o Modelo 1 e Modelo 2 poderão ser parcialmente justificadas pelo facto
de que esta viga serve de apoio a uma outra viga e a interacção entre essas duas vigas é tida
em conta de maneira distinta em cada um dos modelos. No Modelo 1 a outra viga é tida em
conta na modelação da viga do Pórtico 4 através da aplicação de uma carga pontual obtida
considerando algumas simplificações (ver Secção 4.3.1 e Anexo III), enquanto que no Modelo
2 a determinação dessa carga é feita de forma automática.
Em relação às diferenças existentes entre os dois primeiros modelos e o Modelo 3 podem ser
parcialmente explicadas pela inclusão das lajes na modelação e pelo facto de que nos Modelos
1 e 2 foram admitidas algumas simplificações na determinação das cargas (ver Figuras 5.3 e
5.4).
Diagramas de esforços na viga do Pórtico 12
Figura 5.17 – Diagramas dos momentos flectores na viga do Pórtico 12 do 1º piso
rydhg
gujghg
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P7
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 88
Figura 5.18 – Diagramas dos esforços transversos na viga do Pórtico 12 do 1º piso
Figura 5.19 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 12 do 1º piso
Figura 5.20 – Diagramas dos momentos torsores na viga do Pórtico 12 do 1º piso.
Os diagramas dos esforços apresentados nas Figuras 5.17, 5.18, 5.19 e 5.20 mostram
claramente a diferença entre os três modelos. Constata-se que o Modelo 3 apresenta
momentos negativos maiores e com diferenças significativas dos Modelos 1 e 2. Segundo esse
modelo, todas as fibras superiores dessa viga encontram-se tracionadas, ao contrário do
Modelo 1 que indica que são as fibras inferiores que estão tracionadas. O Modelo 2 indica que
nas extremidades das vigas, as fibras superiores se encontram tracionadas, e no vão as fibras
inferiores é que estão traccionadas. Segundo esse método, o momento máximo negativo é
dado na extremidade que apoia sobre a viga do Pórtico 4, ao contrário do Modelo 3 que dá o
momento máximo negativo na extremidade sobre o apoio P7.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos flectores a viga do pórtico 12 do 1º piso
Bibliografia
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P7
Dsfwegsd
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P7
Dsfwegsd
yt
0
1
2
3
4
5
6
7
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
kN.m
m
Modelo 2Modelo 3
P7
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 89
Em relação ao esforço transverso (Figura 5.18), verifica-se que na extremidade apoiada sobre
a viga do Pórtico 4, o valor máximo é dado pelo Modelo 2 com valor de 22,21 kN, com a
diferença do Modelo 1 da ordem de 18%. Segundo o Modelo 3, o esforço transverso nessa
extremidade é nula. Na extremidade sobre o apoio P7, o Modelo 3 dá esforços transversos
superiores, com uma diferença de aproximadamente 57% do Modelo 2 e 66% do Modelo 2.
Da Figura 5.19 nota-se que os modelos revelam valores de esforços axiais pouco
significativos, no entanto com algumas diferenças entre si. Verifica-se que os resultados
obtidos pelo Modelo 1 são constantes e praticamente nulos. A maior diferença entre os
modelos ocorre na extremidade que apoia sobre a viga do Pórtico 4, onde o esforço axial
máximo é dado pelo Modelo 2, com uma diferença de 56% do Modelo 3.
De acordo com os diagramas apresentados na Figura 5.20, verifica-se que o Modelo 2 fornece
valores dos momentos torsores superiores aos do Modelo 3 com diferenças da ordem de 27%.
As discrepâncias entre os modelos, para esta situação, podem ser justificadas em parte pelas
razões referidas anteriormente, que é a forma como é tida em conta as cargas transmitidas da
laje para as vigas, bem como o tipo de apoio considerado pelo Modelo 1. No Modelo 1, a
extremidade que apoia sobre a viga do pórtico 4, foi simulada considerando que esta apoia-se
sobre uma apoio elástico, cuja rigidez foi determinada conforme ilustrado no Anexo III.
Diagramas de esforços na viga do Pórtico 13
Figura 5.21 – Diagramas d os momentos flectores na viga do pórtico 13 do 1º piso
Figura 5.22 – Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso
rytfzgcdxf
idyhgj
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0,00 0,75 1,50 2,25 3,00 3,75 4,50 5,25 6,00 6,75
kN.m
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P24 P20 P15 P13 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 12 do 1º piso
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4 5 6
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P24 P20 P15 P13
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 90
Figura 5.23 – Diagramas dos esforços axiais na viga do pórtico 13 do 1º piso
Figura 5.24 – Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso
Das Figuras 5.21 a 5.24 constata-se existir uma diferença significativa entre os esforços dados
pelos modelos. Por exemplo, ao analisar o momento positivo máximo ao longo do troço P20 a
P15 constata-se que o dado pelo Modelo 2 é superior aos restantes modelos, com diferença de
aproximadamente 16% do Modelo 1 e 25% do Modelo 3. Na zona junto ao apoio P20 o
momento máximo também é dado pelo Modelo 2, com uma diferença da ordem de 13% do
Modelo 1 e 11% do Modelo 3, enquanto que na zona junto ao apoio P15 nota-se que o
momento máximo negativo é dado pelo Modelo 1 com diferenças de aproximadamente 73%
do Modelo 2 e 65% do Modelo 3.
Em relação a esforço transverso, nota-se através do diagrama ilustrado na Figura 5.22, que a
maior diferença entre os esforços transversos máximos dados pelos modelos é de
aproximadamente 50%, sendo essa a diferença entre o Modelo 2 e Modelo 3 na extremidade
junto ao apoio P13. Também é nessa secção que ocorre a diferença máxima entre o Modelo 2
e o Modelo 1 com um valor da ordem de 32%.
Da Figura 5.23, nota-se que nos dois primeiros troços, os esforços axiais dados pelos três
modelos são positivos, portanto de tracção, já no troço P15-P13 constata-se que segundo o
Modelo 1 e 2 este troço está à tracção e segundo o Modelo 3 este está à compressão. Ao
analisar quantitativamente os esforços axiais dados pelos três modelos, nota-se que o maior
esforço axial em qualquer troço é dado pelo Modelo 2 e constata-se que a diferença máxima
entre o Modelo 2 e o Modelo 1 é de 26% e em relação ao Modelo 3 é de 81%.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos momentos torsores na viga do pórtico 13 do 1º piso
Dimensionamento das vigas
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5
kN
m
Modelo 1
Modelo 2
Modelo 3
P13 P24 P15 P20 Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 –
Diagramas dos esforços transversos na viga do pórtico 13 do 1º piso
Falar sobre torsão:
http://www.lmc.ep.usp.br/pesquisas/TecEdu/flash/Torcao.html
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5
kN.m
m
Modelo 2
Modelo3
P24 P20 P13 P15
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 91
Considerações gerais
Ao analisar os diagramas de esforços nas vigas constata-se que nas situações em que as cargas
transmitidas das lajes para as vigas foram determinadas através do método das linhas de
influências e das vigas para as vigas através de métodos simplificados (ver Anexo III), os
esforços à esquerda e à direita do nó, ao longo do mesmo troço, são iguais. Nos casos em que
as cargas transmitidas das lajes para vigas ou das vigas para as vigas foram feitas de forma
automática verifica-se o contrário, pois neste caso as cargas são distribuídas tendo em conta a
rigidez de cada elemento estrutural (ver todos os diagramas dados pelo Modelo 3 e os
diagramas de esforços nas vigas do Pórtico 4 dado pelo Modelo 2, mais precisamente no nó
da intersecção entre esta viga e a viga do Pórtico 12).
No primeiro caso considera-se que as vigas recebem apenas os esforços verticais da laje ou
das outras vigas que sobre elas apoiam e no segundo caso, o programa Sap2000 permite a
transmissão não só dos esforços verticais como também dos restantes esforços.
Este facto pode-se verificar no Pórtico 4, no ponto de intersecção com o Pórtico 12, onde a
variação do momento à esquerda e à direita é igual ao momento torsor do Pórtico 12, para o
Modelo 2, enquanto que no Modelo 3 essa variação é influenciada não só pelo momento
torsor proveniente do Pórtico 12 como também da laje.
5.4.2 Cálculo das armaduras longitudinais na viga do 1º piso do Pórtico 1
Após os esforços solicitantes nas vigas serem determinados procede-se à determinação das
armaduras dos elementos. O dimensionamento é realizado apenas para a verificação da
segurança em relação ao E.L.U de resistência à flexão e as propriedades mecânicas dos
materiais utilizados estão descriminadas na Secção 5.1.
As armaduras longitudinais foram determinadas seguindo a seguinte sequência.
Msd→ sd→ através das tabelas elaboradas de acordo com o EC2 determinou-se a
percentagem mecânica das armaduras e por fim calculou-se as armaduras longitudinais.
Na figura seguinte apresentam-se as armaduras longitudinais obtidas para a viga do Pórtico 1
do 1º piso, não esquecendo de realçar que no caso dos pontos com momentos diferentes à
esquerda e à direita, o momento de dimensionamento adoptado é o maior dos dois.
Figura 5.25 – Armadura longitudinal, As (cm2), da viga do Pórtico 1 do 1º piso.
P1 P2 P3 P4
Modelo 1
1 2 3 4 6 75
9,43
11,61
14,69 13,91
9,82
14,39 2,65
P5
9,49
11,73
14,34 13,64
9,73
14,91 2,21
Modelo 2
Modelo 3
5,53
7,70
9,52 7,29
5,33
8,34 1,40
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 92
5.4.3 Esforços nos pilares
Os esforços solicitantes (esforço axial (N), esforço transverso (V), momento flector (M) e
torsor (T)) nos pilares tomado como exemplos, para cada um dos modelos estão apresentados
no Quadro 5.1 São apresentados as esforços em três pontos dos pilares seleccionados (pilares
localizados entre fundação e o 1º piso), secção a zero metro de altura que é o ponto de
intersecção com a fundação (base do pilar), secções a meio vão e o topo do pilar (2,91m).
Quadro 5.1– Esforços nos pilares P2, P13 e P16
No pilar P2 verifica-se, que a nível do esforço transverso e momento flector, o Modelo1
apresenta valores máximos na direcção Y ao contrário dos Modelos 2 e 3 que apresentam
maior esforço na direcção X. Ao analisar o topo do P2 na direcção Y nota-se que o maior
momento é dado pelo Modelo 1 com uma diferença de 11% do Modelo 2 e 56,6% do Modelo
3.
Em relação ao esforço axial constata-se que o Modelo 3 apresenta um resultado superior com
uma diferença pouco significativa dos restantes modelos, cerca de 1,4% do Modelo 1 e do 5%
do Modelo 2.
O esforço axial dado pelo Modelo 1 corresponde à soma desse esforço obtido no pilar para
cada pórtico independente. Por exemplo, para o pilar P1 o esforço axial total é a soma do
esforço axial desse pilar quando modelado no Pórtico 1 e o esforço axial desse mesmo pilar
quando modelado no Pórtico 10. Aplicou-se o mesmo procedimento para o pilar P13. Para o
pilar P16 isso não foi possível uma vez que esse pilar pertence a apenas a um pórtico que é na
direcção Y. Daí que através do Modelo1 só é possível saber informações acerca do P16 na
direcção Y. No entanto, de acordo com os Modelos 2 e 3, constata-se que existem esforços
nesse pilar tanto na direcção Y como na direcção X. É de notar que ao modelar o P16 num
modelo tridimensional (Modelo 2 e Modelo 3) o esforço axial aumenta significativamente,
cerca de 3,5 vezes no caso do Modelo 2 e 3,23 vezes no Modelo 3.
Ao analisar os momentos flectores no pilar P16 constata-se que segundo o Modelo 1 esse
pilar está submetido à flexão composta e face ao Modelo 2 e Modelo 3 o P16 está submetido à
flexão desviada mas com esforço muito reduzidos.
Em relação a P13 verifica-se que o esforço axial máximo é dado pelo Modelo 3 com uma
diferença de 32,9% do Modelo 1 e do 8,9% do Modelo 2. Em relação ao momento flector
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 93
nota-se que todos os modelos revelam resultados muito reduzidos, sendo que o maior tanto na
base como no topo, quer na direcção X como na direcção Y é dado pelo Modelo 2, com
diferenças significativas dos dois restantes modelos. Em relação ao esforço transverso nota-se
que o modelo 2 também apresenta resultados superiores.
5.4.4 Análise comparativa das quantidades de armaduras longitudinais nos
pilares
Para atingir o objectivo pretendido neste subcapítulo tomou-se como exemplos os pilares P2 e
P16 para proceder o dimensionamento. O pilar P2 está submetido à flexão desviada e sendo
assim, o seu dimensionamento pode ser feito através de ábacos disponíveis para esse efeito ou
através do método simplificado que consiste na divisão do problema nas duas direcções e
resolver como se tratasse de um problema de flexão composta simples em cada direcção. O
último método referido requer que no final seja feita, caso necessário, a verificação da
resistência à flexão desviada partindo da distribuição da armadura já dimensionada.
O pilar P16 está submetido à flexão composta segundo o Modelo 1 e para os restantes
modelos este encontra-se submetido à flexão desviada.
No caso em estudo a determinação da percentagem mecânica foi realizada recorrendo aos
Ábacos disponíveis nas publicações de LNEC5, porém, todos os restantes procedimentos
foram feitos de acordo com o EC2-1-1.
5.4.4.1 Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar
O coeficiente de esbelteza pode ser determinado através da seguinte fórmula (EC2-1-1,
Secção 5.8.3.2 (1)):
(5.1)
Onde,
i é o raio de giração dado pela expressão
(5.2)
lo é o comprimento efectivo do pilar.
No EC2-1-1, Secção 5.8.3.2 (2) a (7) são indicados os comprimentos efectivos para elementos
lineares isolados, para as diversas condições dos apoios, bem como as expressões que
permitem definir o comprimento efectivo dos elementos inseridos em pórticos.
No caso em estudo os elementos a dimensionar estão inseridos em pórticos e considerando
que estes são elementos contraventados, o comprimento efectivo é então dado pela seguinte
expressão:
(5.3)
Em que:
l é o comprimento do pilar;
5D’ARGA E LIMA, J. [et al.] - Betão Armado – Esforços normais e de flexão. Laboratório Nacional de
Engenharia Civil, Lisboa, 1991.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 94
k1 e k2 são as flexibilidades relativas dos encastramentos parciais das extremidades 1 e
2, respectivamente. Esse parâmetro pode ser determinado através da seguinte expressão
(EC2-1-1, Secção 5.8.3.2 (3)e (4)):
(5.4)
Sendo,
EI - Rigidez de flexão do elemento comprimido (a e b são elementos comprimidos
acima e abaixo do nó).
- A rotação dos elementos que se opõem à rotação para o momento flector M.
A relação
M pode ser determinada de forma simplificada através da seguinte expressão,
(Appleton, 2011):
(5.5)
Em que:
EIvigas é a rigidez de flexão das vigas que concorrem no nó.
assume o valor de 4 para elementos com ligações de continuidade nas extremidades, ou
3 para elementos rotulados na extremidade oposta à da ligação em análise.
Sendo assim a Expressão 5.4 toma a seguinte configuração:
(5.6)
Caso as extremidades do pilar estejam ligadas a elementos de fundação que confiram
encastramento, considera-se que k é igual a 0,1. Se o apoio for de livre rotação k é igual a
Determinação do coeficiente de esbelteza λ do pilar P2
Figura 5.26 – Determinação da rigidez da ligação: a) Pórtico na direcção X; b) Pórtico na
direcção Y.
k1x = k1y = 0,1
a)
Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar λ P2 na direcção x
a)
P1 P2 P3
P2'
Z
X
V21 V23k2x
k1x
0,3
0,3
0,3
0,3
0,5
0,3
0,5
0,3
2,7
2,7
3.56.5
encastramento, considera-se que k é igual a 0,1. Se o apoio for de livre rotação k é igual a ∞.
Determinação do coeficiente de esbelteza do pilar λ P2 na direcção x
b)
P2 P11 P3
2,7Z
y
V211
0,3
0,3
0,5
0,32,7
k2y
k1y
P2'
0,3
0,3
5,5 6,5
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 95
Substituindo na Expressão 2 obtém-se lox=1,6m e loy=1,7m.
Raio de giração
Coeficiente de esbelteza
λx
18 4 λy
19 5
5.4.4.2 Determinação do limite de esbelteza do pilar, λlim.
Utilizando esforços obtidos através do Modelo 1
, (ver Secção 5.8.3.1 (1) do EC2-1-1) (5.7)
Onde,
e ef (coeficiente de fluência efectiva) não é conhecido, pode considerar-se A=0,7
Se (taxa mecânica de armadura) não é conhecida, pode considerar-se B=1,1.
C 1 7 rm
endo rm M 01
M02. Mo1 e M02 são momentos de primeira ordem nas extremidades. |Mo2| ≥
|M01|.
, Esforço axial reduzido.
Para o pilar em estudo, P2, na direcção X e considerando os esforços do Modelo 1 obtém-se
que:
Cx 1 7 18 98
34 82 2 24
2148 96
0 3 0 3 25 103 1 5 =1,43
Substituindo cada um dos parâmetros na Expressão 5.7 obtém-se que λlim=28,9.
Como λx =18,4 < λlim=28,9, os efeitos de segunda ordem podem ser ignorados nessa direcção.
Determinação do limite de esbelteza ,λlim, do pilar P2 na direcção Y, considerando os esforços
do Modelo 1
B λlim=29,2
Como λy = 19,5 < λlim = 29,2, os efeitos de segunda ordem podem ser ignorados nesta
direcção.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 96
5.4.4.3 Determinação do momento de dimensionamento MEd
O momento de dimensionamento é determinado através da seguinte expressão (EC2-1-1,
Secção 5.8.8.2 e Moss e Brooker, 2007):
(5.8) Onde:
M01 e M02 - Momentos da primeira ordem → Momentos resultantes das acções aplicadas na
estrutura e das imperfeições geométricas. Esses momentos são dados pelas seguintes
expressões:
M01 = Min{|Mtopo|, |Mbase|} + ei x NEd
M02 = Max{|Mtopo|, |Mbase|} + ei x NEd.
Em que, ei é a excentricidade devido ao efeito das imperfeições geométricas
M0e - Momento de extremidade de primeira ordem equivalente:
M0e = 0,6 x M02 + 0,4 x M01 ≥ 0,4 x M02.
M2 - Momento nominal de segunda ordem:
M2 = NEd x e2
Sendo, e2 a excentricidade devido ao efeito das imperfeições da segunda ordem.
Figura 5.27 – Momento de dimensionamento (Moss e Brooker).
No pilar em estudo como o efeito da segunda ordem é dispensado, logo o momento de
dimensionamento é dado pela seguinte expressão:
MEd M02 Max Mtopo Mbase e i x NEd eo NEd
Sendo:
ei, a excentricidade devido ao efeito das imperfeições geométricas. O EC2-1-1 na Secção
5.2 explica-se como é que esse parâmetro pode ser determinado, mas no caso em estudo
considerou-se a expressão simplificada:
ei
400 (5.9)
eo excentricidade mínima cujo valor é (EC2-1-1 na Secção 6.1.4):
e máx h
30
0 02m sendo h a altura da secção. (5.10)
Segundo o EC2, Secção 5.8.9 (2), as imperfeições devem ser consideradas apenas numa
direcção, e é na direcção em que estas têm os efeitos mais desfavoráveis.
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 97
Determinação dos momentos de dimensionamento usando os esforços do Modelo 1:
Neste caso as imperfeições têm os efeitos mais desfavoráveis na direcção Y e sendo assim os
momentos a considerar são os seguintes:
Momento de dimensionamento na direcção Y
M02y 45 43kN m
Momento de dimensionamento na direcção X
5.4.4.4 Cálculo das armaduras longitudinais
NEd
b h fcd
2148 96
0 3 0 3 25 103 1 5 1 43
μx
MEdx
b h2 fcd
34 82
0 3 0 32 25 103 1 5 0 077
μy
MEdy
h b2 fcd
45 43
0 3 0 32 25 103 1 5 0 101
Como Asmáx=0,04xAc=36cm2 é menor que a área da armadura obtida, As =38,87cm
2, pode-se
concluir que a solução não é adequada, portanto, dever-se-á aumentar as dimensões do pilar.
Sendo assim, considerando que a secção do pilar é 0,4mx,3m e seguindo o mesmo raciocínio
de cálculo efectuado anteriormente obtêm-se para cada modelo de cálculos as seguintes áreas
das armaduras longitudinais:
Quadro 5.2– Cálculo das armaduras longitudinais no pilar P2
lox
(m) λx λlimx
loy
(m) λy λlimy
MEdx
(kN.m)
MEdy
(kN.m)
NEd
(kN) µx µy µy/µx
As
(cm2)
Modelo 1
1,6 18,7
33,4
1,8 15,8
33,7 34,82 46,11 2148,96 1,07 0,06 0,06 0,99 0,44 25,3
Modelo 2 33,8 33,6 44,28 32,21 2069,61 1,03 0,07 0,04 0,55 0,41 23,6
Modelo 3 32,7 32,9 26,98 43,59 2179,57 1,09 0,04 0,05 1,21 0,37 21,3
Quadro 5.3 – Armaduras longitudinais no pilar P2.
As cal As adoptadas
Modelo 1 25,34 cm2 44 27,68 cm
2
Modelo 2 23,61 cm2 44 24,14cm
2
Modelo 3 21,31 cm2 44 22,78 cm
2
É de referir que a área de aço obtida é muito elevada e seria conveniente, em termos
económicos, aumentar as dimensões da secção do pilar para que As seja menor.
Mtopo 34 82kN m
Mbase 18 98kN m
NEd 2148 96kN
M02x Máx 18 98 34 82 34 82kN m
ei 1
400 0 0042m
e0 0 02m
Mtopo 36 34kN m
Mbase 20 57kN m
NEd 2148 96kN
M02y Máx Máx 20 57 36 34 0 0042x2148 96 45 43
0 02x2148 96 42 98
μy
μx
≈1,3
Admitindo que a/h=0,10 obtêm-se
através do ábaco 59, =0,9
As= 38,87cm2
Anál. Estrut. Dos Pórticos. CAPÍTULO V
Keila S. G. Robalo. 98
O pilar P2 localiza-se na zona da laje onde apresenta-se menores irregularidades geométricas
e mesmo assim nota-se, a partir dos resultados apresentados no Quadro 5.3 que há diferenças
entre os modelos utilizados na modelação. Constata-se que o Modelo 3 oferece solução mais
económica, deferindo aproximadamente 19% do Modelo 1 e 10% do Modelo 2.
Para o pilar P16 as dimensões arbitradas inicialmente servem e os resultados referentes as
armaduras estão apresentados no quadro que se segue:
Quadro 5.4 – Armaduras longitudinais no pilar P16
As cal As adoptadas
Modelo 1 1,75 cm2 4 3,14 cm
2
Modelo 2 8,64 cm2 9,05 cm
2
Modelo 3 5,18 cm2 6,28 cm
2
De acordo com os valores apresentados constata-se que há maior diferença entre os modelos.
Nota-se que o Modelo 1 revela-se pouco adequado, uma vez que necessita de uma área de aço
bastante inferior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 66%. Já o Modelo 2
revela-se menos económico, pois conduz a mais área de aço que o Modelo 3, diferindo deste
cerca de 67%.
Asmin
CAPÍTULO VI
Keila S. G Robalo. 99
6. CONCLUSÕES GERAIS E DESENVOLVIMENTOS FUTUROS
O presente trabalho incidiu na análise estrutural do edifício apresentado no Capítulo II
recorrendo a diferentes modelos estruturais. Os resultados provenientes de cada modelo foram
comparados entre si. Das várias análises comparativas foi possível obter algumas conclusões
que se julga serem úteis para os jovens engenheiros e que são descritas a seguir.
Análise das lajes vigadas
A análise comparativa dos momentos flectores nas lajes determinados através das tabelas de
Barés e do método dos elementos finitos demonstrou que existe uma grande divergência entre
estes e, consequentemente, a quantidade de armadura longitudinal necessária também será
muito diferente. Essas diferenças foram justificadas através das condições admitidas por cada
um destes métodos de cálculos. Os esforços determinados com recurso às tabelas são obtidos
partindo do pressuposto que as vigas de apoio são indeformáveis à flexão. Porém, através dos
modelos analisados pelo método dos elementos finitos no programa Sap2000 foram feitas
várias formulações onde a inércia das vigas de apoio foi variado e demonstrou-se que esse
parâmetro influência bastante os esforços nas lajes. Deste estudo ficou explícito que os
momentos obtidos através dos modelos que consideram a rigidez à flexão real das vigas de
apoios são maiores que os obtidos pelos modelos que não a consideram, chegando a existir
diferenças que podem atingir os 64%. No caso em que se simulou que as vigas estão
fissuradas, através da consideração de apenas metade da sua rigidez à flexão, verificou-se um
aumento significativo dos momentos flectores nas lajes. Em relação à rigidez à torção das
vigas de apoio constatou-se que ao ignorar este parâmetro no cálculo isso implicou, para
maioria dos modelos analisados, um aumento dos momentos nas lajes tanto positivo como
negativo, havendo casos onde esse aumento atingiu 33%. Nos modelos que consideraram que
as vigas estão fendilhadas, verificou-se que as diferenças são pouco significativas.
Outro parâmetro que também foi analisado foi a teoria das lajes utilizada em cada um dos
métodos de cálculos. Conforme referido no Capítulo 3, as tabelas utilizadas para a análise das
lajes foram elaboradas com base na teoria de Kirchhoff, ou seja, desprezando a deformação de
corte. O programa Sap2000 permite a modelação das lajes baseada tanto na teoria de
Kirchhoff como na teoria de Reissner-Mindlin. Das diversas modelações realizadas no
programa Sap2000 verificou-se que há diferenças significativas entre os momentos flectores
obtidos pelas duas teorias quando é considerado todo o pavimento. No caso em que o painel
de laje foi estudado isoladamente, no mesmo programa, constatou-se que a diferença dos
resultados entre as duas teorias foi menos significativa. Esta diminuição das diferenças
permite afirmar que se verificou a situação referida no início do Capítulo 3, “um “bom”
elemento de Reissner-Mindlin deve conseguir recuperar os resultados fornecidos pela teoria
de Kirchhoff”.
Foram feitas modelações admitindo várias hipóteses de cálculos e para todas as modelações
foram obtidas soluções. Obviamente que o programa de cálculo não dá informações sobre os
erros relacionados com a modelação estrutural e, claro, pode haver situações em que a
modelação escolhida não é adequada para o caso em estudo. Portanto, cabe ao engenheiro a
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado CONCLUSÃO
Keila S. G. Robalo. 100
decisão sobre o modelo estrutural e o programa de cálculo mais apropriado para o caso em
estudo. Os utilizadores devem ter consciência de que o programa de cálculo é apenas uma
ferramenta e deve ser utilizada com muita prudência.
A partir dos resultados obtidos, pode-se concluir que é imprescindível modelar a laje de modo
a simular o mais correctamente possível o seu comportamento real. Para isso devem ser
usadas ferramentas de cálculo que permitam considerar todos os parâmetros citados
anteriormente e outras variáveis que não foram contempladas neste documento
(comportamento não linear dos materiais e ainda uma análise que considera as dimensões
reais de todos os elementos estruturais).
Análise das lajes fungiformes
Através da análise comparativa dos momentos flectores nas lajes fungiformes determinados
através do método dos pórticos equivalentes e do método dos elementos finitos, constatou-se
que há diferenças significativas entre os resultados dados pelos dois métodos. Notou-se que,
de um modo geral, o método dos elementos finitos conduz a momentos flectores superiores,
razão pela qual pode-se concluir que o modelo dos pórticos equivalentes parece ser pouco
adequado para a análise do estado limite último de resistência à flexão da laje.
Salienta-se ainda que o método dos pórticos equivalentes não dá informações sobre o
momento torsor na laje e através do método dos elementos finitos é possível determinar esse
esforço. No caso em estudo obteve-se, através do método dos elementos finitos, momentos
torsores que variaram entre -53,75kN.m/m e 38,74kN.m/m. Como pode verificar isto
implicaria um aumento significativo dos momentos de dimensionamento e,
consequentemente, nas quantidades de armaduras longitudinais. Face à situação descrita
pode-se concluir e referir mais uma vez que o método dos pórticos equivalentes não consegue
representar adequadamente o comportamento da laje em estudo.
Análise dos pórticos
No Capítulo 5 foi apresentada uma análise linear elástica da estrutura porticada considerando
três tipos de modelação geométrica: plana (Modelo 1), tridimensional sem laje (Modelo 2) e
modelação tridimensional com laje (Modelo 3). O estudo focalizou-se na análise das
variações dos resultados obtidos, tanto a nível de esforços como das quantidades de
armaduras longitudinais, dados pelas diferentes modelações estruturais. Nestas análises
manteve-se sempre que possível as mesmas hipóteses de cálculo. Do estudo realizado
salienta-se o seguinte:
Comparando os esforços na viga do Pórtico 1 notou-se que os Modelos 1 e 2 apresentam
resultados dos esforços transversos, axiais e momentos flectores aproximados e
superiores aos obtidos pelo Modelo 3, com diferenças significativas. Desta análise
comparativa foi possível concluir que as diferenças entre os três modelos deve-se,
principalmente, à influência da laje na modelação. No Modelo 1 e 2 os esforços são
praticamente iguais porque foram admitidas as mesmas condições de carregamento (a
acção da laje na viga foi determinada previamente). No Modelo 3 essas cargas foram
determinadas automaticamente através da introdução da laje na modelação. Esta última
hipótese julga-se ser a mais adequada porque desta forma as cargas são distribuídas pelas
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado CONCLUSÃO
Keila S. G. Robalo. 101
vigas de acordo com a sua rigidez. Com base nesta mesma análise e considerando a
verificação da segurança em relação ao E.L.U de resistência à flexão foi possível concluir
que modelar vigas, que se encontram em condições idênticas às da viga do Pórtico1, pelo
Modelo 1 e 2 pode acarretar custos desnecessários para a construção.
No estudo das vigas do Pórtico 4 e 12 registaram-se diferenças significativas entre os
esforços dados pelos três modelos e essas diferenças estão relacionadas com as
simplificações admitidas no Modelo 1 e 2. É importante relembrar que a viga do Pórtico
12 apoia-se na viga do Pórtico 4 e a interacção entre essas duas vigas foi tida em conta de
maneira distinta em cada um dos modelos. O Modelo 1 considerou, na modelação do
Pórtico 12, que a viga do Pórtico 4 comporta-se como um apoio elástico com rigidez
constante e no Pórtico 4, o efeito da viga do Pórtico 12, foi modelada como uma carga
pontual igual, em valor absoluto, à reacção do referido apoio elástico. A partir da
comparação dos diagramas dos esforços dados pelos três modelos foi possível concluir
que a simplificação adoptada no Modelo 1 não traduz o comportamento real destes
pórticos. As diferenças observadas não só entre o Modelo 1 e os restantes modelos, mas
também entre o Modelo 2 e 3. Estas diferenças podem ser parcialmente explicadas pela
inclusão das lajes na modelação e pelo facto de que nos Modelos 1 e 2 foram admitidas
algumas simplificações na determinação das cargas (ver Figuras 5.3 e 5.4). Face ao
exposto pode-se concluir que nas situações em que há vigas a apoiar sobre outras vigas, o
Modelo 1 pode apresentar resultados que podem comprometer a segurança.
Da análise comparativa dos esforços no Pórtico 13 verificou-se diferenças significativas
entre os modelos, sendo que essas diferenças podem ser justificadas com base nas
irregularidades geométricas da estrutura na periferia desse pórtico. Devido a essas
irregularidades foram necessárias fazer algumas simplificações, principalmente no
cálculo das cargas provenientes das lajes, o que justifica em parte as diferenças entre os
Modelos 1 e 2 e o Modelo 3. As diferenças entre o Modelo 1 e os restantes modelos
devem-se principalmente à assimetria da estrutura.
Do estudo comparativo dos esforços nos pilares tomados como exemplos ficou bem claro
que há diferenças significativas entre os três modelos. Por exemplo, verificou-se que o
Modelo 1, para o caso do pilar P2, conduz a uma solução pouco económica porque é
necessária uma área de aço superior à do Modelo 3, com uma diferença de
aproximadamente 20%. Já o Modelo 2 conduz a uma quantidade de armadura
longitudinal razoável, deferindo apenas 10% do Modelo 3. Para o pilar P16 verificou-se
que o Modelo 1 revela-se inadequado, uma vez que necessita de uma área de aço bastante
inferior à do Modelo 3, com uma diferença de aproximadamente 66%. Já o Modelo 2,
para este caso, revela-se menos económico, pois conduz a mais área de aço que o Modelo
3, diferindo deste cerca de 67%.
Pelas razões expostas, pode-se concluir que o uso de modelos que se baseiam na separação
dos elementos estruturais pode conduzir a resultados que se julga serem pouco adequados ou
pode, noutros casos, conduzir a soluções pouco económicas. Sendo assim é fundamental que
se tenha bastante cautela na simplificação das estruturas e lembrar que, na realidade, tais
elementos funcionam como um elemento solidário, por isso, o ideal será adoptar modelos que
permitem idealizar a estrutura como um todo.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado CONCLUSÃO
Keila S. G. Robalo. 102
Desenvolvimentos futuros
Para estudos a realizar no futuro sugere-se a análise estrutural deste mesmo edifício mas com
diferentes soluções estruturais, nomeadamente considerar estruturas com paredes resistentes.
Poder-se-á estudar diferentes modelações para as paredes resistentes e a sua interacção com os
pórticos. Ainda neste tema julga-se que será interessante avaliar o efeito das acções
horizontais na estrutura tendo em conta as três modelações apresentadas neste trabalho. Do
ponto de vista da concepção estrutural e considerando as acções horizontais será importante
comparar soluções estruturais com e sem paredes resistentes.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado
Keila S. G Robalo. 103
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Rocha, A. M. (1981). Novo Curso Prático de Concreto Armado. Vol. 1. Editora Científica,
Rio de Janeiro.
Soriano, H. L. (2003). Método dos elementos finitos em Análise de Estruturas. Editora da
Universidade de São Paulo. Disponível em http://books.google.pt/.
The Concrete Centre. Worked Examples for Eurocode 2.
Timoshenko, S.P. e Woinowsky-Krieger, S. (1959). Theory of Plates and Shells. McGraw-
Hill Kogakusha, Ltda.
Trindade, M.O. (Setembro de 2009). Estudo da Configuração Económica de Lajes
Fungiformes em função da sua Geometria e Materiais. Tese de mestrado, Departamento
de Engenharia Civil da Universidade de Coimbra, Coimbra,
Válter, L.(2006). Efeitos de Segunda Ordem provocados por Esforço Axial. Folha de apoio às
aulas de Estruturas de Betão Armado I, Faculdade de Ciências e Tecnologias da
Universidade Nova, Lisboa.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado
Keila S. G Robalo. 106
ANEXOS
Anexo I: Análise das lajes maciças vigadas recorrendo às tabelas
de Barés
I.1 Condições de apoio
A análise de um pavimento constituído por lajes vigadas recorrendo às tabelas é feita através
da decomposição do pavimento em lajes isoladas. Ao isolar a laje é importante simular, o
mais correctamente possível, as suas condições de apoio. Geralmente, os apoios utilizados nos
bordos das lajes para imitar o seu “comportamento real” estão representados na Figura I.1.
Figura I.1 – Representação esquemática das condições de apoio (Grupo de Análise de
Estruturas, 1996).
Uma laje tem bordo livre quando esta não tem viga de apoio e como exemplo cita-se uma laje
em consola.
Quando a laje apoia-se numa viga e não há outra laje adjacente considera-se que esse bordo é
simplesmente apoiado, pois assume-se que a viga não tem rigidez à torção e apresenta uma
rigidez à flexão infinita. Na realidade não é bem assim, pois essa viga é flexível, o que
confere um certo grau de encastramento a laje, principalmente quando esta é betonada em
simultâneo com a viga. Face a essa situação, muitos projectistas questionam-se sobre qual é o
tipo de apoio ideal a considerar no cálculo para este caso. Para Bernal (2005), quando a laje é
apoiada sobre uma viga cuja altura útil, dviga, é igual a 1,5.dlaje, considera-se no cálculo que
essa viga, devido a sua baixa rigidez de torção, não impede eventuais rotações que a laje
possa ter, portanto funciona como um apoio simples. Ainda explica que apesar de haver nesta
situação algum grau de encastramento conferido pela rigidez da torção das vigas de apoio,
este encastramento não é tido em conta na análise, pois essa rigidez reduz bruscamente
quando a viga passa do estado I (sem fissuração) para o estado II (fissurado).
No caso em que dviga é superior a 1,5.dlaje, considera-se que a viga apresenta uma maior
resistência à torção, o que impede a rotação da laje.
As lajes contínuas são assemelhadas às lajes isoladas considerando encastrado o bordo de
continuidade. Esta hipótese é viável se as lajes adjacentes à viga tiverem as mesmas
dimensões, condições de apoio e de carregamento (Rocha, 1976). Nas lajes contínuas cujos
painéis são muito diferentes uns dos outros, esta hipótese não é muito recomendada. Contudo,
na prática, considera-se o bordo de continuidade encastrado obtendo-se assim esforços à
esquerda e à direita dessa viga diferentes. De modo a garantir a lei de continuidade num nó, é
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 107
feito o equilíbrio de esforços nesse apoio e a consequente redistribuição de momentos no vão
de cada laje.
Camacho (2004) referiu no seu trabalho que para lajes com vãos diferentes, lajes rebaixadas e
ainda lajes que apresentam descontinuidade ao longo do seu contorno adopta-se as seguintes
condições de apoio:
Lajes com vãos diferentes
Se
→ considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2.
Se
→ considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2.
Lajes rebaixadas
Onde:
h1: espessura da laje superior (Laje 1);
h2: espessura da laje inferior (Laje 2);
hmin: o menor entre h1 e h2;
L: o menor vão entre as duas lajes (Laje 1 e Laje 2).
Encastramento Parcial:
Lajes com vãos diferentes
1 Se L2 1
4L1→ considera-se que Laje 1 está encastrada na Laje 2.
2 Se L2 1
4L1→ considera-se que Laje 1 está apoiada na Laje 2.
Lajes rebaixadas
Laje 1 Laje 2
L1 L2
Lajes rebaixadas
1 Se
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Laje 1
Laje 2
dsfv
Ytv
Lajes rebaixadas
1 Se
2 Se
3 Se
Onde:
h1: espessura da laje superior;
h2: espessura da laje inferior;
hmin: o m
Lajes rebaixadas
1 Se
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Laje 1
Laje 2
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Ytv
Lajes rebaixadas
1 Se
2 Se
3 Se
Onde:
h1: espessura da laje superior;
h2: espessura da laje inferior;
hmin: o m
Lajes rebaixadas
1 Se
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Laje 1
Laje 2
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Ytv
Lajes rebaixadas
1 Se
2 Se
3 Se
Onde:
h1: espessura da laje superior;
h2: espessura da laje inferior;
hmin: o m
Lajes rebaixadas
1 Se
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
Laje 1
Laje 2
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ≤ h1
bw ≥ hmin
Bordo encastrado
Δh ˃ h1
L ≤ 2,5m
Bordo apoiado
ytgfn
Encastramento Parcial:
1 Se L1 ≥ 2
3L3→Bordo encastrado
Encastramento Parcial:
1 e l1 ≥ 2
3l3→Bordo encastrado
Bordo em análise
Laje 1
Laje 3
Laje 2
Laje 3
L1
L2
L3
Apoiado
Encastrado
Bordo em análise
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 108
e L1 ≥
→Bordo encastrado
Se L1 <
→ Bordo apoiado
O vão teórico ou vão efectivo, das lajes deve ser definido através da expressão seguinte
(EC2, Secção 5.3.2.2):
(I.1)
Figura I.2 – Vão efectivo de uma laje
Onde:
a1: menor valor entre t1/2 e h/2
a2: menor valor entre t2/2 e h/2 (figura 4)
ln: distância livre entre as faces dos apoios;
t: largura do elemento do apoio.
Na prática, é comum considerar como vão teórico a distância entre os centros dos apoios.
I.2 Classificação das lajes de acordo com o modo de flexão dominante
As lajes podem ser definidas como armadas numa só direcção ou armadas em duas direcções,
sendo que essa classificação depende da relação entre os vãos e das condições de apoio.
Segundo EC2-1-1 Secção 5.3.1 (5), uma laje é armada numa direcção se ã
ã , ou se
esta tiver dois bordos livres sensivelmente paralelos. Tratando da primeira situação, a flexão é
predominante no plano paralelo ao menor vão, logo a armadura principal da laje é colocada
nessa direcção, e se for o segundo caso a análise é feita segundo a direcção dos apoios.
Se
, a laje é armada nas duas direções. As lajes deste tipo deformam-se sem que
haja uma direcção predominante, por isso a armadura principal é colocada nas duas direcções.
I.3 Espessura mínima das lajes vigadas maciças
A determinação da espessura da laje é feita com base nos critérios dos estados limites de
utilização e dos estados limites último do elemento estrutural, (Duarte, 1998).
Baseando no critério de estado limite de utilização, o EC2-1-1 na Secção 7.4.2. (2), preconiza
os valores limites para a relação L/d, dados pelas seguintes expressões:
1 e l1 ≥ 2
3l3→Bordo encastrado
2 Se l1 < 2
3l3→ Bordo apoiado
1.1.1.1 Vãos teóricos
Laje 3
Laje 3
Se L1 < 2
3L3→ Bordo apoiado
1.1.1.1 Vãos teóricos
Laje 3
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 109
(I.2)
(I.3)
Sendo que:
L/d : valor limite da relação vão/altura;
K: coeficiente que tem em conta os diferentes sistemas estruturais. No quadro 7.4 do
EC2 encontram-se os valores recomendados de K.
0: taxa de armaduras de referência que é dado pela expressão: ;
: taxas de armaduras de tracção necessária a meio vão para equilibrar o momento
devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
’: taxas de armaduras de compressão necessária a meio vão para equilibrar o
momento devido às acções de cálculo (no apoio no caso de uma consola);
fck: valores característicos da resistência à compressão referido a provetes cilíndricos
em MPa.
Os valores de L/d determinados pelas expressões referidas acima deverão ser corrigidos
quando a tensão no aço na secção crítica é diferente de 310MPa, sendo que o EC2 recomenda
que a correcção deve ser feita multiplicando os valores obtidos pela Expressão I.2 ou I.3 por
ou por
, em que:
s: tensões de tracção no aço a meio vão (no apoio no caso de uma consola) para as acções de
cálculo no estado limite de utilização;
As,req: área da secção de armaduras existente na secção;
As,prov: área da secção de armaduras necessária na secção resultante da verificação ao estado
limite último.
Nas lajes vigadas com vãos superiores a 7 metros, que suportam divisórias que possam ser
danificadas por flechas excessivas, os valores de L/d dados pela expressão I.2 ou I.3 devem
ser multiplicados por 7/leff (leff em metros).
A espessura da laje também é condicionada pela sua resistência (Flexão e esforço transverso).
O EC2-1-1 na Secção 9.3.2 (1) refere que uma laje com armadura de esforço transverso
deverá ter uma espessura pelo menos igual a 200 mm.
Para sobrecargas correntes em edifícios (q<5 kN/m2), a espessura das lajes armadas numa
direcção pode ser determinada a partir da relação h ≈ L/ (25 a 30), enquanto a espessura das
lajes armadas em duas direcções é dada por h ≈ L/ (30 a 35), sendo que estas expressões têm
por base o controlo indirecto da deformação e o nível de esforços na laje (Marchão e
Appleton, 2009).
É de realçar que se a espessura for determinada tendo em conta o vão da laje, pode-se correr o
risco de num piso formado por lajes de vãos diferentes ter várias espessuras. Porém, por
questão de estética e de facilidade na sua execução, convém que haja uniformização da
espessura das lajes no mesmo piso. Para isso, quando um piso é constituído por lajes de vãos
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 110
diferentes a espessura é determinada para cada laje e finalmente adopta-se para o cálculo de
esforços a maior espessura obtida.
I.4 Quantificação e combinação das acções
O dimensionamento das lajes vigadas é condicionado essencialmente pelas acções verticais,
como o peso próprio da laje, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias e
cargas do uso. Essas acções foram definidas de acordo com as normas em vigor, EC1.
Relativamente ao peso próprio das paredes divisórias, neste trabalho foram admitidas as
regras preconizadas no artigo 15º do RSA.
Os esforços actuantes de cálculo foram determinados por aplicação da combinação
fundamental: 1,5*(g + q), sendo q acções variáveis (sobrecarga) e g acções permanentes (peso
próprio, pesos de revestimentos do piso, peso das paredes divisórias).
I.5 Condições do carregamento nas lajes contínuas
Na modelação das lajes contínua é importante saber quais são as posições mais desfavoráveis
para aplicação da sobrecarga, principalmente quando esta é elevada, de modo a obter esforços
máximos.
Segundo Rocha (1976), o cálculo de momento flector máximo nas lajes contínuas deve ser
feito mediante as seguintes condições:
Se a sobrecarga for pequena em relação a carga permanente total, (q <1,5 g), a análise
é feita sem que seja necessário estudar a situação mais desfavorável da sobrecarga;
Se a sobrecarga for elevada, a análise deve ser feita estudando a posição da aplicação
desta, de modo a obter o momento flector máximo.
I.6 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento positivo máximo
A determinação de momento positivo máximo num painel de lajes contínuas é feita
considerando que este está totalmente carregado e os que lhe ficam adjacentes estão sob a
acção, apenas de carga permanente. Por exemplo, para o cálculo do momento positivo
máximo no painel L1 e L3 da Figura I.3, é preciso que o carregamento seja feito como se
ilustra a seguir:
Figura I.3 – Carregamento mais desfavorável para o cálculo do momento máximo positivo
nas lajes L1 e L3 (Rocha, 1976).
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 111
Essa hipótese de carregamento é obtida a partir da linha de influência aplicada a uma viga
contínua conforme ilustrado a seguir. A secção crítica analisada é a secção a meio vão.
Figura I.4 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento positivo máximo na
secção a meio vão (Ramos, 2010).
No estudo dessas lajes como lajes isoladas, Marcus considera encastramento no contorno de
continuidade e o cálculo de momento positivo máximo é feito através da decomposição da
carga p (p = p’+p’’), obtendo assim M+= M’
++ M’’
+. Para o cálculo de M’
+ considera-se a laje
em analise sob a acção da carga p’ = g+q/2. Depois considera-se a mesma laje, mas se esta
tiver bordos encastrados, estes passarão a bordos simplesmente apoiados, sob a acção da carga
p’’= q/2 e calcula-se M’’+. O momento máximo positivo final será a soma dos momentos
calculados para os dois casos: Mxs= M’x++ M’’x+ e Mys= M’y++ M’’y+, (Rocha, 1976).
Exemplo1: Painel de canto
Figura I.5 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de
canto. Hhh Exemplo 2: Painel central
Figura I.6 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis
interior. Hh Exemplo 3: Painel de bordo
Figura I.7 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos nos painéis de
bordo
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 112
hhhh Exemplo 4: Painel com bordo livre
Figura I.8 – Condições de carregamento para cálculo de momentos positivos num painel com
bordo livre
A mesma hipótese de carregamento também pode ser aplicada às lajes armada numa direcção.
Se considerar que L1 e L3 são lajes armadas numa direcção as condições de carregamento
seriam as seguintes:
Figura I.9 – L1, vão extremo.
hhhh
Figura I.10 – L3, vão central.
As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas através das
Figuras I.11 e I.12:
Figura I.11 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo
na laje L3 central. hhhh
As hipóteses de carregamento admitidas pelo Marcus podem ser compreendidas
através das figuras seguintes:
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 - Corte da situação da
carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 113
Figura I.12 – Corte da situação da carga correspondente ao momento flector positivo máximo
na laje L1.
I.7 Alternância da sobrecarga para o cálculo do momento negativo máximo
Para o cálculo dos momentos negativos máximos, a situação mais desfavorável corresponde
ao carregamento total tanto na laje em análise como na laje adjacente, Figura I.13.
Figura I.13 – Posicionamento mais desfavorável da sobrecarga para o cálculo do momento
flector negativo máximo no bordo indicado (Marchão e Appleton, 2009)
A hipótese de carregamento apresentada na Figura I.13 é obtida com base na linha de
influência aplicado ao corte AA’, considerando como secção crítica o bordo adjacente à Laje
4 e 5.
Figura I.14 – Linha de influência e carregamento para se obter o momento negativo máximo
no apoio A. (Ramos, 2010).
Na análise do painel isoladamente considera-se que para a determinação do momento máximo
negativo o painel em análise deve estar submetido à carga total, p = g + q.
As condições de carregamento propostas pelo método de Marcus, para a análise de lajes como
isoladas, tanto para o cálculo de momento negativo máximo como para momento positivo
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..1 - Corte da situação da
carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L3 central.
Figura Erro! Não existe nenhum texto com o estilo especificado no documento..2 - Corte da situação da
carga correspondente ao momento flector positivo máximo na laje L1
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 114
máximo, restringem-se ao pavimento constituído por lajes sujeitas a cargas uniformemente
distribuídas e com vãos adjacentes semelhantes.
I.8 Cálculo dos Momentos flectores
Conhecendo as condições geométricas, de carregamento e de apoio da laje a analisar,
procede-se ao cálculo dos momentos nas lajes através das tabelas.
Com os valores de λ= lx/ly, coeficiente de Poisson, obtêm-se através das tabelas, que no caso
em estudo são as de Barés, os coeficientes que posteriormente são substituídos nas expressões
que permitem calcular os momentos nas lajes armadas nas duas direcções.
Na laje armada numa direcção os esforços podem ser determinados de forma análoga à
análise de uma viga com largura igual a um metro e altura igual à altura da laje.
Se o pavimento for constituído por lajes contínuas de vãos, condições de carregamento ou
ainda condições de apoios diferentes, é obvio que a sua análise considerando painéis de lajes
independentes, acarreta diferenças apreciáveis entre os momentos negativos obtidos para cada
painel. Como numa laje contínua, o bordo de continuidade deve ter momentos idênticos em
ambos os lados, logo os resultados dos momentos obtidos para dois painéis adjacentes devem
ser tratados de modo a garantir o equilíbrio dos esforços no bordo comum às duas lajes. O
tratamento desses esforços influenciam os momentos nos vãos dos dois painéis, portanto será
necessário fazer um reajuste nesses momentos.
I.9 Equilíbrio de esforços nos bordos dos painéis adjacentes
O cálculo dos esforços nas lajes recorrendo às tabelas é feito para cada painel isolado, por isso
nos apoios comuns entre as lajes contínuas, geralmente existem dois valores diferentes de
momentos flectores negativos, MA e MB.
Figura I.15 – Momentos num bordo de continuidade.
O momento equilíbrio, MAB, depende da rigidez das duas lajes e o valor correspondente situa-
se entre MA e MB. O seu valor determina-se através da expressão baseada no método de Cross
(Marchão e Appleton, 2009):
(I.4)
Sendo:
e
Na prática esse momento pode ser determinado através da média dos momentos MA e MB,
desde que o valor médio seja igual ou superior a 80% do maior dos momentos (Camacho,
2004, Marchão e Appleton, 2009):
A B
l A l B
A BM A M B
MA
MB
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 115
MAB= MA+MB
2
0,8 máximo ( MA ; MB ) (I.5)
Figura I.16 - Equilíbrio dos Momentos no bordo das lajes adjacentes
Se um dos painéis estiver em consola o momento no apoio é precisamente o momento do
painel em consola, pois esta é uma estrutura isostática e como tal não permite que o momento
seja diminuído.
I.10 Correcção dos momentos positivos após o equilíbrio dos momentos nos
apoios
O equilíbrio dos momentos nos apoios faz com que haja alteração dos momentos a meio vão.
Se o momento negativo resultante do equilíbrio (MAB) em valor absoluto for inferior ao
momento negativo calculado para o painel isoladamente (MA), o momento a meio vão desse
painel deve ser reajustado, pois esse momento pode ser superior ao momento positivo
calculado pelo método de Marcus. Caso contrário, o momento a meio vão é então dado pelo
método de Marcus.
Se MAB> 0,8xMáximo (|MA|, |MB|), ou seja, MAB é determinado pela expressão (MA + MB)/2,
é usual que o momento máximo positivo seja determinado pelo método de Marcus. Quando
MAB é determinado pela expressão 0,8xMáximo ( MA ; MB ) deve determinar-se o momento
positivo resultante do equilíbrio dos momentos negativos, e verificar se este momento é o
momento de dimensionamento (Carmo, 2010).
I.10.1 Correcção dos momentos positivos nas lajes armadas numa direcção
No caso de laje armada numa direcção, o ajuste de momento a meio vão é feito da seguinte
maneira (Camacho, 2004 e Carmo, 2010):
Vão extremo:
Figura I.17 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio do vão extremo.
ΔM= (I.6)
’ Δ
(I.7)
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 116
Vão interno:
Figura I.18 – Momento positivo após o equilíbrio de momentos no apoio
(I.8)
’ Δ
(I.9)
É importante realçar que as expressões indicadas acima permitem determinar apenas por
aproximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é
necessariamente a meio vão.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a
determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
I.10.2 Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo
é efectuada de modo diferente porque a alteração do momento num dos apoios afecta os
esforços da laje nas duas direcções. A correcção dos momentos positivos nas duas direcções,
My+ e Mx
+, efectua-se através da interpolação usando os esforços dados pelas tabelas. Para a
interpolação poderá usar-se os momentos de uma laje com as mesmas condições de apoio,
excepto no apoio onde há o equilíbrio de momentos negativos que deverá considerado
simplesmente apoiado (ou seja, momento nulo no apoio) e os momentos da laje considerando
as condições de apoio inicialmente definidas, incluindo o encastramento no apoio em estudo
(Carmo, 2010).
Esses momentos também podem ser corrigidos recorrendo aos quadros da autoria de Czerny
apresentados a seguir.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a
determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como este tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo
ximações o M+ pois ΔM/2 é o acréscimo do momento positivo a meio vão e M’ não é
necessariamente a meio vão.
Conhecido o momento positivo após o equilíbrio de momento negativo procede-se a
determinação do momento positivo de dimensionamento, o qual é dado por:
M+
dim = máx
Correcção de momentos positivos nas lajes armadas em duas direcções
Como esse tipo de lajes tem comportamento bidimensional, a correcção do momento positivo
Momentos positivos resultantes do equilíbrio de momentos negativos
M+=M’+ΔM/2
Sendo que M’ é momento calculado considerando Psd=1,5x (q+g)
Momentos positivos determinados pelo Método de Marcus
M+= M’
++ M’’
+→ ver secção 3.1.1.6.1
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 117
Momentos flectores e no centro das lajes para o momento unitário aplicado nos apoios
(Rocha, 1976).
Quadro I.1 – Momento aplicado no lado maior >
Valores de E para
≥ 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1.0
0.056 0.045 0.009 -0.021 0.009 -0.022
0.144 0.116 0.126 0.112 0.113 0.111
1.1
0.083 0.064 0.034 -0.001 0.031 -0.005
0.144 0.112 0.132 0.124 0.116 0.118
1.2
0.109 0.082 0.059 0.021 0.050 0.014
0.142 0.106 0.138 0.132 0.113 0.120
1.3
0.136 0.098 0.087 0.048 0.069 0.033
0.139 0.100 0.138 0.138 0.105 0.120
1.4
0.161 0.113 0.115 0.076 0.088 0.052
0.133 0.093 0.136 0.138 0.100 0.116
1.5l
0.185 0.126 0.141 0.103 0.106 0.072
0.128 0.087 0.134 0.139 0.092 0.112
Quadro I.2 – Momento aplicado no lado menor <
Valores de E para
≤ 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
1.0
0.056 0.045 0.010 -0.022 0.009 -0.022
0.144 0.116 0.125 0.112 0.113 0.111
1.1
0.033 0.028 -0.010 -0.037 -0.009 -0.038
0.140 0.118 0.015 0.100 0.109 0.099
1.2
0.015 0.013 -0.024 -0.046 -0.021 -0.050
0.134 0.117 0.105 0.087 0.103 0.086
1.3
0.002 0.002 -0.032 -0.051 -0.031 -0.055
0.126 0.113 0.093 0.074 0.092 0.075
1.4
-0.007 -0.006 -0.036 -0.052 -0.036 -0.056
0.116 0.106 0.081 0.060 0.081 0.065
1.5l
-0.15 -0.013 -0.041 -0.053 -0.041 -0.057
0.109 0.102 0.074 0.053 0.072 0.056
Obs: Toma-se como o vão normal ao lado onde se aplica o momento.
O Quadro I.1 fornece valores dos momentos nos vãos quando o momento sinusoidal é
aplicado no lado maior, e Quadro I.2, quando o momento sinusoidal é aplicado no lado
menor. Estes quadros permitem corrigir os momentos positivos na laje, supondo aplicado no
bordo de continuidade o momento ΔM (momento sinusoidal) igual a diferença entre o
momento do equilíbrio e o momento calculado considerando essa laje isolada. Se o bordo em
análise corresponder ao bordo maior escolhe-se o Quadro I.1, caso contrário escolhe-se o
Quadro I.2. Atendendo às condições de apoio da laje a analisar, selecciona-se o tipo de laje
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 118
correspondente na referida tabela e entrando com a relação Lmaior/Lmenor, encontra-se no
Quadro I.1 ou Quadro I.2 os coeficientes de transmissão γx, e γy para o cálculo da variação dos
momentos positivos quando há um momento sinusoidal no valor de ΔM através das seguintes
fórmulas:
ΔMx= γx x ΔM (I.10)
ΔMy= γy x ΔM (I.11)
Estes quadros também podem ser usados para efectuar a correcção dos momentos nos vãos de
uma laje adjacente à consola caso se pretenda ter em conta o efeito do momento negativo da
consola. Para a aplicação dos quadros calcula-se primeiro os momentos na laje adjacente à
consola, considerando o bordo de continuidade simplesmente apoiado. Posteriormente para a
correcção dos momentos a meio vão dessa laje procede-se a transformação do momento
negativo da consola (momento constante) num momento sinusoidal através da Expressão I.12,
(Rocha, 1976). Depois seguem-se as mesmas instruções referidas no parágrafo anterior.
Δ
(I.12)
Sendo que M- é o momento negativo da consola.
I.11 Distribuição dos momentos nas lajes
Quando uma laje é analisada com recurso às tabelas, geralmente não se tem a ideia de como
os momentos são distribuídos. No entanto, é importante ter a noção de como os momentos se
distribuem nas lajes de modo a dispor convenientemente as armaduras.
Se a laje for armada numa direcção é fácil determinar a região onde os momentos são
negativos e a região onde os momentos são positivos, pois para isso é preciso apenas conhecer
a expressão dos momentos do troço que se pretende analisar e depois a expressão é igualada a
zero. Resolvendo a equação obtida determina-se a coordenada do ponto cujo momento é nulo.
Exemplo:
Considerando Psd=10 kN/m2
MA=M-máx= -Psd*L
2/8= -31,25 kN.m/m
M+
máx= Psd*L2/14, 2 = 17,61kN.m/m
VA=5* Psd*L/8= 31,25kN/m
Equação do momento: My =VA *y–Psd*y2/2 - MA ↔ My=31,25*y-10* y
2/2 -31,25
Igualando a expressão do momento a zero obtém-se:
31,25*y-10* y2/2 -31,25= 0 ↔y=1,25m ou y=5m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 119
Figura I.19 – Diagramas dos momentos numa laje armada numa direcção.
Já numa laje armada nas duas direcções, é difícil traçar o diagrama de momentos flectores
uma vez que as tabelas dão os valores dos momentos flectores máximos sem indicar a região
onde esses momentos se desenvolvem.
Segundo Czerny, o diagrama dos momentos flectores, no caso de não haver informações
precisas, pode ser traçado, de forma aproximada, conforme apresentado nas tabelas que se
seguem, considerando que Lx é menor que Ly, (Carmo, 2010):
O2l32ç2eçe3pç+
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 120
Figura I.20 – Diagramas simplificados, lajes com diferentes condições de apoio (Czerny).
Para estudar o comprimento das armaduras positivas deve-se atender o diagrama simplificado
apresentado na Figura I.20, sendo que o EC2-1-1 preconiza que pelo menos um quarto destas
armaduras devem ser prolongadas até aos apoios e aí serem amarradas convenientemente.
As armaduras negativas devem também ser definidas com base no traçado do diagrama de
momentos. De acordo com as simplificações apresentadas na Figura I.20 nota-se que essas
armaduras se estendem até uma distância de 0,2 ou 0,25Lx do apoio da laje e só podem ser
interrompidas a partir da seguinte distância dos apoios:
(0,2.L ou 0,25L) + al + lbd (I.13)
Sendo que:
(0,2.L ou 0,25L) é o comprimento da região com momento negativo.
al é a translação do diagrama de forças a absorver pelas armaduras e assume o valor d
segundo EC2;
lbd é o comprimento de amarração da armadura.
L corresponde ao menor vão da laje.
De acordo com as tabelas apresentadas na Figura I.20 constata-se que mesmo nos bordos
simplesmente apoiados é considerado que existe momento negativo a partir do apoio até a
uma distância de 0,2 L, tal como preconizado pelo EC2-1-1. Esse momento segundo a norma
pode tomar valor de pelo menos 25% do momento máximo positivo do vão adjacente.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 121
O comprimento da região com momento negativo deve ser corrigido no caso em que há
necessidade de realizar o equilíbrio dos momentos nos apoios e o momento resultante desse
equilíbrio seja superior ao momento obtido inicialmente pelas tabelas, (Carmo, 2010). O
coeficiente de correcção é dado por
, sendo que quando Mab é menor do que Mb esse
parâmetro é considerado unitário.
(0,2.L ou 0,25L)
+ al + lbd (I.14)
Figura I.21 – Correcção do comprimento da região com momentos negativos (Carmo, 2010).
As lajes adjacentes à consola armadas em duas direcções quando analisadas recorrendo às
tabelas, normalmente são consideradas simplesmente apoiadas no bordo de continuidade com
a consola. Nesse bordo o momento de equilíbrio é igual ao momento da consola e o
comprimento da região com momento negativo pode ser determinado da seguinte maneira:
1. Determinar a percentagem da carga (α) na laje na direcção da consola, com base na
compatibilidade do deslocamento máximo vertical na laje.
ax=ay↔ α
=
α
↔ α =
2. Conhecido o coeficiente de repartição da carga procede-se a análise de esforços na
consola considerando a seguinte hipótese de carregamento:
ax= α
ay=
Bordo adjacente à consola
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 122
Sendo que Psd1=1,5*(cp+5) e Psd2=1,5*(cp+2)
3. Cálculo do comprimento da região com momento negativo (x) com base na equação
do momento.
I.12 Calculo detalhado do pavimento apresentado na Figura I.22
Figura I.22– Pavimento a analisar.
I.12.1 Classificação das lajes e pré-dimensionamento das lajes
Se ã
ã →a laje é armada numa direcção → h ≈ L/(25 a 30)
Se
, a laje é armada nas duas direções. h ≈ L/(30 a 35)
Quadro I.3 - Classificação das lajes e pré-dimensionamento das lajes
Pré-dimensionamento
Laje Lmaior Lmenor Lmaior/ Lmenor Direcção das armaduras li h h adoptado (m)
L1 6,50 5,50 1,18 armada nas duas direcções 6,50 0,19 0,21
L2 12,00 3,50 3,43 armada numa direcção 3,50 0,10 0,21
L3 10,00 5,00 2,00 armada numa direcção 5,00 0,14 0,21
L4 6,50 6,50 1,00 armada nas duas direcções 6,50 0,19 0,21
L5 3,00 1,50 2,00 armada numa direcção 1,50 0,04 0,21
L6 7,00 4,00 1,75 armada nas duas direcções 7,00 0,20 0,21
L7 7,00 4,00 1,75 armada nas duas direcções 7,00 0,20 0,21
19,6kN.m/m
L1 L3
L4
L2
L5
L6L7
Consola1 Consola2 Consola3
Consola4 Consola5
X
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 123
I.12.2 Quantificações e combinações de acções
Acções a considerar:
Acções permanentes (g):
o Peso próprio da laje (Pp): h*γ=0,21*25=5,25 kN/m2;
o Revestimentos (Rev): considera-se 1,5 kN/m2;
o Peso das paredes divisórias
Considerar paredes de tijolo furado leve com 0,15m de espessura, incluindo
argamassa de assentamento e reboco: γ = 1,8 kN/m2 (Tabelas técnicas);
Pé-direito: 2,7 m;
O peso das paredes divisórias (Pd) é determinado da seguinte maneira:
2,7*1,8*0,40=1,94kN/m2; Adoptar 2kN/m
2. Considera-se que essa carga
encontra-se distribuída em todas as lajes (L1…L7).
o Peso das paredes divisórias localizada sobre a Consola2
Considerar paredes de tijolo furado leve com 0,32m de espessura, incluindo
argamassa de assentamento e reboco:
γ=3,30kN/m2→2,7*3,30*0,40=3,56kN/m2. Essa carga é considerada na
Consola 2.
Os valores das sobrecargas dependem da utilização do ambiente arquitectónico que
ocupa a região da laje em estudo e neste caso por ser uma edificação residencial, esse
parâmetro toma o valor de 2kN/m2.
Combinação das acções: Combinação fundamental: Psd=1,5*(g+q)
I.12.3 Cálculo de esforços nas lajes recorrendo às tabelas de Barés
Mx= Psd x α x Lx2
My= Psd x α x Ly2
Sendo,
α: parâmetro tirado da tabela de Barés que depende das condições dos apoios das lajes,
da sua relação entre os vãos, =Lx/Ly e ainda do coeficiente de Poisson, μ, que no caso
em estudo considerou-se 0,15.
I.12.3.1 Cálculo do Momento positivo
Modelo de cálculo: Método de Marcus
Combinação das acções:
Condição de cálculo 2
Psd2= 1,50 kN/m2
Condição de cálculo 1
Psd1= 14,63 kN/m2
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 124
Quadro I.4 – Momentos positivos no pavimento em estudo
Condição de cálculo 1 Condição de cálculo 2
Lx
m
Ly
m
Psd1
KN/m2
α M1
+
kN.m/m
Psd2
KN/m2
α M2
+
kN.m/m
Mtotal+
kN.m/m
L1 Mxmáx
+
6,5 5,5 1,18
14,63
0,019 11,74
1,5
0,0305 1,93 13,68
Mymáx + 0,0356 15,76 0,056 2,54 18,30
L2 iMxmáx
+
3,5 12 0,29 - 12,62 - 2,30 14,92
iiMxmáx
+ - 7,47 - 2,30 9,76
L3 iii
Mymáx +
10 5 2,00 - 45,72 - 4,69 50,41
ivMymáx
+ - 25,76 - 4,69 30,44
L4 Mxmáx
+
6,5 6,5 1,00 0,0269 16,63 0,0423 2,68 19,31
Mymáx + 0,0269 16,63 0,0423 2,68 19,31
L5 vMymáx
+
3 1,5 2,00 - 4,11 - 0,42 4,54
viMymáx
+ - 2,32 - 0,42 2,74
L6=L7 Mxmáx
+
4 7 0,57 0,0531 12,43 0,0897 2,15 14,58
Mymáx +
0,006 4,30 0,0114 0,84 5,14
I.12.3.2 Cálculo do Momento negativo
Combinação das acções: Psd = 1,5*g +1,5*q = 1,5*8,75 + 1,5*2=16,13kN/m2
Quadro I.5 – Momentos positivos no pavimento em estudo
Lx
m
Ly
m
Psd1
KN/m2
α M
-
kN.m/m
L1
Mxmáx -
6,50 5,50
16,13
1,18
-0,0546 -37,21
Mxmáx + 0,019 12,95
Mymáx - -0,0853 -41,62
Mymáx + 0,0356 17,37
iL2
Mxmáx -
3,50 12,00 -
-24,70
Mxmáx + 13,91
iiL2
Mxmáx - -16,47
Mxmáx + 8,23
L3
iiiMymáx +
10,00 5,00 -
50,41 ivMymáx - -50,41
ivMymáx + 28,40
L4
Mxmáx -
6,50 6,50 1,00
-0,0699 -47,64
Mxmáx + 0,0269 18,33
Mymáx - -0,0699 -47,64
Mymáx + 0,0269 18,33 vL5 Mymáx +
3,00 1,50 -
4,54
viL5
Mymáx - -4,54
Mymáx + 2,56
L6=L7
Mxmáx -
4,00 7,00 0,57
-0,113 -29,16
Mxmáx + 0,0531 13,70
Mymáx - -0,0267 -21,10
Mymáx + 0,006 4,74 iMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente às aberturas.
iiMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L3 e L5.
iiiMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente à abertura..
ivMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L6 e L7.
vMomento determinado considerando apoio simples no bordo adjacente à abertura.
viMomento determinado considerando encastramento no bordo adjacente a L6 e abertura.
Obs. A laje L6 não consta na tabela. Por isso, para a determinação dos esforços foi
considerado que esta laje tem a seguinte geometria:
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 125
I.12.4 Cálculo do Momento nas consolas
Consola 1 e 3
O valor de 6,75kN/m2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual
1,5kN/m2 e peso próprio da laje igual 5,25 kN/m
2.
Mymáx –=1,5*(6,75*1,5
2/2)+1,5*(5*1
2/2+2*0,5*1,25)
Mymáx –= 1,5*(-7,59-3,75)=-17,02kN.m/m
Consola 2
Nessa consola entra a carga da parede exterior, sendo esta considerada distribuída em toda a
consola. Logo as cargas permanentes a considerar são 6,75+3,56=10,31kN/m2.
Mymáx –=1,5*(10,31*1,5
2/2)+1,5*(5*1
2/2+2*0,5*1,25)
Mymáx –= 1,5*(-11,59-3,75)=-23,02kN.m/m
Consola 4 e 5
Estas consolas estão submetidas às mesmas cargas que as Consolas 1 e 2, mas o vão destas
lajes é de 1,75m.
Mymáx–=1,5*(6,75*1,75
2/2)+1,5*(5*1
2/2+2*0,75*1,375)
Mymáx –= 1,5*(-10,34-4,56)=-22,35kN.m/m
I.12.5 Equilíbrio de momentos negativos nos apoios
Corte L1, L2 e L3
MB= Máx
4
2
5
Corte AA’: Laje L1, L2 e L3
Momentos calculados pelas tabelas isoladamente
-16,47 -16,47
-37,21
á B B
MB= - 29,77kN.m/m
Carga permanente Sobrecarga
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 126
MC= Máx
Situação antes do equilíbrio de momentos negativos nos apoios
Situação após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios
↔
↔
Corte L4, L2, L5
MB= Máx
MC= Máx
Situação antes do equilíbrio de momentos negativos nos apoios
Situação após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios
á
MC= -13,17kN.m/m
á B B
MB= - 38,11kN.m/m
á
MC= -13,17kN.m/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 127
↔
↔
Corte L1 e L4
MB= Máx
Situação antes do equilíbrio de momentos negativos nos apoios
Situação após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios
↔
↔
Corte L3 e L6 ou L7
MB= Máx
á B B
MB= - 44,63kN.m/m
á B B
MB= -40,33kN.m/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 128
Situação antes do equilíbrio de momentos negativos nos apoios
Situação após o equilíbrio de momentos negativos nos apoios
↔
↔
I.12.5 Momento positivo máximo após o equilíbrio de momento negativo nos
apoios intermédios
Laje L2
A laje L2 sofreu uma redução do momento positivo devido a compatibilização de momento
negativo (ver corte L1, L2 e L3 e corte L4, L2, L5, L6 e L7), portanto o momento positivo de
dimensionamento é o momento calculado pelo método de Marcus.
Laje L3
↔
→ Momento calculado considerando a combinação das acções Psd =
1,5*(g +q), (ver o Quadro I.5)
Laje L4
b) Situação após o equilíbrio do momento
negativo nas duas direcções c) Situação inicial
Psd = 1,5x(Carga permanente + sobrecarga)
b) Situação inicial
Psd = 1,5x(Carga permanente + sobrecarga)
b) Situação após o equilíbrio do momento
negativo nas duas direcções
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 129
Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção X
bx) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção X:
Situação cx)
Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), bx) e cx)
obtêm-se Mx1s+ e My1s
+:
Momento positivo após o equilíbrio do momento na direcção Y
by) Situação após o equilíbrio do momento negativo na direcção Y:
Situação cy)
My+ e Mx
+→??
Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)
Tabela de Barés: ν= 0,15
Mx+= 0,0291*16,13*6,5
2=19,83kN.m/m
My+=0,0354*16,13*5,5
2=24,12kN.m/m
Mxvs = -47,64→Mxs=+18,33
Mxvs= 0 →Mxs = +19,83
Mxvs = -38,11→Mx1s=?
↔ Mx1s = 18,63
∆ Mx1s=18,63-18,33= 0,30
Mxvs = -47,64 →Mys=+18,33
Mxvs = 0 →Mys = +24,12
Mxvs = -38,11→My1s =?
↔ My1s= 19,49
∆ My1s=19,49-18,33=1,16
Psd=1,5*(g+q) =16,13 kN/m2)
Tabela de Barés: ν = 0,15
Mx+
=0,0354*16,13*6,52 =24,12 kN.m/m
My+=0,0291*16,13*5,52=19,83 kN.m/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão ANEXO I
Keila S. G. Robalo. 130
Por interpolação dos esforços dados pelas tabelas representadas nas situações a), by) e cy)
obtêm-se My2+ e Mx 2
+.
Mx+
= Mx+
(situação inicial) + ∆ Mx1s + ∆ Mx2s = 18,33 +0,30+0,37 = 19kN.m/m < Mx
+ dado
pelo método de Marcus
My+
= My+ (situação inicial) + ∆ My1s
+ ∆ My2s = 18,33+1,16+0,1= 19,59 kN.m/m > My
+ dado
pelo método de Marcus
Momento a adoptar para o dimensionamento da laje L4
I.12.6 Momentos de dimensionamento no pavimento em estudo
Figura I.23 – Momentos flectores no pavimento em estudo.
L4
Mxmáx - = -38,11 kN.m/m
Mxmáx + = 19,31 kN.m/m
Mymáx - = -44,63 kN.m/m
Mymáx += 19,59 kN.m/m
Myvs= -47,64→Mxs= +18,33
Myvs=0 → Mxs =+24,12
Myvs= - 44,63→Mx2s=?
↔ Mx2s=18,70
∆ Mx2s=18,70 -18,33= 0,37
Myvs = - 47,64→Mys = +18,33
Myvs =0 → Mys = +19,83
Mxvs = - 44,63→ My2s = ?
↔ My2s = 18,43
∆ My2s=18,43- 18,33 = 0,1
Momento obtido através do Método de
Marcus
Momento resultante do equilíbrio de momentos negativos
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G Robalo. 131
Anexo II: Análise das lajes maciças fungiformes através do método
dos pórticos equivalentes.
II.1 Carregamentos nos Pórticos
Figura II.1 – Carregamentos no Pórtico 1X.
_______------________________sadcs
Figura II.2 – Carregamentos no Pórtico 3x
jjjj
kjhjkfvuj
63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 k/m
63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m
63 kN/m
63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m
63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m
63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m 63 kN/m
Sz<dasf
sdfvcsgb
55,13kN/m 55,13k/m
55,13 kN/m 27,56 kN/m
55,13 kN/m
27,56 kN/m
55,13kN/m 55,13 kN/m 27,56kN/m
55,13 kN/m 55,13kN/m 27,56 kN/m
55,13 kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 27,56 kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 132
Figura II.3 – Carregamentos no Pórtico 4X.
--------------ghhg
Figura II.4 – Carregamentos no Pórtico 1Y.
Cálculo dos momentos nos pórticos equivalentes:
55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m
55,13 kN/m 55,13 kN/m 55,13 kN/m
Gvfvgnbn
gfjh
39,38 kN/m
39,38 kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38 kN/m
39,38 kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38 kN/m
39,38 kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38 kN/m
39,38 kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38 kN/m
39,38 kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 133
Figura II.5 – Carregamentos no Pórtico 2Y.
Figura II.6 – Carregamentos no Pórtico 3Y.
Gvfvgnbn
gfjh
78,75 kN/m
78,75 kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75 kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75 kN/m
78,75 kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75 kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75 kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
78,75kN/m
Sz<dasf
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
63kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 134
---klk
Figura II.7 – Carregamentos no Pórtico 4Y
Figura II.8 – Carregamentos no Pórtico 5y
Gvfvgnbn
gfjh
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m 39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
39,38kN/m
23,67kN/m
23,67kN/m
23,63kN/m
23,67kN/m
23,67kN/m
23,67kN/m
23,67kN/m
23,63kN/m
23,67kN/m
23,67kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
47,25kN/m
Gvfvgnbn
gfjh
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13 kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
55,13kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 135
Jsdjh
Figura II.9 – Carregamentos no Pórtico 6y.
Gvfvgnbn
gfjh
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
55,13kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
55,13kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
55,13kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
55,13kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
31,50kN/m
55,13kN/m
31,50kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 136
II.2 Distribuição dos momentos nas faixas sobre o pilar e nas faixas centrais
Quadro II.1 – Distribuição dos momentos no Pórtico 1X
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
1x
Externo 1
Msd (apoio1) -77,21 Central 2,00 0,25 -19,30 -9,65
Sobre o pilar 2,00 0,75 -57,91 -28,95
Msd (vão) 85,21 Central 2,00 0,45 38,34 19,17
Sobre o pilar 2,00 0,55 46,87 23,43
Msd (apoio2) -146,13 Central 2,00 0,25 -36,53 -18,27
Sobre o pilar 2,00 0,75 -109,60 -54,80
Interno 1
Msd (apoio1) -141,46 Central 2,00 0,25 -35,37 -17,68
Sobre o pilar 2,00 0,75 -106,10 -53,05
Msd (vão) 71,91 Central 2,00 0,45 32,36 16,18
Sobre o pilar 2,00 0,55 39,55 19,78
Msd (apoio2) -108,48 Central 2,00 0,25 -27,12 -13,56
Sobre o pilar 2,00 0,75 -81,36 -40,68
Interno 2
Msd (apoio1) -75,30 Central 2,50 0,25 -18,83 -7,53
Sobre o pilar 1,50 0,75 -56,48 -37,65
Msd (vão) 11,24 Central 2,50 0,45 5,06 2,02
Sobre o pilar 1,50 0,55 6,18 4,12
Msd (apoio2) -43,98 Central 2,50 0,25 -11,00 -4,40
Sobre o pilar 1,50 0,75 -32,99 -21,99
Interno 3
Msd (apoio1) -43,19 Central 2,50 0,25 -10,80 -4,32
Sobre o pilar 1,50 0,75 -32,39 -21,60
Msd (vão) 17,52 Central 2,50 0,45 7,88 3,15
Sobre o pilar 1,50 0,55 9,64 6,42
Msd (apoio2) -63,52 Central 2,50 0,25 -15,88 -6,35
Sobre o pilar 1,50 0,75 -47,64 -31,76
Externo 2
Msd (apoio1) -77,96 Central 2,25 0,25 -19,49 -8,66
Sobre o pilar 1,75 0,75 -58,47 -33,41
Msd (vão) 61,43 Central 2,25 0,45 27,64 12,29
Sobre o pilar 1,75 0,55 33,79 19,31
Msd (apoio2) -51,18 Central 2,25 0,25 -12,80 -5,69
Sobre o pilar 1,75 0,75 -38,39 -21,93
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 137
Quadro II.2 – Distribuição dos momentos no Pórtico 3X
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
3x
Externo 1
Msd (apoio1) -70,41 Central 1,75 0,25 -17,60 -10,06
Sobre o pilar 1,75 0,75 -52,81 -30,18
Msd (vão) 73,09 Central 1,75 0,45 32,89 18,79
Sobre o pilar 1,75 0,55 40,20 22,97
Msd (apoio2) -127,97 Central 1,75 0,25 -31,99 -18,28
Sobre o pilar 1,75 0,75 -95,98 -54,84
Interno 1
Msd (apoio1) -123,45 Central 1,75 0,25 -30,86 -17,64
Sobre o pilar 1,75 0,75 -92,59 -52,91
Msd (vão) 64,61 Central 1,75 0,45 29,07 16,61
Sobre o pilar 1,75 0,55 35,54 20,31
Msd (apoio2) -91,89 Central 1,75 0,25 -22,97 -13,13
Sobre o pilar 1,75 0,75 -68,92 -39,38
Interno 2
Msd (apoio1) -51,14 Central 0,75 0,25 -12,79 -17,05
Sobre o pilar 0,75 0,75 -38,36 -51,14
Msd (vão) -5,30 Central 0,75 0,25 -1,33 -1,77
Sobre o pilar 0,75 0,75 -3,98 -5,30
Msd (apoio2) -23,75 Central 1,00 0,25 -5,94 -5,94
Sobre o pilar 0,75 0,75 -17,81 -23,75
Interno 3
Msd (apoio1) -32,77 Central 2,00 0,25 -8,19 -4,10
Sobre o pilar 1,50 0,75 -24,58 -16,39
Msd (vão) 18,74 Central 2,00 0,45 8,43 4,22
Sobre o pilar 1,50 0,55 10,31 6,87
Msd (apoio2) -53,79 Central 2,00 0,25 -13,45 -6,72
Sobre o pilar 1,50 0,75 -40,34 -26,90
Externo 2
Msd (apoio1) -68,28 Central 1,75 0,25 -17,07 -9,75
Sobre o pilar 1,75 0,75 -51,21 -29,26
Msd (vão) 52,62 Central 1,75 0,45 23,68 13,53
Sobre o pilar 1,75 0,55 28,94 16,54
Msd (apoio2) -47,00 Central 1,75 0,25 -11,75 -6,71
Sobre o pilar 1,75 0,75 -35,25 -20,14
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 138
Quadro II.3 – Distribuição dos momentos no Pórtico 4x
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
4x'
Externo1'
Msd (apoio1) -70,77 Central 1,75 0,25 -17,69 -10,11
Sobre o pilar 1,75 0,75 -53,08 -30,33
Msd (vão) 72,09 Central 1,75 0,45 32,44 18,54
Sobre o pilar 1,75 0,55 39,65 22,66
Msd (apoio2) -129,62 Central 1,75 0,25 -32,41 -18,52
Sobre o pilar 1,75 0,75 -97,22 -55,55
Externo2'
Msd (apoio1) -129,62 Central 1,75 0,25 -32,41 -18,52
Sobre o pilar 1,75 0,75 -97,22 -55,55
Msd (vão) 72,09 Central 1,75 0,45 32,44 18,54
Sobre o pilar 1,75 0,55 39,65 22,66
Msd (apoio2) -70,77 Central 1,75 0,25 -17,69 -10,11
Sobre o pilar 1,75 0,75 -53,08 -30,33
4x''
Externo1''
Msd (apoio1) -26,06 Central 1,88 0,25 -6,52 -3,47
Sobre o pilar 1,63 0,75 -19,55 -12,03
Msd (vão) 23,18 Central 1,88 0,45 10,43 5,56
Sobre o pilar 1,63 0,55 12,75 7,85
Msd (apoio2) -51,62 Central 1,88 0,25 -12,91 -6,88
Sobre o pilar 1,63 0,75 -38,72 -23,82
Externo2''
Msd (apoio1) -69,21 Central 1,75 0,25 -17,30 -9,89
Sobre o pilar 1,75 0,75 -51,91 -29,66
Msd (vão) 52,95 Central 1,75 0,45 23,83 13,62
Sobre o pilar 1,75 0,55 29,12 16,64
Msd (apoio2) -45,42 Central 1,75 0,25 -11,36 -6,49
Sobre o pilar 1,75 0,75 -34,07 -19,47
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 139
Quadro II.4– Distribuição dos momentos no Pórtico 1y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
1y
Externo 1 Msd
(apoio2) -44,30
Central 1,75 0,25 -11,08 -6,33
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -33,23 -44,30
Interno 1
Msd
(apoio1) -69,97
Central 1,25 0,25 -17,49 -13,99
Sobre o
pilar 1,25 0,75 -52,48 -41,98
Msd (vão) 48,87
Central 1,25 0,45 21,99 17,59
Sobre o
pilar 1,25 0,55 26,88 21,50
Msd
(apoio2) -78,42
Central 1,25 0,25 -19,61 -15,68
Sobre o
pilar 1,25 0,75 -58,82 -47,05
Interno 2
Msd
(apoio1) -51,79
Central 1,63 0,25 -12,95 -7,97
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -38,84 -44,39
Msd (vão) 15,31
Central 1,63 0,45 6,89 4,24
Sobre o
pilar 0,88 0,55 8,42 9,62
Msd
(apoio2) -38,20
Central 1,63 0,25 -9,55 -5,88
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -28,65 -32,74
Interno 3
Msd
(apoio1) -33,85
Central 1,63 0,25 -8,46 -5,21
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -25,39 -29,01
Msd (vão) 17,45
Central 1,63 0,45 7,85 4,83
Sobre o
pilar 0,88 0,55 9,60 10,97
Msd
(apoio2) -51,85
Central 1,63 0,25 -12,96 -7,98
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -38,89 -44,44
Externo 2 Msd
(apoio1) -60,30
Central 0,88 0,25 -15,08 -17,23
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -45,23 -27,83
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 140
Quadro II.5 – Distribuição dos momentos no pórtico 2y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
2y
Externo 3 Msd
(apoio2) -88,59
Central 3,50 0,25 -22,15 -6,33
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -66,44 -44,30
Interno 1
Msd
(apoio1) -128,76
Central 2,50 0,25 -32,19 -12,88
Sobre o
pilar 2,50 0,75 -96,57 -38,63
Msd (vão) 105,69
Central 2,50 0,45 47,56 19,02
Sobre o
pilar 2,50 0,55 58,13 23,25
Msd
(apoio2) -152,04
Central 2,50 0,25 -38,01 -15,20
Sobre o
pilar 2,50 0,75 -114,03 -45,61
Interno 2
Msd
(apoio1) -112,25
Central 3,25 0,25 -28,06 -8,63
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -84,19 -48,11
Msd (vão) 26,59
Central 3,25 0,45 11,97 3,68
Sobre o
pilar 1,75 0,55 14,62 8,36
Msd
(apoio2) -75,75
Central 3,25 0,25 -18,94 -5,83
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -56,81 -32,46
Interno 3
Msd
(apoio1) -67,86
Central 3,25 0,25 -16,97 -5,22
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -50,90 -29,08
Msd (vão) 32,26
Central 3,25 0,45 14,52 4,47
Sobre o
pilar 1,75 0,55 17,74 10,14
Msd
(apoio2) -108,80
Central 3,25 0,25 -27,20 -8,37
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -81,60 -46,63
Externo 2 Msd
(apoio1) -120,59
Central 3,25 0,25 -30,15 -9,28
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -90,44 -51,68
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 141
Quadro II.6 – Distribuição dos momentos no Pórtico 3y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
3y
Externo 3 Msd (apoio2) -70,88 Central 2,50 0,25 -17,72 -7,09
Sobre o pilar 1,50 0,75 -53,16 -35,44
Interno 1
Msd (apoio1) -113,97 Central 2,00 0,25 -28,49 -14,25
Sobre o pilar 2,00 0,75 -85,48 -42,74
Msd (vão) 83,24 Central 2,00 0,45 37,46 18,73
Sobre o pilar 2,00 0,55 45,78 22,89
Msd (apoio2) -109,03 Central 2,00 0,25 -27,26 -13,63
Sobre o pilar 2,00 0,75 -81,77 -40,89
Interno 2
Msd (apoio1) -82,87 Central 1,63 0,25 -20,72 -12,75
Sobre o pilar 0,88 0,75 -62,15 -71,03
Msd (vão) 5,79 Central 1,63 0,45 2,61 1,60
Sobre o pilar 0,88 0,55 3,18 3,64
Msd (apoio2) -39,84 Central 2,38 0,25 -9,96 -4,19
Sobre o pilar 1,63 0,75 -29,88 -18,39
Interno 3
Msd (apoio1) -43,06 Central 1,63 0,25 -10,77 -6,62
Sobre o pilar 0,88 0,75 -32,30 -36,91
Msd (vão) 24,42 Central 1,63 0,45 10,99 6,76
Sobre o pilar 0,88 0,55 13,43 15,35
Msd (apoio2) -28,71 Central 1,63 0,25 -7,18 -4,42
Sobre o pilar 0,88 0,75 -21,53 -24,61
Externo 2
Msd (apoio1) -18,94 Central 1,63 0,25 -4,74 -2,91
Sobre o pilar 0,88 0,75 -14,21 -16,23
Msd (vão) 2,45 Central 1,63 0,45 1,10 0,68
Sobre o pilar 0,88 0,55 1,35 1,54
Msd (apoio2)
-6,30 Central 1,63 0,25 -1,58 -0,97
Sobre o pilar 0,88 0,75 -4,73 -5,40
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 142
Quadro II.7 – Distribuição dos momentos no Pórtico 4y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
4y
Externo 1 Msd
(apoio2) -53,16
Central 1,50 0,25 -13,29 -8,86
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -39,87 -26,58
Interno 1
Msd
(apoio1) -88,27
Central 1,50 0,25 -22,07 -14,71
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -66,20 -44,14
Msd (vão) 59,74
Central 1,50 0,45 26,88 17,92
Sobre o
pilar 1,50 0,55 32,86 21,90
Msd
(apoio2) -87,56
Central 1,50 0,25 -21,89 -14,59
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -65,67 -43,78
Interno 2
Msd
(apoio1) -64,23
Central 1,25 0,25 -16,06 -12,85
Sobre o
pilar 1,25 0,75 -48,17 -38,54
Msd (vão) 17,71
Central 1,25 0,45 7,97 6,38
Sobre o
pilar 1,25 0,55 9,74 7,79
Msd
(apoio2) -33,06
Central 1,50 0,25 -8,27 -5,51
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -24,80 -16,53
Interno 3
Msd
(apoio1) -29,73
Central 0,75 0,25 -7,43 -9,91
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -22,30 -29,73
Msd (vão) 12,67
Central 0,75 0,45 5,70 7,60
Sobre o
pilar 0,75 0,55 6,97 9,29
Msd
(apoio2) -17,29
Central 0,75 0,25 -4,32 -5,76
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -12,97 -17,29
Externo 2
Msd
(apoio1) -11,66
Central 0,75 0,25 -2,92 -3,89
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -8,75 -11,66
Msd (vão) 1,66
Central 0,75 0,45 0,75 1,00
Sobre o
pilar 0,75 0,55 0,91 1,22
Msd
(apoio2) -3,11
Central 0,75 0,25 -0,78 -1,04
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -2,33 -3,11
lkkkk
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 143
Quadro II.8 – Distribuição dos momentos no Pórtico 5y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
5y
Externo 1 Msd
(apoio2) -62,02
Central 2,00 0,25 -15,51 -7,75
Sobre o
pilar 1,50 0,75 -46,52 -31,01
Interno 1
Msd
(apoio1) -94,30
Central 1,75 0,25 -23,58 -13,47
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -70,73 -40,41
Msd (vão) 70,99
Central 1,75 0,45 31,95 18,25
Sobre o
pilar 1,75 0,55 39,04 22,31
Msd
(apoio2) -108,29
Central 1,75 0,25 -27,07 -15,47
Sobre o
pilar 1,75 0,75 -81,22 -46,41
Interno 2
Msd
(apoio1) -75,58
Central 1,88 0,25 -18,90 -10,08
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -56,69 -34,88
Msd (vão) 20,09
Central 1,88 0,45 9,04 4,82
Sobre o
pilar 1,63 0,55 11,05 6,80
Msd
(apoio2) -53,08
Central 1,88 0,25 -13,27 -7,08
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -39,81 -24,50
Interno 3
Msd
(apoio1)
-47,21 Central 1,88 0,25 -11,80 -6,29
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -35,41 -21,79
Msd (vão)
23,60 Central 1,88 0,45 10,62 5,66
Sobre o
pilar 1,63 0,55 12,98 7,99
Msd
(apoio2)
-74,42 Central 1,88 0,25 -18,61 -9,92
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -55,82 -34,35
Externo 2 Msd
(apoio1)
-84,42 Central 1,88 0,25 -21,11 -11,26
Sobre o
pilar 1,63 0,75 -63,32 -38,96
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO II
Keila S. G. Robalo. 144
Quadro II.9 – Distribuição dos momentos no Pórtico 6y
Pórtico Troço Momentos no pórtico
Faixa Lfaixa Coef. De
Repartição
Msd Msd
[kN.m] [m] [kN.m] [kN.m/m]
6y
Externo 1 Msd
(apoio1) -35,44
Central 1,25 0,25 -8,86 -7,09
Sobre o
pilar 0,75 0,75 -26,58 -35,44
Interno 1
Msd
(apoio1) -57,24
Central 1,00 0,25 -14,31 -14,31
Sobre o
pilar 1,00 0,75 -42,93 -42,93
Msd
(vão) 38,21
Central 1,00 0,45 17,19 17,19
Sobre o
pilar 1,00 0,55 21,02 21,02
Msd
(apoio2) -63,22
Central 1,00 0,25 -15,81 -15,81
Sobre o
pilar 1,00 0,75 -47,42 -47,42
Interno 2
Msd
(apoio1) -40,24
Central 1,13 0,25 -10,06 -8,94
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -30,18 -34,49
Msd
(vão) 12,72
Central 1,13 0,45 5,72 5,09
Sobre o
pilar 0,88 0,55 7,00 8,00
Msd
(apoio2) -30,79
Central 1,13 0,25 -7,70 -6,84
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -23,09 -26,39
Interno 3
Msd
(apoio1) -27,25
Central 1,13 0,25 -6,81 -6,06
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -20,44 -23,36
Msd
(vão) 14,24
Central 1,13 0,45 6,41 5,70
Sobre o
pilar 0,88 0,55 7,83 8,95
Msd
(apoio2) -40,74
Central 1,13 0,25 -10,19 -9,05
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -30,56 -34,92
Externo 2 Msd
(apoio1) -48,23
Central 1,13 0,25 -12,06 -10,72
Sobre o
pilar 0,88 0,75 -36,17 -41,34
Anexos
Keila S. G Robalo. 145
Anexo III: Quantificações das acções nos pórticos
Figura III.1 – Distribuição das cargas das lajes para as vigas - Linhas de influência
O parâmetro P é igual a carga permanente da laje (g) mais a sobrecarga (q) e L é o vão do
cálculo da laje.
As cargas permanentes consideradas nas lajes L1 a L7 foram 8,75kN/m2
(revestimento=1,5kN/m2, peso próprio=5,25kN/m
2, peso das paredes divisórias =2kN/m
2) e as
sobrecargas consideradas foram 2kN/m2.
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 146
III.1 Quantificação das cargas das paredes
Parede exterior
Considerou-se que a parede exterior é de tijolo furado leve com 0,32 metros de espessura.
Para esye tipo de parede o peso específico é de 3,30kN/m2, incluindo argamassa de
assentamento, segundo as Tabelas Técnicas. Sendo o pé-direito dos pisos 2,7 metros, obteve-
se o peso próprio das paredes externas igual a 8,91kN/m (2,7m*3,30kN/m).
Parede interior
Considerou-se que a parede interior é de tijolo furado leve com 0,24 metros de espessura. Para
este tipo de parede o peso específico é de 2,60kN/m2, incluindo argamassa de assentamento.
Sendo assim obteve-se o peso próprio das paredes internas igual 2,7m*2,60kN/m2=7,09kN/m.
III.2 Determinação das reacções das lajes em consola
Consola 1 e 3
Determinação das cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das
consolas para as vigas
O valor de 6,75kN/m2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual
1,5kN/m2 e peso próprio da laje igual 5,25 kN/m
2.
Consola 2
Nessa consola entra a carga da parede exterior, sendo esta considerada distribuída em toda a
consola conforme preconizada pelo RSA. Portanto as cargas permanentes consideradas foram
6,75+8,91*0,4=10,31kN/m2.
Consola 4 e 5
Essas consolas estão submetidas as mesmas cargas que as Consolas 1 e 3, diferindo destas
apenas nos vãos.
Cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das consolas para as vigas,
O valor de 6,75kN/m
2 corresponde a soma das cargas permanentes: Revestimento igual
1,5kN/m2 e peso próprio da laje igual 5,25 kN/m
2.
gconsola=1,5*6,75=10,13kN/m qconsola=0,5*2+1*5=6kN/m
8,75kN/m
1,5m
1m 1,5m 1m
5kN/m 2kN/m
Cargas permanentes, gconsola e cargas variáveis qconsola transmitidas das consolas para as vigas,
gconsola=1,5*10,31=15,47kN/m qconsola=0,5*2+1*5=6kN/m
10,31kN/m
1,5m
1m
gconsola=1,75*6,75=11,81kN/m qconsola=0,75*2+1*5=6,5kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 147
III.3 Determinação das reacções das lajes de escadas
Quadro III.1 – Acções consideradas nas escadas
Lanço Patamar
α 34 º
Peso próprio (Pplaje) = (gbetão*hlaje)*cos(a) 4,38kN/m2 5,28kN/m
2 4,38kN/m
2
Peso de degraus (Ppdegraus) = gbetão*hdegraus/2 -- 2,13kN/m2 --
Revestimento (Rev) -- 1,50kN/m2
Carga permanente 8,90kN/m2 5,88kN/m
2
Sobrecarga (Sob) -- 3 kN/m2
11,90kN/m
2 8,88kN/m
2
Figura III.2 – Reacções das lajes de escada.
As reacções g1 e q1 foram aplicadas no Pórtico 5 e as reacções g2 e q2 foram aplicadas no
Pórtico 8.
III.4 Quantificação das cargas transmitidas da viga do Pórtico 12 para a viga
do Pórtico 4
Para a determinação da carga transmitida da viga do Pórtico 12 para a viga do Pórtico 4
considerou-se que a primeira apoia sobre a segunda por meio de um apoio elástico, cuja
rigidez foi determinada da seguinte forma: Aplicou-se uma carga unitária no Pórtico 4, no
ponto da ligação das duas vigas, onde se pretende determinar o deslocamento. Primeiramente
foi aplicada a carga unitária no referido ponto no piso 5 e determinou-se o deslocamento da
viga do referido piso. Depois aplicou-se novamente a carga unitária no piso 4 e determinou-se
o deslocamento da viga do piso 4 e assim sucessivamente até ao primeiro piso. Determinados
os deslocamentos, calculou-se a sua rigidez. A seguir apresenta-se o quadro com o
deslocamento obtido no nó em análise em cada piso e respectiva rigidez.
5,88KN/m2
d2=2,1m d3=1,4md1=1,75m
34
8,9KN/m25,88KN/m2 Cp(L5)=8,75KN/m2
d4=1,5m
d2=2,1m d3=1,4md1=1,75m
34
q(L5)=2KN/m2
d4=1,5m
q=3KN/m2
g1=14,2kN/m
g2=44,3kN/m
q1=6,2kN/m
q2=16,8kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 148
Figura III.3 – Diagrama de deslocamento.
Quadro III.2 – Deslocamento obtido no nó em análise em cada piso e respectiva rigidez.
Deslocamento vertical (m) Kmola (kN)
5ºPiso 6,870E-06 145560
4ºPiso 5,750E-06 173913
3ºPiso 5,160E-06 193798
2ºPiso 4,584E-06 218150
1ºPiso 3,979E-06 251319
Conhecido o valor da rigidez do apoio flexível do Pórtico 12 procedeu-se a sua análise de
modo a determinar a reacção da mola que corresponde a carga que a viga do pórtico 12
transmite ao Pórtico 4.
Para além das cargas referidas anteriormente, também considerou-se o peso próprio das vigas
é igual 3,75kN/m (0,3m*0,5m*25kN/m3) e o peso do pilar com o valor de 6,1kN
(0,3m*0,3m*2,7m*25 kN/m3)
Nas lajes armadas numa direcção onde há partes da carga que foram duplicadas, para o efeito
de dimensionamento dos pilares essas cargas devem ser descontadas. Os valores das cargas a
descontar correspondem às reacções dessas lajes.
A seguir apresentam se detalhadamente as cargas a actuar nos pórticos
III.5 Acções no Pórtico 2
Figura III.4 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 2.
rigidez.
.
1
rigidez.
vbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbb
bbbbbb
rigidez.
.
1
1
d=-6,87*10-6
P6 P7 P9
P(viga)=3,75kN/m
P8
P(p. ext.)=
8,91kN/m
P(viga)=3,75kN/m
g (L3) =
21,88kN/mg (L3) =27,34kN/m
g (L6) =2,5*8,75
=21,88kN/m
2.5
g (L6) =1*8,75
=8,75kN/m
g (L6) =0,5*8,75
=4,375kN/m
g (L3) =27,34kN/m
P6 P7 P9P8
q (L3) =5kN/m q (L3) =6,25kN/m
q (L6) =2,5*2=5kN/m
2.5
q (L6) =1*2=2kN/m
q (L6) =0,5*2
=1kN/m
q (L3) =6,25kN/m
1.50.5
1.50.5
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P6 P7 P9
P(viga)=3,75kN/m
P8
P(p. ext.)=
8,91kN/m
P(viga)=3,75kN/m
g (L3) =
21,88kN/mg (L3) =27,34kN/m
g (L6) =2,5*8,75
=21,88kN/m
2.5
g (L6) =1*8,75
=8,75kN/m
g (L6) =0,5*8,75
=4,375kN/m
g (L3) =27,34kN/m
P6 P7 P9P8
q (L3) =5kN/m q (L3) =6,25kN/m
q (L6) =2,5*2=5kN/m
2.5
q (L6) =1*2=2kN/m
q (L6) =0,5*2
=1kN/m
q (L3) =6,25kN/m
1.50.5
1.50.5
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 149
III.6 Acções no Pórtico 3
Figura III.5 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 3.
III.6 Acções no Pórtico 4
Figura III.6 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 4.
III.7 Acções no Pórtico 5
Figura III.7 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 5.
P10 P11
2.0 3.5
P(viga)=3,75kN/m
g (L1) =3,5*8,75=30,63kN/m
g (L4) =4,1*8,75=35,88kN/m
2.3 4.1
P1 P2
2.0 3.5
q (L1) =3,5*2=7kN/m
q (L4) =4,1*2=8,2kN/m
2.3 4.1P
(pil
ar)
= 6
,1k
N
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P12 P13
2.0
g (L5) =
6,56kN/m
g (L5)=
8,20kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)=7,09kN/m
P(pi
lar)
= 6,
1kN
P(pi
lar)
= 6,
1kN
g (L6)=0,9*8,75=7,88kN/m
g (L6)=0,4* 8,75=3,5kN/m
RPó
rtic
o12=
13k
N
P12 P13
2.0
q (L5) =
1,5kN/m
q (L5)=
1,88kN/m
q (L6)=0,9*2=1,8kN/m
q (L6)=0,4* 2=0,8kN/m
RPó
rtic
o12=
0,5
kN
P14 P15
2.0
g (L5) =
6,56kN/m g (L5)=4,92kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)=7,09kN/m
g (Escada)=44,3kN/m
P14 P15
2.0
q (L5) =
1,5kN/mq (L5)=1,13kN/m
q (Escada)=16,8kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 150
III.8 Acções no Pórtico 6
Figura III.8 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 6.
III.9 Acções no Pórtico 7
Figura III.9 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 7.
III.10 Acções no Pórtico 8
Figura III.10 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 8.
P17 P18 P19
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 4)=11,81kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L4) =2,4*8,75=21kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)= 8,91kN/m
g (L2)=1*8,75=8,75kN/m
R(L
2)=
15
,31
kN
R(L
2)=
15
,31
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
g (Consola 4)=11,81kN/m
2.3 4.1
P17 P18 P19
q (Consola 4)=6,5kN/m
q (L4) =2,4*2=4,8kN/m q (L2)=1*2=2kN/m
R(L
2)=
3,5
kN
R(L
2)=
3,5
kN
q (Consola 4)=6,5kN/m
2.3 4.1
P17 P18 P19
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 4)=11,81kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L4) =2,4*8,75=21kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)= 8,91kN/m
g (L2)=1*8,75=8,75kN/m
R(L
2)=
15
,31
kN
R(L
2)=
15
,31
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
g (Consola 4)=11,81kN/m
2.3 4.1
P17 P18 P19
q (Consola 4)=6,5kN/m
q (L4) =2,4*2=4,8kN/m q (L2)=1*2=2kN/m
R(L
2)=
3,5
kN
R(L
2)=
3,5
kN
q (Consola 4)=6,5kN/m
2.3 4.1
P20
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 5)=11,81kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L6)=1,1*8,75=9,63kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P21
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P22
P(p
ila
r)=
6,1
kN
1.12.5
g (L7) =1,5*8,75=13,13kN/m
P20
g (Consola 5)=6,5kN/m
qL6)=1,1*2=2,2kN/m
P21 P22
1.12.5
q (L7) =1,5*2=3kN/m
P23 P24
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g(Escada)=14,2kN/m
P23 P24
q(Escada)=6,2kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 151
III.11 Acções no Pórtico 9
Figura III.11 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 9.
III.12 Acções no Pórtico 10
Figura III.12 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 10.
III.13 Acções no Pórtico 11
Figura III.13 – Carga permanente Pórtico 11.
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L4) =2,3*8,75=20,13kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p. ext.)= 8,91kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
3.5
g (L1) =2*8,75=17,5kN/m
4.1
P17 P10 P1
q (L4) =2,3*2=4,6kN/m
3.5
q (L1) =2*2=4kN/m
4.1
P17 P10 P1
q (L4) =4,1*2=8,2kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
3.5
q (L1) =3,5*2=7kN/m
4.1
q (L2) =3,5kN/mq (L2) =
4,38kN/m
q (L2) =
3,5kN/mq (L2) =4,38kN/m
P18 P11 P2
P(viga)=3,75kN/m
g (L4) =4,1*8,75=35,88kN/m
P(viga)=3,75kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
3.5
g (L1) =3,5*8,75=30,63kN/m
4.1
g (L2) =15,32kN/mg (L2) =
19,14kN/m
g (L2) =
15,32kN/mg (L2) =19,14kN/m
P18 P11 P2
g (L5)=
8,75kN/m
g (L2) =
11,48kN/mg (L2) =15,32kN/m
g (L3) =8,75kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P23 P19
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 4)
=6,75kN/m
P(p. ext.)
=8,91kN/m
P(viga)=3,75kN/m
R(C
on
so
la 4
)= 7
,38
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P14
R(L
5)=
8,2
kN
P12
R(L
5)=
4,9
2k
N
P6
R(L
3)=
21
,88
kN
P3
R(L
3)=
21
,88
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(viga)=3,75kN/m
P(p. int.)=7,09kN/m P(p. int.)=7,09kN/m P(p. int.)=7,09kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
g (L2) =11,48kN/mg (L2) =
15,32kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 152
Figura III.14 – Carga variável no Pórtico 11.
III.14 Acções no Pórtico 12
Figura III.15 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 12.
III.15 Acções no Pórtico 13
Figura III.16 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 13.
1.0
P23 P19
5kN/m
P14 P12 P6 P3
q (Consola 4)
2kN/m
R(C
on
so
la 5
)= 1
,75
kN
q (L2) =2,63kN/mq (L2) =
3,5kN/m
q (L5) =
2kN/m
q (L2) =
2,63kN/mq (L2) =3,5kN/m
q (L3) =3,5kN/m
R(L
5)=
1,8
8k
N
R(L
5)=
1,1
3k
N
R(L
3)=
5k
N
R(L
3)=
5k
N
P7
P(viga)=3,75kN/m
P(p. int.)=7,09kN/m
g (L2) =
8,75kN/m
1.0
P(p
ilar
)= 6
,1kN
P7
q (L2) =
1kN/m
1.0
K=
2513
19kN
K=
2513
19kN
P24 P20
P(viga)=3,75kN/m
g (Consola 5)
=6,75kN/m
P(p. ext.)
=8,91kN/m
P(viga)=3,75kN/m
R(C
on
so
la 5
)= 7
,38
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P15
R(L
5)=
6,5
6k
N
P13
R(L
5)=
6,5
6k
N
g (L6)
19,25kN/m
P24 P20
q (Consola 5)
R(C
on
so
la 5
)= 3
,36
kN
P15
R(L
5)=
1,5
kN
P13
R(L
5)=
1,5
kN
q (L6) =2kN/mq (L5) =
2kN/m
3kN/m
q (L6)
4,4kN/m
5kN/m
2kN/m
1.0
1.1
1.1
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p. int.)=7,09kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
g (L6) =9,63kN/mg (L5) =
8,75kN/m
13,13kN/m
Análise Estrutural de Edifícios de Betão Armado ANEXO III
Keila S. G. Robalo. 153
III.16 Acções no Pórtico 14
Figura III.17 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 14.
III.17 Acções no Pórtico 15
Figura III.18 – Carga permanente e carga variável no Pórtico 15.
g (L6) =13,13kN/m
1.5
2.5
P21 P16 P8
g (L7) =5kN/m
1.5
g (L6) =3,8kN/m
1.1
g (L6) =3kN/m
1.5
2.5
P21 P16
P(viga)=3,75kN/m P(viga)=3,75kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P8
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
g (L7) =21,88kN/m
1.5
g (L6) =16,63kN/m
1.1
P21 P16 P8
q (L7) =5kN/m
1.5
q (L6) =3,8kN/m
1.1
q (L6) =3kN/m
1.5
2.5
R(L
3)=
3,7
5k
N
R(L
3)=
6,2
5k
N
P22 P9 P5
P(viga)=3,75kN/m P(viga)=3,75kN/m
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p
ila
r)=
6,1
kN
P(p. ext.)=8,91kN/m P(p. ext.)=8,91kN/m
g (L7) =13,13kN/m
1.52.5
g (L3) =8,75kN/m
Pórtico 15
P22 P9 P5
q (L7) =3kN/m
1.52.5
q (L3) =2kN/m