DERIVADAS ndash EXERCICIOS RESOLVIDOS
1 Dentre todos os retacircngulos de periacutemetro 64cm encontre as medidas
de um dos lados para que sua aacutereas seja maacutexima
a) cmP
Dados
64
yx
yx
yx
yxP
soluccedilatildeo
32
2
64
)(264
22
Re
yyA
yyA
yxA
2
32
)32(
b)
yA
yA
yA
y
y
232acute
32acute
32
2
2
cmy
y
y
16
322
0232
cmx
x
yx
16
1632
32
NBCom este resultado concluiacutemos que para que a aacuterea seja
maacutexima o quadrilaacutetero pedido eacute um quadrado de lado 16cm
REGRA DE DERIVACcedilAtildeO NOS DIVERSOS TIPOS DE FUNCcedilOtildeES
1 Derivada de uma Potencia
Exemplo
1)acute()(
)acute()(
)acute()(
0111
334
23
1
8242
3
xxx
xxx
xx
xfxf
xfxf
xfxf
2 Derivada de uma Raiz
Exemplo
32
3
3
1)acute()(
2
1)acute()(
xxfxxf
xxfxxf
Se
Xnxnn
xfxf
1
)acute()(
Se
nn
n
xn
xfxxf1
1)acute()(
3 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica
4 Derivada de Funccedilotildees exponencial e logariacutetmica
Funccedilatildeo Derivada Resultado
Senxxf )( )acute( senxxf xcos
Cosxxf )( cos)acute( xxf senx
Tgxxf )( )acute( tgxxf
xcos2
1
Cotgxxf )( cot)acute( gxxf
xsen2
1
Funccedilatildeo Derivada Resultado
xxf ln)( ln)acute( xxf x
1
xxfa
log)( )acute( log xxfa
ax ln
1
ex
xf )( )acute( ex
xf ex
ax
xf )( )acute( ax
xf aaxln
5 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica Inversa
6 Operaccedilatildeo com Derivadas
Sejam f(x) e g(x) funccedilotildees derivaacuteveis no ponto xO e C (uma constante)
Funccedilatildeo F(x) inversa Derivada
senxxf )( arcSenxxf )(
xxf
21
1)acute(
Cosxxf )( arcCosxxf )(
x2
1
1
Tgxxf )( arctgxxf )(
x2
1
1
Cotgxxf )( arcCotgxxf )(
x2
1
1
FUNCcedilAtildeO DERIVADA RESULTADO
C
(C)acute
ZERO
Cf(x)
[Cf(x)]acute Cf(x)
f(x) plusmn g(x) [f(x) plusmn g(x)]acute facute(x) plusmn gacute(x)
EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS
Derivada da funccedilatildeo potencia
1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092
2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094
3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x
4 119891(119909) = 119909 = 1199091
2 = facute(x) = 1
2 119909
5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +
2x +2
6 119891 119909 =119909+1
119909+3 = 119891acute 119909 =
119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute
(119909+3)2 =minus2
(119909+3)2
7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909
8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =
6119909 + 5
9
2)acute(
3212)acute(
acute1321acute32acute)acute(
132)(
98
323
23
33
3
xx
xx
xx
x
xf
xxf
xxxf
xxf
f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)
f(x)divideg(x)
)(
)(acute
xg
xf )(
2
)acute()()()acute(
xg
xgxfxgxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
xxxf
x
xxxf
xsenxsenxxxf
gxxf
sensensen
sensen
senx
22
22
2
22
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
cot)(
cos
cos
3
xsenx
senxxf
xsenxxsenx
xsenxsenxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
cos2)acute(
coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
senxxf
SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
xxxx10)acute(
acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
xx
x
xxx
3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
1)(
x
xx
xf
xxxxxxxf
x
xxf
4
3ln1
)acute(
acuteacute)acute()(
3cos
33
2
x
xx
xxf
tgxxftgxxf
5
xx
xf
senxgxxxfsenxgxxxf
senxcos
1
5
1)acute(
acuteacutecotacute)acute(cot)(
25
4
55
6
exx
exxe
exeex
e
xeexex
x
x
x
x
xx
xx
x
xf
xf
xxfxf
43
2
43
2
43
2
444
4
44
)acute(
)acute(
acuteacute)acute()(
7
33
33
22
22
126262)acute(
6232)acute(
62acute33acute62
3
62)(
xx
xxxx
xf
xxxf
xxxx
x
xxf
8
121
5
1211
15)acute(
1211
56)acute(
12
2)(
22
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxxf
xxx
xxf
x
xxf
xx
xx
xx
9
x
xx
x
xxf
x
xxf
xxx
xfxx
xf
2
22
2
1)acute(
111)acute(
acuteln1acute1
)acute(ln1)(
10
senxxxxxf
xxxfxxxf
e
exexx
xx
3ln2)acute(
acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22
11
xsenx
xsenx
xf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
cos
cos
2
2
2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
12
x
xsenx
xf
xxxxxf
x
xxf
cos1
cos1
2
2
2)acute(
cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(
cos1
cos1)(
13 xxxx
xfxf 33323
3ln)acute()(
14 222 22ln)acute()(22 xxx
xxfxf xx
15 23ln
)acute(321
)(
33
xxxfxxf
16 eexxx
xxxxfxxf ln2)acute(ln)(2
17
12
1cos)acute(
1)(
x
senxxxxf
x
senxxf
18 22)acute(cos2)(22 xx senxxCosxxfxxf
19
12
1)acute(ln)(
xxxxfxxxf
20 eexxx
xxxxfxxf 4442
ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
22
xxxfxxfxx
22 12
21cos)acute(
1)(
2
2
2
x
xx
xSenxxxf
senxxf
23 5
23
2
5
4
35
84)acute(23)(
4
334
xx
xxx
xxfxf
24 2
21)acute(2lncot)(
22
2
xsenx
x
xxfgxxf
25
e
eee x
xx
x
x
xxfxxf
22
)acute(2)(
26 555
2
3
3
2322
)acute(2)(
xx
x xx
xfxxf
27 cos33
1)acute(12ln)( 3
2x
xxfsenxxf x
28
5ln5ln12
2)acute(12)( 55log
11
5
xx
xxfxxf
29 eexSenxSen
xxfxf33
3cos3)acute()(
30 1
2)acute(1ln)(
2
2
xx
xxfxf
31 eexx
xfxf 31313
)acute()(
32 3
)acute(3)(2
2
xx
xxfxf
33 x
xfxtgxf
cos2
3)acute(3)(
34 xsenxxfxxf sen cos2)acute()(2
35 2
)acute(cos)(sen
xfxxf
36 33)acute(3)( 323523245
xxxxx xfxf
37 3ln23
3)acute(23)( log
3
xxfxxf
38 xx
xfxgxf
sen 23
1)acute(3cot)(
2
REGRA DE DERIVACcedilAtildeO NOS DIVERSOS TIPOS DE FUNCcedilOtildeES
1 Derivada de uma Potencia
Exemplo
1)acute()(
)acute()(
)acute()(
0111
334
23
1
8242
3
xxx
xxx
xx
xfxf
xfxf
xfxf
2 Derivada de uma Raiz
Exemplo
32
3
3
1)acute()(
2
1)acute()(
xxfxxf
xxfxxf
Se
Xnxnn
xfxf
1
)acute()(
Se
nn
n
xn
xfxxf1
1)acute()(
3 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica
4 Derivada de Funccedilotildees exponencial e logariacutetmica
Funccedilatildeo Derivada Resultado
Senxxf )( )acute( senxxf xcos
Cosxxf )( cos)acute( xxf senx
Tgxxf )( )acute( tgxxf
xcos2
1
Cotgxxf )( cot)acute( gxxf
xsen2
1
Funccedilatildeo Derivada Resultado
xxf ln)( ln)acute( xxf x
1
xxfa
log)( )acute( log xxfa
ax ln
1
ex
xf )( )acute( ex
xf ex
ax
xf )( )acute( ax
xf aaxln
5 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica Inversa
6 Operaccedilatildeo com Derivadas
Sejam f(x) e g(x) funccedilotildees derivaacuteveis no ponto xO e C (uma constante)
Funccedilatildeo F(x) inversa Derivada
senxxf )( arcSenxxf )(
xxf
21
1)acute(
Cosxxf )( arcCosxxf )(
x2
1
1
Tgxxf )( arctgxxf )(
x2
1
1
Cotgxxf )( arcCotgxxf )(
x2
1
1
FUNCcedilAtildeO DERIVADA RESULTADO
C
(C)acute
ZERO
Cf(x)
[Cf(x)]acute Cf(x)
f(x) plusmn g(x) [f(x) plusmn g(x)]acute facute(x) plusmn gacute(x)
EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS
Derivada da funccedilatildeo potencia
1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092
2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094
3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x
4 119891(119909) = 119909 = 1199091
2 = facute(x) = 1
2 119909
5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +
2x +2
6 119891 119909 =119909+1
119909+3 = 119891acute 119909 =
119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute
(119909+3)2 =minus2
(119909+3)2
7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909
8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =
6119909 + 5
9
2)acute(
3212)acute(
acute1321acute32acute)acute(
132)(
98
323
23
33
3
xx
xx
xx
x
xf
xxf
xxxf
xxf
f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)
f(x)divideg(x)
)(
)(acute
xg
xf )(
2
)acute()()()acute(
xg
xgxfxgxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
xxxf
x
xxxf
xsenxsenxxxf
gxxf
sensensen
sensen
senx
22
22
2
22
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
cot)(
cos
cos
3
xsenx
senxxf
xsenxxsenx
xsenxsenxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
cos2)acute(
coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
senxxf
SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
xxxx10)acute(
acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
xx
x
xxx
3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
1)(
x
xx
xf
xxxxxxxf
x
xxf
4
3ln1
)acute(
acuteacute)acute()(
3cos
33
2
x
xx
xxf
tgxxftgxxf
5
xx
xf
senxgxxxfsenxgxxxf
senxcos
1
5
1)acute(
acuteacutecotacute)acute(cot)(
25
4
55
6
exx
exxe
exeex
e
xeexex
x
x
x
x
xx
xx
x
xf
xf
xxfxf
43
2
43
2
43
2
444
4
44
)acute(
)acute(
acuteacute)acute()(
7
33
33
22
22
126262)acute(
6232)acute(
62acute33acute62
3
62)(
xx
xxxx
xf
xxxf
xxxx
x
xxf
8
121
5
1211
15)acute(
1211
56)acute(
12
2)(
22
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxxf
xxx
xxf
x
xxf
xx
xx
xx
9
x
xx
x
xxf
x
xxf
xxx
xfxx
xf
2
22
2
1)acute(
111)acute(
acuteln1acute1
)acute(ln1)(
10
senxxxxxf
xxxfxxxf
e
exexx
xx
3ln2)acute(
acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22
11
xsenx
xsenx
xf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
cos
cos
2
2
2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
12
x
xsenx
xf
xxxxxf
x
xxf
cos1
cos1
2
2
2)acute(
cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(
cos1
cos1)(
13 xxxx
xfxf 33323
3ln)acute()(
14 222 22ln)acute()(22 xxx
xxfxf xx
15 23ln
)acute(321
)(
33
xxxfxxf
16 eexxx
xxxxfxxf ln2)acute(ln)(2
17
12
1cos)acute(
1)(
x
senxxxxf
x
senxxf
18 22)acute(cos2)(22 xx senxxCosxxfxxf
19
12
1)acute(ln)(
xxxxfxxxf
20 eexxx
xxxxfxxf 4442
ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
22
xxxfxxfxx
22 12
21cos)acute(
1)(
2
2
2
x
xx
xSenxxxf
senxxf
23 5
23
2
5
4
35
84)acute(23)(
4
334
xx
xxx
xxfxf
24 2
21)acute(2lncot)(
22
2
xsenx
x
xxfgxxf
25
e
eee x
xx
x
x
xxfxxf
22
)acute(2)(
26 555
2
3
3
2322
)acute(2)(
xx
x xx
xfxxf
27 cos33
1)acute(12ln)( 3
2x
xxfsenxxf x
28
5ln5ln12
2)acute(12)( 55log
11
5
xx
xxfxxf
29 eexSenxSen
xxfxf33
3cos3)acute()(
30 1
2)acute(1ln)(
2
2
xx
xxfxf
31 eexx
xfxf 31313
)acute()(
32 3
)acute(3)(2
2
xx
xxfxf
33 x
xfxtgxf
cos2
3)acute(3)(
34 xsenxxfxxf sen cos2)acute()(2
35 2
)acute(cos)(sen
xfxxf
36 33)acute(3)( 323523245
xxxxx xfxf
37 3ln23
3)acute(23)( log
3
xxfxxf
38 xx
xfxgxf
sen 23
1)acute(3cot)(
2
3 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica
4 Derivada de Funccedilotildees exponencial e logariacutetmica
Funccedilatildeo Derivada Resultado
Senxxf )( )acute( senxxf xcos
Cosxxf )( cos)acute( xxf senx
Tgxxf )( )acute( tgxxf
xcos2
1
Cotgxxf )( cot)acute( gxxf
xsen2
1
Funccedilatildeo Derivada Resultado
xxf ln)( ln)acute( xxf x
1
xxfa
log)( )acute( log xxfa
ax ln
1
ex
xf )( )acute( ex
xf ex
ax
xf )( )acute( ax
xf aaxln
5 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica Inversa
6 Operaccedilatildeo com Derivadas
Sejam f(x) e g(x) funccedilotildees derivaacuteveis no ponto xO e C (uma constante)
Funccedilatildeo F(x) inversa Derivada
senxxf )( arcSenxxf )(
xxf
21
1)acute(
Cosxxf )( arcCosxxf )(
x2
1
1
Tgxxf )( arctgxxf )(
x2
1
1
Cotgxxf )( arcCotgxxf )(
x2
1
1
FUNCcedilAtildeO DERIVADA RESULTADO
C
(C)acute
ZERO
Cf(x)
[Cf(x)]acute Cf(x)
f(x) plusmn g(x) [f(x) plusmn g(x)]acute facute(x) plusmn gacute(x)
EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS
Derivada da funccedilatildeo potencia
1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092
2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094
3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x
4 119891(119909) = 119909 = 1199091
2 = facute(x) = 1
2 119909
5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +
2x +2
6 119891 119909 =119909+1
119909+3 = 119891acute 119909 =
119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute
(119909+3)2 =minus2
(119909+3)2
7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909
8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =
6119909 + 5
9
2)acute(
3212)acute(
acute1321acute32acute)acute(
132)(
98
323
23
33
3
xx
xx
xx
x
xf
xxf
xxxf
xxf
f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)
f(x)divideg(x)
)(
)(acute
xg
xf )(
2
)acute()()()acute(
xg
xgxfxgxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
xxxf
x
xxxf
xsenxsenxxxf
gxxf
sensensen
sensen
senx
22
22
2
22
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
cot)(
cos
cos
3
xsenx
senxxf
xsenxxsenx
xsenxsenxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
cos2)acute(
coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
senxxf
SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
xxxx10)acute(
acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
xx
x
xxx
3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
1)(
x
xx
xf
xxxxxxxf
x
xxf
4
3ln1
)acute(
acuteacute)acute()(
3cos
33
2
x
xx
xxf
tgxxftgxxf
5
xx
xf
senxgxxxfsenxgxxxf
senxcos
1
5
1)acute(
acuteacutecotacute)acute(cot)(
25
4
55
6
exx
exxe
exeex
e
xeexex
x
x
x
x
xx
xx
x
xf
xf
xxfxf
43
2
43
2
43
2
444
4
44
)acute(
)acute(
acuteacute)acute()(
7
33
33
22
22
126262)acute(
6232)acute(
62acute33acute62
3
62)(
xx
xxxx
xf
xxxf
xxxx
x
xxf
8
121
5
1211
15)acute(
1211
56)acute(
12
2)(
22
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxxf
xxx
xxf
x
xxf
xx
xx
xx
9
x
xx
x
xxf
x
xxf
xxx
xfxx
xf
2
22
2
1)acute(
111)acute(
acuteln1acute1
)acute(ln1)(
10
senxxxxxf
xxxfxxxf
e
exexx
xx
3ln2)acute(
acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22
11
xsenx
xsenx
xf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
cos
cos
2
2
2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
12
x
xsenx
xf
xxxxxf
x
xxf
cos1
cos1
2
2
2)acute(
cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(
cos1
cos1)(
13 xxxx
xfxf 33323
3ln)acute()(
14 222 22ln)acute()(22 xxx
xxfxf xx
15 23ln
)acute(321
)(
33
xxxfxxf
16 eexxx
xxxxfxxf ln2)acute(ln)(2
17
12
1cos)acute(
1)(
x
senxxxxf
x
senxxf
18 22)acute(cos2)(22 xx senxxCosxxfxxf
19
12
1)acute(ln)(
xxxxfxxxf
20 eexxx
xxxxfxxf 4442
ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
22
xxxfxxfxx
22 12
21cos)acute(
1)(
2
2
2
x
xx
xSenxxxf
senxxf
23 5
23
2
5
4
35
84)acute(23)(
4
334
xx
xxx
xxfxf
24 2
21)acute(2lncot)(
22
2
xsenx
x
xxfgxxf
25
e
eee x
xx
x
x
xxfxxf
22
)acute(2)(
26 555
2
3
3
2322
)acute(2)(
xx
x xx
xfxxf
27 cos33
1)acute(12ln)( 3
2x
xxfsenxxf x
28
5ln5ln12
2)acute(12)( 55log
11
5
xx
xxfxxf
29 eexSenxSen
xxfxf33
3cos3)acute()(
30 1
2)acute(1ln)(
2
2
xx
xxfxf
31 eexx
xfxf 31313
)acute()(
32 3
)acute(3)(2
2
xx
xxfxf
33 x
xfxtgxf
cos2
3)acute(3)(
34 xsenxxfxxf sen cos2)acute()(2
35 2
)acute(cos)(sen
xfxxf
36 33)acute(3)( 323523245
xxxxx xfxf
37 3ln23
3)acute(23)( log
3
xxfxxf
38 xx
xfxgxf
sen 23
1)acute(3cot)(
2
5 Derivada de uma Funccedilatildeo Trigonometrica Inversa
6 Operaccedilatildeo com Derivadas
Sejam f(x) e g(x) funccedilotildees derivaacuteveis no ponto xO e C (uma constante)
Funccedilatildeo F(x) inversa Derivada
senxxf )( arcSenxxf )(
xxf
21
1)acute(
Cosxxf )( arcCosxxf )(
x2
1
1
Tgxxf )( arctgxxf )(
x2
1
1
Cotgxxf )( arcCotgxxf )(
x2
1
1
FUNCcedilAtildeO DERIVADA RESULTADO
C
(C)acute
ZERO
Cf(x)
[Cf(x)]acute Cf(x)
f(x) plusmn g(x) [f(x) plusmn g(x)]acute facute(x) plusmn gacute(x)
EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS
Derivada da funccedilatildeo potencia
1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092
2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094
3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x
4 119891(119909) = 119909 = 1199091
2 = facute(x) = 1
2 119909
5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +
2x +2
6 119891 119909 =119909+1
119909+3 = 119891acute 119909 =
119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute
(119909+3)2 =minus2
(119909+3)2
7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909
8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =
6119909 + 5
9
2)acute(
3212)acute(
acute1321acute32acute)acute(
132)(
98
323
23
33
3
xx
xx
xx
x
xf
xxf
xxxf
xxf
f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)
f(x)divideg(x)
)(
)(acute
xg
xf )(
2
)acute()()()acute(
xg
xgxfxgxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
xxxf
x
xxxf
xsenxsenxxxf
gxxf
sensensen
sensen
senx
22
22
2
22
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
cot)(
cos
cos
3
xsenx
senxxf
xsenxxsenx
xsenxsenxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
cos2)acute(
coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
senxxf
SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
xxxx10)acute(
acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
xx
x
xxx
3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
1)(
x
xx
xf
xxxxxxxf
x
xxf
4
3ln1
)acute(
acuteacute)acute()(
3cos
33
2
x
xx
xxf
tgxxftgxxf
5
xx
xf
senxgxxxfsenxgxxxf
senxcos
1
5
1)acute(
acuteacutecotacute)acute(cot)(
25
4
55
6
exx
exxe
exeex
e
xeexex
x
x
x
x
xx
xx
x
xf
xf
xxfxf
43
2
43
2
43
2
444
4
44
)acute(
)acute(
acuteacute)acute()(
7
33
33
22
22
126262)acute(
6232)acute(
62acute33acute62
3
62)(
xx
xxxx
xf
xxxf
xxxx
x
xxf
8
121
5
1211
15)acute(
1211
56)acute(
12
2)(
22
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxxf
xxx
xxf
x
xxf
xx
xx
xx
9
x
xx
x
xxf
x
xxf
xxx
xfxx
xf
2
22
2
1)acute(
111)acute(
acuteln1acute1
)acute(ln1)(
10
senxxxxxf
xxxfxxxf
e
exexx
xx
3ln2)acute(
acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22
11
xsenx
xsenx
xf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
cos
cos
2
2
2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
12
x
xsenx
xf
xxxxxf
x
xxf
cos1
cos1
2
2
2)acute(
cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(
cos1
cos1)(
13 xxxx
xfxf 33323
3ln)acute()(
14 222 22ln)acute()(22 xxx
xxfxf xx
15 23ln
)acute(321
)(
33
xxxfxxf
16 eexxx
xxxxfxxf ln2)acute(ln)(2
17
12
1cos)acute(
1)(
x
senxxxxf
x
senxxf
18 22)acute(cos2)(22 xx senxxCosxxfxxf
19
12
1)acute(ln)(
xxxxfxxxf
20 eexxx
xxxxfxxf 4442
ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
22
xxxfxxfxx
22 12
21cos)acute(
1)(
2
2
2
x
xx
xSenxxxf
senxxf
23 5
23
2
5
4
35
84)acute(23)(
4
334
xx
xxx
xxfxf
24 2
21)acute(2lncot)(
22
2
xsenx
x
xxfgxxf
25
e
eee x
xx
x
x
xxfxxf
22
)acute(2)(
26 555
2
3
3
2322
)acute(2)(
xx
x xx
xfxxf
27 cos33
1)acute(12ln)( 3
2x
xxfsenxxf x
28
5ln5ln12
2)acute(12)( 55log
11
5
xx
xxfxxf
29 eexSenxSen
xxfxf33
3cos3)acute()(
30 1
2)acute(1ln)(
2
2
xx
xxfxf
31 eexx
xfxf 31313
)acute()(
32 3
)acute(3)(2
2
xx
xxfxf
33 x
xfxtgxf
cos2
3)acute(3)(
34 xsenxxfxxf sen cos2)acute()(2
35 2
)acute(cos)(sen
xfxxf
36 33)acute(3)( 323523245
xxxxx xfxf
37 3ln23
3)acute(23)( log
3
xxfxxf
38 xx
xfxgxf
sen 23
1)acute(3cot)(
2
EXERCICIOS RESOLVIDOS ndash DERIVADAS
Derivada da funccedilatildeo potencia
1 119891 119909 = 1199093 = 119891acute 119909 = 31199092
2 119891 119909 = 21199095 = 119891acute 119909 = 101199094
3 119891(119909) = 21199093 ndash 51199092 + 3 = 119891acute(119909) = 61199092 ndash 10x
4 119891(119909) = 119909 = 1199091
2 = facute(x) = 1
2 119909
5 119891(119909) = (2x+1)(1199092 + 1) = 119891acute(119909) = (2x+1)acute(1199092 + 1)+(2x+1)(1199092+1)acute = 119891acute(119909) = 61199092 +
2x +2
6 119891 119909 =119909+1
119909+3 = 119891acute 119909 =
119909+1 acute 119909+3 minus 119909+1 119909+3 acute
(119909+3)2 =minus2
(119909+3)2
7 119891 119909 = 31199095+71199092 + 8 = 119891acute 119909 = 151199094 + 14119909
8 119891 119909 = 119909 + 1 3119909 + 2 = 119891acute 119909 = 119909 + 1 acute 3119909 + 2 + 119909 + 1 3119909 + 2 acute = 119891acute 119909 =
6119909 + 5
9
2)acute(
3212)acute(
acute1321acute32acute)acute(
132)(
98
323
23
33
3
xx
xx
xx
x
xf
xxf
xxxf
xxf
f(x)g(x) [f(x)g(x)]acute facute(x)g(x)+f(x)gacute(x)
f(x)divideg(x)
)(
)(acute
xg
xf )(
2
)acute()()()acute(
xg
xgxfxgxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
xxxf
x
xxxf
xsenxsenxxxf
gxxf
sensensen
sensen
senx
22
22
2
22
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
cot)(
cos
cos
3
xsenx
senxxf
xsenxxsenx
xsenxsenxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenx
xxxsenxxxxf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
cos2)acute(
coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
senxxf
SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
xxxx10)acute(
acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
xx
x
xxx
3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
1)(
x
xx
xf
xxxxxxxf
x
xxf
4
3ln1
)acute(
acuteacute)acute()(
3cos
33
2
x
xx
xxf
tgxxftgxxf
5
xx
xf
senxgxxxfsenxgxxxf
senxcos
1
5
1)acute(
acuteacutecotacute)acute(cot)(
25
4
55
6
exx
exxe
exeex
e
xeexex
x
x
x
x
xx
xx
x
xf
xf
xxfxf
43
2
43
2
43
2
444
4
44
)acute(
)acute(
acuteacute)acute()(
7
33
33
22
22
126262)acute(
6232)acute(
62acute33acute62
3
62)(
xx
xxxx
xf
xxxf
xxxx
x
xxf
8
121
5
1211
15)acute(
1211
56)acute(
12
2)(
22
2
2
2
2
xx
x
xxx
xxxf
xxx
xxf
x
xxf
xx
xx
xx
9
x
xx
x
xxf
x
xxf
xxx
xfxx
xf
2
22
2
1)acute(
111)acute(
acuteln1acute1
)acute(ln1)(
10
senxxxxxf
xxxfxxxf
e
exexx
xx
3ln2)acute(
acutecos3acuteacuteln)acute(cos3ln)(22
11
xsenx
xsenx
xf
xsenxxsenxxsenxxsenxxf
xsenx
xsenxxf
cos
cos
2
2
2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
12
x
xsenx
xf
xxxxxf
x
xxf
cos1
cos1
2
2
2)acute(
cos1acutecos1cos1acutecos1)acute(
cos1
cos1)(
13 xxxx
xfxf 33323
3ln)acute()(
14 222 22ln)acute()(22 xxx
xxfxf xx
15 23ln
)acute(321
)(
33
xxxfxxf
16 eexxx
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17
12
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1)(
x
senxxxxf
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19
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ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
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1)(
2
2
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26 555
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36 33)acute(3)( 323523245
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37 3ln23
3)acute(23)( log
3
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2
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA
1
xx
xxxf
x
senxsenxxxf
senxxxsenxxf
tgxxf
sen
x
coscoscos
coscos
cos
22
22
2
2
2
1)acute(
)acute(
acutecosacutecos)acute(
)(
2
xx
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x
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2
22
2
1)acute(
)acute(
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xsenx
xsenxxf
sensen
sensen
xsenx
cos
2)acute(
coscos
cos2)acute
coscos
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coscos
cos2)acute(
cosacutecoscosacutecos)acute(
cos
cos)(
2222
2222
2
coscos
coscos
cos
4
x
x
x
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SenxCosxsenxSenxCosxsenxxf
xxxcoxxf
x
xxf
cos1
cos1
cos1
2
2
2
2)acute(
)acute(
cos1acutecos1cos1acute1)acute(
cos1
cos1)(
DERIVADA DE UMA RAIZ
1
xxf
xf
xxf
xxxx
x
2
1)acute(
1
2
1
2
1
2
1)acute(
)(
2
12
11
2
1
2
1
2
1
2
109
10
1
10
110
10
1)acute(
)acute(
)(
x
x
x
xf
xf
xxf
3
32
3
13
3
1)acute(
)(
x
x
xf
xxf
DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
xxf
xxf
2 2ln)acute(
)(
2
2x
x
xf
xf
DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
xxf
xxxf
xxf
xarcsenxsenxf
2
2
2
1)acute(
2
1
1
1)acute(
acute
1
1)acute(
)(
2
x
xx
xx
xxf
xf
arctgtgxf
4
2
4
22
1
2)acute(
acute1
1)acute(
)(
DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
1
xxf
xfxf
x
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acute3acuteacute)acute(3)(
6
52522
2323
2
22)acute(
22)acute(
12212)acute(
12acute11acute12)acute(112)(
6
422
22
2
222
xxf
xxf
xxxf
xxxfxxf
x
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x
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3
3
33
2
22
2)acute(
131acute33acute1)acute(
3
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x
xx
xf
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x
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2
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xx
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x
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2
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7
33
33
22
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2
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2
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2
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ln2)acute(ln)(
21 223ln)acute()( 3322
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21)acute(2lncot)(
22
2
xsenx
x
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25
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xx
x
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)acute(2)(
26 555
2
3
3
2322
)acute(2)(
xx
x xx
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27 cos33
1)acute(12ln)( 3
2x
xxfsenxxf x
28
5ln5ln12
2)acute(12)( 55log
11
5
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29 eexSenxSen
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3cos3)acute()(
30 1
2)acute(1ln)(
2
2
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32 3
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2
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2
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cos1
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2
2
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)acute(
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DERIVADA DE UMA RAIZ
1
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1
2
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1
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10
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x
x
x
xf
xf
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3
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DERIVADA DE FUNCcedilAtildeO EXPONENCIAL E LOGARITMO
1
3ln1)acute(
)( log3
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2 2ln)acute(
)(
2
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DERIVADA DE UMA FUNCcedilAtildeO TRIGONOMETRICA INVERSA
1
x
x
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2
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DERIVADAS - EXERCICIOS RESOLVIDOS
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x
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2
43
2
43
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