Dérivation et Intégration numérique
Dérivation et Intégration numérique
Généralités
Différentier : déterminer la vitesse à laquelle une courbe change en un certain
point de l'équation
Ceci revient à calculer la dérivée y’
Intégrer : signifie calculer l’aire (la
surface sous la courbe.
Ceci revient à calculer l’intégrale b
a
xf )(
I. Dérivation numérique
A. Définition - Introduction
Différentier signifie trouver la pente de la
tangente à la courbe.
Ceci revient à calculer la dérivée y’
Comment Δy et Δx peuvent être
utilisés pour évaluer la dérivée?
I. Dérivation numérique
B. Schémas aux différences
Equations aux différences
A. Différences en avant
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse plus loin sur la courbe.
A. Différences en Arrière
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse en arrière sur la courbe.
A. Différence centrale
la valeur d'une abscisse comme point de départ
Une autre abscisse un peu loin sur la courbe.
Une autre abscisse un peu en arrière sur la courbe.
Dérivation numérique
ExemplesProgramme
Intégration numérique
A. Définition - Introduction
Intégration numérique
Raffiner les subdivision pour minimiser l’erreur
La courbe est divisée en parties plus petites
Applications
1. Un géomètre peut avoir besoin de connaître l'aire d'un champ limité par une rivière et deux routes.
Applications
2. Un ingénieur des eaux peut avoir besoin de connaître l'aire de la coupe transversale d'une rivière pour en calculer le débit.
II. Intégration numérique
B. Méthode des trapèzes
Règle des trapèzes
Utilisez un trapèze au lieu d’un rectangle.
Formule de la surface d’un trapèze :Multiplier la hauteur par la moyenne des bases
Raffiner pour minimiser l’erreur
I = (b-a)[(f(a)+f(b)]/2
Règle des trapèzes
ai = h/2[f(xi-1) + f(xi)]
h = (b-a)/n
- Calculer la largeur de chaque sous intervalle
- Déterminer l'aire pour chaque sous-intervalle
- Additionner toutes ces sous-intervalles et déterminer l'aire totale.
- Sous une forme plus courte :
II. Intégration numérique
Exemples
Programme
Intégration numérique
C. Méthode de Simpson
Règle des Simpson
Courbe estimée est une parabole y = Ax2 + Bx + C
Raffiner pour minimiser l’erreur
Règle des Simpson - Evaluer les coefficients de la parabole :
A = (xi-1, yi-1)B = (xi, yi)C = (xi+1, yi+1)
- L'aire sous une parabole dans une sous-intervalle :
Avec : h = (b-a)/n.
- Utiliser la règle de Simpson pour déterminer une intervalle entière :
- Sous une forme plus courte :
n
n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfI2
4
2
2
0
).(...).().().(
Intégration numérique
Exemples
Programme