![Page 1: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/1.jpg)
Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımları
04.03.2014
![Page 2: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/2.jpg)
Rastgele değişken kavramı
Kesikli ve sürekli rastgele değişkenler
İki boyutlu rastgele değişkenler
Beklenen değer
Varyans
04.03.2014
![Page 3: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/3.jpg)
Örnek uzaydaki her elemanı bir sayıyla eşleştiren fonksiyona rastgele değişken denir.
Her rastgele değişleni tanımlayan bir (kümülatif) dağılım fonksiyonu vardır
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 • 𝐹 𝑥 sürekli artan bir fonksiyondur
• lim𝑥→−∞
𝐹 𝑥 = 0
• lim𝑥→∞
𝐹 𝑥 = 1
04.03.2014
![Page 4: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/4.jpg)
Eğer örnek uzay belirli sayıda elemandan ya da sayılabilir sayıda elemanın sonsuz serisinden oluşuyorsa (mesela tam sayılar), buna kesikli örnek uzay denir.
Kesikli örnek uzaydaki elemanları bir sayıyla eşleştiren fonksiyonlara kesikli rastgele değiken denir.
Kesikli rastgele değişkenler için olasılık fonksiyonu tanımlıdır:
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑖𝑥𝑖≤𝑥
04.03.2014
![Page 5: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/5.jpg)
10 metre uzunluğundaki sentetik kumaş parçasındaki defo sayısını belirten X rastgele değişkeni aşağıda gösterilen olasılık fonksiyonuna sahiptir.
a) X’in kümülatif dağılım fonksiyonu nedir?
b) 10 metredeki defo sayısının 2’den fazla olma olasılığı nedir?
c) 10 metredeki defo sayısının en fazla 1 olma olasılığı nedir?
𝒙 0 1 2 3 4
𝑓 𝑥 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
04.03.2014
![Page 6: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/6.jpg)
a) 𝐹 𝑥 =
00,410,78
𝑥 < 00 ≤ 𝑥 < 11 ≤ 𝑥 < 2
0,940,991
2 ≤ 𝑥 < 33 ≤ 𝑥 < 44 ≤ 𝑥
b) 1 − 𝐹 2 = 1 − 0,94 = 0,06 c) 𝐹 1 = 0,78
𝒙 0 1 2 3 4
𝑓 𝑥 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01
04.03.2014
![Page 7: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/7.jpg)
İki zar aynı anda atılıyor. X rastgele değişkeni zarların üstünde gelen sayılardan büyük olanı olsun. X’in olasılık fonksiyonu nedir?
𝑓 𝑥 =
1/363/365/36
𝑥 = 1𝑥 = 2𝑥 = 3
7/369/3611/360
𝑥 = 4𝑥 = 5𝑥 = 6𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑥
04.03.2014
![Page 8: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/8.jpg)
Bir rastgele değişken bir ya da birden fazla aralıktaki her gerçek (reel) değeri alabiliyorsa buna sürekli rastgele değiken denir.
Sürekli rastgele değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlıdır:
𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥
−∞
04.03.2014
![Page 9: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/9.jpg)
Bir öğretim üyesi dersini hiç bir zaman zamanında bitirememekte, dersin süresinden sonraki iki dakika içinde bitirmektedir. X rastgele değişkeni, dakika olarak dersin süresinden sonra geçen zamanı göstersin. X’in yoğunluk fonksiyonu
𝑓 𝑥 = 𝑘𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 20 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟
olsun
a) 𝑘’nın değeri kaçtır?
b) dersin süresinden sonraki bir dakika içinde bitme olasılığı kaçtır?
04.03.2014
![Page 10: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/10.jpg)
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =∞
−∞
𝑘𝑥2𝑑𝑥2
0
=1
3𝑘𝑥3
𝑥=2=8
3𝑘
⇒ 𝑘 =3
8
3
8𝑥2𝑑𝑥 =
1
0
1
3×3
8𝑥3
𝑥=1=1
8
04.03.2014
![Page 11: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/11.jpg)
Aynı deneylerin sonucu olan birden fazla rastgele değişken olabilir, örneğin: ◦ Bir kimya deneyinin sonunda ortaya çıkan sıcaklık
ve pH.
◦ Bir hastanın yaşı ve kilosu
◦ Bir banka müşterisinin aylık kredi kartı harcaması
Ortak dağılım fonksiyonu: 𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥, 𝑌 ≤ 𝑦
04.03.2014
![Page 12: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/12.jpg)
Örnek uzak kesikli ise Ortak Olasılık Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑃 𝑋 = 𝑥, 𝑌 = 𝑦
Örnek uzay sürekli ise Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:
𝛿2𝐹 𝑥, 𝑦
𝛿𝑥𝛿𝑦= 𝑓 𝑥, 𝑦
04.03.2014
![Page 13: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/13.jpg)
Tek bir değişkene ait marjinal olasılık (yoğunluk) fonksiyonu, ortak olasılık (yoğunluk) fonksiyonunun diğer değişken üzerinden toplanması (integrali) ile bulunur:
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦𝑦 ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦𝑥
𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 ℎ 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥
04.03.2014
![Page 14: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/14.jpg)
Bir süpermarkette hem normal hem de ekspres kasa vardır. 𝑋1 normal kasada bekleyen müşteri sayısını, 𝑋2 ekspres kasada bekleyen müşteri sayısını göstersin. 𝑋1 ve 𝑋2’nin ortak olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verildiği gibi olsun.
0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00
1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06
𝑥1
𝑥2
04.03.2014
![Page 15: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/15.jpg)
a) Her iki sırada da birer müşteri olması olasılığı nedir? b) Her iki sırada da aynı sayıda müşteri olması olasılığı nedir? c) Bir kasada diğerinden en az iki fazla müşteri olması 𝐴 olayı olsun. 𝐴’yı 𝑋1 ve 𝑋2 olarak ifade edip olasılığını hesaplayın d) İki kasada toplam 4 müşteri olma olasılığı nedir? e) İki kasada en az 4 müşteri olma olasılığı nedir?
0 1 2 3 0 0,08 0,07 0,04 0,00
1 0,06 0,15 0,05 0,04 2 0,05 0,04 0,10 0,06 3 0,00 0,03 0,04 0,07 4 0,00 0,01 0,05 0,06
𝑥1
𝑥2
04.03.2014
![Page 16: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/16.jpg)
a) P 𝑋1 = 1, 𝑋2 = 1 = 𝑓 1,1 = 0,15
b)P 𝑋1 = 𝑋2 = 𝑓 𝑥1, 𝑥1 = 0,08 + 0,15 + 0,10 + 0,07 = 0,4𝑥1
c) 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝑋1 ≥ 𝑋2 + 2 + 𝑃 𝑋2 ≥ 𝑋1 + 2 = 0,04 +0,04 + 0,05 + 0,01 + 0,03 + 0,05 + 0,04 = 0,24
d) 𝑃 𝑋1 + 𝑋2 = 4 = 0,03 + 0,10 + 0,04 = 0,17
e)𝑃 𝑋1 + 𝑋2 ≥ 4 = 𝑓 𝑥1, 𝑥14𝑥2=4−𝑥1
= 0,463𝑥1=0
04.03.2014
![Page 17: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/17.jpg)
Bir rastgele değişkenin alabileceği tüm değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır.
Rastgele değişkenin merkezi yönelimi için bir göstergedir.
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥𝑥
𝜇𝑥 = 𝐸 𝑋 = 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
𝐸 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 × 𝐸 𝑥
04.03.2014
![Page 18: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/18.jpg)
Bir tesisteki haftalık propan gazı tüketimininin metreküp birimi ile gösteren 𝑋 rastgele değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:
𝑓 𝑥 = 2 1 −
1
𝑥21 ≤ 𝑥 ≤ 2
0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑑𝑒
a) 𝑋’in beklenen değeri kaçtır?
b) Haftalık tüketimin ortalamadan az olma olasılığı nedir?
04.03.2014
![Page 19: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/19.jpg)
𝜇𝑥 = 𝑥 × 2 1 −1
𝑥2
2
1
𝑑𝑥 = 2 𝑥 −1
𝑥
2
1
𝑑𝑥
= 2𝑥2
2− ln 𝑥
𝑥=2
−𝑥2
2− ln 𝑥
𝑥=1
= 2 2 − ln 2 −1
2
= 3 − 2 ln 2 ≅ 1,614
𝑃 𝑋 < 𝜇𝑥 = 2 1 −1
𝑥2𝑑𝑥 =
𝜇𝑥
1
= 2𝑥 +2
𝑥 𝑥=1,614− 2𝑥 +
2
𝑥 𝑥=1≅ 0,47
04.03.2014
![Page 20: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/20.jpg)
Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır.
Değişkenlik (yayılım) için bir göstergedir.
𝜎𝑥2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝜇𝑥
2
𝜎𝑥2 = 𝑋 − 𝜇𝑥
2𝑓 𝑥
𝜎𝑥2 = 𝑋 − 𝜇𝑥
2𝑓 𝑥 𝑑𝑥∞
−∞
04.03.2014
![Page 21: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/21.jpg)
Varyansın kareköküne standart sapma denir
𝜎𝑥 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋
Varyans hesaplamak için kısayol: 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2
𝑉𝑎𝑟 𝑎𝑋 + 𝑏 = 𝑎2𝑉𝑎𝑟 𝑋
𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑌 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 + 𝑉𝑎𝑟 𝑌
04.03.2014
![Page 22: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/22.jpg)
Bir önceki alıştırmadaki propan gazı tüketiminin varyansı nedir?
𝐸 𝑋2 = 𝑥2 × 2 1 −1
𝑥2𝑑𝑥 = 2 𝑥2 − 1𝑑𝑥 =
2
1
2
1
21
3𝑥3 − 𝑥
𝑥=2−
1
3𝑥3 − 𝑥
𝑥=1= 2
4
3=8
3
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 =8
3− 1,6142 ≅ 0,0617
04.03.2014
![Page 23: Ders 4: Rastgele Değişkenler ve Dağılımlarımimoza.marmara.edu.tr/~murat.bilsel/IST254 2014... · Beklenen değere olan uzaklığın karesinin ağırlıklı ortalamasıdır](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022042407/5f217aa71c28350337672b51/html5/thumbnails/23.jpg)
Üç madeni para atılıyor, 𝑋 rastgele değişkeni tura gelenlerin sayısı olsun. Buna göre 𝜇𝑥 ve 𝜎𝑥
2kaçtır? 𝑆 = 𝑌𝑌𝑌, 𝑌𝑌𝑇, 𝑌𝑇𝑌, 𝑌𝑇𝑇, 𝑇𝑌𝑌, 𝑇𝑌𝑇, 𝑇𝑇𝑌, 𝑇𝑇𝑇
𝑓 𝑥 =
18 0, 3
38 1, 2
0 𝑑𝑖ğ𝑒𝑟 𝑦𝑒𝑟𝑙𝑒𝑟𝑑𝑒
𝜇𝑥 = 𝑥𝑓 𝑥 = 0 ×1
8+1 ×
3
8+ 2 ×
3
8+ 3 ×
1
8=3
2
𝐸 𝑋2 = 𝑥2𝑓 𝑥 = 02 ×1
8+12 ×
3
8+ 22 ×
3
8+ 32 ×
1
8=
3+12+9
8= 3
𝜎𝑥2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2 = 3 −
3
2
2
=3
4
04.03.2014