Universidad de Málaga
Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Telecomunicación
Tesis Doctoral
DESARROLLO Y VALIDACIÓN DE MÉTODOS
ESPECTRALES PARA EL ANÁLISIS Y DISEÑO DE
DISPOSITIVOS ÓPTICOS LINEALES Y NO-LINEALES
Autor Juan Gonzalo Wangüemert Pérez
Ingeniero de Telecomunicación
Director Iñigo Molina Fernández
Doctor Ingeniero de Telecomunicación
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN
Reunido el tribunal examinador en el día de la fecha, constituido por: Presidente: Dr.D. ____________________________________ Secretario: Dr.D. ____________________________________ Vocales: Dr.D. ____________________________________
Dr.D. ____________________________________
Dr.D. ____________________________________ para juzgar la Tesis Doctoral titulada Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales, presentada por D. Juan Gonzalo Wangüemert Pérez y dirigida por el Dr.D. Iñigo Molina Fernández, acordó por ____________________________________otorgar la calificación de _________________________________________________________________
Málaga, a____ de________________de 1999
El Presidente El Secretario Fdo: _____________________ Fdo: ____________________ Vocal 1 Vocal 2 Vocal 3 Fdo: _______________ Fdo: _______________ Fdo: _______________
A Susana y a mis hijos, Gonzalo y Nuria
Indice
i
������
Agradecimientos ....................................................................................................... vii
Abstract......................................................................................................................... ix
Resumen ...................................................................................................................... xi
1. Introducción ........................................................................................................... 1
1.1.- Objetivos y Aportaciones de la Tesis ............................................................... 6
1.2.- Organización de la Tesis ................................................................................... 9
2.Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas:
Modelización .........................................................................................................
13
2.1.- El Método de Propagación del Haz .................................................................. 14
2.1.1.- Formulación ............................................................................................ 14
2.1.2.- Tipos de Soluciones ................................................................................ 18
2.1.3.- Propagación en Medios No-Lineales ...................................................... 20
2.1.4.- Limitaciones del Método de Propagación del Haz ................................. 25
2.2.- Wide-angle BPM ............................................................................................... 29
2.3.- Análisis Modal de Guiaondas Ópticas ............................................................. 31
2.4.- Normalización de la Ecuación de Ondas ......................................................... 33
2.5.- Las Condiciones de Contorno y las Condiciones de Salto ............................. 37
3. Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales ........................................... 41
3.1.- El Método de los Residuos Ponderados ........................................................... 42
3.2.- Las Funciones Base ............................................................................................ 45
3.2.1.- Completitud y Ortogonalidad .................................................................. 45
3.2.2.- Condiciones de Contorno ........................................................................ 46
3.3.- Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales ................................................ 47
3.3.1.- Método de Colocación ............................................................................ 48
3.3.2.- Método de Galerkin ................................................................................ 53
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
ii
3.4.- El Método de Descomposición de Fourier ....................................................... 55
3.4.1.- Operadores Matriciales ........................................................................... 56
3.4.2.- Submuestreo y Sobremuestreo ................................................................ 58
3.4.3.- Consideraciones de Tipo Numérico ........................................................ 61
3.4.3.1.- Resolución Numérica de las Integrales de Cruce: la FFT ........ 61
3.4.3.2.- Suavizado del Índice de Refracción ......................................... 63
3.4.3.3.- Formulación Compleja vs. Formulación Real ......................... 64
3.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss .......................................... 65
3.5.1.- Operadores Matriciales ........................................................................... 67
3.5.2.- Escalado de las Funciones Base: el Perfil Parabólico sin Truncar .......... 69
3.5.3.- Consideraciones de Tipo Numérico ........................................................ 71
3.6.- Métodos de Resolución ...................................................................................... 72
3.6.1.- El Método de la Autoconsistencia de los Campos ................................ 73
3.6.2.- El Método de Newton-Raphson ............................................................ 74
a) Evaluación del Sistema No-Lineal de Ecuaciones ........................... 76
b) Cálculo del Jacobiano ...................................................................... 79
3.7.- Resultados .......................................................................................................... 82
3.8.- Conclusiones ....................................................................................................... 86
4. Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables ............... 89
4.1.- Introducción ....................................................................................................... 89
4.2.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables ........................ 91
4.2.1.- Definición ............................................................................................... 91
4.2.2.- Ecuación de Ondas en el Dominio Transformado .................................. 91
4.2.3.- Discretización y Resolución .................................................................... 92
4.2.4.- El Método de Descomposición de Fourier Modificado ..........................
4.2.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss .................................
93
95
4.2.6.- Otros Métodos Espectrales con Transformación de Variables ............... 97
4.3.- Resultados .......................................................................................................... 98
a) Manteniendo Fijo el Punto de Trabajo (V y bI) .............................................. 98
b) Realizando un barrido en la frecuencia y grado de no-linealidad .................. 101
4.4.- Conclusiones ....................................................................................................... 104
Indice
iii
5. Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los
Métodos Espectrales con Transformación de Variables ........................
107
5.1.- Introducción ....................................................................................................... 107
5.2.- El O-MFDM y el O-HGDM .............................................................................. 110
5.3.- Autoconsistencia de los Métodos ...................................................................... 111
5.3.1.- El Criterio de Optimización .................................................................... 111
5.3.2.- El Algoritmo de Optimización ................................................................ 112
5.3.3.- Comparación con otras Estrategias de Optimización .............................. 116
5.4.- Resultados .......................................................................................................... 117
5.4.1.- Resultados del O-MFDM y de su Algoritmo de Optimización .............. 118
5.4.2.- Resultados del O-HGDM y de su Algoritmo de Optimización .............. 124
5.5.- Conclusiones ....................................................................................................... 130
6. Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con
Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D .........................
131
6.1.- Introducción ...................................................................................................... 131
6.2.- Los Métodos Espectrales en Guiaondas Ópticas 3D ...................................... 132
6.2.1.- El Método de Galerkin ............................................................................ 132
6.2.2.- El Espacio Funcional de Fourier ............................................................. 135
6.2.2.1.- Operadores Matriciales ............................................................ 135
6.2.2.2.- Consideraciones de Tipo Numérico ......................................... 137
6.2.3.- El Espacio Funcional de Hermite-Gauss ................................................. 138
6.2.3.1.- Operadores Matriciales ............................................................ 139
6.3.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables en
Guiaondas Ópticas 3D .....................................................................................
141
6.4.- Estrategia de Optimización .............................................................................. 143
6.5.- Resultados en Guiondas 3D Lineales ............................................................... 145
6.5.1.- Descripción de las Guiaondas Analizadas .............................................. 145
6.5.2.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-MFDM ................ 147
6.5.3.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-HGDM ................ 150
6.5.4.- Comparación entre los Diferentes Métodos Espectrales Estudiados ....... 152
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
iv
6.6.- Resultados en Guiaondas 3D No-Lineales ....................................................... 156
a) Guiaonda Strip No-Lineal .............................................................................. 157
b) Fibra Óptica No-Lineal .................................................................................. 160
6.7.- Conclusiones ..................................................................................................... 162
7. Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales ............................... 163
7.1.- Introducción ....................................................................................................... 163
7.2.- Métodos de Propagación del Haz basados en la Transformada de
Fourier .................................................................................................................
165
7.2.1.- Formulación ............................................................................................ 165
7.2.2.- El FFT-BPM ........................................................................................... 167
7.2.3.- Limitaciones del FFT-BPM .................................................................... 171
a) Periodicidad de la Solución ................................................................ 171
b) �z vs. �n2(x) ...................................................................................... 172
c) Los Modos TM ................................................................................... 173
d) Espectral vs. Pseudoespectral ............................................................. 174
7.3.- Las Condiciones de Contorno .......................................................................... 176
a) Condiciones de Contorno Absorbentes (ABC´s) ........................................... 176
b) Condiciones de Contorno Transparentes (TBC´s) ......................................... 177
7.4.- Utilización de las TBC´s en los Métodos Espectrales ..................................... 179
7.5.- Aplicación de la Técnica de Transformación de Variables a Propagación .. 181
7.5.1.- Formulación ............................................................................................ 182
7.5.2.- Resultados .............................................................................................. 183
7.6.- Conclusiones ....................................................................................................... 186
8. Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de
Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales .......................
189
8.1.- Introducción ....................................................................................................... 189
8.2.- Los Absorbentes Perfectamente Adaptados .................................................... 191
8.2.1.- Versión Anisotrópica .............................................................................. 191
8.2.2.- Versión Coordenada Compleja ............................................................... 194
8.3.- Formulación vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML................. 196
Indice
v
8.4.- Resultados .......................................................................................................... 198
8.4.1.- Propagación en Medios Homogéneos ..................................................... 200
8.4.2.- Propagación en Guiaondas 2D ................................................................ 203
8.4.3.- El Modo TM en Guiaondas 2D ................................................................ 207
8.4.4.- Aplicación de las PML a la Simulación de Dispositivos No-Lineales..... 209
8.5.- Conclusiones ....................................................................................................... 210
9. Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación ...................................... 213
9.1.- Conclusiones ....................................................................................................... 213
9.2.- Líneas Futuras de Investigación ....................................................................... 216
Apéndice ...................................................................................................................... 219
Bibliografía ................................................................................................................. 221
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
vi
����� � ������
Quisiera expresar mis más sincero y profundo agradecimiento a Iñigo Molina Fernández
por brindarme la oportunidad de realizar esta Tesis Doctoral bajo su dirección. Sus continuas
enseñanzas, conocimientos y métodos de trabajo han sido piezas claves para la consecución de
los objetivos marcados. A nivel personal, por su dedicación desinteresada y calidad humana.
Todo este esfuerzo no es perecedero sino que constituye ya una parte importante de mi
formación y saber hacer.
Asimismo, quisiera mostrar mi gratitud hacia Alejandro Ortega Moñux y José Manuel
Yanes Montiel por su disponibilidad e inestimable colaboración.
Por último, agradecer al Departamento de Ingeniería de Comunicaciones de la
Universidad de Málaga los medios materiales que ha puesto a mi disposición para la
elaboración de la Tesis, y a sus miembros por darme la posibilidad de desempeñar mi labor en
un equipo de trabajo agradable y enriquecedor. Mariano, no me olvido de ti, gracias por
aguantar mis impertinencias.
Este trabajo ha sido subvencionado por la Comisión Interministerial de Ciencia y
Tecnología (CICYT) en el marco de los Proyectos de Investigación TIC93-0671-C06-06
y TIC96-1072-C04-04.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
viii
��������
Research on advanced numerical methods to perform both the modal analysis of optical waveguides and the
simulation of electric field propagation in guided-wave photonic devices has developed parallel to the growing
field of integrated optics. Interest was firstly focused on linear structures but in the last years the non-linear Kerr-
type optical waveguides have received considerable attention because of its application to integrated optics for
all-optical signal processing devices. The different numerical methods that can be used to solve the wave
equation is very large, however, the most used can be grouped in two broad categories: the spectral or global
methods and the local methods. In this Thesis, important and novel improvements are proposed to achieve a
better performance of the spectral methods in both modal analysis and optical envelope propagation of linear and
non-linear dielectric waveguides.
With regard to the modal analysis, one of the most frequently technique is the Galerkin method, which is
based in performing a finite series expansion of the field in terms of orthogonal basis functions. The FDM
(Fourier Decomposition Method) and the HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method) represent two simple
and efficient alternatives. Nonetheless, both of them have serious and important limitations. Beginning with the
FDM, due to the periodicity of the basis functions and the open nature of the dielectric waveguides, its accuracy
is highly dependent on the size of the enclosing computational window, which must be fixed before to apply the
method. In relation to the HGDM, the scaling factor typically used for the basis functions works properly if the
electric field distribution is well-confined, but is not suitable for frequencies near mode cuttoff.
Subsequently, the MFDM (Modified Fourier Decomposition Method) was proposed in the bibliography to
overcome the drawbacks presented by the FDM. In this method, a variable transformation of tangent type is
applied to transform the infinite interval into a finite one, solving the resultant wave equation by means of the
FDM. Two advantages are achieved: i) the necessity to define the size of computational window is avoided and
ii) by properly choosing the scaling factor, the field distribution in the transformed space can be adequately
shaped to reduce the number of series coefficients needed to obtain a certain accuracy. In this Thesis, the MFDM
has been extended to non-linear waveguides, however, even though the MFDM has showed a superior
performance than FDM for a broad range of frequencies and nonlinearity values, it still has some limitations: it
can not analyze efficiently nonsymmetrical field solutions, as occurs in highly non-linear situations, and the
method continues being problem-dependent because the optimum scaling factor can only be approximated ‘a
posteriori’ by visual inspection.
In this Thesis two improvements to the MFDM are presented which overcome its main drawbacks: i) to deal
with nonsymmetrical situations, a modified version called the O-MFDM (Offset-MFDM) has been defined. Its
novelty is that a new degree of freedom, the offset, has been introduced in the necessary variable transformation.
ii) a self-consistent optimization algorithm to automatically find the numerical parameters of the variable
transformation is developed which allows blind detection of quasi-optimum values.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
x
The new strategy is also applied to the Hermite-Gauss basis functions, yielding the O-HGDM (Offset-
HGDM). In both cases excellent results were obtained in 2D, 3D, linear and non-linear scalar situations.
Respect to the simulation of the optical envelope propagation, the main contribution performed in this work
has been the development of an original formulation of the vectorial-Beam Propagation Method with Perfectly
Matched Layer absorbing boundary conditions suitable for spectral methods. When discretizing the resulting
wave equations applying the Galerkin method with Fourier basis functions, an enormous advantages can be
obtained in relation to the known FFT-BPM, which makes use of the colocation method strategy. Not only the
accuracy is much better but also the typical limitations of the FFT-BPM, like for example the propagation
through strongly guiding waveguides, where the simulation of TE modes are poorly perfomed and there is no way
to analyze the TM modes, can be now treated adequately with the new propagation scheme and PML-
formulation.
��������
La investigación de métodos numéricos avanzados, para realizar tanto el análisis modal de guiaondas
ópticas, como la simulación de la propagación del campo eléctrico en dispositivos fotónicos, ha transcurrido
paralela al crecimiento experimentado en el mundo de la óptica integrada. Inicialmente el interés se centró en
estructuras lineales, sin embargo, las estructuras ópticas no-lineales de tipo Kerr han suscitado en los últimos
años gran atención en la óptica integrada por su aplicabilidad al diseño de dispositivos ‘todo-óptico’ para el
procesado de señales. La gama de métodos numéricos que pueden ser utilizados para resolver la ecuación de
ondas correspondiente es muy amplia, no obstante, los más empleados pueden ser agrupados en las dos
categorías siguientes: los métodos espectrales o globales y los métodos locales. En esta Tesis se proponen
importantes y novedosas mejoras para lograr un comportamiento más eficiente de los métodos espectrales, tanto
para resolver el análisis modal como para analizar la propagación de la envolvente óptica en guiaondas
dieléctricas lineales y no-lineales.
En lo que respecta al análisis modal, el método de Galerkin es una de las técnicas más conocidas y
utilizadas. Para su aplicación es necesario definir un conjunto finito y ortogonal de funciones base sobre el que
será aproximado el campo, destacando, por su simplicidad y eficiencia, el FDM (Fourier Decomposition Method)
y el HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method). Sin embargo, ambos métodos poseen serias e importantes
limitaciones. Comenzando por el FDM, debido a la periodicidad de las funciones base y a la naturaleza abierta de
las guiaondas dieléctricas, su precisión es altamente dependiente de la dimensión del periodo o ventana de
cómputo en que se haya encerrado el problema, la cual, además, habrá de ser fijada con anterioridad a la
aplicación del método. En cuanto al HGDM, el factor de escalado que típicamente se suele utilizar para las
funciones base ofrece un pésimo comportamiento si el campo se encuentra poco confinado.
Posteriormente, el MFDM (Modified Fourier Decomposition Method) fue propuesto en la bibliografía para
superar los inconvenientes con que cuenta el FDM. La estrategia seguida por el método se basa en aplicar una
transformación de tipo arcotangente para comprimir el dominio infinito original en uno de dimensión finita, y
resolver la ecuación de ondas resultante mediante el FDM. Con ello se consigue: i) definir una ventana de
dimensión fija sobre cuyos extremos se van a cumplir las condiciones del infinito y ii) si se emplea un factor de
escalado elegido convenientemente, es posible conformar la distribución del campo en el dominio transformado
para que el número de coeficientes requeridos para obtener cierta precisión sea minimizado
En esta Tesis, el MFDM ha sido aplicado a guiaondas no-lineales, sin embargo, aunque el MFDM fue
superior al FDM en un amplio margen de frecuencias y grados de no-linealidad, aún conserva algunas
limitaciones: i) no puede analizar eficientemente perfiles asimétricos del campo, como ocurre en problemas
fuertemente no-lineales, y ii) la precisión del método sigue siendo dependiente de un parámetro, el factor de
escalado, cuyo valor óptimo sólo puede ser aproximado ‘a posteriori’ por inspección visual.
Para superar los inconvenientes que aún mantiene el MFDM, en esta Tesis se presentan las dos mejoras
siguientes: i) para tratar situaciones asimétricas, se ha definido una nueva versión del MFDM llamada O-MFDM
(Offset-MFDM), basada en introducir un nuevo grado de libertad, el centrado u offset, en la transformación de
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
xii
variables que utiliza el método y ii) se ha desarrollado un algoritmo de optimización autoconsistente para la
determinación automática de los parámetros óptimos de la transformación.
La nueva estrategia ha sido también aplicada a las funciones base de Hermite-Gauss, dando lugar al O-
HGDM (Offset-HGDM ). En ambos casos se obtuvieron excelentes resultados en guiaondas 2D, 3D, lineales y
no-lineales, bajo la aproximación escalar.
Respecto a la simulación de la envolvente óptica, la principal contribución realizada en este trabajo ha sido
el desarrollo de una formulación original del vectorial-BPM con condiciones de contorno del tipo PML
(Perfectly Matched Layer) adecuada para los métodos espectrales. Asimismo, se ha demostrado que se pueden
conseguir enormes ventajas respecto del conocido FFT-BPM si en lugar de discretizar las ecuaciones de onda en
el espacio funcional de Fourier mediante el método de colocación se sigue empleando la estrategia del método de
Galerkin al igual que se hace en el análisis modal. Con ello no sólo se logra una mayor precisión sino que las
típicas limitaciones del FFT-BPM, como la propagación en condiciones de guiado fuerte de los modos TE o la
imposibilidad de abordar bajo cualquier circunstancia la propagación de los modos TM, pueden ser
adecuadamente tratadas con el nuevo esquema de propagación y formulación-PML que se ha implementado.
Capítulo 1:
Introducción
Desde que se comprobó experimentalmente, allá por los años sesenta, la capacidad que
poseen las guías dieléctricas de mantener confinada la luz sobre largas distancias, el campo de
las comunicaciones ópticas ha tenido un desarrollo y crecimiento espectacular. Las razones de
tan rápida evolución se hallan en las notables ventajas que, en comparación con los sistemas
eléctricos, iba a suponer su utilización; a saber, menor tamaño, menores requerimientos de
potencia, y sobre todo, mayores anchos de banda. Sin embargo, para conseguir el máximo
aprovechamiento de la nueva tecnología es necesario no sólo que el medio de transmisión se
base en la propagación óptica, sino que también, el resto de componentes que conforman el
sistema de comunicaciones, realicen la función para la que han sido diseñados en el rango de
frecuencias propio de la fotónica. En este sentido, se podría decir que en la actualidad el
proceso se encuentra en su fase final pues si bien tanto las fuentes, los acoplamientos entre
componentes o las guiaondas encargadas de transportar la potencia, son realizados
exclusivamente con elementos 'todo-óptico', el resto de componentes que en general son
necesarios para el procesamiento o tratamiento de la señal óptica, como por ejemplo,
moduladores, conmutadores, regeneradores, etc., han sido hasta hace poco realizados, y aún lo
siguen siendo, en el dominio eléctrico. Ello obliga a colocar fotodetectores y fotoemisores en
los extremos anterior y posterior del circuito eléctrico que vaya a ser implementado. Las
consecuencias de dicha conversión óptica-eléctrica-óptica es que el ancho de banda potencial
del que se disponía en un principio queda truncado por el que imponga el circuito eléctrico.
La tendencia actual es similar a la que en su día tuvo lugar con los circuitos integrados de
baja frecuencia, y posteriormente con los circuitos integrados de microondas, esto es, ser
capaz de realizar, sobre un único substrato y sin necesidad de llevar a cabo conversión alguna,
todas las funciones para las que fue concebido un determinado sistema o bloque. Sin embargo,
en un circuito óptico integrado, y para evitar la doble conversión, la práctica habitual es que el
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
2
resto de funciones anteriormente reseñadas se lleven a cabo modificando, mediante la
utilización de señales de control de carácter eléctrico o acústico, las propiedades ópticas del
material. Esta coexistencia entre señales de diferente naturaleza, junto con la a veces
inevitable necesidad de transformar la señal óptica en eléctrica en aras de conseguir el
comportamiento óptimo del circuito, obliga a definir un campo más amplio que el
propiamente abarcado por la óptica integrada, y que es comúnmente denominado
optoelectrónica.
Por otra parte, una rama cada vez más importante y consolidada dentro de la óptica, como
lo demuestra la creciente atención que las revistas especializadas le están dedicando, lo
constituye la óptica no-lineal. La aparición de nuevos fenómenos hacen vislumbrar un futuro
muy prometedor, dada las interesantes aplicaciones que de los mismos se pueden derivar. Este
es el caso, por ejemplo, de la biestabilidad óptica, cuyo principio de funcionamiento
constituye la base para la obtención de puertas lógicas o conmutadores todo-óptico, y en un
futuro, por qué no, del ordenador óptico. Otro caso típico son los diferentes efectos que tienen
lugar en un acoplador direccional no-lineal �JensenOct82�, los cuales harán posible diseñar
dispositivos tan esenciales como moduladores, amplificadores, filtros, etc. Por último, y
aunque sea sólo a título indicativo por su gran relevancia, pues no constituye el tipo de
fenómeno no-lineal que será estudiado en esta Tesis, está la formación de solitones en fibras
ópticas, que permite la propagación de pulsos ultrarrápidos estables sobre muy largas
distancias y que es ya, hoy día, una realidad.
La evolución experimentada en los últimos años en el campo de la óptica integrada ha
sido posible gracias al enorme esfuerzo que se ha realizado tanto en el campo experimental
como en el plano teórico. Comenzando por lo primero, el trabajo de investigación ha estado
centrado en la obtención de materiales idóneos para el diseño de dispositivos todo-óptico. En
este sentido, las propiedades que cabría esperar de los mismos son:
a) Con el fin de mejorar las velocidades de conmutación de los circuitos eléctricos, es
necesario que los dispositivos posean tiempos de conmutación en el rango de los
picosegundos-femtosegundos (10-12-10-15 seg.).
b) Asimismo, para poder manejar niveles aceptables de potencia (del orden de los
miliwatios) es imprescindible que la respuesta no-lineal de los medios que pretendan
ser utilizados sea apreciable (susceptibilidad de tercer orden �(3) en el rango 10-8-10-10
m/V).
Introducción
3
c) Por último, y en aras de lograr un alto grado de integración, sería interesante que los
diversos materiales sobre los que se construyan los posibles dispositivos todo-óptico
sean compatibles con los que se emplean en el diseño de otros componentes
optoeléctrónicos que inevitablemente van a estar presentes en el circuito, como láseres
o detectores.
Los materiales que reúnen los requisitos anteriormente expuestos son los
semiconductores del grupo III-V (InGaAsP/InP y GaAlAs/GaAs) dada la buena característica
óptica no-lineal que presentan. Aunque inicialmente poseían tiempos de conmutación bajos
(del orden de los nanosegundos), sin embargo, los últimos trabajos experimentales publicados
en este campo hablan de una estado actual de la tecnología que se mueve en el margen de los
pico-subpicosegundos �Smith1998�.
En lo que al plano teórico se refiere, hay que destacar la importante contribución que ha
supuesto el disponer de herramientas numéricas eficientes para el análisis y diseño de
estructuras ópticas. Para comprender mejor lo que se pretende obtener de ellas, así como dar
una visión más concreta de cuál va a ser el tipo de dispositivos que se persigue analizar con el
trabajo que resulte de esta Tesis, se ha representado en la Fig. 1.1 la geometría propuesta en
�NiiyamaEne98� para el diseño de puertas lógicas todo-óptico. Ésta se compone de dos fibras
ópticas acopladas a través de un medio no-lineal, cuyo índice de refracción se encuentra
modulado por la intensidad de campo eléctrico. Como resultado de haber realizado un análisis
detallado de su funcionamiento, en dicho artículo se determinan los niveles de potencia y la
longitud que debe tener la guiaonda así definida para comportarse como una puerta AND o
una puerta OR. Asumiendo como hipótesis de partida que las señales presentan una variación
sinusoidal pura (ondas monocromáticas), el estudio previo al que debe ser sometido el
dispositivo en cuestión puede ser
dividido en las dos facetas siguientes
a) Análisis modal
b) Propagación de la envolvente
óptica
En el primer caso, también llamado
caracterización, lo que se busca es
encontrar las constantes de
propagación y las distribuciones de
mediono-lineal(puerta
de salida)
puerta deentrada 1
puerta deentrada 2
núcleo núcleo
cubierta cubierta
xy
z
Fig.1.1: Esquema de puerta lógica propuesto en �NiiyamaEne98�
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
4
campo de las posibles soluciones estacionarias o modos que una determinada guiaonda óptica
soporta, es decir, conocer, los autovalores y autofunciones de la ecuación de ondas que
gobierna la propagación de este tipo de soluciones. Si la guiaonda bajo estudio se compone de
uno o más medios no-lineales, el análisis modal de la misma se convierte, salvo excepciones,
en un problema que carece de solución analítica, siendo necesario recurrir a la utilización de
un método numérico para resolver el problema no-lineal de autovalores. Por su parte, en el
segundo caso lo que se desea conocer es cómo evoluciona la envolvente óptica a través de una
determinada estructura una vez conocida la excitación inicial. La mayor complejidad que esta
nueva situación plantea hace imprescindible, si cabe aún más, el disponer de las herramientas
numéricas adecuadas para su ejecución. Tanto es así que una de las más importantes
contribuciones realizadas en el ámbito de la simulación óptica se produjo cuando en 1978 Feit
y Fleck sentaron las bases del BPM (Beam Propagation Method) o método de propagación del
haz �Feit1978�, el cual, durante mucho tiempo, se convirtió en el punto de partida de la
mayoría de los métodos numéricos que con posterioridad se han desarrollado.
Con independencia del tipo de estudio que se pretenda realizar, análisis modal o
propagación, la herramienta numérica a utilizar se habrá de enfrentar con el carácter abierto
que poseen los dispositivos ópticos y que los diferencia, por ejemplo, de los que se emplean
en la banda de microondas/milimétricas, lo cuales, típicamente, se encuentran cerrados por un
conductor perfecto. La necesidad de abarcar un dominio de dimensiones infinitas constituye
uno de los aspectos que más va a influir en la precisión final que un determinado método
consiga, además, por supuesto, del esquema de discretización que el propio método imponga.
De hecho, la supremacía de un método sobre otro puede llegar incluso a deberse a la forma
más o menos óptima con que solvente el problema de las condiciones de contorno.
En cuanto a los diferentes métodos numéricos que se pueden emplear para resolver las
ecuaciones de onda que en cada caso resultan, decir que el abanico de posibilidades es
extremadamente amplio. Un estudio comparativo sobre los pros y los contra de los más
conocidos puede ser hallado en �Chiang1994�, para los referentes al análisis modal, y en
�Yevick1994�, para los que versan sobre la propagación de la envolvente óptica. En cualquier
caso, y aunque se trate de una clasificación muy burda, los más frecuentemente utilizados se
pueden agrupar en dos grandes familias:
i) La familia de métodos locales, que engloba a su vez a los basados en diferencias finitas
(FD-Finite Difference) y en elementos finitos (FE-Finite Element); y ii) la familia de métodos
Introducción
5
globales, también llamados espectrales, basados en desarrollar el campo como un sumatorio
finito de funciones base ortogonales definidas en todos y cada uno de los puntos del dominio
de integración.
La comparación entre dos o más métodos numéricos pertenecientes a la misma o
diferente familia no es una tarea fácil. El criterio que más se suele utilizar consiste en calcular
el coste computacional requerido para alcanzar, en un determinado problema, la precisión que
se haya prefijado de antemano. Sin embargo, como muy bien se apunta en el estudio realizado
en �Chiang1994�, de este modo no se está teniendo en cuenta la complejidad que conlleva la
implementación de un determinado método. Como quiera que este aspecto es muy subjetivo y
no existen baremos que permitan su cuantificación, la decisión final de cuál método resulta ser
el más adecuado recae sobre el programador, cuyo grado de formación, y sobre todo su
experiencia, será lo que definitivamente incline la balance para decantarse por uno u otro.
En esta Tesis se apostó desde un principio por los métodos espectrales, tanto para el
cálculo de modos como para la propagación de la envolvente óptica. En ambos casos, los
métodos y herramientas que se han desarrollado contemplan la posibilidad de incluir, en la
definición de la estructura que se vaya a analizar, medios lineales y no-lineales. Aunque, como
ya se ha comentado, resulte difícil realizar una comparación exhaustiva con otros métodos
numéricos, los resultados que se obtuvieron en las diferentes facetas abordadas fueron
contrastados, en la medida de lo posible, con los que se conseguían con otras técnicas, en
concreto elementos finitos y diferencias finitas. Para ello, o bien se simuló alguna situación
disponible en la bibliografía que hubiera sido analizada con dichos métodos, o bien, para un
caso sencillo y que no requiriera un excesivo esfuerzo, se implementaron directamente las
subrrutinas y programas correspondientes. Lo primero se hizo con el análisis modal y lo
segundo en el ámbito de la propagación. No obstante, en la mayoría de las ocasiones, para
saber si determinada herramienta numérica resulta ser interesante, basta con conocer si los
errores que se cometen son razonables y si son competitivos con los que se logran con el resto
de métodos. A modo de referencia decir que errores relativos en la constante de propagación
normalizada por debajo del 1 % y errores cuadráticos medios en el campo eléctrico por debajo
de -30 dB se consideran ya como aceptables. Los métodos espectrales que se han desarrollado
en esta Tesis manejan precisiones que se sitúan con holgura dentro de dichos márgenes, y,
consultada la bibliografía afín, son cuando menos similares a las que se obtienen con otras
técnicas numéricas.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
6
1.1.- Objetivos y Aportaciones de la Tesis
El principal objetivo con el que se concibió la presente Tesis fue el de desarrollar y
validar las herramientas numéricas necesarias para el análisis y diseño de dispositivos ópticos
integrados, y más en concreto, aquellos que tuvieran en alguna de sus partes una dependencia
no-lineal del índice de refracción con la intensidad del campo eléctrico. Para ello, fue
necesario descomponer el trabajo a realizar en las siguientes fases:
a) Estado del arte
La principal tarea de esta primera etapa consistió en conocer el trabajo previo que hasta
ese momento se había hecho. Ello permitió identificar los diferentes métodos numéricos que
en el ámbito de la óptica se venían utilizando y delimitar, sobre todo, el máximo grado de
complejidad que en cada caso se había logrado analizar. Es decir, si por ejemplo el método en
cuestión había sido utilizado en guiaondas 2D/3D, lineales/no-lineales, escalares/vectoriales,
etc.
b) Las limitaciones
Como ya se ha adelantado, los diferentes métodos que se iban a desarrollar pertenecen a
la familia de métodos espectrales. Por ello, y una vez que éstos fueron ubicados en la fase
anterior, se estudiaron con especial atención las limitaciones derivadas de su aplicación.
c) Mejorar lo presente
En la última etapa se plantearon versiones modificadas de los métodos espectrales que
conseguían no sólo superar sus limitaciones sino también una notable mejora de sus
prestaciones.
Como resultado de llevar a cabo el proceso anterior en cada una de las facetas en que se
ha trabajado, análisis modal y propagación, se lograron importantes contribuciones que se
pasan a resumir.
Comenzando por el análisis modal decir que como resultado final del trabajo realizado en
esta Tesis se han definido dos nuevos métodos espectrales, el O-MFDM (Offset-Modified
Fourier Decomposition Method) y el O-HGDM (Offset-Hermite Gauss Decomposition
Method) mente. Ambos, que podrían ser englobados en una nueva y más genérica familia de
métodos: los métodos espectrales transformación de variables, son versiones modificadas y
mejoradas del FDM (Fourier Decomposition Method) y HGDM (Hermite Gauss
Decomposition Method). Los nuevos métodos, que a priori presentan una mayor dificultad
Introducción
7
para ser implementados con éxito, dada la dependencia que éstos poseen con las variables que
los definen, han sido dotados con los algoritmos de optimización necesarios para su correcta
utilización y autoconsistencia. El máximo grado de complejidad alcanzado ha sido el análisis
modal de guiaondas ópticas no-lineales tridimensionales de guiado débil, es decir, a una
situación 3D/escalar/no-lineal.
Además de los nuevos métodos espectrales y sus correspondientes algoritmos de
optimización, otra de las aportaciones realizadas en el ámbito de los modos ha sido la forma
en que es aplicado el conocido método de Newton-Raphson para la resolución del sistema no-
lineal de ecuaciones que surge tras el proceso de discretización. En concreto se propone, para
evaluar el sistema no-lineal de ecuaciones, una estrategia similar a la utilizada en la conocida
técnica del balance armónico, y se deducen, asimismo, expresiones analíticas del jacobiano
que permiten un cálculo más preciso del mismo.
En cuanto a la propagación de la envolvente óptica, el trabajo realizado se ha centrado en
mejorar las prestaciones del clásico y conocido método pseudoespectral FFT-BPM (Fast
Fourier Method). Para ello fue necesario primero separar las limitaciones que el método posee
en función de la causa que las origina. Así, el esquema de discretización que el FFT-BPM
utiliza en la dirección longitudinal obliga, por una parte, a seleccionar pasos de propagación
tanto más pequeños cuanto mayor sea el gradiente del índice de refracción que define la
estructura, y por otra, no es susceptible de ser aplicado para resolver la ecuación de ondas que
gobierna la propagación de los modos TM, quedando limitado su uso, única y exclusivamente,
a la ecuación de ondas de los modos TE. Para solventar tales problemas, en esta Tesis se
sugiere emplear un esquema de discretización diferente en la dirección longitudinal, como por
ejemplo el método de integración clásico de Runge-Kutta, o simplemente, la solución
analítica, esto es, el propagador exponencial. No obstante, para que esto sea posible desde un
punto de vista computacional, el número de términos usados en el desarrollo en serie de
Fourier deberá ser acortado. Esto puede ser conseguido sin pérdida de precisión alguna si,
como muy bien se demuestra en la Tesis, en lugar de usar el método de colocación como hace
el FFT-BPM, se emplea el método de Galerkin.
Las restantes limitaciones del FFT-BPM tienen su origen en características conocidas del
espacio funcional de Fourier, a saber, el carácter periódico de la solución obtenida y la
imposibilidad de representar con precisión funciones discontinuas. Lo primero, como se
estudiará con más detalle en los capítulos correspondientes, provoca un pérdida notable de
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
8
precisión en problemas de propagación, debido a la dificultad de definir condiciones de
contorno eficientes capaces de absorber la radiación saliente que alcanza los extremos de la
ventana de observación. De hecho, si al bajo rendimiento que se conseguía con los
absorbentes eléctricos, única posibilidad de eliminar dicha radiación con los métodos
espectrales, se le une el buen funcionamiento que dieron primero las TBC´s (TBC-
Transparent Boundary Condition) �HadleyEne92�, y luego las PML´s (PML-Perfectly
Matched Layer) �Berenger94Ene92�, con los esquemas de discretización basados en
diferencias finitas, además, por supuesto, de las ya comentadas limitaciones derivadas del
esquema de discretización longitudinal, se justifica el desuso que en los últimos años ha
sufrido el FFT-BPM. Por eso, no debe resultar extraño que, en el campo de la simulación
óptica, los únicos intentos por trasladar las revolucionarias condiciones de contorno PML, que
tanto éxito estaban dando en el campo de las microondas, se hayan realizado con métodos
numéricos pertenecientes a la familia de las diferencias finitas, descartándose, desde un
principio, su posible utilización con la familia de métodos espectrales. Para llenar este
importante vacío, se ha desarrollado en esta Tesis una nueva formulación PML que permite
analizar la propagación mediante técnicas espectrales de una forma eficiente. La formulación
realizada se basa en la versión anisotrópica de las PML y es, en principio, válida para el caso
más general, 3D/vectorial/lineal, aunque en este trabajo sólo ha sido ensayada en casos
2D/vectorial/lineal. Además, bajo ciertas condiciones, también se ha demostrado su validez en
estructuras dieléctricas que contienen en su composición medios no-lineales.
Para finalizar la descripción de las principales contribuciones realizadas en el ámbito de
la propagación, destacar que, aunque la nueva formulación PML junto con el nuevo esquema
de discretización propuesto para los métodos espectrales superó con creces las prestaciones
del FFT-BPM, y por consiguiente, los objetivos que se habían prefijado de antemano, sin
embargo, aún permanece sin resolver la propagación de los modos TM en guiaondas de salto
de índice, no porque se trate de un modo TM, que eso sí es posible, sino por el conocido
fenómeno de Gibbs que sufrirá el campo cuando sea desarrollado en serie de Fourier.
Por último, otra de las grandes aportaciones que se han realizado en la Tesis es que toda
la formulación matemática que es necesario realizar, y que en general suele resultar muy
engorrosa, es notablemente simplificada haciendo uso del concepto de operador matricial.
Como se podrá comprobar a lo largo de la Tesis, su utilización permite discretizar la ecuación
diferencial que se vaya a resolver de forma compacta y sencilla.
Introducción
9
1.2.- Organización de la Tesis
La Tesis ha sido dividida en dos partes. En la primera, que agrupa desde el capítulo
tercero al sexto (ambos inclusive), se describen los diferentes pasos que se fueron realizando
para la obtención de una herramienta numérica eficiente para la caracterización modal de
guiaondas ópticas lineales y no-lineales. Por su parte, en la segunda, formada por los capítulos
séptimo y octavo, se pormenorizan tanto los intentos fallidos por superar las limitaciones del
FFT-BPM, como las aportaciones que finalmente se realizaron en el ámbito de la propagación
de la envolvente óptica, y que permiten superar la clara situación de desventaja en que se
encontraban los métodos espectrales respecto de otros métodos de amplia difusión en el
campo de la óptica, como pueden ser los basados en diferencias finitas. Asimismo, se ha
considerado oportuno agrupar en un capítulo previo (Cap.2) todas las ecuaciones, definiciones
y aproximaciones que se van a utilizar en las dos partes en que ha sido dividida la Tesis. Para
ello, y partiendo de las ecuaciones de Maxwell, se deducen las ecuaciones del método de
propagación del haz (BPM), poniendo especial énfasis en el significado físico de la
aproximación de envolvente lentamente variable, la cual constituye la base de su desarrollo.
La razón de comenzar por las ecuaciones de propagación es que las ecuaciones modales son
fácilmente obtenidas a partir de las anteriores sin más que eliminar la dependencia con la
coordenada z de propagación. Otro aspecto que también será tratado en este segundo capítulo
es el proceso que habitualmente suele ser seguido en la bibliografía para la normalización de
la ecuación de ondas modal lineal y no-lineal, pero que, sin embargo, no lo es para las
ecuaciones de propagación, las cuales son resueltas manteniendo las variables su significado
físico original.
En cuanto al contenido del resto de capítulos, el capítulo tercero comienza por explicar
los fundamentos matemáticos en que se apoyan los métodos espectrales y pseudoespectrales.
Ello permite demostrar las limitaciones que presentan los métodos clásicos de
descomposición en funciones base de Fourier y Hermite-Gauss, de amplia utilización en el
análisis modal de guiaondas dieléctricas. Asimismo se describen los dos métodos que han sido
empleados para resolver el sistema no-lineal de ecuaciones que se obtiene tras el proceso de
discretización: el método de la autoconsistencia de los campos y el método de Newton-
Raphson, proponiéndose en el caso de este último, y como ya se ha adelantado, una nueva
estrategia para su aplicación.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
10
El capítulo cuarto, tomando como punto de partida el MFDM (Modified Fourier
Decomposition Method) propuesto por Hewlett y Ladouceur �HewlettMar95� para mejorar las
prestaciones del FDM en el análisis modal de guiaondas ópticas lineales, tiene por objetivos el
demostrar que el método es también superior en problemas no-lineales pero que sigue
careciendo, al igual que el FDM, de los criterios que garanticen su utilización óptima.
El capítulo quinto es el de mayor importancia de la primera parte de la Tesis, pues se pone
fin al proceso en el que se pretendía mejorar los métodos clásicos FDM y HGDM. Para ello,
se definen el O-MFDM y el O-HGDM y se establecen los criterios con los que se consigue su
autoconsistencia en guiaondas 2D/escalares. El capítulo finaliza demostrando la eficiencia de
ambos métodos en un amplio abanico de situaciones: modo fundamental, modos superiores,
lineal y no-lineal.
El éxito obtenido con el O-MFDM y O-HGDM en guiaondas planares invitaba a realizar
su extensión al caso 3D. En el sexto y último capítulo de la primera parte de la Tesis se
analizan estructuras 3D lineales que confirman el buen funcionamiento de los métodos y de
sus correspondientes algoritmos de optimización en una situación más realista. El capítulo
finaliza realizando el análisis modal de dos guiaondas 3D no-lineales, la guiaonda strip no-
lineal y la fibra óptica no-lineal, de gran interés para el diseño de dispositivos todo-ópticos por
los fenómenos de conmutación e histéresis que presentan. Los resultados obtenidos no sólo
corroboran una vez más el excelente comportamiento de los nuevos métodos espectrales en
relación con sus predecesores, sino que además, al ser contrastados con los que aparecen en la
bibliografía y obtenidos mediante otros métodos numéricos, permiten demostrar la alta
eficiencia numérica que con ellos se consigue.
En lo que respecta a la segunda parte de la Tesis, en el capítulo séptimo se analizan, en
primer lugar, las causas por las que el conocido FFT-BPM ha quedado relegado a un segundo
plano en relación con el FD-BPM o FE-BPM, que son, por una parte, el haber despreciado la
naturaleza no-conmutativa de los términos de difracción y de guiado, y por otra, el carácter
periódico de las funciones base que dificulta la utilización de condiciones de contorno
eficientes como por ejemplo las TBC´s. En un intento por superar ésta última, el capítulo se
cierra con los resultados poco satisfactorios que se obtuvieron cuando la técnica de
transformación de variables fue aplicada a los problemas de propagación.
En el octavo y último capítulo de la Tesis se presenta otra de sus aportaciones más
importantes. En él se define una formulación novedosa de las condiciones de contorno
Introducción
11
perfectamente adaptadas (PML) adecuada para los métodos espectrales y que tanto éxito han
tenido en el ámbito de las microondas. Su perfecta absorción para todo ángulo, frecuencia y
polarización es verificada analizando situaciones muy diversas, tales como, propagación en
medio homogéneos, en guiaondas 2D y en medios no-lineales. Por último, se demuestra cómo
mejorar la eficiencia del FFT-BPM y eliminar muchos de los problemas derivados de su
esquema de propagación. Para ello, es necesario reducir el número de términos del desarrollo
en serie de Fourier para aplicar, bien el propagador exponencial, bien cualquier integrador
clásico de eficiencia demostrada, como el método de Runge-Kutta. Para disminuir la
dimensión del problema basta con emplear el método de Galerkin, o versión todo-espectral,
del espacio funcional de Fourier en lugar del método de colocación, o versión
pseudoespectral, tal y como se hace con el FFT-BPM.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
12
Capítulo 2:
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas:
Modelización
Los diferentes dispositivos utilizados en el campo de la óptica integrada consiguen
desempeñar la función para la que han sido diseñados conformando adecuadamente las
propiedades dieléctricas de los medios que los forman. La óptica geométrica es una conocida
técnica con la que es posible modelar el mecanismo de propagación de la luz a través de una
estructura utilizando la teoría de rayos. Esta atractiva y práctica herramienta de análisis resulta
ser de gran utilidad, no sólo porque permite la introducción de conceptos y términos básicos,
sino porque además, en algunos casos, puede aportar información relevante, como es, por
ejemplo, el cálculo de las curvas de dispersión de un slab de salto de índice [Tamir1988]. No
obstante, en ocasiones se requiere profundizar en ciertos aspectos, para lo cual es necesario
recurrir a la teoría electromagnética y realizar una descripción completa del problema. Es el
caso, por ejemplo, del cálculo de los perfiles de campo y cómo se propagan éstos por el
interior del dispositivo.
El objetivo de este capítulo es justamente derivar las ecuaciones aproximadas (modelos)
que gobiernan la propagación a través de los dispositivos ópticos, y que serán utilizadas en los
diversos capítulos de que consta esta Tesis, destacándose claramente las condiciones en que
dichos modelos son válidos. Se han distinguido dos situaciones diferentes, propagación y
modos. La primera hace referencia a cómo evoluciona con la distancia de propagación una
cierta excitación inicial. Mientras que la segunda se centra en la caracterización de las
soluciones estacionarias que se propagan a través de las guiaondas ópticas, es decir, aquellas
que mantienen invariante su perfil de campo y su constante de fase con la distancia de
propagación.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
14
2.1.- El Método de Propagación del Haz
El conocer cómo se propaga una determinada distribución espacial de campo a través de
un medio no-homogéneo constituye uno de los problemas clásicos de la óptica. Que duda
cabe, que disponer de los métodos matemáticos adecuados para su resolución sitúa al
diseñador de dispositivos ópticos en una situación ventajosa para abordar su cometido. El
método de propagación del haz (Beam Propagation Method, BPM) es, actualmente, la
herramienta más utilizada para simular la propagación de la envolvente óptica a través de
circuitos ópticos integrados. Aunque durante mucho tiempo el término BPM fue utilizado
para designar la versión original formulada por Feit y Fleck �Feit1978�, las múltiples
versiones que con posterioridad han ido surgiendo hasta la fecha, y que con toda seguridad lo
seguirán haciendo durante algún tiempo, ha provocado que el término BPM se use en un
sentido más amplio. En concreto, cualquier técnica numérica que resuelva el problema antes
indicado y que haga uso de las ecuaciones que seguidamente se van describir, es denominada
BPM. De esta forma el término BPM hará referencia, en esta Tesis, al modelo utilizado
(ecuación diferencial) más que a la técnica concreta que se emplee para su resolución. Para
diferenciar unas técnicas numéricas de otras se les suele añadir uno o varios prefijos para
indicar, por ejemplo, la manera en que han sido discretizadas las ecuaciones (FFT-BPM�Fast
Fourier Transform, FD-BPM�Finite Difference, FE-BPM�Finite Element, ...), la dimensión
del problema analizado (2D-BPM� Two-Dimensional, 3D-BPM�Three-Dimensional), o el
grado de acoplamiento entre las componentes de los campos (Vectorial-BPM, Semivectorial-
BPM y Escalar-BPM).
Por último, recalcar una vez más el carácter generalista y de compendio que se pretende
dar en este apartado, dejando para los capítulos 7 y 8 todos aquellos aspectos relacionados con
su resolución numérica.
2.1.1.- Formulación
Si se asume régimen permanente sinusoidal, las ecuaciones que gobiernan la propagación
de los campos eléctrico y magnético (� ��( , )r t y
� ��( , )r t ) a través de un medio dieléctrico, sin
fuentes ni cargas libres, lineal, isótropo y no-homogéneo vienen dadas por las conocidas
ecuaciones de Maxwell
� � � � �� � � �E r j H ro o( ) ( )� � (2.1)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
15
� � � � ��
� �
�
�
H r j n r E ro o o( ) ( , ) ( )� � �2
donde n r o2( , )
�
� representa el índice de refracción del medio a la pulsación �o y los vectores
�
�
E r( ) y �
�
H r( ) constituyen, respectivamente, las componentes fasoriales del campo eléctrico y
magnético, las cuales, como es bien sabido, son definidas a partir de las siguientes relaciones
� ��
�
�
�
�
�
�( , ) =1
2r t E r e E r ej t j to o( ) ( )*
� � ��� �
� ��
�
�
�
�
�
� ( , ) =1
2r t H r e H r ej t j to o( ) ( )*
� � ��� �
Aplicando el operador divergencia a las ecuaciones (2.1) y (2.2), y teniendo en cuenta que
la divergencia del rotacional es cero, se obtienen dos nuevas relaciones
� � � �( )n E2 0�
�� ��
H 0
conocidas como la condición de cero-divergencia, y que resultarán de mucha utilidad en la
resolución del sistema de ecuaciones planteado.
A continuación, aplicando el rotacional a las ecuaciones (2.1) y (2.2) es posible obtener las
ecuaciones vectoriales del campo eléctrico y magnético respectivamente, a saber
���� � � �� �
E k n Eo2 2
� � � � � � �� �
H k n Ho2 2
donde ko es la constante de propagación en el vacío.
Llegados a este punto, en el campo de la óptica, se suele adoptar una forma de resolución
diferente a la planteada en el campo de las microondas. En lugar de manipular las ecuaciones
para plantear dos ecuaciones diferenciales en función de las componentes longitudinales del
campo eléctrico y magnético (Ez,Hz), éstas se manipulan para plantear un sistema de
ecuaciones diferenciales acopladas para las componentes transversales del campo eléctrico
(Ex,Ey), o bien para las componentes transversales del campo magnético (Hx,Hy). Una vez
resuelto, la componente longitudinal correspondiente es hallada usando la condición de cero-
divergencia ( (2.5) ó (2.6) ), mientras las otras tres componentes son obtenidas de forma
inmediata mediante las relaciones (2.2) ó (2.1), dependiendo de si el sistema fue planteado para
el campo eléctrico o magnético respectivamente.
Por simplicidad, y en lo que resta del desarrollo, el problema será resuelto para las
componentes transversales del campo eléctrico, cosa que por otra parte suele ser lo habitual,
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
16
aunque el mismo proceso que se va describir a continuación podría ser aplicado para obtener
ecuaciones similares para las componentes transversales del campo magnético.
En primer lugar, se utiliza la siguiente relación vectorial
� � � � � �� � � � �( ) ( )� � �
E E E2
lo que permite escribir la ecuación (2.7) de la siguiente forma
� � � � � � �2 2 2� � �E k n E Eo ( )
donde es fácil comprobar que, si se usa un sistema de coordenadas cartesianas, es en el
segundo miembro de la igualdad anterior dónde se encuentra el acoplamiento entre las tres
componentes del campo eléctrico. La componente longitudinal (Ez) puede ser puesta en
función de las transversales (Ex,Ey) usando la condición de cero-divergencia (2.5)
� �� � � � � � � � � � � � � � ��
� � � � � � � �n E n E n E En
nE E n E2 2 2
2
220
� � � � � � �
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ln )
Si además, el dispositivo óptico es invariante en la dirección longitudinal o lo hace
lentamente, lo que constituye la primera aproximación realizada en el método de propagación
del haz o BPM, se cumplirá que
n x y z n x y2 2( , , ) ( , )� ó �
�
n
z
20
por lo que la ecuación (2.11) se podrá poner como
� � � � �� �E n Et t( ln )2
donde el subíndice ‘t’ indica que se aplica sólo sobre las componentes transversales.
Introduciendo (2.13) en la ecuación (2.10) y quedándonos con las componentes transversales
de la misma, se llega finalmente a la siguiente ecuación de ondas vectorial
� � � � � � � �2 2 2 2� � �E k n x y E n Et o t t t t( , ) ( ( ln ) )
la cual, escrita en función de sus componentes transversales conduce a las dos ecuaciones
diferenciales acopladas que se estaban buscando
� � � � � ��
�
�
�� � �
�
�
�
��
� � � � � ��
�
�
�� � �
�
�
�
��
2 2 22 2
2 2 22 2
E k n x y Ex
n
xE
x
n
yE
E k n x y Ey
n
xE
y
n
yE
x o x x y
y o y x y
( , )ln ln
( , )ln ln
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
17
El punto más importante en la obtención de las ecuaciones finales del BPM lo constituye la
aproximación paraxial o aproximación de envolvente lentamente variable. Como se verá
posteriormente, es dicha aproximación la que determina sus principales limitaciones, por lo que
será importante analizar con detalle sus implicaciones a fin de tener delimitado el tipo de
situaciones que método es capaz de simular. La aproximación de envolvente lentamente
variable (Slowly Varying Amplitude, SVA) comienza por escribir el campo eléctrico
transversal de la siguiente forma � �
E x y z x y z et tj zN( , , ) ( , , )� � �
��
donde �
�t x y z( , , ) representa la envolvente del campo eléctrico transversal y �N la constante de
propagación de referencia, también llamada de normalización. Lo que se persigue es
descomponer el campo en dos términos, uno que varíe lentamente, la envolvente, y otro que
asuma las variaciones rápidas. Dado que una de la aproximaciones que ya se han hecho es
suponer que la estructura bajo análisis varía lentamente en dirección z, el módulo de la
envolvente también lo deberá hacer, de ahí que el único término rápido que se considere sea el
de la fase (�N).
La introducción de (2.16) en (2.15) resulta ser inmediata, salvo para el Laplaciano, que,
dado que contiene derivadas respecto de la dirección longitudinal, debe ser desarrollado
convenientemente. Haciéndolo se obtiene
� � � � � ��
���
��� �2 2 2
2
22
� �
�
�
�
E jz z
et t t Nt
N tt j zN� �
��
�� �
� �
�
�
Si la constante de normalización �N es fijada de forma que se garantice la variabilidad
deseada para la envolvente, lo cual como veremos resulta crucial en la precisión del método, la
siguiente aproximación podrá ser realizada
22
2j
z zN
t t���
�
� �
�
� �
��
lo que finalmente permite obtener las ecuaciones del vectorial-BPM para las envolventes
transversales del campo eléctrico, también llamada ecuación vectorial paraxial o de Fresnel, las
cuales, tras manipular (2.15), pueden ser escritas matricialmente como
2 jz
P P
P PNx
y
xx xy
yx yy
x
y�
�
�
�
�
�
�
��
�����
��
� �
��
���
en donde los operadores diferenciales se han definido de la siguiente manera �HuangMar92�
(2.16)
(2.17)
(2.18)
(2.19)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
18
� � � �
� �
� � � �
� �
Px n x
ny
k n
Px n y
nx y
Py n y
nx
k n
Py n x
ny x
xx x xx
o N x
xy y yy
yy y yy
o N y
yx x xx
��
�
�
��
� �
�� �
��
�
�
��
� �
� �
��
�
�
��
� �
�� �
��
�
�
��
� �
� �
��
��
�
�� � �
��
��
�
�� �
��
��
�
�� � �
��
��
�
�� �
1
1
1
1
22
2
22 2 2
22
2
22
2
22 2 2
22
2
Así pues, las ecuaciones (2.19) y (2.20) constituyen el modelo vectorial BPM que se usará,
de forma general en este trabajo, para analizar la propagación en guías dieléctricas lineales.
Debe siempre recordarse que en la modelización se han empleado dos únicas aproximaciones:
i) Que la variación del índice de refracción con la dirección de propagación es muy pequeña.
ii) Que la envolvente del campo es lentamente variable en la dirección de propagación.
2.1.2.- Tipos de Soluciones
Una vez deducidas las ecuaciones generales del método de propagación del haz, es
importante clasificar el tipo de soluciones que se pueden derivar de las mismas así como
aclarar la nomenclatura habitualmente utilizada en la bibliografía para identificarlas. La tabla
2.1 resume, en función del tipo de estructura a analizar (2D ó 3D), la relación existente entre
los operadores diferenciales para el caso general y para las diferentes aproximaciones que
cabría considerar.
En guiaondas 3D, es decir en aquellas en donde el índice de refracción varía
transversalmente en las dos direcciones del espacio, en general, las soluciones contendrán las
seis componentes del campo electromagnético. Es lo que se conoce como análisis vectorial
del problema. Los campos transversales se encuentran acoplados entre sí y se propagan con
características diferentes. Por ejemplo, si la guiaonda es excitada inicialmente en z=0 por una
distribución espacial de campo eléctrico horizontal (Ex (x,y,0)�0,Ey (x,y,0)=0) al cabo de una
cierta distancia se habrán generado componentes verticales de campo eléctrico, es decir, parte
de la potencia se habrá convertido a la polarización ortogonal. La complejidad que supone
implementar métodos numéricos capaces de resolver las ecuaciones (2.20) en su totalidad,
invita a realizar ciertas aproximaciones, las cuales, bajo ciertas circunstancias, dan un
(2.20)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
19
resultado bastante cercano a la realidad. Es el caso del análisis semivectorial, en donde se
desprecian los acoplos mutuos, pero la propagación mantiene un carácter dependiente de la
polarización (�SternFeb88�,�WeisshaarAgo95�, ..., entre otros). Si además se cumple la
condición de guiado débil, es decir, el salto del índice de refracción es pequeño en cualquiera
de las direcciones transversales, lo que se traduce matemáticamente como
11
112
2
2
2
n
n
xy
n
n
y� �� � ���
�
�
�
se obtiene lo que se conoce como solución escalar del problema. En este caso las
polarizaciones están desacopladas y los campos transversales son degenerados, esto es, la
propagación a través del dispositivo se produce de la misma forma independientemente de la
polarización de la excitación inicial. Esta situación resulta ser atractiva por dos motivos,
primero porque reduce el problema a la mitad, pero por otra parte, y lo que es más interesante,
porque la mayoría de las guiaondas usadas en óptica integrada satisfacen dicha condición.
Únicamente aquellos dispositivos en los cuales por su propio mecanismo de funcionamiento se
requiera un acoplo fuerte entre las polarizaciones, por ejemplo un conversor pasivo de
polarización en el cual se produce un interfaz aire-dieléctrico, deberán ser tratados teniendo en
cuenta el carácter vectorial de la luz en su totalidad �März1995�.
Tabla 2.1
Estructuras
3D
n2(x,y,z)
Vectorial
(Caso general)
� Pxx� Pyy
� Pxy� Pyx
� Solución híbrida
�Polarizaciones
acopladas
Semivectorial
� Pxx� Pyy
� Pxy= Pyx=0
�Polarizaciones
desacopladas
Escalar
(Guiado débil)
� Pxx= Pyy
� Pxy= Pyx=0
�Polarizaciones desacopladas y
degeneradas
Estructuras
2D
n2(x,z)
Vectorial
(Caso general)
� Pxx� Pyy
� Pxy= Pyx=0
� Polarizaciones desacopladas �
soluciones tipo TE y TM
Escalar
(Guiado débil)
� Pxx= Pyy
� Pxy= Pyx=0
�Polarizaciones desacopladas �
soluciones TE y TM degeneradas
(2.21)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
20
Las estructuras ópticas 2D, también llamadas ‘slabs’ representan una situación bastante
interesante de analizar, no sólo por la simplificación que supone su estudio, lo cual permite
analizar, caracterizar y comprender fenómenos similares que van a ocurrir en guías más
complejas, sino además, porque muchas guiaondas 3D, o bien poseen un perfil del índice de
refracción (ej. guiaonda ‘rib’) cuyo campo se parece mucho a los presentados en los slabs,
pues se encuentra muy confinado en una dirección y varía suavemente en la otra, o bien son
iluminadas de tal forma que, a efectos prácticos, se pueden aproximar por slabs. Los slabs, en
el caso general, presentan dos tipos de soluciones diferentes y desacopladas, llamadas
solución Transversal Eléctrica (TE) y solución Transversal Magnética (TM), las cuales
poseen, respectivamente, las siguientes componentes de campo eléctrico y magnético:
TE: Ey, Hx, Hz
TM: Hy, Ex, Ez
Quiere eso decir que en una estructura 2D no es necesario realizar aproximación alguna
sobre las ecuaciones de ondas para que el problema vectorial se comporte como uno
semivectorial (componentes transversales desacopladas). Al igual que en el caso
tridimensional, si además se cumple la condición de guiado débil, el problema se convierte en
escalar, con lo que las polarizaciones vertical y horizontal conducen al mismo resultado. No
obstante, si se analizan con detalle las ecuaciones (2.20) se puede comprobar una importante
diferencia entre el caso 3D/escalar y el 2D/escalar. En el primero, la aproximación de guiado
débil permite simplificar las ecuaciones de onda de las dos componentes transversales,
mientras que en el segundo la simplificación afecta únicamente a la ecuación de ondas de los
campos transversales magnéticos (TM), no teniendo ningún tipo de consecuencias sobre la
ecuación de ondas de los campos transversales eléctricos (TE). Tal apreciación conviene tener
siempre presente porque cuando a lo largo de la Tesis se aborde la resolución de la ecuación
de ondas de un problema 2D/escalar, aunque ésta sea sólo un aproximación para los campos
TM, tanto peor cuanto menos se cumpla la condición de guiado débil, sin embargo, para los
TE será la que realmente hay que resolver.
2.1.3.- Propagación en Medios No-Lineales
Como ya se ha comentado en el capítulo 1, uno de los objetivos de la presente tesis lo
constituye el desarrollo de herramientas numéricas eficientes capaces de analizar la
propagación en medios ópticos no-lineales, dada la gran potencialidad que éstos presentan
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
21
para el diseño de dispositivos todo-óptico. Es por ello importante conocer cómo se ven
afectadas las ecuaciones de Maxwell cuando se consideran este tipo de medios.
Si la no-linealidad es de tipo eléctrico, es necesario modificar la relación constitutiva del
medio correspondiente al vector inducción eléctrica, que, de forma general y en el dominio del
tiempo, se podrá escribir como el siguiente desarrollo en serie �Agrawal1989�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�� � � � �� � � � � � � ��
�
���
�� �� ��
� � �� � �o
t t tr t t t r t dt t t t t r t r t dt dt( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( ' , ' ' ): ( , ' ) ( , ' ' ) ' ' '( ) ( )1 2
donde (i) es una magnitud, en general tensorial, que representa la susceptibilidad de orden ‘i’.
Obsérvese que en la expresión anterior se ha supuesto que el medio es causal y que sólo existe
dispersión temporal y no espacial. Los dos primeros términos del desarrollo se corresponden
con el comportamiento lineal, y son los únicos que se consideraron en el apartado anterior. Su
transformada de Fourier da directamente el índice de refracción
n r r2 11( , ) ( , )( )� �
� � �� �
Las no-linealidades que se consideran habitualmente en medios ópticos son las de orden
dos y orden tres. Estas obedecen a fenómenos físicos diferentes, por lo que sus valores
dependerán del tipo de cristal utilizado, no teniendo por qué existir simultáneamente
�R.W.Boyd1992�. En esta tesis se trabajará con lo que se conoce como no-linealidad de tipo
Kerr, la cual se traduce matemáticamente como:
(2) = 0 y (3) (t) = (3) · �(t-t’)· �(t-t’’)· �(t-t’’’)
es decir, el índice de refracción en un punto del espacio y en un instante de tiempo se ve
modificado por el valor cúbico del campo eléctrico en ese punto del espacio y en ese instante
de tiempo, careciendo por lo tanto de memoria espacial y temporal. Si dicha ausencia de
dispersión en el término cúbico es trasladada a la ecuación (2.22), el vector inducción eléctrica
podrá ser escrito como
� � � � � ��� � � � � �
� � � � � �( , ) ( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( , ) ( , ) ( , )( ) ( )r t r t t t r t dt r t r t r to
t
o� � � ��
���
�
� �
��
�� � � �1 3
El tensor (3) se compone de 81 coeficientes (3i+1=34). El valor concreto que cada uno adopta
determina la contribución que cada producto de tres componentes de campo eléctrico tiene
sobre cada una de las componentes del vector inducción eléctrica. Con ello, las componentes
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
22
‘x’ , ‘y’ y ‘z’ de la parte no-lineal del vector inducción eléctrica (�xNL,�y
NL,�zNL) se calcularán
sumando todas las posibles contribuciones, lo cual puede ser escrito matemáticamente como
� � � �xNL
o x k l m kk l m
l m con k l m x y z� � � � � ���� �
( )
, ,
, , ( , , )3
� � � �yNL
o y k l m kk l m
l m con k l m x y z� � � � � ���� �
( )
, ,
, , ( , , )3
� � � �zNL
o z k l m kk l m
l m con k l m x y z� � � � � ���� �
( )
, ,
, , ( , , )3
es decir, que cada componente del tensor es identificado por la combinación de cuatro
subíndices � j k l m( )3 . El primero indica la componente del vector inducción eléctrica sobre el
que se aplica el resultado de la operación, mientras que los otros tres subíndices informan de
las tres componentes del campo eléctrico (�x, �y ó �z) que están siendo multiplicadas.
Las expresiones (2.26), (2.27) y (2.28) se ven notablemente simplificadas, y con ello el
tipo de problemas no-lineales a analizar, si se restringe el caso de estudio a campos
linealmente polarizados. Así, tomando el eje y como dirección de polarización, la expresión
que finalmente será utilizada en esta Tesis para describir el comportamiento no-lineal de una
determinada estructura dieléctrica viene dada por
� � � � � ����
y o y y
t
o yyyy y y yr t r t t t r t dt r t r t r t( , ) ( , ) ( ' ) ( , ' ) ' ( , ) ( , ) ( , )( )� � � � � �
� � � ��
���
�
� � � � �
��
�� � � �1
No obstante, para que el nuevo término no-lineal pueda ser introducido en las
ecuaciones de Maxwell en el dominio de la frecuencia (ecuaciones (2.1) y (2.2)), y dado que
se asume régimen permanente sinusoidal, es necesario deducir cuáles son sus componentes
fasoriales. Para ello, partiendo de la descomposición fasorial del campo que se hizo en (2.3)
� ��y yj t
yj tr t E r e E r eo o( , ) =
1
2
� � �( ) ( )*� � �� �
y calculando a continuación, primero su potencia cuadrada y luego su potencia cúbica, se
concluye que
� ��y y yj t
yj tr t E r E r e E r eo o2 2 2 2 2 22( , ) =
1
4
� � � �( ) ( ) ( )* � ��
�����
�� �
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.3)
(2.30)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
23
y que
� � � � �
�y y yj t
y yj t
yj t
yj t
y yj t
y yj t
y y yj t
y yj t
y
r t E r E r e E r E r e E r e
E r e E r E r e E r E r e
E E E e E E E e E
o o o
o o o
o o
3 2 2 3 3
3 3 2 2
3
2 2
3
4
3
4
1
4
( , ) =1
8
1
2
� � � � � �
� � � � �
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
*
* * *
* * *
� � � � � ����
� � � � � � �
� � � � � � � � � �
�
� �
�
� � �
� � �
� � � �e E ej ty
j to o3 3 31
4� �� ��
����
�*
El resultado al que se llega es que la propagación a través de un medio no-lineal de tipo
Kerr genera armónicos a �o y a 3�o. La mayoría de textos que tratan medios no-lineales
desprecian la contribución del tercer armónico en el análisis. La justificación estriba en que el
grado de acoplamiento entre los campos a �o y a 3�o depende fundamentalmente de que se
cumpla la condición conocida como ‘phase matching’, esto es, cuanto más se parezcan las
fases de los campos mayor será el grado de acoplamiento Lee1986�. Esta condición de ‘phase
matching’ entre los armónicos �o y 3�o ocurre en muy raras ocasiones y de forma poco
eficiente en guías ópticas Agrawal1989�.
Haciendo uso del resultado obtenido en (2.31), y realizando las hipótesis comentadas
anteriormente, es posible seguir un proceso similar al explicado en el punto 2.1.1 y obtener las
ecuaciones que gobiernan la propagación de los campos eléctricos transversales a través de
medios no-lineales. Para el caso 3D-escalar, la ecuación de ondas no-lineal de Fresnel que se
obtiene viene dada por
23
4
2
2
2
22 2 3 2
2
jz x y
k n x ykN o
N
o�
��
�
� �
�
� �
�� �
��� � � � �
�
��
�
��
�
�
��
�
�
�( ) ( , )�
en donde por simplicidad, y así se hará en el resto de la Tesis, se han evitado los cuatro
subíndices que deben aparecer en la susceptibilidad de tercer orden, sin olvidar que dicho
parámetro, a raíz de haber supuesto campos linealmente polarizados, ya no se trata de una
magnitud tensorial sino escalar. Asimismo, nótese que se ha definido una nueva función,
�(x,y), la cual, con el objetivo de representar con una sola ecuación diferencial el
comportamiento de toda la guía, y dado que normalmente en las guiaondas coexisten medios
lineales y no-lineales, adopta una funcionalidad boolena, esto es, vale la unidad en aquellos
puntos del espacio pertenecientes al medio no-lineal y cero en el resto. Si la estructura bajo
(2.31)
(2.32)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
24
análisis poseyese medios no-lineales con características diferentes, la ecuación (2.32) seguiría
siendo válida para su estudio si simplemente la función �(x,y) es modificada de forma que
asuma los valores o grados de no-linealidad en los diferentes puntos del espacio.
La forma de medir el grado de no-linealidad de un medio varía según la bibliografía
consultada. Habitualmente se suelen definir dos constantes, n2 y n2 , las cuales se relacionan
con la susceptibilidad de tercer orden según las siguientes equivalencias
3
423
2 22
� �( )
� � � � � � �n n c n no
donde ‘c’ es la velocidad de la luz en el vacío y ‘n’ el índice de refracción lineal.
Aunque existe cierta confusión respecto a la forma en que n2 y n2 son identificadas, es
fácil diferenciar a cuál de las dos se refiere pues sus dimensiones son respectivamente de
(m2/V2) y (m2/W) �TranMay94�.
Dependiendo del signo de la susceptibilidad de tercer orden los medios con no-linealidad
de tipo Kerr pueden a su vez ser divididos en dos categorías diferentes. Si ésta es mayor que
cero se les llama ‘auto-enfocantes’ (‘self-focusing’), mientras que si es negativa se les llama
‘desenfocantes’ (‘defocusing’). Para comprender mejor el por qué de dicha definición, y a
modo de ejemplo, las Fig.2.1. (a) y (b) muestran la propagación de la envolvente del campo
eléctrico a través de un slab de salto de índice con no-linealidad de tipo Kerr en alguno de los
medios que lo componen. Por ejemplo en la Fig. 2.1. (a) la no-linealidad es de tipo self-
focusing y se sitúa en el substrato. Se puede observar cómo, excitando inicialmente con el
modo fundamental de la guía, y debido al carácter no-lineal, el índice de refracción en el
substrato es incrementado en función de la potencia de la excitación inicial y del grado de no-
linealidad del medio. Si el producto de ambos es comparable al índice de refracción lineal, las
condiciones de guiado se ven modificadas de forma que el campo tiende a desplazarse hacia el
medio en donde el índice de refracción es mayor, y por tanto a ‘enfocarlo’ hacia la zona no-
lineal. Por contra, en la Fig. 2.1(b) la no-linealidad es de tipo defocusing y se sitúa en el
núcleo. De la misma se deduce claramente que se produce el efecto opuesto, esto es, la no-
linealidad hace disminuir el índice de refracción del núcleo. Si dicha disminución es tal que el
índice de refracción del núcleo es menor que el de la cubierta y/o substrato, se pueden
producir dos condiciones de guiado diferentes, núcleo-cubierta y núcleo-substrato,
produciéndose como consecuencia un desplazamiento del campo hacia la zona de mayor
índice, y por tanto a alejarlo de la zona en donde ahora se concentra la no-linealidad.
(2.33)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
25
2.1.4. Limitaciones del Método de Propagación del Haz
Una vez deducidas las ecuaciones que utiliza el método de propagación del haz para el
análisis de la propagación electromagnética en medios lineales y no-lineales, resulta
importante detenerse en las aproximaciones que se han realizado para su obtención a fin de
tener delimitado no sólo el tipo de problemas que el método es capaz de analizar, sino
además, y quizás lo que es más importante, conocer ciertos aspectos relacionados con su
correcta aplicación e interpretación.
Ya se ha comentado en la deducción del método que la piedra angular del mismo radica
en la aproximación de envolvente lentamente variable. Para que dicha aproximación pueda ser
aplicada, o lo que es lo mismo, el error que se cometa sea mínimo, es necesario ser capaces de
extraer del campo eléctrico la parte que varía rápidamente en dirección z, la cual, como ya se
ha demostrado, sólo contiene un término de fase representado mediante la constante de
normalización o de referencia (βN). Si se conoce la constante de propagación del campo
eléctrico en la dirección de propagación, el mejor resultado, como cabía esperar, se obtiene si
la βN se fija de antemano igual a dicho valor [HuangMar92]. Cuanto mayor sea la diferencia
entre ambas, mayor será la variación que la fase de la envolvente debe asumir en dirección z,
y por tanto, menos válida la condición de variación lenta de la envolvente, materializada
matemáticamente mediante la expresión (2.18).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 80
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
Fig. 2.1(b): Efecto desenfocante en medios no-lineales: propagación de la envolvente óptica a travésde un slab con no-linealidad en el núcleo. Datos:nnucleo=1.57; ncubierta=nsubstrato=1.55; ancho delslab=2.5 µm; λ=1.3µm; 0.75χ(3)= -1 (m/V)2.
−10 −5 0 5 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
Fig. 2.1(a): Efecto autoenfocante en medios no-lineales: propagación de la envolvente óptica através de un slab con no-linealidad en el substrato.Datos:nnucleo=1.57; ncubierta= nsubstrato=1.55; ancho delslab=2.5 µm; λ=1.3µm; 0.75χ(3)=0.4 (m/V)2
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
26
La mayoría de los dispositivos susceptibles de ser analizados mediante la técnica del BPM
realizan la propagación de la potencia óptica a través de los diferentes modos guiados que
soporta la estructura en cuestión. Se ha comprobado que una buena elección para la constante
de referencia �N es la constante de propagación del modo guiado, si, a la frecuencia de trabajo
sólo existe un modo propagándose, o la media aritmética de las constantes de propagación, si
nos encontramos en situación multimodo �HuangMar92�.
Analicemos a continuación una situación, a priori más simple, pero que es la que hace que
a la aproximación de envolvente lentamente variable también se le llame aproximación
paraxial. Supóngase que se desea analizar la propagación a través de un medio homogéneo
excitado inicialmente por un haz gaussiano. En este caso la teoría electromagnética nos dice
que las soluciones, llamadas ondas planas por tener un frente de ondas plano, presentan el
siguiente aspecto
� � � �
�
E r E eojk r( ) � � � �
donde �Eo es la amplitud de la onda plana, y
�k el vector de onda. Este último nos informa de
la dirección de propagación de la onda en el espacio. La propagación del haz gaussiano es
resuelta calculando el espectro angular de ondas planas de la excitación �Lee1986�, esto es,
descomponiéndola en infinitas ondas planas y calculando la amplitud y vector de onda de cada
una de ellas. Este proceso es llevado a cabo de una manera sencilla pues se puede demostrar
que el espectro angular no es más que la transformada de Fourier de la excitación inicial. Por
ejemplo, y para simplificar, supóngase que nuestro haz gaussiano en z=0 está polarizado en la
dirección �y y que es invariante en dicha dirección, esto es, la propagación se produce en el
plano XZ. Haciendo uso de las propiedades de la transformada de Fourier, el espectro angular
es otra gaussiana tanto más ancha cuanto más estrecha sea la de la excitación. La relación
matemática entre ambas viene dada por
Excitación Inicial: �E x y e
xxs( ) �� �
���� �
�
2
✟ EspectroAngular: E k x ex s
k xx s
( ) � ����� �
�
2
2
en donde la variable angular kx es la proyección del vector de onda sobre el eje x, por lo que
espectro angulares anchos se traducen en haces con mucha difracción. En la Fig. 2.2 se ha
representado la excitación gaussiana y su espectro angular.
(2.34)
(2.35)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
27
La relación entre el vector de onda kx y la dirección � respecto del eje z con que se
propaga la onda plana correspondiente se obtiene fácilmente a partir de la relación de
dispersión en el medio, a saber
k k k n kx z o2 2 2 2 2� � �
k k nx o� �sen�
k k nz o� � cos�
Es obvio que si pretendemos simular la propagación de un haz a través de un medio
homogéneo mediante el BPM, la constante de propagación de normalización �N debiera ser
elegida como la proyección del vector de onda �
k sobre el eje z, esto es kz. Si el haz tiene poca
difracción, el error que se comete será pequeño si se fija la �N igual al módulo del vector de
onda en el medio (k), o al valor medio de todas las kz presentes en el haz, mientras que, si el
haz posee mucha difracción, el BPM no representará bien la propagación a través de la guía
dada la gran dispersión de valores de la constante de propagación kz, y por tanto, la mayor
desadaptación entre estos y el valor de �N seleccionado. La posterior aparición de diferentes
versiones del BPM, en las que no se realiza la aproximación de envolvente lentamente variable,
y por tanto, permiten analizar situaciones de espectro angular ancho, hizo que al método recién
expuesto se le conozca como paraxial-BPM, para diferenciarlo de éstos últimos, a los que se
les denomina wide-angle BPM, los cuales serán tratados más adelante a lo largo de este
capítulo.
Otra de las limitaciones impuestas en el desarrollo del BPM fue que el índice de refracción
variara lentamente en la dirección z. Esta simplificación permite, por una parte,
desacoplar la componente longitudinal del campo eléctrico Ez de las componentes
-5 0 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje x
excitacion
-5 0 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
kx
espectro angular
(a) (b)
Fig. 2.2: Relación entre excitación la excitación gaussiana y el espectro angular
(2.36)
(2.37)
(2.38)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
28
transversales Ex y Ey, lo cual reduce enormemente
el grado de dificultad de las ecuaciones a resolver
�KriezisMay97�; y por otra, garantizar que el
módulo de la envolvente varíe lentamente en la
dirección z, condición necesaria para la aplicación
de la SVA. En la Fig. 2.3 se representa una
situación típica en el ámbito de la óptica integrada.
En ella, una guiaonda slab sufre, a partir de una
cierta distancia, una inclinación que la aleja de la
dirección axial. Si despreciamos la radiación que el
efecto pudiera producir, es evidente que cuanto
mayor sea el ángulo de inclinación , mayor será la
derivada del módulo de la envolvente en la dirección z, y por consiguiente, menos válido el
resultado arrojado por el BPM. Aunque la fase de la envolvente también sufre un cambio
importante tras la inclinación, este problema puede ser siempre solventado sin más que
cambiar la �N para que se adapte a las nuevas variaciones que le impone el campo eléctrico.
Para finalizar, comentar otra de las consecuencias, quizás la más importante, que tiene la
aplicación de la aproximación de envolvente lentamente variable. El hecho de haber
eliminado en el desarrollo matemático la derivada segunda con respecto a la dirección de
propagación (�2/�z2=0), es equivalente a considerar únicamente la propagación en un sentido,
esto es, a despreciar la onda reflejada. Que duda cabe que, para que dicha situación sea
factible, es necesario que no ocurran discontinuidades del índice de refracción en la dirección
longitudinal, lo cual, como ya se ha comentado en el párrafo anterior, constituye una de las
aproximaciones que se hicieron a lo largo del desarrollo. Obsérvese, que la simplificación que
se ha realizado transforma el problema a resolver, catalogado como un problema de valor
contorno pues el campo eléctrico en un plano z depende no sólo de la excitación inicial sino
además de la carga final, en un problema de valor inicial. Aunque existen en la literatura
versiones del BPM que contemplan la posibilidad de propagación simultánea en los dos
sentidos (‘Bidirectional-BPM’), no son más que la combinación de un BPM-unidireccional
con un algoritmo adecuado para el tratamiento de las reflexiones en los interfaces
�März1995�. Es por ello que en esta tesis, por simplicidad en el desarrollo y validación de los
métodos que se van a presentar, se ha trabajado siempre con el caso unidireccional.
x
z
Fig. 2.3: Limitación del BPM: inclinación de
una guiaonda slab.
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
29
2.2.- Wide-Angle BPM
Con el objetivo de superar la paraxialidad impuesta por el BPM, han surgido recientemente
diferentes estrategias conocidas como ‘wide-angle BPM’, las cuales, al no realizar la
aproximación de envolvente lentamente variable, permiten analizar situaciones con espectro
angular ancho (véase, por ejemplo, �BertlottiMay94�, �HadleyOct92�, �MaApr96�, �IlicDic96�,
�ChiouJul97�, entre otros). El objetivo de este apartado de la tesis no es, ni mucho menos,
profundizar sobre las diferentes técnicas ‘wide-angle’ que existen en la bibliografía, máxime
cuando, como se verá en la segunda parte de la tesis, no serán objeto de estudio por medio de
las técnicas espectrales; sino más bien, y llegados a este punto, dar al lector una visión global
del problema de la propagación en dispositivos ópticos, planteando las ecuaciones que habría
que resolver para realizar un análisis más exhaustivo.
Para simplificar, supóngase un situación 2D-escalar lineal. La ecuación de ondas para el
campo eléctrico viene dada por
�
�
�
�
2
2
2
22 2 0
E
x
E
zk n x y Eo� � � � �( , )
la cual también se podrá escribir como
�
�
2
2 0E
zLE� �
en donde se ha definido el operador ‘L’, para incluir todas las operaciones transversales que
actúan sobre el campo eléctrico
Lx
k no� � ��
�
2
22 2
A continuación, el problema suele ser abordado de dos maneras diferentes pero
completamente equivalentes. La primera de ellas consiste en solucionar directamente la
ecuación (2.40), que es por ejemplo el planteamiento seguido en el ‘método de líneas’
(‘Method of Lines’, �BertlottiMay94�), en cuyo caso el campo eléctrico en un plano z+�z se
obtiene directamente a partir del campo en el plano z como
E z z e E zj L z( ) ( )� � ��� �
en donde los signos ‘-’ y ‘+’ corresponden a las ondas incidente y reflejada respectivamente.
La otra vía es muy similar a la empleada en el BPM-paraxial, esto es, el campo eléctrico es
escrito previamente como el producto de dos términos, la envolvente compleja ‘�(x,z)‘, y el
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
30
término de fase ‘ e j zN� � ’, pero con la diferencia de que ninguna imposición es hecha sobre la
velocidad de variación de la envolvente en dirección z. Con ello la ecuación a resolver se
podrá escribir como
� �
��
��
�� � �
2
222 0
zj
zLN N� � �
en donde se puede comprobar que es exactamente igual que la del BPM-paraxial solo que,
como era de esperar, no se ha eliminado el término correspondiente a la derivada segunda de
la envolvente del campo. La solución formal de la ecuación (2.43) puede ser también
fácilmente obtenida aplicando el método de Laplace. Las raíces de la ecuación característica
son
S j LN12, ( )� ��
lo que permite escribir la envolvente del campo en un plano z+�z en función de la envolvente
en el plano z como
� �� �
�( ) ( )z z e z
j L zN � ��
��
lo cual, como no podía ser de otra forma, es equivalente al resultado obtenido en (2.42).
En ocasiones, en lugar de considerar la ecuación (2.43) se suele plantear esta otra
� ���
�� �
zj LN� �
pues conduce formalmente al mismo resultado. Obsérvese que cuando el operador raíz
cuadrada es desarrollado en serie de Taylor y son despreciados los términos de orden superior
la ecuación que se obtiene es la paraxial-BPM �März1995�.
En el campo de la óptica, el operador raíz cuadrada es habitualmente desarrollado
utilizando los cocientes polinómicos de Padé ( véase por ejemplo �HadleyOct92� ó �IlicDic96�
para las expresiones exactas de los mismos). Haciendo uso de ellos, en �HadleyOct92�,
�MaAbr96� y �IlicDic96�, entre otros, se comparan los resultados de simulaciones obtenidas
mediante técnicas BPM-paraxiales y wide-angle-BPM para situaciones tales como la
propagación de una fuente puntual (máxima difracción) a través de un medio homogéneo, o la
propagación a través de un slab inclinado respecto del eje z un cierto ángulo (� ��z elevada),
que son situaciones límite para el método paraxial, apreciándose notables diferencias entre
ambos, tanto mayores cuanto mayor sea el espectro angular de la excitación, o mayor el
ángulo de inclinación de la guiaonda. Asimismo, y como era de esperar, el error cometido con
(2.43)
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
31
esta nueva familia de métodos presenta, en función del orden de la aproximación de Padé
utilizada, una mayor insensibilidad a la constante de propagación de referencia empleada.
2.3.- Análisis Modal de Guiaondas Ópticas
Entre los diferentes objetivos planteados en el capítulo primero de esta tesis, el que será
tratado con una mayor extensión a lo largo de la misma es el desarrollo y validación de
herramientas para el cálculo eficiente de los modos en guías dieléctricas lineales y no-lineales,
dado que, como ya se ha comentado, es donde se han realizado una mayor cantidad de
aportaciones. Ello será expuesto en los capítulos 3, 4, 5 y 6, por lo que, al igual que se ha
hecho con la propagación, antes de entrar en detalle sobre el trabajo realizado, es conveniente
plantear las ecuaciones que se van a utilizar en su desarrollo. La razón de haber mostrado en
primer lugar las ecuaciones concernientes a la propagación se debe a que, si bien éstas serán
usadas con posterioridad en los capítulos 7 y 8, las ecuaciones modales pueden ser deducidas
de forma inmediata a partir de las anteriores, como se verá seguidamente.
El análisis o diseño de ciertos dispositivos ópticos pasa, en ocasiones, por tener
caracterizada cada una las guiaondas que lo componen. La caracterización o análisis modal
consiste en determinar, en función de la frecuencia, las soluciones estacionarias que la
estructura es capaz de soportar. Este tipo de soluciones, también llamadas modos, se
distinguen por propagarse con una cierta constante de propagación y por mantener invariante
su distribución transversal de campo eléctrico y magnético. En general, siempre se podrán
escribir de la siguiente manera � �
��
E x y z x y e
H x y z x y e
j z
j z
( , , ) ( , )
( , , ) ( , )
� �
� �
�
�
�
�
�
�
en donde � es la constante de propagación del modo en la dirección z, y �
�( , )x y y �
�( , )x y la
distribución espacial de los campos eléctrico y magnético respectivamente.
Dependiendo del margen de valores en el que se encuentre la constante de propagación,
los modos se pueden clasificar en guiados y radiados �März1995�. En guiaondas dieléctricas
lineales, los modos guiados forman un conjunto discreto, mientras que los radiados forman un
conjunto continuo. Todos ellos forman un conjunto completo de funciones, es decir, cualquier
campo se podrá escribir como una combinación lineal de los mismos. En cambio, en las
guiaondas dieléctricas no-lineales, dado que el índice de refracción viene caracterizado por el
propio campo que se pretende conocer, además de la frecuencia, será necesario especificar,
(2.47)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
32
cuando menos, la potencia del modo a calcular. En ocasiones, en dispositivos que presenten
ciclos de histéresis será necesario además incluir el camino o evolución de la potencia (véase
por ejemplo el análisis modal de una fibra óptica no-lineal realizado en �NiiyamaEne98�). Por
ello, y a diferencia del caso lineal, los modos guiados que una guiaonda no-lineal soporta
forman un conjunto continuo de soluciones.
Las ecuaciones que gobiernan la propagación de ondas monocromáticas y estacionarias a
través de guías dieléctricas invariantes en la dirección longitudinal pueden ser fácilmente
deducidas a partir de la ecuaciones que gobiernan la propagación de la envolvente óptica del
campo eléctrico transversal (ecuación (2.19)). Como se recordará, éstas fueron obtenidas
suponiendo una variación lenta de la envolvente y concentrando la variación rápida en el
término de fase. Comparando con la expresión genérica de los modos (2.47), resulta obvio
entonces que, si eliminamos de la ecuación (2.19) la dependencia con z de la envolvente y
sustituímos �N por �, lo que se obtiene son justamente las ecuaciones que se están buscando.
La clasificación realizada en la tabla 2.1 para los diferentes tipos de soluciones, así como la
nomenclatura habitualmente utilizada para identificarlas, sigue siendo válida sin más que
añadirles el calificativo de ‘modos’. Las técnicas de caracterización de guiaondas que se van
presentar se han probado en estructuras 2D y 3D, siempre bajo la aproximación escalar, con lo
que la ecuación de ondas de mayor orden que será analizada viene dada, para los casos lineal y
no-lineal respectivamente, por
� �
�
� �
�� � �
2
2
2
22 2 2
x yko n x y � � �( , )
� �
�
� �
�� � � � �
2
2
2
22 2 3 2 23
4x yk n x y x yo � ��
������ �( , ) ( , )( )�
en donde se puede comprobar que si el medio es lineal los modos son autofunciones de la
ecuación diferencial y la constante de propagación sus autovalores. Si el medio es no-lineal, si
bien no constituye un problema de autovalores y autofunciones en sentido estricto, pues, como
se ha explicado, el medio depende de la propia función a calcular, normalmente se le suele
calificar como un problema no-lineal de autovalores. Esto está en consonancia con uno de los
métodos de resolución de ecuaciones no-lineales que suelen ser empleados para su resolución
y que será explicado en detalle en el capítulo siguiente.
(2.48)
(2.49)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
33
2.4.- Normalización de la Ecuación de Ondas
En el año 1974 Kogelnik y Ramaswamy �Kogelnik74� demostraron que las propiedades de
guiado de un slab de salto de índice quedan unívocamente determinadas si se conocen la
frecuencia normalizada y el coeficiente de asimetría. Desde entonces, en lugar de trabajar con
parámetros físicos (perfil del índice de refracción y frecuencia de trabajo), en el ámbito de la
óptica, la práctica habitual suele ser someter a la ecuación de ondas a un proceso de
normalización que permita escribirla en términos de dichos parámetros. De hecho,
posteriormente, Chelkowski y Chrostowski �ChelkowskiSep87� hicieron lo propio con un slab
no-lineal, introduciendo un nuevo parámetro que tuviera en cuenta, conjuntamente, el grado de
no-linealidad del medio y la potencia del modo.
Antes de explicar cuáles son los pasos de que consta el proceso de normalización, tanto
para el caso lineal como para el no-lineal, es necesario conocer cómo se definen los parámetros
ópticos normalizados. Para ello supóngase una guiaonda genérica 3D no-lineal como la
mostrada en la Fig 2.4. Se compone de un núcleo (nf) rodeado en sus diversas caras por dos
medios materiales indefinidos, substrato y cubierta (ns y nc, nf>ns>nc). La no-linealidad es de
tipo Kerr y se ha situado en el substrato.
Existen tres parámetros ópticos normalizados, frecuencia, coeficiente de asimetría y
constante de propagación, los cuales se definen respectivamente como:
Frecuencia normalizada (V): Depende del tamaño eléctrico de la zona de guiado y de la
diferencia entre los índices de refracción del núcleo y del substrato. Cuando se trate de un
nf
ns , � s(3)
nc nc
nc
x
y
2dy
2dx
Fig. 2.4: Geometría general de una guiaonda 3D
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
34
problema tridimensional como el representado en la figura es necesario definir dos frecuencias
normalizadas (Vx y Vy), una para cada dirección1
V k d n nx o x f s� � � �2 2
V k d n ny o y f s� � � �2 2
El término n nf s2 2� es lo que se suele denominar apertura numérica (NA).
Coeficiente de asimetría (a): Informa de lo diferentes que son el substrato y la cubierta.
an n
n nas c
f s
��
��
2 2
2 20
Constante de propagación normalizada (b): Es una medida del grado de confinamiento del
modo en cuestión
bk n
n n
o s
f s
�
��� �
�
�
�2
2
2 2
En problemas lineales su valor se encuentra comprendido entre cero y uno. Si se aproxima a
uno indica que el modo encuentra muy confinado en el núcleo, mientras que si se aproxima a
cero, el campo se expande fundamentalmente por el resto de la estructura. Al cociente (�/ko) se
le suele denominar índice de refracción modal o efectivo (Neff).
En problemas no-lineales será necesario definir además un nuevo parámetro (bI), el cual
depende del grado de no-linealidad del medio (�s(3)) y de la potencia del modo. No obstante, y
para facili tar su aparición en la ecuación de ondas, en lugar de definirlo en función de la
potencia, se suele hacer respecto del valor del campo en algún punto de la zona no-lineal,
normalmente en la frontera entre ésta y la zona lineal. Matemáticamente se escribe como
bx y d
n nI
y
f s
s
�
��� �
� � ��
�
34
2
2 2
30
2
��
( )( , )
( )
En cuanto a cuáles son los pasos que hay que aplicar para transformar la ecuación de ondas
definida en términos de los parámetros físicos de la guía en otra equivalente definida en
términos de los parámetros ópticos normalizados definidos anteriormente, éstos se pueden
sintetizar en los siguientes puntos:
1 En la bibliografía no existe unanimidad sobre la definición de la frecuencia normalizada, apareciendoindistintamente normalizada al ancho y al semiancho. En la Tesis se utilizará esta última.
(2.50)
(2.51)
(2.52)
(2.53)
(2.54)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
35
1.- En primer lugar las variables independientes (x e y) son normalizadas bien al ancho, bien al
semiancho, dependiendo de cómo hayan sido definidas las frecuencias normalizadas. En
nuestro caso, los nuevos ejes quedarían establecidos como
X x dx� /
Y y dy� /
con lo cual la ecuación (2.49) que gobierna la propagación de los modos por la estructura
quedaría tal que
1 1 3
42
2
2 2
2
22 2 3 2 2
d X d Yk n X Y X Y
x yo
� �
�
� �
�� � � � �� � � � ��
���
�� �( , ) ( , )( )
2.- A continuación, los diferentes términos son multiplicados y divididos por la apertura
numérica al cuadrado, con lo que si todo es pasado al lado izquierdo, la ecuación puede ser
escrita como
� � � �k NA
k d NA X k d NA Y
n X Y N
NA
X Y
NAo
o x o y
eff2 22
2
2 2
2
2
2 2
2
3 2
21 1 3
40� � �
��
��
�
��
�
�
�
�
���
�
����
� �
�
� �
�
� ��
( , ) ( , )( )�
en donde ya se identifican claramente las frecuencias normalizadas.
3.- El término entre corchetes se compone a su vez de otros dos términos, el lineal y el no-
lineal. La manipulación del primero permite escribirlo de la siguiente forma
n X Y N
NA
n N
NAa b X Y cubierta
n N
NAb X Y nucleo
n N
NAb X Y substrato
eff
c eff
f eff
s eff
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
1( , )
( , )
( , )
( , )
��
�� � � �
�� � �
�� � �
�
�
����
�
����
�
�
����
�
����
es decir, en función del coeficiente de asimetría y de la constante de propagación
normalizada, que era lo que se buscaba. Si se define el índice de refracción normalizado
como
(2.55)
(2.56)
(2.57)
(2.58)
(2.59)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
36
n X Y
a X Y cubierta
X Y nucleo
X Y substrato
2 1
0
( , )
( , )
( , )
( , )
�
� � �
� �
� �
!"
#"
$
%"
&"
la ecuación (2.58) se convierte en
1 1 3
42
2
2 2
2
22
3 2
2V
X Y
X V
X Y
Yn X Y
X Y X Y
NAX Y b X Y
x y
� �
�
� �
�
� �� �
( , ) ( , )( , )
( , ) ( , )( , ) ( , )
( )
� � ���
�
�
�
��� � �
�
4.- Por último, si el campo eléctrico es normalizado al valor del mismo en algún punto de la
zona no-lineal (por ejemplo el interface entre el substrato y el núcleo)
��
�( , )
( , )
( , );X Y
X Y
X YX Y
o oo o� � � �0 1
es posible escribir el término no-lineal en función del parámetro bI definido en (2.54), lo
que permite escribir finalmente la ecuación de ondas en su versión normalizada
1 1
22
2
2 2
2
22 2
V
X Y
X V
X Y
Yn X Y b X Y X Y X Y b X Y
x yI
� �
�
� �
�� � �
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � ��
� ���� � ��
Como conclusión al proceso de normalización realizado es importante destacar los
siguientes comentarios:
i) La razón de haber normalizado la ecuación de ondas correspondiente a los modos que
soporta la estructura se debe a que normalmente el análisis modal se hace siempre en
términos de los parámetros ópticos normalizados, no así con la propagación, en la que la
práctica totalidad de las simulaciones publicadas en la bibliografía son realizadas sobre
dispositivos definidos por sus parámetros físicos.
ii) Independientemente del método que se utilice para la resolución de la ecuación (2.63), lo
cual será tratado en el capítulo siguiente, ésta queda definida cuando se especifiquen los
parámetros (a,Vx,Vy,bI). Su solución debe proporcionar la constante de propagación
normalizada (b) y la distribución espacial normalizada del campo eléctrico (�( , )X Y ).
Ahora bien, en ocasiones el propio método impone que además se deba introducir como
dato para su resolución la constante de propagación normalizada, con lo cual, si se fija de
forma arbitraria, la solución que se obtenga no tiene por qué satisfacer la condición de
normalización (�( , ) )X Yo o �1 ). Por ello, resulta interesante saber cómo transformar dicha
(2.60)
(2.61)
(2.62)
(2.63)
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
37
solución en otra que sí satisfaga tal condición. Si por ejemplo, el conjunto de parámetros (a,
Vx, Vy, bI, b, �(X,Y)) es solución de la ecuación (2.63), es fácilmente demostrable que el
conjunto (a, Vx, Vy, bI’, b, �‘(X,Y)) con bI
’ = bI · ��(Xo,Yo)�2 y �‘(X,Y) = �(X,Y)� �( Xo,Yo) es
también solución de la misma.
2.5.- Las Condiciones de Contorno y las Condiciones de Salto
Hasta el momento, en lo que va de capítulo, aún no se ha hecho mención alguna a cómo
son aplicadas las condiciones de contorno. Que duda cabe que, como cualquier problema
electromagnético, además de las ecuaciones de Maxwell, será necesario imponer las
condiciones de salto o frontera que se han de satisfacer en los posibles interfaces que contenga
la estructura bajo análisis. Las guiaondas ópticas poseen ciertas características que las
diferencian, por ejemplo, de las guiaondas más habitualmente empleadas en las bandas de
microondas/milimétricas. En concreto las primeras son estructuras abiertas, por lo que, en
principio, el dominio a analizar se extiende hasta el infinito; mientras que las segundas suelen
estar encerradas por un conductor perfecto, lo que fija unas determinadas condiciones de
contorno sobre sus extremos y permite delimitar la zona de interés a un espacio finito y
conocido de antemano. Esta notable peculiaridad se ha convertido en el caballo de batalla de
los diversos métodos numéricos que se han desarrollado en el campo de la óptica integrada
durante los últimos años para la discretización de las ecuaciones que se acaban de exponer (un
resumen de los mismos es realizado en [Chiang1994� para los modos y en [Yevick1994� para
propagación). De hecho, el mayor o menor éxito de una determinada técnica numérica radica,
entre otras cosas, en dónde y cómo son fijados los extremos de la ventana de computación.
Aunque el problema debe ser tratado de forma diferente dependiendo del tipo de situación a
resolver, modos o propagación, simplemente, y a modo de ejemplo, supóngase que se desea
aplicar una cierta técnica numérica. Una forma de medir su eficiencia consiste en fijar la
precisión a obtener y evaluar el coste computacional necesario para su obtención. En ese caso
resulta obvio comprobar que el coste computacional crecerá con el tamaño de la ventana de
computación, por lo que interesará trabajar con tamaños de ventana reducidos y lo más
ajustados posibles a la zona de interés. Este truncamiento, necesario en la mayoría de las
ocasiones, del dominio infinito original en uno de dimensión finita, obliga a conocer cuáles van
a ser las condiciones de contorno que van a existir sobre sus extremos. Cuando lo que se
persigue es la caracterización de los modos guiados que soporta una estructura, éstos imponen
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
38
una condición de campo nulo en el infinito, por lo que parece razonable truncar allí donde el
campo se hace prácticamente cero. En cambio, si se está analizando la propagación de la
envolvente óptica a través de una estructura, el problema resulta menos evidente, pues, dado
que hay radiación saliente, independientemente del punto en donde se produzca el
truncamiento, las condiciones de contorno cambian con la distancia de propagación.
Los métodos espectrales poseen, por su propia naturaleza, ciertas dificultades para superar
con eficiencia este problema. De hecho, el principal obstáculo con que se encuentran para
incrementar su eficiencia numérica tiene su origen justamente en las condiciones de contorno.
Los mayores esfuerzos realizados hasta la fecha se han centrado básicamente en superar dicha
limitación, y las aportaciones que se presentan en este trabajo no podían ser menos. En
concreto, en el ámbito de los modos, la aportación realizada perfeccionará notablemente a una
técnica espectral ya existente; mientras, en el ámbito de la propagación se propone una nueva
formulación que mejora considerablemente la eficiencia de las condiciones de contorno
utili zadas anteriormente. Por ello, no nos extenderemos de momento más sobre el tema,
dejando para los correspondientes capítulos un análisis detallado del mismo y de cuál ha sido
su evolución a lo largo del tiempo, con el objeto de justificar y comprender mejor el trabajo
desarrollado.
En lo que respecta a las condiciones de salto que se deben satisfacer en los diferentes
interfaces existentes en la guiaonda, y en cómo pueden afectar a la resolución de la ecuación
diferencial, es conveniente hacer las siguiente reflexiones. Por una parte, al tratarse de guías
dieléctricas y no contener ninguna inhomogeneidad de tipo magnético, las únicas
componentes de campo que pudieran presentar algún tipo de discontinuidad son las
correspondientes al campo eléctrico. Las condiciones de contorno que se deben cumplir entre
dos medios con características diferentes son obtenidas, como es sabido, a partir de las
ecuaciones de Maxwell en forma integral �Nikolski1976�. Quiere eso decir que,
implícitamente, están incluidas en las ecuaciones diferenciales que se han deducido y deberán,
por tanto, ser satisfechas por el tipo de soluciones que se están buscando. No obstante, existen
ciertas situaciones límite que pudieran dar lugar a errores en su resolución y que convienen ser
comentadas. En �März1995� se realiza un análisis exhaustivo e interesante acerca de la
continuidad o discontinuidad presentada, no sólo por las componentes de campo eléctrico y
magnético, sino lo que es más interesante, de sus derivadas respecto a la dirección normal y
tangencial del interface. La situación más desfavorable ocurre cuando se está resolviendo el
Fundamentos Electromagnéticos de las Guiaondas Ópticas: Modelización
39
problema 3D/vectorial, sin ningún tipo de aproximación, en guías de salto de índice. En ese
caso, las derivadas del índice de refracción darán lugar a la aparición de deltas en la ecuación
diferencial (ec. 2.15 ó 2.20), lo que ocasionaría, entre otros, problemas de convergencia
�MarcuseFeb92�. Sin embargo, como ya se ha comentado, las técnicas espectrales que se van
presentar para el cálculo de modos sólo se han utilizado en guiaondas 2D y 3D escalares,
mientras que en propagación se llegó a analizar el caso vectorial pero en una situación 2D, por
lo que, de momento, dicha situación no se producirá. Entre las posibles líneas futuras de
investigación que se manejan, y que serán comentadas en el capítulo 9, que duda cabe que, la
adaptación de las técnicas propuestas al caso 3D/vectorial se erige como la extensión natural
de las mismas.
Capítulo 3:
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
Habiéndose ya expuesto en el capítulo anterior los fundamentos electromagnéticos de las
guiaondas ópticas, y deducido a partir de los mismos, las diferentes ecuaciones de ondas que
gobiernan la propagación de la envolvente óptica y de los modos o soluciones estacionarias
por estructuras dieléctricas, el siguiente paso a realizar consiste en abordar su resolución
numérica. En esta primera parte de la Tesis que ahora se inicia, y que comprende los capítulos
3, 4, 5 y 6, se presentará el trabajo realizado en lo que al análisis modal se refiere, dejando
para los capítulos 7 y 8, el correspondiente a la propagación. Evidentemente, el problema de
propagación contiene los mismos operadores transversales que el problema modal, y sólo se
diferencia de él en la aparición de la coordenada longitudinal, por lo que gran parte de la
información que se va a presentar seguidamente será de aplicación directa en la segunda parte
de la Tesis.
Dos son los objetivos que se van a cubrir en el presente capítulo:
i) Explicar los fundamentos matemáticos en los que se apoyan los métodos espectrales y
pseudoespectrales.
ii) Demostrar las limitaciones que presentan los métodos clásicos de descomposición en
funciones base de Fourier y Hermite-Gauss. Su conocimiento resulta de vital importancia
para comprender y justificar los diferentes pasos que condujeron a la principal aportación
realizada en esta Tesis, y que será detalladamente abordada en capítulos sucesivos.
Para acometer tales objetivos, ha sido necesario desarrollar una formulación original que
permita, de manera sencilla y elegante, discretizar el conjunto de ecuaciones diferenciales a
resolver.
En cuanto a la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones que se obtiene tras el
proceso de discretización, dos han sido los métodos empleados. El método de la
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
42
autoconsistencia de los campos, y el método de Newton-Raphson, proponiéndose en el caso
de este último, una nueva estrategia para su aplicación.
3.1.- El Método de los Residuos Ponderados
El método de los residuos ponderados es, actualmente, una de las herramientas más
extendidas y desarrolladas para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales e integrales
en diferentes ámbitos científicos. El objetivo del método de los residuos ponderados, como el
de cualquier otro método numérico, consiste en transformar la ecuación a resolver en un
sistema de ecuaciones algebraico, cuya solución representa una aproximación al problema
original. En realidad, el método de los residuos ponderados abarca, a su vez, una amplia gama
de métodos, los cuales se diferencian, fundamentalmente, en la forma en que son ejecutados
los pasos de que consta el proceso anteriormente mencionado. Por ello, y a modo de síntesis,
se ha considerado conveniente realizar, junto con la explicación de los fundamentos y
principios generales del método, una clasificación de las diferentes versiones del mismo, que
permita ubicar los métodos que van ser objeto de estudio por parte de esta Tesis.
Supóngase que se desea resolver la siguiente ecuación diferencial definida sobre el
intervalo � con condiciones de contorno homogéneas en sus extremos
� � � �L x x a b
a
b
�
�
�
( ) ,
( )
( )
� � � �
�
�
0
0
0
�
en donde ‘L’ es el operador diferencial que actúa sobre la función �(x) a calcular.
Dos son los pasos esenciales que hay que aplicar para su resolución numérica. El primero de
ellos consiste en aproximar la función �(x) en el espacio funcional definido por el conjunto de
funciones base �Fk(x)�N
� � �( ) ( ) ( )x x F xN k kk
N� � �
�
�0
Su sustitución en la ecuación (3.1) permite definir la función residual o residuo como
� �R x L xN( ) ( )� �
la cual no es más que una medida del error cometido, pues la aproximación será tanto mejor
cuanto menor sea el residuo.
(3.1)
(3.2)
(3.3)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
43
El segundo y definitivo paso tiene la misión de generar, a partir de la ecuación (3.3) 'N+1'
ecuaciones que relacionen los 'N+1' coeficientes ��k�N entre sí. Estas son obtenidas forzando
que el producto escalar entre el residuo y unas ciertas funciones peso �Wi(x)�N sea cero
� � � � �R x W x R x W x dx i Ni ia
b
( ), ( ) ( ) ( ) , ,2,...,* 0 0 1
y cuya posterior manipulación permite escribir finalmente el sistema de ecuaciones en forma
matricial
� � � �M k� �� 0
Aunque el método expuesto es, desde un punto de vista conceptual, bastante simple, su
implementación no resulta ser tan inmediata. La pregunta clave que cabría hacerse es: ¿Qué
tipo de funciones base y funciones peso deben ser seleccionadas para conseguir, con el
mínimo número de términos, la mejor aproximación posible?. La respuesta a esta pregunta ha
sido el objetivo perseguido por los diferentes métodos numéricos que se han desarrollado a
raíz de la formulación presentada, y que seguidamente se pasan a comentar.
El Método de Colocación
El método de colocación, también llamado de ‘interpolación’ o de los 'puntos' (‘point
matching’), toma como funciones peso ‘N+1’ deltas de Dirac distribuidas a lo largo del
dominio de validez de la ecuación
W x x x xi i i( ) ( )� � �� �
La sustitución de (3.6) en el sistema de ecuaciones (3.4) da como resultado
R x i Ni( ) , ,2,...,� �0 0 1
es decir, los coeficientes ��k�N son obtenidos forzando que la función aproximada �N(x) y la
función a calcular �(x) sean iguales en un número finito de puntos del dominio. La precisión
del método no sólo dependerá, como es obvio, del número de puntos de interpolación, sino
además de cómo son distribuidos dichos puntos en el intervalo �.
El Método de Galerkin
Cuando las funciones peso son elegidas iguales a las funciones base que definen el
espacio funcional en donde se está realizando la aproximación, es decir
W x F xi i( ) ( )�
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
44
se obtiene lo que se conoce como método de Galerkin. En este caso el sistema de ecuaciones
(3.4 ) se puede escribir de la siguiente forma
R x F x dx i Nia
b
( ) ( ) , ,2,...,*� � � 0 0 1
el cual, como se puede observar, presenta, a priori, una manipulación más difícil para ser
escrito en forma matricial que el obtenido por el método de colocación. No obstante, como se
explicará en el siguiente apartado, si las funciones base son elegidas de forma que satisfagan
la condición de ortogonalidad, este proceso adquiere un alto grado de simplificación.
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
Cuando las funciones base se encuentran definidas para todos y cada uno de los puntos del
dominio � (funciones base globales) se obtienen los llamados métodos espectrales y
pseudoespectrales. Ambos se diferencian en que los primeros hacen uso de la estrategia de
Galerkin, mientras que los segundos hacen lo propio con la de colocación. Espacios
funcionales típicos que pertenecen a esta categoría son, por ejemplo, el de Fourier, Hermite-
Gauss, Chebyshev, Legendre, entre otros. La característica fundamental de esta familia de
métodos es que la utilización de un mayor número de términos en el desarrollo implica
incrementar el orden o grado de las funciones base.
Los Métodos Locales
Por contra, cuando las funciones base se encuentran sólo definidas sobre una porción del
dominio �, valiendo cero en el resto, los métodos, independientemente de la estrategia
seguida en lo que a las funciones peso se refiere, son denominados locales. Éstos, a diferencia
de los métodos globales, incrementan su precisión a base de aumentar el número de
subintervalos en los que es dividido el dominio y manteniendo fijo el grado de la función
base, la cual por otra parte, suele ser un polinomio de orden inferior. El método de los
elementos finitos es, por excelencia, su ejemplo más típico.
A la vista de la clasificación anterior, conviene hacer algunas reflexiones al respecto. En
principio se tenderá a considerar como método más eficiente aquel que consiga alcanzar una
precisión determinada con el mínimo número de términos. Sin embargo, este razonamiento
puede llevar a conclusiones erróneas. Si comparamos por ejemplo el método de Galerkin
(3.9)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
45
frente al de colocación, resulta evidente que, puesto que el primero minimiza el residuo en
todo el intervalo y el segundo sólo lo hace en un número finito de puntos, logrará utilizar un
menor número de términos. Sin embargo, como se verá en sucesivos apartados, la
formulación del sistema matricial que caracteriza a cada uno de los métodos requiere, en
general, un esfuerzo computacional mayor para el método de Galerkin que para el método de
colocación. Algo similar ocurre cuando los métodos globales son comparados con los
métodos locales, pues los primeros dan lugar a matrices del sistema densas y de menor tamaño
que las que generan los segundos, las cuales, sin embargo, son poco densas. Este importante
matiz debiera ser tenido en cuenta a la hora de realizar la confrontación entre ambos, ya que el
número de operaciones necesario para resolver el sistema planteado por un método global
puede llegar a ser superior al correspondiente a un método local. Otro aspecto que también
debiera ser enormemente valorado antes de decantarse por uno u otro método, es la
posibilidad de disponer de algoritmos rápidos para evaluar, a partir de los coeficientes, la
aproximación en el número de puntos que se desee (ec. (3.2)), y viceversa. Es el caso, por
ejemplo, de los espacios funcionales que van a ser utilizados en esta primera parte de la Tesis,
Fourier y Hermite-Gauss. El primero posee una transformada rápida (Fast Fourier Transform-
FFT), mientras que el segundo carece de ella.
En definitiva, la valoración de las prestaciones que un determinado método numérico
ofrece sería ambigua si simplemente se midiera la dimensión del espacio funcional sobre el
que se realiza la aproximación, por lo que es necesario tener en cuenta además otros aspectos
relacionados con el coste computacional que su implementación representa.
3.2.- Las Funciones Base
Antes de empezar a profundizar sobre la aplicación de los métodos espectrales y
pseudoespectrales a la caracterización de guiaondas ópticas, conviene recordar ciertas
propiedades generales que deben ser satisfechas por los espacios funcionales a utilizar, así
como reflexionar sobre la manera en que éstos pudieran afectar a la forma de imponer las
condiciones de contorno.
3.2.1.- Completitud y Ortogonalidad
La completitud y ortogonalidad son dos propiedades que, si bien su cumplimiento por
parte de los espacios funcionales acarrea consecuencia diferentes, suelen ir normalmente
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
46
ligadas la una con la otra. La razón de esta ligazón fue descubierta por Sturm y Liouville en el
siglo XIX. Ambos demostraron que existen una clase de problemas ('problemas de Sturm-
Liouville') cuyas autofunciones forman espacios funcionales completos y ortogonales.
Respecto a lo que cada una de ellas implica, la completitud garantiza que cualquier función
perteneciente a la clase de funciones que está siendo objeto de estudio pueda ser representada
con la precisión que se desee. Por su parte, la ortogonalidad resulta ser una propiedad muy
atractiva pues por un lado permite calcular de forma sencilla los coeficientes espectrales de
una determinada función y por otro garantiza que los coeficientes óptimos son independientes
del orden (número de términos) de la aproximación. Matemáticamente se puede formular
diciendo que el producto escalar entre sus funciones base respecto de una posible función de
peso �(x) satisface la siguiente relación
� � � � � �F x F x F x F x x dxm n m n na
b
mn( ), ( ) ( ) ( ) ( )* � ��
en donde �mn es la función delta de Kronecker y �n es la norma o constante de normalización,
la cual pudiera depender del orden de la función base. Aplicando dicha propiedad a la
ecuación (3.2), se deduce con facilidad cuál es la expresión exacta del coeficiente k-ésimo de
la aproximación
� �kk
kx F x� � � 1
�( ), ( )
3.2.2.- Condiciones de Contorno
El sistema de ecuaciones (3.5) resultado de la aplicación del método de los residuos
ponderados a la ecuación diferencial que se pretende resolver, no contiene aún ninguna de las
condiciones de contorno especificadas en la ecuación (3.1). Existen dos formas diferentes de
hacerlo. La primera, también llamada explícita, consiste en eliminar dos de las filas que
definen la matriz del sistema de ecuaciones, las cuales pudieran ser por ejemplo las
correspondientes a los coeficientes de menor peso, e introducir las dos ecuaciones que
garantizan el cumplimiento de las condiciones de contorno, las cuales se pueden escribir,
haciendo uso de la ecuación (3.2), en función de los coeficientes a calcular
(3.10)
(3.11)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
47
� �
� �
( ) ( )
( ) ( )
a F a
b F b
k kk
N
k kk
N
� � �
� � �
�
�
�
�
0
0
0
0
La otra posibilidad, conocida como implícita, se basa en seleccionar un espacio funcional
en el que todas y cada una de sus funciones base satisfagan de forma natural las condiciones
de contorno homogéneas que impone el problema en cuestión. De esta forma, al escribir la
aproximación como suma de funciones base se estaría garantizando su cumplimiento sin
necesidad de imponer ecuaciones adicionales. Por ejemplo, si se están calculando los modos
de una guía de onda cerrada por conductor perfecto, parece claro que una buena elección
pudieran ser las funciones base senoidales pues satisfacen de forma natural la condición de
campo nulo (Dirichlet) sobre los contornos de la guía. Si el problema a analizar no tuviera
condiciones de contorno homogéneas en los extremos del dominio, siempre es posible
transformar el problema original en otro equivalente que sí tenga condiciones de contorno
homogéneas, y por tanto seguir utilizando esta estrategia.
A pesar de que no es lo habitual, existen otros espacios funcionales en donde ninguna de
las dos técnicas anteriormente mencionadas son utilizadas. Es el caso, por ejemplo, del
espacio funcional de Fourier aplicado a un dominio infinito. Aunque este tema será analizado
más adelante en detalle a lo largo del presente capítulo, pues es la situación que se presenta en
una guía dieléctrica, adelantar que el problema puede seguir siendo analizado sin necesidad de
añadir condición adicional alguna, sin más que elegir el periodo de las funciones base lo
suficientemente grande como para asegurar que el campo que va a haber en sus extremos sea
prácticamente cero.
3.3.- Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
La utilización del método de Galerkin y de colocación junto con espacios funcionales
globales da lugar, como ya se ha indicado, a los métodos espectrales y pseudoespectrales
respectivamente. Con independencia del espacio funcional que se vaya a emplear, existen
ciertas condiciones bajo las cuales la aplicación de los mismos da lugar al mismo resultado.
Por ello, y antes de particularizar a los espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, se
van a describir cómo son discretizadas las ecuaciones modales deducidas en el capítulo
anterior, a fin de definir y establecer una serie de conceptos y relaciones fundamentales
(3.12)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
48
comunes a todos ellos que serán ampliamente utilizados a lo largo de la Tesis. Todo ello va
acompañado de una de las aportaciones que se han realizado para su implementación, y que
no es otra que el desarrollo de una formulación compacta basada en el concepto de operador
matricial.
Supóngase que se desea caracterizar, por ejemplo, la guiaonda óptica 2D-escalar lineal
indicada en la figura 3.1. Se trata de un slab de
salto de índice formado por un medio de índice
de refracción nf, llamado núcleo o ’film’, rodeado
por dos medios ilimitados en la dirección x,
llamados substrato y cubierta, con índices de
refracción, respectivamente, ns y nc. La guiaonda
es invariante en las direcciones y y z, siendo ésta
última la que se toma como dirección de
propagación. La ecuación de ondas
correspondiente a los modos guiados TE viene
dada por
� �
�� � �
2
22 2 2( )
( ) ( ) ( )x
xk n x x xo� � � �
donde �(x) es la distribución transversal del campo eléctrico, � su constante de propagación y
ko el vector de onda en el vacío a la frecuencia de trabajo.
El primer paso para su resolución, consiste en sustituir la expresión (3.2) en la ecuación
diferencial (3.13), lo cual da lugar a
��
�� � �k
k
k
N
o k kk
N
k kk
NF x
xk n x F x F x
2
20
2 2
0
2
0
( )( ) ( ) ( )
� � �
� � �� � � ��
���
�
� �
Seguidamente, los coeficientes de la aproximación pueden ser calculados aplicando la
estrategia de Galerkin o la de colocación.
3.3.1.- Método de Colocación
Si la ecuación (3.14) es particularizada en ‘N+1’ puntos arbitrarios del dominio, la
ecuación i-ésima correspondiente al punto xi se podrá escribir como
��
�� � �k
k i
k
N
o i k k ik
N
k k ik
NF x
xk n x F x F x i N
2
20
2 2
0
2
0
0 1( )
( ) ( ) ( ) , ,2,...,� � �
� � �� � � ��
���
�
� � �
ynúcleo: nf
substrato: ns
cubierta: ncx
z
2d
Fig 3.1: Guiaonda slab lineal de salto de índice
(3.13)
(3.14)
(3.15)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
49
la cual puede ser también puesta en forma matricial, adoptando el siguiente aspecto
� � � � � � � � � � � � � �F x k p T Tk i k o k k'' ( ) � � � � � � �
� �
� � � �2 1 2 1
en donde las letras con barra se refieren a vectores columna y las letras con doble barra se
refieren a matrices. Las expresiones de cada una de las matrices que aparecen en la ecuación
anterior vienen dadas por
� �F xF x
xk i
k i' ' ( )( )
��
�
��
�
�
�
2
2
� � � �p diag n xi� ( ( ))2
� � � �T F xk i�
�1
( )
La matriz � �F xk i''( ) contiene por columnas el resultado del muestreo de la derivada
segunda de las funciones base en los puntos de colocación xi. La matriz diagonal � �p se
obtiene a partir de las muestras de la función n2(x) en los puntos de colocación. Por último, la
matriz � �T�1
, formada a partir de los valores procedentes del muestreo de la función base
Fk(x) en los puntos de colocación y situándolos en la columna k-ésima, es lo que se suele
denominar como ‘matriz transformada inversa’, pues a partir de los ‘N+1’ coeficientes de la
aproximación calcula el campo en ‘N+1’ puntos cualesquiera del dominio. Su inversa, la
matriz � �T , es lo que se llama ‘matriz transformada directa’ y permite calcular los ‘N+1’
primeros coeficientes de cualquier función que pretenda ser aproximada a partir del valor de la
función en ‘N+1’ puntos del dominio. Con ello se pueden escribir las siguientes relaciones de
transformación
� � � � � �� �( )x Ti k� ��1
� � � � � �� �k iT x� � ( )
las cuales permiten pasar, de forma unívoca, del dominio de los coeficientes al dominio de los
puntos, y viceversa, respectivamente.
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
50
A raíz de lo anterior se pueden extraer las siguientes e importantes conclusiones del
método de colocación:
i) El problema puede ser planteado de dos formas completamente equivalentes. Tomando
como incógnitas, bien los ‘N+1’ coeficientes de la función ��k�N , bien los ‘N+1’ valores que
la función adopta en los puntos del dominio seleccionados ��(xi)�N. Es a lo que se
denominará, respectivamente, trabajar en el dominio de los coeficientes o en el dominio de los
puntos. Las matrices que definen cada uno de los sistemas pueden ser directamente obtenidas
a partir de la ecuación (3.16). Para la primera de ellas, se multiplica por la izquierda por la
matriz transformada directa, obteniéndose
� � � � � � � � � � � � � � � �T F x k T p Tk i k o k k� � � � � � � � ��'' ( ) � � � �2 1 2
que se puede reescribir con forma de un problema de autovalores, como
� � � � � �M k k� � �� � �2
donde la matriz del sistema � �M viene dada por
� � � � � � � � � � � �M T F x k T p Tk i o� � � � � ��
''( ) 21
Mientras que, si se está trabajando en el dominio de los puntos, sólo es necesario sustituir el
vector columna de los coeficientes por la expresión (3.21) que lo relaciona con el valor de la
función en los puntos de colocación, llegándose a
� � � � � � � � � � � �F x T x k p x xk i i o i i'' ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � �� � � �2 2
que se puede poner como
� � � � � �m x xi i� � �� � �( ) ( )2
donde se deduce la matriz del problema de autovalores dada ahora por
� � � � � � � �m F x T k pk i o� � � �''( ) 2
Finalmente, si se comparan las ecuaciones (3.24) y (3.27), es posible deducir cuál es la
relación existente entre ambas matrices, concluyéndose que
� � � � � � � �M T m T� � ��1
ii) Analizando las ecuaciones (3.22) y (3.25) es posible introducir el concepto de operador
matricial. La idea es bastante simple y se basa en calcular la matriz que, multiplicada por el
(3.22)
(3.23)
(3.24)
(3.25)
(3.26)
(3.27)
(3.28)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
51
vector de incógnitas de la función sobre la que se realiza una cierta operación (multiplicación
derivación, ...), de como resultado el vector de incógnitas correspondiente a la función
resultado de la operación. Por ejemplo, comenzando por la ecuación (3.22), el operador
derivada segunda y operador producto en el dominio de los coeficientes vienen dados por
� � � � � �DD T F xk i� � ''( )
� � � � � � � �P T p T� � ��1
mientras que, haciendo uso de la ecuación (3.25), los mismos operadores en el dominio de los
puntos vienen dados, respectivamente, por la matriz
� � � � � �dd F x Tk i� �''( )
y por la matriz � �p , la cual fue previamente definida en (3.18). Al igual que se hizo con la
matriz del sistema, es posible relacionar los operadores en ambos dominios. Para el operador
producto la expresión que los relaciona es directamente la ecuación (3.30), mientras que para
el operador derivada segunda se obtiene una expresión similar dada por
� � � � � � � �DD T dd T� � ��1
Obsérvese que a lo largo del desarrollo se han utilizado las mayúsculas para hacer referencia
al dominio de los coeficientes, y las minúsculas para el dominio de los puntos.
iii) Por último, y quizás la propiedad más importante que caracteriza al método de colocación,
es que los coeficientes obtenidos como consecuencia de la resolución del sistema de
ecuaciones (3.23) dependen, y esa dependencia suele ser muy fuerte, de los puntos de
colocación seleccionados.
Para comprender mejor el significado de esta afirmación, supóngase que, en lugar de estar
resolviendo una ecuación diferencial, se desea calcular la proyección, o aproximación, de una
cierta función f(x) conocida, en el espacio funcional definido por las funciones base �Fk(x)�N,
pues las conclusiones así se extraigan serán directamente aplicables al caso de la ecuación
diferencial.
Existen dos formas diferentes de evaluar los coeficientes que definen la aproximación. La
primera consiste en hacer uso de la propiedad de ortogonalidad y obtener su valor exacto que
es aquel que produce un error cuadrático medio mínimo, esto es, calcular el producto escalar
(3.29)
(3.30)
(3.31)
(3.32)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
52
entre la función a aproximar y cada una de las funciones base, lo cual es equivalente, como se
demostrará en el siguiente apartado, a aplicar el método de Galerkin cuando lo que se pretende
resolver es una ecuación diferencial. Llamando � �fk a los coeficientes que se obtienen con
esta estrategia, éstos vendrán dados por la ecuación (3.11), la cual es repetida nuevamente por
comodidad
f f x F xkk
k� � � �1
�( ), ( )
La otra forma de hacerlo emplea un planteamiento similar al utilizado con el método de
colocación. Forzando la igualdad en ‘N+1’ puntos arbitrarios del dominio entre la función a
aproximar y la función que resulte de la aproximación, es posible plantear un sistema de
ecuaciones cuyas incógnitas representan, en este caso, una ‘aproximación’ a los coeficientes
buscados. Llamando � �qk al valor de dichos coeficientes aproximados, éstos pueden ser
calculados usando la expresión de transformación (3.21), a saber
� � � � � �q T f xk i� � ( )
en dónde se puede comprobar su dependencia con la ubicación del mallado utilizado. A la
función que resulte de la aproximación, qN(x), se le suele llamar ‘polinomio de interpolación’,
pues tal y como ha sido obtenida satisface la siguiente relación
� � � �f x q xi N i( ) ( )�
A modo de ejemplo, se representan en la Fig. 3.2 los resultados obtenidos cuando una
gaussiana es aproximada en el espacio funcional de Chebyshev (N=3) para tres conjuntos
diferentes de puntos de interpolación. En la Fig. 3.2(a), además de los polinomios de
interpolación resultantes, se han señalado la posición que ocupan en el dominio los puntos de
colocación. El mallado 1 ha sido fijado colocando las muestras de forma equiespaciada,
pensando que de esa manera se obtendría una mejor aproximación, mientras que el mallado 2
se ha distribuido de forma no-uniforme concentrando las muestras en la parte derecha del
dominio, pues es ahí donde la amplitud de la función es mayor. Como se puede comprobar en
dicha figura, ninguno de los dos mallados consigue una buena aproximación en todo el
intervalo. Sin embargo, si los puntos de interpolación son obtenidos calculando las raíces de la
función base de orden ‘N+1’ (orden siguiente al último término considerado), la aproximación
obtenida es la mejor de todas las posibles �Boyd1989�. Es lo que en la figura se ha
(3.33)
(3.34)
(3.35)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
53
denominado mallado óptimo. Como se puede observar la aproximación mantiene un buen
compromiso en todo el intervalo. Por su parte, los resultados presentados en la Fig.3.2(b) son
una confirmación de los anteriores. En ella se muestran los coeficientes exactos de la
gaussiana junto con los que resultan de utilizar los mallados. Se puede comprobar cómo, con
sólo 4 puntos, los coeficientes correspondientes al mallado óptimo son prácticamente iguales
que los que se obtienen cuando la expresión exacta es utilizada.
3.3.2.- Método de Galerkin
En este caso, el sistema matricial de ecuaciones se obtiene forzando la ortogonalidad entre
cada una de las funciones base que están siendo utilizadas en el desarrollo en serie y la
ecuación (3.14). Suponiendo que la función peso, respecto de la cual el espacio funcional en
cuestión satisface la condición de ortogonalidad es igual a uno, la ecuación correspondiente a
la función base i-ésima sería
��
�� � �k
ki
a
b
k
N
o ka
b
k
N
k i k k ia
b
k
NF x
xF x dx k n x F x F x dx F x F x dx
i N
2
20
2 2
0
2
0
0 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, ,2,...,
* * *�� �� ��
� � �
� � �
�
la cual, escrita en forma matricial, adopta el siguiente aspecto
� � � � � � � � � �DD k Pk o k k� � � � � �� � � �2 2
-1 -0.5 0 0.5 1-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5aproximaciones: f(x) vs. qN(x)
mallado 1
mallado 2
mallado óptimo
gaussiana
0 1 2 3-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4coeficientes: fk vs. qk
mallado 1
mallado 2
mallado óptimo
coef. exactos
(a) (b) Fig. 3.2: Comparación de las aproximaciones polinómicas obtenidas con diferentes puntos de interpolación. (a) polinomios de interpolación resultantes y ubicación de los puntos de colocación, ‘O mallado 1’, ‘+ mallado 2’, ‘* mallado óptimo’ (b) amplitud de los coeficientes.
(3.36)
(3.37)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
54
en donde como se puede observar, al igual que se hizo con el método de colocación, es
posible definir los operadores derivada segunda y producto en el dominio de los coeficientes.
Las expresiones de los mismos vienen dados en este caso por
DD F xF x
xdxik i
k
a
b
� �� * ( )( )�
�
2
2
P n x F x F x dxik i ka
b
� � 2( ) ( ) ( )*
en donde el subíndice ‘i’ hace referencia a la fila, mientras que el subíndice ‘k’ hace lo propio
con la columna.
Una vez derivadas las ecuaciones, el método de Galerkin admite los siguientes
comentarios de carácter general:
i) La construcción de las matrices que definen el sistema de ecuaciones requieren, en
principio, un esfuerzo computacional mayor que las correspondientes al método de
colocación.
ii) A igual número de coeficientes, la precisión obtenida con el método de Galerkin es
superior que la lograda con el método de colocación �Boyd1989�.
iii) Existen ciertas condiciones bajo las cuales los métodos espectrales y pseudoespectrales
conducen al mismo resultado. Éstas se pueden concretar en el siguiente enunciado: ‘Si
las integrales que definen el método de Galerkin (ec. (3.38) y (3.39)) son resueltas
numéricamente mediante una integración gaussiana en cuadratura, y se utilizan como
puntos de integración los mismos puntos de interpolación que producen el mejor
resultado del método de colocación, esto es, las raíces de la primera función base no
considerada en el desarrollo en serie, se puede afirmar que ambos métodos son
completamente equivalentes �Boyd1989� ‘.
La decisión sobre cuál de las dos estrategias presentadas, Galerkin o colocación, resulta
ser más eficiente para la resolución de un determinado problema no tiene, a priori, una
respuesta inmediata. En general, se puede decir que va a depender muy mucho del espacio
funcional utilizado, así como del tipo de problema que se esté resolviendo. Por ejemplo, los
operadores derivada segunda que resultan cuando se emplean los espacios funcionales de
Fourier y Hermite-Gauss son, respectivamente, matrices diagonales y tribanda, por lo que, el
(3.38)
(3.39)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
55
inconveniente, anteriormente reseñado, que suponía el cálculo de la matriz del sistema, se ve
enormemente aminorado, pues sólo será necesario calcular algunos de sus elementos. Si
además, se dispone de algoritmos eficientes, como es el caso de la FFT, para calcular, de
forma rápida y con la precisión deseada, los coeficientes espectrales, el esfuerzo
computacional disminuye aún más, máxime si se tiene en cuenta que los diferentes elementos
que componen la matriz producto son directamente los coeficientes del desarrollo en serie de
Fourier de la función sobre la que se aplica el operador producto, en este caso el índice de
refracción.
El tipo de problema que pretende ser analizado también puede influir en la decisión final.
Por ejemplo, el análisis modal de una determinada guiaonda óptica es habitualmente abordarlo
mediante el método de Galerkin. Ello se debe a que del tiempo total requerido para resolver el
problema, la mayor parte se consume en calcular los autovalores y autovectores de la matriz
del sistema, y en menor medida, la construcción de la propia matriz, por lo que, a poco que el
método de colocación incremente su número de términos para igualarse en precisión al
método de Galerkin, su coste computacional experimentará un notable aumento. Sin embargo,
cuando los métodos espectrales son utilizados para resolver la propagación de la envolvente
óptica, la decisión dependerá del esquema de discretización que se utilice en la dirección de
propagación. Aunque este aspecto será tratado con más detalle en los capítulo 7 y 8, adelantar
que por ejemplo el conocido FFT-BPM emplea una estrategia de colocación, ya que su
algoritmo de propagación se basa en evaluar la derivada segunda en el dominio de los
coeficientes y el producto por el índice de refracción en el dominio de los puntos.
3.4.- El Método de Descomposición de Fourier
La aplicación del espacio funcional de Fourier a la caracterización modal de guiaondas
ópticas fue originariamente propuesto en �HenryFeb89�. El método, conocido en el ámbito de
la óptica integrada como ‘Fourier Decomposition Method’ (FDM), se caracteriza por utilizar
el siguiente conjunto de funciones base
F x kXo
xk ( ) sen� ���
�
�
siendo Xo (semiperiodo) el tamaño de la ventana de observación en donde se realiza la
aproximación. La razón de utilizar esta versión particular del espacio funcional de Fourier es
que las funciones base así definidas satisfacen de forma natural sobre los extremos del
(3.40)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
56
intervalo las condiciones de contorno homogéneas que deben cumplir los modos guiados en
el infinito. En esta Tesis, en lugar de utilizar el espacio funcional propuesto en �HenryFeb89�
se prefirió emplear desde un principio las exponenciales complejas de Fourier, por tratarse de
un caso más general que engloba a las anteriores. Así, cada vez que en esta Tesis se haga
referencia al FDM, se dará por hecho que las funciones base que han sido utilizadas serán las
siguientes
F x e KXok
jkK xXo
Xo( ) � �2�
las cuales satisfacen la siguiente condición de ortogonalidad
e e XojmK x jnK x
Xomn
Xo Xo� � ��� �
y en donde Xo y KXo son, respectivamente, el periodo y pulsación del armónico fundamental.
Aunque existen ciertas diferencias en la forma en que son aplicados ambos espacios
funcionales (por ejemplo, con el primero, la ventana de observación es igual al semiperiodo,
mientras que en el segundo es igual al periodo Xo), como muy bien se analiza y demuestra en
�Luque1996�, lo cierto es que las precisiones que finalmente se obtienen son prácticamente
iguales.
Por lo tanto, y teniendo en cuenta que el orden de la función base puede tomar valores
positivos y negativos, el desarrollo en serie de la distribución espacial del campo eléctrico que
se va a utilizar adopta el siguiente aspecto
� �N kjkK x
k N
Nx e Xo( )
/
/� �
��
�2
2
3.4.1.- Operadores Matriciales
Las expresiones exactas de los operadores derivada segunda y multiplicación por una
función necesarios para la resolución de la ecuación de ondas (3.13) son, en el espacio
funcional de Fourier, de fácil deducción, pues tanto la derivada de una exponencial compleja
como el producto de dos exponenciales complejas entre sí da lugar, a su vez, a otra
exponencial compleja. Particularizando las expresiones (3.38) y (3.39) y desarrollándolas se
obtienen, respectivamente, los elementos de dichos operadores matriciales, a saber
(3.41)
(3.42)
(3.43)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
57
DD F xF x
xdx e
e
xdx
jkK e dx jkK Xo
ik ik
Xo
jiK xjkK x
Xo
Xoj k i K x
XoXo ik
XoXo
Xo
� � � � �
� � � � �
� �
�
�
�
*
( )
( )( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
2
2
2
2
2 2
P n x F x F x dx n x e e dx n x e dx
N e e dx N e dx N Xo
ik i kXo
jiK x jkK x
Xo
j k i K
Xo
ljlK x
l N
Nj k i K
Xol
j k i l K x
Xoi k
l N
N
Xo Xo Xo
Xo Xo Xo
� � � �
� ��
�
��� � � �
�
�
��� � �
� � �
�� ��
� �
��
� � ��
��
2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )
( ) ( )
i N N k N N � �( / , ..., / ) ; ( / , ..., / )2 2 2 2
lo cual permite extraer las siguientes conclusiones acerca de los mismos:
i) La matriz que realiza la operación derivada segunda es una matriz diagonal.
ii) Por contra, la matriz que hace lo propio con la operación multiplicación por una función es
una matriz densa. No obstante, si el índice de refracción n2(x) es desarrollado en serie de
Fourier, el aspecto que toma dicha matriz es el de una matriz circulante, pudiéndose poner
del modo siguiente
� �P
N N N N
N N N N
N N N
N N N
N N N N
N
N
N
�
�
�
������
�
�
������
� � �
� � �
�
�
0 1 2
1 0 1 1
1 0 1
1 0 1
2 1 0
...
...
... ...
... ...
...
Tal resultado no es más que otra forma de escribir una de las más conocidas propiedades
que cumple el espacio funcional de Fourier: ‘el producto de dos desarrollos en serie de
Fourier da como resultado otro desarrollo en serie de Fourier cuyos coeficientes espectrales
se pueden calcular a partir de la convolución de las dos secuencias de coeficientes
espectrales con que son definidos cada uno de los operandos’.
Con el fin de conseguir la precisión adecuada en todos y cada uno de los coeficientes
espectrales resultantes de la operación producto, es necesario tomar, al menos, el doble
número de términos que los utilizados para el desarrollo en serie del campo eléctrico. Esto
justifica el por qué en la expresión (3.45) el desarrollo en serie del índice de refracción se
ha truncado con 2N+1 coeficientes.
(3.44)
(3.45)
(3.46)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
58
iii) Por último, destacar que aunque la norma (Xo) figure en las expresiones finales de los
operadores derivada segunda y multiplicación por una función que se han obtenido, ésta
puede obviada a la hora de su implementación pues es un factor común que aparece en
todos los términos de la ecuación diferencial discretizada.
3.4.2.- Submuestreo y Sobremuestreo
El carácter periódico del espacio funcional de Fourier dota al método de ciertas
peculiaridades que convienen ser analizadas a fin de hacer una correcta utilización del mismo.
El principal inconveniente que presenta la aplicación del FDM es que la precisión obtenida
depende, y mucho, del periodo o tamaño de la ventana de computación seleccionado. Dado
que su dimensión óptima, esto es, aquella que minimiza el error cometido para un número de
coeficientes dado, depende del perfil de campo que se pretende resolver, su determinación 'a
priori' , necesaria para la implementación del método, se convierte en el problema a resolver.
Para comprender mejor el significado de la afirmación anterior, así como la forma en que
tal limitación fue inicialmente solventada �HenryFeb89��Marcuse1991�, se presentan en la
figura 3.3 los efectos producidos cuando un determinado perfil de campo eléctrico es
periodizado con periodos de diferente tamaño. En la gráficas del lado izquierdo se ha dibujado
lo que ocurre en el dominio del espacio, mientras que las correspondientes al lado derecho
representan la transformada de Fourier de las anteriores. Cuando la función buscada es
aproximada mediante un desarrollo en serie de Fourier, el problema, que originalmente se
extiende desde menos infinito hasta infinito, se convierte en periódico. Para diferenciar ambas
funciones, y solo de cara a la explicación de este apartado, se ha utilizado el subíndice ‘p’ para
hacer referencia a la versión periódica del modo a calcular. Por otra parte, es bien conocido de
teoría de la señal �Openheim1983�, que cuando una señal no-periódica es convertida en
periódica, el espectro resultante es una versión muestreada del espectro de la señal original. La
relación matemática entre ambos espectros viene dada por
� �k XoXoKx k K� � � �
1( )
es decir, las muestras, que representan directamente el vector de coeficientes buscados, se
encuentran separadas entre sí por una distancia inversamente proporcional al tamaño de
ventana seleccionado. Dependiendo del valor de este último cabe contemplar tres situaciones
(3.47)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
59
diferentes : submuestreo, sobremuestreo y muestreo óptimo, las cuales, representadas en la
figura 3.3 en orden descendente, se pasan a comentar.
El submuestreo, también llamado aliasing, se produce, como es sabido, cuando la
velocidad de muestreo es baja. Dado que en este caso el muestreo se produce en el dominio de
la frecuencia, una distancia intermuestral alta implica un periodo pequeño. Es decir, como se
puede observar en la Fig. 3.2 (c), si la velocidad de muestreo no supera un determinado
umbral, habría zonas en el dominio del espacio en las que el campo se vería contaminado por
el campo del periodo contiguo, siendo imposible su correcta obtención.
Si por contra, la velocidad de muestreo frecuencial es elevada, lo cual garantiza que no va
0
1
0
4
0
1
0
4
0
1
0
4
1
00
4
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
(g) (h)
x
x
x
x
Kx
Kx
Kx
Kx
Xo
aliasing
Xo
Xo
sobremuestreo
muestreoóptimo
KXo
KXo
KXo
�(x) �(Kx)
�p (x)
�p (x)
�p (x)
�(Kx)�k
�(Kx)�k
�(Kx)�k
Fig. 3.3: Influencia del periodo en la precisión del FDM: Submuestreo (c)-(d) , sobremuestreo (e)-(f) y muestreo óptimo (g)-(h). Las figuras (a) y (b) representan, respectivamente, el perfil y espectro espacial del modo a calcular.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
60
a haber solapamiento entre los campos en el dominio del espacio (Fig. 3.3 (e)), puede ocurrir
que con el número de coeficientes o muestras utilizados sea insuficiente para abarcar todo el
espectro de la señal. Es decir, sería necesario incrementar el número de términos para alcanzar
una precisión determinada. Este fenómeno es mostrado en la Fig. 3.3 (f).
Por último, la situación más favorable se presenta cuando el periodo o ventana de
observación es fijado de tal forma que el campo eléctrico sea prácticamente cero en sus
extremos (Fig. 3.3 (g)). Con ello no sólo se evita el aliasing, sino lo que es más importante
desde el punto de vista computacional, se asegura que, con el número de coeficientes
utilizados, la precisión obtenida es la mejor de todas las posibles (Fig. 3.3 (h)). Además,
aunque hasta el momento no se ha hecho mención alguna a cómo el FDM fuerza las
condiciones de contorno homogéneas en el infinito, nótese que con esta estrategia lo que se
está haciendo realmente es responder a esta pregunta, pues al calcular la distancia a partir de la
cual se puede considerar que se satisfacen dichas condiciones, se elude la necesidad de que
éstas sean forzadas de forma explícita.
Como consecuencia de lo anteriormente expuesto, se puede concluir que la aplicación del
FDM a la caracterización modal de guiaondas ópticas se ve dificultada por el carácter abierto
que dichas estructuras poseen, pues no es posible conocer, 'a priori', cual va a ser el periodo o
ventana de observación que mejores prestaciones ofrece. La forma inicialmente adoptada para
abordar dicho inconveniente se basa en una idea simple e intuitiva. Resolviendo el problema
la primera vez con un tamaño de ventana arbitrario, y observando el aliasing o sobremuestreo
que se hubiera podido ocasionar en la solución obtenida, es posible modificar iterativamente
la dimensión del periodo en la dirección contraria al efecto producido hasta alcanzar la
situación quasi-óptima representada en la Fig.3.3 (g).
Una vez explicado el por qué la precisión del FDM va a depender del periodo fundamental
de las funciones base, y para concluir este importante apartado, sería deseable conocer las
condiciones de trabajo bajo las cuales el método presentará un peor comportamiento. Para ello
recuérdese que la caracterización modal puede ser acometida una vez que la frecuencia de
funcionamiento es especificada. Pues bien, que duda cabe que si ésta se encuentra cerca de la
frecuencia de corte del modo que pretende ser analizado, el campo se encontrará muy
extendido en la cubierta y substrato. Esto obligará a utilizar tamaños de ventana elevados, y
por tanto, distancias entre muestras espectrales bajas. Es decir, la conclusión final es que la
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
61
precisión del método empeorará a medida que el punto de trabajo de la guiaonda se acerque a
la frecuencia de corte del modo.
3.4.3.- Consideraciones de Tipo Numérico
3.4.3.1.- Resolución Numérica de la Integrales de Cruce : la FFT
Como ya se ha comentado, el nexo entre los métodos espectrales y pseudoespectrales se
produce si las integrales de cruce que definen a los primeros son resueltas mediante una
integración gaussiana en cuadratura, y se utilizan como puntos de integración las raíces de la
primera función base no considerada en el desarrollo en serie. Cuando dicha integración
numérica es aplicada al espacio funcional de Fourier, se puede demostrar que la expresión
resultante es justamente una DFT (Discrete Fourier Transform), por lo que su evaluación
podrá ser realizada de forma rápida y eficiente gracias a la utilización de la FFT (Fast Fourier
Transform).
Para demostrar tan importante propiedad supóngase la misma guiaonda de salto de índice
representada con anterioridad en la Fig. 3.1. El cálculo de los coeficientes del desarrollo en
serie de Fourier del índice de refracción, necesario para la construcción de la matriz producto
definida en la ecuación (3.46), se puede abordar de dos formas diferentes. De manera exacta,
resolviendo manualmente la ecuación (3.11), lo cual sólo es posible si ésta poseyera solución
analítica; o bien de manera aproximada, calculando el valor de los armónicos mediante una
integración numérica. La integración gaussiana en cuadratura se reduce, en el espacio
funcional de Fourier, a la clásica y simple integración por rectángulos �Boyd1989�,
encontrándose los puntos de cuadratura uniformemente distribuidos a lo largo del periodo
(señalados con una 'x' en la Fig. 3.4). Con ello, el valor aproximado del armónico k-ésimo
vendrá dado por la siguiente expresión1
� �
NXo
n x e dxN x
n x n x e x
Nn n e
kjkK x
Xo n
N jkN x
n x
n
N jkN
n
Xo� � ��
� � � �
� �
�
�
� ��
�
� �
� �
�
1 1
1
2 2
0
1 2
2
0
1 2
( ) ( )�
� ���
�
�
1 El hecho de muestrear el índice de refracción en el dominio de los puntos convierte a los coeficientes espectrales en periódicos (NN/2=N-N/2), de ahí que en este apartado se hable de un total ‘N’ coeficientes en lugar de ‘N+1’como se ha venido haciendo hasta ahora, sin que ello signifique que no sea tenido en cuenta en el sistema de ecuaciones.
(3.48)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
62
es decir, los 'N' coeficientes pueden ser evaluados calculando la DFT a la secuencia resultante
de muestrear el perfil en los puntos de integración señalados. Matricialmente se puede escribir
como
� � � � � �� �NN
DFT n nk � �1 2
Si además, el número de puntos utilizados es una potencia de 2 (N=2m), es un hecho bien
conocido que dicha multiplicación matricial, la cual necesita N2 multiplicaciones, puede ser
acelerada con la utilización de la FFT, cuyo número de operaciones varía con N· log2N.
Simbólicamente, se va a representar cómo
� � � �NN
FFT n n Nk �1 2( , )
indicando que con 'N' muestras de la función se calculan los 'N' primeros coeficientes
espectrales.
Ahora bien, sabiendo que la FFT es rápida, ¿ Qué sentido tiene usar en este caso la versión
pseudoespectral si las integrales de cruce pueden ser obtenidas de forma rápida y con la
precisión que se desee ?. Por ello, lo habitual es trabajar con un número 'M' de puntos de
integración elevado (M>>N), de forma que los 'N' primeros armónicos se calculen con la
precisión necesaria. La forma de reprensentarlo es la siguiente
� � � �NM
FFT n n Mk �1 2( , )
Similares comentarios cabría realizar si lo que se pretende es pasar del dominio de los
coeficientes al dominio de los puntos; bien porque se ha finalizado el problema y se desea
representar, a partir de los armónicos, los perfiles de campo resultantes, bien porque en una
fase intermedia del método de resolución empleado (por ej. en problemas no-lineales) sea
necesario evaluar alguna función (el propio campo) en el dominio del espacio. En cualquier
xXo
n2(x)
�x
Fig. 3.4 : Integración numérica del índice de refracción
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
63
caso, si los puntos donde se quiere conocer el valor del campo están equiespaciados, se puede
demostrar, que la aplicación de la ecuación (3.43) conduce directamente a la DFT-inversa
� �� � � �� � � �� �n DFT N k� � ��1
por lo que, en este caso, la utilización de la FFT-inversa, invita a no quedarse con un número
de puntos de interpolación igual al número de coeficientes considerados (‘N’), sino que, sin
incrementar apenas el esfuerzo computacional, es posible evaluar el campo en el número de
puntos equiespaciados (‘M’) que se desee. Para ello, basta con aplicar el siguiente
procedimiento:
i) Se añaden a los extremos del vector de coeficientes tantos ceros como puntos de
interpolación de más se pretenda calcular (M-N).
ii) Se desnormaliza (multiplica) el nuevo espectro al número total de puntos de
interpolación (M).
iii) Se aplica la FFT-inversa al vector de coeficientes resultante.
3.4.3.2.- Suavizado del Índice de Refracción
Una de las limitaciones que presenta el espacio funcional de Fourier se produce, como es
bien sabido, cuando la función a aproximar contiene discontinuidades. La imposibilidad de
converger hacia la función original con número finito de armónicos da lugar a lo se conoce
como fenómeno Gibbs �Oppeheim1983�. Téngase en cuenta que, tal y como ha sido planteado
el sistema de ecuaciones, para obtener una buena aproximación del campo eléctrico con ‘N+1’
armónicos, es necesario que el perfil del índice de refracción sea representable con ‘2N+1’
armónicos. Que duda cabe que dicha situación se va a presentar en guiaondas de salto de
índice. Es de suponer, y de hecho ocurre, que tales estructuras necesitarán un mayor número
de coeficientes para ser analizadas que los que harían falta para guiaondas de índice gradual,
aún cuando las distribuciones espaciales de campo eléctrico apenas difieran entre sí. Además,
cuando se trata de problemas no-lineales, los métodos de resolución utilizados, los cuales
serán explicados, por otra parte, en apartados sucesivos, presentan ciertos de problemas de
convergencia.
La forma habitual de aminorar tales efectos es similar a la utilizada en el tratamiento de
señales. Esto es, colocando un filtro paso bajo previo que limite el contenido espectral de la
señal. En la Fig. 3.5 se muestra, a modo ejemplo, el efecto que, sobre el espectro del índice de
refracción, tiene el utilizar suavizados de tipo coseno alzado. En ella se puede observar cómo,
(3.52)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
64
a medida que se incrementa el factor de suavizado, el espectro aumenta su velocidad de
decaimiento. Aunque no existe ninguna regla de carácter práctico que garantice un buen
comportamiento del método numérico, y a su vez, variaciones imperceptibles en el campo y
constante de propagación de la nueva guiaonda, la mejor estrategia la da la propia práctica.
Por ejemplo, comparando los modos y constantes de propagación que resultan cuando los
perfiles son variados ligeramente, da una idea de hasta dónde se puede llegar en la función a
utilizar. En general, un pequeño suavizado suele ser suficiente para mejorar, notablemente, la
convergencia del método.
3.4.3.3.- Formulación Compleja vs. Formulación Real
El espacio funcional de Fourier, tal y como se ha planteado, da lugar a un sistema matricial
de autovectores complejos, aún cuando la función a aproximar sea real. No obstante, cuando
esto último ocurre, los coeficientes espectrales de orden positivo se relacionan con sus
homónimos negativos a través de la siguiente relación
� �k k��
*
Esta propiedad puede ser aprovechada para acelerar el tiempo de cálculo necesario para
obtener los autovalores y autovectores de los modos guiados de una determinada guiaonda, los
cuales, como es sabido, son funciones reales. El factor de reducción que se consigue es
aproximadamente de cuatro. La explicación es bastante sencilla de entender sin más que darse
cuenta que planteando solamente la mitad de las ecuaciones, las correspondientes por ejemplo
a la parte positiva del espectro, y separando en parte real e imaginaria, se obtiene un nuevo
sistema de ecuaciones de orden 'N+1', pero en este caso real. Teniendo en cuenta que la
-1 -0.5 0 0.5 10.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6n2(x)
n21(x) ____
n22(x) ____
n23(x) _ _ _
0 10 20 30 40 50 60-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0n2(Kx)
dB
n21(Kx) ____
n22(Kx) ____
n23(Kx) _ _ _
(a) (b)
Fig. 3.5: Efecto del suavizado en el índice de refracción. (a) Distribución espacial. (b) Espectro.
(3.53)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
65
multiplicación de dos números complejos da lugar a cuatro multiplicaciones de números
reales se deduce fácilmente el por qué de tal reducción en la velocidad de cálculo.
Siguiendo un planteamiento similar a la formulación compleja, es posible desarrollar los
operadores matriciales para las operaciones derivada segunda y multiplicación por una
función, los cuales, actuando ahora sobre el vector de incógnitas siguiente
� �� � � � � � �or r
Nr i r
Ni T
1 2 2 1 2 2... .../ /
deben generar el vector de coeficientes correspondiente al resultado de la operación. Aunque
esta formulación real ha sido implementada satisfactoriamente en los programas
desarrollados, dado que la precisión obtenida para un número de coeficientes determinado
permanece, como es lógico, invariante, se ha considerado más adecuado presentar la versión
compleja por dos razones, primero, porque más fácil e intuitiva de formular, y segundo,
porque es válida tanto para el análisis modal como para la propagación de la envolvente
óptica.
3.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss
Tal y como ha quedado reflejado en el apartado 3.4, el principal inconveniente que presenta
la aplicación del espacio funcional de Fourier a la caracterización modal de guiaondas ópticas
abiertas, tiene su origen en que las funciones base poseen un carácter periódico, y por tanto,
no satisfacen las condiciones de contorno homogéneas en el infinito. Esto obliga a encerrar el
problema en una ventana de cómputo (periodo), cuyo tamaño, además de no poder ser
conocido 'a priori', influirá enormemente en la precisión final del método. El primer intento
realizado para superar tales limitaciones fue la utilización del espacio funcional de Hermite-
Gauss (Hermite-Gauss Decomposition Method-HGDM) �GallawaMar91�. Este presenta dos
propiedades que lo hacen atractivo para este tipo de problemas, a saber �Tamir1988� :
i) Sus funciones base se encuentran definidas en el intervalo (-,+) y además satisfacen de
forma natural las condiciones de contorno homogéneas en los extremos de dicho intervalo.
ii) Cuando el perfil del índice de refracción de la guiaonda bajo estudio es de tipo parabólico
(sin truncar), se puede demostrar que los modos que dicha estructura soporta son
justamente las funciones base de Hermite-Gauss.
(3.54)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
66
La primera de ellas evitará el tener que definir una ventana sobre la que resolver el
problema, y la segunda augura un reducido número de funciones base para la caracterización
modal de un amplio abanico de guiaondas ópticas.
Las funciones base que definen el espacio funcional en cuestión se obtienen como el
producto entre la gaussiana normal (media=0, varianza=1) y los polinomios de Hermite de
orden 'k', justificando de esa forma el nombre que el mismo recibe. Su expresión matemática
viene dada por:
F x e H xk
x
k( ) ( )� ���
�� �
2
2
donde Hk(x) es el polinomio de Hermite de orden 'k', el cual se define como �Tamir1988�
� �H x e
d e
dxk
k xk x
k( ) ( )� � ��
12
2
Estos pueden ser también obtenidos haciendo uso de la siguiente relación de recursividad
�Boyd1989�
H x
H x x
H x x H x n H x
o
n n n
( )
( )
...
( ) ( ) ( )
�
�
� � �� �
1
2
2 2
1
1 1
La condición de ortogonalidad viene dada en este caso por
e H x H x dx nxm n mn
n�
��
��
� � � � � ��2 1 2 2( ) ( ) !/� �
en donde se puede observar que, a diferencia del espacio funcional de Fourier, la norma crece
exponencialmente con el orden de la función base. Con el fin de evitar problemas de
'overflow', habitualmente se suele trabajar con funciones ortonormales las cuales se obtienen
sin más que dividir por la raíz cuadrada de la norma
F xe H x
kk
x
kk
( )( )
!/�
�
� �
���� �
2
2
1 2 2�
En la Fig. 3.6 se han representado las cuatro primeras funciones base. Obsérvese el parecido
de las mismas con los modos guiados TE de una guía 2D de salto de índice.
Para finalizar esta introducción al espacio funcional de Hermite-Gauss, añadir dos nuevas
peculiaridades que conviene tener presentes pues lo diferencian, aún más, del espacio
(3.55)
(3.56)
(3.57)
(3.58)
(3.59)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
67
funcional de Fourier. La primera de ellas es que cualquier función real da lugar a un vector de
coeficientes espectrales reales, y la segunda que el desarrollo en serie que define la
aproximación varía desde 0 hasta N, pues las funciones de orden negativo carecen de sentido.
Con ello, la proyección del campo eléctrico sobre el espacio funcional de Hermite-Gauss
adopta, en este caso, el siguiente aspecto
� �
�N k
x
kk
k
Nx
e H x
k( )
( )
!/� �
�
� �
���� �
��
��
2
2
1 20 2
3.5.1.- Operadores Matriciales
Al igual que hizo con el espacio funcional de Fourier, las expresiones de los operadores
derivada segunda y multiplicación por una función son obtenidas sin más que particularizar
las expresiones (3.38) y (3.39) con las funciones base que se acaban de definir.
(3.60)
-4 -2 0 2 40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8k = 0
x-4 -2 0 2 4
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8k = 1
x
-6 -4 -2 0 2 4 6-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8k = 2
x -6 -4 -2 0 2 4 6-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8k = 3
x Fig. 3.6: Representación gráfica de las cuatro primeras funciones base de Hermite-Gauss
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
68
Operador derivada segunda
DD F x
F x
xdx x F x F x dx k F x F x dx
k k k k k
ik ik
i k i k
i k i k i k
� � � � � � � �
� � � � � � � � � �
��
��
��
��
��
��
� �
� � �( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ), , ,
�
�
� � �
2
22
2 2
2 1
1
21 2
1
22 1
1
21
i N k N� �( ,..., ); ( ,... )0 0
en donde se ha hecho uso de las siguientes igualdades
d F x
dxx F x k F xk
k k
2
22 2 1
( )( ) ( ) ( )� � � � �
x F x F x dx k k k k ki k i k i k i k2
2 21
21 2
1
22 1
1
21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,
��
��
� �� � � � � � � � � � �� � �
las cuales son demostradas en el apéndice I.
Operador producto
P n x F x F x dx n xH x
i
H x
ke dxik i k
ii
kk
x� � � � �� �
�� �
���
��
�
��
��
� �2 21 2 1 22 2
2( ) ( ) ( ) ( )
( )
!
( )
!/ /� �
i N k N� �( ,..., ); ( ,... )0 0
Analizando las expresiones obtenidas se pueden realizar la siguientes observaciones:
i) La matriz que realiza la operación derivada segunda es una matriz tribanda, que puede ser
escrita como
� �DD
A C
A C
B A C
B A C
B A C
B A
B A
A k
B k k
C k k
�
�
�
�
���������
� � �
� � � �
� � �
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
1
22 1
1
21 2
1
21
... ...
...
...
... ...
( )
( )( )
( )
iii) En lo que respecta al operador producto, dado que la multiplicación de dos funciones de
Hermite-Gauss no produce otra función perteneciente al mismo espacio funcional, tal y
como ocurría con Fourier, los diferentes elementos que componen la matriz han de ser
calculados uno a uno resolviendo la integral definida en (3.64). Este va a ser el principal
inconveniente con que cuente el HGDM, pues, como se recordará del apartado anterior, la
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
(3.65)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
69
construcción del operador producto en el FDM no suponía costo computacional alguno ya
que, además de resultar una expresión sencilla (matriz circulante), sus elementos podían ser
calculados de forma rápida y con la precisión deseada a través de la FFT. Exceptuando casos
especiales en los que existan expresiones analíticas, la ecuación (3.64) debe ser resuelta
numéricamente, con lo que, además de incrementar notablemente el tiempo necesario para la
resolución del problema de autovalores y autovectores como se verá en el capítulo 5, el error
cometido en su evaluación afectará a la precisión final del método.
3.5.2.- Escalado de las Funciones Base: el Perfil Parabólico sin Truncar
Cuando las funciones de Hermite-Gauss son utilizadas para la discretización de una
determinada ecuación diferencial, se observa de inmediato la necesidad de amoldar las
funciones base a la geometría del problema que se pretende resolver. Es decir, que la zona de
variación de la función a aproximar (por ejemplo, el slab del salto de índice definido en la Fig.
3.1 tiene dimensiones físicas del orden de las micras) y la de las funciones base (Fig.3.6)
posean magnitudes similares. Esto puede ser realizado de dos formas diferentes pero
equivalentes: bien reescalando las funciones base, bien aplicando un cambio de variable a la
ecuación diferencial. La primera de ellas es la habitualmente utilizada en la bibliografía,
mientras que la segunda será la adoptada en esta Tesis, pues, como se verá en sucesivos
capítulos, permite definir una nueva y más genérica familia de métodos, los métodos
espectrales con transformación de variables, a la que también va a pertenecer el espacio
funcional de Fourier, y cuya aplicación eficiente representa el principal objetivo de esta
primera parte de la Tesis.
Quiere eso decir que, al igual que ocurría con el FDM, el HGDM contiene un grado de
libertad (el escalado) que requiere ser fijado antes de su aplicación, con lo que nuevamente la
precisión del método dependerá de lo acertada que sea la decisión. Sin embargo, si bien el
FDM solucionaba tal limitación mediante inspección visual de la solución obtenida y
repitiendo la resolución del problema hasta que el tamaño del periodo fuera el adecuado, no
ocurre lo mismo con el HGDM, en donde el problema es resuelto una sola vez y siempre con
el mismo escalado. Ante tal estrategia, cabría hacerse las siguientes preguntas:
1.- ¿Cuál es escalado utilizado y por qué?
2.- ¿Es realmente dicho escalado el mejor de todos los posibles?
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
70
La primera de las cuestiones es respondida a continuación, mientras que en el apartado
correspondiente a resultados (3.7) se demostrará que el planteamiento clásico no es siempre el
más adecuado.
Como ya se ha indicado en la presentación del HGDM, cuando el perfil del índice de
refracción es de tipo parabólico sin truncar, las autofunciones o modos de la ecuación de
ondas son justamente las funciones base de Hermite-Gauss. En la Fig. 3.7 se representan,
respectivamente, el perfil parabólico
truncado y sin truncar. Que duda cabe que,
aunque el último carezca de sentido físico
(el índice de refracción toma valores
negativos), cuando el campo se encuentre
muy confinado, representará una muy buena
aproximación al primero. El escalado que
debe ser aplicado para que las funciones
base satisfagan de forma exacta la ecuación
de ondas viene dado por �Tamir1988�:
F x H x ek k
x
( ) ( )� ���
�� �
��
2
2 F x H S x ek k
S x
( ) ( )
( )
� � �� ��
��
�
��
2
2
S kd no
f� ��� �
�
el cual, como se puede observar, actúa realizando una compresión de la mismas, tanto mayor
cuanto más alta sea la frecuencia de trabajo. Esto parece razonable pues a medida que
aumenta la frecuencia el campo en la guía tiende a confinarse. Ahora bien, si se recuerda la
definición de frecuencia normalizada del capítulo anterior (ecuación (2.50) y (2.51)), y
considerando que la apertura numérica (NA) para el perfil parabólico sin truncar es igual a nf
(el índice de refracción del substrato se toma igual a cero), otra forma de escribir el escalado
sería la siguiente
S xx
dV X V� � � � �
x
� �n x n x df2 2 21( ) ( / )� �
d
n2f
___ parabólico sin truncar_ _ parabólico truncado
Fig. 3.7: Representación de los perfiles parabólico truncado y sin truncar de una guiaonda 2D
(3.66)
(3.67)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
71
la cual, independientemente del perfil que posea la guiaonda en cuestión, resulta ser el
escalado utilizado por el HGDM �GallawaMar91� �RasmussenMar93� �WeisshaarAgo95�.
Además permite justificar por qué cuando el HGDM es aplicado a la caracterización modal de
guiaondas ópticas sea más cómodo trabajar con la ecuación de ondas normalizada.
3.5.3.- Consideraciones de Tipo Numérico
Como ya se comentado en el inicio del presente capítulo, una propiedad deseable para
cualquier espacio funcional que pretenda ser utilizado tanto con el método de Galerkin como
con el método de colocación, es la de disponer de un algoritmo rápido que permita pasar del
dominio de los coeficientes al dominio de los puntos y viceversa. Si bien el espacio funcional
de Hermite-Gauss fue introducido para intentar superar las limitaciones impuestas por el
FDM, y a priori, parecía reunir los requisitos necesarios para lograrlo (condiciones de
contorno homogéneas en el infinito, reducido número de funciones base y matriz derivada
segunda tribanda) lo cierto es que, además de necesitar un escalado previo de las funciones
base, similar a la necesidad de prefijar la ventana de computación en el FDM, no posee una
transformada rápida directa e inversa que realice la misma función que la FFT. Esta
circunstancia será particularmente tanto más grave cuantas más veces haya que realizar dicha
operación. Por ello, una de las razones de por qué en la bibliografía afín la mayoría de las
referencias sobre la aplicación de este espacio funcional al análisis modal de guiaondas
ópticas sea para medios lineales, es que, como se verá en el siguiente apartado, los métodos de
resolución utilizados para el caso de problemas no-lineales hacen uso de algoritmos que
requieren, para su aplicación, pasar continuamente del dominio de los coeficientes al dominio
de los puntos, y viceversa. Algo similar ocurre cuando se está analizando la propagación de la
envolvente óptica, en la que en cada paso de propagación es necesario realizar las
transformaciones directa e inversa para evaluar la no-linealidad.
En definitiva, tanto el cálculo de los coeficientes de una función, como la evaluación de la
función en un número finito de puntos a partir de sus coeficientes, será realizado aplicando
directamente las expresiones (3.11) y (3.2), respectivamente. Por supuesto, en el caso de la
primera, y tal y como se mostró en la Fig. 3.2, la mejor aproximación se consigue cuando la
integral es resuelta utilizando como puntos de integración las raíces de la función de base de
orden N+1 (orden siguiente al último término considerado en el desarrollo).
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
72
3.6.- Métodos de Resolución
Habiéndose ya presentado los espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, y deducido
las expresiones que adoptan los operadores matriciales cuando el método de Galerkin hace
uso de los mismos, el siguiente y definitivo paso consiste en su aplicación a la resolución de la
ecuación de ondas modal en estructuras planares lineales y no-lineales. Si se hace uso de la
normalización explicada en el capítulo anterior (apartado 2.4), las ecuaciones a resolver
serían, respectivamente, las siguientes
� �
�� �
2
22 2 2( )
( ) ( ) ( )X
XV n X X V b X� � � � � �
� �
�� � �
2
22 2 2 22
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X
XV n X b X X X V b XI� � ��
����� � � �
Su discretización mediante cualquiera de los dos métodos expuestos (FDM y HGDM)
conduce a un sistema algebraico de ecuaciones, cuyas incógnitas son los coeficientes del
campo en el espacio funcional correspondiente. La utilización de la formulación matricial de
operadores propuesta en esta Tesis, permite escribir de forma compacta dichos sistemas de
ecuaciones
� � � � � � � � � �DD V P V bk L k k� � � � � � �� � �2 2
� � � � � � � � � � � �DD V P P V bk L NL k k� � � ���� �
� � � �� � �2 2
k � (-N/2,...,N/2) Fourier
k � (0,...,N) Hermite-Gauss
en donde se observa que para problemas no-lineales el operador producto ha sido escrito como
suma de dos términos, el lineal y el no-lineal. El primero de ellos realiza la multiplicación del
índice de refracción por el campo, mientras que el segundo hace lo propio con el sumando
dependiente del módulo del campo al cuadrado.
El sistema de ecuaciones (3.70) representa, como ya se dicho en alguna ocasión, un
problema clásico de autovectores y autovalores. Su resolución por cualquiera de los paquetes
informáticos disponibles en el mercado no conlleva problema alguno. Para la elaboración de
esta Tesis se ha usado la subrrutina suministrada con el programa MATLABTM. Sin embargo,
no ocurre lo mismo con el sistema no-lineal de ecuaciones (3.71), que requiere, para su
(3.68)
(3.69)
(3.70)
(3.71)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
73
resolución, acometer el desarrollo e implementación de métodos numéricos específicos. Por
ello, antes de presentar los resultados que se obtienen y dado que su ámbito de aplicación se
extiende también a las técnicas espectrales con transformación de variables que serán tratadas
en sucesivos capítulos, se van a explicar los métodos que se han empleado al efecto en esta
Tesis, el método de la autoconsistencia de los campos y el método de Newton-Raphson.
3.6.1.- El Método de la Autoconsistencia de los Campos
Aunque se trate de un método propuesto hace ya bastantes años �DiosJul89�, este
método representa, actualmente, la herramienta más utilizada para el caracterización modal de
guiaondas ópticas no-lineales (véanse por ejemplo �SouzaJul91�, �EttingerFeb91�
�NiiyamaSep95� �NiiyamaEne98� ), por su facilidad de implementación, robustez y precisión
en la solución obtenida. Analizando la ecuación (3.69) se comprende fácilmente la esencia de
la estrategia utilizada por el método, y que no es otra que comprobar que el campo que se
pretende calcular debe ser tal, que introducido en el término no-lineal de la ecuación
diferencial, y resolviéndola como si de un problema lineal de autovalores se tratara, dé como
resultado el propio campo. Por consiguiente, partiendo de una aproximación inicial del campo
eléctrico, que pudiera ser la misma solución lineal del problema, es posible alcanzar el campo
y la constante de propagación buscados sin más que repetir el proceso hasta que las
variaciones producidas entre el campo introducido y el que se obtiene tras el resolver el
problema lineal coincidan, o su diferencia se encuentre por debajo de una cota de error. Otro
criterio igualmente válido para detener el proceso de búsqueda, y que es el utilizado en la
Tesis, es que la diferencia entre las constante de propagación obtenidas en dos pasos sucesivos
sea menor que un determinado valor. En la Fig. 3.8 se ilustra el algoritmo que debe ser
implementado para su aplicación. Un análisis del mismo permite realizar los siguientes
comentarios:
i) La aproximación inicial que se utilice para arrancar el método, puede ser en principio,
cualquiera. Ahora bien, que duda cabe que cuanto más se parezca a la solución final, menor
será el número de iteraciones que haya que realizar para lograr la convergencia. Cuando se
resuelve de forma aislada un problema no-lineal con una potencia determinada, la práctica
habitual suele ser inicializar con la solución que resulta cuando en el índice de refracción
sólo se considera la contribución lineal. No obstante, cuando se hace un barrido en potencia
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
74
con el fin de representar las curvas de dispersión de una determinada guiaonda (Neff
vs.Potencia), lo más razonable consiste en aprovechar la solución no-lineal obtenida en el
paso anterior del barrido. Ambas opciones condujeron, en todos los casos probados, a
buenos resultados.
ii) Dado que la solución que se obtiene como consecuencia de resolver un problema lineal
puede estar multiplicada por cualquier constante, es necesario que el perfil del campo
eléctrico que va a modular al índice de refracción se normalice previamente a la potencia
deseada.
iii) Aunque el algoritmo representado en la Fig. 3.8 se haya hecho en el supuesto caso de
trabajar con la ecuación de ondas sin normalizar, y por tanto, tomando como datos de
entrada los parámetros físicos del problema; en el caso de resolver la ecuación de ondas
normalizada el proceso a aplicar sería prácticamente igual. Únicamente cambiarían los
parámetros de entrada, que pasarían a ser (V, n X2( ) , bI), y la forma de normalizar el
perfil del campo. Como se recordará del capítulo anterior, para que el bI adquiera su
auténtico significado el campo debe estar normalizado en algún punto de la zona no-
lineal, típicamente en el interfaz con la zona lineal. Por lo tanto, la operación a realizar en
la iteración i-ésima sería simplemente la siguiente
��
�
ii
ierfaz
XX
X X( )
( )
( )int
��
3.6.2.- El Método de Newton-Raphson
Otra forma de afrontar la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones algebraicas
definido en (3.71) puede ser recurrir a cualquiera de los métodos matemáticos clásicos
existentes en la bibliografía. En esta Tesis se ha optado por el conocido método de Newton-
Raphson. Para su aplicación, es necesario reescribir el sistema a resolver de la forma siguiente
� � � � � � � � � �G Mk L k k� � � �� � 0
(3.72)
(3.73)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
75
Fig. 3.8: Algoritmo del método de la autoconsistencia de los campos
Introducción de los datos de entrada
�Frecuencia de trabajo: ko ó V
�Perfil lineal del índice de refracción : n2(x) ó n X2( ) �Grado de no-linealidad del medio: �(3) bI �Potencia del modo: Po
Inicialización
� Cálculo de la aproximación inicial del campo
n x n x xTot L L L2 2( ) ( ) ( ),� � � �
� Normalización del campo inicial a la potencia deseada
Pko
x dx xP
Pxo
o
LL L
oL�
���
��
� � ��
��
�1
22�
�
�� � �( ) ( ) ( )
Resolución del problema lineal
� Modificar el índice de refracción no-lineal
n x n x n xTot L NLi2 2 2 2
( ) ( ) ( )� � ���
��
�
� Resolver el problema lineal
n x n x n x xTot L NLi i i2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ),� � �
����
� � �� � �
� Normalización del campo a la potencia deseada
Pko
x dx xP
Pxi o
o
ii i o
ii�
�
�
��
��
�
�
���
���
�
� � � �1
11 2 1
111
2
�
�
�� � �( ) ( ) ( )
� �
� �
i i
i i
x x umbral
umbral
�
�
�
�
1
1
( ) ( )
sí Fin
no
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
76
donde la matriz � �ML incluye todos los operadores matriciales lineales y el vector columna
� �� k representa los coeficientes espectrales del término no-lineal. Ambos viene dados,
respectivamente, por
� � � � � � � �M DD V P b IL L� � � ���� �
2
� � � � � �� �k NL kV P� �2
en la que � �I es igual a la matriz identidad.
El algoritmo que debe ser aplicado para su resolución mediante el método de Newton-
Raphson se muestra en la Fig. 3.9. Dos son los pasos que deben ser afrontados para su
ejecución: a) la evaluación del sistema no-lineal de ecuaciones y b) el cálculo del jacobiano.
La forma en que ambos han sido llevados a cabo constituye una de la aportaciones realizadas
en la elaboración de la Tesis �WangüemertSep95�, por lo que seguidamente se pasan a
detallar.
a) Evaluación del Sistema No-Lineal de Ecuaciones
La única dificultad que implica la evaluación del sistema de ecuaciones en la iteración i-
ésima se encuentra en el término no-lineal, esto es, en encontrar una expresión analítica de
� �� k en función de las incógnitas o coeficientes espectrales del campo � �� k . En principio,
esto no supone problema alguno, pues haciendo uso de la formulación matricial de operadores
que se ha desarrollado, se puede escribir que
� � � � � � � � � � � � � �� � � � �k NL k I kV P V b P x P x P x� � � � � � � � �2 2 2 ( ( )) ( ( )) ( ( ))*
en donde las matrices � �P x( ( )) , � �P x( ( ))� y � �P x( ( ))*� representan, respectivamente, los
operadores producto aplicados a las funciones �(x), �(x) y �*(x). Este planteamiento es
justamente el que se propone en �GhafouriEne95� para la propagación de solitones en fibra
óptica, cuando la ecuación no-lineal de Schrodinger es discretizada mediante un desarrollo en
serie de Fourier. No obstante, la formulación que en dicho artículo se emplea para expresar el
término no-lineal carece de la sencillez y compacidad mostrada en la ecuación (3.76). A pesar
de todo, el camino que se acaba de exponer no es ni mucho menos eficiente, pues cada vez
(3.74)
(3.75)
(3.76)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
77
que el término no-lineal requiera ser evaluado, se deben realizar tres multiplicaciones de una
matriz por un vector, lo cual incrementa notablemente el tiempo de cálculo.
La estrategia que aquí se propone es similar a la utilizada en la técnica del balance
armónico para el análisis en gran señal de circuitos no-lineales. El término lineal es evaluado
en el dominio de la frecuencia (en nuestro caso en el de los coeficientes), mientras que el no-
lineal es evaluado en el dominio del tiempo (en nuestro caso el de los puntos espaciales)
�CamachoSep83�. Piénsese, por ejemplo, que en el espacio funcional de Fourier la ecuación
(3.76) representa tres convoluciones de los coeficientes espectrales -3· (N+1)2
multiplicaciones- mientras que si es realizada en el dominio de los puntos, se necesitarán
únicamente tantas multiplicaciones como puntos de representación se desee. Con ello, el
proceso de evaluación conllevaría los siguientes pasos, a saber
1.- A partir de los ‘N+1’ coeficientes espectrales de la iteración i-ésima, obtener la
distribución espacial del campo eléctrico en el número de puntos ‘M’ que se desee
(M>3N)2.
2.- Evaluar punto a punto, en el dominio de los puntos, el término no-lineal �(X).
3.- Retornar al dominio de los coeficientes, aplicando, al vector de puntos espaciales ���xi��M,
la transformada directa del espacio funcional sobre el que se esté trabajando.
A continuación se esquematiza el proceso a realizar:
� �� k � �T�1
� ��( )Xi � � �( ) ( ) ( ) ( )*X V b X X XI� 22 � ��( )Xi � �T
�1 � �� k
Tal y como ya se ha explicado, en el FDM las transformadas directa e inversa pueden ser
aceleradas a través de la FFT, mientras que en el HGDM es necesario realizar la operación
matricial directa e inversa.
En cualquier caso, se puede concluir que la estrategia propuesta en este Tesis para calcular
los armónicos del término no-lineal del sistema de ecuaciones precisará un tiempo de cálculo
menor que el requerido por la estrategia sugerida en �GhafouriEne95�.
2 Aunque se trate de una regla de carácter práctico, se puede justificar si se tiene en cuenta que el espectro del término no lineal �(X) va a tener un ancho de banda igual a la suma de los anchos de banda de los términos que se multiplican, por lo que si desea una cierta precisión en sus coeficientes, la función cuando menos debe estar suficientemente muestreada.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
78
Fig. 3.9 :Método de Newton-Raphson
Estimación inicial del campo
�est
X( )
� �� kest
� �T
� Evaluar el sistema de ecuaciones
� � � � � � � � � �G Mki
L ki
ki
� � � �� � 0
� Calcular su jacobiano y evaluarlo
� �JGi k
m
i
��
��
�
�
�
��
� Determinar la corrección a realizar
� � � � � �J Gi
ki
ki
� � ��
� Modificar la solución
� � � � � �� � �ki
ki
ki�
� �1
�
� � � �� �ki
ki
umbral�
�1
sí
� ��k Fin
�( )X
� �T�1
no
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
79
b) Cálculo del Jacobiano
Si se parte de la hipótesis que el campo eléctrico puede ser una función compleja1, las
incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones, tanto en el espacio funcional de Fourier como en
el de Hermite-Gauss, tomarán valores complejos. Con ello, la expresión del jacobiano podría
ser la siguiente:
� �� � � �
� � � �J
J J
J J
rr
ir
ri
ii
�
�
�
����
�
�
����
donde las submatrices � �Jrr , � �Ji
r , � �Jri y � �Ji
i se han definido como
� �JG
rr k
r
mr
��
�
��
�
�
��
�
��
� �JG
ir k
r
mi
��
�
��
�
�
��
�
��
� �JG
ri k
i
mr
��
�
��
�
�
��
�
��
� �JG
ii k
i
mi
��
�
��
�
�
��
�
��
k, m � (-N/2,...N/2) Fourier
k, m � (0,...N/2) Hermite-Gauss
es decir, el jacobiano será una matriz real de dimensión 2(N+1) x 2(N+1). Los superíndices ‘r’
e ‘i’ denotan la parte real e imaginaria respectivamente.
Teniendo en cuenta la ecuación (3.73) y (3.75) se puede escribir que:
� � � � � � � � � ��
��
��
��
GJ j J M M V Pk
mr r
rri
Lk
mr L NL
�
���
�
���� � � �
�
���
�
���� � 2
1 Aunque no es el caso, pues se están calculando los modos de una guiaonda no-lineal, el hecho de considerar el campo eléctrico como una función compleja se debe a la posible aplicabilidad de la formulación que se va a presentar en problemas de propagación de la envolvente óptica.
(3.77)
(3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
80
� � � � � � � � � ��
��
��
��
GJ j J j M j M j V Pk
mi i
rii
Lk
mi L NL
�
���
�
���� � � �
�
���
�
���� � 2
con lo que, al igual que ocurría con la evaluación del sistema de ecuaciones, la aparición del
operador matricial no-lineal � �PNL ralentiza considerablemente el tiempo requerido para su
cálculo. Por ello, y siguiendo un planteamiento similar al descrito anteriormente (trabajar en el
dominio de los puntos), se ha desarrollado una formulación alternativa más eficiente para el
cálculo del jacobiano. La clave para su obtención se basa en observar el siguiente hecho:
‘Si el desarrollo en serie del término no-lineal �(X) en el espacio funcional sobre el que se
esté trabajando es derivado respectivamente respecto a la parte real e imaginaria del
coeficiente espectral m-ésimo, se puede comprobar que los coeficientes espectrales de la
función resultante son justamente los elementos de la columna m-ésima de la matriz que se
está buscando’.
Matemáticamente, esto puede ser escrito como
��
��
��
��
( )( )
XF X
mr
k
mr k
k�
��
��
��
��
( )( )
XF X
mi
k
mi k
k�
Por lo tanto el problema se reduce a obtener una expresión analítica de dichas funciones, cuyo
posterior desarrollo en serie proporcione directamente los elementos de la matriz.
Aplicando la regla de la cadena, y teniendo en cuenta la hipótesis realizada sobre el campo
eléctrico, las funciones definidas en (3.84) y (3.85) pueden también ser escritas como
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )X X
X
X X
X
X
mr r
r
mr i
i
mr
� �
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )X X
X
X X
X
X
mi r
r
mi i
i
mi
� �
en donde cada una de las derivadas parciales que aparecen en las ecuaciones (3.86) y (3.87)
pueden ser obtenidas de forma inmediata a partir de la expresión de �(X) y del desarrollo en
serie del campo ó �(X)
(3.83)
(3.84)
(3.85)
(3.86)
(3.87)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
81
� � � �R XX
XV b X X X j X X
r Ir i r i( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
���
����
��� � � �2 2 2
2 3 2�
� � � �S XX
XV b X X X j X j X
i Ir i r i( )
( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �
���
����
��� � � �2 2 2
2 2 3�
��
��
��
��
��
��
( ) ( ) ( )( )
X Xj
XF X
mr
r
mr
i
mr m� � �
��
��
��
��
��
��
( ) ( ) ( )( )
X Xj
Xj F X
mi
r
mi
i
mi m� � �
Las ecuaciones (3.90) y (3.91) necesitan ser particularizadas a los espacios funcionales de
Fourier y Hermite-Gauss, con lo que se obtiene
Fourier
��
��
( )cos( )
XmK X
r
mr Xo�
��
��
( )sen( )
XmK X
i
mr Xo�
��
��
( )sen( )
XmK X
r
mi Xo� �
��
��
( )cos( )
XmK X
i
mi Xo�
Hermite-Gauss
��
��
( )( )
XH X e
r
mr m
X�
�2
2 ��
��
( )X i
mr
� 0
��
��
( )X r
mi
� 0 ��
��
( )( )
XH X e
i
mi m
X�
�2
2
lo cual, introducido en (3.86) y (3.87), permite escribir finalmente las siguientes expresiones
para el FDM y HGDM respectivamente
Fourier
��
��
( )( ) cos( ) ( ) sen( )
XR X mK X S X mK X
mr Xo Xo� �
��
��
( )( ) sen( ) ( ) cos( )
XR X mK X S X mK X
mi Xo Xo� � �
(3.88)
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3.92)
(3.93)
(3.94)
(3.95)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
82
Hermite-Gauss
��
��
( )( ) ( )
XR X H X e
mr m
X�
�2
2
��
��
( )( ) ( )
XS X H X e
mi m
X�
�2
2
Por lo tanto, y a modo de resumen, el esquema para el cálculo sería el siguiente:
1.- A partir de los coeficientes espectrales del campo en la iteración i-ésima, se obtiene la
distribución espacial del campo eléctrico (Transformada Inversa).
2.- Las funciones R(X) y S(X) son evaluadas en el dominio de los puntos (ecuaciones (3.88) y
(3.89)).
3.- A continuación, y para cada uno de los coeficientes espectrales, se evalúan las ecuaciones
(3.94) y (3.95) para el FDM, y las ecuaciones (3.96) y (3.97) para el HGDM.
4.- La aplicación de la Transformada Directa al resultado obtenido en el punto anterior
conduce directamente al resultado buscado, esto es ��k/��mr y ��k/��m
i.
En el caso del FDM, el proceso de cálculo puede resultar incluso más rápido, no sólo por la
utilización de la FFT como ya es bien sabido, sino porque si se observan las expresiones
(3.94) y (3.95) la funciones R(X) y S(X) se encuentran multiplicadas a su vez por funciones
(senos y cosenos) que son deltas en el dominio de los coeficientes, por lo que ��k/��mr y
��k/��mi pueden ser obtenidas a partir de los coeficientes espectrales de R(X) y S(X), a saber
� �� ���
��
k
mr k m k m k m k mR R j S S� � � �
� � � �
1
2
� �� ���
��
k
mi k m k m k m k mS S j R R� � � �
� � � �
1
2
3.7.- Resultados
Con el fin de corroborar las limitaciones que presentan los métodos espectrales expuestos a
lo largo del capítulo, FDM y HGDM, se han seleccionado algunos de los resultados obtenidos
cuando ambos espacios funcionales son aplicados a la caracterización modal de un slab de
salto de índice con substrato no-lineal de tipo Kerr. El interés que dicha estructura ofrece no
(3.96)
(3.97)
(3.98)
(3.99)
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
83
es otro que el de disponer de soluciones analíticas con que cuantificar el error cometido en la
constante de propagación y en el perfil del campo eléctrico �ChelkowskiSep87�. En la
Fig.3.10 se han representado, respectivamente, el aspecto que toman las funciones que definen
la geometría del problema a analizar, esto es, el índice de refracción lineal normalizado y la
situación de la no-linealidad. Asimismo, y para ubicar mejor el punto de trabajo sobre el que
se realice la caracterización (V, bI), se han reproducido en la Fig. 3.11 los diagramas de
dispersión universales del slab simétrico (a=0) no-lineal �ChelkowskiSep87�.
En la Fig. 3.12 se representan las distribuciones de campo eléctrico y sus correspondientes
constantes de propagación normalizadas
cuando el FDM es simulado con tres
tamaños de ventana Xo diferentes (XO1=22,
XO2=62 y XO
3=152). En ella se puede
observar como, para un número dado de
coeficientes (N=32), la precisión resultante
es sensible al tamaño de ventana utilizado,
obteniéndose la mejor aproximación
cuando su dimensión es aproximadamente
igual a la zona del espacio en la que se
encuentra confinado el campo (Xo(óptimo)
� XO2). Valores inferiores a éste causan
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
submuestreo
sobremuestreo
muestreo óptimo
�(X)
bexacta = 0.1893 bXo
1 = 0.1966 bXo
2 = 0.1910 bXo
3 = 0.1608
Xooptimo
Fig. 3.12: Distribuciones de campo del modo fundamental obtenidas con el FDM para diferentes tamaños del periodo. Datos físicos normalizados: V=0.5; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=32; XO
1=22, XO2=62 y
XO3=152
-1 1 X-a
1
Substrato Nucleo
Cubierta
n2(X)�(X)
Fig. 3.10: Indice de refracción lineal normalizado y situación de la no-linealidad de un slab no-lineal de salto de índice.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
V
b
bI=0
bI=0.2
bI=0.4
bI=0.6
bI=0.8
Fig. 3.11: Curvas de dispersión universales del modo fundamental (TE) de un slab no-lineal. La línea discontinua representa el punto de trabajo en el cual el máximo del campo eléctrico cae en el interface substrato-núcleo.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
84
aliasing en el dominio del espacio (Xo=XO1), mientras que valores superiores (Xo=XO
3),
ocasionan, como consecuencia de abarcar cada vez una porción menor del espectro, un efecto
oscilatorio en la distribución espacial, tal y como se puede observar en dicha figura. Otro
punto significativo de gran importancia es el elevado número de coeficientes que se han
necesitado para analizar una estructura 2D. Por ejemplo, para cometer un error relativo en la
constante de propagación del 1 % se han utilizado 32 armónicos, lo cual, pensando en un caso
3D pudiera llegar a ser una cifra prohibitiva. Que duda cabe que este problema será tanto más
grave cuanto más expandido sobre el substrato y la cubierta se encuentre el campo, o lo que es
lo mismo, cuanto más cerca del corte se esté trabajando.
En lo que respecta al HGDM, en las figuras 3.13, 3.14, 3.15 y 3.16 se demuestra por qué el
escalado típicamente utilizado para las funciones base (V ) resulta ser inapropiado para
frecuencias bajas. Por ejemplo, si se comparan las figuras 3.13 y 3.14, que presentan
respectivamente los perfiles de campo obtenidos para dos frecuencias de trabajo diferentes:
una cercana al corte (V=0.5) y otra más alejada (V=2), se puede observar cómo en un
problema lineal, y con sólo cinco coeficientes (N=4), la aproximación conseguida en el primer
caso (V=0.5) es muy mala (error relativo en la b del 72 %); mientras que en el segundo caso
(V=2) se logra una mejora más que notable (error relativo en la b del 0.6 % ). La justificación
de tal comportamiento se puede comprender si se tiene en cuenta que el escalado propuesto es
exacto para el perfil parabólico sin truncar, con lo que cuanto más confinado se encuentre el
campo en la zona del espacio en la que el perfil parabólico truncado y sin truncar coincidan
(ver Fig. 3.7), tanto mejor será el resultado obtenido.
Una situación particularmente interesante, que permite confirmar la hipótesis anterior, se
produce en una guía asimétrica, en la que, como se puede comprobar en la Fig. 3.15, existen
dos zonas claramente diferenciadas, el substrato (decaimiento más lento) y la cubierta
(decaimiento más rápido). Pues bien, sorprendentemente, la aproximación obtenida con el
HGDM se ajusta con suficiente precisión a la solución analítica allí donde el campo se
encuentra confinado (núcleo y cubierta), pero por contra, sigue siendo bastante pésima en el
substrato. Por último, podría pensarse que en problemas no-lineales de tipo selfocusing, en los
que el campo al mismo tiempo que se confina se desplaza hacia a la zona no-lineal, el HGDM
pudiera dar buenos resultados. La realidad es bien diferente como se puede observar en la Fig.
3.16, pues incluso en la zona lineal (núcleo y cubierta) la aproximación obtenida con el
HGDM deja mucho que desear. Nótense además los dos hechos significativos siguientes.
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
85
Primero, que por tratarse de una situación fuertemente no-lineal (bI=0.8), y a pesar de ser la
frecuencia de trabajo baja (V=0.7), el alto valor de la constante de propagación indica que el
campo se ha introducido de forma considerable en el substrato, y por tanto, su presencia ha
incrementado notablemente el valor del índice de refracción respecto del caso lineal. Y
segundo, que el que ambas distribuciones de campo valgan uno en el interface núcleo-
substrato se debe al propio proceso de normalización que se explicó en el capítulo segundo.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x
�(X)
X
núcleo
HGDM ‘__ _ __’
Sol. Analítica ‘____’
bHGDM = 0.73048
bexacta = 0.73484
Fig. 3.14: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=2; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
�(X)
HGDM ‘__ _ __ ’
Sol. Analítica ‘____’
Núcleo
bHGDM = 0.0516
bexacta = 0.1893
Fig. 3.13: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.5; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
�(X)
X
HGDM ‘__ _ __’
Sol.Analítica ‘____’
núcleo
bHGDM = 0.6433
bexacta = 0.9226
Fig. 3.16: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.7; a=0; bI=0.8. Datos numéricos: N=4.
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
�(X)
X
HGDM ‘__ _ __’
Sol. Analítica ‘____’
núcleo
bHGDM = 0.0705
bexacta = 0.1394
Fig. 3.15: Distribución de campo del modo fundamental obtenida con el HGDM. Datos físicos normalizados: V=0.9; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=4.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
86
3.8.- Conclusiones
Para finalizar este importante capítulo, se resumen a continuación los principales puntos
que han sido tratados a lo largo del mismo, así como las conclusiones finales a las que se ha
llegado:
Se han explicado las diferencias existentes entre los métodos espectrales y
pseudoespectrales, así como las condiciones bajo las cuales la aplicación de los mismos
conduce a idénticos resultados.
Se han sentado las bases teóricas y matemáticas sobre las que se apoyan los diferentes
métodos numéricos y técnicas que se han desarrollado en esta Tesis. En concreto, se ha
introducido el concepto de operador matricial, el cual, independientemente del espacio
funcional sobre el que se realice la aproximación, permite, de manera sencilla y compacta,
discretizar el conjunto de ecuaciones diferenciales a resolver.
Para la resolución del sistema no-lineal de ecuaciones que surge tras el proceso de
discretización, se han explicado dos métodos numéricos, el método de la autoconsistencia
de los campos y el método de Newton-Raphson. En el caso de este último se han realizado
dos aportaciones originales de esta Tesis : i) evaluar el término lineal en el dominio de los
coeficientes y el término no-lineal en el dominio del espacio, similar a como se hace en la
técnica de balance armónico para el análisis en gran señal de circuitos no-lineales, y ii) se
han obtenido expresiones analíticas para el cálculo del jacobiano.
Haciendo uso de la formulación propuesta, se han presentado los métodos clásicos de
descomposición de Fourier y Hermite-Gauss, deduciéndose las expresiones que adoptan los
diversos operadores matriciales en dichos espacios funcionales. Asimismo, se han
explicado cuáles son sus principales limitaciones, y se han puesto de manifiesto mediante
el análisis de los resultados obtenidos cuando ambos son aplicados a la caracterización
modal de un slab no-lineal de tipo Kerr. En el caso del FDM, estas se concretan en la
necesidad de encerrar el problema a resolver en una ventana de cómputo, cuya dimensión
afecta notablemente a la precisión conseguida, especialmente en frecuencias de trabajo
cercanas al corte. La imposibilidad de conocer a priori cuál es el tamaño idóneo que
Los Métodos Espectrales y Pseudoespectrales
87
minimiza el error cometido obliga a realizar repetidas pruebas visuales hasta lograrlo.
Además, el elevado número de términos que se necesitan para conseguir precisiones
razonables en estructuras bidimensionales (2D) sugiere su inviabilidad en problemas
tridimensionales (3D). En lo que respecta a Hermite-Gauss, la necesidad de escalar las
funciones base a la dimensión del problema a resolver, hace que, nuevamente, la precisión
obtenida por el método sea altamente dependiente de un parámetro que debe ser prefijado
de antemano. Por los resultados que se han mostrado, se ha podido comprobar que el
escalado clásico propuesto en la bibliografía funciona bastante mal en situaciones en las
que el campo se encuentra poco confinado, o incluso en aquellos que aún estando
confinado son no-lineales.
Capítulo 4:
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
4.1.- Introducción
El método de descomposición de Fourier (FDM), como se ha podido comprobar en el
capítulo anterior, representa una herramienta sencilla y directa para el análisis modal de
guiaondas dieléctricas. Sin embargo, la naturaleza abierta de la estructura bajo estudio, junto
con el carácter periódico de sus funciones base, obliga a definir, con anterioridad a su
aplicación, una ventana de computación cuya dimensión determinará la precisión final lograda
por el método. El problema surge debido a que, en general, no es posible estimar el tamaño
óptimo (esto es, aquél que para un número de coeficientes dado minimiza el error cuadrático
medio) si no se conoce, al menos, una primera aproximación de la distribución espacial del
modo que se pretende calcular. Además, en situaciones cercanas a la frecuencia de corte del
modo, en las que el campo se expande hacia el substrato y la cubierta, las dimensiones
exigidas a la ventana de computación, obligan a utilizar un número de coeficientes
excesivamente grande si se quiere mantener una precisión aceptable.
Para superar tales limitaciones, Hewlett y Ladouceur propusieron lo que se ha dado en
llamar el método de descomposición de Fourier modificado (Modified Fourier Decomposition
Method - MFDM) �HewlettMar95�. Aplicando una transformación de tipo arcotangente a la
variable independiente, el dominio infinito original es elegantemente comprimido en uno de
dimensión finita. Con ello se consiguen dos cosas:
1.- Definir una nueva ventana de dimensión fija sobre cuyos extremos siempre se van a
cumplir las condiciones de contorno del infinito.
2.- Comprimir el perfil del campo a calcular, con lo que, si se introduce un factor de escalado,
y éste es elegido adecuadamente, es posible conformar el campo de tal forma que el perfil
que resulte en el dominio transformado requiera, para aproximarlo en el espacio funcional
de Fourier, un menor número de coeficientes que los necesarios en el dominio original.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
90
No obstante, como el propio artículo adelanta, y al igual que ocurría con el FDM, no es
posible determinar el factor de escalado óptimo (es decir, aquél que para un cierto número de
términos minimiza el error cuadrático medio) si no se conoce previamente una solución
aproximada del campo buscado, por lo que, aunque el MFDM sea, a priori, potencialmente
superior al FDM, lo cierto es que sigue careciendo de las herramientas que lo conviertan en un
método autoconsistente. Por ello, la estrategia a seguir es similar a la empleada en el FDM,
esto es, ajustar de forma visual e iterativa el factor de escalado que logra un mejor
comportamiento.
Las estructuras que fueron analizadas en �HewlettMar95� para evaluar la bondad del
método fueron guiaondas 3D/escalares lineales y simétricas. Los resultados que allí se
muestran, en lo que a precisión se refiere, son en general satisfactorios y superiores a los
obtenidos con el FDM. Además, y lo que es más importante, se demuestra que utilizando un
único factor de escalado, el cual es determinado en base a consideraciones de tipo geométrico,
es posible conseguir, para los modos de orden inferior, una buena convergencia en un amplio
margen de frecuencias.
Tomando como punto de partida el trabajo de Hewlett y Ladouceur, el siguiente paso
dado en la elaboración de esta Tesis fue realizar la extensión del MFDM a guiaondas
2D/escalares no-lineales �WangüemertMay96� �MolinaJul98�. Los objetivos que se van a
cubrir en el presente capítulo son los siguientes:
a) Definir una nueva familia de métodos, los métodos espectrales con transformación de
variables, a la cual van a pertenecer entre otros, el MFDM y el HGDM.
b) Explicar la forma en que éstos son utilizados para la resolución de la ecuación de ondas.
c) Mostrar los resultados que se obtienen cuando el MFDM es aplicado al análisis modal de
un slab de salto de índice con substrato no-lineal de tipo Kerr.
d) Demostrar, en base a ello, que también en problemas no-lineales el MFDM presenta un
comportamiento superior al FDM. Asimismo, se comprobará que la hipótesis de Hewlett y
Ladouceur sobre la validez de un único factor de escalado para un amplio margen de
frecuencias se puede extender además a diferentes grados de no-linealidad.
e) Plantear, con vistas al capítulo siguiente, las limitaciones que aún existen en el MFDM.
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
91
4.2.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
4.2.1.- Definición
Un método espectral con transformación de variables es aquel en el cual, en lugar de
discretizar la ecuación diferencial a resolver por cualquiera de las técnicas vistas en el capítulo
anterior, se discretiza una ecuación diferencial transformada obtenida a partir de la anterior
tras la aplicación de un cambio de variables.
4.2.2.- Ecuación de Ondas en el Dominio Transformado
Considérese, al igual que en el capítulo anterior, que se desea caracterizar una guiaonda
2D no-lineal. La ecuación de ondas normalizada que gobierna la propagación de los modos
TE linealmente polarizados a través de dicha estructura, viene dada, como ya es sabido, por
� �
�� � �
2
22 2 2 22
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
X
XV n X b X X X V b XI� � ��
������ � �
A continuación, si se aplica un cambio de variables sobre la variable independiente ‘X’ del
tipo
U f X� ( )
la ecuación de ondas original (4.1) se transforma en esta otra definida sobre el dominio
transformado ‘U’
� �f UU
Uf U
U
UV n U n U U V b Unl1
2
2 22 2 2 2( )
( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � � � �
� �
�
��
�� �
en donde, por comodidad, se ha definido una nueva función, el índice de refracción no-lineal
normalizado, cuya expresión viene dada por
n U b U Unl I2 2
2( ) ( ) ( )� � � �� �
Los dos primeros términos de la ecuación (4.3) son una consecuencia de aplicar la regla de la
cadena sobre la derivada segunda del campo respecto de la coordenada original ‘X’. Por lo
tanto, las expresiones de las funciones f1(U) y f2(U) que en ella figuran dependerán del tipo de
transformación utilizada, a saber:
f UdU
dX1
2( ) � �
���
f Ud U
dX2
2
2( ) �
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.4)
(4.5)
(4.6)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
92
4.2.3.- Discretización y Resolución
Para la resolución de la ecuación de ondas en el dominio transformado se pueden utilizar
cualquiera de los métodos de discretización vistos en el capítulo anterior, Galerkin o
colocación, asociados con cualquiera de los espacios funcionales que satisfagan las
condiciones de ortogonalidad y completitud. La potente formulación matricial de operadores
desarrollada permite escribir, independientemente del espacio funcional utilizado, el siguiente
sistema no-lineal de ecuaciones
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �P f U DD P f U D V P n U P n U V bk k L NL nl k k( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))1 22 2 2 2� � � � � � � �
�
��
�
�� � � �� � � �
donde las matrices � �P f U( ( ))1 , � �P f U( ( ))2 , � �P n UL ( ( ))2 y � �P n UNL nl( ( ))2 representan, en el
espacio funcional sobre el que se esté realizando la aproximación, los operadores producto
aplicados a las funciones f1(U), f2(U), n U2
( ) y n Unl2
( ) respectivamente.
Ahora bien, analizando la expresión (4.7) y comparándola con la que resultaba cuando los
métodos espectrales eran aplicados sin transformación de variables, se observa que ahora para
calcular la matriz del sistema se necesitan un mayor número de operaciones matriciales. En
concreto la diferencia se halla en que el operador derivada segunda en el dominio original se
ha transformado en este otro
� � � � � � � �P f U DD P f U D( ( )) ( ( ))1 2� � �
es decir, que el incremento computacional que se va a producir cuando se resuelva un
problema de autovalores de dimensión N+1 será aproximadamente el tiempo que lleva el
multiplicar dos matrices y sumarlas ( 2(N+1)3 multiplicaciones ). Llegados a este punto la
pregunta que cabría hacerse sería la siguiente: ¿tiene sentido mejorar el error que se consigue
con un determinado método espectral a costa de complicar la construcción de la matriz del
sistema?. Aunque este tema será tratado en detalle en el capítulo sexto, pues se compararán
exhaustivamente tanto las precisiones como los tiempos de cálculo que logran, por una parte,
los métodos espectrales clásicos de Fourier y Hermite-Gauss, y por otra, los que se proponen
en esta Tesis, adelantar que la respuesta a la pregunta anterior es que sí. La razón está en que
el incremento computacional planteado no lo es tanto, pues en el espacio funcional de Fourier
los operadores derivada son diagonales, por lo que el número de operaciones de más sería
(4.7)
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
93
aproximadamente 2(N+1)2, mientras que en el caso del espacio funcional de Hermite-Gauss la
transformación de variables que se propone es lineal, con lo que realmente no va a existir
coste adicional alguno.
Obsérvese el significado que ahora adopta el vector de incógnitas � �� k en la ecuación
(4.7), y que no es otro que el vector de coeficientes del campo eléctrico en el dominio
transformado. Quiere eso decir que un mismo campo �(X) en el dominio original dará lugar,
dependiendo de la transformación utilizada y de los propios parámetros de la transformación,
a diferentes funciones �(U) en el dominio transformado, y por tanto, a diferentes vectores de
coeficientes sobre un espacio funcional determinado. Una vez obtenida la solución, la forma
de calcular el campo en un número finito de puntos del dominio original sería la siguiente
� �� k � �T�1
� �( ) ( )U F Ui k k ik
�� X F U� �1( ) � �( ( )) ( )X F U Ui i i� �
�1
En lo que respecta a la resolución del sistema no-lineal de autovalores y autovectores
(4.7), cualquiera de los métodos numéricos tratados en el capítulo tercero, Newton-Raphson y
autoconsistencia de los campos, son de aplicación inmediata.
Los diferentes métodos espectrales pertenecientes a la nueva familia de métodos que se
acaba de exponer, se diferencian en el tipo de transformación realizada y en el espacio
funcional sobre el que se discretice la ecuación de ondas resultante en el dominio
transformado.
4.2.4.- El Método de Descomposición de Fourier Modificado
El cambio de variable propuesto por Hewlett y Ladouceur es el siguiente
U tanX
x�
�
��
��
2 1
� �
el cual convierte el dominio infinito original en uno de dimensión finita definido entre �-1,1�.
El parámetro �x es lo que se suele denominar factor de escalado. La presencia de este grado de
libertad en la definición de la transformación permite controlar el grado de compresión a
realizar. Para ilustrar de qué manera actúa sobre una determinada distribución de campo, en la
Fig. 4.1 se muestra cómo es transformado el modo fundamental de un slab simétrico y lineal
de salto de índice para tres valores diferentes de �x.. En ella se puede observar que valores
altos del factor de escalado tienden a confinar el campo en el dominio transformado, mientras
(4.8)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
94
que valores pequeños producen el efecto contrario. Más adelante, en el apartado dedicado a
los resultados se podrá comprobar como, al igual que ocurría con el FDM con el tamaño del
periodo, la precisión del método dependerá del factor de escalado que se haya seleccionado.
Las expresiones que adoptan las funciones f1(U) y f2(U), necesarias para terminar de
definir la ecuación de ondas en el dominio transformado, son fácilmente deducidas a partir de
la ecuación (4.8). Las derivadas primera y segunda de la nueva variable respecto de la
coordenada espacial original vienen dadas por
dU
dX X
x
x�
��
��
�
�2 1
1
12�
�
�
d U
dX
X
Xx
x x
x
2
2 2 22
21
1
� �
��
��
� �
��
��
�
�
�
��
��
��
� �
�
que junto con la relación de la transformada inversa
(4.9)
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
0.2
0.4
0.6
0.8
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1
-0.5
0
0.5
1
0.5
0
-0.5
0 0.5 1
X
X
U(X)
�(X)
�(U)
U
�x = 0.25 ‘ ’ �x = 1 ‘ ’ �x = 4 ‘ ’
Fig. 4.1: Efecto que la transformación arcotangente utilizada por el MFDM tiene, para tres valores diferentes de �x, sobre el modo fundamental de un slab lineal y simétrico de salto de índice.
(4.10)
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
95
Xtan U
�
�
x� �
���2
permiten escribir finalmente las funciones f1(U) y f2(U) de la siguiente forma
f U Ux
12
22
2( ) cos� � �
��
���
�
��
�
��
��
�
f U U Ux
2 234
2 2( ) sen cos�
� �
��
���
���
���
��
� �
Por último, en lo que a la discretización de la ecuación de ondas resultante se refiere, ésta
es acometida mediante la estrategia de Galerkin en el espacio funcional de Fourier, lo cual era
de esperar a raíz del nombre que el propio método recibe. Con ello, el campo eléctrico es
escrito como
� �( )/
/U ek
j k K U
N
NUo� � � � �
�
�2
2
en donde, en este caso y a diferencia del FDM, la pulsación del armónico fundamental viene
determinada por la dimensión finita del dominio transformado (KUo=2�/Uo; Uo=2).
En el artículo de Hewlett y Ladouceur, no obstante, se distinguen dos situaciones
diferentes: i) funciones base senoidales y ii) funciones base cosenoidales. La razón de usar un
espacio funcional u otro se justifica, respectivamente, en base a la conveniencia de forzar en el
infinito, bien la condición de campo cero (Dirichlet), bien que la derivada respecto a la
dirección normal sea cero (Neumann). La primera situación se produce cuando el campo se
encuentra guiado, mientras que la segunda ocurre cuando la frecuencia de trabajo se acerca al
corte y el campo puede tender a un valor constante y distinto de cero �HewlettMar95�. En esta
Tesis se usarán siempre las exponenciales complejas, por ser un caso más general que engloba
a las anteriores. Un análisis comparativo de los tres espacios funcionales se puede encontrar
en �Luque1996�.
4.2.5.- El Método de Descomposición de Hermite-Gauss
Como ya se explicó en el capítulo anterior, existen dos formas diferentes, pero
equivalentes, de aplicar el método de descomposición de Hermite-Gauss. La primera es la que
habitualmente se suele usar en la bibliografía, y se basa en escalar las funciones base para que
se amolden a las coordenadas espaciales del problema que se pretende resolver. La segunda,
(4.11)
(4.12)
(4.13)
(4.14)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
96
que será la que de aquí en adelante se emplee, se basa en realizar un cambio de variable que
adecue las coordenadas transversales a las funciones base standard de Hermite-Gauss.
En definitiva, el cambio de variable a aplicar sobre la ecuación de ondas normalizada
(4.1) es el mismo que el escalado utilizado para las funciones base en el capítulo tercero
(ecuac. (3.67)), esto es
U V X� �
el cual, como se recordará, es una recta centrada en el origen y cuya pendiente es igual a la
raíz cuadrada de la frecuencia de trabajo. Para mostrar la manera en que consigue el efecto
deseado, en la Fig. 4.2 se ilustra como los perfiles de campo correspondientes a dos
frecuencias diferentes de trabajo son comprimidos de tal forma, que los perfiles resultantes en
el dominio transformado sean prácticamente iguales entre sí e iguales a la función base de
orden cero de Hermite-Gauss.
El carácter lineal de la transformación utilizada permite simplificar las expresiones de las
(4.15)
-8 -4 0 4 8-20
-10
0
10
20
-10
0
10
00.5 1
-8 -4 0 4 80
0.5
1
�(X)
U(X)
X
X
�(U)
U
V1: ‘__ __’
V2: ‘_____’
V1> V2
Fig. 4.2: Interpretación gráfica del cambio de variable propuesto por el HGDM.
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
97
funciones f1(U) y f2(U), siendo respectivamente
� �f U V V12
( ) � �
f U2 0( ) �
que, sustituidas en la ecuación (4.3), dan lugar a la siguiente ecuación de ondas en el dominio
transformado
� � � �VU
UV n U n U U V b Unl
2 2
22 2 2 2� � � � � � �
� �
�� �
( )( ) ( ) ( ) ( )
en la que, como se puede observar, el cambio de variable utilizado no ha supuesto, a
diferencia del MFDM, incremento de costo computacional alguno en la ecuación a resolver.
4.2.6.- Otros Métodos Espectrales con Transformación de Variables
Aunque la herramienta de optimización que se ha desarrollado en esta Tesis, y que será
presentada en el capítulo siguiente, haya sido solamente aplicada a los métodos con
transformación de variables anteriormente expuestos, MFDM y HGDM, la utilización y
combinación de otros cambios de variables y espacios funcionales diferentes abre un nuevo y
amplio abanico de posibilidades sobre el que cabría en un futuro seguir trabajando. Por
ejemplo, en �Luque1996�, además de la transformación de tipo arcotangente, se emplearon, en
el espacio funcional de Fourier, las de tipo tangente hiperbólica y algebraica, cuyas
expresiones respectivas vienen dadas por
U tanhX
x�
�
��
�
�
UX
X x
��2 2�
las cuales también comprimen el dominio infinito original en uno de dimensión finita definido
entre �-1,1�. Los resultados a los que se llegó en todos los casos fueron, eligiendo
convenientemente el correspondiente factor de escalado, satisfactorios y superiores a los que
se obtenían con el FDM. En cuanto a los espacios funcionales, en �MolinaJul98� los
polinomios de Chebyshev junto con el cambio de variable de tipo arcotangente definido en
(4.8), han sido aplicados con éxito a la caracterización modal de slabs no-lineales de salto de
índice, demostrándose, igualmente, una dependencia entre la precisión conseguida y el factor
de escalado.
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
(4.20)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
98
4.3.- Resultados
Como ya se ha indicado, una de las aportaciones realizadas en esta Tesis ha sido extender
el ámbito de aplicación del MFDM a guiaondas ópticas no-lineales. Para mostrar el
funcionamiento del método, así como evaluar sus prestaciones con referencia a su predecesor
el FDM , se va a analizar el mismo tipo de guiaonda utilizada en el capítulo anterior, esto es,
el slab de salto de índice con no-linealidad en el substrato de tipo Kerr. Con el fin de llevar a
cabo un análisis lo más general posible, se han distinguido dos situaciones diferentes:
a) Manteniendo fijo el punto de trabajo (V y bI ).
b) Realizando un barrido en la frecuencia y en el grado de no-linealidad.
a) Manteniendo fijo el punto de trabajo (V y bI ).
En la Fig. 4.3 se han representado, en el dominio original, los perfiles de campo
resultantes de aplicar el MFDM, en el punto de trabajo indicado en el pie de figura, con tres
valores diferentes del factor de escalado. Asimismo, además de la solución analítica tomada
de �ChelkowskiSep87�, se ha representado la solución obtenida con el FDM. Analizando
dicha figura se observan dos cosas: primero, que la precisión del MFDM depende del factor
de escalado utilizado, tal y como ya se había adelantado cuando éste fue presentado; y
segundo, que existe un valor del factor de escalado en el que, con sólo ocho coeficientes, la
solución obtenida y la analítica son prácticamente indistinguibles. Para cuantificar mejor lo
bueno o malo que son cada uno de los perfiles obtenidos, se muestran en la Fig. 4.4 los errores
relativos cometidos en la zona del espacio en donde principalmente se concentra el campo.
Estos han sido calculados como
Error relativo XX X
X
a
a( ) log
( ) ( )
( )� �
��
�
���
���
20 10
� �
�
donde �a
X( ) es la solución analítica.
En ella se puede comprobar claramente la superioridad del MFDM frente al FDM cuando el
factor de escalado es convenientemente prefijado. Es más, incluso para los valores de �x
considerados como peores, el error que se comete es comparable al logrado con el FDM.
(4.21)
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
99
Sin embargo, lo que se deduce de lo
anterior, es que el método, al igual que
el FDM, sigue siendo dependiente de un
parámetro, en este caso el que define la
transformación. La cuestión a resolver es
: ¿Cómo seleccionar el mejor factor de
escalado de todos los posibles, es decir,
aquel que, para un número determinado
de coeficientes, logra la mejor
precisión?. La estrategia de optimización
propuesta en �HewlettMar95� es bastante
simple y se concreta en el siguiente
enunciado:
‘El factor de escalado óptimo será aquel que convierta el perfil de campo a calcular en el
dominio original en otro en el dominio transformado que varíe de la forma más suave
posible’.
La justificación a la utilización de dicho razonamiento se comprende fácilmente si se tiene
en cuenta que el número de coeficientes que una señal necesita para ser representada, con
-2.5 0 2.5-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
X
Error Relativo(x)
dB
FDM ‘_ _ _’
MFDM (�x=1,�x=5) ‘__ _ __’
MFDM (�x=2.4) ‘_______’
Fig. 4.4: Error relativo de campo eléctrico cometido con el FDM y con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;
FDM ‘_ _ _’MFDM (�x = 1 y �x = 5) ‘__ _ __’MFDM (�x = 2.4) ‘_____’Sol. Exacta ‘_______’
-10 -5 0 5 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X
�( )X
Fig.4.3: Perfiles de campo en el dominio original obtenidos con el FDM y con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
100
cierta precisión, en serie de Fourier, será tanto mayor cuanto más rápido varíe la señal en
función de la variable respecto de la cual es definida. De hecho, la clave del éxito del MFDM
se basa en que un perfil de campo puede contener zonas de variación rápida en el dominio
original, requiriendo por tanto un excesivo número de coeficientes, mientras que,
adecuadamente conformado, el perfil que resulte en el dominio transformado varíe de forma
suave y uniforme a lo largo del mismo. Para comprobar si el factor de escalado que
proporcionaba un buen resultado en el ejemplo anterior se ajusta al criterio propuesto por
Hewlett y Ladouceur, se han representado en la Fig. 4.5 los tres perfiles de campo que se
obtienen en el dominio transformado. Resulta evidente constatar que el �x que mejor y más
suave distribuye el margen dinámico del campo en la ventana de cómputo es justamente aquel
con el que mejor aproximación se conseguía. Si además se pintan sus correspondientes
espectros, que duda cabe que éstos deberán presentar un comportamiento que confirme aún
más tal hipótesis. No obstante, a la hora de su representación debe tenerse cierto cuidado,
pues, como consecuencia de la transformación realizada, sus energías serán diferentes para
cada valor del factor de escalado. Como adelanto de la estrategia de optimización que se va a
proponer en el capítulo siguiente, se han pintado en la Fig. 4.6 sus respectivos espectros
normalizados. El armónico k-ésimo del nuevo espectro se define como
Pkn k
kk N
k N�
���
�
�
�
2
2
2
2
/
/
en donde se puede observar que la constante de normalización utilizada no es más la energía
(4.22)
0 2 4 6 8 10 12 14 16-100
-90
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
k
�x = 2.4 ‘______’
�x = 1 ‘__ _ __’
�x = 5 ‘_ _ _’
Espectro normalizado (dB)
Fig. 4.6: Coeficientes espectrales normalizados en el dominio transformado obtenidos al aplicar el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=32; Xo (FDM)= 20.
-1 -0.5 0 0.5 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
U
�( )U
�x = 1 ‘__ _ __’ �x = 2.4 ‘_____’ �x = 5 ‘_ _ _’
Fig. 4.5: Perfiles de campo en el dominio transformado obtenidos con el MFDM para tres valores diferentes del factor de escalado. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: N=8; Xo (FDM)= 20;
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
101
de la señal. Utilizando un número de términos lo suficientemente alto como para tener una
visión más completa del mismo, se puede ver en dicha figura que el espectro que más
concentra su energía en los armónicos más bajos es nuevamente el correspondiente al mejor
de los factores de escalado utilizados.
Por último, la superioridad del MFDM frente al FDM queda claramente corroborada si se
analizan sus velocidades de convergencia. Para ello, se ha representado en la Fig. 4.7 el error
cuadrático medio (MSE) del campo, definido como
� �MSE dBW
X X dxa
W
( ) log ( ) ( )� � ��
���
���10
110
2� �
en función del número de términos considerados en el desarrollo en serie. Es necesario, a fin
de que la comparación realizada sea correcta, que ambos se encuentren trabajando en sus
condiciones quasi-óptimas, esto es, el
FDM con su ventana de cómputo (Xo 20)
y el MFDM con su factor de escalado
(�x=2.4). Además, también la ventana de
integración ‘W’ utilizada en cada caso
debe ser la misma. Lo más razonable, y así
se ha hecho, es hacer que ésta sea igual al
periodo del FDM, pues su solución sólo es
conocida en dicha zona. Obsérvese que,
aunque las velocidades de convergencia
son similares en ambos casos (-10 dB/10
términos si 10<N<30), se ha conseguido
una mejora de aproximadamente 10 dB.
b) Realizando un barrido en la frecuencia y en el grado de no-linealidad.
Tal y como ha quedado patente en el apartado anterior, el éxito del MFDM radica en una
buena selección del factor de escalado. Ahora bien, como quiera que éste depende de cómo
sea el perfil de campo a calcular, cabría pensar que sería necesario realizar un proceso de
optimización cada vez que se modificara el punto de trabajo (frecuencia y/o grado de no-
linealidad). No obstante, como seguidamente se podrá comprobar, con un único factor de
escalado el comportamiento del MFDM es superior al del FDM en un amplio margen de
(4.23)
0 10 20 30 40 50 60 70-80
-75
-70
-65
-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
MSE (dB)
FDM ‘__ _ __’ MFDM (�x = 2.4) ‘_______’
N Fig. 4.7: Convergencia del MFDM frente al FDM. Datos físicos normalizados: V=1; a=0; bI=0.6. Datos numéricos: Xo (FDM)= 20.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
102
frecuencias y grados de no-linealidad. Esto no debe sorprender, pues ya en guiaondas 3D
lineales y simétricas Hewlett y Ladouceur demostraron que si el factor de escalado era igual al
ancho del núcleo (�x = 2) y para V<5 los resultados obtenidos eran satisfactorios.
El método de Newton-Raphson, a diferencia del método de la autoconsistencia de los
campos, necesita para ser aplicado, no sólo la frecuencia (V) y grado de no-linealidad (bI) que
determine unívocamente el punto de trabajo, sino además la constante de propagación (b).
Dado que en el caso del slab no-lineal de salto de índice, ésta puede ser obtenida a través de la
relación de dispersión �ChelkowskiSep87�, se ha utilizado dicho método para seguir las
curvas de dispersión universales del modo fundamental mostradas en el capítulo tercero en la
Fig. 3.9. Teniendo en cuenta que, en base a la normalización empleada en la ecuación de
ondas, la distribución de campo que se obtenga debe valer la unidad en el interface núcleo-
substrato, una forma de medir la bondad del método espectral correspondiente puede ser
calcular el error cometido en la estimación del bI, el cual es definido como
� �E XbI(%) ( )� � � �100 1 12�
En las Figs. 4.8 y 4.9 se muestra dicho error cuando se emplea el FDM y el MFDM,
respectivamente, para seguir las curvas de dispersión universales del slab no-lineal. Para todas
las frecuencias y grados de no-linealidad indicados, ambos métodos han sido ejecutados
manteniendo constantes sus parámetros característicos, esto es, el periodo y el factor de
escalado. En el caso del FDM, el experimento fue realizado con dos tamaños diferentes del
periodo (Fig. 4.8 (a) y (b)). Comparando los resultados se observa en primer lugar que los
errores cometidos con el FDM se mueven en un margen de valores que es un orden de
magnitud superior al logrado con el del MFDM. En las Figs. 4.8 (a) y (b) se percibe,
claramente, la ya comentada dependencia que el FDM tiene con el tamaño de ventana
utilizado. Por ejemplo, cuando ésta es prefijada a un valor más pequeño (Xo=12), los mejores
resultados se obtienen para frecuencias elevadas, pues en las frecuencias bajas se va a producir
el conocido fenómeno de aliasing en el dominio del espacio, mientras que si el tamaño de la
ventana es mayor (Xo=20) se produce el efecto inverso, esto es en las frecuencias más bajas se
comportará mejor y en las altas se producirá el consabido efecto del sobremuestreo en el
dominio de la frecuencia. En cuanto al MFDM, se observa que si bI>0.4 y 0.25<V<2 los
errores cometidos se encuentran siempre por debajo del 1 %, lo cual confirma la robustez del
método. Además, el valor del factor de escalado empleado (�x = 2.4) es sólo ligeramente
superior al propuesto por Hewlett y Ladouceur para el caso lineal. Un hecho que pudiera
(4.24)
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
103
parecer sorprendente en dichas figuras es que tanto el MFDM como el FDM presentan un peor
comportamiento a medida que el problema se hace más lineal (bI más cerca de cero). La razón
no es ni mucho menos achacable a ninguno de los métodos sino al parámetro que se ha
utilizado para cuantificar el error, el cual, al ser dependiente de la amplitud del campo carece
de sentido en problemas lineales.
0.5 1 1.5 2
0.5 1 1.5 2
Fig. 4.8: Error cometido en la estimación del bI (ec. (4.24)) cuando las curvas de dispersión universales del slab no-lineal son seguidas utilzando el FDM con dos tamaños de ventana diferentes. Datos físicos normalizados: a=0 ; Datos numéricos :N=32 (a) Xo=12; (b) Xo= 20.
0.5 1 1.5 2
Fig. 4.9: Error cometido en la estimación del bI (ec. (4.24)) cuando las curvas de dispersión universales del slab no-lineal son seguidas utilzando el MFDM. Datos físicos normalizados: a=0 ; Datos numéricos :N=32 ; �x = 2.4.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
104
4.4.- Conclusiones
Una vez concluido el estudio de los métodos espectrales con transformación de variables,
y para finalizar el presente capítulo, se resumen a continuación sus principales características,
destacando las ventajas que, frente a los métodos espectrales clásicos, supone su utilización.
Asimismo, se plantean las limitaciones que aún están por resolver, pero que serán tratadas en
el siguiente capítulo.
Los métodos espectrales con transformación de variables representan una nueva y más
genérica familia de métodos para la caracterización modal de guiaondas ópticas. Dos son
los pasos que conlleva su aplicación :i) la obtención de una ecuación de ondas definida
sobre unos nuevos ejes (el dominio transformado), la cual se alcanza tras la aplicación de
un cambio de variable sobre la/s coordenada/s transversal/es del problema a resolver y ii) la
resolución de la misma por cualquiera de los métodos clásicos de discretización (Fourier,
Hermite-Gauss,...).
Las características de la transformación de variables a utilizar dependerán, en parte, del
espacio funcional con que luego se vaya a discretizar la ecuación de ondas resultante en el
dominio transformado. Por ejemplo, el MFDM convierte, mediante una transformación de
tipo arcotangente, el dominio infinito original en uno de dimensión finita. Por su parte, el
HGDM, simplemente reescala de forma lineal la dimensión transversal del problema.
En el caso del MFDM, su aplicación al análisis modal del slab de salto de índice con no-
linealidad de tipo Kerr ha confirmado el superior comportamiento que el mismo ya
presentaba en problemas lineales. Aunque el método siga siendo dependiente de un
parámetro (el factor de escalado), que también debe ser prefijado con anterioridad a su
aplicación, si es adecuadamente elegido se puede mejorar notablemente la precisión
lograda por el FDM. Es más, a diferencia de éste, que como se recordará era muy sensible
al periodo del armónico fundamental, con un único factor de escalado se consiguen
precisiones aceptables en un amplio rango de frecuencias y grados de no-linealidad.
Asimismo, a pesar de que la comparación entre el FDM y el O-MFDM no haya sido todo
lo completa que debiera pues habría que computar también los tiempos de cálculo que cada
Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
105
uno necesita, y ésto se hará en el capítulo sexto, se ha demostrado que realmente las
diferencias no van a ser muy significativas.
Por contra, el MFDM sigue careciendo de alguna estrategia o algoritmo que lo convierta en
una técnica realmente autoconsistente, esto es, que pueda calcular de forma automática, y
sin necesidad de exigir por parte del usuario una cierta experiencia que garantice una
decisión mínimamente acertada, cuál es el escalado óptimo. Además, hasta el momento se
ha considerado únicamente el modo fundamental y siempre en situaciones no
excesivamente asimétricas (perfiles simétricos en el índice de refracción lineal sumado al
grado de no-linealidad que pudiera existir), por lo que no es posible realizar generalización
alguna sobre su aplicabilidad en condiciones adversas y diferentes a las analizadas.
Si a estos inconvenientes se les suman los ya explicados en el capítulo anterior para el otro
método espectral con transformación de variables, el HGDM, todo parece indicar que el
siguiente paso en la mejora de los mismos pasa, en primer lugar, por introducir nuevos
grados de libertad en la definición de las transformaciones, que permitan tratar situaciones
más complejas que las consideradas hasta ahora. Y segundo, si cabe con más motivo aún a
raíz de lo anterior, desarrollar una estrategia, robusta y sin colaboración alguna por parte
del usuario, que sea capaz de determinar los parámetros óptimos o quasi-óptimos de las
transformaciones para un amplio abanico de situaciones. Ambas aspiraciones son los
objetivos del siguiente capítulo.
Capítulo 5:
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los
Métodos Espectrales con Transformación de Variables
5.1.- Introducción
A pesar de que la aparición de los métodos espectrales con transformación de variables, y
muy particularmente el MFDM, supuso, en el ámbito de la óptica integrada, una contribución
importante en el camino hacia la obtención de métodos numéricos eficientes para la
caracterización modal de guiaondas ópticas, lo cierto es que éstos aún adolecen, a la hora ser
aplicados, de los mismos inconvenientes que tenían sus antecesores, los métodos espectrales
sin transformación de variables. Dichas pegas se pueden resumir en los dos puntos siguientes:
a) Existencia de un grado de libertad en la definición del método (periodo o factor de
escalado) cuyo valor afectará a la precisión final alcanzada.
b) Dificultad para determinar, a priori, cuál es el valor con el que se logra un mejor resultado.
En lo que al espacio funcional de Fourier se refiere, el primer intento por superar tales
limitaciones fue realizado por Ramanujam et al. �RamanujamMar96�. Haciendo uso de la
teoría de Wenzel-Kramers-Brillouin (WKB) en conjunción con el método del índice efectivo,
la estrategia que propusieron los autores de dicho trabajo para la determinación de la ventana
de cómputo necesaria para la aplicación del FDM, se basa en estimar la constante de
propagación del modo a calcular y, a partir de la misma, especificar la posición de los 'turning
points', o puntos en donde comienza el comportamiento evanescente del campo, y las
velocidades de decaimiento, con lo que, consecuentemente, es posible determinar la distancia
a la cual el campo se encuentra ya por debajo de un cierto valor. Además, la aproximación
inicial que se obtiene del campo, permite realizar una estimación acerca del número de
términos que será necesario considerar en el desarrollo en serie de Fourier. Sin embargo, la
técnica, aunque ingeniosa, sigue padeciendo las limitaciones implícitas del FDM, como es el
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
108
peor comportamiento en frecuencias cercanas al corte. Por ello, como el propio artículo de
Ramanujam et al. sugiere, cabría pensar en un método híbrido que combinara las ventajas del
MFDM con las herramientas que en él se describen. Los diferentes intentos que se realizaron
durante la elaboración de la presente Tesis para conseguir dicha simbiosis resultaron en balde
pues chocaban siempre con la dificultad que presenta el WKB para ser aplicado en problemas
no-lineales.
Ante tal situación, parecía claro la necesidad de perfeccionar el MFDM, en lo que a su
autoconsistencia se refiere, y dotarle de las herramientas necesarias para su automatización,
esto es, de aquellas que permitan determinar, con la mínima sobrecarga computacional, los
parámetros óptimos de la transformación. Ahora bien, cuando dicho cometido fue abordado se
observaron algunas situaciones en las que no resultaba fácil determinar, ni siquiera por
inspección visual, cuál era el factor de escalado que mejor resultado lograba. Un ejemplo
típico tiene lugar en problemas fuertemente no-lineales. A modo de ejemplo, supóngase la
misma guiaonda considerada en el capítulo anterior, esto es, el slab de salto de índice con
substrato no-lineal de tipo Kerr. En la Fig. 5.1 se ha representado el perfil de campo que
soporta dicha estructura cuando el grado de no-linealidad existente es elevado. En ella se
puede observar claramente cómo se ha producido un desplazamiento notable del campo hacia
el substrato, situándose incluso el máximo del campo en la zona no-lineal. Como se recordará
del capítulo anterior, la estrategia propuesta en �HewlettMar95� para la optimización del
factor de escalado consistía en pintar los perfiles de campo que resultan de aplicar, al perfil
original, la transformación arcotangente utilizada, la cual es escrita nuevamente por
comodidad
El factor de escalado que más suave
distribuyera el margen dinámico del campo
en la ventana de cómputo era considerado
como óptimo. En las Figs. 5.2 y 5.3 se han
pintado, respectivamente, los perfiles de
campo y sus correspondientes espectros
normalizados para tres valores diferentes del
factor de escalado. En la primera de ellas se
-5 -1 0 1 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
X
�( )X
núcleo
Fig. 5.1: Perfil de campo en el dominio original en una situación de elevada no-linealidad. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258
(5.1) U tanX
x�
�
��
�
��2 1
� �
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
109
comprueba cómo la asimetría del problema analizado provoca que la zona sobre la que se
produce la compresión o estiramiento del campo se sitúe sobre la zona evanescente, con lo
que resulta imposible, variando sólo el factor de escalado, una redistribución uniforme y
gradual del campo sobre el eje transformado. Sin embargo, si a la transformación arcotangente
se le permite cierto descentramiento, por ejemplo situarla sobre el máximo de la distribución,
el perfil obtenido cambia literalmente, y se comporta de la manera deseada. Observando los
espectros normalizados en la Fig. 5.3 se puede confirmar la aseveración anterior. De los
espectros representados, el que presenta un menor ancho de banda resulta ser, claramente,
aquel cuya transformación fue desplazada hacia la zona del máximo.
En definitiva, las mejoras que, sobre el MFDM, se han realizado en esta Tesis y que se
van a describir a lo largo del presente capítulo son �MolinaJul98� �Wangüemert1998�:
a) La definición de una nueva versión del MFDM, que de aquí en adelante se denominará O-
MFDM (Offset-Modified Fourier Decomposition Method), basada en introducir en la
transformación arcotangente un nuevo grado de libertad, el centrado (offset), con el que
poder analizar situaciones asimétricas.
b) El desarrollo de un algoritmo autoconsistente para la determinación automática de los
parámetros óptimos de la transformación.
La notable mejoría que, en el MFDM, supuso la introducción de un descentramiento en la
transformación empleada, así como el buen funcionamiento observado en el algoritmo de
2 4 6 8 10 12 14-100
-80
-60
-40
-20
0
16k
Espectro normalizado (dB)
�x= 1.8; Ox= -1.7
�x= 1 ‘__ _ __’ �x= 4 ‘_ _ _ _’ �x= 1.8 ‘_____’
Fig. 5.3: Influencia del centrado en los espectros normalizados del dominio transformado. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258.
-1 -0.5 0 0.5 1-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
U
�( )U �x =1 ‘__ _ __’ �x =4 ‘_ _ _ _’ �x =1.8 ‘_____’ �x =1.8; Ox= -1.7 ‘ ‘
Fig. 5.2: Influencia del centrado en los perfiles de campo en el dominio transformado. Datos físicos normalizados: V=0.8; a=0; bI=0.9258.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
110
optimización que al efecto fue desarrollado, sugirió la posibilidad de que ambas fueran
adaptadas al espacio funcional de Hermite-Gauss, el cual, como se recordará, se presta a ello,
pues presentaba peores resultados en frecuencias cercanas al corte, como consecuencia del
factor de escalado utilizado, y en situaciones asimétricas, como las que se producen en
problemas no-lineales. Existe en la bibliografía consultada por el autor un único intento de
utilizar una estrategia de optimización para encontrar el factor de escalado óptimo del HGDM
�RasmussenMar93�, aunque la filosofía en la que se basa es totalmente diferente a la que aquí
se va a presentar y ha sido aplicada exclusivamente en guiaondas lineales y simétricas, lo que
limita su potencialidad. En una posterior sección de este capítulo se tratará este tema con más
detalle.
Por lo tanto, similares mejoras han sido igualmente realizadas sobre el HGDM, a saber, la
definición de una nueva y más general versión del mismo, que se llamará de aquí en adelante
el O-HGDM (Offset-Hermite-Gauss Decomposition Method), y el desarrollo de un algoritmo
autoconsistente que determine, de forma automática, los parámetros óptimos de la
transformación �OrtegaSep98�. Ambas contribuciones serán también objeto de estudio por
parte del presente capítulo.
5.2.- El O-MFDM y el O-HGDM
El método de descomposición de Fourier modificado con descentramiento y el método de
descomposición de Hermite-Gauss con descentramiento, que para diferenciarlos del MFDM y
HGDM se les designará respectivamente por O-MFDM y O-HGDM (Offset-Modified Fourier
Decomposition Method y Offset-Hermite-Gauss Decomposition Method), también pertenecen
a la familia de métodos espectrales con transformación de variables. Por lo tanto, todo lo
concerniente a la forma en que son aplicados puede ser hallada en el capítulo anterior. La
única particularidad que los diferencia de su correspondiente predecesor es la transformación
de variables utilizada.
En el caso del O-MFDM, se propone la siguiente
U tanX Ox
x�
�
��
�
��2 1
� �
en la que se puede observar que, respecto de la utilizada por el MFDM (ec. (5.1)), además del
factor de escalado (�x) se ha introducido un nuevo grado de libertad, el centrado u offset (Ox).
(5.2)
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
111
Por su parte, para el O-HGDM, la transformación propuesta es la siguiente
� �U X Ox x� � �
que, como se puede comprobar, no sólo se ha permitido un cierto desplazamiento
respecto del origen de coordenadas (Ox), sino que, además, el factor de escalado (�x) puede
adoptar cualquier valor, y no como ocurría en el HGDM, que éste era siempre igual a V .
5.3.- Autoconsistencia de los Métodos
A raíz de las nuevas versiones de métodos espectrales con transformación de variables
que se acaban de definir, resulta evidente, si cabe aún más, la necesidad de disponer de
herramientas que determinen los parámetros óptimos de las transformaciones. Téngase en
cuenta que el resultado que ahora se obtenga dependerá de dos parámetros (�x y Ox), por lo
que la estrategia de Hewlett y Ladouceur de ir visualizando, y corrigiendo en base a lo
observado, los diferentes perfiles de campo en el dominio transformado, se convierte en una
tarea inviable en situaciones prácticas.
5.3.1.- El Criterio de Optimización
La idea fundamental del criterio que se plantea en esta Tesis para decidir, ‘a priori’,
cuáles son los parámetros con los que mejor resultado se obtiene, se basa en una idea bastante
simple, la cual por otra parte ya se ha dejado entrever. Si se recuerdan los diferentes resultados
que se han ido mostrando del MFDM, junto a los perfiles de campo en el dominio
transformado, se representó lo que se dio en llamar el espectro normalizado, el cual como se
recordará era definido como
� �� �
� �
Pk xk x
k xk
�� �
� �
�
�
2
2
y cuya forma dependía del factor de escalado empleado en la transformación. Pues bien,
parece obvio pensar que el factor de escalado óptimo sea aquel que, para una cierta precisión,
requiera un menor número de términos en el dominio transformado, o lo que es lo mismo,
ocupe un menor ancho de banda. La implementación de este criterio pasa por la definición de
algún parámetro que permita medir dicho ancho de banda. En esta Tesis se propone utilizar la
varianza del espectro normalizado, la cual puede ser escrita como
(5.3)
(5.4)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
112
� � � �� �
� �
Var O k P O
k O
Ox x
kk x x
k x xk
k x xk
� �
� �
� �
, ,
,
,
� �
�
��
�
2
2 2
2
en donde, en caso de ser usada con el O-MFDM y O-HGDM, dependerá de los nuevos
parámetros de la transformación (�x y Ox), tal y como ha sido puesto de manifiesto en la
expresión anterior.
La minimización de la función definida en la ec.(5.5) mediante el algoritmo que
seguidamente se va a presentar, condujo a excelentes resultados en el caso del O-HGDM. Sin
embargo, para el O-MFDM los mejores resultados se alcanzaron cuando lo que se minimizaba
era la varianza de los coeficientes espectrales de la derivada segunda del campo en el dominio
transformado. Es decir, que si �(X) es la distribución de campo en el dominio original y
�(U,�x,Ox) es su imagen en el dominio transformado, los coeficientes a considerar en el caso
del O-MFDM serán los de la función d2�(U,�x,Ox) /dU2. Esto no supone problema alguno,
pues éstos pueden ser calculados de forma directa sin más que aplicar, a los coeficientes de la
función �(U,�x,Ox), el operador derivada segunda del espacio funcional de Fourier.
Matemáticamente se puede escribir como
� � � �
�
( , , ) ( , )U O O ex x k x x
jkU
U
k
o� �
�
��
�
��
�
2
� �d U O
dUk O ex x
Uo k x x
jkU
U
k
o2
22 2
2� �
� ��
�
( , , )( , )� � � �
�
��
�
��
�
con lo que la función a considerar en el caso del O-MFDM resulta ser finalmente la siguiente
� �� �
� �Var x Ox
k k x Oxk
k k x Oxk
�
� �
� �
,
,
,
�
��
�
6 2
4 2
5.3.2.- El Algoritmo de Optimización
Habiéndose obtenido las funciones a ser minimizadas, el siguiente paso hacia la
consecución de la autoconsistencia de los métodos espectrales con transformación de
(5.5)
(5.6)
(5.7)
(5.8)
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
113
variables, consiste en la definición de un algoritmo que, partiendo de una situación inicial
arbitraria, sea capaz de converger hacia el mínimo de tales funciones. Los pasos de que consta
el algoritmo, que fue implementado al efecto, son los siguientes:
1. Inicializar los parámetros de la transformación con unos valores arbitrarios (�xo,Oxo)
obtenidos a partir de estimaciones que pueden ser muy burdas.
2. Resolver la ecuación de ondas en el dominio transformado con dichos parámetros. Con ello
se obtendría el vector de coeficientes � �� �k xo xoO( , ) y la constante de
propagación� �( , )xo xoO .
3. Determinar, a partir del vector de coeficientes � �� �k xo xoO( , ) obtenido en el apartado
anterior, el conjunto de parámetros (�x opt,Ox opt) que minimizan las ecuaciones (5.5) y (5.8)
para el O-HGDM y O-MFDM, respectivamente.
4. Utilizando los valores óptimos (�x opt,Ox opt) repetir el proceso desde el punto dos hasta que
los valores óptimos que resulten no cambien en dos iteraciones sucesivas.
De entre los diferentes puntos que lo componen, el único cuya ejecución pudiera suscitar
algún tipo de incertidumbre sobre la forma en que es implementado, que duda cabe que ese es
el tercero, o lo que es lo mismo, el cálculo del mínimo de la función Var(�x,Ox) cuando
solamente se conoce el valor que la misma toma para los parámetros (�x0,Ox0) usados en la
inicialización. Con independencia del método de optimización que se decida emplear
(gradiente conjugado, Fletcher-Powell, o incluso, por simplicidad, evaluando la función en un
amplio margen de valores y localizando la posición del mínimo), la cuestión a solventar se ha
planteado en la Fig. 5.4, y se puede expresar de la siguiente forma:
Si � �� �k xo xo NO( , )
0es el vector de coeficientes espectrales que se obtiene tras resolver el
problema lineal o no-lineal de autovalores con unos parámetros iniciales arbitrarios (�x0,Ox0)
y con N0 coeficientes ¿cómo calcular el vector de coeficientes � �� �k x x NO( , )1 1
1 (N1>N0)
para otros parámetros de la transformación (�x1,Ox1) diferentes de los anteriores?
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
114
La respuesta a dicha pregunta se ha puesto también de manifiesto en la Fig. 5.4. Haciendo
uso de la transformada inversa, es posible evaluar la función �0(U) sobre el eje transformado
'U' y posteriormente, deshaciendo el cambio de variable con los parámetros de la
transformación (�x0,Ox0) empleados, obtener la función �(X) en el dominio original 'X'. A
continuación, si se realiza el proceso inverso al que se acaba de describir, esto es, primero se
aplica el cambio de variable sobre la coordenada espacial 'X' para los parámetros de la
transformación deseados (�x1,Ox1), y seguidamente, al perfil de campo �1(U) en el dominio
transformado, se le calcula la transformada directa del espacio funcional sobre el que se esté
trabajando, el resultado al que se llega resulta ser, finalmente, el vector de coeficientes
buscado.
� �� �k x xO0 0, � �� �k x xO1 1,
k kN O N 1
¿ ?
U
� 1(U )
X
� (X )
U
� 0(U )
� �� � �0 0 0( ) , ( )U O F Uk x x kk
� �� � �� � �k x xk
kON orm a
U F U1 1 11
, ( ), ( )� � �
X = F -1(U ,� x0,Ox0) U = F (X , � x1,Ox1)
Fig. 5.4: Relación existente entre los coeficientes espectrales en el dominio transformado para dos conjuntos diferentes de los parámetros de la transformación.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
115
Ahora bien, si se recuerdan las consideraciones de tipo numérico que en su momento se
hicieron en el capítulo tercero sobre el cálculo de las transformadas directa e inversa de
Fourier y Hermite-Gauss respectivamente, la puesta en práctica del proceso anterior para su
utilización en el algoritmo de optimización del O-MFDM y O-HGDM, queda reducida a la
realización de los siguientes pasos, a saber :
1.-Se establece un vector de N1 muestras sobre el eje transformado ‘U’ � �U i N11
,
La posición que ocupen las muestras dependerá del espacio funcional sobre el que se esté
trabajando, Fourier o Hermite-Gauss. En el primero, éstas se situarán de forma
equiespaciada a lo largo de la ventana de cómputo (intervalo �-1,1�), mientras que para el
segundo su ubicación queda especificada conocidas las raíces del polinomio de Hermite-
Gauss de orden N1+1(puntos de cuadratura).
2.-Se calculan los puntos en que debería ser evaluado el perfil de campo �0(U) para dar lugar
al mismo vector de amplitudes que resultaría cuando el perfil �1(U) es evaluado sobre el
vector de muestras � �U i N11
, (véase la Fig. 5.5). Matemáticamente se puede expresar como
O-MFDM:
� �U i N11
, � � � �X O tan Ui x x i� � ���
��1 1 12
��
, � �� �
U tanX O
ii x
x0
1 0
0
2, � �
�
���
�
�
�
� �
O-HGDM:
� �U i N11
, � �� �
X OU
i xi
x� 1
1
1
,
� � � � �� �U X Oi x i x0 0 0, � �
3.-A partir del vector de coeficientes� �� �k xo xo NO( , )0
, y haciendo uso de los desarrollos en
serie que corresponda en cada caso, Fourier o Hermite-Gauss, se evalúa la función �0(U)
sobre el vector de muestras � �U i N0,1
� � � � � � � �� � � �0 0, 0 0 0, 1 11
01 1
U O F U Ui N k x x kk N
i N i N���
��� � �
���
��� �
���
���
� � , , (5.9)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
116
4.-Por último, los coeficientes espectrales
buscados � �� �k x x NO( , )1 11
pueden ser
obtenidos sin más que aplicar, al vector de
amplitudes � ��1 11
U i N,���
��� , la FFT en el
caso del O-MFDM o una integración
gaussiana en cuadratura en el caso del O-
HGDM.
5.3.3.- Comparación con otras Estrategias de Optimización
Para concluir esta importante contribución sobre la autoconsistencia de los métodos
espectrales con transformación de variables, conviene contrastar la estrategia que aquí se ha
planteado con otras que, con tal motivo, hayan sido previamente desarrolladas. Como ya se
adelantó en la introducción del presente capítulo, el único antecedente encontrado en la
bibliografía especializada ha sido hallado en �RasmussenMar93�. Basándose en el hecho de
que la constante de propagación calculada mediante el HGDM se encuentra siempre por
debajo de su valor exacto, la estrategia seguida en dicho trabajo para el análisis modal de
guiaondas lineales y simétricas, consiste en calcular cuál es el factor de escalado que
maximiza la constante de propagación �(�x), y por consiguiente, que mejor precisión logra. La
idea, aunque atractiva, requiere un excesivo costo computacional para ser implementada. Por
ejemplo, como el propio artículo indica, si se utiliza el método de Newton, son necesarias
entre ocho y diez iteraciones para converger hacia el punto óptimo. Como quiera que no se
dispone de expresiones analíticas de la derivada segunda de la constante de propagación
respecto del factor de escalado (d2�/d�2
x,), su aproximación numérica necesita al menos de
tres evaluaciones de la función �(�x) en cada iteración, o lo que es lo mismo, resolver un total
de treinta veces el problema de autovalores y autovectores, con el consabido coste que ello
supone.
U
�0(U)
�1(U)
Fig.5.5: Relación entre las muestras � �U i N11
,
(marcadas con ‘o’) en que pretende ser evaluada la
función �1(U), y las muestras � �U i N01
, (‘*’) donde
debe ser evaluada la función �0(U) para da lugar al mismo vector de amplitudes.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
117
Sin embargo, el hecho más significativo de la estrategia que acaba de ser presentada en
esta Tesis, es que necesita resolver el problema de autovalores y autovectores una sola vez en
cada iteración. Además, como se podrá comprobar en el siguiente apartado, el número total de
iteraciones que se contabilizó en los diversos casos probados es siempre bastante reducido,
por lo que el tiempo de cálculo empleado en la optimización es claramente mucho menor que
la técnica de Rasmussen et al.
5.4.- Resultados
La aplicación del algoritmo de optimización a los nuevos métodos espectrales con
transformación de variables que han sido propuestos en este capítulo, el O-MFDM y el O-
HGDM, ha sido probada en un amplio abanico de situaciones, obteniéndose en todos los casos
resultados muy satisfactorios. Con el fin de cuantificar mejor la precisión lograda por el
mismo se han analizado dos guiaondas no-lineales que posean solución analítica, a saber, el
slab de salto de índice con no-linealidad de tipo Kerr en el substrato �ChelkowskiSep87�, la
cual, como se recordará, ya ha sido
utilizada con anterioridad (véase la Fig.
3.10 del cap.3), y el slab de índice gradual
con perfil exponencial y con no-linealidad
en el substrato también de tipo Kerr
�MihalacheDic91�. En la Fig. 5.6 se ha
representado el perfil del índice de
refracción lineal normalizado de esta
última, así como la función �(X), la cual,
como es sabido, determina, en la ecuación
de ondas no-lineal normalizada, la zona en
donde se sitúa la no-linealidad1.
A continuación se presentan los resultados más significativos que se han obtenido. Estos
han sido divididos en dos partes, dependiendo del método espectral empleado, Fourier o
Hermite-Gauss. Además, en cada una de ellas, y con el fin de conocer el grado de
1 Dado que en el slab de índice gradual, el núcleo, o zona en la que el campo tiene un comportamiento oscilatorio, no es posible identificarlo a priori, el eje de abscisas normalizado (X), y por lo tanto también la frecuencia normalizada (V), son definidos respecto de la abscisa en la que el índice de refracción ha decaído ‘e’ veces su valor en el origen.
n X2
( )
�( )X
X
(1+a)e-X -a
Substrato Cubierta
(1+a)/e
10
Fig. 5.6: Indice de refracción lineal normalizado y situación de la no-linealidad del slab de índice gradual utilizado para evaluar el funcionamiento del O-MFDM y de su algoritmo de optimización .
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
118
aplicabilidad de la técnica propuesta, se ha comprobado su comportamiento tanto en
guiaondas lineales como no-lineales, así como para el modo fundamental y modos superiores.
5.4.1.- Resultados del O-MFDM y de su Algoritmo de Optimización
Para evaluar de forma conjunta cuáles son los parámetros de la transformación que
consiguen un comportamiento del O-MFDM superior al FDM, y además, hasta que punto el
algoritmo de optimización propuesto era capaz de converger hacia unos parámetros de la
transformación (�x,Ox) quasi-óptimos, se van a representar, en una sola gráfica y superpuestos,
los mapas de contorno de los errores cometidos por el O-MFDM para diferentes valores de
(�x,Ox) y el camino seguido por el algoritmo de optimización. Dado que la resolución del
problema de autovalores aporta la constante de propagación del modo y su distribución
espacial de campo eléctrico, se han considerado dos medidas del error, el error cuadrático
medio (MSE) del campo, ya utilizado en el capítulo anterior (ec. (4.23)), y el error absoluto de
la constante de propagación, definido este último como
� �Err b O bb x xa� � 10 10log ,�
donde b(�x,Ox) es la constante de propagación normalizada que se obtiene al aplicar el O-
MFDM y ba su valor exacto. Para identificar con claridad los valores de �x y Ox para los
cuales el O-MFDM es mejor que el FDM, los cortes realizados en ambos mapas de contorno
se han situado para valores iguales y menores que los obtenidos con el FDM. De esta forma, la
curva correspondiente al valor de 0 dB delimitará la zona de interés. Además, para evitar la
dependencia que presenta el FDM al tamaño de ventana seleccionado, y con ello, la posible
ambigüedad que se pudiera derivar en la interpretación de los resultados, los errores
cometidos con el FDM se han calculado, en todos los casos analizados, con el tamaño de
ventana que mejor se ajustaba al perfil de campo que se iba a calcular.
Tomando como referencia el slab de índice gradual definido en la Fig. 5.6, los resultados
que se obtuvieron en los casos lineal y no-lineal fueron, respectivamente, los siguientes.
Caso Lineal
Trabajando a una frecuencia en la que existen tres modos propagándose (V=6), se han
representado en las Figs. 5.7 (a), 5.7 (b), 5.7 (c) y 5.7 (d) los mapas de contorno del MSE
(5.10)
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
119
correspondientes al modo fundamental para diferente número de armónicos (N: 10, 20, 30 y
40). Un análisis de las mismas permite hacer las siguientes consideraciones:
i) Para cualquier número de armónicos, existen ciertos valores de �x y Ox para los cuales el
error cometido con el O-MFDM es del orden de 10 dB mejor al logrado con el FDM.
ii) El punto final alcanzado por el algoritmo de optimización se encuentra siempre dentro de la
zona de mejora, con valores que oscilan entre los 7 y 10 dB. Otra característica del
algoritmo de optimización que merece ser destacada es el escaso número de pasos con que
es capaz de converger hacia el par de parámetros quasi-óptimos. Aunque como es lógico,
estos dependerán de lo bueno o malo que sea el punto de arranque, lo cierto es que, en
todos los casos analizados, los valores oscilaban siempre entre cuatro y ocho pasos.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
MSE(FDM)= -57 dB -5 dB/corte
Mejora 8.8 dB
0 dB
Fig 5.7 (c): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=30.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
MSE(FDM) = -49.42 dB -5 dB/corte
Mejora: 7.1 dB
0 dB
Fig 5.7 (b): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=20.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
MSE(FDM)= -62.53 dB -5 dB/corte
Mejora: 9.6 dB
0 dB
Fig 5.7 (d): Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=40.
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
MSE (FDM) = -36.14 dB -5 dB/corte
0 dB
Mejora : 7 dB
Fig 5.7 (a) : Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
120
iii) Cuando se aumenta el número de términos, los mapas de contorno pierden definición, lo
cual es lógico pues el error del FDM es cada vez menor. Sin embargo, se observa que tanto
la zona de mejora del O-MFDM como el punto final al que llega el algoritmo de
optimización permanecen prácticamente invariantes. Esta propiedad resulta de gran
importancia por doble motivo, primero porque permite confirmar la hipótesis utilizada en
la definición del algoritmo, esto es, que los parámetros óptimos son aquellos que
minimizan la varianza de la derivada segunda del campo en el dominio transformado; y
segundo, porque desde un punto de vista práctico, los parámetros quasi-óptimos de la
transformación pueden ser inicialmente determinados con un número bajo de coeficientes,
ahorrando con ello esfuerzo computacional, para luego, ejecutar el O-MFDM con dichos
parámetros quasi-óptimos y con el número de coeficientes necesario en función de la
precisión que se desee lograr.
En cuanto a los modos superiores, el comportamiento observado fue similar al que se
acaba de comentar para el modo fundamental. A modo de ejemplo se representan en la Fig.
5.8 y 5.9 los mapas de contorno del MSE y el camino seguido por el algoritmo de
optimización para los dos primeros modos superiores respectivamente. Nótese que en este
caso, la referencia (0 dB), o error cuadrático medio del FDM, es mayor, a igual número de
términos, que la correspondiente al modo fundamental. Esto parece razonable, pues al estar
trabajando a la misma frecuencia, el campo ahora se encuentra menos confinado, con lo que,
al tener que aumentar la ventana de cómputo, el error cometido empeora. Si a esto se le une la
menor sensibilidad del O-MFDM a los parámetros de la transformación, cuestión que ya fue
verificada en el capítulo anterior, el resultado observado es que la zona de mejora se ve
notablemente incrementada. Similares comentarios cabría hacer para el modo fundamental si
éste fuera analizado con una frecuencia menor que la empleada en las Figs. 5.7, tal y como se
pone de manifiesto en la Fig. 5.10, en donde se muestra el resultado obtenido a frecuencia
mitad.
La superioridad del O-MFDM frente al FDM queda claramente confirmada cuando se
analizan sus respectivas velocidades de convergencia. En la Fig. 5.11 se representa, para el
modo fundamental y a tres frecuencias de trabajo diferentes, el MSE en función del número de
armónicos con que se haya aproximado el campo en serie de Fourier. Con el fin de conocer no
sólo la mejora que, respecto al FDM, ha supuesto la utilización del algoritmo de optimización,
sino además, hasta que punto los parámetros hacia los que éste convergió se pueden
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
121
considerar como quasi-óptimos, se ha pintado también en dicha figura el mínimo MSE que se
hubiera podido lograr con el O-MFDM si los parámetros de la transformación hubieran sido
elegidos exactamente iguales a los óptimos. En ella se puede confirmar una característica de
los métodos espectrales con transformación de variables ya observada en el capítulo anterior,
la menor dependencia que presenta la precisión obtenida con la frecuencia de trabajo.
Asimismo, se puede concluir que el comportamiento seguido por la técnica de optimización
propuesta se sitúa siempre dentro de la zona de mejora, y que la distancia que lo separa del
punto óptimo es sustancialmente menor que la mejora final conseguida.
0.5 1 1.5 2 2.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
MSE(FDM) = -23dB -5 dB/corte
0 dB
Mejora 9.7 dB
Fig 5.8: Caso lineal, primer modo superior (TE1). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.
1 1.5 2 2.5-0.5
0
0.5
1
Ox
MSE(FDM)= -12 dB -5 dB/corte
�x
0 dB
5 dB
Mejora: 12 dB
Fig 5.9: Caso lineal, segundo modo superior (TE2). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.
0.5 1 1.5 2 2.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
OX
�X
MSE(FDM) = -32.16 dB -5 dB/corte
Mejora : 14.7 dB
0 dB
Fig. 5.10: Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=3; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.
10 20 30 40-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
MSE (dB)
N
V=1.5 ‘__ _ ’ ; V = 3 ‘_ _’; V = 6 ‘_____’
O-MFDM(mínimo)
FDM
O-MFDM+algoritmo
Fig. 5.11 Convergencia del O-MFDM versus FDM para el modo fundamental y a tres frecuencias diferentes de trabajo.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
122
La buena sintonía, que como se ha podido comprobar, existe entre los mapas de contorno
del MSE y el camino seguido por el algoritmo de optimización, no fue, sin embargo, tan
evidente, cuando lo que se utilizaba como referencia eran los mapas de contorno del error
absoluto de la constante de propagación definido en la ec. (5.10). Aunque la zona de mejora
de ambos mapas se sitúa prácticamente en los mismos valores de �x y Ox, la mayor falta de
homogeneidad que presenta la constante de propagación en el interior de dicha zona a medida
que aumenta el número de términos, hace más difícil determinar si el error cometido en el
punto final se aleja mucho o poco del mínimo error alcanzable. Por ejemplo, en las Figs. 5.12
(a) y 5.12 (b) se muestran los mapas de contorno del error absoluto de la constante de
propagación del modo fundamental para los mismos datos datos de simulación utilizados en
las Figs. 5.7 (a) y 5.7 (b), las que, como se recordará, se diferenciaban únicamente en el
número de términos con se habían obtenido. Obsérvese el alto grado de correlación existente
entre las zonas de mejora que allí se obtuvieron y las que ahora resultan. Asimismo, es de
destacar que, a pesar de que la medida de error empleada ofrece una mayor sensibilidad a los
parámetros de la transformación, la mejora conseguida sigue siendo del orden de unos 10 dB.
Caso No-lineal
Si ya en el caso lineal el O-MFDM ha demostrado ser claramente superior, es en los
problemas no-lineales donde se consiguen las mayores mejoras, no sólo respecto al FDM sino
también con relación a su predecesor, el MFDM. En cuanto al FDM, una forma simple de
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
Errb(FDM)= -23.21 dB -5 dB/corte
Mejora : 9 dB
0 dB
Fig. 5.12 (a): Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación definido en ec. (5.10). Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=10.
0.5 1 1.5 2 2.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Ox
�x
Errb (FDM)= -30.57 dB -5 dB/corte
Mejora : 10 dB
Fig. 5.12 (b): Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación definido en ec. (5.10). Caso lineal, modo fundamental (TE0). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI=0, Datos numéricos: N=20.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
123
entender la causa de dicho incremento pudiera ser la siguiente: al ser ahora el problema
dependiente de la propia distribución que se pretende calcular, una mala estimación de la
misma conllevaría a su vez una mala definición del índice de refracción, y por consiguiente,
un problema diferente del original. En cuanto al MFDM, el desplazamiento que sufre el perfil
de campo hacia el medio no-lineal provoca una asimetría del problema que no puede ser
contemplada correctamente únicamente con el factor de escalado, como ya se puso de
manifiesto al comienzo del capítulo.
En la Fig. 5.13 se representa el mapa de contorno del MSE correspondiente al modo
fundamental en una situación fuertemente no-lineal. Además, para comprobar la robustez del
algoritmo de optimización, se ha superpuesto en dicha figura el camino descrito por éste
cuando es inicializado desde muy diversos puntos, alcanzándose, en todos los casos
simulados, la zona de mínimo error. Obsérvese, asimismo, que la mejora final conseguida es
sustancialmente superior a la del caso lineal (26 dB), y que si se hubiera empleado el MFDM
(Ox �0.5), no hubiera sido posible, en ningún caso, mejorar el resultado del FDM. Si se analiza
el error obtenido en la constante de propagación (Fig. 5.14), el reducido número de términos
empleados en la simulación, permite obtener una mapa de contorno bastante bien definido, el
cual confirma, el buen comportamiento del método en problemas no-lineales. Por último, en
la Fig.5.15 se han representado, además del analítico, los perfiles de campo obtenidos con el
FDM y con el O-MFDM en los puntos inicial y final del algoritmo de optimización. El perfil
del índice de refracción lineal ha sido también pintado sobre dicha figura para destacar la
fuerte no-linealidad de la situación analizada. Nótese que, a pesar de la muy mala
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Ox
�x
Errb = -7.468 dB -5 dB/corte
0 dB
Mejora : 17 dB
Fig. 5.14: Caso no-lineal, modo fundamental (TE0). Mapas de contorno del error absoluto de la constante de propagación (Errb). Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.
0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
OX
�X
MSE(FDM) = -26.1 dB -5 dB/corte
Mejora: 26 dB
0 dB
Fig. 5.13: Caso no-lineal, modo fundamental (TE0). Mapas de contorno del MSE y trayectorias seguidas por el algoritmo de optimización para diferentes valores iniciales. Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
124
aproximación inicial utilizada, la
solución alcanzada es prácticamente
indistinguible de la exacta, confirmando
una vez más la validez y robustez del
método en situaciones adversas.
5.4.2.- Resultados del O-HGDM y de su Algoritmo de Optimización
Siguiendo un proceso bastante paralelo al que se acaba de presentar para el O-MFDM, el
O-HGDM y su algoritmo de optimización fueron sometidos a un conjunto de pruebas que
permitieran verificar su validez. Para ello, el slab de salto de índice con no-linealidad en el
substrato de tipo Kerr (véase la Fig. 3.10 del cap. 3) fue analizado en unas condiciones y
situaciones muy diversas, alcanzándose en todos los casos probados, un comportamiento igual
o superior que el obtenido con el HGDM. Como herramienta de apoyo, se hará uso del mismo
tipo de gráficas, esto es, de un mapa de contorno que representa el error cometido en función
de los parámetros de la transformación utilizados en la resolución del problema, sobre el que
se superpone el trayecto descrito por el algoritmo de optimización. Para identificar con
claridad la mejora conseguida, los cortes sobre dicho mapa se normalizan tomando como
referencia (0 dB) el valor obtenido con el HGDM (�x= V1/2 y Ox=0). Sin más dilación, se
describen a continuación una síntesis de los resultados más significativos.
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
X
�( )X O-MFDM(�x0 = 0.4, Ox0=-0.6 )
Solución exacta O-MFDM (�x opt = 0.2, Ox opt=-0.1 )
FDM
n X2( )
Fig 5.15: Distribución de campo eléctrico del modo fundamental (TE0) obtenida con el FDM y con el O-MFDM para dos parejas de valores diferentes de los parámetros de la transformación, las correspondientes a los puntos inicial y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados: V=6; a=0; bI= 0.96. Datos numéricos: N=10.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
125
Caso Lineal y Simétrico
Como se recordará del capítulo anterior, la principal limitación que presentaba el HGDM
era que el escalado empleado no se adecuaba bien al perfil de campo a calcular a medida que
éste se expandía cada vez más por el substrato y/o cubierta. Para demostrar, en primer lugar, la
notable mejora que supone el permitir que el factor de escalado pueda adoptar cualquier valor,
se comparan en las Figs. 5.16 (a) y 5.16 (b) los perfiles de campo y las constantes de
propagación que resultan cuando el HGDM y el O-HGDM son utilizados, respectivamente, en
dos frecuencias de trabajo distintas. En la primera de ellas, que corresponde a una frecuencia
baja, se puede observar cómo el factor de escalado al que converge el algoritmo de
optimización consigue, con sólo cinco coeficientes (N=4), una mejora sustancial en la
solución obtenida, no sólo en la distribución espacial del modo, sino también en la constante
de propagación. En la segunda figura, que corresponde a una frecuencia más elevada y en la
que, por tanto, el campo se encuentra más confinado, se observa como la solución obtenida
con el HGDM es ya de por sí bastante buena. Sin embargo, la solución dada por el O-HGDM
continúa dando resultados superiores aunque, en este caso, las diferencias entre ambas
técnicas son menores.
Una forma de delimitar el margen de frecuencias en las que el O-HGDM es superior al
HGDM, consiste en hacer uso de la propiedad que satisface la constante de propagación y
representar el cociente entre ésta y su valor exacto, el cual será siempre inferior a la unidad.
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
�(X)
Sol. Analítica ‘______’
O-HGDM (�x=0.43) ‘__ _ __’
HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’
bexacto= 0.3313
bO-HGDM= 0.3203
bHGDM= 0.2832
Fig. 5.16 (a): Caso lineal y simétrico, modo fundamental. Datos físicos normalizados: V=0.75; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
X
Sol. Analítica ‘______’
O-HGDM (�x=1.16) ‘__ _ __’
HGDM (�x=1.41) ‘_ _ _ _’
bexacto= 0.7348
bO-HGDM= 0.7311
bHGDM= 0.7305
�( )X
Fig. 5.16 (b): Caso lineal y simétrico, modo fundamental. Datos físicos normalizados: V=2; a=0; bI=0. Datos numéricos: N=4.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
126
Tal representación ha sido realizada en la Fig.
5.17. En ella se puede comprobar que es
necesario subir hasta una frecuencia
normalizada de aproximadamente 2 ó 2.5
para que los resultados obtenidos por ambos
métodos sean prácticamente coincidentes.
Caso Lineal y Asimétrico
Una vez cuantificada la mejora conseguida por el nuevo método en lo que al factor de
escalado se refiere, el siguiente paso consiste en evaluar la importancia del otro grado de
libertad que fue introducido en su definición, el centrado u offset. Para ello, se ha considerado
una situación muy asimétrica que, tal y como se recordará, al ser las velocidades de
decaimiento en el substrato y cubierta bien diferentes, tampoco era posible analizarla
correctamente con el HGDM. En la Fig. 5.18 se ha representado el mapa de contorno del MSE
junto con el camino seguido por el algoritmo de optimización. En ella se puede observar, por
una parte, que el error cometido depende tanto del factor de escalado como del centrado,
aunque si bien es cierto que presenta una menor sensibilidad en el caso de éste último; y por
0.5 1 1.5 2 2.5 30.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
V
bobtenido/bexacto
O-HGDM ‘_____’ HGDM ‘__ _ __’
Fig. 5.17: Evolución del error cometido en la constante de propagación en función de la frecuencia de trabajo. Datos físicos normalizados: a=0 bI=0. Datos numéricos: N=4.
-25 -20 -15 -10 -5 0 50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Sol. Analítica ‘______’
O-HGDM (�x= 0.425; Ox= -3.1) ‘__ _ __’
HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’
bexacto= 0.0393
bO-HGDM= 0.0289
bHGDM= 0.0054
�( )X
X Fig. 5.19: Perfiles de campo obtenidos en los puntos inicial (HGDM) y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados V=0.75; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=15.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0 0
-5
-5
-10
-15
-15
-20
-20
-25
MSE (HGDM) = - 15.61 dB -5dB/corte
�x
Ox
-5
Fig. 5.18: Caso lineal y asimétrico, modo fundamental. Mapa de contorno del MSE y trayectoria del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados V=0.75; a=10; bI=0. Datos numéricos: N=15.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
127
otra, que el punto final alcanzado, además de encontrarse muy cerca de la zona en la que se
logra un mejor comportamiento, consigue una mejora del MSE cercana a los 20 dB. En la Fig.
5.19 se comparan los perfiles de campo obtenidos. En ella se percibe que, aunque la mejora es
realmente apreciable, el método, como consecuencia de la propia naturaleza de las funciones
bases (las cuales decaen como e x� 2), sigue teniendo serias dificultades cuando el campo se
atenúa muy lentamente hacia el substrato.
Caso No-Lineal
Una situación que, aún estando el campo relativamente confinado, tampoco podía ser
analizada con precisión con el HGDM se producía en los problemas fuertemente no-lineales.
Para ilustrar cómo se comporta en este caso el O-HGDM, se representan en las Figs. 5.20 y
5.21 los mapas de contorno del MSE y del Errb en función de los parámetros de la
transformación empleados. Obsérvese, que la máxima mejora que se podría alcanzar en
ambos casos ronda los 20 dB, y que, en el punto de convergencia, la mejora conseguida tanto
en el campo como en la constante de propagación se encuentra comprendida entre los 15 y 20
dB. Los resultados concretos de dicho punto son detallados a su vez en la Fig. 5.22,
pudiéndose comprobar, una vez más, el buen comportamiento del método.
Otro resultado interesante de analizar consiste en representar cómo varían los parámetros
a los que converge el algoritmo de optimización a medida que se aumenta el número de
coeficientes, pues su invariabilidad sería una prueba más sobre la veracidad de la hipótesis en
la que se basa el criterio de optimización. Además, como ya se indicó en el caso del O-MFDM,
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1-1.5
-1
-0.5
0 5
0
-5
-5
-10
-10
-10 -15 -15
-15
-20
-20
-20
-20
-20
MSE (HGDM) = -21.55dB -5dB/corte
�x
Ox
Fig. 5.20 : Caso no-lineal, modo fundamental. Mapa de contorno del MSE y trayectoria seguida por el algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1-1.5
-1
-0.5
0
0
-10
-10
-20
-20
20
20
-20
-20
-20
-20 -20
Errb (HGDM)= -7.44 dB -10dB/corte
Ox
�x Fig. 5.21 : Caso no-lineal, modo fundamental. Mapa de contorno del error absoluto de la constante de propagación y trayectoria seguida por el algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
128
si ello ocurriese, los parámetros quasi-óptimos de la transformación pueden ser inicialmente
determinados con un número bajo de coeficientes, requiriendo por lo tanto un menor tiempo, y
luego, en función de la precisión que se desee lograr, ejecutar el O-HGDM con el número de
coeficientes que sea necesario. Para ello, se muestran en la figura 5.23 cómo se sitúan sobre el
plano �x-Ox los parámetros quasi-óptimos alcanzados por el algoritmo para diferente número
de coeficientes y para diferentes frecuencias de trabajo. Nuevamente, el resultado obtenido se
corresponde con el que cabría esperar si el criterio utilizado fuera realmente cierto.
Finalmente, la superioridad del O-HGDM en problemas no-lineales queda claramente
confirmada cuando su velocidad de convergencia es comparada con la del HGDM. En las
Figs. 5.24 y 5.25 se representa cómo evoluciona el MSE a medida que el número de
coeficientes espectrales es incrementado para dos frecuencias de trabajo diferentes. Varios son
los comentarios que se pueden realizar a raíz de las mismas, a saber:
i) La velocidad de convergencia del O-HGDM es poco dependiente de la frecuencia de
trabajo, mientras que la del HGDM presenta, sin embargo, un comportamiento bastante
sensible a ésta, convergiendo tanto más rápido cuanto mayor sea la frecuencia.
ii) En baja frecuencia, el O-HGDM consigue, con sólo dos coeficientes (N=1), un MSE de -30
dB. Por su parte, el HGDM necesita nada menos que 11 coeficientes para lograr la misma
precisión.
iii) Cuando se comparan las precisiones conseguidas por ambos métodos a igual número de
coeficientes, las malas prestaciones del HGDM en frecuencias bajas son más que
evidentes, pues partiendo de una peoría inicial que ronda los 15-20 dB, tan sólo se consigue
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2-2
-1.8
-1.6
-1.4
-1.2
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
�x
Ox
V=2 ; bI =0.8
V=0.75 ; bI =0.8
V=1 ; bI =0.8
Fig. 5.23: Invarianza de los parámetros quasi-óptimos de la transformación. Datos numéricos: N:2,3,...,10.
-10 -5 0 5 100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
X
Sol. Analítica ‘______’
HGDM (�x=0.866) ‘_ _ _ _’
O-HGDM ‘__ _ __’
(�x= 0.55; Ox= -1.35)
�( )X
nucleo
bexacto= 0.8899
bO-HGDM= 0.8860
bHGDM= 0.7128
Fig. 5.22 : Caso no-lineal, modo fundamental. Perfiles de campo obtenidos en los puntos inicial (HGDM) y final del algoritmo de optimización. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; a=0 ; bI=0.8. Datos numéricos : N=7.
Algoritmo de Optimización para la Aplicación Eficiente de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables
129
reducir a 10-15dB si el número de coeficientes es incrementado notablemente.
Modos Superiores
La estrategia de optimización propuesta para el O-HGDM fue también probada con los
modos superiores. Al igual que ocurrió con el O-MFDM, los resultados obtenidos fueron
excelentes en todos los casos analizados. A modo de ejemplo, en la Fig. 5.26 se comparan los
perfiles de campo y constantes de propagación del primer modo superior en una situación en
la que, además, existe no-linealidad en el
substrato de tipo Kerr. Los comentarios que
cabría hacer en torno a la misma son
similares a los ya realizados para el modo
fundamental. Únicamente, es de destacar,
que el mal funcionamiento que el HGDM
ofrece a la frecuencia reseñada en la figura,
se debe a que, al tratarse de un modo
superior, será necesario subir más en
frecuencia para lograr un comportamiento
aceptable.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
N
O-HGDM '____'HGDM '__ _ __'
MSE (dB)
Fig. 5.25: Convergencia del O-HGDM y del HGDM. Datos físicos normalizados : V=2 ; bI=0.8 ; a=0.
-10
N
-20
-30
-40
-50
1 3 5 7 9 11 13 15 17
MSE (dB)
O-HGDM '____' HGDM '__ _ __'
Fig. 5.24: Convergencia del O-HGDM y del HGDM. Datos físicos normalizados : V=0.75 ; bI =0.8 ; a=0.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
X
�( )X
Sol. Analítica ‘______’
O-HGDM ‘__ _ __’
(�x= 1.2; Ox= -0.25)
HGDM ‘_ _ _ _’
(�x=1.58)
bexacto= 0.4041
bO-HGDM= 0.3967
bHGDM= 0.3778
núcleosubstrato
Fig. 5.26: Caso no-lineal, primer modo superior (TE1). Datos físicos normalizados: V=2.5; a=0; bI=0.4. Datos numéricos: N=5.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
130
5.5.- Conclusiones
Como colofón de este importante capítulo, se resumen a continuación las principales
aportaciones realizadas a lo largo del mismo:
Se han definido dos nuevos métodos espectrales con transformación de variables, el O-
MFDM y el O-HGDM. Ambos no son más que simples extensiones del MFDM y del
HGDM, a los que se le ha introducido un nuevo grado de libertad, el centrado u offset,
con que hacer frente a situaciones asimétricas, como las que tienen lugar en problemas
fuertemente no-lineales.
La introducción de un nuevo grado de libertad complica, aún más, la determinación de los
parámetros de la transformación para los que el método espectral consigue un mejor
comportamiento. Por ello, se ha desarrollado una estrategia autoconsistente para la
determinación, a ciegas, de los parámetros óptimos de la transformación. Ésta se basa en
la minimización de la función varianza, la cual no es más que una forma de medir el
ancho de banda de los coeficientes espectrales. En el caso del O-MFDM, los mejores
resultados se obtuvieron cuando el espectro a minimizar era el de la derivada segunda del
campo en el dominio transformado; mientras que, para el O-HGDM, ocurrió lo propio
cuando se consideraron, directamente, los coeficientes espectrales del campo en el
dominio transformado.
La principal ventaja que presenta la estrategia de optimización que ha sido propuesta, en
comparación con otras que con anterioridad han sido empleadas, es que, en cada
iteración, sólo es necesario resolver una vez el problema de autovalores y autovectores, lo
cual reduce considerablemente el tiempo total de cómputo.
La aplicación de la técnica de optimización a los métodos espectrales con transformación
de variables O-MFDM y O-HGDM ha sido probada en muy diversas y variadas
situaciones, obteniéndose, en todos los casos, resultados muy satisfactorios.
Capítulo 6:
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con
Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
6.1.- Introducción
Aunque las guiaondas planares o slabs representan el punto de partida por excelencia para
la comprensión de los diversos fenómenos que tienen lugar en la propagación óptica a través
de estructuras dieléctricas, y por supuesto, constituyen una buena referencia sobre la que
chequear y evaluar el mejor o peor comportamiento de una determinada herramienta
numérica, que duda cabe que, el trabajo que en el ámbito del análisis modal se ha realizado y
descrito en los capítulos anteriores, quedaría incompleto si únicamente fuera aplicable a
guiaondas 2D. Por ello, el principal objetivo del sexto y último capítulo de esta primera parte
de la Tesis, no es otro que el de extender tanto el O-MFDM como el O-HGDM, así como sus
correspondientes algoritmos de optimización, a guiaondas dieléctricas 3D. De hecho, es en
este tipo de estructuras donde los métodos numéricos adquieren especial importancia;
primero, porque en la mayoría de los circuitos ópticos integrados el confinamiento de la luz se
produce en las dos direcciones del espacio, y segundo, porque, salvo contadas excepciones, las
guiaondas de canal habitualmente utilizadas en óptica integrada no son resolubles
analíticamente. En la Fig. 6.1 se muestran las configuraciones más representativas.
Existen en la bibliografía muy diversos y variados métodos para abordar el problema del
análisis modal en guiaondas 3D. Éstos pueden ser divididos en dos grandes grupos: i) los
métodos aproximados y ii) los métodos numéricos. Los primeros, en un intento por simplificar
el problema, transforman la estructura a analizar en una combinación de slabs, cuya
resolución puede ser por lo tanto realizada de forma analítica. Su principal ventaja radica en la
facilidad de implementación y ejecución, mientras que la falta de precisión constituye su
punto más débil. Entre ellos cabe destacar, por su popularidad, el método del índice efectivo.
Por su parte, los segundos, sometiendo la ecuación de ondas 3D a cualquiera de los métodos
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
132
numéricos de discretización más extendidos, a saber, elementos finitos, diferencias finitas,
desarrollo en serie de funciones ortogonales, o el método de la ecuación integral, permiten,
con un mayor esfuerzo de implementación y ejecución que los anteriores, calcular la
distribución del campo y la constante de propagación que la estructura soporta con la
precisión que se desee. Un resumen detallado de los pros y contras que cada uno de ellos
presenta puede ser hallado en �Chiang94�.
Por último, y antes de pasar a desarrollar los diferentes puntos de los que se compone el
capítulo, comentar que una de las razones de peso que invitaba a implementar la versión 3D
del O-MFDM y O-HGDM fue que la práctica totalidad de los métodos numéricos existentes
en la bibliografía afín disponen, cuando menos, de una versión 3D-escalar de los mismos, y,
en ocasiones, también de una versión 3D-vectorial (véanse por ejemplo �MarcuseFeb92�
�WeisshaarAgo95�).
6.2.- Los Métodos Espectrales en Guiaondas Ópticas 3D
6.2.1.- El Método de Galerkin
Desde un punto de vista conceptual, los pasos a seguir para resolver la ecuación de ondas
que gobierna la propagación de los modos en guiaondas 3D mediante el método de Galerkin
es exactamente igual al empleado en el caso 2D. Únicamente, y como consecuencia de la
ns
nf
(a) Buried
ns
nf
nc
(b) Strip
ns
nfnc
(d) Rib
ns
nf
nc
(c) Embedded strip
Fig. 6.1: Geometría y nomenclatura de varios tipos de guiaondas de canal.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
133
doble dependencia transversal que ahora presentan las diferentes funciones que en ella
intervienen, es necesario superar el obstáculo matemático que supone su manipulación.
En primer lugar, es necesario definir un espacio funcional sobre el que aproximar la
distribución transversal del campo a calcular
� � �( , ) ( , ) ( , )X Y X Y F X YN k kk
N
� � ���
0
en donde las funciones base �Fk(X,Y)�N satisfacen las condiciones de completitud y
ortogonalidad sobre el dominio �o, a saber
� � � � � � �F X Y F X Y F X Y F X Y x Y dx dyk l k l k kl
o
( , ), ( , ) ( , ) ( , ) ( , )* � ��
y donde los coeficientes que definen la aproximación son calculados a partir de la siguiente
expresión
� �kk
kX Y F X Y� � � �1
( , ), ( , )
Habitualmente, las funciones base empleadas son separables, esto es, se pueden escribir como
F X Y B X B Y m N n Nk m n x y( , ) ( ) ( ) ( , ) ; ( , )� � � �0 0
con lo que el índice 'k' puede ser calculado a partir de los índices 'm' y 'n' como
k n N mx� � � �( )1
y el desarrollo en serie descrito en (6.1) puede ser también escrito de la siguiente manera
� �( , ) ( ) ( )X Y B X B Ym
N
mn m nn
Nx y
� � �� �� �
0 0
Es decir, que el conjunto de coeficientes espectrales admite dos representaciones diferentes
que convienen ser aclaradas, bien como un vector columna � �� k , la cual se conoce como
formulación de índice único, o bien como una matriz � ��mn , en donde el subíndice ‘m’ indica
la fila y el subíndice ‘n’ hace lo propio con la columna. La primera resulta necesaria para
plantear el sistema como un problema de autovalores y autovectores. Por su parte, la notación
matricial resulta interesante para que, una vez calculados los coeficientes, obtener la
distribución espacial del campo en el dominio de los puntos, o, simplemente, para pasar de un
dominio a otro en cualquier fase del proceso, como ocurre en los problemas no-lineales. Para
pasar de la notación vectorial a la matricial, o viceversa, sólo es necesario definir la forma en
que son colocados/leídos los respectivos coeficientes, por filas o por columnas.
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
134
Seguidamente, si dicho desarrollo es introducido en la ecuación de ondas a resolver, la
cual, y sólo con vistas a simplificar la formulación matemática que se va a presentar, es
considerada en su versión lineal, a saber
1 12
2
2 2
2
22
V
X Y
X V
X Y
Yn X Y X Y b X Y
x y
� �
�
� �
�� �
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )� � � � �
se obtiene la siguiente ecuación
1 1
1 1
2
2
20
2
2
20
2
0 0V
F X Y
X V
F X Y
Yn X Y F X Y b F X Y
con N N N
xk
k
k
N
yk
k
k
N
k kk
N
k kk
N
X Y
��
��
�
�� �
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )
( ) ( )
� � � �� � � �
�
���
�
����
�
���
�
���� ��
���
�
��� �
�
���
�
���
� � �
la cual, multiplicada por cada una de las funciones base que conforman el espacio funcional y
forzando la condición de ortogonalidad definida en (6.3) permite escribir finalmente el
siguiente sistema matricial de ecuaciones
� � � � � � � � � � � � � �1 12 2V
DDV
DD P bx
X ky
Y k k k� � � � � � �� � � �
en donde las matrices � �DDX , � �DDY y � �P representan, respectivamente, las operadores
matriciales derivada segunda respecto a 'X', derivada segunda respecto a 'Y' y multiplicación
por una función. Las expresiones exactas de dichos operadores vienen dadas por
DD F X YF X Y
XdX dYXik i
k
o
� * ( , )( , )�
�
2
2�
DD F X YF X Y
YdX dYYik i
k
o
� * ( , )( , )�
�
2
2�
P n X Y F X Y F X Y dX dY
con i N y k N
ik i k
o
� � �
� �
2
0 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ..., ) ( , ..., )
*
�
las cuales se encuentran ya en disposición de ser particularizadas a los espacios funcionales de
Fourier y Hermite-Gauss.
(6.7)
(6.8)
(6.9)
(6.10)
(6.11)
(6.12)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
135
6.2.2.- El Espacio Funcional de Fourier
Las exponenciales complejas de Fourier adoptan, en este caso, el siguiente aspecto
F X Y B X B Y e e KXo
KYok m n
jmK X jnK YXo Yo
Xo Yo( , ) ( ) ( ) ;� � � � � �2 2� �
donde KXo y Xo son la pulsación y periodo fundamental en la dirección X, y KYo e Yo la
pulsación y periodo fundamental en dirección Y.
En cuanto a la condición de ortogonalidad, ésta es definida como
e e dX dYXoYo si m r y n s
restoj mK X nK Y j rK X sK Y
XoYo
Xo Yo Xo Yo( ) ( )� � �� �� �
��
0
con lo que la distribución transversal del campo eléctrico puede ser escrita como
� �( , )/
/
/
/
X Y e emnjmK X jnK Y
n N
N
m N
NXo Yo
Y
Y
X
X
� � �������
2
2
2
2
6.2.2.1.- Operadores Matriciales
Antes de obtener las expresiones que los diferentes operadores matriciales adoptan en el
espacio funcional de Fourier, es conveniente plantear las ecuaciones que permiten pasar del
índice único 'k' a los índices 'm' y 'n', y viceversa, pues, aunque el sistema matricial de
ecuaciones es planteado en función del primero, la manipulación y simplificación matemática
es más sencilla si se trabaja con los segundos. En las Fig. 6.2 se representa de el criterio que se
ha empleado.
(6.13)
(6.14)
(6.15)
-Nx/2 Nx/2-Ny/2
0
Ny/2
0
m
n
k = (n + Ny/2)·(Nx + 1) + (m + Nx/2)
m = �k mod (Nx + 1)� - Nx/2
n = �k div (Nx + 1)� - Ny/2
k (final)
k (inicial)
Fig. 6.2: Relaciones matemáticas para calcular los valores de los índices 'm' y 'n' a partir del índice único 'k' y viceversa. Las operaciones 'div' y 'mod' dan como resultado la parte entera y resto de la división entre dos números.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
136
Operadores derivada segunda respecto a X y derivada segunda respecto a Y :
Descomponiendo las funciones base Fi(X,Y) y Fk(X,Y) en sus correspondientes
exponenciales complejas en las direcciones X e Y, y definiendo subíndices diferentes para
cada una de ellas, tal que
F X Y B X B Y e ei r sjrK X jsK YXo Yo( , ) ( ) ( )� � � �
F X Y B X B Y e ek m njmK X jnK YXo Yo( , ) ( ) ( )� � � �
los operadores matriciales � �DDX y � �DDY , al igual que ocurría en el caso 2D, son de fácil
deducción y dan lugar también a matrices diagonales. Sustituyendo las expresiones (6.16) y
(6.17) en las ecuaciones (6.10) y (6.11), se obtiene
DD e jmK e dX dY jmK XoYoXikj rK X sK Y
XoX Y
j mK X nK YXo ik
Xo Yo
o o
Xo Yo� � � � �
� � �
( ) ( )( ) ( )2 2
�
DD e jnK e dX dY jnK XoYoYikj rK X sK Y
YoX Y
j mK X nK YYo ik
Xo Yo
o o
Xo Yo� � � � �
� � �
( ) ( )( ) ( )2 2�
las cuales, teniendo en cuenta que los subíndices ‘m’ y ‘ n’ se relacionan con el índice único
‘k’ a partir de las expresiones matemáticas que se establecieron en la Fig. 6.2, pueden ser
finalmente escritas del modo siguiente
� � � �DD K diag diag diag
N vecesX Xo X X
Y
� � �
� � �
2
1
.... ...
� � � �DD K diag diag diag diag
N veces
Y Yo N N
Y
Y Y� � �
� � �
�2
2 0 2
1
/ /.... ...
� �diag diag N N N NX X X X X� � � � � � �( / ) ( / ) ... ( ) ... ( / ) ( / )2 2 1 1 0 1 2 1 22 2 2 2 2 2
� �diag diag N N
N veces
N Y Y
X
y� � � �
� � �
/ ( / ) ... ( / )22 22 2
1
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
(6.23)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
137
Operador producto:
Si sobre la ecuación (6.12) que define el operador producto, las funciones base Fi y Fk
son sustituidas por la descomposición hecha en (6.16) y (6.17), y además, el índice de
refracción es desarrollado en serie de Fourier, la expresión de partida queda transformada en
la siguiente
P n X Y e e dX dY
n X Y e e dX dY
n e e e e dX dY
n e e dX dY n
ikj rK X sK Y j mK X nK Y
XoYo
j m r K X j n s K Y
XoYo
pqjpK X jqK Y
qp
j m r K X j n s K Y
XoYo
pqj m r p K X j n s q K Y
XoYoqr m s
Xo Yo Xo Yo
Xo Yo
Xo Yo Xo Yo
Xo Yo
� � � �
� � � �
� � ��
���
�
��� � � �
� � ��
���
�
��� �
� � �
� �
� �
� � � ��
��
�
2
2
( , )
( , )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ), �� �n
p
XoYo
en donde, al igual que antes, los valores concretos que adoptan los subíndices (r,s) y (m,n) son
determinados a partir de las ecuaciones que los relacionan respectivamente con los índices
únicos ‘i’ y ‘ k’. Obsérvese que la ecuación (6.24), como cabía esperar, no es más que la
convolución bidimensional entre los coeficientes espectrales del índice de refracción y los
coeficientes espectrales del campo eléctrico.
6.2.2.2.- Consideraciones de Tipo Numérico
Una de las ventajas que fueron resaltadas del espacio funcional de Fourier en el caso 2D
fue la posibilidad de realizar la transformada directa e inversa de una manera rápida y
eficiente gracias la utilización de la FFT. En el caso 3D, dicho algoritmo, el cual, como se
recordará se define sobre un vector de muestras, se puede seguir utilizando sin más que definir
la FFT de una matriz. Para ello, supóngase que se desean calcular los coeficientes del
desarrollo en serie de Fourier del perfil del índice de refracción. Haciendo uso de la propiedad
de ortogonalidad y realizando una integración aproximada por prismas de sección rectangular,
se llega a la siguiente expresión
(6.24)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
138
nXoYo
n X Y e e dX dY
N x N yn r x s y e e x y
N Nn r x s y e e
mnjmK X jnK Y
XoYo
X Y
jmN x
r x jnN y
s y
s
N
r
N
X Y
jmN
r jnN
s
s
N
r
N
Xo Yo
X YYX
X YYX
� � � �
��
� � � �
� � �
� �
� �
�
�
�
�
� � � �
�
�
�
�
��
��
1
1
1
2
22 2
0
1
0
1
22 2
0
1
0
1
( , )
( ) ( )( , )
( , )
� �� � � �
� �
��
��
� �
� �
la cual no es más que aplicar la DFT-bimensional a la matriz resultante de muestrear el índice
de refracción en los puntos de integración.
Ahora bien, si dicho doble sumatorio es escrito de la forma
nN N
n r s e emnX Y
jsYo
n
s
N
r
N jrXo
mYX
� ��
�
��
�
�
�� �
�
�
�
�
� ���
1 22
0
1
0
1 2
( , )
� �
se observa que el cálculo de la DFT de una matriz puede ser descompuesto en dos operaciones
cuyo orden de aplicación es intercambiable. Primero se halla la DFT por columnas, y al
resultado obtenido se le aplica la DFT por filas. Evidentemente, si el número de puntos de
muestreo empleado en cada una de las direcciones transversales es una potencia de 2, la
utilización de la FFT permite reducir el tiempo de cálculo en factor de NXNY/log2(NXNY).
Nótese, la importancia que en el caso 3D tiene el poder disminuir el número total de
operaciones pues, si en el caso 2D la matriz del sistema crecía con N2 ahora lo hace como
(NXNY)2.
6.2.3.- El Espacio Funcional de Hermite-Gauss
La aplicación del método de descomposición de Hermite-Gauss (HGDM) a estructuras
dieléctricas en las que el índice de refracción varía transversalmente en las dos direcciones del
espacio, pasa por aproximar el campo eléctrico en el espacio funcional definido por el
conjunto de funciones base siguiente
F X Y B X B Ye H V X
m
e H V Y
n
con m N y n N
k m n
V X
m x
m
V Y
n y
n
x y
xy
( , ) ( ) ( )( )
!
( )
!( , ..., ) ( , ..., )
/ /� � �
�
��
�
�� �
��
�
��
��
�
���
22
2
1 2
2
1 22 20 0
� �
(6.25)
(6.26)
(6.27)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
139
en donde se puede comprobar que en las direcciones X e Y el escalado empleado es el mismo
que el del caso 2D, es decir, la raíz cuadrada de la frecuencia normalizada (Vx1/2 y Vy
1/2).
6.2.3.1.- Operadores Matriciales
Dado que los índices ‘m’ y ‘ n’ sobre los que corren las funciones base varían entre
márgenes diferentes a los que lo hacían las exponenciales complejas de Fourier, es necesario
definir cuáles son las relaciones matemáticas que indican cómo pasar de éstos al índice único
‘k’ y viceversa. Tales relaciones son las siguientes:
k n N mx� � � �( )1
para pasar de los índices ‘m’ y ‘ n’ al índice único ‘k’ y
m k N
n k div Nx
x
� �
� �
mod ( )
( )
1
1
para realizar la operación inversa.
Operadores derivada segunda respecto a X y derivada segunda respecto a Y:
Haciendo uso de las mismas relaciones matemáticas que fueron empleadas para deducir el
operador derivada segunda cuando la función a aproximar dependía de una única variable
(ecs. (3.62) y (3.63)) es posible obtener los diferentes elementos que conforman tanto la
matriz que realiza la operación derivada segunda respecto a X como la que realiza la
operación derivada segunda respecto a Y. Comenzando por la primera de ellas, el resultado
obtenido, junto con el desarrollo previo necesario para su consecución, es el siguiente
� �
DD F X YF X Y
XdX dY B X B Y
B X B Y
XdX dY
B X B Y X B X m B X B Y dX dY
X B B B B dX dY m B B
X ik
r sm n
r s m m n
r s m n r s
ik� � � � �
��
� � � � � � � � �
� � � � � � � �
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
* ( , )( , )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
�
�
�
�2 2
2
2
2 1
2 1 � � �
� � ��
�
�
��� ��
�
�
��� � � �
� � � � � � � � � � � � � � � �
� �
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
� �
B B dX dY
X B B dX B B dY m
m m m m m m
m m
m n
r m s n ik
r m sn rm sn r m sn ik
2
2 2
2 1
1
21 2
1
22 1
1
21 2 1
1
21
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )(
, ,
�
� � � � � � �
� � � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� �
� �
21
22 1
1
21 2 1
1
21 2
1
22 1
1
21
2 2
2 2
) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
, ,
, ,
� � � �
� � �
i k ik i k ik
i k ik i k
m m m m
m m m m m
(6.28)
(6.29)
(6.30)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
140
donde el valor del subíndice ‘m’ se determina a partir de la ecuación (6.29) que lo relaciona
con el índice único ‘k’.
Por su parte, el operador derivada segunda respecto a Y es deducido de una manera
completamente equivalente al anterior, por lo que, simplificando los pasos menos
significativos, se concluye que éste viene dado por
DD F X YF X Y
YdX dY B X B Y
B X B Y
YdX dY
n n n n n n
n n
Y ik
r sm n
r m s n rm sn r m s n ik
ik� � � � �
�
�
� � � � � � � � � � � � � � � �
� � �
��
�
��
�
��
�
��
�
� �
*
, , , ,
( , )( , )
( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )(
�
�
�
�
� � � � � � �
2 2
2 21
21 2
1
22 1
1
21 2 1
1
21 2
1
22 1
1
21 2 1
1
21 2
1
22 1
1
21
2 1 2 1
2 1 2 1
) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
, ( ) , ( )
, ( ) , ( )
� � � � � � � � � �
� � � � � � � � � �
� � � � � �
� � � � � �
� � � �
� � �
i k N ik i k N ik
i k N ik i k N
x x
x x
n n n n
n n n n n
en donde, de forma similar a como ocurría en la expresión (6.30) con el subíndice ‘m’, el
subíndice ‘n’ se calcula a partir de la ecuación que lo relaciona con el índice único ‘k’.
Analizando las expresiones obtenidas (6.30) y (6.31) se puede comprobar que ambas dan
lugar a matrices tridiagonales. En la primera, las diagonales superior e inferior se encuentran
separadas de la diagonal principal en dos términos, mientras que en la segunda, la distancia de
separación es igual a dos veces el número total de funciones base que se hayan seleccionado
en dirección X. Esta propiedad no debe resultar extraña pues fue ya constatada en el caso
unidimensional.
Operador producto:
Uno de los inconvenientes con que se enfrentaba el HGDM, en comparación con el FDM,
era que el producto entre dos funciones base no generaba otra función perteneciente al mismo
espacio funcional, por lo que los diferentes elementos que formaban la matriz producto debían
ser calculados uno a uno resolviendo la integral de cruce correspondiente, la cual, y salvo
excepciones, sólo podía ser resuelta de forma numérica. Evidentemente, en el caso de
estructuras 3D, dicha pega será aún más grave dado el mayor tamaño que ahora tiene la matriz
del sistema. La expresión del elemento situado en la fila 'i' y columna 'k' viene dada por
(6.31)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
141
P n X Y F X Y F X Y dX dY
n X Y B X B Y B X B Y dX dY
con m N n N
r N s N
ik i k
r s m n
x y
x y
� � � �
� � � � �
� �
� �
�
�
�
�
2
2
0 0
0 0
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ,..., ); ( ,..., )
( ,..., ); ( ,..., )
*
en donde, nuevamente, los índice únicos 'i ' y 'k' son calculados, respectivamente, a partir de la
combinación de los índices (r,s) y (m,n) en las direcciones transversales.
Por último, resaltar una vez más el otro aspecto desfavorable del espacio funcional de
Hermite-Gauss y que lo pone en clara desventaja con el de Fourier, y que no es otro que la
ausencia de un algoritmo para poder pasar, de manera rápida, del dominio de los puntos al de
los coeficientes o viceversa, indistintamente.
6.3.- Los Métodos Espectrales con Transformación de Variables en
Guiaondas Ópticas 3D
El análisis modal de estructuras dieléctricas 3D mediante métodos espectrales con
transformación de variables conlleva la aplicación de los mismos pasos que los que se
comentaron en una situación 2D. Esto es, i) la definición de un cambio de variable mediante
el cual, la ecuación de ondas original es transformada en otra definida sobre unos nuevos ejes
y ii) la discretización de esta última mediante cualquiera de los métodos clásicos de
resolución. Por ello, las únicas diferencias que se van a generar en la versión 3D de los
mismos se encuentran en el conjunto de ecuaciones que los constituyen, las cuales, como es
lógico, deberán contemplar el incremento que se ha producido en la dimensión del problema.
Ecuación de ondas 3D en el dominio transformado
El punto de partida es la ecuación de ondas a resolver, la cual, nuevamente por
simplicidad, es considerada en su versión lineal
1 12
2
2 2
2
22
V
X Y
X V
X Y
Yn X Y X Y b X Y
x y
� �
�
� �
�� �
( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )� � � � �
(6.32)
(6.33)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
142
Se definen a continuación dos cambios de variables independientes que actúan sobre cada
una de las coordenadas transversales
U f X� ( )
V g Y� ( )
y cuya aplicación sobre la ecuación de ondas original (6.33) conduce a la siguiente ecuación
de ondas definida ahora sobre los ejes transformados (U,V)
1 12 1
2
2 2 2 1
2
2 2
2
Vf U
U V
Uf U
U V
U Vg V
U V
Vg V
U V
V
n U V U V b U V
x y( )
( , )( )
( , )( )
( , )( )
( , )
( , ) ( , ) ( , )
� � ��
���
�
��� � � � �
�
���
�
��� �
� � � �
� �
�
��
�
� �
�
��
�
� �
Los dos términos comprendidos entre paréntesis surgen como consecuencia de aplicar la
regla de la cadena sobre cada una las derivadas segundas del campo respecto de las dos
coordenadas transversales, X e Y respectivamente, por lo que las funciones f1(U), f2(U), g1(V) y
g2(V) que en ella figuran vendrán definidas como
f UU
X1
2
( ) ����
���
�
� f U
U
X2
2
2( ) ��
�
g VV
Y1
2( ) � �
��
���
�
� g V
V
Y2
2
2( ) �
�
�
El O-MFDM y el O-HGDM
El O-MFDM se caracteriza por utilizar las siguientes transformaciones de variables
U tanX Ox
x�
��
��
�
���2 1
� V tan
Y Oy
y�
��
���
�
���
�2 1�
las cuales convierten el plano infinito original en una superficie cuadrada de área finita y de
dimensiones �-1,1� x �-1,1�.
Por su parte, el O-HGDM emplea las transformaciones siguientes
� �U X Ox x� � � � �V Y Oy y� � �
En ambos casos, tanto los factores de escalado (x,y) como los centrados (Ox,Oy)
mantienen, sobre sus correspondientes ejes, los mismos significados que tenían cuando sólo
(6.34)
(6.35)
(6.36)
(6.37)
(6.38)
(6.39)
(6.40)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
143
existía una dimensión transversal, por lo que, cabría realizar idénticos comentarios a los que
allí se hicieron acerca del efecto que cada uno de ellos produce sobre el perfil del campo en el
dominio transformado.
Finalmente, la resolución de la ecuación de ondas que, en cada caso, se obtiene en el
dominio transformado es acometida, respectivamente, en los espacios funcionales de Fourier y
Hermite-Gauss, siendo, por consiguiente, aplicables los operadores matriciales que se
dedujeron en el apartado 6.2. Destacar, únicamente, que en el caso del O-HGDM habrá que
eliminar el escalado que allí se realizó (Vx1/2 sobre Bm(X) y Vy
1/2 sobre Bn(Y)), pues éste ya ha
sido contemplado implícitamente en la definición de las transformaciones.
6.4.- Estrategia de Optimización
Si ya en guiaondas planares se pudo comprobar la importancia que tenía el disponer de
herramientas numéricas capaces de determinar, a ciegas, cuáles eran los parámetros de las
transformaciones que hacían comportarse a los métodos espectrales con transformación de
variables de manera quasi-óptima, que duda cabe que, en guiaondas 3D, en donde la precisión
obtenida dependerá de la correcta elección de cuatro parámetros (x,Ox,y,Oy), el
conocimiento y aplicación de tales herramientas se convierte en un aspecto imprescindible.
La única dificultad que supuso la extensión de la estrategia de optimización que se diseñó
en el capítulo anterior al caso 3D, fue el encontrar cuál sería la función que debiera ser
minimizada, pues el resto de pasos que constituyen el algoritmo de optimización son
completamente similares a los explicados en el apartado 5.3.2., por lo que no se volverán a
comentar.
Las funciones que mejor resultado dieron son bastante similares a las empleadas en el
caso 2D. En concreto, para el O-HGDM se siguió utilizando la varianza del espectro
normalizado, la cual, al tratarse de un espectro bidimensional, es definida como
� �� �
� �Var O O
m n O O
O O
x x y ym
mn x x y yn
mmn x x y y
m
�
�
, , ,
, , ,
, , ,
�
� �� �
� �
2 2 2
2
(6.41)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
144
Por su parte, para el O-MFDM se observó que el algoritmo convergía a las mejores zonas
cuando se minimizaba el espectro de la derivada cuarta del campo en el dominio
transformado, dos veces con respecto a U y dos veces con respecto a V. Es decir, que si
�(X ,Y) es la distribución del campo en el dominio original y �(U,V,x,Ox,y,Oy) su imagen en
el dominio transformado, los coeficientes espectrales cuya varianza debe ser minimizada son
los de la función �2�
2�/�U2
�V2. Éstos pueden ser fácilmente calculados una vez que se
conozcan los coeficientes �mn que determinan la distribución espacial del campo en el dominio
transformado. Para ello, escribiendo primero el desarrollo en serie de Fourier bidimensional
de la función �(U,V,x,Ox,y,Oy)
� �
� �
( , , , , , ) ( , , , )U V O O O O e ex x y ym
mn x x y y
jmU
U jnV
V
m
o o� � �� ��
�
��
�
�
��
2 2
y derivando dos veces con respecto a ‘U’ y dos veces con respecto a ‘V’, se obtiene el
desarrollo en serie de Fourier de la función buscada
� � � ��
�
� � � �
�� � �
� �
� �
2
2
2
22 2 2 2
2 2
V
U O O
Um n O O e e
x x y y
mUo Vo mn x x y y
jmU
U jnU
V
n
o o( , , , , )
( , , , )
�
��
�
�� � � � � � �� �
�
��
�
��
�
��
�
��
y con ello, la distribución de coeficientes espectrales cuya varianza se pretende minimizar.
De este modo, y una vez simplificada, la expresión que fue finalmente utilizada en el
proceso de optimización del O-MFDM viene dada por
� �� �
� �Var O O
m n O O
m n O O
x x y ym
mn x x y yn
mmn x x y y
m
�
�
, , ,
, , ,
, , ,
�
� �
� �
� �
� �
6 6 2
4 4 2
(6.42)
(6.43)
(6.44)
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
145
6.5.- Resultados en Guiaondas 3D Lineales
6.5.1.- Descripción de las Guiaondas Analizadas
Uno de los handicaps que hubo que superar para evaluar el comportamiento de los
métodos espectrales con transformación de variables y de sus respectivas estrategias de
optimización, era la selección de las guiaondas sobre las que se realizarían las pertinentes
pruebas. Evidentemente, y a fin de poder cuantificar las resultados que se obtuvieran, éstas
debieran poseer solución analítica. Como ya se comentó en la introducción del capítulo, tal
propiedad no es satisfecha por la práctica totalidad de las guiaondas 3D usadas en óptica
integrada. Sin embargo, una situación interesante, aún a sabiendas de que su realizabilidad
pudiera carecer de sentido, tiene lugar cuando sobre la ecuación de ondas se puede aplicar el
método de separación de variables. Éste puede ser enunciado de la forma siguiente:
Si el perfil del índice de refracción n X Y2 ( , ) es obtenido a partir de la suma de dos slabs
en cada una de las direcciones transversales del problema, a saber
n X Y n X n Yx y2 2 2
( , ) ( ) ( )� �
se puede demostrar que la distribución espacial del campo eléctrico y la constante de
propagación que dicha estructura soporta a las frecuencias Vx y Vy son separables, pudiéndose
escribir que
� � �( , ) ( ) ( )X Y X Yx y� �
b b bx y� �
donde �x(X), �y(Y), bx y by representan las correspondientes distribuciones de campo y
constantes de propagación que cada uno de los mencionados slabs trabajando a las frecuencias
respectivas de Vx y Vy soportan. Éstos pueden ser más fácilmente calculados resolviendo las
ecuaciones modales que gobiernan la propagación por cada uno de los slabs, y que vienen
dadas por
12
2
22
V
d X
dXn X X b X
x
xx x x x� � � � �
�� �
( )( ) ( ) ( )
12
2
22
V
d Y
dYn Y Y b Y
y
yy y y y� � � � �
�� �
( )( ) ( ) ( )
Es decir, que la guiaonda 3D bajo estudio dispondrá de solución exacta siempre y cuando los
perfiles de los slabs que a su vez la definen, n Xx2 ( ) y n Yy
2( ) , sean resolubles analíticamente.
6.45
6.46
6.47
6.48
6.49
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
146
Obsérvese que, como consecuencia del proceso de cálculo, la constante de propagación
resultante se encontrará comprendida entre los siguientes valores: 0<b<2. Tal consideración
no debe conducir a error pues si se recuerda la definición de la constante de propagación
normalizada hecha en el capítulo segundo, ésta dependía del valor máximo que el índice de
refracción tuviera en la guiaonda, por lo que, al obtenerse en función de bx y de by, cada uno
de los sumandos se encontrará normalizado a los valores máximos de nx X2( ) y de ny Y2
( ) , y
no al valor con que realmente se debería haber hecho.
Con el fin de llevar a cabo la prueba de los algoritmos de optimización correspondientes
de la manera más controlada posible, se decidió emplear dos guiaondas diferentes que se
denominarán de aquí en adelante guiaonda lineal simétrica y guiaonda lineal asimétrica. La
primera es el resultado de sumar dos slabs de salto de índice, mientras que en la segunda se
hace lo propio con perfiles de tipo exponencial. El aspecto que presentan los índices de
refracción resultantes es mostrado en las Figs. 6.3 y 6.4. La razón de emplear tales
combinaciones se debe a que, además de haber sido individualmente analizadas en capítulos
precedentes y disponer de sus soluciones exactas �ChelkowskiSep87��MihalacheDic91� , en el
primer caso el problema queda reducido a una optimización de dos variables (�x y �y), ya que
la simetría que la estructura presenta permite descartar, de entrada, la necesidad de los
descentramientos (Ox y Oy). Por su parte, la guiaonda lineal asimétrica obliga, por su propia
naturaleza, a emplear todos los grados de libertad posibles, lo que permite probar, en una
segunda fase, los criterios de optimización planteados en la situación más desfavorable.
−5
−1 0 1
5
−5
−10
1
50
0.5
1
1.5
2
XY Fig. 6.4: Indice de refracción de la guiaonda lineal asimétrica
−5
−1 0 1
5
−5
−10
1
50
0.5
1
1.5
2
XY Fig. 6.3: Indice de refracción de la guiaonda lineal simétrica
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
147
Por último, y antes de pasar a mostrar los resultados que se obtuvieron respectivamente
con el O-MFDM y O-HGDM, decir que se ha hecho uso del mismo tipo de representación
gráfica para determinar cuánto de bueno resultaba ser el criterio de optimización, esto es, en
primer lugar se calcula un mapa de contorno que represente el error cometido para diferentes
valores de los parámetros de la transformación, destacándose, sobre el mismo, los márgenes
de funcionamiento en los cuales el método espectral con transformación de variables ofrece
un comportamiento superior al método espectral sin transformación y, en segundo lugar, se
superpone a dicho mapa el camino seguido por el algoritmo de optimización, para poder así
cuantificar si el punto final alcanzado se sitúa en la zona de máxima mejora. Como medida
del error cometido se utilizaron los mismos parámetros que en el capítulo anterior, el error
cuadrático medio para la distribución espacial de campo eléctrico y el error absoluto para la
constante de propagación. Únicamente será necesario modificar ligeramente la expresión del
primero de ellos, dada la doble variabilidad del campo en el plano transversal. Así, la
expresión a evaluar deberá ser la siguiente
� �MSE dBXoYo
X Y X Y dX dYa
YoXo
( ) log ( , ) ( , )� � ��
�
��� 10
110
2� �
donde �a(X,Y) representa la solución analítica y �(X,Y) la distribución de campo obtenida con
el método espectral que pretenda ser evaluado. Las dimensiones de la ventana de integración
(Xo,Yo) fueron seleccionadas siguiendo los mismos criterios que en el caso 2D.
6.5.2.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-MFDM
En las Figs. 6.5, 6.6, 6.7 y 6.8 se muestran algunos de los resultados más significativos
obtenidos en la guiaonda lineal simétrica. Las dos primeras pertenecen al modo fundamental
operando a dos frecuencias de trabajo diferentes, baja y alta respectivamente; mientras que las
dos segundas se corresponden con dos modos superiores, el TE10 y el TE11 respectivamente.
En todas ellas, se puede apreciar claramente que el algoritmo de optimización consigue
converger a las zonas en las que el O-MFDM es netamente superior al FDM, consiguiéndose,
en todos los casos, mejoras en el MSE de 15-20 dB. Por lo demás, los comentarios que cabría
realizar sobre las mismas son similares a los que en su momento se hicieron en el caso 2D.
Por ejemplo, el hecho de aumentar la frecuencia de funcionamiento hace que el FDM pueda
trabajar con ventanas de computación más pequeñas, y por tanto, disminuir el error que éste
comete. Además, al confinarse el campo, los valores quasi-óptimos de las transformaciones se
6.50
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
148
hacen más pequeños, disminuyendo, notablemente, el tamaño de la zona de mejora. Sin
embargo, la mejora obtenida se mantiene en valores más que razonables. Nótese, asimismo,
que el mapa de contorno del modo TE10 rompe la simetría observada en los anteriores como
consecuencia de que la distribución de campo calculada no es simétrica.
1 2 3 4 5 6
0 dB
MSE(FDM)= -17.94 dB
�x
1
2
3
4
5
6
�y
-5 dB
-10 dB
-15 dB
Fig.6.8: Guiaonda lineal simétrica, modo superior (TE11). Datos físicos normalizados: Vx=2.5; Vy=2.5. Datos numéricos: Nx=8 ;Ny=8.
1.
2
MSE(FDM): -14.199 dB
�x6 10 14 18 22
2
6
10
14
18
22
�y
0 dB
-5 dB
-10 dB
-15 dB
Fig.6.5: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=0.5 ; Vy=0.5. Datos numéricos: Nx=4 ;Ny=4.
0.4 0.8
0 dB
- 5 dB
-15 dB
MSE(FDM)= -17.268 dB
�x
1.2 1.6 2 2.4 2.8 3.2 3.6 4
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
3.2
3.6
4
-10 dB�y
Fig.6.6: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=1.5 ; Vy=1.5. Datos numéricos: Nx=4 ;Ny=4.
1 2
0 dB -5 dB
-10 dB
-15 dB
MSE(FDM) = -16.43 dB
�x3 4 5 6
1
2
�y
3
4
5
6
Fig.6.7: Guiaonda lineal simétrica, modo superior (TE10). Datos físicos normalizados : Vx=2.5; Vy=2. Datos numéricos: Nx=6 ;Ny=6.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
149
Otra característica que también había sido constatada en el caso 2D fue la invarianza de los
parámetros óptimos de las transformaciones al número de términos con que eran truncados los
desarrollos en serie. Tal propiedad, además de confirmar la hipótesis empleada en el criterio
de optimización, permite plantear como
estrategia de actuación para disminuir el tiempo
de cómputo, ejecutar primero el algoritmo de
optimización con un número de términos
reducido, para luego, en función de la precisión
que se desee lograr, ejecutar el O-MFDM con el
número de términos que sea necesario. En la
Fig. 6.9 se muestran, para el modo fundamental
y a las frecuencias normalizadas indicadas en el
pie de la misma, cómo varían, con el número de
coeficientes empleados, los factores de escalado
a los que el algoritmo convergió. En ella se
puede confirmar que dicha invarianza es
también satisfecha con el criterio que se ha
propuesto para guiaondas 3D.
En cuanto a la guiaonda lineal asimétrica, los resultados obtenidos fueron también, en
todos los casos probados, muy satisfactorios. La dependencia del MSE con las cuatro
variables que ahora entran en juego (�x,�y,Ox,Oy) imposibilita el utilizar, como herramienta de
verificación, el tipo de representación empleada hasta ahora. Sin embargo, si en el punto
alcanzado por el algoritmo se fijan dos de las variables y se realizan variaciones sobre las
otras dos, sería posible determinar si dicho punto resulta ser el óptimo. Por ejemplo, a las
frecuencias de Vx=2 y Vy=2 el algoritmo de optimización fue ejecutado tomando como punto
de partida el dado por los siguientes parámetros: �xo=4,�yo=4,Oxo=0 y Oyo=0. Los diversos
puntos por los que se fue moviendo se muestran en la siguiente tabla:
�x �y Ox Oy
Punto 0 (inicial) 4 4 0 0
Punto 1 2 2 -0.30 -0.3
Punto 2 1.6 1.6 -0.66 -0.66
Punto 3 (final) 1.2 1.2 -0.3 -0.3
4 6 8 10 12 14 16 180
2
4
6
8
10
12
Nx , Ny
�x
�y
Fig. 6.9: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00): Evolución de �x y de �y en función del número de términos. Datos físicos normalizados: Vx=0.5 ; Vy=0.5.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
150
Seguidamente, se calcularon los errores cometidos con el O-MFDM cuando los factores de
escalado eran fijados a los valores finales del proceso de optimización (�xopt=1.2,�yopt=1.2) y
los centrados eran variados en el entorno de dichos valores (Oxopt=-0.3,Oyopt=-0.3), e
igualmente, cuando se fijaban éstos últimos y se variaban los primeros. Los resultados
obtenidos son los mapas de contorno representados en las Figs. 6.10 y 6.11. En ellas se ha
destacado también la posición del punto al que se convergió y la mejora que respecto del
FDM se obtuvo. Un análisis de las mismas permite afirmar que el algoritmo de optimización
se ha dirigido hacia las zonas de mínimo error, lo que confirma, una vez más, la superioridad
y buen comportamiento que el O-MFDM presenta cuando es usado conjuntamente con la
estrategia de optimización.
6.5.3.- Verificación de la Estrategia de Optimización del O-HGDM
Al igual que ocurrió con el O-MFDM, el algoritmo de optimización propuesto para el O-
HGDM dotó al mismo de la herramienta de trabajo deseable para cualquier método numérico
que se preste de ser utilizado, esto es, aquella que garantiza su autoconsistencia. En todos los
casos analizados, se observó un alto grado de correlación entre los parámetros numéricos a los
que el algoritmo convergió y las zonas en las que el O-HGDM se comportaba mejor.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1.5
0 dB
MSE(FDM)= -26.2 dB
Ox
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Oy
-5 dB
-10 dB
-15 dB
punto final -18 dB
Fig.6.10: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=2. Datos numéricos: Nx=8; Ny=8; �x=1.2; �y=1.2.
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4- 5 dB
MSE(FDM) = -26.2 dB
�x0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
�y -20 dB
-15 dB
-10 dB
punto final-18 dB
Fig.6.11: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=2. Datos numéricos: Nx=8; Ny=8; Ox=-0.3; Oy=-0.3.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
151
Asimismo, se pudo confirmar el hecho ya demostrado en el caso 2D que el factor de escalado
utilizado por el HGDM (�x=Vx1/2) resulta ser poco eficiente en frecuencias de trabajo cercanas
al corte. Para mostrar el buen funcionamiento ofrecido por el algoritmo de optimización se
exponen a continuación algunos de los resultados obtenidos en la guiaonda lineal simétrica y
asimétrica respectivamente, dejando, para el siguiente apartado, un análisis comparativo más
detallado sobre las precisiones logradas por el HGDM y O-HGDM.
Comenzando por la guiaonda lineal simétrica, se representan en las Figs. 6.12 y 6.13 los
resultados correspondientes al modo fundamental y primer modo superior, comprobándose,
claramente en ambas, la veracidad de la afirmación realizada en el párrafo anterior. En cuanto
a la guiaonda lineal asimétrica, en las Figs. 6.14 y 6.15 se comparan, respectivamente, las
distribuciones espaciales de campo eléctrico obtenidas con el HGDM y con el O-HGDM, éste
último para los factores de escalado y centrados resultantes de aplicar el proceso de
optimización. Para corroborar que los parámetros usados por el O-HGDM son mejores que los
del HGDM, el mapa de contorno de la solución exacta ha sido superpuesto al de la solución
obtenida con el O-HGDM. Contrastando las Figs. 6.14 (b) y 6.15 (b) resulta evidente la
superioridad de la nueva versión del método de descomposición de Hermite-Gauss que se he
propuesto en esta Tesis. Nótese que, al igual que ocurría en el caso 2D, el mal funcionamiento
del HGDM se produce, fundamentalmente, como consecuencia de una mayor velocidad de
decaimiento en la zona de campo evanescente.
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5MSE(HGDM)= -27.5 dB
�y
0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5�x
0 dB-5 dB
-10 dB
Fig.6.13: Caso lineal simétrica, modo superior (TE10). Datos físicos normalizados : Vx=2; Vy=1.75. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1.10 dB
MSE(HGDM)= -29 dB
�y
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1�x
-5 dB
-10 dB
Fig.6.12: Guiaonda lineal simétrica, modo fundamental (TE00). Datos físicos normalizados : Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=4; Ny=4.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
152
6.5.4.- Comparación entre los Diferentes Métodos Espectrales Estudiados
Una vez visto el buen comportamiento que han mostrado tener las estrategias de
optimización propuestas para los métodos espectrales con transformación de variables, la
prueba más concluyente que permite validar, definitivamente, la superioridad de las nuevas
herramientas numéricas, consiste en cuantificar cómo disminuye el error cometido en el
(a)
−10
−5
0
5
10
−10
−5
0
5
100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
X bobt=0.26661 bexac=0.27840
Modo fundamental (O−HGDM). Nx=6, Ny=6, Vx=1.00, Vy=1.00
Y
(b)
-10 -8X
Y
108-4-6 4 60 2-2-10
-8
10
8
-4
-6
4
6
0
2
-2
�x= 0.4; Ox= -0.8;�y= 0.4; Oy= -0.8;
Fig 6.15: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00): (a) distribución espacial de campo obtenida con el O-HGDM y (b) superposición de los mapas de contorno exacto y aproximado. Datos físicos normalizados: Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.
(a)
−10
−5
0
5
10
−10
−5
0
5
100
0.2
0.4
0.6
0.8
1
bobtenido
=0.1821
Modo fundamental (HGDM). Nx=6, Ny=6, Vx=1.00, Vy=1.00
(b)
-10X
Y
-8 -6 -4 10864-2 0 2
-10
-8
-6
-4
10
8
6
4
-2
0
2
�x= 1; Ox= 0;�y= 1; Oy= 0;
Fig 6.14: Guiaonda lineal asimétrica, modo fundamental (TE00): (a) distribución espacial de campo obtenida con el HGDM y (b) mapa de contorno. Datos físicos normalizados: Vx=1; Vy=1. Datos numéricos: Nx=6; Ny=6.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
153
campo eléctrico y en la constante de propagación a medida que se aumenta el número de
coeficientes empleados en la discretización. Dicha información deberá ir acompañada, como
es lógico, por los tiempos de cálculo requeridos, con el fin de evitar posibles interpretaciones
o conclusiones erróneas. Como quiera que ambos espacios funcionales han demostrado tener
una precisión sensible a la frecuencia de trabajo, dicho aspecto deberá también ser tenido en
cuenta en el análisis. Además, en lo que va de Tesis, aún no se han comparado entre sí los
espacios funcionales de Fourier y Hermite-Gauss, por lo que se aprovechará el presente
apartado para contrastar las precisiones logradas por cada uno de ellos. La guiaonda que se ha
utilizado para realizar el estudio ha sido la guiaonda lineal asimétrica, porque, como ya se ha
comentado, representa, en lo que al número de grados de libertad se refiere, la situación más
compleja con que se tengan que enfrentar los métodos espectrales con transformación de
variables.
En las Figs. 6.16(a) y 6.16(b) se representan, respectivamente, el error cuadrático medio
cometido en la distribución espacial de campo eléctrico y el error relativo de la constante de
propagación normalizada (20 logb b ba a�
), en función del número de coeficientes
empleados en cada uno de las direcciones transversales del espacio y para los cuatro métodos
espectrales que han sido objeto de estudio a lo largo de la Tesis, FDM, O-MFDM, HGDM y
O-HGDM. Ambas figuras han sido obtenidas cuando las frecuencias normalizadas de trabajo
son bajas (Vx=2; Vy=2). Por su parte, en las Figs. 6.17(a) y 6.17(b) se contempla el mismo tipo
de resultados pero para una frecuencia de operación mayor (Vx=4; Vy=4). Un análisis de todas
ellas permite extraer la siguientes conclusiones:
De todos los métodos espectrales, el FDM es el que presenta, con diferencia, el peor
comportamiento.
A medida que se aumenta la frecuencia de trabajo las diferencias entre los métodos
espectrales con transformación de variables y los métodos espectrales sin transformación
disminuyen. Tal acortamiento se aprecia en menor medida en el espacio funcional de
Fourier, pues incluso a frecuencias elevadas el O-MFDM es claramente superior al FDM;
mientras que, en el espacio funcional de Hermite-Gauss, el incremento de frecuencia
provoca, como ya se sabe, que los resultados obtenidos con el O-HGDM y HGDM sean
prácticamente coincidentes o con diferencias menores de 5 dB.
En cuanto a la comparación de los dos espacios funcionales entre si, se observa que el
resultado conseguido por el O-MFDM iguala (o incluso supera, véase la Fig 6.16(b)) el
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
154
obtenido con el O-HGDM. Este hecho resulta de gran importancia pues permite situar al
espacio funcional de Fourier, en lo que a precisión se refiere, en las mismas condiciones
que el de Hermite-Gauss, cosa que no ocurría (como se puede observar también en las
figuras) cuando ambos espacios son empleados de la forma clásica, esto es, sin
transformación de variables y sin optimización.
Error relativo (b) (dB) Vx=2, Vy=2
-60
-50
-40
-30
-20
dB
Nx, Ny
‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ O-HGDM ‘�__ __ �’ HGDM
4 6 8 10 12 14 1816 20
Fig. 6.16 (b): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error relativo de la constante de propagación para una frecuencia baja. Datos físicos normalizados: Vx=2; Vy=2.
‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ O-HGDM ‘�__ __ �’ HGDM
MSE (dB) Vx=2, Vy=2
4 6 8 10-60
-50
-40
-30
-20
dB
12 14 1816 20Nx, Ny
Fig. 6.16 (a): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error cuadrático medio del campo para una frecuencia baja. Datos físicos normalizados: Vx=2; Vy=2.
‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ O-HGDM ‘�__ __ �’ HGDM
-60
-50
-40
-30
-20
dB
Nx, Ny
Error relativo (b) (dB) Vx=4, Vy=4
4 6 8 10 12 14 1816 20
Fig. 6.17 (b): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error relativo de la constante de propagación para una frecuencia alta. Datos físicos normalizados: Vx=4; Vy=4.
‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ O-HGDM ‘�__ __ �’ HGDM
MSE (dB) Vx=4, Vy=4
-60
-50
-40
-30
-20
dB
Nx, Ny
4 6 8 10 12 14 1816 20
Fig. 6.17 (a): Guiaonda lineal asimétrica. Convergencia del error cuadrático medio del campo para una frecuencia alta. Datos físicos normalizados: Vx=4; Vy=4.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
155
Por último, en la Fig 6.18 se recogen los
tiempos de cómputo requeridos por cada uno
de los métodos espectrales en función del
número de coeficientes espectrales empleados
en los desarrollos en serie. En ella se puede
observar cómo los métodos basados en las
funciones base de Hermite-Gauss presentan, a
medida que aumenta el número de términos,
una velocidad de crecimiento mayor. Esto es
lógico si recuerdan las consideraciones de tipo
numérico que hicieron en los apartados
correspondientes sobre el espacio funcional en
cuestión. En cambio, la posibilidad de utilizar
la FFT para la obtención de las integrales de
cruce y de las transformadas directa e inversa por parte de los métodos espectrales basados en
desarrollos en serie de Fourier, disminuye, notablemente, sus respectivos tiempos de cómputo.
Nótese, sin embargo, que el O-MFDM requiere un tiempo de cálculo superior al del FDM.
Dicho incremento, el cual no se observa por ejemplo entre el O-HGDM y HGDM, se debe al
mayor número de operadores matriciales que es necesario evaluar en el dominio transformado,
consecuencia de haber aplicado una transformación de variables no-lineal. Si se recuerdan las
consideraciones que en su momento se hicieron en el capítulo cuarto acerca del coste que iba a
suponer implementar los métodos espectrales con transformación de variables, se dijo que éste
no tenía por qué ser muy significativo. Los resultados mostrados en la Fig. 6.18 permiten
confirmar tales hipótesis y decantan definitivamente la balanza en favor de los métodos
espectrales con transformación de variables. Además, tal y como se apunta en el pie de la
propia figura, el hecho de que en el tiempo de cálculo asignado al O-MFDM y O-HGDM sólo
se haya tenido en cuenta lo que se consume por iteración, se debe a que, como ya se ha
demostrado, la estrategia de optimización es capaz de converger hacia los parámetros quasi-
óptimos de las transformaciones trabajando incluso con un número de términos reducido, por
lo que los tiempos que se apuntan en la Fig. 6.18 son una medida bastante realista.
Por último, contrastando dicha Fig. 6.18 con las mostradas en la página anterior (Figs.
6.16 y 6.17) se puede concluir que para lograr errores inferiores a -50 dB (Nx=Ny � 12) se
pueden usar indistintamente el O-MFDM o el O-HGDM, pues a igual número de términos
2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
10
20
30
40
50
60
70
Nx, Ny
seg.
Tiempos de cálculo
‘�______�’ O-MFDM ‘�______�’ FDM ‘�__ __ �’ HGDM y O-HGDM
Fig. 6.18: Tiempos de computación utilizados por cada uno de los métodos espectrales en la guiaonda lineal asimétrica. Los programas fueron ejecutados sobre un PC pentium II 266 MHz y 64 MB RAM. En los métodos espectrales con transformación de variables (O-MFDM y O-HGDM) sólo se ha considerado el tiempo por iteración.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
156
ambos cometen errores similares y no existen diferencias apreciables entre sus tiempos de
cómputo, mientras que, para lograr precisiones superiores, el O-MFDM se erige como el
método mas idóneo, no porque se cometa un error menor, el cual sigue siendo similar al del
O-HGDM, sino por su menor tiempo de ejecución.
6.6.- Resultados en Guiaondas 3D No-Lineales
Entre los principales objetivos fijados al comenzar la elaboración de la presente Tesis,
que duda cabe que, el más importante de todos ellos era el diseño de una herramienta capaz de
realizar el análisis modal de guiaondas ópticas cuyo índice de refracción no sólo variara en las
dos direcciones transversales del espacio, sino que además, presentase un comportamiento no-
lineal con la intensidad de campo eléctrico en ciertas zonas de su geometría. De hecho, su
consecución iba a depender, exclusivamente, de la eficiencia que dicha herramienta tuviera en
problemas más sencillos, esto es, el 2D escalar lineal, el 2D escalar no-lineal y, por último, el
3D escalar lineal. El buen comportamiento que, como se ha podido comprobar, se obtuvo en
todos ellos, invitaba a analizar estructuras dieléctricas como las anteriormente comentadas, es
decir, guiaondas 3D no-lineales bajo la aproximación escalar.
Evidentemente, las guiaondas sobre las que se decidiera aplicar las herramientas
numéricas de análisis no iban a disponer de solución analítica, por lo que es necesario que
éstas hayan sido previamente analizadas mediante otras técnicas numéricas y sus resultados se
encuentren disponibles en la bibliografía. Uno de los fenómenos que tiene lugar en este tipo
de estructuras, y que levanta gran interés para el diseño de dispositivos todo óptico, es la
histéresis óptica (véase por ejemplo el diseño de puertas lógicas tipo AND, OR y XOR
realizado en �NiiyamaEne98� con una de las guiaondas que seguidamente se van a presentar).
Para mostrar dicho efecto se han seleccionado dos estructuras, la guiaonda strip no-lineal
�EttingerFeb91� y la fibra óptica no-lineal �NiiyamaEne98�. Sus respectivas geometrías, así
como los valores físicos de los parámetros con que fueron simuladas, son mostradas en la Fig.
6.19. A continuación se detallan y analizan los resultados que se obtuvieron en cada una de
ellas.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
157
Guiaonda Strip No-Lineal
Cuando se incrementa la potencia óptica del modo a calcular esta estructura presenta una
transición abrupta que delimita la zona de funcionamiento lineal de la no-lineal. Dicho
fenómeno puede ser fácilmente observado representando la curva de dispersión del dispositivo
no-lineal (Neff vs. Potencia). En �EttingerFeb91� se realiza un estudio detallado sobre la forma
de controlar los parámetros característicos de la curva. En concreto, se sugiere que la amplitud
del salto entre los dos estados y cómo de abrupto sea el mismo sean determinados,
respectivamente, a partir del máximo incremento que toma el índice de refracción en la zona
no-lineal (�nsat) y de la altura de la tira lineal (‘A’ en la Fig. 6.19). En la Fig. 6.20 se han
particularizado dichos parámetros a los valores que en ella se indican (�nsat=0.2, A=0.8�m) y
se han comparado las curvas de dispersión resultantes de aplicar el FDM y el O-MFDM con la
que se obtuvo en �EttingerFeb91� con el Método de los Elementos Finitos(MEF) usando 1000
elementos de primer orden. Varios son los comentarios que cabría realizar sobre la misma:
n x y nn n
Z
Elineal sat
lineal
o sat
2 2 22 2
1( , ) exp� � � ��
�
�
��
�
�
�
���
�
��
�
�
�
nc=1.55 No-lineal
nf=1.57
ns=1.55
n=1.0
2 �m
1 �m
A
Guiaonda strip no-lineal Fibra óptica no-lineal
Valores de los parámetros:
n2 =10-9 m2/w; Zo=120 �
A = 0.4 ó 0.8 �m �nsat*=0.1 ó 0.2
� = 0.515 �m * �nsat se relaciona con ��sat a través de (nlineal + �nsat)
2 = �lineal + ��sat
nf = 1.57
n x y n nn n
Z
E
nlineal satlineal
o sat( , ) exp� � � �
�
�
�
�
��
�
�
�
���
�
��
12
22�
nc = 1.55
Valores de los parámetros:
n2 =10-9 m2/w; Zo=120 �
D = 5 �m �nsat = 0.04 � = 1.3 �m
D
Fig. 6.19: Geometría de las guiaondas 3D no-lineales utilizadas para el chequeo de los métodos espectrales
(Tomadas de �EttingerFeb91� y �NiiyamaEne98� respectivamente).
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
158
i) El dispositivo presenta claramente dos
zonas de funcionamiento bien
diferenciadas, la lineal y la no-lineal, las
cuales se sitúan, respectivamente, a la
izquierda y derecha de la discontinuidad.
En la primera de ellas, el aumento de
potencia apenas produce variación
alguna en las características del campo
eléctrico, mientras que en la segunda, el
incremento de la potencia óptica conlleva
un aumento del valor del índice efectivo
debido al desplazamiento sufrido por el
campo hacia la zona de la guía en la que
el índice de refracción es mayor.
ii) Con sólo 64 armónicos (8x8), el O-
MFDM consigue resultados similares a los logrados con el MEF y 1000 elementos. Por su
parte, el FDM requiere el doble número de términos en cada dirección (16x16=256
coeficientes) para acercarse a dicho resultado.
iii) Al igual que ocurría en problemas 2D, la dependencia del problema analizado con la
intensidad de campo a calcular, hace que las mayores mejoras del O-MFDM se logren en la
parte no-lineal de funcionamiento.
Para mostrar el efecto que sobre el campo eléctrico tiene el pasar del régimen de
funcionamiento lineal al no-lineal, se han representado en las Figs. 6.21 y 6.22 los mapas de
contorno del modo para dos valores muy cercanos de potencia situados a la izquierda y
derecha del punto de la curva de dispersión en donde se produce la conmutación. En ellas se
puede comprobar claramente el efecto autoenfocante del medio no-lineal, esto es, al
encontrarse el índice de refracción modulado por la propia intensidad de campo, el hecho de
aumentar la potencia óptica del modo a calcular hace que la distribución espacial de campo
que resulte se haya desplazado y confinado hacia la zona no-lineal de la estructura dieléctrica.
Potencia normalizada0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
1.54
1.57
1.56
1.55
1.59
1.62
1.61
1.60
1.58
MEF (�EttingerFeb91�)
O-MFDM (Nx=Ny=8)
FDM (Nx=Ny=16)
FDM (Nx=Ny=10)
�nsat=0.2; A=0.8�m
Neff
Fig. 6.20: Guiaonda strip no-lineal: Comparación entre las curvas de dispersión obtenidas con el Método de los Elementos Finitos (MEF), el FDM y el O-MFDM. El eje de potencias ha sido normalizado al valor de 0.2 mw para poder
comparar con �EttingerFeb91�.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
159
Por último, y para demostrar la
aplicabilidad de la herramienta numérica, se
han simulado diversas situaciones
consistentes en variar el grado de no-
linealidad del medio (�nsat) y la altura de la
tira lineal (A). Los resultados obtenidos, que
en todos los casos analizados fueron
coincidentes con los expuestos en
�EttingerFeb91�, son los mostrados en la
Fig. 6.23. En ella se puede apreciar el efecto,
anteriormente comentado, que, sobre las
curvas de dispersión, tienen los parámetros
�nsat y A. El hecho de que cuanto más
grande sea este último, mayor será el valor
de potencia para el que se produce la conmutación, se comprende fácilmente si se tiene en
cuenta que, a igual frecuencia, el campo se va a encontrar más confinado, y por tanto, con
menor intensidad en la zona no-lineal, por lo que, si desea lograr el mismo efecto que con una
tira de menor tamaño, será necesario incrementar la potencia del modo.
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y(�m)
x (�m)
�nsat=0.2; A=0.8 �m Potencia norm.=0.2
Fig. 6.21: Guiaonda strip no-lineal: Mapa de contorno de la distribución espacial de campo eléctrico obtenida con el O-MFDM para un valor de potencia situado en el límite del régimen lineal.
Potencia normalizada
Neff
�nsat=0.2; A=0.8 �m
�nsat=0.2; A=0.4 �m
�nsat=0.1; A=0.8 �m
�nsat=0.1; A=0.4 �m
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.31.54
1.57
1.56
1.55
1.59
1.62
1.61
1.60
1.58
Fig. 6.23: Guiaonda strip no-lineal: Curvas de dispersión obtenidas con el O-MFDM para diferentes grados de no-linealidad (�nsat) y diferentes alturas de la tira lineal (A).
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
y(�m)
)
x(�m)
�nsat=0.2; A=0.8 �m Potencia norm.=0.22
Fig. 6.22: Guiaonda strip no-lineal: Mapa de contorno de la distribución espacial de campo eléctrico obtenida con el O-MFDM para un valor de potencia situado en el comienzo del régimen no-lineal.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
160
Fibra Óptica No-Lineal
Un ciclo de histéresis en una guiaonda
óptica no-lineal se puede interpretar como la
combinación de dos ciclos de conmutación
como los analizados en la estructura anterior
en los que el paso de la zona de
funcionamiento lineal a la no-lineal y
viceversa se produce para valores de potencia
diferentes. La fibra óptica no-lineal que fue
presentada en la Fig. 6.19 ofrece
precisamente este tipo de comportamiento.
Para poder observarlo es necesario realizar
primero un barrido de potencias en sentido
creciente y luego repetir el proceso en sentido
inverso. En la Fig. 6.24 se han representado las curvas de dispersión de potencia que se
obtuvieron con el FDM y O-MFDM. Asimismo, se ha superpuesto sobre ellas el resultado
hallado en �NiiyamaEne98� empleando el Método de los Elementos Finitos. Aunque,
evidentemente, al carecer de la solución exacta, no es posible cuantificar el error cometido por
cada uno, sin embargo, la mayor similitud observada entre el O-MFDM y lo previamente
publicado (obsérvese, por ejemplo, como los puntos en donde se produce la conmutación
prácticamente coinciden) permite afirmar, una vez más, su superioridad. En la propia figura
también se querido poner de manifiesto la principal limitación del FDM, esto es, la
dependencia entre la precisión y la ventana de cómputo utilizada.
Por último, parece interesante representar las distribuciones de campo eléctrico en las
diferentes zonas del ciclo de histéresis para ver si éstas se corresponden con lo que en él se
observa. Para ello, en las Figs. 6.25 (a), (b), (c) y (d), se han pintado los mapas de contorno
para los valores de potencia más significativos. El orden en que han sido colocadas se
corresponde con lo que se iba observando cuando la potencia era variada, primero en sentido
creciente, y luego en sentido decreciente. El punto más llamativo se produce para la potencia
de 3 mw, pues, dependiendo desde dónde se venga, existen dos soluciones diferentes. Si se
proviene de potencias más bajas, dicho punto sigue trabajando en régimen lineal, mientras que
2 4 6 8 101.56
1.57
1.58
1.59
Potencia (mw)
Neff
O-MFDM(Nx=Ny=6)
MEF
FDM(Nx=Ny=12)
Xo= 20�m y 40�m
Fig. 6.24: Curva de dispersión de potencia de la fibra óptica no-lineal.
Extensión y Aplicación de los Métodos Espectrales con Transformación de Variables a Guiaondas Ópticas 3D
161
si se parte de potencias elevadas, al alcanzar dicho valor de potencia aún no se ha producido la
conmutación al régimen lineal.
0 10 20
(A) Potencia=1 mw
(�m)
0
10
20
-10
-20-10-20
x
y
Fig. 6.25(a): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 1 mw (Régimen de funcionamiento lineal).
(B) Potencia =3 mw
0 10 20(�m)
0
10
20
-10
-20-10-20
x
y
Fig. 6.25 (b): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 3 mw en sentido ascendente (Régimen de funcionamiento lineal).
Nx=Ny=12
(D) Potencia=3 mw
0 10 20(�m)
0
10
20
-10
-20-10-20
x
y
Fig. 6.25 (d): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 3 mw en sentido descendente (Régimen de funcionamiento no-lineal).
(C) Potencia=6 mw
0 10 20(�m)
0
10
20
-10
-20-10-20
x
y
Fig. 6.25 (c): Mapa de contorno de la distribución de campo eléctrico obtenida para una potencia óptica de 6 mw (Régimen de funcionamiento no-lineal).
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
162
6.7.- Conclusiones
Una vez concluído el último capítulo de la primera parte de la Tesis, se resumen a
continuación los principales aspectos tratados lo largo del mismo:
Se han desarrollado e implementado, con éxito, tanto las versiones 3D-escalares de los
métodos espectrales con transformación de variables O-MFDM y O-HGDM como sus
correspondientes algoritmos de optimización.
Para probar la autoconsistencia de los métodos, así como cuantificar la mejora que en cada
caso se podía lograr, se han definido dos estructuras dieléctricas lineales, las cuales,
haciendo uso del método de separación de variables, poseen solución analítica. Además, se
han utilizado tales guiaondas para comparar, entre sí, las prestaciones de los diversos
métodos espectrales que han sido estudiados a lo largo de la primera parte de la Tesis.
Por último, la herramienta numérica ha sido aplicada a la caracterización de algunas de las
guiaondas ópticas no-lineales empleadas en el diseño de dispositivos todo óptico,
observándose una gran concordancia entre los resultados obtenidos y lo publicado en la
bibliografía.
Capítulo 7:
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
7.1.- Introducción
El conocer, mediante técnicas espectrales, la evolución de la envolvente óptica a través de
un cierto dispositivo o estructura dieléctrica es un problema que ya ha sido ampliamente
tratado y estudiado en la bibliografía. De hecho, fueron precisamente los métodos numéricos
basados en desarrollar el campo en serie de Fourier los primeros que permitieron tener en
cuenta el efecto de la potencia asociada a los modos radiados, hasta ese momento despreciada
por los métodos habitualmente empleados (por ejemplo el CMA-Couple Mode Analysis-
basado en escribir el campo como una combinación de los modos guiados soportados por la
estructura). Aunque la familia de métodos espectrales, comúnmente denominada FFT-BPM
(Fast Fourier Transform-Beam Propagation Method), fue extensivamente utilizada durante
largo tiempo (aún lo sigue siendo), motivado fundamentalmente, por su facilidad de
implementación; sin embargo, la dificultad que tenía para abordar determinadas situaciones la
convertían en una estrategia ineficiente. Además, como se demostrará a lo largo del capítulo,
su utilización requiere de cierta experiencia por parte del diseñador para decidir si el conjunto
de parámetros con que ha sido realizada la simulación resulta ser el más adecuado. Por tal
motivo, surgieron con posterioridad, muy diversos y variados métodos los cuales, partiendo
del mismo conjunto de ecuaciones, esto es, las que definen el BPM, se diferencian,
únicamente, en la forma en que éstas son discretizadas y en cómo son impuestas las
condiciones de contorno en los extremos de la ventana de computación. Entre los más
importantes cabe destacar el FD-BPM (Finite-Difference-BPM) y el FE-BPM (Finite-
Elements-BPM).
En el ámbito de la propagación, los objetivos planteados al comienzo de la Tesis fueron
bien diferentes a los que se fijaron para el análisis modal. Para esta última, se partía de una
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
164
situación distinta pues los métodos espectrales en sí resultaban ya competitivos con el resto de
herramientas numéricas existentes, sea diferencias finitas, elementos finitos,..., y el trabajo
realizado fue encaminado a superar una de la limitaciones implícitas del propio método, y que
no es otra que la originada por la periodicidad de sus funciones base. Además, el producto
final conseguido se puede decir que quedó cerrado, pues se concluyó con una herramienta
robusta y eficiente para caracterizar guiaondas 3D-escalares y no-lineales.
La periodicidad, que, como ha quedado demostrado en los capítulos precedentes, ya
resultaba ser perjudicial para el cálculo de modos, tiene un coste computacional inaceptable en
los problemas de propagación. Piénsese que desde el momento en que la radiación saliente
alcance los extremos de la ventana de observación que se haya seleccionado la solución en el
interior del recinto se encontrará solapada con la que se introduce por los periodos contiguos.
Aunque la utilización de otras técnicas numéricas de discretización deberá también afrontar el
problema de las condiciones de contorno, el hecho de que éstas hayan sido capaces de
superarlo de forma eficiente y con sólo un ligero incremento en la carga computacional, como
se podrá comprobar a lo largo del presente capítulo, ha sido la principal causa para descartar la
utilización de los métodos espectrales en el ámbito de la propagación, siendo ampliamente
superados por los métodos basados en diferencias finitas y elementos finitos. Tanto es así, que
casi la práctica totalidad de artículos que en la actualidad se publican en el campo de la óptica
integrada hacen alusión a este tipo de estrategias.
Ante tal situación, que duda cabe que, como ya se ha adelantado, los objetivos iniciales no
podían ser ni mucho menos demasiado pretensiosos, máxime si se tiene en cuenta que por
aquel entonces el estado del arte en la familia de métodos FD-BPM ó FE-BPM se encontraba
muy avanzado, disponiéndose ya de versiones tan complejas como pudiera ser el caso 3D-
vectorial-anisotrópico o el wide-angle-vectorial (véanse, entre otros �XuNov94�, �MaAb96�,
�TsujiSep97�,...). Sin embargo, el éxito logrado con los métodos espectrales en el análisis
modal invitaba a seguir trabajando con ellos también en propagación. Además, el disponer de
una formulación simple y compacta basada en el concepto de operador matricial iba a permitir
abordar, de manera casi inmediata y sin excesivo esfuerzo de programación, la utilización de
los mismos en las ecuaciones del BPM. Pero para ello era necesario resolver el problema de
las condiciones de contorno, o lo que es lo mismo, disminuir el elevado coste computacional
que, como consecuencia de la periodicidad, tenía lugar cuando los métodos espectrales eran
empleados para simular la propagación de la envolvente óptica. En ese sentido, parecía claro
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
165
que el trabajo debía centrarse, al menos, en la superación de tal inconveniente, pues, si se
consiguiera, es obvio que se abriría un amplio abanico de posibilidades sobre el que seguir
trabajando e investigando.
Varios son los objetivos que se pretenden cubrir en el primero de los dos capítulos
dedicados a la propagación, a saber:
� Estudiar las diversas formas de resolver el problema de la propagación mediante técnicas
espectrales.
� Explicar por qué es necesario terminar adecuadamente los extremos de la ventana de
computación y cuál es la solución clásica que se suele adoptar. Asimismo, se analizará de
qué manera el resto de métodos numéricos han solventado dicho problema.
� Por último, se explicarán los primeros intentos que se hicieron en esta Tesis por mejorar las
prestaciones de los métodos espectrales. El primero de ellos consistió en trasladar el tipo de
condiciones de contorno conocida como TBC (Transparent Boundary Condition)
�HadleyEne92�, que tan buen resultado estaban dando en los métodos basados en
diferencias finitas, a los métodos basados en desarrollo en serie de funciones globales. El
carácter multipunto (no-local) que tienen las derivadas en esta familia de métodos dificultó
su implementación con éxito, por lo que fue necesario recurrir a otro tipo de estrategias.
Por ello se pensó que si el origen del problema tenía lugar cuando la radiación saliente
alcanzaba los extremos de la ventana de computación, por qué no emplear la misma técnica
de transformación de variables utilizada en el análisis modal para comprimir el dominio
infinito original en uno de dimensión finita, y evitar así que en ningún momento de la
propagación el campo radiado pudiera alcanzar los nuevos extremos de la ventana de
cómputo. Los resultados que se obtuvieron, aunque no fueron todo lo satisfactorio que se
esperaba, serán mostrados al final del capítulo.
7.2.- Métodos de Propagación del Haz basados en la Transformada de
Fourier
7.2.1.- Formulación
Supóngase, por simplicidad, que se desea resolver la propagación a través de una
estructura dieléctrica 2D no-lineal, la cual es excitada inicialmente con una cierta distribución
espacial de campo eléctrico. Bajo la aproximación de envolvente lentamente variable, y
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
166
considerando ondas monocromáticas TE-linealmente polarizadas, la ecuación de ondas que
gobierna la propagación de este tipo de soluciones viene dada por
23
4
2
22 2 3 2
2
jx z
z
x z
xk n x z x x z
kx zN o o
N
o�
��
�
� �
�� � �
��
( , ) ( , )( , , ) ( ) ( , ) ( , )( )� � � � �
�
�
�
�
�
��
�
�
����
que, aunque ya fue deducida y analizada en el capítulo segundo, es escrita de nuevo por
comodidad.
La ecuación de ondas no-lineal expresada en (7.1) puede ser discretizada transversalmente
mediante la utilización del método de Galerkin en el espacio funcional de Fourier. Siendo así,
es necesario en primer lugar desarrollar en serie de Fourier la envolvente del campo eléctrico,
pudiéndose escribir como
� �( , ) ( )/
/x z z ek
jk K x
k N
NXo� � � �
���
2
2
donde KXo representa la pulsación fundamental del espectro, la cual como es lógico, vendrá
determinada por el tamaño del periodo (Xo) o ventana de computación que se haya
seleccionado. Nótese como, a diferencia de lo que ocurría en un problema de análisis modal y
con el fin de poder representar la evolución que experimenta el campo con la distancia de
propagación, es necesario que los coeficientes espectrales que definen la aproximación varíen
con la coordenada longitudinal ‘z’.
A continuación, y haciendo uso de la misma formulación matricial de operadores que se
empleó en el capítulo tercero para la deducción del problema de autovalores y autovectores
del cálculo de modos, es posible obtener un sistema de ecuaciones diferenciales no-lineales de
primer orden definido por
� � � � � � � � � � � �2 2 2jz
zDD z k P P z zN
kk o L NL k N k�
��
�� � � �
( )( ) ( ) ( )
���
���� � � � ��
�� � � �
donde � �DD , � �PL y � �PNL representan, en el dominio de los coeficientes de Fourier, el
operador derivada segunda , el operador producto de la parte lineal del índice de refracción y
el operador producto de la parte no-lineal del índice de refracción respectivamente.
Si el paso de discretización en la dirección longitudinal de propagación (�z) es lo
suficientemente pequeño como para suponer que el operador no-lineal es constante en cada
paso, la solución formal de la ecuación (7.3) puede ser escrita como
(7.1)
(7.2)
(7.3)
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
167
� � � � � �� �k kz z opag z( ) Pr _ exp ( )� � ��
en donde la matriz � �Pr _ expopag encargada de realizar la propagación viene dada por
� �� � � � � � � �
Pr _ expopag e
j zDD k P k P I
No L o NL N
�
�� � � � � ��
���
�
22 2 2
��
y es lo que se conoce como el propagador exponencial.
Una situación interesante se produce cuando la estructura a analizar es lineal e invariante
en la dirección longitudinal. Si es así, la solución obtenida mediante (7.4) resulta ser la
solución exacta del problema, por lo que, además de poder elegir el paso �z todo lo grande
que se quiera, dicho propagador exponencial sólo será necesario evaluarlo una vez al
comienzo de la simulación. Aunque computacionalmente pudiera no resultar eficiente, su
principal interés radica en que, al descartar los errores que se hubieran podido producir en el
proceso de discretización longitudinal, permite cuantificar los errores que se cometen en la
dirección transversal, los cuales, a diferencia de los anteriores, no sólo dependen del método
de discretización transversal empleado, sino también, de cómo han sido terminados los
extremos de la ventana de observación, o lo que es lo mismo, de lo eficiente que sean las
condiciones de contorno utilizadas. Este tipo de pruebas son justamente las que se van a llevar
a cabo a lo largo del presente y del próximo capítulo.
7.2.2.- El FFT-BPM
Cuando las propiedades dieléctricas de la estructura a analizar, bien varían
longitudinalmente, bien dependen de la intensidad de campo, la aplicación del operador
exponencial en cada paso puede llegar a convertirse en una operación altamente costosa a
medida que crece el número de términos, por lo que, en aras de evitar su continua evaluación,
se recurre a la conocida técnica del FFT-BPM (Fast-Fourier-Transform BPM), la cual
seguidamente se pasa a detallar.
El punto de partida para comprender el fundamento en que se apoya el método pasa por
escribir el operador exponencial definido en (7.5) de la forma siguiente �März1995�:
� � � � � � � �
� � � � � �
� �� � � �� �
e
e e e jz
DD DD W W W DD
j zDD k P k P I
jDD
z jW z
jDD
z
No L o NL N
N N N
�� � � � � ��
�� �
�� �
�� �
�� �
�
� � � � ��
�� �
�
��
��
2
2 2 2 2 23
2 2 2
24
��
� � � , , , , ....
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
168
en donde, por comodidad, los operadores matriciales producto han sido agrupados en una sola
matriz � �W definida tal que
� � � � � � � �W k P k P Io L o NL N� � � �2 2 2�
y donde la operación matricial � �DD W, representa el conmutador entre DD y W . Este es
definido en la mecánica cuántica como
� �DD W DD W W DD, � � � �
y, como se puede observar en la expresión (7.6), su utilización permite definir propiedades
entre matrices similares a las que existen entre escalares.
Pues bien, el FFT-BPM basa su estrategia final en despreciar todos los conmutadores que
aparecen en (7.6), o lo que es lo mismo, en ignorar la naturaleza no-conmutativa de los
operadores DD y W . Con ello, el operador exponencial es aproximado como
� � � � � � � � � � � � � �
e e e e
j zDD k P k P I
jDD
z jW z
jDD
z
No L o NL N
N N N
�� � � � � ��
���
�� �
�� �
�� �
� � �
� ��
�
2 2 2 2 2 22 2 2
��
� � �
Es decir, que la propagación desde ‘z’ a ‘z+�z’ se podría realizar dividiendo el proceso en
tres pasos, a saber:
i) En primer lugar, el campo eléctrico es propagado un distancia �z/2 como si de un medio
homogéneo se tratara. Para ello sólo es necesario tener en cuenta el efecto de la
difracción, o lo que es lo mismo, aplicar, sobre el vector de coeficientes espectrales, la
exponencial del operador � �DD .
ii) A continuación, se concentra en el punto medio del intervalo, el efecto de la
inhomogeneidad del medio. Así, al vector de coeficientes espectrales obtenido en el punto
anterior le es aplicado la exponencial del operador � �W .
iii) Por último, se vuelve a realizar la propagación sobre un medio homogéneo en la segunda
mitad del intervalo.
Ahora bien, si lo que se pretendía evitar era el tener que evaluar el propagador
exponencial en cada paso ¿qué sentido tiene descomponer el problema de una forma en la que
se requiere ejecutar dicho propagador un mayor número de veces?. La respuesta a la pregunta
anterior, y por consiguiente a la esencia del método, se halla en cómo se realiza la exponencial
(7.7)
(7.8)
(7.9)
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
169
de una matriz. Para ello, supóngase que se desea calcular la operación siguiente: � �e A . Dos
son los pasos que deben ser realizados:
1.- Diagonalizar la matriz � �A , o lo que es lo mismo, calcular sus autovalores y autovectores.
Una vez hecho, la matriz podrá ser escrita como
� � � � � � � �A Vec Val Vec� � ��1
donde la matriz � �Vec representa los autovectores de la matriz � �A ordenados por columnas
y la matriz � �Val es una matriz diagonal cuyos elementos son los autovalores de � �A .
2.- Resolver el producto de matrices siguiente
� � � � � � � �e Vec e VecA Val� � ��1
con la salvedad de que la exponencial de una matriz diagonal da como resultado otra
matriz diagonal, y es fácilmente obtenida sin más que calcular la exponencial a los
elementos de la diagonal.
Quiere eso decir que, si en cada paso se resuelve el propagador exponencial definido en
(7.5), lo que realmente se está haciendo es calculando los modos y constantes de propagación
de la estructura bajo análisis, con el consabido coste que ello supone. Sin embargo, si se
utiliza la descomposición propuesta por el FFT-BPM, las tres exponenciales que es necesario
resolver se aplican sobre matrices que, o bien son diagonales (� �DD ), o bien son fácilmente
diagonalizables (� �W ). Además, como seguidamente se va demostrar, las matriz de
autovectores que en cada caso resulta es justamente la matriz transformada directa, por lo que
el proceso puede aún ser más acelerado con la utilización de la transformada rápida de Fourier
o FFT. Para comprender mejor la afirmación anterior es suficiente con recordar las relaciones
matemáticas que sobre operadores matriciales se establecieron en el capítulo tercero. Por
ejemplo, si la ecuación de ondas es discretizada con el método de colocación
(pseudoespectral), los operadores derivada segunda y producto en el dominio de los
coeficientes se relacionan con sus homónimos en el dominio de los puntos a través de las
relaciones siguientes
� � � � � � � �DD T dd T� � ��1
(7.10)
(7.11)
(7.12)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
170
� � � � � � � �P T p T� � ��1
donde, como se demostró en el apartado 3.4.3, las matrices � �T y � �T�1
son, en el espacio
funcional de Fourier, la transformada discreta de Fourier, directa e inversa respectivamente,
por lo que la multiplicación entre matrices puede ser evitada gracias al uso de la FFT, y de ahí
el nombre que el método numérico recibe.
Observando las ecuaciones (7.12) y (7.13) se comprende ahora por qué el término
correspondiente a la derivada segunda (o difracción) es realizado en el dominio de los
coeficientes (� �DD es diagonal), mientras que el correspondiente al operador producto (el de
guiado) es realizado en el dominio de los puntos (� �p es diagonal). En la Fig. 7.1 se resume en
un diagrama de flujos los pasos a seguir para llevar a cabo la propagación mediante el FFT-
BPM. Otra interpretación interesante del método, muy en sintonía con la visión
electromagnética del problema, es que la propagación a través de la guía o estructura es
aproximada suponiendo que ésta se realiza sobre un medio homogéneo, aprovechando así la
(7.13)
Excitación inicial:�(x,zo)
FFT
Espectro inicial:�k(zo)
� �e
jDD
z
N
�� �
2 2�
�
Propagación (�z/2) enmedio homogéneo
Espectro:�k(zo+�z/2)
FFT-1
Campo:�(x,zo+�z/2)
� � � � � �
e
jk zp p
kIo
NL NL
N
o
��� � �
�
��
�
2 2
22
�
�
�
Corrección de fase
Campo modif.:�m(x,zo+�z/2)
FFT
Espectro modif.:�k
m(zo+�z/2)
� �e
jDD
z
N
�� �
2 2�
�
Propagación (�z/2) enmedio homogéneo
Espectro final:�k(zo+�z/2)
FFT-1
Campo final:�(x,zo+�z)
Fig. 7.1: Esquema de propagación del BPM clásico o FFT-BPM
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
171
sencilla descomposición en ondas planas o espectro angular que se puede hacer del campo, y,
únicamente, en la mitad del intervalo se introduce una pequeña corrección de fase sobre la
distribución del campo para tener así en cuenta el efecto que el perfil del índice de refracción
pudiera tener sobre el mismo. Nótese, asimismo, como la no-linealidad puede ser fácilmente
tenida en cuenta aprovechando el paso al dominio de los puntos que tiene lugar en la mitad del
intervalo, pues, antes de realizar la pertinente corrección de fase, es posible utilizar la propia
distribución de campo para evaluar el término no-lineal del índice de refracción.
7.2.3.- Limitaciones del FFT-BPM
a) Periodicidad de la Solución
Cuando en el análisis modal de una determinada guiaonda óptica el campo era
aproximado mediante un desarrollo en serie de Fourier surgía la lógica periodicidad que el
propio espacio funcional introduce. Para solventar el problema, o lo que es lo mismo, para que
la solución que se obtuviera fuera la que realmente es, el periodo o ventana de observación
debía ser elegido de tal forma que la totalidad del campo se encontrara contenido en el interior
de la ventana, pues, de no ser así, se produciría el famoso aliasing, y por consiguiente, el
solapamiento entre soluciones de periodos adyacentes. Que duda cabe que en propagación,
dicha periodicidad seguirá ocurriendo, por lo que se deberán tomar las medidas necesarias
para que su efecto se encuentre controlado. Sin embargo, sus consecuencias son ahora mucho
más severas, pues, aunque se haya seleccionado un tamaño de ventana lo suficientemente
grande, desde el momento que la radiación saliente alcance los extremos de la misma, la
solución en su interior se encontrará contaminada. A modo de ejemplo, es mostrada en la Fig.
7.2 la propagación de un haz gaussiano a
través de un medio homogéneo. Obsérvese
cómo la radiación que entra por el lado
izquierdo de la ventana es justamente la que
sale por el lado derecho del periodo que se
encuentra a su izquierda.
La forma más simple de evitar el
problema consiste en prefijar ventanas de
observación elevadas que garanticen que en
la distancia que se va a realizar la simulación
−10 −5 0 5 100
5
10
15
20
25
30
35
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
Fig. 7.2: Efecto de la periodicidad de la solución en los BPM´s basados en desarrollos en serie de Fourier.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
172
no se va a producir el aliasing. Esto, además de ser complicado de asegurar y requerir cierta
experiencia por parte del diseñador, disminuye considerablemente la eficiencia del método,
pues obligaría a trabajar con un número de coeficientes excesivamente grande. Por ello, los
mayores esfuerzos que se han realizado por mejorar las prestaciones de los métodos de
propagación del haz basados en series de Fourier han estado centrados en superar tal
limitación. La ineficacia de las soluciones encontradas hasta la fecha ha hecho que éstos hayan
quedado relegados a un segundo plano, en comparación con los métodos de propagación del
haz basados en diferencias finitas o elementos finitos que superaron con mayor éxito el
problema. Este aspecto será tratado con detalle en el apartado siguiente, pues constituye la
antesala del trabajo que será presentado en el capítulo siguiente.
b) �z vs. �n2(x)
La forma en que el FFT-BPM realiza el paso de propagación da pie a una de las más
serias limitaciones con que cuenta el método, poniéndolo en clara desventaja con sus
competidores (véanse por ejemplo �ChungAgo1990��ScarmozzinoMay91��NoltingFeb95�).
Ésta puede ser cualitativamente ser enunciada como:
‘Cuanto mayor sea el gradiente del perfil del índice de refracción, menor deberá ser el paso
de propagación (�z) para conseguir una precisión determinada’
Para comprender mejor el por qué de la misma basta con analizar nuevamente la
expresión del operador exponencial utilizada en (7.6). En ella se puede comprobar que los
términos de orden superior despreciados por el FFT-BPM, y por consiguiente, los que
determinan su error, dependen del conmutador entre el operador derivada segunda y el
operador suma de todos los productos � �DD W, . Parece obvio que cuanto menor sea dicho
conmutador, mayor podrá ser el paso de propagación (�z). Ahora bien, ¿cuándo ocurre eso?.
La respuesta a dicha pregunta puede ser hallada con la ayuda de la siguiente propiedad
�Messiah1983�:
‘Dos observables A y B conmutan si poseen por lo menos un sistema base común’
En nuestro caso, los dos observables son el término de difracción (�2/�x2) y el término de
guiado n2(x). La base funcional del primero la forman el conjunto infinito de ondas planas,
mientras que la base del segundo está formada por el conjunto de modos guiados y radiados
que la estructura definida por el índice de refracción soporta. Así, cuanto mayor sea el salto de
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
173
índice mas diferentes serán los elementos de cada una de las bases, y por lo tanto, menos
cercano a cero será el conmutador.
c) Los Modos TM
Para que el FFT-.BPM pueda ser utilizado es necesario que la matriz del sistema pueda
ser escrita como suma de matrices que, o bien son diagonales en el dominio de los
coeficientes, o bien lo son en el dominio de los puntos. Esta es a la razón de por qué el
algoritmo no puede ser empleado, como tal, para resolver la propagación de los campos TM-
linealmente polarizados. Recordando la ecuación que gobierna la propagación de este tipo de
ondas en una estructura 2D (invariante, por ejemplo, en la dirección-y)
� � � �212
2 2 2 2jx z
z x n xn k nN
xx o N x�
��
�
�
�
�
�� � �
( , )�
�
��
�
�� � � �
y manipulándola
� �22
22 2 2
2 2
2
2j
x z
z xk n
n
x
n
x xNx x
o N x xx�
��
�
� �
�� � �
�
�
�
�
��
�
( , ) ln( ) ln( )� � � � � � � �
resulta fácil identificar que, además de los términos de difracción y de guiado, aparecen otros
en los que se mezclan las derivadas del campo con las del índice de refracción. Éstos no son
diagonales en ninguno de los dominios posibles de resolución, y son, por tanto, los
responsables de que el BPM-clásico o FFT-BPM tenga un ámbito de aplicación restringido.
En concreto podrá ser utilizado en problemas 2D para las soluciones del tipo TE, y en
problemas 3D, únicamente en el caso escalar. No obstante, si a esto se le une la limitación
explicada anteriormente de que el salto del índice de refracción también afecta a la precisión
del método, se puede concluir que tanto en situaciones 2D como 3D, el tipo de problemas
analizados deben satisfacer las condiciones de guiado débil.
Varios han sido los intentos que, con posterioridad, se han realizado para aumentar su
rango de aplicabilidad. Por ejemplo, en �KriezisAbr95� se propone seguir empleando en
problemas 3D-vectoriales el mismo esquema de propagación que se ha explicado para el FFT-
BPM, esto es, se desprecian los conmutadores, y se calcula el propagador exponencial pero
aplicado sólo sobre todos y cada uno de los operadores transversales que conforman la
ecuación de ondas. Aquellos términos en los que se mezclen las derivadas transversales entre
funciones (véase la ecuación (7.15)) son discretizados siguiendo un esquema de diferencias
(7.14)
(7.15)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
174
finitas, mientras que los términos de difracción siguen aprovechando el carácter multipunto de
la transformada de Fourier.
En otro trabajo más reciente �PoladianEne98� se sugiere un simple cambio de variables
para transformar la ecuación (7.15) en otra equivalente pero en la que desaparecen los
términos mezcla de derivadas, con lo que se puede seguir empleando el FFT-BPM para su
resolución. El método, aunque novedoso, sólo es válido para perfiles de índice gradual, con lo
que la asignatura pendiente de los métodos espectrales, los modos TM en guías de salto de
índice abrupto, está aún por resolver.
d) Espectral vs. Pseudoespectral
Una de los aspectos ampliamente estudiados en el capítulo tercero fueron precisamente las
diferencias que existen entre los métodos espectrales y los pseudoespectrales. Como se
recordará, los segundos necesitaban un mayor número de coeficientes para lograr la misma
precisión que los primeros, como consecuencia de haber resuelto las integrales de cruce de
forma numérica. En el ámbito del análisis modal, el poder aproximar el campo con un número
de términos relativamente bajo, hacía más interesante el trabajar con la versión exacta o
espectral de los espacios funcionales. Sin embargo, en propagación, dado que el campo en
cada plano z constante es la suma de los modos guiados y radiados que la estructura soporta,
si se desea tener una buena representación de la evolución de la envolvente, es necesario
trabajar con un número elevado de términos, por lo que apenas existen diferencias entre usar
uno u otro.
Por otra parte, el FFT-BPM, aunque haya sido presentado como una herramienta numérica
capaz de resolver la evolución con la distancia de la envolvente espacial del campo eléctrico,
es también conocido y aplicado en problemas de diferente naturaleza. Por ejemplo, la
ecuación que gobierna la propagación de solitones en fibras ópticas, más conocida como la
ecuación no-lineal de Schrödinger, se parece bastante a la ecuación escalar del BPM, por lo
que, aunque las variables que en ella intervienen tengan un significado físico diferente, puede
ser resuelta siguiendo el mismo esquema de propagación. De hecho lo es, siendo más
conocido en ese ámbito como el SSFM (Split-Step Fourier Method). Pues bien, tanto el SSFM
como el FFT-BPM, el primero para conocer la evolución de la envolvente temporal y el
segundo para conocer la evolución de la envolvente espacial, hacen uso de la versión
pseudoespectral del espacio funcional de Fourier, pues al pasar continuamente del dominio de
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
175
los puntos (tiempo o espacio) al dominio de los coeficientes y viceversa, establecen una
relación biunívoca entre ambos dominios.
La posibilidad de utilizar la versión espectral del SSFM ha sido ya sugerida con
anterioridad en la bibliografía, primero en �MolinaSep94� para el cálculo de las soluciones
estacionarias de la ecuación no-lineal de Schrödinger (propagación sin dispersión) y
posteriormente en �GhafouriEne95� para resolver la propagación propiamente dicha. Las
novedades que se sugieren en ambos trabajos son respectivamente las siguientes:
i) Que para mejorar la precisión del método la matriz que define el sistema sea obtenida
aplicando el método de Galerkin y no el de colocación
ii) Que en lugar de resolver la propagación alternativamente en el dominio de los puntos y en
el de los coeficientes, ésta se haga íntegramente en el dominio de los coeficientes y sólo al
final, se retorne, en este caso, al dominio del tiempo. Además, plantea la interesante
posibilidad de utilizar el método de Runge-Kutta, o cualquiera de los métodos clásicos de
integración, para resolver el sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden
que se obtiene tras el proceso de discretización transversal. Los resultados que se
muestran en el artículo dejan bien a las claras la superioridad de los métodos espectrales
frente a los que hasta entonces se venían usando, los métodos pseudoespectrales.
Aunque este tema se volverá a plantear en el capítulo siguiente, todo esto viene a colación
porque, si bien se trata de problemas completamente diferentes, permite establecer un
paralelismo entre las mejoras propuestas en la bibliografía para superar los inconvenientes del
SSFM y las que se proponen en esta Tesis para hacer lo propio con el FFT-BPM. En nuestro
caso, en la mayoría de las ocasiones, lo que interesa conocer con exactitud no es casi tanto la
envolvente espacial en cada paso de propagación, sino más bien la parte de la misma que
permanecerá guiada, esto es, la que de modo alguno determina con su acoplamiento a las
diferentes partes de que consta el dispositivo, el funcionamiento del mismo. Quiere esto decir
que si se es capaz de tener en cuenta la potencia que se pierde en los modos radiados, aunque
éstos no sean correctamente representados, parece muy interesante trabajar con la versión todo
espectral (Galerkin) pues, con pocos coeficientes, se obtendría una representación más que
aceptable del funcionamiento del dispositivo y además disminuiría notablemente el tiempo de
cálculo requerido para su análisis. Es más, cabría la posibilidad de utilizar, por qué no, el
propagador exponencial, con lo que no sólo se resolvería la propagación de forma exacta, sino
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
176
que abriría también la posibilidad de abordar el wide-angle-BPM mediante técnicas todo
espectrales.
Para poder implementar, con éxito, técnicas todo espectrales, es necesario primero
solventar el problema de las condiciones de contorno, esto es, determinar la forma en que
deben ser terminados los extremos de la ventana de observación para que el campo que se
calcule en su interior se vea afectado lo menos posible por el truncamiento realizado, y pueda
evolucionar por el dispositivo como si de un medio ilimitado se tratara.
Se estudian a continuación las condiciones de contorno que, hasta la aparición de las PML
(Perfectly Matched Layer-Capítulo 8), fueron habitualmente utilizadas por los métodos de
discretización globales o espectrales y por los métodos locales, las condiciones de contorno
absorbentes (Absorbing Boundary Conditions-ABC´s) y las condiciones de contorno
transparentes (Transparent Boundary Conditions-TBC´s), respectivamente.
7.3.- Las Condiciones de Contorno
a) Condiciones de Contorno Absorbentes (ABC’s)
La forma más simple de evitar que la radiación saliente alcance los extremos de la ventana
de computación consiste en terminarla con un absorbente dieléctrico. Aunque su
implementación es inmediata, pues basta con que a partir de una cierta distancia el índice de
refracción comience a tener una parte imaginaria negativa, sin embargo, su utilización resulta
ser bastante ineficiente. Además, como seguidamente se va a demostrar, su mejor o peor
funcionamiento depende, muy mucho, de los parámetros que definen el absorbente. Para
comprender su funcionamiento, se ha representado en la Fig. 7.3 el problema general de
incidencia oblicua entre dos medios de características eléctricas diferentes. En concreto,
supóngase que ambos medios poseen la misma constante dieléctrica, y que al segundo de ellos
se le introducen pérdidas eléctricas. Como es bien sabido de la teoría electromagnética, el
coeficiente de reflexión que se produce, además de depender de la polarización, del ángulo de
incidencia y de la frecuencia, será tanto mayor en módulo cuanto más diferentes sean los
medios, o lo que es lo mismo, cuanto más grande sea la parte imaginaria del índice de
refracción del segundo. Por ello, si se desea que la reflexión producida sea mínima, es
condición indispensable que la transición entre ambos se produzca de una forma suave, lo
cual, como se puede observar en la Fig. 7.4, va a redundar en el tamaño de ventana que
finalmente resulte. Varios son los parámetros que caracterizan el absorbente: su gradiente o
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
177
perfil, su amplitud máxima y su ancho. Estos pueden ser claramente identificados en la Fig.
7.4. para un perfil de tipo cosenoidal. Será necesario una adecuada selección de los mismos
para conseguir un comportamiento óptimo del absorbente. Piénsese que tan grave es no
aminorar lo suficiente las reflexiones que se van produciendo a medida que la onda se
introduce en el absorbente como permitir que una fracción importante de la potencia incidente
alcance el extremo del mismo.
En definitiva, los absorbentes eléctricos no parecen ser la mejor solución al problema de
las condiciones de contorno. Sin embargo, el carácter global que poseen los métodos
espectrales y pseudoespectrales ha dificultado la utilización de condiciones de contorno más
eficientes, como pueden ser las TBC´s, lo que provocó que durante mucho tiempo hayan sido
la única opción posible para absorber la radiación saliente en problemas de propagación.
b) Condiciones de Contorno Transparentes (TBC’s)
La introducción de las condiciones de contorno transparentes en el campo de la
simulación óptica �HadleyEne92� supusieron un importante paso hacia la obtención de
técnicas numéricas eficientes para el análisis y diseño de dispositivos ópticos. Aunque en su
versión original fueron pensadas para el FD-BPM, no tardó en aparecer una versión similar
para el FE-BPM [AraiMay93�. La facilidad con que son implementadas en los métodos de
discretización transversal de carácter local, junto con los bajos niveles de reflectividad que
con ellas se conseguían, hizo que pronto, y durante varios años, se convirtieran en la forma
más habitual de abordar el problema de la radiación, lo que justifica el por qué hoy día aún
sigan siendo ampliamente utilizadas por dichos métodos numéricos.
ventana de computación
-50 0 500
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
x (�m)
absorbente absorbentezona deinterés
amplitud
Fig. 7.4: Absorbente con perfil cosenoidal: parámetros fundamentales.
�i �r
�t
medio 1: �o, o
medio 2: �o, o, !E
Fig. 7.3: Incidencia oblicua entre dos medios
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
178
El fundamento en el que se apoyan las TBC´s es en sí bastante simple. Recuérdese que el
problema de la propagación es un problema de valor inicial, esto es, a partir del campo en un
plano z-constante se calcula el campo en el siguiente paso de propagación. Evidentemente, el
campo que va a haber en los extremos de la ventana de observación forma parte de lo que se
pretende calcular. Ahora bien, si fuera posible estimar el valor del campo que tendría ese
punto del espacio en el supuesto caso de que el problema no hubiera sido truncado, es decir,
en la situación real, que duda cabe que sería posible forzar, en el sistema de ecuaciones, que
en el siguiente paso de propagación el campo en los extremos tenga justamente ese valor. El
único obstáculo por salvar sería cómo estimar el valor del campo en los extremos. Para ello se
supone que el frente de ondas que alcanza los contornos del dominio de observación es una
onda plana, por lo que se puede establecer una relación matemática sencilla entre los dos
puntos más cercanos a los extremos. Por ejemplo, si xa y xb son respectivamente las
coordenadas del lado izquierdo y derecho del contorno, se puede escribir que el campo a
calcular en el siguiente paso de propagación (zn+�z) deberá satisfacer las relaciones que a
continuación se indican
� �( , ) ( , )x z z x x z z eb n b njk xx
d� � � � � �� � � �
� �( , ) ( , )x z z x x z z ea n a njk xx
i� � � � � �� � � �
donde kxi y kx
d son respectivamente las componentes transversales de los vectores de ondas
que existen en los lados izquierdo y derecho de la ventana. Ambos pueden ser fácilmente
estimados a partir del campo obtenido en el paso anterior (zn) y calculando el cociente entre
dos muestras consecutivas que se encuentren cercanas a los contornos. En �HadleyEne92� se
(7.16)
(7.17)
E Z z E x Z z eXon
Xon
jk xx( , ) ( , )2 2� � � � � �� � � �
z
Z=Zn
Z=Zn+�z
�x
�
k�
kx
Ventana de Computación (Xo)
eE x
E xjk x
Xo
Xox� �
�
�� �
�
( )
( )2
2 2
frente de fasex
Fig. 7.5: Aplicación de las condiciones de contorno transparentes
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
179
sugiere incluso cómo determinar cuáles son las muestras que mejor estimación dan y las
condiciones que deben cumplir los vectores de onda para que el flujo de potencia sea siempre
desde dentro de la ventana hacia afuera. En la Fig. 7.5 se ilustran las ideas anteriormente
expuestas.
Además de su sencillez, la ventaja más sobresaliente que supone la utilización de las
TBC´s es que, a diferencia de lo que ocurre por ejemplo con condiciones de contorno del tipo
absorbente, es capaz de conseguir coeficientes de reflexión muy bajos sin la necesidad de
incrementar el tamaño de la ventana de observación, y por consiguiente, sin costo
computacional alguno. Sin embargo, no todo son
ventajas. Piénsese en una situación como la
representada en la Fig. 7.6. La coincidencia en el
contorno de dos o más frentes de onda diferentes
dificultará la estimación del vector de ondas a
emplear en la propagación, o lo que es lo mismo, se
forzará un valor de campo en los extremos erróneo
cuyo efecto se hará notar en los sucesivos pasos de
propagación.
7.4.- Utilización de las TBC´s en los Métodos Espectrales
A raíz del éxito cosechado por las TBC´s en la familia de métodos FD-BPM, el primero
de los intentos realizados en la Tesis con el objetivo de mejorar la pobre eficacia que los
absorbentes eléctricos aportaban a la familia de métodos basados en la transformada de
Fourier, consistió en trabajar en la línea de definir unas condiciones de contorno transparentes
aplicables a los métodos espectrales. Sin embargo, ninguna de las pruebas consiguieron llegar
a buen término.
Partiendo de las mismas consideraciones utilizadas por Hadley para deducir sus TBC´s, se
plantearon dos posibles estrategias que se resumen a continuación. La primera de ellas
consistía en ir modificando el campo en los extremos del periodo una vez realizado un paso de
propagación y antes de realizar el siguiente forzando a que tuviera el carácter de onda plana.
De algún modo, lo que se estaba haciendo era ir eliminando la radiación antes de que ésta
penetrara en los periodos contiguos. La otra estrategia se basaba en forzar sobre la propia
matriz del sistema a que el campo en los extremos se comportara de la forma deseada. Para
�
k2
�
k1
frente de fase 1
frente de fase 2
contorno
Fig. 7.6: Situación no abordable por las TBC´s: coincidencia de dos frentes de onda sobre el contorno.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
180
ello, y trabajando con la versión pseudoespectral en el dominio de los puntos, las filas de la
matriz correspondiente al primer y último punto del mallado eran sustituidas por las
ecuaciones (7.16) y (7.17).
El origen de todos los problemas
encontrados en la implementación con
éxito de las estrategias anteriormente
expuestas se encuentra en la acción
conjunta de dos efectos. Por una parte, el
carácter multipunto que el operador
derivada segunda presenta con cualquier
método de discretización que se base en
aproximar el campo por un desarrollo en
serie de funciones globales, y por otra, la
periodicidad propia del espacio funcional
de Fourier. Para comprender mejor lo que
ocurre se han representado en la Fig. 7.7 la
primera, la intermedia y la última fila del
operador derivada segunda en el espacio
funcional de Fourier en el dominio de los
puntos. Recuérdese cuál el significado de
la fila ‘i’ de dicha matriz, y que no es otro
que el de informar de los coeficientes a
utilizar para aproximar la derivada
segunda del campo en el punto xi del
mallado, pudiéndose escribir que
d x
dxdd i x dd i x dd i N x
x xN
i
2
2 1 21�
� � �( )
( , ) ( ) ( ,2) ( ) ... ( , ) ( )�
� � � � � � �
en donde dd(i,j) es el elemento situado en la fila ‘i’ y columna ‘j’ de la matriz � �dd . Con ello,
y analizando la Fig. 7.7, resulta fácil comprobar cómo no es posible separar e independizar los
flujos de potencia salientes por cada uno de los extremos del periodo, pues tanto la primera
muestra como la última, al no poder disponer respectivamente de la muestra situada a la
izquierda y derecha, emplean, aprovechando el carácter periódico que la propia línea posee la
fila 1 de la matriz � �dd
fila N/2 de la matriz � �dd
fila N de la matriz � �dd
xix1 xN
xix1 xN
xix1 xN
Fig. 7.7: Operador derivada segunda del espacio funcional de Fourier en el dominio de los puntos: Coeficientes de la primera, intermedia y última fila de la matriz � �dd .
(7.18)
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
181
muestra situada en el extremo opuesto del periodo. Quiere eso decir, que cualquier
modificación efectuada sobre las muestras de uno de los lados del periodo afectarán,
inevitablemente, a lo que le ocurra a las muestras del lado contrario en el siguiente paso de
propagación.
7.5.- Aplicación de la Técnica de Transformación de Variables a Propagación
La imposibilidad de definir unas condiciones de contorno transparentes tan eficientes
como las que Hadley había obtenido para los métodos basados en diferencias finitas, invitaba
a seguir trabajando en la línea de mejorar las prestaciones de las ABC´s, hasta entonces única
opción con que contaban los métodos basados en desarrollos en serie de funciones globales.
El buen resultado conseguido por el MFDM, o técnica de transformación de variables, en
problemas de análisis modal hizo reflexionar sobre la posibilidad de importar dicha idea al
ámbito de la propagación. De hecho, todo apuntaba a que podría dar buen resultado, pues no
sólo sería posible mejorar la precisión lograda con los métodos sin transformación, sino lo que
es más importante, al comprimir el dominio infinito original en uno de dimensión finita, la
radiación saliente, y con independencia de la distancia de propagación que se pretenda
simular, jamás alcanzaría los extremos de la ventana de computación por situarse ésta en el
infinito.
Cuando la implementación de la técnica se encontraba en fase de elaboración fue
publicado en la bibliografía lo que se dio en llamar ‘el Método de Propagación del Haz sin
condiciones de contorno’ �LadouceurEne96�, lo cual, casualmente, era en esencia la misma
idea anterior, de ahí el nombre que el método recibió, pero con un esquema de discretización
transversal y longitudinal basado en diferencias finitas (Crank-Nicholson) y sólo aplicable al
caso lineal. Entre el trabajo llevado a cabo en la Tesis �WangüemertSep96� y el que acaba de
ser referenciado existen ciertas diferencias que merecen ser destacadas:
� El método de discretización empleado se sigue basando en un desarrollo del campo en
serie de Fourier.
� La formulación desarrollada contempla la posibilidad de tratar tanto problemas lineales
como no-lineales. Tanto es así, que los ejemplos analizados en �WangüemertSep96� son
exclusivamente no-lineales.
� Aunque a priori, y por las razones ya explicadas, no parece necesario tener que adosar
absorbentes en los laterales de la zona de interés, sin embargo, como se demostrará más
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
182
adelante, lo cierto es que sí tuvieron que ser utilizados para poder atenuar la aparición de
importantes reflexiones observadas a medida que la radiación transversal fluía hacia el
infinito, y provocadas por la disminución progresiva de la densidad de muestreo que por
efecto de la transformación tiene lugar.
7.5.1.- Formulación
Los principales pasos de que consta el método son los siguientes. En primer lugar, se
efectúa, sobre la ecuación no-lineal de Fresnel (7.1), el mismo cambio de variable de tipo
arcotangente definido en el capítulo cuarto, a saber
U tanx
x�
�
�
� �2 1
� �
y donde, al igual que allí ocurría, el factor de escalado "x permite controlar el grado de
compresión de la transformación. Nótese como en este caso no se ha permitido que el
centrado u offset sea uno de los grados de libertad a prefijar por el usuario, pues, al tratarse de
un problema dinámico y variable con la distancia de propagación, no sólo no parece claro
dónde deba situarse, sino que ni siquiera parece que sea posible encontrar, salvo excepciones,
un valor del mismo que se adecue a todas las formas que va a ir adoptando el campo en la
propagación, por lo que se ha fijado al valor de cero.
Llevando a cabo dicho cambio de variable, y haciendo uso de la regla de la cadena, se
obtiene la siguiente ecuación de ondas no-lineal en el dominio transformado
2 1
2
2 22 2 2
2
jU z
zf U
U z
Uf U
U z
Uk n U z n U
kU zN o o nl
N
o�
��
�
� �
�
��
��
��
( , )( )
( , )( )
( , )( , , ) ( ) ( , )� � � � � � � �
�
��
�
�
�
�
�
���
con -1 # U # 1 y z > 0, y donde f1(U) y f2(U) representan respectivamente (�U/�x)2 y (�2U/�x2).
A continuación, la ecuación de ondas (7.19) es discretizada transversalmente de la forma
ya conocida, esto es, utilizando el método de Galerkin con funciones base exponenciales
complejas. Para ello, el campo eléctrico es escrito como
� �( , ) ( )/
/U z z ek
jk K U
k N
NUo� � � �
���
2
2
(7.19)
(7.20)
(7.21)
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
183
donde KUo es la pulsación del armónico fundamental en el dominio transformado (Uo=2). Y
nuevamente, la utilización de los operadores matriciales permite escribir de forma compacta el
sistema no-lineal de ecuaciones diferenciales de primer orden que resulta
� � � �2 jz
zAN
kk�
��
��
( )���
���� �
en donde la matriz � �A viene dada por
� � � � � � � � � � � � � �A P f U DD P f U D k P n U P n Uko L NL nl
N
o� � � � � � � �
�
��
�
�
�
�
�
��
( ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))1 22 2 2
2�
y para cuya resolución cabría hacer las mismas consideraciones que las realizadas en el
apartado 7.2.
7.5.2.- Resultados
En contra de lo que en un principio cabía esperar, la aplicación de la técnica de
compresión de variables a las ecuaciones del BPM no consiguió mejorar los resultados que se
obtenían con el método de descomposición de Fourier (FDM) y ABC´s en los extremos de la
ventana de computación. La causa hay que buscarla en las ya comentadas reflexiones que se
observaron cuando la radiación alcanzaba zonas poco muestreadas, por lo que, a poco que se
incrementaba la distancia sobre la que realizar la propagación, dicha reflexión distorsionaba
notablemente el resultado obtenido. Ello obligó a utilizar absorbentes eléctricos para que, en
el caso de producirse, el perjuicio ocasionado sea mínimo. Los absorbentes utilizados pueden
ser de dos tipos diferentes. Bien como los explicados en el apartado 7.3.(a), esto es, de
amplitud creciente y a partir de una cierta distancia se mantienen constantes hasta el infinito, o
bien siempre de amplitud creciente y adquiriendo su valor máximo en el infinito. Los diversos
casos analizados demostraron que a efectos prácticos decantarse por uno u otro es indiferente,
pues si desea que no aparezcan las reflexiones es muy importante que el campo se atenúe nada
más penetrar en el absorbente, lo que conlleva utilizar amplitudes muy grandes en el segundo
de los casos a fin de que la atenuación en la zona cercana a la de interés se haga notar.
Para mostrar dicho fenómeno se han mostrado en las Figs. 7.8(a) y 7.8(b) dos situaciones
diferentes. Ambas representan la propagación a través de un slab lineal de salto de índice
excitado inicialmente con una gaussiana. Su ancho ( o spot size1) ha sido elegido lo
1 El spot size o ancho de una gaussiana se define como la distancia respecto del máximo en el cual la amplitud de la gausiana es ‘e’ veces menor que la máxima.
(7.22)
(7.23)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
184
suficientemente grande como para poder apreciar el efecto de la radiación. La única diferencia
entre las dos simulaciones está en la amplitud que toma el absorbente en el infinito (102 y 106
respectivamente). En ambas figuras se han pintado también la posición que, en función del
factor de escalado utilizado, ocupan las muestras en el dominio original. Véase como en el
primero de los casos la mayor penetración en el interior del absorbente da lugar a la aparición
de reflexiones, mientras que en el segundo éstas no son percibidas pues el campo es
rápidamente atenuado al entrar en el absorbente. Aunque pudiera parecer que el problema
queda así resuelto, lo cierto es que la situación a la que se llega es similar a la que se produce
cuando se utilizan ABC´s sin transformación de variables, pues como se recordará, los
gradientes no pueden ser excesivamente elevados pues de lo contrario se originarían
reflexiones provocadas por la discontinuidad entre medios. Esto último puede ser observado
en la Fig. 7.8 (b), en donde el alto incremento inicial experimentado por la parte imaginaria
del índice de refracción puede hacer que el campo refractado se vuelva a introducir en la zona
de guiado.
Los mismos problemas surgen cuando se mantiene constante el absorbente y se pretende
calcular el factor de escalado que mejor resultado consigue. El valor que finalmente se
seleccione podrá afectar no sólo a las reflexiones que se ocasionen en la zona de pérdidas,
pues su valor influye en la disposición espacial de las muestras, sino, por las mismas razones
que se argumentaron en un problema de análisis modal, también a la precisión que se consiga
en la zona de interés. Todo ello hace que la implementación óptima del MFDM a problemas
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000Envolvente del campo: ABC´s con Transf. de variable
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000Envolvente del campo: ABC´s con Transf. de variable
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
(a) (b) Fig. 7.8: Propagación a través de un slab de salto de índice utilizando el MFDM con ABC´s. Datos del slab: ns=nc=3.337,nf=3.38, ancho del núcleo=4 �m, =1.15 �m. Excitación inicial: gaussiana (spot size=6 �m). Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud: (a) 102 y (b) 106, ancho: � ��15�m, ���. Datos numéricos: N=128; �x=12· 10-6.
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
185
de propagación se convierta en una labor harto tediosa, y además sin la seguridad de obtener
mejores resultados que el método clásico sin transformación.
Para ilustrar lo anterior se ha simulado la forma habitual de evaluar las prestaciones de un
determinado absorbente en el campo de la óptica, y que no es otra que la propagación de un
haz gaussiano a través de un medio homogéneo. Si éste es lanzado con una inclinación
respecto del eje z de coordenadas y su spot size es elegido para que cuando el haz alcance el
absorbente apenas se haya producido difracción, que duda cabe que a partir de una cierta
distancia el haz debería haber desaparecido por completo de la zona de interés (la
comprendida entre los absorbentes), por lo que una buena medida del funcionamiento del
absorbente sería el calcular la evolución de la potencia en dicha zona y observar el valor final
al que se tiende, el cual , evidentemente, debería ser cero.
Cuando dicho tipo de simulaciones fue realizado se pudo comprobar la dificultad de
utilizar los métodos con transformación de variables en propagación. Solamente, y después de
haber optimizado de forma conjunta tanto el valor del factor de escalado como la amplitud del
absorbente, se pudo igualar el resultado obtenido cuando el método espectral era usado sin
transformación de variables (FDM) y ABC´s en los extremos del periodo. Los mapas de
contorno que se obtuvieron en cada caso y en una situación típica son los mostrados en las
Figs. 7.9 y 7.10., pudiéndose confirmar la coincidencia entre ambos. En la Fig. 7.11 se ha
representado también la evolución con la distancia de la potencia normalizada. En ella se
pretende poner de manifiesto la gran sensibilidad que, en problemas de propagación, presenta
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
Envolvente del campo: ABC sin transf. de variable
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
Fig. 7.9: Propagación de un haz gaussiano en medio homogéneo (el vacío, =1�m). Método de discretización transversal utilizado: FDM con ABC´s. Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud: 0.1, ancho: 10�m ��15�m ,�25�m�. Datos numéricos: N=128.
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 250
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200Envolvente del campo: ABC con transf. de variable
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
Fig. 7.10: Propagación de un haz gaussiano en medio homogéneo (el vacío, =1�m). Método de discretización transversal utilizado: MFDM con ABC´s. Datos del absorbente: perfil cosenoidal, amplitud:106, ancho: � ��15�m, ���. Datos numéricos: N=128; �x= 12· 10-6
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
186
el método con el factor de escalado.
Véase, por ejemplo, como un valor
erróneo conduce a resultados desastrosos.
7.6.- Conclusiones
Para finalizar el presente capítulo, se resumen a continuación los principales aspectos
tratados a lo largo del mismo:
-Se han analizado cuáles son las dificultades que presentan los métodos espectrales para
ser utilizados en problemas de propagación, lo que justifica el escaso avance que en los
últimos años se ha producido en este tipo de técnicas y que contrasta claramente con el
que por ejemplo sí ha tenido lugar en los métodos basados en diferencias finitas y
elementos finitos (FD-BPM y FE-BPM).
-En este sentido se han desarrollado los fundamentos de la más conocida y universal
técnica espectral en el ámbito de la propagación, el FFT- BPM. Ello ha permitido
comprender mejor sus limitaciones, a saber, su periodicidad, propia del espacio funcional
utilizado, y todas aquellas que se derivan de la aproximación realizada sobre el operador
exponencial.
-El problema de la periodicidad es habitualmente controlado a partir de la colocación de
absorbentes eléctricos en los extremos del periodo. Sin embargo, el elevado costo
computacional que supone su utilización, sobre todo, si éste es comparado con el que
obtienen los métodos FD-BPM con condiciones de contorno transparentes, ha centrado
0 50 100 150 200-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Eje Z (um)
dB
10·log10( Potencia(z) / Potencia(0) )
‘__ __’: FDM+A BC ‘_____’: MFDM + ABC
�x: 12·10-6
�x: 6·10-6
Fig. 7.11: Evolución de la potencia con la distancia. Ventana de integración: �-15�m ,15�m�.
Propagación Óptica mediante Técnicas Espectrales
187
los principales esfuerzos del capítulo. En concreto, se han abordado dos posibles
soluciones. Primero, intentar definir unas TBC´s para los métodos espectrales, y segundo,
aplicar la técnica de compresión de variables, que tan buen resultado dio en el análisis
modal, a la propagación. En ambos casos, el comportamiento obtenido no fue todo lo
satisfactorio que se esperaba.
-En cuanto a los problemas originados por la forma de resolver el propagador exponencial,
se propone en primer lugar que en vez de trabajar con la versión pseudoespectral o de
colocación, se haga con la espectral o de Galerkin. Con ello se obtendría una matriz del
sistema de menor tamaño que podría ser resuelta utilizando cualquiera de los métodos
clásicos de integración, como pudiera ser el método de Runge-Kutta, evitando así los
problemas derivados del FFT-BPM. Además, si la radiación fuera correctamente resuelta,
en el sentido de absorber los modos radiados aunque estos no sean perfectamente
representados, cabría la posibilidad de trabajar con un número de términos similar al
empleado en el análisis modal, con lo que se mejoraría notablemente la eficiencia de los
métodos espectrales.
Capítulo 8:
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones
de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
8.1.- Introducción
La aparición de las PML (Perfectly Matched Layer) [Berenger94� en el ámbito de las
microondas supuso un cambio drástico en las prestaciones de los absorbentes, alcanzándose,
con anchos reducidos y sin necesidad de cambiar las especificaciones del mismo, coeficientes
de reflexión muy bajos independientemente de la frecuencia, polarización y ángulo de
incidencia. La formulación original propuesta por Berenger fue pensada para ser utilizada,
exclusivamente, con el FDTD (Finite-Difference-Time-Domain). Aunque los resultados
obtenidos demostraron que el nuevo absorbente se iba a erigir en la forma más eficiente de
truncar problemas abiertos, sin embargo, la dificultad de transportar la idea subyacente del
método a otras técnicas de discretización, la cual no es otra que la descomposición del campo
en subcomponentes y definir sobre las mismas unas nuevas relaciones constitutivas, hizo que
pronto surgieran en la bibliografía nuevas formulaciones que facilitaran dicha labor. Entre
éstas cabe destacar, fundamentalmente, dos: de una parte, la basada en el concepto de
coordenada compleja [ChewSep94�, y de otra, más conocida como versión anisotrópica
[SacksDic95�, la basada en terminar los contornos del problema con un material anisotrópico
con pérdidas no sólo de tipo eléctrico, sino también de carácter magnético.
En el mundo de la óptica integrada, la aparición de las PML´s no tuvo, inicialmente, la
misma repercusión que la ocurrida, por ejemplo, en el campo de las microondas. Fue
necesario que transcurrieran algunos años para que surgieran los primeros intentos de importar
la mencionada técnica a las ecuaciones del BPM �HuangMay96��VasalloJun96�
�YevickEne97�. Tanto es así, que sólo ha sido aplicada al caso 2D/escalar. Además, dado que
hasta ahora únicamente se ha hecho uso de la versión de las PML´s basada en la propagación a
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
190
través de un medio con coordenadas complejas, formulación que es implementada muy
fácilmente en el FD-BPM, su posible utilización en métodos de discretización global está aún
por explotar.
Si a todo ello se le unen los malos resultados obtenidos cuando las TBC´s fueron
aplicadas al espacio funcional de Fourier, así como la imposibilidad de mejorar las
prestaciones de los absorbentes eléctricos con la técnica de la transformación de variables,
ambas analizadas en el capítulo anterior, parece obvio, que el intentar definir unas PML´s
adecuadas para los métodos espectrales se convertía, de forma clara, en el siguiente paso a
realizar en la elaboración de la Tesis y, quizás también, en el último intento por situar a los
métodos espectrales al mismo nivel de eficacia, en lo que a propagación se refiere, que el que
tienen los métodos basados en diferencias finitas o elementos finitos.
Para la consecución de dicho objetivo se ha desarrollado una formulación PML basada en
la versión anisotrópica que puede ser utilizada con métodos globales. Además, con el fin de
obtener el mayor grado de generalización posible, la formulación se ha realizado con la
intención de poder abordar la situación más compleja que pudiera darse, esto es, la 3D-
vectorial �WangüemertSep98�. La técnica ha sido probada en muy diversas y variadas
situaciones (2D/vectorial lineal y no-lineal), obteniéndose, en todos los casos, excelentes
resultados. Para describir el trabajo que se realizó en este ámbito, el capítulo ha sido dividido
en los siguientes puntos:
� En primer lugar se van a describir los fundamentos de las PML´s, tanto la versión
coordenada compleja como la anisotrópica.
� A continuación, se presentará la principal aportación realizada en esta segunda parte de la
Tesis, la obtención de una formulación vectorial-BPM con condiciones de contorno PML
anisotrópicas adecuada para su utilización con métodos espectrales.
� Por último, se mostrarán, por una parte, los excelentes resultados que se obtuvieron en las
diferentes pruebas a las que fue sometida la formulación, y por otra, una nueva forma de
aplicar los métodos espectrales en problemas de propagación, con la que se consigue, no
sólo una mejora notable en la precisión, sino además, superar todas la limitaciones del
conocido FFT-BPM.
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
191
8.2.- Los Absorbentes Perfectamente Adaptados
Los absorbentes perfectamente adaptados, o PML´s, se definen como aquellas condiciones
de contorno que consiguen, sin necesidad de cambiar sus especificaciones, satisfacer la
condición de no-reflexión para todo ángulo de incidencia, frecuencia y polarización. Como ya
se ha adelantado, existen básicamente dos formas diferentes de lograrlo, que se denominarán
de ahora en adelante PML-coordenada compleja [ChewSep94� y PML-anisotrópica
[SacksDic95�, respectivamente. Aunque posteriormente surgió una nueva versión, la PML-
escalado del campo �WernerOct97�, lo cierto es que, como en el propio artículo se indica, no
es más que una generalización de las dos anteriores, a partir de la cual éstas pueden ser
fácilmente deducidas.
8.2.1.- Versión Anisotrópica
En el capítulo anterior se pudo comprobar la imposibilidad de conseguir la condición de
no-reflexión con absorbentes eléctricos, dado que el coeficiente de reflexión resultante es
tanto mayor cuanto mayores sean las pérdidas del material. Evidentemente, en un problema de
incidencia oblicua con esas características no existe grado de libertad alguno sobre el que
actuar para anular el valor del coeficiente de reflexión. Únicamente, y así se hizo, se puede
minimizar su valor, para lo cual es necesario una adecuada selección del ancho, amplitud y
perfil del absorbente para que la discontinuidad entre los dos medios se produzca de la forma
más suave. Ahora bien, que duda cabe que si se utilizaran absorbentes que requieran un mayor
número de parámetros para quedar completamente caracterizados, la expresión del coeficiente
de reflexión entre los dos medios dependerá de un mayor número de variables, por lo que,
quizás, pudiera existir alguna combinación de los mismos con la que se satisfaga la condición
de no-reflexión.
Tomando como punto de partida la idea anteriormente expuesta, en �SacksDic95� se
propone utilizar absorbentes anisotrópicos con pérdidas tanto eléctricas como magnéticas. La
introducción de éstas últimas permitirá conseguir la condición de no-reflexión para incidencia
normal, mientras que la dependencia de las propiedades del medio con la dirección, o
anisotropía, permitirá conseguirla para el resto de ángulos. Se resumen a continuación, los
fundamentos y conclusiones más importantes que se pueden extraer de dicho trabajo.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
192
En la Fig. 8.1 se ha representado el planteamiento general del problema, la incidencia
oblicua de una onda plana entre un medio homogéneo y un medio absorbente con anisotropía
eléctrica y magnética, la cual, por simplicidad, es considerada diagonal.
La primera condición que debe ser satisfecha entre ambos medios es la igualdad o
adaptación de las impedancias características correspondientes. Con ello quedaría asegurada la
condición de no-reflexión para incidencia normal. Matemáticamente, esto puede ser escrito
como
Z Zmedio medio1 2� � � � � � � � � �� � � �1 11
2 21
� � �� �
�
�
�
�
�
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
o
o
o
o
Mx
o
My
o
Mz
o
Ex
o
Ey
o
Ez
o
j
j
j
j
j
j
�
�
�
���
�
�
���
� �
�
�
��������
�
�
��������
�
�
�
��������
�
�
��������
�
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
es decir, que la amplitud de las pérdidas eléctricas y magnéticas podrá ser todo lo grande que
se quiera siempre y cuando sean iguales entre sí, a saber
� � � �� �
�
��
�
��
�
��
� �
�
��
�
��
�
��
� �
�
�
�
�
�
��������
�
�
� �
�
�
�
�
�
��������
�
�
o
Ex
o
Ey
o
Ez
o
o
Mx
o
My
o
Mz
o
j
j
j
j
j
j
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
�i �r
�t
Medio 1
Medio 2
x
z� � � �� � � �� �
�
�
���
�
�
� ��
�
���
�
�
o o
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Fig.8.1: Incidencia oblicua desde un medio homogéneo (vacío) sobre un absorbente con anisotropía eléctrica y magnética.
(8.1)
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
193
� �
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0
0 0
0 0
�
�
�
�
�
��������
�
�
��������
�
�
�
�
�
�
��������
�
�
��������
� �
�
�
���
�
�
���
j
j
j
j
j
j
a
b
c
Ex
o
Ey
o
Ez
o
Mx
o
My
o
Mz
o
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
�
��
En cuanto a la condición no-reflexión para el resto de ángulos de incidencia, es posible,
forzando la continuidad de las componentes tangenciales de los campos �E y
�H en el interfaz,
establecer una serie de relaciones entre los elementos de la matriz � �� (a, b y c) que
garantizan su cumplimiento tanto para los modos TE (el campo�E sólo tiene componente y en
la Fig. 8.1) como para los modos TM (el campo�H sólo tiene componente y). Por ejemplo,
para la situación representada en la Fig. 8.1, la igualdad entre las fases de los campos da lugar
a la ley de Snell
sen sen� �i r�
sen sen� �i ta b� �
mientras que la igualdad de los módulos permite obtener una expresión del coeficiente de
reflexión en la discontinuidad
R
b
cb
c
TE
i t
i t
� �
�
cos cos
cos cos
� �
� �
para el modo TE, y
R
b
cb
c
TM
t i
t i
��
�
cos cos
cos cos
� �
� �
para el modo TM.
Por lo tanto, si se cumple que
a b� �1 � a b� �1
b c�
se asegura la condición de no-reflexión para cualquier frecuencia, ángulo de incidencia y
polarización. La expresión del campo transmitido hacia el medio PML se puede demostrar que
viene dada por
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(8.5)
(8.6)
(8.7) a b c� � �1
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
194
� �E x z E e et o
k p x jk x zo t o t t( , ) cos (cos sen )� � �� � � � � � �
en donde se ha asumido que las pérdidas en la zona PML pueden ser escritas como
a b c j p� � � � �1 1
Obsérvese, cómo, aunque no exista reflexión para cualquier ángulo de incidencia, sin
embargo, la atenuación sufrida por el campo en el interior del medio PML sí depende de dicho
ángulo, siendo mayor para incidencia normal y nula para incidencia rasante.
La relación matemática obtenida en (8.7) es válida si el interfaz se sitúa en el plano YZ.
En el caso de hallarse sobre los planos XY ó XZ, debe ser sustituida por estas otras
a b c� ��1 ; para el plano XZ
a b c� � �1 ;para el plano XY
Por último, destacar que, aunque la amplitud de las pérdidas ‘p’ puede ser en principio
todo lo grande que se quiera, lo cierto es que, en aras de minimizar las reflexiones numéricas
que se producen siempre que exista una discontinuidad en las propiedades del material
�WuDic95�, la práctica habitual suele ser seleccionar un perfil p(x), continuo, el cual,
partiendo de cero en el interfaz alcance su valor máximo en el extremo de la zona PML, justo
en el punto en donde se ha truncado el problema. El perfil típicamente utilizado es el de tipo
polinómico, y más en concreto el parabólico, pudiéndose escribir como
p x Ax
n
( ) � ��
�
�
��
�
donde ‘A’ es la amplitud máxima de las pérdidas y ‘�‘ el ancho del absorbente.
8.2.2.- Versión Coordenada Compleja
En el apartado anterior se ha comentado la forma en que las PML´s anisotrópicas
consiguen la condición de no-reflexión. Ahora bien, si se analiza la expresión de una onda
plana, (� �
�
�
E E eojk r
� �
� ) el mismo efecto se puede lograr si el campo se propaga a través de un
medio con pérdidas (actuar sobre el vector de onda �k ), como si lo hace a través de una zona
en la que las coordenadas pasan a ser complejas (actuar sobre el vector de posición �r ). Pues
bien, la versión coordenada compleja de las PML hace uso de esta idea para atenuar el campo
en la zona PML. En cuanto a la condición de no-reflexión, ésta es deducida partiendo de unas
ecuaciones de Maxwell modificadas
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
195
� � � �e oE j H� �
��
� � � � � �h oH j n x y E� �
� � 2( , )
en donde los operadores �ey �hvienen definidos como
� � ex y z
xe x
ye y
ze z
� � �1 1 1�
�
�
�
�
�
� � hx y z
xh x
yh y
zh z
� � �1 1 1�
�
�
�
�
�
y calculando las relaciones que deben satisfacer los factores de escalado ex, ey, ez, hx, hy, y hz
para que la incidencia de una onda plana desde un medio homogéneo sobre otro con
coordenadas complejas se haga con coeficiente de reflexión igual a cero �ChewSep94�.
La principal ventaja que presenta la versión
PML-coordenada compleja es que su implementación
en un esquema de diferencias finitas es inmediata.
Para ello basta con definir un mallado no-
equiespaciado en la zona PML, tal y como se muestra
en la Fig. 8.2, con lo que únicamente es necesario
modificar la expresión con que está siendo
aproximada la derivada segunda del campo al pasar
de la zona de interés a la zona PML. Así, la expresión
a utilizar en un punto xi del mallado perteneciente al absorbente sería la siguiente
�YevickSep91�
� �
�
� � � �2
21
1 1
1
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )x
x x x
x x
x
x x
xx x i i
i i
i
i i
ii� �
�
��
�
���
���� � � �
donde �xi=xi+1-xi y �xi-1=xi-xi-1.
En la zona PML, la distancia entre muestras (�xi en la Fig. 8.2) se incrementa como
consecuencia del aumento negativo que presenta la parte imaginaria de la coordenada
compleja en el medio. Si el perfil que presenta dicho incremento viene dado por la función
p(x) (que pudiera ser el mismo que el utilizado con las PML´s anisotrópicas), el aspecto que
adopta la expresión (8.17) resulta ser finalmente la siguiente
� �
�� � �
2
21 1
11
12 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
( )( ) ( ) ( )
x
x x jp jp jpx
jp jpx
jpx
x x i i ii
i ii
ii
i�� �
�
�
�� �
� � ��
��
�
�
��
�
�
�
�� �
�����
(8.13)
(8.14)
(8.15)
(8.16)
Zona PMLExtremo de la zonade interés
�x �xi=�x(1-jpi)
xreal xcompleja
Fig.8.2: Mallado no-equiespaciado complejo de la zona PML.
(8.17)
(8.18)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
196
en donde se puede comprobar que si pi es cero (el punto xi pertenece a la zona de interés) se
reduce a la clásica y conocida fórmula de diferencias finitas para puntos equiespaciados.
8.3.- Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML
Supóngase que se desea analizar la propagación a través de una guiaonda 3D definida por
su constante dieléctrica relativa �(x,y). Si ésta se encuentra inmersa en un medio absorbente
con anisotropía eléctrica y magnética, tal y como se muestra en la Fig. 8.3, las ecuaciones de
Maxwell que gobiernan la propagación electromagnética a través de toda la estructura vienen
dadas por
� ��� � � �� �E j x y Ho c�� � ( , )
� ��� � � �� �H j x y x y Eo c�� � �( , ) ( , )
donde � ��c x y( , ) y � �� c x y( , ) son matrices diagonales las cuales representan,
respectivamente, las pérdidas magnéticas y eléctricas del material. Dichas matrices valen la
unidad en la zona de guiado mientras que en el interior del absorbente incrementan
negativamente su parte imaginaria.
Si a continuación se desea que el absorbente se comporte como un medio PML, es
necesario imponer las dos condiciones deducidas en el apartado anterior. Primero, la
condición no-reflexión para incidencia normal
� � � � � �� �c cx y x y x y
a x y
b x y
c x y
( , ) ( , ) ( , )
( , )
( , )
( , )
� � ��
�
���
�
�
�
0 0
0 0
0 0
y segundo, la condición de no-reflexión para el resto de ángulos. Ello obliga a que se
satisfagan ciertas relaciones entre a(x,y), b(x,y) y c(x,y), dependiendo del plano en que se sitúe
el interfaz guiaonda-PML. Dichas relaciones son mostradas en la Fig. 8.3.
Seguidamente, si se aplica el rotacional a las
ecuaciones (8.19) y (8.20) y se introduce la
condición PML (8.21), se obtiene la siguiente
ecuación de ondas vectorial para el campo
eléctrico
(8.19)
(8.20)
(8.21)
(8.22)
a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y) c(x,y) = c(x)·c(y)
�(x,y)a = b = c = 1
a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y) c(x,y) = c(x)·c(y)
a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y)
c(x,y) = c(x)·c(y)a(y) =b 1(y) =c(y)
a-1(x) = b(x) =c(x)
a(x,y) = a(x)·a(y)b(x,y) = b(x)·b(y) c(x,y) = c(x)·c(y)
a(y) =b -1(y) =c(y)y
x
a-1(x) = b(x) =c(x)
Fig. 8.3: Geometría de la guiaonda y de la región PML que le rodea. Las relaciones impuestas en las esquinas han sido tomadas de �WuEne97 .
� � � �� � � ���
���� � �
�� �
1 2� �E k x y Eo�( , )
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
197
la cual, combinada con la ecuación de la divergencia
� �� �� � � � ��( , )x y E��
0
permitirá deducir las ecuaciones de ondas que relacionan las componentes transversales del
campo eléctrico.
Para ello, y teniendo en cuenta que el problema planteado puede ser tratado como un caso
general de guiaonda anisotrópica, es posible seguir un proceso similar al realizado en
[XuNov94� para guiaondas con anisotropía eléctrica únicamente, para obtener las ecuaciones
de onda paraxiales que relacionan las envolventes complejas transversales del campo
eléctrico. Realizándolo, se obtiene
2 jz
P P
P PNx
y
xx xy
yx yy
x
y�
�
�
�
�
�
�
���
����
�
��
�
� �
���
���
donde �N es la constante de propagación de referencia usada en la aproximación paraxial, y Pii
y Pij representan, respectivamente, el operador diferencial copolar y contrapolar de cada una
de las componentes transversales. Éstos vienen dados por
� � � �Px c x
a by c y
k a b bxx xx
o N x��
� ����
��
�
��
�
� � � � ���
� �
�
�� �
�
�
��
�� � �
1 1 2 2 1
� �Px c y
b by c xxy y
y�
�� �
�
��
�
�
�
��
�
�
�
� �
�
�� �
�
�
��
�
1 1
� � � �Py c y
b ax c x
k b a ayy yy
o N y��
� ��
��
�
�
�
��
�
� � � � ���
� �
�
�� �
�
�
��
�� � �
1 1 2 2 1
� �Py c x
a ax c yyx x
x��
� ����
��
�
��
�
�
�
� �
�
�� �
�
�
��
�
1 1
La formulación obtenida ha sido probada en estructuras 2D (slabs). En ese caso, como ya
es sabido, las componentes transversales se encuentran desacopladas, resultando dos
soluciones diferentes e independientes, la TE (Transversal Eléctrica) y la TM (Transversal
Magnética). Si la dirección de invariabilidad transversal de la estructura es elegida para que
coincida con el eje y, el aspecto que finalmente toman los operadores diferenciales Pxx(TM) y
Pyy(TE) es el siguiente
� �P Px c x c
kxx TM x o N x� ��
���
���
�
���
� �
�
� �
�
�
�� � � �
1 2 2
(8.23)
(8.24)
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
(8.29)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
198
� �P Pc x c x
kyy TEy
o N y� ��
��
�
� �
1 1 2 2�
�
��
�� � �
en donde ya se ha hecho uso de las relaciones previamente definidas que deben ser satisfechas
entre a(x), b(x) y c(x) en el interior del medio PML.
Por último, parece interesante comparar la formulación que se ha obtenido con la que
resulta si en lugar de la versión anisotrópica de las PML´s se emplea la versión de
coordenadas complejas. Partiendo de las ecuaciones de Maxwell modificadas definidas en
(8.13) y (8.14) es posible obtener, siguiendo un proceso similar al anteriormente descrito, las
expresiones de los operadores diferenciales. En el caso de una estructura 2D el resultado al
que se llega es el siguiente
� �
� �P Pe x e x
kxxcc
TMcc
x x
xo N x� �
�
��
��
�
� �
1 1 2 2�
� �
� � �
�� � �
� �P Pe x e x
kyycc
TEcc
x x
yo N y� �
�
��
�
� �
1 1 2 2�
�
��
�� � �
el cual, si es comparado con las expresiones (8.29) y (8.30), permite concluir que ambas
formulaciones son exactamente iguales para los modos TE pero diferentes para los modos
TM. Es más, la versión coordenada compleja trata por igual a los campos transversales
eléctricos y magnéticos en el interior de la zona PML. Estas diferencias ya han sido descritas
con anterioridad en la literatura �WuEne97�, donde son atribuidas al carácter no-Maxweliano
de la formulación coordenada compleja, que da lugar a condiciones de salto en el interfaz con
el medio PML diferentes para los campos normales (�x) .
8.4.- Resultados
La formulación vectorial-BPM con condiciones de contorno PML que se acaba de presentar
puede ser discretizada transversal y longitudinalmente de muy diversas formas. El método que
aquí se propone ha sido ya esbozado en el capítulo anterior cuando se analizaban las
limitaciones del conocido FFT-BPM, y consiste, como se recordará, en utilizar la versión
espectral (método de Galerkin), en lugar de la pseudoespectral (método de colocación), del
espacio funcional de Fourier para discretizar los operadores transversales, y el operador
exponencial o cualquier método clásico de integración (por ej. Runge-Kutta) en la dirección
de propagación. Lo que se persigue con ello es poder disminuir el número de coeficientes del
(8.30)
(8.31)
(8.32)
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
199
desarrollo en serie de Fourier para que la aplicación del operador exponencial, necesario por
otra parte para poder superar todas las limitaciones implícitas del FFT-BPM, no se descarte de
antemano, sino al contrario, se presente como una opción, desde un punto de vista
computacional, atractiva y competitiva. Además, obsérvese que, las ecuaciones (8.25)-(8.28)
no pueden ser resueltas mediante el FFT-BPM, pues, como ya es sabido, es necesario, para su
aplicación, que el operador diferencial transversal pueda ser escrito como la suma de dos
términos, derivada segunda y el producto por el índice de refracción, cuya discretización con
Fourier de lugar a sendas matrices diagonales en el dominio de los coeficientes y en el
dominio de los puntos, respectivamente. El cruce entre las derivadas del campo eléctrico y los
factores de pérdidas anisotrópicas (a(x), b(x) y c(x)) en el interior del medio PML, de forma
similar a lo que ocurría con los modos TM, incumplen dicha condición e imposibilitan su
aplicación.
Para comprobar y evaluar no sólo la validez del método de resolución propuesto, sino
también el buen comportamiento de las PML´s anisotrópicas, se han analizado muy diversas y
variadas situaciones en estructuras 2D (y-invariantes), obteniéndose en todos los casos,
resultados muy satisfactorios. Aunque el medio PML se comportó de manera muy robusta
ante cualquier cambio en los parámetros que lo definían (tipo de perfil, ancho y amplitud), en
todas las situaciones que a continuación se van a presentar se empleó el medio PML siguiente:
c x jp x jAx
( ) ( )� � ��
�
�
��1 1
2
�
Por su parte, la excitación inicial utilizada fue siempre una gaussiana. El valor concreto
de su ancho (‘spot size’), media y ángulo de incidencia vendrán determinados por el efecto
que en cada simulación se pretendía analizar. En cualquier caso, la expresión genérica de la
misma viene dada por
� ��
�( , ) senx z e e
x x
x j k x xm
s o i m� � ��
��
��
�
��
� � � � �0
2
donde xm, xs y �i son, respectivamente la media, ancho y ángulo de incidencia (medido
respecto del eje z de propagación) y ko el vector de onda del medio desde donde se incide,
habitualmente, y salvo que se diga lo contrario, el vacío.
(8.33)
(8.34)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
200
8.4.1.- Propagación en Medios Homogéneos
Como ya se comentó en el capítulo anterior, la forma habitual de evaluar las prestaciones
de un absorbente en el campo de la óptica consiste en lanzar, hacia una de las paredes o
contornos de la ventana de computación, un haz gaussiano con poca difracción y con un cierto
ángulo de inclinación para que, al cabo de una cierta distancia, éste haya sido completamente
absorbido por el medio absorbente. La evolución de la potencia normalizada, y el valor final al
que ésta tiende, será una muy buena medida sobre el buen funcionamiento del mismo.
En la 8.4 (a) se muestra el mapa de contorno obtenido para el modo TE y un ángulo de
inclinación de 15o respecto del eje de propagación. En ella se puede observar cómo el medio
PML realiza, con éxito, las dos funciones para las que fue pensado; primero, ser capaz de
absorber sin reflexión el frente de ondas incidente, y segundo, conseguir, que en un ancho
muy reducido, el campo quede totalmente atenuado. Asimismo, en la Fig. 8.4 (b) se ha
representado la variación con la distancia de la potencia contenida en la zona de interés (la
comprendida entre las líneas verticales de la Fig. 8.4.(a)) y normalizada al valor inicial, para
diferentes ángulos de incidencia. El comportamiento que se observa es el que cabría esperar,
pues, como ya se puso de manifiesto en la ec. (8.8), la atenuación sufrida por el campo en el
interior del medio PML sí que depende del ángulo de incidencia, siendo máxima para
incidencia normal y nula para incidencia rasante. Una prueba que informa de la eficiencia de
los absorbentes es el valor asintótico final al que tienden las diferentes curvas. Si éste es
−50 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 40 500
50
100
150
200
250
300
350
X (um)
Z(u
m)
(a)
Fig. 8.4: Propagación de un haz gaussiano sin difracción en un medio homogéneo (el vacío), modo TE. (a) Mapa de contorno para un ángulo de inclinación de 15o. (b) Evolución de la potencia normalizada con la distancia de propagación para diferentes ángulos de incidencia. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �= 5�m. Datos de la excitación: xm=0, xs=18�m. Datos físicos: �=1�m. Datos numéricos: N=128
0 1000 2000 3000 4000-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Eje Z (um)
dB
10·log10 ( Potencia(z) / Potencia (z=0))
Modos TE Angulos de incidencia (o): 5-15-25-35-45-55
x
�iz
(b)
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
201
comparado por ejemplo con el que se obtenía con los absorbentes eléctricos, se observa una
mejora bastante considerable en las condiciones de contorno (del orden de los 40 dB).
Cuando el mismo tipo de experimento fue realizado sobre los modos TM se obtuvieron
los resultados que aparecen en la Fig. 8.5. En ella se puede observar que las curvas presentan
cualitativamente el mismo aspecto, sin embargo, los valores finales a los que todas ellas
convergen se encuentran unos 20 dB por
debajo de los que, para un mismo ángulo, se
obtenían con los modos TE. Dicho resultado
no debe parecer extraño, pues, como se
recordará, la diferencia entre la formulación
PML-anisotrópica y la formulación PML-
coordenada compleja se hallaba
precisamente en el diferente tratamiento de
la polarización que se obtenía con la
primera, mientras que con la segunda, los
modos TE y TM eran tratados por igual e
iguales a su vez al modo TE de la versión
anisotrópica.
El buen funcionamiento de las PML´s queda corroborado si se analiza una situación que,
como ya se explicó en el capítulo anterior, presentaba serias dificultades para ser abordada con
las TBC´s, la coincidencia de dos o más frentes de ondas sobre los contornos del problema.
Una forma de simularla consiste en excitar dos haces gaussianos altamente difractivos
�VasalloJun96�. Los resultados obtenidos con la formulación propuesta son los mostrados en
la Fig. 8.6(a) (mapa de contorno) y 8.6(b) (vista tridimensional). En ellas se puede comprobar
cómo el patrón de interferencia formado es perfectamente absorbido sin reflexión por el
medio PML.
Por último, y con el fin de cuantificar el error cometido en el campo eléctrico en todos y
cada uno de los puntos del dominio de interés, se procedió a resolver la siguiente ecuación de
ondas
��
�
� �
�
( , ) ( , )x z
z
j
k
x z
xo� �
�
���
�
� 2
2
2
0 1000 2000 3000 4000-140
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Eje Z (um)
10·log10 ( Potencia(z) / Potencia (z=0))
Modos TM Angulos de incidencia (o): 5-15-25-35-45-55
dB x
�iz
Fig. 8.5: Propagación en medios homogéneos. Evolución de la potencia normalizada con la distancia de propagación para diferentes ángulos de incidencia. Modos TM. Datos de la simulación: mismos que Fig. 8.4
(8.35)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
202
la cual, como se puede comprobar, no es más que la propagación a través del vacío y donde la
!N ha sido elegida con el siguiente valor
� N o medio ok n k� � � (8.36)
Tal situación resulta ser particularmente interesante pues su solución exacta es conocida y
viene dada por
�( , )x zx
Xes
z
x
Xz� ���
��
�
�
2
donde Xz representa el ancho (o spot size) complejo, el cual es definido como
X x jz
kz so
2 2 2�
Seguidamente, y haciendo uso de la misma definición dada en �VasalloJun96� para
evaluar los errores que se cometen en el campo eléctrico con la distancia de propagación, a
saber
Err z
x z x z
x z
iexacto
ii
exactoi
i
( )
( , ) ( , )
( , )�
"
"
� �
�
2 2
2
se ha comparado la técnica espectral propuesta en esta Tesis con el método habitual de
resolución empleado en el ámbito de la propagación óptica, diferencias finitas y condiciones
(8.36)
−15−10−5051015
0
10
20
30
40
50
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje X (um)
Eje Z (um)
(b)
−10 −5 0 5 100
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
(a)
Fig. 8.6: Incidencia de dos haces gaussianos altamente difractivos sobre el medio PML, modo TE. (a) Mapa de contorno (b) Vista tridimensional del módulo de la envolvente. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �= 5�m. Datos de la excitación: xm1= -5�m, xm2= 5�m, xs1=0.4�m, xs2=0.4�m. Datos físicos: �=1�m. Datos numéricos: N=128
(8.37)
(8.38)
(8.39)
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
203
de contorno PML-coordenada compleja en los extremos del dominio. En ambos casos, y para
separar los errores transversales de los longitudinales, se utilizó el propagador exponencial.
Los resultados obtenidos, en función del número de armónicos y en función del número de
puntos del mallado, según corresponda, son mostrados en la Fig. 8.7. En ella se puede
comprobar cómo los errores cometidos con diferencias finitas y 512 puntos son comparables a
los obtenidos con Fourier y 64 armónicos. Aunque, evidentemente, en la comparativa que se
ha hecho entre ambos métodos no han sido tenidos en cuenta los errores numéricos que se
podrían cometer en la dirección de propagación, dada la aplicación del propagador
exponencial, el solo hecho de poder resolver mediante técnicas espectrales y con unos
parámetros numéricos muy competitivos lo
que habitualmente se suele hacer con el FD-
BPM, justifica la importancia de la
formulación vectorial-BPM con condiciones
de contorno PML que se ha presentado. Es
más, como seguidamente se va a demostrar,
su resolución mediante la técnica todo-
espectral propuesta supera con creces, no
sólo los problemas asociados, sino también
la precisión, del hasta ahora único método
espectral utilizado para simular la
propagación de la envolvente óptica, el
FFT-BPM.
8.4.2.- Propagación en Guiaondas-2D
El verdadero interés de la nueva formulación PML desarrollada, así como del método
espectral propuesto para su resolución, radica en la propagación óptica guiada. Para estudiar
cómo responde ante la nueva situación, se han utilizado el mismo tipo de simulaciones y
resultados que los empleados en �ChungAgo90� para comparar exhaustivamente el FD-BPM y
el FFT-BPM. En dicho artículo, un clásico por otra parte en el campo de la simulación óptica,
se dejan bien a las claras las ya conocidas limitaciones del FFT-BPM y cómo pueden
superadas gracias a la utilización del FD-BPM. En el mencionado trabajo, para evaluar las
prestaciones de ambos métodos, se cuantifica la precisión obtenida en la constante de
0 5 10 15 20 25 30 35 4010
−7
10−6
10−5
10−4
10−3
10−2
10−1
Eje Z (um)
Err
(z)
FD−64
FD−128
FD−256
FD−512
Fou−64
Fou−128
Fig. 8.7: Error relativo del campo para Fourier (Fou) y Diferencias Finitas (FD) definido en (8.39) frente a la distancia de propagación. Datos del PML: A=8, �= 1.5�m. Datos de la excitación: xm=0, xs=0.4�m. Datos físicos: �=1�m. Ventana de computación: �-6�m, 6�m .
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
204
propagación del modo fundamental cuando un slab de salto de índice, en condiciones
monomodo, es excitado inicialmente con una gaussiana. Existen diversas formas para, una
vez realizada la propagación, evaluar el valor de la constante de propagación. La que se ha
empleado en la realización de la Tesis consiste en calcular la pendiente de la fase de la
envolvente compleja del campo a distancias muy alejadas del plano de excitación, una vez que
los modos radiados se han alejado de la zona de guiado y han sido absorbidos por el medio
PML. La razón de su utilización es que con ello se consigue además conocer el grado de
absorción de las PML´s y su comportamiento en presencia de campo evanescente. Téngase en
cuenta que un mal resultado podrá ser debido tanto a la precisión del método de discretización
transversal como a las posibles reflexiones ocasionadas con el medio PML.
Haciendo uso de la técnica anteriormente descrita se han analizado los dos slabs de salto
de índice propuestos en �ChungAgo90�. El primero de salto pequeño (nsubstrato=ncubierta=3.377;
nnúcleo=3.38) y el segundo de salto abrupto (nsubstrato=3.377; nnúcleo=3.38; ncubierta=1.0). El error
relativo cometido en la constante de propagación normalizada en función del número de
coeficientes empleados es el representado en las Figs. 8.8 y 8.9 para guiado débil y guiado
fuerte, respectivamente. Con el fin de evaluar la precisión lograda por nuestro método en
comparación con el FD-BPM y FFT-BPM, en ambas figuras también se muestra el error que
se obtiene si en dirección longitudinal se sigue empleando el propagador exponencial pero en
la dirección transversal los operadores son discretizados usando por una parte diferencias
finitas (FD), y por otra, la versión pseudoespectral (MPE) del espacio funcional de Fourier, lo
cual es equivalente a utilizar el FD-BPM y el FFT-BPM con pasos de propagación (�z) muy
pequeños. De hecho, los resultados así obtenidos coinciden plenamente con los publicados en
�ChungAgo90�. Para que la comparación fuera lo más ecuánime posible, los extremos del
dominio fueron terminados con condiciones de contorno PML en ambos casos, la versión
coordenada compleja para diferencias finitas, y la anisotrópica para el método
pseudoespectral.
La conclusión más importante a la que se llega en �ChungAgo90� es que si bien para
valores de �z pequeños la precisión conseguida con el FFT-BPM y FD-BPM son del mismo
orden de magnitud (véanse sus respectivas velocidades de convergencia en las Figs. 8.8 y 8.9),
sin embargo, a medida que aumenta el gradiente del índice de refracción, el comportamiento
del FFT-BPM se vuelve muy sensible al paso de propagación empleado, degenerando
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
205
rápidamente a poco que se incremente. Todo lo contrario ocurre con el FD-BPM que presenta
un comportamiento bastante más estable y robusto.
Ahora bien, con la nueva modalidad de técnica espectral sugerida en esta Tesis, la
situación de clara desventaja en la que se encontraban los métodos espectrales cambia por
completo pues, como se puede observar en las Figs. 8.8 y 8.9, las velocidades de convergencia
que se consiguen tanto en guiado débil como en fuerte son muy superiores a la del FD-BPM, y
por supuesto también a la del FFT-BPM. Además, al trabajar con el propagador exponencial,
no existe limitación alguna a la hora de elegir el tamaño del paso de propagación, pudiendo
ser en principio, todo lo grande que se quiera.
En cuanto a lo que ocurre con la distribución espacial del campo, las diferencias
obtenidas son, si cabe, más apreciables. Es más, con el método todo-espectral propuesto, se
consigue un comportamiento bastante interesante. Éste fue planteado en el capítulo anterior y
como se recordará consistía en que, aunque no sea posible representar con un número
reducido de coeficientes lo que ocurre en la fase inicial de la propagación, justo cuando se
produce la radiación, y por tanto, la mayor variabilidad del campo, si se es capaz de absorber
la potencia contenida en los modos radiados será posible obtener una buena representación del
campo una vez que se alcance el modo que la estructura en cuestión soporte, lo cual, por otra
parte, es lo que en la mayoría de las ocasiones interesa conocer para poder diseñar un
dispositivo o analizar su funcionamiento. Para ilustrar la veracidad de la afirmación anterior
se ha representado en las Figs. 8.10 (a) y 8.10 (b) los mapas de contorno que se obtienen
0 16 32 64 128 256-80
-60
-40
-20
0
20
40
N
Error Relativo constante de propagación normalizada (%)
Modo TE-Guiado fuerte:‘o’ FD Diferencias Finitas‘+’ MPE Método Pseudoestectral‘*’ ME Método Espectral
Valores finales (%): FD: -2.01; MPE: -2.65; ME: -0.15
Fig. 8.9: Evolución del error relativo de la constante de propagación obtenido con el FD, MPE y ME. Modo TE-Guiado fuerte. Datos físicos: ns=3.377; nf=3.38; nc=1.0; ancho del slab=4�m; �= 1.15 �m.
0 16 32 64 128-20
-15
-10
-5
0
5
10
N
Error Relativo constante de propagación normalizada (%)
Modo TE-Guiado débil:‘o’ FD Diferencias Finitas‘+’ MPE Método Pseudoestectral‘*’ ME Método Espectral
Valores finales (%): FD: 1.19; MPE: 1.12; ME: -0.01
Fig. 8.8: Evolución del error relativo de la constante de propagación obtenido con el FD, MPE y ME. Modo TE-Guiado débil. Datos físicos: ns=nc=3.377; nf=3.38; ancho del slab=4�m; �= 1.15 �m.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
206
cuando la propagación en el citado
slab es resuelta mediante la técnica
todo-espectral con 16 y 128
armónicos respectivamente. Si
ambos son comparados, se podría
pensar que la mala representación
de la radiación que resulta cuando
se trabaja con un reducido número
de armónicos pudiera afectar, y
mucho, a lo que ocurre a distancias más alejadas del plano de excitación. Ahora bien, como
muy se observa en la Fig. 8.11, si se comparan los perfiles de campo eléctrico una vez que el
modo ha sido prácticamente alcanzado, apenas existen diferencias entre las soluciones
obtenidas con 16 y 128 armónicos. No ocurre lo mismo con el método pseudoespectral cuya
solución con 16 coeficientes difiere bastante de la que se obtiene con 128. Este resultado no
hace más que confirmar la mayor velocidad de convergencia que se consigue cuando, en lugar
de utilizar la versión pseudoespectral de un determinado espacio funcional global (como por
ejemplo hace el FFT-BPM con el espacio funcional de Fourier), se utiliza su versión todo-
espectral (método de Galerkin), o, tal y como se dio en llamar en el capítulo tercero,
simplemente espectral.
-20 -15 -10 5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
Eje X (�m)
�(x,5000 �m): ME (128) MPE (128)�(x,5000 �m): ME (N=16)
�(x,5000 �m): MPE (N=16)
Fig. 8.11: Comparación entre las distribuciones de campo al final de la propagación
−20 −15 −10 −5 0 5 10 150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Envolvente modo TE(ME,N=16)
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
−20 −15 −10 −5 0 5 10 150
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
Envolvente modo TE(ME,N=128)
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
(a) (b)
Fig 8.10: Mapa de contorno del modo TE obtenido con el método espectral con 16 y 128 armónicos respectivamente. Modo TE, guiado débil.
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
207
8.4.3.- El Modo TM en Guiaondas-2D
Como se demostró en el capítulo anterior, el esquema de discretización longitudinal
utilizado por el FFT-BPM no puede ser aplicado para resolver la ecuación de ondas que
gobierna la propagación de los campos transversales magnéticos o modos TM a través de una
guiaonda 2D. Sin embargo, con el nuevo esquema de discretización propuesto en esta Tesis,
no es necesario imponer ningún tipo de restricción sobre la matriz que resulte del proceso de
discretización transversal; únicamente, y en aras de no incrementar excesivamente el costo
computacional que conlleva la propagación, es suficiente con reducir sus dimensiones, lo cual,
como se acaba de demostrar, es posible si se trabaja con el Método de Galerkin en lugar de
con el de colocación.
Para demostrar cómo con la nueva formulación PML y la versión mejorada de los
métodos espectrales era posible representar la propagación de los modos TM a través de un
slab, que, evidentemente tendrá que ser de salto abrupto para no degenerar en el modo TE, se
ha representado en la Fig. 8.12(a) y 8.12(b) el mapa de contorno que se obtiene, en un slab
con un perfil en el índice de refracción del tipo secante hiperbólico cuadrado, con la
formulación anisotrópica y con la formulación coordenada compleja respectivamente. Como
ya se adelantó cuando ambas formulaciones fueron presentadas, el comportamiento en el
interior del medio PML es diferente. Esto puede ser confirmado en dichas figuras, en donde se
puede observar la perfecta coincidencia de los mapas de contorno en la zona de guiado y
−20 −15 −10 −5 0 5 10 150
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Envolvente modo TM−PML anisotrópica
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
−20 −15 −10 −5 0 5 10 150
50
100
150
200
250
300
350
400
450
Envolvente modo TM−PML coordenada compleja
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
(a) (b)
Fig. 8.12: Propagación del modo TM a través de un slab con perfil de tipo secante hiperbólico cuadrado. (a) Formulación PML-anisotrópica. (b) Formulación PML-coordenada compleja. Datos físicos: :nf=4.0, ns=2.0, n2(x)=n2
s+( n2f - n
2s)· sech2(x), �=20�m. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=5�m. Datos de la
excitación: xm=0, xs=1.25 �m. Datos numéricos: N=128.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
208
difieren en la zona PML. Lo más sorprendente de la formulación PML-anisotrópica es que, a
diferencia de lo que ocurría con la propagación en medios homogéneos, el campo en el
interior del absorbente tiende aun valor distinto de cero y con una distribución que se asemeja
cualitativamente al perfil PML que se haya empleado. Tal efecto es mostrado en la Fig. 8.13
en donde los campos (�x) al final de la propagación son comparados con el primer modo TM
que la estructura soporta, que dicho sea de paso, ha sido obtenido numéricamente mediante la
utilización del FDM. En ella se puede
corroborar una vez más el buen
comportamiento de las dos formulaciones
PML, pues los perfiles de los campos, una
vez desprendidos de los modos radiados, son
exactamente iguales que el modo TM en la
zona de interés.
Por otra parte, como es bien sabido, un
problema implícito del espacio funcional de
Fourier es su imposibilidad de representar
funciones discontinuas. En la situación
anteriormente analizada el perfil del índice
de refracción utilizado es una función
continua, y por consiguiente, las
componentes del campo normales al interfaz
son también continuas, como se puso de
manifiesto en la Fig. 8.13. Ahora bien, si el
índice de refracción posee un perfil de salto
de índice abrupto, las componentes
transversales del campo no podrán ser bien
representadas. Para dejar en evidencia este
punto negro del espacio funcional de Fourier
se ha analizado la propagación en un slab de
las características anteriormente reseñadas,
comparándose nuevamente los campos
eléctricos transversales (�x) al final de la
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Campos finales ��x(x,zfinal)�
Eje X (um)
zonaPML
zonaPML
Campo en la zonaPML de la versión
anisotrópica
Fig. 8.13: Comparación entre la formulación PML-anisotrópica y la PML-coordenada compleja: campos al final de la propagación representada en las Figs. 8.11 (a) y 8.11 (b). En la Fig. también se ha pintado el modo TM soportado por la estructura.
-15 -10 -5 0 5 10 150
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje X (�m)
Campos finales ��x(x,zfinal)�
zonaPML
zonaPML
PML-a PML-cc
Solución exacta modo TM
Fig. 8.14: Comparación entre las distribuciones de campo obtenidas al final de la propagación y el modo TM soportado por la estructura. Datos físicos: slab de salto de índice, nf=1.80, ns=nc=1.55, ancho slab=2.5�m, �=6.3 �m. Datos de la excitación: xm=0, xs=2.20�m. Datos numéricos: N=128
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
209
propagación con los del modo TM, en este caso obtenido analíticamente. El resultado es el
mostrado en la Fig. 8.14 y en ella se aprecia claramente cómo las PML siguen funcionando
correctamente pero, sin embargo, a raíz de la discontinuidad forzada que debe presentar el
campo en los interfaces núcleo-substrato y núcleo-cubierta, la solución numérica obtenida
sufre el conocido fenómeno de Gibbs.
8.4.4.- Aplicación de las PML a la Simulación de Dispositivos No-Lineales
Para conseguir la condición de no-reflexión entre un medio dieléctrico y el absorbente
PML, además de imponer el mismo ritmo de variación para las pérdidas eléctricas y
magnéticas, se impuso, como condición necesaria, que el índice de refracción en el interior del
medio PML se mantuviera constante e igual al valor del medio desde donde se incidía. Quiere
eso decir, que si el PML es colocado para truncar un medio no-lineal indefinido la
formulación que se ha desarrollado no sería válida pues el índice de refracción dependerá de la
intensidad del campo en cada punto del espacio, y por consiguiente, se producirá una
variación continua de la impedancia característica a medida que el campo penetra en el
interior del absorbente. Sin embargo, la formulación propuesta podrá seguir siendo utilizada
para el análisis de la propagación en dispositivos no-lineales siempre y cuando sea posible
truncar el dominio de observación en las zonas lineales de la estructura bajo estudio. Es el
caso, por ejemplo, de los dos slabs no-lineales representados en las Figs. 8.15 y 8.16. En
ambos casos la no-linealidad es de tipo Kerr y se sitúa en el núcleo, diferenciándose una de la
−10 −5 0 5 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Eje X (um)
Eje
Z (
um)
−10−50510
0
20
40
60
80
100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eje X(um)
Eje Z(um)
(a) (b)
Fig. 8.15: Propagación del modo TE a través de un slab de salto de índice con no-linealidad desenfocante de tipo Kerr en el núcleo. Datos físicos: nf=1.57, ns=nc=1.55, ancho del slab:2.5�m, 0.75�(3)= -1(m/V)2, �=1.3�m. Datos de la excitación: modo fundamental del slab lineal. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=4�m. Datos numéricos: N=128
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
210
otra en que la primera es desenfocante (‘defocusing’) y la segunda enfocante (‘self-focusing’).
El método de resolución utilizado en ambas simulaciones ha sido Fourier (Galerkin) en la
dirección transversal y el método de Runge-Kutta de cuarto orden en la dirección longitudinal.
Por último, destacar que las situaciones representadas en las Figs. 8.15 y 8.16 no fueron
diseñadas con el fin de conseguir un determinado comportamiento del dispositivo no-lineal,
sino demostrar que también es posible simular, con la nueva formulación PML y mediante
técnicas espectrales superiores a las que hasta ahora se venían utilizando, la propagación de la
envolvente óptica en guiaondas dieléctricas no-lineales.
8.5.- Conclusiones
Los aspectos más importantes tratados a lo largo del presente capítulo han sido los
siguientes:
� Se han descrito los fundamentos teóricos de las PML´s, tanto en su versión anisotrópica
como en su versión coordenada compleja.
� Se ha presentado una nueva formulación del vectorial-BPM con condiciones de contorno
PML adecuada para su utilización con los métodos espectrales. Aunque en principio se
podía haber utilizado cualquiera de las dos versiones PML, se ha optado por la versión
anisotrópica para realizar el desarrollo íntegro y detallado, si bien se exponen las
−10 −5 0 5 100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Eje X(um)
Eje
Z(u
m)
−10
−5
0
5
10
0
20
40
60
80
100
0
0.5
1
1.5
2
Eje X(um)Eje Z(um)
(a) (b)
Fig. 8.16: Propagación del modo TE a través de un slab de salto de índice con no-linealidad enfocante de tipo Kerr en el núcleo. Datos físicos: nf=1.57, ns=nc=1.55, ancho del slab:2.5�m, 0.75�(3)=0.25(m/V)2, �=1.3�m. Datos de la excitación: modo fundamental del slab lineal. Datos del PML: perfil parabólico, A=8, �=4�m. Datos numéricos: N=128.
Desarrollo de una Formulación Vectorial-BPM con Condiciones de Contorno PML adecuada para los Métodos Espectrales
211
ecuaciones finales a las que se habría llegado si se hubiera empleado la versión
coordenada compleja. Las diferencias existentes entre ambas formulaciones han sido
mostradas mediante la simulación de ejemplos concretos.
� En cuanto los resultados presentados, se ha confirmado, en primer lugar, el buen
funcionamiento que la nueva formulación ofrece en un amplio abanico de situaciones, y a
continuación, se ha demostrado cómo es posible mejorar las prestaciones de los métodos
espectrales en el ámbito de la propagación y superar todas la limitaciones que el conocido
y clásico FFT-BPM posee. Con ello se abre la interesante posibilidad de volver a utilizar
los métodos espectrales para el análisis de la propagación de la envolvente óptica y no,
como hasta ahora se viene haciendo, emplearlos exclusivamente para el análisis modal de
guiaondas ópticas.
Capítulo 9:
Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación
9.1.- Conclusiones
Una vez finalizada la exposición de los diferentes capítulos en los que ha sido dividida la
Tesis Doctoral, se resumen a continuación las principales aportaciones y tareas que en ella se
han realizado:
*El FDM y el HGDM
Se han analizado las principales limitaciones que poseen los dos métodos espectrales más
utilizados para el análisis modal de guiaondas dieléctricas lineales, el FDM (Fourier
Decomposition Method) y el HGDM (Hermite-Gauss Decomposition Method). En concreto,
el primero presenta una gran dependencia entre la precisión obtenida y el tamaño de la
ventana de cómputo (periodo) que, con anterioridad a su aplicación, se haya seleccionado. Por
su parte en el segundo, el escalado de las funciones base propuesto en la bibliografía resulta
ser prácticamente el óptimo cuando el campo se encuentra muy confinado en la zona de
guiado, pero se comporta muy mal a poco que el campo evanescente comienza a ser
importante, es decir, a frecuencias más bajas.
*El M FDM
El MFDM (Modified Fourier Decomposition Method), propuesto en �HewlettMar95� para
analizar guiaondas ópticas 3D-lineales superando las limitaciones del FDM, ha sido aplicado
con éxito al análisis modal de guiaondas 2D/escalares/no-lineales. Las claves de las mejores
prestaciones que el método ofrece son dos:
a) Comprimir, mediante una transformación de tipo arcotangente y con un cierto factor
de escalado, el dominio infinito original en uno de dimensión finita. De este modo se
abarca todo el espacio y se evita la dependencia del método con el tamaño de la
ventana.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
214
b) Poder conformar, mediante una adecuada elección del factor de escalado, la distribución
espacial del campo en el dominio transformado para que su aproximación mediante un
desarrollo en serie de Fourier requiera el mínimo número de armónicos.
Pese a que se pudo comprobar la robustez del MFDM en un amplio margen de
frecuencias y grados de no-linealidad, el método seguía presentando serias carencias, a saber:
a) Dificultad para analizar problemas asimétricos, por ejemplo, los que se producen cuando
el campo, como consecuencia de la no-linealidad, se encuentra muy desplazado hacia el
substrato o cubierta.
b) La falta de un criterio que permita elegir cuál es el factor de escalado que proporciona el
mejor resultado, con la certeza de no equivocarse y sin la necesidad de llevar a cabo un
proceso iterativo y visual.
*Los métodos espectrales con transformación de variables
Para mejorar, aún más, las prestaciones del espacio funcional de Fourier, se propusieron
en esta Tesis las novedades siguientes:
a) Introducir un nuevo grado de libertad, el centrado u offset, con el que poder analizar
eficientemente situaciones asimétricas. La denominación del nuevo método así definido
fue el O-MFDM (Offset-Modified Fourier Decomposition Method).
b) Definir un criterio de optimización que garantice una elección quasi-óptima de los
parámetros que definen la transformación, en este caso el factor de escalado y el
centrado.
c) Desarrollar un algoritmo de optimización, el cual, partiendo de unos valores iniciales
arbitrarios de los parámetros de la transformación y haciendo uso del criterio de
optimización, sea capaz de converger hacia las zonas de máxima mejora. En comparación
con otras estrategias de optimización, su principal ventaja radica en que sólo necesita
resolver el problema de autovalores y autovectores una vez por iteración.
La autoconsistencia del nuevo método fue probada en guiaondas 2D/escalares en un
amplio abanico de situaciones, lineal, no-lineal, modo fundamental, modos superiores, ...,
obteniéndose, en todos los casos, resultados muy satisfactorios.
La novedosa técnica fue trasladada también con éxito al espacio funcional de Hermite-
Gauss, dando lugar al O-HGDM (Offset-Hermite Gauss Decomposition Method) y
lográndose un comportamiento, cuando menos superior, que el obtenido con su predecesor el
HGDM.
Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación
215
*Extensión de los métodos espectrales con transformación de variables a guiaondas
ópticas 3D
La nueva familia de métodos espectrales, el O-MFDM y el O-HGDM, así como sus
correspondientes algoritmos de optimización fueron ampliados para ser aplicados en
guiaondas dieléctricas 3D/escalares lineales y no-lineales. Las primeras sirvieron para
comprobar el funcionamiento de los algoritmos en situaciones 3D, pues se analizaron
estructuras que, aunque de escaso interés práctico, poseían solución analítica. Ello permitió
asimismo comparar las precisiones y tiempos de cálculo de los diferentes métodos espectrales
que han sido objeto de estudio a lo largo de la Tesis. Por otra parte, y con el fin de probar la
capacidad de la herramienta numérica que finalmente se había desarrollado, se analizaron dos
estructuras no-lineales de gran interés para el diseño de dispositivos todo-ópticos, la guiaonda
strip no-lineal y la fibra óptica no-lineal. Los resultados obtenidos con un número muy
reducido de términos mostraron una total concordancia con los publicados en la bibliografía.
*Método de Newton-Raphson y formulación matricial de operadores
Para resolver el problema no-lineal de autovalores y autovectores, además del método de
la autoconsistencia de los campos, se ha empleado el conocido método de Newton-Raphson
con interesantes novedades en la forma de aplicación. Primero, la evaluación del término no-
lineal del sistema de ecuaciones se ha hecho siguiendo una estrategia similar a la que se
emplea en la técnica del balance armónico, y segundo, se han deducido expresiones analíticas
del jacobiano que permiten un cálculo más preciso del mismo.
Otra de las grandes aportaciones realizadas, también en el ámbito matemático, ha sido la
simplificación de la notación presentada. Para ello se ha introducido el concepto de operador
matricial y se ha calculado la matriz que efectúa la operación matemática correspondiente en
función del espacio funcional sobre el que se realice la aproximación.
*Propagación óptica mediante técnicas espectrales
Se han analizado las principales limitaciones que el conocido FFT-BPM posee,
proponiéndose, para mejorar las prestaciones de los métodos espectrales en el ámbito de la
propagación, los siguientes cambios:
a) En primer lugar se ha desarrollado una formulación vectorial-BPM con condiciones de
contorno PML adecuada para los métodos espectrales. La eficiencia de la nueva
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
216
formulación fue sometida a muy diversas y variadas pruebas: propagación en medios
homogéneos, guiaondas, modos TE, modos TM,..., lográndose una perfecta absorción
para cualquier ángulo, frecuencia y polarización.
b) En cuanto a la discretización de las ecuaciones de ondas que resultan con la formulación,
en la dirección transversal se sugiere seguir usando el espacio funcional de Fourier, pero en
lugar de emplear la estrategia pseudoespectral del método de colocación, tal y como se
hace con el FFT-BPM, se ha comprobado la superior precisión que se consigue con la
todo-espectral del Método de Galerkin. Ello permite disminuir notablemente el número de
armónicos que se requiere para resolver la propagación de la envolvente óptica, por lo que
la utilización del propagador exponencial, o de cualquier método clásico de integración de
probada eficiencia como el de Runge-Kutta, llega a ser computacionalmente factible.
Los cambios sugeridos han permitido analizar situaciones hasta ahora imposibles de tratar
con el FFT-BPM. Es el caso, por ejemplo, de las guiaondas de guiado fuerte, en donde la
propagación de los modos TE presenta una pobre precisión y la de los modos TM es
inabordable.
9.2.- Líneas Futuras de Investigación
Las posibles líneas de investigación que se abren una vez que se ha finalizado son muy
diversas y variadas. Entre ellas cabría destacar las siguientes:
-Estudiar la posibilidad de utilizar otro tipo de transformaciones en los espacios
funcionales de Fourier y Hermite-Gauss que pudieran mejorar las prestaciones de las que
respectivamente se usaron en el O-MFDM y O-HGDM.
-Aumentar la rapidez del algoritmo de optimización. Para ello habrá que implementar
alguno de los conocidos métodos de optimización de funciones, como por ejemplo el
método del gradiente conjugado, con el fin de minimizar el número de evaluaciones de la
función varianza.
-Aplicar los nuevos métodos espectrales con transformación de variables al caso vectorial.
Para ello parece razonable seguir el mismo esquema que se ha seguido en la Tesis para el
Conclusiones y Líneas Futuras de Investigación
217
caso escalar, es decir, comenzar con la ecuación de ondas de los modos TM en
estructuras dieléctricas 2D lineales y no-lineales, y pasar luego al 3D/vectorial lineal y
no-lineal. Asimismo, sería interesante diseñar alguna estrategia que evite el conocido
fenómeno de Gibbs que, como se ha podido demostrar, sufre la distribución espacial del
campo eléctrico en guiaondas de salto de índice abrupto. Que duda cabe que, en el caso
de conseguir esto último, se podría pensar en la forma de trasladar la mencionada
estrategia a la ecuación de ondas que gobierna la propagación de la envolvente óptica.
- Integrar las herramientas numéricas desarrolladas, y las que surjan si se implementan sus
versiones vectoriales, en un único paquete informático que permita realizar el análisis
modal de las guiaondas ópticas que defina el usuario. La idea es que el diseñador
disponga de un producto con un interfaz sencillo, por ejemplo a modo de ventanas, con el
que poder estudiar cualquier tipo de geometría y obtener del mismo todos los cálculos
que le sean necesarios.
-Estudiar y desarrollar métodos de continuación para el correcto trazado de las curvas de
dispersión de guiaondas no-lineales, que unido a los métodos espectrales que se han
desarrollado y validado en esta Tesis, permitan un análisis modal robusto y eficiente de
las mimas.
-En el ámbito de la propagación de la envolvente óptica se podrían mejorar las
prestaciones de los métodos espectrales. Para ello, se plantean las siguientes
posibilidades:
a) Utilizar los métodos espectrales con transformación de variables con la nueva
formulación PML que se ha presentado. Especial interés pudiera tener el espacio
funcional de Hermite-Gauss para analizar la propagación en dispositivos lineales, dado el
reducido número de términos con que necesita trabajar. El caso no-lineal no se considera
en principio factible ante la falta de una transformada rápida de Hermite-Gauss que
permita el paso del dominio de los coeficientes al de los puntos, y viceversa, para evaluar
la no-linealidad.
b) Abordar el wide-angle BPM con métodos espectrales.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
218
-Utilizar las diferentes herramientas de análisis que se han desarrollado en la Tesis, modos
y propagación, para el diseño concreto de dispositivos todo-ópticos. Es el caso, por
ejemplo, del acoplador direccional no-lineal por sus potenciales aplicaciones para la
construcción de conmutadores, moduladores, filtros, amplificadores ópticos,..., o de
estructuras no-lineales como la que fue presentada en el capítulo primero y que
recientemente han sido propuestas para la construccción de puertas lógicas todo-óptico.
Apéndice
Apéndice I: Relaciones matemáticas de interés del espacio funcional de
Hermite-Gauss
El espacio funcional de Hermite-Gauss viene definido por el conjunto ortonormal de
funciones base siguiente
F xe H x
kk
x
kk
( )( )
!/�
�
� �
���� �
��
2
2
1 2 2�
en donde la función Hk(x) representa el polinomio de Hermite de orden k.
Las relaciones matemáticas empleadas para deducir la expresión del operador matricial
derivada segunda en el espacio funcional de Hermite-Gauss fueron las que a continuación se
presentan
x F x F x dx k k k k ki k i k i k i k2
2 21
21 2
1
22 1
1
21( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ), , ,
��
�
�� � � � � � � � � � �� � �
d F x
dxx F x k F xk
k k
2
22 2 1
( )( ) ( ) ( )� � � � �
Los principales pasos de su demostración son los que seguidamente se exponen.
Demostración (A1.2):
Para demostrar la primera de ellas basta con partir de la siguiente relación de recurrencia
que satisfacen los polinomios de Hermite
H x x H x k H xk k k� �� � � � � �1 12 2( ) ( ) ( )
e intentar ver en qué se transforma cuando se introducen las funciones base de Hermite-Gauss.
Multiplicando por la exponencial y dividiendo por la norma de la función base de orden
‘k’ se puede deducir fácilmente la expresión siguiente
2 1 2 21 1� � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( )k F x x F x k F xk k k
(A1.1)
(A1.2)
(A1.3)
(A1.4)
(A1.5)
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
220
Con ello, el producto x· Fk(x), se podrá poner como
x F x k F x k F xk k k� � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )1
22
1
22 11 1
con lo que multiplicando nuevamente por ‘x’
� � � �x F x k x F x k x F xk k k2
1 11
22
1
22 1� � � � � � � � � �� ( ) ( ) ( ) ( )
y empleando la ecuación (A1.6) para desarrollar los términos que se han encerrado entre
paréntesis, se deduce finalmente la siguiente identidad
x F x k k F x k F x k k F xk k k k2
2 21
21 2
1
22 1
1
21� � � � � � � � � � � �( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La relación entre ésta y la ecuación (A1.2) que se pretende demostrar es a todas luces
inmediata.
Demostración (A1.3):
Para demostrar la segunda relación matemática es necesario partir de la siguiente
propiedad que cumplen los polinomios de Hermite
dH x
dxk H xk
k( )
( )� � � �2 1
Posteriormente, y con el fin de buscar una expresión equivalente pero en términos de las
funciones base, se calcula la derivada primera de la función base
dF x
dx
x e H x k e H x
k
k
x
k
x
kk
( ) ( ) ( )
!/�� � � � � � �
� �
��
��
�
�� �
�
��
�
��
�
2 2
2 21
1 2
2
2�
la cual , y al igual que antes, puede ser escrita en términos de las funciones base
dF x
dxx F x k F xk
k k( )
( ) ( )� � � � � � �2 1
Si a su vez la función Fk-1(x) es escrita, a partir de la relación (A1.5), en función de Fk(x)
Fk+1(x), también se puede escribir tal que
dF x
dxx F x n F xk
k k( )
( ) ( ) ( )� � � � � � 2 1 1
Por último, aplicando una segunda derivada, y volviendo a hacer uso de la ecuación
(A1.5), se llega finalmente a la expresión buscada
d F x
dxx F x k F xk
k k
2
22 2 1
( )( ) ( ) ( )� � � � �
(A1.6)
(A1.7)
(A1.8)
(A1.9)
(A1.10)
(A1.11)
(A1.12)
(A1.13)
Bibliografía
[Agrawal1989� Govind P. Agrawal: ’Nonlinear Fiber OPtics’, Quantum Electronics-Principles and Applications, Academic Press, 1989.
[AraiMay93� Y. Arai, A. Maruta, M. Matsuhara: ’Transparent boundary for the finite-element beam-propagation method’, Optics Letters, Vol. 18, No. 10, pp.765-766, May 1993.
[Berenger94� Jean-Pierre Berenger: ’A Perfectly Matched Layer for the Absorption of
Electromagnetic Waves’, Journal of Computational Physics, Vol. 114, pp.185-200, 1994.
[BertolottiMay94� M. Bertolotti, P. Masciulli, C. Sibilia: ’Mol numerical analysis of
nonlinear planar waveguide’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 12, No. 5, pp.784-789, May 1994.
[Boyd1989� J.P.Boyd: ’Chebyshev & Fourier Spectral Methods’, Springer-Verlag,
1989. [CamachoSep83� C. Camacho Peñalosa: ’Numerical steady-state analysis of nonlinear
microwave circuits with periodic excitation’, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. MTT-31, No. 9, pp.724-730, September 1983.
[ChelkowskiSep87� S. Chelkowski, J. Chrostowski: ’Scaling rules for slab waveguides with
nonlinear substrate’, Applied Optics, Vol. 26, No. 17, pp.3681-3686, September 1987.
[ChewSep94� W. C. Chew, W.H. Weedon: ’A 3D Perfectly Matched Medium from
modified Maxwell´s equations with Stretched Coordinates’, Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 7, No. 13, pp.599-604, September 1994.
[Chiang1994� K.S. Chiang: ’Review of numerical and approximate methods for the
modal analysis of general optical dielectric waveguides’, Optical and Quantum Electronics, Vol. 26, pp.113-134, 1994.
[ChiouJul97� Y.P. Chiou, H.C. Chang: ’Efficient Beam-Propagation Method based on
Padé approximants in the propagation direction’, Optics Letters, Vol. 22, No. 13, pp.949-951, July 1997.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
222
�ChungAgo90� Y. Chung, N. Dagli: ’An Assessment of Finite Difference Beam Propagation Method’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 26, No. 8, pp. 1335- 1339, August 1990.
�DiosJul89� F. Dios, L. Torner, F. Canal: ’Self-consistent solution for general
nonlinear slab waveguides’, Optics Communications, Vol. 72, No. 1,2, pp. 54-59, July 1989.
�EttingerFeb91� R.D. Ettinger, F.A. Fernández, B.M.A. Rahman, J.B. Davies: ’Vector
finite element solution of saturable nonlinear strip-loaded optical waveguides’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 3, No. 2, pp. 147- 149, February 1991.
�Feit1978� M.D. Feit, J.A. Fleck : ’Light propagation in graded-index optical fibers’,
Applied Optics, Vol. 17, pp. 3390- 3398, 1978. �GhafouriEne95� H. Ghafouri-Shiraz, P. Shum, M. Nagata: ’A novel method for analysis
of soliton propagation in optical fibers’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 31, No. 1, pp. 190- 200, January 1995.
�GallawaMar91� R.L. Gallawa, I.C. Goyal, Y. Tu, A.K. Ghatak: ’Optical Waveguide
Modes: An Approximate Solution using Galerkin’s Method with Hermite-Gauss Basis Functions’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 27, No. 3, pp. 518- 522, March 1991.
[HadleyEne92� G. Ronald Hadley: ’Transparent Boundary Condition for the Beam
Propagation Method’, Journal of Quantum Electronics, Vol. 28, No. 1, pp.363-370, January 1992.
[HadleyOct92� G. Ronald Hadley: ’Wide-angle beam propagation using Padé
approximant operators’, Optics Letters, Vol. 17, No. 20, pp.1426-1428, October 1992.
[HenryFeb89� C.H. Henry, B.H. Verbeek: ’Solution of the Scalar Wave Equation for
Arbitrarily Shaped Dielectric Waveguides by Two-Dimensional Fourier Analysis ’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 7, No. 2, pp.308-313, February 1989.
[HewlettMar95� S.J. Hewlett, F. Ladouceur: ’Fourier Decomposition Method Applied to
Mapped Infinite Domains: Scalar Analysis of Dielectric Waveguides Down to Modal Cutoff’, Journal of Lightwave Technology, Vol.13, No.3, pp.375-383, March 1995.
[HuangMar92� W.P. Huang, C.L. Xu, S.T. Chu, S.K. Chaudhuri: ’The Finite-Difference
vector Beam Propagation Method: analysis and assessment ’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 10, No. 3, pp.295-305, March 1992.
Bibliografía
223
[HuangMay96� W.P. Huang, C.L. Xu, W. Lui, K. Yokoyama: ’The Perfectly Matched Layer (PML) Boundary Condition for the Beam Propagation Method’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 8, No. 5, pp.649-651, May 1996.
[IlicDic96� I. Ilic, R. Scarmozzino, R.M. Osgood Jr.: ’Investigation of the Padé
Approximant-Based Wide-Angle Beam Propagation Method for Accurate Modeling of Waveguiding Circuits’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 14, No. 12, pp.2813-2822, December 1996.
[JensenOct82� S.M. Jensen: ’The nonlinear coherent coupler’, IEEE Journal of Quantum
Electronic, Vol. 18, No. 10, pp.1580-1583, October 1982. [Kogelnik1974� H. Kogelnik, V. Ramaswamy: ’Scaling Rules for Thin-Film Optical
Waveguides’, Applied Optics, Vol. 13, 1974. �KriezisAbr95� E.E. Kriezis, A.G. Papagiannakis: ’A joint Finite-Difference and FFT full
Vectorial Beam Propagation Scheme’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 4, pp. 692- 700, April 1995.
�KriezisMay97� E.E. Kriezis, A.G. Papagiannakis: ’A three-dimensional full vectorial
Beam Propagation Method for z-dependant structures’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 33, No. 5, pp. 883- 890, May 1997.
�LadouceurEne96� F. Ladouceur: ’Boundaryless beam propagation’, Optics Letters, Vol. 21,
No. 1, pp. 4-5, January 1996. [Lee1986� Donald L.Lee: ’Electromagnetic principles of integrated optics’, John
Wiley and Sons, 1986. �Luque1996� M.A. Luque Nieto: ’Análisis de guiaondas ópticas mediante técnicas
espectrales con transformación de variables’, Proyecto Fin de Carrera, E.T.S.I.Telecomunicación, Universidad de Málaga, 1996.
�MaAbr96� F. Ma, C.L. Xu, W.P. Huang: ’Wide-angle full vectorial beam
propagation method’, IEE Proc.-Optoelectronic, Vol. 143, No. 2, pp. 139-143, April 1996.
�Marcuse1991� D. Marcuse: ’Theory of Dielectric Optical Waveguides’, Quantum
Electronics-Principles and Applications. Academic Press, 1991. �MarcuseFeb92� D. Marcuse: ’Solution of the vector wave equation for general dielectric
waveguides by the Galerkin Method’, IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol. 28, No. 2, pp. 459-465, February 1992.
[März1995� Reinhard März: ’Integrated Optics: Design and Modeling’, Artech House,
1995.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
224
[Messiah1983� Albert Messiah: ’Mecánica Cuántica, Tomo I’, Editorial Tecnos, 1995. [MihalacheDic91� D. Mihalache, D. Mazilu: ’Propagation phenomena of nonlinear guided
waves in graded-index planar waveguides’, IEE Proceedings-J, Vol. 138, No. 6, pp.365-372, December 1991.
�MolinaSep94� I. Molina Fernández, J.G.Wangüemert Pérez: ’Estudio de la propagación
en medios ópticos dispersivos no-lineales mediante técnicas espectrales’, Actas del IX Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’94), pp. 641-645, Las Palmas de Gran Canaria, Septiembre 1994.
[MolinaJul98� I.Molina-Fernández, J.G. Wangüemert-Pérez: ’Variable transformed
series expansion approach for the analysis of nonlinear guided waves in planar dielectric waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 16, No. 7, pp.1354-1363, July 1998.
�NiiyamaEne98� A. Niiyama, M. Koshiba: ’Three-dimensional beam propagation analysis
of nonlinear optical fibers and optical logic gates’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 16, No. 1, pp.162-168, January 1998.
�NiiyamaSep95� A. Niiyama, M. Koshiba, Y. Tsuji: ’An efficient scalar Finite Element
formulation for nonlinear optical channel waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 9, pp.1919-1925, September 1995.
�Nikolski1976� V.V. Nikolski: ’Electrodinámica y Propagación de ondas de radio’,
Editorial MIR, 1976. [NoltingFeb95� H.P. Nolting, Reinhard März: ’Results of Benchmark Tests for Different
Numerical BPM Algorithms’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 2, pp.216-224, February 1995
[Oppenheim1983� A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Y.T. Young : ’Signals ans Systems’,
Prentice-Hall International, 1983. �OrtegaSep98� A. Ortega Moñux, J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández:
’Algoritmo de optimización para la aplicación eficiente de métodos espectrales’, Actas del XIII Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’98), pp. 319- 320, Pamplona, Septiembre 1998.
�PoladianEne98� L. Poladian, F. Ladouceur: ’Unification of TE and TM Beam Propagation
Algorithms’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 10, No. 1, pp. 105-107, January 1998.
Bibliografía
225
[RamanujamMar96� N. Ramanujam, L. Li, J. Burke, M. Gribbons: ’Determination of the Truncation Order and Numerical Window for Modeling General Dielectric Waveguides by the Fourier Method’, Journal of Lightwave Technology, Vol.14, No.3, pp.500-507, March 1996.
�RasmussenMar93� T. Rasmussen, J.H. Povlsen, A. Bjarklev, O. Lumholt, B. Pedersen, K.
Rottwitt: ’Detailed Comparison of Two Approximate Methods for the solution of the Scalar Wave Equation for a Rectangular Optical Waveguide’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 11, No. 3, pp.429-433, March 1993.
[RWBoyd1992� Robert W. Boyd: ’Nonlinear Optics’, Academic Press, 1992. �SacksDic95� Z.S. Sacks, D.M. Kingsland, R. Lee, J. Lee: ’A Perfectly Matched
Anisotropic Absorber for use as an Absorbing Boundary Condition’, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 43, No. 12, pp. 1460-1463, December 1995.
�ScarmozzinoMay91� R. Scarmozzino, R.M. Osgood Jr.: ’Comparison of finite-difference
and Fourier-transform solutions of the parabolic wave equation with emphasis on integrated-optics applications’, J. Optical Society of America A, Vol. 8, No. 5, pp. 724- 731, May 1991.
�Smith1998� P.W.E. Smith: ’Towards a practical technology for ultrafast optical
switching’, in Applications of Photonic Technology 3: Closing the Gap between Theory, Development , and Application, George A. Lampropoulos, and Roger A. Lessard, Editors, Proceedings of SPIE Vol. 3491, pp. 3-8, 1998.
�SouzaJul91� J.R. Souza: ’Numerical stability analysis and the route to chaos for
TE1 waves in nonlinear slab waveguides’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 3, No. 7, pp. 651-653, July 1991.
�SternFeb88� M.S. Stern: ’Semivectorial polarised finite difference method for
optical waveguides with arbitrary index profiles’, IEE Proceedings, Vol. 135, No. 1, pp. 56- 63, February 1988.
�Tamir1988� Theodor Tamir(Ed.): ’Guided-wave optoelectronics’, Springer-Verlag,
1988. �TranMay94� H.T. Tran: ’Stability of stationary dark waves guided by nonlinear
surfaces and waveguides’, J. Optical Society of America B, Vol. 11, No. 5, pp. 789-797, May 1994.
Desarrollo y Validación de Métodos Espectrales para el Análisis y Diseño de Dispositivos Ópticos Lineales y No-Lineales
226
[TsujiSep97� Y. Tsuji, M. Koshiba, T. Shiraishi: ’Finite Element Beam Propagation Method for Three-Dimensional Optical Waveguide Structures’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 15, No. 9, pp.1728-1734, September 1997.
[VasalloJun96� C. Vasallo, F. Collino: ’Highly Efficient Absorbing Boundary
Conditions for the Beam Propagation Method’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 14, No. 6, pp.1570-1577, June 1996.
�WangüemertSep95� J.G.Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández:’Soluciones estacionarias
en estructuras planares ópticas no-lineales mediante técnicas espectrales’, Actas del X Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’95), pp. 655-658, Valladolid, Septiembre 1995.
�WangüemertMay96� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Spectral methods
applied to the characterization of stationary guided waves in nonlinear optical slabs’, Proceedings 8th Mediterranean Electrotechnical Conference (MELECON’96) , Vol. 2, pp. 689-692, Bari (Italia), Mayo 1996.
�WangüemertSep96� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Técnicas espectrales
con compresión de variable para el análisis de dispositivos ópticos no-lineales’, Actas del XI Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’96), Vol. 2, pp. 320-323, Madrid, Septiembre 1996.
�Wangüemert1998� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Improved variable
transformed Fourier method to analyze nonlinear dielectric waveguides’, in Applications of Photonic Technology 3: Closing the Gap between Theory, Development , and Application, George A. Lampropoulos, and Roger A. Lessard, Editors, Proceedings of SPIE Vol. 3491, pp. 414-420, 1998.
�WangüemertSep98� J.G. Wangüemert Pérez, I. Molina Fernández: ’Desarrollo de una
formulación PML para el Método de Propagación del Haz’, Actas del XIII Simposium Nacional de la Unión Científica Internacional de Radio (URSI’98), pp. 313- 314, Pamplona, Septiembre 1998.
[WeisshaarAgo95� A. Weisshaar, J. Li, R.L. Gallawa, I.C. Goyal: ’Vector and Quasi-
vector Solutions for Optical Waveguide Modes using efficient Galerkin’s Method with Hermite-Gauss Basis Functions’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 13, No. 8, pp.1795-1800, August 1995.
[WernerOct97� D.H. Werner, R. Mittra: ’A New Field Scaling Interpretation of
Berenger´s PML and its Comparison to other PML Formulations’, Microwave and Optical Technology Letters, Vol. 16, No. 2, pp.103-106, October 1997.
Bibliografía
227
[WuDic95� Z. Wu, J. Fang: ’Numerical Implementation and Performance of
Perfectly Matched Layer Boundary Condition for Waveguide Structures’, IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 43, No. 12, pp.2676-2683, December 1995.
[WuEne97� J. Wu, D.M. Kingsland, J. Lee, R. Lee: ’A Comparison of Anisotropic
PML to Berenger´s PML and its Application to the Finite-Element Method for EM Scattering’, IEEE Transactions on Antennas and Propagation, Vol. 45, No. 1, pp.40-50, January 1997.
[XuNov94� C.L. Xu, W.P. Huang, J. Chrostowski, S.K. Chaudhuri: ’A Full-
Vectorial Beam Propagation Method for Anisotropic Waveguides’, Journal of Lightwave Technology, Vol. 12, No. 11, pp.1926-1931, November 1994.
[YevickSep91� D. Yevick, J. Yu, M. Munowitz, D. Vezzeti: ’Modal Analyses of
Semiconductor rib waveguides employing nonequidistant grids’, J. Optical Society of America A, Vol. 8, No. 9, pp.1385-1388, January 1997.
[Yevick1994� D. Yevick: ’A guide to electric field propagation techniques for
guided-wave optics’, Optical and Quantum Electronics, Vol. 26, pp.185-197, 1994.
[YevickEne97� D. Yevick, J. Yu, F. Schmidt: ’Analytic Studies of Absorbing and
Impedance-Matched Boundary Layers’, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 9, No. 1, pp.73-75, January 1997.