UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA O APOIO
AO ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS APLICADO A ESTRUTURAS
APORTICADAS
ROSANNA DUARTE FERNANDES DUTRA
ORIENTADOR: PAUL WILLIAM PARTRIDGE
CO-ORIENTADOR: WILLIAN TAYLOR MATIAS DA SILVA
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO EM ESTRUTURAS E
CONSTRUÇÃO CIVIL
PUBLICAÇÃO: E.DM – 08/2004
BRASÍLIA/ DF : AGOSTO/2004.
ii
UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA
FACULDADE DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL
DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA O APOIO AO
ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS APLICADO A ESTRTURUAS APORTICADAS
ROSANNA DUARTE FERNANDES DUTRA
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E AMBIENTAL DA FACULDADE DE TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM ESTRUTURAS E CONSTRUÇÃO CIVIL.
APROVADA POR:
_____________________________________________________ Prof. Paul Willian Partridge, Ph.D.(UnB) (Orientador) _____________________________________________________ Prof. Willian Taylor Matias da Silva, Dr.Ing.(UnB) (Co-orientador) _____________________________________________________ Prof. Luciano Mendes Bezerra, Ph.D.(UnB) (Examinador Interno)
_____________________________________________________ Prof. Sérgio Scheer, D.SC.(UFPR) (Examinador Externo)
BRASÍLIA/ DF, 17 DE AGOSTO/2004
iii
FICHA CATALOGRÁFICA DUTRA, ROSANNA DUARTE FERNANDES Desenvolvimento de Programa para Apoio ao Ensino e Aprendizagem do Método dos
Elementos Finitos [Distrito Federal] 2004. xv, 107 p., 297mm (ENC/FT/UnB, Mestre, Estruturas, 2004). Dissertação de Mestrado –
Universidade de Brasília. Faculdade de Tecnologia. Departamento de Engenharia Civil e Ambiental. 1. Mét. Elementos Finitos 2. Pórticos Planos 3. Software Educativo 4. Ensino em Engenharia I. ENC/FT/UnB II. Título (série)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
DUTRA, R.D.F. (2004). Desenvolvimento de Programas para Apoio ao Ensino e
Aprendizagem do Método dos Elementos Finitos, Publicação E.DM- / 2004, Departamento
de Engenharia Civil e Ambiental, Universidade de Brasília, Brasília, DF,107 p.
CESSÃO DE DIREITOS
AUTOR: Rosanna Duarte Fernandes Dutra.
TÍTULO: Desenvolvimento de Programas para Apoio ao Ensino e Aprendizagem do
Método dos Elementos Finitos Aplicado a Estruturas Aporticadas.
GRAU: Mestre ANO: 2004
É concedida à Universidade de Brasília permissão para reproduzir cópias desta dissertação
de mestrado e para emprestar ou vender tais cópias somente para propósitos acadêmicos e
científicos. O autor reserva outros direitos de publicação e nenhuma parte desta dissertação
de mestrado pode ser reproduzida sem a autorização por escrito do autor.
Rosanna Duarte Fernandes Dutra Rua T-27 Nº 1725, Setor Bueno CEP: 74215-030 – Goiânia – GO – Brasil.
iv
Dedicatória
Dedico esta dissertação a meu marido Sílvio Pereira Dutra.
Aos meus pais, Ezio e Júlia. Aos meus irmãos Cristianna e Euclides.
v
AGRADECIMENTOS
A Deus, Inteligência Suprema, fonte de infinita sabedoria.
Ao Prof.º Paul William Partridge, por sua orientação segura, sua colaboração, incentivo e
dedicação neste período de dissertação.
Ao Profº Willian Taylor Matias da Silva, por sua co-orientação, por sua disponibilidade
para questionamentos e por sua atenção durante este período de dissertação.
Aos meus sogros Eusébio Pereira Dutra e Maria Pereira Dutra, por seu apoio e atenção
durante todo este período.
Aos professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção
Civil da Universidade de Brasília por todo apoio e interesse demonstrado ao longo do
curso.
Aos colegas e amigos Maura Milfont Shzu, Carla Nascimento, Chênia Figueredo e Sérgio
Ricardo, por sua ajuda em todos os aspectos e por sua amizade.
Aos colegas e amigos do Mestrado e Doutorado do PECC, Gláucio Oliveira dos Santos,
Gilberto Gomes, em especial ao Fábio, a quem dedico grande parte desta conquista a sua
grande ajuda em meus primeiros passos de programação.
A minha cunhada Cínthia e minhas sobrinhas Lara Beatriz e Laís Vitória, pelo apoio e
alegria em todos os momentos desta vitória.
À CAPES, pelo apoio financeiro.
vi
RESUMO
DESENVOLVIMENTO DE PROGRAMAS PARA APOIO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO A ESTRUTURAS APORTICADAS
Autor: Rosanna Duarte Fernandes Dutra Orientadores: Paul Willian Partridge e Willian Taylor Matias da Silva Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, agosto de 2004
Este trabalho apresenta o desenvolvimento de um programa – ferramenta computacional –
para apoio ao ensino e aprendizagem do Método dos Elementos Finitos voltado para o caso
de pórticos planos. Este programa foi desenvolvido em ambiente Windows utilizando o
compilador Delphi.
O programa permite através de interfaces gráficas, a geração automática da geometria da
estrutura, dos carregamentos aplicados, das propriedades mecânicas dos elementos, bem
como a visualização dos resultados intermediários e finais da análise, como matrizes dos
elementos, matriz global da estrutura, vetores de cargas, permitindo também a visualização
dos diagramas de esforços da estrutura.
Apresenta-se inicialmente a formulação matricial utilizada para a implementação do
programa.
A utilização do programa é detalhada mostrando-se janelas, menus e comandos. Depois,
para ilustrar o seu funcionamento analisamos exemplos de pórticos planos e verificamos a
confiabilidade dos resultados intermediários e finais, bem como, a veracidade dos gráficos
fornecidos pelo programa. Desta forma procuramos demonstrar a potencialidades
educacionais do programa que busca atuar como uma ferramenta educacional.
São mostradas algumas conclusões e sugestões para estudos complementares.
vii
ABSTRACT SOFTWARE DEVELOPMENT TO SUPPORT THE TEACHING AND LEARNING OF THE FINITE ELEMENT METHODS APPLIED TO FRAME STRUCTURES Author: Rosanna Duarte Fernandes Dutra Supervisors: Paul Willian Partridge and Willian Taylor Matias da Silva Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil Brasília, August of 2004
The object of this research is to develop auxiliar software for teaching the Finite Element
Methods for plane frames. The software was developed using the Delphi compiler in the
Windows Platform.
The program developed uses graphic interfaces to allow the automatic generation of the
geometry of the structures, load conditions and mechanics proprieties of elements, as well
as, for the visualization of intermediate and final results of the analysis , such as the
element and global stiffness matrices and the load vectors.
The matrix formulation used for the implementation for the program is given.
Application of the program is described through detailed comments of the main
commands, icons and windows. Several examples are considered in order to illustrate the
application of the program to different cases and the results are compared with expected
values. In this way the reliability of the program and its educational advantages are
demonstrated.
viii
SUMÁRIO
1 – INTRODUÇÃO..............................................................................................................1
1.1 - NOVAS TÉCNICAS NO PROCESSO ENSINO APRENDIZAGEM
ATRAVÉS DO USO DO COMPUTADOR..................................................................1
1.2 - ALGUNS REFENCIAIS PEDAGÓGICOS.........................................................2
1.3 - NOVAS METODOLOGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM EM
ENGENHARIA...............................................................................................................5
1.4 - OBJETIVOS............................................................................................................6
2 – FUNDAMENTOS BÁSICOS UTILIZADOS – MÉTODO DOS ELEMENTOS
FINITOS...........................................................................................................................8
2.1 - INTRODUÇÃO.......................................................................................................8
2.2 - HISTÓRICO............................................................................................................8
2.3 - EQUAÇÕES MATRICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS...8
2.3.1 - Determinação da função de forma para elementos unidimensionais....13
2.3.1.1 - Funções de forma para um elemento de treliça........................................14
2.3.1.2 - Obtenção da matriz de rigidez para um elemento de treliça.....................16
2.3.1.3 - Funções de forma para um elemento de viga...........................................20
2.3.2 - Matriz de Rigidez de Pórticos Planos.....................................................23
2.3.2.1 - Elemento de Pórtico Comum...................................................................23
2.3.2.2 - Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda........................................29
2.3.2.3 - Elemento de Pórtico com Rótula na Direita............................................32
2.3.3 - Vetor de Cargas Nodais Equivalentes....................................................35
2.3.3.1 - Cargas Concentradas...............................................................................35
2.3.3.2 - Cargas Distribuídas.................................................................................37
2.3.3.3 - Peso Próprio............................................................................................40
2.3.3.4 - Efeitos de Temperatura...........................................................................41
2.3.4 - Matriz de Rigidez Global.........................................................................43
2.3.5 - Aplicação das Condições de Contorno...................................................45
2.3.6 - Resolução do Sistema de Equação (Eliminação de Gauss)..................45
2.3.7 - Cálculo dos Esforços................................................................................46
ix
3 – PROGRAMA EDUCACIONAL.................................................................................47
3.1 - INTRODUCÃO.....................................................................................................47
3.1 - ESTRUTURA DO PROGRAMA........................................................................48
3.3 - PROGRAMA EDUCACIONAL – PÓRTICOS PLANOS...............................49
3.3.1 - Janela Principal do Programa para Pórticos Planos..............................49
3.3.2 - Comandos da Janela Principal do Programa para Pórticos Planos......50
3.3.2.1 - Menu Arquivo...........................................................................................50
3.3.2.2 - Menu Dados..............................................................................................51
3.3.2.3 - Menu Estrutura.........................................................................................52
3.3.2.4 - Menu Solução...........................................................................................53
3.3.2.5 - Menu Resultados......................................................................................53
3.3.2.6 - Menu Relatórios.......................................................................................54
3.3.2.7 - Menu Sobre..............................................................................................54
3.3.2.8 - Menu Teoria.............................................................................................55
3.3.3 - Barra de Atalhos.......................................................................................60
3.3.4 - Menu Dados: Janelas Principais.............................................................64
3.3.4.1 - Janela Dados Globais...............................................................................64
3.3.4.2 - Janela Coordenadas dos Nós....................................................................65
3.3.4.3 - Janela Conectividade dos Elementos.......................................................66
3.3.4.4 - Janela para Condições de Contorno.........................................................67
3.3.4.5 - Janela para Cargas Nodais (Concentradas)..............................................68
3.3.4.6 - Janela para Cargas Distribuídas...............................................................69
3.3.4.7 - Janela para Propriedades dos Elementos.................................................70
3.3.5 - Menu Solução – Opção Passo a Passo: janelas auxiliares.....................71
3.3.5.1 - Passo 1 - Numeração dos nós e graus de liberdade..................................71
3.3.5.2 - Passo 2 - Cálculo da matriz de rigidez do elemento................................72
3.3.5.3 - Passo 3 - Vetor de cargas da estrutura.....................................................75
3.3.5.4 - Passo 4 - Condições de Contorno............................................................76
3.3.5.5 - Passo 5 - Solução do Sistema de Equações ............................................78
3.3.5.6 - Passo 7 - Reações de Apoio ....................................................................80
4 - RESULTADOS............................................................................................................82
4.1 - INTRODUCÃO....................................................................................................82
x
4.2 - EXEMPLOS..........................................................................................................82
4.2.1 - Exemplo 1.....................................................................................................82 4.2.1.1 - Resultados Intermediários..........................................................................88
4.2.1.2 - Resultados Finais........................................................................................91
4.2.2 - Exemplo 2.....................................................................................................94 4.2.2.1 - Resultados Finais........................................................................................94
4.2.3 - Exemplo 3................................................................................................... 97 4.2.3.1 - Resultados Finais........................................................................................98
4.2.4 - Exemplo 4.....................................................................................................99 4.2.4.1 - Resultados Finais......................................................................................100
4.2.5 - Exemplo 5...................................................................................................101 4.2.5.1 - Resultados Finais......................................................................................101
5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS....................104
5.1 - CONCLUSÕES....................................................................................................104
5.2 - SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS...............................................104
REFERÊNCIAS...............................................................................................................106
xi
LISTA DE TABELAS
Tabela 4.1 – Coordenadas dos Nós............................................................................................ 83
Tabela 4.2 – Conectividade dos Elementos............................................................................. 84
Tabela 4.3 – Cargas Nodais........................................................................................................ 85
Tabela 4.4 – Cargas Distribuídas............................................................................................... 85
Tabela 4.5 – Condições de Contorno......................................................................................... 86
Tabela 4.6 – Propriedades dos Elementos................................................................................ 87
Tabela 4.7 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 1 ........................................................... 91
Tabela 4.8 – Comparativo das Reações - Exemplo 1.............................................................. 92
Tabela 4.9 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 2............................................................ 95
Tabela 4.10 – Comparativo das Reações - Exemplo 2.......................................................... 95
Tabela 4.11 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 3.............................................. 99
Tabela 4.12 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 3.......................................................... 99
Tabela 4.13 – Comparativo das Reações-Exemplo 3............................................................. 99
Tabela 4.14 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 4............................................. 100
Tabela 4.15 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 4......................................................... 100
Tabela 4.16 – Comparativo das Reações - Exemplo 4.......................................................... 100
Tabela 4.17 – Comparativo dos Deslocamentos - Exemplo 5............................................. 102
Tabela 4.18 – Comparativo dos Esforços - Exemplo 6......................................................... 102
Tabela 4.19 – Comparativo das Reações - Exemplo 5.......................................................... 102
xii
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1 – Elemento Finito para treliça.............................................................................13
Figura 2.2 – Elemento Finito para viga................................................................................13
Figura 2.3 – Elemento Finito para pórtico plano.................................................................13
Figura 2.4 – Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças no
Sistema Local...................................................................................................18
Figura 2.5 – Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças no
Sistema Global.................................................................................................19
Figura 2.6 – Giro de uma seção de viga...............................................................................24
Figura 2.7 – Elemento para definição dos limites de integração.........................................24
Figura 2.8 – Elemento finito para pórtico - Componentes de deslocamentos e forças no
Sistema Local...................................................................................................27
Figura 2.9 – Elemento finito para pórtico - Componentes de deslocamentos e forças no
Sistema Global.................................................................................................28
Figura 2.10 – Elemento finito para viga com rótula na esquerda..............................................29
Figura 2.11 – Elemento finito para viga com rótula na direita............................................33
Figura 2.12 – Cargas em elementos de viga........................................................................36
Figura 2.13 – Alongamento devido a variação....................................................................41
Figura 2.14 – Matriz de Rigidez da Estrutura no Sistema local..........................................43
Figura 2.15 – Matriz de Rigidez do elemento.....................................................................44
Figura 2.16 – Bloco definido pelo NDF é dividida em blocos............................................44
Figura 3.1 – Estrutura Básica do Programa PGen.FOR......................................................47
Figura 3.2 – Procedimentos Principais Programa de Pórticos Planos.................................48
Figura 3.3 – Janela de Abertura do programa para pórticos planos....................................49
Figura 3.4 – Janela Principal do programa para Pórticos Planos........................................49
Figura 3.5 – Menu Arquivo.................................................................................................50
Figura 3.6 – Menu Dados....................................................................................................51
Figura 3.7 – Menu Estrutura...............................................................................................52
Figura 3.8 – Menu Solução.................................................................................................53
Figura 3.9 – Menu Resultados............................................................................................53
Figura 3.10 – Menu Relatórios...........................................................................................54
Figura 3.11 – Menu Sobre..................................................................................................54
xiii
Figura 3.12 – Menu Teoria..................................................................................................55
Figura 3.13 –Programa Educacional....................................................................................56
Figura 3.14– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................56
Figura 3.15– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................57
Figura 3.16– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................57
Figura 3.17– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................58
Figura 3.18– Matriz de Rigidez do Elemento......................................................................58
Figura 3.19– Montagem do Vetor de Forças.......................................................................59
Figura 3.20– Montagem do Vetor de Forças.......................................................................59
Figura 3.21– Condições de Contorno..................................................................................60
Figura 3.22– Barra de Atalhos.............................................................................................60
Figura 3.23– Janela para Entrada dos Dados Globais.........................................................64
Figura 3.24– Janela para entrada das Coordenadas dos Nós...............................................65
Figura 3.25– Janela para entrada das Conectividades dos Elementos.................................66
Figura 3.26– Janela para entrada das Condições de Contorno............................................67
Figura 3.27– Janela para entrada das Cargas Concentradas (Nodais).................................68
Figura 3.28– Janela para entrada das Cargas Distribuídas..................................................69
Figura 3.29–Janela para entrada das Propriedades dos Elementos.....................................70
Figura 3.30– Janela Solução Passo a Passo........................................................................71
Figura 3.31– Janela Graus de Liberdade – Passo 1............................................................72
Figura 3.32– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2 A.......................................73
Figura 3.33– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B........................................73
Figura 3.34– Caixa de Seleção dos Elementos....................................................................74
Figura 3.35– Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A..........................................75
Figura 3.36– Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B..........................................75
Figura 3.37– Janela Condições de Contorno – Passo 4 A...................................................76
Figura 3.38– Janela Condições de Contorno – Passo 4B....................................................77
Figura 3.39– Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Cheia................................77
Figura 3.40– Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Semi- Banda.....................78
Figura 3.41– Janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5 A....................................79
Figura 3.42– Janela Deslocamento Nodais – Passo 5B......................................................79
Figura 3.43– Janela Reações de Apoio – Passo 7 A............................................................80
Figura 3.44– Janela Reações de Apoio – Passo 7B.............................................................81
xiv
Figura 3.45– Aviso de visualização dos esforços nos elementos.........................................81
Figura 4.1– Pórtico Plano: Exemplo 1.................................................................................82
Figura 4.2– Dados globais: Exemplo 1................................................................................83
Figura 4.3– Preenchimento das Coordenadas dos Nós: Exemplo 1.....................................84
Figura 4.4– Preenchimento das Conectividades dos Elementos: Exemplo 1.......................84
Figura 4.5– Preenchimento das Cargas Nodais: Exemplo 1................................................85
Figura 4.6– Preenchimento das Cargas Distribuídas: Exemplo 1........................................86
Figura 4.7– Preenchimento das Condições de Contorno: Exemplo 1..................................86
Figura 4.8– Preenchimento das Propriedades dos Elementos: Exemplo 1..........................87
Figura 4.9– Visualização do pórtico em estudo: Exemplo 1...............................................87
Figura 4.10– Matriz de Rigidez do Elemento 1: Exemplo 1...............................................88
Figura 4.11– Matriz de Rigidez do Elemento 2: Exemplo 1...............................................88
Figura 4.12– Matriz de Rigidez do Elemento 3: Exemplo 1...............................................89
Figura 4.13– Matriz de Rigidez do Elemento 4: Exemplo 1...............................................89
Figura 4.14– Matriz de Rigidez do Elemento 5: Exemplo 1...............................................89
Figura 4.15– Matriz de Rigidez do Elemento 6: Exemplo 1...............................................90
Figura 4.16– Matriz de Rigidez do Elemento 7: Exemplo 1...............................................90
Figura 4.17– Matriz de Rigidez do Pórtico sem impor condições de contorno:
Exemplo 1.......................................................................................................90
Figura 4.18– Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda-condições de contorno:
Exemplo 1.......................................................................................................91
Figura 4.19– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 1........................................................92
Figura 4.20– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 1.......................................................93
Figura 4.21– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 1........................................................93
Figura 4.22– Pórtico Plano para o exemplo 2.....................................................................94
Figura 4.23– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 2........................................................96
Figura 4.24– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 2.......................................................96
Figura 4.25– Gráfico de momento Fletor: Exemplo 2........................................................97
Figura 4.26– Pórtico Plano: Exemplo 3..............................................................................98
Figura 4.27– Entrada da variação de temperatura na janela de Dados Globais:
Exemplo 3......................................................................................................98
Figura 4.28– Pórtico Plano: Exemplo 4............................................................................100
Figura 4.29–Pórtico Plano: Exemplo 5.............................................................................101
xv
LISTA DE SÍMBOLOS, NOMECLATURA E ABREVIAÇÕES F - Conjunto de esforços externos
δ - Deslocamentos devido às forças externas
σ - Estado de tensões internas
ε - Deformações específicas
K - Matriz de rigidez do elemento em coordenadas globais
eK - Matriz de rigidez do elemento em coordenadas locais
u - Vetor de deslocamentos da estruturas
P - Vetor de Cargas
Ω - Domínio
Γ - Contorno
∆u, ∆v - Funções de ponderação
n
iu - Valores nodais dos deslocamentos
iφ - Funções de forma
E - Módulo de elasticidade do material
A - Área de seção transversal
L - Comprimento do elemento
R - Matriz de rotação
β - Ângulo medido no plano da seção transversal
q - Valor constante de carga distribuída
θ - Aumento de temperatura
α - Coeficiente de expansão térmica
δ - Alongamento devido ao acréscimo de temperatura
u - Deslocamento na direção x
v - Deslocamento na direção y
θ - Deslocamento na direção z
1
1 - INTRODUÇÃO
1.1 - NOVAS TÉCNICAS NO PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM ATRAVÉS
DO USO DO COMPUTADOR
Está havendo uma revolução tecnológica na ciência, colocando o homem de posse de
ferramentas tecnológicas poderosas capazes de facilitar a vida em muitas maneiras.
A mais significativa destas ferramentas que influenciou de maneira substancial a vida
moderna é o computador. Esta máquina vem sendo utilizada desde o início da década de
50, porém sua evolução alcançou um grande salto nos últimos anos, podendo-se prever
para o próximo século um progresso equivalente a todo o desenvolvimento alcançado até
agora.
O desenvolvimento do computador possibilitou grandes avanços em campos de pesquisas
para diversas áreas do conhecimento humano. Foi através do uso de computadores que se
tornou possível efetuar análise de dados de forma sistemática, e executar operações
matemáticas complexas e outras atividades de difícil resolução, quando simplesmente
realizadas pelo cérebro humano. Esta tecnologia cada vez mais poderosa em recursos,
velocidade e programas permitiram ao homem, pesquisar, simular situações, analisar seus
conhecimentos científicos entre muitas outras possibilidades. Estas técnicas de informação
estão presentes na vida cotidiana, fazendo parte do universo de todos nós, no qual
principalmente os jovens crescem apertando botões, dentro de uma alta interatividade e
também adultos passam a trabalhar de uma maneira mais eficaz e interativa.
Assim como essas novas tecnologias serviram para impulsionar o mercado científico e
tecnológico de uma forma muito proveitosa, serviram também para serem utilizadas em
métodos pedagógicos e educacionais, na procura da melhoria da formação de profissionais
que usufruirão desta grande ajuda tecnológica no exercício de suas profissões.
Levando em consideração que os responsáveis em repassar conhecimentos tiveram uma
formação mais tradicional, na qual era apenas repassado ao aprendiz o conhecimento
necessário (Maia e Calixto, 1999), estes passarão a ter a tarefa de se adaptar aos novos
2
meios de ensino que surgiram com os novos avanços, porque as próprias inovações
tecnológicas em toda as áreas do conhecimento humano, passaram a exigir uma formação
educacional mais adequada para acompanhar este dinamismo de conhecimentos (Maia e
Calixto, 1999).
Buscando proporcionar uma melhora no aprendizado, o computador passou a ser usado
também, como uma ferramenta metodológica para o auxílio ao ensino e a aprendizagem.
Com o auxílio desta nova ferramenta busca-se modificar os métodos tradicionais de
ensino, passando a utilizá-los como uma estratégia educacional que possa transformar o
aprendizado, através de um ambiente de sala de aula como um espaço de trabalho mais
dinâmico e de melhor aproveitamento.
Através da utilização destas novas metodologias de ensino busca-se transcender a relação
professor-aluno-sala de aula na procura de uma melhor qualidade de ensino (Menezes e
Longo, 1999).
1.2 - ALGUNS REFERENCIAIS PEDAGÓGICOS
Pesquisadores buscam definir novas técnicas pedagógicas, mostrando as diferenças
existentes entre a pedagogia tradicional e esta nova pedagogia, que vem surgindo com os
avanços e com novas ferramentas que se aliam a este novo processo. Buscam também
salientar as possíveis desvantagens desta nova era da informação e tecnologia dentro do
processo educacional.
Em 1987, Freire (apud Laudares e Lachini, 2002) observou que na pedagogia tradicional a
transmissão do conhecimento pronta é feita de uma geração mais velha para uma mais
nova. Assim a educação tradicional é colocada como uma ‘Pedagogia Bancária’, sendo
esta o ato de depositar conhecimentos, onde o educador é o depositante e o aluno é o
depositário, que recebe as informações memorizam e repetem. Ele considera que o único
papel do educador é o de ‘encher’ os educandos de conteúdos, fazendo assim depósitos de
‘comunicados’. Freire considera: ‘...Eis a concepção ‘bancária’ da educação, em que a
única margem de ação que se oferece aos educandos é a de receberem os depósitos,
guardá-los e arquiva-los’.
3
Através de Dewey (apud Laudares e Lachini, 2002) temos uma contraposição a esta
pedagogia, porque este propõe uma didática concretizada em estudo através de projetos,
colocando o pensamento científico como o centro da ação educativa. As propostas de
Dewey levam a uma reengenharia de pedagogia tradicional, dando ênfase a uma mudança
radical dos métodos de ensino, no qual o conhecimento é constantemente construído e
reconstruído. Para Dewey a centralidade didática não se restringe somente ao professor,
mas sim, em uma atitude reflexiva que o estudante deve demonstrar no processo de
aprendizagem.
Saviani (apud Laudares e Lachini, 2002), faz uma demarcação clara das Escolas que
surgiram em conseqüência da industrialização. Seriam a escola da pedagogia tradicional
onde a iniciativa cabia somente ao educador, que era o elemento decisivo do processo; a
pedagogia nova onde a iniciativa passa a ser do aluno com uma relação professor-aluno
proporcionando assim uma relação interpessoal , intersubjetiva; e por último, a pedagogia
tecnicista que coloca o professor e o aluno em posições secundárias, relegados a condição
de executores de um processo cuja concepção, planejamento, coordenação e controle ficam
a cargo de especialista supostamente habilitados, neutros, objetivos, imparciais.
Em seus estudos, Lévy (apud Laudares e Lachini, 2002), dá ênfase a uma abordagem
humanística da técnica, alegando não existir um ‘Cálculo’, uma ‘Metafísica’, uma
‘Racionalidade acidental’, nem mesmo um ‘Método’ que possam explicar a crescente
importância das ciências e das técnicas na vida coletiva. Lévy separa a evolução
comunicativa que se desenvolveu na vida do homem através de suas relações sociais, em
três tempos: o da oralidade primária, o da oralidade escrita, e recentemente, o da
informática. Neste tempo em que vivemos, a era da informática, o computador tornou-se
uma imensa máquina integradora que alcançou todas as novas tecnologias. Para Lévy o
computador é ‘constituído por uma infinidade de dispositivos materiais e de camadas de
programas que se recobrem e se interfaceiam umas com as outras. Grande número de
inovações importantes no domínio da informática provém de outras técnicas: eletrônicas,
telecomunicações, laser... ou de outras ciências: matemática, lógica, psicologia cognitiva,
neurobiologia. Cada casca sucessiva vem do exterior, é heterogênea em relação a
interface que a recobre, mas acaba por tornar-se parte integrante da máquina.’
4
Utilizando estes grandes avanços tecnológicos aliados às várias mudanças a que se passou
a pedagogia tradicional novas metodologias de ensino foram sendo criadas, acompanhando
a evolução social do homem e da própria pedagogia, buscando uma melhor relação do
ensino e da aprendizagem para a formação de pensamentos não somente acabados, mas
também reflexivos (Laudares e Lachini, 2002).
É necessário, porém, ter a preocupação se estes materiais tecnológicos utilizados para
viabilizar a didática levam a pedagogia tecnicista a uma redução perigosa do trabalho
executado pelos alunos. Isto poderia colocar como centro a eficiência do material didático
e em segundo plano a ação dos alunos (Laudares e Lachini, 2002).
Dentro deste contexto de viabilização de didática através de materiais tecnológicos é
necessário que os educadores que optarem por este tipo de pedagogia tecnicista, citada
anteriormente, analisem a melhor forma de inserir pedagogicamente este tipo de
ferramenta dentro da sala de aula. Pravia et al. (2001), afirma que o uso inadequado de
programas computacionais pode gerar falsas expectativas nos estudantes que passam a ver
a ferramenta como um meio de diminuir o seu trabalho dentro de sala de aula. Pravia et al.
(1999), cita afirmação de Frankenberg a respeito de softwares educativos usados para
auxiliar o aluno no processo de aprendizagem como uma ferramenta educacional: ‘O
software educativo é aquele que tende a viabilizar o processo ensino-aprendizagem,
favorecendo o desenvolvimento e a aprendizagem. Além disto, também objetiva o reforço e
a construção do conhecimento do aluno. Em primeiro lugar, um software elaborado para
solução de problema técnico não visa então, o desenvolvimento do aluno quanto a
assimilação de conteúdos mas sim capacita-lo em termos de programação e repetibilidade
de passos preestabelecidos. Entretanto como tinha descrito, o software educativo
desenvolvido para o ensino, poderá focar o mesmo assunto, mas de forma a enfatizar o
poder crítico de assimilação de conteúdos.’
É necessário, portanto, que o educador se preocupe com o conteúdo a ser passado, para que
estas ferramentas sirvam como metodologias capazes de fixar conceitos e para que não
tragam prejuízos aos alunos no que diz respeito a sua capacidade crítica e sua futura
competência profissional.
5
1.3 - NOVAS METODOLOGIAS PARA O ENSINO-APRENDIZAGEM EM
ENGENHARIA
Levando em consideração as dificuldades encontradas pelos alunos em determinadas
disciplinas, como análise e dimensionamento de estruturas, consideradas fundamentais
para a formação de bons profissionais na área de Engenharia Civil, o computador começou
a ser amplamente usado como uma alternativa que disponibiliza melhores dinâmicas
visuais do comportamento de estrutura entre outras aplicações (Pravia et al., 1999).
A utilização destas novas técnicas didáticas através de programas aplicados na área de
engenharia surgiu para auxiliar o professor no processo de ensino. Isto ocorre na medida
em que o professor poderá contar com uma ferramenta poderosa, que permitirá ao usuário
não só obter os resultados, mas também consultar, pesquisar, gerar conteúdos audiovisuais
e simular efeitos físicos dos problemas em questão. Todo este processo não tem como
intenção diminuir o trabalho do professor, e sim, melhorar a sua capacidade de repassar o
conhecimento através de uma melhor assimilação do conteúdo.
Buscando alcançar estes objetivos, vários programas vêm sendo desenvolvidos baseados
neste cunho educacional. Estes programas, chamados de softwares educativos, segundo
Frakenberg (Pravia et al., 1999) tendem viabilizar o processo ensino-aprendizado e buscam
através de mídias digitais proporcionar ao aluno uma maior assimilação do conteúdo dado
em sala de aula.
O presente trabalho procura dar continuação à linha de pesquisa iniciada por Santos
(2003), no Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil voltada para
Novas Tecnologias e Metodologias para o Ensino de Engenharia.
Dá-se continuidade no presente trabalho, a metodologia e a implementação de ferramentas
computacionais, através de programas educacionais, para o ensino e aprendizagem de
análise de estruturas através do Método dos Elementos Finitos. O presente trabalho baseia-
se em elementos de pórticos planos e continuará atendendo as recomendações de Pravia
(Pravia et al., 1999), possibilitando o acesso a resultados intermediários de análise, já
implementados, e possibilitando agora, busca a ajudas contextuais, como conceitos
teóricos e processos usados nos cálculos. Será possível também ao usuário, a visualização
6
de saídas, por exemplo, como gráficos dos esforços gerados pela estrutura (normal,
cortante e fletor).
Desta forma, o programa foi desenvolvido com interface amigável em ambiente Windows
para a geração de pórticos planos. Utilizou-se a linguagem Pascal Orientada a Objetos em
Ambiente de Desenvolvimento Integrado Delphi (2003), por se tratar de um programa que
permite uma boa interação com os usuários, na medida em que estes participam de todo o
processo com janelas interativas, botões e saídas gráficas.
1.4 - OBJETIVO
Levando em consideração a evolução de modelos interativos de programas que buscam
ampliar o ambiente de aprendizado do aluno, proporcionando mais espaço para a interação
entre a prática e a teoria, vários programas vêm sendo elaborados, no objetivo de aplicar o
aprendizado não somente no âmbito de sala de aula.
Buscando este objetivo contamos com alguns exemplos de programas educacionais que
foram desenvolvidos para auxílio ao ensino de engenharia de estruturas (Pravia et al.,
1999):
• SOFTed – Conjunto de programas de baixo custo (ED-Frame, ED-Tridim,etc.)
desenvolvidos pelo CIMNE (SOFTed, 1997). Programas totalmente interativos para
estruturas constituídas por barras, e apresentam todo o processo de análise da estrutura;
• RUCKZUCK: programa interativo, em alemão, desenvolvido na Universidade Técnica
de Graz (Ruckzuck, 2003), programa para análise de estruturas de barras utilizando
métodos de análise matricial de estruturas. Semelhante aos programas SOFTed.
• FTOOL: versão educacional de um programa comercial. Programa para análise de
estruturas de barras totalmente interativo desenvolvido no TECGraf (Martha, 2003) da
PUC de Rio de Janeiro, porém só apresenta os resultados finais da análise.
7
• SALT/UFRJ: Programa que trabalha com arquivos de dados, porém possui interface
para adquirir os dados de modelos desenhados em softwares que possam gerar arquivos
do tipo DXF. Este programa vem evoluindo, e é desenvolvido na UFRJ (SALT, 2003).
Embora este programa seja de uso profissional, tem uma versão “educacional”, com
capacidades reduzidas.
Alguns destes programas possuem versões educacionais, sendo necessário apenas uma
conexão com a Internet para sua utilização, sem custo. Existem outros programas de fácil
localização pela Internet, que apesar de totalmente gratuitos são programas com pouca ou
nenhuma interatividade, como ALADDIN, FELT.
Existem também outros programas comerciais como ANSYS, MC/Patran, DesignSpace,
ABAQUS, STRAP, MICROFE, SAP2000, ANALYS, VISUALANALYS, STAADII, que
são programas com várias opções de análise de dimensionamento e podem ser comprados
a bons preços em versões chamadas universitárias.
Cita-se aqui apenas alguns dos muitos programas que existem no mercado tanto do Brasil
como do mundo. Vários trabalhos continuam sendo feitos no sentido de criar novas
ferramentas computacionais de ensino e aprendizagem na engenharia de estruturas. Os
exemplos aqui citados são apenas para demonstrar a importância do trabalho desenvolvido.
8
2 – FUNDAMENTOS BÁSICOS UTILIZADOS – MÉTODO DOS
ELEMENTOS FINITOS
2.1 - INTRODUCÃO
Neste capítulo utilizou-se o método dos elementos finitos para obter a matriz de rigidez e o
vetor de forças nodais equivalentes dos elementos de treliça e pórticos planos. Além disso,
considerou-se a presença de rótulas no elemento de pórtico plano.
2.2 - ORIGEM DO MÉTODO
O método dos elementos finitos surgiu em 1955 com a evolução da análise estrutural de
modelos reticulados (concebida no início da década de 30 na indústria aeronáutica
britânica), com a disponibilidade de computadores digitais e devido à necessidade de
projetar estruturas em modelos contínuos.
Os primeiros elementos foram concebidos por engenheiros aeronáuticos para análise de
distribuição de tensões em chapas de asas de avião. Sua formulação foi tratada
pioneiramente por Argyris e Kesley em 1955 (republidada em 1960) e por Turner, Clough,
Martin e Topp (1956).
Assim, o computador digital e a engenharia aeronáutica são os responsáveis pela origem do
método dos elementos finitos.
O Método dos Elementos Finitos tornou-se muito importante para as atividades de
engenharia e sua adaptação aos computadores eletrônicos representa a solução para
diversos problemas de grande complexidade como problemas da engenharia estrutural.
2.3 - EQUACÕES MATRICIAIS DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
(BREBIA E FERRANTE, 1986)
Para a resolução de problemas de grande complexidade da teoria da elasticidade pelo
método dos elementos finitos, pode-se contar com dois métodos de aproximação: o método
9
variacional ou de Rayleigh-Ritz e o método dos resíduos ponderados ou de Garlekin.
O método de Rayleigh-Ritz requer um funcional, já o método de Garlekin utiliza
diretamente as equações diferenciais. Para resolver este sistema de equações diferenciais
substituem-se funções aproximadoras que satisfaçam as condições de contorno. Estas
funções não sendo a solução exata do sistema de equações geram resíduos que devem ser
ponderados.
Neste trabalho, utilizou-se o método de Garlekin para determinar a equação matricial de
equilíbrio para casos de elasticidade bidimensional. Esta equação de equilíbrio pode ser
expressa em notação matricial da seguinte forma:
K u = p (2.1)
Onde K é a matriz de rigidez do elemento, p é o vetor de carga da estrutura e u é o vetor de
deslocamentos nodais.
Portanto considera-se as equações de equilíbrio para o estado plano de tensões de um
elemento infinitesimal:
übyx x
xyxx ρσσ
=+∂
∂+
∂∂
(2.2a)
..vbyx y
yyyx ρσσ
=+∂
∂+
∂
∂ (2.2b)
Por outro lado, as condições de contorno para a elasticidade em deslocamentos e tensões
são escritas como:
−= uu para deslocamentos prescritos;
−= pp para tensões de superfície prescritas.
Consideram-se as condições de contorno u e p nas direções x e y em cada ponto do
contorno. Chega-se a equação:
10
P=σ n; (2.3a)
Ou:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
y
x
yyyx
xyxx
y
x
nn
pp
.σσσσ
(2.3b)
Onde P são as trações de superfície, σ representa o estado de tensões e n são cosenos
diretores.
Utiliza-se uma expressão de resíduos ponderados para obter a Equação (2.1). Portanto
integra-se a Equação (2.2) no domínio e contorno do elemento, tal que:
( ) ( ) ∫
∫∫Γ−++−+
=Ω⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂
∂+
∂
∂+Ω⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂
∂+
∂∂
dvpnnupnn
dvvbyx
duübyx
yyyyxyxxyxyxxx
yyyxy
xxyxx
δσσδσσ
δρσσ
δρσσ ..
(2.4)
Onde Ω representa o domínio, Γ representa o contorno eδ u e δ v são funções de
ponderação.
Utiliza-se a regra de integração por partes, tal que:
xxxx x xx
xyxy y xy
xyxy x xy
yyyy y yy
u. u.d .n . u.d . .dx x
u. u.d .n . u.d . .dy y
v. v.d .n . v.d . .dx x
v. v.d .n . v.d . .dy y
∂σ ∂δδ Ω = σ δ Γ − σ Ω
∂ ∂∂σ ∂δ
δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂∂σ ∂δ
δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂∂σ ∂δ
δ Ω = σ δ Γ − σ Ω∂ ∂
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
(2.5)
Válidas no contorno
11
Substituem-se estes resultados na Equação (2.4) cancelando os termos idênticos que
aparecem em ambos lados da equação, chega-se:
( )
( )∫∫∫∫
∫∫∫
Γ+=Ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+Ω
∂∂
−+Ω∂∂
−
+Ω−+Ω∂∂
−+Ω∂∂
−
dvpupdvvbdyvd
xv
duübdyud
xu
yxyyyxy
xxyxx
δδδρδσδσ
δρδσδσ
..
(2.6)
Reordenam-se os termos, então a Equação (2.6) pode ser reescrita como:
∫∫
∫
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+Ω⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−
−− dvpupdvvbuub
dyv
xv
yu
xu
yxyx
yyxyxx
δδδρδρ
δσδδσδσ
....
(2.7)
Introduzem-se as relações deformação-deslocamento:
xu
xx ∂∂
=ε , xxux
∂δδε =
∂
yv
yy ∂∂
=ε , yyvy
∂δδε =
∂ (2.8)
xv
yu
xy ∂∂
+∂∂
=γ , xyu vy x
∂δ ∂δδγ = +
∂ ∂
Na expressão (2.7), chega-se a:
( )
( ) Ω++Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
Γ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛++Ω++−
∫ ∫
∫∫
−− dvbubdvpup
dvvuud
yxyx
yyyyxyxyxxxx
δδδδ
δρδρδεσγδσδεσ ....
(2.9)
No caso de um problema estático, tem-se ü = 0.. =v , portanto a Equação (2.9) reescreve-se
como:
12
( ) ( ) Ω++Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=++ ∫ ∫∫ −− dvbubdvpup yxyxyyyyxyxyxxxx δδδδδεσγδσδεσ
(2.10)
Esta equação é escrita na forma matricial da seguinte maneira:
=∫ Ωdδεσ ∫ Γdup δ ∫+ Ωdub δ (2.11)
Onde:
=σ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
σ
σσ
, =ε
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
ε
εε
, =p
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
p
pp
, =b
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
b
bb
, =u
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
xy
yy
xx
u
uu
(2.12)
Porém é conveniente considerar a equação na sua forma transposta:
=∫ ΩdTσδε ∫ Γdpuδ ∫+ ΩdbuTδ
(2.13)
Na Equação (2.13), o termo do lado esquerdo da equação produzirá a matriz de rigidez, e
os termos do lado direito produzirão o vetor de cargas nodais equivalentes, depois de
introduzida a aproximação de elementos finitos e após serem executadas as integrações
necessárias.
A aproximação de elementos finitos consiste em obter funções aproximadoras dos
deslocamentos para cada elemento em termos de valores nodais. Assim tem-se que:
nii
uu φΣ= (2.14)
Onde u é a função deslocamento, iφ são funções conhecidas que são determinadas para
cada tipo de elemento chamadas de funções de forma, ni
u são valores das incógnitas
nodais do elemento finito e são consideradas como constantes inicialmente desconhecidas
e n é o número de nós do elemento.
13
A partir do momento em que a função deslocamento se torna conhecida, é possível
executar as diferenciações necessárias para obter a matriz de rigidez e o vetor de cargas da
Equação (2.13).
2.3.1 - Determinação da função de forma para elementos unidimensionais
Elementos de treliças, vigas e pórticos podem ser discretizados em elementos finitos
unidimensionais de dois nós. O elemento de treliça pode ser considerado uma barra
unidimensional, sujeito apenas a esforços axiais, ( )0≠xxσ . O elemento possui uma
deformação longitudinal constante, com incógnitas de deslocamentos longitudinais 1u e 2u
em coordenadas locais, ver Figura (2.1).
1 2 1u 2u
l Figura 2.1- Elemento finito para treliça
Para o caso de um elemento viga teremos quatro graus de liberdade e as incógnitas de
deslocamento serão 1v e 1θ para o nó 1, e 2v e 2θ para o nó 2 , Figura (2.2).
1θ 2θ
1 2 l 1v 2v
Figura 2.2 - Elemento finito para viga
Para determinarmos as funções de forma para um elemento de pórtico plano devemos
somar um elemento de treliça e um elemento de viga, ver Figura (2.3).
1θ 2θ 1u 1 2 2u
l
1v 2v
Figura 2.3 - Elemento finito para pórtico plano
14
Em seguida procede-se os cálculos para determinar as funções de forma para um elemento
de pórtico, que depende das funções de forma do elemento de treliça e do elemento viga.
2.3.1.1 - Funções de forma para um elemento de treliça
Para o cálculo da função de forma do elemento de treliça considere um elemento linear de
dois nós da Figura 2.1
Considere que no nó 1 a coordenada x assume o valor zero e no nó 2 será igual a l, onde l é
o comprimento do elemento. Desenvolvem-se as funções de forma para o elemento
partindo da expressão matricial:
αAu= (2.15)
Onde u são as funções desconhecidas, A é a base de polinômios determinada pela natureza
do problema, que no caso, é uma base de termos polinomiais lineares, e α são os
coeficientes desconhecidos em número igual ao número de nós.
Tem-se então as seguintes particularizações:
=A [ ]x1 ; =α ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
αα
e =u [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
11αα
x (2.16)
Substituem-se os valores correspondentes de x:
No nó 1:
No nó 2: (2.17)
Assim chaga-se ao resultado:
x = 0 u = u1
x = l u = u2
15
1
2
⎡ ⎤=⎢ ⎥
⎣ ⎦
uu
1
2
1 01
α⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ α⎣ ⎦ ⎣ ⎦l
(2.18)
Considera-se que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
uu
u n e C 1 01⎡ ⎤
= ⎢ ⎥⎣ ⎦l
(2.19)
Chega-se a seguinte expressão:
αCu n = (2.20)
Para calcular os coeficientes 1α e 2α inverte-se (2.20) e tem-se: nuC 1−=α , que
matricialmente se expressa como:
1
2
α⎡ ⎤⎢ ⎥α⎣ ⎦
011 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
ll
1
2
uu⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.21)
Substituindo (2.21) em (2.16), elimina-se α, portanto chega-se a :
nuCAu 1−= , que matricialmente expressa-se como: (2.22)
u [ ] 01 11 1
⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
lx
l1
2
uu⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.23)
Simplificando temos:
u 1 21⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
x xu ul l
(2.24)
Tem-se então as funções de forma do elemento de treliça definidas como:
16
1 1⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
xl
e 2⎛ ⎞φ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
xl
(2.25)
Desta maneira, chega-se a seguinte expressão:
2211 uuu φφ += (2.26)
Desse modo, chega-se a uma função geral do tipo: n
iiuu φΣ= .
2.3.1.2 - Obtenção da matriz de rigidez para um elemento de treliça
Chega-se a matriz de rigidez e vetor de cargas nodais para a treliça substituindo (2.26) em
(2.13). No momento considerar b = 0:
∫∫ Γ=Ω dpud TT δσδε (2.27)
No caso do elemento treliça, xyσ = yyσ = 0 e considerando as coordenadas locais, tem-se
v=0. No caso de cargas concentradas o lado direito de (2.7) se torna:
[ ] 1T1 2
2
pu p d u u
p⎡ ⎤
δ Γ = δ δ ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ (2.28)
Para obter a matriz de rigidez, assume-se a Lei de Hooke, σxx = E ε xx, e utiliza-se o lado
esquerdo de (2.13) tal que:
Txx xx
u ud E d E dx x
∂δ ∂δε σ Ω = δ ε ε Ω = Ω
∂ ∂∫ ∫ ∫ (2.29)
Usa-se a aproximação de elementos finitos da Equação (2.13) tem-se
1 21 2
u u ux x x
∂Φ ∂Φ∂= +
∂ ∂ ∂, com ( )1
1Φ = −l x
l e 2Φ =
xl
chega-se:
17
1
2
1 1 ⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
uuux l l
(2.30)
1
2
1 1 ∆⎡ ⎤∂∆ ⎡ ⎤= − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ∆∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
uuux l l
(2.31)
Substitui-se em (2.29) tal que:
[ ] 11 2
2
11 1
1
⎡ ⎤−⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ − Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫T uld E u u dul l
l
(2.32)
Considera-se 0
Ω =∫ ∫l
d A dx , onde A é a área da seção transversal da barra e executa-se a
multiplicação, tal que:
[ ] 11 2 2 0
2
1 11 1
− ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫
lT uEAd u u dxul
(2.34)
Executa-se a integração em (2.32):
[ ] 11 2
2
1 11 1
− ⎡ ⎤⎡ ⎤δε σ Ω = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ T uEAd u u
ul (2.35)
Juntam-se os termos dos dois lados de (2.13) tal que:
[ ] [ ] 111 2 1 2
2 2
1 11 1
− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤δ δ = δ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
puEAu u u uu pl
(2.36)
Cancelam-se os incrementos δu obtendo:
11
2 2
1 11 1
− ⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
puEAu pl
(2.37)
18
A partir da equação matricial de equilíbrio do elemento de treliça, ⋅ =k u p , tem-se que
=k ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−1111
LEA , que se refere a matriz de rigidez do elemento em coordenadas
locais.
Considera-se (2.34) em coordenadas locais, e inclui-se os deslocamentos transversais 1v e
2v obtendo:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
2
2
1
1
2
2
1
1
0000010100000101
qpqp
vuvu
LEA (2.38)
É necessário fazer a transformação do sistema de coordenadas locais para o global. Na
Figura (2.4) podemos observar o sistema local para o elemento de treliça:
Figura 2.4 - Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças
no Sistema Local
Deve-se fazer a transformação do sistema local (x,y) para o sistema global (X,Y), usando a
matriz de rotação R que se define como:
Letras minúsculas → sistema local Letras maiúsculas → sistema global
α
Y
X
1u
1p
y
x
2u
2p
1Nó
2NóGlobalSistema→
LocalSistema→
19
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
CSSC
CSSC
R
0000
0000
(2.39)
Executa-se a rotação passando a expressar os resultados no sistema de coordenadas
globais.
Na Figura (2.5) pode-se observar os deslocamentos do elemento de treliça no sistema de
coordenadas globais.
x
1Vy
Y
X
Local
0
SistemaGlobal 2U
2V
1UNÓ 1
NÓ 2
Figura 2.5 - Elemento finito para treliça - Componentes de deslocamentos e forças
no Sistema Global
Portanto a equação de equilíbrio do elemento de treliça em coordenadas globais se
expressa como:
PUK = (2.40)
Onde: θcos=C θsen=S
Letras minúsculas → sistema local Letras maiúsculas → sistema global
20
Tem-se que:
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
22
22
22
22
SCSSCSCSCCSCSCSSCSCSCCSC
lEAK . (2.41)
Onde K é a matriz de rigidez em coordenadas globais.
2.3.1.3 - Funções de Forma para um elemento de viga
Para o cálculo das funções de forma do elemento de viga considere um elemento linear de
dois nós da figura 2.2. O elemento possui quatro graus de liberdades, 1v , 1θ , 2v e 2θ .
Considere um polinômio cúbico em x cujos quatro termos são (1, x, x², x³).
Considere que no nó 1 tem-se x = 0 e no nó 2, x = l. Desenvolve-se as funções de forma
para o elemento partindo da expressão u = A α,, cujos termos diferem-se como:
=A [ ]321 xxx , =α ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
αααα
e =v [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
321
αααα
xxx (2.42)
Para os graus de liberdade )0(1 =xv e )(2 lxv = , obtem-se as seguintes relações:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
1 0001
αααα
v e [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
322 1
αααα
lllv (2.43)
Para os graus de liberdade )0(1 =xθ e )(2 lx =θ , utiliza-se , primeiramente, a relação
xv
∂∂
=θ . Portanto, aplica-se esta rotação em (2.42) obtém-se que:
21
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
23210
αααα
θ xx (2.44)
Finalmente em (2.45), chega-se as seguintes expressões para os graus de liberdade
rotacionais do elemento de viga:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
1 0010
αααα
θ e [ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
4
3
2
1
22 3210
αααα
θ ll (2.45)
Agrupando as expressões (2.43), (2.44), tem-se que:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
4
3
2
1
2
32
2
2
2
1
32101
00100001
αααα
θ
θ
lllllv
v
(2.46)
Onde, o vetor de deslocamentos nodais e a matriz C são dados por:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
3
2
1
1
θ
θv
v
vn
e ⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
2
32
32101
00100001
lllll
C (2.47)
Finalmente chega-se a expressão:
αCv n = (2.48)
Portanto, para determina-se os coeficientes α, invertendo (2.48), tal que:
nvC 1−=α (2.49)
22
A inversa da matriz C é escrita como:
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
2
2
2
1
22
3232
4
4
4
4
3
2
1
22
323
000
000
1
θ
θ
αααα
v
v
llll
llll
l
l
l (2.50)
Substituindo (2.50) em (2.42), é possível eliminar α . Desta maneira obtemos:
nvCAv 1−=
Matricialmente escreve-se como:
4
14
12 34 2 3 2 3
2
2 2 2
0 0 0
0 0 01 13 2 3
2 2
l vl
v x x xvl l l l l
l l l l
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥
θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦−⎣ ⎦
(2.51)
Desenvolvendo esta expressão teremos a expressão, tem-se: 4
14
12 34 2 3 2 3
1 1 1 22 2
1 1 2 2
1 13 2 3
2
⎡ ⎤⎢ ⎥
θ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ − − θ + − θ⎢ ⎥⎢ ⎥+ θ − + θ⎣ ⎦
l v
lv x x x
l l v l l v l
lv l lv l
(2.52)
Agrupando o termos em comum chega-se a:
(2.53)
Desta maneira tem-se as funções de forma para o elemento viga:
( ) ( ) ( )[ ]( )[ ]2
3223
2322
132234
13224
4 232231
θ
θ
xlxl
vxlxlxlxlxlvxlxlll
v
+−
+−++−++−=
23
3 2
1 3 22 3 1
⎛ ⎞φ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
x xl l
,3 2
2 22⎛ ⎞
φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
x x xl l
,2 3
3 2 33 2⎛ ⎞
φ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
x xl l
,3 2
4 2
⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
x xll
(2.54)
Por outro lado a equação de aproximação de elementos finitos se torna:
24231211 θφφθφφ +++= vvv (2.55)
2.3.2 - Matriz de Rigidez de Pórticos Planos
Uma vez que define-se as funções de forma conforme os itens 2.3.1.1 e 2.3.1.3, calcula-se
agora a matriz de rigidez de um elemento de pórtico plano.
Considere três tipos diferentes de elementos para o cálculo da matriz de rigidez de pórtico
plano, tais que:
1) Elemento de Pórtico comum;
2) Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda;
3) Elemento de Pórtico com Rótula na Direita.
A seguir apresenta-se a matriz de rigidez para cada tipo de elemento.
2.3.2.1 - Elemento de Pórtico Comum
A matriz de rigidez é desenvolvida a partir do termo do lado esquerdo da Equação (2.13),
ou seja o termo dσ δε Ω∫ . Considere um elemento de viga sob flexão pura, 0yy xyε = γ = ,
de onde:
0=∂∂
+∂∂
=xv
yu
xyγ (2.56)
Considere o giro de uma seção do elemento sob deformação, conforme Figura 2.6, define-
se então a seguinte relação:
24
y
u
β
x
Figura 2.6 – Giro de uma seção de viga
yu β−= (2.57)
Substituindo esta relação na expressão (2.57) tem-se:
0vx
∂−β + =
∂ ou v
x∂
= β∂
(2.58)
Sabendo que: xxu yx x
∂ ∂βε = = −
∂ ∂, então tem-se
2
2xxv yx
∂ε =
∂. Se considerar xx xxEσ = ε
chega-se a:
2 22
2 2
Td v d vd E y dd x d x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞δδε σ Ω = Ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ (2.59)
Observa-se que não há dependência na coordenada z e considera-se a origem das
coordenadas no plano médio do elemento (Figura 2.7). Além disso, considere a dimensão z
com comprimento b e a dimensão y com comprimento h. Então a expressão (2.59) se
torna:
y b x
h z
Figura 2.7: Elemento para definição dos limites de integração
25
32 2 2 222
2 2 2 20 0
2
12
hT Tl l
h
E bhv v v vE b y dx dy dxx x x x
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ δ ∂ ∂ δ ∂=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫ (2.60)
Sabemos que o momento de inércia de uma seção quadrada pode ser expresso por
12
3hbI = , obtemos:
2 2
2 20
Tl v vE I dxx x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ δ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫ (2.61)
Introduzindo ni iv v= φ e n
i iv vδ = φ δ , a expressão (2.61) pode ser escrita como:
nl
Tn vdx
xxvIE ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
2
2
02
2 φφδ (2.62)
Desta maneira, a matriz de rigidez do elemento de viga é dada pela seguinte expressão:
dxxx
IEKl
T
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
= ∫ 2
2
0 2
2 φφ . (2.63)
Considerando as funções de forma de (2.54) e fazendo as diferenciações necessárias,
obtemos:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
∂∂
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
∂∂
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 322
12
3
2
21
2
2
3
3
112666132l
xlxl
xl
xxl
xlx φφ
φ (2.64a)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
∂∂
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−=
∂
∂⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= 22
22
2
22
2
2
3
2641342l
xlxl
xlx
xx
lx
lx φφ
φ (2.64b)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∂∂
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∂∂
⇒⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 32
32
3
2
23
3
3
2
2
31266623l
xlxl
xl
xxl
xlx φφ
φ (2.64c)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∂∂
⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
∂
∂⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
llx
xlx
lx
xlx
lx 2623
224
2
2
24
2
2
3
4φφ
φ (2.64d)
26
Substituindo as derivadas das funções de forma dadas em (2.64) na expressão (2.63)
obteremos a matriz de rigidez:
dxll
xl
xll
xll
xl
llx
lx
l
lx
l
lx
l
IEKl
∫ ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−+
−+
−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
+−
+−
=0
23232
2
3
2
32
2612664126
26
126
64
126
(2.65)
Realizando as multiplicações e integrações de cada termo desta expressão, obtem-se a
matriz de rigidez do elemento viga.
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
−
=
32
23
3
4626612612
2646612612
llllll
llllll
lEIK
(2.66)
Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico comum é necessário somar a matriz
de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga (2.66). Assim
obtém-se uma matriz 6 x 6, que se escreve como:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−−−
−
−
−
=
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
lEIK
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
333
22
333
3
(2.67)
27
x
u
u
y
Y
X
SistemLoca
0
SistemGloba
NÓ 1
NÓ 2
V
V
θ
θ
x
u
u
y
Y
X
SistemLocal
0
SistemGlobal
NÓ 1
NÓ 2
V
V
θ1
θ2
α
Tem-se a matriz de rigidez de um elemento de pórtico comum no sistema local de
coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a transformação
deste sistema local para o sistema global de coordenadas, transformando para as
coordenadas da estrutura.
Figura 2.8: Elemento finito para pórtico – Componentes de deslocamentos no Sistema
Local
Para fazer a transformação de sistemas é necessário usar a matriz de rotação R dada pela
seguinte expressão:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
1000000000000000010000000000
CSSC
CSSC
R (2.68)
Usando a matriz de rotação R; os deslocamentos e as forças nodais expressos em
coordenadas do elemento, Sistema Local, são transformados para o Sistema Global (Figura
2.9).
Letras minúsculas → sistema local Letras maiúsculas → sistema global
Onde: θcos=C
θsen=S
28
Figura 2.9: Elemento finito para pórtico – Componentes de deslocamentos no Sistema
Global
A equação de equilíbrio do elemento de pórtico plano em coordenadas locais se escreve
como:
lll PuK = (2.69)
Onde lK é a matriz do elemento em coordenadas locais, lu são os deslocamentos em
coordenadas locais e lP é o vetor de forças em coordenadas locais.
Aplicando a rotação sobre os vetores de deslocamentos e cargas nodais, tem-se:
gl PRP = (2.70a)
gl uRu = (2.70b)
Substituindo as Equações (2.70a) e (2.70b) em (2.69) tem-se:
ggl PRuRK = (2.71)
x
1Vy
Y
X
Local
0
Sistema Global 2U
2V
1UNÓ1
NÓ 2
θ
θ
Letras minúsculas → sistema local Letras maiúsculas → sistema global
29
Pela ortogonalidade da matriz de rotação ( )1−= RRT pode-se obter a matriz de rigidez do
pórtico plano em coordenadas globais, que se escreve como:
RKRK lT= (2.72)
2.3.2.2 - Elemento de Pórtico com Rótula na Esquerda
Para o cálculo da matriz de rigidez para um elemento de viga com a presença de uma
rótula à esquerda não é possível utilizar as mesmas funções de forma encontradas
anteriormente, porque conta-se somente com três graus de liberdade 1v , 2v e 2θ . Adota-se
então outro método para o cálculo das funções de forma deste tipo de elemento.
Considere agora um elemento de viga com rótula na esquerda como mostrado na figura
abaixo:
1Nó 2Nó 2θ
l 1v 2v
Figura 2.10: Elemento finito para viga com rótula na esquerda
Para calcular as funções de forma deste elemento, utiliza-se a equação diferencial de uma
viga com cargas concentradas:
04
4
=xd
vd (2.73)
Portanto, deve-se integrar quatro vezes e realizar integrações sucessivas. Chega-se então à
seguinte expressão:
43
22
31
26cxcxcxcv +++=
(2.74)
30
Utilizam-se as condições de contorno para encontrar os coeficientes, considerando que o
eixo da barra coincide com o eixo local. Então considere que no nó 1, x = 0 e no nó 2, x= l:
No nó 2: 2
2
d vx ldx
v v
= ⇒ = θ
= (2.75)
Aplicam-se as condições de contorno (2.75) em (2.74) e obtém-se:
2
12 2 32
c l c l cθ = + + (2.76 a)
43
22
31
2 26clclclcv +++=
(2.76 b)
Por outro lado, as condições de contorno para o nó 1 são dadas como:
No nó 1:
2
2
1
0 0d vxdx
v v
= ⇒ =
=
(2.77)
Novamente substitui-se (2.77) em (2.74), chegando às expressões para o nó 1:
02 =c (2.78a)
14 vc = (2.78b)
Portanto, determina-se 1c e 3c , substituindo os valores de 2c e 4c , Equações (2.78a)
e (2.78b), nas Equações (2.76a) e (2.76b), tal que:
2
21
23lcc −=θ (2.79a)
( )212313 vvll
c −+= θ (2.79b)
Finalmente substituindo todas as constantes tem-se:
31
( ) ( ) 12122
3
2123 23
63 vxvvl
lxvvl
lv +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+−+= θθθ
(2.80)
Agrupando os termos a Equação (2.80) se reescreve como:
3 3 3
1 2 22 3 23 312 2 22 2 2
x x xx x xv v vl ll l l
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + + − + − θ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(2.81)
As funções de forma para o elemento viga com rótula na esquerda se reescrevem como:
3
1 23 122
x xll
⎛ ⎞φ = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠,
3
3 332 2x xl l
⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠,
3
4 3 22x xl
⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (2.82)
A equação de aproximação de elementos finitos se torna:
242311 θφφφ ++= vvv (2.83)
Pode-se encontrar a matriz de rigidez de um elemento de viga com rótula na esquerda
utilizando a expressão (2.63) e as funções de forma definidas em (2.82)
Portanto, é necessário executar diferenciações e integrações destas funções de forma da
mesma maneira como foi feita para o elemento de pórtico comum. Então tem-se:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
lll
lll
lll
IEK
333
333
333
22
233
233
´ (2.84)
32
Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico com rótula na esquerda é necessário
somar a matriz de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga
com rótula na esquerda definida em (2.84). Assim obtém-se uma matriz 6 x 6:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−
=
222
233
333
3300
30
3300
30
0000
000000
3300
30
0000
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
K
(2.85)
Tem-se agora montada, a matriz de rigidez de um elemento de pórtico com rótula na
esquerda no sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É
necessário fazer a transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas,
transformando para as coordenadas da estrutura, como já descrito anteriormente.
Observa-se que em (2.85) retêm-se uma linha e coluna de zeros para o grau de liberdade
( 1θ ). O mesmo procedimento é usado em relação a matriz de rigidez para os elementos de
pórtico com rótula na direita, e visa uniformizar o procedimento de montagem da matriz
global, sendo o que número de graus de liberdade por nó permanece igual a 3 em todos os
casos. Na rotina de aplicação das condições de contorno, o número “1” é colocado na
diagonal principal da matriz global na posição relativa a este grau de liberdade, para evitar
singularidade.
2.3.2.3 - Elemento de Pórtico com Rótula na Direita
Para o cálculo da matriz de rigidez para um elemento de viga com a presença de uma
rótula à direita, conta-se também com somente três graus de liberdade 1v , 1θ e 2v . Adota-
se o mesmo método anterior (elemento com rótula à esquerda) para o cálculo das funções
de forma deste tipo de elemento. Considere agora o elemento:
33
1Nó 1θ 2Nó
l
1v 2v
Figura 2.11: Elemento finito para viga com rótula na direita
Para calcular as funções de forma deste elemento, utiliza-se novamente a equação
diferencial de uma viga com carga concentradas, definida em (2.73) e a Equação (2.74).
Utiliza-se as condições de contorno para encontrar as constantes ic , considera-se que o
eixo da barra coincide com o eixo local. Então considere que no nó 1, x = 0 e no nó 2 , x=l.
Desta maneira, pode-se escrever as seguintes relações:
No nó 1:
1
10
vvxdvdx
=
=⇒= θ (2.86a)
3132
21
1 2ccxcxc
=⇒++= θθ (2.86b)
1443
22
31
1 26vccxcxcxcv =⇒+++=
(2.86c)
No nó 2:
2
12
2
vvxd
vdlx
=
=⇒= θ (2.86d)
lccclcxdvd
12212
2
0 −=⇒=+= (2.86e)
11
31
211
22
31
2 226vl
lcvvl
lclcv ++−=⇒+++= θθ (2.86f)
34
Finalmente, substituindo as relações (2.86b), (2.86c), (2.86e) e (2.86f) e agrupando chega-
se aos seguintes campos de deslocamentos:
22
2
2
3
1
2
2
3
12
2
3
3
23
223
21
23
2v
lx
lx
lx
lxv
lx
lxv ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= θ (2.87)
Desta maneira as funções de forma para o elemento viga com rótula na esquerda serão:
23
1 3 23 1
2 2xx
l l⎛ ⎞
φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
, 3 2
2 2322
x xll
⎛ ⎞φ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠,
23
3 3 23
2 2xx
l l⎛ ⎞
φ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.89)
A equação de aproximação de elementos finitos para este vaso se escreve como:
231211 vvv φθφφ ++= (2.90)
Pode-se obter a matriz de rigidez de um elemento de viga com rótula na direita utilizando a
mesma expressão para o cálculo do elemento de pórtico comum, ou seja:
dxxx
IEKl
T
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
=2
2
02
2 φφ (2.91)
Usando a aproximação de elementos finitos, definida em (2.80), as funções de forma
definidas em (2.76) e executando as diferenciações e integrações necessárias destas
funções tem-se como resultado a matriz de rigidez em coordenadas locais dada por:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
323
22
323
333
333
333
lll
lll
lll
IEK
(2.92)
35
Para obter a matriz de rigidez do elemento de pórtico com rótula na direita é necessário
somar a matriz de rigidez do elemento de treliça à matriz de rigidez do elemento de viga
com rótula na direita (2.92). Assim obtém-se uma matriz 6 x 6:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−
−
−
=
000000
03
033
0
0000
03
033
0
03
033
0
0000
323
22
33
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lIE
lAE
lAE
K
(2.93)
Tem-se a matriz de rigidez de um elemento de pórtico com rótula na direita (2.93) no
sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a
transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas, já descrito
anteriormente.
2.3.3 - Vetor de Cargas Nodais Equivalentes
Considerando os vários tipos de carregamentos a que a estrutura pode estar submetida,
pode-se ter diferentes contribuições ao vetor de cargas da estrutura. Considere diferentes
tipos de carregamentos como cargas concentradas, cargas distribuídas (uniforme e
triangular), peso próprio e efeitos de temperatura.
Será mostrado a seguir os diferentes tipos de montagem para o vetor de carga da estrutura.
2.3.3.1 - Cargas Concentradas
Considere o termo: ∫ pduT Γδ (2.94)
No caso de vigas as cargas são:
36
1M 2M 1Nó 2Nó
l 1F 2F
Figura 2.12 – Cargas em elementos de viga
No caso de cargas concentradas não se realiza integrações, em coordenadas locais. Então
tem-se:
Pu
MvF
MvF
δ
θδδθδ
δ
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
22
22
11
11
(2.95)
No caso do elemento de pórtico somam-se a cargas do elemento de viga e do elemento de
treliça para obter:
Pu
MFvFu
M
FvFu
n
y
x
y
x
δ
θδ
δδθδ
δδ
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
22
22
22
11
11
11
(2.96)
A equação completa para o elemento será:
PuuKu TT δδ = (2.97)
O incremento δ u em ambos os lados cancelam para se tornar:
PuK = (2.98)
37
2.3.3.2 - Cargas Distribuídas
Para obter o vetor de cargas nodais equivalentes à cargas distribuídas uniformes utiliza-se
as funções de forma do elemento viga, Equação (2.54). Substitui-se então o primeiro termo
da direita da Equação (2.13).
P u q d= δ Γ∫ , (2.99)
Fazendo nu uδ = δ φ , term-se:
nP u q d= δ φ Γ∫ (2.100)
Onde q é um valor constante da carga distribuída; φ são as funções de forma do elemento
viga. Substituem-se, então as funções de forma na equação e cancelam-se os termos δu
com o mesmo termo que aparece no cálculo da matriz de rigidez. Executa-se a integral e
considere que as cargas distribuídas agem na direção y negativa. Obtém-se:
3 2
3 2
3 2 2
2
2 30
2 3
23 2
2
2 3 12
2
123 2
2
12
l
x xl
l l
x x lxl l
P q dx P qlx x
l ll
x xll
⎡ ⎤⎛ ⎞− +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤
⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎜ ⎟ −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥= ⇒ = ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
∫ (2.101)
Onde P é o vetor de cargas nodais equivalentes para cagas distribuídas uniformes em
coordenadas locais. Portanto é necessário fazer a transformação deste sistema local para o
sistema global de coordenadas. Primeiros inclui-se os graus de liberdade 1u e 2u , depois
multiplica-se pela matriz de rotação R transposta. Obtém-se:
38
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
−
=
12
2
2
12
2
2
2
2
2
l
cosl
senl
l
cosl
senl
qP
θ
θ
θ
θ
(2.102)
Os termos referentes ao deslocamento θ não se alteram com a rotação de coordenadas
Para casos de cargas distribuídas triangulares considere uma variação linear de densidade.
Para implementar este tipo de carregamento substitui-se o termo abaixo, na expressão
usada para a carga uniforme:
nqq 1θ=
(2.103)
E chega-se a:
( ) ( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
l
LT dx
P0 2
1ΦΦ (2.104)
Onde q1 e q2 são os valores inicias e finais da carga triangular; φ são as funções de forma
do elemento viga. e φ L são as funções de forma do elemento treliça.
Substituindo as funções de forma do elemento de viga e as funções de forma do elemento
treliça na expressão, chega-se a:
39
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⇒⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
= ∫
2
2
1
2
21
2
2
1
2
21
10
2
2
3
3
3
3
2
2
2
3
2
2
3
3
2030
207
203
3020
203
207
123
2
132
qlql
qlql
qlql
qlql
Pdxlxq
lx
lx
lx
lx
lx
xlx
lx
lx
lx
Pl
(2.105)
Calculando o vetor (2.105) e considerando 1q de valor igual a 2q tem-se o vetor para
cargas distribuídas uniformes dado pela expressão (2.101). Este resultado é obtido para o
sistema local de coordenadas, ou seja, que segue o eixo do elemento. É necessário fazer a
transformação deste sistema local para o sistema global de coordenadas. Este processo é
feito da mesma maneira executado anteriormente.
1 2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
2
1 2
7 320 20
7 cos 3 cos20 20
20 20
3 720 20
3 cos 7 cos20 20
30 20
l sen l senq q
l lq q
ll q q
Pl sen l senq q
l lq q
ll q q
⎡ θ θ ⎤⎛ ⎞+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎛ ⎞− −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥
⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠= ⎢ ⎥
θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥
θ θ⎛ ⎞⎢ ⎥+⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎛ ⎞⎢ ⎥
+⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
(2.106)
Onde os termos referentes ao deslocamento θ não se alteram com a rotação de coordenadas
40
2.3.3.3 - Peso Próprio
Retirando da equação (2.13) o segundo termo do lado direito, considere as forças de corpo.
Sendo o valor de b constante tem-se a seguinte equação:
P u b d= δ Ω∫ (2.107)
Admitindo que nu uδ = δ φ obtém-se nb u dδ φ Ω∫ . O termo nuδ é cancelado como
explicado anteriormente.
Considerando o peso próprio de uma estrutura, tem-se que b = γ, onde γ é o peso
específico. O peso próprio de uma estrutura gera um termo parecido a um carregamento
uniformemente distribuído em coordenadas locais. Considerando d A dxΩ =∫ ∫ chega-se :
∫ ∫
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
===l l
dx
l
l
l
l
lAdxAdP0 0
12
2
12
2
γφγΩφγ
(2.108)
Onde Al peso da barraγ = . Não se emprega a matriz de rotação com este termo. Em
coordenadas globais tem-se:
012
12012
12
l
P A l
l
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= γ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
, agindo na direção y. (2.109)
41
2.3.3.4 - Efeitos de Temperatura
Sabe-se que o efeito da temperatura provoca um esforço axial nos elementos da estrutura.
Então tem-se:
δ
l
Figura 2.13: Alongamento devido à variação
Sendo:
lδ = α θ (2.110)
Onde θ é o aumento de temperatura, α é o coeficiente de expansão térmica, l é o
comprimento inicial da barra e δ é o alongamento sofrido devido ao acréscimo de
temperatura;
Pode-se então calcular o vetor de cargas equivalentes considerando um elemento de treliça,
que possui as funções de forma:
1 21 x xu u ul l
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.111)
Considerando o primeiro termo em (2.13), dσ δε Ω∫ . No caso de uma barra axial onde
Eσ= ε , tem-se E dδε ε Ω∫ .
A deformação total é a soma de deformações devido ao carregamento e deformações
iniciais. Então:
0T T
p p oE d E dε = ε + ε ⇒ δε ε Ω + δε ε Ω∫ ∫ (2.112)
42
O primeiro termo da expressão leva a matriz de rigidez. Considerando o segundo termo e
introduzindo as condições de contorno:
[ ] 11 2
1
1n lu u u
xl
⎡ ⎤−⎢ ⎥∂φ⎡ ⎤δε = δ δ ⇒ δ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.113)
Considerando que no caso da expansão térmica:
(2.114)
Escrevendo o primeiro termo da Equação (2.13) chega-se a:
11
1 1T n
olE d E A u dx E A
l
⎡ ⎤−⎢ ⎥ −⎡ ⎤δε ε Ω ⇒ αθ δ = αθ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ (2.115)
O termo nuδ será cancelado como explicado anteriormente.
A expressão é válida para coordenadas locais. Para obter um vetor em coordenadas globais
inclui-se os demais graus de liberdade e depois se emprega a matriz de rotação.
100100
P E A
−⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= αθ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.116)
lT
G PRP = (2.117)
Em seguida descreve-se os processos de montagem da matriz global, aplicação das
condições de contorno e cálculo dos esforços. Estes procedimentos são descritos de forma
θαεθαδε =⇒== 00 ll
l
43
resumida, visto que rotinas em questão diferem pouco daquelas apresentadas originalmente
por Brebbia e Ferrante (1986).
2.3.4 - Montagem da Matriz Global (Brebbia e Ferrante, 1986)
Através do procedimento descrito anteriormente é possível determinar a matriz de rigidez
de cada elemento isolado da estrutura. Porém é necessário fazer a montagem da matriz de
rigidez da estrutura inteira. A matriz de rigidez da estrutura é montada a partir da
superposição adequada das rigidezes dos elementos de acordo com seus vetores de
localização, portanto a matriz dos elementos é utilizada para montar a matriz de rigidez da
estrutura.
NÓ 2 barra 2 NO 3
barra 1
NÓ 1
Figura 2.14: Matriz de Rigidez da Estrutura no Sistema local
11 12
21 22 11 12
21 22
0123 0
K KFF K K K KF K K
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(2.118)
Todo este processo é feito de maneira computacional, através da subrotina específica no
programa implementado, onde após ter sido calculada cada matriz de rigidez dos
elementos isoladamente será montada a matriz de rigidez da estrutura inteira.
Para implementação desta matriz primeiramente considere que problemas com elementos
finitos produzem matrizes banda, porque um determinado nó é conectado aos vizinhos
imediatos. O tamanho da matriz banda é calculada pelo programa considerando a semi
largura de banda. O tamanho da largura de banda é calculado obtendo a maior diferença
entre a entre o nó inicial e o nó final encontrado na malha. Soma-se ao valor 1 e multiplica-
se pelos graus de liberdade da estrutura, então chega-se a:
( )1MS d NDF= + (2.119)
44
Onde MS é a largura de banda, d é a maior diferença entre os nós na malha e NDF é o
número de graus de liberdade por nó na estrutura.
Este tipo de armazenamento de dados representa uma grande economia de memória,
quando se refere a casos de estruturas com muitos graus de liberdade.
No programa, primeiro obtêm-se a posição que cada elemento teria na matriz em sua forma
quadrada. A alocação dos elementos na matriz é feita considerando que a matriz de rigidez
dos elementos em coordenadas globais é composta por blocos, com tamanho definido pelo
número de graus de liberdade por nó do elemento (NDF), no caso de pórtico seria três.
j=1 j=2 m=1 m=2 m=3
i=1 l=1
i=2 l=2
l=3
Figura 2.15: Matriz de Rigidez do elemento Figura 2.16: Bloco definido pelo NDF
é dividida em blocos
Faz-se referência aos elementos da matriz através de quatro índices: l mi jK . A posição do
elemento na matriz é definida usando a conectividade do elemento, por exemplo, N1 seria
o nó inicial e N2, o nó final. A posição na matriz K será definida por ( ),i jP l P m+ + sendo,
por exemplo:
( 1 1)iP N NNE= − × , para i=1; (2.120a)
( 2 1)iP N NNE= − × , para i=2; (2.120b)
( 1 1)jP N NNE= − × , para j=1; (2.120c)
( 2 1)jP N NNE= − × , para j=2; (2.120d)
Em seguida converte-se para a posição que o termo tem na matriz semibanda usando a
transformação que segue: um termo na posição A (I,I) será colocado na posição A(I,J-I+1)
na matriz armazenada em forma semi banda.
45
2.3.5 - Aplicação das Condições de Contorno
A matriz de rigidez da estrutura completamente montada é simétrica e singular e por isso
observa-se uma impossibilidade de resolução do sistema no cálculo dos deslocamentos. O
significado físico desta impossibilidade de resolução está no fato da estrutura estar ‘solta’,
podendo mover-se como um corpo rígido.
Na prática as estruturas estão fixadas, portanto é necessário estabelecer um número de
restrições na estrutura para impedir o movimento do corpo rígido e possibilitar o cálculo do
dos deslocamentos. As condições de contorno são especificadas como os vínculos que
restringem o movimento da estrutura. Portanto sabe-se que um apoio fixo de uma estrutura
representa que deslocamentos são nulos.
Uma maneira simples para aplicação das condições de contorno seria considerar um grau
de liberdade ui=⎯u i conhecido. Primeiro coloca-se a fileira i da matriz igual a zero. Em
seguida, multiplica-se a coluna i pelo vetor ⎯u i conhecido e subtrai-se de P. Depois se
coloca o valor ‘1’ na diagonal principal da matriz, na posição (i,i). Finalmente coloca-se
⎯ui na posição i de Pi. O processo explicado acima para uma matriz quadrada é adaptado
no código para uma matriz banda. No caso de ⎯ui=0 não é necessário subtrair a coluna i de
P, basta acrescentar valor zero.
2.3.6 - Resolução do Sistema de Equação (Eliminação de Gauss)
Quando realiza-se o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura e obtém-se a
relação definida por PuK = , tem-se como incógnita do problema os deslocamentos da
estrutura, representados pela letra u. Para o cálculo destes deslocamentos, resolve-se o
sistema de equações lineares, utilizando o Método de Eliminação de Gauss. Este método é
o mais conhecido na resolução de sistemas de equações lineares.
O processo de resolução de sistemas através do Método de Gauss não será abordado neste
trabalho, sendo que a rotina empregada foi obtida em Brebbia e Ferrante (1986). Após a
resolução do sistema obtém-se todos os deslocamentos dos nós da estrutura.
46
2.3.7 - Cálculo dos Esforços
Os deslocamentos obtidos após a resolução do sistema estão em coordenadas globais. O
cálculo dos esforços é feito para cada elemento. Para tanto, utiliza-se a conectividade dos
elementos para obter o vetor de deslocamentos do elemento em coordenadas globais gu .
Em seguida utilizamos a matriz de rotação para obter os deslocamentos do elemento em
coordenadas locais.
gl uRu = (2.121)
O próximo passo é utilizar a matriz de rigidez local lk para obter os esforços em
coordenadas locais.
lll Puk = (2.122)
Assim obtem-se os três esforços normais, cortantes e fletor para cada nó do elemento. Para
finalizar este processo e obter as reações nodais, transfere-se os esforços para o sistema
global de coordenadas:
lT
g PRP = (2.123)
Agora, somando os esforços em cada direção dos nós, u, v e θ, chega-se as reações de
apoio nos nós restringidos.
47
3 – PROGRAMA EDUCACIONAL
3.1 - INTRODUCÃO
O trabalho apresenta interfaces gráficas amigáveis para o programa PPGen.FOR (análise
estática linear de pórticos planos). O código foi desenvolvido a partir de um programa
computacional apresentado por Brebbia e Ferrante (1986) para o elemento de pórtico comum
com cargas concentradas. Este programa e outros que incluem cargas distribuídas e forças
devido à gravidade e temperatura são utilizados na disciplina Método dos Elementos Finitos I
do Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de Brasília.
O código base é escrito em linguagem FORTRAN, mostrado na Figura 3.1.
Figura 3.1 – Estrutura Básica do Programa PPGen.FOR
Reecrevendo o código em Fortran para a linguagem Pascal, foi possível utilizar o programa
Delphi 6 (2003), para montar interfaces amigáveis de cada resultado parcial e final das etapas
da programação. Montando janelas gráficas do Windows através de formulários, é possível o
usuário fornecer dados de entrada, ler os resultados de saída, e também visualizar saídas
gráficas.
Leitura de D ados
Cálculo das M atrizes de R igidez e Vetor de C argas
para C ada E lem ento
M ontagem da M atriz de R igidez e Vetor de C argas
G lobal
A plicação das C ondiçõesde Contorno
Início
R esolução do Sistem a
Cálculos Secundários
Saída de Resultados
Fim
48
Através destes formulários, é possível também o usuário ter acesso à teoria empregada no
processo de resolução do problema. Este processo busca obter uma maior interatividade e um
maior aprendizado do usuário.
Apresentaremos neste capítulo os formulários implementados para entrada de dados do
problema e para as saídas de resultados.
3.2- ESTRUTURA DO PROGRAMA
A implementação das interfaces gráficas dos programas foi desenvolvida a partir da linguagem
de programação Object Pascal em Ambiente de Desenvolvimento Delphi 6 (2003).
O programa para pórticos planos está escrito de maneira a acompanhar os resultados
intermediários durante a análise do problema em estudo por meio da opção “Passo a Passo”.
A Figura 3.2 apresenta os principais procedimentos para a utilização do programa para
pórticos planos.
Geração da Geometria
Geração dos Carregamentose
Condições de Contorno
Geração das Propriedadesdos
Elementos
Leitura de arquivo“*.dat”
Solução Passo a Passo Solução Final
Visualização de Relatóriose
Saídas Gráficas
Resultados Intermediáriose
Resultados Finais
Pórticos Planos
Figura 3.2 – Procedimentos Principais Programa de Pórticos Planos
49
3.3 - PROGRAMA EDUCACIONAL – PÓRTICOS PLANOS
Apresenta-se a descrição sobre o desenvolvimento e funcionamento do Programa Educacional
em Elementos Finitos aplicado a análise de pórticos planos. A Figura 3.3, mostra a tela de
abertura do programa.
Figura 3.3 – Janela de Abertura do programa para pórticos planos
3.3.1- Janela Principal do Programa para Pórticos Planos A janela principal do programa é apresentada a seguir, na Figura 3.4.
Barra de Menus Barra de Atalhos
Tela de desenho
Figura 3.4 – Janela Principal do programa para Pórticos Planos
50
Através desta janela principal pode-se dar entrada aos dados do problema através da barra de
atalhos, que contém ícones ilustrativos que sugerem ao usuário a que se refere.
Pode-se obter o resultados e também dar entrada aos dados através da barra de menus e obter
resultados visuais na tela de desenho.
A seguir apresenta-se as principais ferramentas utilizadas no programa para pórticos planos.
3.3.2 - Comandos da Janela Principal do Programa para Pórticos Planos
Alguns itens desempenham funções iguais para este tipo de estrutura. Na barra de menus
encontram-se os seguintes itens e comandos:
3.3.2.1 - Menu Arquivo
A Figura 3.5 mostra os comandos do menu Arquivo.
Figura 3.5 – Menu Arquivo
Descrição dos comandos do menu Arquivo e suas respectivas funções:
Novo – Redefine todos os dados e inicia um novo projeto.
Abrir – Abre um projeto gravado. O programa permite a utilização de arquivos de texto com
extensão “*.dat” e “*.txt”. Para carregá-los é recomendável que os arquivos de dados estejam
na mesma pasta do arquivo executável Soft_Pórtico.exe.
51
Salvar Dados – Após o fornecimento de todos os dados, via preenchimento dos formulários,
grava o projeto em disco no formato “*.dat” e com nome um definido pelo usuário.
Salvar Resultados – Grava em disco, os resultados de um projeto com formato “*.out” ou
“*.txt” e com um nome definido pelo usuário.
Imprimir – Imprime relatório contendo: dados de entrada (dados globais, coordenadas dos
nós, conectividades dos elementos, cargas nodais, condições de contorno e propriedades dos
elementos); e resultados (deslocamentos nodais, esforços nos elementos e reações de apoio e
cargas nodais aplicadas).
Fechar – Fecha o programa.
3.3.2.2 - Menu Dados
Os comandos do menu Dados são apresentados na Figura 3.6.
Figura 3.6 – Menu Dados
Observa-se que muitos dos comandos na barra de menus podem também ser acessados pela
barra de atalhos a ser descrito em seguida:
Globais – Exibe a janela “Dados Globais”, onde os mesmos são definidos.
Nós – Exibe a janela “Coordenadas dos Nós”, onde são fornecidas todas as coordenadas
nodais.
52
Conectividades – Exibe a janela “Conectividades dos Elementos”. Nesta janela se definem as
conectividades, informando os nós inicial e final de cada elemento de treliça.
Cargas:
• Nodais - Exibe a janela “Cargas Nodais”. Nesta janela se definem: o nó, a direção (se
a carga atua na direção x ou na direção y) e o valor das cargas concentradas atuantes.
• Distribuídas: Exibe a janela “Cargas Distribuídas”. Nesta janela se definem: o
elemento em que a carga atua, a direção (se a carga atua na direção x ou na direção y) e
o valor inicial e valor final da carga, levando em consideração que a carga atuante pode
ser retangular, triangular ou trapezoidal.
Contorno – Exibe a janela “Condições de Contorno”. Nesta janela se definem: o nó, a direção
e o valor dos deslocamentos prescritos impostos à estrutura. A definição da direção em que
ocorre a condição de contorno é feita de forma similar à feita para as cargas nodais.
Propriedade – Exibe a janela “Propriedades dos Elementos”, onde são fornecidas as
propriedades como a área da seção transversal, módulo de elasticidade, o momento de inércia,
a expansão térmica, no caso da existência de variações de temperatura, e o peso específico, no
caso da existência de peso próprio para cada elemento.
3.3.2.3 Menu Estrutura
Os comandos do menu Estrutura são apresentados na Figura 3.7.
Figura 3.7 – Menu Estrutura
53
Descrição dos comandos do menu Estruturas e suas respectivas funções:
Gera Desenho – Desenha o pórtico na tela de desenho da Janela Principal, após o
fornecimento dos dados necessários. Não é necessário ter calculado a estrutura previamente.
3.3.2.4 - Menu Solução
Os comandos do menu Solução são apresentados na Figura 3.8.
Figura 3.8 – Menu Solução
Descrição dos comandos do menu Solução e suas respectivas funções:
Passo a Passo – Após o fornecimento dos dados. Calcula o pórtico de modo interativo,
possibilitando a visualização das janelas das etapas intermediárias com os seus respectivos
resultados, bem como das janelas referentes aos resultados e relatórios finais.
Final – Após o fornecimento dos dados. Executa o cálculo do pórtico e possibilita acesso às
janelas com os resultados e relatórios finais, sem mostrar as janelas dos passos intermediários.
3.3.2.5 - Menu Resultados
Os comandos do menu Resultados são apresentados na Figura 3.9.
Figura 3.9 – Menu Resultados
54
Descrição dos comandos do menu Resultados e suas respectivas funções:
Deslocamentos Nodais – Exibe a janela “Deslocamentos nodais”. Nesta janela é possível
visualizar os valores dos deslocamentos para os nós selecionados pelo usuário.
Reações de Apoio –Exibe a janela “Reações de Apoio”. Nesta janela é possível visualizar os
valores das reações nos nós ou apoios selecionados pelo usuário.
3.3.2.6 - Menu Relatórios
Os comandos do menu Resultados são apresentados na Figura 3.10.
Figura 3.10 – Menu Relatórios
Descrição dos comandos do menu Relatórios e suas respectivas funções:
Entrada de Dados/Resultados – Após o cálculo, exibe a janela “Relatórios”, onde é possível
a visualização dos relatórios: Entrada de Dados e Resultados.
3.3.2.7 - Menu Sobre
Os comandos do menu Sobre são apresentados na Figura 3.11.
Figura 3.11 – Menu Sobre
Sobre – Exibe a janela de abertura do programa Pórticos Planos.
55
3.3.2.8 - Menu Teoria
Os comandos do menu Teoria são apresentados na Figura 3.12
Figura 3.12.– Menu Teoria
Cada tópico contém uma explicação teórica referente ao assunto citado. Este menu foi criado
para fornecer alguns conhecimentos teóricos a respeito do assunto abordado no programa.
Portanto sua finalidade é como de um menu de ajuda.
As janelas referentes aos tópicos estão representadas nas figuras abaixo.
A Figura 3.13 traz algumas informações a respeito da estrutura do programa usado para
implementação do código usado. As Figuras 3.14, 3.15, 3.16, 3.17 buscam mostrar ao usuário
a montagem da matriz de rigidez do elemento de pórtico através do MEF.
A Figura 3.18 procura mostrar o processo de montagem da matriz de rigidez da estrutura,
mostrando a montagem no sistema local de coordenadas e através da matriz de rotação, sua
transformação para o sistema global. Busca-se mostrar ao usuário também a montagem da
matriz semi-banda.
As Figuras 3.19 e 3.20 procuram mostrar a montagem do vetor de forças da estrutura para os
diversos tipos de carregamentos a que a estrutura pode estar submetida (cargas distribuídas,
peso próprio, temperatura).
E a Figura 3.21 busca demonstrar a aplicação das condições de contorno na matriz para o
cálculo final dos deslocamentos e dos esforços da estrutura.
56
Figura 3.13–Programa Educacional
Figura 3.14 – Matriz de Rigidez do Elemento
57
Figura 3.15 – Matriz de Rigidez do Elemento
Figura 3.16 – Matriz de Rigidez do Elemento
58
Figura 3.17 –Matriz de Rigidez do Elemento
Figura 3.18 – Matriz de Rigidez da Estrutura
59
Figura 3.19 – Montagem do Vetor de Forças
Figura 3.20 – Montagem do Vetor de Forças
60
Figura 3.21 – Condições de Contorno
3.3.3 - Barra de Atalhos O programa permite o acesso a alguns comandos mais utilizados através da Barra de Atalhos.
A Figura 3.22 apresenta a Barra de Atalhos com os comandos de cada botão descritos abaixo.
Figura 3.22 – Barra de Atalhos
Arrastando o mouse sobre cada um dos ícones pode-se ler a que se refere cada ícone. Na barra
de atalhos encontram-se os seguintes ícones de comandos:
61
• Atalho para um Novo Documento:
• Atalho para Abrir um Novo Documento:
• Atalho para Imprimir:
• Atalho para Salvar Dados:
• Atalho para Salvar Resultados:
• Atalho para Dados Globais: Exibe a janela em que se define a entrada dos dados globais
de toda a estrutura (número de nós, número de elementos, número de cargas aplicadas
etc.).
• Atalho para Nós da Estrutura: Exibe s janela em que se define as coordenadas de cada
nó da estrutura.
62
• Atalho para Conectividade dos Elementos: Exibe a janela em se define onó inicial e o
nó final de cada elemento.
• Atalho para Condições de Contorno: Exibe a janela em que se define o nó, a direção e o
valor dos deslocamentos prescritos impostos a estrutura.
• Atalho para Cargas Nodais: Exibe a janela em que se definem o nó, a direção e o valor
das cargas concentradas atuantes.
• Atalho para Cargas Distribuídas: Exibe a janela em que se definem o elemento, a
direção e o valor inicial e final das cargas distribuídas atuantes.
• Atalho para Propriedades dos Elementos: Exibe a janela em que se definem área da
seção transversal, do módulo de elasticidade, o momento de inércia da seção do
coeficiente de expansão térmica e o peso específico de cada elemento.
• Atalho para Gerar Desenho da Estrutura: Exibe o desenho da estrutura lançada na tela
de desenho, mesmo sem o cálculo da estrutura. Este procedimento permite ao usuário
verificar o lançamento correto da estrutura antes de efetuar os cálculos.
63
• Atalho para Calcular a Estrutura: Executa o cálculo do pórtico, fornecendo os
resultados e relatórios finais referentes aos deslocamentos e reações da estrutura.
• Atalho para Gerar Gráficos de Esforços Normais: Mostra visualmente os resultados
dos esforços normais resultantes para cada estrutura.
• Atalho para Gerar Gráficos de Esforços Cortantes: Mostra visualmente os resultados
dos esforços cortantes resultantes para cada estrutura.
• Atalho para Gerar Gráficos de Momentos Fletores: Mostra visualmente os resultados
dos momentos resultantes para cada estrutura.
• Atalho para Aumentar Zoom: Aumenta o zoom dos gráficos resultantes de cada
estrutura.
• Atalho para Diminuir Zoom: Diminui o zoom dos gráficos resultantes de cada estrutura.
64
3.3.4 - Menu Dados: Janelas Principais
3.3.4.1 - Janela Dados Globais
Quando o atalho para Dados Globais é solicitado a seguinte janela de entrada de dados será
exibida como mostrado na Figura 3.23:
Figura 3.23 – Janela para entrada dos Dados Globais
Nos campos de edição da janela Dados Globais serão fornecidos os seguintes dados: Número
de Nós, Número de Elementos, Número de Cargas Concentradas (Nodais), Número de
Condições de Contorno, Número de Cargas Distribuídas, existência do Peso Próprio e
existência de Variação de Temperatura. Ao lado direito da janela de entrada de dados, é
possível obter informações a respeito dos dados a que se deu entrada e sobre alguns conceitos
considerados importantes para o aprendizado do usuário.
Ao clicar no botão “OK” da janela Dados Globais, confirma-se os valores digitados.
Ao clicar no botão “Limpar”, limpa-se os dados digitados em todos os campos de edição e ao
clicar no botão “Fechar”, a janela será fechada.
65
3.3.4.2 - Janela Coordenadas dos Nós
Quando o atalho para Nós é solicitado a janela de entrada de coordenadas será exibida como
mostrado na Figura 3.24:
Figura 3.24 – Janela para Entrada das Coordenadas dos Nós
Na caixa de seleção “Nó”, escolhe-se o nó para o fornecimento das coordenadas X e Y em
seus respectivos campos de edição.
Ao clicar no botão “Aplicar” da janela Coordenadas dos Nós, os valores que foram digitados
serão armazenados. Deve-se sempre acioná-lo primeiro.
Ao clicar no botão “Próximo” da janela Coordenadas dos Nós, automaticamente o valor do
nó constante na caixa de seleção é acrescido de 1 (um), passando assim para o preenchimento
do próximo nó.
Ao clicar no botão “Anterior” da janela Coordenadas dos Nós, automaticamente o valor do
nó constante na caixa de seleção é subtraído de 1 (um), passando assim para o preenchimento
do nó anterior.
Ao clicar no botão “Fechar”, confirma-se os valores das coordenadas nodais fornecidas e
fecha a janela.
66
Ao lado direito da janela de entrada das coordenadas, é possível obter informações a respeito
da teoria referente a nós, sendo considerado como conceitos importantes para o aprendizado
do usuário.
3.3.4.3 - Janela Conectividade dos Elementos
Usando o atalho para Conectividade dos Elementos, a janela de entrada de coordenadas será
exibida como mostrado na Figura 3.25:
Figura 3.25 – Janela para entrada das Conectividades dos Elementos
Nos campos de edição informa-se o nó inicial (Nó i) e final (Nó j) de cada elemento da
estrutura. Deve-se optar também pelo tipo de elemento, que poderá ser: elemento de pórtico,
elemento de pórtico com rótula na esquerda, elemento de pórtico com rótula na direita e
elemento de treliça. Na parte inferior da janela, pode-se obter exemplos destes tipos de
elementos. Com isso busca-se possibilitar ao usuário um maior entendimento do assunto.
67
Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, tem-se o mesmo
funcionamento explicado anteriormente.
Ao lado direito da janela de entrada de conectividades, é possível obter informações a respeito
da teoria referente à conectividade e aos tipo de elementos selecionados, sendo considerado
como conceitos importantes para o aprendizado do usuário.
3.3.4.4 - Janela para Condições de Contorno
Usando o atalho para Condições de Contorno ou no menu Dados, o comando Condições de
Contorno, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.26:
Figura 3.26 – Janela para entrada das Condições de Contorno
Nos campos de edição informa-se o Nó, a Direção e o Valor de todas as condições de
contorno.
Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, tem-se o mesmo
funcionamento explicado anteriormente.
68
Ao lado direito da janela de entrada das condições de contorno, é possível obter informações a
respeito da teoria referente as condições de contorno e aos tipos de apoios usados, sendo estes
representado por figuras logo abaixo. Estes aspectos são considerados conceitos importantes
para o aprendizado do usuário.
3.3.4.5 - Janela para Cargas Nodais (Concentradas)
Usando o atalho para Cargas Concentradas ou no menu Dados o comando Cargas
Concentradas, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.27:
Figura 3.27 – Janela para entrada das Cargas Concentradas (Nodais)
Nos campos de edição informa-se o Nó, a Direção e o Valor de todas as cargas nodais que
atuam na estrutura.
Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, tem-se o mesmo
funcionamento explicado anteriormente.
69
Ao lado direito da janela de entrada das cargas nodais, é possível obter informações a respeito
da teoria referente as cargas concentradas e os sentidos das cargas usadas. O sentido das
cargas está representado por figuras na opção ‘‘direção’’. Desta maneira há uma visualização
melhor do carregamento aplicado. Estes aspectos são considerados conceitos importantes para
o aprendizado do usuário.
3.3.4.6 - Janela para Cargas Distribuídas
Usando o atalho para Cargas Distribuídas ou no menu Dados escolhendo o comando Cargas
Distribuídas, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.28:
Figura 3.28 – Janela para entrada das Cargas Distribuídas
Nos campos de edição informa-se o Elemento, o Valor Inicial e Valor Final de todas as
cargas concentradas que atuam na estrutura.
Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, teremos o mesmo
funcionamento explicado anteriormente.
70
Ao lado direito da janela de entrada das cargas nodais, é possível obter informações a respeito
da teoria referente às cargas distribuídas. A opção ‘’direção’’ informa as opções de
carregamentos distribuídos, retangulares, triangulares e trapezoidais. Através de desenho
podemos obter uma melhor visualização do carregamento aplicado, buscando assim um
melhor aprendizado do usuário.
3.3.4.7 - Janela para Propriedade dos Elementos
Usando o atalho para Propriedades dos Elementos ou o menu Dados escolhendo o comando
Propriedade dos Elementos, a janela será exibida como mostrado na Figura 3.29:
Figura 3.29 – Janela para entrada das Propriedades dos Elementos
Nos campos de edição informa-se a Área da Seção Transversal, o Módulo de Elasticidade,
o Momento de Inércia, a Expansão Térmica e o Peso Específico de todos os elementos da
estrutura. A opção ‘‘Expansão Térmica’’ e ‘‘Peso Específico’’ será informada como valores
zero caso não haja variação de temperatura e peso próprio no elemento em questão.
71
Ao clicar os botões “Aplicar”, “Próximo”, “Anterior” e “Fechar”, teremos o mesmo
funcionamento explicado anteriormente.
Ao lado direito da janela de entrada das cargas nodais, é possível obter informações a respeito
da teoria referente às propriedades que são dadas de entrada no programa. Estes aspectos são
considerados conceitos importantes para o aprendizado do usuário.
3.3.5 - Menu Solução – Opção Passo a Passo: janelas auxiliares(Santos, 2003)
No menu Solução, implementado em trabalho anterior, escolhendo o comando “Passo a
Passo...”, a janela Solução Passo a Passo será exibida, conforme a Figura 3.20, dando início à
seqüência de passos necessários para a solução e visualização das etapas intermediárias. A
solução Passo a Passo tem um caráter didático muito importante, já que descreve, de forma
ordenada e clara, as operações que devem ser realizadas para se obter a solução seguindo os
métodos matriciais de resolução de estruturas.
3.3.5.1 - Passo 1 – Numeração dos nós e graus de liberdade
Nesta janela, são definidas as operações realizadas no passo1.
Figura 3.30– Janela Solução Passo a Passo
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Solução Passo a Passo e abre a janela
seguinte que é a Graus de Liberdade – Passo 1, mostrada na Figura 3.31.
72
Figura 3.31– Janela Graus de Liberdade – Passo 1
Escolhendo a opção Sim em “Visualizar Graus de Liberdade?”, pode-se visualizar a
numeração dos nós e dos graus de liberdade do pórtico, sendo três graus de liberdade em
cada nó. Na opção Não, visualiza-se apenas o desenho da estrutura.
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Graus de Liberdade – Passo 1 e abre a janela
de abertura da etapa seguinte que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A, mostrada na
Figura 3.32.
3.3.5.2 - Passo 2 – Cálculo da matriz de rigidez do elemento
Nesta janela, são definidas as operações realizadas no passo 2. São elas: a) cálculo da matriz
de rigidez para cada elemento; b) montagem da matriz de rigidez global da estrutura, na forma
cheia e em semi- banda .
73
Figura 3.32– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A e
abre a janela anterior que é a Graus de Liberdade.
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A e
abre a janela seguinte que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B, mostrada na Figura
3.33.
Figura 3.33– Janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B
74
Na caixa de seleção “Matriz de Rigidez [Ke] do Elemento”, mostrada na Figura 3.34,
escolhe-se o elemento a ser calculado/montado.
Figura 3.34 – Caixa de Seleção dos Elementos
Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento selecionado são calculados e montados, na
matriz 6 x 6, posicionada na parte superior direita da janela da Figura 3.33. Simultaneamente,
são montados nas suas correspondentes posições da matriz de rigidez global da estrutura nas
formas cheia e semi- banda, mostradas na parte inferior da mesma Figura 3.33. Esse processo
se repete para todos os elementos, obtendo assim, a matriz de rigidez global do pórtico plano
nas formas cheia e semi- banda.
Para a orientação do aluno durante o processo de montagem das matrizes de rigidez, o pórtico
em estudo é mostrado na parte superior esquerda da janela, com a numeração dos graus de
liberdade em destaque e passa a ter cada elemento selecionado destacado. Este processo busca
uma melhor visualização do elemento escolhido para a verificação da matriz gerada.
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B e
abre a janela anterior Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2A.
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B e
abre a janela seguinte que é a Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A, mostrada na Figura
3.35.
75
3.3.5.3 - Passo 3 – Vetor de cargas da estrutura
O passo seguinte aborda a montagem do vetor de cargas associado às cargas externas atuantes
no pórtico.
Figura 3.35 – Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A e
abre a janela anterior que é a Matriz de Rigidez da Estrutura – Passo 2B .
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A e
abre a janela do Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B, mostrada na Figura 3.36.
Figura 3.36 – Janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B
76
Escolhendo a opção Visualizar Graus de Liberdade em “Visualizar Graus de Liberdade e
Carregamento?”, pode-se visualizar a numeração dos nós e dos graus de liberdade do
pórtico em estudo. Escolhendo a opção Visualizar Carregamento, visualiza-se apenas o
carregamento atuante no pórtico em estudo. O vetor de cargas da estrutura é mostrado à direita
da janela da Figura 3.36.
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B e
abre a janela anterior Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3A.
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B e
abre a janela seguinte que é a Condições de Contorno – Passo 4A, mostrada na Figura 3.37.
3.3.5.4 - Passo 4 – Condições de Contorno
Obtida a matriz de rigidez da estrutura e o vetor de cargas, o próximo passo consiste em
modificar a matriz de rigidez introduzindo as condições de contorno do pórtico, tanto para a
matriz de rigidez na forma cheia como para a armazenada em semi- banda.
Figura 3.37 – Janela Condições de Contorno – Passo 4 A
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4A e abre a
janela anterior Vetor de Cargas da Estrutura – Passo 3B.
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4A e abre
a janela seguinte que é a Condições de Contorno – Passo 4B,mostrada na Figura 3.38.
77
Figura 3.38 – Janela Condições de Contorno – Passo 4B
A parte superior da janela, mostrada na Figura 3.38, refere-se à imposição das condições de
contorno na matriz de rigidez da estrutura na forma cheia.
Figura 3.39 – Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Cheia
Pode-se modificar a matriz cheia impondo as condições de contorno, ou seja, eliminando as
linhas e as colunas referentes aos deslocamentos prescritos, uma a uma, utilizando a caixa de
seleção localizada na parte superior da janela, ou impor todas simultaneamente usando o botão
“OK”.
A parte inferior da janela Condições de Contorno – Passo 4B, mostrada na Figura 3.38, refere-
se à imposição das condições de contorno na matriz de rigidez da estrutura na forma semi-
banda.
78
Figura 3.40 – Imposição da 1ª Condição de Contorno – Matriz Semi- Banda
Procede-se de modo similar ao da matriz cheia, pode-se impor as condições de contorno, ou
seja, eliminando as linhas e as anti- diagonais referentes aos deslocamentos prescritos, uma a
uma, utilizando a caixa de seleção localizada na parte superior da janela, ou impor todas
simultaneamente usando o botão “OK”. Aqui, considera-se condições de contorno iguais a
zero. Para completar o processo coloca-se 1 (um) na diagonal principal.
Ao clicar no botão “Anterior” da Figura 3.37, fecha-se a janela Condições de Contorno –
Passo 4B e abre a janela anterior Condições de Contorno – Passo 4A .
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Condições de Contorno – Passo 4B e abre a
próxima janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A,mostrada na Figura 3.40.
3.3.5.5 - Passo 5 – Solução do Sistema de Equações
Neste passo se resolve o sistema de equações lineares PuK = , que resulta após a imposição
das condições de contorno. Não se incide aqui sobre os métodos de resolução de equações
lineares por escapar aos objetivos do programa. A Figura 3.41 mostra a janela Solução do
Sistema de Equações – Passo 5A.
79
Figura 3.41 – Janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5 A
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A
e abre a janela anterior Condições de Contorno – Passo 4B .
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Solução do Sistema de Equações – Passo 5A
e abre a próxima janela Deslocamento Nodais – Passo 5B, mostrada na Figura 3.42.
Figura 3.42 – Janela Deslocamento Nodais – Passo 5B
Uma vez resolvido o sistema de equações é possível conhecer os valores das incógnitas, ou
seja, os deslocamentos nodais.
80
Digitando o número do nó para o qual se deseja conhecer os deslocamentos , na caixa de
edição “nó” localizada na parte inferior da janela, e ao clicar no botão “OK”, visualiza-se os
valores dos deslocamentos xu , yu e Zu para o mesmo. Este procedimento pode ser repetido
para todos os nós, aleatoriamente.
Ao clicar no botão “Anterior”, fecha-se a janela Deslocamentos Nodais – Passo 5B e abre a
janela anterior Solução do Sistema de Equações – Passo 5A .
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Reações Nodais – Passo 5B e abre a próxima
janela Reações nos Apoios – Passo 6A, mostrada na Figura 3.43.
3.3.5.6 - Passo 7 – Reações de Apoio
Este passo permite conhecer os valores das reações de apoio, nos nós com restrição, e as
cargas nodais aplicadas nos nós sem restrição.
Figura 3.43 – Janela Reações de Apoio – Passo 7 A
Ao clicar no botão “Próximo”, fecha-se a janela Reações de Apoio – Passo 7A e abre a
próxima janela Reações de Apoio – Passo 7B, mostrada na Figura 3.44.
81
Figura 3.44 – Janela Reações de Apoio – Passo 7B
Nesta janela, pode-se escolher o nó para o qual se deseja conhecer as reações de apoio ou as
cargas aplicadas, de modo semelhante ao feito no passo anterior. Na Figura 3.44, por exemplo,
para o nó 2 visualiza-se os valores de suas reações de apoio.
Ao clicar no botão “Finaliza”, fecha-se a janela Reações de Apoio – Passo 7B, encerrando
assim o comando Solução Passo a Passo. É dado também como aviso ao usuário a Figura
3.45, que coloca ao usuário que a visualização dos esforços nos elementos é feita escolhendo
os ícones de opções para gráficos na barra de menus.
Figura 3.45 – Aviso de visualização dos esforços nos elementos
Nos menus de visualização dos gráficos, conta-se com os respectivos gráficos de esforços
normais, cortante e fletor que serão exibido na tela de desenho do programa. Este aspecto será
considerado no próximo capítulo através de exemplos.
82
4 – RESULTADOS
4.1 - INTRODUÇÃO
Apresentam-se, neste capítulo, as resoluções de alguns exemplos utilizados para ilustrar a
forma de funcionamento do programa PPGen.For, bem como verificar a confiabilidade dos
resultados finais e intermediários obtidos na análise dos mesmos.
4.2 - EXEMPLOS
4.2.1 - Exemplo 1
O exemplo a seguir foi retirado do livro Curso de Análise Estrutural (SüSSEKIND,
1979).É demonstra um pórtico sob a ação de carga distribuída, concentrada e momento.
Figura 4.1 – Pórtico Plano: Exemplo 1
4t
2t/m
2t
Nó 1
Nó 2
Nó 3 Nó 6
Nó 7
Nó 8
Nó 5
1
2
4
5
6
7
Nó 43
83
Entrada de dados
Dados Globais:
Figura 4.2 – Dados globais: Exemplo 1
Coordenadas Nodais:
Tabela 4.1 – Coordenadas dos Nós Nó X Y
1 2 0
2 2 4
3 0 8
4 2 8
5 10 10
6 10 8
7 10 6
8 10 4
As coordenadas da Tabela 45.1 são fornecidas por intermédio da janela Coordenadas dos
Nós, mostrada na Figura 4.3.
84
Figura 4.3 – Preenchimento das Coordenadas dos Nós: Exemplo 1
Conectividades dos Elementos:
Tabela 4.2 – Conectividades dos Elementos Elemento no i no j
1 1 2
2 2 4
3 3 4
4 4 6
5 5 6
6 6 7
7 7 8
As conectividades da Tabela 4.2 são fornecidas usando a janela Conectividades dos
Elementos, mostrada na Figura 4.4.
Figura 4.4 – Preenchimento das Conectividades dos Elementos: Exemplo 1
85
Cargas Nodais:
Tabela 4.3 – Cargas Nodais Nó Valor
2 4
5 -16
7 -2
As cargas nodais da Tabela 4.3 são fornecidas usando a janela Cargas Nodais, mostrada na
Figura 4.5.
Figura 4.5 – Preenchimento das Cargas Nodais: Exemplo 1
As direções das cargas concentradas são fornecidas através dos desenhos ilustrativos.
Cargas Distribuídas
Tabela 4.4 – Cargas Distribuídas Elemento Valor Inicial Valor Final
3 2 2
4 2 2
As cargas distribuídas da Tabela 4.4 são fornecidas usando a janela Cargas Distribuídas,
mostrada na Figura 4.6.
86
Figura 5.6 – Preenchimento das Cargas Distribuídas: Exemplo 1
As direções das cargas distribuídas são fornecidas através dos desenhos ilustrativos.
Condições de Contorno:
Tabela 4.5 – Condições de Contorno Nó Direção Valor
1 1 0
1 2 0
8 1 0
As condições de contorno da Tabela 4.5 são fornecidas usando a janela, mostrada na
Figura 4.7.
Figura 4.7 – Preenchimento das Condições de Contorno: Exemplo 1
87
Propriedades dos Elementos:
Tabela 4.6 – Propriedades dos Elementos Elemento Área E I α λ
1 1 10000 1 0 0
2 1 10000 1 0 0
3 1 10000 1 0 0
4 1 10000 1 0 0
5 1 10000 1 0 0
6 1 10000 1 0 0
7 1 10000 1 0 0
As propriedades dos elementos constantes na Tabela 4.6 são fornecidas ao programa
usando a janela, mostrada na Figura 4.8.
Figura 4.8 – Preenchimento das Propriedades dos Elementos: Exemplo 1
Após a entrada dos dados, pode-se calcular a treliça em estudo, mostrada na Figura 5.9.
Figura 4.9 – Visualização do pórtico em estudo: Exemplo 1
88
4.2.1.1 - Resultados Intermediários
A seguir, apresentam-se as matrizes de rigidez dos elementos e da estrutura no sistema
global obtidas no programa para pórticos planos. Para as matrizes dos elementos cada
elemento aparece destacado para melhor visualização do usuário.
Matriz de Rigidez do Elemento 1:
Figura 4.10 – Matriz de Rigidez do Elemento 1: Exemplo 1
Matriz de Rigidez do Elemento 2:
Figura 4.11 – Matriz de Rigidez do Elemento 2: Exemplo 1
89
Matriz de Rigidez do Elemento 3:
Figura 4.12 – Matriz de Rigidez do Elemento 3: Exemplo 1
Matriz de Rigidez do Elemento 4:
Figura 4.13 – Matriz de Rigidez do Elemento 4: Exemplo 1
Matriz de Rigidez do Elemento 5:
Figura 4.14 – Matriz de Rigidez do Elemento 5: Exemplo 1
90
Matriz de Rigidez do Elemento 6:
Figura 4.15 – Matriz de Rigidez do Elemento 6: Exemplo 1
Matriz de Rigidez do Elemento 7:
Figura 4.16 – Matriz de Rigidez do Elemento 7: Exemplo 1
Matriz de Rigidez do Pórtico (desconexa):
Figura 4.17 – Matriz de Rigidez do Pórtico sem impor condições de contorno: Exemplo 1
91
Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda–após imposição das condições de
contorno:
Figura 4.18 – Matriz de Rigidez do Pórtico na forma Semi-Banda-condições de contorno:
Exemplo 1
4.2.1.2 - Resultados Finais
As Tabelas 4.7 e 4.8 apresentam os comparativos dos resultados finais (esforços nos
elementos e reações nos nós).
Esforços:
Tabela 4.7 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 1
NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 20.00 -10.00 0.00 20.00 -10.00 0.002 20.00 -10.00 40.00 20.00 -10.00 40.002 20.00 -14.00 40.00 20.00 -14.00 40.004 20.00 -14.00 96.00 20.00 -14.00 96.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 4.00 4.00 0.00 4.00 4.004 14.00 16.00 100.00 14.00 16.00 100.006 14.00 0.00 36.00 14.00 0.00 36.005 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 14.00 52.00 0.00 14.00 52.007 0.00 14.00 24.00 0.00 14.00 24.007 0.00 12.00 24.00 0.00 12.00 24.008 0.00 12.00 0.00 0.00 12.00 0.00
Esforços - Programa de Pórticos Planos Esforços - Publicação
5
6
7
1
2
3
4
Elemento Nó
92
Reações:
Tabela 4.8 – Comparativo das Reações – Exemplo 1
A verificação também pode ser feita através da visualização dos gráficos de esforços
normais, cortantes e fletor. As Figuras 4.20, 4.21, 4.22 mostram os diagramas de esforços
para o Exemplo 1.
Esforço Normal:
Figura 4.19– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 1
Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 10.00 20.00 0.00 10.00 20.00 0.002 4.00 0.00 0.00 4.00 0.00 0.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.005 0.00 0.00 16.00 0.00 0.00 16.006 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.007 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.00 0.008 -12.00 0.00 0.00 -12.00 0.00 0.00
Reações - Programa Pórtico Plano Reações - PublicaçãoNó
93
Esforço Cortante:
Figura 4.20– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo
Momento Fletor:
Figura 4.21– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 1
94
4.2.2 - Exemplo 2
Este exemplo foi retirado do livro Curso de Análise Estrutural (SüSSEKIND, 1979). Os
resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos planos foram
comparados com os fornecidos pelo livro.
Este exemplo é um pórtico plano composto por 10 nós e 9 elementos e está submetido a
carga concentrada e distribuída. Neste exemplo há a existência de elementos de pórtico
com rótula na direita e com rótula na esquerda. Apresenta-se apenas a verificação dos
resultados, sem a demonstração das janelas do programa.
3t3t
2t1t/m
1t/m
Nó 1
Nó 3
Nó 2
Nó 7
Nó 4
Nó 5
Nó 6
Nó 8Nó 9
Nó 10
1
23
4
5
6
7
9
8
Figura 4.22 – Pórtico Plano para o exemplo 2
4.2.2.1 - Resultados Finais
As Tabelas 4.9 e 4.10 apresentam os comparativos dos resultados finais (esforços nos
elementos e reações) do Exemplo 2.
95
Esforços:
Tabela 4.9 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 2
Reações:
Tabela 4.10 – Comparativo das Reações – Exemplo 2
Os resultados apresentados nas Tabela 4.9 e 4.10 são idênticos.
As Figuras 4.23, 4.24 e 4.25 mostram os gráficos do pórtico calculado neste exemplo. Pelo
gráfico é possível verificar os resultados.
NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 -4.75 0.00 0.00 -4.75 0.00 0.002 -4.75 0.00 0.00 -4.75 0.00 0.002 -4.75 -3.00 0.00 -4.75 -3.00 0.003 -4.75 -3.00 6.00 -4.75 -3.00 6.003 -3.00 4.75 6.00 -3.00 4.75 6.005 -3.00 -3.25 0.00 -3.00 -3.25 0.004 -6.50 0.00 0.00 -6.50 0.00 0.005 -6.50 0.00 0.00 -6.50 0.00 0.005 -3.25 -3.00 0.00 -3.25 -3.00 0.006 -3.25 -3.00 12.00 -3.25 -3.00 12.006 -3.00 3.25 12.00 -3.00 3.25 12.007 -3.00 -4.75 18.00 -3.00 -4.75 18.007 -4.75 3.00 18.00 -4.75 3.00 18.008 -4.75 3.00 6.00 -4.75 3.00 6.008 0.00 -2.00 6.00 0.00 -2.00 6.009 0.00 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.008 -6.75 3.00 12.00 -6.75 3.00 12.00
10 -6.75 3.00 0.00 -6.75 3.00 0.00
8
9
Esforços - Programa de Pórticos Planos Esforços - Publicação
5
6
7
1
2
3
4
Elemento Nó
Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0.00 4.75 0.00 0.00 4.75 0.002 3.00 0.00 0.00 3.00 0.00 0.003 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.004 0.00 6.50 0.00 0.00 6.50 0.005 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.006 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.007 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.008 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.009 0.00 -2.00 0.00 0.00 -2.00 0.00
10 -3.00 6.75 0.00 -3.00 6.75 0.00
Reações - Programa Pórtico Plano Reações - PublicaçãoNó
96
Esforço Normal:
Figura 4.23– Gráfico de Esforço Normal: Exemplo 2
Esforço Cortante:
Figura 4.24– Gráfico de Esforço Cortante: Exemplo 2
97
Momento Fletor:
Figura 4.25– Gráfico de Momento Fletor: Exemplo 2
4.2.3 - Exemplo 3
Este exemplo foi retirado das anotações da disciplina Método dos Elementos Finitos I do
PECC (Programa de Pós-Graduação em Estruturas e Construção Civil da Universidade de
Brasília). Os resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos
planos foram comparados com os fornecidos pelo programa Fortran.
Este exemplo é um pórtico plano composto por 2 nós e 1 elementos e está submetido a
efeito de temperatura. O pórtico estará submetido a um aumento de 20 graus e a barra
possui área de 25 cm², módulo de elasticidade de valor 21000 Kg/cm² e expansão térmica
da valor 0,0001. Observa-se que como não há restrições no nó dois, a barra expande sem
gerar esforços.
A Figura 4.26 mostra o pórtico em estudo.
98
Figura 4.26– Pórtico Plano: Exemplo 3
Dados Globais:
Para este exemplo daremos entrada no valor da temperatura no campo de edição através da
janela de dados globais mostrada na Figura 4.27.
Figura 4.27– Entrada da variação de temperatura na janela de Dados Globais: Exemplo 3
4.2.3.1 - Resultados Finais
As Tabelas 4.11, 4.12 e 4.13 apresentam os comparativos dos resultados finais
(deslocamentos, esforços nos elementos e reações) do Exemplo 3.
99
Tabela 4.11 – Comparativo dos Deslocamentos – Exemplo 3
Tabela 4.12 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 3
Tabela 4.13 – Comparativo das Reações – Exemplo 3
Os resultados apresentados nas Tabelas 4.11, 4.12 e 4.13 são idênticos. Foi possível
verificar que para este exemplo houve deslocamentos apenas nas direções x e y do nó 2
que está sem restrições e não ocorreu nenhum tipo de esforço neste tipo de estrutura.
4.2.4 - Exemplo 4
Este exemplo foi retirado das anotações da disciplina Método dos Elementos Finitos I do
PECC. Os resultados finais obtidos para esta estrutura pelo programa para pórticos planos
foram comparados com os fornecidos pelo programa Fortran.
Este exemplo é um pórtico plano composto por 2 nós e 1 elementos e está submetido a
efeito de temperatura. O pórtico estará submetido a um aumento de 20 graus e a barra
possui área de 25 cm², módulo de elasticidade de valor 21000 Kg/cm² e expansão térmica
do valor 0,0001. Observa-se que como há restrições nos dois nós, portanto a barra não
expande e não possuirá deslocamentos mas possuirá esforços..
A Figura 4.28 mostra o pórtico em estudo.
Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Reações - Programa Pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó
Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,2000 0,0000 0,2000 0,2000 0,0000
Desloc. - Programa Pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó
Normal Cortante Fletor Normal Cortante Fletor1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Esforços - Programa Pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNó
100
Figura 4.28– Pórtico Plano: Exemplo 4
4.2.4.1 - Resultados Finais
As Tabelas 4.14, 4.15 e 4.16 apresentam os comparativos dos resultados finais
(deslocamentos, esforços nos elementos e reações) do Exemplo 4.
Tabela 4.14 – Comparativo dos Deslocamentos – Exemplo 4
Tabela 4.15 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 4
Tabela 4.16 – Comparativo das Reações – Exemplo 4
Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
Desloc. - Programa pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó
NORMAL CORTANTE FLETOR NORMAL CORTANTE FLETOR1 1050,0000 0,0000 0,0000 1050,0000 0,0000 0,00002 1050,0000 0,0000 0,0000 -1050,0000 0,0000 0,0000
Esforços - Programa pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNó
Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 742,4621 742,4621 0,0000 742,4621 742,4621 0,00002 -742,4621 -742,4621 0,0000 -742,4621 -742,4621 0,0000
Reações - Programa pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó
101
Os resultados apresentados nas Tabelas 4.14, 4.15 e 4.16 são idênticos. Foi possível
verificar que para este exemplo não houve deslocamentos e correu apenas esforço normal.
4.2.5 - Exemplo 5
Este exemplo foi retirado das anotações da disciplina Método dos Elementos Finitos I do
PECC. Este exemplo é um pórtico plano composto por 9 nós e 8 elementos e está
submetido a efeito de peso próprio.
Mostraremos apenas a verificação dos resultados, sem apresentar novamente as janelas do
programa.
A Figura 4.29 mostra o pórtico em estudo.
Figura 4.29– Pórtico Plano: Exemplo 5
4.2.5.1 - Resultados Finais
As Tabelas 4.17, 4.18 e 4.19 apresentam os comparativos dos resultados finais
(deslocamentos, esforços nos elementos e reações) do Exemplo 5.
102
Tabela 4.17 – Comparativo dos Deslocamentos – Exemplo 5
Tabela 4.18 – Comparativo dos Esforços – Exemplo 5
Tabela 4.19 – Comparativo das Reações – Exemplo 5
Normal Cortante Fletor Normal Cortante Fletor1 -2,0000 0,0000 0,0000 -2,0000 0,0000 0,00002 1,7500 0,0000 0,0000 1,7500 0,0000 0,00002 -1,7500 0,0000 0,0000 -1,7500 0,0000 0,00003 1,5000 0,0000 0,0000 1,5000 0,0000 0,00003 -1,5000 0,0000 0,0000 -1,5000 0,0000 0,00004 1,2500 0,0000 0,0000 1,2500 0,0000 0,00004 -1,2500 0,0000 0,0000 -1,2500 0,0000 0,00005 1,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,0000 0,00005 -1,0000 0,0000 0,0000 -1,0000 0,0000 0,00006 0,7500 0,0000 0,0000 0,7500 0,0000 0,00006 -0,7500 0,0000 0,0000 -0,7500 0,0000 0,00007 0,5000 0,0000 0,0000 0,5000 0,0000 0,00007 -0,5000 0,0000 0,0000 -0,5000 0,0000 0,00008 0,2500 0,0000 0,0000 0,2500 0,0000 0,00008 -0,2500 0,0000 0,0000 -0,2500 0,0000 0,00009 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
5
6
7
8
1
2
3
4
Esforços - Programa Pórtico Plano Esforços - Solução EsperadaNóElemento
Ux Uy Uz Ux Uy Uz1 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000002 0,002000 -0,000047 0,000000 0,002000 -0,000047 0,0000003 0,000000 -0,000088 0,000000 0,000000 -0,000088 0,0000004 0,002000 -0,000122 0,000000 0,002000 -0,000122 0,0000005 0,000000 -0,000150 0,000000 0,000000 -0,000150 0,0000006 0,002000 -0,001720 0,000000 0,002000 -0,001720 0,0000007 0,000000 -0,000188 0,000000 0,000000 -0,000188 0,0000008 0,002000 -0,000197 0,000000 0,002000 -0,000197 0,0000009 0,002000 -0,000200 0,000000 0,002000 -0,000200 0,000000
Desloc. - Programa Pórtico Plano Desloc. - Solução EsperadaNó
Rx Ry Rz Rx Ry Rz1 0,000000 2,000000 0,000000 0,000000 2,000000 0,0000002 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000003 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000004 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000005 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000006 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000007 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000008 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0000009 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000
Reações. - Programa Pórtico Plano Reações - Solução EsperadaNó
103
Os resultados apresentados nas Tabelas 4.17, 4.18 e 4.19 são idênticos. Foi possível
verificar que para este exemplo houve esforços apenas na direção y dos elementos.
104
5 - CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS
5.1. CONCLUSÕES
Neste trabalho apresentou-se o desenvolvimento e a implementação de programa
educacional cujo objetivo é fazer uma interface com os softwares de elementos finitos
escritos em Fortran. Utilizando janelas gráficas do Windows permite-se que a entrada de
dados seja feita através de tabelas e que os dados e resultados finais sejam apresentados em
forma gráfica.
Nesta etapa considerou-se o programa para análise de pórticos planos, dando continuidade
a etapa iniciada por Santos (2003) em que foi elaborado o programa educacional para
análise de treliças planas. Acrescentaram-se também, tópicos teóricos e saídas gráficas
para visualização dos resultados.
A opção “Passo a Passo” foi adaptada ao novo código para pórticos planos permitindo que
os resultados intermediários como matrizes de rigidez de elementos, aplicação de
condições de contorno etc., também sejam visualizadas possibilitando o acompanhamento
pelo aluno de todo o processo de análise utilizando elementos finitos de um determinado
exemplo. É dada a opção ao aluno de ter acesso à aspectos teóricos referentes ai assunto
abordado. Cada janela de entrada possui uma explicação teórica objetivando um melhor
aprendizado do usuário.
O compilador Delphi utilizado no desenvolvimento do programa se mostrou adequado para
a realização das interfaces gráficas. Este leva o usuário a uma interatividade maior com o
conteúdo na medida em que todas as entradas de dados são acompanhadas durante a
execução do programa. O compilador apresenta um aprendizado mais simples para os
usuários com pouco entendimento na utilização de linguagens de programação.
5.2. SUGESTÃO PARA TRABALHOS FUTUROS
Com o intuito de fortalecer o caráter educativo do programa aqui desenvolvido e de futuros
trabalhos nesta linha de pesquisa, sugere-se para os próximos trabalhos:
105
1. Considera outros casos: treliças espaciais, pórticos espaciais, estados planos,
estendendo assim este tipo de programa para os demais softwares utilizados no
ensino de elementos finitos.
2. Considerar outras situações: existência de recalques nas estruturas em estudo,
variações diferentes de temperatura em cada elemento da estrutura, análise não-
linear e dinâmica e integração com rotinas de dimensionamento.
3. Promover de forma sistemática entrevistas junto aos alunos a fim de verificar a
viabilidade do uso dos programas educacionais dentro do objetivo de melhoria na
aprendizagem. Lembrando que, até agora foram desenvolvidos apenas os
programas, sendo necessário comprovações da utilidade dos mesmos perante o
ambiente educacional.
106
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