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8/16/2019 Diagrama de Interación Para Secciones Métalicas Huecas
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DIAGRAMAS
DE
INTERA CCIÓN PARA SECCIONES
METÁLICAS HUECAS
A
FLEXIÓN ESVIADA COM PUESTA
(INTERACTION GRAPHS FOR STEEL HOLLOW SECTIONS SUBJECTED TO AXIAL FORCE
AND BIAXIAL BENDING)
R a m ó n I r le s Más
Dr.
Ing.
de
Caminos , Prof. Tit. Univ.
Dt°. Ing.
de la
Construcción, OP
e Inf.
Urbana
Francisco Irles Más, ITOP, Prof. Tit. int. EU
Dt°.
Expresión Gráfica
y
Cartografía
Universidad de Alicante
D a n i e l C a r r at a lá C l i m e n t , A T , Estudiante
de 4.°
curso Arquitectura
Universidad Politécnica de Valencia
ESPAÑA
Fecha de recepción : l6 - V - 94
430-4
RESUMEN
El
uso
d e
los
diagramas de
interacción
como herramienta de
predimensionado o dimensionado de secciones de piezas
prismáticas sometidas
a
combinaciones de varios esfuerzos
constituye algo habitual en la técnica. Desde hace tiempo se
dispone
de
colecciones
d e
estos
diagramas para
las diversas
tecnologías: horm igón
armado,
acero
e structural y
secciones
mixtas, bajo diversas solicitaciones.
En e l artículo se expone minuciosamente el planteamiento
general para la obtención de los diagramas correspondientes
a
flexión biaxil
compuesta
e n
secciones
hueca s, circulares y
rectangulares
o
cuadradas,
co n
o
sin
redondeo
d e
vértices.
En
particular, se realiza
un
estudio general detallado de la
superficie de interacción de estos tres esfuerzos en dichas
secciones.
SUMMARY
Interaction graphs
are
extensively
used as a tool for
designing
prismatic member sections subjected to several combined stresses.
For a long time, sets of these graphs are available
in
building
technologies: reinforced concrete, steel and composite sections,
under
various
stresses.
The paper shows the general ormulation for obtainning the
graphs corresponding to biaxial bending with axial orce of
hollow steel
sections; with
circular, rectangular
an d
square
shape, with
or
without
vertex
aroundism ent. In particular, a
detailed general analysis of the interaction surface is made for
these stresses over the above cited sections.
1. Introducción
La indiscutible comodidad de uso de los diagramas
de interacción de varios esfuerzos combi nados
hasta 3, generalmente), sobre una sección de pieza
prismática, es la causa de la difusión de dichos grá
ficos.
Entre ellos, cabe citar, como universales, los
correspondientes a secciones de hormigón armado
confeccionados por Jiménez Montoya y otros
^;
tam
bién pueden citarse los disponibles para perfilería
metálica o mixta en varias publicaciones, entre las
que cabe destacar los trabajos de Chen y otros ^^^
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E n e s t e a r t í c u l o s e p r e s e n t a e l p l a n t e a m i e n t o g e n e
r a l q u e p e r m i t e o b t e n e r a n a l í t i c a m e n t e l o s d i a g r a
m a s d e i n t e r a c c i ó n a x i l - f l e x i ó n b i a x i l e n l a s s e c c i o
n e s m e t á l i c a s h u e c a s h a b i t u a l e s , p a r a l a s i t u a c i ó n
e n q u e p l a s t i f i c a e l p u n t o m á s s o l i c i t a d o . S e e s t u d i a
e l c a s o g e n e r a l d e s e c c i o n e s r e c t a n g u l a r e s c o n v é r t i
c e s r e d o n d e a d o s , q u e p e r m i t e e x t e n d e r l a s c o n c l u
s i o n e s a l o s c a s o s d e v é r t i c e s v i v o s , e n u n e x t r e m o ,
y a l d e s e c c i ó n c i r c u l a r e n e l o t r o , c o m o p a r t i c u l a
r e s d e l c a s o g e n e r a l .
2 . P l a n t e a m i e n t o g e n e r a l d e l p r o b l e m a
P a r a u n a s e c c i ó n m e t á l i c a r e c t a n g u l a r h u e c a , c o n
v é r t i c e s r e d o n d e a d o s ( F i g . 1 ) , s o m e t i d a a f le xi ón
b i a x i l c o m p u e s t a , e l p u n t o m á s s o l i c i t a d o s i e m p r e
e s u n o d e l c o n t o r n o c i r c u l a r e x t e r i o r d e u n a d e l a s
e s q u i n a s . El v a l o r m á x i m o e s c o m p a r t i d o p o r t o d o s
l o s d e u n l a d o d e l c o n t o r n o e x t e r i o r c u a n d o l a f l e
x i ó n e s m o n o a x i l .
Fig. 1
Q u e e s c r i b i r e m o s a s í :
a(x,y) = p+|LL^y+|iyX
Ecuac ión de l a f lb ra neu t ra :
[2]
o=
v+^l^y+^LyX ; yp^
[3]
.^x
^^x
Co n e l c r i t e r io , f recuen te en e s t ru c tu r a m e tá l i c a , de
a d m i t i r c o m o s o l i c i t a c i ó n m á x i m a l a c o m b i n a c i ó n
q u e h a c e a l c a n z a r e l l í m i t e e l á s t i c o a ^ a l p u n t o d e
m a y o r t e n s i ó n , l a c o n d i c i ó n l í m i t e s e r á :
^e = ^ + ^^xYmax+^^A
[4]
P u e s t o q u e l a s t e n s i o n e s [1] s o n p l a n a s , e l p u n t o d e
m áx im a te ns ió n (x^^^^ Ymax^ ^^^^ ^^ ^ ^ ^ a le jad o d e
l a f i b r a n e u t r a , d e n t r o d e d i c h o c o n t o r n o c i r c u l a r , e s
d e c i r , a q u e l e n e l q u e l a t a n g e n t e a l c í r c u l o s e a
pa ra le la a l a f ib ra neu t ra :
C i r c u n f e r e n c i a
2 , 2
W
— E l p a r a l e l i s m o e x i g e :
YFN
V ^
es dec i r :
R ^ v
Wx I ^
r^y
y de [51:
[5]
D a d a l a d o b l e s i m e t r í a d e e s t a s s e c c i o n e s , b a s t a r á
e s t u d i a r e l c u a d r a n t e q u e p r e s e n t e l a s m a y o r e s t e n
s iones , que s e rá e l m ás a le jado de l a f ib ra neu t ra .
P o r t a n t o , c o n l a n o t a c i ó n d e d i c h a f i g u r a , t e n d r e
m o s :
E x p r e s i ó n g e n e r a l d e l a s t e n s i o n e s :
a ( x , y ) =
N
A
M,. M..
[1]
R ^ i ,
V í ^
Y e n l o s e j e s c e n t r a l e s p r i n c i p a l e s :
' ma x J o
R^^x
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P or lo t an to , l a cond ic ión l im i te [ 4 ] s e rá :
L a s s o l u c i o n e s d e e s t a e c u a c i ó n s o n :
^e = ^+^^x (Yo
R¡i,
Wlñif
) + l^v (Xn +
R|^v
V^lx+Ry
-) [6]
D e s p u é s d e ra c i o n a l iz a r , e l e v a r a l c u a d r a d o y o r d e
n a r , s e o b t i e n e :
+2xo yoR^^j-2o^T;-2o^y^| i^-2a^Xo|x^.+a2=0 [7]
e c u a c i ó n d e l a s u p e r f i c i e l í m i t e , q u e r e s u l t a s e r u n a
c u á d r i c a e n l o s e j e s
(v,\x^,iij, y
t a m b i é n e n l o s
N,M^,M„.
3 . E s t u d i o d e l a s u p e r f i c i e l í m i t e
3.1. Caso general
L a e x p r e s i ó n [7] r e p r e s e n t a u n a s u p e r f i c i e c u á d r i c a
co n e je s p r in c ip a le s o b l i cu os a los v ,|l^ ,jL l . A co n t i
n u a c i ó n , s e p r o c e d e a s u e s t u d i o y c l a s i f i c a c i ó n .
P u e s t o q u e :
Yo
Yo
X
2 _ p 2
Yo-R ^oYo
x - R 2
-^eYo
e-'o
o Vn ,x„,y„,R
s e t r a t a , e n t o d o s l o s c a s o s , d e u n c o n o .
Su centro ( i^c ' l^xcl^yc) ^^ ^^ solución de:
1 Yo x„
Y o y o - R
x ^ Y o
Xo XoYo X 2 - R 2
•
^c
\^.c
\^YC
=
^eYo
^o
—•
l^c
= ^ 'e •
^.c
0
he
0
• N = A a
e s d e c i r , e n t o d o s l o s c a s o s s e e n c u e n t r a s o b r e e l
e je N, en e l pun to N^ = Aa^ .
S u s e j e s p r i n c i p a l e s s o n l o s a u t o v e c t o r e s c o r r e s p o n
d i e n t e s a l o s a u t o v a l o r e s d e e s t a m a t r i z d e c o e f i
c ien te s :
1 -^
Yo
Yo
Yo-R'-^ ^oYo
-W-X
s iendo p^=x^+y ^ (F ig . 1 ) .
= 0 = À 3 + ^ 2 ( 2 R 2 _ l _ p 2 ) +
+X(R'-RY-2WyR'
l + p2-R2+V(R2-l-p2)2+4R2
X = >o
^1 9
l + p 2 - R 2 - \ / C R 2 - l - p 2 ) 2 + 4 R 2
- < 0
^ 3 =
- R 2
< O
y l o s c o r r e s p o n d i e n t e s a u t o v e c t o r e s ( s i n n o r m a l i z a r )
son :
^r -
^2-'-
• • y o ' V
Yo
V
1 + R 2 - p 2 + - \ / ( R 2 - l - p 2 ) 2 + 4 R 2
l + R 2 - p 2 - \ / ( R 2 - l _ p 2 ) 2 + 4 R 2
í?3 = ( 0 ' - X o ' Y o )
U n o s e j e s ( m , n , ñ ) p a r a l e l o s a e s t o s v e c t o r e s p o r e l
c e n t r o d e l c o n o ( A a g , 0 , 0 ) c o n s t i t u y e n l o s p r i n c i p a
l e s d e l a c u á d r i c a . E l p a r a l e l o a v ̂ es e l e je del
c o n o , y a q u e X^>0. E f e c t u a n d o u n c a m b i o d e e j e s a
l o s p r i n c i p a l e s ( s i e n d o m e l e j e d e l c o n o ) , l a e c u a
c i ó n d e l a c u á d r i c a s e r e d u c e a :
^^-^m^ + ^2^ ̂ + X^n^ = O
L o q u e p e r m i t e i d e n t i f i c a r l o , e n g e n e r a l ( ^ 2 ^ ^ 3 ^
c o m o u n c o n o d e d i r e c t r i z e l í p t i c a y e j e m o b l i c u o
a l o s p l a n o s c o o r d e n a d o s ( F i g . 2 ) , p a r a e l c a s o d e
s e c c i o n e s h u e c a s r e c t a n g u l a r e s c o n v é r t i c e s r e d o n
d e a d o s .
Fig. 2
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3.2. Casos particulares
3.2.1. Sección rectangular sin redondeo de vér t ices
En este caso, con R =
O
y (x^^^x' ^max) " (^c ^ Q ) ^^
obtiene:
X ^ 1+p^; ^2 = ^3 =
O
los semiángulos del cono valen 7c/2, y éste dege
nera en un plano doble , de ecuac ión inmedia ta a
partir de [1]:
N M^
M..
=
que pasa por los tres puntos N^=Aag , M^u^^^eV^o'
Myu=ael/x„ (Fig. 3) .
3.2.2. Sección cuadrada sin redondeo de vér t ices
En este caso, la traza del plano que consti tuye la
superf icie de interacción con el N=0 es paralela a su
segunda bisectr iz.
3.2.3. Sección circular
En este caso,
x^=Y^=0=p
y R es el radio exter ior de
la sección. Se obtiene:
X^ =
1,^2 = -R', ^^ 3= -^'
y el cono resulta de directriz circular. Su eje, obli
cuo en e l caso genera l a los p lanos coordenados , es
ahora coincidente con el eje de axiles (Eig. 4) , ya
que e l pr imer autovec tor es , ahora n ormal izado:
i/̂
=
(1,0,0)
^ig-3
Fig. 4
4 .
Rep resent a c ió n d e la su p er f i c i e l ími t e .
D ia gra ma s d e in t era cc ió n
4.1. Sección circular
En la Eig. 5 se representa la porción de superf icie
de interacción contenida en el 1 .^ ' octante, que es la
única a considera r ta l como se ha planteado e l pro
blema. En el la se aprecia la realidad bidimensional
del mismo en este caso, y la representación de la
super f ic ie puede reduc i r se a una rec ta en e l p lano
NOM^, sien do M^ = yM^+M^ el m om ent o resultante;
recta única que consti tuye el diagrama de interac
ción N-M^ de la sección circular correspondiente. En
la Eig. 6 se representa el correspondiente a un perf i l
0 100x5 (a^ = 2.600).
Las l íneas de nivel N = constante de la superf icie
son circunferencias concéntr icas con el or igen, que
consti tuyen el diagrama de interacción en unos ejes
a r b i t r a r i os , no c o inc ide n t e s c on e l de mome nto
resultante.
4.2. Sección rectangular de vértices vivos
En la Eig. 7 se representa la porción en 1.^' octante
de l p lano en e l que degenera e l caso genera l . En
éste ,
el problema es tr idimensional y todas las sec
c ione s p l a na s son r e c t a s pa r a l e l a s pa r a va lo r e s
c o n s t a n t e s d e c u a l q u i e r a d e l a s t r e s v a r i a b l e s .
Re pr e se n t a ndo , po r e j e mplo , l a s l í ne a s de n ive l
N = c ons t a n t e de l a supe r f i c i e de i n t e r a c c ión , s e
obtiene un diagrama como el de Eig. 8 , que consti-
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0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1,3 1.4 1.5 1.6
Mx mT)
Fig.
8
Fig.
9
es decir, hipérbolas no equiláteras de centro [p(o ̂-k) /
/(p^-R^), 0] en los ejes (^,r | ) . La correspondiente a
N=0 se representa en la Fig. 9 sobre el piano M^-
-M . Su rama más próxima a l or igen, cor respon
diente a la hoja del cono que se desarrolla sobre su
semieje no incluido en el pr imer octante, cor ta a los
ejes OM^ y OM en los pun tos
M =
^̂ ^ y +R
M
l y ^ e
y-^
x^+R
La porción de esta rama comprendida entre dichos
puntos es la única a considerar en el problema, pues
la otra rama, corresp ond iente a la otra hoja del cono,
proporciona valores fuera del rango del mismo.
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Fig. 10
En la Fig. 10 se representa la generación de dichas
curvas de nivel ^=1^, y en la 11 puede verse el dia
grama de in te racc ión as í generado para un per f i l
# 120x60x6 de ENSIDESA (a^=2.600), ya en los ejes
N-M^-M pre par ad o para su uso .
En el caso de perf i les cuadrados con vér t ices redon
deados, todas estas consideraciones siguen válidas,
y, además, el e je pr incipal ^ de la hipérbola coin
cide con la bisectr iz del 1 .^ ' cuadrante M-M^. dada
X y
la doble simetr ía de la sección.
Nota: Como es evidente, los valores de N, M^, M
representados en los diagramas ya deben incluir los
cor respondientes coef ic ientes de ponderac ión, as í
como e l de pandeo, en su caso.
5 . Conc lu s ió n
En este ar t ículo se ha estudiado de una forma gene
ral el aspecto de la superficie de interacción axil-fle-
xión biaxil de los perf i les metálicos huecos habitua
les.
E l e n f oque de l p r ob l e ma pe r mi t e e l e s t ud io de
todos los casos con una notable unidad, y la obten
ción concreta de los diagramas de interacción N-M^-
M par a los distintos tipos de perfiles.
La superf icie de interacción es siempre un cono, en
dichos ejes.
En los perf i les rectangulares con vér t ices redondea
dos ,
el cono es de directriz elíptica con su eje obli
cuo a los planos coordenados , y sus curvas de nive l
N=constante resultan ser hipérbolas no equiláteras.
En los r ec tangula res con vér t ices vivos , e l cono
de ge ne r a e n un p l a no dob l e y l os d i a g r a ma s de
interacción están def inidos por rectas paralelas.
Finalmente, en el caso de sección circular , e l cono
es de directriz circular, su eje el de axiles, y los dia
gramas de in te racc ión t r azados por curvas N=cons-
tante son circunferencias concéntr icas; pero queda
manif iesta la realidad bidimensional del problema,
al ser indiferente la dirección de f lexión resultante,
pud i é ndose r e duc i r e l d i a g r a ma de i n t e r a c c ión a
una sola recta en el plano Axil-Flexión total .
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4
Mx mT)
Fig. 11
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6. BIBLIOGRAFÍA
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(1991): Hormigón Armado,
Barc elona . Ed. 13, 1991.
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Theory of Beam-Columns,
tomo 2.°. . McGraw-Hill B.C..
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Columns und er Biaxial Loading".
Journal of structural Engrg,
volum en 111, núm ero 12, diciembre.
4 J.
García.
García, y M. López Pellicer (1984):
Álgebra Ih
Geometría, .
Marfil, A lcoy. 4.̂ Ed.
Publicación del Instituto Eduardo Torroja - CSIC
I NSTITUTO DE C IENC IAS DE
LA
CONSTRUCC IÓN
EDUARDO TORROJA
M
A T E R ü ^ r i E S
D S
C
N S T R X J C C I O N
I C S I C l CONSEJO SUPERIOR DE INVESTIGACIONES CIENTÍFICAS
La revista MATERIALES DE CONSTRUCCIÓN, con periodicidad trimestral y dedicada
con exclusividad a la investigación científica y técnica de la construcción y sus materia-
les, está ed i tada por e l INSTITUTO EDUARDO TORROJA, Cent ro dependiente de l
Consejo Superior de Investigaciones Científ icas. Constituye, desde hace cuarenta y
cinco años, un eficaz vehículo de transmisión de nuevos conocimientos científicos y téc-
nicos en el campo de los materiales de construcción y de otros temas relacionados con
los mismos.
Prestigiosos científicos y técnicos de todo el mundo colaboran en su publicación; no obstante,
MATERIALES ha pretendido tener siempre una especial incidencia en el mundo investigador
y técnico en el ámbito internacional y, muy especialmente, en los países de habla hispana.
Conviene resaltar, una vez más, la importancia que tiene el desarrollo de los materiales
de construcción considerados tradicionales: el cemento y el h ormigón, no sólo desde el
punto de vista técnico sino por la importancia social y económica que conlleva ese
desarrollo. C omo muestra, se pueden recordar unas recientes declaraciones del doctor
Schartz, del Instituto Nacional de Normalización de Estados Unidos, en las que decía:
La investigación del
normigón
supone un enorme potencial de mejora en ese campo.
Lo que se haya de invert ir en los próximos veinticinco años, puede depender de una
pequeña inversión en el quinquenio inmediato
La indudable interrelación de disciplinas y ámbitos ha aconsejado ampliar la línea edito-
rial de MATERIALES a otros campos del conocimiento que no estaban suficientemente
recogidos. Por lo cual nuestra Revista incluye con mayor frecuencia artículos de investi-
gación —e incluso de divulgación— , temas cuya importancia está siendo objeto de una
atención prioritaria tanto por las autoridades científicas de nuestro país, como por los
propios responsables de la polít ica investigadora europea. Un ejemplo destacado son
los estudios sobre
Restauración y Conservación del Patrimonio Histórico
y, en general,
de l Patrimonio Arquitectónico y de la incidencia del medio ambiente en el comporta-
miento de los materiales, tanto tradicionales como no tradicionales. Algunos de estos
artículos se publican en versión española e inglesa.
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