Die gleichförmig beschleunigte Bewegung[ ]2sma
t s[ ]
a
[ ]smv
t s[ ]
v0
a ( t ) = a
∫ ⋅=t
dtat0
)(v
0)( vv +⋅= tat
002
2)( sttats +⋅+⋅= v
( )∫ +⋅=t
dttats0
0)( v[ ]ms
t s[ ]s0
Einführung in die Experimentalphysik für Pharmazeuten
Joachim Rädlere-mail [email protected]
Vorlesung: Montags 11.15 bis 12.45, Liebig HS
Übung : Montags 10.00 bis 11.00, Liebig HSKlausur: am 31. Juli. 2006 von 11.15 bis 12.45
erster Montag nach Semesterende !
http://www.physik.uni-muenchen.de/kurs/PPh Web-Seite zur Vorlesung :
Experimentelle Vorlesungsbegleitung : Christian Hundschell
Wichtige Begriffe dieser Vorlesung:
ImpulsArbeit, Energie, kinetische EnergieStarrer Körper: Drehmoment, Drehimpuls
Erhaltungssätze:- Impulserhaltung- Energieerhaltung- Drehimpulserhaltung
Die Newtonschen Grundgesetze
1. Newtonsche Axiom (Trägheitsprinzip)Ein Körper, der sich völlig selbst überlassen ist, verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung.
2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Bewegungsänderung ist eine Kraft. Sie ist definiert als
3. Newtonsche Axiom (Reaktionsprinzip)Bei zwei Körpern, die nur miteinander, aber nicht mit anderen Körpern wechselwirken, ist die Kraft F12 auf den einen Körper entgegengesetzt gleich der Kraft F21 auf den anderen Körper.
(actio=reactio)
am ⋅=F
2112 FF −=
[N=kg·m/s2= 1 Newton]m : „träge Masse“
Impulsvp ⋅= m Definition des Impulses
als „Bewegungszustand“ (Newton)
Exakte Formulierung des 2. Newtonsche Axiom (Aktionsprinzip)Ursache für eine Änderung des Bewegungszustands ist eine Kraft. Sie ist definiert als die Ableitung des Impulses nach der Zeit
pFdtd
= für m=const. aF ⋅= m
( ) amdtdmm
dtd
dtd
⋅=⋅=⋅== vvpFBeweis :
pddtF rr=⋅ Kraftstoß=Impulsänderung
Der zentrale Stoßv1
v2
nachhervorher
22112211 vvvv ′+′=+ mmmm
Impulserhaltungssatz
In einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant
constm ii =⋅∑ v
Impulserhaltungssatz
m1
m2
m2
m1
v1v2
Aus dem Wechselwirkungssatz (Actio=Reactio) folgt: Die Kräfte auf Wagen 1 und Wagen2 sind zu jedem Zeitpunkt gleich groß aber entgegengerichtet.
22221111 vv ⋅−=−=−===⋅ ∫∫ mpdtFdtFpm
02211 =⋅+⋅ vv mmIn einem abgeschlossenen System (keine äußeren Kräfte) bleibt der Gesamtimpuls konstant
Die gleichförmige Rotation
x
y
ϕ
ϕ (t) = ω ⋅ t
x = r ⋅ cosϕ
y = r ⋅sinϕ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=)sin()cos(
trtr
rωωr
r
)()cos()sin(
)( trtrtr
t evrv ⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅−
= ωωωωω
vω: Winkelgeschwindigkeit
Der Geschwindigkeitsbetrag ist konstant : v= ω⋅r
Die Richtung des Einheitsvektors „kreist“ : ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
tt
tωω
cossin
)(er
Die Zentripetalbeschleunigungder gleichförmigen Rotationsbewegung
y
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅−
⋅=⇒=)sin()cos(
)( 2
tt
rtadtda
ωω
ωvv
v v
v a (t) = ω2 ⋅ r ⋅ cos2(ω ⋅ t) + sin2 (ω ⋅t) = ω 2 ⋅ r
Zentripetalbeschleunigung: ra ⋅= 2ω
xϕ
x = r ⋅ cosϕ
y = r ⋅sinϕv
a
r⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅⋅
=)sin()cos(
ϕϕ
rr
rr
ra
2v=
r⋅= ωvmit folgt
Scheinkräfte sind Trägheitskräfte, welche von mitbewegtenBeobachtern in beschleunigten Bezugssystemen beobachtetwerden.
a
Ftr
Scheinkräfte
Beobachter außerhalb:-Wagen wird beschleunigt,daher Zugkraft auf Feder.
Beobachter im Wagen:-Eine Kraft zieht die Kugelplötzlich nach hinten.
Scheinkräfte: die Zentrifugalkraft
Newtonsche Axiome gelten nur in ruhenden oder gleichförmig bewegten systemen. In beschleunigten Systemen treten Scheinkräfte auf.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
2rMmGFG
⋅−=
r
G=6,673 ·10-11 Nm2/kg2
(Gravitationskonstante)
rm
rMmG
2
2
v=
⋅ Ansatz : FG=FP (Gravitationskraft=Zentripetalkraft)
Tr /2π=vmit folgt 3
22 4 r
MGT ⋅
⋅=
πDritte Keplersche Gesetz
Die elastische Federkraft
Kräfte können über das dynamische Grundgesetz gemessen werden:1 N ist die Kraft, die eine Masse von 1 kg mit 1 m/s2 beschleunigt.oder auch über ihre Deformationswirkung auf einen Festkörper (Feder):
)( 0xxDFD −⋅−=
Federkonstante Federauslenkung
Hook‘sches GesetzF
Beispiel eines Kraftmeßgeräts: Das Kraftmikroskop
mND 310−=
mNmnN
DFx 610
001,01 −=
⋅==
AFM experiments with single molecules
custom-built instrument (M. Rief, H. Gaub et al., Science 275, 1295 (1997)):
intermolecular forces(binding interactions)
intramolecular forces(polymer elasticity)
Deflection
Piezopath
Extension [nm]
4003002001000
600
-400
-200
0
200
400
Forc
e [p
N]
Wo ist die klassische Mechanik relevant ?
Ηψ = Εψ
F = MA
exp(-∆E/kT)
domain
quantumchemistry
moleculardynamics
Monte Carlo
mesoscale continuum
Length Scale
Tim
e Sc
ale
10-10 M 10-8 M 10-6 M 10-4 M
10-12 S
10-8 S
10-6 S
Wie funktionieren Molekulardynamik Simulationen ?
Poly(vinylidene fluoride)
„Trockene“ Reibung
Reibungskräfte wirken entgegen der angelegten Kraft und der Geschwindigkeit.
FR= µ* FNFext
FN=m*g
Trockene Reibungskraft unabhängig von Geschwindigkeit und Auflagefäche !
Stahl/Stahl 0,78 0,42Stahl/Stahl(Öl) 0,05 0,03Gummi-Asphalt 0,8-1,1 0,7-0,9
µH µGTypen der Reibung:- Haftreibung µH- Gleitreibung µG- Rollreibung µR
Gleitreibung auf atomarer Skala - der Kleben-Rutschen Prozess (stick-slip)
Rollreibung
Eisenbahn µG=0,002KFZ µG=0,02
Rollreibung ist eine ständige Bergaufbewegung, weil der Untergrund inelastisch verformt wird.
Arbeit und Energie
Mechanische Arbeit
F = m ⋅ g Gewichtskraft
x
HubarbeithgmW ⋅⋅=h (gegen die Schwerkraft)
FGEine reibungsfreie waagerechte Verschiebung verrichtet keine Arbeit
0=∆⋅⋅=⊥ xgmW
Zug-Arbeit am Schlitten
ϑcos⋅⋅= sFW
Die Arbeit
Die Arbeit W (work) wird definiert als das Produkt aus dem Weg den ein Körper zurücklegt und der Kraft, die in Richtung dieses Weges wirkt.
W =v F ⋅
v s = F ⋅ s ⋅ cos(α )
v F
αF cos(α )
v s Die Arbeit ist das
Skalarprodukt aus Kraft und Weg
Einheit: 1 J(oule)=1 Nm=1 kgm2/s2
∆v s
v F
Bei veränderlicher Kraft summieren wir über kleine Wegelemente
∫∑ ⋅=∆⋅= sdFsFW rrvv
Die elastische Verformungsarbeit
F
x=0
s
sDF ⋅−=Für die Federkraft gilt:
2
2sDdssDsdFWD −=⋅⋅−== ∫∫
vv
Kann man Arbeit sparen?
Goldene Regel der Mechanik:Bei reibungsfreien (idealen) Maschinen gilt: Die dem Kraftwandler
zugeführte Arbeit Wzu ist gleich der von ihm abgegebenen Arbeit Wab.Wzu = Wab
Geleistete “Zugarbeit” : Wzu = F×sErbrachte Hub-Arbeit : Wab = FG×hDa am Flaschenzug mit einer losen Rolle
FG= 2×F und h = s/2 gilt,
ergibt sich daraus Wzu = Wab.
Potentielle Energie
- Energie ist die Fähigkeit, Arbeit zu verrichten.
Ein Körper, an dem mechanische Arbeit geleistet worden ist, hat die Fähigkeit gewonnen diese Arbeit wieder zurückzugeben. Die von ihm aufgenommene Energie wird potentielle Energie genannt
2
2sDWE Dpot =−=Feder:
hgmWE Hpot ⋅⋅=−=Lage:
Konservative Kraft und potentielle Energie
dxdE
F pot−=
Im dreidimensionalen Raum gilt :
)(,, rVgraddzdV
dydV
dxdVF rr
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Beschleunigungsarbeit und kinetische Energie
Herleitung für den Fall gleichförmig beschleunigter Bewegung
aaatas
222
222 vv
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⋅=
Der zurückgelegte Weg :F
22
22 vv ⋅=⋅⋅=⋅=
ma
amsFW
Bei der Beschleunigung verrichtete Arbeit :
2
2vmWkin =
Def. Kinetische Energie
Energiesatz der MechanikWenn nur konservative Kräfte wirken, also keine Reibung auftritt, dann gilt:
Die Summe aus potentieller und kinetischer Energie eines abgeschlossenen Systems ist unveränderlich.
konstant==+ geskinpot EEE
Beispiel : Die schiefe Ebene
Epot+Ekin=const
αh
2
2vmhgm =⋅⋅
gh2max =v
Lösung des Pendelproblems mit Hilfe des Energiesatzes
Das Pendel
Epot+Ekin=const
Es gibt 2 ausgezeichnete Punkte
1. ϑ=ϑmax mit Ekin=0 und
mghEE potges == )( maxϑ
2. ϑ=0 mit Epot=0 und
2)0(
2maxvmEkin =
gh2max =v1.)+2.)
Das asymmetrische Pendellinks und rechts gilt
mghEE potges == )( maxϑ
Die Winkel lassen sich ableiten aus :
2
2 ...)1(cos
ϑ
ϑ
ϑ
lll
llh
≈
+−⋅−≈
⋅−=
Der allgemeine Energieerhaltungssatz
- In einem abgeschlossenen System ist Gesamtenergie konstant.- Energie kann man weder vernichten noch erzeugen.- Die Energieformen können nur ineinander umgewandelt werden.- Dies schließt alle Formen von Energie ein. (Elektrische, mechanische,chemische Energie, Wärmeenergie, etc.)
Perpetuum mobile
Die von nicht-konservativen Kräften verrichtete Arbeit,WNK entspricht der Änderung der mechanischen Gesamtenergie
dissipativkinpotges WEEE =∆+∆=∆
Die Leistung
Die Leistung P ist definiert als die verrichtete Arbeit pro Zeiteinheit.
P =dWdt Einheit: 1 W(att)=1 J/s=1 kgm2/s3
- Ein Mensch kann ca. 100 W Dauerleistung leisten (Glühbirne).
- 1 PS entspricht 735,5 W
Der zentrale, maximal inelastische Stoßv1 v2
v1’ =v2’=v’
nachhervorher
vvv ′+=+ )( 212211 mmmm Impulserhaltung
Energie nach dem Stoß :2
11
21
1221
2)(2vv m
mmmmmEnach +
=′+=
Energie vor dem StoßBetrachte Spezialfall v2=0
21
1
2vmEvor =
Chemische Reaktionen :auch reaktive Stöße müssen den Impulssatz erfüllen
CABBCA K +⎯→⎯+
CABBCA pppp rrrr+=+
chemkinkin
kinkin
ECEABEBCEAE
∆++=+
)()()()(
Die kinetische Energie ist nicht erhalten, sondern hängt von der Umwandlung „innerer Energie“ ab.
Energiebilanz für endotherme und exotherme
Reaktionen
Der schiefe, elastische Stoß
y
x
ϑ 2ϑ1
xx mmm 211 vvv ′+′=
yy mm 210 vv ′+′=
22
21
22
21
21 22222 yyxx
mmmmm vvvvv ′+′+′+′=
Impulserhaltung :
Energieerhaltung :
Für den Spezialfall: v2=0, m1=m2
221 πϑϑ =+
erhält man stets
Elastische Proton-Proton Streuung
nach dem Stoß schließen die Bahnen einen Winkel von 90° ein.
Kollision von zwei Billardkugeln (im Zeitlupenverfahren gefilmt)
aus Dransfeld et al.
Drehbewegungen und der starre Körper
Punktmassen-Systeme„Abgeschlossenes System“ : * Keine äußeren Kräfte * nur WW-Kräfte* Inertialsystem
In einem abgeschlossenen System gilt :
Der Gesamtimpuls ist erhalten.
Die Gesamtenergie ist erhalten. (einschließlich der Wärme in nicht konservativen Systemen)
Der Gesamtdrehimpuls ist erhalten.
Der starrer Körper- bisher: Bewegung von Massepunkten. Reine Translationsbewegungen.- jetzt: ausgedehnte Körper. Translations- und Rotationsbewegungen.
A B
Wirkungslinie
Kräfte wirken entlang der Verbindungslinie:Gleichgewicht
A
B
Kräfte wirken nicht entlang der Verbindungslinie:Rotation
Neu : Es wirkt ein „Drehmoment“
Drehmoment
Drehmoment= Hebelarm *Kraft
][NmFlM ×=
F
l : Länge des Hebels
D
Kraft senkrecht auf Hebel
Kraft wirkt unter beliebigem Winkel
F
l
Dα
F ⋅ sin(α )α )sin(. α⋅⋅=⋅= FlFlM senkr
Mechanisches Gleichgewicht
F1
l1
DF2
l2
(Hebelgesetz)
F1 ⋅ l1 = F2 ⋅ l2
„Kraft mal Kraftarm=Last mal Lastarm“
Ein Körper ist dann im Gleichgewicht, wenn die Summe aller äußerer Kräfte und die Summe aller Drehmomente Null ist.
Anwendungen des Hebelgesetzes: Brechstange, Schere, Schubkarre, Getriebe, Gliedmaßen, Baukran ...
SchwerpunktDef.
eGesamtmassmM i∑=
tSchwerpunkm
rmr
i
iis ∑
∑ ⋅=
rs
m1
m2
m3
Der Schwerpunkt eines abgeschlossenen Systems ist unbeschleunigt.
extS F
dtrdM =2
2
(Schwerpunktsatz)
Bei Einwirkung einer äußeren Kraft Fext beschleunigt sich der Schwerpunkt gemäß :
Aussagen über den Schwerpunkt-Kräfte, die am Schwerpunkt angreifen, wirken auf einen ausgedehnten Körper, wie Kräfte auf einen Massepunkt.
Schwerpunkt=„Gravitationszentrum“
gMlgml gesSPii ⋅=⋅∑Die Summe aller Drehmomente =Drehmoment der ges. Masse im Schwerpunkt
Ein Körper, der am Schwerpunkt aufgehängt wird, erfährt im Schwerefeld kein Drehmoment.
Drei GleichgewichtsartenStabiles GGW:Jede Verrückung x erhöht die Lage des Schwerpunktes
02
2
>dxEd pot Kleine Auslenkung x
=> Rückstellkräfte Frück~ - x
Labiles GGW:Jede Verrückung erniedrigt die Lage des Schwerpunktes
Indifferentes GGW: Jede Verrückung läßt die Lage des Schwerpunkts unverändert
Der Drehimpuls
v r
vv
v
ω
m
: Winkelgeschwindigkeit: Bahnvektor: Masse
v
ω
m v r
Definition
Bahngeschwindigkeit Drehimpuls :
ω×= rv vmrL ×=
Der Drehimpuls hat die Einheit kg·m2/s
Erhaltung des Drehimpulses( ) MFrdtmdr
dtdL
a =⋅=⋅=vWir betrachten die zeitliche
Ableitung des Drehimpulses L
Grundgleichung der rotierenden Bewegung
(analog zu dp/dt=Fa)M
dtdL
=
Bei Abwesenheit eines äußeren Drehmoments bleibt der Drehimpuls konstant.
constLM =⇒=rr
0 (Drehimpuls-Erhaltungssatz)
Der Drehimpuls ist auch bei nicht-kreisförmigen Bewegungen erhalten.
Der Drehimpuls bezieht sich immer auf einen (Dreh)-Punkt
TrägheitsmomentMotivation : Das Trägheitsmoment ist die „träge Masse“ der Drehbewegung
ωω ⋅=⋅=×= ImrmrL 2v„Drehimpuls“ = „Drehträgheit“ mal “Drehgeschwindigkeit“
„Drehkraft“ = „Drehträgheit“ mal “Drehbeschleunigung“dtdIM ω⋅=
Achse
Definition : Trägheitsmoment I
Einzelne Massenpunkte
2i
ii rmI ⋅= ∑
Trägheitsmoment einerkontinuierlicher Massenverteilung
I = mi ⋅ ri2
i∑ ⇒ r2∫ dm
Achse
dmr
RotationsenergieJedes einzelne Masseelementbesitzt die kinetische Energie
222
22rmm ω=v
mi
2ri
2
i∑ ω 2 =
12
miri2
i∑ ⋅ω 2 =
I2
ω2Gesamtenergie:
Rotationsenergie eines starren Körpers
ERot =I2
ω2
Das Drehmoment als Vektorprodukt
FrMvvv
×=
Eigenschaften :
rM vv⊥ Rechte-Hand-Regel
FMvv
⊥
)sin(α⋅⋅= FrMvvv Es trägt nur die Projektion auf die
Senkrechte bei
rFFr vvvv ×−=× Das Kreuzprodukt ist antikommutativ!
Der Drehsinn: Winkelgeschwindigkeit als Vektor
v r
vv
v
ω
m
„Korkenzieherregel“
vv
v r
v
ω
rrrr
×= ωv
„Rechte-Hand-Regel“
vv
v r
v
ω rvvv ×= ωv
v r
vv
v
ω
ωvrrv⋅=×= IvmrL
Was passiert, wenn ein Drehmoment wirkt?
v r
v L
v F
v M
dv L
dt=
v M ⇒ ∆
v L =
v M ⋅ ∆t
∆v L parallel
v M
∆v L
Drehimpuls als Vektor
Dynamik starrer Körper
Wurfparabel eines starren Körpers
M aSchwerpunkt =Fa• Schwerpunkt beschreibt Wurfparabel
ωrr
IL =• Rotation um den Schwerpunkt:
Die Bewegung eines ausgedehnten Körpers lässt sich immer zusammensetzen aus der Translation des Schwerpunkts und die Rotation des Körpers um den Schwerpunkt. Der freie starre Körper hat sechs Freiheitsgrade der Bewegung.
Analogien zwischen Translations- und Rotationsbewegungen
Translation Rotation
Ort Winkel
Geschwindigkeit Winkelgeschw.
Beschleunigung Winkelbeschl.
Masse Trägheitsmoment
Kraft Drehmoment
Impuls Drehimpuls
Kinetische Energie Rotationsenergie
v r
vv
v a
m
v F = m ⋅
v a =
dv p dt
vvv ⋅= mp2
2v⋅
m
ϕ
v
ω
v α
I = mi∑ ri2
v M = I ⋅
v α =
dv L
dt v L = I ⋅
v ω
I2
⋅ω 2
Symmetrieachsen und freie Achsen
Die Rotation um freie Achsen erfordert kein Drehmoment.Jeder starre Körper besitzt (mindestens) drei freie Achsen, und diese stehen senkrecht aufeinander.
Feste Drehachse Freie Drehachse
Der kräftefreie Kreisel : NutationEin Kreisel ist ein Körper, der sich um eine freie Achse dreht.
Rotiert ein Körper um eine seiner freien Achsen, sind Drehachse und Drehimpuls parallel zueinander.
Kreisel im Schwerefeld : Präzession
∆Φ
von oben:
∆LL
∆v L
∆t=
v M
∆v L =
v L ⋅ ∆Φ
v M v L
=∆Φ∆t
Das Rad läuft um die Aufhängung mit Umlauffrequenz
Höhere Drehimpulse stabilisieren die Drehachse
Präzession des Kreisels