-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
1/40
.. Fen Fakltesi Matematik BlmDiferansiyel Denklemler I (rgni.)
Ekim 2 14
devler 1-3alma Sorular1-2Arasnav Hazrlk Sorular
Hazrlayan:Yrd.Do.Dr.Serkan LTER
http://aves.istanbul.edu.tr/ilters/dokumanlar
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
2/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
1/39Diferansiyel Denklemler I
dev Sorular1 03.10.2014
A.Aada zellikleri verilen eri ailelerinin diferansiyel denklemlerini oluturunuz!
1. Herhangi bir ( , )A x y noktasndaki teet dorular: xO eksenini , 02( )x
noktasnda
kesiyor.2. Herhangi bir noktasndaki teetinin koordinat eksenlerinden ayrdparalarn
uzunluklararpm: deme noktasnn apsisinin karesine eit.
3. Merkezleri 2y x= dorusu zerinde bulunan ve yaraplar2 ye eit olan emberler
ailesi.
4. Herhangi bir noktasnda izilen teetlerin uzunluklar: sabit bir a saysna eit
5. Herhangi bir noktasndaki teet-altuzunluu: bu noktann koordinatlarnn aritmetik
ortalamasna eit.
6. Odaklarorjin ve ke noktalar xO zerinde olan paraboller ailesi.
7. 2 2y x= parabolne teet olan dorular ailesi.
8. sincy cx= 9. tan( )y x x c= + 10.2 2
( ) 1x a by- + =
B.Aadaki dif. denk.ler iin izoklin erilerini belirleyip ek olarak istenilenleri elde ediniz!
1. 2 24y x y= + , 1, 4k= deerlerine karlk gelen izoklin erilerini izip, zerinde
ynleri belirtiniz.
2. y y= , izoklin yntemini kullanarak ( 2, 1,0,1,2k= - - alp ynleri belirleyerek);
denklemin zmlerini belirlemeye alnz!
C.Aada verilen fonksiyonlarn, yanlarnda yazlaralklarda (her bir fonks. ve aralk iin)diferansiyel denklemlerin zm olup olmadklarnaratrnz!
1..
.
2
4y x= + , ( , )- , .1y y x= + - .
2. 2 2 0x y+ = , .( 1,1)- , yy x=- .
3. 2 2 0x y- = , .( 1,1)- , yy x= .
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
3/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
2/39
4.2
tan 02
n yx
- = , 0,
2( )
p, ,
2( )
pp , 2cos .y y x ny= .
5. 2 1x y= denkleminin .( 1,1)- de zm var m?
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
4/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
3/39Diferansiyel Denklemler I
dev Sorular2 15.10.2014
A.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise,tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduudeikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.
1. 2(1 ) ( 1) 0x dy y dxe-+ - - =
2. 3( 1) 2y y x= + +
3.
2 2 2
2y x y+ =
4. 2 cos 2 1x y y- = ,9
( )4
y p
+ =
5. 3 0y xy xy- + = , (0) 1/ 2y =
6. 2cos 0( )y
x y dx xdyx
- + =
7. .tan . 0x dy y ny dx- =
8. 2 33 16 2y y x xy + =
9.2 1
2 1
y xy
y x
- +=- -
10. 2 33 16 2y y x xy + =
+ iken ( )y x snrl
11. . .2 1 0y dx xydy- + =
12. 1sin( )
x xy
x y
-=
-, ( / 2) 0y p =
13. . . .( )y xy dx xdy+ =
14. ' .y xy y n- =
15.x y
yy
+=-
16. 2 6 42
.3
yy y x y- = -
B. Aada verilen ( , ) ( , ) 0p x y dx q x y dy+ = denklemleri iin, ilk aama olarak p u= ,q v= dnm yaparak, son halde denklemi deikenlerine ayrlabilir ekle getiriniz!
1. p x a= + , q y bx= + 3. p x y= + , q x y= -
2. 2 1p y x= - + , 2 1q x y= - + 4. 1p x ay= + - , 1q y bx= + +
C.Aada istenilenleri elde ediniz! (denklem zm ncesinde; oluturduunuz denklemdeeer var ise, mutlak deerleri gz ardedebilirsiniz!)
1. (0,1)A noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teet-altuzunluu: bu
noktann koordinatlarnn aritmetik ortalamasna eit olan eriyi bulunuz.
2. (1,1)A noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teetinin yO ekseninden
ayrdparann uzunluu: deme noktasnn apsisinin karesine eit olan eriyi bulunuz.
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
5/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
4/39
3. ( ,1)A e noktasndan geen ve herhangi bir noktasndaki teetinin xO ekseninden
ayrdparann uzunluu: deme noktasnn ordinatnn iki katna eit olan eriyi bulunuz
4. Orjinden geen bir erinin, herhangi bir ( , )A x y noktasndan koordinat eksenlerine
paralel dorular izilerek iki paradan oluan bir dikdrtgensel blge meydana
getirilmektedir. yle bir eri ailesi bulunuz ki, her bir eri iin dikdrtgensel blgenin bir
parasnn alan, dier parasnn alannn katolsun.
Blm sonu beklenen kazanmlar: Farkldenklem trlerini (sorularda tr ve zm hakknda herhangi bir ynlendirme
yaplmakszn); ksa srede tespit etme (denklemleri snflandrabilme)! Geometrik zellikleri kullanabilme! zm kavramlarn(Genel zm-Tekil zm) alglayabilme, zmn geerli
olacaaralklartespit edebilme! Balang koullar veyahut farklekillerde verilen koullar yardmyla
denklemin istenilen zel zmlerinin tespit edilebilmesi! Denklem zmleri iin; aranan fonksiyon ve bamsz deikene gre (herhangi bir
yntemi ezberlemeden) dnmler yapabilme, uygun dnmleri aratrabilme!
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
6/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
5/39Diferansiyel Denklemler I
dev Sorular3 29.10.2014
A.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn (nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda ( , )x ym m= integrasyon arpan var ise nce tam dif. hale
getirilerek yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise, tmzmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduu deikenlerintanm aralklarnda vererek bulunuz.
1. .2 tan 0( )x dy xy xy dx+ - =
2. . .3 0( )x y dx x dy- - =
3. cos( ) 3sin cosy x y x x + =
4. sin cos cos sin . 0.x y dx x y dy+ = ,
( ) / 4y p p=
5.1
0.1
.( ) ( )xy xyy dx x dxy x
e e- + - =
6. . .2 0( )x y dx y dy- + = , ( )x ym m= -
7.2 1
sin 2 siny y x- =
8. 2 ..2 tan tan 0( ) ( )x y dx x x y dy+ + - =
9. 2 2. 0.1
( ) ( )xy nx dx x y dyy
- + + =
10. 2 c s( )ot coy x y x + =
11. 3 23y y x x- = +
12. . .2 2 0( )x xyx y dx dy++ + =
13. .2 0.2( ) ( )y x
y dx x dyx y
+ + + = , ( )xym m=
14. 2sin2
sin2
yy y
x + = -
15. ( ) ..2 2 sin sin 0x y x x dx y x dy+ + + =
16. (cos cos cot ) (sin si 0. .n )x y y dy x y dx- - =
17. sin 0. .( )x y dy y dx- + =
18.2
2.
y yyy nx y
x = + + -
B. Aadaki denklemleri, belirlediiniz uygun hipotezler altnda, bir diferansiyel denklemproblemine dntrerek zmlerini bulunuz.
1. ( )4
1
..
1 22
. .tyy x dtt
= + 3. ( ) ( )0 0
.. ..
. . .( ) 2 .t tx
x t y dt x y dt- = +
2.( )
..
. ..
t
e
y
yx
dtt n t
= - 4. 20
..
. .2x
y x x dt= +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
7/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
6/39
C. 1. Bir ( ) ( )xy p y q + = lineer diferansiyel denklemin 1.y ve 2.y ( .1 2.y y ) gibi iki
zel zm bilindii taktirde (hi integral ilemi yapmadan) genel zmn
bulunabileceini gsteriniz.
2. C1 den yararlanarak 1. 1y = 2
.2 1xy e-= + zel zmleri verilen lineer diferansiyel
denklemi ve bu denklemin genel zmn bulunuz.
D. 1. . ..
1 10( )
k
xdx dy
y yxy+ - = denkleminin tam diferansiyel denklemolabilmesi iin
uygun k saysnbelirleyiniz. Bu k saysiin tam diferansiyel denklemin genelzmn bulunuz.
2. a ve bnn hangi deerleri iin y ax bya b= + denklemi my z= dnmyardmyla bir homojen diferansiyel denklem haline getirilebilir?
3. a ve bnn hangi deerleri iin x ya bm = ; . .4 2 3 32 3 0( ) ( )xx y dy x y y dx+ + - = denkleminin (tam diferansiyel hale getiren) bir integrasyon arpanolur?
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
8/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
7/39Diferansiyel Denklemler I
alma Sorular1 18.10.2014
A.Aada istenilenleri elde ediniz!
1. ( ).1, 1A - noktasndan geen ve herhangi bir noktasnda teetinin ordinat ekseninde
ayrdparann uzunluu, deme noktasnn apsisine eit olan eriyi bulunuz.(Not: oluturduunuz denklemdeki mutlak deeri gz ardedebilirsiniz).
2. ny ax by = + eri ailesinin diferansiyel denklemini oluturunuz.
B.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! yanlarnda koul var ise, istenen koulu salayan zmn, koul yok ise,tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerli olduudeikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.
1. . 2yy ye = +
2. . .( 3 ) (2 3 ) 0x y dx y x dy- + - =
3..
yy
xy=
-
4. 2(1 ) tan 0y y x + - =
5. .( 2 7) 2 4 0x y y x y+ + + - + =
6. 2( ) 1x y y+ =
7.32 xy x e -= , i) (0) 0y = ,
ii) ( ) 0y+ =
8. .4 1y x y= - +
9. 1cos( )
x xy
x y
-=
- , (1) 1y =
10.. .
( ) (3 3 1) 0x y dx x y dy+ + + - = 11. ( )x y y x y+ = -
12.1
..( )
( )1 ..
xt
t
t yy dt
t y
-= +
+
(nce bir dif.denk. problemine dntrnz!)
13. 2 2 3 1x y y xy + = -
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
9/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
8/39
Not:zmler-Yol gstermeler kontrol amaldr, yazm hatas- eksiklikler vs.. olabilir..kendi zmlerinizle mutlaka karlatrnz..
zmler
(son gncelleme : 17.10.2014)
A1.
nbilgi:
( )y y x= erisinin ( , )x y noktasndaki
Teet Denklemi
( ( , )X Y teet zerindeki keyfi nokta)
: ( )Y y y X x- = -
Teetinin ordinat ekseninde ayrdparann uzunluudenklemde 0X= yazlarak (yani
Y y y x= - ),x-ekseninde ayrdparann uzunluu 0Y= yazlarak (yani X xy
= -),
bulunabilir. Ek olarak, Teet-altuzunluu:.
y
y
; Teet uzunluu:
.
.
22 yy
y
+ eklinde
bulunacaktr (ekil zerinde gzlemleyiniz!)
Y y y x= - , bu da deme noktasnn apsisine eit olacak yani Y x=
. .Y y y x= -
Y x=
. .y y x x- = , 0x >
1y
y= - (homojen denklem)
.
y cx x n x= - [ ]Genel zm bulunacaktr (nceleyiniz!)
( ).1, 1A - noktasndan getiine gre:
(1) 1
yani 1 iin 1...
y
x y
-
-
= = =
genel zmden: .1 1c n- = - 1c -=
O halde istenilen zm: ( ).
1y x n x= - +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
10/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
9/39
A2. Amacmz verilen eri ailesini genel zm kabul eden dif. denk. i belirlemek
olduundan; eri ailesinde iki keyfi sabit olmas sebebiyle, ikinci mertebe adi dif. denk.
elde etmeye alacaz!
ny ax by = + (i)
-e gre trevx
.
y a byy
= + (ii)
-e gre trevx
. ..
2y yby
y y
- = (iii)
( )iii den
. ..
2
2
1 y
yb y y
= -
( )ii den
. . . .. ..
3
2
3
2
ya
y
y y y yby
y y y y yy
= + = - +
=
( )i den
... ..
3
2
2
2
1( () )
yx
yny x y
yy
y y yba
y
= + = -
+
2her iki taraf ile arplrsay y
2 3 2 2y y x yn y yyy y + = -
B1. (Deikenlerine Ayrlabilir denklem)
. 2yxy ye = + . .. .1
2.y dy dx
xe - =
- , 2x
B2. (Homojen denklem)
. . 0p dx q dy+ = yazmndan; ( , ) 3 , ( , ) 2 3p x y x y q x y y x= - = - fonksiyonlar1.mertebeden
homojendirler (gzlemleyiniz!).
. .( 3 ) (2 3 ) 0x y dx y x dy- + - = 1 33
2 32 3
( )
( )
x y xyyy xx
--= =-
-
22 ) ( )(1 n xy yy y yy -=-
( ). . .. 2y n x ce -- = - + [ ]Genel zm
I : 2x
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
11/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
10/39
.,y
u y u= = , ( )u u x=
1 3
2 3
uy
u
-=-
-e gre trevx
1 3
2 3
uy u xu
u
- = + =-
1 3
2 3
uxu u
u
-= --
. . .. .
1
2.
2 3 1
1 2I
udu dx
u=
-=
- ( 0,x 2
1
2u )
1I integralini hesaplayalm:
. .
2 3
2 2
. .
12 1
31 2 1 2
. .
II
udu du
u uI
==
= -- -
. .22
11 1 22
n u kI = - - +
3I iin 21 1/ 2 1/ 2
1 2 1 21 2 u uu= +
- +-gzleminden,
. . 231 1 2
2 2 1 2
un k
uI
+= +
- olduu kolayca grlr.
. . . .2 221 3 11 3 1 23 1 22 2 2 1 2I unI u n k k I
u += - = - - - + +-
. .. . . . . . . .21 3 1 2
1 22 2 2 1 2
un u n n x n c
u
+- - - +
- =
( )3
12 22 2
1 21 2
1 2
uu cx
u
-- + - = -
22
2
1
2
yu = = iin zm aratrmas:
idiy
ux
=
31 2 2
2 2
2
1 22
1. 1 2
yy x cx
yxx
-- + - = -
[ ]Genel zm
I : 0,x 1
2x
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
12/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
11/39
2
2
1
2
y
x=
1
2x= bulunur, bu eriler diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!)
dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat edilirse,1
2x= zmnn
denklemin bir zel-zm iken,1
2x= - zmnn denklemin bir Tekil-zm
olduu grlr (gzlemleyiniz!).
B3. (Homojen denklem)
. . 0p dx q dy+ = yazmndan; .( , ) , ( , )p x y y q x y x xy= - = - fonksiyonlar1.mertebeden
homojendirler (gzlemleyiniz!).. .
/
1 /
y y xy
x xy y x= =
- -
.,y
u y u= = , ( )u u x=
.1
uy
u=
-
-e gre trevx
.1
uy u xu
u = + =
-
.1
uxu u
u= -
-
.
. . .. .
.
1.
1 1
I
udu dx
xu u=
-=
( 0,x 0u )
1I integralini hesaplayalm:
. .
.
11 1
. .du duuu u
I = -
. . .
.
.
. .
3/ 2
1
.
.
1
2
u du du
un u k
u
-= -
= - - +
. . ..
. . . . . .
2
.n u n x n c
u - - = + .
.
. .
2
.n cxu
u- =
idiyux
=
..
. .
.
2
/
n cy
y x
- = [ ]Genel zm
I : 0,x 0y
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
13/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
12/390
yu
x= = 0y= iin zm aratrmas:
0y= diferansiyel denklemi salar ( 0x ) (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir
zmdr. Genel zme dikkat edilirse, bu zmn denklemin bir Tekil-zmolduu
grlr (gzlemleyiniz!).
B4. (Deikenlerine Ayrlabilir denklem)
2(1 ) tan 0y y x + - = . . .. .
12
..
2
1tan
1
II
dy x dxy
= =
= --
( 2 1y , (2 1) / 2 , 0, 1, ...x n n p - = )
1I ve 2I integrali hesaplanrsa: . . .1 11 12 1yn ky
I += +-
, . . .2 2cosn xI k= + bulunur
(inceleyip, ara ilemleri yapnz!).
. . .. . . . . .1 1 1
cos2 1 2
yn n x n c
y
+= +
-
21
cos1
yc x
y
+=
-
2 1y = 1y = iin zm aratrmasyapnz!
B5. (Homojen hale getirilebilen denklem)
I.yol :2.
2 4
7
x yy
x y
- + -=+ +
,
2 4 0x y- + - =
2 7 0x y+ + =
2 2- dorular kesiirler. Dikkat edilirse,
Kesiim Noktas: ( )3, 2- - dir.
Orjin: ( )3, 2- - ye tanrsa (telenirse), yani denklem iin 3x x= + , 2y y= +
dnm yaplrsa, denklem: Homojen hale gelecektir.
2
2
1 c
o.
os
1 c s
c xy
c x
- +=
+ [ ]Genel zm
I : 2 1y , (2 1) / 2 , 0, 1,...x n n p - =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
14/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
13/39
3x x= + , 2y y= +
( )y y x=
dx dx= , dy dy=
2 ( / )
1 2( /
2
2 )
dy y x
dx y
x y
x y
- ++
- += =
+ (Homojendir,gzleyiniz!)
.,y
ux
y u= = , ( )u u t=
2
1 2
uy
u
- +=+
-ye gre trevx
2
1 2
uy u xu
u
- + = + =+
2
1 2
uxu u
u
- += -+
. . .. .
1
2
.
1 1 2 1
2 1I
udu dx
xu=
+= -
+ ( 0x )
1I integrali hesaplanrsa: .12
11 1
arctan (1 )2 2
u nI u k= + + + bulunur (inceleyip, ara ilemleri
yapnz!).
. . . .
21 1 1
arctan (1 )2 2 2u n u n x c + + = - +
. . . .2arctan (1 ) 2u n u n x c + + = - +
II.yol : .(2 4) ( 2 7) 0u v
x y dx x y dy
= =
- + + + + = ,
+2= idi
+3
y yu
x x=
. . . .
22 2
arctan (1 ) 2 33 3
y yn n x c
x x
+ + + + = - + + + +
[ ]Genel zm
I : 3x -
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
15/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
14/39
2du dx dy= -
2dv dx dy= +
5 2d ddx u v= + , 5 2dd dy u v= - + (denklemde yerine yazalm)
.(2 ) ( 2 ) 0u du dv v du dv+ + - + =
.(2 ) ( 2 ) 0u v du u v dv- + + = (Homojendir,gzleyiniz!)
imdi u tv= dnm yapalm. du vdt tdv= + (denklemde yerine yazalm)
.(2 )( ) ( 2 ) 0vt v vdt tdv vt v dv- + + + = 2 2(2 1) 2 ( 1) 0v t dt v t dv- + + =
22
2 1 20
1
tv dt dv
vt
-+ =
+ (Dei.Ayrlabilir) ( 0v ) elde edilir
(geri kalan integral hesabI.yol ile ayn, tamamlamak okuyucuya braklmtr!)
B6. ( ( )y f ax by c= + + formatnda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)
Denklem, y u+ = dnm ile Deikenlerine Ayrlabilir hale getirilebilir:
x y u+ = , ( )u u x=
.
2
1y
u
=
-e gre trevx
2 ...
1
1
u
y u
=
+ = .2
2 1
udu dx
u=
+
. . ..
1
2
.
2 1I
udu dx
u=
=+
1I integrali hesaplanrsa: 11 arctanI u u k= - + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).
arctanu u x c- = +
B7. (Deikenlerine Ayrlabilir denklem)
32 xy x e e-= . .3. 2. .y xdy x dxe e- -=
idiu x y= +
arctan( )x y x y x c+ - + = +[ ]Genel zm
I : - < <
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
16/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
15/39
imdi denklemin verilen koulundan salayan zmn bulalm.
(0) 0
yani 0 iin 0...
y
x y
= = =
genel zmden:1
13
c- = - + 2
3c = -
Benzer ekilde, ( ) 0y+ = dan30
10
1
3
e
ce e
= =
-- = - + 1c =-
B8. ( ( )y f ax by c= + + formatnda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)
Dikkat: 1y u- + = dnm yapmaktansa, karekkl ifadeden tr kolaylk olsun diye
bu sefer 21x y u- + = dnm yapalm: ( bu dnm yaparken denklemin yalnzca
. .1 0x y- + durumunda tanmlolduuna da dikkat ediyoruz)
21y u- + = , ( )u u x=
4y u=
-e gre trevx
.4 .
1 2u
y uu=
- = 1 4 2u uu- =
. . ..
1.
2
1 4I
udu dx
u=
=-
(1
4u )
1I iin:2 1 1/ 2
1 4 2 1 4
u
u u= - +
- - gzleminden, . .1 1
11 4
2 8
un uI k= - - - + olduu kolayca
grlr.
. .1
1 42 8
un u x c- - - = + (B8-1)
3. 1
3y x ce e- -- = - + [ ]Genel zm
I : - < <
O halde i) iin,
istenilen zm:
3.3 2y xe e- -= +
O halde ii) iin,
istenilen zm:
3.3 3y xe e- -= +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
17/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
16/39
bulunur 21y u- + = idi 1u x y= - + deerinin (B8-1) de yerine yazlmasyla
Genel zmelde edilir (I : . .1 0x y- + ,15
16y x + ).
11
4
u x y= - + = iin zm aratrmas:
11
4x y- + = den
15
16y x= + bulunur, bu eri diferansiyel denklemi salar
(gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat edilirse, bu
zmn denklemin bir tekil- zm olduu grlr (gzlemleyiniz!).
B9. (zel-formda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)
cos( )xy x y- = - (1 ) cos( )x y x y- = -
olduundan dikkat edilirse, y u- = , ( )u u x= dnm yapldnda x y u- =
ifadesinin x-e gre trevi 1 y u - = olacandan denklem cosxu u= deikenlerine
ayrlabilir hale gelir :
. ... ..
(1 ) cos( )uu
y x y==
- = -
cosu u= . . .. .
1.
1 1
cosI
du dxu x
=
=
( cos 0u )
. .1 11
tancos
I n u ku
= + + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).
. . . .1
tan .cos
.n u n x n cu
+ = + 1
tancos
u cxu
+ =
1 sin cosu cx u+ = bulunur.
idiu x y= -
1 sin( ) cos( )x y cx x y+ - = - [ ]Genel zm
I : 0x , (2 1) / 2 , 1, 3, 5...y x n n p - - =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
18/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
17/39
(2 1) / 2u x y n p= - = - ( 0, 1, ...n = ) (2 1)
2
ny x
p-= - iin zm aratrmas:
Bu eri diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr.
Genel zme dikkat edilirse, 0, 2, 4...n = iin(2 1)
2
ny x
p-= - : denklemin zel-
zmleridir; 1, 3, 5...n = iin (2 1)2
ny x p-= - : denklemin tekil- zmleridir
(gzlemleyiniz!).
B10. ( ( )y f ax by c= + + formatnda Deikenlerine-Ayrlabilir hale getirilebilen denklem)
.3( ) 1
yy
x y
+=-+ -
. Denklem, y u+ = dnm ile Deikenlerine Ayrlabilir hale
getirilebilir:
x y u+ = , ( )u u x=
.3 1
uy
u=-
-
-e gre trevx
.3 1
1 .u
u
y u
-=-
+ = .3 1
2 1
udu dx
u
-=
-
. . ..
1.
3 1
2 1
I
udu dx
u
=
-=
- ( 1/ 2u )
1I integrali hesaplanrsa: . . . 113 1
2 12 4
u nI u k= + - + bulunur (inceleyip, ara ilemleri
yapnz!).
. .3 1
2 12 4
u n u x c+ - = +
1
2
u x y= + = 1
2
y x= - + iin zm aratrmas:
idiu x y= +
. .
3 1( ) 2 2 1
2 4x y n x y x c+ + + - = +
[ ]Genel zm
I :1
2y x - +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
19/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
18/39
Bu eri diferansiyel denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr.
Genel zme dikkat edilirse, bu zmn denklemin bir tekil- zm olduu grlr
(gzlemleyiniz!).
B11. (Homojen denklem)
. . 0p dx q dy+ = yazmndan; ( , ) , ( , )p x y y x q x y x y= - = + fonksiyonlar1.dereceden
homojendirler (gzlemleyiniz!).1 /
1 /
y y xy
y y x
- -= =+ +
.,y
u y u= = , ( )u u x=
1
1
u
y u
-= +
-e gre trevx
1
1
uy u xu
u
- = + =+
1
1
uxu u
u-= -+
. . .. .2
1 1
2 1
udu dx
u u
+- =+ -
( 0x , 2 2 1u u+ )
. . ... . . . . .21 1
2 12 2
n u u n x n c - + - = -
2
22 1
cu u+ - =
B12. (Belirli integral ieren denklemi: bir dif. denk. problemine dntrme)
Uygun koullar altnda, aadaki zellik geerlidir. Bu koullarbelirlemek ise okuyucuya
braklmtr (ntegral Hesabn Temel Teoreminin 1.ksmndan yararlanabilirsiniz!),
(dolaysyla belirlemeden aadaki zellii kullanma hakkna sahip deilsiniz!)
( , )y f x y= , ( )y a b= ..
( )( , )..x
a
tb f t y dt = +
idiy
ux
=
22
2( ) 1y y c
x x+ - = [ ]Genel zm
I : 0x , 2 22y xy x+
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
20/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
19/391
..( )
( )1 ..
xt
t
t ydt
t y
-= +
+ y
yx y
-=+
, (1) 1y =
B11 deki denklem iin, bir Balang-Deer problemidir.
Genel zm: 2 22
( ) 1y y c
x x x+ - = idi.
(1) 1
yani 1 iin 1...
y
x y
= = =
genel zmden: 22
1 2( ) 11 1 1
c+ - = 2c =
Not: zmn, zme balarken bahsedilen uygun koullarsaladgzlemlenmeli, aksi
halde zm olamayacaktr!
B13. (GenelletirilmiHomojen denklem)
2 2 3( , , , ) : ( 1) 0F x y dx dy x y dy xy dx= + + =
x tx , ky t y , 1kdy t dy- , dx dx yazmlar yapldnda,1
3
k= - iin
1 0( , , , ) ( , , , )k kF tx t y dx t dy t F x y dx dy- = eitlii salanr Denklem: Genelletirilmi
Homojendir.
/1/ 3
1 3., y xu u
y-
-== ,
( )u u x=
3
2 21 yy
y- -=
34/3
2
1 ux
u
- - - =
-e gre trevx
4 /3 1/31
3y x u x u- - = - +
3
4 / 3 1/ 32
1 1
3
ux u x u
u
- - - - + =
2
3
3 1
3 2
udu dx
xu= -
+ (Dei.Ayrlabilir) ( 0x , 32 3u - ) elde edilir
O halde istenilen zm: 2 22 2y xy x+ - =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
21/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
20/39
. . .. .2
3
3 1
3 2
udu dx
u= -
+
. . ... . . . . .31 1
3 22 2
n u n x n c + = - + 32
3 2c
u+ =
1/3
.
.idi
yu
x-=
.3
3
3
2 2
cy
x= - [ ]Genel zm
I : 0x , 32 3y -
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
22/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
21/39Diferansiyel Denklemler I
alma Sorular2 29.10.2014
A.Aada istenilenleri elde ediniz!
1. ( ) (. 0.)y yx x dy ky dxe e+ + + = denkleminin tam diferansiyel denklemolabilmesi iinuygun k saysnbelirleyiniz. Bu k saysiin tam diferansiyel denklemin genelzmn bulunuz.
2. a nn hangi deeri iin ( )2 2x y a
m = + : .2 2( ) 0xdy x y y dx- + + = denkleminin (tam
diferansiyel hale getiren) bir integrasyon arpan olur? belirleyiniz, bu arpan
kullanarak denklemin zmn bulunuz.
B.Aada verilen denklemlerin; hangi tip denklem olduklarn(nedenleri ile belirterek)belirleyiniz! tm zmlerini (genel zm ve varsa tekil zmlerini) zmn geerliolduu deikenlerin tanm aralklarnda vererek bulunuz.
1. . .2 21
( ) ( ) 0xy dx x y ny dyx
+ + - =
2. cot sin 2y y x x + =
3. ( sin ) cos 0.dy y x x dx+ - =
4. .2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx- - =
5. x y nyy
+ =
6. . .( 5 ) ( 5 ) 0y x dx x y dy- + - =
7.2
1tan 1
cos
yy
xy
- =
8.cos
yy
y=-
+
9. . . .1
( ) ( ) 0y x dx x y dyx
- + + + =
10.(
0.)
.) (
( ) ( )x n xy y n xy
xy dy xy dxx y x y
- + - =
+ +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
23/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
22/39
Not:zmler-Yol gstermeler kontrol amaldr, yazm hatas- eksiklikler vs.. olabilir..kendi zmlerinizle mutlaka karlatrnz..
zmler
(son gncelleme : 29.10.2014)
nbilgi .1(BazDiferansiyeller)
Tablo
. .xdu u
u dx
d
= +
, ( , )u u y=
1 . .( )d y d d y x yxx = +
2 ( ). .2 2( ) 2 xx yd d dyx y =
3. .
2( )
xdy
x
y y dd
x
-=
4. .
2 2( )arctan
d y dd
x
y
y
y
x
-=
+
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
24/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
23/39
nbilgi .2(ntegrasyon arpan Aratrmas)
Tablo
. .
0NdM x dy+ = Denk. iin m ntegrasyon arpan
Arat
rmas
Koullar integrasyon arpan Aklamalar
1( )
N
x
M
yx
N j
-
= .( )
( )x dx
x e j
m m = =
( )xj
(yalnzcax-e bal)
bir fonksiyon
2( )
NxMyy
M j
- =-
.( )
( )y dy
y e j
m m = =
( )yj
(yalnzcay-ye bal)
bir fonksiyon
3 ( )ww
N
x
Nx
M
y
Mw
y
j
-
=
-
.( )( )w dw
w e j
m m = =
( , )w w y= (hemx-ehemy-ye bal),
( )wj
(yalnzca w-ya bal)bir fonksiyon
Not.
1.durum: yalnzcax-e bal;
2.durum: yalnzcay-ye bal;
3.durum: hemx-ehemy-ye bal
:
integrasyon arpan
aratrmalarnda kullanlacaktr!
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
25/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
24/39
A1. . .( ) ( ) 0y yx x dy ky dxe e+ + + = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
yM kye= +
yN xe= +
yM
ky
e
= +
, 1yN
e
= +
Denklemin Tam Dif.Denk. olabilmesi iinNM
xy
=
artsalanmaldr:
1y yke e+ = + 1k= bulunur.
imdi . .( ) ( ) 0y yx x dy y dxe e+ + + =
Tam Dif. Denk. in zmn bulalm:
. .xdu u
uy
dx
yd
= +
.. . ( )dMu x f y= +
.. .( ) ( )y y dx f ye= + +
( )yx xy f ye= + + (A1-i)
.. . ( )dNu y g x= +
.. .( ) ( )yx x dy g xe= + +
( )yx xy g xe= + + (A1-ii)
(A1-i) ve (A2-ii) den: ( ) 0g x = , ( ) 0f y = bulunur. yu x xye= + olur. Genel zm
u c= idi.
y xy ce + = [ ]Genel zm
I : x- < <
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
26/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
25/39
A2. a ybelirlemek iin iki yol izleyebiliriz:
I.yol: ( )2 2x y a
m = + yani 2 2( )ym m += formunda bir integrasyon arpanaratrmasile.
II.yol:Denklemin her iki tarafn ( )2 2x y a
m = + ile arppNM
y
=
eitliinden.
I.yoldanyapalm! (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)
.
2 2( ) 0xdy x y y dx- + + = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
2 2x y yM= - - -
N=
2 1 1
y
NMy
= - - =
Denklem: Tam Dif. DEL!
2 2w x y= +
2w
x
=
2w
y
=
Hemx-ehemy-ye balintegrasyon arpan, genel formda ( , )w w x y= iin aadaki ekilde
aratrlyor idi:
2 2 2 2 2 2
2 1 1 2 2
(2 ) ( ). .
(2 ) 2( ) 2 ( )
M
y
M
N
y y
x x x y y y x
x
Ny
w y xw yx
y
-
- - - - - = = + + + + + +-
2 2 2 2
2 2 1 1
( )(2 2). ( )
y
wx y y x y
- -
= = - = -+ + + ( 1y - )
yukardaki eitlik sonucu, yalnzca w-yabalbir fonksiyon elde edildi.
O halde nbilgi2-Tablo:3den
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
27/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
26/39.
1
2 2
.
1 1( )
ww
dw n
d
Nx
My
My
wwNx
w
ewx
ey
ew
m- -
- - = = = = =
+
intergrasyon arpan:2 2
1y
m =+
.
..,,.
II.yol:Denklemin
( ) ( ).2 2 2 2 2 2( ) 0x x y dy x y y x y dxa a
+ - + + + =
( )( )2 2 2 2y yM y x a
= - - - + , ( )2 2x yN a
= +
( )( ) ( )( )12 2 2 2 2 22 1 2y x y y x y y
M
yx y
a aa
-= - - + + - - - +
( ) ( )12 2 2 2 22x y x x y
N
x
a aa
-= + + +
NM
y
=
den her iki taraf( )
12 2x y a-
+ e blelim
( )( ) ( )2 2 2 2 2 2 22 1 2 2y x y y x y y x y xa a- - + + - - - = + +
( ) ( )2 22 1 2 1 0y y x y y ya a a a- + + + - + + + =
1 0y ya a+ + + = 1a = -
..,,.
imdi denklemin her iki tarafn2 2
1
ym =
+ (y x ) ile arpalm ve denklemin Tam Dif.
Denk. haline geldiini kontrol edip, zelim.
.2 2 2 2
(1 ) 0x y
dy dxx y x y
- + =+ +
Bu son denklem iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
28/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
27/392 2
1y
yM
x= - -
+
2 2N
x
y=
+
2 2
2 2 2
...
( )
x y
x y
NM
y x
- + = =
+
Denklem: Tam Dif.
. .xdu u
uy
dx
yd
= +
.. . ( )dMu x f y= +
..
1
2
.
2 ( )
I
yx dx f yx y
=
= - - ++
arctan ( )x
x f yy
- += - (A2-i)
.. . ( )dNu y g x= +
.. .
2.
2 2 ( )
I
xdy g xx y
=
= ++
arctan ( )x
g xy
- += (A2-ii)
1I iin .. .. 121 2 2
1 1
( )a
1arct n
ydx dx k
xx yy
y
Ix
y= - = = +
+ +- ,
2I iin benzer ekilde 22 arctanIy
k= + bulunur, 1
arctan arctan2
kk
p+ = zelliinden
3
2 3
diyelim
2 arcta arctn2
( an( ) )
k
x xI k k
yy
p
=
= - + + +-=
yazlabilir.
(A2-i) ve (A2-ii) den: ( )g x x= - , ( ) 0f y = bulunur.
arctanx
xu=- - olur. Genel zm u c=- idi.
0y= , y x iin zm aratrmas:
arctanx
x cy
+ = [ ]Genel zm
I : 0y , y x
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
29/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
28/39
0y= denklemi salamaz dolaysyla zm deildir. y x denklemin zmleridir.Genel zme dikkat edilirse, bu zmler denklemin birer Tekil-zmolduu grlr(gzlemleyiniz!).
B1. (Tam Diferansiyel denklem)
. .
2 21
( ) ( ) 0xy dx x y ny dyx+ + - = iin. .
0M dx N dy+ = yaz
m
ndan:
2 1M xyx
= +
2x y yN n= -
2xyNM
y x
= =
Denklem: Tam Dif.
. .xdu u
uy
dx
yd
= +
.. . ( )dMu x f y= +
.. .
2 1( ) ( )y dx f y= + +
. . .
2 2
( )2
x y n x f y= + + (B1-i)
.. . ( )dNu y g x= +
.. .
2( ) ( )y ny dy g x= - +
.. .
1.
2 2
( )2I
x y
ny dy g x=
= + +
2 2
( )2
x yy ny y g x- + += (B1-ii)
( 1I iin ksmi integrasyon ile: 11 y ny yI k= - + bulunur (inceleyiniz!).)
(A1-i) ve (A1-ii) den: . . .( )g x n x= , ( )f y y y ny= - bulunur.
. . .2 2
2
x yn yu x y ny = + + - olur. Genel zm u c= idi.
. . .2 2
2
x yn x y y ny c + + - = [ ]Genel zm
I : 0x , 0y >
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
30/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
29/39
B2. (Lineer Diferansiyel denklem)
cot sin 2y y x x + = , ( ) ( )y yxp q + = c( t) op x = , si 2) n(q xx =
I.yol: y uv= dnm yaparak:
y vu= , ( )u u x= , ( )v v x=
cot sin 2y y x x + =
y u v uv = +
0
cot cot sin( ). . 2( )u uv x u u x u uv xv v v=
+ + = + + =
cot 0.u x u + =
cot. . (sin )( ) 1
sin
dx xp dx n xxux
e e e -- - == = =
(dikkat, integral sabiti 0 seiliyor)
sin2vu x= sin sin 2xv x= . .
1.
sin sin 2
I
x dv x
=
=
1I integralini hesaplayalm:
. . .
21 2sin cosxI xdx=
sinx t= dnm uygulanrsa .1
cosdx dt
= :
. .
32 3
1 .3s
32 n
2 2i
tt dt c x cI = = + = +
32
sin
3
v cx= + ( vnin tespitinde: cintegral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )
genel zm: y uv= den . .31
inn
s
2si
3x
xy c
= +
II.yol:( .)p x dx
v e= eklinde integrasyon arpanbularak:
idiy uv=
22 sin3 sin
cy x
x= + [ ]Genel zm
I : , 0, 1,...x n n p =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
31/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
30/39cot. . (si( ) n ) sindx xx dxp n xv e e xe == = = bulunur.
imdi denklemin her iki tarafn sinv x= ile arpalm:
( ) ( ) oldugusin grlr!.
sin cos sin i. s n 2.
x yvy
x y x y x x
= =
+ =
( )sin sin sin 2.y x x =
imdi son denklemin her iki tarafnn integralini alalm:
. .sin sin. 2sinx y x x dx= , 1I den
32
sin3
sin .x cy x= +
. .31 2 sinsin 3
y x cx
= +
B3. (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem)
( sin ) cos 0.dy y x x dx+ - = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
cos sin cosy x x xM= -
1N=
cos 0x
M N
xy
= =
Denklem: Tam Dif. DEL!
idiy uv=
22 sin3 sin
cy x
x= + [ ]Genel zm
I : , 0, 1,...x n n p =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
32/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
31/39
Ancak denklem, integrasyon arpan ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?
inceleyelim!
cos 0cos
1
M
xyx
N
x
N
-
- = =
yalnzcax-e balbir fonksiyon elde edildi. O halde nbilgi2-Tablo:1den
. .cos sin( )
N
xx
M
d xy
N dx xe ex em
-
= = =
intergrasyon arpan: sin( ) xexm = .
imdi denklemin her iki tarafn sin( ) xem = ile arpalm ve denklemin Tam Dif. Denk.
haline geldiini kontrol edip, zelim.
.sin sin( sin )cos . 0x xe dy y x x e dx+ - =
Bu son denklem iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
sin( sin ) c .os xy x x eM= -
sinxN e=
sins .co xx e
NM
y
= =
Denklem: Tam Dif.
. .xdu u
uy
dx
yd
= +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
33/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
32/39
.. . ( )dMu x f y= +
.. .
1.
sin( sin )cos ( ). x
I
y x x e dx f y
=
= - +
.
sin sin
( 1 sin ) ( )x x
ye x e f y+ - + += (B3-i)
.. . ( )dNu y g x= +
.. .
sin ( )xe dy g x= + sin ( )xye g x= + (B3-ii)
( 1I iin sinx t= dnn yaplarak;
1
.. . . .. . .. .
int
1 ( )
ksmi egrasyo
t
n
t ty t e dt y e dI t te dt = - = +
eklinde bulunur (inceleyiniz!).)
(B3-i) ve (B3-ii) den: . sin( ) ( 1 sin ) xg x x e= - + , ( ) 0f y = bulunur.
. .sin sin sin( 1 sin ) ( 1 sin )x x xye x e y x eu= + - + = - + olur. Genel zm u c= idi.
B4. (ntegrasyon arpanile Tam Diferansiyel hale getirilebilen denklem).
2( cos sin ) si 0.nx y y dy y dx- - = iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
sinM y= -
2cos siny yN= -
cos cosyN
xyy
M = - =
Denklem: Tam Dif. DEL!
Ancak denklem, integrasyon arpan ile Tam Dif. denklem haline getirilebilir mi?
inceleyelim!
. sin( 1 sin ) xy x e c- + = [ ]Genel zm
I : x- < <
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
34/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
33/39
cos cos 2cos2cot
sin sin
y y yy
y
NM
y x
M y
-
- - = = - = --
yalnzcay-ye balbir fonksiyon elde edildi. O halde nbilgi2-Tablo:2den
2cot 2 (si2
. n ). 1( )sin
d y
M
yy
M dy
N
xn yy e e em
-
- -- = = = =
intergrasyon arpan:2
1( )
sin yym = .
imdi denklemin her iki tarafn ( )ym ile arpalm ve denklemin Tam Dif. Denk. haline
geldiini kontrol edip, zelim:
.2
cos 1( 1)
i. 0
sins n
x ydy dx
yy- - = ( sin 0y )
Bu son denklem iin . . 0M dx N dy+ = yazmndan:
1
sinM
y= -
2
cos1
sin
yN
x
y= -
2
cos
sin
M y
y
N
y x
= =
Denklem: Tam Dif.
. .xdu u
uy
dx
yd
= +
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
35/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
34/39
.. . ( )dMu x f y= +
.. .
1( )
sindx f y
y= - +
( )sin
xf y
y+= - (B4-i)
.. . ( )dNu y g x= +
.. .
2
cos1 ( )
sin( )x y
dy g xy
= - +
.. .
1
2
.
cos( )
sinI
yx dy g x
y=
- += +
( )sin
xg x
y- - += (B4-ii)
( 1I iin siny t= dnn yaplarak; sonuta 111
sinkI
y= - + bulunur (inceleyiniz!).)
(B4-i) ve (B4-ii) den: ( ) 0g x = , ( )f y y= - bulunur.
sin
u y= - - olur. Genel zm u c=- idi.
np= iin zm aratrmas:
Denklemi salar (gzlemleyiniz!) dolaysyla denklemin bir zmdr. Genel zme dikkat
edilirse, Tekil-zmolduu grlr (gzlemleyiniz!).
B5. (x-e gre Lineer Diferansiyel denklem)
yx y ny+ =
1dxx ny
dy y - = ( ( ))p y
dxx
yq y
d + = ( )
1p y
y= - , ( )q y ny=
integrasyon arpanbulma metoduile zelim:
sin
xc
y+ = [ ]Genel zm
I : , 0, 1,...y n n p =
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
36/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
35/39
1( ) .. 1dydy nyyp ye e ev
y
--= = == bulunur.
imdi lineer denklemin her iki tarafn1
vy
= ile arpalm: (dx
xdy
= )
( )
2
1oldugu grlr!
1 1
xy
vx
nyx x
yy
= =
- =
( 0y )
1 ny
xy y
=
imdi son denklemin her iki tarafnn integralini alalm:
. .
. 1
1 1
I
ny dxy y
=
=
1I hesaplanrsa:2
11 1
2 2nI y c= + bulunur (inceleyip, ara ilemleri yapnz!).
21
2
1yx cn
y = +
B6.
I. yol :Homojen denklemdenzm bulunabilir!
II.yol :B1 deki yaplanlara benzer ekilde Tam Dif. denklemdenzm bulunabilir!III.yol : Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak
.. .21
2x y n y c
= + [ ]Genel zm
I : 0y >
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
37/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
36/39
. .( 5 ) ( 5 ) 0y x dx x y dy- + - =
2 21 ( )(2
)
5 0( )
d x yd xy
ydx xdy xdx ydy= =
+
+
- + =
2 25
( ) ( ) 02
d xy d x y- + = 2 25
( ) 02
( )d xy x y- + =
B7. (zel formda Lineer Denklem haline getirilebilen)
Bu denklem, aadaki dnm ile lineer hale daha getirilebilir:
2
1tan
os1
c
1y
xy
y- =
tan z= , ( )z z x=
( )
2
1
cos
21 tan
y
y y z
=
+ =
1
1z z- = (lineer denklem) elde edilir.( ) ( )y yx xp q + =
( )1
p x = - , ( ) 1q x =
imdi lineer denklemi, z uv= dnm ile zelim :
z vu= , ( )u u x= , ( )v v x=
11z z
x- =
z u v uv = +
0
1 11. .( )v v vu uv u u u uv
x x=
+ - = - + =
.1
0u ux
- =
( ) ..
1dx
xxp dxx ne e eu x- = = = =
(dikkat, integral sabiti 0 seiliyor)
2 25 ( )
2y x y c- + = [ ]Genel zm
I : x- < <
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
38/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
37/39
1uv= 1
vx
= . .1
dxv =
. . cv n x= + ( vnin tespitinde: cintegral sabitini eklemeyi UNUTMAYINIZ! )
genel zm: z uv= den ( ). .z x n cx= +
(2 1) / 2y n p= - iin zm aratrmas: diferansiyel denklemi salamad iin zm
deildir.
B8. Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 den yararlanarak
cos
yy
x y=-
+ .
( )
cos5 0d xy
y dyydx xdy=
+ + =
. .. .( ) cosd xy y dy= -
B9.I. yol :B1 deki yaplanlara benzer ekilde Tam Dif. denklemdenzm bulunabilir!
II.yol :Gruplandrma: nbilgi1-Tablo: 1 ve 2 den yararlanarak
. . .
1( ) ( ) 0y x dx x y dy
x- + + + =
2 2 . .1 ( ) ( )2
( .)
1 0( )
xd d x yy nx d
ydx xdy xdx ydy dxx
- == = -
+ + - + =+
tan idiz y=
( ). . .tany x n x c= + [ ]Genel zm
I : 0x , (2 1) / 2 , 0, 1,...y n n p - =
siny y c-= + [ ]Genel zm
I : arcco ( )sy x -
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
39/40
S.lter, http://aves.istanbul.edu.tr/ilters
38/39
2 21
( ) ( ) ( ) 02
d xy d x y d nx- - + = . . .2 21
( ) 02
d xy x y n x - - + =
B10. Gruplandrma:
(0.
).
) (( ) ( )x n xy y n xy
xy dy xy dxx y x y
- + - =
+ +
[ ]
( )n xy
dy ydx xydx xydyx y
+ = ++
[ ] [ ]( ) ( )
( )
d xy d x y
n xydy ydx xy dx dy
x y= = +
+ = ++
( ) ( ) ))
((n xy
d xy x y d x yxy
= + +
imdi her iki tarafn integrali alnrsa,2
12. .
nu n udu k
u
= + (inceleyip, ara ilemleri
yapnz!) ve2
2. . 2
wwdw k = + bilgilerinden;
2 2( )
2 2 2
( )n xy x y c += + bulunur.
. . .2 21 ( )
2xy x y n x c- - + = [ ]Genel zm
I : 0x
2 2(( ) )n xy x y c = + + [ ]Genel zm
I : x - , 0xy >
-
7/24/2019 Diferansiyel Denklemler stanbul niversitesi Mat 2014-15 Arasinav Hazirlik
40/40
39/39
..Fen Fakltesi Matematik BlmDiferansiyel Denklemler I /ArasnavHazrlkSorular
Yrd.Do.Dr.Serkan LTER / .. Matematik Sre:.. BAARILAR..
(00p) Aadaki ve sorularndan yalnzca bir tanesini seerekznz!
.
.
(00p) Aadaki ve sorularndan yalnzca bir tanesini seerekznz!
.
.
(00p) .
(00p) Aadaki klardan yalnzcaiki tanesini seerekyapnz!
k .
.
.
SORU 1. 1 1
1.
1 .
SORU 2. 2 2
2.
2 .
SORU 3.
SORU 4.
( )
( )
( )