DINAMICA DEL PUNTO MATERIALE
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16/03/2017
MOLLA: COMPRESSIONE E ALLUNGAMENTO
Si consideri una molla di lunghezza a riposo x0, disposta
orizzontalmente (lungo l’asse x) e fissata per un’estremita
ad una parete rigida come in figura. Se un agente esterno
applica all’estremita libera A della molla una forza F∗ diretta
lungo l’asse x, l’ascissa di A passera da x0 ad x. Sia ∆x =
x− x0 la conseguente deformazione. Se vale ∆x > 0 si ha
un allungamento, se vale ∆x < 0
si ha una compressione. In regime
lineare vale la legge di Hooke nella
forma
F ∗x = k ∆x , (1)
dove k e la costante elastica della molla ([k] = N/m).2
SISTEMA MASSA + MOLLA
Adesso s’intende determinare la legge del moto di una massa
m che viene fissata all’estremo libero A della molla. Per una
deformazione ∆x della molla, la stessa subisce l’azione di
una forza F ∗x = k ∆x ad opera della massa m. Per il III
Principio la molla esercita sulla massa m una forza uguale
(in modulo) ed opposta F = −F∗, la cui componente x
vale Fx = −k ∆x. E una forza elastica di richiamo verso la
posizione x0 di equilibrio (vedere disegno).
Il II Principio della Dinamica per il
moto di m da
R = N +m g + F = m a , (2)
dove vale N +m g = 0 poiche il moto e lungo x.
3
La componente x della (2) si riduce a
md2x(t)
dt2= −k ∆x →
d2∆x
dt2= −
k
m∆x (3)
poiche, essendo x0 una costante, vale l’uguaglianza
d2∆x
dt2=
d2 [x(t)− x0]
dt2=
d2x(t)
dt2. (4)
In base alle considerazioni presentate nella Cinematica del
punto materiale, l’equazione (3) prevede per la deformazione
∆x (e, quindi, per l’estremita A della molla) un moto ar-
monico avente pulsazione ω, periodo T e frequenza f dati
da
ω =
√√√√ k
m; T = 2 π
√m
k; f =
1
2 π
√√√√ k
m. (5)
4
Il sistema massa + molla rappresenta un semplice esempio
di oscillatore armonico, il cui moto e armonico attorno alla
posizione di equilibrio x0. La legge oraria puo essere scritta
come
x(t) = x0 + α cos(ω t) + β sin(ω t) . (6)
La soluzione contiene le quantita α e β, che possono es-
sere determinate in base alle condizioni iniziali x(0) e vx(0)
(posizione e velocita di m al tempo t = 0). Si ha
α = x(0)− x0 e β =vx(0)
ω. (7)
Si dimostrera che l’ampiezza delle oscillazioni di m attorno
ad x0 e data da√α2 + β2.
5
LAVORO
Si consideri una forza F costante applicata ad un punto
materiale P. Se P si sposta dalla posizione A alla posizione
B andando incontro allo spostamento ∆r = rB − rA, si dice
che la forza F esegue su P il lavoro LA→B dato da
LA→B = F ·∆r = F ∆r cos θ , (8)
dove θ e l’angolo compreso tra F e ∆r. Se F non e costante,
si suddivide la traiettoria che P percorre andando da A a B
in tanti (N) piccoli spostamenti ∆ri lungo i quali si ap-
prossima che la forza assuma i valori Fi (costanti sui ∆ri
corrispondenti). Il lavoro globale e dato dalla somma
LA→B∼=
N∑i=1
Fi ·∆ri → LA→B =∫ BA
F · dr . (9)
6
L’unita di misura del lavoro e il Joule = Newton ·metro. Il
simbolo di Joule e J, da cui [L] = J = kg m2 s−2).
Nella semplice situazione (8) di forza costante il segno di
L dipende da cos θ. In particolare, nel caso di spostamento
parallelo alla forza si ha L = F∆r mentre nel caso di sposta-
mento antiparallelo si ha L = −F∆r. Per spostamenti per-
pendicolari a F il lavoro e nullo.
Esercizio Una valigia ha massa m = 10 kg. Calcolare il
lavoro necessario per sollevarla di 1.5 m, per abbassarla di
1.5 m, per farla cadere di 2 m e per trasportarla in orizzon-
tale di 100 m. Calcolare il lavoro che la forza peso esegue
in corrispondenza degli stessi spostamenti cui la valigia va
incontro.7
LAVORO PER ALLUNGARE UNA MOLLA
Sia data una molla di lunghezza a riposo x0 e costante ela-
stica k. Un agente esterno che voglia estendere la molla
dalla lunghezza x0 alla lunghezza xB deve applicare una forza
variabile F∗ diretta lungo la direzione positiva dell’asse x e
data da
F ∗x(x) = k ∆x = k (x− x0) . (10)
Il lavoro L0→B che l’agente esterno
deve eseguire tramite F∗ e dato
dall’integrale
L0→B =∫ xBx0
F ∗x(x) dx =1
2k (xB−x0)2
(11)al cui valore si puo risalire valutando l’area A della figura.
8
Si puo verificare che l’espressione (11) da anche il lavoro
necessario per comprimere la molla dalla lunghezza x0 ad
una lunghezza xB < x0.
TEOREMA DELL’ENERGIA CINETICA
Nella parte di Cinematica si e giunti, nel caso di moto 1D uni-
formemente accelerato con accelerazione ax0, alla relazione
ax0 (x− x0) =1
2v2x −
1
2v2x0 (12)
tra accelerazione, spazio percorso e velocita. Considerando
un percorso da xA a xB e tenendo conto che nel caso 1D
vale v2x = v2, questa relazione puo essere riscritta, previa
moltiplicazione per la massa m di P, come
1
2m v2
B −1
2m v2
A = m ax (xB − xA) . (13)
9
Nella (13) il termine m ax puo essere interpretato grazie al II
Principio come la componente x della risultante R delle forze
applicate su P e, quindi, vista la definizione (8) e considerato
il fatto che la situazione considerata e 1D, si puo interpretare
l’intero termine m ax (xB−xA) come il lavoro eseguito dalla
risultante R (costante !) su P nel suo spostamento da A
a B. Le conclusioni tratte dalla (13) sono applicabili ad un
contesto piu generale del caso 1D qua richiamato.Si puo enunciare il Teorema dell’energia cinetica, denomi-
nato anche Teorema delle forze vive, come segue: il lavoro
della risultante delle forze applicate su P uguaglia la varia-
zione (= incremento) dell’energia cinetica di P. Cioe
L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (14)
dove la quantita K e definita da10
K =1
2m v2 (15)
e viene chiamata energia cinetica della massa m. E il lavoro
che m puo eseguire arrestandosi. Si ha [K] = J.Come semplice applicazione del teorema ap-
pena enunciato, si considera il punto mate-
riale P di massa m che, sotto l’azione del suo
peso m g, passa dalla quota zA alla quota zB.
Si ottiene
1
2m v2
B −1
2m v2
A = −m g (zB − zA) , (16)
il che implica vB < vA. Dalla (16) si ha zB = zA +v2A−v
2B
2g e,
quindi, (zB)max = zA +v2A
2 g per vB = 0.
11
FORZE CONSERVATIVE
Una forza e una forza conservativa quando il lavoro che essa
esegue nello spostamento del suo punto di applicazione dal
punto A al punto B dipende solo dalle coordinate di A e di
B, ma non dal percorso seguito.
In questi casi esiste una funzione del posto U = U(r), detta
energia potenziale, la cui diminuzione da il lavoro eseguito
dalla forza conservativa. Per la forza F conservativa vale
L(F)A→B =
∫ BA
F · dr = UA − UB = −∆U , (17)
dove U e l’energia potenziale di F ed il termine UA − UB =
U(rA) − U(rB) rappresenta la diminuzione subita da U nel
passaggio da A a B. Si ha [U ] = J.12
In linea di principio le forze conservative rappresentano un
mezzo per effettuare investimenti energetici in quanto se
eseguiamo un lavoro positivo contro una forza conservativa,
detto lavoro viene immagazzinato sotto forma di energia
potenziale e possiamo successivamente recuperarlo.
Questo punto di vista conduce ad un’intuitiva definizione di
energia potenziale. Sia F una forza conservativa e sia F∗ =
−F la forza che applichiamo per contrastare F. Si arriva
alla seguente definizione di incremento di energia potenziale,
equivalente alla (17),
UB − UA = −∫ BA
F · dr =∫ BA
F∗ · dr = L(F∗)A→B . (18)
La (18) dice che l’incremento di U e uguale all’investimento
energetico L(F∗)A→B che abbiamo eseguito.
13
Nel caso in cui si considera come forza conservativa il peso
m g della massa m, la forza che noi dobbiamo applicare ad
m per contrastare il peso e F∗ = −m g = −m (−g) k = m g k
(k = versore dell’asse z, orientato verso l’alto). In questo
caso la (18) diventa
UB − UA =∫ zBzA
m g dz = m g zB −m g zA , (19)
da cui discende la seguente espressione per l’energia poten-
ziale gravitazionale di m
U(z) = m g z asse z rivolto verso l′alto . (20)
Anche la forza di richiamo di una molla e conservativa. La
corrispondente energia potenziale, grazie alla (11), vale
U(x) =1
2k (∆x)2 =
1
2k (x− x0)2 . (21)
14
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
L’applicazione del teorema dell’energia cinetica al caso in
cui sulla massa m agisce il peso ha portato alla relazione
1
2m v2
B −1
2m v2
A = −m g (zB − zA) (22)
che puo essere riscritta come
1
2m v2
A +m g zA =1
2m v2
B +m g zB . (23)
Questa, usando le definizioni di energia cinetica e potenziale
K =1
2m v2 ; U(z) = m g z , (24)
diventa
KA + UA = KB + UB . (25)
15
Questa relazione stabilisce nel caso delle forze gravitazionali
il principio della conservazione dell’energia meccanica, prin-
cipio la cui validita e ampiamente estendibile a moltissime
situazioni.
Per un punto materiale P si definisce energia meccanica (to-
tale) la quantita
ETOT = K + U , (26)
somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di P.
Qualora su P agiscono esclusivamente forze conservative, si
e in grado di affermare che l’energia meccanica (totale) di P
si conserva durante il suo moto, purche nell’energia poten-
ziale U della (26) vengano sommate tutte le energie poten-
ziali associate a tutte le forze (conservative !) agenti su
P.16
In presenza di vincoli fermi e lisci (senza attrito), sul punto
materiale agiscono anche forze normali (esempio: reazione
normale N del piano inclinato) le quali non eseguono lavoro.
La loro presenza puo essere ignorata nel calcolo di ETOT .Pertanto, nel caso su P agiscano solo forze conservative, la
conservazione dell’energia meccanica totale di P quando P
passa da A a B si scrive
∆ETOT = ETOTB −ETOTA = 0 → ETOTA = ETOTB . (27)
Se entrano in gioco anche forze non conservative, l’ener-
gia meccanica di P non si conservera, ma si trasformera in
altre forme di energia di tipo non meccanico. Una serie di
passaggi riportati nelle slides successive porta alla relazione
L(n.c.)A→B = ∆ETOT = ETOTB − ETOTA , (28)
dove L(n.c.)A→B e il lavoro delle forze non conservative.
17
NON CONSERVAZIONE DI ETOT
Nell’enunciato del Teorema delle forze vive
L(R)A→B = ∆K = KB −KA , (29)
il lavoro L(R)A→B della risultante R delle forze agenti su P puo
essere scritto come somma di due contributi
L(R)A→B = L
(c.)A→B + L
(n.c.)A→B , (30)
uno dovuto alle forze conservative e l’altro dovuto alle forze
non conservative. Si puo scrivere quindi
L(n.c.)A→B = KB −KA − L
(c.)A→B . (31)
18
Applicando la definizione di energia potenziale alla parte con-
servativa Rc. della risultante delle forze su P si ottiene
L(c.)A→B =
∫ BA
Rc. · dr = UA − UB = −∆U , (32)
dove con U s’intende la somma delle energie potenziali re-
lative a tutte le forze conservative agenti su P (l’energia
potenziale globale dovuta a tante forze conservative e la
somma di tutte le singole energie potenziali dovute ad ogni
singola forza conservativa).
Usando la (31) e la (32) si arriva a
L(n.c.)A→B = KB −KA + UB − UA = ETOTB − ETOTA , (33)
che coincide con la (28).
19
CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA
NEL SISTEMA MASSA + MOLLA
Si e visto che il sistema massa+molla va incontro a moto
oscillatorio dove l’elongazione della molla (∆x)(t) = x(t)−x◦segue la legge oraria
(∆x)(t) = α cos(ω t) + β sin(ω t) . (34)
Al tempo t = 0 si ha
(∆x)(0) = α e v(0) =
d(∆x)(t)
dt
t=0
= β ω . (35)
Considerata la definizione di energia potenziale elastica
U =1
2k (∆x)2 , (36)
20
l’energia meccanica del sistema massa+molla diventa
ETOT =1
2m v2(t) +
1
2k (∆x)2(t) . (37)
Questa quantita si conserva durante le oscillazioni ed e
uguale al valore che essa assume al tempo t = 0. Consi-
derate le (35), la quantita ETOT , costante durante il moto,
puo essere scritta anche come
ETOT =1
2m v2(0)+
1
2k (∆x)2(0) =
1
2m β2 ω2+
1
2k α2 . (38)
Ricordando che vale ω =√km, la (38) diventa ETOT =
12 k (α2 + β2). Questa espressione per la costante del moto
energia meccanica totale del sistema massa+molla dimostra
che l’ampiezza delle oscillazioni del moto armonico e data
[vedi (36)] da√α2 + β2.
21
22
POTENZA
Se la forza F esegue il lavoro ∆L in un tempo ∆t, si definisce
la potenza P (media) erogata da F come
P =∆L
∆t. (39)
Restringendo opportunamente la base di tempo su cui si
fa il calcolo, si puo arrivare ad una definizione di potenza
istantanea. Se il lavoro e fatto dalla forza F applicata su
un punto materiale animato dalla velocita v, allora si puo
scrivere dL = F · dr = F · v dt (vedere appunti sul lavoro) e
quindi la potenza istantanea P erogata da F diventa
P =F · dr
dt=
F · v dt
dt= F · v . (40)
23
Nel caso in cui P indichi la potenza di R, la risultante appli-
cata al punto materiale (P = R · v), si conclude che il moto
e accelerato se P > 0 (a · v > 0, l’energia cinetica K sta
crescendo) e decelerato se P < 0 (a ·v < 0, l’energia cinetica
K sta diminuendo).La potenza e misurata in Watt = Joule/secondo ([P ] =
W ). Dalla definizione (39) di potenza discende che una
potenza costante P applicata per un tempo ∆t corrisponde
all’erogazione di un’energia P ∆t. Ne deriva la familiare
(non SI) unita di misura Wh con i relativi multipli (kWh).
Si ha 1 kWh = 3600 s 103 W = 3.6 MJ.Esercizio - Determinare la forza propulsiva applicata dalle
eliche ad un motoscafo che viaggia a 25 km/h sapendo che
il motore eroga una potenza P = 70 kW con un rendimento
ai fini della propulsione del 75%.24