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ELEMENTI DI DINAMICA DELLE COSTRUZIONI
(con riferimento alle attivit di controllo dei progetti strutturali
svolto dagli Uffici del Genio Civile della Regione Campania)
prof. ing. Giorgio SERINO
Dipartimento di Analisi e Progettazione StrutturaleUniversit degli studi di Napoli Federico II
CORSO DI AGGIORNAMENTO
SULLA NUOVA NORMATIVA SISMICA (OPCM 3274/2003 e 3431/2005)
Napoli, 16 maggio 2005 Dipartimento di Analisi e Progettazione Strutturale
Regione Campania Univ. di Napoli Federico II
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SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (1)
Parte I
Dinamica dei sistemi ad un solo grado di libert
I.1 Descrizione del modello ed equazione del moto
I.2 Oscillazioni libere (periodo proprio e smorzamento)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Risposta al sisma (spettri di risposta elastici)
I.5 Comportamento non-lineare (duttilit, spettri di progetto)
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SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (2)
Parte II
Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
I.1 Modellazione ed equazioni del moto
I.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Analisi modale con spettro di risposta
I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il pi semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il pi semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il pi semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Sistema ad un g.d.l.: il pi semplice modello dinamico
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Oscillazioni libere al rilascio
Nella realt le oscillazioni sono sempre smorzate (sono numerose le possibili fonti di
dissipazione di energia) ed necessario introdurre nel modello un elemento smorzatore
IMPALCATO RIGIDO
COLONNESENZA MASSA
spostamento
tempo
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Parametri del modello
massa m (inerzia)
rigidezza k (elasticit)
smorzamento c (dissipazione)
Il caso della forzante esterna agente
Equazione del moto
)()()()( tptftftf SDI =++
)()()()( tptkutuctum =++ &&&
massa, m
forzante
esterna,
p (t )
rigidezza
laterale, k
coefficiente dismorzamento,c
(a) modello idealizzato della costruzione
(b) equilibrio delle forze
(c) colonne (d) smorzatore
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.1. Descrizione del modello ed equazione del moto
Spostamento totale (rispetto ad un
sistema di riferimento inerziale):
Il caso del moto sismico alla base
)()()( tututu gt +=
Equazione del moto
0)()()( =++ tftftf SDI
0)()()]()([ =+++ tkutuctutum g &&&&&
)()()()( tumtkutuctum g&&&&& =++
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
0)()( =+ tkutum &&
Spostamento a t= 0:
Velocit a t= 0: )0(u&
)0(u
Equazione e condizioni iniziali del moto
0)()( 2 =+ tutu&&
propriapulsazione:cuiin ==m
k
tempo, t
spostamento,u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
)cos(cos)0(sen)0(
)( =+
= tAtutu
tu &
Soluzione
[ ] =+
= 2
2
)0()0(
uu
A &
nioscillaziodelleampiezza=
tempo, t
s
postamento,u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
sistemadelnaturale)(oproprioperiodo2
=
=T
sistemadelnaturale)(opropriafrequenza2
1 ===
Tf
tempo, t
s
postamento,u
Configurazioni deformate della struttura corrispondenti agli istanti 1, 2, 3, 4 e 5
ampiezza
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
0)()()( =++ tkutuctum &&&
Spostamento a t= 0:
Velocit a t= 0: )0(u&
)0(u
Equazione e condizioni iniziali del moto
0)()(2)( 2 =++ tututu &&&
osmorzamentdirapporto2
:cuiin ==km
c
tempo, t
spos
tamento,u
Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA
STRUTTURASMORZATA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
)cos(cos)0(sen)0()0(
)( =
++
= tCetutuu
etu Dt
DDD
t &
Soluzione (per
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
smorzatosistemadelperiodo1
22=
=
= T
TD
D
smorzatosistemadelfrequenza11 2 === fT
fD
D
tempo, t
spos
tamento,u
Decadimento esponenziale STRUTTURA NON SMORZATA
STRUTTURASMORZATA
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Influenza dello smorzamento sulla frequenza naturale
rapportodismorzamento,
VALORI DI ASSUNTI NEI
CASI REALI
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Oscillazioni libere per diversi valori dello smorzamento
1: =0% 2: =1% 3: =2% 4: =5%
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
+
21
ei
i
u
u=
+
2log:ologaritmicdecremento1i
i
u
u=
+
2jlog ju
u
ji
i
tempo, t
spostamen
to,
u
-
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.2. Oscillazioni libere (in presenza di smorzamento)
Prove di rilascio per la determinazione di T e
Procedura
1. Imporre u (0) e rilasciare la struttura
2. Registrazione della risposta al rilascio
3. Individuazione del periodo T(distanza fra due massimi successivi)
4. Misura ampiezza di due picchi: ui e ui+1
5. Calcolo diji
i
u
u
j += log
1
6. Calcolo di = 2
spostamento,u
tempo, t
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.3. Risposta a forzante armonica
tptkutuctum o =++ sen)()()( &&&
Equazione del moto
( ) ( )++= tDutBtAetu stDDt sencossen)(Soluzione (per
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.3. Risposta a forzante armonica
( )= tDutu st sen)(444 3444 21
o)stazionari(stato
regimeaRisposta
( ) ( )222 211
:ioneamplificazdiFattore
+=D
=21
2tanarc
:fasediAngolo
Concetto di risonanza
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.3. Risposta a forzante armonica
Valutazione dello smorzamento: metodo della larghezza di banda
21
:smorzatosistemaPulsazione
=D
221
:risonanzadiPulsazione
=R
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.3. Risposta a forzante armonica
Prove con vibrodina per la determinazione di T e
Procedura
1. Individuazione della frequenza propria
come frequenza di risonanza
2. Misura della larghezza di banda
3. Valutazione di 2/=
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.4. Risposta al sisma
)()()()( tumtkutuctum g&&&&& =++
Equazione del moto
)()()(2)( 2 tutututu g&&&&& =++
[ ] = dteutu
t
Dt
gD
)(sen)(1)(0
)(&&
Soluzione (per
-
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)
)()()()(
:tempoalbaseallaTaglio
2 tumtkutftV
t
so ===
)()()(
:tempoalribaltanteMomento
tVhtfhtM
t
oso ==
max,max,
max,max, )(max
:sismaildurantemassimialori
oo
dso
VhM
SktukfV
V
=
===
ospostamentdellorispostadispettro)(max == tuSd
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.4. Risposta al sisma (spettri di risposta)
)(max
:ospostamentdellorispostadipettro
tuS
S
d=
2
2
2max
2
1
2
1
2
1
:sismaildurantesistemanelmaxnergia
vv
d mSS
kkSE
E
=
==
ddv ST
SS
S
== 2
:velocit-pseudodellarispostadipettro
dva SSS
S
2
:oneaccelerazi-pseudodellarispostadipettro
==
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Mensola in acciaio: comportamento oltre il limite elastico
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29
Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Oscillatore non-lineare: comportamento a spostamento controllato
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (concetti base)
Oscillatore non-lineare: comportamento ciclico sotto sisma
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (duttilit)
Individuazione modello elasto-plastico perfetto equivalente
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (duttilit)
yu
umax:duttilitdiFattore
=
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (duttilit)
Confronto risposta al sisma oscillatore elastico ed elasto-plastico
equivalenza in spostamento equivalenza energetica
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Parte I: Sistemi ad un solo grado di libert
I.5. Comportamento non-lineare (duttilit)
Terremoto di Imperial Valley
(18 maggio 1940)
registrazione di El Centro NS
Oscillatore elasto-plastico:spettri a duttilit
controllata ( = 10%)
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LETTURE CONSIGLIATE
Roberto Ramasco, Dinamica delle strutture, CUEN, Napoli, 1993.
Carlo Gavarini, Dinamica delle strutture, ESA, Roma, 1978.
Anil K. Chopra, Dynamics of structures: a primer, EERI, Berkeley, 1980.
Anil K. Chopra, Dynamics of structures: theory and applications to earthquakeengineering, 2nd edition, Prentice Hall, New York, 2001.
Ray W. Clough & Joseph Penzien, Dynamics of structures, 2nd edition,McGraw-Hill International, 1993.
Alberto Castellani ed Ezio Faccioli, Costruzioni in zona sismica: metodi dianalisi e criteri di progetto, applicazioni, aspetti normativi, Hoepli, Milano 2000
Miroru Wakabayashi, Design of earthquake-resistant buildings, McGraw-HillInternational, 1986.
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SISTEMA A 1 G.D.L.: EQUAZIONE DEL MOTO
CFxmxxFxcxmgR
+=++ &&&&&& ...),,(
gtRt xxxFCxxFxcxm +==+++ :essendo,...),,( &&&&
SISTEMA A 1 G D L BILANCIO ENERGETICO
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=+++ ttt
R
tt
t FdxCdxdxxxFdxxcdxxm 00000 ...),,( &&&&
gtgt dxdtxdxdxdx == &:cuiin
=== t
gtt
t
gt
t
tt
t
gt
t
tt
t
t dxxmtxmdxxmxdxmdxxmdtxxmdxxm 02
00000 )(21 &&&&&&&&&&&&&&
{
+=+++ tt
gt
tt
R
t
t FdxdxxmCdxdxFdxxctxm00000
2 )(2
1&&&&
[ ] )()()()()()()( tEtEtEtEtEtEtE FIS
I
C
IHEK +=++++
SISTEMA A 1 G.D.L.: BILANCIO ENERGETICO
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STRATEGIE DI PROGETTAZIONE
:azione)dell'terminealquietedie(condizionPer qtt
F
I
S
I
C
IH EEEEE +=++
Ridurre lenergia di ingresso FISI EE +
Incrementare lenergia viscosa dissipata E
Incrementare lenergia dissipata per isteresi HE
Incrementare lenergia dissipata dalla forza di controllo CIE
-
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SINTESI DELLA PRESENTAZIONE (2)
Parte II
Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
I.1 Modellazione ed equazioni del motoI.2 Oscillazioni libere (periodi e modi propri di vibrazione)
I.3 Risposta a forzante armonica (concetto di risonanza)
I.4 Analisi modale con spettro di risposta
I.5 Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.1. Modellazione ed equazioni del moto
Edificio shear type
1. Masse concentrate ai piani (m1, ..., mN)
2. Colonne prive di massa (le loro masse sono
riportate ai piani)
Ipotesi di comportamento
3. Impalcati e travi infinitamente rigidi
4. Colonne deformabili a flessione ma
rigide assialmente
5. Terreno infinitamente rigido (si trascura
linterazione suolo-struttura)
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)
)()()(:impalcato2
)()()(:impalcato1
222
111
tptftf
tptftf
SI
SI
=+
=+
[ ]
[ ] )()()()(
)()()()()(
212222
12121111
tptutuktum
tptutuktuktum
=+
=++
&&
&&
=
+
+
)(
)(
)(
)()(
)(
)(
0
0
2
1
2
1
22
221
2
1
2
1
tp
tp
tu
tu
kk
kkk
tu
tu
m
m
&&
&&
)()()( ttt pkuum =+&&
Edificio di due piani
P t II Di i d i i t i i di di lib t
-
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (forze esterne)
=
N
j
m
m
m
m
00
000
00
00
2
1
O
Om
=
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
tu
tu
tu
tu
t
N
j
M
M
u
)()()()( tttt pkuucum =++ &&&Edificio multipiano
=
)(
)(
)(
)(
)(
2
1
tp
tp
tp
tp
t
N
j
M
M
p
+
+
+
=
NN
N
kk
k
kkkk
kkkk
kkk
0000
000
000
00)(0
000)(
0000)(
4433
3322
221
k
P t II Di i d i i t i i di di lib t
-
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)
[ ]
[ ] [ ] 0)()()()(
0)()()()()(
12222
2121111
=++
=+++
tutuktutum
tutuktuktutum
g
g
&&&&
&&&&
)()()( tutt g&&&& m1kuum =+
Edificio di due piani
)()()(
)()()(
22
11
tututu
tututu
gt
gt
+=
+=
0)()(
0)()(
22
11
=+
=+
tftf
tftf
SI
SI
[ ] )()()()(
)()()()()(
212222
12121111
tumtutuktum
tumtutuktuktum
g
g
&&&&
&&&&
=+
=++
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.1. Modellazione ed equazioni del moto (moto sismico)
)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum =++
Edificio multipiano
Forze equivalenti al moto sismico
(forze di trascinamento)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata iniziale generica)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 1 modo)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 2 modo)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
II.2. Oscillazioni libere (in assenza di smorzamento)
Oscillazioni libere al rilascio (deformata corrispondente al 3 modo)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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p g
II.2. Frequenze e modi propri di vibrazione
Frequenze e dei modi propri di vibrazione (in assenza di smorzamento)
mk 2:autovaloridegliproblemadelisoluzione =R
21
2:smorzato)(sistemaesimomododelPeriodo
iDiDi
TTi-
=
=
21:smorzato)(sistemaesimomododelPulsazione iiDii- =
Influenza dello smorzamento
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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50
p g
II.3. Risposta a forzante armonica
Una volta esaurito il transitorio iniziale:
tttt o =++ sen)()()( pkuucum &&&
Edificio multipiano
jjjstj tDutu = sen)( ,
444 3444 21
o)stazionari(stato
regimeaRisposta
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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51
II.3. Risposta a forzante armonica
ist
ij
u
uD
,
max,=
Fattore di amplificazione
(piano i -esimo):
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
Edificio multipiano
)()()()( tuttt g&&&&& m1kuucum =++
Disaccoppiamento delle equazioni del moto:
)()()(2)( 2 tuM
LtYtYtY g
n
nnnnnnn
&&&&& =++
==
==N
j
jnjn
N
j
jnjn mMmL
1
2
1
e:cuiin
[ ]
= dteuML
tYt
Dnt
gDnn
nn
nn )(sen)(1
)(0
)(&&
Soluzione (per
-
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II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
La risposta si ottiene combinando i contributi dei singoli modi:
==
==N
n
jnn
N
n
jnj tYtutu
11
)()()(:pianiaioSpostament
=
==N
n
ttt
1
)()()(:iequivalentstaticheForze nfkuf
=
=N
n
on tVtV
1
o )()(:baseallaTaglio
=
=N
n
on tMtM
1
o )()(:ribaltanteMomento
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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II.4. Risposta al sisma (analisi modale)
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
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II.4. Risposta al sisma (utilizzo degli spettri di risposta)
I valori massimi relativi al singolo modo si ottengono con gli spettri di risposta:
),()(max:esimamodalecoordinatadellamassimoValore max, nndn
nnn S
M
LtYYn- ==
jnnndn
njnjn S
M
Ltuunj == ),()(max:)modoo(contributpianoaloSpostament max,
La somma dei massimi eccessivamente cautelativa=N
n
jnj uu1
max,max,
Una buona stima data da: (metodo SRSS)=
N
n
jnj uu
1
2max,max, )(
Se periodi differiscono < 10%: n jnjmmnmj uuu max,max,max,
2222
2/32
)1(4)1(
)1(8
mnmnmn
mnmnmn ++
+=in cui e (metodo CQC)
n
mmn
=
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
7/22/2019 Dinamica sdof mdof
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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
Effetto della rotazione dei nodi e
della deformazione assiale delle colonne
Parte II: Dinamica dei sistemi a pi gradi di libert
-
7/22/2019 Dinamica sdof mdof
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II.5. Modellazione di dettaglio di edifici multipiano
Modello spaziale delledificio
Necessario in presenza di:
1. significative eccentricit fra il centro dimassa ed il centro delle rigidezze degli
impalcati;
2. frequenze proprie traslazionali e
rotazionali molto prossime fra loro;
3. eccentricit accidentali (inevitabili);