Dinámica Dinámica
V. Movimiento oscilatorioV. Movimiento oscilatorio
Movimiento Armónico Movimiento Armónico Simple Simple ( MAS)( MAS)
Estiramiento de un muelle y ley de HookeEstiramiento de un muelle y ley de Hooke
2
2
dt
xdmkx
II Ley de Newton
amF
mkwxw
dt
xd 22
2
2
,0
)cos()( wtAtx
Amplitud frecuencia
Solución
Movimiento Armónico Movimiento Armónico Simple Simple ( MAS)( MAS)
Solución oscilanteSolución oscilante
FrecuenciaFrecuenciaw= [rad/s], w= [rad/s],
w= 2w= 2 f, f=[Hz] f, f=[Hz] PeriodoPeriodo
T=2T=2/w/w Desfase Desfase
)cos()( wtAtx
Periodo ¼ s
Amplitud 4cm
Desfase /2
Datos obtenidos de condiciones iniciales
Aproximación parabólica Aproximación parabólica del potencialdel potencial
Desarrollo en serie de Taylor de la función Desarrollo en serie de Taylor de la función energía potencial ( sistema de dos energía potencial ( sistema de dos cuerpos) en torno al mínimo rcuerpos) en torno al mínimo r0 0 , U’(r, U’(r0 0 )=0)=0
Solución oscilante para la distancia Solución oscilante para la distancia interatómica r(t)interatómica r(t)
...))((''2
1))((')()( 2
00000 rrrUrrrUrUrU
200 )(
2
1)( rrkUrU
)cos()( wtAtr kw
)('' 0rUk
Masareducida
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguaciónamortiguación
Fuerza de amortiguamiento que se opone al Fuerza de amortiguamiento que se opone al movimiento, proporcional a la velocidad.movimiento, proporcional a la velocidad.
Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton
Ecuación diferencialEcuación diferencial
-kx
-bv
dt
dxbkx
dt
xdm
2
2
Fuerza
elástica
Fuerza
amortiguadora
02 22
2
0 xw
dt
dx
dt
xd m
b2
mkw 2
0
Amortiguación
Frecuencia propia
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
Amortiguamiento: oscila con una frecuenciaAmortiguamiento: oscila con una frecuencia
ww22=w=w0022--22
La amplitud decreceLa amplitud decrece
exponencialmenteexponencialmente
)cos()( wteAtx t
teA
Amortiguamiento
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
Amortiguamiento crítico: solución no Amortiguamiento crítico: solución no oscilanteoscilante
ww22=w=w0022--22=0=0
La amplitud decreceLa amplitud decrece
exponencialmenteexponencialmente
cos)( teAtx
teA
Amortiguamiento crítico
Movimiento oscilatorio con Movimiento oscilatorio con amortiguación. Solucionesamortiguación. Soluciones
Sobreamortiguamiento: solución no oscilanteSobreamortiguamiento: solución no oscilante
ww22=w=w0022--22< 0< 0
La amplitud decreceLa amplitud decrece
exponencialmenteexponencialmente
)()( twCheAtx t
teA
Sobreamortiguamietno
20
22 ww
Movimiento oscilatorio Movimiento oscilatorio forzado con amortiguaciónforzado con amortiguación
Fuerza externa oscilante + fuerza Fuerza externa oscilante + fuerza amortiguadora que se opone al movimiento.amortiguadora que se opone al movimiento.
Segunda ley de NewtonSegunda ley de Newton
Ecuación diferencialEcuación diferencial
-kx
-bv
)cos(2
2
twFdt
dxbkx
dt
xdm fo
Fuerza
elástica
Fuerza
amortiguadora
)cos(2 22
2
0fw
m
Fxw
dt
dx
dt
xdf
o m
b2
mkw 2
0
F0 cos(wft)
Fuerza
externa
Frecuencia propia
Amortiguación
Movimiento oscilatorio forzado Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Solucióncon amortiguación. Solución
Solución general = Solución transitoria + Solución general = Solución transitoria + solución permanente. solución permanente. TransitoriaTransitoriaSe anula para tiempos largos.Se anula para tiempos largos.
Solución de la ecuación sin término independienteSolución de la ecuación sin término independiente
Permanente: solución particularPermanente: solución particular
de la ecuación completa de la ecuación completa No se No se
anula en tiempos largosanula en tiempos largos
)cos()( wteAtx t
02 22
2
0 xw
dt
dx
dt
xd
)cos(2 22
2
0fw
m
Fxw
dt
dx
dt
xdf
o
Movimiento oscilatorio forzado con Movimiento oscilatorio forzado con amortiguación. Solución permanenteamortiguación. Solución permanente
)cos()( twAtx f
22220
2
0
4)()(
ff
fwww
mF
wA
Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Oscila con la frecuencia de la fuerza externa Pueden darse fenómenos de resonancia Pueden darse fenómenos de resonancia
cuando la amplitud sea máximacuando la amplitud sea máxima Energía Energía máximamáxima
decrecien
te
Resonancia
=0
Superposición de MASSuperposición de MAS Movimientos en la misma dirección y con la Movimientos en la misma dirección y con la
misma frecuenciamisma frecuencia)cos()( 111 wtAtx )cos()( 222 wtAtx
- 2=0 En oposición de faseEn fase
- 2=
x1 + x2
A
x2
x1
x1 +x2
Ejemplos
A1= A2
x1
x2
x1 + x2 A
)cos(21 wtAxxxcos2 21
21
21 AAAAA
2211
2211
coscos
sinsin
AA
AAtg
Superposición de MASSuperposición de MAS Movimientos en la misma dirección con Movimientos en la misma dirección con
diferente frecuenciadiferente frecuencia)cos()( 11 twAtx )cos()( 22 twAtx
Ejemplo A1= A2
x1
)2
cos()2
cos(2
111121
wwwwAxxx
x2 Modulación de ondas
x1 + x2
Osciladores acoplados (1)Osciladores acoplados (1)
No tienen movimientos independientes.No tienen movimientos independientes.
EcuacionesEcuaciones
k1 k k2
m2m1
x2x1
Estiramientos
Muelle 1 x1
Muelle 2 -x2
Muelle 3 x2 –x1
(3) (2)(1)
)( 121121
2
1 xxkxkdt
xdm
)( 122222
2
2 xxkxkdt
xdm
F1F2
1
F1
2 F2
Osciladores acoplados (2)Osciladores acoplados (2)
Resolución para y Resolución para y m1= m2
k1=k2
21121
2
)( kxxkkdt
xdm
12122
2
)( kxxkkdt
xdm
La solución general es unacombinación de los modos
normales de oscilación
Solución General
Osciladores acoplados (3)Osciladores acoplados (3)Modo Asimétrico x1= x2 Se mueven en
fase
Modo Simétrico x1= -x2 Se mueven en oposición de fase
)cos(
)cos(
2
1
2
1
twAx
twAx
aaa
aaa
mkwa 1
)cos(
)cos(
2
1
2
1
twAx
twAx
sss
sss
m
kkws
1
Osciladores acoplados (4)Osciladores acoplados (4)Solución General
)cos()cos(
)cos()cos(
221
111
twAtwAx
twAtwAx
aa
ss
aa
ss
Si A1=A2= A
tww
tww
Ax
tww
tww
Ax
asas
asas
2sin
2sin2
2cos
2cos2
1
1
Hay un intercambio de energía