Discrete-TimeDiscrete-TimeRandom WalkRandom Walk
Vortrag : wirVortrag : wir
Betreuer :Betreuer :
Datum:heuteDatum:heute
InhaltInhalt Was ist ein Random-WalkWas ist ein Random-Walk Klassisch <-> QM Klassisch <-> QM „„Realisierung“ durch coin- & shift-Realisierung“ durch coin- & shift-
OperatorOperator Realisierung des Quanten-Random-Realisierung des Quanten-Random-
WalksWalks Die Rettung des Lemmings Die Rettung des Lemmings AusblickAusblick
Was ist ein (1-D) Was ist ein (1-D) Random-Walk ?Random-Walk ?
Fairer Frosch auf Fairer Frosch auf dem Zollstockdem Zollstock
Galtons BrettGaltons Brett GaußverteilungGaußverteilung Klassisch: Klassisch:
Messung nach Messung nach jedem Schrittjedem Schritt
Jeder Ort wird Jeder Ort wird irgendwann irgendwann erreichterreicht
Was ist ein Random-Was ist ein Random-Walk ?Walk ?
Für QM : Hilbertraum Für QM : Hilbertraum Orts- und Spin-Orts- und Spin-
Freiheitsgrade Freiheitsgrade Zustände: Zustände:
Schritte durch OperatorenSchritte durch Operatoren Münzwurf und BewegungMünzwurf und Bewegung
(„coin- & shift“)(„coin- & shift“)
Was ist ein Random-Was ist ein Random-Walk ?Walk ?
Coin-Operator C entscheidet Richtung des Coin-Operator C entscheidet Richtung des WalksWalks
z.B. „Hadamard“-Operator (wirkt auf Spin)z.B. „Hadamard“-Operator (wirkt auf Spin)
Angewandt auf Zustand:Angewandt auf Zustand:
Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced coin)coin)
Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator
Anwenden des shift-operators S :Anwenden des shift-operators S :
Bewirkt Verschiebung um 1 nach Bewirkt Verschiebung um 1 nach links/rechtslinks/rechts
(abhängig vom Spin)(abhängig vom Spin) Ausführen des gesamten Schrittes Ausführen des gesamten Schrittes
durch U:durch U:
Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator Anwenden auf Zustand Anwenden auf Zustand
Orts-Wahrscheinlichkeiten symmetrischOrts-Wahrscheinlichkeiten symmetrisch => Werfen->Messen->Ausführen-=> Werfen->Messen->Ausführen-
>Werfen->usw. führt auf klassischen >Werfen->usw. führt auf klassischen Random-WalkRandom-Walk
Symmetrische VerteilungSymmetrische Verteilung
Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator 3-maliges Anwenden auf Zustand 3-maliges Anwenden auf Zustand
ergibt Asymmetrienergibt Asymmetrien
Asymmetrische Asymmetrische VerteilungVerteilung
Coin- & Shift-OperatorCoin- & Shift-Operator
Wiederherstellung der Symmetrie:Wiederherstellung der Symmetrie: Wähle anderen Operator , z.B:Wähle anderen Operator , z.B:
Wähle anderen Anfangszustand:Wähle anderen Anfangszustand:
Verteilung mit sym. Verteilung mit sym. Anfangsbed.Anfangsbed.
Klassisch - QMKlassisch - QM
KlassischKlassisch Jedesmal anwenden und direkt messen, Jedesmal anwenden und direkt messen,
daraus Wahrscheinlichkeiten ermittelndaraus Wahrscheinlichkeiten ermitteln
QMQM Operator n Schritte anwenden, Operator n Schritte anwenden,
Messung erst am EndeMessung erst am Ende Inter-/Kohä-/DifferenzInter-/Kohä-/Differenz
„„discrete – time“ ?discrete – time“ ?
Man geht wirklich schrittweise vorMan geht wirklich schrittweise vor Operatoren wirken diskretOperatoren wirken diskret Keine kontinuierlichen Keine kontinuierlichen
Übergangswahrscheinlichkeiten/-Übergangswahrscheinlichkeiten/-ratenraten
ExperimentExperiment
Optisches Gitter Optisches Gitter realisiert Shift-realisiert Shift-Operation Operation Gegenläufige Laser Gegenläufige Laser
– linear polarisiert– linear polarisiert E-Felder um Winkel E-Felder um Winkel
θθ verdreht verdreht Stehende WelleStehende Welle Links- und Links- und
rechtszirkular rechtszirkular polarisierte Anteile polarisierte Anteile
ExperimentExperiment
Erhalte Potential Erhalte Potential
Energieniveaus :Energieniveaus :
Shift entspricht Shift entspricht Drehung von Theta Drehung von Theta 0..Pi/20..Pi/2
ExperimentExperiment
Hadamard-Walk realisiert durch Hadamard-Walk realisiert durch Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v (d:Lattice Spacing)(d:Lattice Spacing)
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
Fluoreszens MessungFluoreszens Messung Wiederholung ergibt Wiederholung ergibt
WahrscheinlichkeitsverteilungWahrscheinlichkeitsverteilung
LemmingLemming
Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0 Lemming steht 1 vor Klippe bei 1Lemming steht 1 vor Klippe bei 1
LemmingLemming
„„Gesetz der großen zahlen“:Gesetz der großen zahlen“: Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8 Also fallwahrscheinlichkeit p=1Also fallwahrscheinlichkeit p=1
Lemming-QM-MatheLemming-QM-Mathe
Lemming-operator W(UnitäresU)Lemming-operator W(UnitäresU) Mit abbruchbedingung bei klippeMit abbruchbedingung bei klippe Abbruch durch PI-funktionAbbruch durch PI-funktion
Lemming-MatheLemming-Mathe
Erzeugende Funktion(en) f (und g)Erzeugende Funktion(en) f (und g) (diskrete) fouriertrafo(diskrete) fouriertrafo BlablaBlabla
Es gilt intuitiv offensichtlich Es gilt intuitiv offensichtlich p_1=summe der koeffp_1=summe der koeff
Lemming-MatheLemming-Mathe
Hadamard-ProduktHadamard-Produkt EinführenEinführen Ausrechnen für f,fquerAusrechnen für f,fquer
Lemming-MatheLemming-Mathe
Argumentatives ermitteln von f und Argumentatives ermitteln von f und g g
AusrechnenAusrechnen Minus wechmachenMinus wechmachen Integral ausrechnenIntegral ausrechnen Erstaunt tunErstaunt tun
Lemming-MatheLemming-Mathe
Grenzwerte für weiter wegge klippe Grenzwerte für weiter wegge klippe machenmachen
AusblickAusblick
Quanten-computersQuanten-computers WWF(lemming-rettung)WWF(lemming-rettung) KubusKubus Sat2/3/1Sat2/3/1