DISEÑOS FACTORIALES
Ingeniería Industrial.Estadística IIIHenry Lamos Díaz
EJEMPLOUn ingeniero diseña una batería para usar en un motor de cierto producto. Para ello dispone de tres tipos diferentes de material. Como considera que la temperatura es un factor influyente en la duración de la batería, decide diseñar el experimento combinando los tres materiales con tres temperaturas concretas.
• ¿Cómo llevaría a cabo el experimento?• Realice un diseño para el experimento• Defina la unidad experimental• ¿Cuántas unidades experimentales tomaría?
Diseño Factorial 2
EJEMPLO¿ Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería?
• ¿ Existe alguna elección del material que produzca de manera regular una vida larga de la batería independientemente de la temperatura? O sea, ¿Hay posibilidad de un material sea más recomendado a una temperatura en concreto y no lo sea a otra distinta?
Diseño Factorial 3
DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
4
Duración en horas de la
batería
Temperatura
Tipo de Material
Experimento
¿QUÉ ES?Es el estudio de los efectos de dos o más factores de interés.Para ello en cada ensayo o réplica completa se investigan todas las combinaciones posibles de los niveles de los factores deseados.
Diseño Factorial 5
Ejemplo. Si el factor A tiene a niveles, el factor B tiene b niveles y el factor C tiene c niveles, cada réplica contiene todas las abc combinaciones de los tratamientos.
VENTAJAS DE DISEÑOS FACTORIALES
Son más eficientes que estudiar cada factor solo.
Son necesarios cuando pueden haber
interacciones presentes a fin de evitar
conclusiones incorrectas.
Permiten conocer las estimaciones de una
factor con varios niveles de factores restantes.
Diseño Factorial 6
DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES
Se tiene dos factores A y B, el factor A tiene a niveles y el factor B tiene b niveles. Cada réplica n contiene todas las ab combinaciones de los tratamientos. En total se tienen abn observaciones o corridas.
Diseño Factorial 7
Y111, Y112, …, Y11n
Y121, Y122, …, Y12n
… Y1b1, Y1b2, …, Y1bn
Y211, Y212, …, Y21n
Y221, Y222, …, Y22n
… Y2b1, Y2b2, …, Y2bn
Ya11, Ya12, …, Ya1n
Ya21, Ya22, …, Ya2n
… Yab1, Yab2, …, Yabn
Factor B 1 2 … b
1
2
.
.
a
Fact
or A
Diseño Factorial 8
jj
ii
a
jij
b
j
a
jijj
b
jiji
ab
ab
.
.
11
1.
1.
,1
,1
,1
NOTACIONES
8
DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
Diseño Factorial 9
9
DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
µ es la gran media de la población, que es el promedio de todas las medias de los tratamientos
Se llama el i-ésimo efecto del renglón, el valor de indica el grado con el cual el i-ésimo nivel del factor A tiende a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población.
Se llama el j-ésimo efecto de columna o factor B, indica el grado con el cual el j-ésimo nivel de la columna tiene a producir resultados que son mayores o menores que la gran media de la población.
Diseño Factorial 10
jiij
jiijij
jj
ii
jiijjiij
a
jij
b
jab
..
.
.
....
11
)()(
)()()(
,1
NOTACIONES
10
DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
Interacción: Cuando el efecto de un factor depende del nivel del otro factor
Diseño Factorial 11
11
DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
Se llama interacción.
El efecto de un nivel de factor A (o B) puede depender del nivel del factor B (o A) que esta apareado con el factor A. Los términos de interacción miden el grado con el que este ultimo ocurre.Por ejemplo, suponga que el factor 1 del factor A tiende a producir un resultado grande cuando se aparea con el factor B de nivel 1, pero un resultado pequeño cuando se aparea con una columna de nivel 2. En este caso sería positivo y sería negativa.
Dos conceptos importantes
EFECTO PRINCIPAL
Cambio en la respuesta producido por un cambio en el nivel de un factor de
interés primario.
Diseño Factorial 12
Modelos
• Modelo de los Efectos
Donde µ es el efecto promedio de la media global, τi es el efecto del nivel i-ésimo del factor A de los renglones, βj es el efecto del nivel j-ésimo del factor B de las columnas, (τβ)ij es el efecto de la interacción entre el factor A en el nivel i y el factor B en el nivel j, y ɛijk es un componente del error aleatorio.
Diseño Factorial 13
ijkijijijky
• Modelo de las Medias
Donde la media de la celda ij-ésima es
• Modelo de RegresiónÚtiles cuando uno o más de los factores del diseño son cuantitativos.
Diseño Factorial 14
ijijij
ijkijijky
Hipótesis• Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de los
renglones o factor A.Ho: τ1 = τ2 = … = τa = 0H1: al menos una τi ≠ 0
• Acerca de la igualdad de los efectos de los tratamientos de las columnas o factor B.
Ho: β1 = β2 = … = βb = 0H1: al menos una βj ≠ 0
• Acerca de la interacción entre las columnas y los renglones.H0: (τβ)ij = 0
H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0
Diseño Factorial 15
ANÁLISIS DEL MODELO
Se definen:
Diseño Factorial 16
Observaciones bajo el nivel i-ésimo del factor A
Observaciones bajo el nivel j-ésimo del factor B
Observaciones de la celda ij-ésima
De todas las observaciones
Suma de cuadrados
Diseño Factorial 17
La suma de cuadrados total corregida puede escribirse como
Se tiene finalmente
Los Grados de libertad asociados son
Diseño Factorial 18
2 2 2... .. ... . . ...
1 1 1 1 1
2 2. .. . . ... .
1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b n a b
ijk i ji j k i j
a b a b n
ij i j ijk iji j i j k
y y bn y y an y y
n y y y y y y
Efecto Grados de Libertad
A a-1B b-1
Interacción AB (a-1)(b-1)Error ab(n-1)Total abn-1
Cuadrados MediosCada suma de cuadrados dividida por sus grados de libertad es un cuadrado medio, los valores esperados de los cuadrados medios son
Diseño Factorial 19
Si son verdaderas las hipótesis nulas de que no hay efectos en los tratamientos de los renglones, ni de los tratamientos de las columnas, ni interacción, entonces los valores esperados de los Cuadrados Medios son todos estimaciones de la varianza.
ANOVA
Diseño Factorial 20
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Cuadrado Medio F0
Tratamientos A SSA a-1 SSA
a-1MSA
MSE
Tratamientos B SSB b-1 SSB
b-1MSB
MSE
Interacción SSAB (a-1)(b-1) SSAB(a-1)(b-1)
MSAB
MSE
Error SSE ab(n-1) SSEab(n-1)
Total SST abn-1
Cada Hipótesis Nula deberá rechazarse si:
FFo
Cálculos Manuales
Diseño Factorial 21
Tipo de material
Temperatura
15 70 125
1 130, 155, 74, 180
34, 40, 80, 75
20, 70, 82, 58
2 150, 188, 159,126
136, 122, 106, 115
25, 70, 58, 45
3 138. 110, 168, 160
174, 120, 150, 139
96, 104, 82, 60
Diseño Factorial 22
Tipo de material
Temperatura
15 70 125
1 539/4 229/4 230/4 998/12
2 623/4 479/4 198/4 1300/12
3 576/4 583/4 342/4 1501/12
1738/12 1291/12 770/12 3799/36
Se obtienen los totales y los promedios por celdas, renglones, columnas y Total
Diseño Factorial 23
Tipo de material
Temperatura
15 70 125
1 12.28 -27-97 15.69 -22.36
2 8.11 9.36 -17.47 2.8
3 -20.38 18.61 1.78 19.55
39.3 2.06 -41.36
Efectos
Gráfica tipo de material-temperatura
Diseño Factorial 24
Vida
Pro
med
io
Temperatura
Se observa que en promedio el materia C tiene mayor duración. El material A parece ser inadecuado para la batería.
Gráfica tipo de material-temperatura
Diseño Factorial 25
Anova
Diseño Factorial 26
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Grados de
LibertadCuadrado
Medio F0
Tipos de Material 10,683.72 2 5,341.86 7.91
Temperatura 39,118.72 2 19,559.36 28.97
Interacción 9,613.78 4 2,403.44 3.56
Error 18,230.75 27 675.21
Total 77,646.97 35
Interacción entre las columnas y los renglones.H0: (τβ)ij = 0
H1: al menos una (τβ)ij ≠ 0
ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS
Diseño Factorial 27
Los parámetros del modelo se obtienen mediante:
........
.....
.....
...
ˆ
ˆ
ˆ
yyyy
yy
yy
y
jiijij
ii
jj
Conclusiones• Tanto el material como la temperatura son factores
determinantes para la duración de las baterías. Además, por haber interacción, puede ocurrir que un material sea más recomendado a una temperatura, pero no lo sea a otra distinta.
• A menor temperatura mayor duración de la batería, independiente del material utilizado.
• Al variar la temperatura de 15 a 70, la duración se mantiene con el material 3, y disminuye con los materiales 1 y 2.
Diseño Factorial 28
• Si comparamos la temperatura de 70 y la de 125, la duración disminuye con los materiales 2 y 3, y apenas cambia con el material 1.
• Si lo que deseamos es que al aumentar la temperatura la duración no disminuya excesivamente, la mejor opción es el material 3.
• Al haber interacción, tiene sentido querer comparar el tipo de material a una temperatura en concreto; por ejemplo a 70.
Diseño Factorial 29
VERIFICACIÓN DEL MODELOLa violación de supuestos básicos y la adecuación del modelo se investigan mediante los residuales.
Se hace uso de gráficas para analizar. Si el modelo es adecuado, los residuales deben estar sin estructura; es decir, no deben haber patrones obvios.
Diseño Factorial 30
Residuales del modelo.ijijkijk yye
GráficasGráfica de Probabilidad
Normal
• Se verifica la normalidad.
• No debe presentar formas curvas, debe ser una recta.
• Se detectan puntos atípicos.
Gráfica de los Residuales contra los niveles del
factor deseado (A o B)
• Si hay alguna dispersión mayor en alguno de los tratamientos se concluye que el nivel del factor produce lecturas más erráticas que otras.
Gráfica de los Residuales contra valores ajustados
• Si esta gráfica presenta algún patrón o forma particular, indica que existe relación .
Diseño Factorial 31
ijke
Q ijke
Niveles del Factor
ijke
Valores ajustadosijkY
Gráfica de probabilidad Normal
Diseño Factorial 32
% d
e Pr
obab
ilida
d no
rmal
Residuales
Residuales contra Factores
Diseño Factorial 33
Tipo de Material Temperatura Gráfica de los
residuales contra el tipo de material para el ejemplo.
Gráfica de los residuales contra la temperatura para el
ejemplo.
Estadística III.
Residuales contra
Diseño Factorial 34
35DISEÑO Y ANALISIS DE
EXPERIMENTOS
En la práctica algunas variables de respuesta no siguen una distribución normal sino que se distribuyen, por ejemplo, Poisson, binomial o Gamma, etc. En algunas de estas distribuciones la media está relacionada con la desviación estándar, y, al cambiar la media de un tratamiento a otro, con ella cambia la variabilidad de la respuesta.
Soluciones: 1. Utilizar métodos de análisis no paramétricos. Investigar2. Hacer el análisis mediante modelos lineales generalizados (GML)3. Transformar la variable respuesta
36DISEÑO Y ANALISIS DE
EXPERIMENTOS
predichosvs. residuos de
gráfica la en ver puede se alidadproporcion de grado El
fuerte. más cióntransforma una re
requie se media, la de potencia mayor a respecto con
alidadporporcion de relación la da se que medidaA
al.porporcion es" significa símbolo el tabla la En
poisson
esproporcion son y
2
2
2
2
2
1'4
2/1'3
'2
'
1'
)]([
)]([
)ln()]([
)(
)(sin)(1)((
yyyE
yyyE
yyyE
yyyE
yyyEyE
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
Diseño y Análisis de experimentos 37
Regresión Lineal.
Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y optimizar.
Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio.
Las conclusiones pueden obtenerse mediante:
Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Diseño y Análisis de experimentos 38
j
),1n(ab,aji bn
MSEqˆˆ
i
sdiferencia las de verdadero el contengan deTukey
confianza de intervalos los que de )%-100(1 del
confianza una tiene Se
de nivel un con rechaza se
nula hipótesis La .
i 0:Hbn
MSEq|ˆˆ|
j0
),1n(ab,aji
Método de Tukey para intervalos de confianza y prueba de hipótesis
Diseño y Análisis de experimentos 39
j
),1n(ab,bji an
MSEqˆˆ
i
sdiferencia las de verdadero el contengan deTukey
confianza de intervalos los que de )%-100(1 del
confianza una tiene Se
COMPARACIONES MULTIPLES
PRUEBA DE TUKEY. SE FIJA EL FACTOR B EN UN NIVEL ESPECIFICO (NIVEL 2, T=70)
• Cuando la interacción es significativa, las comparaciones entre las medias de uno de los factores (A o B) pueden ser oscurecidas por la interacción AB.
• Entonces, se fija un nivel del factor B y se aplica, por ejemplo, la prueba de Tukey a las medias del factor A con ese nivel.
• Si la interacción es significativa se puede comparar las medias de todas las ab celdas para determinar cuáles difieren significativamente.
Diseño Factorial 41
Ejercicio en clase
Diseño Factorial 42
Tipo de cristal Tipo de fosforo 1 2 3
1280 300 290290 310 285285 295 290
2230 260 220235 240 225240 235 230
En un artículo de Industrias Quality Control se describe un experimento para investigar el efecto del tipo de cristal de fosforo sobre la brillantez de un cinescopio. Los datos son los siguientes:
Ejericicio continuación
Diseño Factorial 43
¿Existe algún indicio de que alguno de los dos factores influya en la brillantez? Utilizar α=0.05 ¿Los dos factores interactúan? Utilizar α=0.05Analizar los residuales de este experimento
Ejercicio I
Diseño Factorial 44
Los datos recogidos en la siguiente tabla son los tiempos de supervivencia, en horas, de unos animales a los que se les suministra al azar tres venenos y cuatro antídotos (o tratamientos). Se pretende estudiar qué antídoto es el adecuado para cada veneno.
Veneno I II III IVA1 3.1 4.5
4.6 4.38.2 118.8 7.2
4.3 4.56.3 7.6
4.5 7.16.6 6.2
A2 3.6 2.94 2.3
9.2 6.14.9 12.4
4.4 3.53.1 4
5.6 10.27.1 3.8
A3 2.2 2.11.8 2.3
3 3.73.8 2.9
2.3 2.52.4 2.2
3 3.63.1 3.3
Antidoto
Debe responde
Diseño Factorial 45
Plantear el modelo adecuado. Definir la suma de cuadrado del efecto del veneno en el antídoto I. Determinar la distribución de probabilidad . ¿Qué valor tiene la variable aleatoria en los datos? ¿Son los venenos igual de peligrosos?¿Los antídotos son igual de efectivos?La efectividad de los antídotos, ¿es la misma para todos los venenos? Estudiar, utilizando el método de diferencias significativas mínimas (LSD), qué antídoto(s) es el más efectivo
• Modelo de las Medias
Donde la media de la celda ijk-ésima es
Diseño Factorial 46
ijkjkikijkjiijk
ijklijkijkly
Modelo estadístico para tres factores
• Una interacción de dos factores típica es
La interacción de tres factores se presenta cuando las interacciones del efecto principal y dos factores no logran explicar la variación en las desviaciones de las medias de las celdas
La interacción de tres factores es la diferencia entre la desviación de la media de celdas y la suma de los efectos principales y los efectos la interacción de dos factores
Diseño Factorial 47
Modelo estadístico para tres factores
kj...jk.jk )(
...ijk
Continuación
Diseño Factorial 48
jkikijkji...ijkijk
La interacción significativa de los tres factores implica que la interacción dos de ellos nos es constante para los niveles del tercer factor
Si no hay Interacción…
Entonces el Cuadrado Medio de los residuales es un estimador insesgado de la varianza y los efectos principales se prueba con:
Diseño Factorial 49
0 ijjiijY
Rsidual
B
Rsidual
A
MS
MS
MS
MS
Si no hay Interacción…
Si llega a existir un patrón en la gráfica se puede llegar a concluir que el supuesto sobre no interacción entre los factores es falso.
Diseño Factorial 50
.yyy
yyyy
ijkijk.ij
....j...iijk
ajustado valor el contra ajustado
valor el menos celdas las de promedios los graficar Al
calculan se ajustado valores Los
Continuar con el ejemplo de la temperatura y el tipo de material
asumiendo que no existe interacción
Diseño Factorial 51
UNA OBSERVACIÓN POR CELDA
Cuando se encuentran experimentos con una sola réplica.En este caso la varianza del error no se puede estimar puesto que el efecto de la interacción de los dos factores y el error experimental no pueden separarse de alguna manera obvia. Por ello no se cuenta con pruebas para los efectos principales a menos que el efecto de la interacción sea cero.
Diseño Factorial 52
Si no hay Interacción…
Diseño Factorial 53
0 ijjiijY
AB
B
sidual
B
j
AB
A
sidual
A
i
MS
MS
MS
MS
H
MS
MS
MS
MS
H
0:
.
0:
Re
0
Re
0
Para probar si hay InteracciónTukey desarrolló una prueba
Diseño Factorial 54
jiij
BA
a
i
b
jBAjiij
N SSabSS
ab
YSSSSYYYY
SS
2
1 1
2..
....
Con 1 Grado de Libertad
NsidualE SSSSSS ReCon (a-1)(b-1)-1 Grados de Libertad
La Hipótesis Nula de que no hay ninguna interacción deberá rechazarse si
1)1)(1(;1; bao FF
1)1)(1/(
baSS
SSF
E
No
Diseño Factorial 55
Las impurezas presentes en un producto químico son afectados por dos factores, la presión y la temperatura.
Temperatur
a
Presión
25 30 35 40 45
100 5 4 6 3 5
125 3 1 4 2 3
150 1 1 3 1 2
2. DISEÑO FACTORIAL GENERAL
En este caso hay a Niveles del Factor A, b Niveles del Factor B y c Niveles del Factor C.Entonces habrá abcn observaciones si se hacen n réplicas del experimento completo.
Modelo
Diseño Factorial 56
ANOVA
Diseño Factorial 57
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad Cuadrado Medio Fₒ
A SSA a-1 MSAMSAMSE
B SSB b-1 MSBMSBMSE
C SSC c-1 MSCMSCMSE
AB SSAB (a-1)(b-1) MSABMSABMSE
AC SSAC (a-1)(c-1) MSACMSACMSE
BC SSBC (b-1)(c-1) MSBCMSACMSE
ABC SSABC (a-1)(b-1)(c-1) MSABCMSABC
MSE
Error SSE abc(n-1) MSE
Total SST abcn-1
Cálculos Manuales
Diseño Factorial 58
Diseño Factorial 59
EJEMPLOUna empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. El ingeniero de proceso puede controlar 3 variables: El porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de línea (C). Se decide trabajar 3 niveles para el factor A, y 2 niveles para los factores B y C.Se muestran los resultados obtenidos que representan la desviación promedio de la altura de llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.
Diseño Factorial 60
Datos
Diseño Factorial 61
Porcentaje de carbonatación
(A)
Presión de operación (B)
Yi…
25 psi 30 psi
Rapidez de línea (C) Rapidez de línea (C)
200 250 200 250
10-3
-4-1 -1
-1 -1
12 -4
-1 0 0 1
120
12
32
56
11 201 1 3 5
145
97
137
1610
21 594 6 9 11
Totales B x C y.jk. 6 15 20 34 75=Y….
Y.j.. 21 54
Datos de la desviación de la altura de llenado del ejemplo para la construcción del ANOVA
Diseño Factorial 62
TOTALES A X B
Yij..
B
A 25 30
10 -5 1
12 4 16
14 22 37
TOTALES A X C
Yi.K.
C
A 200 250
10 -5 1
12 6 14
14 25 34
Anova
Diseño Factorial 63
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad Cuadrado Medio F0
A 252.750 2 126.375 178.412
B 45.375 1 45.375 64.059
C 22.042 1 22.042 31.118
AB 5.250 2 2.625 3.706
AC 0.583 2 0.292 0.412
BC 1.042 1 1.042 1.471
ABC 1.083 2 0.542 0.765
Error 8.500 12 0.708
Total 336.625 23
AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
Diseño Factorial 64
Es útil ajustar una curva de respuesta a los niveles de un factor cuantitativo con el propósito de contar con una ecuación que relacione la repuesta con el factor.
La ecuación se usa para hacer interpolaciones.
Se usan métodos de regresión lineal para ajustar estos modelos a los datos experimentales
AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
2210 xxY
Diseño Factorial 65
Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad
Intercepción -39,9885714 9,78467045 -4,0868593 0,00048799
Peso porcentual 4,59257143 0,82771391 5,54850094 1,4115E-05Peso porcentualcuadrático -0,08857143 0,0164396 -5,38768723 2,0715E-05
Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible.
Modelo de regresión lineal
• Para probar la capacidad de un determinado polímero para eliminar desechos tóxicos del agua, se hicieron experimentos a tres temperaturas (x=1,2,3) diferentes. Los datos siguientes indican los porcentajes de impurezas eliminadas (y) por el polímero en 21 ensayos independientes.
Estadística III. H Lamos 66
Estadística III. H Lamos 67
A baja temperatura A temperatura media A Alta temperatura42 36 3341 35 4437 32 4029 38 3635 39 4440 42 3732 34 45
contrario caso en 0
i otratamient del es si
otratamient del es si
ostratamient de número el es donde
i
i
i
ii
1a
1i0i
y1
ay1
x
a
xy
Estadística III. H Lamos 68
a
..
1a,..2,1i,
a21
0
ii
AJUSTE DE CURVAS Y SUPERFICIES DE RESPUESTA
]2[]1[]2[]1[]2[]1[ 28
276543
2210 BABAABABBBAAY
Diseño Factorial 69
Tipo de material
1 2 3
B[1] 1 0 -1
B[2] 0 1 -1
Ejercicio: hacer el ajuste para un polinomio de grado tres. Decidir cuál modelo es más plausible.
Salida
Diseño Factorial 70
Análisis de regresión: Vida vs. x1. x21. ... La ecuación de regresión esVida = 108 - 40,3 x1 - 50,3 x21 + 12,2 x22 - 3,08 x1^2 + 1,71 x1x21 - 12,8 x1x22 + 42,0 x1^2x21 - 14,0 x1^2x22 Predictor Coef SE Coef T PConstante 107,583 7,501 14,34 0,000x1 -40,333 5,304 -7,60 0,000x21 -50,33 10,61 -4,74 0,000x22 12,17 10,61 1,15 0,261x1^2 -3,083 9,187 -0,34 0,740x1x21 1,708 7,501 0,23 0,822x1x22 -12,792 7,501 -1,71 0,100x1^2x21 41,96 12,99 3,23 0,003x1^2x22 -14,04 12,99 -1,08 0,289 S = 25,9849 R-cuad. = 76,5% R-cuad.(ajustado) = 69,6%
Salida
Diseño Factorial 71
Análisis de varianza Fuente GL SC MC F PRegresión 8 59416,2 7427,0 11,00 0,000Error residual 27 18230,7 675,2Total 35 77647,0
Salida
Diseño Factorial 72
Fuente GL SC Sec.x1 1 39042,7x21 1 10542,0x22 1 141,7x1^2 1 76,1X1x21 1 351,6X1x22 1 1963,5x1^2x21 1 6510,0x1^2x22 1 788,7
BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS
RELACIONADOS
1. BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS
En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados.
• Factor perturbador: Factor de diseño que probablemente tenga un efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe interés.
74Diseño por bloques
Desconocido y no controlable
Conocido
pero no controlable
Y se puede controlar
Se controla con aleatorización.
Deben analizarse.
Se controla con BLOQUES
El diseño por bloques completos y aleatorizados es un diseño en el que las unidades (unidades de experimentación) a las que se aplican los tratamientos son subdivididas en grupos homogéneos llamados bloques, de tal manera que el número de unidades de experimentación en un bloque es igual al número (o a un múltiplo del mismo) de tratamientos en estudio.
75Diseño por bloques
¿QUÉ ES?
OBJETIVOHacer que el error
experimental sea tan pequeño como sea posible.
Y reducir el error residual del experimento al eliminar
la variabilidadPara ello el experimentador prueba cada nivel del factor en cada uno de los ejemplares de prueba.
76Diseño por bloques
UTILIDIDAD DE BLOQUEAR
Unidades de maquinaria.
Lotes de materia prima, personas, tiempo.
Combinaciones de factores no
controlables.
Probar la robustez de la variable deseada frente
a las condiciones que no se pueden controlar.
Los bloques o ejemplares de prueba forman una unidad experimental más homogénea.
ANÁLISIS ESTADÍSTICOBl
oque
• Y11• Y21• …• Ya1
Bloq
ue • Y12
• Y22• …• Ya2
Bloq
ue • Y1B
• Y2B• …• YaB
77Diseño por bloques
Hay una observación por tratamiento en cada bloque, el orden en que se corren los tratamientos en los bloques se determina al azar.
Modelo para los datosModelo de los Efectos
1,2,...,
1, 2,...,ij i j ij
i ay
j b
Supóngase que hay a tratamientos y b bloques
78Diseño por bloques
ij
j
i
Media global.
Efecto del tratamiento i-ésimo.
Efecto del bloque j-ésimo.
Término del error.
0 011
b
jj
a
ii
HipótesisEl interés se encuentra en probar la igualdad de las medias.
Donde
Análisis del modelo con efectos fijos
79Diseño por bloques
....
1 1..
..
1.
..
1.
Nab
YY
YY
a
YY
YY
b
YY
YY
a
i
b
jij
jj
a
iijj
ii
b
jiji Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.
Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.
Total de las observaciones bajo el bloque j-ésimo.
Promedio de las observaciones bajo el bloque j-ésimo.
Gran total de todas las observaciones.
Promedio de todas las observaciones.
ANÁLISIS DE VARIANZASuma de cuadrados total corregida y su partición:
80Diseño por bloques
a
i
n
jijT
i
yySS1 1
2.. )( 1N Grados de
Libertad
SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE
81Diseño por bloques
........
.
.......
............
)()(
teconsiguienpor ; tienese ndoSimplifica
).()(expresión la Observemos
)()()(
iijjiijj
iij
jiijj
jiijjiij
yyyyyyyy
yy
yyyyyy
yyyyyyyyyy
82Diseño por bloques
Los grados de libertad para las sumas cuadradas en
Son :
Cada suma de cuadrados dividida por sus Grados de Libertad es un cuadrado medio.
SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE
1 1 1 ( 1)( 1)ab a b a b
)1)(1(,
1,
1 ba
SS
b
SS
a
SS EBloqueoTratamient
Los valores esperados de los cuadrados medios son:
83Diseño por bloques
2
1
2
2
1
2
2
)(
1)(
1)(
E
n
ii
Bloque
n
ii
oTratamient
MSE
b
aMSE
a
bMSE
Estadístico de PruebaSe tienen dos estadísticos de prueba los cuales se obtienen dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error.
Anova
84Diseño por bloques
)1)(1(,, baGLnumo FF
Fuente de variación
Suma de Cuadrados
Grados de Libertad
Cuadrado Medio F0
Tratamientos SSTRATAMIENTOS a-1 SSTRATAMIENTOS
a-1MSTRATAMIENTOS
MSE
Bloques SSBLOQUES b-1 SSBLOQUES
b-1MSBLOQUES
MSE
Error SSE (a-1)(b-1) SSE(a-1)(b-1)
Total SST N-1
La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:
Cálculos Manuales
85Diseño por bloques
BloquesosTratamientTE
j
b
iBloques
i
a
iosTratamient
ij
a
i
b
jT
SSSSSSSS
N
yy
aSS
N
yy
bSS
N
yySS
2..2
.1
2..2
.1
2..2
1 1
1
1
,
Ejemplo
• Objetivo de la investigación: en ciertas situaciones, las pruebas de nitrato en los tejidos de la espiga de trigo predecían una mayor cantidad de nitrógeno, en consecuencia, el investigador quería evaluar el efecto de varios programas de fertilización sobre esas cantidades de nitrógeno y sobre la producción de trigo, para refinar las recomendaciones del procedimiento.
• Diseño del tratamiento: el diseño del tratamiento incluyó seis programas diferentes de aplicación de nitrógeno que podían proporcionar el intervalo de condiciones necesarias para evaluar el proceso. Para la comparación se incluyó un tratamiento sin nitrógeno al igual que la recomendación normal vigente.
• Diseño del experimento: el experimento se llevó a cabo en un campo irrigado, con un gradiente de agua en dirección del área de parcelas experimentales. Como las respuestas de las plantas dependían de la humedad disponible, las parcelas se agruparon en bloques de seis de manera que cada bloque se encontraba en partes con el mismo gradiente de agua, de manera que cualesquiera diferencias en las respuestas de las plantas causadas por el gradiente de agua podía asociarse con los bloques.
• El diseño de experimento resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado, con 4 bloques de seis parcelas a las que se asignaron al azar los tratamientos de nitrógeno.
Bloque 1
Bloque 2
Bloque 3
Bloque 4
40.89 37.99 37.18 34.98 34.89 42.07
2 5 4 1 6 3
41,22 49.92 45.85 50.15 41.99 46.69
44.57 52.68 37.61 36.94 46.65 40.23
41.90 39.20 43.29 40.45 42.91 39.97
1 3 4 6 5 2
6 3 5 1 2 4
2 4 6 5 3 1
Permutaciones
Permutaciones
Asignación de tratamientos a las unidades experimentales en un bloque completoPermutación 2 5 4 1 6 3Tratamientos B E D A F C
89Diseño por bloques
90Diseño por bloques
Pruebas de los efectos inter-sujetos
Variable dependiente: Rendimiento
247,968a 8 30,996 1,748 ,16742522,685 1 42522,685 2398,355 ,000
47,117 5 9,423 ,532 ,749200,850 3 66,950 3,776 ,034265,949 15 17,730
43036,602 24513,917 23
FuenteModelo corregidoIntersecciónPlanBloqueErrorTotalTotal corregida
Suma decuadrados
tipo III glMedia
cuadrática F Signif icación
R cuadrado = ,483 (R cuadrado corregida = ,207)a.
1,2,...,
1, 2,...,ij i j ij
i ay
j b
ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO
....
...
...
..
ˆ
ˆ
ˆ
yyyye
yy
yy
y
jiijij
jj
ii
Diseño por bloques
91
Estimadores de los parámetros
Residual
3. FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL
La presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento de corra en bloques.Se corre cada una de las n réplicas utilizando un lote o bloque separado, que representa una restricción sobre la aleatorización.Dentro del bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está completamente aleatorizado.
Diseño Factorial 92
• Modelo de los Efectos
Donde τi representa el efecto del Factor A, βj
representa el efecto del Factor B, (τβ)ij es la interacción, δk es el efecto del bloque y ɛijk es el componente NID (0, σ²) del error.
Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante.
Diseño Factorial 93
Incluye el efecto del bloque k-ésimo
Anova
Diseño Factorial 94
EJEMPLOUn ingeniero estudia lo métodos para mejorar la capacidad de detectar objetivos en el campo de acción de un Radar. Dos factores que el ingeniero considera importantes son la cantidad de ruido de fondo, o “desorden del terreno”, en el campo de acción del radar y el tipo de filtro colocado sobre la pantalla. Se diseña un experimento utilizando tres niveles del desorden del terreno y dos tipos de filtro. Los datos se presentan a continuación.
Diseño Factorial 95
Datos
Diseño Factorial 96
Anova
Otros conceptos…
• Gráfica de superficie de respuesta: Gráfica del plano de los valores de Y generados por las diferentes combinaciones de X1 y X2.Si hay alguna interacción se observará una forma curva en el modelo.
• Interacción significativa: Cuando una interacción es grande, lo efectos principales tienen escaso significado ya que la interacción suele enmascarar la significación de los efectos principales.
Diseño Factorial 97
Modelo de regresión para dos factores
Diseño Factorial 98
ab
iib
jaj
ijji0ijjiij
ij
j
ij
i
jiij
1a
1i
1b
1jjj
1b
1jii
1a
1i0ij
1b,..2,1j,1a,..2,1i,
1b,..2,1j
jy1z
1a,..2,1i
y1x
zxzxy
contrario caso en 0
otratamient del es si
contrario caso en 0
i otratamient del es si
donde
Modelo de regresión para dos factores
Diseño Factorial 99
ab
i
1a
1ib.
iji
1a
1ij0ijji
1a
1iij
1a
1i
j
1b
1j.a
ijj
1b
1ji0
1ib1i
ijj
1b
1ji0ijji
1b
1jij
1b
1j
)1a/(
)()1a()1a()(
)1b/(
)1b/()(1b
..
)()1b()1b()(
Estadística III. H Lamos 100
ab
iib
jaj
ji0jiij
ij
j
ij
i
jj
1b
1jii
1a
1i0ij
1b,..2,1j
jy1z
1a,..2,1i
y1x
zxy
contrario caso en 0
otratamient del es si
contrario caso en 0
i otratamient del es si
donde
factores dos con osexperiemnt para regresión de Modelo
DISEÑO FACTORIAL 2
HENRY LAMOS
k