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Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer
Diskrete Mathematik IIVorlesung 7
SS 2001
Voronoi-Diagramme,Konstruktion der Voronoi-Diagramme I
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Übersicht I
• Voronoi-Diagramm: Motivation• Zu Beginn eine interaktive Animation• Voronoi-Diagramm• Anwendungen• Konvexe Menge, konvexe Hülle• Voronoi-Regionen (Polygone)• Konstruktion des Voronoi-Diagramms• Was ist der schwierigste Teilschritt?• Aufteilung der Menge P in P1 und P2
• Voronoi-Diagramm von P1
• Voronoi-Diagramm von P2
• Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge• Konstruktion des trennenden Kantenzuges
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Übersicht I
• Tangente• Tangente – konvexe Hülle• Konvexe Hülle• Vereinigung• Löschen der überflüssigen Segmente• Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P• Datenstruktur für Voronoi-Diagramm• Kosten• Länge des Kantenzuges im Worst Case• Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case• O(n) * O(n) = O(n2) ?• „Investitionen müssen sich amortisieren“
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Voronoi-Diagramm: Motivation
Welcher Löwe fängt die Gazelle?
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Voronoi-Diagramm: Motivation
Welcher Löwe fängt die Gazelle?
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Voronoi-Diagramm: Motivation
Welcher Löwe fängt die Gazelle?
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Zu Beginn eine interaktive Animation
Quelle: Fern Universität Hagenhttp://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/
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Voronoi-Diagramm
• Gegeben ist eine Menge von n Punkten• Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in
Gebiete gleicher nächster Nachbarn• Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle
Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen
• Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden Voronoi-Knoten und –Kanten
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Anwendungen
• Kollisionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...)
• Das Filialenschließungsproblem: welches Paar von Filialen macht sich gegenseitig die größte Konkurrenz ...
• Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...)
• Einzugs- und Einflussgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe)
• Bewertung von Standorten• Biologie• Archäologie
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Konvexe Menge, konvexe Hülle
• Eine Menge P von Punkten ist konvex, wenn zu jedem Punktepaar p und q auch die verbindende Strecke pq ganz in P enthalten ist
• Die konvexe Hülle CH(P) einer Punktemenge P ist die kleinste konvexe Menge, die alle Punkte aus P enthält
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Voronoi-Regionen (Polygone)
beschränkte Voronoi-Regionen
unbeschränkte Voronoi-Regionen
Übung:Die Konvexe Hülle ver-bindet die unbeschränktenVoronoi-RegionenÜbung:
Jede Voroni-Region ist konvex!
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Konstruktion des Voronoi-Diagramms
„Divide and Conquer“1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten2. Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2
3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2
4. Merge: Verknüpfe die beiden in Schritt 3 gebildeten Diagramme5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines
Punktes zu bilden ist; dies ist die ganze Ebene
Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen?log n malO(n * log n)
wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen,
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Was ist der schwierigste Teilschritt?
• Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen– Sortieren nach y-Koordinate– Bilden des Medians– Einfach
• Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges
• Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt;der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte
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P1P2
Aufteilung der Menge P in P1 und P2
P
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Voronoi-Diagramm von P1
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Voronoi-Diagramm von P2
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Was ist das schwierigste Teilproblem? - Merge
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Konstruktion des trennenden Kantenzuges
Was wissen wir über den trennenden Kantenzug?• monoton in Nord-Süd-Richtung• jede Kante ist Grenze (Mittelsenkrechte) zwischen
einer roten und einer grünen Region• Problem: sukzessive Identifikation der
benachbarten roten und grünen Punkte• die nördlichsten und südlichsten Teilstücke sind
unbeschränkt, also Halbgeraden • die benachbarten roten und grünen Punkte bilden
dort unbeschränkte Voronoi-Regionen• sie liegen also jeweils auf der roten bzw. grünen
konvexen Hülle• beginnen wir also mit den beiden Tangenten
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Tangente
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Tangente – konvexe Hülle
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Konvexe Hülle
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Vereinigung
Mittelsenkrechte bilden
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Vereinigung
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Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
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Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
Neues aktives VD
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Vereinigung
Aktive Voronoi-Diagramme
Schnittpunkte mit Seg-menten suchen
Neues aktives VDMittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD
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Vereinigung
Schnittpunkte suchen
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Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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Vereinigung
Schnittpunkte suchen
Neues aktives VD suchen
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Vereinigung
Schnittpunkte suchen
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Vereinigung
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Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Mittelsenkrechte deraktiven VD
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Vereinigung
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Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang
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Vereinigung
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Löschen der überflüssigen Segmente
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Löschen der überflüssigen Segmente
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Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7 47
Ergebnis: Voronoi-Diagramm von P
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Datenstruktur für Voronoi-Diagramm
• Doppelt verkettete Kantenliste• Durchlaufen des Kantenumrings in linearer Zeit• Direkter Zugriff auf die benachbarten Maschen
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Kosten
• wie lange dauert die Konstruktion des trennenden Kantenzuges?
• Zahl der Teilkanten / Knoten des Kantenzuges• Zahl Berechnungen von Schnittpunkten mit den
benachbarten Voronoi-Regionen
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O(n)
Länge des Kantenzuges im Worst Case
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Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case
O(n)
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Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7 52
O(n) * O(n) = O(n2) ?
Voronoi-Regionen sind konvex
Kantenzug ist monoton
war jetzt alles umsonst?
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Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7 53
O(n) * O(n) = O(n2) ?
Voronoi-Regionen sind konvex
Kantenzug ist monoton
Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!
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Lutz Plümer - Diskrete Mathematik - 2. Semester - SS 2001 - Vorlesung 7 54
„Investitionen müssen sich amortisieren“
• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens
zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im
Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!