Download - Distribucionet diskrete te probabilitetit
1
Variabla e rastësishme dhe distribucionet diskrete të probabilitetit
Ligjërata e pestë
Variabla e rastësishme dhe
distribucionet diskrete të probabilitetit
Qëllimet:
Pas përfundimit të ligjëratës ju duhet të jeni në gjendje që të : Definoni termet: variabël e rastësishme dhe distribucioni i probabilitetit.
Të bëni dallimet në mes distribucionene diskrete dhe kontinuale të probabilitetit.
Kalkuloni mesataren aritmetike, variancën dhe devijimin standard të distribucioneve diskrete të probabilitetit.
Përshkruani karakteristikat dhe të llogaritni probabilitetet duke shfrytëzar Distribucionin Binomial të probabilitetit.
2
Variablat e rastësishme
SHEMBULL 1: Marrim në konsiderim eksperimentin në të cilin monedha hudhet tri herë. Le të jetë X numri i rënjes së numrit. Me “N” do të evidentojmë rënjen e numrit kurse me “S” rënjen e stemës..
Variabla e rastësishme është përshkrimi me numra i rezultateve të një eksperimenti .
SHEMBULL 1 vazhdim
Hapësira e mostrës, gjegjësisht numri i rasteve të tërësishme për këtë eksperiment do të jetë: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN.
Kështu vlerat e mundshme për X ( numri i N) janë : X = 0,1,2,3.
3
Shembull 1 vazhdim
Rezultati zero “numër” ndodh një herë.
Rezultati një herë “numri” ndodh tri herë.
Rezultati dy herë “numri” ndodh tri herë.
Rezultati tri herë numri ndodhë një herë.
Nga definimi i variablës së rastësishme , X i definuar në këtë eksperiment, është variabël e rastësishme.
Distribucionet e probabilitetit
Distribucioni i probabilitetit është numrimi i të gjitha rezultateve të mundshme të një eksperimenti dhe probalilitetet e lidhura me to. Për SHEMBULLIN 1,
X (numri i
N)
Rezultatet
Probabilitetet e rezultateve
0 1 1/8=0,125
1 3 3/8=0,375
2 3 3/8=0,375
3 1 1/8=0,125
Gjithsej:
8 8/8=1
4
Karakteristikat e distribucionit të probabilitetit
Probabiliteti i një rezultati duhet gjithmonë të jetë në mes të 0 dhe 1.
Shuma e të gjitha rezultateve reciprokisht përjashtuese është gjithmonë e babrabartë me një (1)
Llojet e variablave të rastësishme
Variablat e
rastësishme
Variabla të rastësishme diskrete/ e ndërpreë
Variabla të rastësishme kontinuale/ e vazhdueshme
5
Variabla e rastësishme diskrete/e ndërprerë
Variabla e rastësishme diskrete/ e ndërpreë është variabla e cila mund të marr vetëm disa vlera të caktuara qartë që rezultojnë nga numërimi i disa njësive që janë me interes.
P.sh. - Numri i SMS në telefonin tuaj gjatë ditës, - Numri i aksidenteve në komunikacion gjatë muajit
prill, - Numri i MP3 të shitur në një shitore, - Numri i produkteve me defekt gjatë një dite pune,
etj
Shembull: Le të jetë X numri i rënjes së “numri” kur monedha hudhet tri herë. Këtu vlerat për X janë:
X = 0,1,2,3.
Variablat e rastësishme kontinuale/e vazhdueshme
Variabël e rastësishme kontinuale /e vazhdueshme është variabla e cila mund të marr në infinit numër të madh të vlerave.
Shembuj:
- Gjatësia dhe pesha e studentëve,
- Koha e nevojshme që me taksi të vihet në fakultet nga shtëpia,
- Kohëzgjatja e një dremitje (gjumi) etj.
6
Modelet teorike të shpërndarjes së probabiliteve
2
Modelet e
shpërndarjes/distribucionit
Distribucioni diskret i
probabiliteve
Distribucioni kontinual i
probabiliteteve
Distribucioni i Poisson-it
Distribucioni uniformues
Distribucioni hipergjeometrik
Distribucioni Binomial
Distribucioni
(hi në katror)
Distribucioni i
“Studentit “
Distribucioni normal
Distribucioni i Fisherit
(Snedecor)
2
Distribucioni i probabilitetit për variablën e rastësishme përshkruan se si probabilitetet janë të shpërndara rreth vlerës së variablës së rastësishme.
Distribucionin diskret të probabilitetetve mund ta përshkruajmë me tabelë , grafik apo ekuacion.
Distribucioni diskret i probabiliteteve
7
Distribucioni i probabilitetit definohet përmes funksionit të probabilitetit, i shënuar me P(x), i cili siguron probabilitet për çdo vlerë të varablës së rastësishme.
Kushtet e kërkuara për funksionin e probabilitetit diskret janë:
Distribucionet diskrete të probabilitetit
P(x) > 0
P(x) = 1
Prezantimi tabelar i distribucionit të probabilitetit për shitjen e TV. .
Përdorimi i të dhënave për shitjen e TV në të kaluarën.
…
Numri i
Nj. e shitura ditëve
0 80
1 50
2 40
3 10
4 20
200
x P(x)
0 .40
1 .25
2 .20
3 .05
4 .10
1.00
80/200
Distribucionet diskrete të probabilitetit
8
.10
.20
.30
.40
.50
0 1 2 3 4 Vlerat e variablës së rastësishme x (Shitjet e TV)
Pro
bab
ilit
eti
Distribucionet diskrete të probabilitetit
Paraqitja grafike e distribucionit diskret të probabiliteteve
Distribucioni i probabilitetit diskret uniform/ i njëtrajtshëm
Distribucioni i probabilitetit diskret uniform është shembulli më i thjeshtë i distribucioneve diskrete të probabilitetit i dhënë me formulën vijuese:
Funksioni i distribucionit uniform të probabilitetit është:
P(x) = 1/n
ku: n = numri i vlerave të variablës së rastësishme që mund të ndodhin
Vlerat e variablës së rastësishme kanë gjasa të barbarta
9
Mesatarja , Varianca dhe Devijimi standard te distribucionet disktrete të probabiliteteve
Sikurse distribucioni i frekuencave që karakterizohet me mesataren , variancën dhe devijimin standard, ashtu edhe distribucioni i shpërndarjes së probabiliteve përmblidhet me mesataren e tij dhe variancën.
Mesatarja e distribucioneve të probabilitetit shënohet me shkronjën greke “mi”μ
Devijimi sandard i distribucionit të probabiliteteve shënohet me shkronjën greke „sigma”σ
Vlera e pritur dhe varianca
Vlera e pritur, ose mesatarja, e variablës së rastësishme është matës i tendencës qendrore.
Varianca përmbledh variabilitetin e vlerave të variablës së rastësishme.
Devijimi standard, , definohet si rrënja katrore e Variancës.
Var(x) = 2 = (x - )2P(x)
E(x) = = xP(x)
10
Vlera e pritur- mesatarja aritmetike
Numri i pritur i TVs të shitur brenda ditës
x P(x) xP(x)
0 .40 .00
1 .25 .25
2 .20 .40
3 .05 .15
4 .10 .40
E(x) = 1.20
Vlera e pritur dhe varianca
Varianca dhe Devijimi Standard
0
1
2
3
4
-1.2
-0.2
0.8
1.8
2.8
1.44
0.04
0.64
3.24
7.84
.40
.25
.20
.05
.10
.576
.010
.128
.162
.784
x - (x - )2 P(x) (x - )2P(x)
Varianca e shitjeve ditore= 2 = 1.660
x
TVs Në katror
Devijimi standard për shitjet ditore= 1.2884 TVs
Vlera e pritur dhe Varianca
E(x) = 1.20
11
Distribucioni binomial
Shpërndarja binomiale e probabilitetit është një shpërndarje e ndërprerë që gjen përdorim të madh në praktikë
Shpërndarja binomiale është e lidhur me eksperimentin shumëshkallësh të cilin e quajmë eksperiment binomial.
Një prej karakteristikave të shpërndarjes binomiale është se lidhet me eksperimentet ku çdo rezultat mund të marr vetëm dy forma. P.sh qëndrimi i saktë dhe i pasaktë.
Çdo rezultat është i papajtueshëm që do të thotë se diçka nuk mund të jetë e saktë dhe e pasaktë në të njejtën kohë.
Distribucioni Binomial
Katër karakteristikat e Eksperimentit Binomial
3. Probabiliteti për sukses i shënuar me p nuk ndryshon prej një eksperimenti në një tjetër
4. Eksperimentet janë të pavarura.
2. Dy rezultate , suksesi dhe dështimi, janë të mundshme në çdo provë.
1. Eksperimenti përbëhet nga provat identike të njëpasnjëshme.
Supozimi i përhershëm
12
Distribucioni Binomial
Ne jemi të interesuar për numrin e sukseseve që ndodhin në n prova.
Le te shenojmë me x numrin e sukseseve që ndodhin në n prova.
Distribucioni binomial - shembull
Eksperimenti i gjuajtjes së monedhës 10 herë.
A është eksperiment binomial apo jo?
Zgjidhje: Eksperimenti i hudhjes së monedhës 10 herë i plotëson të katër kushtet e distribucionit binomial.
1. Ka gjithsej 10 gjuajtje dhe të gjitha janë identike dhe kryhen në kushte të njejta, n=10
2. Çdo gjuajtje ka vetëm dy rezultate të mudshme: stema dhe numri. Le të shënojmë rënjen e stemës si “sukses” dhe rënjen e numrit si “mossukses”
3. Probabiliteti i rënjes së stemës është ½ (suksesit) , gjtithashtu edhe rënja e numrit e ka probabilitetin ½. p(S) =1/2 dhe q(N) =1/2
4. Gjuajtjet janë të pavarura. Rezultatet e gjuajtjes së parë nuk kanë ndikim në rezultatet e gjuajtjes së dytë.
13
Ku:
P(x) = Probabiliteti i suksesit x në n prova n- numri i eksperimenteve/provave x- numri i rasteve të suksesshme të vrojtuara p - probabiliteti i “suksesit” në cdo eksperiment/prove q - probabiliteti i “mossuksesit” në cdo eksperiment/prove (q = 1-p)
( )!( ) (1 )
!( )!n xxn
P x p px n x
Distribucioni Binomial
Funksioni i probabilitetit binomial
( )!( ) (1 )
!( )!n xxn
P x p px n x
Distribucioni Binomial
!
!( )!
n
x n x( )(1 )x n xp p
Funksioni i Probabilitetit Binomial
Probabiliteti i një pjese të veçantë të rezultateve
me x suksese në n prova
Numri i rezultateve të eksperimentit që sigurojnë
saktësisht x suksese në n prova.
14
Distribucioni Binomial
Shembull: Firma “Electronics”
“Electronics” është e shqetësuar rreth largimit të punëtorëve nga firma. Në vitet e fundit , menaxhmenti i firmës ka vlerësuar se për çdo punëtor të zgjedhur rastësisht, probabiliteti se ai nuk do të jetë në kompani vitin e ardhsëm është 0.1
Distribucioni Binomial
Përdorimi i funksionit të probabilitetit binomial
Zgjedhim 3 të punësuar rastësisht, sa është probabiliteti që 1 nga ata ta lëshoj kompaninë këtë vit?
( )!( ) (1 )
!( )!
x n xnP x p p
x n x
1 23!(1) (0.1) (0.9) 3(.1)(.81) 0.243
1!(3 1)!P
Le te jete: p = 0.10, n = 3, x = 1
15
Përdorimi i Tabelave të Probabilitetit Binomial
n x .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
3 0 .8574 .7290 .6141 .5120 .4219 .3430 .2746 .2160 .1664 .1250
1 .1354 .2430 .3251 .3840 .4219 .4410 .4436 .4320 .4084 .3750
2 .0071 .0270 .0574 .0960 .1406 .1890 .2389 .2880 .3341 .3750
3 .0001 .0010 .0034 .0080 .0156 .0270 .0429 .0640 .0911 .1250
p
Distribucioni Binomial
Shih tabelen e shpërndarjes binomiale ne librin “Bazat e Statistikës, fq.355
Distribucioni Binomial
(1 )np p
E(x) = = np
Var(x) = 2 = np(1 p)
Vlera e pritur
Varianca
Devijimi standard
16
Distribucioni Binomial
3(.1)(.9) 0 .52 tepunesuar
E(x) = = 3(.1) = 0.3 të punësuar prej 3
Var(x) = 2 = 3(.1)(.9) = 0.27
Vlera e pritur/ mesatarja aritmetike
Varianca
StandaDevijimi standard
Mënyrat për të llogaritur probabilitetet binomiale
1. Përdorimi i formulës binomiale është e përshtatshme kur numri i provave është relativisht i vogël.
2. Përdorimi i tabelave binomiale që gjinden në fund të cdo libri të statistikës.
3. Përdorimi i funksionit të Excel-it =BINOMDIST(x, n, p, false)” për të llogaritur probabilitet individuale . Zëvendësoni false me true për të fituar shumën e probabiliteteve binomiale prej 0 deri te x , gjegjësisht probabilitetet kumulative .
17
Shembull – tri mënyrat e llogaritjes së probabilitetit binomial …
Anisa nuk ka arritur që të mësoj në lendën e statistikës. Strategjia e Anisës është që të bazohet në fat për afatin e ardhshëm. Provimi përfshin 10 pyetje me shumë zgjedhje (n=10). Çdo pyetje ka nga 5 përgjigje ku vetëm njëra është e saktë. (p=0.2). Anisa planifikon që tia qëlloj secilës përgjigje.
Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëlloj asnjë përgjigje?
P(X=0) = P(0) =
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta?
P(X=2) = P(2) =
Shembull- vazhdim
n=10, dhe P(sukses) = 0.20
Sa është probabiliteti që Anisa të mos ketë qëlluar asnjë përgjigje?
Shenojme me x-suksesin, x, = 0; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=0)
Anisa ka afër 11% shanse që të mos e qëlloj asnjë përgjigje .
18
Shembull- vazhdim…
n=10, dhe P(sukses) = 0.20
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë dy përgjigje të sakta?
Le të jetë suksesi, x, = 2; prej këtu ne dëshirojmë të dimë P(x=2)
Anisa ka 30 % shansë që të ketë dy përgjigje të sakta.
Probabiliteti kumulativ…
“Gjej probabilitetin se Anisa “ka dështuar në provim”
Nëse shkalla e rënjes në provim është më pak se 50% ( p.sh 5 pyetje nga 10 sa janë gjithësej) kjo konsiderohet se provimi nuk është kaluar.
P( nuk e ka dhënë provimin) = P(X < 4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4)
Kjo quhet probabiliteti kumulativ, ashtu që , P(X ≤ x)
Vërejtje: Llogaritja e të gjitha probabiliteteve individuale kërkon shumë punë dhe shumë kohë, megjithatë , Tabela e Shpërndarjes Binomiale në fund të librit ju jep probabilitetet kumulative për n=10, p=0.2, x=4]
19
Shembull-vazhdim…
Llogariten probabilitet indiviuale dhe mblidhen !
P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4)
Ne veç e dime se P(0) = 0.1074 dhe P(2) = 0.3020. Përdorim formulën binomiale për të llogaritur edhe të tjerat:
P(1) = 0.2684 , P(3) = 0.2013, adhe P(4) = 0.0881
Prej këtu P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 + … + .0881 =0.9672
OSE
Përdorimi i Tabelës Binomiale në fund të librit për n=10, p=0.2, dhe x=4 “Sllajdi në vijim” (Kujdes, tabela është për probabilitete kumulative)
Tabela binomiale e probabiliteteve kumulative…
“Sa është probabiliteti se Anisa do të dështojë në provim”? Gjegjësihst sa është P(X ≤ 4), duke ditur se P(sukses) = 0.20 dhe n=10 ?
P(X ≤ 4) = 0.967
20
Tabela binomiale kumulative…
“Sa është probabiliteti që Anisa të mos e qëllojë asnjë përgjigje?” P(X = 0), duke ditur se P(sukses) = 0.20 and n=10 ?
P(X = 0) = P(X ≤ 0) = 0.107
Funksioni i Excel-it… =BINOMDIST()
Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :
Sa është probabiliteti që Anisa të ketë qëlluar dy përgjigje të sakta?
# suksesi
# provat
P(sukses)
True: Prob. kumulativ. False: Prob. individuale.
P(X=2)=.3020
21
Funkcioni në Excel …=BINOMDIST()
Në Excel gjindet funksioni i probabilitetit binomial që mund të shfrytëzohet për të llogaritur këto probabilitete. Për shembull :Sa është probabiliteti që Anisa të mos e kaloj provimin?
# suksesi
# provat
P(sukses)
Pr. Kumulativ- true P(X≤x)?)
P(X≤4)=.9672
KONCEPTET KYÇE
Variabla e rastësishme Variabla diskrete Variabla diskrete Distribucioni i probabilitetit Distribucioni diskret i probabiliteteve Distribucioni i variablave kontinuale Vlera e pritur- mesatarja aritmetike Devijimi standard dhe varianca.
Distribucioni binomial i probabilitetit Tabela e Distribucionit Binomial Vlera e pritur e distribucionit binomial Devijimi standard i distibucionit binomial Funksioni “…=BINOMDIST() “ në Excel……………