Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 1.
Diszkrét matematika 1. középszint1. előadás
Juhász Zsó[email protected]@gmail.com
Mérai László diái alapján
Komputeralgebra Tanszék
2019 tavasz
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 2.
Egy kis matematikai logika . . .
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 3.
Logikai műveletek
A logikában az állításokat logikai műveletekkel tudjuk összekapcsolni:Tagadás (negáció), jele: ¬A.És (konjunkció), jele: A ∧ B.Vagy (megengedő vagy/diszjunkció), jele: A ∨ B.Ha . . . , akkor . . . (implikáció), jele: A⇒ B.. . . pontosan akkor, ha . . . (ekvivalencia), jele: A⇔ B.
Igazságtáblázat
A B ¬A A ∧ B A ∨ B A⇒ B A⇔ BI I H I I I II H H H I H HH I I H I I HH H I H H I I
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 4.
Logikai műveletek: a vagy fajtái
A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat:
Megengedő vagy: A ∨ B pontosan akkor igaz, ha A és B közüllegalább az egyik igaz.Pl. „Átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,. . . "Kizáró vagy: A⊕ B pontosan akkor igaz, ha A és B közül pontosan azegyik igaz.Pl. „Most jobbra vagy balra kell fordulnunk."
Összeférhetetlen vagy: A||B pontosan akkor igaz, ha A és B közüllegfeljebb egyik igaz.Pl. „Iszik vagy vezet!"
A B A ∨ B A⊕ B A||BI I I H HI H I I IH I I I IH H H H I
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 5.
Logikai műveletek
Az implikáció (A⇒ B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit!
A B A⇒ BI I II H HH I IH H I
Példa2 · 2 = 4⇒ i2 = −12 · 2 = −3⇒ A kutya emlős állat.
Hamis állításból minden következik:
Példa2 · 2 = 5⇒ i2 = −2
Adott logikai művelet más módon is kifejezhető: (A⇒ B)⇔ (¬A ∨ B)
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 6.
A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek
Állítás1 A ∨ A⇔ A, A ∧ A⇔ A (idempotencia)2 A ∨ (B ∨ C)⇔ (A ∨ B) ∨ C ,A ∧ (B ∧ C)⇔ (A ∧ B) ∧ C (asszociativitás)3 A ∨ B ⇔ B ∨ A,A ∧ B ⇔ B ∧ A (kommutativitás)4 A ∧ (B ∨ C)⇔ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C),A ∨ (B ∧ C)⇔ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C)
(disztributivitás)5 (A ∨ B) ∧ A⇔ A, (A ∧ B) ∨ A⇔ A (abszorpció, azaz elnyelési
tulajdonság)6 ¬(A ∨ B)⇔ ¬A ∧ ¬B,¬(A ∧ B)⇔ ¬A ∨ ¬B (De Morgan azonosságok)7 (A⇒ B)⇔ (¬B ⇒ ¬A) (kontrapozíció tétele)8 ((A⇒ B) ∧ A)⇒ B (modus ponens)9 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ C))⇒ (A⇒ C) (szillogizmus)10 ((A⇒ B) ∧ (B ⇒ A))⇔ (A⇔ B)
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 7.
Bizonyítás.Példa:
3 A ∨ (B ∨ C)⇔ (A ∨ B) ∨ C (a logikai vagy asszociativitása)
A B C B ∨ C A ∨ (B ∨ C) A ∨ B (A ∨ B) ∨ C A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C
I I I I I I I II I H I I I I II H I I I I I II H H H I I I IH I I I I I I IH I H I I I I IH H I I I H I IH H H H H H H I
Matematikai logika Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 8.
Kvantorok
Kvantorok∃ (egzisztenciális kvantor): „létezik", „van olyan".∀ (univerzális kvantor): „bármely", „minden".
Példák1 ∃x ∈ R : x2 = 5
„Van olyan x valós szám, melyre x2 = 5."
2 ∀x ∈ R : x2 ≥ 0„Minden x valós számra x2 ≥ 0."
3 ∀n ∈ Z ∃x ∈ R : x > n„Minden n egész számhoz létezik olyan x valós szám, amelyrex > n."
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 9.
Halmazok
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 10.
Egy nevezetes paradoxon a naív halmazelméletben
Russell paradoxon (Bertrand Russell, 1872 - 1970)
Nevezzünk minden olyan halmazt, amely nem elemeönmagának jó halmaznak, és minden olyan halmazt,amely eleme önmagának, rossz halmaznak. Legyen Aaz összes jó halmazok halmaza. Jó vagy rossz halmaz-eA?
A jó halmaz. ⇒ (A definíciója alapján) A eleme önmagának.⇒ A rossz halmaz. EA rossz halmaz. ⇒ (A definíciója alapján) A nem eleme önmagának.⇒ A jó halmaz. E
Körül kell bástyázni a halmazok definiálásának lehetséges módjait ⇒Axiomatikus halmazelmélet: Zermelo-Fraenkel-féle axiómarendszer
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 11.
Halmazok
Halmazelméletben az alapvető fogalmak (ún. predikátumok), nemdefiniáljuk őket:
Halmaz (rendszer, osztály, összesség, . . . ): Informálisan elképzelhetőúgy, mint elemeinek gondolati burka.x∈A, ha az x eleme az A halmaznak.
A halmazok alapvető tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk őket.
Példa
Meghatározottsági axióma.Egy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak.
Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik.Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 12.
Halmazok
Halmaz megadása elemei felsorolásával:Véges halmazt definiálhatunk elemei {} között történő felsorolásával.Például: Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése:{a}. Annak a halmaznak, melynek pontosan az a és b az elemei ajelölése: {a, b}. (Speciálisan, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.) . . .
Definíció (üres halmaz)Azt a halmazt, melynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jele: ∅vagy {}.
MegjegyzésFigyelem! ∅ 6= {∅}.A meghatározottsági axióma alapján az üres halmaz egyértelmű.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 13.
Részhalmaz fogalma
Definíció (részhalmaz)Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A ⊆ B, ha A minden eleme B-nek iseleme, azaz
∀x(x ∈ A⇒ x ∈ B).Ha A ⊆ B-nek, de A 6= B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A ( B.
Megjegyzés:Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza.Minden halmaz részhalmaza önmagának, de nem valódi részhalmaza.
Állítás (A részhalmaz reláció tulajdonságai; Biz. HF)
1 ∀A (A ⊆ A) (reflexivitás).2 ∀A,B,C ((A ⊆ B ∧ B ⊆ C)⇒ A ⊆ C) (tranzitivitás).3 ∀A,B ((A ⊆ B ∧ B ⊆ A)⇒ A = B) (antiszimmetria).
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 14.
Részhalmaz definiálása formula segítségével
Definíció (Részhalmaz axióma)Legyen A egy halmaz és F (x) egy formula (azaz F egy olyantulajdonság, amely leírható formálisan, a logika nyelvén). Ekkor létezik aza halmaz, amely A-nak pontosan azon x elemeit tartalmazza, melyekreF (x) igaz (azaz amelyekre az F tulajdonság teljesül). Ezt a halmazt{x ∈ A : F (x)} = {x ∈ A | F (x)} jelöli.
Megjegyzés: {x ∈ A : F (x)} helyett az {x : x ∈ A ∧F (x)} vagy {x : x ∈ A, F (x)}jelölés is szokásos.
Példa{n ∈ Z : ∃m (m ∈ Z ∧ n = m2)}: a négyzetszámok halmaza.{x ∈ R : x2 = 3}: az x2 = 3 egyenlet valós megoldásainak halmaza,azaz {
√3,−√3}.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 15.
Műveletek halmazokkal: halmazok uniója
Definíció (halmazok uniója)Az A és B halmazok uniója: A ∪ B az a halmaz, mely pontosan A és Bösszes elemét tartalmazza: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor
⋃A = ∪{A : A ∈ A } = ∪A∈A A az a halmaz,
mely A összes elemének elemeit tartalmazza:
∪A = {x | ∃A ∈ A : x ∈ A}.
Speciálisan: A ∪ B = ∪{A, B}.
Példák{a, b, c} ∪ {b, c, d} = {a, b, c, d}{x ∈ R : 0 < x} ∪ {x ∈ R : x < 0} = {x ∈ R : x 6= 0}
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 16.
Műveletek halmazokkal: az unió tulajdonságai
Állítás (Az unió tulajdonságai)Minden A, B, C halmazra:
1 A ∪ ∅ = A2 A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (asszociativitás)3 A ∪ B = B ∪ A (kommutativitás)4 A ∪ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B
Bizonyítás.1 x ∈ A ∪ ∅ ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ ∅ ⇔ x ∈ A.2 x ∈ A ∪ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ∪ C ⇔ x ∈ A ∨ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇔ (x ∈
A ∨ x ∈ B) ∨ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∪ B ∨ x ∈ C ⇔ x ∈ (A ∪ B) ∪ C3 2-höz hasonló.4 2-höz hasonló.5 ⇒: A ⊆ B ⇒ A ∪ B ⊆ B, de B ⊆ A ∪ B mindig teljesül, így A ∪ B = B.⇐: Ha A ∪ B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 17.
Műveletek halmazokkal: halmazok metszete
Definíció (halmazok metszete)Az A és B halmazok metszete: A ∩ B az a halmaz, mely pontosan az Aés B közös elemeit tartalmazza: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok(halmazrendszer). Ekkor ∩A = ∩{A : A ∈ A } = ∩A∈A A a következőhalmaz:
∩A = {x | ∀A ∈ A : x ∈ A}.
Speciálisan: A ∩ B = ∩{A, B}.
Példa{a, b, c} ∩ {b, c, d} = {b, c}.
Ha In = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n + 1}, ∀ n ∈ Z-re és I = {In : n ∈ Z}, akkor
I2 ∩ I3 = {3}I8 ∩ I11 = ∅In ∩ In+1 = {n + 1}∩I = ∅
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 18.
Diszjunkt és páronként diszjunkt halmazrendszerek
Definíció ((páronként) diszjunkt halmazrendszer)Ha A ∩ B = ∅, akkor A és B diszjunktak.Általánosabban: Ha A egy halmazrendszer, és ∩A = ∅, akkor Adiszjunkt, illetve A elemei diszjunktak.Ha A egy halmazrendszer, és A bármely két eleme diszjunkt, akkor Aelemei páronként diszjunktak.
PéldaAz {1, 2} és {3, 4} halmazok diszjunktak.Az {1, 2}, {2, 3} és {1, 3} halmazok diszjunktak, de nem páronkéntdiszjunktak.Az {1, 2}, {3, 4} és {5, 6} halmazok páronként diszjunktak.Ha In = {x ∈ R : n ≤ x ≤ n + 1}, ∀ n ∈ Z-re és I = {In : n ∈ Z},akkor I diszjunkt halmazrendszer, de elemei nem páronkéntdiszjunktak.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 19.
Műveletek halmazokkal: a metszet tulajdonságai
Állítás (A metszet tulajdonságai; Biz. HF)Minden A, B, C halmazra:
1 A ∩ ∅ = ∅2 A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (asszociativitás)3 A ∩ B = B ∩ A (kommutativitás)4 A ∩ A = A (idempotencia)5 A ⊆ B ⇔ A ∩ B = A
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 20.
Disztributivitás
Állítás (Az unió és metszet disztributivitási tulajdonságai)
1 A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)2 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Bizonyítás.
1 x ∈ A ∩ (B ∪ C)⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ∪ C ⇔⇔ x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C)⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈C)⇔ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ A ∩ C ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
2 HF. hasonló
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 21.
Halmazok különbsége, komplementere
Definíció (halmazok különbsége)Az A és B halmazok különbsége az A \ B = {x ∈ A : x /∈ B} halmaz.
Definíció (halmaz komplementere)Egy rögzített X alaphalmaz és A ⊆ X részhalmaz esetén az A halmazkomplementere az A = A′ = X \ A halmaz.
Állítás (Különbség kifejezése komplementer segítségével)A \ B = A ∩ B.
Bizonyítás.x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A ∧ x /∈ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∩ B
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 22.
Komplementer tulajdonságai
Állítás (Komplementer tulajdonságai; Biz. HF)Legyen X az alaphalmaz. Ekkor minden A, B ⊆ X halmazra:
1 A = A;2 ∅ = X;3 X = ∅;4 A ∩ A = ∅;5 A ∪ A = X;6 A ⊆ B ⇔ B ⊆ A;7 A ∩ B = A ∪ B;8 A ∪ B = A ∩ B.
A 7. és 8. összefüggések az ún. de Morgan szabályok.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 23.
Komplementer tulajdonságai
Bizonyítás.Példa...
7 x ∈ A ∩ B ⇔ ¬(x ∈ A ∩ B)⇔ ¬(x ∈ A ∧ x ∈ B)⇔⇔ ¬(x ∈ A) ∨ ¬(x ∈ B)⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ A ∪ B
...
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 24.
Halmazok szimmetrikus differenciája
Definíció (szimmetrikus differencia)Az A és B halmazok szimmetrikus differenciája az
A4B= (A \ B) ∪ (B \ A)
halmaz.
Állítás (Szimmetrikus differencia másik előállítása; Biz. HF)A4B = (A ∪ B) \ (B ∩ A).
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2019 tavasz 25.
Halmaz hatványhalmaza
Definíció (hatványhalmaz)Ha A egy halmaz, akkor azt a halmazrendszert, melynek elemei pontosanaz A halmaz részhalmazai az A hatványhalmazának mondjuk, és 2A-valjelöljük. (A P(A) jelölés is szokásos.)
A = ∅, 2∅ = {∅}A = {a}, 2{a} = {∅, {a}}A = {a, b}, 2{a,b} = {∅, {a}, {b}, {a, b}}
Jelölés: Egy véges A halmaz elemszámát |A| jelöli.
Állítás (Hatványhalmaz elemszáma; biz. később)Tetszőleges A véges halmazra: |2A| = 2|A|.