DODATAK UDŽBENIKU ZA 6. RAZRED
DEVETOGODIŠNJE ŠKOLE SUSTAVA KATOLIČKIH
ŠKOLA ZA EUROPU
Izrada: Ajla Pilav
Edin Tabak
Lektorisala: Ivana Mostarac
Tehnička obrada: Edin Tabak
Sadržaj SKUPOVI .........................................................................................................................................5
Obilježavanje i zadavanje skupova...............................................................................................5
Podskup, pravi podskup................................................................................................................8
Jednakost skupova ........................................................................................................................9
Unija i presjek skupova ..............................................................................................................10
Razlika skupova..........................................................................................................................11
Uređeni par. Direktni produkt skupova ......................................................................................12
Relacije .......................................................................................................................................14
Funkcije ......................................................................................................................................16
Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini ..............................................................18
KRUŽNICA, KRUG, KUT ............................................................................................................20
Odnos pravca i kružnice .............................................................................................................20
Odnos dvije kružnice ..................................................................................................................20
Vrste kutova ...............................................................................................................................21
Prenošenje kutova .......................................................................................................................22
Grafičko zbrajanje kutova ..........................................................................................................23
Grafičko oduzimanje kutova ......................................................................................................24
Zbrajanje i oduzimanje kutova ...................................................................................................25
Množenje kutova prirodnim brojem ...........................................................................................26
Dijeljenje kutova prirodnim brojem ...........................................................................................26
DJELJIVOST BROJEVA ..............................................................................................................28
Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 ........................................................................28
Djeljiivost brojem 4 ....................................................................................................................29
RAZLOMCI ...................................................................................................................................30
Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika ................................................................................30
Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika ............................................................................32
Jednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 = 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 = 𝒃 ....................................................................................34
Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 ≶ 𝒃 ...............................................................................37
Množenje razlomaka ..................................................................................................................40
Dijeljenje razlomaka ...................................................................................................................42
Jednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃 ......................................................................45
Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 ≷ 𝒃 .................................................................47
Aritmetička sredina ....................................................................................................................49
Brojevni izrazi sa zagradama ......................................................................................................51
Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci ........................................................................53
Obilježavanje i zadavanje skupova
5
SKUPOVI
Obilježavanje i zadavanje skupova
Osnovni pojmovi se ne definiraju, ali ih možemo zamisliti.
Skupove označavamo velikim tiskanim slovima latinice A, B, C, ... , Ž; a elemente skupa
nabrajamo (pišemo) u vitičaste zagrade i odvajamo zarezom.
V = {a, e, i, o, u} – skup vokala
a, e, i, o, u – elementi ili članovi skupa V
Pr. 1. Napiši skup nota glazbene ljestvice.
S = {do, re, mi, fa, so, la, ti}
Pr. 2. Dat je skup A = {1, 2, 3, 4, 5}. Koja je od sljedećih tvrdnji točna, a koja netočna?
a) 1 ∈ 𝐴 T
b) 7 ∉ 𝐴 T
c) 2 ∉ 𝐴 N d) 3 ∈ 𝐴 T e) 0 ∉ 𝐴 T f) 4 ∉ 𝐴 N
Kako ćemo napisati skup M slova iz riječi matematika?
Hoćemo li ovako: M ={m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}?
Nećemo, jer zašto bismo triput pisali slovo a, kad je to isti element skupa?
Napisat ćemo ovako: M = {m, a, t, i, k, e}
Skup M možemo napisati i kao M = {a, e, i, k, m, t}.
Skup je osnovni pojam u matematici.
∈ - znači da element pripada skupu, npr. a A (čita se: a pripada skupu A)
∉- znači da element ne pripada skupu, npr. f V (čita se: f ne pripada skupu V)
Elementi skupa se ne ponavljaju, tj. različiti su.
Redoslijed elemenata skupa nije bitan.
Obilježavanje i zadavanje skupova
6
. a . e
. i
. o . u
Skup možemo prikazati i grafički, na sljedeći način: V
Zatvorena kriva linija unutar koje su članovi skupa
- Venov dijagram . o . u
Skup možemo napisati pomoću zajedničkih svojstava.
Pr. 3. Napisati skup prirodnih brojeva koji su manji od 5.
P = {1, 2, 3, 4, 5}
Kod zadavanja skupa navođenjem svojstava elemenata možemo se koristiti i simbolima.
Npr., prethodni primjer možemo zapisati i ovako:
P = {𝑥 | 𝑥 ∈ ℕ 𝑖 𝑥 < 5}
Pr. 4. Napisati elemente skupa E = {𝑦 | 𝑦 je slovo iz riječi 𝑎𝑡𝑙𝑒𝑡𝑖𝑘𝑎}
E = {a, t, l, e, i, k}
Pr. 5. Napisati elemente skupa F ={𝑧 | 𝑧 ∈ ℕ 𝑖 3 < 𝑧 ≤ 9}.
F = {4, 5, 6, 7, 8, 9}
Pr. 6. Koje elemente ima skup ljudi rođenih na Veneri?
Taj skup nema elemenata, to je prazan skup.
Pr. 7. Je li nula element praznog skupa?
Nije, jer prazan skup nema nijednog elementa, pa ni broj 0. Stoga pišemo: 𝟎 ∉ Ø
Postoje skupovi koji imaju beskonačno mnogo elemenata. Postoji jedan takav skup. To je
skup prirodnih brojeva: N={1,2,3,...} - ... beskonačno mnogo elemenata (∞).
Prazan skup je skup bez elemenata; obilježavamo ga znakom Ø ili rjeđe { }.
Skupovi u matematici zadaju se na tri načina:
1. nabrajanjem svih elemenata
2. Venovim dijagramom
3. navođenjem bitnih svojstava njegovih elemenata.
Skupovi se obilježavaju velikim slovima abecede, a simboli {,} koriste se kao
oznake skupa.
Skup čine različiti elementi, tj. svaki element skupa računa se samo jedanput.
Obilježavanje i zadavanje skupova
7
Zadaci za vježbu:
1. Napiši skup slova kojima se piše riječ: a) KOŠARKA b) ČOKOLADA
2. Nabrajanjem elemenata napiši skup svih: a) planeta Sunčevog sustava b) duginih boja
3. Prikaži Venovim dijagramom skupove: a) H = {1, 5, 8, 45, 76, 980}
b) V je skup tvog omiljenog voća
c) K je skup kontinenata
4. Napiši skupove nabrajanjem elemenata:
a) S = {𝑥 | 𝑥 je godišnje doba}
b) G = {𝑛 | 𝑛 je prirodan broj između 1 i 7}
c) P = {𝑥 | 𝑥 je nastavni predmet koji imaš u šestom razredu}
5. Dati su skupovi: A = {𝑥 | 𝑥 skup slova imena MIRA},
B = {𝑦 | 𝑦 skup slova imena TINA},
C = {𝑧 | 𝑧 skup slova imena TAMARA}.
a) napiši ove skupove nabrajanjem elemenata!
b) nacrtaj Venov dijagram za date skupove!
Podskup, pravi podskup
8
Podskup, pravi podskup
Pr. 1. Promatrajmo skupove A ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} i B = {2, 4, 6, 8}. Što
možemo zaključiti o ovim skupovima?
Zaključujemo da su elementi skupa B ujedno i elementi skupa A. To znači
da je skup B sadržan, tj. podskup skupa A.
Zadatak 1. Skup C čine slova riječi lak, a skup D sva slova riječi kalem.
a) ispiši elemente ta dva skupa.
b) nacrtaj Venov dijagram skupa D, a potom zatvorenom linijom izdvoji
elemente skupa C.
c) pripada li svaki element skupa C skupu D?
d) pripada li svaki element skupa D skupu C?
e) što je točno: 𝐶 ⊆ 𝐷 ili 𝐷 ⊆ 𝐶?
Pr. 2. Odredi podskupove skupa F = {a, b, c}
∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}
{a}⊂ F, {a, b} ⊂ F, {a, b, c} ⊄ F
Zadatak 2. Odredi sve prave podskupove za skup E = {x|x∈ 𝑁0 i x + 3< 6}.
Zadaci za vježbu:
1. Napiši dva primjera praznog skupa (kao pr.1.).
2. Odredi sve podskupove skupa : {, , □}.
3. Zadan je skup slova S = {a, k, o, r}. Napiši bar pet riječi koje se zapisuju pomoću
elementa skupa S (slova se smiju ponavljati). Je li skup S podskup svake od riječi koju
si napisao/la?
Ako svaki element skupa B pripada skupu A, kaže se da je B podskup skupa A i
piše se .
- podskup, Ø ,
Ako iz skupa svih podskupova izdvojimo zadani skup, onda svaki od preostalih
podskupova čini pravi podskup tog skupa i tada umjesto pišemo samo ⊂ .
Jednakost skupova
9
Jednakost skupova
Pr. 1. Koliko članova ima skup L = {b, u, b, a, m, a, r, a}
Članovi (elementi) skupa L su slova b, u, a, m, r, pa skup L ima 5 članova.
M = {a, b, c, d} i N = {k, l, m, n} – jednakobrojni
O = {1, 2, 3} i P = {2, 3, 1} – jednaki 𝑂 = 𝑃
Zadatak 1. Koji od skupova su jednakobrojni, a koji jednaki: {1, 3}; {1, 2, 3}; {a, b, c,
a}; {13}; {1, 1, 1, 3, 3}; {b, c}?
Zadatak 2. Dati su skupovi C = {3, x, 5, 8} i D = {7, 5, y, 3}. Odredi x i y tako da je
C=D.
Zadatak 3. Elementi jednog skupa su slova riječi matematika, a elementi drugog skupa
slova riječi imetak. Jesu li ta dva skupa jednaka?
Zadaci za vježbu:
1. Koliko članova ima skup : a) LOKOMOTIVA b) KARAKTERISTIKA
2. U skupovima E = {a, 3, 4, 8} i F = {1, 3, 8, b} odredi a i b tako da bude E=F.
Jesu li skupovi {s, t, a, t, i, s, t, i, k, a} i {t, a, k, s, i} jednaki? Obrazloži odgovor!
Broj elemenata određuje se prebrojavanjem elemenata. Isti elementi se broje
jedan put. Broj elemenata nekog skupa A naziva se kardinalan broj tog skupa i
označava se sa k(A).
Skupovi sa istim brojem elemenata su jednakobrojni. Skupovi s istim
kardinalnim brojem i istim elementima su jednaki.
Unija i presjek skupova
10
Unija i presjek skupova
Pr. 1. Odredi uniju skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}.
𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Pr. 2. Odredi presjek skupova C = {2, 3, 4, 5, 6, 7} i D = {2, 4, 6, 8, 10}.
𝐶 ∩ 𝐷 = {2 ,4, 6}
Zadatak 1. Učenici jednog odjeljenja vole jesti čokoladu i bombone. Čokoladu jedu
Mak, Ema, Jan i Ivana, a bombone Mia, Mak, Neven, Ema i Ivica.
a) postoje li učenici tog odjeljenja koji vole jesti oboje?
b) koliko učenika ima u razredu?
(Napomena: u odjeljenju ne postoje dva učenika s istim imenom.)
Zadaci za vježbu:
1. Odredi uniju i presjek skupova: a) A= {a, b, c, d, 0, 1} i B= {b, d, 1, 2, 3}
b) C = {m, e, t, a, r} i D = {t, r, e, m, a}.
2. Za skupove 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 < 7} i 𝐹 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 ≤ 5} odredi uniju i presjek.
Skup svih elemenata koji pripadaju prvom
ili drugom skupu naziva se unija skupova i
označava se sa 𝑨 ∪ 𝑩.
𝑨 ∪ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊𝒍𝒊 𝒙 ∈ 𝑩}
Skup svih elemenata zajedničkih za te
skupove naziva se presjek skupova i
označava se sa 𝑨 ∩ 𝑩.
𝑨 ∩ 𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒙 ∈ 𝑩}
Razlika skupova
11
Razlika skupova
𝐵\𝐴 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐵 𝑖 𝑥 ∉ 𝐴}
Pr. 1. Odredi razlike A\B i B\A skupova A = {1, 2, 3, 4} i B = {2, 3, 4, 5, 6}.
𝐴\𝐵 = {1} 𝐵\𝐴 = {5,6}
Zadatak 1. Za skupove C = {1, 3, 4, 5 } i D = {2, 3, 4, 5, 6, 7} odredi:
a) C\D
b) D\C. Je li točno: C\D = D\C?
Zadaci za vježbu:
1. Odredi A∩B, A∪B, 𝐴\𝐵 i 𝐵\𝐴 ako je: a) A = {r, i, b, a} i B = {r, a, k}
b) A = {t, a, b, l, a} i B = {l, o, p, t, a}.
2. Za skupove 𝐸 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 < 8} i 𝐹 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑁 𝑖 𝑥 ≤ 4} odredi E∩F, E∪F, 𝐸\𝐹 i
𝐹\𝐸.
Skup svih elemenata prvog skupa koji nisu
elementi drugog skupa naziva se razlika
dvaju skupova i označava se sa 𝑨\𝑩.
𝑨\𝑩 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒙 ∉ 𝑩}
Uređeni par. Direktni produkt skupova
12
Uređeni par. Direktni produkt skupova
(𝒂, 𝒃) – uređeni par
U uređenom paru (a, b) smatramo da je a prvi član, dok je b drugi član.
(𝒂, 𝒃) ≠ (𝒃, 𝒂), 𝒂 ≠ 𝒃
Pr. 1. Odredi x i y tako da je: a) (x, y) = (0, 1)
b) (x, 8) = (7, y)
a) 𝑥 = 0, 𝑦 = 1
b) 𝑥 = 7, 𝑦 = 8
Pr. 2. Odredi sve uređene parove u kojima je prvi element iz skupa 𝐴 = (𝑚, 𝑛), a drugi iz
skupa 𝐵 = {, □, }.
shema (predstavljena točkom)
{(𝑚,), (𝑚, □), (𝑚, ), (𝑛,), (𝑛, □), (𝑛, )}
Navedeni skup uređenih parova naziva se direktni (Dekartov) produkt i zapisuje se u
obliku A x B.
Dva uređena para su jednaka ako i samo ako su im jednaki prvi članovi i jednaki
drugi članovi, tj.
(𝒙, 𝒚) = (𝒂, 𝒃) ako je x = a i y = b.
Direktni produkt skupa A i skupa B je skup svih uređenih parova (x, y) kod kojih
je prvi član iz skupa A i drugi iz skupa B, tj.
𝑨 𝒙 𝑩 = {(𝒙, 𝒚)|𝒙 ∈ 𝑨 𝒊 𝒚 ∈ 𝑩}.
Uređeni par. Direktni produkt skupova
13
Pr. 3. Za skupove A = {1, 2, 3} i B = {a, b} odredi: a) A × B
b) B × A
c) A × A = A2
d) B × B = B2
A × B = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}
A × A = A2= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)}
B × B = B2= {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}
Zadatak 1. Za skupove A= {,} i B= {1, 2, 3} odredi A x B, B x A, A2, B2
Zadaci za vježbu:
1. Za skupove A= {1,3,5} i B = {2,4} odredi A x B, B x A, A∪B i A∩B.
2. Dat je skup S= {𝑥|𝑥 ∈ ℕ 𝑖 𝑥 + 2 < 6}. Napiši skup S2 i prikaži ga shematski.
3. Nađi sve uređene parove koji se mogu sastaviti od brojeva 0, 1, 2, ..., 9, 10 i
kojima je prvi član jednak drugom članu.
4. Nađi sve uređene parove prirodnih brojeva čiji zbroj daje 5.
Relacije
14
Relacije
Relacije ćemo označavati slovom R: 𝑥 𝑅 𝑦 (čitamo: x je u relaciji sa y).
Pr. 1. Zapiši sljedeće relacije :
a) 𝑥 𝑅 𝑦; R – biti jednak
b) 𝑎 𝑅 𝑏; R – biti manji
c) 𝑐 𝑅 𝑑, R – biti veći ili jednak
a) 𝑥 = 𝑦 b) 𝑎 < 𝑏
c) 𝑐 ≥ 𝑑
Relacije možemo prikazati (zapisati) : - nabrajanjem elemenata
- grafom
Pr. 2. (Nabrajanje elemenata) Razvrstati elemente skupa tako da je R – biti iste vrste:
{pas, tulipan, ruža, Anja, dupin, konj, Tin, Mia, karanfil, mačka, Mak}.
A = {Anja, Tin, Mia, Mak}
B = {pas, dupin, konj, mačka}
C = {tulipan, ruža, karanfil}
Pr. 3. (graf) Predstavi relaciju R – biti manji u skupu A = {1, 2, 3, 4}
koristeći više grafova
jedan graf
Relacije
15
Zadatak 1. Prikaži jednim grafom relaciju R – biti veći ili jednak u skupu {1, 2, 3, 4, 5}
- kako se označava jednak
Pr. 4. Odredi 𝐴𝑥𝐵 skupova 𝐴 = {1, 3, 5} i 𝐵 = {2, 4}
𝐴𝑥𝐵 = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5, 4)}
mreža
shema
Formirajmo skup R- x manje od y (𝑥 < 𝑦) 𝑅 = {(1, 2), (1, 4), (3, 4)}
Zaključimo: 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵
Zadaci za vježbu:
1. Predstavi jednim grafom relaciju R – biti veći ili jednak u skupu B = {3, 4, 5, 6}.
2. Obitelj se sastoji od sljedećih članova: djed (d) 75 godina, otac (o) 50 godina,
majka (m) 47 godina, sin (s) 10 godina i kćer (k) 7 godina.
a) prikaži jednim grafom R – biti stariji
b) prikaži jednim grafom R – biti mlađi
3. Dati su skupovi A= {1, 4, 6} i B= {2, 3, 5} a) odredi 𝐴𝑥𝐵, 𝐵𝑥𝐴, 𝐴2, 𝐵2. b) predstavi shemom i mrežom 𝐴𝑥𝐵 i 𝐵𝑥𝐴 c) u skupu 𝐵𝑥𝐴 formiraj skup R: 𝑥 > 𝑦
Funkcije
16
Funkcije
Pr. 1. Pridruži redne brojeve danima u tjednu:
1. →ponedjeljak - dijagramom A B
2. →utorak
3. →srijeda
4. →četvrtak
5. →petak
6. →subota
7. →nedjelja
Polazni skup, skup A, nazivamo domen (njegovi elementi su originali), a završni skup,
skup B nazivamo kodomen (elementi - slike). Funkciju označavamo sa f(x) ili y.
Pr. 2. Dati su skupovi A = {orač, krojač, stolar, limar} i B = {plug, igla, traktor, čekić}.
Svakom zanimanju iz skupa A pridruži njegov alat. Prikaži to uređenim parovima i
dijagramom.
{(orač, traktor), (krojač, igla), (stolar, čekić), (limar, plug)}
Pr. 3. Prikaži funkciju 𝑦 = 4𝑥 dijagramom. (Uzet ćemo samo prva tri člana)
𝑥 1 2 3
𝑦 = 4𝑥 4 8 12
Svako pravilo (propis, zakon, dogovor) po kojem se svakom elementu skupa A
pridružuje točno jedan element skupa B naziva se funkcija (preslikavanje).
A → B
Funkcije
17
1. Prikaži funkciju 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 dijagramom.
BITNO : Funkcija pridružuje svakom elementu točno jedan element.
Nijedan od ovih dijagrama ne predstavlja funkciju.
Zadaci za vježbu:
1. Ptica leti brzinom od 3 km/h. Koliko će prijeći za 1, 2, 3, 4 h? Funkciju predstavi
tablicom i dijagramom.
2. Sljedeće funkcije predstavi dijagramom: a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 b) 𝑦 = 𝑥 + 7
Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini
18
Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini
Predstavljanje točaka na koordinatnom polupravcu
Svaki broj možemo predstaviti na brojevnom polupravcu.
Dužina čiji se krajevi poklapaju s brojevima 0 i 1 predstavlja jedinicu mjere – jediničnu
dužinu.
Broju 5 odgovara točka D. Kažemo da je koordinata točke D broj 5 i zapisujemo D (5).
Pr. 1. Koja je koordinata točke: a) B B (2)
b) C C (3)
c) E E (8)
Međutim, na koji način ćemo predstaviti točku koja se nalazi u ravnini? Za predstavljanje
točaka u ravnini koristimo koordinatni sustav.
Predstavljanje točaka u koordinatnom sustavu
Okomite prave 0x i 0y čine pravokutni
(Dekartov) koordinatni sustav, a ravnina
u kojoj se sustav nalazi naziva se
koordinatna ravnina.
0x – apscisa 0y – ordinata
0 – koordinatni početak (ishodište)
Polupravac 0x naziva se koordinatni (brojevni) polupravac, a brojevi kojima su
točke označene nazivamo koordinate točaka.
Koordinatni polupravac i koordinatni sustav u ravnini
19
Pr. 2. Predstavi u koordinatnom sustavu točke:
𝐴 (3, 1)
𝐵 (3, 5) 𝐶 (4, 2) 𝐷 (0, 3)
Zadatak 1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (3, 1), B (0, 3), C (3, 5), D (7, 5),
E (9, 4), F (12, 6), G (11, 3), H (12, 0), I (9,2), J (7,1). Nakon toga ih spoji redom.
Zadaci za vježbu:
1. Predstavi u koordinatnom sustavu točke: A (8, 2), B (6, 0), C (2, 0), D (0, 2), E (8, 3),
F (4, 6), G (0, 3), H (4, 2). Plavom bojom spoji A, B, C, D, A. Crvenom bojom spoji E, F,
G, E. Smeđom bojom spoji F i H. (Jedinična duž – 1 cm)
Prva koordinata predstavlja x,
a druga y.
Odnos pravca i kružnice
20
KRUŽNICA, KRUG, KUT
Odnos pravca i kružnice
Odnos dvije kružnice
Vrste kutova
21
Vrste kutova
Kut čiji kraci čine jedan
pravac nazivamo
ispruženi (opruženi) kut.
Kut veći od ispruženog,
čiji se kraci poklapaju
naziva se puni kut.
Sam polupravac čini
nula kut.
Dva nadovezana kuta
nazivaju se susjedni
kutovi.
Susjedni kutovi čiji
zbroj iznosi ispruženi
kut nazivaju se
usporedni kutovi.
Dva kuta koji imaju
zajednički vrh, a kraci
jednog leže na
produžecima krakova
drugog nazivaju se vršni
(unakrsni) kutovi.
Kut jednak svom
usporednom kutu
naziva se pravi kut.
Kut manji od pravog
kuta nazivamo šiljasti
(oštri) kut.
Kut veći od pravog, a
manji od ispruženog
kuta nazivamo tupi kut.
Kut koji sadrži svaku dužinu čije mu
krajnje točke pripadaju naziva se
konveksni (ispupčeni, izbočeni) kut.
Prenošenje kutova
22
Kut koji nije konveksan je nekonveksan
ili konkavan (udubljen).
Prenošenje kutova
Neka je zadan kut 𝛼 = ∢𝑥𝑂𝑦. Njemu jednak kut 𝛽 = ∢𝑝𝑆𝑞 konstruirat ćemo na sljedeći
način:
Nacrtajmo proizvoljni polupravac Sq. Konstruirajmo lukove istim otvorom šestara (prvi
luk ima centar O, a drugi S), čime su određene točke X i P (X ∈ Ox i P ∈ Sp). Sada
prenosimo šestarom tetivu XY, tako da je 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 𝑋𝑌̅̅ ̅̅ . Time je određen i drugi krak Sq,
kuta 𝛽.
Zadatak 1. Nacrtaj proizvoljan kut, pa ga prenesi.
Zadaci za vježbu:
1. Nacrtaj proizvoljan tupi, oštri i pravi kut, pa ih prenesi. Koji je od tih kutova
najveći, a koji najmanji?
Grafičko zbrajanje kutova
23
Grafičko zbrajanje kutova
Neka su dati kutovi 𝛼 i 𝛽.
Odredimo (grafički) njihov zbroj, tj kut 𝛾; 𝛾 = 𝛼 + 𝛽.
Na proizvoljni polupravac Mm prenesimo kut 𝛼
Zatim na kut 𝛼 prenesimo (nadovežimo) kut 𝛽
∢𝑚𝑀𝑝 = 𝛾
Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: 𝛼 – šiljasti, 𝛽 – pravi, 𝛾 – tupi.
Odredi: a) 𝛼 + 𝛽
b) 𝛾 + 𝛽
c) 𝛼 + 𝛾
Zadaci za vježbu:
1. Nacrtaj četiri proizvoljna različita kuta i označi ih sa α, β, γ i δ redom. Odredi:
a) 𝛼 + 𝛾
b) 𝛽 + 𝛿
c) 𝛽 + 𝛾
Grafičko oduzimanje kutova
24
Grafičko oduzimanje kutova
Neka su dati kutovi 𝛼 i 𝛽.
Odredimo (grafički) njihovu razliku, tj. kut 𝛾; 𝛾 = 𝛼 − 𝛽.
Na proizvoljni polupravac Ee prenesimo kut 𝛼
Zatim u kut 𝛼 prenesimo kut 𝛽
∢𝑒𝐸𝑓 = 𝛾
Zadatak 1. Nacrtaj tri kuta: 𝛼 – šiljasti, 𝛽 – pravi, 𝛾 – tupi.
Odredi: a) 𝛽 − 𝛼
b) 𝛾 − 𝛽
c) 𝛾 − 𝛼
Zadaci za vježbu:
1. Nacrtaj dva proizvoljna šiljasta kuta 𝛼 i 𝛽. Nakon toga nacrtaj dva proizvoljna tupa
kuta 𝛾 i 𝛿.
Odredi: a) 𝛿 − 𝛼.
b) 𝛿 − 𝛽
c) 𝛾 − 𝛼.
Zbrajanje i oduzimanje kutova
25
Zbrajanje i oduzimanje kutova
Kutove zbrajamo/oduzimamo tako što zbrojimo/oduzmemo odgovarajuće kutne jedinice,
tj. stupnjeve sa stupnjevima, minute s minutama i sekunde sa sekundama.
Pr. 1. Odredi zbroj i razliku zadanih kutova:
a) 𝛼 = 35° 48′ b) 𝛼 = 42° 35′ 35′′ 𝛽 = 54° 12′ 𝛽 = 38° 40′ 55′′
𝜶 + 𝜷 : 𝜶 + 𝜷 :
35° 48′ 42° 35′ 35′′
+ 54° 12′ + 38° 40′ 55′′ 89° 60′ = 90° 80° 75′90′′ = 80° 76′30′′ =
= 81° 16′30′′
𝜷 − 𝜶 : 𝜷 − 𝜶 :
54° 12′ 42° 35′35′′ = 42° 34′95′′ = 41° 94′ 95′′ - 35° 48′ - 38° 40′ 55′′ - 38° 40′ 55′′ 18° 24′ 3° 54′′40′′
Zadatak 1. Zbroji i oduzmi zadane kutove:
a) 𝛼 = 110° 𝛽 = 50° 35′
b) 𝛼 = 52° 34′12′′ 𝛽 = 20° 30′50′′
c) 𝛼 = 125° 10′25′′ 𝛽 = 34° 20′30′′
d) 𝛼 = 54° 45′ 𝛽 = 32° 18′
Zadaci za vježbu:
1. Izračunaj zbroj i razliku sljedećih kutova:
a) 𝛼 = 165° 32′26′′ 𝛽 = 110° 22′30′′
b) 𝛼 = 171° 14′5′′ 𝛽 = 72° 25′
c) 𝛼 = 188° 45′′ 𝛽 = 67° 15′35′′
d) 𝛼 = 72° 20′15′′ 𝛽 = 33° 26′30′
Množenje kutova prirodnim brojem
26
Množenje kutova prirodnim brojem
Kutove množimo prirodnim brojem tako da pomnožimo sve kutne jedinice (stupnjeve,
minute i sekunde) tim prirodnim brojem.
Pr. 1. Pomnoži kut 𝛼 = 8° 32′15′′ brojem 4.
8° 32′15′′ ∙ 4
32° 128′60′′ = 32° 129′ = 34° 9′
Zadatak 1. Pomnoži kut 16° 23′30′′ brojem 5.
Zadaci za vježbu:
1. Pomnoži kutove a) 𝛼 = 23° 25′30′′
b) 𝛽 = 110° 25′ brojem 3.
2. Odredi 2 ∙ 𝛼 + 𝛽 i 3 ∙ 𝛽 − 𝛼 ako je 𝛼 = 22° 5′ i 𝛽 = 35° 20′
Dijeljenje kutova prirodnim brojem
Pr. 1. Podijeli kut 𝛼 = 75° brojem 4.
75° ∶ 4 = 18°
− 4 35
−32
3° 3° = 3 ∙ 60′ = 180′′
180′′: 4 = 45′ − 16 20
− 20 - -
Rj: 18° 45′
Dijeljenje kutova prirodnim brojem
27
Pr. 2. Podijeli kut 125° 32′ 12′′ brojem 4.
125° 32′12′ ∶ 2 = 31°
5
1° = 60′ 60′ + 32′ = 92′ 92′ ∶ 4 = 23′ 12
0′ 12′′ ∶ 4 = 3′′
Rj: 31° 23′ 3′′
Zadatak 1. Izračunaj: a) 35° 18′ ∶ 5
b) 108° 32′ ∶ 6
Zadaci za vježbu:
1. Izračunaj: a) 35°18′ ∶ 5
b)108°32′ ∶ 6
c) 52°38′30′′ ∶ 3
2. Ako su 𝛼 = 55° 25′ i 𝛽 = 30° 31′ izračunaj koliko je: a) 𝛼 ∶ 2
b) 𝛽 ∶ 2.
Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓
28
DJELJIVOST BROJEVA
Djeljivost u skupu ℕ𝟎, jednakost 𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓
Naučili smo da prilikom dijeljenja dva prirodna broja možemo (a i ne moramo) dobiti
ostatak. Sada ćemo naučiti način kako to matematički zapisujemo.
Pr. 1. Ema je kupila 150 čokolada za svoj rođendan. U odjeljenju ima 26 učenika i
svakome je dala jednak broj čokolada.
a) Koliko je najviše čokolada dobio svatko od njih?
b) Koliko je čokolada ostalo Emi?
150 ∶ 26 = 5 - 130
20 150 = 5 ∙ 26 + 20
a) Svaki od učenika je dobio po 5 čokolada.
b) Emi je ostalo 20 čokolada.
Zadatak 1. Odredi količnik (i ostatak) brojeva 75 i 8; te zapiši u obliku jednakosti 𝑎 =𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟.
Zadaci za vježbu:
1. Odredi količnik i ostatak, te zapiši u obliku jednakosti: a) 414 ∶ 50
b) 1414 ∶ 36
2. Popuni tablicu:
𝑎 𝑏 𝑞 𝑟 𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑞 + 𝑟
36 9
18 4
20 5
12 5
6 1
8 3
Ako su a djeljenik, b djelitelj, q količnik (𝒂: 𝒃 = 𝒒) i r ostatak, onda vrijedi:
𝒂 = 𝒃 ∙ 𝒒 + 𝒓, 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝑏
Djeljiivost brojem 4
29
Djeljiivost brojem 4
Pr. 1. Koji su od sljedećih brojeva djeljivi sa 4: 1 234, 3 624, 37 876, 34 936?
1 234 ⟹ 34 nije djeljivo sa 4 ⇒ 1 234 nije djeljivo sa 4
3 624 ⟹ 24 je djeljivo sa 4 ⇒ 3 624 je djeljivo sa 4
37 876 ⟹ 76 je djeljivo sa 4 ⇒ 37 876 je djeljivo sa 4
34 936 ⟹ 36 je djeljivo sa 4 ⇒ 34 936 je djeljivo sa 4
Zadatak 1. Tijekom ljetovanja gospođa Rožić je svoje stvari spremila u hotelski sef, koji
je imao četveroznamenkastu šifru. Znala je da je znamenka desetica 3, znamenka stotica
5 i znamenka tisućica 8. Znamenku jedinica je zaboravila, ali se sjeća da se radi o broju
djeljivom sa 4. Koji su to brojevi?
Zadaci za vježbu:
1. Koji su od brojeva 5 436, 7 228, 61 524, 8 937, 1 156 djeljivi sa 4?
2. Od znamenki 0, 1, 2 i 8 sastavi šest troznamenkastih brojeva djeljivih sa 4, s tim da se
znamenke mogu ponavljati.
Broj je djeljiv brojem 4 ako je njegov dvoznamenkasti završetak broj djeljiv sa 4.
Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika
30
RAZLOMCI
Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika
Ponovimo kako se zbrajaju razlomci jednakih nazivnika.
Kada imamo jednake nazivnike, brojnike samo zbrojimo.
Šta znaći proširiti razlomak?
Proširimo razlomak 9
5 sa 8.
9
5=
9 ∙ 8
5 ∙ 8=
72
40.
Ako brojnik i nazivnik jednog razlomka pomnožimo istim brojem, njegova vrijednost
ostaje ista.
Primjer 1. Izračunaj vrijednost izraza:
7
3+ 2
1
2=.
Prvo je potrebno da ova dva razlomka proširimo i dovedemo na zajednički nazivnik.
Odredit ćemo najmanji zajednički višekratnik za brojeve 2 i 3. Očito je
𝑁𝑍𝑉(2,3) = 6 jer brojevi 2 i 3 nemaju zajedničkih činitelja.
Prvi razlomak moramo proširiti s 2 jer je 3 ∙ 2 = 6, a drugi razlomak s 3 jer 2 ∙ 3 = 6.
7
3+ 2
1
2=
7
3+
5
2=
7 ∙ 2
3 ∙ 2+
5 ∙ 3
2 ∙ 3=
14
6+
15
6=
29
6= 4
5
6.
7
4+
5
4+ 2
1
4=
7
4+
5
4+
9
4=
7 + 5 + 9
4=
21
4= 5
1
4.
Dva razlomka različitih nazivnika zbrajamo tako što ih proširimo do
jednakih nazivnika i onda zbrojimo brojnike.
Zbrajanje razlomaka nejednakih nazivnika
31
Primjer 2. Zbroji razlomke:
11
8+
5
12+
3
10=
Kod većih brojeva primjenjuje se postupak za određivanje 𝑁𝑍𝑉(8,12,10).
𝑁𝑍𝑉(8,12,10) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 120
Prvi razlomak moramo proširiti sa 120 : 8 = 15
Drugi razlomak moramo proširiti sa 120 : 12 = 10
Treći razlomak moramo proširiti sa 120 : 10 = 12
11
8+
5
12+
3
10=
165
120+
50
120+
36
120=
165 + 50 + 36
120=
251
120.
Primjer 3. Izračunaj vrijednost izraza:
1,4 +11
3+
5
6=
Rješenje:
1,4 +11
3+
5
6=
14
10+
11
3+
5
6=
7
5+
11
3+
5
6=
42 + 110 + 25
30=
177
30=
59
10
U postupku zbrajanja možemo sve pisati kao jedan razlomak.
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 1. Izračunaj:
a) 21
5+
3
4= b)
9
7+
5
13= c)
4
11+
5
22= d)
13
5+
2
7=.
Zadatak 2. Izračunaj:
a) 2,5 + 12
3+
4
5= b)
7
12+
17
15+
21
20= c)
1
2+
3
4+
7
8+
15
16=
8, 12, 10 2
4, 6, 5 2
2, 3, 5 2
1, 3, 5 3
1, 5 5
1
Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika
32
Zadatak 3*. Koji je broj za 45
12 veći od zbroja brojeva 2
5
6 i 1
3
4?
Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika
Postupak oduzimanja razlomaka nejednakih nazivnika je isti kao i zbrajanje. Potrebno je
dovesti na jednake nazivnike i onda izvršiti računske operacije s brojnicima.
Pr. 1. Izračunaj:
15
8−
7
6=
45
24−
28
24=
17
24.
Pr. 2. Izračunaj:
41
5−
2
3−
7
4=
Rješenje:
21
5−
2
3−
7
4=
252 − 40 − 105
60=
212 − 105
60=
107
60.
Pr. 3. Izračunaj vrijednost izraza:
(57
30+ 3
4
15) − (5
1
6− 3
1
4) =
Rješenje:
(57
30+ 3
4
15) − (5
1
6− 3
1
4) = (
157
30+
49
15) − (
31
6−
13
4) =
157 + 98
30−
62 − 39
12=
=255
60−
23
12=
255 − 115
60=
140
60=
14
6=
7
3.
Dva razlomka različitih nazivnika oduzimamo tako što ih proširimo
do jednakih nazivnika i onda oduzmemo brojnike.
Oduzimanje razlomaka nejednakih nazivnika
33
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 1. Izračunaj:
a) 51
2−
1
4= b) 7
4
9− 5
2
15= c) 7,5 − 4
3
14= d)
11
12−
1
2−
1
3=
Zadatak 2. Izračunaj vrijednost izraza:
a) (41
3+ 0,6) − 2,1 = b) (2
3
4− 1
5
6) + 3,9 =
Zadatak 3*. Izračunaj vrijednost izraza:
a) (42
7+ 1
5
6) − (4
2
7− 1
5
6) = b) (5
2
7− 2
5
6+ 3
1
2) + (17
3
7− 15
5
21) =
Zadatak 4*. Kroz planinu se buši 31
2 𝑘𝑚 dug tunel. Koliko još kilometara treba probiti
ako je s jedne strane probijeno 12
5 𝑘𝑚 , a s druge 1
3
10 𝑘𝑚?
Jednadžbe oblika 𝒙±𝒂=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃
34
Jednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 = 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 = 𝒃
I 𝒙 + 𝒂 = 𝒃 , 𝒂 + 𝒙 = 𝒃
Primjer 1. Riješi jednadžbu:
𝑥 +5
7= 2
1
3.
Rješenje:
Primjer 2. Riješi jednadžbu:
12
5+ 𝑥 = 2,3 .
Rješenje:
U jednadžbama oblika 𝒙 + 𝒂 = 𝒃, 𝒂 + 𝒙 = 𝒃, 𝒃 > 𝑎, vrijednost
nepoznate 𝒙 dobijemo tako što od 𝒃 oduzmemo 𝒂.
𝒙 = 𝒃 − 𝒂.
𝑥 +5
7= 2
1
3
𝑥 =7
3−
5
7
𝑥 =49 − 15
21
𝑥 =34
21
II način
12
5+ 𝑥 = 2,3
𝑥 = 2,3 −7
5
𝑥 = 2,3 − 1,4
𝑥 = 0,9
I način
12
5+ 𝑥 = 2,3
𝑥 =23
10−
7
5
𝑥 =23 − 14
10
𝑥 =9
10
Jednadžbe oblika 𝒙±�=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃
35
Zadatak 1. Riješi jednadžbe:
a) 2
3+ 𝑥 =
5
4 ,b) 𝑥 + 1
1
6= 2
5
8 ,c) 𝑥 +
3
7= 1,5,d) 2,7 + 𝑥 = 3
3
4.
Zadatak 2. Riješi jednadžbe:
a) 11
2+ 𝑥 +
3
4=
17
5 ,b) 1,2 + 𝑥 +
1
5= 1
3
4 .
Zadatak 3. Za koliko treba uvećati broj 7
2 da se dobije broj 4
1
3 ?
II 𝒙 − 𝒂 = 𝒃
Primjer 3. Riješi jednadžbu:
𝑥 − 21
2=
2
3.
Rješenje:
Zadatak 4. Riješi jednadžbe:
a) 𝑥 − 1,7 = 12
3 , b) 𝑥 −
1
6= 2
1
3 , c) 𝑥 −
7
3= 0,5, d) 𝑥 − 2 = 1
1
5.
𝑥 − 21
2=
2
3
𝑥 =2
3+
5
2
𝑥 =4 + 15
6
𝑥 =19
6
Jednadžbe oblika 𝒙 − 𝒂 = 𝒃 vrijednost nepoznanice 𝒙 dobijemo tako
što zbrojimo a i b.
𝒙 = 𝒃 + 𝒂.
Jednadžbe oblika 𝒙±𝒂=𝒃,𝒂±𝒙=𝒃
36
III 𝒂 − 𝒙 = 𝒃
Primjer 3. Riješi jednadžbu:
7
3− 𝑥 =
2
5.
Rješenje:
Zadatak 5. Riješi jednadžbe:
a) 2,9 − 𝑥 =5
4 , b)
1
8− 𝑥 =
1
12 , c) 2
1
6− 𝑥 = 1,5, d) 3 − 𝑥 = 1
2
7.
Zadaci za samostalan rad:
1) Riješi jednadžbe:
a) 𝑥 −2
3=
1
6 , b)
5
6+ 𝑥 = 3
3
5 , c) 1
1
2− 𝑥 = 0,3, d) 𝑥 +
1
3= 2.
2) Za koliko treba umanjiti 181
2 da se dobije broj 6
5
6?
3) Koji broj treba oduzeti od zbroja brojeva 32
3 𝑖 1
1
5 da bi se dobila njihova razlika?
7
3− 𝑥 =
2
5
𝑥 =7
3−
2
5
𝑥 =35 − 6
15
𝑥 =29
15
Jednadžbe oblika 𝒂 − 𝒙 = 𝒃, 𝒂 > 𝑏 vrijednost nepoznanice 𝒙
dobijemo tako što od a oduzmemo b.
𝒙 = 𝒂 − 𝒃.
Nejednadžbe oblika 𝒙±𝒂≶𝒃,𝒂±𝒙≶𝒃
37
Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ± 𝒙 ≶ 𝒃
Primjer 1. Naći sve vrijednosti koje zadovoljavaju vrijednost 𝑥.
Predstavimo sada naše rješenje
na brojevnom pravcu.
Rješenje možemo predstaviti i kao interval:
𝑥 ∈ (0,9
8).
Primjer 2. Riješi nejednadžbu:
𝑥 − 31
4≥
1
2
Rješenje:
Nejednadžbe oblika 𝒙 ± 𝒂 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:
- 𝒙 + 𝒂 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 − 𝒂
- 𝒙 − 𝒂 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 + 𝒂
- 𝒂 + 𝒙 ≶ 𝒃 ⟹ 𝒙 ≶ 𝒃 − 𝒂
Znak nejednakosti ostaje isti.
𝑥 +3
4< 1
7
8
𝑥 <15
8−
3
4
𝑥 <15 − 6
8 =
9
8 𝑥 <
9
8
𝑥 ≥1
2+
13
4
𝑥 ≥2 + 13
4
𝑥 ≥15
4
Nejednadžbe oblika 𝒙±𝒂≶𝒃,𝒂±𝒙≶𝒃
38
Nejednadžbe oblika 𝒂 − 𝒙 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:
- 𝒂 − 𝒙 > 𝑏 ⟹ 𝑥 < 𝑎 − 𝑏
- 𝒂 − 𝒙 < 𝑏 ⟹ 𝑥 > 𝑎 − 𝑏
Znak nejednakosti se mijenja.
Predstavimo rješenje na brojevnom pravcu i uz pomoć intervala.
𝒙 ∈ [𝟏𝟓
𝟒, +∞)
Zadatak 1. Riješi nejednadžbe:
a) 𝑥 +1
3≤ 1
5
6 b) 𝑥 −
1
2> 0,8 c) (2
1
4−
3
2) + 𝑥 ≤
13
3.
Ako koristimo male zagrade ( ili ) podrazumijeva se da broj ne
pripada intervalu, dok srednje zagrade [ ili ] označuju da broj pripada
intervalu.
Srednje zagrade ne mogu se koristiti kod vrijednosti +∞.
Nejednadžbe oblika 𝒙±𝒂≶𝒃,𝒂±𝒙≶𝒃
39
Primjer 3. Riješi nejednadžbu:
22
5− 𝑥 ≥
3
4
Rješenje:
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 2. Riješi nejednadžbe:
a) 2
7− 𝑥 <
1
8 b) 3,1 − 𝑥 > 2
1
2 c) 5
3
5− 𝑥 ≤ 2,7.
𝑥 ≤12
5−
3
4
𝑥 ≤48 − 15
20
𝑥 ≤33
20= 1
13
20 𝑥 ∈ (0, 1
13
20]
Množenje razlomaka
40
Množenje razlomaka
Prethodno smo naučili da zbroj jednakih pribrojnika možemo kraće zapisati u obliku
umnoška npr. 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 6 ∙ 5 = 30.
Množenje razlomka prirodnim brojem
Primjer 1. Odrediti umnožak:
3
4∙ 5 =
3
4+
3
4+
3
4+
3
4+
3
4=
3 ∙ 5
4=
15
4.
Zadatak 1. Izračunaj (po mogućnosti krajnji rezultat skratiti):
a) 13
5∙ 7 = b)
7
24∙ 16 = c)
21
5∙ 10 =
I. Množenje razlomka razlomkom
Primjer 2. Izračunaj:
5
4∙
3
7=
Rješenje:
5
4∙
3
7=
5 ∙ 3
4 ∙ 7=
15
28.
Razlomak množimo prirodnim brojem tako što brojnik pomnožimo
tim brojem, a nazivnik ostaje nepromijenjen.
𝒂
𝒃∙ 𝒏 =
𝒂 ∙ 𝒏
𝒃
Rezultat množenja dva razlomka je umnožak brojnika kroz umnožak
nazivnika.
𝒂
𝒃∙
𝒄
𝒅=
𝒂 ∙ 𝒄
𝒃 ∙ 𝒅
Množenje razlomaka
41
Primjer 3. Izračunaj koliko je 12
7 od 2
5
8 .
Rješenje:
12
7 𝑜𝑑 2
5
8 ⟹ 2
5
8∙
12
7=
21
8∙
12
7=
3
2∙
3
1=
9
2.
Ukoliko je moguće skratiti razlomke prije množenja to bi bilo dobro i uraditi, jer ćemo
time sebi olakšati postupak rješavanja.
Primjer 4. Izračunaj:
55
6∙ 1
3
4∙ 1
1
7∙ 1
1
5=
Rješenje:
35
6∙
7
4∙
8
7∙
6
5= |
𝑀𝑜ž𝑒𝑚𝑜 𝑘𝑟𝑎𝑡𝑖𝑡𝑖 𝑝𝑟𝑣𝑖 𝑖 𝑝𝑜𝑠𝑙𝑗𝑒𝑑𝑛𝑗𝑖 𝑟𝑎𝑧𝑙𝑜𝑚𝑎𝑘, 𝑑𝑟𝑢𝑔𝑖
𝑖 𝑡𝑟𝑒ć𝑖 𝑟𝑎𝑧𝑙𝑜𝑚𝑎𝑘
| =7
1∙
1
1∙
2
1∙
1
1=
14
1= 14.
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 1. Izračunaj:
a) 31
2∙ 8 = b)
12
5∙ 9 = c) 2
2
3∙ 5 = d) 1
4
15∙ 3 =
Zadatak 2. Izračunaj:
a) 2
3∙
3
5= b)
8
11∙
22
27= c)
3
8∙ 10
2
3= d) 3
5
9∙ 5
5
8=
Zadatak 3. Izračunaj:
a) 22
3∙
3
5∙
3
8= b) 1
2
3∙ 4
1
2∙
3
5∙ 1
5
9= c) 3
7
9∙
16
17∙
3
8∙
9
10=
Zadatak 4*. Koliko je masa 1 kg zraka u sobi koja je 44
5𝑚 duga, 6
1
4 𝑚 široka i 2
1
2 𝑚
visoka, ako 1 𝑚3 zraka ima masu 13
10 𝑘𝑔? (Napomena: Volumen kvadra se računa po
formuli 𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐, gdje su 𝑎 duljina, 𝑏 širina i 𝑐 visina sobe.)
Dijeljenje razlomaka
42
Dijeljenje razlomaka
Recipročna vrijednost broja
Primjer 1. Odrediti recipročne brojeve brojevima: 7, 13,5
9,
13
2 𝑖 4
1
5.
Za 7 recipročni broj je 1
7.
Za 13 recipročni broj je 1
13.
Za 5
9 recipročni broj je
9
5.
Za 13
2 recipročni broj je
2
13.
Za 41
5=
21
5 recipročni broj je
5
21.
I. Dijeljenje razlomka prirodnim brojem
Primjer 2. Izračunaj:
12
7∶ 5 =
Rješenje:
12
7: 5 =
12
7∙
1
5=
12
35.
Recipročan broj broju 𝒂 je 𝟏
𝒂.
Recipročan broj broju 𝒂
𝒃 je
𝒃
𝒂
Dijeljenje razlomaka
43
II. Dijeljenje razlomka razlomkom
Primjer 3. Izračunaj:
12
25∶
3
5=
Rješenje:
12
25∶
3
5=
4
5.
Ako je brojnik prvog razlomka djeljiv s brojnikom drugog razlomka i nazivnik prvog
razlomka djeljiv s nazivnikom drugog razlomka, samo se izvrši dijeljenje brojnika s
brojnikom i nazivnika s nazivnikom.
Primjer 4. Izračunaj:
5
6∶
3
2=
5
6∙
2
3=
5
3∙
1
3=
5
9.
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 1. Izračunaj:
a) 9
16: 3 = b) 2
4
7: 9 = c)
5
6: 5 = d) 3
3
5: 6 =
Razlomak dijelimo prirodnim brojem tako da se nazivnik pomnoži
prirodnim brojem.
𝒂
𝒃∶ 𝒏 =
𝒂
𝒃 ∙ 𝒏
Razlomak dijelimo razlomkom tako što drugi razlomak zamijenimo
recipročnim i onda ih pomnožimo.
𝒂
𝒃∶
𝒄
𝒅=
𝒂
𝒃∙
𝒅
𝒄
Dijeljenje razlomaka
44
Zadatak 2. Izračunaj:
a) 7
12:
14
15= b)
17
18∙
5
9= c)
5
21:
5
7= d) 4
4
5: 3
3
5=
Jednadžbe oblika 𝒂∙𝒙=𝒃, 𝒂 :𝒙=𝒃, 𝒙 :𝒂=𝒃
45
Jednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃
Primjer 1. Riješi jednadžbu:
3
4𝑥 =
21
10.
Rješenje:
Zadatak 1. Riješi jednadžbe:
a) 21
3∙ 𝑥 =
12
5 b) 𝑥 ∙
9
4= 3,4 c) 4,2𝑥 =
1
2.
U jednadžbama oblika 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙
dobijemo kada 𝒃 podijelimo s 𝒂:
𝒙 = 𝒃 ∶ 𝒂.
𝑥 =21
10∶
3
4
𝑥 =21
10 ∙
4
3
𝑥 =14
5
U jednadžbama oblika 𝒂 ∶ 𝒙 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙
dobijemo kada 𝒂 podijelimo s 𝒃:
𝒙 = 𝒂 ∶ 𝒃.
Jednadžbe oblika 𝒂∙𝒙=𝒃, 𝒂 :𝒙=𝒃, 𝒙 :𝒂=𝒃
46
Primjer 2. Riješi jednadžbu:
1,8 ∶ 𝑥 =6
5.
Rješenje:
Zadatak 2. Riješi jednadžbe:
a) 13
5∶ 𝑥 = 1,2 b) (
1
3+
4
5) : 𝑥 =
1
2 c) 2,9 ∶ 𝑥 = 1,3.
Primjer 3. Riješi jednadžbu:
𝑥 ∶3
11= 2
3
4.
Rješenje:
Zadatak 3. Riješi jednadžbe:
a) 𝑥 ∶ 2,5 =12
5 b) 𝑥: (3
1
4−
5
3) = 1,4 c)
2
3+ 𝑥 ∶
3
4= 5
1
2.
U jednadžbama oblika 𝒙 ∶ 𝒂 = 𝒃, vrijednost nepoznanice 𝒙
dobijemo kada 𝒂 pomnožimo s 𝒃:
𝒙 = 𝒃 ∙ 𝒂.
𝑥 =18
10∶
6
5
𝑥 =3
2
𝑥 =11
4∙
3
11
𝑥 =3
4
Nejednadžbe oblika 𝒂∙𝒙≶𝒃, 𝒙 :𝒂≶𝒃, 𝒂 :𝒙≷𝒃
47
Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃, 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃, 𝒂 ∶ 𝒙 ≷ 𝒃
Primjer 1. Riješi nejednadžbu:
5
4𝑥 >
2
3.
Rješenje:
Primjer 2. Riješi nejednadžbu:
𝑥: 1,2 ≤ 21
6.
Rješenje:
Nejednadžbe oblika 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃 i 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći
način:
- 𝒂 ∙ 𝒙 ≶ 𝒃 ⟺ 𝒙 ≶ 𝒃 ∶ 𝒂
- 𝒙 ∶ 𝒂 ≶ 𝒃 ⟺ 𝒙 ≶ 𝒃 ∙ 𝒂
Znak nejednakosti ostaje isti.
𝑥 ≤13
6∙
12
10
𝑥 ≤13
5 𝑥 ∈ (0,
13
5]
𝑥 >2
3∶
5
4
𝑥 >2
3∙
4
5
𝑥 >8
15 𝑥 ∈ (
8
15, +∞)
Nejednadžbe oblika 𝒂∙𝒙≶𝒃, 𝒙 :𝒂≶𝒃, 𝒂 :𝒙≷𝒃
48
Zadatak 1. Riješi nejednadžbe:
a) 𝑥 ∶ 1,9 ≤3
20 b)
7
2𝑥 = 3
1
3 c)
5
2+ 𝑥 ∶
1
3= 4
2
3.
Primjer 3. Riješi nejednadžbu:
4
5∶ 𝑥 ≥ 1
2
3.
Rješenje:
Zadatak 2. Riješi nejednadžbe:
a) 2,1 ∶ 𝑥 ≤7
3 b)
5
9∶ 𝑥 = 2
1
4 c) (
2
5+ 1
1
2) ∶ 𝑥 = 1
2
3.
Nejednadžbe oblika 𝒂 ∶ 𝒙 ≶ 𝒃 rješavamo na sljedeći način:
- 𝒂 ∶ 𝒙 < 𝑏 ⟺ 𝑥 > 𝑎 ∶ 𝒃
- 𝒂 ∶ 𝒙 > 𝒃 ⟺ 𝒙 < 𝑎 ∶ 𝑏
Znak nejednakosti se mijenja.
𝑥 ≤4
5∶
5
3
𝑥 ≤4
5∙
3
5=
12
25 𝑥 ∈ (0,
12
25]
Aritmetička sredina
49
Aritmetička sredina
Učitelj Anto je kupio 2 kg jabuka na tržnici. Kad je došao kući, primijetio je da u vrećici
ima 8 jabuka iste veličine. Koliko otprilike teži svaka jabuka učitelja Ante?
2 𝑘𝑔 ∶ 8 = 0,25 𝑘𝑔.
Jabuke učitelja Ante prosječno teže po 0,25 𝑘𝑔.
Primjer 1. Kako ćemo odrediti prosjek brojeva 5 i 9?
Prosjek dva broja izračunat ćemo tako što ih zbrojimo i onda podijelimo sa 2.
(5 + 9) ∶ 2 = 14 ∶ 2 = 7.
Ako pogledamo na brojevnom pravcu brojeve 5 i 9, vidjet ćemo da su podjednako
udaljeni od broja 7.
Broj 7 se nalazi točno na sredini između brojeva 5 i 9, i zovemo ga aritmetička sredina
brojeva 5 i 9.
Primjer 2. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva 5, 12, 13, 15 i 23.
Tražimo aritmetičku sredinu ovih pet brojeva na sljedeći način:
5 + 12 + 13 + 15 + 23
5=
68
5= 13,6.
Aritmetička sredina ili prosjek dva ili više brojeva dobije se kada
zbroj tih brojeva podijelimo s ukupnim brojem pribrojnika.
Aritmetička sredina
50
Primjer 3. Izračunati prosjek brojeva 21
5,
3
4, 1
1
2 𝑖 2,3.
Prvo ćemo zbrojiti sve brojeve.
21
5+
3
4+ 1
1
2+ 2,3 =
11
5+
3
4+
3
2+
23
10=
44 + 15 + 30 + 46
20=
135
20=
27
4,
Zatim ćemo dobiveni rezultat podijeliti sa 4:
27
4∶ 4 =
27
4∙
1
4=
27
16.
Prosjek brojeva 21
5,
3
4, 1
1
2 𝑖 2,3 iznosi
27
16.
Zadatak 1. Izračunati aritmetičku sredinu brojeva:
a) 12, 15, 21, 17, 9 𝑖 10
b) 14,2 ; 11,3 ; 5,9 𝑖 10,7
c) 31
3, 2
1
2, 6
1
6 𝑖 7
1
7.
Zadatak 2. U tablici se nalaze temperature po danima u tjednu. Izračunati kolika je
prosječna temperatura bila u toku tjedna i za koliko se razlikuje temperatura u petak u
odnosu na prosječnu temperaturu.
Dan Ponedjeljak Utorak Srijeda Četvrtak Petak Subota Nedjelja
Temp. 21°C 19°C 18°C 24°C 25°C 25°C 22°C
Brojevni izrazi sa zagradama
51
Brojevni izrazi sa zagradama
Izračunavanje vrijednosti brojevnog izraza zahtijeva pažljiv rad, poštovanje pravila
računskih operacija i redoslijeda izvršavanja tih operacija. Pravila o redoslijedu
izvršavanja računskih operacija su:
a) ako u brojevnom izrazu nema zagrada, onda se uvijek množenje i dijeljenje izvode
prije zbrajanja i oduzimanja,
b) ako u brojevnom izrazu ima zagrada, onda se prvo izvršavaju računske operacije u
zagradama uz poštovanje pravila a).
Primjer 1. Izračunaj:
(3
4+
2
3) ∙
3
8= .
Rješenje:
Primjer 2. Izračunaj:
43
4+
1
4: (1,7 − 1
1
2) = .
Rješenje:
(3
4+
2
3) ⋅
3
8=
9 + 8
12⋅
3
8=
17
12⋅
3
8=
17
32.
Brojevni izrazi su izrazi sastavljeni samo od brojeva povezanih
računskim operacijama sa ili bez zagrada.
Vrijednost brojevnog izraza je točno jedan broj koji se dobiva nakon
obavljanja svih računskih operacija.
43
4+
1
4∶ (1,7 − 1
1
2) =
19
4+
1
4∶ (
17
10−
3
2) =
19
4+
1
4∶
17 − 15
10=
19
4+
1
4∶
2
10
=19
4+
1
4⋅
10
2=
19
4+
5
4=
24
4= 6.
Brojevni izrazi sa zagradama
52
Primjer 3. Izračunaj:
[5
6− (
3
4−
1
6) ⋅
2
3] ⋅ (1
1
4−
7
8) = .
Rješenje:
Zadatak 1. Izračunaj vrijednosti brojevnih izraza:
a) 7
10∶ (0,25 +
5
8) = b) 5
1
3− (1 −
3
4) ⋅ (1
1
7−
4
5) =
c) [(0,4 +1
15) ⋅ 1
3
7+
1
9] ⋅ (0,5 −
2
7) = d) [3
2
3+
1
3: (1,6 − 1
1
2) : (1,02 − 0,88)] =
Zadatak 2. Izračunaj brojevnu vrijednost izraza:
4,38 ∶ (21
4+ 1,4)
53
4− 0,4 ∶ (2
4
5−
3
4)
=
[5
6− (
3
4−
1
6) ⋅
2
3] ⋅ (1
1
4−
7
8) = [
5
6−
9 − 2
12⋅
2
3] ⋅ (
5
4−
7
8) = [
5
6−
7
12⋅
2
3] ⋅
10 − 7
8
= [5
6−
7
18] ⋅
3
8=
15 − 7
18⋅
3
8=
8
18⋅
3
8=
1
6.
Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci
53
Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci
Najveći problem kod rješavanja tekstualnih zadataka učenicima predstavlja samo
postavljanje problema, tj. kako ga zapisati matematički preko linearne jednadžbe.
Potrebno je zadatak više puta pročitati i napisati sve nepoznanice koje postoje i slijediti
uvjete teksta zadatka. Na kraju tekstualnog zadatka potrebno je ponuditi i tekstualni
odgovor.
Primjer 1. U knjižnici je u toku tri dana jedne školske godine prodano 600 bilježnica.
Prvog dana je prodano 5
8 ukupne količine, a drugog dana
3
5 ostatka. Koliko je bilježnica
prodano trećeg dana?
Postavka:
Treći dan je prodano 90 bilježnica.
Primjer 2. Zamislio sam broj. Od njega sam oduzeo 1,0. Dobivenu razliku sam
pomnožio s 0,8, tom umnošku sam dodao 2,84 i dobiveni zbroj sam podijelio sa 0,01.
Tako sam dobio broj 700. Koji sam broj zamislio?
U ovom zadatku je potrebno redom čitati tekst zadatka i samo dopunjavati jednadžbu s
uvjetima iz zadatka.
Ukupno prodanih bilježnica – 600
I dan – 5
8 od 600
II dan - 3
8 ostatka
III dan – x bilježnica
x = 600 – I dan – II dan
I dan : 600 ⋅5
8= 375
II dan : (600 − 375) ⋅3
8= 225 ⋅
3
8= 135
𝑥 = 600 − 375 − 135 = 90.
Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci
54
Primjer 3. Jedan gospodin je najprije potrošio 3
5 novca koji je imao, zatim
5
9 ostatka i
potom još 3
8 ovog ostatka. Poslije toga mu je ostalo 800 kuna. Koliko je kuna imao u
početku?
Postavka:
x – ukupna količina novca
I – 3
5𝑥
II – (𝑥 −3
5𝑥) ⋅
5
9=
2
5𝑥 ⋅
5
9=
2
9𝑥
III - (𝑥 −3
5𝑥 −
2
9𝑥) ⋅
3
8=
45𝑥−27𝑥−10𝑥
45⋅
3
8=
8𝑥
45⋅
3
8=
1
15𝑥
IV – ostalo je 800 kn.
x – broj koji sam zamislio
𝑥 − 1,05 → (𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 → (𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84
(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84
0,01= 700 /⋅ 0,01
(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 + 2,84 = 700 ⋅ 0,01
(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 = 7 − 2,84
(𝑥 − 1,05) ⋅ 0,8 = 4,16 / ∶ 0,8
𝑥 − 1,05 = 5,2
𝑥 = 5,2 + 1,05
𝑥 = 6,25
Zamišljeni broj je 6,25.
𝑥 −3
5𝑥 −
2
9𝑥 −
1
15𝑥 = 800
8
45𝑥 −
1
15𝑥 = 800
8𝑥 − 3𝑥
45= 800
5𝑥
45= 800
𝑥
9= 800 ⟹ 𝑥 = 800 ⋅ 9 = 7200
Gospodin je u početku imao 7200 kuna.
Primjena linearnih jednadžbi. Tekstualni zadaci
55
Primjer 4. U 6.b razredu su 33 učenika. Djevojčica ima za 3 manje nego dječaka. Koliko
je djevojčica, a koliko dječaka u tom razredu?
Postavka:
Zadaci za samostalan rad:
Zadatak 1. Učenik je pročitao knjigu za 3 dana. Prvog dana je pročitao 3
8 knjige, drugog
dana 5
12 knjige, a trećeg dana
1
6 knjige i još 10 stranica. Koliko stranica ima ta knjiga?
Zadatak 2. U dvije posude nalazi se tekućina. Ako se iz prve u drugu posudu prelije 3,75
litara, tada će u drugoj posudi biti 2,5 litara vode manje nego u prvoj posudi. Koliko je
vode bilo u drugoj posudi prije presipanja, ako je u prvoj posudi bilo 20 litara?
Zadatak 3. Otac je od sina stariji 24 godine, a godine sina čine 5
13 godina oca. Koliko
godina ima sin, a koliko otac?
Zadatak 4. Na jednoj polici ima dva puta više knjiga nego na drugoj. Ako se s prve
ukloni 7 knjiga, a na drugu doda 10, na drugoj će biti 10 knjiga manje nego na prvoj
polici. Koliko je bilo knjiga na svakoj polici?
Važno je obratiti pažnju na sljedeće izraze:
- neki broj uvećati za 5 → 𝒙 + 𝟓
- neki broj uvećati 5 puta → 𝟓𝒙
izraz 𝟓𝒙 ⟺ 𝟓 ⋅ 𝒙
Dječaci: 𝑥
Djevojčice: 𝑥 − 3
𝑥 + (𝑥 − 3) = 33
𝑥 + 𝑥 − 3 = 33
2𝑥 = 33 + 3
2𝑥 = 36
𝑥 = 18 Dječaka je 18, a djevojčica 15.
U razredu je 15 dječaka i 8 djevojčica.