Download - Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 1/344
Dr. STAN CHIR|IA
-:I*"1
74:./-
Wffiffiffifuffiffiffi],.ffi M&WffiffiffiW-MffiffiffiWWffiffiffiffi&Wffi
, ', rt 1,,,, t ru,r .J*..t , ,,..il_l;fl
i Lk" ', , *' 'itt'*"' 7
lf'DlTl.JiirA DIDACIICA gt pt:DAGOGICA * BUCUREgTt, t9B9
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 2/344
ll'[8
l,tNrArrn
I
tltcbf lcu
SernlE p&tratice
VEgl'r)tilA r,A
ft lltlt4^l,,l'A IN SPATTUgtr NLlM,,ltrlr REAI,E
t NuMtililcll
'llMll'l{ fi I C()NTTNUTTATE ,.1 l.trntte pentru funclii PENTRU FUNCTII
?,1, Functll'continue--
l, fnotrrn DITERtrNTrALA A FUNCTTTLOR
spalr Lx
r2. ECUATTT D,TFEREN'rrALE $r cu DERTVATB PARTTALE12.I. Ecuatii diferentiale de ordinul intii12.2. Ecuatii diferenfiale a., oiai" l"p"rio.
"erolvabiieprin
1?.1 Eluutiidlferen ia le
.rintaie-"i J Tioi,i'.rp".io.12.4. Sisteme de ecualii d.iferenliiie: Si;le*" sirnetrice12.5. Sisteme de ecuatii ait"i",rilil" li;"i;.12,6. Ecualii cu derivate pu.1iut" A.
""Jir"f intii lirriare si
5'
5,
7a
10
10lot?
2&3540
c.t
60
7&
9S
111
1111I9
' "T
- ii, irliiiii i:"?ixt.fitii: t:1t,xo,,e rea,e : : : :
L u.,r. f unclii definirc .implicit. Schirnl;dri ae varla,Uilj . : : :
0, GDOMETRiA ANALTTicA'$r
DrFERENTrAr,.A A CUntsELOFTPnAF ETELOR
#$:,"J1,:J':3"fiii#"ff3'3",?",:1"?:1,";,'ft9.3. Geometr.ia diferentiata i'rro?"T"i"f,i
6. 3u;11:1" #":.T"d1; j;,"*-iji"**
:'"'
[o./NEG RA REA FUNCTTTLoRq Y4J,JPrimitive
$q{. rnt.g"ira ceit,riia '." Si iij:iiti: Jfl{Tl;ti. u; ,,; oo;",,;u,,; . . : : :
10.5. Integrale curbiliniiJ . . lntegrattr dubtii. Formula lui Greenln 7 T-J,-^-^r^ r--0.7. Integrale
dt, surjrafain,. Formuli'iui' stul"r, ^. . ..10.B.Inte.gralatripld.r'o."i"la".da]ils-cj'ti[.ua,ti
127
127
su-
I431601
cf
174
I Bf,
18410?
197
241
2072Llula
230
"5+t
IU]
281"
t Q',
29230ir
309
33,1
330
cuadratu,ri .
cvasiliniareti{DrcATrr gr RASPUNSURT
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 3/344
C.* t*{uLTrMI. REr,aTnn. sTRUCT{rfiI
1.1. Mul{imi
Vrrrtt folosi notaliile : .L - mulfirne supori ; A - ni'rllime vidir; l, R, C,... - submulfinri
(1rltr[i) ale muifirnii suport "L-; x, y, 2,... - elemente ale unei mulfinri.
l\'lrrl.timea I este jnclusi, in muifimea B, A C B, dac5, orice z clin ,4 aparline 9i mullinrii .ts.
l)otri nrullirni A si R sint egale tlacd A C A li B C A.
ItcrrniuneaadorrXmullimiAgiBesterrulfirneaAUB- {xlxeAsatxeE}. Intersecfia
rrrrrllirrrilorlsiBestemullimea.4nB:{xlxeAgixeB}.Completnentaramullinliilesterrrrrlfitttca. Ac : {xlx e E si, + A}.
l)itcrcn{a nrulfimilor A si R, in aceastd ordine, este mullimea l\\B - {tlx e Aqit + B}.
lrrlr.r.rrta sirnetrici a mullimilor A ;i R esle rnulfimea A LB - (l\1J) U (B\.4).
I'rtrrlrrsul caitezian al mulfimilor A 91 B, in aceastd ordine, este mullimea A x B - {{r, y}l
rE,'l$i -y€Bl.
1.1.1. Probleme rezolvate
. Sc clau mulfimilc iZ,: {.. ,- lt,...,-2" -1,0, 1, 2,...' rx,....l, N.:1,2,...,,t1,..'.\. A: {-2., -1, 1. E" 5,7}, B:11,2,3,4, s,61'ei c:
\, 0, z, a. 6, 8j.ir) Sr-r sc arilte cl iluiljmile N, l, A, C sint submullimi stricte ale mulliirrii Z.
l,) Sii si caicuieze irtersecfiiie: Z n N, Nn ,4, An B, B
^C,S n A.
) Sii sc calcule2e rcuniunile : Zl)N. N U A, A UB, il;U C' C U A'
tir::tl|rtrc. a) Avem N C Z, A CZ, B CZ, C(2. Deoarece rnulfimea Z conltne 9i alte ele'
lrr rrr: irr :rfelril elenrentelor clin nulfinrile respective, inseamnS. li mullimile N, I' A, C sint suLr'
L
lrrrllnrri slricle ale lui Z,
l,) ()ir{incrn Z nN: N; N fl A : {1,
.,f1,.' 01.
r ) Iirrf r:;irrri dcfini ia, obfinem : Zl) N - Z;
{ ,,, - t, 1,2, :), 4, 5, 6, 7,}; 1JU C -l, 0, l, ?., 3, 4, 5, 6, v, 8i.
J. Sii sc arnto c:r A C IJ <'> B'('Ao.l;,.,rlt'urr', Sh, urii.l:j.rrr irrl.ii cl1 AC'B * It"CA". Fie * e .B", cleci x + B. Curn l (3, ro'
+trll;i r""r r $ A, atlir,I" r € /''. I)coarece I a f<;st ales arbitrar, rez-ult5 cf B"CA"'Irr,rr.lr, tlircli 1;,( ,4", s) . 1r:jllirrr clt,A(--. 1]."ltilex € l, oarercare, Deci r 4 A' ;1 ctrnt Bo(fXc;
rlr,lrrr r,f rr t:i'r. ;r r/ /l{, l'Iiu llrtltltt(', 1 r:, lJ 5i dt:i '4 (13.
3, 5, vj; lnB: {1, 3, 5}; Bfi c : {2,4, 6} si
\NUI * {-2, -1, 1,2,3,..., n,".}; A\i n--
{* 3, 0, 1,2, 3, 4, 5, 5,8} ei c l) A : {*3' -2'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 4/344
.|. SL :,r' tl.rrt'tr,tlIr.z,r, 111rrr.rl,lrrr.lr, r,g;rliti{i :,r) rt .. /t ,/t f l/t,;tr) .l_\/J _ (.t U1i) \...(.,1n/J): (AnB'){'t(.{"nA).Ir't::tl'ttrt,rt. rr) [ii1: r,. .1 ..,. /i. l).t:i ." r.,- .,1 si v $ ]], 1:rin urmare x e A gi ,2 Eo, a.lic[r"' l ( )//o. Ar:o;rsrlr.:rr';Lr;i, c;"r.1 r.r/r(--.rn1l"_ l.'ie acur-n xe.4 fi8,, adicdre,{ sir=n"lH
lr:i],,]il.':;:,i;,.,1,,.r,'v +:t' tt, ,,rrir:i-r" r {.j r \ B. Deci A ) r}se A"q B. cere doud i'cluziu'r ,r"
lr) Sii. ar|ltii,r1 nriri in1 ii cgalitareau A LB:. (.,1
UB)
\(, n1l). Fie x e,:l AB, astfel cd'' ,.,.' ..1 '\ /l s;lrr .r t: 1l \..i. Sd consiclerim mai intii cil" * .i 1/f. Accasta inseanin5, ca x e ;sit+f l), (locir.6i,4 1)Ilsix$R [-.) .4.prinurmare, xe(.4UR)\(1nB).D;;=;{;,
;tttttiri.v */i;i;$.:lsiclecire=1]l_l .4,si,t+AOB,ztcticl,x*{;UB)\(lnl?),A""*;;;'lirrirl:i, r:r'r .4 A Ir C (.{ U A) \(.{ a B). fnvers, si. co.siclcrdrrt r t= (.4 U B) \.(,i nr). n",r
' '-,..1 (J l);i x +AnB, adici (*r=.4 sau r€ B) -si r +1 (^\13. DacE xeA rix$. fits,Ir;zrrll;icrixeA*x+B,aclic:ir€l\,'. I)acirel]9i:vqA)B,atuncixe:E;ix$A,ilstf.l i'eit r e B\1. Dcci - e -{ \ B sau r- a\1. prin o.,rror", (AlJ Et\i.{ n B)CC'4 a B 'Aceasta clernonstreazi' egalitatea multirailor. cealalti egalitate se tlemonstreazi similar
,{. S5. se demons.Lreze crL (..1 x C) U g x D)C (,,i U B) x (C U Dl, inciu_zitttr,';rputind fi siricti.
: '/ /\ \v t) u'tt "'"''-- ?t:oluare. Fie (x, y) e (A xc) U (B xD), (x, y) oarccarc. Aruur:i {r, y) e A X C sau (r, yi=e Il n 1)' Dacd (,,y)e rxc, atunci xeA Fi e c Fi deci;re.ruo giye= c D, ariicr(.r,3\t=(AUB)x(cur). l)aci (r,,y) eBlD, atuncirye ]3 si iuo girleciz= aga
-Si':r,€D[Jc9idinnou(,,y)n=(.1UB)X(CUD).DeciQxcjU{BxD)Cl'4Ua,}xt{ rt l-J ]))' Ce incluziunea poate fi strict,i se poate vetlea tiin contraexemplul urmd,tor. Se iaA - il' 2j, B
= {2, 3}, c: Io, b.t, D: {b, ci. trste ulor cle vva"ztt cd, elerncnt'l (3, aJ e<=: ("r {-J B) x (c (_t D), dar (3, ") * (.J x c) U (s x l). '
i.l.?. Probleme propuse sp;^er.ezolvare
",",,U"; li ::.:i.":ir-"r.".in ce reiatie de incluziune sc afli urmitoarele rnulfimi dostl ii 'r de numL'fe reale :
:r) f : {.(a") I @^) ;ir rniLrginit} ;t] o : llao) l(n"J .ll rltir'{urrt-l ; ti) c.: .ra,,) t (a,J gir con'ergenr] ;1,, w = llo,lIfu,,).ilr:orr,,rorii i i.) /: lin,iita,,t'sirfuldanrt,nrall.r)t w = i\a,) I lLt.,,) ;1r rr:orr, 'fe1y] (-) ,/ :
,,,(n,\ l{a,,\ pir f urr,lanrr:ntali i'' .o --- ',(o,) I (a,) :ir. iuirt.,,igent ia zr,roj; fi ;: ib,,,ii'tiil p* arrlrrr-arr..6' S:i se demonstrczc llrlnitoarelc ploprietir i il1.: opr:ra iilor cle reuliune
in1i,i :,ecfie : ' llir) A U {'} :.4 ) ls\,i tj ti == E
;c) A
l) {BnC)
==(A
U }})i,l {.A UCj ;d) ,4C B<c. A U13... B; e) A CC;i IjCC =+rt [_) ECCia') .4fl a:rJi b')./t r.l n: A: c') A)(r3 UC):fah Et 1., {,afi c);{1:) ACB.t>A nij:.4: e,) CCA,i CC B"=,CCln ,'J.
?' SiL se verifice urlnliic.,areie proprietiL i alc operatici cic tr-cr,,r,r l:r cumF,le.trtcit lrrri :
.1) /i'-- t71i0" ,:^ii ;b) (;1"),^:.A;c).,1_U:1.,,- i, A ) A"_=0:rNj {{ l.j B)" _, | [] /j", (.1 n fi)" - .,1, LJ B" (rcgulile Di h,iorgan). ' '
li. 'r;i r;r' r,r:r'il'it:c ,:;i rlifcr-t-.nta a. ,loui rlluifimi are unni"toaretre pi:oprieidfi,f
,,) I t] t (,4f'l/r) .(.,11)B)\IJ;b):t\{BUC)=={l\e;h{a\C) ;,) | (/;11r'; (.1 ./i) U(,.1',\(") ,, t:) (A\.,l])n C:{1xClC}.f {BnCi:,(rl-)fl'..8;
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 5/344
(). Sil se.verifice urmitoarele proprietif i ale diierenlei simetrice a doud rnul-
{ tnli :
rr) ;1 A {1 : A, A LE: A" i e) ,'{ A A: fi, A L'A": Eir\ A LB : fJAl ; cl) A L(BAC) : (A LB) eC ;
r) r n (Bac) : @n B) LiAn c).
10. Sir se d.emonstreze c'a:
a)Ax.B+b<>A+A;iR1fl;l,i , t ts:B x A<+A:Bic) (A xC)n (Bxlr).- (l n a)x(Cn D)"
ll. Dac;r AnC: Bn C ;i A UC: B\)C, sl se arate ci A: B'
12. Se dau mul{imile A = {a, b, c' d'r,J} 9i B - {tl, t,f, g, k, k}'Si se deter'
Ittittc mullimea X astfel incit ALX:B't 3. Si se deterrnine rnullimile A , B, E (A, B CE) gtiind cI
AU B : {c, d, e}, A": {a, b, t, .f, g, h}, B": {a, h'', f, g' h\'
14. Si{ se arate cI:
rr) (lfi B)n (,4 UB')" :a : b) (,4 UB)n A" : Ijn A"'15. Sir se demonstreze cit":
;,) ( U A,) x B : l) U, x. B). () A,) x B :"n,(li x 13) ;
r€r iJt i€r iel
l') (U A,xB,)C{U A,)x(UB,). f)-(A,xBt}:1n.A') x (.O.Bo}'i€i -
'idr " 'tEt iel iel icl
10. Si se scrie elernentele mullimii A x B x C, in cazurile:
;t) A : {r, z}, B : {*, b, c}, C : {x, y} ;b) A: {1, zI, B : { : {a,b1 c}"
1.2. Rela{ii
() rt,lalie p in mulfimea M este o submullime a plodusului cartezian trl X XI. Faptul cb
(r, 1,) r.. p, se ma.i noteazir frPy. A relafie ln ilf este:
rr) rcflexiv5,, dac5" pentru orice x e NI, arrem lPx i
l') sinretricd, dacd. tptt + yPx;
t) rrntisiuretricd, dacd rpy qi ypx * , * |
rl) tr:rrr2itiv5, dacA .rpy ,si y,oz + xpz.
() r.clatie p car.e este refiexivi, simetricS. gi tranzitivd se rlumegte relafie de echivalen 6' Fie p
rrlnlrt|iccleeclriva.lenfdpell{.Nlul}imeaLx]*{yb|eIw,ypx}senumesteclasddeechi.ralen}5lntrtplt l ctt P.
tl r<:ltrfie p in Jtf, care este re{lexi-2d,, antisimetricS gi tranzitivi, se nume;te relafie de r:rdine
It.i ill, iirr perechea (M, p) se nume;te mullime ordonatd.. Dacd (M, p) este o mulfime orclonatd
+l lrr.rrlfrr rrrice z, y e hI are loc rpl sau ypx, atunci (J}{, p) se liume;te total ordonati.
1.2.1. Probleme rezolvate
I l,'i,: Xll : R x It. Sl se arate cl relalia p in futr, de{init6 pri-r,(ar, bt)p(ar, br\ a + rrr (rj, csto o relafie <le echivalenl1'.'
ir;:rluutt. Iividt:rr1 rr:kilia p r:ste reflc-riv5, deoarece (ar, br)p(at, &1); este simetricd,, Ceoarece
fes, 1,,)1r(,rr, t4).+ (us, b")p(at,.br); in sfir';;it, eslc trauzitivh,, <Ie<.rarece (ar, br)p(nr, br), adic6 Q : dt
gl (,rr, lrr)p(rir, lru), tulir:li, aL'.: (tit, ilrplich. (ar, br)p(a", Dr), actictr d1 * &s" Deci p este o lela{j'e do
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 6/344
I lrrrrrrtlliln,r rrrrrrr, 1,lrrt rlrupl,..,,, I ,,.,1, 1r1,.,,1r.tr.1 ltt,lr)l)t 1t:tQ,1z<.+izll :lc" i i r ,r .lt:tl' i i ., , t, rr t,lilr, rl, ,, 11,, r1,,1(,r .,r
,,,r':;\,'lt;\.1.i/,t:zc ciasele'de,rltt 'l ,,t,l: . ':- :fi ,.:.,. , i i, lrlt.r r, , ,t, r. ll,,,r:,t, .,rril,,lrrrri. si trauzitirS,, Irrin urtnare,:, i. , rrli. i. i,i .rt ,,1f, I 1ir,l ,l rr | : r , , l,r "r. ,1,^ r,,.lrivir.lonf5. l;r] este mulfirlrea [:rl _.t .,rf tr,., ,, t1,r,r r li1,,,i l1J ,r,;r.trrrrr:i lzrl:{{x,y)lrs+y::re;.,ailica
r ii. r I li; t ,trl. ,,r,,,,1, ,,11, Jll,t irr ;rl.rrt llt (tcrr) r;tr c.rLtlttl in Ofigine,
I i, l l,r, /,, ,l ,,' r,,.1,,{r., p .,1(a, a), (b. b),-(c, c), (a" b), tl), c), (a, c)}.,1 , ttrl' r 'r ,, i.,,1,, ,, ri,l,t(rr,,ir,()1.(lilrtl tOtali pe AI .
i'"t''
l'i 'lr,ll,lrrl ttt,tt irtlii r:,i, rcl;r,tia, p este o relatic: ck: orr.liut:. ln baza clefiniliei reta-li"i r' ' :"'l. r,r .rr,,r.irit, .rrr: rrrfr.ri'u;i cle.arece (x, x) t= p pentru orice n e .M. lreratria p este,f lllr',rr,, rrr,i ,ll,ril.lr'( r., rl;r,<;L (.r, j1l) € p gi (y,
")e F, atulci .v :1r. gs verific5 usor cA p este gi
lrrrlr' rlr"r lrtitt rrrlll;r.r1r, p cslr: o relatie cle orcline. Apoi se obserrd, cir oricare do'I 4intre elemen_t'.lr ,, /t, ri :i. irllir irr rr,:lat_i:r p 9i cieci p este o or-cli'e totali.t pe.4,1.
1.3. $tructuri
Se nutneste grup o mulfimc ne'riclli G, inzestrati cr: o operafie hinarr irrterrtr, o : G xG + G,:.ai ;.-tlci;id arxiorrrele :
1] (xoy)oz.: xo(i)az), Yt, 1t, z € G (asocia,ti,ritate) ;2) 3e e= Glxoe - eox : :v, dx e 6 (e - elemerit nculrrr) ;3l V,v e G, 1x' = Glro{ : x,ax - e (2, _ elemerrt sirnetric pentru r)"l)a.c5, ll grupui G are loc gi axioma
1) toy: yctx, Vx, y e= (i (corriutativitate),atunci grupul G se numeste comutativ sau abelia.n.
O rnultime Q pe care sinf definite doud, oper:ifii Lrinare inleire, una arXitivil e : J.xel-*&,faf* de c:rre J cste grrrp al.iclian rina de inr''lfirc _r
1.2.2. Probleme propuse spr.e rezolxrare
',frjs",.or.,ric1eri. nrultim-ea ll,f - {r,2,?.,4} si rc.lafia p in tw,ciefiniti prin p .-. l(t' l)' (1, z)' (2, t), (2, z), (3,J)i. S:r se
'cririi-cci rcrafia p esr; i-*iri.e
;;i tranzitivl, dar nu estc rc{icrir,;-r. ". 5' ln-mulfimea nuruerclor intrcgi Z definim relatia tle congruenfL modll*w(tit e= N), ,, = rnod,yn,, , frln a -_= blmod, m\ *- a- _-i ,- *.-SA se-araie ;[ ;;;;;i;rcll" ie este o relaf ic de eihivarcnfn 9i si. se precizcze clisele a" -rrrirrii""F. ""-""'"p; l'-ie. P o reiatic ir.r nttiltinrc:r ,11, simetricii- si tranzitivS. SX se arate cf, <1aciptrtttr-n orice a e M existii tt.' €: JI astfcl incit ,r,pn,
"",riiii feste o relatie d; *;iri^valen 5-.
,__7,. L,i, pi o.relati{j in_nr*ltimca X,, I : ,l_, 2,,......t ?x, $i p o relafie in mul}imeaprodus cartez-ian X I, X XrX...X f-, ,_l,,liniti'frin(xr, xr,...,x,)p()r, t,,..., 1,,)** -\:igi).r., i- 1r 2,...,u.
5i.':r-'arate c5- p are una tlinproprietir ilc: i.-r:flc-rir,'r-r, siruetricl, antisimr:trici, tranzi-tirj, cinaci Si.numai da,';i r-r'lltir'1,, p,, I - I. Z, . . ., y,,,,, accc,o;i pruprl"i,, t",8r In muitimer M,: {.?. f, c, Ql se <lcfinc;te rclatia p: {6" d, ft,,h}, {c, c)"(,1,Yi),^ (a, b),' (b, c\, (c. t't\, 1rl, a1,r'. [ri"
".".,rtao relalie de ordi'e ?
i9' ln rnulfimca nurncrelor rta.turale N se considcrir relatia g definitiL prin ,x <(-1'+> ls e Nastfelcirrr: r -l-:.s[searatecl" g r:steoretaiiedeoldiietotali
pc N.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 7/344
.t) (.rQy)Qe - I'ATA:), Yi, y, z ez J,t,) .r,Q(y@:) * nAy@xAx, (:,,(}.)O.r :1,()x@t,ex, y*, y, x e g-
rrrrrtrtslr. inel,
It;r.r;ii, inntultit-ea este colnutatiTl, inclul se numegte contuta.ti.z.lill corp /i este un irei in care elc,ntentele neuule fornreazi un glup pentm irrnrrrltirr:. Corpul ff
rrrrrrrtste comutativ dacir eI eslc incl cornutativ.
1.3.1. Probleme rezolvatel. Sc considell rnullinea G -
.{(xt, xz'} I xt - It... f 0l, .a-" e }il gi ope-o, clcfinitir astfcl: (.ur, xr')"(lr, l r): (^,r.y." rz])r-l ll:j. Sl'r .-" ,,..i,, ii iri..,t-G formeazii grLljr fat:r cle opcratia dcfiniti.
ti, rt111117's. 4.1 g9_.:*l-1yl-tp.--1-"-. Avern [(xr, xzjo(),r, yz|)o(:t, :) : S::r1'r, :rr1i 1 1,.)o(:,, :r] :{rlr'f .i1, xrytzl * 3'rzt * zr) qi (xr, x")ol(yr, yr)o(z* zr)) : (tr, xr)a(1'r:r, 3t,:, I, z2') : (:rfrf1, xrlr:1*I I l-:r). Courparind celc dor:5 r"ezultate, oblinem asocrativitatea.
| | ,,t:,g'"A. - 4-g-11-l1-1. Ciutim"
: (tt, er) e. cl(er, er)o(rr, x") : (xr, t,)oQr,
r, ,,,) e G. Oblinent (xrer, x,e, * e:) : (*r, ,r), cle uncle cleclucen c, : i, g" : fl
' t,. Accst elernetrt satr:s{ace egalitatea ceruta.i Icrnent sintetric. Pror:cdincl in mod ast:rni.nlitor ca in cazulclcnrentului
.. \ - /,. - \ri/-
\r1, ,2/>
si rlcci e: (1,
rrr:rrtru, se gir.,
l, ;rq.v1{v11 c:leme:irtul (xr, xr) eG ciernentulsilnet.i. lr-l, - " ] = "." ^,)',, ('llserv5. cd G nu este comutativ.
.f. Nluitimea J-: {x: x, +"/Zxrl
x,, :r, € Z,t formelziL irrlj falii r1e (}pera-,rlrisnuite cle adur:are yqi inurultire a.1e nulncrelor l.i.likr.
l"t:.,t/ttare,Se ver:ifici axir,,mr:ie: J) (r1-y)1-z-a. *3,r*;r-l-.,,'{,,+.r,2 lz2) :,r_ -(r'le) ;2)x-Fe:e*x:x+..rr-l-'_\+"/iirrj,ez') :*r+1flrr--.>er==0 j e,:0.+r:*
,t;3)VxeQ, lx'e/lxri. *r:-JZlxr*x"):0=r"i: -rr,.t: -xz,circi r":-::r--Jr t 1, *xt+lr+14*r* j'z) -..1 -l-r;5) (x.y).2: [.r,r',-i.),"u" ...'-: r-..1., 1x,-1,"\ -{:r:."./t^) ei,t', 1 I 2xrynz2 * 2rry2z2 -1 2"r1,rr"-,r/2t*tltzz l .11.\,22) + xiltrzl+-ti,,t22zJ':t .i,l, .z) ; o) x.(1, 1,;):1,, 1 Jz*r) 'l(l'r * r) +r/4y"* re)l : rtyr-l'n{l i Zxzlt,-)y,2x,:" t of 4.ru;rr p rr:2 -1
'y2.j'1-r"
',, ,) -' n" + x'8. Similar ty -f z).x : .x *:..r. Fr.in urllar€rr J eslr: irrr:}.
',,, olrscrr,'5, c5 i] este inel cornutativ, decarece ry : )j.x.
1.3.2" Frobleme proptrse spre tr'ezol\ra;:e
l. Str se cercetez,e c1aci. nrultimea numerelor reale It, ?irzcslrltj ru t,ircratia c,.
lrrrrr:i lrrin xo a x + y -f *i, formeazS. grup. tr)ar mulfimqa It\. {-i} ?.'''-l l,it: A : Jx 4- i yix, * ZI. S[ se aiate c:r. in r.aport cu operatiiic de a.,lu-
:,,r irtniul .ire a numerelor complexe, J este un inel ccnuttti\'.l', l-'i sc arate c:i multinea I(: {x * i y)x,l. * g}, inzestrali (u opefatiile
gi innlullire a lrumerelor coruplexe, este un corlr ccnrritairiv"
tr. irr rnulfimea numerllor reale R se definesc operafiile intenic: ,r @.y .-
r IJ,- 2SixO-1 =.=j:r.y-:,-J
Of3,operaliiie.l-9i .fiinrl opcraliile
422,r,ltttull('$i lnrnullirt'a Irlurcr'('l()r rcale. Sii sc aratc c[ R inzr:st.t:].ti c11 colc dou6cstc r'or.1r c<rntrrtirtir'.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 8/344
2, EjLaRtrENTE rlg ArGEB[*a r,SNIARA
2.1. Deterrnirean{i
Fre A - {1, 2,,.., rz}. Vom nota prin /p,, nulltmea tuturor grupurilor caie se pot
cefe n elemente, doui, ginpuri o.r,re.tre diferind intte ele prin orrlinea elernenlelor, Un
P e (1r,, se numegte perrttutare si se noteazi. astfel:
/t 1...,,\l) : N I .
\i,i, ... i.,/
I)ouf, elenrenl.e intr-o pt:rtrtrttare fortncazS. o in'rersiune <lacf sint asszate ln
,'I l. '. 'r\accleia rlin perniutareir plirr'ilr:tl;l U -- { l. t iirrd data perrnutarea P r=
It :...,r/o(P) nilrrri"rul tuturor invr:r:sinnilor lui P. Se nulte;te signatura lui. P il':mirul
Se numeste detertrinant de r.rrclinul tz truntirul notat prin D - det(at'), i, j -lrrrit
lrin
nrdinea
iD.,iu" rn
e(P) : (
t)
D : : e(P) ar,, ar,,..t'e./) ,,
Priu transpusul rlotentrinantulrri D se inlelege
coloanclor intre clr:.
l:'rin nrinolul cortt;rlementar ai elemetrtrtlui ar1 se iriteiege
notat D,1, obtinut clin 1) prin srtpritnarea.liniei i;i a coloanei
nuur5rul dr; - (- 1)'1'l)r,. ,\"zern
112... n\o,.,^,P--1 . I
\rr1".-. ?,,/
cleterminantul oblinrit din -D prin schi
determinantul de ordinul n
;. Complementul algebrio al
n Ii f0;1i
I n*ror -. 1)8;., )a*,*,t: Dd',/, ;rr: l.' . ' '.'li.:1 lt=-l r,l, a.:y.
llcntrl i:j ob{incur
Iln
Eo,ro-rr- D' E{12{t';p: [), i * 1,2,""" n'li: I k:1
forntrrle 11e rlcz,roltare a, determinantulni dupi, eiementele liniei (respeotiv coloanci) z"
Fir: r { rr. Se rturneSte minoy de ordim r in D rtn determinant M fLrrrrrat cu r linii 9i r
ntittor conplementar minomhii,Il1 cle ordin r, minorul N obfinut din /)
prrinrtreacelor r linii 9i r
coloane ale lui l-l'1. Complementul algebric al rniuorulur ,4y' osto ttu
::" (* l)s(ri/',V, s(M) fiincl surna indicilor liniilor gi coioa,nelor care cleterrniuL ,44.
Teorema lui Laplace. Deternt,inanlul D - det(a1) este agal cu sum& prodttselor'rninotilol
lini.i fixate Pr'in conxflemenlii lor algebriai.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 9/344
I-iniile tleterminantului p - tlet(a,;) sint linrar dePcndenie tiacf existd constarlele retrleli'
* 1,2," '' t', nu toate nule' as:1{el incit-) }'ia'1 * 0' j - l'2'" '' rt' f)elcrnrinanlul D este egal
/.l'tro clacl gi numai daci .liniile sale silrt liniar depentlente'
I)eternlinantril care are toate el.ementele de sub diagonata principalir sa.u dcasupta diagonalei
egale cn zeta se numcite cleterminant de {ormi triungiriulari'
2"tr.1. Problerne rezolvate
l1 Z"'it - I ir\l. Si se dt'tcrnrine signatura pt'l'nitltirtt /': I . I
\tt n - 1...2 l)
Rezoh.nve, Perrnutarea P prezintd, 6{P) : ('- \ 4- (tt - 2) + "' 1: (tt - 1)n'i2 inversiurri'
urmare, €(P) * (- 1)n(n-l)/2.
2. In clezvoltarea deterrninantului cle orclin pirtru, sir st: scric tcrnlctlii cic forina
11r(t(12.1G43 9i tlc form'd 6'1;&2ias1d 1v'
llezolaaye. a) Pentru a determina termenii de folma dpa2raslatt tre'buie, in baza fornrulei (i), dli'
in eo perm,ttd.ri de rorn.ru [1 i : 1] . Curn i 9i 7 nu pot luzr dt'cit valorile 2 9i 4, obfirrem
\iri3Jperrnutarile p1 -ll2
3 i\ ci rr -ft
i:1. f)eorir,:tv s(1,,) :(-1)':1si e(Fr) - {z t r ,l "" 2 -
[+ t z r,;
l)t : - 1, oblinem termenii * an azt asc ess li *dtr azr dsz ott'
b) pentpr terrreni de forrna dltazt aaka' ci'td.m perm.tirrile de {orrria I I 2 -1 4} l)i ,)ar..e d- ?
\i 1 n tllpotluaeumaivalorile2,3si4se oblin termenii -dlzoztaeton) -{trdzq us2a41i -il14a22a33&rr
arrar*aeaaill * arzdztar"{t41i + aua2taalatt,
3. Plectnd de la definifie, siL se demonstrczL- ci-I
lur,() ...r)I
1c.,, *"...0 l-l',' ::"' i :,ftr A.::,..,1o.,.
1,,,; .;,. ",. 1
Ilezolua,re. Deoarece fiecare termen din sunra (1) confine cite rin elcrtt':nt cle pe {iecart'iiriic',
eb pentru a, avea terrneni diferifi rle zero trelruie crit i, si {ie 1. Jrrirr urnlarer l, pc':r;e lua
2, 3," ', r* pi cum aat,* A pentru a, : 3' 4'" '' n' rez't]r.| cYd i2 ='- 2' Itaticnintl in tii;est
urai d.eparte, otrfinem c5 lingurul terlnen cliferit de zero este acela coresp'unz:itor pernlrrtirrir
4. Sir se cal.culeze complernenlii aigebrici eii elernetitelor tlctcirr.iinartului ll :I 2 3l'1iIttl-n -s 0.1 9i si se veri{ice formulele (2).
I z 7 4l
llezoluure. Folosind clelinifia, aven all * -- 20, d,, o * 19, cr1, " * 5, ctn == ?'4, u"zz'* 1S'
* 6, 6{s1 e * 32, ar* * * 8, crl,: * 8. Forrrtulele (2) se scriu
rag1n17 f a6u2, * Qtsuat - -D311, allcrtr * uz$n { as{i4: D8,t'
l)o excttrplrr, pcntru d * 1 gi 7 - 2 treb,uie sd i"eriJiciimcd
r1110t12 -1- cz12t2x -i' drtdsz * 0 9i arrar, * aatdzz -f aq1as, =- <)'
vr,rrr : 2( * l9) -+- s.10 ..1- (- t) .(-8) : 0 si 2 .21 .1- (-6). I0 l- 1.6 - i). :iinritrar se ,rerrficS I;c|tru
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 10/344
5' Folosind reducerea la forrna triunghiulari, si se calculeze determinantu
D:| 2 3 1l
-2 t -4 31.s _1 _t 2l4 3 _2 *li
Rezoluare.
D-
Folosind proprietdfile determinanfilor, obfinem succesir
: : : 1l ll2 3 4l
l,z 3 4
-3 -; :i ;l :13 _,; _,; _i,q-l; I _; i:4 r -z _'l lo _5 _t{ _t7l lo o _tz _6
lr 2 3 -illo 5 2 rrl
' :lo o -i i'l-t'5'(-6)'(-:o'-e6s'lo o o -iol
ln penultima egalitate s-a folosit raptoi c), valoarea unrri determinant de form6egalS cr: produsul elementelor de pe diagonaia principalii.
6. S5" se caLculeze determinantul Vandermonde.
: (az - atl@a * at) " . .(a, - ar)V,a(as, aa,. , ., aoll.
triunghiular2l es te
Rezoluave' lnmullim rinia n - I eu *a, gi ad'ndm aceasta la linia ny apoi, larnulfim li'ian - 2 cu -ar 9i o adunitrn la linia n - l; ;.a.rn.d. inrnutfim linia lntli cu -nl gi o a4undm lalinia a doua' obfinem apoi, prin dezvortare dupi elementere coroanoi intii,
I:l a" - d, on * dr
o *"(n, - ctr). . .af;*2(an - ar)
Frin urrnai.e,
V,,(a.r, a2,..., an): (as * at)@a _ et).,.(ao _ ar)Vn4(a2, as,..., a^).
Similar oblincnr
V,.-r{nz, es,. .., a,): (r, - *s)@i - dz}...(a, * ar)Vo-r(au, o*,.., an),
V"(a,_t, ao) : (a,, - an*t).
?nmulfind mesrbru cu rnernbm acoste re.Ia,fii, obf.inem
v,(ar, hr,. . ., d,):
(* -:,,f : Ir . . .ft: ;j ;
x (*r - &t-t) -n
mt' i-rt>j
(ai - a)"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 11/344
7. Fie Dn: det (a,,);iD, : det {tr'-ra,i),}. e R\ {0}.Slsearateci D*- 6otvie-P\{0}.
Rezolaare, Scoatem factor forfat cle pe coloana i (t: l, 2,..., n) pe tr,-t, astfel c6obfinem
\ (n- I )+ (n-3)+ ... + I + ( 1- ni+(:-n)+.,. +(- 1)n̂ _. ut.
8" Si sc demonstrcze identitatca
Rezolaare. Deoarece determinantul este funcfie aditivS, de elementele unei coloane, prin descorn-
grunere in sume de determinanfi, obJinem
lu+oc
ldo-rbl
lab c
l++, /+t' e -sl:zle s v
ly +, z+z t*yl l, y z
lo+t c+d a*bl ln c+a a*bl lc cl-a a-lbllu*, r*P p+ql-lq vtP p+ql+1, r*1, p+ql=-...ly+, z+r **yl ly tl-, *lyl l, z+x ,-lyl
: l; : ;l.li i '). . l: ; '):.1; i il.ly'*l lry ri l2 x yl l. , ,l
9, Iiolosind teorema lui Laplace, si se calculeze determinantul
tl r o o o 2i1
ijo r o o al"Dr:i* 0 .r o 41.
lx x 0 I 5l
lq,*oPqlRezofuare. Vom dez.rolta determinantul Du dupSpfb9hdp.u4-[qg..Qe pot forma Cf, - trO mirori
ordinul doi, cu elernentele celor doul linii. Diferili de zero sint numai rninorii
M,,:l; ?l: ',*,,:ll:l:,.'.*:il ,,1= -
algebrici ai acestora sint t
11 o 4l lo r oltt'rr: 1-r1la t 5l: 6 - ux, rw;u:1-ryl* o 1l -
l,o 6l
l-, ol
- - n, *;,: 1-r,,1.. ; ll : x -xa.l. , ol
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 12/344
10. Fie detenninantrrl
lar, ar' . . ., eo) :
ar I 0 O...
-l az 1 0...0 -1 cr:t 1..,
0
0
0
1l 0 0... -*1
lor, *n, . ,, w,',).lu,, da,..., ao): lar, az, ee)'lqo, ar, ..., e,) * lat, ar].
Rezr.,Luare. Vom folosi teorema lui Laplace, <Iezvollind cleterrninantul clupd, primele trei
Singurii nrinori de oldinul trei difelili de zero {ormafi din priurele trei linii sint:
Mtzs :ar I 0l
- 1 az I l: Lat, ar, arl, tulrro:0 -l u"l
: ar, L'I,.tt :r 0 ola- I 0l:1.
-t dr llCr:mplr:rnenlii algebrici ai acestor minori sint:
dt 1 0l
-1 n2 0l:[ar,ar],o -r rl
Mrtt:ar 0 0
*1 I 0
0o"1
.11;r, - (- 1)1'
.ilq I 0...0
-1 ds 1...0
0 0 0...a"
: Laa, (t8,. . ., arl
r 0...0 |
a. I.. o I
-r "" 0l*'o
0'.,;"i
riJ
L- -)
iL
?.q 567531
: fau, cta,.. ., an\, fuIi"o: 0, Mt a * (1.
Frin urmare, dupi teorema, h:i l-aplace obfinern i<lentitatea cerutA.
11. Se se calculeze valoarea pltratului determinantului :
t?ezotoare.o".", r? : I; 3 3 3
I - r'.
l0 o 5ol
lo o o 5l
2.
12. Ctte inversiuni
, (t z 3
"'tr t ,
d\ (t 2 B 4 5 6'1'\9271854
1.2. Probleme propnse spre rezol\.are
prezinte Jiecare din permut:irile :
45\ ..trz 345'i ; c) fi t.i,
z3)' o'trr54:j\ujr
: :), ", (: ? ::Z\',]' ) l
.(t23456\t)
6\.4)'
() '1.
8\
,l;n
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 13/344
{3. Irolosind defini$ia, si se clezvolte urmS"torii determinanli :
a) D, :lno, oo,I r b) D, :li':: :;i lI
|, .l ,^ :lrii ,ii ::: li,lo^ orrl
ior, dtt o., Il:"n', ;"r:* dta 4rt
.4" lio osind
Dt:
ile{ini ia, si,
1 -.5 zl
r ) rl,t,4 -.j ti) b)
calculeze urrnltorji determinanfi :
z L -2 7l 13 5 4 7l
8 3 : ll. .,lt ll10 sl
6 3 z tl" /lo o o zl'ro z ) ol lo -5 o 7l
15. Si se scrie termenii cle forma t41i&x{\1 clin dezvoltarea deterrninantului
de orclinui 3, precizindu-se semnul fieclmia
16" Si se scrie termenii de fonns (t,1ia21&sfiss,avind semnul plus' din dezvol-
tarea rleterrninantuiui de orclinul 4.
17. Folosind clcfinifia, si sc aratc ci
l"r,atz att ar4
I dzt dzx dzt dzt
lo", dtz o o
lno, tutz o o
lou, daz 0 0
18. F-ie
4 5 3l8 I rol, D":tz 3 1l
z t -2 7l8 3 5 4l n6 3 2 t\'us:ro 2 2 o[
4
1
2
J
al
1
0l11._t'rl
4l31.2l
-11
deternrinant
arsloz,
I
o l:0.oloi
ls a z -11
tll | ', - jla"pa elementele coloaneiadoua.
l*d5-411l
1l:t*+ 15b I tzc
-
l9d', dezvatttndu-ldup5
rl
c
d
II
I
I' c)
I
I
ta'
0y0e n
2
-t3
-4
3243l4t2
e)
I_)
3
4
23l-4
*4 -1.1, _,.
fiecirriSi se calculeze cornplemenfii algebrici ai elementelorgi sd se verifice formulele (2).
19. Sd se dezvoite determinant
l1 -:120. Sl se arat,, ci
il
-;:l: -r 4
elementele
21. Se
a)
iiniei a
se calcu
lol-t ..I'["0
treia.
leze determinan
l -i 0l
i ; -;l'b)i -1 ol
13 6 4
lo s 4
d) lr 5 3
Itz 9 6
i: ..rt.
l1lrt'-lrla)
IzJ
1
2
*35
0,
0
0
u
- 1 -6 I
-5 -131,-2 - 1l'.i rl
b
0
z
h
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 14/344
triurrghiularl,
r tl0 2lr rl; c)
-2 -11-6 0l
a)
22, Folosind reducerea la fornra si se calcr.rleze deterr,ninantii
1 2 (r I I 3l
-r -l o 2 -i -'1o r-r , i -;l2 3 I -l , tl
-t -3 I -l , ;l3 I I -l , ul
egalitiitilc:
2 t -2 7l8 3 5 4l53
"1,b)0 z 2 6l
'))-1 -i _3
t2l3124
-)a
23. Un determinant in car.e ai1 : -a;i 11 ait - 0 se numc;te deterrninant strimlosimgtric sau antisimetric' Si se calculeze valoarea deterrninantului strimb sinretricde ordirrul 3.
Gene'ralizare.oricedeterminant strimb simetric cre ordin irnpar este egar, clr zclo.
I i :,1, . fiinc rltlicin;r t.ul,ici cornple.ri a urritijtii.r (d" <,l
24. Se se calculeze
25. lidri a se .-lezvotrta,
si se
la l, c
n) 1,, b1 c1
lo, b2 te
la-nc) ja*,
l,-"
a -b-dt b1
. dz-bz
P-qq-vv-p
1
b
br
b2
I
c1
a2
f)
rlernonstrezec I l"
-" j; r') jlt+ I IAd
I
lo d
.o; ar li :la b
0tI a ),,t a1 ),1
I ar|).,
I lno a.
l:l* b
I l"u c
b "l ltq r l--lurpbp ryl i.
b cl lo I
, bl lt {)
o "l:lt c2
o 0l lt bz
Ie+), 6+),D, * l' c1-l- ),1
bzl\n cr,l),2
o"l," Io'1.
llacq a br
9ru-p13 -v\*a
lot
ll a
I r a7
it az
e)
+ ...
rnonde
itorii
0 0l
0 0l6 0l
i:l
fez
nd.er
urn
6,0
5613010, f,
lr
m
0
6'5
1
0,
+
an
V'"(ar" ar" ...,6,)=
'*ndei,*V*(ar, az, . . ., d
27. SYa, se dezvolte
11
0a2riz 0
a,
b2 b3'\
(dtr, a2,. , ,,)"
an{i:
vr,
r ir
* a,)
cl et r:r:
26. S5. se arate ci
It I ...rI
lor az ,..an I
i .l: (o,
I' -' a -2 . . .an-z I
loi a[ ...aiI
,) este determinantul V
dupb regula lui Laplac
tr 2 2 r 15
il li j ? b)1,;
lo 2 o rl13,
illt
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 15/344
I7
4
9
0
0
6
0
o
0
0
0
0
LJ
944538
f t <o c,2.rlz I I t _z itl. cu,cu3 ll I r t
't-;ll"l 1"'i:l-' t i ;l
;i sd se carcureze""u,11",
'n",1.-1"1",r1,",t,*,1"r. t.'l
ll I Io o'ol12 3 4 r) {} {,1
., l; : it Y I lf,or15 1.5 24 I 5 oli,) 21 JS I 25 gll
efectueze urrnirtoareie produse de deterrninanfi ;i apoi si se verifiee..in calculdirt'r.t :
'l; ;'il i I ii -il',ft';ill::3;1,
? ; ?l l" , ,t I -1 -: -z :l j r o o ol
rili tl i'"1'''l-';
': li l_; ::il
isinasirra
-l i lsina sina 1I
c) lsinz -t sinej.fsina" r .inal.| -l sin:r sine.J I t sinoc s;nal
SE
pr
l1
lol1lo
c)
28. Sirrezultatul
29. Si se calculeze pitratul tjeterminantilor :
al.l
t.-b
I
al
arate c5;
lo ' bla) l" o ,l; b)
b o ol
I t I 1... r 1
f -r2 0...0 ,rl
.) I 3 -; -? : i il; ur
tto o
11 r I ),1
li i i li,^=*lr. I I rj
C
-dq
b
30. Dac.i. co este o ri.dlcini cubicii complexi a unitilii,si se
,rr,,ft;r,t':se cerii:teze <lependenla liniari a liniilor (coloanelor) qrmitorilor deter,
1 0 0i
2 t ol--r 2 ,l'
l-z _5 ol ll 2 lt
" ') l? : -,1; b) lo r il; c)" lr z _tl lr 3 2lj z I i _rl l: t , ;t
,r)/-,' I -j jl,"o j1 i _l ;l,oi I 5 o rl l; .i _.j :l
32. Si se cajculeze valorile determinanfilor :
art an-l dn-z
-1 x 00 -r
000
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 16/344
2.2. Matrice
o rnatrice de tipul (m, r") pe un corp 1{ este un tablou clreptL:nghiular cu ;I liuii si ti colo:rne'
{orrnat cu elerlente din K. Notd,rn prin M,n. n mullimea acestor tuatricc' I)aci' nt == 'i,sc sprtne cir
qnatriceil este Pilratd,.Un minor de ordin p ai matricei I este un cleterminant cle orclin p obfinut riin "1
prirr srrpri'
,mar9a a nl*p linii }i n-2 coloane. Se nurnegte rangul matricej''1 €M,n'n trurnd'rul rirrrg
A = r 4 nrin (m, z) astfel incit cel pufin un minor de ordin rzr,1
matricei Ieste difer:it de zero
pi tofi ninorii cle orclin P b r * I slnt egali cu zero'
Nurnirul maxirn de linii lir.io, independente ale unei tilatrice estc egal cu nutnirul irlaxiilr dc
coloanc liniar inclependente 9i egal cu rangul matricci^
Sr: riuntesc transform5ri elementare asupra lui ,tl e= fuI ,,, urtlitoarele operafii:
a) schirnbarea a dou'h linii (coloane) intre ele:
b) lnmullirea elementelor unei linii (ooloane) cu un scalar nentl:
c) ar:hrilare:r la elernentele unei linii (coloane) a eletnentclcr altei linii (coloanc) tnrnultite cu
ulr scitl.ll n( ilul.
Io:ite rnatrict:le otrfinute din I prin transforrnEri elenretrta're asupra sistemului clc 'reclori linii
(ccloane). au acc'la$i ran5. Prin transfornttrri elelnentAre oricernatrice A poate fi aclr'rsi' la' iorrlta
canr.,rric:i rliagoneLii, acjicir, o lratrice aJind toate elementc]e zero cu exceplia pritnelor r oletlente
de pe rliilgonaltr pr.incipali care sint egale cu 1; r este rarlgul nratricci"{'
]:iele,tl,,,,,,.Ategirrdp(<nt)linii5i4(<r)coloane,cuajrrtoruilorsepo:r'tefortna'orta-rriLle de tipul {p, 4), nunrit' o subrra,trice a llratricei,4. Daci liniile 9i colo:rnele alr:lse sirrt adia-
ce*te, se up,.r'"i"d, sub''etiicc:a este un bioc,ie eleqnente clir' .'l . irnp:ir{irea rrnei rrrrtrite iri cr'lule
tlreptuirghiulare icrrninci sutxratrice ale sale se nume;te partilronare. Egalitatea ;i opc|il liile de
,la rnatrice pot fi extinse la matlice partilionate in blocuri'
2.2.1. Froblemerezolvate
tr. Sr'r s{:) i:czolvc sistemui
2.\ -- .5y : ,4 i
-.\ -t- 3I' : B I
,:(; -i) ":t:
-i)'-{:i):l:i}
o\ 11 r ()\ .li l\ /1 3
il Ir i 'l--i,' I zl, A,-4.+,:lo r
tl\,,otJ\otrJ\oo
i\0)
Re:oluat'e. Ilin a doua ecualle avem
nrenr. Y:A+211. Deci X--3A+58.
5i
oj
X :. 3Y - B, astfel c5, inlocuind in p;imo' eoualie' obfi"
lnlocuind A si B, rezullf
13 *1r ll
15 :j'':lc
2. trie rnatricea :1 :
'trlezalaare. Atettr
Jl I
A,:.1'l:10 I- \o o
I i)tl se c4lc.l.eze An."' ln
r0[ 1-5
l1
i:
,. l.r --()l ,
^:
{o tJ -
irh
.,1r.t- 0
[0 I
J\
il
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 17/344
crca ce demorrstreazA formrrla.
3. Fie nratriccle ,;l It 2 lJ]aga fel incit -B : C.{ ? t' -- I 4l
fi;rrrul5" prin inducfie. Evident, pentru A : 2 aceasta este ade,
[,,r,]rulil tlc rn:Li sus. l'rebuie s,l, arili.m ce
1 )t r IA(h+ 1)
\,l 2lt '-'1,, , o*, I
\o n i )
irft+ l) \
'-i " l,ft-r- I I
1,1
Existi o matrice i$
I)enronstld,m aceasti ultirnlvi.rati.. Irrr-.supunenr rl I dlLt tle
A **t: A
A(A-1) \ {, u_
'l:l'ji B:{j
;-TJ
fr t
71141000
ti i o\/1 h
er:lo r lll\o o rllo I
\.0 0
Rezoluare. Deoarece A € [[z.s, iar B e M2.", cd.ntd.rn c in Mr,r.Irie c: i"yl. n"u]ia8:64'
\z tJ
cste echi.ralent5 cu sisternrrl x 21': l,2x - y:7, *3x*4y- - 13,. z+Zt: j, Zz-t:A,-32]-4t:5. Rezolvind acest sistem, oblinem r:J, : -1, e:1, t:2. Deci r&spunsnl esto.
irlirnrativ;i
^ iJ, -rl1r
"-t'' -) l
4. Sh se arhici matricele urmirtoare la forma canonicii diagonalS" gi apoi si secicdu'::i r"angul. S;r se puni. ln evidentl liniile sau coloanele liniar indepencdente :
' "4 l{) i' '' | -1 2 3 4r
r + I rs t\ | z l -r 2 oiar .4r= i,o ,, ,, izl;i,; Ar:l-, z. L t ,f
\ I 7 t7 .r/ I I 5 -B -) -l:i\j-7B9t3t
Iltttirrl.t'e. Vonr nota faptul cir, cloli rnatrice I pi A sint ol-rfinute una rlin alta prin tra.ns.l<rlurirli rlerrrentare astft).: A *IJ.
a) \'orn pnne in eviclenfi, ci:loancle liniar independente: din aceilst5, ca.uzh vorn face transfor.tttii,ri eJc:rentare astllra liniilor" .4,'renr :
c.
3\sl--l-
-r3 I
, 1)
:,ttc, t,t cQ ,ct
I 7 l- t, -.1.-t0 1tj + \ r\ rl l,'I l, I\ il rri li,\ o -i tri li \,,
ca c4
l0 1, -.1
lri, tlI
4()r 17 i I
t} 3J*l
a
3\rlnl:""'
01 02 a\ cq cl
I t / tt .)\ i'lo { to 1l i{l'Io.i ro 'l^"t'()
c" c^
711
-20 * 50
-52 - 130
410
(l cz
{.} ^l
-1 8
1{) l8
t7
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 18/344
l'nr:cnr rr,r":rrrn trarrs[orrnA,ri clenreniare asupra coloanclor. Averrr
_7, _t7, _3 114 1lr0
[t 7 i7 i\ (t 0 0 0
B,:10 4 r0 tl_lo I t0 I
' lo o o of -lo o 0 o
\o o o o) \o o o o
Prin urmare, rang l, : 2. Din matricea B,
de eremplu coloanele c, gi cr,
fi luate ca liniar independento
)(ise vede
_t _t
00110000
c5, pot
0 0 0.
I 0 0\0 o 0f0 0 0)r fi
-3r { ; I -: li - i?l-f-r -r ; r il--t6l r i-ro n-rof
r' \ .3 o z -4 tlJ,
-J,
Irt 1-1 2 3
ul 2 t-t z
'a":i"l-r 2 r r
1. I r 5-s-5/u\ 3 -7 d I
I -? - i -4
i3\i,',1:tl); :i t: : : 3 i
1 I 0 0 0 0t 1 I 0 0
I z i o o ol I z I o
-l-r -r -z 4 -rl-l-r -l i
I r 2 o o oj I r 2 .o\ i o z *4 t, \ 3 o _l-t
I
T7l)eci rang Az: 3. Din penultirna matrice se vede cI
lr, l, qi lr.
5. Utilizind' submatricele indicate punctat,pentru
' b) Vom pune in evidenli liniile tiniar independente. Vom face mai lntii transrornrS.ri elernentarecoioanelor. Avem
,-,4r / 1 0 0 U
ll0l I z 3 --5-4:l-l-r r r 4
- ttl I r 6-ro-8ll \ 3 -4 2 0
_14.
oot fi luate ca iiniar independente li-
s5 se calculeze produsul A.B,
l' 3 0: 2r 11 -l:4\A:l':1 :-llsiB:l: :':l\_i _;;/ \;;,/
Rezolaare' Fie A11 gi 811 submatricele corespunzdtoare partifiondrii ln cele doud matriee, Avem
e .n : {A, Ar"l . (8", B$\
-{AnBr * AnBn AnBrz * ArrBrrl
lA^ Arrl tB, Brr \ArrB' I AzzBzr ArrBn I ArrBr"J '
AilDn+o*u^:t_1, _:l ,: -'r).{_il.(5,0):(_'i _iJ,
. A,,8,,*A,zBzs=i_; -:l [;J.{_ii,:[_il),
\
AnB\ + AasBsl: (-l
AzrBn + A22822 : (- 1
-''ii -jj * ' ''o) : (r8
t4,
-3)'i;f+s'z:o'lt3 -3 16),":tii _j -t)c5,
-8),
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 19/344
fi. Utilizind submatriceie,ti)'u )'r) din sistemrrl
llez,Jtate. Itir -tr,: {32
- [r 0
"'== i:J' ":
[?,]'Putem scrie
sI. se calculeze perechile de necunoscut e (xr, xr) g
;.; ilt;l (;lr3
/rIl0\o
Ii,) n":o.:t'l 3J,",,*i; ?) "-il) "-ti,:]"
E"td et i:;) (ll - [;;]
*. iji; It',:y: i;]gi adunirrr la prima. Obfinem (.ln - ArrA;rrArrlx_
Gisim ,y : l1rlt: (_;J. Din a;"". ;;;" obfinern
Inraullirn ecuafia. a dor,ra co -AnAlzl- Bl A orA;1Is * de uncle scoatern X.
v t-l n l0)i
--.,, -EIi.' tll
2.2.2" Probleme propuse spre rezolvare
7. sii se de:termine matricere pitrate x ;i ts, cle ordinul 2, satisficind rerafiile
3\ l_-ty:( . t) , _zx+ 3y:f s -7\[-rz sJ' [_s _o)'8. O nratricc nilrii.ii /
.==(n1) eslc sirnetricf, daci (xil : 6,t,i, J : l, Z, . -.,n.\latr.ict,a ,4 este a"tisirnetri r,"'"d;L;";:r': _^o,,, i,-j : 1, z, . . ., tt,. Sdse arate c*rrrice inatrice pi.trata ,^:^l,"lt",a9i9o*p""e in,mod,urri..n
,o*" a doui. matriceltt;t,.:itn*trici yi rrna antisimetrici. 'ravuurrrv
Ld 5t1[ra a Goua matrlce,ru sc scrle descompunerea pentru rnatriceie
.{3 -l 4'l (-4 5 _rr
",t-; ; ?,j,'[ : j -il9. .Si se alate c.-r daci. matricea p este idernpotent a (p2 :p), atunci matricea .: zt) - E este involutivir, 1i;:-r,"n fiirrJ.;;;iJ"l'.,rJt"t").
n,,,rrl',i1l1"tttmatricea / este invoiutivi, atunci matricea r, : 1r + E) l? este idem-
c) Sf, se verifice cii urrn itoarele matrice sint idempotente :
{1 0 0\ ( _26 _Is _27\, pr:lo r ol,rr:f ti i; ;'t
\o o o) \ e s rr/'matricele idempotente d.e ord.inu doi.
r,,:{11 _:i)
cl) Si se determine toate
trO. Se dau matricele
,":{j
_i
:l,Blifi s<r verificc egalitirtea (A.A).C :t iiil'-(j ii;)- '4.(B.C).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 20/344
,8.
ll\
-3 - rI
- 1 0l
B.A-Amatriceior
-sin.i,i .
cosx/
,1 1..
.ln r..e) I
\'\0 0..,(i 3r)'', (i iil'
I
11. Se dau matricele
r 0'-3\ [-t,a--l-r t olsi B:l 2.'-l It t
\ o z tJ \ I
ricele C : A'B - B'A ;i l):
calculezePuterea
de ordin
1a
n l\; r) fcosv
u' |.o i \srn:r
rrrmitoarc :
mat
SC
se cer
12. se
)
,3-2
o -lrlo z z r\lt -z -3 -zl\o I z l/i)",(iii)'.''[i
13. S[ se calculeze inversele matricelor :
a a2'\, u'l; c)
"){3 -})'',(l:
14. Se se rezolve ecuafiile :
t 1 0 -l\ { I (} 2\
a) AX: B ri YA:.8. unde':l-: i,:)u'u:[,-,1 I -j]
', (i ;) " (-: -i):ri -i)'15. S[ se aduc.i matricele urmltoare la fonna canonicl diagonali ;i si sc dct]ucir
,*"eii, &";"-;;;-i;
;;ia;;tt iiniite sau coloanele liniar indepentlente :
It 02\ (r -r o\ {-27 2 il)"i l-i : ;)'" li -i;l' "
i, 3 ; -l -r ;j'
12 13-,\ ij i:)'r, t:1 ', -1.-3 lll
o) [i -l i -il' ") l? : ', ,i ,ii ' ', [-i ',*',
-, -; -ll '\r -3 t 1,t \.; ; ; tz j7' \_i 3 -r -5 v z'
,2 2 2 1 I a1{:-" i-; -]:i\
-, [-l .i'-; I 1 il','r i-1-: ,-,u ,-il
\ i _: : _2 ;:jl 'l_i _i -i -':-: -il
16.Careeste,du;rivaloareaparametrului)'eR'rangulfieclreiadinrna-
tricele: , 1 1 r 1\ r: i -l ii { ', -: i -lti 3 --: il' u 1 -il: ') [-'i
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 21/344
17' liolosind partitionarea indicatr, sL se carculeze proclLrsul
{ 3 0: Zt tl -I i4r
l.t:r ,-lj lr s.eJ18. J.olosinci partifionar"" ,r,ut,i."Ior, s5" se calculeze inversele matric'elc
{ 1 I 0 C\ t-L l 0 0., I I I t,,) { :: i _:),b) {-: I i_i},.,{i ; l;l-rr-5 ,J \;1_;;) 1;;,;;;l
19. Se consicleri. polinomul P(X) : XZ - 7 Xz + 13X .- 5. Se se calculeze F{d}Pelrirtt
15 2 -jl,l:lr 3 _li.\2, -rj'
20. Iiie matricea 4: (ai1\ ,= 1t16,,o, unde a;1 : g,r f hpy t,1 : lt 2t...,N,"Si sr: arate cir det l : 1 J- $ /?. Se se <letermin e il-\.
i ,.I
2i. se consiclerir m:r.t'icea. c : (a,t), all: )igi1 J- y; d, j: r, z, ""."rva) S;i se arate c5" det C: x"-l.(x + ny).b) r. ipoteza o"':,,1
;--; ;;::;;: i'" ":-nente'1e
x{x ny}
' 2.3. Sistehre cle ecua{ii algebrice Xiniare
Un sistem rLe ecrialii algebrice liniare are forma
. ,.n,,r, - b,, ? .- r, 2,...,m, satt AX: B, (fi}j=l
u nde
{o,, diz...aro\_ /;;l { :\A : l u"t d:: " 'a':' I-t l'x:l,l ":lil'em &nz...emn,
\*rl \;. I
:t".llr::* 1; e -drentunghiutardac| m, r1o, pdtratic daci ? : n. Daci I 4 Sn
slsternrrl e.ste neclmogen ; este omogen dac[ B : 0. ${atricea .4 - @, Bt se numLstetnatricc cxtinsi..
o sotulie a sistemului (1) este un sistem ordonat de m numer.
l;), care, tnlo-
<'rrite i' sistemrrl (r), iI transforml intr-o itlentitate.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 22/344
Sistemul (1) este c-gmpatib:4igl$Illgtiaci are o singuri sclulie li gsu1*Jrbiiare mai multe soTufii. laci nu arc nici o solufie, sisternul cstc
il.
Douii sisteme de ecuafii cu acelasi nutnir de necurroscute se numesc eclti','a-
dacd au'aceleagi soiufii. Se oblin sisteme echivaiente prin transforrniLri clc-
: 1) schimbarc-a-..p-Ld:*i .-e-c-u-4il:lsr; 2) innqlfir,c.a.unei e.cui]1ii--c"u.iil.-i ^ili:Ir
; 3) _1clu1-119q h o equalie a".alte-i egualii i-qmuilite cu ult sca-14{ nqtllll.Un sistem pltrat pentru care ranq A : tL se numegte sistcm Cramer. Olice
Cramer este compatibil deierminat cu solufia
fl
i : 1, 2, . . ., tt,, D : det l, Du == \ t-,3b1,j:1
a,1 fiind cornplementul algebiic al l:ui air'
Teorema Kronecker-Capelli. O condilie neccsarl ;i suficientir c:r un sistr.rtn'
de ecualii algebrice si fie c-ogip?Iibil este ca rglg l-ggg.:1-Un sistem omogen de eJualiiidmite;i sotulii nebanale daci";i qumai tilcriii
rang A < n.
2"3.1. Problerne rezolvate
1. S5" se rezolve prin metoda eliminirii (Gauss) urmitoarelc sisterne :
(zj,,
D
a) x, { 2x, * 3.t,
-
Zxo: 6,
2x, - x, - 2x, - 3xo: B, i
Qt L)w-
v -L)v-
4t'*7 T L.'z -.3 i
2x, - 3*, + Lrt 4- xt: -8 :
tr) x, * 2x2 * 3r', - .Yt - l,
3r, -l- 2r, + x2 -- ):n : l,7*, + 3:;, * :v3 -l- r;, -- l,2",)-2.r"-f ?r',- \i . I,
5.rr, -l- 5x, -f Zxs .., Z
c) rr-F xz*xs* ra: I,Z.Yt - .r'o-l- xr - x4:. Z,
x,-2.u, -Z.i:+:- l.
Reaolxaye. Metoda eliminiirii a lui Gauss consti in a acluce sistemrrl inifial la r,rn
valent de formd. triunghiulari,.
a) Pentru prescurtare vom folosi scrierea, sctematici a sistemului sub for-ma
sisteru ecbi-
n\ / L
-r\ 1o
:i;,l-
\:
6, ,l z 3
s\ lo -s -8tui4l i0 -4 -r0-s/ \0 -7 - {
tl. 2 3 -?-lz -r -2. -.1|., z --t )\z -.3 2 t
6r ,l 2 3 -2
-r\ do -5 -8 i,l-lo o I -z t 1'_4/ ,o 0 0 5i
I1
I5
6'
-o\l^.*54
I
--)). I
6 . x, Z.r" 3x" - 2xo :'1,
-+1 -5*r-8x"1 xn: -4,Jl- xr-Zxo: .i,
_ l0 / 5xn : -. llt.
|11
--5 *8 I
0 -ls 36
03618
)f1
-,-5 *8 I0 I --2tJz1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 23/344
br Procerlind sirnilai, obfincr:r
fiir-ilil fi;.l j/ j){ri
,i.jl j} f;iri/ j)\5 j 2 olz: \ri _: _r: sl_:' \,, n i _;l "tl
Ave'rtr x, : gla , ,r: (t-Jo), .,., : ('-l "l , xE:d, * e R. prin urmare, sistemut666r.st, -i;rrplrr nedclnrminat,
) Avem
(i -: i ii ?l-(: :j :i -j I i)-(s j j j I :lr ecuafie aratd c6 0: - 2, ceea ce nu sc poare. prin urrnarc, sistemul esie incompatibil
. S."r se lezolvc, prin rcguld. lui Crarncr, sistemul
2xtlLxr- xt: 4, 3*,- xr- 3.vr:7, xt* xz{Zxr_ g.
2 *tli,: luare. I)coarr.ce ,:1, -l lrl- -20+0, avern un sistenr Cramer.
. ll I 2
('rlerrlr,le ar:rti ci Dr- -52, Dr:g, Dr: -S, aslfel ri ,r:{ , xz_ _1,
^_L,5-53. Sii se studieze compatibititatea sistemului ,4f : B, unde
(23
_1\
', ,:ii _j | ,:(j);b,{:fi; ; il .:(;) i
., ": [j .il "[;,]
Il,tlanye. Folosim teorema I(roneclrer_CapclJi. t
it) r'ang A : 2, .a,ng
./:
2. Sisteilul este compatibil simplu nedeterminat. Solulin sa este
-. 18 _ 4a\ (_3 + 54)xr :-T-,
*, :--'-r
rt - o, a € R.
lr) rtrng A :4, rang l': 4. Sisternul este compatibil determinat. RezolvlnduJ prin regulalrti ('r';Lrner oblinem 4r: 2, frz - 4, ls : l, xr : 5.
r') r:ing A:2, rang j:3. Sistemul este incompatibil.
.j 't' )i1s,:.deterrnine parametrrrl m eF.', astfel ca urm5"torul sistem si. admitf,gr solilllt clrtefltc de zero gi, in acest caz, sd, se rezolve:
rr --l- x, -l mso - xt : 0,2x, -F xt .- xs * xE: 0,
3rt* ro- xB* *t:00
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 24/344
Ilunlttaw, Eigturnul fiind pltrat, pentru a admite Fi solutii nebanale este necesar 9i suficient (4.
1 I nt. -17 1 -l 1
3 -1 -. 1 -1w*20-Z
solulia este
S. sa se rezolve, Prin
\* xz* xe: 7'
2x, - 8x2* xs: 11',
4x, * xn * }xs: 10 ;
2.3.2. Probleme propuse spre rezolvare
metocla eliminlrii, urmttoarele sisteme :
13It: *A, t(: - -A,
2;3.4Lr
:0 decim=1.
5
: -A, X.: A' Ae fi-4
b) r, | 2v, * 3rs * 4xo: 5,
Z.r, * x, | 7):3 * 3xE: I'
3xr'* 2t,I
x3 1- Zxn
-I'
4x1 I 3x2 -l 2*, * xo : -5',
b Zxr- xr* xs*3xul}x"-: 6,
6x,-Zx., l xi - xr-- -3'
-4r, + Zxr' | 3x3 - 4xn - Zxr- - 5,
, 7x, -f 4xs - 1xi - 3xr ': - 8'
xr* lxs* 5xu- xu: -3,
6,
-3,_5
-8,
Zxr- Zxrl xr- xq* x": 7'
' 4* Zxr:- xr* xi- 7xu- 1,
Lxr- l}xr{ 5x"-Sxol 7xu: I'E\* 14xr* 7xr-7xn{ llxu: * 1 ;
' e) Zxt*3xz- xB : Z0'
2**',;t
Ii * 4
" o:i.;= -'2",4x, 6x, * 7xe - 3xn== 58'
6. Si se rezolve prin regula lui Cramer sistemele:
a) ,cr - xz * x": - 4, b) xi + Jre -f 'r3 ==1'
Sxr- 4x2* 3){r: -12, Zx, * 3xr-l xs: 9'
Lxr* xz* 2(s: 11; t"L- xz-xs:-Z'
7. Si se rezolve ecuafia matriceali AX : B' ;tiind c5 :
u^:(1 + -i) ":t il ''':[: -,: :;) ":['ll'-z t
"'' 1\ 1 6\
.)e:13 nz -zf,r-l rl'''"\t -1 -l \-q)
8. Si se determine vaiorile lui ro 9i ru din sistemul
7xr- xz- xr+.3xa*Lxu:
6xr-Zxr*Bxsfrs:
-4x, * 7x, * 3x, - 3xo - 2x, :Zix, * 4xs -'lxo - 3x":
xr*8xs*Sxo* xs-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 25/344
- '1.
te studieze compatibilitalea unde:
":[jJ'
c)A )',a,b,c,deF..
10. sl.i se detcrmine parametrii reari r'n gi,n,, astfel ca sistemul AX: B s[ fie, ornpatibii ;
a\ A:
c),*r 13Bl;l '.' ',-lj
5;t s() conditia ca sistemul
4x, 3r" f xt: 5,
.xr{5xr-3rr:4.
^.,,rp^z-LlB-"*9
.:[i],
istemului AX - B,
/2 -3 l\
u,.,:/ll:ll: ' -rl\.5 -2 -) /
Ita) l:l:
\s
{i,, ;) ":(_jl
j -il B:l'f,)
-t \
'71 l; l,) .t :
-nr-fI 1
,
t(lt
B-l'1,1" I'd/
I
IIt
1
2) nedeterminat.
9, m { rz aga fel ca sistemul
-y -L )v ,J,"t | -') tO Xf :'{,
Jf,, - .v" l 7x": 2,
axtt9*r-3x":zax,Vx, * Fxz * 4x": 7.g
fie sirnplu nedeteruinat gi in acest caz si se rezolve.
c) S,i se detcrmine a,(3
;;i iz, astfel ca sistemul2x, - 3r, + 4x" - 5xo: -1,x, { 9x, I dxe *. xa,- 8,
5x, - 6*, + 10xu { \xa: w
sl1 lie dublu nedeterminat 9i tn acest caz si se rezolve.
12. si se determine paramet'ul real 'w, astiel incit sistemul sinebiriaale 9i si se rc-zolve in accst caz :
2*, + 5*,
+x,
-Zxn=. Q,
3r, + :v, - 3x, 1- 4xn: g,
nl,xr -." 6x, * 4*u + Zxo: g"
fie : 1) incotnpatibil;b) S[ se detennine, a,
Lxr-rnxu-2x, :Q.
adnnitd solu{ii
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 26/344
13. Si. se arate cl clacf, 7t, j : 1'2' "" ' ra' este o solufie a sistemului ncomogcnnr
N *oo*,:bn,i:l,z,...,ln,iarxl, j':1,2,...,ra este solufieasistemuluicit'tro*"t
n
gen atagat 2) a,r.vt == 0, i: 1, 2, ...,'ttt, atunci xi -_ Tt * rl, I : 1, 2' . "' n"
j* I
rr:prezint[ de as.tttert.ir o solufie a sistemului neomogen'
2.4. Spa{ii vectoriale
o mullime T/, inzestrat5. cu cioud. opera{ii: una interni, adrinarea,, ;i una exteroi i'li ao
corpul K, lnmullirea cu sca.lari ciirr li, forrneaz:i un gpa,iirl*Jagglgggl peste 1{" daci :
l) (, + ) * z : x * lY * z), Yx, Y, ze=V ;
2) I0eVlr-l 0:0 j- x:x, YteV;3) VzeV, 4 * xeV lx+ (-tr) : (-') t : 0;
4)x*y:y+x,Vx,YeV;'5) ),(px) : ().J).Y, V x e V, V)', Pr e ./( ;
6) tf + P')t : tx { 1.1x, Y },, P€'Ii, VxeI/;V) I(z-f y)-Tn+)'Y,Vi€K, Vt,YeV;B) l,'x : x, V t eV, le I{.
Exemple' a) -/}/'^,,_ mul}imea natricelor de tiprrl (ltt" n) ctl r.1r'ttlet,ttelle rlin R ;
b) P(l) - mullimea polinoamelor in l, cu coeficienli rcali;
c) P,,(t),ncN - mullimea polinoemelor cle grad mai mic sem egal crr z;
d) R': {x, x:(x1, x2,..., x), td€R, i':,1' 2,"', tt}:
e) C - mullimea numerelor complexe este spaliu vectorial peste [t ;
I) F - {/: t0,1l
-R,
Jcontinud
Pe[0,1 ]]'
Se numegte .sgbgpg|U-*Y-e,*.g.4l al unrri spafiu vectorial trr orice parte 1/' a sa caie este ea
ins5,gi un spaliu vectorial pe acelagi corp. o subniullime v' c T/ este subspa{iu 'zcct'-'iii'l ;rl
lui Z, daci gi numai dacta )'x + tLy€V', Y x, yeV' 9i V l' p-ef'
Fie ur, 1r2,...t 116€v un sistem dat cle vectori. l\fulfimea v':Iu E=7,lrrr*)'rrrn*"'"1'
*\^u^, i,*f<, i: I,2,..., ilx| formeazi un subspa{iu vectorial al tui I/' \{nlfimea I" se nu-
noegte spaliu generat de sisternul de vectori tr, fr777 u-, izrr tr1, r42,, " , um :jt nunrL')te sislerl
de generatori Pcnlru .l/'.Un sisterndevectori u1,x{2t...,uneV esteljlia$lSp&g.gs}tdaciexistir scalarii lr, }'2," ',)',,e R'
n
5I fr ln 7 0, astlel incit
f:1 )'g1 l\euz+...+ )",,un:o'-.#.#
Dacs aceastS relalie are l,rc nurnai?"e L=&-:.,,*':Jo;-0 :i:t::'"l ":ttt."]{]'1t,itl*S*.I:dglUn sistcm ile veclori oln y, g6isfiirtie ii.g6;i a sltalirrlrri vcctorial v' tlacia:t:)"srstcrr'rri 'r' /(' -
tori este liniar inciependent;Sf;.orice att vector cli' tr/ este o combinafie liniarii rle vertorll s1:ite-
srului, Doui baze oarecare io-/ uo acelagi numdr de vectori. Numbrui vectorilo. urrei birzi: re're-
zint6 @9e$gs-lgggg]'I.iJaetorial"Fie s,: ler, er, ;; o bazL in
'..orice,/ectoiletr/ se descorpune in rnod lrirc sub,
{orma
* n frtat
4tre2 * .. .l xre,r"
Scalarli \, fr2,.. ', xn se numesc c.oortlonatele.vectorului x itt' t'a'za E'yie Vo un spafiu vectorial ,"ui. S"nume;te Ptqdlfsul*scalaulvectorilor 2,1'eVortunrirrttl rcal
(r, y) satisficind ProPrietSlile:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 27/344
t/(', *))0, rt*eVn, zl 0 si (.a, r) : 0 penrru z: 0.
unui .u ector xe.Vn este numd.rul ltz t]: J AO.ln J?,,, daci x: {x,,x",..., ,,), y ^ Ut,,2,.. ., ,), se tlelinegte
(", y): xrlt * rzlz +...+ x,,y,,, llrlt: J4T;T+:.+A.,^^.'^o^i^"::t*t,1" I:
sint qrlogonali dace prrl{yj.y-l- -9I-:.".iqr-,es1€-.'r- l*o bazi este ortonormata,,.udra csre rofnrara drn vec{ori ortogonali doi cite doi gi {iecare are nornla egarS cu i:--
2.4.1,. Probleme rezolvate
1. Sir se arate cL urrnirtoarele rnultirni sint subspaliivectoriale indicate :
ll :(,,),CP(t):.b)la(z, l, 3) + b(t,4,l) * c(t, _ j,c) ill/(Y): asin x + b cos y, a, b u lll C f.Relohtare. a) Fie z : ao * ai * . .. + a,tn qi,y - io -l btt * . . . * bnt,, e p,,(t).
Avern ir+vy: ()'d0+pb0) *(lar-i- vbt)t*..,.*Q,a,+vb,)ren,,1t1, oricarearfi scalarii ).gi p. Deci P,,(l) estesubspaliu vectorial.b)Fier:at(2, 1,3)+b11,{, 1)+ar(I,--3,2)silt,:ar(2, 1,3) +br(l,4, 1)+or(1,*3,21.Rezulti z\-' -' / |
^x,. ,J : (),ar * p.ar)(2, t, B) + ().rj * Fbz)(t, 4, t) * ().r, 4 gcr)(I, _3, 2).
cum l' pen' rezult6" c5' )'x -l- pry apartine mulfimii considerate gi deci aceasta este subspafiu,vectorial.
c)Fie/(r) :4sinrl-bcosx,g(*):asinz{dcosxFiX,peFl. I)eoar.ece},1(x)+Ve@)_: Q'a * 6r'c) sin x Q'b + p'd) cos r aparline mullinii, lezultd cd, aceasta este subspatiu vectorial.
2. trie sistemul omogerl c1e ecuafii .*,r,.,*, : 0,,i : 1, Z, ..." m.S1 se arate cI:l
frl}t-r""_:*titt:ill.j.,^a:l:1"-, tyr^iiri un subspa,t.iu vectoriat al spatiului R,.9?::1,
A.- tu;). este .nratri'." *rt"*"rui ;;;;;;;7:-';:';i;i.i'""X,l 'J'i; j;;.",,:r# f,lti',,JLo":r"endente.
toate ceteiali" ."rrdi,i";;fii"fii"; ':;;#;;Rezolaa,re. Lrie S nrultjntea soluliilor sislgnului omogen considerat, Evident, Sf It,. Fio_
r,,ec toriale ate spafiilorl
z)l a. b, c = Rl C ltsl
nx:(xr,12,...,x,),y:Ut, 2,.:., ,,)e . , aslfel 9a.X.o,r"r:0, i atilt:0,i:1,2,...,nt.nllr
tr)eoarece.). a,r(l.r, + p ,) : t, )), a,,x,,l_ rr )l eti?i: a,r- I .i7t iit
S est.e subspaliu vector.ial.orrcare ar fi l, g e R. prin urnlare,,
r
Fie r : rang. A si si presupunenr, pentru simpritate, ci, un minor "rf de or<lin r in A, diferitde zero' este format cu primele r linii si z coloane din,4. Atunci primele / ecuatii din sistem pot.di luate ca principale gi primele,'necunoscute pot fi luate ca principaie. Deci solufia sistemului poate.1i obfinuti prin regula lui Cramer din sistelnril
n
5- a.s,: - \-4
j =- I s .'r',1- I
.il
r.: \' h tL
s:r_l,l
i _.= t, 2,
I I
or,' ' 'ar;-ta1"a1t'r' ' 'at,lh.. . __l r
" | .1,
" lo,r...ort {trtsari.-. ..r,,1. . .. , ; s - r 7 1,. . ., n,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 28/344
6gllr,l rd .rrl'rll.l gr rrr l'tl I | 'r 'lr lrlrtlrrr r)lll()l{('Il ('sl('
, ( l rr,',, ,i b,,x,,x,,,1,-'.,ft,|,s r1-I s:I+1
lt,l, , l" tBtttlltltlrl rltlrilt;rti' Olrserviln ci liniile matricei
lbr,,, bz,-.-" 'b ,'r L "U\
lur.r" b:,t.-...b,,-z o l'.01,t...1\u, b", ...b,, o o".tl
,rrlr{lrilrlrr rllnrl valori necunoscutelor secundare xy4t,,,t x,, reprezint|, solulii ale sistemului olnogen'
Ar r.sl"ir, sint in numjir de n - r, sint liniar in<1epen<1ente, deoarece rangui matricei solufiilor este
,a . r. I)acd, notirn liiniile matricei prin
x,, , : (btu, ... , br,, 0, 0, '.., i),
obserri. ci solii{ia generalS a sistemului omogen se scrie sub fortna
x - l,a,tfrL * xr+zxz : "1 x,,x"-''
SepozulespunecS,celen'-l,solri1iix7,x2,...,X,,'',Icrlrreazio]')a7.^asrrbslla}itrluiS.tin.aselrenca sistem cle n - r solufii se lurnegte sistem fun<1a'rncnt:rl de sohilii pentru sistenul orlrogen'
3.siiscsturliezedcpencien|aliniarirpentrusisterrreiedcr'cct.lri:
a) at: Q, 1, 3, l), vz: U, 2, 0,1), z'r: (--1' 1'
-3'1t;
,in1i4;
l:) rr:E-l+ 1t2, t'r:Z- t+312, ur: l-l- t ---lt /in l"(t)i
.) .,, :[X
-_'u), ,, : (l -i) , ^,: {oo-it ir. l,l ,.r',
rl) ur: (2, 0, l, 3, -l), ,r: (1, l, 0, -1, l), t'r "'(i)' -'2' l' 5' -3)'ut: (1, -3, 2,9, --J) in 11"'
'-x''. -^l r+;^ I '' r ) llfil /('r'lL Tilr)i ul' U2' aiRe::oluave, a) Consider[In rela]ia ],rur '1 ]'rus * I.u, : 6' I)rin ir)l(vlrt:
aceasii relalie este eclrivalenti cLr sistemul onlogeu 2)'1 * ).2 - 7': : 0, ]'r + 27'2 -i '\== 0' 3)'1 -
-- .jl. -: 0, 11 F trz : 0. :: ....r...,..,ra c.
liangul matricei acestui sistem este doi. Prin ulmare, sisterntrl aqhnite si solulii nebana'le 9i
deci sisternul de vectori este liniar clependent. uI1 sistem fundamentql rie solu{ii pentru sisternul
omogcr] este ),r:1, ).2: -1, )'s: l, astfel ci o relalie<ledepe4denlAesieat*u2-l,e:0'
b) Iielalia ),1u1 * lzoz -t- Lrr, i 0 este ecl-rivalenti cu sistenrul olrloqcr) Ui'l "i- l)'r * l: : 0'
- Ir.1-. ;., -f r, j o, Zl, * 3lz - ]'" : 0- Rangul. matricei sistemului este cloi si un sistetr funda-
mentarl clr: solulii este f clrmat cliritr-o singurd, solufie liniar independer-rti : l, : 1, )'= : - 'i' )"t : --2'
Avern rieci un sistern de vcctori liniar depenclent si o relalie'cle dependenld' '', -"3" - 2u" = Q'
c) Ilelalia ),111 l- )'2A2+l,rlr:0 este echivaientS. cu 2)'1 +)-2:0, -I)'a--1&*4)$:0'
+r, i'-rf +'<^,':
rl,' -a).r + 3i2 + 8^3:0' llang'l aceslui sister?r este doi' deci sistemul'cle ma-
trice este liniar- <lepenc1ent. Avetn o relafiede depcnclenli
-ZA1*4Az
-3;l't : 0'
c1) Iielatia 11u1 -1, L2u2 + tr"u3 + trou. : 0 este echiv:llent6' cu sisteruul omoS;ctr 2)'1 * 7'z +- ir : ti
),r-.2) -3),0*0, ),ri-I*1-Zfn-=0, 3lr -)'24-5i3 1-9)', :9' *Ir'f r''e*3)B-5)'n.= r)
Xlar.rgul acesitri sistcm Cste Cioi, deci siSten-rul.dr: vr:ctori cste ljrLia'r doPerrrlerrt- l)t:rxrrt'ce tttt :ri:1rrtt
tlttrtii tt'Lrlii rl"l' '
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 29/344
p'rr(l(''1i1, sistcrnrrl lurrrrnnrcnt*r (rc sor'rlii este tr1 : l, trs: -2, i.o- _ l, r.,*0,gi )rr,*&,\ ,'" * l, ),s * *2, \, * l, astlcl cl'avem relafiile o, _ 2rr_ r, I 0 $i _ur'_ ,""'r')i' -i,4. sit sc dcterminc care clin polinoamele tz sit - l aparli' ,spaliurui generat del{ t + 1, 3t, + zt, ts}.
llenluare' Pentru ca cele doutr polinoame sr aparfind, spaliului, trebuie ca acestea sd fie corn-blntlliu liliard de elementele sistemului de generatori. Deci
ta : 2'r11s - r + \ { x2(3t2 + 2t) + x"ti Si t - I : yr(ts_ I + l) * ),zetz + Zt) + Jste.
It'nnlc rclafii sint echivalente cu sistemele:
at1 *rs:0,3r, : l,
-xr{2t" :0,,1 :0
Sr, observ[ cd
lollco sistcm ete
lftu I I rr.
t.,l'.",11 ;" d"l ::.fo,ti:. ,,- (1. 1,2,.1): ?,: (1, _1, 0, l), u3: (0, 01
i;1.,.1]:_r^,-.;-..(,t,-.r,?:0). li se arate'cl .""iii"'iorrir;^;;'ou"re. s"';rJlJ,il,;I:
t6lc vq:torului z: (1, \, l,1) in aceastd. baztr.llazolaare' Deoarece dim Rr: 4 este"lr*{icieat sd ardtim ci cei patru vectori sint liniar indo-
I I 2 1'r--r o tl) o -l rl'| 2 2 0Jl{irng.l acestei matrice e.t" pat.,i, deci vectorii sfut liniar independenfi. Jl- ;"", ;
-',Fol U e;y1U1.+
t lrtn r:.".rrr* -rozrn. Pentnr determinarea coordonatel; ":,-;;';:;^;;;il;#;;;,";:; rr I'rn:1, rr- *z*2ro: lr Zxr- z"*2ra: l, xr+ *"+""-
t - l. Solufia acestui sistern
ca vectori linie intr-o -"t.i"", obfinem matricea (; -i ; il0 0 -l I
\l ) ) n
prinrul sistern este incompatibil giconrpatibil (yr: -1, yz - 0, le -
lt * ?": 0,
3h :0,-)\*Zfz : l,
lt - * .d.eci t2 nu aparline spafiului, irr timp ce al,l), ceea ce aratd. ce t - I aparline acestui
pFttrlrrrf i. Consi<lerlndu-i
rrltltln.r,".=
-,iz:-, xs:_, xa:_.r'422
6. Irr Ri'sii se determinezc o bazr a subspafiului generat de vectorii u1 : (1, z,*,,1, J, t), ur: (2, s, *3, 4,8\. u": (6,ii::i,il,-;;j. aa: (1,3, _3. t'0)It'ttoluave' Se verificd faptul ci a1, u2, as, u, sint liniar dependenli, dar trei dintre vecfori sint
lltrlnr irrrlcpendenfi (de exenplu ,r','",,"1. p-ro,rrrn"r", .n este o combinalie riniard de vri a, gi a,flprlttt'r't: orice combinafie riniari de vlctorii a1r a2, as gi r,. este o combinalie d.e v1,.u2 gi ur, re-
Itlltn ('ir' acestia fornreazS' obazL" a subspaliului.-Descompunerea vectorului Un IalL de aceasti bazd
lrr h .rrul *i-.xrt:" I r3r' conduce la coordonatele *, : I, x" : _:, _r: ] .
227,..Sr: clau vectorii. a, :.(1,.0,-0), a2: (2, 1, 0), le: F3, Z, 1) ;i &: \tt., * 4az *,-as' Si -vcctorii br,: ai* az*'a",'- br= at + Ao _ cta. bo _ttt at -l- a.. Sir se calculeze coordonatele vdctoruiui a"inb,aiza'ori or,-ii'.llr:trilvnrc. S5, obser.vd,rrr nrai intli cd vectorii &1, a2, es€ rRa sint liniar independenfi (rangut
lltttltr' r'i fottrrilte cu r:e'i trei vcctori ca linii estc egal cu 3) si deci formeazr o ba"tr ln ni. ioo.io-ltrlf l. v(]olo.rlrri in baz:l A : {ar, ar, ar} si't a : (-g, 4,
-r)^.se poate verifica faplur cd sis*
llrlltttl rfo vecloti B - {bj, bL, br} forrlcazir o bazi in Rr. Se cer coordonatele vectorului a lnilr Irlrf;1 l';rzll. l;ie a -.. -yrg, p t"it, _1.1..,6., atli,.i.
' -[u, -l- 4a -- cs =: r:r(13, -.1. rrr -+. u.,l -l- xr(ar-i- ,r:r - ar) .l xr(a, * a, J a").
\
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 30/344
l)rr1ri1. lt'r:r't:nrar (lcscourprinerii trrtice iltr-o bazi. rezllltir xr 't- 12 -l:r,'s : -E, /1 +- xz - :r" - 4,
rr ._ :y? -t {r : - 1. Rezol,zincl ncest sistem cle ecuafii, oi)tir':ur pentru coordonatele lui a in ba'za B
3 1 (j 7 \valorile xr: L , xz: --
-,x.t: -6, astfel ci u : l-, - -, -61 .
2 2 \z , J,'
8. Si se stabileascir forrnulele de transfororare alc co&donatelor cind se trcce
de ia baza B la baza 3', dacirB: lur: (1, Z, -1, 0), Ltz: (1, -t, l, 1), u3: (-1, z, t. 1),
xt,4: (- l, -1, 0, 1i.,1,
B'': {rr: (2, 1, 0, 1), ar: (0, l, z. z), z'.: (-2, l, 1, Z\,
%:(1,3, 1,2)] in Ft't.
Rezoluare. Si cletermiliun trai lltii relaliile cle trecere cle la o bazi la a'lta. Se velificii f:rptul cd
B' I<xmeaza- baze in Ra. I)eterrrrinim apoi <lescompurrerea fieciiruia t-1in vectorii ur, i =' 1, 2,
dupd baza 8' gi descornprirterea fiecitruia clin vectorii a,, i - l, 2, 3, 4, dupii, baza B' ()lrlinem
Ltl: * Ao
1t2:Ii:t+12
ir ;i3, 4,
ua:ut*ua
r .l
'Fie ze trl urrrector oarecare gi fie.descornpunerile sale Cupi cele dou5. baze:
t( : x{\ * xrtr, I x"tt" 1 xntto ;i x - {t+ )'2u2 + y"ax * laxt.
'sL detenniniLm logi.tura clintle coordonatele x1 gi y1, i - I, 2, 3,'1, in cele douir baze. irrlocuind ves'
torri u,, i - 1, 2, 3, 4, ou descornpuuerile 1or in baza i3', obfirreui
v:.f{)r+J'2u2 11",u.,-1-);t'a:.lr(-1'z+u4)+xz(ur*uu-t;r)i;rr(-t', 1t'r) *rr(u1-l-ua-t't)"
f)upA teorena descornpu ncrii. urtice a unui vector intr-o i'az'i, r' zrrll'i
lt : rz * js i- )(4, )'2 -: -:vy -l- x2, :t : x,t, )'q'- Yr -- .r' I r, - lr'
'Sirnilar, irrlocuind vectolii,u,, i:1,2,3, 4, prin descontpunerilrr lor itt bttz,r lJ, olrtittcl.u
rt: lt I- lu xz : lt I lz I a, xt: lz * " r * 1':, )t - ]'r.
[ilti;nole rela ii :;e pot obfine gi prin in'rersarea rela{iilor arrtet'ioarc.
9. S5. se arate c[ {unc ia" ( ,)
definitir pe Rt pril} (.r, 1') .: 3'';,-t'r '- xriz
-- xz),t -ffurgr, x: (x1, x), : ()'b i':) = R2, L'stg Ltn ])fodus scalar'
I?ezoluare. Trebuie s5, verilicim conclifiile at) - at) clin clcfini{ia prodLrsului s*rlar' Se observi cX'
{r, y): (y, ,).Dacd consider6'n:' z: (zr, zr) e R2, ;r--i 't: (-tr r xt' xz f :') :rstfel c:>a {x {
+ z, ?> : 3(.r1-f ztJlt * @, * zr)1a - \*" -l zz))'r * 2(x" -l- :z))'t - (", r') -l- (:' r')'Apoi-(.v, x):3x --*r*r)-);zxi+2x3:zxli ("r-r")'1- 'Y'i;:>0'
Y:u 10, si ('r' r):0 numai
.&ac|, x :0. Prin urrnare, conditiiie ar) -a:) sint verificate ,.i a,rerr-r un produs scal;rr.
10. sl se determine vectorul oormat u din Ra, ortogonal vcctolil'rr trt == (1, 1'
1, 1), ar: (1, -1, -1, l) ;i a,-: (2, 1, l, 3).
Rezoluaye. l'ie o - (xr, x2, x,r, r.). Pentru detr:rininarea.rectortilui
ua'lell1 contlitiiie :
iuii -l.
(a, ,t): 0, ( u, ur) - 0 ;i (u, ar) : 0. Aceste conclifii sirti: eclti'ra1t:rt|e crr sistetnul :
-f *-rZ+rBi xzn":1,..*, lrrlr"+xn:0, x;-xz-r,r-i tn:a' 2r1txz *f,a-F3'ro:0'
Din ultimele trei ecualii obfinem xt:0' 12: _ r::\' rq: 0' aslfei r:ir' inlocnind iri prinra' oblinem
SI
4
-aJ
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 31/344
2:4.2. Prableme prolrus;c sllre rezolvare(:
11. S;i se arate cai unuirtoarele inulfiini sirrt sirirspatii vr:cioriale ale spafiilolt:c tcri:rle inclic.at"c :
ai l(rr,, ar, ()), Lt1, a2 e ll] ( Il3; b) t,at:t i /Li, (t, ,i = R] C P(t)c) ii'-,, r',, \:'r yr - 3r,, u, r r': =.rr]' C R3; tl) l') - if .. f i/ csti 'lifercnfiatriii .;i f ' -= J\ C lr"
tgr Si se stuiliczc dr:pL,nrlenfa liniari pcntru sistemcle cic vectorj :
ii) ,', =. (2. l, 3, - 1), z',, - i- , l, -3, l), ur: (-1, 5,0, 0), r, -= (t, 5, (), l) in Ra-1"r)
rr, : (--5, 2, s, --\f,t, ?'-,.-.(--.5, 3, 11, _ 14), i,3 ": (1, 1, 11, 6) in Khc) ;', == (0, 1,2, -l),'., = (1. 2, -1,0),u3,: (0,'2, --1,1), ur=: (4,6, 1,3
$n trl'r ;
si fii: liniar dcpcudr:nic.
t_lj.; Si s,' cerc':tezc r,lr:pcnci.r:nf:r liniari a- vt:ctorilor :
rr);';, .:
Z -3i, il1 : l,l- i in C ; 1i) z,..: gr, p,
,: e2', i)3:.: sir in l" ; c) ot: 4t{/r .... ,':r -l- t, L't,: 3l:r -: I h P(l'i; r}) ir, :-:: sqs:l r, it"-,:= 11 , ar: sinz r iu ,F.
4/*1 15. li;i se rlr:t,;rrninc c:lrc tiil ,".':ctorii ulrni.icri apar in spafiuiui generat d
irlr('i(;:i 1t3 --- I +- 1, 3t2 t- Zt, i:]),:
irt Siir -l- 6l) 'i 4; b) 13 F l2 | I F 1; c) tt t- 3i2 -:- 3t * 1.t ^: ^
llty r) ln -Rr sc tlarr vcr:ttLr:ii ir, .,.. (1, l, 1), a",.,= (,1. 1,7\, % - (1, 2, 3). S;ir,';1'|. i' a.r ii'r\'-tiu f<;rinr.'azi. o blr.',ii. si ;rloi sr'i sc r'lctr:rl:rilie cot-ri:ilonaiele vectoriii;; -'. " (5, - l, 31 ;i I --, (t,, 3, I 1) in aceasti l.razir.
y;l,i Ilr sr' ,Jlu vectori i ;,.:,
'--
( 1, (), 0, 1), t;r=- (2, 1, 3, 1), r,: (1, 1,0,
0)
t', '- ii), j, -1, l). Sii se alli.) ci. ir.cc;tii:. formcirzii rt btz^i. Se cer coorrlonatelir;<r-li:r r:iui ,; ... ((1 , 0, 0" i) in lrr:Lt;r.stir ba.zir.
i7. lr R'l sr coo.siiicrir. urLniililu.ritie silteme dc ','eciot'i :
{",1} ,', , ll, Z, ?,, f i, 2,, .--. {5, (' 6, 5), u., .=. { - t, --3,4,0), u, ,: (C, 1, -3, -li;', ;, ...= (.:1, * l, 3. 1(l), i;r,,.(t, -- l, I, 3), u3 =,- (:1, -i, i, l) ;
t I :', -... (i,2, r, '-1), ur,,,. i3, 6, 5, -- 6), ti3.= (2,'1, 0. --2) i,ir i. ,,,. {"}. i}, 1, ):), i'-.-- (i, ?, -'2, --3), i,, ... (.i, 1, i, 4), ,itn-... (2,4, 9, 5j':1 5.' ;.l tttiiczc rir:rl.rcuclcntri. ii;r:aii. a vtctoriior ;i si. sc rletermine relafiile tr
'rl, ,r ;. i,'rrf ':. sil- s::l)r''1,,i iii
,rli,il ll'5;io
i;,.:;rii:r
ficcaredin subspaliile
generate
111" ;:r r'i)lriill ltl sr: ti:lu.,:cr:i-r:iii ?)1 ":: l?, 1, tr,.3), r, = t,-i,4, --9,5), u, =- (4, 8i. i': f .i. .i, -5, ',), ,,. .= (lj, ,l . "-14,6). {_laL-r: e:.tc <limetisiunea subspaliulu
1"t ;r 'r I ' 'r,'''r iiri :' .\i,'rlilirl o lrlr.i lr.r s;lri,':.;rliiii, si + r"fi.itoi-tL.zc to,ii r':eitirlti-vcctt.rri
ti) ur --= Sin -v, ?l:..r cos.',: in F;,') r', .: 1, 7'- , t. . . ., it,r .- ln-t, . . . irr I,(1) ;
.t,.(z '), t .(i-rl
, -.1o
. ..r iro 6J,,,, .1, _3J,,r._\_,{3. SX sr: cl.:tcrrninc }., rr .- /l astfcl r:a itratriccle
.ar'=(' \ t5 -3\ I
\5 ,j' "-' t, rj si 't., -,
2)
in ru",.4)
-ll r\t"')
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 32/344
..(.."Y).
i':t:'', ,;i11 rrlylilc;,t, I,' 'rt'ili:;r,i ,1,. rr t.:ii :
a) u1 . (1, l, 0) , i': . ii), i, l,), ,,r.,,, (i r, 1l ir Ii3;L-,) ur . i1. 0, ()), ,: ' (^1, 2, 0), i:, - (0, J, t)), ;', . , i{1, (}, i)), i'i {ri, 0, i;
in R3;c) ?r.. (1, l, l), r, I. I .',) in X:;'cl) ur.: (1, 1, {), {}), ir,,'. (1, {}, 1, i,), r,,- ii {i, {), 1), r', (1. 1. l, i: ir: }li
-T;:T,:::.;:;,;;:::,;li'..:.,r, ,,e,rc;,i,ir,, : . (2, -,,,:) i,, r,r1,r,rl i , i'i:4i]
?t) ar-- (1,0,0), r.'", il, l, il), o:r i,l, l, i):i,) z,r--(1,
-1,0), i'o..( i, tr, ii.t'1 , r',,:,, -1, 3, (i);
cl il, =., (1, 1, C), 1:".-' ({), l, i). r,,, il i), i);d) r,.,,.- (1,0,0), i,".. (i,r, i,0), i:, i, :,, '',,.)
3t. :;:' :t, ' t]r,1,rr-r:r1 1. { i.Lr\1'(1c.n:,ti.],. ,'lr:ii;liir.i: :
z) tt, -., t,2 ),- l, ,iL" 13, 1., , -1, r,l, , ,it. , ,i.\ l:r si iri. l: i ,ir b:,.2;,t
x,t '.,- t3, i).- . tB 4- t, z'.. , /r i. l, ir., - I i i rii;r i',(l) :
li) u, --. 3 *-i,'iL"' i, tt,.. i,.,r, I I Jr, .71,,,.. \ I .lr irr ir:L;.;L ?rr I )r.
zr,==i-3tiinC.M. Co*,,,:leta{i r.rl;:',.',{.)rtj.t l, iltuiiir: , rlt' r'clioii r-rr -cii li,r itaz<r iu s;paliii,' t. 11)sj...
dcrate :
rr") tr, (4,-,1,\
,- Rr, lL) r:, ' if , -- , 3), ,, ... ("t', 1, i) = R3;
, ')"rt ' i, u. 't2 -',- 4 '',= 1',j(l) ; d) t', ..- i " ' , 'it, == lt 1- :i * P,,(i).
\2J.\:ii st' rlr ir-rntilc rtlttitit:,'tr, Il'r't;:'rii cli. 1:r ira;il B l';i ltaz.zt 7J' l'n trtn,;ilol:i'ilcazW:
a) I1 , i,(.).,3,), (0, l)}', i)' ..,f ii;, .r), ({, 8)} il It2;
b) i:r'.. ii5, i), lr,l)i, t|' .,,,'tii,0), i(r, ilI i,r i.::;
c) 1j : {(1, 1, l), (1,. i, (,), (1, ii, (})'}, }i' .. i{2, 0, ,), (- 1, 4, t), (.i, l, :,i.inRr;d) B ',tl, 1, t' 1,,,ri' i.l :7 ?,1 i t2, /.:. .i, ,l f, l j in 1,r(l) ;
c) /,{ -\,t, t.) -il, lr il}, ll'., lt2 i l, .}, .itt i-ti-},, i2 )t i rl ir.i
i'r(t).
24. Sl"i str s-Laltilca:ic:j I'1.;rttrtijt'ltt rll: lil,n:.ir.r1 u1i,.ft' liir: cuonloririti,k,t' r intl ..,' tlr'i-r-ric la i.xlza. ll 1';:. it ,,-rr .i;l' :
8.,. [(1,0,0,0), iii, r, {i, {)) ({i,0, l, {i). ii" 0,0, 1)1,
E' .,,. 1t1, 1,0, ti), (1, i), l, i;), ii,0, i), i). (1, 1, l, i)1. 1n Ii:.l
-25. 5i sc clLlcLlic;rt' 1;t.riiustii si::Ll:rr lll .,',.rcrcrilct' :
a) ut.'., (i, --1,2,.i, {i), r'" (1,2, , l, l) in l{5;T:t') vr=,. (i, --1, i, 1. l,2),r'. (2, 1., -J,3,2, ) inii6.
26. Sl sr' r:lcr1n(riic r"c'< ioriiar.- (3, 1,2, 1), u, t.2, t, - i,'1"'), t'.,., ( 7,3, ' r, l) i,r trt't.
27. 3e sc construia-sc,r o lrirzli ortonormaiii a :;p:riiuiui li.a, adnriiir.rtl t'iL lloi
vc'ctoriiiil,:rztisintr', ['.,1, - -l-]ti ,',, ' iI , +,-1 , *fj
\i J : : j \ r 6 : (, j
litiii <.ir loqt'rrlrl, iril r'8. A,lir,r1*i l;L r',r,,i .', f I ,1 ,:., I l),,t;,. ,t,,,':,lz I -r 0 zJ
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 33/344
29. SA sc dea 'o interpretal'e sistemuiui clc ccrratii algebricc, liniar gi omogen,7l
7,6rix: :0,'i : 1,2, .. .,ltl , si sistcmului si"u fur.rclamcnt;11 dc solulii, consid.erlnd
qril. coeficienlii fieci"rei ecualii sint coorc'lonatcie unui r.cclor rlin Ro.
30. Sa se dctcrmirte sistemul funclarircntal ortonornrat a1 soiutiilor sisternului3-r, -r- rz - xs * r* = 0, Zx, --l- rz - r';;- Jr., : Q.
31. Arlta{i c5. fiecare din urmitoarele rnultimi este ortonormatS" in F{3 ii pentruf,iccarc mrrltime gisifi o bazl ortonormatS. pentru Ra, r:a.re ,sit contini cr.i rloi viictori :
.'{(v;' '' -i?) (0,r,o)I; r)) {r--' t t\ t 1
J t\ t' , ' -:)'l.'' ?;.,
i(+ + +) (+, +
i?)l'-ri
,32. l-ie B =.,U, 1-l t, I + I + t2) o bazit aspafiului p.,(d). Definim produsul:;cal;rr (x, :-)n -,.. xtJ,t -l- tzl'z -f"xaJ,s,'tincle xe,
),i,i =-. 1, Z, S, sint coorhonatele
vectoriXor r;i.t, in ltaza R. Sir se calculezc produsele scalarc:.. *)^(l t{ l rt)r; b) (1, 1-yt.4-tzsut c) <zt--t2,4+t-3tr)o:(J) (.1 - /', Z I 4t -l- 61, )
".
. 2.5. Operatori liniari
l'it' I' ;i l/' dond Spafii vr:cf orialc pr:5t6 :r.i:lagi co.p 11. Aplica,lia J" : 1," -" i/, se nurnegte."gpglg irli,r ,lac:i /(i.r_,,-g:,1-=l/(:Li*I0tr*v,: , y e I, si V),,;; e 1{.
Froprietdfi. L) Dacdf : l--
v'9ig
: I'' * tr'-" sint o;rerartori liniarr, al.unciaplicalia
gof :1,,
-1r,,
, s1r' 1. r r:n ops:ator ljni.-lr.
2.\ I:ic,f :Il -V' uuopli:atoriiniar;ifieA,=- V;;i0,1 e lr'.rac,l.r:r'ti nrrii inceledou..ispafii.-{turu:i'r(1,) {} ,: f (-x) - -It.r), V.v e I'.' *1
i)iti,ii: v -, ir',Aste operator liniar 5i II CV este un subspaJ:iu vectorial a1 lui Z, atnnci.f(H) C l" este suhspafiu vcotolial a.1 iui lz'. &H#Sd
{) X}e"ci f :Y -V'este.)peratc)rliniir,r',;i lu,., tt,, ..,,t,tr,) ( trt este;rn sistem devectoriliniarde-pcrrrl.rrf, a.tunr:i sistenr:'.ll {f(ur), f (u.z), ..., i("n-)} ( Iz' este liniar depetrJent-.
I)ouii. spafii vectoriale V qi V', pcste acelagi corp K, se nunesc iz.orlor ;i se noteazi .y.=._^U^|,..
-iar:i r,rist:-r un operatorlinfirr/; \ - L" bijecti-r, in acest caz,.f se,ffit,, izomor-fisrn...Froprictd.li ale spafiilor vectoriale iro*ori". l. V
=V, 2. Ir
ZV,
$iV, :r V/t * V
=V,,.
.:]. l::: L/'+V': l,- (ciacr-t f :tr+I/, cstc izomorfism, atunr:i,f t: V,- I/ estetotizomorfism),'{. jl:rrri ir = l" (.,rfiind izornorfismul) ,i {ur, ,r.t,z, .,., wn} C Z r:stc urr sistem de vectori liniar inde_
lrorrrii'rri. a.tu.lii sisfemr.l' {fiur),;f p,tr), ..., l'iuS1 ( l/'esle tot lini;rr. irrdcpendent. Dou{ 5p3.fli j.sg16-li llc irrilt.rrfe an :lceoasi tlirnorrsiune .
". -'.,'.perator tiniat Z,
'I,l:r l-Sg ,urllr,,S 1a:g]lgi4r;[ I)aci IJ : .{er, e2, . . ., eo} este o
.rlij r:r l, a rla 1r'ns[r,r.rILrl /'itr;::r,rr_rrr'i;r spccific:r,'rlla{ rilc .rlr: lr.a.rislnlnare a h:uzei B, Ter._tI
: .: iii;.i, i : 1, 2, '.., rz. l{r'lritz.t, .4 .- (z,r)}sc lurni:ste nr;ri'ricea i:ran;formlrii liniare. Dacd, x :.i=. t
ir 'nl
.,:_",,/--- >. "c;liV:7'r:, a.tuilcil,;:.X il.;;x,1,i:1,2,...,tt,. Laoschirnbar:e a.ba,zeiitV,i r I I j:rIttit lricr';l tt;tci tra,rrsfrirrrl:ii. liriii::c ie sr:hirnbl r1lil};-1 lege2, ,B : , .^i S'-1, .S fiind matricea schisrb{riiI,rz,.i.
\.{:*,:'1j*'1,..- ,-,- s{ rrlr)li);1. , : *f*:Iffl1Pcrrtnr trairsfnu.uarca tiniarl T : I,' -1 If, tlacri, ari. r /. /\. ,ti;t . it. l-tt JlJL Sc;ll;rlrl ). ,',-.,, llitltr,slr ./irla:tti.
i....
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 34/344
() t'otldllk nollprtA ii nrlIlrrlil rrr rrrrrlri,r,ir ltJlri,[,,rrrr,irir Iirrjrtru'f:\t,,* I,',, sti 1rolii Il:i,]rrsdfl lrrlttrn tlhl,rltnln arlp r'n lrr En n'llrtlfl r, vr., t,,n 1'r,r1,rir lili;rr irLrlcp<'rrrlerr i. I)aci it1, .L{2,..., r,, sintlrt,ftttlf 1ilil|lll, llttlrrt lrr,lr;'r,11rlr 1111, r,,tr',,,'rll/,rt,)ri v;rlorilor Ir01:rr.ii ),r, ).",. ,., j,,, at*rlrci rnrL.trjcea
9lllrlr,lrrnrtt rrl,,
t\t 0...0\Io )-..u1lt1o 0...).,,1
Vnlrrrilr' proprii sr: determilS din ecualia caracteristice det (ar,- ).8,r) - o, A : (a,r) fiirrrJ ;ir.riricc&Irurrrf'rrrrtr,rii .linia.r'e. \-ectorii plol>rii se deter:niud ca solr:lii alt: sistenlului
,trro', - )'81,)r, - o, t * 1, 2,. .., ,.
O tr:Lnsformare liniali 7' : V -- V, y : ?* se ngrne;lc t1ansfornrare ortogt,rr:rlL riacJi, pislieuzitrlungimiic vectorilor, adicir jl;r il * lly ii. .
2.5.1. Problome rezolvate
1. Si se arate ci{ urrnitoa.r€lc aplicafii sint operatori iiniari:1) /, nt -> R2, -f(xr, xr, x"\ : (2x, { xr, 4xri ib)./: ttz-'R:, J@,, *r) : (\, 3r, * xr, zi);r:) /: Ra + R2, Jkr, *r): (0, 0) ;
di 1 : P(t) *> P(t),f(ao -F ai * . . . -l-- ctoto) : a, f- Zart + . . . * rmot"-\."lleroluare. a\ Fie L:(xt, rt, rr), -"/ : $tr, t'2, j,a)r-'=Ita fi ?,, pelt. Avem i.r 1- p.y: ().:r1 iF
d 1'r'yt, )'r2 + t4,2,^/"s.+
(Ly;, astlcl ci f l)., +- p)') : (2()'q "j, t1jl) i. )-r:, * v"),2, 4ix, -i- 4:11,1,) *- ()'(2x, * xz) * tt(2yt * yr), 4),:r,, + 4vys) =" IJtx) + ,rL.lO).
-S.ceasta arattr. cti / este oper;ri.or liuiar.b) Fie
4: @r,xr),
J': U'ti r)eRr.Atunoi),x -l
1t.1, --(7,rr
*, 1J,t,r,),t;2
*,y' 2) 9i .l q.ttto
+ Py) : (Lr1 * $3'r, 3()'.rt -i- 1-r.1,r) * ().x, + tL),1\,2().r.-1. Fl,r)) -- U?) -F UJb) ri <teci,i e.stc ()i,i.,aror"I i niar.
c) Eviclent, l()-" + Vl * ).f(,t) -i tr.f(:,) : 0.
d) Fiez:no*a{-1-...'l'o}tt, :bt,+brt'1-...}.tt,,f'c:},(t);i)., pcR. Dcoari:t:e ?,r-.}*+ py : (),as * p6c) 1 ().at 'i rbl)t't ... l-()..r, -1- 1,tb,,)t", rr:zrlL'a|(),t J- F),) : (),ar -1. pDr) -i.'2t,t,it"g#llbz)t +. .. +. n().rt,,, -f p.b,,)til-l : il@) i p/il) ;;i deci / esle operaror liniar.
2. Fie apiicaliile /: lt: *> ll2, _/'(r,, x,) : (2.u., *- x,, 3xr) si g : ll2 -)^ It:, S(d :: l*r- . x1,4:t,,). S5. sc alate ci ;rt;c:;tea sint opi:rator:i iiniari. Sar su dctcrnri"nc'/c,gVi gof gi sii sc vcrifice cir sint opera"tori liniari.
Rezolaare. Fie x - (rr, ,r\, l,: Ut, 1,r) e. It2 9i ),, pcIi. I;colrec.-rf(Ax + tty): (z()'ari- vt) * 0,^, -t-u.t.), 3Q.tr 4- v,yz)) :i.j(.^) I.v||g ;i s(ax i v.t') -. (ii..r, -fS vyz) - ()'r1 * p"J'r), 4()*1-F pl,r)l : ).t$'t ,r v.gT),rezultd cn / gi g sinl oper.atori iiiriari.Apoi (/oSr) (a:) : J@(r)) - Jk, * xr, 1t) : (Jt" -'6xr, t2;r,) 9i (gcl) (r) == s(./(.1)) : ;;1?.t.r-_ ,,, :jx,) -,- (4x, - 2xr,8x, -:lrr). Sii vet'ilic:lrrrr r:i; accslc :'lplicaJii silt operaic,ii liniari. Ayelr i_t;,s) {j..r ++ p.7) : (2Q'1r.- 1:vr) - 6(-t*':.- F..t'), I2().x7'i irlr)) - ).(lr:g) (x) + p(lod (;), (sq,) (i;r .-i. 1,r3; *,-l1Q8t*Vyz)*2(Mt* p1'r),8()*1 l-tr.1r) -.{(),xrgs}' ))*.i(sol) (.a.) +ri(gsl) (r,).
3.Jig oleratorul liniar/:R3 *> lt3,/(rr,rr,. ,) : (x, -* Zx, -i,- xr,T-"rr . t" -- ::,,,.n, * lx)t Si" sc arate ci. o;rt'ratonrl liniai/esfe iirvcrsabil ;i siisc clc'lii:rniirii, ,ir , ,.,r0
olu /-r : Il3 -> R3. Sir sc vcriiicr,' cl / -t i.itc tot rin opcra.tor lirri;ri-.Ilfiolaar't, Jiir: ;r -.= (.yF ,rr, .tr), j, - (.,',, J,r, y)€:llt, r ,; -1,. S;-L l,r(,riul)nnl)nt , ir /i r r * .,,, r,"
rdit:r'rl(rJ - l0 - l(:, -- l,) *.0, rlr:o(r,lr:r,,/ r:.tlt: r,1,t:r:Lllr ljrri;r. i,tirr rrlrrr,rr.<,, l,(,ntllr ir ,r,rt,r , r ur,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 35/344
operator liniar este injectiv trebuie aritat c5. ecuafia/(z) - 0 are numai soluga bar:alA. Ecuafia.F(r) *, 0este echivalentl cu sistemul onrogcn zt*Ztz* zs+0,22r| 2e -.2a- 0, zz * 32"- 0. Se vt:rllir:iugor cI acest sislern are numai solulia banali. Prin urmare, / este o aplicafie biunivocl gi rieci ir,l.,..teaplicalia ilversir..
Fie y : ( ,, ),2, /s) e Ra, {ixat. Ecualia y -.f (n) este echivalenti cu sistemul x, - 2zr -i- xr -* ?t ?-rr * xz * xs: 2, x, * 3ru * 7.. Solufia acestui sistem este rt: l2-'(Z r.* 5),, _. yr,)z" * l)-t(*$ r * 3 z - 3yr), x" - 12-t(-lh * lz - 5y"). Priu urmare, aplicalia inversd este
l-r: Ra*fl3 defi'iti prin/-1(r) - LZ-l(Zrt*5tz-rs, -6rr*3rz*3tt", _2xr*rz_ i.r,o). Severifici usor ci, aceasti. aplicafie este tot un operator liniar.
- 4. liieoperatorulliniar-/:Rs->R3definit priiJ(xr,:\.2,xr)=-= (-x,{ x,_lZ;:u,8t, + 3r', + 4x", 2x, f .r'" f 2.vr).
- -.li_t" arate ci/'cste u'izomorfism. Se se determirre/-t(0,0,0),/-1(0, 1, 2) ;if-t(|, 5, 2).
Re:olua.re. Si arStim ci./ este o bijecfie. Pentm a arita ci, / este injectie, deoarece f esteoperator liniar, este de ajuns si aritinr cL ecnafiaJ(t) : 0 are numai solulia r: 0. Ecuafia/(r) _ 0este eclri,rajenti. cu sistemul omogerr -xr+ azi2xa- 0, 3x1 _f 3x"l_ 4xr:0,2*r* xz*2x"_ g.
Singura solu{it-. a iLcestui sislt'rrr est-e .:r:, e xz e ,a: g,Si
ard,tim ce/(R3)
:Ra. Fie y * (i,r, :,-",73)eR"; si arirtirrr ci exisli 1=. (xr, 12, l"s)ePr} astfel incit y:f(x). Aceast5 ecualic este cctri-
valentii cu sistenrrrl -xr 1- xz { 2x": yt, 3xt * 3xz * 4r": r, Zx, { x, * 2xr: lst e&te re?.ttl-vaicoirdrrcelaxr:(-yt+:'s)l3,xz:(-t;-*3tz-5y")l3,xr-(h_yz+2%)lZ.prinur;n:rr,:,/ estc izorror'fis'r. operatorul li'i:r. in.rers esterf-r (x1, x2, x,) - ((-x, -t- ra) 13, (-r, + 3x" - 5'"1 13,
t, - xz I zx")12). Eeci /-,(0, c, 0) - (0, 0, 0) i |-t(o, ,,'r) -(+, --^1-, +) | f-1(1,,r, 2) *(1 4 \
(s 3' 2)
-l:,:'ol.\j
j)
5.Iiic
transformarealiniarS. 7' : It3 + R3 <lefinitir iutr-o bazl. B prin matriceat I -r2 o\
A:itu *t') l() l. Si sc arate ci cristiL o lrazi .B' in ll3 fali de care mltricea\': -.)4 l-r/
trbnsfornrir:ii ?' are forna cliagonalir.Rczalaaie. Ar&tim ctr transformarea ? admite trei ver:tori proprii liniar independenli. I)eteimi-
ndnr mai intii vakrrile proprii. Ecualia carzrcteristicd,
1--),, -12 6
10 -1e-tr 10
12 -24 13_I:0,sau(i+1)(i-t;a*9
are rS,dhcirriie_,).r - :I, ).r : i rectorii pr"oprii sint solutii ale sisternului
(7 --;)xr-|- 10*, f l2r" : 1-y, -12t:r* (19 + ).)x, - 24x" - 0, 6xt -1_ l}xr+ (13 -_ )r,)r, : 6.
Fentru ir: -. I sister.ul <levire 8rr-J- lb.r, i 72x"*0, -l2xr- IBzr-24x":Q,6xrj,,l|xr_1.&' 11r" == 0. RaEgul sistemrilui este cloi, astfel ci un sistem fundamental dc solulii este.rr: l, xr^- -2, xs : l. L'reci vectorul propriu corespunzdtor lui ), - _ 1 este u, * (1, _2, l), pentru \ --\:lsistemulclevine6z, i_10xr112x"-0,-l|tr-20xr.*2,|x"*0,6xr+lflrs+ l2x,:g.
/4Rangrrlsisterculuiestcunu;urrsisternfundammtaldesolu{iiesteformat dinur- [--_1 , t, pl gi
\3 )u"
'(-'2,
0,1).
\rectorii prop;'ii xtp il2, 113 sint liniar ind.epenclenli si deci formeazd. o baz6 il lla.Fa1i. de aceasti 'baztr matricea tr;rr:sforrlbrii liniare este
' '-'l'' o o\o I ol.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 36/344
6. Fie transformarea liniarS" I : R$ -> R3' definiti intr.o bazl. E prin rnatricea
":(-i ; -i). Sf, searatecinu existi nici o bazi in Rs fafi de care matricea\ ' -r ,J'-
transformS.rii 7- s5. aibi formi diagonali.
Ir-r 2 I l". Rczoluare. Fcualia caracteristici estel -t l-^ -t l-t. \ralorile p.roprii slnt
Ir _r 2_Il
).1: l, ls: Ia :2. Si determinS,m acum vectorii proprii, Fentru I, - I coordoqatele vectorului'propriu z, satisfac sistemul -xz+xs:A,Zxr*xz-xz:0, 11 -tz*xs:O.
prin urmare.vectorul propriu corespunzStor este u1: (0, l, l). Peatru \ - \ - Z obfinem sistemul
-frr - frz * xs: O, 2x1 - r": 0, xr - xz: 0. Rangul acestui sistern este doi, astfel cd sisternulfundamental de solulii este format numai dintr-un vector, anurire z, - (1, l, 2). Vectorii proprii a,gi zr sint liniar independenfi, dar nu formeazS, baz[, ln Rs. Din aceastl cauzi rezultl etr. nu existl o baetrfafd, de care matricea transformirii sd aibd forma diagonald.
7. se considerd. transformarea liniarii ? : R3 *> R3, definiti piin matricear (-s -z 6\
A :-l
6-3
z l. intr-olazir dati B. Si
severifice c[ transformarea I estei\ z 6 il 1 .-----
ortogonali.
'Rrzotoarr. Fiez- (xr, x2, r,) €R3$i/ -(/t, h, l):T:c,asttelcd,yr:1-321 * 6xu f Zz")17,,yo: (-2rr-3xs*6r")17, y": (611 * 2x"{3xr)17. Verificim ce lrl-llyll, Vr€Rs. Avero.
llyllg:y1 +ytz+yz|:49-t(9xeig36xla4x -36xrxr-lzxrrg*24*"rs*4+otg.1 36r +{ 12xr.r, -24xrr" - 36x"x" a $*l * lx'l+ 9x 124*rxrJ-36xrx"l llt"t"l - r + rl + t : llrllr.Prin urma,re, Ilyll : lhll gi deci 7- este o transformare ortogonali.
2.5.2. Probleme propuse spre rezolvare
8. S[ se determine carc din Llrmitoarele aplicalii sint operatori liniari :
a) /: R2 -> R2, .f (xr, ,") ': (3x, - xr, xl\;b)/: R3 -+ R2, f(xr, x", xr) - (3x, { 2x", xr) ;
c) f : PJt) -- PJt), -f(au I a,t { artz) : (as - a)tz * 4art - arld) /: Ra -+ Ra, f(xr, xr, x,) : (x, *'5xr, 7 , xr, 0) :
e) J:C -->R, f(x, * i.vz) : xt * xz.
9. Sl se arate c5. urm:ttoarele aplicafii slnt operatori liniari. Care clintre acesteasint izomorfisme ?
"; ")') f : AIr.r- Mz.z, J (o' ot o"\: ( al
b) /: c --> c, J@., + ;),i "0 i't \d+ - es
c) /: R2 -> R3. f (xy xr) : (2x, xr, 3xr, x,d) f : Pr(t\ -, PsU), .f{ao * art { art ) : ao *c) /: R3 -" R3, -f(*r, xr, xr) : (2x, 4xr, Z:v
I) f : P(t) -+. P(t), f(q+ eJ * .. .f aot") :
+' azJtz i \a):atI\tt+az\t*(ao, * 3xr, 4x" - 34) :
1
eot*-aiz*...+2
1
-
&ntn.+\.',t+ |
10. Sir sc detcrmine ./og ;i (sau) go/ gi siL se verifice c5" acestea sint operatori
liniari, dacir :
.*) / : R,t --> Rr, f(.vr, tcr, .t,,) : (r, - trr * si), sr * xs), &: Rl -> Rt, g(.yr, ],r) .-* (J'r, lr -- 2, s\ i
. i
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 37/344
I
tr) /:R2-> Ra, J\x1, x): (xt, 3rri- xr, Lt:r- xz, x), g.: trt3->R2, g(t't, yz,
12. Si se cerceteze daci operatorul liniar:
c\J P2ft) ->R,, Jfuo + e)t) : (Zao { ar, 3ao * at) :
d) .f : Pr(t\ --> P"(t). Jfu, * a't\ -: au 3aot * aJ2:e) /: R.3 -> I{3, J@t, rr, x") : (xt - 2x", 2*t * x2, xz +r J ' '- '- ' J \" ' "Z' --rt \ r
este inversabji ;i s5, se deternrine inversul slu. Sd se verifice cir
operafor lir:iar.
13 O transia{ie ir: pian este dati de /(.t,, .rr) = (t:, -l lt," ..t;, -f h), lt, /, '= R.
Esie transiajia un izcmorfism ?
_ v _ry^2' '"1
- (-1. 1)
3*"),
invei'sul este tot un
- xn, 3t:, -(t. -1, 0),
f(wo) in R2.
14. Sn se arate ci-apiicafia/ : R2+R3,/(xt, x) : (3*t -- Zxr,Zx,este nn operator iiniar. in R2 se dau vectorii w1- i, -Z), wt
indcpendenli. Cum sint imaginile lor, Jfur) ;i f(u,r) ?
15. liie operatorul liuiar /:R3->Pi', f(\, xz, xz,)': (-Zxt* 3xz
- 2r, + 5trt. Sir se cerceteze depcndenla liniarir a vectorilot M1 :uz- (1, 7, 3), tr3: (0, 1, 1) in R3 ;i a vectorilor intag\neJfutt), f(w),
17. Sir se determine care ciin urmiLtoarele transformirri iiniare
7-(x,, x,,il:(+++,+-+,\V" \/o
16. Se consideri transformarea liniarii 7- : R3 + Rs definitir intr-o bazd" prinmatricciiL ,4. Sii se vcrifice ci ?' estc o tlansformare ortogonaiir ;i cI A-t : trt(l' cslr' lrirnsptrsa matricci ,4) :
t{? ? I', rl2 --; ll)A:.lz -r -:l;1,) A:=1,'\l -2 z) 3l: ;
-;)'sint ortogonale i
-*),
18. Fie transfornrarea liriiarl 7- : R3 -+ R3, definitir intr-o bazd B prin matrict:a.
Si se arate c[ existir o baz[ B'in R3 fali de care matricea,transfonnirii liniar-c
b) 7: R3 + R3, 1': i'(xt, tz. -rs)
c) I : R3 -+ R3, Y :I-(xt, x", xs\
d) T : U'l *t, : T(rt, ir, xr\
e) ?' : RB -> R3, J' : "L-(xt, xz, xt)
f I -l 2\a) A: [-; _l -z): v\ e -
I x- r^ .16 x"\
- \J, - J;' -'' Jt ' J, )': (:l
-
*' -" + 4,-.rr\ '
\J, .J| J, ' Jr'."')'
(*, xr .. *r- "r_\.' i-r - -F, -v&, -\r/, ,,//, ' "' J, ' ,/, )'
( r, , rz tz az xa , trl:lr-T'J;-J7'G-T)'A.
are
forma cliagonal.l. Sir se scric'matricea trecerii de la baza inilialn B labaza B'. Ma-
iricea. transtormlrii estc datir de
(i2 -3\ t2 :
l=)i d A:(1 '); d) / (: 'jtr)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 38/344
Forme liniare. Forme pitratice
(rr, x",.'., ,,) :.>l.)J crtJrert, ei1 - a1t, i, j : t, 2,.,., n.
i-t j:t
lotar: " 4r,\
Matricea e :l"n
dzz' ' 'dzu| ," ,.,,,,,r,r"t" nratri,..ca formci pi,tratice,
tt\ato azn ' ' 'a,, /tiind datb forma pdtraticir v1 se pune problema ca aceasta, printr-o transformare liniqrl. nedegc-
nent$ r * Ty, sd. fie adus5. la forma canonicd
f - ol? * b"y|+...I br?zp - b,+rj,,i+r b,yl, r < rt,unrlero rangA ti 6,>0,s- l; 2,..., r ip esteindicelepozitivdeinerfie, ft_, _75 este ildi-cele negativ de inerfie gi o - p - y'r se nrrmegte signatura {orrnei ptrtratic:e.
Forma / este : a) pozitiv definitd daci este nedegenerati. (rang ,4 : n) et ? * n ; 6) ueg:rtiv defi-nltddaci este neclegenerata si p:0; c) pozitiv sernidefinitd clacd, este degengratl .(r.ang,4 < ,') ,t1t-r1 d) negativ semidefiniti dacl este degeneratd si p:0; e) nedefinitd,, d,ac6 p > 0 9i.0n > 0"
1. Si se studiezefiile de dependen 5.,
(2 27{ A:lt -1 2
\r I 3
Forme liniare- Se nrrrneste formi. liniarS, pe spafiul vectorial Ro operatorul Iiniar/: Ro * R,,f(rr.*rr,.., xn) -.arx1 * arx2*...i arx,r, unde areR, i : 1,2,.. -, tz.
, Fie sistemul de forry16 liniare fr, f", . ., -fo,, unde /, : i) o,,",, i : l, 2,. . ., flt" l.Iatricea :{ _
'(att)GM.,, se numeste rnatricea sistemului de forme. p"i":,|""ri" matriceale sistemul de formar
('l.- /;J. sisrerrrrrr de rurme r,, r2,..., /, esto rinicr dependenr
-4X, ur"e /- l'lll
l\f_/ \,")
dac[ existS. constantele ]r, i2,..., 1., I \? + O,asrfcl irrciti= 1
).tft + )212.+. ...+^,,.t_
-_ o.
Dacd aceasti relalie are lor: nrrrnai cincl ),, -').,, :. . . - l_ : {}, sistemul de forme este liniar indo-pendent,
Dace rang A : /, atlnci r forme sint Jiniar intlepenclcute, celelalte fiind corobiniltii liniare doacestea,
Forme pdtratice' Se nutrregte fonnd pitraticd pe spctiul vectorial r?o o aplicafie : f : Ro X Rn *+ R de foima
2.6.1. Probleme rezolvate
nh.tura sistemului de forme .f - AX pi si se stabileascl rela-clnd este caz:ul, pentru:
-i) ' fi)ib)
'4:[j -:, -,i -,i) " -
1',),12 1
,, 4==1,, ?).":l^:"),\z 3t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 39/344
c) Pentiru acest exempl
,^^r*;':T",:,,T::l?.",:?:,,:,:;TJffi:::::ffili:.:.,.J:il:'inem nu'riru, de fo'ne ega, ou
:i;iJ:lJ"[T ffr:: ff:l1T:T:i".j-.:":^:.::_]r"?.:*""ue,,r observdm crl, ei /, si'r:HTJ':TT,:1fi;:';"' '":;^ :,:^i ,.i+:.1':.;iiT:'l':Tf:i":;':,'.'il;;;'i;';fi,i::::liuarea coeficienfflor t ii * ;;,"#li;;";qarqr rorlne.re -/,, i = l, 2, 3 oblinem penrru dieter-
fi, * 3p - rr. a"eri"i*t"n".t"
cor'paribil .r"r".*,..'.^^lii,:t: 2),^- lr:5, -fI i lr, -l'ii,ll ;., n : i :::*i :*:; ":; "
;;i,''*;;, I'i'"*,"J,^"1,J;L';̂ : 2, $ : - t. piio urr4are, rela-ia de dependeafe este s: 2J, _ fr.
t2 t I /rtu vom proce<I. astfel. At';drn n,at.i"e" I 3 a I i\ ,'"tj
:1 ilpe
trausforrnir.i clcnrentare asupr.a liniilor. Obl,nln,'1o..".i,,,
*'?" - *"*,,)'* r{..g*:,,,,)*},e: ("r _ ),* * _ x)2 *
care o aducem
ln forma triunghiularA prin
t? |lh, tt lll. i ,r t,rI ; i ';l- {: ': I+ - ,t,\ -[i -i I'ri - ," \ ,
rj ,li)-(, -,li-,;) ( , ,li;;;_,;,)
u3rse verie
clin *i,r-o -rr.r"e, rangul nratricei I este egal cu doi. Dec:i niniar independente si avem dou; relalii de dependenlb ,t, _ i l;: ;:Ui?njr;j,.:T_t*r,2. Sri se aducd -la Jorma canonici, prin melo<J" ,,,,
"".1i; ;i::?zi'Pentru riecare'ro.*e i"'piil #:#:"1;",'lffii.li.'ffli,fi ,;li::
ai Jk\: ri * x?r+ * * 2xt _ 2xrxr.1_ Zxrx" _.2xr:in_i_ 2ro.rg __ _1;.:rA;ai
b) f(x) : xi'x, *-xz*s * x"f,, q ii : x? * x3 +,* _r, _.J , li , xrxz I xfis ## xtra _f xzr("
i1.:xt
Ix-,xa,
:":";;:,';{:;";:ij:mT:;:|1:;.#jT.';:,,;:::rijj1_n;,..," dircril c,c zero Ne rixdm asupra_ --), r. c ,r 6Fr,, (ur ren'enll care conlin pe : r, folmind lrn pii.trat .;;;;;i;.
-Zn{rg2zrxr-2xrxr)+.tl+ xi*zzi*2s.r.rr_4)n).): i J _ x::_ r:r *^.,"_ri_ *'i * ri+ 2rrr" * zzzxe { 2z"xr + r. + r.l _ zxi .1- 2r"t"_.{.r._rr _ {rr _-
^zj_ ts * ri)r ...
- Szf; * 4xrx" _ 6xrt, * 2x"xr.:or:rtinuare procedEm s.imilar pentru forrna ptrtratici/, : _lxf;*{.r".r, _ 6x".v1.* 2x^tr:
-f : (xr-'r o \ -')' -,{"e
} 2xrxr-irr,) | 4x"x"_ (,r * .y2 + :vr,* r,rrr' _
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 40/344
> .-
\\tiv este p1|* l, signatura este o - l.'D""to""" r :3 4 4, fo,ma esti degenbrat{' ti este fl'ddfinite'
Transformarea lilrlaii ca,re ne conduce la fo,rrna canonicd' este
111,T^tyt= fi ,* xr * *" - ra, le - xt -
U*r* tta' 5+'r *
7frs'ya: xq
. .b)-id acedt caz toli coeiiciegrlii p[tratdlor sint egali cu zero 9i nu mai po'"* npii"t e:oc-e1e{ {le
mai sus. Vom face lnsi o trans{ormareliniirl astfel lniit problema sl se red*c& ia cea de tipul do rnai
lnalnte. Facem deci transfonnerea liniar5
(Tt) :yt: (2, -l- dl\ yz: (sr - *rJl2, t, - x,'
astfel ci Iorma do-rino
l:yi-yf;+Zt,trln continuafe procedb,m ca ln e'xe1nplul a)" Avem
I
I t ,, f* (y?'+ Zyfli - vr,; - Ur * v;t)2 '- vl - v3"
Faccm transf ormarea liniarf
, \ fl'r)lz1*Yr a,za- a,zs- -
astfel cd, I - r1, - r3 - ,3. cornpurlnd transforrnlrile T, 9i j'", oSfi*em transformarea
tl(T):zr:- (\* x2) 1' tt, z,- -
(t, -'J' 2.8- x",
orin care f s'a redus la formr, canonicd, Se obserrd ca / : 3, deci forrna este nedegeneratI" Deoarece
ffi;;;;;;^"". ili i, tnJicele nesativ este 2, - 2' rormaeste ned;riniti
c) f:ro""Uln* ca Ia. exercifiul a), obfincrn
/ J:1xi+'x{z 'p xrtcs* n#,tl * xf+ 'l + r'i+ x2xs.* x{a,l+ x|xn-
| 1 r1 I \2 t: l*1 *. -=xz *
=*r*:"1-; t* + *i+'i + 2x"xs-F Zr"xai 2t"x'l $
. \- 2 2 z )
+ rl + rl + rf; + rr*" a1,rra
* &ax v
transfortrt area
/?'\'ri- : v. l]-*r+ 4rr* 4ro,rr:nz, lr*isi t=' ro,,rr/'.yr-*7 2" 2 " 2
-
od ,/
^ 31,, 2 2 \ i 1
f: r'i + - lvi + lr'"t" + r-r.lol+ -(vi +/i) + - t q: -'r\"" 3 - 3 I 4 z
- 3l( I I \2 r,2 1 1 1
- 1,. r -t\tz * - a+Lvnl - ' tvl+v{+zv"vll+-o3t v7) l-ygv'-)'' 4l'i' j-' 3'"1 e - I 4 2
,Iracem
sstfel
Facem transforrnarea
\tz)' : yt, tu.a 1
(. r
lzi *5;l
ttl'jazz
"l/e*-
,i:1.1,
1J
tj
zs'a ya, zn = lti
".", / = rl * 1,d*
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 41/344
Sacemn o u,ltirrra transf6.rr,nare-i
(7") : u1 : ,,r: *": zz, u, : za f zrl4, un: er,
gi astfel/ - ni+ 7*?* 1q* 2u? roortormarea liniiard iare ne-a4 6 -8
t:onooicd este
i
I
condus la aceasfd frnm6
(r): h:\+),I '1 I I
- ,2*"*;"r*;t" ilz:xe*:**
,t,Forrna pd,tratic5, este aodegeneratl gi pozitiv definitd deoarcce / : 4.
\11.t3 : IB I -- ro, tr4 - X4-
4'
si se aduc6 r" l;;;; ;ffiffi"fi11?i.:l?f "ffi'; J H,fftt ""tl varori lor proprit)I
a) -f(x) - xz - x I 4rrx, - 4xrx, : b\ /(x) : .? + xz + xg+ xtxz* xrrr{ xrxr.Rezoitnte' Metoda transformirii ortogonple constd in urmdtoarele. se scrie matricea formei pd,tra-
.tice$i se rezolvd ecuafia caracteristicd det(a11-rg,l)
=0,.utt"i"i";e.valorire proprii ).r, rs,...,
l, € R. Se rezolvd apoi sistemul. Z @r, - lg17)21 - 0, i _ ,1, 2, . , ., n, obfinindu_se vectorii lor6priinormali ut-(arr,c.12r,..tnrrl,
l7r,z,...,a.Formapltraticiesteredusaraformacanonicilf:- frl? + Xry|, +.,,+
^p|,printransformarea ortogonaH (f) : o, - f n,o,.
loz-2\i:1a) Matricea fornrei p{tratice este :4 - | 2 I O l, ".
ecuafia car.acteristici se scrie
| _r ,,-r_ri _;l'
'-' vvqqr@
I z t-r ol:o*l(-I2+e) :0.l_2 o _r_ll
Valorilepropriislntl,, - 0,Xs - -J,Xs - 3. pentru),1 :0, dinsistemul 2x" _ Zx. _ 0,
2xr* nz:-2*r-rs-0 determindm vectorul propriu normat, adic:" ur:(:, _i _3): o";,."\- -3, din sistemul 3*rl2rr-2*r-g, Z*r{ x":0, -rrrY 2rr-30, "Iirl"- ,r_-(-+ ,+, -+) tsflrsit,pentru\- 3, din sistemul -3x1*2*'-2x"-0,2xr-2x":0,
-2*, - bg=
oobfinem
" - (- +, - +, +lprin urmare,
"otr.o"ro*".}o j...r""jru '/
(T) : \- (h - 2y, - 2y")13, *r_ (_21,r+ yz _ 2yJ13, *" _ (_Zy, _ Zyz j-?s)13,torma f este redustr la urmdtoarea formtr can@ici, :
3' utiliztnd metoda transformdrilor ortogonale (sau metoda
f : -stZ+3y3.
('++)b) Matricea ro,m"i fat,atice este
^:l+ t
+ l. Ecuafira caracteristici
f t, -ll;;')
.t1*t* rtrdlcinile \t:2, tg:&:f.e"ot* )\:Z,dinsisteniul _21 *
1-), 1 lt-t 2l
I
t-r -1 l:ozlI ,_rl2l
1'*Vxs:4,,
1
,1
2
1
-*o
'lt
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 42/344
a
"rl Il-rr-xz]_-xr:O,oa
I 1\
-' -
I. Pentru
.rt: Js )
nor'rnat "':(+,11111
-xr -l -
xz * 1 r" : O,-
l't * - xz *))722
11- \ * -
x> - xs : 0, oblinem vectorul propriu
I).2:}s:,-,
i2
1111+ i*"-0, 1\+1xr+)*":0. Sistemul fr:rrdamental de solutii al acestui sistem do
)))2ecuafii este format din ar: (- 1, 1, 0) 9i u, : (-1, 0, 1), solulia generala a sistemului fiind o -
- c{ur * pur. Deoarece veetorii o1 :si u2 nu sint'.ortogonali, se procedeazl astfel': se it ,r, -',o',:
ll"lltll\
gi se.cauttr us:s nonnat;i oltogonal lui zr. Deoarece tt: (-'a -9, ", 9) Si "t - | - --7=, --, 01.
\V2J2'in conclifia de ortogonalitate a acestora ol:|inem g - -2d'' astfel c6 t - (a'' e' -z:')' Normlnd accrt
t I t 2 \vector, obfinem u": l-7-, ---I-, - t- l.\. V6 J6 ,/6 l
Cu aceasta vectorii il1, H2, tt3 fornreazd o bazd, ortonormati gi cu translorntarea ortogonalil
111'.111
(f) , xr:---;)t- ^-t't*-7-r", Yr:-L lti_--7;=lz*---i: s' vi-' \/2 Jt' \'J \4 J672
v.r v6forrna pitra.tici este redusSlla fortna canonicS,
t-
),,2 t
2.6.2. Probleme propuse spre rezolvar€
4. Sise{etermine}. e X{astr'elcaintrelormeleliniare it-: xt, + ZxZ-f 3x* f 14*
Jz:zxt +,3;r.z*-rs* z:';0, ir:.31\*'ry2+.2x3*)'xn, Jn- 4xr+21Fs * 5rr s6
"it:ttoi relalia f'-li, J, fu:0' I
-
5' Sl se cercctezc nltturl sistemului tlc forrne "f: AX 9i si se stabi]eascd rela-
fiile cle dependent:r cind este cazt-j':
6. Sir se aclucir la fcrma canonicl prin rnetoda. lui Gauss 9i si se pree'izeze indi'cele pozitir', signatura gi natura pentr$ fiecare clin formele p5'tratice:
a) J$\ :x?
+zxT
+sxi
|Lxrx,
f4xrx" t
b) l(x\ : xi + qsE * .4 - 4xrx, | 2xrx" I
e) j b) :' ri -"1- rtxz -V xsYL i \1 : ,
rl
- -r --,J)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 43/344
't'rt 1 l I I I'
xt xz * -x": 0, )-xr I xz - xs:0, obtinem vectorul propriu nor'mat q: l-
o 2 2 2 . "uulrus v'ur---
\Jt'I l\ I I I I 1 I
-:,----i:l.Pentrulz:trs:.-,seoblinesistemul_-4*-jxz.*-Ttr:0, -ltt1,'-^xz*.rt.r J3) z z z ) 2 2
llll+J nt= 0,
-\*)-xr*'-r"-0. Sistemul fundamental de solufii al acestui sistem do
'1 1)a
ccuatii este format din u, : (- 1, l, 0) 9i o, : (- 1, 0, l), soiulia.generald
a sistemului fiind o =
: uar * pur. Deoarece veetorii a, ;i u, nu sint ortogonali, se procedeazt astfel,: se ia ur- ,dI ll"ll( I I r)'i se cautl ur* u lTotmat 9i ortogonal lui zr. Deoarece u : (-d -F, ". 9) ui "t -| T, G,
din condifia de ortogonalitate a acestora obfinem g - -2q" astfel cd o ' (a, a, -2r)' Normlnd accrj
vector, obfinem ,r": (-1, 4:, - :-\\v6 J6 ,/6)
Cu aceasta vectorii u1, 1t2, rr3 fornreazi, o baz5, ortonolrnatS. ;i cu transforrrrarea ortogonal6
111111(f)
'
.v1 : -3.1'1 - ---i:-J2* -1: s, an:---7:7ri --i:y2* ---i7 s,-t'r"t uro
", _,:
^t\/2
/ - Jl /.. Jt
JJ J6iorrna pdtlaticir este redusd\la fortna canoniciL
J:zyl+Ly?,+
' 2.6.2. Problerne propuse spre rezolvar€
4. Si se petermine ), e f,t astfel ca lntre f ormelc liniare 7,, - xr * Zxp * 3x, xrl
Jz-Lxr *'3;ua* tg * Zxn, Jr:3xt ,r'xz+ 2rr+\ko, fq- 4xr+2.fts* 5q s[arl,i loc relalia .f , i [., - Jt - /o: 0.
5. Si se cerceteze natura sistemului de forme,/ - AX li si se sta]:ileascd rela*
fiile de dependeiifii cind este ca ;'l:
3 .-4 -1\-2 1 3l
-3 -r8l'
8 -9 ^5'l
":iiil";l ,ul
6. Sir se aducir la fonna cenonicl prin rnetoda lui Gauss gi si se pteeizeze indi*
cele pozitir', signatura Ei natura peritru fiecare dis formeLe pltratice:
a) J(.r\ : x?. + zxg + sxi I Zxrx, + 4xzt% t
b)-t@): I+'4*?+ xl--i 4xrx,* Lxri"re) Jk): ri {- t(txz -l' ssrd;
/ \d
lo
- yi.a
": [l),
'2 I -3, / \ 12
a) .1 : {: I -?i, x:{lli, or , : { I
\i;-l) \";r \;13 I -l 2 3\
:).-l:l: -r 2 -1 3i,\;3-453)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 44/344
., '"J .i, ,',
| 4r" xrx,
7. Aplicind mefoda transform[rii
mrmS,toarele forme pitratice:
* x;tfr.ortogonale, si se aduci I;a forura cannniC[
?I fH : ry? x 'l 5x -; 6rrx, { zx,x, - ?xzxs t r\-t -1- Ltu7tug
b) J" y) : 5x * 6xZ * 7x? - Lir, + 4xix"t t tug-
a:L7.v2 t 1*,Xg ;,), f,(*, ) - 1*? * sx,, ^l 1,1x - zilirx, a'tirx, + t6xzh jd)'Ji;):4x,r,- *?,^\ //",\ . -,2 t a -. --c) J{x\ : zx\ * 4x,xo - 8tc,xo - 4*-x-:f) J(x\
=5x? * 7x? + s*g +Zx,x, ii"'t), {tr} 7 Sxl l^7tt\ + s4 *Zr,x, *2trna + znzxsl
*i l;*t "* ,,ff. 'r.* f J, {l' .;::, i */ *\-: r 'l t ')
'A kr r -li .t*
'"'
ir;'i,,
...* . . f,. *4 *."
. , ,. /il'{*,tFF
# , r a3'
';l M
*
f"f,,o
,t,&ffsfl
I
('1 -";-,)ff4
*, *
)*dr b\ dw
t,',,t ,,ti
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 45/344
5. er,cnsnA vEcToRIALA
L Veetori. Uo ,"g*"r,1 orientat 78, a # B, este caracterizat-prin nofiu'ile geometrice:
direcfie, sens, mirime (lungime). Doui segmente orientate 7t qi 6i sint echipolente fia p i4 an(ja
au aceeagi direcfie, acelagi sens 9i aceeagi lungime. Numim vector v caractetizat de un segment orientat
* ----> -:? :+.i?mullimea sggmentelor orientate erchipolente cu Ab : v -- {CD I Ab p CO}. Doi vectori sint c'gali
dacl au aceeagi direc{ie, acela-si sens 9i aceeagi lungime'
Un vector de lun.;i ne uiru se nuinegte versor sau vector unitar. Un vector di lungime egali cu
zero se mrmeqte vector nul. Opusill uLrui vector v este un vector, -v' care are aceeagi direclie;i lun-
gime cu v, dar sensul este o;;us aceluiit' al iui v'
NotIm prin -72 rnulpimi'a 'rectr>rilor'<lin spafiu'
2. Arlunarea vectorllo -. i:'ie v1 : 7F ; i ,, : Ei, Se numegte suma vector ilor v, 9 i vs vcctorul
notat prin vl + v2. cu reprezentantul v1 * vz : di + fr :TC. prin diferenla vectorilor vl g i vs
in aceasti ordine se infelege vectorul Vr - ve : v, l- (:va)'
3. lnmulfirea unui vector cu un scalar. SenumegteproCusulvectorului v e,cll(, vl0,tcu scalaru]'
I e R, ), I 0, vectorul notat lv care are aceeagi direcfie cu v, are acelapi sens cu v dacd ), ) 0 9i sens
opus daci tr < 0 gilungimea l fv l : l ). 1'u. Dacri I : 0 sau v : 0, 3'tunci trv: 0'
- ,r,r4i-"" clftf.ormeazd"spaf iu vectorial ln raport cu cele rlouA operafii definite mai inainte .
Versorul unui vector v # 0 este dat de v' :tn -
'
u
Doi vectori sint coliniari clacd au aceeagi direcfie: v1 : ftv'' Doi vectori sint liniar dependenJ
daei gi numai dacd sint coliniari.
Trei sau mai mulli vectori slnt coplanarl dacl reprezentanfii lor printr-un acelagi punct din spaliu
sint situafi in acelagi plan. O condilie necesari 9i suficientl ca tre i vectori v1, v2, v3 e cll( sE fie coplanar
estecaeislfieliniar4ependenfi.Condifiadecoplanaritateatreivectorivl, v2r vssescriev, : )'r'r * {-rvs
, 1. Produsul scalar a doi vectori. Se numegte prc'tlusul scalar a d.oi vectcri nenuli u1, v, e c)
scalarul real vr'v, dat de N
\'1 .v2: ur.uzcoso.0: *(v1,. vr).
Dacd vr:'0 sau vz:0, atunsi vr'vr: 0.
Proprietdfi. a v'v:u2>0, \1 ecV(, u#0lqi v'v:0+v:0; b) v1'v2:vr'vl
a) vr'(v2+ve):v1'v2+v1'vs; d) ().v1) 'vr:}(vr'vz) ; e) vl'vz:0ev"Iv2i f) -prurv,
= Id. , v1 ,f 0; g) prvlv, : vr.yl, Dacd vectoriiunei baze rlin ?/l sint demirime uni,tate 9i orto
vl
sonali doi c$o do acea bazl se valnumi "'1"*;;-n'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 46/344
Fie $ : {i, j, ki o bazd ortonormati. Daci vt : xii + yri -f z1k, i, : l, 2, atunci expresia ana.;Iilici a produsului scalar este
v1 .v2 : trrxz + yry, + z4z.
in particular, m{rimea unui vector este u1 : ^14 +|TT;T.
5. Produsul vectorial a doi vectori. Numim produs vectorial al ve:torilor nenuli v1, vzeqlc,Tuali in ageasti ordire, vectorul notat vl x vs pentnr care : a) direclia este ortogonald planului deter-
,minatdevectoriivlgiv2;b)lunqimeaestelvrXv2 l:zr.ursin0,0<0: *(vr,vs)<r;c)sensullui v1 i v, este astfel ci triedrul {v., r'2, v1 X v2} este orientat drept (un observator situat perpendicularpe plannl determinat de-vr gi v2, in sensul vcctorului vr x vs, sd poat:i roti vectorul v, in sens inversacelor de ceasornic, de unghi mai rnic decit rc, astfel incit versorul siu si coincicli cu versorul..zecto-rului vr). Da,c.i vr:0 sau vz:0, atunci v, X v":0.
MS,rirnea produsului vectorial I v, x v, j reprezintd aria paralelograrnului construit pir cei doi"rectoii.ca laturi.
Proprietifi. a)v x v:0;b)vl X vz:Oevr: hvr; c)v1 X v2 X v1; d)(l.vr) x v, -: I(vr x vr); e) v, X (va * vg) : vr X vr'+ vl X vs,
Daci :{i,
j, k} este o bazi ortonormati inspafiu
gi ya:*j +
yrit+ zzk, i:1, 2, atunciexpresia analitici a produsului vectorial este
6. Produsul mixt atrei vectori. Prin produsrl mixt al vectorilor v1, vp, V3 e cll(luafi ln aceastf,ordipe, se infelege scalarul, notat (v1, v6, r'n), dat de
' (ur, v2, v3) : (v1 X vr).vr.
Frodusul mixt a trei vectori reprezinttr, ln valo;ire absoluti, volumul paraldlipipedului construit pecci trei vcctori ca muchii.
Proprietifi. a) (vr, v4, vr) : (v2r v3, vr) - (v3; vr, vr); b) (vr, vz, vs) : - (v;; v1, va) ;
c) (),vr, ,r'r, vr) : ).(v' va vu).
Fiind dafi'vectoriiva : xi * li * z6k,i: 1,2,3, fafl de o bazi ortonormate E: {i,iij, k},expresia analiticd a proCusului mixt este
lr, tt ,tl(rr, vs, v3) -
lr,,, ,rl.
/ . lxs " zsl
Volumul paralelipipedului constmit pe veitorii v1, v2, v3 este
urXu,,';t; A
lr, yr zl
r : *l*, n, ,"
l*" ," 23
o condilie necesar{ gi sulicientd ca treivectori vr, r'; gi v, si {ie coplanari es{e ca
ixt lt ztl(vr, vr, "")-lr, y, z2'-0.
l*", ,,, ,"\
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 47/344
?. Produsul duOlu Vectorial a trei vectoli. Fie vr, v2; vr € 'X. .Procltsul dtrblu vectorial a
vectorilor v1r v,r vs, iu;lfi in aceaste orclitre, este vectortrl vrx( 'gxv.) Are loc Iormula
v1 X (v2 X vj) : (v,'vr) v, - (vr'vr) vu.
8. Reperc carteziene ortonormate. Un reper cartezian ortonornrat in spafiu este figuta Iormat$
fntr-un punct O din spafin, origine, gi o bazir, ortonorrnati. Se noteazd (p "-'{O, i, j' k}.
pie rB - {O, i, j, k} un reper.cartezian. \rectorul de pozi}ie al unui punct 1}1 dil spa}iu, Ja tr de
reporul (8, aste vectorul tM : Or\:,4. coordonatele vectorului <le pozifie ru fafd' debaza
i'j' k se
nurrrosc coordonatele punctului '4f' DacS' ra,: ri + yj + zlt' aturrci scriem M(x' y' z)'
Fie (p: {O, i, j, k);i (2' : {A', i', j', k'} doue repere ortonormate gi fie O'(xo' ye' zo) {afi' de
repernl (fl. Dach" n, y, z ,i x' , y' , z' sint coorclonatele aceluiaqi punct fafi. de cele doud, repere si dac&
leg5tura dintre bazele {i, j, k} $i {i" i" 'lt'} este
i' : ani * atai'l arrk, j' : azi -f dz-i + alg3]K' k'- asri * a,'i * n"k'
s,tu{ci.
x-ro*an)r'*at ''"las'l', =:lo*arzx'*azz '*a'rrz',2*ze*ar#'*ahJr'-Fa3{'''
Dacd O = O,, atunci ro -: J,o: ,, - 0 gi relafiiie rle lnai srrs explinrA, schimbarea coortlohlteiorla o rotati a reperului' L)acii a1; : Eir, r' -i : l' 2' 3' atunci aceleagi relafii cxprirni schirrtbaren
tooedonatelor la o trailslarfie.
lnparticular,laotrir,nsiafieinpiitrtavenl,l;:x,o-lx', y*1,o*1",ia"rlaoIota1-iedeurrp,hioc
o axelor nnui rePer Platt avetn
x : x' cosu - y' sina, y : x' sirto a 1r'"oa 0l'.
0 sihimbare general.i..de rei:er in plan este caracterizatd pliu
x.: )(o4-.r'cosc(' - y' sina, * lo* r sina * /'cosc'
9. Apliorfti. a) Aria triurtgltiultt'i cle virfuri Mrku yu zt), i == 1, Z' 3, este datfi"clo'
"d:
+|Mfr,,, *fr"I : j lr', -- r,) x (r, -- r,)
1:
: r il;""
il' . i;; :" ll't lir, o, 1l 1,, *a 1l
l^,| ^r
+ l,u
l*
lr 1|'9l'1'
'r'"lll
b) Yoktmultetraedrttlui de virfu:ri Mr(*r, yt, t), i; l' 2, 3' {' oste dat cle
'l*' J'' :t llr -------->
--+ ---+ tl x^ 1'. 2., 1lv : J: ) 1Mr-11", rIrMn, M1\a, ^ *
ulri-i,
.; ,l.-r'-ll'n )'q 14 |
a\ Gonililitt naaesard ii suJlcientrX 60 pa'trtt puncte Ma@'' 3'u z')' i + l' 2' 3' {' rr5 Jic aaplanata
lsto ea.
xr lr zt 1l
nt le zz tl:0.ns ls,r ll
nr lt t. ll
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 48/344
'd)Coordonatele ului purtct I1 care
t, | ),t,
: l ti
' Mtilimparte segmentul IVITM, in raportul 1' ---: .- : ?r, sin\
hI ilrz
3't 'l \ zU:-'
1-lL
- r 1-11 T 'r12
1+ ir
'Probleme rezolvate
,*1. Sl se arate.cl pentru ca trei vectori a, b, c si inchidi un triunghi este"
necesar ;i suficient ca a + b a c -: 0.' __+ _-_+ ---+
Rezoluare.Fiind dat triunghiul 'JBC, avetn AB+BC+CA-0' adicH a+b- j:C1
Iavers, daci vectorii a, b, c satis{ac relatia a+b+c:0, atunci'1titd ":BC 9i b:Cl' din
relafia anterioara obfinem c: -a - b : cB + AC : AE. Prin urnlare, vectorii a, b, c inchid un
triunghi.
2. Fie a, b, c vectorii ce coillcid cu iaturile unui triunghi. se se exprime cl}
.;"lot"i1ot'vectoriice coincid cu medianele triunghiului Si s[- se arate ci acegtia
pot forma un triunghi."-
Rezoludve. IpotezaaratScf; a*b*c:0, Pentiu
determinarea vectorilor ce coincid cu medianele {olosim'
exerciiiul precedent. Astfel, din LACC' ifig. 1) :
eZ' :;) + fc' : b t ctz; din^aA'r:
+++AA' : AB + BAt : c'{ alZ; rlin L}|B'C:
BB':BC+CB':a{b12.+ --+ ---+ B A' r,l' L
Deoarece .1 .l'+ BIJ'+ CC : 1,51a + b + c) :0, re- Fig. Izulti ci vectorii mediani inchid un lriunqhi.
3.Fie vectorii y1:nL1Q.+nLb*f$ 9i vr: mza*nzb+1ac, unde..a,.b
9l "ri"f n
"coplanari.
'Sl" r* ,l"t"rmine rei;fiile ce irebuie si. existe intre coeficientii
descompunerii a-stfel incit : a) v, := vz j t) vr : trvs. \Rezoluare. a) Relafia vr : ya este echivalenth cu (m, - nt2)? * {nt- ns)b * (?t- ft)c': 0'
.
Deoar."ce vectorii a, b, c sint necoplanari (liniar independenfi), reialia antenoari implicl m1 - rfis,
nt : Itz, Pt : Fz.' u)-n"Ltia--ae coliniaritate vr:)'vr implicd (mr-)'mr)a*(nr-)'zr)b*{fr-}f")c-0"
Deoarece a, b, c sint necopianari aceastd rela{ie irnplic A 'nr : : : lL : l't lnz rxz ?z
pri. urmare, p&tru ca doi vectori si {ie coliniari este recesar gi suficient si aib5, coeficienfii descom'
punerii lor dqpi t."i o""iJ-oe"oplar'"ti proporfioria"li'
4. Se cunoaste descompunerea vectorii0r v1r, v? ;i v3 dup5 trei vectori necopla'
""ti-".-u,;t-int:7a-'b -cj vs.: --a +zh- c, vs:-a-bf 2c' Se se
cerceteze coplanatritatea vectorilor.
Rezolaare. Trebuiesb.bercetS,nlclependenfaliniartavectorilorvl,
v2, vs. Relafia.lrvr-*)'rvr*'
*trrvr:0 este ecbivalent5, cu (2),1 -),i-),.)a*(-Ir*2^1.-).s)t'*(-).r-,Ig*2X.)c:0"Deoarcce a, h gi c sint necoplanari, aceastb relalier implicS' 2)'1 - lt - ls:0' -tr. *2\s- 13:0'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 49/344
-lr - I, + 2^3 : 0. Acest siste'm onosen are un sistem fundarneutallie solutii forrnat uilnr:ri dintr-o'singurd solulie (rangul sistemului este doi), anume l, - Ig: X, -= 1. I):ci vectorii sirrt copllr,lii,ri si,.relalia de coplanaritate este vr * v: * va : 0 sau v, : _ Vr _ v:.
5. Si se descompuni vectorul v : a t b +",clupi.
trei vectori nccopranarivt: a.+ b -zc, vr:a -b, vg:2b]_ 3c, giiind ci vectorii a, b, c.i.rf ii..o-pianari.
Rezoluare' Procedind ca la exercitiul precedent, se poate verifica faptul cd, v1, v2, v3 sirrt liniarinclependenli'
Trebuie s5 avem v : irvr* rrv, 1 luvrl inloruind expiesiile vectorilor in aceastd,,-rolaJie 9i linind scama ci. a, b, c sint linia.r independenli, eblinsn pe0tru determinar.c:r coeficienfilorlr, 1r, la urmitorul sistem: ), -{- l, : 1, ir - l, -F Z\r: I, -Zl. J- 313 : l..Solntia acestui sis-
233tem este lr - -]' trz: l, lB::, astfel cd v: (2v, { 3v" i 3vr)/5..5 5 5 ; ' - 6/t-'
6..Sa se tlete'ri'e 1= R in a;a fcl ca vcctorii v, - Zi + (). F 2)i + 3k,lr: i +
^j -kt ur.-- 4i+zk si fib coplanari. Pentru i astfel determiiliri si sc(icsconlpuni vcctorul v, dr"rpi direcfiile v-ectorilor v2 gi v.,.
l?ettluflye, P,:r1ru c;l relatia \v, * trrv, _p }"vr : 0 s5, aibd, loc cu rnicar unul clin )1, Ir, ij.rrenul, trcbuic ca sistemul Z/,7.1^2:
0, (f * 2)fr * ).tr, 4 ,lI, : 0, 3).1 _ l, * 2\r:0 ,A oif,i'srrlufii nebarrale' Pcntru aceilsta. este necesar si suficient ca deteininautll sistenrll*i omogen si, fieegal gu zero' I)in acelsti, .,cnclitie obtilem l '= -8. scliem a:trm v1 - avz 1- [-ivr, rclaiie c::hi,ra-
letrtlt cu sisterrrnl u .= 2, *8a + ^11 : -5, -r + Z? :3. Srluli:r, ar:stui sisLuin s.itc e.. Z, g : 5
)
.astfel ci vt:Zvz + I ur.
\J
7, Sir se calculeze scalarul vr.va * Zvr.v, J_ 3vs.vr, stiin,l cit vr..,,= 3n _b,v2 =-=s-f -lb;i vs:a-b, iar a2:9, lr'?:-3,i r(a, b) .=i-.
,^/:Rezcluare. A,zcma.b:a..bcos * (a, rr):JT.r.^l : Ll1 . Apoi vr.vr: (:la_b) .(af.22
+3b) :3a2-1-8a.b - 3b2:zt a nJT- 9- 18 + pJT. Simitar obfinern vs.yg: rrrli;,iv3'v1 : 30 - 6J3, astf:i c5 vr.vz * 2vr.v" f 3vr.vr: lQ .
'z :r "v " v
8. se se determine I e R'in a;a fer-inc-if .vectn":ii vr - i + zt,j-- 1l -\ r;tgi v" : (3 -- i,)i + j + 3k si ii" pi,pc".;iculari.
-Rezoluare. ionclilia tle orto::rnrlitlte vr.vz: 0 cere c:r 1.(3 - f) + 2X,l- (). - 1).3: 0,
de unde y: 3.
t'
9. Si se crlcubzc proieciiile vrcioriloi vr : 2i - 3j Si v: : _i* 4j pe vcctor.iireprezentind sutna 9i diferen a ioi. .
s-w ri..._;r;-iJ T Vr'Sezolttare. Obtinem s: vr * v,r : i* j .:itl : v1 - ve ,- 3i _ 7i.-pri, urm:rrer prs v' :s
1 .-.." 3 .,,, .ol 27 vg.d 3 I - -7-,prs\', :
-/=-,p:d\.r
\/z , \/z ,r /ts d Jir'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 50/344
10. Cunoscind vectorii care formeaza laturile unui triutghi: '{B : zi -- 6i;,,
p6 : i + 7j, Ce : -3i - j, si se cletermine unghiurile acestui triunghi''--+ +
AB.AC
Rezola(tre. Folosim lormlla cgs { (vr, .'r) : 't '' ' Obfinem Cos + I : --=:--+- :t 'v2
at'uz IAB l. lAC I
orr2:----:--::0, astfel ci +-A - + ' Similar obfinern {B: a'rcc<'rs i "+C --
JioJrc2
,
.v')I
: orc coS -'-7=- .
v511. Se se d.etermine lungimea vectorului v : vr - vz * vr' ;tiind cd t)'- l'
't?riit-uz:z, ar:JI gi *(vr, vz) .:+,*(vr, ve) == ,, *(vz, vs) =- T'
T/-
Rezoluare.Deoarecev2 : vl + v?, -i 3 - 2vr'v2f 2vr'v, - 2vn'v"givr'v, -: at'utcos 7:V 3"
v1.Vs: 1, vr.v, : J;, dedu/emc[.
u: Ut;:;]f:Tl;'12. Se se calculeze unghiul dintre vectorii a 91
este perpendicular Pe vz :2a * 3b 9i vt : 31
: -a+3b.Rezoluare. Din condiliile v1'v2 : 0 9i
a'b I
cos * a, n :-: ,:, astfel c5 {(a,b):arccos --E'q'I J', \/r/,
13. Se secalculeze (v, * vr) X(vr
-v2)
;isi. se interpreteze geometriQ lezultatul'
Rezoluare. Obfinem (v1* vz) X (vr- v"):2y, X vt. Deoarece lv1* vsl Si lvr-vrl repre-
zintd lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe v1 9i v, ca laturi' rezultd interpretarea:
aria paralelogramului construit cu vectorii diagonale ale umri paralelogram este de doui ori aria para-
lelogramului.
14. Fie vectorii vr:3i + j + 2k;i v2 _ i _ j_3k. Si se calculeze: a) pro.
dusul lor vectorial; b) sn se verifice cir vectorul v1 X v2 este PQrpendicular pe vt
gi v2 i c) aria pbralelogramuhri:","U.t1,
pe vL ;i vr'
ti j klfuzctuare. a) v' x "r: I .1 | 1l: -i r- llj - 4k'
I r - I -.) |
b) 'vr'(v1 xvr) :-3+ 1l-8:'0;vr'(vl>( v2) -= -1-11 "FlZ:0'
. c) st :l-v1 x vrl : Jl + l2l 1- 16 = V 138'
15. Se se calculeze af ia paralelogramlllui r onstruit pc vcctorii vr : a * 2b
*(a. b) : n.gi vr: a -3b, uncle 4 =- 5, b:" 3 ;i
6
Rezolaare.Avem v1 X vz : @'l 2b) x (a - 3h) : 5b x a' astfel ci lvt
7i. trin urrnare, aria pflralelogramului "rt" 3.:5b.o sin { (a, b) : T, Prin urmare, arrir l):trtzz
b, ;tiind c5. vectorul vr : I - b
{ b este perpendicular Pe v4:
vz.v4:0; oblinem ^'b:n'
$i b2: 4"'
Deci927
xv2i:5lbxa"l:
-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 51/344
16. Pentru ce valori ale parametrului l, & R,-: a - 2b sint coliniari, a gi b fiind necoliniari ?
Rezoluare'Punemconrlifiicavrxr'e:0astfelcS(3+21)bxa:0.Deoareceasibsintnecoliniarl
;rrezultX, cd ax b I 0. prin urmare, 3 + D.: 0 Si deci I :.- 3
2
17. cunosci.d doui laturi fB\-3i:4i 9i 87: i + 5j ale u'ui triunghil
"sd. se calculeze lungimea inilfimii sale CD.I --+ --r I --+ -tA BC - - | ABxBc l.: J:
1 AB i.l Ci l, astfel cd22
vr: tra * 3b ;i yz-'
+ --+--? l.-t Ij x BC I
lvtrl;
--- -lABI
construitegal cu
' Ilezoluareg Aria
19,e --:-.
5
18' Dacii a, b, c coincid culaturile unui triunghi, sir sc aratc cL aXb - bxc - cX.a.
trlezoluare' Deoarece a, b, c coincid cu laturire unui triunghi, avem a+b+e:0. inmurfrnd
l-":t:.:" -"."--ji relafie cu a oblinem bxa f cXa * 0, adicd axb :.xo. ir^rilirA,r""toriat "n *-iezuitJ axbJhxc.
19. si se cleterming l. = R, astfer ca volumul paraleripipeduiui'vectorii vt:Zi -:j + f,- vz: i + j - 2k pi vr'- ii +'tj s[ fie
Iletaluare. volumul paraielipipecrului constr.'it pe cei trei vectori este
Po5.
lz -3 rtr:+lr r -zl:*
lr z ol
'Ee;uafia (10 + 5i) : f 5 are soluliile lr: _l9i ),r:
_3.
?0. S[ se calcrileze iniltimea paralelipipeduiui construit
{:rt"U".1
a11 qalatetogramul coTiruit pe vectorii",
sirr, ;iiipe vectorii v1, v2,"v3rdcii v1
=2ifj-k,
paraleiipipedului construit pe vectorii v1 :v:, - ?a f 7b -,4c, gtiincl cL a :3, b : JT;
vs : 3i +.2j + k, v. : -j + Zti.Rezoluare. Volumul paralelipipedului
V:*
22. S[ se determine volumul:a - 2b * c, vz:3a -l- 5b -- 2c,
*rria bazei este
,1(= lvrXn, 1 :.r/fiprin
urmare, inllimea este &:
n
_ 7,_:d Jit21. Sn se cercetez-e coplanaritatea vectorilgr vr : i t Zj __k, vz : Zi __ 2j+5k,vs : i -
qj + 6k. si se determinc' relafia cle coplanaritaie oac[ este cazul.
l?ezotuaret Deo'rcce (vl, v2,"r)
:i; :
-j|:0, vectorii sirrr coprana;i. necarece v,,l r -4 6l
v, nu slrrb coliniari, putenr scrie ..v, : crvr * pv" relafie ce es,te eciriv4}en?L cu sisteanul1,2c.-29:-4, -r,.+53:6. -loiuti.r.si:;tenuluieste s:_1,F:r Ja"*-"-*
este
lz
t;
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 52/344
t : l, * (b, c) : n, iar unghiul format de vectorul a gi planul determinat de
6'
vectorii b gi c are ntisura a..4
Rrz,i;nre. Trebuie s[ calculd'm produsul Inixt al celor trei vectori' Folosiud proprietitrfile produ rrul
mixt, ol'tinem l('r, tz, vr): (vrxvs)'vr: f(a-2b {c)x(3a +5b- 2c)l'(2a $7b- 4c) -
- {llaxb - bxc- 5axc)'(2u + 7b- {c) : -44(a, b, c) - 2(b, c, a) - 35(a, c, b) -: _ ll(a, b, c).
Dar (a, b, c) : (b, c, a) : (bxc)'a : lbxc l'4cosn : br"'"in .o,3 : i,
"'u"l "ar -
j1'4642-8
23. Sir se verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial Pcntrttvectorii vr: i + Zj * k, vz: Zi - 3i, tr : 3i + k.
irrolr,orr. I)eoarece ur*'r:l', -', ii--r, -2i+sk, avem vrx(vr v.|-
i.r o1l
Rtzoroare. v1x(v3x,',y -",* ll -: :tl:l I i -ll :r, ro timp c6
Ir 2 3 I l-7 -7 7l
l; j kl I t j kl{v,xv,)xvr:ll I -rl *"r:.1-4 -l -51:7i+7i-7k'
lz -3 -11 | t 2 jl'
iik1 2 -1
-j -2 9
--(vr.r,)v, f (v..vr)v, :2(2i- 3j) + 4(3i + k): l6i.*6i f {k. Acoasto aratScil vrx{vrlvr}-.- (r'r"vr)v,'- (vr'vr)v3.
24. ln ce'caz vectorul vlx(v2Xv3) este'cdliiriar ctr vectorul vz - vs ?
Rt;zr.,Iuare- Trebuie ca proclusul vectorial al celor doi vectori s& fie zero. Dar [vtX(vrXv1[nx(vr-r'r):[(vr'v3)vr-(vr'vr)vr]x(vs-v.):(vr'vr:vr'vr)vrxvr:[v1'(ve-vJ](vtxvt[$
flceasra este egald. cu zero dac5, v, este perpendicular pe vr-vB sau dacS vectorii-v, g v, slnt odllniar-
25. Se dau vectorii vr:i+j -F, vz-zi-3i -k ;i Yg:i+2i'+3k.Este verificatl egalitatea v1)< (v, X v*) - (vt X vs) X v, ?
t\Tu este verificatil.
2(t. Fie vectorii vi, vi, vj reciprocii'vectorilor Y1s vsr vr definifi prin
vi: v?xvi"\,i:
'o1
*"':,vi=*--:i&-.(v1, vr, vr) - (v1, vr, vr) (v1, vr, vr)
Si se verifice idcntititilc :
a) v;.v :8,r, d, i: i, z, l; b) (vt * va * vu)'(vj + o-r + vil:3.S:r se calculele ieciprocii vectoriloi vrL -21+ j + 2k, vr:5i .- 3i + 9kd
vg := 9i + 4j + 2k ;i s'i se verifice identit[lile de mai sus pentru acs6t cez.
Rezoloare'a)s5'verificimpentrui:j-I9ipentruiaL'j-2^sinnilarsaprocodanlpentrocelelaite valori. Avem
v1.vi*'or.*J*3-: (vr' vr' vr) : 1, vr.vi- "j't- ," "1 -o.(yr, vr, s") (vr, vr, v") (v^, tr, vr) j
: t6i - 6j * 4h. Pe de altd parte, vr'vu -Z qi vr'vr s -'t, aratl c*
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 53/344
lt) lnbaza rezultatelor de Ia purrctui a) Avem
(vrf v, + v3).(v; + vi l- r,i) : vr.vi * vz.v; + va.vJ: j.
. in sfirgit, prin calcul obfinem (vr, v2, v.t) :249, astfel cd vi: {-a\i -F 7li + 47k)1249,v : (6i - 22j + t7lk)124s, v;: (15i + 28j + i11ZtO. . c
Se verifici ugor relafiile a) 9i b).
27. sa se rezolve ecualia vectoriali. v x a: b, ;tiind ci a: i+zi -k sib
-2i +j+ 4k, iar v es[e perpcndicular pe veci;rif ": i+ i +li
-' -- Y'
Rezoluare..Cdutdm t:xilyi+ zk. Din conlifiilev X a: b9iv.c:0obtinempentrudcter._minarea necunoscutelor x, i, z sistemul - -22:2, x j z: I,2r_ :4, xlyl.::tJ.
Solufia'listemului este - :+, I : - I, z :
Rezolaare, Legdtura intre coordonatele
y : -1* (x' -f nlJZ. inlocuind acestea
Rezotuaye. etaac: )€""m1: It -ut
3 1-v: -r - J - -k.1
cind se transporti axr,:lc
de 45'?
fafi de cele doui repere este x: l4 (n, _ y,)llt,in ecuafia dati, oblinem Zx'y' t l:0.
B(-3, o, s)
+3j-ekl:;.
I- -. Dcci
2
28. Se se rezolve ecuatia vectoriale v X (v X a) : b, unde a gi b sint necoliniari.
.Rezolaore. Ecuafia se scrie (1'1)v - (v.v)a : b, relafie ce aratd cd vectorii a, b.s v sint c;1pl;1-nari. Prin urmare, v : ),a 1- pb. inlocuin<i aceastd relalie in ecuafia de mai sus, oblinem pentru de'ter-minarea coeficienfilor ), pi p urmitorul sistem:
),1t' - bzl(a x b)', Lrs - *(a.b)/(a x b),.
29. Se considere punctele A, B, C, O' ale ciror coordonate fati de rcncrul(Q: {O, i, j, k}silf z( -2,3, s), r6.,8, -3), C(6, -j, j), O'(4, s, r)-Sa ,'" a.:_termrne coordonatele punctelor- A, B.; ,C- a1e de re?erul _.(k,: {O,, i,, j,, k,jgtiind ci matricea trecgrii de la baza {i,'j, k} Iabaza {ii j,, k, j" k') este
Rezoluare, Legitura ilintre coordonatele'unui prrnct fafi cle cele doud reperc este z : 4 ..1- (2x' -l+y'-22'713,y:3+(n'*2y't22,)13,2:tT'(z*,-2y,+2,)/3.intocuin.x,y,zprinooolil.r-
1P.' avcttatele puncfuluil, oblinem /: - +, yl : - +, ,,: -9 Deci fafd rlcJ3.l
" (- : - + *J. tt-u.. obfinem B(- 1, 6, 2) st c(0, -2,
30. Ce devine ecualia x, - y, - Zx - Zy - lin punctul O'(1, _l), ilr axa Orx' face cu dx un
:0unghi
31. Se se determine aria triunghiului ABC, gtiind cL A(1, _1,;i c(2, 1,2).
32. se se calculeze volumul tetraedrului de virfuri Ap, 6, 4), B (3,5, 3),c(-2, 1r, -5), D(1, -r, 4). --\
I -+ + + tl,3 -tRczoluare. V : +, (AB, AC, AD) : +-l-Z 5u ul , _7
63
)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 54/344
J.]. l)ararnu,trii clirectori ai unei clirecfii liind (2, l, 2), si sc glscasci cosinu-
sitrilc dircctoal'': aic acestci tlirectii'')2I2
ll{zolL)dle.'cosoc: ----- =-:: *=, cosq: A-' cosY: t ..-l
+Ji+r+{ 3 ' 3
i Probleme ProPuse spre rezolvare
M./s"rlauvcctoriivr: i + 3j + 9k,v, - -3i + Zi +lk, Yr:,2i,- 3j +-9k,
",i=i : j':;i;:'s:; .; eleterrninc vectorii u: vr *Zvz -i- 3v' f 4vn 9i v -
==-4vr l- 3v, + Zvr -{- v4.
35. Ce legirtr.rri trebuie sir existe intre vcctorii -vJ. ;i vr, pentru ca vectorul
r .: ;; at', "tt ii. t;t;t pe bisectoarea unghiului format de ci ?
36. Se dtr' triunghial ABC Ei rln punct oarecare M i\Planul s5'u'-?lci
C
esle ct'rrtrul dc greutatc al triunghiului, atunci ffe + MB + MC -3MG'
37. l:re dB ii cD vcct,rrii cc coincid cu doul coarde perpe_$iculT.t"5-""cerrc de centru o sj {ie l punctul lor cle intersec}ie. s[ se arate .cL
I'4 + IB + IC +._,
+ ID -21o. t;a vecto'rii v1 9i v'' si fie coliniari :is/s'i se dcterri'rine
^'p € 1t astfel <
a) vr:i1- (I-p)j +k, vr: .i+i. + Iir;i;i ',:i l-ij+tr, vz:Pi+3i+tt'
t'
:g./Si se cercetezc coliiriaritatca punctelor
,r) 111(2, {, i), i12(-}, 7, s), '1-1r({' i0' 9);irr ,i/,(t. 2. 3), ttiii, :, si, -tlrl't, 8, i3) ' 'vr(s' lt' 13);
;i rri,(- t, z,'0),l,t"1r, l, l), :IBQ,3' 4)'
4glcunoscincl cl,esccrnpunerea vectorilor vr, 1?, v, tiupir trei vectori necotrrla-
nari a, b, c, si sc cerceteie coplanaritaieo t"tlotiio'i'' t'' v' Ei in caz afirmativ
H-;.-;.;i-;l-iLro1iu1iniarircar"eIeagIace9ti.vectcrri
:l) v,:c. vq:a-b -c, v;t:a-b*c;t,i v, : a -l-'h -'f- c, vs * b + ci vr : -a -1-c;
-
c) vi:--
,nt--'
n-i ic,vz
'-3a -* zr * c, vs : - a f' 3b * 2c'
t , ,, -- 1: r ; I u .,-
i41ys[ se tLetermirle /. e* lt in arla f el ca vectorii vr : tri +'i 1- t(,, v2 : i +
+ ).'i -+ k, vr : i i:"+ irt ii li- l'"pr"oiii Ei in acest caz sf se descompunl
vectlrrul v1 dupi direc;iile vcctrtrtlrtr V2 $l vu'
I4?yse se clesconrpunir vectoru-r v : ,ft * b {'c dupr vectorii necoplanari
u, i"n i"n, "r':'i-',p"iiZ,v3 =: fo,* c, "ttii'd
ci a, b, c slnt necoplanari.
43r s[ se verifir:e identitatea (v, * '/a)2 * (vt - v')2 :Z(v'l * vl ) 6i sa i se
de*-o'
inierpreta.re geometricir.
44.Fievectoriivl-a(b.c)_{l(a.c)9iv,=c'S[searatec[slntperpendiculari.45. .Sir se calculeze scalarul'a'b -1- tr.c * c'rr $tiind c[ vectorii a, b, c inchid
un tliunghi.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 55/344
i 46. Se "dau vectorii vr:3a _ 2b si vz: a _f 2b: uncle a: 7, l) =.. Lfii *(a, b) : *
, Se eer:.l
a) lungimea'Jiagonaleror paraielos'ramultii construit pe vectorii v, ;i v, ;) uff'hiul dintre diagonalc.
- 'r lvrrJlruiL l'c
a7)4e dau vectorii- vr:./,i - 3i + 4k gi v, :4i -l--Zj -t- tr. Sc, t.cr:ll t:rl;11llt,
vcc.torului'zr, _ u, 'p" vectorut v, _ Zv, ;
"l .ffnturtle drntre vectorul v" ;i a-relc clc coorciolaie.48'7Doui for{e Fr 5i F, au acera;i punct dc aplicalic si au rrrir-i'rilt, 1:r.=, .,;iFa: 4' iev *(Fr, Fa) :
+ Sd. se ,JJterrnine mirii'rea fortci rr:zulta'tc It :*Fr*Fr.
49' cc unghi formeazi intre ei vectorii..nitari a;i b, daci sc gtic ci .1,..,,,,ii.?r : o f 2b 9i vs : 5a - 4b sint p"ip"rJi."i";i'i
*"' "' '
*,-ry' Qunoscind vectorii a, t), c care formeazi. laturile unui triunghi, siL
sc ccier-rne vectorii ce coincid cu in'timile t.i"nghi;I;:"A:i;;a{ie: a: 5i-l_?j, b:2i-jj,":-ii+zj.
s" :"tf-dau vectorii v.. : i + (I + 1)j - (L - i)k ei vr: (z- i,)i -+- tr ,_.i*
a) valoarea lui ). pcntru care v, gi v, sint ortogonaii;b) proiecfia vecto^r1ui";
p"'i'd.toi"r lr i-"1,
-r,'iii'ddeterni'at miri s'sy) expresia analitici o .re'rs6rului"f.rp"rrai.,rtur"'.i*,ritun pe v, ;i vr.
:,*i :*. ;ffi" :1,I1#
jii i I ?i ; E :j
I
T T r':': ;:
i,:1*
i l; :ura unghiului ABC; b) perirnetrul triunghi"i,riTrT t gJ/r"rt,""a inltimii .,',,r,;) aria triunghiului ABC. 'rur(rr aDw ' c') t\tl
53'6i se calcrrleze a.ia paralelogramurui tiin spafiu constr.uit
'e.r,cL,)rii".ll n, :^i +. zj *t<, - u,:'zifj-+ ji^.'n",'" 'blvr:?i . j*2k: ui:*iJ3j +I,) vr:2i-3j-1 4k, .,2:i+zj "ik;'
d) vr: a { 3b, z: Za _ b, unile a:3, a: 4 ;i *(a, b) : -.
'/ J
54.r/Snsecalculezeproicctiavectoruluivr_Zi_3j+4kpetlireciia ycct,-rrulu:ir* (i,*j r- 2k)x(i'- 2j + 5k). ----*-'r''/r -r alr
SSJSe dau tectc,rii vr, v, sl vl cl'mdrinriic a1 1 I 13, u, __ Z, ?s : I, iar(vr, v,):*t6. *(r'r. vj':iiz qi iJur, ur) -:-"I. Gi'J" .*tc,-,t"re ariite l,:rra--elograyrelor construit6 pj'cite aoi'""ciirr.solsedau'ectr,rii,v_r:2i --l- 3i + lk, vr:
-ai+6i.: k9i r,r:6i + 9j + zk_x
11 Xralecit vect<;rii vr x vz, u, i u, gi v, >iv, oint'.oi'ir,;"ri.'
57. sd se determine aria triunghiului ABC, cunoscind vectoriide pozilie aidA:2i + 3j - k, Db: t _ r;;;;; ;?:-r, *, * u.
s8. sn se calcurez^e. rungimile diagonaleror ;i aria paralcrogramului corrskuitevootcrrii vr: 5* * ri ul : n tE ::,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 56/344
59. Sii se calculeze produsul m-ixt (v1 Xvr).vr, gtiind ci vr: _a + b * a,v,.=x--b+c;ivu:a+b-c.60' sir se calculeze volumul parareripipetl,.rlui co*str.rrit pe vectorii :. jn) u':r?i+jik,vg:i.+2j--k, u,:-i-;-1 zk;i'J v, : i-l:+.t, "':?i+j -3k, t;:i+ii+L ic) v,:i-t-if k; vz:i+j---k,
";:i_j+'ti.-'l' Sir se calculeze lnS"ifimea paralelipipedului construit pe vectorii v1, ver vsl.lrrirrtl t;r b;Lz.A paralelogramul conitnrit 1ie v.ect.rrii "; ;l ;;,,,rl u':i+j.-t, vr:I-j+k, u, l'-i'+j+k;
b) v,:i-j, v;:j_ii, "r:/_i+k.2. Sir se cerceteze copianaritatea vectorilor v1, v2, v, pi sf, se determine rela$ia<.lc coplanaritate cind este cazul:
- 'L' 'z' 'r Y-'.
i,i u' : it zj-f 3k,.v,=ii+3j
+ 4k, v: : 3i + 4j + sk;r,) v,:3i + (3 * ")j + (s + zoc)[, vz:z{le+g)j+ e+7g)k,u, : 5i + (s + y)j + (5 * 7v)k; t-'J
c) v, --: ;oi Lpj + (" + p)k, u,: _pi * (a* g)j _ ok,. vr:(q*9)i-aj-gk;
tl,i y,: i:2i *f: ur:3i+ j -Zk, v,r:7i+ l4j_ 13k;l-) u,:2i-li -3k; ig:i_-qj+k, nr:3i_2j"+ 2k;l) vr : 3a - 2b, vz:-a -- b, vi: 3a 1- b.(r.j. Sri se dctcrmine ). e R in asa fcl ca vectorii vr : 2i - 3j + 4k, yr -,.= i 1- ij - 2k ;i vr:3i - j f 5k sr1 fie coplanaii.
't
t-r4. Si'i se calculeze proclusele mixte : ,#rr) (yr, vrfv3, vr*vrtun); ni (ur, vr*vz, vr*vz-1-va); c) (v1gvr"
v:,:+v3,vr*vr); d)r-::rj-, u'l'" "1'' j,"j 1ur+"r+"r,t222)
.- v., I v, * vr, v, { vr,- vr). .
llr: cle'in :rcestc produse dacl "vectorii v1, vr, v, coincid cu i; j, } ?
65. sir, se clt:terrnine volumul parareripipedului construit pe vectorii:It) v, : a f-2b g c, yz :-a* 5b-* 3c; ys : a +'Zl - Sc-l--b) v1 =a--2bf c, ve:3a*5b-2c; vi:Za'+7b-3c,
i'tiiur.l ci"L a:6, b-r/i, c:2, *(b, c) :+, iar unghiulformat de vectorul s6"
si 1ij:rnul deterrninat de vectorii b si c are rnd.sura L4
ttf. si,s3 verifice formula de dezvoltare a dublului produs vectorial, Feou.E ijr; vr.: i- j, vr: j -k; vc: -i+k;r) vn : i + j - h, yz =- Zi - 3j-k, vg : i + Zj + 3k.()7. si se velifice identitS"tiie
:,1 y,,x(vr.Xv3) t urxfuriurl * veX(vixvJ:6;lr) (v, x vr) .[v, X (v, x v3)] :
-1v..vr)(vr, .vrl vr) ;
' it:) (v, y.-vz, yz X v3, vJ X vr) : (or, ur, vr;, ;'tl.) v1;<ivrx (vux va)l : (vr.va)(vrxtB) : (vr.vr)(v1xv,) ;cJ,(v1 - v4)X(v, - vs) f^Ju, - r'n)x(vs - vJ + (v, - r,) X (vi - vJ -
0 (v1 x v,) x (v, x'vn) :,i[fi,"'] .tri'iJi{.'+r i* t,:: v2(v1, v3, va) -,r(ur, vr, v;.
' ,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 57/344
68. Fie v'r, vL, v reciprociia) vlxvi * vzxv; + vrxv3
b) (vixvi, vrxvr, vlxvi):
vectorilor v1, v2, vs. Si se verifice identithtiie:_ or
I .,(vr, vr, v.)'
c)(vi, vr, v,,) + (v,, vl, v") * {v., v,, vi)
(u., uz, "i) + {u,, ui,"i) + 1v", vj, vr)
v.'- Y-- -i r--: r+- (v1, v", vr)2\i+\'; FIi
Si se verifice identit5lile pentru vectorii
vi : i -j + k, vz : i + 2j + 2k, v, : i * j.69. Seclauvectorii vr:2i+ j -k, vz:3i+ 7i +k, vr: -i +2k. Secer:
a) volur,rul palalelipipedului construit pe vcctorii v1, vz, vs ;
bl expresia inalitici i vectorilor reciproci i
c) voiumui paralelipipedului construit pe vectorii reciproci ;
dj si sc arJte c[ u,i{orxv3) I (vrxvr)xvr.70. Si se determine v astfel ca v.a: i8, vXa: b, ;tiinti ci a: i -- j * k"
arb.:i+2j+k.71. Sn se determine aria triunilhiuiui ABC,
a) A(-1, -1, 0), B(0, 2,3), C(1, 1, l)c(-2, t, t).
stiind cir :
; lt) A(1, 2, 3), 1i(*5, 1" -3),
V2. Sh, se cletermitrb inlllirnile triunghiului ABC";tiind,cia\ A(3,1,0), B(0, t,z), C(4, r,5)-; b) A(1. .1, 1), /J(1, 3,3),C(4, 0 *3);
c) A(1, -1, 1), B(0, z, 4), C(-1, -1, -l).73. SA se calculeze volumul Straedrului de virfuria) A('1, 1, 0), B(2, - 1, 3), C(3, 3, t), D(4, z'Z):b) ,4(1, l, -3), B(2, -1, -l), C(3,3, I), D(-t'"4,2).
74. S[ se calculeze inlllimile tetraedrului de vilfuri A(1, -t' 4), B(0, -3, 1),C(-2, -a, s)' D(4, 4. -2)'75. Se dau punctele A(-2, 3, 1) ;i B(2, 4" l). sn s-e determinc pttnctclc care
impart segmentul AB in rapoflul : tr1 : 3 9i tr, -- -2.76. Se se giseasci cosinusurile clirectoare ale dircclici din spdliu ce face cu 0x
unghiul a : 60o gi cu axa Oy'unghiul I : 30'.
77. Si\ se calculeze parametrii directori ai unei direclii, care cste sirnultan per-
pendicularl pe direcfiile (2, - 1, 3) 9i (-3, 4, Z).
78. Se se afle cosinusurile directoare ale vectorului director v, ;tiind cl esteperpendicular pe vectorii u1(2, -3, -11) ;i ur(2, 1,'0).
7.9. Se clau doui direclii deparametri directori, respectiv, (2, 1,2);i- (l,.rrr, 0)'
Si se determine m = R istfel c5. direc{iile date : a) i5 formeze un unghi de 45";
b) si fie perpendicuiare lntre ele.
80. Translind axele paralel cu ele insele, si se determine translatia *.istt'mtrlui
de axe astfel ca ecuafia'xz_ t''+Lry'- xz-6y-, + 1:0 si se transforrne
tntr-o ecualie ce nu mai conline termeni iiniari.
8f. Sb consideri punctele LI din plan ale cdror coordonate relativ lir reperul(P:{O,i, j} vetifiin ecua}ia 3*'l qry 3y'-?* -zy -}- I :0' Ce r"elalie
s"ti.lic'.o"idonatele acelora$i punctd falir de reperul ortonormat, zrvind originea
D'(t, t) pi axele cJe coordonate rotitc direci cu rrnghiul45'fafir deitxelc rc'pcruluif[?
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 58/344
fat{- de axete vechiului repei ?
83.'franslind axele paralel cu ele insele in punctul O' (1, 1),\i se deterrr;ineunghiul cu care trebuie rotite noile axe pentru ca ecuafia xz a Zry ,+ y, - 4h -- 4 - 4 : O si se trarisforme'ln 51ta cale s[ nu,mai confini termin li x.y..' ,
84-. Se searate cd" expresia E :.,iry,-xzlreste
un invariant fafl'de o rOtafiea axelor in plan.
85. Ce devine ecuafia x2+y2"*4r'*Zxyf Arxz+'4yz - 62* I:0 satis,ficuti de coordonatele unor,puncte relativ la reperul ortonormat' (p --:- {O, i, yl},da"cisetrlcelareperulortorrormatcuorigineaO'(0,+,*) Ut caba.za {i1, i','k'},oblinutl din baza {i, j, k} prin rnatricea
I-ti:\/6
,.1L':
Js1
1/z
I
J61,
-7:Vr'1 i,$
1
v61i
v3
0
\_i;
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 59/344
4. PLANUL gI nnaaprA ltrl spaflu
l. Planul. Acesta poate fi dat sub urmlrtoarele forme I
r Ecuafia planului printr-un punct Mo@s, x, z6);i perpendicular pe un vector dat N(1, .8,
lvectoral normal4) este
rtI ztr,-xo)*B(y -fo) + C(z-z):0. i
b) Ecuafia generaltr a planului este
i:Ar+BylCz+D:0; ir
I
e) Eeualia planului determinat de trei puncte necoliniare Mt6n, yt,.zr), i - 1, Z, 3, este
c$
(tl
/)\
(3)
Ii ii i il-'*d| Ecuafia p{anului prin ttrieturi este
At\tz
-+- 1*-t:d,,,oba
a', b, a fliad segmentele'determinate de plan pe axele de coordonate.
e) Eouofia normald a, planului este\
zcosrt 4y"*p + zcos.y - p:0, (5)
i6\
${tst, cosF, coaY fiind cosinusurile directoare ale norrnaieila plan, iar I este distanla de la origino
tra plan {Eeuafia planului sub forma geuerald (2) se poate scrie sub forma normali
. Ar*Ey*Cz*D_.,
* r/e'+ 82+ca
sctltol fr aleglndu-se ast{el ca termenul liber sS fie negativ,
D{rten}a de la punctul Molro, lu eo) la un plan P este dattr. de
lAt"4,Bv^+Cz^+ DldlM), P) san il(Mo, P) - lxocosoc + yocosp $ zocosy - p l,
,/ar+82-lCtrlupl cuaplanul P cste dat prin ecuolira (2) bau (5).
Upghtul ,"ti* do doul plano oltr rlirghiul forirnt de tlirocfiile normalelor celor douii
"
(7',]
plonel,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 60/344
Conclifia uecesari gi suficienti ca patru puncte ill,(xn, lu z,), i : l, 2,3, {, s4 fie coplanare estc-
l','lt zt lllr" \', zn II
' I'; ;; '" 'l: o' t8l'
I'o le 2t tI
. 2' Dreapta inspaiiu.a)EcualiiledrepteiprilpunctulMor'',1b, eo)$icuvectoruldirector v(1,m, n ,,tlnt
x - ro:1'- lo:1- ro t-^_.^r:.i. .
I 4 - ,,'(ecuatrile canonice)
x : :16 * ),1, 1, - ?o * ),n, z : zo *),h, tr e R (ecualiile parametrice) ;
:v : e-z * p, y - pz a 1 (ccuafiile reduse).
b) Ecua,tiile dreptei prin doud puncte Mr(\, yr, zr), Mr(xr, yr, zr) sint
=
- lt :, - r,(ecuafiile canonics);
, , frz_frt lz_lt zz_2
rr + ),.(x"- rr), : t* i{ff ),), z - ,r.t),(r"- zr\, I e R (ecualiile lgran;elrice}.
$ c) Ecualiite dreptei subTorma generald sint
. .t,i\ Bry * crz I Dr : 0, Az* * Bz * czz * Dul_ a,
tn ipoteza ci vectorii Nr(lr; Br, Cr) 9i Nr(lr, Br, Cr) sint necoliniari. Vectoruldreapta datd sub forma generald (14) esle dat de
. v - NrxN .
unghi.I a douS drepte in spa iu csle egi.rcu ungbiul vectoriror ror tiirectori.
(e)"
I10"
l11l
l 12l-.
( 131,
( 1.1)
dtr'ec Lor pe$tru
[ ls]a
plan este
3. Dreapta gi ptanul. Fie dreptele <Jate prin ecr:afiile
,,,x-xz -h 2--:,1(ds)
--:
- ' ': -lb Ccndilia necesard 9i suficienti ca/, ff ,,i2 lxz
xz*tr'/z-lt 22_2rl1 ,Ml fl1
lz mz nz
,rrr-rt -lr 2-xtr*1,/
--lr mi nr
cele doup drepte sd fie confinute tn."
-n (16),
vectorii directori ai celor doud, drepre nu sint coliniari, relafia (16) reprezintd condifia 4e concu-a dreptel<.rr.
Iicua{ia planului deterrrrinat ce un punct trf o@0, yo, zo) gi doui direclii necoriniare vr(Ir, mr, nrf,vr(lr, m^nr) esle
l*--*o -lo z--z"l
| ',,ml nt |
: o. (r?i"
planului tletc*rinat u"j,
i",,., .;o",r',1,o,ool,", u, ol*no
=
: - ,,'t-" - ", ;"tu
I
I :,-.:, 'r,l;, ',,--'I,l:o.o '*' 'tu
(rEhltntnl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 61/344
Mullimea tuturor planelor care trece prin dreapta de iritersecfie a doui plane date, numite plane
de bazd, formeazS. un fascicul cie plane, avind ca axi acea clreapt{, Daci planeie bazl sint
(Pr) Arr { Bry 1C1z l- Dr:0 si (.Pr) Arx { Bry 1Ce;1- Dz:0,
atunci ecuafia lasciculului de plane este
Arx Bry Cp 1- DL +^(Arx
'l B# I Cpz 1- Dzl : 0, ), e R' (19)
'Se numeqte unghiul unei alrepte cu un plan urrghiul forrnat tle dreaptri 9i proiecfia sa in plan.
Problerne rezolvate
1. Si sc scric ecuafia unui plan, carc :
a) este paralei cu planul xoy ,si trece prin punctul Mo(Z, -5,31 ;
b) trece prin Oz Ei prin punctul ll[o(-'3, 1, -Z);c) este paralel cu axa Or gi tlece prin puncte\e Mr(4,0, -Z) ii Mr(5, l, 7).
Rezoloare. a) Este colvenabil sd folosim ecuafia (1). Deoarece planul este paralel cu planul xOy,
rezulti cd are acelagi vector normal ca xOy, adiei k (0, 0, l)" f)rin urrnare, ecuafia planului este
O'(x - 2) + 0'(y -f 5) { 1 (e - 3):0, sau z - 3:0.
b) Putem folosi ecuafia, (18). Ecualiile axei Oz sint , astfel cri ecualia ( 18) se scrie
:0saux-l 3y:0
c) Deoarece planul este paralel cu O-r, putem spune <;ir cste cleterminat de prrnctele II1 ;i Mz',,9i direclia lui Or, adicfl i(1, 0, 0). F'olosind ecuafia (18), oblinem ecua]ia planuiui
:0.sau -9y1': t-2:0.
2. Sl se scrie ecualia planului determinat de punctele X'It{3, l, (1), Mz(o,1,2)
Fi M3(4, l, 5),
.Retalaare. F-olosim ecuafia (3), astfel ci oblinern
J(yz
001
x+3 y-l z*23 -l 2
001
I *-4 z1-2Irrelloo
(y31074l
s-l y1-l
-13
04
' rlu1 l:0 sau 30.r I Lly - 6r - 1{)7 -- 0.
2 rl5 1l
3. Sir se verifice d"ac[ urrn5.toarele patru punctL' sc a{l[ 'in acelAti plan :
-x,[t(, -1, 1), Mz(u, z, 4), a,tsu, 3, 3), M4(,0, -3).Rerolaare. Scriem ecuafia pl.anului prirr punctelc If 1, II2, n'ftt
"
j
t
l=osutt =3x Y-l:'l-6:o'Ver.ific{nr qpcir l]ly'r aparfine ac.estui plan. A'uottt -3,1 -l- 0 -* 2'(-3) -i' 6 : Cl. Deci celc pltru
;punitc so pfLrl tI i.r,collgi plan i *3ff i- y - 2z-ll 6 -" 0. l'rtti:rn ul:ilizrr, tlircot corxlifio (8). I
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 62/344
4. S[ se scrie ecualia unui plan, care taie axele cle coordpnate in puncteleMtQ, o,0), Mr(o, -3, 0) qi M"(a,0,4).
l?ezoluare'Folosir:necuafiaplanuruiprintiieturi({), astfelcdobfinema
-y +t - 1 -0,sarr 6r-4yl-32-12-0.
231
5. sir se scrie ecuatia unui plan care trece prin punctul Moe, - 5, l) gi care
ttie pe axele de coordonate segmente pozitive gi egale intre ele.,
Rezoluare. Ecuatia,planuluiprin tiieturi .ste -+ -+ - - t:O. pulind con6itia ca,.-g -'-&
to' n
6' Sisescrreecuatiaunuiplancaretreceplin14 (1 ,3, -_Z);ieste peroenclicular--+
-48, ;tiind ci B (1, -4, 4).
.Ilezoluare. Nonl.ala planului este N: iB6, -2,6), astfel ci, folosind ecuafia (1), obfi'em"
-l)
-7(y
-3)
|6(z -, 2) :0
sau 6z -7y
+ 62 + 27 : 0.7. I-Jn-plan taie pe axele cle coordonate segnrentelc a:11, b;55 ;i c: i0.se calculeze cosinusurile directoare a1e vectorului normal la plan.
Rezoluare.Folosindecuafiaplanuluiprintiieturi, obfinem 2n + + - 1:0, astfel ci para-.
directori ai norrnalei sint10
lll+, +, 1l, t', ,N, : -1- + I + 1 : 15',
t 11 55 10, llz llr.Sz 22.52 22.52.tt2
3 ,-. ,.jV :-.
Cclsinusurile directoare sint-zz(a2 z ^ t zz z t 22 nosd:lr t:-' cosP:5j
?:",
cosY:r, ?:;
8. SI -*, reduci" la forma no'naii ccua{ia planului lO.y * Zy - lle f 60 :0:.I?ezoluare. Fotosina relatia (6). obtincm
10x|_Zy._llzr60
^2' 2 t1
:Usau _y+_:_{:Q._vt}rT22+1t2 3 15- 15-
9. Si sc calculeze distanla de la punctu Mola planul p, ;tiind cI :l
a) Mop, 1, -l), (P)'22x * 4y -Z0z - 45 -- 0;b) A[;,(<, .3, -z), (P) 3x -y +.52 f I :0.I?e:olunyr. Folosirrr lonnula (7).
it\ r (tr.. P\ _i66 + 4 i ?o *45 1 :45: 3
' /22+4,+ZF Jo z
rt?.-3-10-Flllt\d(ll^, P) :r'-." ^"t 't-O.u'l
V9 +t'tzs.\fo ir,par.tinc planului I).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 63/344
40.,Se se scrie ecuatia unui plan, care :
. .a) trece prin punctul Mr(-2,7, 3) Ei este paralel cu planLrl
i ,x-s4 *.52-1 ==0;
,b) trece prin origine ;i este perpendicular pe pianele
(Pr)2x- y +52 {3:0 ;i (Pr) x +3y -< --7 :A
c) trece prin punctele ,44.(0, 0, 1) 9i Mz(3, 0,0) ;i formeazd, un unghi de 60"."cu planul xOy.
..iRezoluare. a) Planul ci.utat are aceeagi normll:i cu pla.nul , - 4y + 1z-- I : 0, adicd .rectorul
f{( 1, -4, 5). Prin urmare, ecuafia planului este l'(-v+.2)- 4(y* 7) + 5(?, -j): 0 sau x- 4y4>
*l- 5z* 15- 0.
b) Fie N(,4, 8, C) normala planului ceutat P. Deoarece P este pcrperrdicular pe ,P, si pe P1
.rezulti N.Nl :0 gi N.Nr: 0' uurle Nr(Z'-1, 5)' Ns(l, 3, - 1) sint vectorii norrnali lzr ccle douS
.plane. Deci 2,4- B + 5C:0, '4+ 38- C:0. Solutia acostui sistem este
: L : , C , austfcl t:ir N(- 14, l, i).l-l 5l -12 .51 lz-t1I i-tl lr-rl [t rl )
tPrin urnra,re ecualia planului cste - l4z 'f 7y * 7z: 0.
c) Ciutlm ecualia planului sub forma normalS, x[,ose{- ycosB] rqosif - y'- 0. Punlnd.condiiiir, ca planul se treacS, prin Llr;i M2, oblinem cosy: pr:os,a: p/.i. Deoarece cosra-|
1t -to
.l-cos29*cossy: l,.dcclucem cosp:*f r-iO', f){i('ar*l(i rrn.:hiul fonn;rt cu planrrl zoy
60", rezulti ci. unghiul <lintre vectorii normali N(cos a-, r:os B, r.:os v) si N,(t), 0, l) oste do 60''
.'Deci cos 600 : cos y, de unrl'e ,Jols 1 : { , Co* cos y : f , rezultir, ,p : - si r.lt:,: i ct:uagio planului esto' 2' t 2
.l^lTart6-x*.-V- Y*-T'-=:u'
ll. Sd se calculezc unghiul urmdtoarelor plane :
{Pr)4x -5y+il-t:0Ei (Prl " - 4.,----;-f 9:0.Rezolaare. Unghiul celor doul plane este unghiul norinak:lor la ccle rJr:u'tr plane
Nr(4, - 5, 3) si Nz(l, - 4, - 1).
\'Decl
N..N" 21 7 7
N,,N') :;.*:JroJiE:--
sorl {(}lr,N') -arccos il'
12. Se se scrie ecua{iile dreptei caretrece prin punctul A'i'(1, -5,3) ;i fcrmeazl,.€u axele de coordonate unghiuriie c:60", p :45";i 'f : i20'.
Rezoluare, Se cunoagte deci vectorul director a.l dreptei, (cos 60", cos 45', r:os 12J6). Folosim ecua-
.fltlc clreptei sub forrna (9), astfel .a '-l 1 : Zl-l : 1 - iln']l( 2. 2 2
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 64/344
13. S[ se studieze coliaiaritatea punctelor fu[1$, 0, t), Mr(0, Z, 4\ gilar'
[r, ;, t)
[Iczoluare. Scdem ecuafiile dreptei prin punctele LIr li i\:tr,gi apoi verificim dacf, M, se aflS perJroept[. Fo'losirn deci ecua]iite sub forma (12], astfel ci. ecuafiile dreptei sint
r--i y z-l ^ l-3 { 3_l-5-'Scvedec5:i,f,aparfineacesteidrepte,rleoarece
-3 Z 3
- -
_3 6 3
14. Sl se'scrie ecuef iile dreptei care trece prin puirctula) estc paraleii cu axa Oz:
lr) este paralelir cu clreapta (d,) :----l:v-2 -z*34_69c) r:ste paraleli cu dreapta (dr) 2r - y * 3: -f I : 0,
f?ezoluare. a) Direcfia dreptei este k(0, 0, l), astfel ci, ,trrpi (9),
lr) I)irecfia dreptei este aceea.q;i cu a dreptei dr, adicl, vr({, -6,q),
--2 y+5 z*3
b) Vectorul directcr al. dreptei este v :
.ltoQ, -5, 3) 9i care :
:
5v{4y-z-7:0.x:-2 yi5 a*3
001astfel ctr, dupl (9), deducem
{ -6 9
c) I)irecfia dreptei r/, este vect rul vt : Nr X Nr, unrle N,(1, - l, 3) si Nr(5, 4, - l). Deci
rlreptoi ciiutete este vr': (- I l, L7, l3l, astfel c5 ecuafiile rlreptei ,in, *. :J-y*5:' - 3.
. *11 17 13
1;. si se scrie ecuatiile drepteicare trece prin Dunctul ,lt'(2, l, l) si este para-cu planele (Pr\ x- v+?+ 2:0;i (lr2) x+).*Zz'- l:0.
Rtzoluttra. Fie v(/, rz, n) vcctorul director ai dreptei ciutate. f)coarece dreapta este paralelbplanul Pr, rezulti v.N, - 0, unde Nt(1,
-l, l) este vectorul n.rrnr,al la pr. Simi.lar, v.Ns : 0,
t, l,?l.Oi>tiuernastfell-m+n-0,t*:n*2;t-0.Soluiiaacestuisisterneste
lmn--:---'--::- , rleci v(-3, *1, 2lr.
l,'il-lljllt-llx-2 tr-l z-l
rrrrn,rre, ecuafiile dreptei sint
--3 -l 2
15. Si se clctermine cosinusurile directoare ale dreptelor :
,.r- I y-5 z+2
a)-- ;b)Zx-3y-32-9:0,x-Zy+ef 3:0.{ -j 12 t
fleaaluare. a) Vectorul <lirector al dreptei este v({, -J, ll), estfel cl vorsorut clirector are cosinu.rlirectoare
cos ot, :Vl0+9+1{{ 13 /. ti 13
i j kl2 '-i -31:-0i-5i-r,t
-z1l
rloci cos" - -*,. cos.B. -*, cos y : -*Jtn'--:
Jroi'-*' -
V'To?
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 65/344
17. rst" se cafculeze unghiul drep,telor (dr) x * 2y + z - l : 0, x * 2y -.1-
* z* l:0 ii (dr\ x-y+2:{ L:0, x -)'- z- I --0.Rezohtorc, Vectorii direptori ai celor doui drc:pte sint
20. S[ se scrie ecuafiile unci dre'pte care
intersecteaai" dreptele
(d')
i j klr -t 2l:3i+3j.I -r -rl
fic, 2
3xl2y+2-4:0.
trece prin punctul Xtrt\, 0, *-l) li
x y-2 2+l-.-'5 *l '?
ijk12lI *-2 I
- '{i .,- 4li, v" ==
urrgbiul ceior dlrri drepte este dat de
1'r .v. I rcos { (vr, vr) : --l-a : d (v,. v,) - -: '
ot'oz , I
18. Si1. se scrie ecuatiile proiecfiei dreptci (d\ x * 4y -l7r -'5 * 0,
Bx * - z + 2 - 0 pe planul (P) 2:v* 3y * z * 5 == 0.
Reznlttare. Cgnr se vetle ln fig. 2,'dreapta cirutatfr D este intersecfia a cloul plane: plarrul P
pi planul perpendicular pir f d conline {reapta z/. Planul al doilea fac,e parte din lascictrlul rle pl;ine
ce conline dreapta d. Ecualia {asciculului de plane
ce are d,rept axtr, pe d este ,r - 4y 4 2^r - 5 ** 1(3.t + y - z + 2l :.0,Punlnd condili;r. ca acest
rrltirn plan s[ lie perpendiculir pe P, cbtinern
(r + 3I) .2 + (*1 + 1) '3 + (2 - r) ' I : 0, aolicr
I '.r L Deci dreapta D are ecuatiile gencrale
2x * 3l * z - 5 : 0, 4x- 3y + r- 3 : 0.
19. Sil se verifice cir drbptele (,1'i 4x *+u - l:0, x-2 {"3:0li (dr) 3x-l+ y - z { 4.:0, y + 2z -* 8 : 0 sint c0il.cu-rente $i s[ se scuie ecuaf ia plarrrrlui deterrmi-
nat de acestea.
Rezolaurc. Pentru ca .*j6 4oull clrepte sit fie
c,ro"ururrie, trebuie ca si.stcrnul format cu ccualiile
celor dood drcpte sI, {ie compatii:il determinat. Apticind mctoda eliminirii n lui Catrss, <'l,litre4 cil
sistemul este comfiill.itril dbterminat cu solufia * : *315, )t * 615 i 2 : 17 l5.l)eci pr.rrtctul cle iiltersectic
este ,rt4(-3/5, 615, 17 l5). Direcfiile celor douit drepte sint caracterizate de vcr:torii dircrclori vr *'\* 2i + j * Ek 9i,vn:3t * 6j -;3k. Irolosind ecualia (17), obfinem pentru plauul de.tcrrrrirr&t (ie
ceie douf, drepte
z -- tl15l
-: l: o *"x-tsl5 y-615
l:r
| 3 -6
Rczoluare. Fie d dreapta cbutatd 9i v(/, ru, n) vectorul s6u director. f)in condiliilc de irtc.r'
secgie a dreptei d cu dreptele drpi d, obtilern, folosiud conditia (16),
l-3 -3 6l I
I z +:l:os;rl t m,,l
" -- I --]_lJ=:' -'5 pi (d2)213
; -; ll:o.* -33t+2tnt-6,:(r n "l
l4/*8n,-6n-o'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 66/344
lh,
lI ol I 11 -61 I ilrrlls -61 I { -bi I 8L
-??2, -313), Prin uinarc, ec afiile drepici sn,t
2i? ,.. (-10 y+7.'..i {dJ -: ?-;
rI s. c.ric ecuitiih irlFis.drF esrc par:lel;
' r (l'caPl,r
''' rl2 I -l I
({.) - - ..-t7tRdatrd.. n@at... &apta c{utal4 d $tc ptualcll ft .t,, rcfulti t6 acsst. ar€ vo.to.ul di.ectd
?19, 7,. l) D.apta I p6te li coeiderat{ € irtc€.clia a dout ptan. ifig, 3) r nnll P dtt @ilatd. drqrt.L d ii r , cel{lalr P, d.tcrdi@t d dr.P-tcle d ,si d., Pcntr ddteoiE..a cclor dou 18n6aveh ctt. n pulct si doi rcctori necolini*i, loloti,d
-01 . I
E7
Fig. 3 Deci, dr*pla / arc &ualiile -2t + 3 * 3t - 7t -=.0, i+'+,tU:0
22. sir sc scrie ecuatiile perPendicslarei comuno la drcptcl€, l -y- 3: l-0,., {2( FJt -o"lr ) 2:--0 "llJrll0 6:-10-0
ll.1nutt. l:ic I drdpti ciutatli ri v(1, ,r, t) vccforln sn .lircetor' Dco'icct drceptd d'ste
rif,r).ltli.ulart sinultrn Pn Jr ti e 4, realrt ci v vr - O ii v v : t unde v' si vr "_inttectorii
lir.(tori ai cclor rlouir drepte. D&{ fikm scatd ci
r i rlrl--i-rr :r. ""-
L L 'I
i ] kl: : ol--lsr+14 25k,
rj Ln 6ln,l 4otrI coDdifii so scriu -l-5--2t-O, -lsJ+ 12,,--2jtr-0 Soltrtia nccrtui sisr€6
.Nldv(-U9,-11, 102). De la est pubct mri dePartc sc FoAle P.occda ca i n e*crcitnr l preced'nf
Pt detc.rnimt dc drsptele I
"-::" -:, .J 37 J3
21. I)i tre toate drcptelecare intersecteazi doui drcpie dat€ (dJ
,,1'l'
,l --oI
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 67/344
si {Ir 9i l,la,ul }, deteimi,at d d.€plcl€ d i /,. Pr.rbl p, fa* pa.re din fa{.i. lul de,lane arnraxd dr. Eclalia acestri 1l<ci.ul6t€ r +/ - 3, + t+>.lt -, +22.1:O. punn .ordifia ca
platr sd ii. paraiel cn r (adi.n trodrsul sqlar aI lui v cr norm.ta ta pl& s?r Jic z.ro), otjiier
r) 4 ,-1 :+l(dJ- =- - - {di2 -t -J
- 149 (l + r) - tl ll - ll + 1021-j + 2l) : 0, d6i',:2.1J.r3:t.
j)ci ccn. i. pta utui /,r .sr€2a6x 200/+36it+33- 0. Sinritar se oblnie p.lrru p3 eurlia 9.j9.,+5 jaly-F t9116?+
f 9 930:0. Dcci ltl) 2(6r - zOoJ 1 .16t: + 3 j : o, 9r9: + 556r'-t- t 9 6:, 9 9j0: 0.
23, S:r s-" cal lezc h {inrca pcrpc dicutarci comrue a dreptelor (djl x : ) 4.),: -l + 4, 2 - -Zt - t ,i (l) x:4t,5,y: -3t+ 5. .7 - 5/ -t, s.E r,Ir.ra. Celc dou, drepte tot Ii *ri$ sub lo a ononici, €tisririj Fl,E.r€irnl I j
t+5_r_:4 -3
de tr de sc ldte vedc M pnnct prin q.. lrcs ti v.cro. t dirccrdr at tidjrei rlrcitc. lsltNl tcrlJuI tren\ MLI-4, a, -l) 9i vr€, -t, -2),t^r p€trttu l. avur ,r,l-5, 5, 5) ,i v,(4,.. il, ...5)
Lurgihoa perFdicularbi cohrne (tjs. .1) *rcegal& ctr dirtont{ dc la luNlnl nr' le planrl .4r.rr€ce trin nr'r 9i c"lc paralel (u vetoni e, ri vt.ucurfia ltcestui lla egre
l,+a r-a .+11I z -l -: l=oI t -J -5 I
eau -,+2r,-?r- ll-0.
Djst 1. d. la pun(rul ,/, l. ..est fl:n csrelJ+10-10-rrr.i:-1t1' P):---:-: J. Prin ur-
\tl'11+'nqro, luDgittca pc4reDdicularci .ohunc esre 3.
fiB. 4
sc poal o olserva ce uD€imca prpnoicuLrci cornuue est6 .saE cr I rt;fr ri i,l *s1{ r.l j, ,in rtiltr.llidea paralctit,iredltuj co'srhir ,'c veroiii ;t, r i vr. Dc.i putem obtinc tunEin,er rc,rrfuji.cularei comue dDl]A tortolt
,(rr,ltt..
vr,vrl9
t",", I l
24. S[ se calculezc djstanla de la punctul rllr(3, -1, z) ]a drcrpt.r(d.)z,{-t+ z:0, 1+ -z+ t:o.
ndtrdft. Mai irtli vom l 'r iil.vid.nta ur pulct a.l dreptei I d eoo .arctrla dircclia a.lsieja.
Luind ,: 0, di. ecuafiiie dreptei d obtin(n
Direclia .iEpiei d esie
l2ltr\r:__.r--___. r"^,,t- I r oJ
" l; _l ii:,,i.*
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 68/344
Cun se vedc d t's..t, disraDf. ]t.tlN de la,rltr la. di..pt. I, enc ni:r.rinien paralclognnLulrl
corrlnrit pe veciorii 'lirvi;si . -\c@t lnlllin. .dc
1.1/,r/ ,vl Jrrs
N
'ic. 5 Fis. 6
simctric al originii Iati de plan,Ll5. S:{ s.- calcdczc coo.donatete punctutui6); -F 2\ 9: + t2l :0.
Rct.ltar.- \'ori \tric nrzi inlii.. rtia dreptei O,l.tr, .un6cin{j cr acdst irde pntr O ,i cst.pa.aleln.n rornda la plaunt P lris 6). Irterwla apoj aceasrd drdrla. c. prarnt ]r, obiirLiod
.suci coordoMrcte pux.r nrri iilr- slii i(r a poi tapr ce ii,- 6j p, o"o"".""""r.ionar€re
pDd.ru.
lLio'inca,ntdcLreccnaiin,Jr€lleionlesr€j:1=-1-.ttte6ecliDrltlMulcDo.ur,rezolvir,t.6 ? -o
{J.ci sisrennr .i t.nniii 6; + 2} - t: + tzt=.o, I- -: I, otr_rir ,r lrr{ 6, -2,9) l)r.ji6 2 -9o \'', r', ,), rt t r/J|aria.;i, = A p,.czutlt o,(- 12, -1, l8)
26. Sis€ determhc,'', ,, E ft astfel incit plaDete (t',) 2r y13',I-o.lI,") t 21' : Ii'-0. (r,3)
'+ t-,nz + l0:0:'a) si ai : in comun un prnct jl,r ,.1 lrc",i ocinrr-u ,.1,d)i dr,dl,ti:c) sr-. sc htelsecteye dupi tfti drepte pamlcle distincte.R.t4n,. a) t\n|tn.^.ete tr.i nlare sn ail{ ln co un Dn shgnr n cl csie n€e*. si suti.t:nr
sistenrul forinal cn celc trci ecualii ale ptanelor se iic comparibil deremrirai. I)rin frarc, .rr.,necesar 9i suJi.j.,r ca dercunanht sisietrrDhi sa iie diient de zero (sisrentll tiind {je rip tftrxl)
t.,,rllt 2 tlro-,.r D/ |t' - ,)
b) Tii i nd sdDa Cc ccn.liilc red re ale dreptei ( I l), pen tru @ cele lrei plare si rl@: prifl zcrcJsiesre nc{:e*1t si s.iicie,i ca sistcnDl dc c.ualii Pr - 0, t'z:0, ps=o s5 iie comlarib
flroLutm.r ci",,.rri.ir.n.ti,,,Aar(umnBxt mr,i-,
ri egnl . 'l ,i ol,lir.'q sorut '(,/ rob 2 ., ./ tat, ./ 106 t- J*
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 69/344
c) ln accst caz trcbuie cn rangul sirtcmu.lui Pr - O, P, - O, Pr = 0 sn iie doi, iar ran8ll lllarrtcetertins€ d sisLenului ri lie t.ei. Astlel li.care dou, ititrtre ptare se idt€r*crealr dupe o d.opt, care l
enc P4dlelA cu al t.eilea plau, Dir ac€stc.ordilii obtniem D - r + -) . / to6I sr r, * ---:-:l--,)
x+t+3:-=0, x--r-z:O
Itrtc rini{ trDi iftii unghtrl di|1r I i N, Nriind vactonn od'ol l^ lh l I (tig. ?), I)cN-ne N(1, -1, -l), olJtjrcrn .oB * (v, N)
v.N';;=0 l'i" rrrntrru, dP rl'i rirsrnr (4n-
.luzl4 c6 v csfo porphrdiculor pi N $t .leci cd,
,l4apta d oste porAl.ll cu pltrrul 1r ltinrl'E de
2?. Sd se calcrdezc unqhnd dintre drcrpta (d)
si planul (/,)'{ --I -- : + I
-0.
Ii?:rr d/, Vectonrl diic o. al d'rplci ./ cstc
j j klr | 1l-2t+ri lk.rrrl
tlq. 1
cl{iliat dac6 droopta {pd lil. $Ar io pltrnului,
lrr4 dc Bjutrs tr vodctr d{c[ rn trrct nl drcr'tci I spd4nra ]lntrulul J1 Uo trnot .l drcptci, s.virle nio , F1* oigirm r - 0, I ." 0, :0. Ac.lta nu vdilic eurtlo tldnultri d dcci drciPtdnr 0rlo conlhutd tu plnn.
Itrobleme propuse 6pre rcrolvdlc
28. Si sc scri0 ccIalin pliru lu i determi$tt dc plnctclc,,l1,, Iy'r
a) tlr(0, 0, 0), ,11 (3. ..-2, r), I1,r(r, {, 0) :
b) lI,fl --r, r), .lIr0 3, 3r, .Vr(4, 0. -3).29, Sl sr: ccrcetezc coplanaritato& \umiLtoArrilor punctc :
,u,(3, r. 0), tit,(),'7, z),.1/.(.-r, 0, -r), M/.-"1, t, *2).
.J0. Si se scric ccuaNia uoui plan caro taic (xcle dc coordorrate ir l)unctele
l1,l -1.0.0,, l/r(0,2,0J t; ,rlt.lo,0,3).
.|1. Si se soic ccurtiir unri plan care trece prin punclul /(1, *1, 0) ii es(€
prrltn<licular pc virctonrl ,.11-i, stiintl ci B(2, 0, 3).
1.1. s-. . r, . r.l lr formL no-m,rl.i . u.rti'le urmirosrlor J'ldnc:
a)Zt--9;/ -6:- 22:A: b) 6t-6]-7rf 33:0.
lJ. Si ,c ,,1.,l/c lisrrnl,r J. lr pun rul .lt0 lr nldnul P, )tiind/ r\
,) .l/012. u. .--1, rP) ,,.r- lf 2: l7-0i2./
ci :
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 70/344
?.) urp, 6. t\.
b) 11,i1. 1. 3).
34. Sl se calculeze unghiurile umStoarelor perechi de plane:
a) 3]l-y+Zz+ 15-0,ci 5:u+ 9y-31 - t:0:b\ 6'+2y-42+ 17:0 tj 9''+ 3 -62+4:O.35. Sn se studieze coliniaritatea punctclor:
i{,(1, 3, 01. M3(0, 10, -r) j
t:{ lo. z. 2\, rls(-3. s, 1);c) inr{r. -r, z). M,tq. ,t.3), M3(2, 1, -l).36. Si se determiue cosinusrrile directoare ale dreptelor
-\ x y-7 2+J-",;-
"--;
I, 5:' - 6J + 2z + 21- 0, r-:+ 3:0.37. Si se catculcze unshiul dr€ptelor
,,-1 ,+2 t i361
, llx 4 -Z:=Ou'12"+ y z-:o
y-l .+J296
38. S;r sc stabilcasc:i ecualiile caronice ale dreptei ce 'lrece pdn punctulMolz,3. 5\ ti este palaleli cu dreapta 3.r-r+22-7:O, t+A' -2t l--3 -0.
39. Si se siabilcasci e-cuatiilc pa$metrice ale drcptclor
,rJ2r)3' ; l-0r 6, Jr 2L'z 6.0"' frt-s-r,4 2z + t -o "' 12, -' +?- l -- 0.
40; Sn se scrie ccua-tia unui plan, carc :
a) irece p.in punctcle ly'r(z, 3,4), lI,(4,6, 5) si esie paralel cu vect{,rulv:i+2j-f3k;
b) trece prin If(-L, 3, 4) ii dste panlct cu vectorii vr: i - 2j + li iiY -3i l2i lak;
c) trece
?rinpunctele MJI, 1, 1)
ti,41r(2,2, 3)
$iest€ peryendicular pe plan|l
(P) x. v z-0:d) treq€ prir punctul M(1, -1, l) ii este perpendid{ar pe planele (P,):r -
- t + z - | -o $i (&) 2x + y + z + I = o.
41. Sn s€ scrie ecnatia unui plan, stiind c: punciul 1113, -6,2) esle FictJlrlp€ryendicularei coborlte din o sine pe acest plan.
42. Si se scrie €cuatnb fetelor tetraedrului cu virfurile ln punctele: nfr{o,0, z),l,,(3,0.5),,trr(r, r,0) fi -Vli4. l,2). .:,
43. Sn se detcrmtue coordonatele punctului dl] idtersectie al planelot x + )' +
+ z-6:0, Lc -r + z - 3 : 0, x + 2y - z -2:D.44. S:a se demonstreze cn phncle ,l-y + 22 - 4-O. tt +2 - z -2: o,
2x- y-, -O ir l.J l- ? - J - 0 slnl concurenle irllr-un punct.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 71/344
45. r'i .. d 'c,-1in- ).€R. asttel .a plaa,.lc.y -y+z_0, 1, -) -: + 2 -: 4, - \' Z: l. 0 .i qe rnlcrsectezc d|lpi o drcapr;..16. Si se siodn:z€ pozitia rclativ:, I planelor
a) 5.r + 3t - z - 1 - o, x + 2J + 32 - t : 0. 2r - 31 -2: 9:0;tr) r. r1 2E+3.=0,3r+_v l : i:0, -3r+ l2l .l- 6:-7:11;
c) Zr -,r'+5i-i:0. -5u i 2_v 13:+2J:0,3-r-: F5:0.47. :.i ., I li z o,ziLr.L r.l3riL.i I pjrll.,lor
a) 5r :+3:0, i) Lz:F s: I -, j
b) 5. + 2_l 6==0, r +,1,
48 5i .r .rll. Fcuatrr tl., ,rlui
2r FJ J5? - i: n,rn;|iul z
49. Sll sr scric, ccuatiile drcptcir:rte IerPcndicular ii pc drerpt:r
50. Sl se scritr r:curtiillpnrxletil cu (lrflrpt; - + j
51. Si sc scfic c'cuiliile
- t.=o, b:- 1.^+5-0, lr+4Jr+
3; =. 0, 2x 3,1, + 3 + 8--0. 3Y + 2?- l:0.carc trccc prin arr^ Or ti tormcaz.rr cu planrl=- 60".
,ar,.\, ifli in pLrnul r0r lRr" trin.-itsin, ri
1-.: /: I r-5.i -:
drcptci carc trccc prin pun€tul -rilo(-1, 2, I) $i este-- 2J - l.=0. .r+2J - ?+ I -=0.
f r^i(c1re i dr.pt.i (,ill---- : '--: - :-- pe plalr I.21
lt\
sJ.
il iind
n--t.1'. -.]:0.52, Sir sc ruificc cir dripldc unlitoirrc stt|t concurente I
t 13-?. I
scric ecur ir l)lxnului dcterminr{ (le rcratea.
Sir nj scric ccu,Llijle pcrpcndic[larfi coborite din punctul JIo Fe dreapia (/),
a.) IIolz, 3. 1)
b) .r,Ioi,2, i. 1)
I -l
' ''t-' tl I
it l--: I
c) ruo10, 0, 0) ii ...r r r-: :+l{1r)-:-:-.
54. Sir sc scrie ocualiiic pcecndicularci comune la
,.. r J v-lI,rr)
=:;
dreptcle i
1-1.l
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 72/344
55. Si se calculeze lunginlAa perpcndicutarei comune a drelrelor./r ti.l,, ttii d ci:I -4 r : Ia,,/,r
-.-, ,; >i i4); _ ,,
I,i (r/r) .1 .r -r .i rd?) .r l.O.r.- 2 0
, :t t,ir _..lt'ir)- -1
;rit./.) _
l Id) (/,) lt -' :- r'0.
t,t-\1, + 2)" ,:''12,.\ z 2-o' "'lrlzrrz:r{_o
56. Si sc crl(irl,rzc distalrta diDtrc drcptcte
(,1,):'-. l-- =::j,i (4) ::: _r +r:-t.3,1 Z J{}
57. Si sr rlrrn.n.tr,ze,i dr..prclc-n -. _'''? ;' ,i ).- t/T7, -1 -= 2l + 2, z: -21 .l- I dei(rmini un ptan. Si sc scrie ccu,tia acestnia.
58. S:l sc vcriiicc c:l dreDi.lc 2r L 2, -.. r'l- r-l ,-o
5t
-.---: t - -a* si.1t p.Lr'lhl'. S:r s. (al,1rl(rt ,L:r.nli ,lir)rrc r,le c.1 .,.
scric ccu:liia planului detcr.nrinat de accstca.
.59.S.'tscscriL:ccralia nriplan{.rr.tr(,cl,rin,lnru)tjrdeinLLrjicrirrDlacl,)r4x--"r rJ?-. I-0,i .t- 51 -.;_F2-o,i i..,rP'
.i) tr(cc priu ori.iiDcibJ tr,.ce prin ptln,lul .t/(t. ,. I)cl cstc prrllcl 'r ara 4r :
d) este p€rpendicular pc plan[l 2:r -J -r 5. - 3:0..60. S;5e rcr;1 .(uxii:, urui plan..rr. trec. plirr rJr,.r1.r.r (ic inlcrsccrjc a r ._ncrnr.r LJv -, =oii.r-?l 4:0S; r.i,., i-rrrrcrz,t u unAbi ,k.{5.;u tt;r If,-4v-8:+12:0.61. Si s. sc'ic ecunliil unur ptan cxr. trccc rrin nu-.lrrl .1/.,(Z 2 ,l si r,r,
esr. fcrpFn4r.'rlir pe Llrcapta a -f 2r_ z I I _0 2ri, .:i c62. SJ s sLrie ecraria unui
nlancaru I,,.(.;rin yrrr:rrul ,4/.1r
t.2r.i ,-paraiel cLr dreJ'tclc:
. ,,. r I 1 I :: I , | | r_ | :: ,,| {,rrr-- -.
- :i /d.,))1t't..ti
. 6J. c1" s.rip eruatir un-i plan crro rrccc i-ri. un,r,rl .t/^{2 t. 1) si nun(') 2r' .\ _: _ I _ 0, .r FJ .j _ 0.
64. S:1 sn s(ri^ au3ria unui plan mrc (.rric,. , r,...n,a ., l-_ n, r l- z.- I - 0 ii este perpendicular pe plaout
" +l + t:0.
l2r r i:=.fJ
lr r. 1::0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 73/344
65. Si se studieze pazilia drePtei d fali de PlaDul P, stii1d c[ :
, tar.-:lZ -r-o -2-t
ri (p) 3' t- sf -z-2-01431-
ti (Pl 3t-3r+22-s:o;
a-13 -l t-4t\ ld\
-:'-: -t
5l(4 r+2r- a' + t:0.
66. Si se siseascl Proiectia Fnctului i]to({' -3' l}peptanul' + z}'- z - 3:0'
67. Si se sc e ecuatiile dreptei ce trece pdn puDctele de intcrseclie alc planului
2tty J: Fl -0 cu drePtele
r 3 -5 2-l .x-5 t-3 t+1
t-JZ'2-46
68. Sl se calcuteze {oordoaatele sim€tricuhi punctutui ;t{o(1' 3' 10) {atl dor-l r-j ?-j
r.rrDta
-4t
09, Se s-.cric e.uatia plqn'rlui determinai de Ferperdicularele coLlrlte din
r""lii,iiri-,. i..ig-pr;.r" r' rr 3z I 13-0tiy '2r -? Ir:0';o s4 qe <.rie ecuatia Ptanului carc tre'c prin puo'lul 'Vo rrnelr'clrl Punc-
,,,i"i -u"ir. :. -rt ia ;i di planui (P) x-4 l sz+48:0 \r cs'e pa 3rcr cu
iil-i,il''i.i,i'2,'- y'' z +'t -o, 3x F2r | 67 r'" 0 ri (r.) r - r:0'
x-'y-z:0.71. Sa s" scrie ccualia plaoutui paralel cu plandl 't I- y | 2z - 0 ri 'dre trece
,,,i" '"'".,,r,i"'-ii'iiJiil,'; pianeior 2ri 7i-z - z-o' ' -3vLzT t-o
ii ., -y+r-::0.72. S[ se detenioine ] € R asuel tncit dtePtelc
r-l r+2 . ,,.'+lld) -- :--=: - ;r r{r, -;
si fie couturente. Si se aflc coordonatele Punctului lor de intersectie'
?3, Si se detetnine $ietutile pe a-{elede
eooilonateaie p1a+riui 3'
-4' +
+ 6z-2'1:0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 74/344
'.
$IRURI DE NUJIIERE REITLE
S. rumctte 9ir llc nuntcre rc e o npridlia a'.'dlirii
N ni t|. \\orinr vddrite acesrci nplj.,(np'in /(n) =. u", , e N.
(nr tir (oi) cstc ltlBinil dact cxi$e n firmn. tt > o. astt r n. r ia, J < rj, V, e N.
n $ (a") csl. cre$5r.r dics ar <,::: ... <z < d",, < ...: rirrl (,,,) esle ddscre$irnd^.r: a1> d\> ... > d,> d,t\> ....
$irul k,) ct( coMrser drd ayisra ( € B, as{fcl ci
Y.>0, .€Nl la,-at<., u.>"..
Scricm ir k.it . z ce lib ar: a.
Sttrrcr: d hn 44 e + ... ds.I
Y' > 0, l'. € N 14'>., Vn )' 4.;
sPulriD lll linr ,,: - 4o, dacn
. VE>g l%eNla.<-., V,>"..
D&cl limieJ rirold (ai) nu c\isii sru.ste inlin i, atunci rirut (d.) cslo di'4r8qrt.p oi'.1.1{tl. r) Dicil. dL +d, aturci 14 l+ | a J,
b) Oric. ru coNergdt cFt. m{rgiD .
() Oricc air conv.rE trr are o *irgld Uoiii.' d) Orioe subtir d unDi gli .orverScnt estc con?dg.nt c4r.c sce€ii lihit ,
o) Dac dr 4 4 9i ,, + D ti <1..{ ar < ,r, v'reN.drD.id< .1) Dacr d, +a fi,i+ 4;i aact., < 6, <,,, Vn e N, atrDci br r n.
F, nrr\ ldr -at<dr ri d,-0. arlncj z"*a.,'r l)rcl., + o.ri l r, l < rll Vr e N, altrnci (.r, + 0.
€ritdldl g€n.lal al ltri C.nchy. Condifir ncce$rl ti sirticierti e uD ti. ("J *llie corvergcrt csto
1l)
(?)
(.)
,{ vE>o, l..eNt 1,,+,-z,t<., v'>,e, v}€N,l,ihit.lc ri.trrllor Dorotone. O.icc,9ir motuton are ti"riLl.orice tir rltglgr-oJ ri tdifgixit lste co v;rcc't. Dac, snut (ei) cste nonaten qescelo. $i nfds,rir
bnperior, .r c.rnve4e cAuc marginea sltei.idd.l. De4,{'/,) estc uonoron d*.reicih.''
nratrgis ini.-rio., .l .sle convc.gent ot."
"'".gi".i. s. i,te.i6r..Cri/qirl lui stdlz. I.ie rirul ir.) r,oDoton cie$nror, cr Innit'a + 6. ]\trlci
.'a'
n b, r tan-r.
ia ip,rrc"a cr rlrnira trin prt6 {trcaptd 6jsri' {tintL $x uj.:
?5
(5)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 75/344
/ r\nrrrul?"-ll+-l
\ "/€sio monoton c.e c{to. ti mr.ginit supe.ior: lirnita sa este
'T(',. j)^:'
I\nct€ ljnite ale uDri sir' Prit punct limit,, a1 tnui 9ir se lnfelege nn 'uml' ( € R' cat€ are
prorrietat€ c5 oricc vecin6tale a s conlinc o iniinitate de rermeni ai ti' lui'
Fie {d,) un ti @recare ti,4 mulfimez lunct'elo' sale limifd Nnminr limitd suPcn'ar' lnn 'i. ri..fui (i")
""rmai ma.e un.l limitii din, Ntrnim limitl idfoioa'n /rfl d. a tirnlti {4") cel nai
". .ur - lrmi d din J.
Un rr a.) , 'e .in" 6 dJ J si nl'ra' dJci lfl 'r - lim ai
Probleme rezolvate
l. Folosind definitir limitei, si se vcrifice ci
tr)ri- 'l' . -'-'tfi,,'
'" ' -' ' .-0.Ll'.:r.t t \ n
n,,o?ral?. a) vom lolosi rlelnrilil ( l) va tr€lui sA a',,tt'in c6 Fettru orice onmir Pozi riY e' P -
lerr det€.mino ur rang'j3
6 N as{el incit si a"eDr, pcnttu orice t > tr'
lr,. l 2l \ I {l::---- - Lc :n I .-,r"lr,,-r rl r ':
lsrc verilicatA. Accash stalil.9tc poDt€rgenfa ii.ului c5t c: . DdE ld64'
:- ' atunci a€'- J
2tl. t-i lmpr'ia ,,,...d,lraJolimiq: ' ma P'lro d"- . D'cdrLim - too
arund'r-
* jJ ri deci te.n€nii 4., d., . dilcrd de linita Z6 nai p'9in ae 1'
2"-t- 2fb) riird dal e > 0, va trebli si (lete.;i in rn ra_rg tre e N r'ihl I i'ii _--:-:-r- < er
i,..1\: E
| -j l,*". :-i-:1 < ., pcntru I > n,. eria roare sinil con'*se la zero Atu lolo€in
lr'1 I
rr"i , r"1 ., f:.,, ir,rr'1ge a I i r'
r,il'2ri dJ'a i,nrdnc'n'. ? I
--i € re'ulr5d\- lu:odtrr:t .1 ,.L
3
p.,' rL ") .2.4l, j"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 76/344
l. -, 5c rr.t ( .i cirul .u r.rm.nul general a, -'zi -l:I nu Fsreconv.rqenr.2,"
firj,lrtrl.. Si obs.rwim ct pentru , psr .vch r" = 2 ri t.n1ru , impor avem u, - O,adi.a,r,bshn.i co'ver{eni^ ," ridite diterite. Daci girnl (dr) ar Ii converaent ta a, at nci c.le.lfr6 snb_(.r teuncnitor de nng lar li derang impa.) a. tr€bui sn findi tot cjrr a. Datorita uicitrtii
riir.i rrni sir conrersent. a. rrebri .a d si lie egal cu ze.o g . doi. Ac€sra cste inpdibil.
.r.,..
... .^.:.i,uI \,,,,
nnpnur sp,,"rar d, - [',,,a) , .j,e nemirsi-,nu'ind..irr^ v t {lrr.f,tudl., l)acl tirul .. Ii n16r8niii, ar insemon cr ar ef,isra nn uo6r M, astlol cn la,l<,t,
-1l)ar, oi.dr€.r {1 ,41 > 0, penr.n o ce nuder naruEl de Io,nE', - lA + t >,tr3 n,"-
.1 s ul r,\ nu ir1t.,:r-F infin'.r.a..rL rrrind-(arr"-.art,lchra.rj"et.0 larcN.rnrcl ,.. rnLaro
^taripi,21n J.rndi>c, v,>xr. f:e,_2a
cc€.c do,edette cd dtui dar nu rinde cir.e inlinit.
Ii rrr":,rut cu r-mpnul scn.rrt o. '"{--d-11-:=1 . %. so to. h.l>0.r ". . rr"uhz^ rirn a,.
p0" - .rq' I ' a'
fr?.J,nrr. Pntem r.ria
l) .i I : A, airn.i aa :
o,+_1,.._'-;
^PlA'Dace l>i, atfna.i a,,-
,-("+f+ .))
,'ls"*8....*E:)
di - +@ dacs % po > 0, sara.e ?t < l, ahnrciur=,i-,,
m a" : -oo, d^ci do.Bo < 0.
5. SiL se calculeze limita
B"*4*...* .
;irului cu tcrmenul g€neral
l+d+a,+...+a" , al <1.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 77/344
.:::: :-":::,: .,,,-,i":;i. ;
l-6. Sc .onsi,lcr;r rirul (d,) definit prin a, : o, c" : t, a, -": :::t . o" ,
Si se anrte cl2 2t-tt a,:- a_ - Y.2'2'
ri st se cdculezc lim ,". a,"; 'rr;: :"la care lnceplnd tcrmenli ri."l"i "r,',-":;:1ff;
i::;"":""jH:..",1 --"..*- "",,,tu. : 2 d.@recc "" -: .-+ -
.-
: l. fr.supnr.m ad.etara rebF. IEli ' ti sE dai6m caBz -
2 2 l-tJtl"".:;+; fD:ir
.r-'"'"
j{i
'i'+a
'i''.
'#l :-i '-"cooJ.m' pn'.rprulur rodrcfiei, ,ct. ic Are adevlnlt pcnha ori4 t F n. " t, u.-*."
L;"S:0..,'r,a.a,;1"o:; r,.r- *.-. u. .crat* (1).
'strcbui s. it.t"-'..,',.,' ,"',
, E a N, arrGl ,11.' - I < l0 '' v, > 'r. | rl
I rl lr I ll't r lol]L)ld -- i : |- .:-----: |:
-
< ,0 r, adi.52':>-
i' :l l: z',1 sz*" ./ l o00l\i dc ,,>2 trn-lrr. .. *", ,(,'i'.'
l 991r',i.\ I/ \ \ i J J
/. 5J Se arJIC LJ:
-<\a;|inr-.- 0 1) )im'?i" 0, lal<rrlc) l,mi/r I;''n 2'
J) lrn, V .- l, a > o.
n.:J',/.. r lreoarc.c z' -lt: tln lr(l+c;1.. l-.; -,.;-,.,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 78/344
rttNt a <: < L. cnm rina: ri' -jL:rim -?-:0, rca .r.;rnI:0.
"ci . r{r-r) n '-l
h) D.oarece I d < l, r"tem *ne I d i : --j:, p > q d.ci 4 i " I' :'r(i + P)". cln (l+(l+F)
+.)'- r+clp+c:p1 +...+4p">c:e', rczurtril i pf--L
<
----:_-,
as{el o. 'lnl'<
rJn. lid---L:0 si deci. lorcinil d rlin e.opietdfi {la. - a I < c,9i a,+ o', l,p, n ta - l)t'
nft,irct d" + aJ, r.znlti cA ,un + 0.
.,.,,'"g.-fl,- l.s.ohs A cr V; ' 1, v, ' I si dri d,>o vn>I va rrebui
'1 .,), .rd, '0. r"-' V;-".+ r ri dai"= {t rd.,'sru ':t -cld, ci |+.
li; - c;t;. P,in u,maE, 0 < c < { :i, a.o,*. li'n l: . o dtrDn (a tin.q - o'' C " ri,,j) sr corsiilcrrn hai hrli carll d > t. -{.tunci v;> L ric a" - v;- 1, fftlcl ore" > 0
sa adrrlLn, ci c"* o.,t'e'n i/i- r + a", <rei 4 - (l r'',)' : 1 + cld"+... + 4 l>cld"
,...,.1 in<r"41 ueorcce trma-o, 'c Itncrti-0 De,1 a - l, .tunci .' - 1 ti(l n il,s r., cn r+. rv denrd. D'a a < t.*urci <;s"a = ic' o > r. ean unnarc, i/i':1f,u'u.,,.*
pfi'ra lirle n dononshafieivt- t, as.(.r c6V;- |
8, l,bloslnd trecerea la limitd in incgalittrli. sir se calculeze liflita urmitoArelor
ll .l' 2l {'.,.+ r ; r,)
".:,(:)'+ "'.i.;:;
2tlt1 3 5.,. (2, - 1) -. ld - l)a-' - 6
I d) a":
-'
(r t l)" 4,6. . .(2n)
r.rt n.nlll..o:,
'a.o, D.'arcco 0 < d. <
-
ti lio
-
: lim{2,)l n {2'}l
$rrufr:
* o, rezdt ce in; a,: o.
tn - 2)...12r)
'., D,mrLce o<sinIca,voex, Fatrad0<'"<"1:l -', l-. rrrno r'
t2t zt \.r./
"uii, -cerd; iuFgrlitale ri liDird s@ calid r.l: I :O,lirunr'-:-.O,ublin"nlir .'-trr
" ltj n 21
2h-l 2h, c) Dac4 them s€n6 de inegsliat€ -- <
-,
Yt e N, ierdti -2h 2h+ I
1 3 5 ztt-t 2 4 6 2,
2 I 6 2b j 5 7 zt+l
1 3 5 zE-I I 2 4 2'-2.
2 I 6 2i 2 3 5 2,-l
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 79/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 80/344
2jlP + 23 1...+,) 4nln + tIlzn + t)
2\|lh+t)(4n+ll
nsUcl cn linr d, * l. .
10. Sii se cerceteze natura giruriior:
124t t1, - .. ,
",__ 0; b) ar- I . _= aa.:- t.
h/,atwt.. rt -\rt,tat=O at t.)=- Fota{nd ne'ara iudu t:"i, presupuniudcl.er> 0,
dc.lucem cA 9i a, > 0, .
Deoarece a;-1> 0, V,eN, se oLtire a,: (t+di-r) J < 1. pritr u&ar€, O < a,< l, V,eN.SA p.esupnnenr acrn ce tirul (a ) 6tc .onverg€nr 9i tie r - lim a,, Trdtld ta timjt ln,elafia
d, E( I +d",r)'l, obfinem peniru deterdida.s limneir trm\:1rorrea eclatie: I : j.n"in "..n.",I ?
t /<.1,,. '-'r-V'' ri d.olrp . a. e {^ L irz,.trd ,,r n.,mri vJ'oirea / - (- llV5) ar r,
Sd ar:;mr,I d"tr"-
ca/ =
deJinilia I dat fird e > 0, va tleiui si dcr.rminrm 4 €ng r: e N, asi*l q pdrru orice, > ,g:L areft a, - < e. inl.cuinil pe d, cu *presja sa, oblinem
'"':l*;-,1: 'l*t-la,-t , ri,-a"_1J ,_lr-.,_,1;
(r. + 4(l + 4,_J
a ' ,.. fo-. t'D'lL,J". r"r, o .ralt tz t t-lln. J r.^r ,.. ,, -- .p v(.r( ,. 6" <
-
2 d rLt t{.n, -t A .-:_,(l+r){].+a, J r-r/ (t+r)
a''.ti bt "i /i, L O|0.', r."4 a,. ,_t(t.t-t ., A\ t, )nr N. lh.,
o l.-k.t.t t,<L-o.--t,< < t(-,,ar. t
)a,-t < r*i)a1- 4.
1.^cj' r l" Iri... , ,".r i:,g,tiL-, F,ni.,,t .e,,.1, ,.r t.,. //' - i ,.rll11 t.1r n.
25nl .\v h., l--,o" I,id".o1 i.,.. _.i::r, ,J,.1,.., \rLo.n, c,l J"\0,.3
)V"=^_, ,\poi, dcoa.c.c
a,= l+-, s€vede c6
ai> l, V,eN De.arece a,,r> I, r.zuu,2dr* l+-< 1+2, V, € N. Pnu nrmaN, iirnl k,) esie nrirginit: 1<a"<3, Vn€N.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 81/344
Pr..cilhd 6 la, exerciiul al, lcupunem ct tiftr {4") ar fi cor'telgent c 'tre / liecldd ta
,tnni; h rclalia de deliniFe a s-irutui s-i tinlnd s@ ct t€{1; 3}' obti €n l: 2' Pcnt' 'arzta
,., r = 2 *tc ttrtr-aitevr. litriita tndli tolcid P.oP.ietats el Avem
z I lc",-211+--:l:-'l4"r
z 25 1l
'D.o rL{e ai,r < J, re2ultici ,"
l+-1 /l+: :, v'tsN PtuJre'" _<- _J'
l3
i.. -, < 114.,, -,1 < [:]u--,r....(jf-'r,, - a
u -'-" rr-l-l n dupe P op'ieral'r a) rcrdltri lim d" _ I
" \ 5,/
11, Folosind teorema dc con}-ergenln a Su ilor inonotone 9i mirginite' si se
.cerc^tez" .onverg(n1r uml:Lox(Flor sirLri '
'): t') a":Ja+a*',4> a, eo:o',
e) a^- - a"(2 - a")' 0 < ao < 1-
nardrdle. a) Compadm doi tem6li con$cutivi leniru a sfa6ili nrc&tolia tulni '{ven
d., rn- rr.,. (,rJ,_ r {trr)'_ I .(r* t\". j_r. v.,r:,dr r(sTr.rg " 'tl,' tL \ i.i trll
/ rtnn o,recc nRl (r'.''.,..r r"*',rlr*-l6re.re*iro' 5i rindetrift " D'(i '','1"-cd'q
I '.1crescilor li, cum a, > O, .ddtr, ce 6te ti m&g'iit idenor' priD nrnare este cowerg€lt Dac'
lot6nj I : lida,, atuEci, trecind la lisitA h relatit
t I l\n4:+1:4.-.ll+-1.
"+r[ 6)
. r.zDltr,-r'O'e, asllcl ca l:0- Dcci tin z":0-
I ru.m"c'i"ae -rt q='/i-.,*^i"t't' '"'-\/' J'- \a Prib n'-
glijare. xltnnllui 6 din cxrresin ld d', obtin@
| -'-j:=.=._'d,>lar'v,l . l a, I
nsuer cI rezulta d'l < ar, \, e N. ti d*i >irur {4") este tresctro'
r"r rcrJ:L' ,"
- J., ,-
| '',Ilr ';:d l-. , Je undc
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 82/344
D.@rcce ri.ul (zr), dr > 0,' cste .rcsc{tor,'rzullr. dr-, < aN ti 4<d" $i de.i la< |
". t" /; , ,-\:' - i llL.r I i.npl@
-r \/r I,. \"" a, J
Di rehlia de md sns dcdnacn a, <J""f I, V, j ece5sle oratA cl {d,) 6te D4 gi.it srperio
i deci esig con?ergcnt. rie r = lim ',j treolrli h lit,ili n rclaFa a, : .v/;;;n, obtined I *
_ll
rt+-/t+4dl-_/a+t dcunde lF-
, q.dc,^ao>O, |'n ndurlic s ttoa,e... 1.l a1>o u ..N. Din rcldtra dc defuriti. "(m dj-r - 2a^ d,-r + z o.
]\ccfftt iclafic nratl c5, r:4,-1 Gfe o rrdr,cid tc\lZ, n.c\^liai,f -2firr+ a-0. linlru,co acerslo 3I aibf. .A.ddcitri .colc txsluic ca A - /; - a > 0 $ deci ,i > 6: Apot rer 16
ri dcqj rul ('") catc de5crcrcntor, Dcodrdco aii > 0. v'6N, rclultA ca (.r) *tu orrStnh blgrroFFi .lc i osic.convcr8cur, Trcci d h l.r-.nd ll. ruhl,u dc rdurolln, obln(n lin a. - Va,
d) sn Dosorvdn, ca 0<a'-1< 1, 0 <," ' 3-1<a< L Pri mdtod3 irductnr so'2'2A2
eLabilcttc ugor cI 0 < a, < 1- < l, V, c N, Dcci rirul {d,) s{. mdlthlt. Apol, . .dr ai - a} -2
I , - ' ldtl 4)la.-a)^=-ai>Oti d,-i.: ' " " " <0. Iolorind nrcrod& iDdnrFol, lotu En' Dc.
22
.A rsr-r-ar.+r > 0 rid .-rrt.. < 0 $t va tr.bnisd rretAn cEa r+r-arr.d > 0 tt atr+t-.ara.<0. a a\ .."i,"' {z r+ r. or,){dDr. - r,r) - "n r'a.lo"Jr, a?.h22222
tdr,, t a,'+tyd i-ou ) ,^
Acesic ielp.lii aroid .n si.ul (4.r1 estc tlesinlor ri 14r+1) 41c doscro;i&or' Cun .c.e10 dou
9irlri siat ndrginiio, rezulte cd ele slnt cotrtcrgent., Ii6 fr = ) u4r* li li * lim a +r, Di lclalit
d" <lrrrniti. s.n{ rpn ru a :n ri n - 2{ + I Dr'li cm* *
. .?._, " "i,"*' ;-i't\4'*t:;-7ald\
T'.. ndr.rimirl rn lrcL- "qairtid Llinc,,' si",'(..1'-. ,--;ti.
l. ---
ri sr.r/itrd
'll'JcJJUr.,arnoolinrm./r - ?iJll | -\,r '-l./l=0 Cunlr>0 t r):0, r.?urr; 11 tr"Jr.l2l
Fi doci tnll (a,) csle cobvcrgctt, d@atece ccl€ dotrt sllsiru.j ercl co$lrun a ncteafi lntriL "
al
rF, rr rsF llnd,. rrpLlJ.r'".1r11 r'lalr'r r.-: - _l- ol Ln,e(url.r:-- /u 'z t
rL.loir-' + Jl+o>0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 83/344
c) Rolati, de {leli{itie a ti.ului se sdie 4:-24i+4,+r:0 Accasta alq{a c5, e.uati4
,: - 2: , a,+r - O drc ,Adr..,,r FJle ri dcri A=I-a"_r>U.PriDu"mrrc,. .r<LVneN,De as.m.ra irin rct^fid ar+l: a"l2 - a) rczatrL a.+\> dr(z ' 1) : d,.
Adasta dati c, rirul (4^) este crescrtor ti, de@rece 4i < l, V, e N, rez ltl ci tirul (4i)
.qte convergcnl. Fie /: lin o,j prin'rece'e
la liBitA ir lelalia Je dclh'lre rbl'ncn e JI'Jl*r,2-ll
.tr solufiile I : 0 si , - l. Deoar.ce (d,J este c.€sc6tor ti ,' > 0, rezulti c a, nu tindc cet.e 0
12. s1 r xlJ,-..i )i,ul c,1c,,n n,,l s.n ral"-t' ';j
csrp L,o,,o,on
descrescS.tor si mlrginit interior.
Rezatta/.. Fi.d > 0. Drp6. iornrula linot,utui hi NNnor .?cD il + a)"= t + cla + c'1"41+ ....cla'>t-4nrrd:i
(l+d)'> ti 4,, Y,<N.
I,.uind j _ _ tu ,n-8r,r.r"" (1), o.r.n 1,,
f,- l)
(6)
/. r v Ilr
-l
>:T-,va-N,[ ,.r, '-r
oi .r*i fl +i\"'>,+]t,.vn6N.Aceasr ant,cteirul(ar)estema.silitinrerjor.l /
IDr.i hrem acuD a :
-
In nregalitat.e (8), obfined consctrtiv I
t"" _ 1)
I,- ' I', r r -a > r - j, I '"' I'' ' .',\ #-U a:-L 4 \"r-r.l
(*l(t,1"''',1' t"-,1"'1"i1",, ('t.-,)''('.r1':"de un{te d" , > a". Deci eirul (a,) €stc .escre.c)to.. rrdrnd scanra * ,,- (' . ;l (, .
+),obnlnlnal=e,
13. Folosind criteriul gelcral al lui Cauchy, si se demonstreze convergenja
ur4frtoarelor tiruri :
1l-
ltc) a,:l* + +...23Ruahat., \on lolosi condilia nocclorlt ti strlicicnt{, strb rofta (1).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 84/344
3) Fiind .tat E > 0, za rreblt s, dcrermineE u 16 g,. eN, ara ilctr lEdtn i,lice , > ,. 3{
^Fno"-, - d,l < .. Dt
lcc(, lD cos/, Lt: | | t1.,.., 4,t ,t r...? .' l<_lJc6r,+ r) l+..,I r'', 3i, I ",\
" "
, -l k*(, Fr'r\.-Lir,-l+. .f-): , (:)'-'
rp, / r"*.t t :'- I ., +_,
t t / t\ Ita., . d,L<
-._.li _ * l< _. vrcN-r,, : t r,) zr
I / r ln2:\Dacr impnnem adicl ,>rl_::::l,atunci ta +,_.,1<e, v,>nt,2.3t \ toj .,
/-In2.\
"riir,l,,,- f,l
:^ l.lribuha,., (obdrs (4) esre veanare
$i deci,ird kJ csr corveF'. 'ol ,/g.nt,
.IIlIIL) 4..-, ta,,r _d,l :_- . .t,lrldsemd--ln+ t)1 ltu+2)' ("+t)" , I iri_l)
ll, V,i > ,, obfitre@
rlA
I r r \ / r I I I t I \3'"-ar <tr-;J [;-;)- .1"-"-,-"-,)
:1- 1 I -
, ,+;";t'I / t\v, ' -. asfei ce a] Bi'd '.
. D l- l, condilia (4t esre indellilira. Sirut {aJ esre .ted .otr,er8qi.. \ e./
I rp.,1 1...* r-rr"*",,--L*:r"+p
lr '1 rr:l-__+...+{_LI'-r_1.
ln+t "+2t+il
P c.r- b1", ar ,
,._"_(;:":)
.(;-, #):_r__rr_ 'l_..._r ' __i_.l_ r. roj."
t f,'12 . pr,/ l"-p-2 "+p-r) ,1p-r1-r-rP est6 inpa., atuei
a, "-.,':I '-[ ' ' )- -/ t - ']" ' .1.
'tt r-nt 2 rr3l \n+2_t n+pt ^+L n
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 85/344
D..l_ lr,+, - .,J < l, yreit, rida..atesm">Ef1l $tY, > r, V, € N. coldilia (aJ 6t lndcr)tilitt ri dei FiEl (aJ qrre.onye's€,t.
14. Folosind critpriul generat al lui Cauchy. si se demonsrreze Jivcr;.1 .
rurilor i
a1 r": t 41114... +l;b).Rr,ol ,/.. Trebuie s arttem.S Elatiz (r) tu si. indepliritr,.ya fuebtri si arelrnr .a e\isii
.> 0 ti, €j', astlel ca la.+,-a.1.> e vr e N,
'a) Av.dJd,,,-a,*-,,:+----:1...1----:>.a ..- uldc s. v..J. ,.:, .....
"tr i+2 stp nlpl-f
rrrn r - ' ri": ], o*""* ;.. - ,.1 > . r,;. ",-*, rezuui c., inul cst. (tir., d, -
z z9n r (.,) Iiidd q.$tror, rezElra c3 liD a,: @.
. b) Pcsupund ci tirrl (s,) ete @D.dgent $i lie r: tim si r- RezuiG. d limisin(,, t l) -, i {, * l)l : o, ailici lnn 2 dE r c4' : 0 5i aci riJcc * : o. uu. rin, iin u, : r, .r.i
l i 2z) steu$btirdili (rr. Pe d€ ant larte lie sir 2r =lim 2sttrr c6, - 2llim cosn.- lr.
Pii uture, I F lim siD, - 0. D€(Irl@ sid' +':G'r : I $naemrcce zrn g:sit cb. in {si',' +
+ c6o r) : 0 BjrnsdE la o .ontEdi4i€. D.ci D @iste t@it4 ri.ulDi {at).
-T
15. Folosind critedul lui Stolz, se se catculezc limita girului
el ,:-,4>t'; b) u"--,a> li
112-1-1-J631...1 61o14
'ln2+ {' - 4b 3 +.:.+ r-rn (* + tEaohot.,t) At@ ""-4, "aa...:a. tib,:n. Ewidelt, r, este osollor ii.rs l
,"bita + 6, asrrer hc$ p em adica qit rtur r s.o,z- Dedrce ryffi =yfi.l -li -- {. - l)rimd', rdnrf 06 ria r.:0, da.e z < r, sr lnn:r" - @, dac, a > L
$tiir)d
b) tr ac. t' az ,: A d z.:"
ti ,,: dr- De@re a > l, ftizklrlt ci (6,,)b,
si tind. .ltr. + oo. Aplictrd dit€nd lui Stolz, re tt
I']entr calculd timei limite ,om apli@ lncji o datt cnfcilt lui Stolr, d.ci
I , l{'l +2r+ t) l- jl,r lll l- l- i,r - i,, - I
n a'(a - l)
Apliclnd ltrci o dsNn ac.lari critdiE,..b1nim
. crl6 6i1 t1- 6n 6i L'Ia - t)
ti il.ci, lnldlixl Ei sus, 6;:im riE q :4.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 86/344
.) sLrilm " a, ooa. o. ..l-t.z 1--Lro'l,....1rofn+rt i 6"-btaztb. l 2 n+ lt - ll Ia J l- ... F l.lo (r i ). A?e'n
nrl,-=.itn2 t.:loJ r:ln/tr l) r ___:_ta(, f 2)_[;, r,
1 iJroi r--..;-L,,','- r;l-ro.z+-Lror, ..a-J-ro1, 121,
I 2 ,+t 'bai- b.: (, + r)hz +,.h:l +r..+ 2,h (' + l) +1.r (, +2) -t, E2 +
r- {n - l) lol +...+ l.ln (, + l)l-102+h3+...+lo(r+2).
Di ultina rclatic s wc<le cl (rJ este c.escttor la + €, Dcci
Iltln2 F: ld l -... f -:r {"-2) .:rtr(, F3)
tin."=tim z'"1
-:timtFz-0.h 2 + ld 3 t- . . . + h (" + 2) n ln{,+3)
(ltr ulrima cgditatc 4m aplicat i . d dati cliteriul lui Stolz,)16. S:r se arate ci dad. girul (r") este converge[t 9i lirns":a, atunci Sirul
mcdiilor aritmctic€ o, : (w1 { wo g ., . + lr,)lh esfe coniergent gi litr p. - a.
Iteciproca acestei afirmatii nu cste adevillatl.f,,rlr./,. Apliclnd crit.ntrl lui S1olz $ruhl (r,), obtildn
tntru"=lim"r+'4 + +tr"-s"a-lq,*rr- f uJ-um*.+,-a.a+ l-a
Pen ft a drltd cd rcciproc u csto sd vd,ii't ,, oolsider{E .:.ttrplut urmltoi: ,. - (-l}i; cr
l0 pollru"
p&r,- ,-{
I l/{ penru n iftper.
Gvidldt, exisq lid r, - 0, d . (,,") tru or. lirniid (ov€tr 4 = 1- 1 $t "'.r+1- - 1- - l).
17. Fie (a,) trn tir de numeto pozitivc. Sl sc demonstrcze ci lirr i/;. -: lim 4 in ipoteze ci ultima limitd. existi,.
R'atuar'. tie "" - fl,i ",u"r cl rn a" = jr. Aplicind cn$.ilrl hi stolz, oltiu66
li' ln ". lin' Lla'
r" "'-' - r"" _ 1i''l' r'
n t- 1-,
dc ubdc dedrLern eSalitala ccru';,
lE. Folosind rezultatul precedent, si se calculeze limitelc tirurilor:
a) u":1/,';b) %"-i/A, a> o: c1 u^:4f a1a,..a,',h> o +i 6.+ a,
RNatLdt.. z) tin r"=tim"l
r-
l. b) liE e"=liha. l.
c) rnn (, - rin {:::: 4::t :1in a,*, - ".a t w'...4" 4
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 87/344
19. Si se arate.h tirul cu termenul Bcneral
este convergent Si are limita e.
6":l+- +1+|2t
E z.tta/c. P6ttu stalilir@ 4onvergentei oo-"pri."
.*",iorpop, ;e obs;rvtun c{
ll
(' I t)t {' } 2) t' r r)l
- --L[1a-J- 1...a(6+ l)r I n+2
t l.t[I+ t +.{,+2)...{'+r) | 'l r+r .+ | l-,
(' + r)>' I
r--l-(,+1)" ,l r '+l 2
,l
Dacr ale8ctu ', * E l:1, atuDciI Ellne r tir conzugdt,
.":r+ r+1(r-11+*{'-;li'-:)r .*[,-*) {,-?]''' ...+ jft
- 11... f r -lli."rl"t t " l
De@r@e 1- l< I Vi:1,2...,, r- l, Ezutrs .t ..<a", 1,,
d@j € < liin .;. Apoi, peDrru , < ,, avi@
c.>r ,_,,(, j)l- .li{,_i) [,-,,
)
tstle. a Diin uecerc Ir lmtrt, ol,f €m
lim." > t+ 1
+- +...+1, vl
=tl.
DzlrP n u.mare, ,>a, VneN, $ dei e>liraB. R@nlrr, cE lilr a,-e.
20,,Si sc determine }}]argind inJerioari si Darginea supcrjoari pentrt \ifl)r:r
toarele siruri :
4a,-t- t b) a"--l rt r)'+ sinrJ; c)a^-2 | | 2f.
Eezallate. z) 9nI] este crscitor $i anve.adt citE l. lllagin@ inferiorA a iiruhi cst. dr.i
pridrl t.rmen dl:0, lntr-adeenr, avd a.>0, Vr€N, Si p.lttr oiae e>O elist:ar=(l.sucl c, a1 < .. Apoi, sup ar:1, d@@edr< 1, Vr€N,tipet od,e.>O exi(i r.ENl-I l rrr*-> r-r, Y'>- dr.t,r:Et_r-
I
i+ | r+ I
pai.E dift r > r? a?m k +i
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 88/344
', i o.-rlA.;r a. - 1. d,,6 2h,a"-t+.1^,.tace,-{,A,I,}:4,=- L j, .lacr
oF .. i .t.'.i ,oi ,d .- , ,, ..0 ,,": 2. si JlrLrm c: i-, ,, - 1 r. o,"
lr,,Lrifja snului a?eD a, > - l, Vr € N; apoi, dar fiind e > o tre6uie sA deb ninam u, E;g, , N, asrjcl llcit d,. < - I + s_ Acasir trtrimi iaeg4titafe a.e loc daci
,; -L.- t...2.r.e6 (4h- r;" -L o .,.".Fi1 1.l Ir t. l
5,r,lrr sc a nti cl srp d,, - 2 t_ri-a,1cv5., a. <2, vre,, . Fiind dat €>0, cxisg ar- 2,' .2.) sc u',*.r,-r .t a, - t. 2n -. i -r p.nr.tr, pa$iz,:2 2,-_ @ pentrdtr imDar,
'|a.ll. il . l1,.:,c,rr'.ri s,,t{r" i- 6,)< sup a. + sup b. si inf \a, _ 6,J >, . L .,rr ,.. ,,.r ..( ,r lr :i,,:ril, (d,) sr {r,).turrtrut.. Dc. r.* a,<rtrp ?" si r"<s p 6", V,eN,reznrda,+,,<sDpa"_f iup6",
Y .:N. l)o.' sup lar -1 r,1 < sup d,i + stp ,,. Snnira. $ demoGtreozi cealalt i €gatitate,
22. S:- sc giseasci punctele li:nirt ale 5irului (c,). ,l14s ,, : ar- '*r 1 1,r 0. S.-r i sc dctermiue limitrte superioari si infeioall.tradr'. ruten ...t".", -1+ L-l
","..,-"..-L,". Dccj ourctele limitazAdzhl
' ',t., h.rf. i,.,....r^', ,",,- 1,,*^ 1"". - f l= 1... tn,.[-L] I dl l" . :n ' :l:"J
_L. -, oo_ul ,i, ,llil r -[rt" Il'''.', '1".4, ,: lima, -1, p.niru, \ I, t,- ,. - -l rr t,,. a, . z pon,,u
- I, rvcm li'n ,, = lt.r,, - I ri d{; ia acest a2 rirr (6") esre co "ersent.
Probleme propdse spre rezoh.are
21. I ,l ,'.nd J.f,nitra lim:rci un:ri rrr, si se \..r;ri.c.i:
r, .icr "- l: I,r tim - 1 . o, .1 11", --:1 I .
. l'
,, :": i |"
"r-221. i, -' ,r"rr ci )irul ,.u rFrin"nul g.rreral d" nu esre,onve-gcnr:
(rc.osi-ri: l) a,. -I -l:lla.
r r I I FB
)( ii ," ,,rt. cA .inrl cu rFrmcnul gmc|al a" - r,3 sin " :- esrc ncmirgj,rir ii. , L: . lc ,,itrc infrn'r
.16. SI se calculezc lim a,, ,stiind ci :
. l-2+J+ n ,.rr ri_ '- .-j b) d :
,),,,_F x_j:r.. rn,; d) a._tr]+;+. _;
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 89/344
2T.Utilizlndtrecerealatimitiininegalitl}i,sis6calculezelimitapentruurme-toqrele siruri :
a; a"--;l;.sin(r:)l ,fttl'la,--:: ') '"'-- :
no-' ,,',t.o2 o' d) a,' -:-:- J ao-' 1
'28. Sir .e tclcule/c l;m a" Pei(ru:
r r , r I ; rj a,-- +"iJ"Tr .J.'tr',)
d": Jffir -r i,:,,,--r
-,F + ,,
c) a,: J;a t-fli: a) "":i/;t1/T;-;tf -{/l;=l'l;J" -j1. n . --
n"+9', . d-,0, P> d;el 4,- ;i;5.i. ',,'.- a",, I p,n
o^-A,'o;u) a:li)+f+ +|i'sfr'
, 2 +t.1.+ 6^,) ," -:^+:'l"+:;'
lirurilor : l0 i lo+n.t) o,--l- j t.. -r;;+-.1'
29. Si se ce;ceteze natura t:rului dat prin d"
ao-osi,,.: l"'-'+;
30.Utilizindteorema'leconvergentiatirurilormonotone;imlrginite'sistcercetcze convelgFniu urmltoarelor Sirun :
" 5 ? o 112(' l).a\ a"_- , a> 0i l,) a"--; ;',...117f -tt
. -L'Lj f-]-c)4"-. I l- e, *'
,Ft I j
-, - -t t:- : h --o ' t t zb' i , o < ao < bo'eta"'---T ". 3
31. Utiliztnd c teriul general al lui Cauclrl'' si sc de oDstrcze con 'crge t"
lirurilor: i
, _",nj: g3, ...: rr:, ry,"-f ra\) d4:1r ,' ,.. ' 2.
-)-+llLl' dr a"'- l;1- t ,(,;t
32. Lolosind criteriul gereral al ltri Cauch)' se se demonstreee divctgonl'l
pcntrrr cazurile
'll) a.:r.+E+ +T;'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 90/344
].1..\r rr :rratF ri 5irul a, -t+J,+...+ -in, este conv.rgeot.
J{. IrolosinJ cri'criul lui -tolz, .i se calculeze limita urmltoarelor,iruri :
t.Jr...rf r"1,...r-\) d" ": L,t r, -
z'\'Jr
r 5 .. i,i '.alrj rel.4 + ..-,iV;.,t,rr4(2,-ll '
, ,. . t'L-J "ir; ' I . . . + '6 t ' Itr' t tJrt d ,J;+d)
'lL,--lt...r rl:,, 1.,.-, i,, 1- t,,nr n) a'----'
^ri- ' P a t\ :
;1 o" --, -.11--J1-..:--:1 -
- L. p--. . t'-1r- -tt^ - lt'
, , ri" |
114.: *-___=l-
' l='\|
.. 'lnrl .rlu,r, " rlnrlrk) a. "ir::.:-_' ""'',,t>0.
35, trio (d,,) ,un $ir de unerc pozitivc. crescitor gi divergent. Sd se aratc cllhci
Iimb- ). ti lim " +a'*"'+4" : )',
.,'trnii I -.. "()' - l)
36. 'ie 1d") un fir de numerc pozitive, crescltor si divelgeni. Str se dcmonstrczo(.:r
.. .. i a" + ... zrllm
-= hlr)
x dr i a i^.r,+ nr-r
17. Si sc calcul:zc limih pculru urmitoarele Siruri:
^' 1;
"
," ,l
':j
L) .r., - - -a j .) .', - inn;,; at a. - Vtnlr 'I;
'''" ;V(, Lr ' -2)...{"l,) ;
-'/ l, + Ir(,+r..1'+"1 --: / -v-- r-. a> 1:
r/l;ii llli{.) , .V,u.r, : hr n,-VA,),.x".
38, SI se araie c:r iir l cu termenul general
cst, ,rrr\,lrgcnt ii il i s" calrulczc limila,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 91/344
39. Sd se calculeze lilr] 4', Ftiidd cA
rlsin- lsin-i .lsin
"':-;-1i'*t'-.2n
se calculeze limita pertru urmitoarclc tirurl:
a 1 1. . .11- ty""1.5t
Fic a ;i & doul mrmcre rcal€, d < 6. Se consider: )-irudle (/1") 9i il,) delinitc
> if a".
Si sc giseasc-: pun.lele limi$ alc ;irurilor :
'"jl | '::-:I1". r-) a" -. ;rr rr ; sin nl" i "l
Si se determine limitele itferioari ti s Pcrioari tentrx urmitoarel'r iirlrri :
' 'j+41.
a b a,4 b, a,-' b.,
't'2
b, J^n. b"- J";b;, .... h,'J;"b' ' .
.
SA se arate ci cele doui $itori sirt corvetgerrte ti au aceeasi linriti"t'
42. S:t se determine barginea inferioar: 5i marginea suPcrioar:r Pertttutoarele $iruri :
r) c, - ' : I Lt a"- - -t c) a" - 11"o,," ,
tr | I n'_l I
o-:I -.1:-.1-- ' {-lt'-l-: .) d., L-l-lll ."--r'" : 2.I 2
Din siml (4,) se e:rimec subsirul (.t ,) C {ri"). S:'L se qratc c:r suJ) tirr. < -(uP '" '
d)
41.
inr ai44.
.a)
45,
a)
c)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 92/344
6. snnrr NUnrERrcE
L Serii- I:ic (n,) un 5ir dc nlm.rc r(r(. lrnrodrcon riml (S,) al surlr,o lerf:alc rrin S - t or.
D&6 cxisti S: lid 5,, rilr ci tutoin dclini crtreia (nrn'il, serG)
>a,-.rIdj+...l,oi+..n=l
p..1 t a, s
:-rSc.- ) J.e{r.." 0,j, rj\, 1.. \5irul ll-.1"Jc(,nv"rgrnt:Jn..ilr
r_l/.'@
v' > tro I,r /Da..r *rii ) 6. "ne couve's" .ir, arurcr
-s a lnr:lui (,tJ s n rrt(u
sltra so iei. Serb X 4i 6le divergcnll il .n $irul (.Si) tru drc linrit, $o dad lnnila sa qte nilLri(i,
A dctcnnina nnt n otrei $ ii inse trrnI d stnlili dacd serit cste con/erBe t6 eu divcr(cuta,
Crltcrinl gcDcr- al lll Cdutlry, Sori. > 4, or14 convcrgcrtA daci ti Ds iai d&:1
1'v:: r,. lJ eN1',,r - o " , l- . , . ' a ,, ,1 a ., vn'. Dl v?eN. , rl
D c,l ll o scie 3c a.i. gr san sc scoxtc un uumtr linit dc lorneli, * obline o &uA *ri. dr
l)acA srid > a .rre .rn,.rg.Iti, irul su,n€lor sale larlitrlc rslc nar8init.
. l)&5 sia > o,.slc conTerBcnln, inui (d^) ese conrcrg.rt cntre zer.- Ac€.sr. csie .. diti
'' rr,.,l JP.. '?r,,<,1'lr a u' 5c. . Li n.' pct lr c','. t l r,L,"r
,1,(i. .i' l_rL,.,r'.. .lnci serii nn csre cDnrergent ci,tre zuro, seda cste djvegcnla,
,25iic_ut.rm.ni.r'67itivlOtrrnt,.cetLcurermcnipozniviJi5.,>0,trcN.'1-.'L
dsrlel de serii, jirul strnElor pa.fial. cst€ slict cres.ltdr, O sed€ cu terni€ni pozitivi esle conver8.Dtr,
dacn i numai data $irdl slnLclor pa4ia.l€ este merdxit superior. Pent.u st }irifta lrturii unci s.ii.u ter'neDi poziti"i sc folose* linlh@rele clitoii,
Ctil.riul I al .oBper.tiet, Fie > zr ri ) ,, doui sed.c
{rid ),. .stc li,c,8.nlr, srLnci s.ria > D, cst. d'/rs.',u.
0t
."",<g",ili. 6D D.,r.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 93/344
rrl sun dltetnatc sc M.sx' s€ i6 alhxneta o s"io dc
'crit$lll hn L.ihni..r 'io (r lft4, o serie alloh4l'
dotre {riL.u lcrmoni poziti/i altlel r '- <ti
. 6*'" - " ir n.,.\ *ria i ,- .s,e Lo,,r" sc rr r'.,.; nri, t a cn' on/rreenu
b) Dac?t set. E d, .rtc divorg.nt , iiorci seri' .6" cslc di^:sen
11.... . ,,; ;',:t:-,:-.,;ii cril.ridl III al .omp r.ft€i. Fie ." si >. ',
dout serii ct tdncniir n-1
11. L- r<. 11 DacI 0 < I( < + .o, .t .o, .lunci ccle don{ s.rii atr dcceali niturl.
*'i" l,""t"
co6,er'8cdt{, ltnnci leija >. (,'s(c 'on'€rse'tl
c) Dao'
Brrid $to divcrgund,
"ra'ar.nr".ti, fl" 3 d, o scrla q tenncoi poziti'ii
'gnoc[ lJlt < tit""
li 0<A< l, V,>t0, ahlnct soti{ ostc r6rcrg$11.L)) nrcn -lr;: I V >qo Jtuncl \cr6 c6r'
.trv(rrctrLd.rlJ)rceliml:l-r,trunci:llt'crrrirl-lqc(is$t'con/crg'nrll2IcLLruI>'
-t
l: O" *r" a',".g""'r' .luncL s'B : d' esrc dl'erq'"tn
'*-icato.iit" ao
'niitnalnre n6 ddu
illtoun**u" n rrrhrli nartrh unei $I'i c(n'F'tnd o
'u
o
''rtn."Je r cu,ei n,nra o clnoaltem Di obiqd neniru comladre' s foliFe$i sitria gconotrict ri
*tur drdoEic 8tD.drr,^ta serie 8"",*',t41.\ c'r' cnn?o'scxrd lchL ' 4 < r ir div'rscnnl
-\r-t,r. s l{l> L s.rii atrnmLci soncnljzard X + B'" **a'8stii l'lrrr I : l 4rvPrsr in
"-t')..nLN n 6 l.
srno cu remoui poari'ifr rx<o (/i, < r riCJltrrtul rddlctnll (nl lol catclrp lrie,)rit
o .. I < t, v' > q runcl ..nr esr.
-**g-t(';r)u".rli > r' o' :
',
ntu ci tscria
"t'ilirrsL{t6, cr +-(drim{/;=1'iluocl: l) Pa hri<I3criaoFrocu/crscDrl:l) lcrrru )'> In
.c.i csto dnrcrgottl.- rt a' \
&lr iut lul R..bc $i l)uhtb.l l\. ir J" o eric '" r'm"d ldrtivi Jl)"t '(; -J "
' lo \> a ri r > 1, vr > n0, arunci scria estd coovcre' nrd
'),'"..l ' t;rJ<
'vr>40 rhn
la \f,',I clro ili/,s^n'i.. . trr lm rl-- ll:l
'' \/'irr I
gcnll ] 2) potrlrn I < I scria estc'livcrgen&'
atun.i:.1) penrru I i I s.rtu est. conver'
, (-1)"+1.,,4' > o, v'€N,n*l
thai (dr) cste dcscreeator li
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 94/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 95/344
,, i .** + 16#:T,,_Jr-...;d)I r) -.';:-
"):t,/"-.at-r. zJt;tn-r \/,,i, l),,?. o.
, 'l, Po,t'u crlo,lul llmitci sifulni sunDlor parii',I" -s, - L 'j- i | "
r,.... /(,, .' {:l'-.... rf "l'.:en. s. ar*,r.i,i s. -/.r). r,.,
" 1,.' t./,t,
rt-
blrcl ,jn s".../'/l) - -I - (' 1_ ll4 rrtzull5 cA linr 3i -,
l1,n ,. n,ltr.. i.,11 a5i. c,{,"cr8cnrr .,i ar,unD .r = ---L-.I l'
"1 ^*r's" = -L + *1* 1'. . . *
t5 5'___ . li lart scd ,J I __ -.({r - 1, |t,.: r) ta - J (in . l,
1
I. ...i. ""'. crn1.,sa,L,r si ".. ,',',. . = -.1..
1 tr.'tr .allrlrl ,-".-,lr' -S"" a,4 r...t a rur"u rntri rr^r,rr,t i, i,r.'- z. 2
22t
l"ll4 -LIt
+ +.. +(t. / l
I
'_- -r.-l
(t - 2)q
Prir unarc, scri. cste conve.Acrtl Fi a.. suu .1.
(. . \', .., tJ;-t,J; Jii-zJi-r"t J"- t, J, t {"-tr
' J, " z J,,,'Ft-l,J" +"r,/"," t=J;-J"",'' ur, ' , t -J" --J;-.1"F r--:i:.
Jd+at l-FJa+'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 96/344
2. S[ sc ante cl urmvatoarele serii sint diversente :
., =' , t -- I ... +;: -F...i l,) 00? FJ0-07 1... I'r2jl Jl .\, i, lr:rj'
| (/0.07 r' ... ; .) i- tn "'llRa,l@,e. a) Crlculim l€unen gcncEl ar Fi.tr1ui str rclor pz{ialc
'-'-.' J--Lt' .l-1,-'r,h(J'-')
'Ut-J'l'1("ti-"6)+...+(.,/-:.,
r J;l:JTr- t- *.
Dcci s.ia osrc rlivc.scnti. sc obse.,ir ci tennerni sctr..,r "t*'toi", :
*=f1;,rn'd"
"ih"o'
(lc i scria cstt di"crgcntir.
t) se ol)R..L ci a": Vo,fi * l. rrnr trnar' li'n{"*0 ti, dtPi- conditi' n€c€s'ri de,co -
vcrgetrti, scria cstc (livcrgctrri
c) Sc olservl. cir d":lr1j]*0 ti d.ci duPi.ontliii. ncce$d de convergcnti" uu putem
nl io rlL,spru natuta s.riei. Dd.
s. = rr, 3.. rn -i... .. r,, - i- ,"1 l...lj1=idrarrl -."o"12,1:
li dcci sr.h cstc dirctecnlt,
3. Si sc sr;l,ilea:ci n.rturx scri(t ;"orr,"trr.e i q"-Iaqr' l_q'*' .:,, '
-l-.... q e ltl?r,lrnlr. Sc olNcrri cir liNa, * 0 l).nt.u iti > l. Prin {(ue, llt nccsl cat' scria esto <U'
lcrs tr|i. r).(n {.< LJ,uncis,= I+4r- .U'==-i r' d'ci scr6 cs(' con'
vcrgc lri ri uR "",.-;lt-q
4. trc'iosintl criteriul Screr.al al lui Cauchl"
u{ Ln.t,/ual,. I'colrus<05cob*tr,ctlnn''*Otideiscriaeslcdn/ergcdtnlcnttrt0<e<
von adh. clileriul gc@al ar lui Cauchv. -{?dn
rl 1...r --]-> ---_'-, VleN,"r+r - {r ' lJt (" F 2)- (n ?l' (n. rD,'
sslr.l ci. lllnd , : t, oltiteur
De@rcce I - a > 0, rczur(J ci con.litil {l) nu Pare li itrilcprinitJ' ni dcci seria cste divergentl'
5. Iiolosilil criteriul general a1 lui Cauchy, se se demonstreze convergenla6l
seriei )' -,0( , z.
)9.:J/rdr.. D.o.r.(o 4 > 2, r4t '|liitlll
.n,., r d"., r - ",,, - ("i-r); +(" 1;F
r.. i l;er <;;-1r +
61si sc studiczc [atura seriei >:"'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 97/344
lllr'1+
-------+...+
-<-+-..-+...+
-:-t"+u',(,r+r) t,+4(,+l)
-t+ ;i,l-[..,r-;;]' 'Fi ,-*l:;-*,-] "'oD.ri.,iial r-, .i, o. p ,rn d.,.d,r. /.FN, trr.,.- r{j).". r ia ,i , i., 1...+
+ .,+'l < e, V, > t., Vl, € X. Cordilsa (t .sr. i*l.rlinn: $ ddi sria cste convergertr-
@r,nuru, o, *nn,osrft rt. hi C. .b.Fieat2 az2 ...> a"> ..., a" >0,Vfl -N. S: sc a ere,.i
"eriil. >d" ti t 2rrr au 3(."rri naturi. Aptir aIie.Si sr" cerccteze natura scriti armonicc generalizate.
,Realu/., Fie Si,-q+,e+,,,+.. i rL-.1+2..+..-+Zl,zr, srjn)clc Faiiate cores-
Prnzitoare cetor douA s.ni, DeeFe ;" > O, Vr € jv, t.znti: cr iturir. (-s,) si (Zr) sjlt .rescr-
P.'rru, < 2r, aj.'r -si < s,..,,r - ?i + 1. +,") +...+ {,,r +...+ a:F, r) <,r ++ 2a2 L.. 2'o,t - /. s. ,r.ci S" < 7r.
penlrn, > 2:, s,.> -se = dl +,2 + (dr +,.) +...+ {,,i-i.r +_..+ "*) > + + % + z\ +
+,,.+ 2r-ta2\ - :'f , d deci S" > -1?t.22
A.edsta aratt c, cele d.ni ninri .l€ $nre Frlial. sht i)r ac.lasi lr:rDp rrirajnile satr reDirginit. rRrart Dnrp rrargrNe satr reDararnr.Cum cele doui r.ii an tem.nii p.zitiri, &ea<a an16 ci t le dotrn $ni considcrAle sinr h ac€la9itimp convera.-Dtc sa
']i".rsdl€.@
-- Fre seria a.mon'c.r 3cr@lizars t -r. r€R- tenrru a<0, tnn a, + O g dcci s*ja €sr(t
div.rgerli. Pentru a > 0, a": n r > 0 .ste dq{r65r;r, aslrel ci , duff crit€rinl de coDdelsare
il lui c.ucny, s€rin arn,onici ge'enlizd ee aceeaFi'aru5
cu qia > zr.(2r)-' - > {2lr-a))rr. k=l l.- t
Dar aceasti lltnnii *ric .s1. o sric g.onrlict cu ralia 2r_c. Prnr umare, pcnlN 2r d > 1(4 < lisria armonicl senemlizali ste divds.trti, ia. iErlru, < I(.> I) *da arnronicA a€neralj2ataestc con"ergent6, tJeci seria arnorici g.r@liuali esl. dtv6gc'r: Fenrru d < I 9i coDyerAcnte
T.UrilizinJ,)ir"riil,.d.comparalic,s:isrstatil..a:{:irrsrurdLrmiruarFlorseriicu termenii pozitili:
"tnt s
-.
';:tt)'|+ttr5' c) E -.,'r: tl).2.16-..124) l'.,.n.) :,;
{1 r
R.:aho,t.^)
p"ntt t' $ricifur,r. Dsre. d, = -:-r(4 - r,,i,'p,',e ol", arr.l (A
vom conrFr. s€r'a dall c sdja aDroici Aocraliari care ene .onYe.g€rii. -..veE
c - ;;;;{<
J7.1*,r+t.t.e drpi critdiDr I a c.n,Faialiei seria este corverstrn
b) ?'. s"ed .",. ., . .2 . ."..- . - 2. r,+i a.o,-" ".,. ; + .",. """-
g. td 8.rja lrnoricA ger.nlidacs 2 l),
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 98/344
nr Ltu.la.--]-, r,- L *,lriris :-''.'-:- t t)ur' rn't'u'IL ar 'od-
"v;"'vn,,'rr'Fi. J 4r'e.c 't..". ,,F,+dre Jr"6'rtt r-luri I "-'n rlr; '"t' di/er8'nu
l ] 5 24 t rrr'lr_ _8Jl'/r^r) Mri t,,tii s, obsc.Y{m ci ,^ * -ZT;..er)
1.2 4...2ts-2<,,< .L. :" ;.zt' 4 1 JJ/
-I Il,id rrhn lr'.r,.^.'., i,r;1r,'.i i ,,.-, ,, .,. . ;.
t"'"^"'
I t -r I I
, ;";'- r"-,';Irio . < 0. ltiditlnrl i .galit.tLa ln ptrlcrca '/2 ii atn h t'd'r' cI ds - 'i
rez ]lti
l2
2"t'
'nrerl"J.ri^ dr'] rl,'x. a0r: r" r' a "r' d''e'c' 5 I' r *r ur' Drcr d - O' itcrot
I d, / a i' s^ri, c# Ji er;crri
Ie ,i.i"a n I'a ', '-ll
' 2' r'I ' 2'r n'1
ll
r.^ r.u 0 d<:,.-.0I -iq'.,1rs-.r'd n'cgrlrrlcr
2- n--:
< tr'
ds I a' ouP'
r.r""",r'.,,fi"1,
cr'"|,t ." 'stc
di?c't-€{tt P€trl'u ' > 2 *"" ;, * *"-*
vc.scntd, a..tfui.i i,esatit"t*.. <-l + nnPuci pri' cril'nul I'r
coBpantiei' ci $ri'
t d. (r' o, 13.nrr'
8. Utilizill(l criteriul iidncinii, si se stdlileasc: natura seriilor
@ r ,rr, j \rn.r ) ld.----t ,o ,r:r' I_11-1-l a'a/ol,; l n' l
c) t ne" tt> o'
nrrt.lR''t^*
"1 N; - ' ' l:l- - d r)c(i' rcntru ' < rrri' esre con'c'se4r' iilentru-r > I
r.ri4 estd rli'dSdti Petrtru t - 1 cri;eriul ridhtuii ru s poate'Plica'
dar se obei?' ci ln tce'l
""," -t'":: lt \-|,*111)'-.ei d.ci s.id estc.ti"rs'trti (con<rilia neccs't do
'f d , I 'lculvrrA{r' i
""
c l
'.l.al:n'ri).,' /---"f'_ ll"-".. Irntru dJrr' p. rru 4 < c r scria'stc
con"rs'ttli ri pcntru 4 > '_t",*.' *," ur*,su',:r t'*i,,, a - e-r $i or,sord cr a" - (' - i)"' i *-'-" (r + t[" >
"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 99/344
-.t, ""It * -Ll"*' > c si d@i,- > fl r I)" ,r*o i'*-'i o rn .,> r-r' decilix'a"s0t ',
- t atfi sc'6 .$P div.r8..ll
q l;:.V;-". Deci pe'trtr;< I mid 6te convcra.lri, iar P.'tr a> I *ria estu
div.ra.rrn. Pcntru a- I r@ultt liD." +.0 F ilcci $ria 6te ihvqgst:.
9. Folosind cdieriul ruportului., sn se studieze natdra nrmiloareloi serii :
")l j:. a> o..t, e n: t) \- lt, o ' 6'
'/J,,,' /J "l;i= ' n-l
d *+ i (z --Ji)(z '{e)...(2-{e)4", a> o
vdg€rt, qr lentru a> t sdia 6tc divdgdtA- Pmtru 4: r * obline sqia arnoricd Aeneta'li_
*." \\- , aqrel cr pFnrru l > I eria 6re ceE8dts" €, nhuu I < I .re Jr,"r8tr4.I,J ""
", i;:.
['-."1)' - a .. p.trtru a < e I s'" es'e coi'sapirr si p
-l
'('* *)'.'.r':n
urnre; Il::r;' l1J,i1 f
I *. a;.'*g*ti, nstlcl ci, .tu .i fndinl
a.a*,r. . :t :'( -Ll' - ". o,pa cntenui €pdrrui, petruu d < I $'b ne cor-\" , tt
.r compahfiei, serio > d est6 di"ere@ti
I
.sL. dnerpetru. rezulrA € sdi. et di^rs.nli-
10. S:r se stabileasc5, cu ajutorul critarinlui Raabe'Dullamel, natura:urmntoa-
relot s.rii :
"r
8,"",4'@iJ,(:)',p.;,;". "'
o'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 100/344
P-rl*rltd.r€,m' a ruilihn J lun(lni /h):
-
, , F (0, dJ. iD pun ul r - 0. Pn apli
.area {or;tjbi lntf e lni l Hosdlar lcordltiile acestiio ,tinit evid€it hdeplinile), EyD
iim/1.):r,nl:-:(lT')t 'J -:(lTrrr ld rr y,)l-r-o:lr... J+0 t I
i I I lnrl+rr I -r* ll+rllrll+r)Frh(rr, r'ot--r-t:' '-01 ril --)r I J r-o r,tl + r)
2''eo 2,(1+ ) + r r-o 2ll + r) + {,y
< L Dect sdis cstc divcrgcntn.
. I_ I \c)
" (--s- -,)-
"(Jt-v';r -,)
- '(.-6;7ffi -,.|-
ln-Vx-t
, _-_-___-a_ _ on rrt_,c L
. -t.- - (\fi-{--t
' .';T"'t=leci, r,cIt'n.4 F I elis cste divctgc'td tlrerina < selja cat€ colvcrgeaid, Pcrlru a: I er ll5
nn a, + 0 ti doci srir esrr divcrSeola.
i t\'l'-#l('.*)'-'
'l-t "',
I I + ---: I .tl l- rrr - I'^
t1Colsid.,rDd runctir /(,J : :--:-_3--- , , e t0, oo), rczLra tin l(4 - :--:---:
'-0 ?
-rra "o 'f-:r--rl- jlj, nin u'mo,e, petrrru a< -2 sena e,1c div€rsdnt ii lntftt ,,.., t 2
.> -2 8.ri cate corvdgcrtA, P€ntrD a* -2 av€h inega.litatca
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 101/344
:-I
7, dr). a:rrcr ca o. .+ t * Dupr c,ircriur r rr co'prrrtiei, ddrco.
sria -: erlc di?e.gcnti, rezutd dr *ria &rri es& di?ergRti petrtro a - - 2.
",(*-')- .-'('.*J_,
I -, '''('.;) ,.,"r,.11 ._ _,.".-''[' +:l ( ./Pentru4>e '(-ha< l) scria €st€ diycrgcnral;i 0entrod<c I sc.iq sre co "ergenra. p.ntm
D.ci p"trr'. : e r $iN coircidc c krii .rmorici ii dlci 6t.
11, Fic srria altcrnatai > (,|)"'ra., a"> 0, Si fic (.r,) sir d{scrcsciltor conver-n_l
cent cetrc zuro, S:"r se aratc
cidacir inlocuim surna :cri.,r crr sumR prrtirltr
S.,facern o er'oare nrai rrricl de(it primul tcrmc nc€lijar d._,. U|r[rc.r csir.lxin lipsidacl r este p.rr gi prin adaos d;ci r. cstc irrpir.
A.tolnu/., I rcnni,. atttat ct lS - .S,l < ,,.1, undc .S cs{c itrni. sril.i, S = tir 5,, f i{tnd s.rm
d. leplul c4 iitul sun.lor pa4ialo do o.din p4., (-s..), cstc no ol fl cr.ici{or c rc S $i {irul ru-nelor lnrlial. dc ordh impar, (S5, ), cste ftonolm &$r.scd or cil(ro S, nrcgalilrrea rtc rnai su5 .er.ectrtval.trti cu S-Stu<ar,.l Si .s i+r - S < d1.*, I'entrn a dcn drlra r G{c i ,{ntili,fi voBfol*i incgalitat.. Sh <S < S,,r1, Yre N. Dca&cc S <.5;,rr q,\' r i.zMrr, routlh S-SL (< d. +1, APoi d itr.gelitar..skt, < S, dc@rccc ,\' ... : S3ar -,' qr, rezrfi4 Sri,1 - ,9 < ah+r,Accdsta j,tsaf'cl alihatii din c unt.
12. Si s. cilculeze surna scriei aro)oni(c altcrnitc ) (-tJ" ,- .Ciii ,:rmeniI
trcbuie lnsunlati peutru a obrinc suma scrici cu cilrci zfcilllalc oxa(tc ? l
Rc..t@/.. Pcr\. aco.stt serie altcrnatl ri.d (..1 qr .. : alr csre uu sir. <lcicrerclror e.otindc cdlrc ucro, l)u l c.ircdul lli Iribdz ez{lti ca $,i. a.trldrici nltelulrr qsto co[rdg.ntl.Dcoa.tce )^ - IiN S:, - lin SF,r, ..z li ci petr1.u dctehid..s sr 'ci .s r sr.iei slc da ajuri
sn cac Un' IlrirJ 9itului lshJ, A,.n'
,5h- l--t
---jJ1
l-l*...r.--L- |= r 1 L I I
'-L
'
...
'- 1
-L1 .. 1.
. zl t lr.. r_ll=_L r __L r...F__ _.24 t2 I 2^t ztt a/'2 'r'_ [ t r_Lr... r__L\'l',' ,1.i ,'al\ ' " "l
Sc ob*.'i ci scricren hri Sr sub ift( tonn-r ante ai S,. rcprcd[ti suma nrrcg€U. funotio
1p1- -L , r -(0, rl, cor.spuqzer@r€ rriviziunii o41a 3 q."4o:
. '.,*-u-l+r)
tdi fo, rl ri punotclor n,rc.trr iar. q. - -:-. -," - ?, -. - a-, : -11. p.io ..n,a.u,
n" s,, - [r -L .1, - r', ri r. - r.l.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 102/344
Tiaidd Gha de r:.r.iti ) Prad"trl. dedc'e js, - Sl - t4r, F/r'li: ca :S, - S <
-r'--l < 0.00001. obtisrd . > tq99o- Deo, rreblie s lo$D;d 99 ooa r€"'iP'r dr
arnonica alt€rDat4 ?ertt a o4rne suta ei cu cinci z€'inale eMctc'
13. Sd se stabilcasc; natua seriilor altemate:
a) l( I)"'rq- '| b) l(-l)"r r0"'" + t0"'9-i +r0'^" , d> 0
n*'-,. 4 t,- ariia : >irul 'ul.mr'ul Euerar
":l- l:l si' descreslrror $ rildc
rcro, lDr,.adev4t,
o,., _ rn+2)s'. ,.r _( c+2r 14'<t,,. {'r lf'r (n.F l)trr i't+2'+ l,
t, + I,rt I-rz" a.a:::--__: _. _- _: ll + -:l r0,
" "t
r,t.,)" -"{ ",,r<"" ri lim a, = o. DdPtr critdid lui l-obdz rc.nllr cn seria csre co'vcr8o[
ror-r + ror-t + . . - + l0 + I 10'- I ob)sc ob*ivJ c5 4,8o.--" -r.lo;--;' .""' -
* 0, Dcci dotdil'd trccesa'l ac oroiop a trD.i *D Du $L tldeluritd $ seria 6siG
14. Care este Dahrn scrici X a., dacn seria | c, I satisface conditia den-t n-l
din crite ul m]oitului sau din criteriul lIddcinii ?
arroltdrr. Dnc{ lenlr scria > ld,l csto indcPlilitn coldili8 dc divcrg 'f1 di' crlierill nPor'n-1
aiunci. I > l, Vr > n. L&hd la o Panc P :nii to temcni ai $rlul, r'zdtl cr
'i' l ldrcsto norJiJri $crcrtor $i d.ci lio ldJ * 0. ic@ta imptictr ralul ci tt'n .' + 0 ti d€'i
> a, este div.rgo1lr,
o-l i/ioJ > l, at$ci l4,l > I $1 ileci liE loJ * 0' asdcl ct tin 4. + 0' Aceasta arat' ca ;eria
dive'g;td.
15. Si se siudirzr convergenta absoluli 9i semiconvcrgenla serii)or:
s\2'nnr.r€.1.a) ) (_r).-1 +. , e n; b) ) (-tf 'r -:l-'L" 'rr' 'H'
^rh{'+r)
t\.) ) / -t).,r ------:-. a e R: d) t
4{'- D (d-'l-1),deR\N.'' /J' "' ..
- ' /-J 'ln-,
\._\ 2'dnD,
naolu'.. a) seria vsro,,ror rbsror€ *. L-;;T- PcDtru stldi€u druriiat'ltGt
votu &ilosi .riteriDl rsporhtli r '
.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 103/344
Penlrr 2 sin'x < l, coszr > 0, ki - I < r < &t + I acenste $rie esle codvetgert6 9i pentt
I
u=-r-,-*, 1"',r" 'r. dir'8enr;L P 'rru' u''l-*'u' "'*:');-'r
rrm {r' 1 dcbr " e r'r( 8"nLl-
_"**.4n."t..U"
- I:<n <hn+I estcabsolutcon'ergctrilt'lcntruli I-I<a<lr+
+ia este aic-genti (itr bnz' exeoitiului recc't{nt) : rcntnr '-.0"* t
*,i^S r-r,". -l "a,. er. ion dEdn d d l'1 '"r-i" lui t iLr'7 d' s"'ir ' r^
/ ' fl+L';:'i
ve;scnlt.
b) Seie valodor aLrsolute este d;dcertd demec # > 1 Do *rria datr cste o *ricrr,(,' + ll i
alter@t5 ti, iluPl,criternn 1ui I"cibniz' aceasta este con:rc'gcRtr' Prnr ntrae'.$ri' este *'nrd-
vdg"nle.
-t tonu""nt nccs$' {ric cu scri' trmc
.l si (onsil"l;T f,"" rrld' o'" e )/_J | ,,,;,1"
seria valo;lor art"o't'itle e,te coto"'g"nta p"trtn o > t ri (ri/crsdni lcrl'n ' < I
Sn considerem acDm s€da data Pen u a > 1"0rsla
3dc rl'solul 'otrtcrg'ntiPentrtr
a<Ose.iaestedivergenl',deoarccehnt'*orott''0<a<lallic''t)i'rilLlnnlui'\bel:
s.. ,," ' . i^ I . r"-:. \- -r'. -1_ ".,.. , .,r'ai'ti rd
) '-'t --- -7 / , ,t- c LL4-, n"i ia' I' -i-l
rIzi cr'Ltcrultri lui Le'Loiz'iirtirul f-:l "st"*"'t'" crcscitd ii rlirsirLit (cste con7c'8ent
\v" I
la 1)- Dupl, c.ilo.iul 1li ALel rezrlta c'' lentru 0 <a < I scri' cstri cd /crssni'_ 'i*'.,1*..",
"*"'d > 1 seri' estc absolut con"crsetru' Pentr( o <a < I seiia cste seni
convergcntA, ia. pentru d < O serq este.diTcrgcrd
,1) Pealru st;diul tratlrii seriei valorilor nlsolLrte Jorosn; 'ritcriul ltrrl'e'Dnlnorel Azor
,.-,1-.'I1,L-- rl r"" ' I--:l-a-:-: ) ' r'"'j'"t t. ,t , ; I r'''r
'es{elctPontr a>Oseria.stecotrtergent''?enllu':Oseriaeslccon'e'gctrli'inipenlrua<0..ria este divergenti-_t-O,,.-
"t*ci, Pedtu ' > 0 sc'la initialt oste alsoldt con'ergentt PedtN a < 0 put6o
Vr e N, asllcl cL dve'n o soiie aitcrnalr' Deodtce - r*1.:1#' '^tta 'r pot'r
.<- loirul (0r) cs{c c.cscelor li doci lim 0i#0 A@Nto h&li c[ lcntN a<- I avoo
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 104/344
lim o, /O {i drci si. esae djvprg"nri ln tuesr ft/. Peartu -1a, ag *o116 -4JL a 1*onb.
,,+i < ,, Y, e l{, cm e urte ce (DJ este descrescrtor, Si arittm ce ta tr - 0. P@to acasta
rie sin' t,rl Nrrer 1o"11 6,: J{-5----15 . .Lrn ,.-, -r\l ,+ +"
' , dltr: .4
' ,_ |u,: rt, - tr - l)t.-t lnl@Dind aici pe 6, ri ,,-1, obfiae@
I alll '1...fu- a- lt ' . { arl-dr.,.rr-s-21,,=""|
Pe ile al€ pdtc, ib6.ee {rr) aste deseresitor ti mdrgjnit inierid, er ste @reigdt Aceasta jh-plicd trptul tI $iful (/,) cste hdgent ctlre acea9i rihit4 ca p,J- FG ,:lim,,: lim,,. Dram g{$t.a r,: -a 6,-r, c€ ce implici i: -a.1, de uade t:0. Deci rnn r.:0. PnD uF
mare, reltn - t <a<0 Fiftil (r") este descre$ato ti converg€nt .abe do, asdel ci dulacrite;ul lni Ifibriz sia este coFe.gen€.
Rezdti ci rHltru o> 0 s.ia consid€ntl este absolut coDve.aenti; Fnttu -l <.<0 snaeste semicon.rrscrta ri pdrtu a < - I serir cste dirorgentn,
\-' 'j',"6. si sc srabitcas.j natu,; .cri"i l,----,Retalnd.. Aaem o si€ .' temcni oare.arc. Putem srie a, : itr,, ulde r, : s r .ir r Si
"-:-. s. ob*r,n ci n,*0 s,,, e..d"rr-'r,or. Apoi . lcc(r -n'l-cc/fr),\)12,
ac,lp r s, - "r t'e F...+ u, -: l(os0-,osr'.os2. 6o+... I c6('.'1 -d('-"t-2
- - Ir - cG(, J ,?)l < r. Dor6 .,ne, l rli Di,n I rpr, s"ria Bre cotrvd8ou.2
17. Sn sc antc cn : a) suma dintrc o se e convergente 5i una di -ergenti esteo serie diyergenti ; b) existl serii dirergente a c:ircr surni este o sede convergenti.
R.'atM/.. a) Fe > a, o s.ie con?€rs€rri ri > b, o serie di'erse.€. Dad sia t ta" + i,)
ar fi conve.gefte, atunci illse.nta dintre a.eastt sene ri scria > aa conTcrg.trti ar trebri sd l;
'on/ei3a' i. Dar dLlrrnlr d" .e,'r t 6,.i, ". a e r- di," I Lri. Dei rn. > la, r D"i Fste
'.5b) Ii. sdini
>{-l)'ri
>{-li{, mLe .1nt, e,ident, di,erg€nie. sDm 1or €sre o *ne ccD-
v^r3"' r l, leel@ are loli lcm.nri ' aJ.' , r ,, ro.
18. si se erFctueze p,odusul s,ai,tor "r.r,' .""*-s-"r.f ];if r r,"-l
si s.- sc de.l,r:'r cle aici srma .,,,"i \\ , ' '
t|,.otrdt.. scnn
"
onrorcr,soll"lprrn',n,r,r. {, ,o{^,d. cr .* | 1.5'*r "'./-J "l
D.lor I'8rlialc pertru a.casl6 snF c . l+-: l- -: J..,1-:-. {c:criliul 19, p. 5l si11 2t ,l
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 105/344
d.ci.mbcl€ serii slot abrolua con@Acatq At.rci eria prodN >16: 6tc .bolut co t.rg. tll.
dupi tcorcna hi Catrchy ni C -1.r. Dd
t". orh" I aih"-' +---+."0. -. -----:L + -]----:l- F ' l-,,.+ +otit tt(,- ttt 2tl*- 2)t (r - l) ll
r '-: -r [r - 1+ il--.jJ--i. -.+(- r)' jil- -L(r-rF=0.r'0: rl I 1l 2t tul I
"lsstfcl ci suni s€.iei >r, oslc C-0. Cro ,-c. dir rclatia,B-0 rozulti cl eu
..i"i f q-1" i"*" n:0.
/-J ,l
19, Sc poetc ca produsul a doui serii diverge.rte si fie o serie absolut convel-genti ? Si s9 efectueze prcdusul seriilor
, D {;I,, *E (i)'-'i,"*,_ ).
Rrr,,rirrr, Rtsptrnrul este efirdlti'r. cun s. v veda di erenphl iadicat. Ambele . ii lhl
- {+)"" (," -' +l - (;)-' (,-. +.) - (il-'{'". -',,,-,
)-.
-(+)-rp . +) -l
- (+l : (+f' l-, * 2'.,"...1 z*1 + z; - (*+ + +...+ *) + +l - (+l .i
lFde c. \ 'n
i, =i (i)'*" --**""(*e..*"','* * *ri. -r).
Probleme propuse spre tezolvare
20, Sl se arate ctr urmatoarele s€rii sint convergente $i si se stabileasctr
.ltt
't r.l ' z.s
61 --1- aJ- p...+ |
' r.J.5 J.5.7 12" - l)(2' + l)(2' + Jl+...1
"-(+l-- "a,:(if"(2"+--f +oo D'r ',-ao'i+d,',- + +',0.-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 106/344
o\-H
21.
")
{E
I
.-d=R\z-: "llr"{r-i}:
, n--r - . ", S. " . ,,, $ ,'*.' , .r \- - . k" I t -' /J 2'r' i 3r'r ',LJ Ito,
22. Utilizlnd critcriul de condensare al lui Cruchy, si sc studicze convergenla
.";"1 - -L a . x.lJ nl\ l'
23. Sf, sc aratc ci dacir logaritmul cstc luat lntr-o bazii mai alc cd doi, atunci
seria\1---------.-=l-------:--::-,undcl8{')1,--l8lg lg,, cstc ilh crtcntit pentru/ / flltu,llhor,tr...(h(,),1
orice f I N. Aici t e N estc ales astfcl lncit lg(')t > 0.
24. Utilizlnd criteriilc do comparalic, sit sc sLlbileasiir natura seriilor cu termelripozitivi:
'r.r'\'',tu \----:-.&.\\J tlJ ln1 + A r'\ /-J 2n - t r\LJ-t:l ri .,'-l
q-,A,t#
Si se amte ci urrtiitoarele scdi
-l-'-=-f: I ... +: :+... ; b) z+j+... +Jr-r nl \. ,l2"tt-' 2^-t 2
..t\il'+t-V2n-l' +t rrt'r- r-
sint iLvergente:
,a>0;*l-"...*-L.- --+----:ffD
=t- o,'SE+ "o',$i "r"[r+i];
I€ tXn z'si"|' o" " =.''S;';1 6 3 a 5 n
25. Si se determjDe patametrii d, , e R, ast{el incXt seria cu termen l gcneral
',: it;F-.-;A-v-;l 11 VF+ I la+3,siirieconr.crsonti..
26. Sl se stabilcasci natsra urmirtoarclor serii, folosind criieriul
: r,t \\-===J-l1i-;.r \\ l-;' lt 1[a, + s,' + r1*' ZJ ln ,n'
rid:cinii:
") E(i*++#i107
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 107/344
',f ffi ',D#.,,o' h)E,"ir +1J'., > o
27. Urilizirrd c-ircriul raportutui, si se studieze oalura ur{);toarelor
,, \- l, L,r \^ ("')"; c) \^ r'i. .( ' rr . lt i,,o'. o > o:' /_r " /J t'.4): /2 2 .5 . . .(3n - tt-l
-\ \-\ 2 7...12 + 5r, - r)1
"/ 2r IL P+5("- 1n
c)\\il1.,>0. 61 | ---------l' . 6;' s.'1:J.1.+t]...1.+n-t)
e) \\ (2jr+l)[ "k 1]...k-'+r) F.Z-J | (d + I)i4 + 2).. .(4 r ') I
S-\ alarll aa+z-lr I\
-,_-d>>tJ.
/J
a > 6:
hr I[" ' ('rr'-4lc. a>o.b>o./'0.d /_J I61"j ')...tb+*-/) l'
i) ) __-r
-.
r> o,-d"> o;i a"*a;LJ l 1 t I:\
-l )...{nrl 4")
i,ilr: ''-ril'.dcR.LJI t1 i ) |
29, S:r se cerceteze natffa urrritoarelor serii cr te.med pozitivi:
:bt\\ Lr
a =p..7 i1| I]]/-J nl
s € R\ {a} :
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 108/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 109/344
d)
34. Se poate ca pro(tusd a doui serii saniconvergente str lie o seric divqrgcn
Dat ca produsul e doul serii scriiconvlrgente s{ fic o serie coDvergcntl ? gq
calculeze fitratut seriilor,
",;r 1- 1y' 'r l= ; r'1 t
HciL sc5. Si sc dcmonstlczc c:L scria y a
. L) q1
r"a
i- cste ahsolut con|clgcntii Pcnltur
r € 1t. Dac, S(r) este surna acestci serii, ;iL se stabileascir relafia S(r { 1') :,1.S(r),vrv,fcR.
36, Sit sc dclro stleze cgalit|tea
, Si se dcmonstreze urfiritoalclc
a)
(D'"r'-#.(n+t)a',)el<t.
egalitlfi :
l\- al'==l a; r,rl1,J D)l Z-J fll
38. Sii se lidicc la pltrot seliil. unnlioare,
slnt convelgente $i s[ se calculcze suma lor I
apoi sir se aretc cir
39. Sd se demonstrcze ci urmitoarelc serii si t converg.nte 5i sir s€
. i rr-.#-r., o i ;#-,, u Dtt6+tr-o,hlri'i;
ri-r n-r
\- +)l\^ {-r)"-l_)-- qz-./t).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 110/344
7. r,r*tr"gI coNTINUITATE FENTnU FUNcru
?.1. Linite Pcntru func{ii
IFl:rCR' .Rri'i:\unPUn l'aunuu''D_{uu rllrfr"a { \unlr"lrm 14init ex
inlidnr c"l" l;rra run 'r 'a fur"ul r.ll':o'nri'ri"vri"'rl'/alui/'xrsr:ove'itr't:leuii-,")'.a1.
'r,;,",
',, "'rIFI 'ni .'t'"a'r'r "rat t x)-" se.o'r€zd
)-, i*fi"r. p. n p"*.' *icc rn de funct. (x,1, 'i e .' , x, + r0, x' - \' a"im rim/(t") : r' atuncr
'(rii.ritrl C;'r.[y-Bolrl.o coldrl:a n"'sd'l ri sur'1' rd I I'L lL / d'(in rr P-'- I *:tli
r,, il, r.nrrr tn pun. rut i..n.",p.n"u.-i ". .. I&{,'-evha, ''+\,,'tr .
s,a{'n /(x'J -J6") '-e
tiir*l'i ui" r.'-Unr.-qLi. Fi' /: r C^
- ,,. ii lL' '. nn tunct de acumlrarc Felt'u alr
tr.*_ZoJl'iiill" Cc noi;us ale tinit.i slat ccli'rlcite cu lrnit€'cl':
Dac te ii J sint tinit., atunci t - lif, l(t) dac' 9i lurai dacs
I
D4cI ro este iinit ii I : +e, atnnci36E.al
r-," 48" t"' t <t ' (ll
lin l(j) - +ao dacl 9i numai .Iac.i
Ye>a, 18,>a l,-'d <3'+l(r) >E
Vs>r, lN,>g1a <,-'.<8.+1./(') lrdl< B'
l2l
Daci *'- € li r.stc iirit,.tur.i lidl(r) -1, daci 9i lnmi da"
vE>0 l;a>t '>8'+ l(')-tl<'' (3)
D_
'n'fii
similr'" pot I tdrnlLr' t't ru rcl_Jr^ r/ "r'D^ce tkt-L)<:(t)' Y,€ l, 9r di' ' ] F g(') -6' a$ici li'n /(t) -' Dtcd /(') >'(xJ
,, l-n t/r, . .o a-Ld.i|d'r)- rco. Dr'r/i r <A L'nlinl' )--@ rrrn r lid- f'11 '-6
dLcrll(,) <vtr,r3',) a dturL'a/r't(r)
_0
criteri"t caaclr-rrti'ii * *""}r, ea g11islff" "t11 ei siiiciert' 6 fuefi' I s'-ailt-li-s:lj
l eflr,1a-:"'i:,-qt -, . ,\v. - 0,..+".r i.r.: i. 1 1,.'1.:..- -"
,- 1.,..-
-l: .: 9:: r (,\ -'r'") <'/
_
rar
Nuhrrul /a ,/'" ra, . in/{v)e'.16i a14drstbzrun(li'i fr puu(Lulr0{toriirtlda(r
{5i
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 111/344
NnDernl',
: /(,. - 0l : rin /(,) a*c rifira ra sthga a ftlctiei / 1 u'.rur ,. daca
vE>0,3t > 0 | 0 < '. - ' < 3g - lt{4 - ,. t < e. (61
Lihita furclici / in rr disid dac;r ri rumi ilac-I dLtt limitilG lat'cral. (la stllgr ti la dreapi.)
In apliotii snrt iolosit. d.s arEater.lc limit.:
) Funclil dc nai rull. $rlabile li./:,iCR' - Rgi Ii. ro: (r., ,o) ur purct de acunularopentru nulfine..r. iaa"ertov.r: tn /(,, r) dacirirnoridaca
(?j )-(3- rJ:'
\vl_> 0, 6r > 0
| l, -r. | < E
--:iI
JL-J.L<E. + l/{r.
J) -i< c-../ 11)
Pcnlrd Jur.lja de doud vdriabile /ia J,) se por considcrd hnir.t. itcrare :
hn lim /(r, /), cne, Jrcl cxjstl, nu snrt tohlc.nD cgclc. D.cr existi
- lnn /(r,r) ri dacd cxisli linitele lim /(, /) ti lim /(r r), ah rci existA lihitel€ itehto $ slnt
€ga.to cu lilnih glolau i, Dac{ limitcle itehte rD slnt .gal., )inita, $ob4l , nu extun. Se poste ln-tl,n l& ca lihlt.lc ito.atc at tic.galc, ldr6 € limita 910 61{ sI .}isle. R.zultatcl. do Dai sus pot llcnDrlote Bimilar pcrau funcltr do t vlrirbilc.
a)
1,
relaii. (l) ste satisticlri.
. l,) va t'r€bDt sE ar6tiD .t
Iiolosiltl definilia
Iirn (r, - 3x + 3)
7. .I. Prcbl€me razolvete
Iimitei trl.Ici functii irtr-rn punct, sii sc demonstreze cii i
: I ; b) tim (' t- l)' : I . .1 1;n____L: .;06.r--6 r: i I r-l (r - Lrl
-2
v:>o, 16.>oJ'< s.>iJI4-tl< e. Dcmrec.,< 8E,
.taioluaft. n) Folosh delntilia sub tonn. @hiale.t{ (0. FiiDd .tat e i 0, vi rrebui sn deleFminthrDSr > 0astjellDcltlr - 2J< 6lsiioplicel" - 3, + 3 - I l<.. Pnrcns..ic,s - J, +a2=.4 t-2 : D{r-21t, a(llcr cir prin i.leulilnr;F diruom.4 - I:i /r: L nrin Lrmare,
, tr - 3' + 2):l (' - 2) + (, - 2F t.< i' - 2l+ l, - 2, < S. + N:.
D.qre.c .ixtlm uD 8E > 0, ut.m qt-l .iltinr stLl c^ 0 < 8. < l, dcci 8: < 8.. Cn ac.astn se
obtine ,'-3,+2 <t,-t6:<)1., astl.I (.. d;cn trpDnch c.28.<E, adicrr o<Nr<-1,
lr' I rr.
'l 'ziL-4'i --:-./,| ,,. r | ..+r r, ;,t 6.
alliul crr Llu.1 ' ,t1'ncnr .q -: < e, diLr a. / -- , d ,(iqilb cde vcrifiara.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 112/344
c) Folotn ilclinit a liri.i ;ur, J()'@ (?). P.atni > o lgftce, trcbde si d.terminl@ u'3r > astlel 6 l,-11<Ar 3d'iEplie l(, > e' litrnde'4r, r.lati. l'-l <8. inPlict
:tll-
- L, uelcminim 0 < l. < -; r'rlel "a d.linilh erl.( 1t': 6: - ;"
2. 'olo.irrd d,finilii, si se arate ci limilele urmitoare nu existi:
a) t;rn1sin1; b) lim{l -cost)e'; c1 rn.'=.
R.tolldlc. Esl.e conre8bil sa lolosi; defiritia cu sifrii echivaldtt. Dcoarece linita unei
iunclii lntr-ln punct, dac6 cxiste, 6te ltici, pdt.tr a tu2or-,a @cifiul ene sdicieDt sA Pnnem ln
elidenti Ffiiri cu ,, - 'o €,t. erc,f(r,) .rc limitc il .ntc..2
a' crr'i.l('i',L t-:-:--o, oblin.m /l'1)-0 '0. D.cn alese,n r.': 0'- '' r'+l)rol lriHn /(.,. * (,'s + lt: - @. A.aia Mli ci limitt co$idcrai: ntr ciista
b) AtcsenLnrai
nltli,; :2a-
-co.
Reultdl(, -0
-0, AP&
P.ntru,;: (2,
+l)t
-.6
ol,tircm /(,;) * 2c('+ti - @ ri dei limita nu .'i<ir.
(l (\, rraslrca ;": "'i ' - l dcducem /{,:)-e'rt-oo, i'r N ,;i: j:----: + lrezrrta
/(,;) : c '' + 0, cch de suir.{ lidit nu € std.
3. IrolosiDcl critcriul Cauchy-Bolzano, si se cer€eteze existenla limitelo :
-. 1
r) lrm .{" srn-, r e .v : b) llm srgn r,
-4,roidrr. r) Trclui. s6y(dcm
dac4 rctaiia(r) qtc
verificat{.Fii')d dat
. >0, s, al.tqminlh
8 > 0 ltr n$ I0l iDclt lrrl < ,t ti l,.l < 8. sa implice l/(tJ -,f(,J I < €. A"etn
'r,',, - t., - l,l ""-L -';"'11 * ;-, rl,-1 I + r', rl"" -1-l u r,'t',r<2s1.11 | I *'l | ,1
**^*l*+]-
I Dac{ idpuncn @ 2. <e, obtiDcm o<a"<{/"7 g .rali. ( ) esto
vefilicaii, Plir u. E e, lirtih cxirti .
b) Alcsind'1
: f< 3 5i -'": -1, l&l< 8, rzult, l ('r)-16 )i:)si|'\-lisn,,l-2,
lapt ce rratr, crl rc]a1ia (t) u p@tc li veiricat' Prin .marc, lioita u .xhtl.4. S:r se cnlculeze limitele laterdle in r : 0 pentru furcliile
r) /rr,. " .l,t /lr)- |: cl lt') '-El-l'
I ,'.t
n*aha/.. a) t.: hn /(,): lin -siu : -1 ri rd: rimj:l-
L
I Lr-r It:t 1
r,1 r,: r''',[r a u',f : r, r,- li-[r1.'f -0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 113/344
c) Avcm/- t<E(rt<t, -d"r"r4-r""{:)<3- ri" -.i rtr i t < 0. lndrrfind
inFsirirrr.a arr.rimrr p,i, jcr. *'uri3-'- >Lxl|l> 1. rrrctaa ra rimm. r-zrrfll j J l ., [rJ 3
|lil'(i)-: E€i,,-3'Fic acud , >.. P @arrr.r sidra., obFr.d z-L<LEI \<2. penrru
'>0,.srl.l J 3 lr, .]
*r-- r,-ar13)-3.' '-.3 [,J 3
5, St se celculczc liEit.lc :fx1 1i",r114. , € Ni b) lirllj1. r c N'.tc) lim rlsin-L'(-- f l dl'-,'' ''"'o' .n.t.t&r., .) st t.ataE rai tutii ci pcrtru r > t a,cd ln t < t, S, P;c$Puncd cj
u<i<n+l,relf. .lu&i.'<.'. lntc>2 $ dcci c'> il+ l)' = 1+ c;+cl+.."r...| 1> l+Cl= l+r. Pltn ulmc, e'>..>l+6>1, .dica e'>r, Vr> l. D€oi
,>h*, Yr> L
Prosuprtail , > l,.v.d
astf.l cI dcorrcco lin ,
" -,-"lFl '.,-(- -T'-
--l-,'.v,> 1.
I z" t (2n)r'
Dc6rr.c. lt6 rr - +6, lir ilctrlitete dc nl"t"o"
*o111 1i. 9 - +o.
c) D..:dc. ltn ' - . s l"i" ll < r, ."ot,. 1,. 16o- : o.
r-o I ,l6. St se calculczc Iirritele i
-t11 611:J9fr; b) ri1a fl=:li. c) tim -r::-::, d>0.' rr. r si r '-.tc62r,
l-..Pr l-costR.z.lad/., a) lid:=-:::-: - Iim -:-----i::i- liD (l I cot, + ccr,) -' Fo rlidr r-o tsnt r-o
2.irt:
- r ri- -.j-- --,-1 - 1.t'ositrr a.r'ri'ltl
g:
T
0<
- t, rczulf4 ca tiEj::j: - 0.
" t:l (**)+ - ::.[[,, =#)--+*-]* "' -- -
- cF.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 114/344
e..tirn-+..:zrttmr"'- ,r[r + z[ + (r +z]'- r
.,''('.+) _ ,
Sir se deternlin€ Inullilnile dc dclinitie Pcnttu urlnltoerele furctii :
l(t. )): Jt - x -1,.. 1\IA,r):77v:_ni
't) flt" g -JT--. + JT=F; d)/(r,t,r):arcsint+arcsiny+arcsin?JcJ J$', xt,.,.,t')
"r['+a] 0.'* *}'- '
'r;(r+f
dr
tl t\^)t ,t, , t ,,")n.tottott q ran. nccesar ce -rt-r: 0 ti il@i
"+t''< I It Pl' ' acc'$r ineg'litate
repiiezintd int.do n c4crlui cu c.ttttrl ir o.igii., dc rsza lrit t, ti lulctclc cclcnlui
l) Coldili4 1-tt - 11 > O i^Pli'.a. ,t + /t < '1. Acast Flr'zirtt DDllince Dutci'lor ittc
rionr. c.rcului o c.ltrnt ln origit. sr d. ratl 2.
c) Multilncd dc d.lirifi..sl. Pttratul L-1, llxt-1, ll.d) Ivlulfimea d. <l.liiiti..si. cnbtl l-1, Ilxt-1, llxt-1, ll.ei Moltin.a (1. ditinili. cstc lorh.ll dit Plnct.lc t - (, , rt, , ,
'r)e n' satisEclnd coditia
,7+"2+.,.+,i< l. i.ltru t:2,.cesti mlllinla r.Prc'i tjrtdic'll
d Pu'ct'l' 'rc{hici' ce'irtr rr oLidine, <lc '.2t dtatc P.nttu , - 3, ac.ana rcPr"i't4 ittcriotul ti P nct l' sl'rci
.n c.rtrul in origi . ti dc sza, ntitaic.
8. folosind definilia, s[ se dcmonstteze ci :
r) lim (r3+xr):{; L) lim lZ-:- :3: c) tt,". -{iJl-O'
tr.rr r,.t3' rr'rl'(jLol l+ I ir'irr_l") r r'll
.riloiraro, a) Trcbni. sI .rtltm cI Porn .ri@ €>' tltd dctclnid 8e >-6''stIcl,
cA
rr I <|- s, v-31<6- sr inptkc l-l(r,r)-,1<. sc*n'lP,J) -1="- )'-'t-
-rr.- rtity 'rr-t' l)'+(. t)|,- J),asrlclcdl/(r. t) - l <51'- rt+ r:' j
+''- t,i+t, I lj - jl<Jlr+8.+8: I a:. D..: * .irtt 6<8r< I, ll r'i ';<drrid.ri ,r', lt-{l<8N. Dr.t tmPDt.m e ta. < €' a'icl 0 < l. < : d'fiEnia
'sr' "riti6tr'b) Fiied dat . > sr6ar., ttcbni.3A, &r.niti ur
'.>'.$ttc1 hcil l'- 3 <5' 9i
r >3:r.r imprrc | "- t-.1.. ^"* lr+r I
1," r _,1-1,_ r_Il,llss.,_3, ,1, -rl+ . .s"..L+1.)y-r I I vl ll |till l, 1-rl t t
' <3E+5:+".<5's, cue <1.<l
Ddi dacn imoutrcm 03, < .. adici O < E. < :. dcnnilia 6ic "-i56ll'6
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 115/344
c) s. scric,l+ r.- (il+ Ly|):-_2lrllrl strcl ci, p.esupn(tnd l,l < | ,, I/ < 8, , s. obtirc
' rrr')1-.. r-t,t 2l'1,' stLl+l,t<?6i;t l,ll.Jrl ' '' lr Ji
rlm{ $ lnDll$o'cr 2,i. < e, rczulti cn exhtt Dd . u < Na < a, ,'tt"l"i lrl <A: si l/l<,1.
ll lnlllm l/(,, /)l < E, ..'a ce r€r.-. ci derin+ia *te acdl;r(i.
0. Sii sc arate, lolosind definilia, ci urmitoarele lunctii nu.au limiia in ori-
Clnc I
2,ra) f(x. y) - "-' .. (r. Jr - (u. n) i Lr lty. \) -' , r'j 2.r + 0.r,+ j.,
, rl.,,ri"r., a) vom Iolosi dcfnrtia c; siNi, Dutrttrt in c)Ucnti sirtr.i dc tutrcrc, co ydscniec ,t.6 (0, 0), sitMtc p. drcprc oir.r:a.c prnl d.isin€. li(:u1ria xnci $ll.l (tc d.cpr; cstc = ',r. DacAIL rciir a. .dinitc limita iu orisiac, ar l.c mi L.
rLn J\r. J r, , :' i{-,-rl_ ,
(:tu)r(0 0) Fo ,'i.t- J.,rr t+'r
.
Accst tuPt arn$ i'Lqr ca f,,trctir tr, r,ulunllJ. r,cdtr' cn dnl)il rr arcaliDralt. acclsl. nu n. t.cbtri sldopidlrJ \rul rortril {in .a?'rl l^ Ia I 4
'J L'^ r .r '' fi| 'c,l 'r, u"'r,l'cprEr rolo.ire.
b) Ptoccdnr:L ca lt ex...iiiul antcrior, gdsirq cll d&i liNiri ar (:xisra, aLuNi
.un J(r. )) - ri,n '"i'- ," * -'.r, ,)r(0,0) r-n httxt - 2n
Dc ati nu ftrr.D trrs. . otrclu/i'cl li ,irr ori,tJ. d6orLecc ddci, INen ca (:, ,) + (0, O) pe parabolo
co t.cc pfltr Jnj'nJ. r:= pi pe n \{2}, &2 nlr c,r
?-2
l rn -j:-----: --n hi_ 2r f_ 2
Ptin utnare, lcnhu si.rri dilcrite obfitroN linitc dilo.ito ii dcDiiunctid nu a.clnniti in orieinc.
10. SA se cerceteze lirnltele iterate ii lirnita globala in origine pentru urme.toarele functii:
^tJ(:{,lt: ' '' - ' ,x Jl0;b) /(x, 1) \srn-:, y/0;
t+ y I
c) f(\'. J) - {.r Iy)sin 5in ,.\r0,}f 0.rt
n*,fua". rj Lin'ir.l. ir.rat. s 1l
linI'ri-/(t,y). Ir '-l--: Ll'nr rm,.,))-lim ''' - t,I
ti, dcoa.e. &dtea silt direrite, trascm co(.luzia c, limirn globala n ciista. ldt.-ade7ir, a-rco
til /{,, /}: Lim ' - *z + " + m2'1 1- a 'r+tuZ l+)
co€ e rr t{ c lldit Alobrli bu erisrA.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 116/344
b) ln acest caz lin tinl(r, r) aO, iar lnn lin/(,, r,) ru ltGtE; dcmrccc lin ,in j m. yeo f-0 ,40
aditt Totugi linita globrla erbt, ti cstd .gaU cn zoro. ve.ificAm ac.asra cu ajuto.d d.fi ili.i,o.q-et lsir -: I < l. rczul,; 't D-nrrr r'< De. 'vl<Ac a.e nI'l
''.r. ),, -o -., l.'1 .'. -'5..'vlLulld N3 < c. deiin rir -r. /. 't.. c.
c) Limitele ilerate nu €xisti, d€oarece lnn sinj tr I'n sin -L nu c:isti. lLmita gLot at: erisri,4o' llo I
s' csr4 Fsau cu zcro. cd sd ved-D , -.. -*,.,. - I,r, l..,rl*,,,a."'I r .)l
11.
a)
pentru funcliile :
I
: c) l\r):-
R4ahat. r) rim 'Y : tim(r, u)-(0, o) i,, _J _ 1 ,-o ,J,, + I _ 1 ,-o
tt) 1iF sirr r:v- I n sin ,t lim , : 2,
. ,. -,0,:r '.r, (r, a/ 10.:;
c) Pedr,u . > o ii], > 0. a?e n 0 <''' : --: . ---ll q 1 e -Z- $, a€dJla"F/:
tr-i' rz '}, Ic frin {r ;11--o *,r', r,, ' v
-0.',,ur-,".orl(
y/ -,,.a, --.-r , .i, .
?.1.2. Problenre propuse spre rezol\are
12, Folosind definilia limitei rnci functii intr,un pnnct, si se demonstrezc c.A:
a) lin (,3 - x + lj:- | : bj lim r--0: t) l:'ni-:l--co.'r-al r' r-tt,-lf13. Folosind definilia, si se arate ci nu existii timitcte :
a) limsin -: b' linsiny: c) lim(t -rsi.l y)lnr; d) tim'cosj.
14. Folo.ind crir-riul CruchvB,lzrno. si sp c:rcerez- cxiste'rfa limitelor:t -.a) llm cos -
j b) llm-,1 f,-t r+ r
15, Si. se calculeze limitele laterale ln r : 0
lu" 'l4la): -1 *) u) l(') :,.
I tl
l.l--*t+2
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 117/344
16. Si se calculeze limitele
a) timl-L-d; b) ti* Jrl-"": .i*z , 4 ri,n :i4- iEI';:s
"' ,. ,B'; "ii''r
d) rim (r F.y )",c',; c) rim (r I rs,.,/-"f n ri-["r'i; *.x4\ ' t
17, Sir se determirc a,9,
t,"i € R astfel ca
5m t/r.vr= zaliT o.FF3 - (.('r, + pr + d -+.18. Si se calculezc :
sin, + sin 2r -f ...+ sir ,t -. -. sinr r .L sn1t 2r -l -...1- *in. rr; b) t"'_T -------;- ;) lim
J linr -4j-i '"J
"'ll
---;-' u) ,lT , 'r _.: , _ a
X,'',; -+,a> 0: s) rim-:li; rr) rim an :-ri-:l;'l ln(ii)"t
' ; '-i '-r
-_L) li,n(ln.rr" 3'r' d; [) lim"- "-.4-0: l) linr -- i: a>o.
19. S; ." d.rermine nrrltimea,le dcfini ie F.niru Iun.1irl.:
[ '" (.'. v) ,, {0. o)a)
ht. tt lt"-r'r' '
:blJ(,.
r) -ln(r -ir'1-J?)'
I o (.,. y) (0. o)
c) f(:t, l:x larccosy; d\f(:t.J\:J7-4+J{t":e) 1p,, y.,): J;1Jy 1J;: t) I k.:,,):J1=7 7:V20. Iolosind dcfiniliu, s) se d.nronstrezc cl:
a) lim {.rJ,+2):s: h) lim 1-];,t linr -lI".-- 0;' rr,u){(1,:r, - (r.r)-rt.2)./ I tr,tr-.o.n,' " )i"
ur 5,n I-J: o'
"r
1i6 --Ild-: e.
' rr. rl-r.,.) rr--J''
r.r./)-ro,0) rr+/rflt, S:, .. arate ciL urmitoarele f nclii nu au limifi in origino:
a) /(r. 1):-:-:I. x-e +o'. b) /{s, r't:{-21, (x, r) F {0,0).r-t ' z2 l)r
22. Si sc c.rc.tezc limitclc itcrate ti limita tlobala ln oriSire Pentru :
a) t\r. )j - - : -, g, , j @. o): b\ Jlx, r) --,
(', )) + i0, 0i ;x",1, -
"t).
"i'jIr.) AY, s) -L, x a t 10.,+t
118
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 118/344
23. Si se calculezc :
:) Iinl (.Y, +-v:) sin-L; b) tim' "),"."1,*.-,(t
-t',a,no, D) 'r +/r
+;)''
1P + ).-
7.2. Fun4ii contirtrc
Ficlunctia/:,C.R,{ntific:oel.Daci56tcunttrnctteactrnul.Gallnil,rtulcilGt oortiati ln:0d&e5i nu@i {bcn/arc limitt itr ro ii lim /(x) -/({D). lracd l(o.stetrnp @
&olat.r lui.r,Iuncfis/cate continui rn s. Tinrnd *a* o" u"i#io r'-n.,.'"r tunctii tnrr, tr ptr'on,o pot dd dclinitii ecli"alenre pent.n continlitatd lunctici i[tr{'n Fnct.
funcfa / este continut pe .r, daii estc 6ntinri ln tidd.. Nncr din l,Dacr furcllile/Fi g slnr.onrn etuio€,1;arunc'iitdnctiirc/* , /d ui I,a.*g{,o, +0,
ilui 6.rtinuc n r0. D. asemcnea, conpune.d a dout fu clii contir . *tc tot olfunctic coltirut..) Furctii dc o v.riabllil r..li. Fie/.ICR+R o tuiclic d.firitt pe int.fvrlul r ri fi.
ta e I. Funcfia / .ste continui l. stinsa h ,. e 1 dacn Iim /{r) -tl,oli iunc}irl.ste.oulinu[ l.
d.apt ln,o€I .lacd lim/1,) : (rol. r:trncria / esr. @o,,"oi,i',n n.o"*r r" u"* ui nuneidsc{ qr.
& ti ul la rllnSa 9i la drcaltd In punctul rn.
Frnclul ro se nu'ncate punct dc dtcontnluitat. dc s?cf.lntli i.Rtru runcfi., dac, ln ,o .rl$illlnit l&t.relc fi nit./' dar lunclia u.stcco linul tnr., P rcrul,o 3c nuh.tr.lu c {.ais.ntinuftatod6 sr.fs a doua p.ntru /, dacr, c.l pufid ud din timitctc l.teelc nd existt eu cat. iqiinit{.
O lqlctio /rI*R arc lEoprietat€ lui Da.beux, iac.a, .r'ec ar Ii., r€ I,.* r, 9i od...ro.. ri l, cuprin lnt€l{a) ri/(6), .*i,tl utr Nni. rr cup.ins i{tr.. si , .s cl lnclt /(d^) - 1.
O.ico fulcfie cortinu /: I r n arc pop.ict t6 I{i Darbou:, lnst rccip'd. .catci nti.Raiu
O fulctio /: I a /l catc unitorm codritru, pe 1. d.c,
Yd>0,38a>01 vs,,r.e I, lrt-r.l< 8,+l/(iJ -/( s)l< e. (l)
O.ice fudctielnuorn cdtinu, pc r €te conti {l a. f, ftut ca .ti.defi. .ditr.c, si lic adevl-dt& O lurclie continui ps uD nrte..ral mt.ginit ti tichis t 6tc udfsrm cortinut tc .c.l iatcd.l.
b) Functii
il.mri
bu't.variabil.. Fip
/:.lCf,r -R o tuncti. d. dou, "r;iahir-, /(', r),Daos td ctia/(,, rro) cstc contnrd ln pudctrl r , (ro, rd e A, .t trcil.st. contiiul p.rti. h r. 'drou eiabil, ,, Dacd, fnact@ JQr, tt *te contilut lo purctal ?a, atuaci / €ste c.utirui pa.iicl ld
Coutiruitatm frdcli€i / ioplici continuirate rarlialt itr E|ort cu iicqrc vari.biln. R€iproqou et. .d.75mtl,
Furda r -rr- udrlorn coar'nnl .D. {, drct
ve > 0, 3t. > 0lY{* d, Iro, r"t e d,lr' -rtl< 8a |rr -rll < l, +
-tJ@;t,t-l\,,tz)t<4 , (2)
O.i.% flnctio milo@ coqtiau, pe,, 6t cctirui F. ,. O f 4i. cdritd p. . nlrfmc Eargi-nit{ 9i t.chis{, (codFct{) ,{ 6re uqitor coatirt p. ,.
d) lim
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 119/344
1. S,"r se
7.2.1. Proble$e rezolvale
strdieze continuitatea iunctiilor:
a) J6)
te'+x-1,r<I.c) /rx) :l ,' l-, r 't;'t:Lrolrdl.. a) Se obrrvn cd idnctia cst€ contirlt ir orice pu.t , + 0, ln purctll , = 0 a'em
/t0To)- iim/,r- I'hr. o. r(oFrc\jn Fie mi'8-nirtr aloi /ro - 0/ - lin'/h, -: lin (-,s +,) : 0 9i /(0) - 0.
"rjn
lrtuare, tunc1la cste contilne si la plnctll , : 0.
b) D€oarece annclia csle cortinnd jr orice pnncf r * 0, oiioo stndio nuftai ln origitrc. AveD
, _f/LO .0,:lim'e .rn-:=0, /lO-0J ime r".-'=O:i ,Or-0 ".a.e a,drr,a tul'rja
.ste continn5 iD lnrctDl * :0, Deci/(,) este confinn , in (-ti2, 6).c) De@r€c€ fnrElia este contirui ir rcst, Tom studia continlitatea ln,: t "Aved/(l- 0):
- rin (e, + * - 1) : e, l(l) : e Fi /(l + o) - rin,F : rin ll + (i - 11;=i :". l.".ta
sratd ce lunciia / €ste conlintri pe"l?.
d) Studien continuitata inptrncirrl
t:0, Aren /10 - u):r,tr/1r)
-/(o) : I $ l(o - o) : lin jI]
- 1. i' acesr caz runclin .ste corti,rui ln n\{0}. Fulctia esre
contiann It dreapta ll, : 0, PurctDl t : 0 osle un pln t de discontnlnilate dc slefa irlii
2. Si se determinc d, , e R astiel ca funclia
frl, .. . t. ). 0.
/hr-J'"' Iasin, IDcosr. 0 t-I
t
ri ,o unui p. | -. ll l 2l-8.J,tdl,, Pu rd condjlia cainnclia sntic continn, jn ptrn.t , : 0, oLtn,.D /(0 _ 0) :/(0) :
-l(0+0),adicn1:r,Pri tr.mdre,pcnhnaeR$,-t,futcli /estecontuNePeinte./alull-6. It rt
3. Si se stLrdiczc continuitatea Iunctiei/(x) - tElx),, e i0, a), unde E(rv) esteparrea inrreaBl , lui x.
Rdals,". t.alatm drai'al-f ie' L\'J, d.m
t".i.-L:1_,..I tg.v.s;1, -r< r<0,
r,r/(,):l 0 ":0,
l"'"** .r> o;I sn, r
ar n'r:l " 'ru'L r ..':0.
.,(,): ,E(r: f: l : il ll
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 120/344
Cum se vcdc din exlrcsia luncfici, troblemr confinuitifii se punc ld lu^ct.tc f - r, r E Nr p.nkaceastl obserrrn ci I
I/(r - 0) = riml(r) : hn (n - t)t : nln' t), ln) : n, J(, + 0) - lin/k) - lin,r I rr,
IrriR uurEc, fu'ctia €sre corfiun pe I0, @)\N j .stc conriqu6la drcai'ra in , : ,, ,el{. putrcr6br - ,, r € N sint luncf. de discontinuilate de speF nrtli.
4. S:r se studieze continuilatea {uncfiilor /, g, /og Si gol penirL /(x.): sign,ni s(.v)-l+ rs. r e ft.
I l. r>0.r(c,ol/arc. trec.',mlc /(r) : I ". ' - a, sc vcdc ci iurclia / este discontnNr la , := 0, tn
l-r, ' <oacst liird contiNri, lrunclia g ene condnrn pc n,
Doo rcco (sor{,)* s(/(,)): 1+ ("k""), = { 'z'* t 0'.^,rtr
cr 60l c,rc co riLnud pc R\{0}.[], {-0,
,4roi (/os)(,) -/(8(,0: si8n(l + l ) = l, vr e R, csle cortin{ , le .4.
^ :... . I l..teo t-t xeqr. 5r s( aratc c* luncllrlu /(,rl --{ " ir A(") -{ ' sintl- ,xeL " l 1,,(eJ.
discontiulc ln orice puuct .r € lt. Si sc ararc ci/ -- g 5i/.4 sinr lontinuc pc R.Raaha/ . ]ost. (lb trjMs sd sln dien nnnai ltnct id /(r), Fic a.o e R. Sd obscrvtn cd lim /(r,
qu exisu, lnL'.odc,nr, drc&,oe Q, nltrucl, Al.gind'
e I cr r -r.01<8,or,Fn.n lflr) -n;'i:.2,oco cc rai6 cn liltr/(r) tr{ crhu. Sc
'.olbnc Iatralog ljr c ^n clkl }.€.r. prin urnarc, fuNth
rf{/ ese dlscortrntrd ltr orlcc tr.trcr r €R,)coarcco (11" s)(r) -0ri{/,s)(r) F -1, Y/cR, rca,I(n ci lutrcliite.r+ I ii,r.s stor pontrruc
6. folosin<l proprieratca ILri lJrrl,oux Icntru func ii collrinue, si sc-arate cifunclir/tr) : x 2r - l,.r e R, sc lrnulcaii l$rr-ru puuct E e (0, l).
ndirlldk. Dc@rccc nuDfLa J@ = , 2, - I e$e c.nlnru6 po R, ruantd cr/rr. l,rold€toioiluii )arbotrx. DcdNcel(o) * -l til(l) - l, rczulr{ cd erisrb E e (0, l) d,ltcl . /(i) -0.
7. s,-r se ardtc ci Iu clia /(.r) .l 2v ' x < 0nLc DroDr.icrarer Irri Darl,our
(lir nr- { si. .drinrr in r - 0
R"dtrdtr. Deo$eca JP - 0) :/(0) -0fi/(0+0) - - I, rczntti ci fun.tii / u.st.continutn' r : 0. Funclid coustderdtb drd propriotu tealui Ddrbotrr, dedrdc tn o.icc tutcrval (d, p) cu/ld) * /(p)I u nct{e ilooe prh rdrte valorile ouprnsc idlre/(x) ri/(lr).
8. Si s" studiczo coniinJiratee unitormi^
{un.liilo
:r 4\J rr.Ll l;, , = ,' @r : L'/ /(r) - .r,co,I, r . {0. 6).
'nr.,l.o/.. a) 1'om folosi dcfiqilia sDL iotri. condifiei 1t). Sd aldtl'n cI penhu orice e > 0, spotc dclernrnr. 3. > 0 astlcl hcit pcnlru. orice ,1, r, e (1, @) cu l,r - r, < 8. st implicc
l/lr,r - 'r,?, i . r. li ':,J flmr d. idp,rilrt-r ,, rs* - r'.'gp = aa's -A--L, 6.6*.^
/(r'.) -/(r.) =lnrcrai r
I t -l r'r.ln '"- <lrr- <or;
ci d.ci nDpuncn 0 < ls < e, dclinitia cst. vcdlicart deci /(r) ost. trnifodu contiluL
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 121/344
b) Frn.lja csi. conriDi pe {r:, oo), d.. nr 6te trnilom c.trtiDe, ca 3r vedem aeeasta, r@desr :,= Jx $i :, - J' I r i (0, @). s. ob*i.5 pelrru , s,r,cio' J. nr.e pu,r,.rc :r ,r ,,po, ,i rnJ,e o,ici, a"
"o,.pio,..a.*,."" t'.- ,,t. J;i- J;: _-----L r o D.,
3+r+ t
, rr,,r -'r,,r r : I"1"*-j- .*--f ).',."--- l -l vrr| ii., J".r I
- l:,.r"-S"i,
J; F " Lr r,*- l- r.| 2({r'+ I f (r t- l)i,) 2 r/,'(,r I t) r". r I
rept .e arata c,I /(',) - /{'r} I nn .p@tc ri trcut tricit de nic. D.ci functia/(,) nr csre uniidm .r
tilrI pe (0, 6), Datorilt cortirniislii, Iuctia 6re lritom contjDle e orjc. tnrervat .@t[ct&priDr tn (0, oo),
9,-SA se studieze contimritatca unilormir a fuDcliilor
J(4: -:35;jz^2,, € 10, e), {(r)-J336q.,"2. x€t0. co).r- l tr L
si s(-r) :/{.r) -t- s(r).
Aaala./.. t...<tbn ca h cxcrcilirl E, b) voDr ot.go
tlct'i.l u esr. Dnild,r cortirua pe 10, a). Sin,'lar.. prd.d. i I[ rrn s ertriar .6to lDilonn coDtirtrn pc 10, co).
', - tz""t,n * ," -(z* + )'t'
1,,-..1-.1 . I-0.
' rz*l'+[:,,---r il ''
Dsi t/(,,) -/(',)t- I + > l, sstrcl .t rclnij. (1) r este verillcatl d d..l
(2,i+:l + '
Innctia s(') = il:, , e [0, @), vdiricE cdd4i. (l). lnrr-adevlr, dacA , ,i e I0, @]t-l
ri/,1 -,,1<s., dhioi tsl,t - s(*,)t : -- -:- ]- < Fi-,:l< 5.. D..{r ;0<E.<id.lirilid ( l) estc verjfi..tt ti deci S(r) esrc lrjfom corrinlr.
I sj,(ri + ).)
10. Si'r se amte cn fun(iia /(.r, ;) - | "" 1 f ' r"' )' - '" "" "rr" .oo-
tinun in ori8inu. I o (x'.)) - ro' o)'
ndah.,t. D,@*a un Jtx,tl- rim "'(i+f) . 'l f )': -ori/(o,o)-0.r, rFlo, €) (r.IF(rIo) ,'+ f ,' + Yunrtd cA tuclh l(r ,/) ate .oatiNe h digina P6th a 6Aia ci lim tr + ,t
- O sroro$gre iteriniti4. AvcD p.Dtrn l,l<Er, lrl<Er
t'' v''$\ t)'2 +r'
|,, +.)'
|_
I r_rtI,t_,,+trt
<tr,r+rrrr{r+_1IL).:r..1.l"+f I "ttadGooEc. 2,rl'll<rt+rr. DscI l[6m 0 < 4 < : , ,lcli'itis csr.
'crilicltd.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 122/344
ll. si se aratc cr ruqia t('.,): {(x' J) + (0 0)
est6
t 0 , (r. J): (0. 0),€o{tinui. partial llr origine, d.ar nu esti continui.ln acest punci.
l:-, x+0.n.zot'di.. Fun<ti /(,, 0l :
i*r conriour tr r
-o d.or".c tinr
/t:,o)
-I o , '-0.-ri- i, -o-,,t.0j. sim,rJr runcti. /{o, ,,) .erc Lo ritr(i t,,,-o tur n, clia /((,,lN 6rt. loxrin l lir orignrc, deGFre lh /(r, rl ;u .dstet
(., rrL(..or
tur^r,
tl - ti|\ tr' l- si(r' + firrr'l -Ir, t/),(0, o) '" + l'rt
u, Pr
: r.,i - I [, _ sin{r'+ 1,'r '') . r' + ljil 'l =- ?
r-u t+pr[' r:+P'rr' ,r I r-rtt-,l12. Sii sc studieze uniforma continuit:rtc a funcliilor:
e) f(tt. : Z t (r, r) € (r, 2) x (t. 2) ; '
b) J@, y, z): re+ ,t/ + r sin r, (t, f, z) e [O, t] x [0, t] X lO, tl,R.talutu. a) Vtiliztta rc1nlid (2). niind dar € > 0 d.e rc, kcb{i. d dct.lmnd'n t. D 0, B{.1r,.nrru odc. (,1, ,J el (r , /.)e(t, 2) x (t, z) c l,r -:t | < 8. ei l.r - /,I < 8. s4 inptiqrt) - il'", r") t < .. ).,
tJ(\, .- il;,, rt) I -llt' - $ 1' \lr' - rtJl <l\ - 4lr. + lx' - '1" <,tL , t z
< 8' - -:.r < {s.,,r.
ca .nk', 0 < 6. a i 1si,,tur (2) c,rc vcnaicara t dlci t{ocfia/(,, r) 6r. unit@m cortirua-4b) Dcoarcc. llt trcfidl(', ,, 4 esrc cortnnd p. odtnnc rirgidir, ri llchhi [0, l] x t0
j 4 x t0, UcL/cstc uilo.m continui- p. acedi multimc. Sc Aorc verifica ac@st g cu ajutorul d.ttntft t
pr€strllnl'd
la,-i3l<8.. iyl-r t<8. ii l,r-',J<8.. c\(rt,
rt, ,rt,t',,")- t0, rl x to, 1lxt0, tl, zlc'n il(.ttu h ztl -^,s
t,, .,) | < |'1 - r, 14+',1+
r -c4.h r- /, -/s1stn.,'+r,lrd,,"'-i.*-r-J-- lq18. , .,1 _.4-, t+ 6. I,1221
2l.i" :l :-r < 23. L e8t I t. t 6r < 78. < c I'cntru o < E. < 1.lz{ - -f
Problcme pmpuse sprc
13. S:r sc studieze continuitatea (urctiilor
I -+.{'
,r - R\ {o},
x.a0:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 123/344
o, ,u,-l# "^o' o, ru, -lu*.r* " '.. , . t-ntz. ,eIo.iEi t , .,-o'
.) /(")-{-(r ,'"'";lll', ono-{-',u*0.,",t'. ;::.14, Se dr'L Iunclia /(r) - I- rsinr, r 7 0. Cum trcbuic alcs /(0) n"n,ru ..
tunclia /(x) $ lio continui in p riclul r .0?
15. Se consiilefi rnr;c+ia 1r):4+, r e (0, 1) U (1, ".). Sn sc arate ci se
poatc alegc/{0) $i/{l) (onvcnal,il isttci ci funclia J(:r) (src continui, pe [0, o)
16. Sl se -detcnnine a . R astlel ca tun4ia/(r) si fie colltinui pe nulJimede definilie
a) /r*):lr+l,r€J0, ll.bi
l3ai+3,re(t,2li1,;=(o,rl;
{1. l-Y < I,
lo. lrl > ,.
20. Si se studi€ze continuitatea lunctiilor
a) (ro.\)i\), 'I ' R. unde x(r) - l0' ' c 0'''
U,r-I;r) gkt--I '''* I o/rt . sisn Is'(r)|. -r c R.l- r' x L
';
, x e l_1, 0),
[z tg ' "t.tg1,
re
[:l o),
c) rht:J a x-.o,I -,_I Yi-I1- t
[2 "' , re{0, @).
1t. Se defincfte {unclia / prin fz) :}t*"*# Este continui. tn ,: O?
18. Sl se studieze cortinuitare-a :{uncliei lk) - az - 51r"r, } e [0, co), urde
.E(.r) rste partca lntreasi a.lui19; S:r sc stutlieze co'rtinuitalea tunctiilorl s .loe$i sot pentrlr,l(x) :{1,
]11j
'l:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 124/344
22. Iriild dat e > 0, s:i se detemine un 3.> 0 satisficlnd condilia de conti-nuitatc u ilormi pentru urm:toarele lunclii:
aJ 16): Jzt +T r e lo,2): b) /') : sin' + cos r. , eR;
crl'rr---l , n-tl. m).
23. Si .c strrdreze eontjuuitalea uniform'a a f,rrrliilor:a) /(*) :lnr, a e 1., el, .> o: b) I\a\:lnr, x- (0, el:
() /(.rJ "in\'?. r c R; d) l(rr . --l + x, x lo, @):l+:
c) JQ) - .: x. r - (-l @) i t) l(t), a'cos-l-, .r c (0, l).' I -r
24. Si sc studieze conlinuitrtea unifomre a lunctiilorr, ,,, + J, ti hJ, defi-rite pc R, qtiind ciL
lla) - ,t sit, x,, IJx\ : , cos2 t2, r e R.
25. Sii sc studieze continuitatca in originc a funcrici
- [ t.s-r'r',-'. 1+0,.ll(,)):lt'1
I o . :o.26. Si sc aratc cir liccare din fuDctiile' urnritoarc este coDiinuir pallial l)) o gine.
dar nu (sto continuii ln raport cu ambcle variabile in acest puDct:
(r, ,\ * (0, 0\,
(r, J) : (0, 0);f t'" . t.'. 1) ;. {0. o).a) i.Y, -,) : { I' '- r' - 1'\ .16. ))I o , f.., )l - (0, o);
| 't"
lo ) + 0. 0),
,): (0, 0).
, (x,
, lr,
+11t tnlr
0
.) /(" r):{
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 125/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 126/344
$. rronle DTFERENTTaLa A FUNcTTTLoR
o variabilS reali
a) D.rirala un.i rqELiL Lr lurclra trr: J + R defiliti pe intervabl f Fi Ii. ,0 { u cr dir _4"
Limita/(rJ-l,m'lJ)_rllo),dacr€isri,sellhetre<lerivatatu .ti€i/tntDrctll ,0. D&e
/'(,.) este linits, s spun. .6 / este drrivatiU to p.r"tii,.,Dace I este d€riwabil{ ln ro, atuci / este contnrui h ,o ins, rcciFroca ru este ad.i5nta.FD,ct'ia / este derivabilt pe I daci €sl€ d€rivabils nr liecare plrct din .a,
. ll'J 'r,Jn' i'ere 4{:01 * r'n, "n ri ,r10): rrn
-.
dJ,i e:jsd.
dv, d€nvata ta stinso ti derivata ia dreaptn a tunctiei / t puncrd ,0. Functia / are de,ivndh ,o dacii ri hmai daci ar€ <teri/ate laror.tc egalc iD,o,
Da.:r lrnctii,e r a: J + R stDt d.riv.l,ire e r, nt llr.\m. + g, Je;i -l , aaca g1rl + O
r a /. :irr dpri,rr'r* rr.r )i {, :L ., ..
+ 6, U r, - 7, -.tr' o1 II
l' * Jl::L.t ,Dacar tu,ctia : I + / €ste denralirA pe I tituncfi.lrJ - R este dcrivatili pe/, at ,ci tnDctia
.oDrpusa /ou : 1 + R €ste d.ti abilt p I v, Ua'), l7) : | (u(,)) s' 14.blj:.'"I9?.9--'i.-"..It?^flllst i 9: gsi:abA.: *ssa?.lui,B .[ ., Dacs tun.f]a J: to, Dl+ R este
.o'tinli pe [a, b], €st. deri,abi,s e (4, ,) si/(d) -l(r), arrnci cisl{ cct p ti n, pnncr , e (a, })r$I"l lo ir /irl - 0,
I*Oa :ti- **r, ,,.orcDa q.rt.r or finil.). Dac, ftDct'ia I cste co,tinla p€ [a, ]l si d€ -vabil pe (2, ,), atlnci eJsti cer pulin pulcr . e (a, b), aslt.t ttcit l(b) - Jl.) - l,l.)\b - a).
. )[email protected] C.ucrly, Ii€/ii s {ioA lnrclii dclhrtc e l., Dl. Dr.t tun.tiii./{8stht..niirn.p€ [,, D_, .:r,r JeI]dL'le p. d, Dt
"i sD) +0, Y] *
{4,,),
.runc.:i.re ,"t
r.tid upu,."t
. r ta, -bt, a.tI-t In, r /i&) - i'i - '{d .
Elb) eb) s n,
<) Forau)r lui Tglor, li./: i - R o tln.,ie oerivahLli d. i{ I ori lnrj.ur ern,r ,. c /rolinoniii iia$io-r aifliiil ,, a,a.ar run,ij"i /,b pu <Nl /e, esle
rrt,) ' lrer I I-:-5i1,.1 . " 1,"'" h.,*...,t'-'l' ra O). rDlt - 2t ,t '
f.fln'la lui T"ylo d. o,'linll , p"nt' u lunlli. , J, p ,n(rul ,..s;
tl,) - r,tt) + r.{n. trnde r,(ij - ll--id'r/',, tr. + 0t: -',),, 0 e 10, rl, lz)(, + tJ,
&prr.ittl r.etll (Jr.loros hi LoSrarge) d. ordj , iit lorbllci lui T.ytpr.
8.1. Functii de
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 127/344
D.cn ir lortllA hi Tavlo. se'a
ta: 0, * olttiE lormula lri Ltc Lau'itr
Jt") : t(o) ++.fto) +.-.*1r"'ror *6ftJ'+1)
{orJ 0€(o' r) (r)
Se vor folosi mai ales lrnAtcrere dcz"oltiri tlupt fordda hi ll'c Iandn:
""=t+,+l++j+o-rl='o: o=to rt; n'
"r,,,:,rl+...+(-rr'ffi,*ffi"-[o*+tz"+ztr]'o=to r)' u'
-"": r-l+....+(-rr "',+-f-.."[n"112,14r] o-to, rl, .,
rn(r+,):'-i+...+1-11'11111-4"'Ia(rr-01)-"' 0€ (o' r): n'
tt+ 4' : | + ctrr + -qr +...+ 4" + ci*'';*'tr + 0') '-1' 0 € (0' 1)' tt'
'"dc cl:l(r
-1) jf
-"+l)
#i#f 3't*:'t",.;Txn#:rlji'::hti"*lFliki:r$*ri1'1"'"i J"
''i"i'" 'i".r*"?
^inrmrcar som' u"mc$e Punct de dtren rocar'
i*i;;'; *l;f'ltrri*',rffi;iil$r+#ti["""":,T,;lilili;:1"*"cr,t.Fic/:/-R$i oe r'hnctil/$'l.rrLlsen'iia ll r.*:l'il*o
'i,rrrr"ri, Ai,'. n)-f(\'thl -/(r.) & Potc *ric strL fo'N -V(""\ '= |r''r t -- d(ro ltji
;il;(,r';;;'i-ri,;di,o' ii stisri'a @nditi' rim o(,'.'"):0'
Etpssia I(r0)'' scrnn'$t
H:H':Ljilli:,"il:J:If.il::it,?'ff:tl*:ii:li;t';ll{;;';ll':,,1il1;il.l:'"'
B l l Problcme rezolvate
| \ Si s^ crl(ulcr(, fotosin<i clcfini{ra. dcriva{e /'(r;)'pcntt
:'"t /t,) - ,in.l,, r, -'{ : r') /(-) arcsin (t - I) Yu - I
.n..t'r,' a\ Dcr'r- r hacii'i 6tc drtt dt
"i..r,-"in3 ,":{,;)*;[,'+l'[;) "y;r.--'-"+
-'t ,-- L:--:--":--F'"" t
__r,*\,+__*,ur rrrr - ri,nnllli1:-ll -rr,,, +-a:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 128/344
(1j Se s" c,tc,,te,e alerivatele laterale ale functiei /(r) in Punctul ro, fentm :
2t. . rtsin I .Esin
- I i 2r i
,j/,f'-:n'U l+^r t
t*" _r .2t
jr5'
-
- arcsnL
'd(0, -lim -lrmr t* -2* t+" z
t+*
lo carcnl eror doui deri"ate an Jdosir identitat@ aruitr 4+acitr, - r(sin t4 J l-ut r b J l-a'l$i faph,l c[ lim eIll2 - 1. I'nm]ia .t 6te derivabile ltr Ponctll '. - o.
,tr,(rr - .rm rl,--1-9l15-l--l]-- [-.,t'e{, l) '- :.rl 2
4(l) =nmnrctsk- l)-r-a torclio '-et" aoi,"t ilt ll Punctil ro - I
- l r-ld) U'rnrnd o cnlo analoasi acclon de l. exeeiFul hl ol,tidco/ll) - lrm
-
1i*ti;
: t
ri.41l) : - L. Funclh n esto derirauilA lo Pn.ctul,o= l.(.)Sfr s" c"rcctez" dcrivabilitatca funcliilor:
a) l(.r) - max (cos' r, cos r), t e [0, n]; b) l(i) - li(x) silr tt, r € n'
ne.taa . d)^tc,^
hn =l'*." * r- ^r- Funcli4 6r. d-,i,rLilr ao lidsu 4in in 'r'
[c6s, r e tr./2, it.
yokrlc (0, i/2) ii (--l2, a. Rr.n)l e sd stu.li@ dc.i,abilitlte4 tn Puict"l '_ I ,\vdr;
r:[-1.- 'i- -2 =1;. _illl1- -t, 6'll- ri. lii-l tim:-]lll ' n,'lrJ ,:;" . t.o 1 -i:J'-; ' ,
,=, r lrei',ab,r:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 129/344
b)
-n.ie3B,2e I-r, -'+ l],
-'ia| e , r e l-r. o),
0 . zeLo,\,.i^t-a , z e tl,2),
riir'd,:etr,r+0,
rczutt , c , furctia Bte dcliBbitti p. fi€l:@ irtd.l9ulstele, - *, t€2, A @
r@-
desclis, TEblie sl studieb derivabilitatq
-lr
+ 1l .in. E,/r(-r) - riD * -{r +.r-a t+n l) lin
. -. -- sitrB + .inrtrt _(r + r, ub (stD n, _ si ,r) E 0a1_n. '+n.
d dFle olrti,@ 4{-r) - g- -tfht* 70.lriDu ee, furcti. et€ dlrtvebila tn r bc,ur.\-n r+rt r -r, r € N. Alalog e araq c4 fta4is 6a. itedv.bil4 h pllcr.lc r = 0 rr, -,, tr € N,D6.t tulcflr / 6b16 dqivlb n p. &
la,6o.
"t
4. Sl se arate ce funcfia/(.r)-{ - o t -'' ' - "I o, '-Lste derivabili pe R\{t}, ertstn Lm/'(*), dar furc{ia nu este derivabiH ln puDctul
ndal@/.. De.ad8
lia -3, 11 4 o; - t-",agJ - - a ri/14 * o,L-t 2
r.t .lL cE fuDctia/lu et. cortilul h puctul , - 1. ptu trMrc, tulctid / nu .st. .rci ,.crvib.lll ptlctlr *- 1. P€ de altr lete * vede c5 t@cfa / csre derivEbit , ttr ori& pudcr,l I si
J @ - .:-., v,eR\{r}. Apoi tit/,(') - ri.--L - -1.I+,- r-rl+t/ 2.
Dlo 6at elTEph e obsdld c, dace limit deriwtei itrt -@ Flcr 6iistd, tru rcz rd .j tuncfiaqt ddiBbil?t h ..at IDet
5. Sr. se calculeze/"(r) aaca fk) : C@k\1, e fiind o tunctie definjt pe R.
ed$ite derivatd de ordinul al doilea, iar , este rna din functiilea\ h(t) : ee I b) t(z) - *.{,' + I
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 130/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 131/344
ro inrc.vrrrr (1, + oJ ; rentru p - - I? etr.tia a.e o.ndacinE dnbtr,, -', - .- -lsi"na
si,rDla27'Jr. int"r,lrrr,r., o) : rer'u - - f
"1t,.)
(nilE a,. rrei r)dr"i,i,,rr" s,.r,^', i'., J r..\z7tr"'"( -'-+) {-1 r) I tr' + -r ; n"nr'I : 4 c'"at'a a'€ o r;'r 'r''i' r"
{- o -_J
9i una dDbl6 .gale c l; p;ntru^e14, +@) eu.lia .dnn€ o singuri .ddrc;d reald tn
i,t".o"rrl --. - ll.t :tl9. Sli se studieze allicabilitatea teoremei lui Lagrange in ca?ul lunctiei
| , , x e [t, 2].
/r.r) "=1,, .. pe jntcrvalul f], l:.11_+t.,;e(2,r.1.l4
n,,_12,.. Iur.r'alenc conrinur Fe inte atut Jr, il.d"mrc./(2-0/ = \4=lA-o -t.Apoi a'c /;(:) : 1 ri 4(21 : 1, asrrel ca rucFa csre derivatfi o inicrynnll (1, 3). i.coremr Nre
d6i drljcabili, DuI,i tcorenla rui InSdnae rcztrIra ct existt cct putjn D trnct , € (1, 3) asrtct ca
" tt, r* tt.)1.- .l '/. -r,/r'l - ^:-c.m/{,)-{, , ,elnli., l" r.. i.,.^ ""r J
i I_,,- {r. 1l
I0. Pe' u'ba carcare arrrlia /(x) - -, r > 0. si sc.lrt.rn inu un pun.r /'{, b
lr.Jrp rrr8 r,I .i {i"paralels(u.oardaccun.stcfuncr.ic,4( . ' r, nt,lJ
Rezatto,.. pnnta d.e1,tti ce rrcc. pri' 1^ rcrerc.r I ,a ."t" &la . ) = -]. ".".*"ralsdta i. frnchrr .e rd sraricur n;.cF.i cst'e paarct*c' **ou u*.orr,1*',1,
"i -" 1"*o5,n.',"
ri del.'(, - r.P,,n u,m r, otlinm rcuatia -
., - .;,r dcli , J2. r.r'l 1
, lJI :- i...*-". u,,' o,,,r o, ir,eilFrrR Bmn,.ri,c. J,,v,rm-,, . r.-s,', 8,.ttt11. Lltilizind tcor-"nu cre.gtcrilor finite, sI se arate €:i : a) 9irrl (.9,), cu S" -
: l -L ,....-1 rsrc(literrcnt: l,l2 t . .9rnrl(4,).nr,r,:l -+...-l---lnn,cste coDvcrgcDt $i liDrikr sa C este cuprinsii lntrc 0 $i I (C se numcite constarltah,i Iir lrr\
x/iolv.t. ric l oclia/(r) : tnr,, eb,"+
tl, , eN. P.in aplio .e lcorcmci lui Lng.iutgc
dccsn;il,,dclijrcz tl ci.xlstaccl prtir u pnnct ae14,ra t) astlcl llcil ln(r+t) -ru,=-l
n." .."J j-1,,",,,r,r1<rtr(,: I r- ru,. I,v,"N.s.,-dm"asranr';)
tr | . " r+ I
lr.Bal'rir ' I ,i,rn' ,, i, . .,, r, rerutLl
l.r":-,"r< r, f -r.i.,nr. j,..., -L. r,,{,,.- r1 . ". -l-2 r I "rt
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 132/344
'.11.' 'L rce.te inpq,rirn i, oblirco i "gatilar4
s,+r * 1<h(,+ 1)<.sx, v, €N.19)
a) Trcclnd ra liBit . h inegatirat€ lD(, + 1) < sv v,€N, dearece,tim r (a + l) - + co,
'?Lr'd Lr .-, - - 6. A(cadr s,gri Lr eJia **i.r \\ -L ""," " ^,r",.o
LJ"1r se ot \erle"liL a, - si - tn,'l
dcL, .lup6 r,"g*1i1. 1r1 reatr, a, : sr - ln, > r,(, +t1 t,"-t"lr1-115n. Prih urlEre, a, >0, vreN Aloi tot <li i €galitatd {gt '/ezuhe a;i+r - s,+r - ln(" + 1) < 1+r (r+ l)_rn{,+ 1) *1, ri€ u <re a"}r < t, v, € N.
0 / a, < r. e, c N. se pcle A,rra ., t .t ?,) ?.\" dcs.rc*aior. ?ou.ad.vtu.
i/., airj-a,-s,+1 rn{,,+ l) -s,+rn,--'- ,"lr+ li"o. de@ece av.6,, n
'' ^l
'.1'+ Iri de.i'<(,+
ttnlt+:1..D@recerimt(;,)este nonoror descresc{td d 'l I nli.1'ei.ii'
J-l. , d,. J c-l,mz,9. C6 t0. r).
12. Ut il i zlrrd t eorerna .rerterilor fiDitc ptnrru fur.iitL /(,) : tt- te Ln, nil)tsi se stabite$d natura s,:rie,i irtnonice gen€ralizate:l:r*, , + t.
prlttu d < 0 s.ia cstc div..sotr, deqr@,jrDa,Tlo. \.om considcra in.ortiNecnde(0,r)u(1,6).ApliLindte.rcmatuir,"s,",g"t,,,lfi"iy1"1:,'-apcinre.vatult,,+11
'.^rrrrici ciisri ccl prl1. ur punct ., 1<a<n t-.1, astrcl nrctf (,r + 11*; _
"'*:1i _r1r1,, .r,r ):.0 iplir.l "-.
I g,,-r,r "*nt '1_
, t-". ,:i'. . .a,.1,',."", "> , _1"_ It'-"_,,'"1 . ,,, t. ' v,. - N. c ri,n4,-M.u ildr,, - c p-t,tt- 1, t, .. .n I
rqE_-_pr,-tr_4)>2<. 2-n 5 --L 13..
,. .,,., -L11"1
r, s trilnd accste i.cgdilt;i mcrnbru o m.obrD, rezull
q -/1,, r l)i.d _ ,l F S,.r _ | r." -. N. ( r0)
c._ld._2cI..:'r
Fio o-:d< r. ln r,nza nx,aalitetii (10) ftz,l s,> 11,1 1p,"_tt, V,EN. ri DrLld
t'.c{re la linrnJ .r,ljnrm tj,a -(, - + @. 1}.in tnrare, scria csle diveigsrr5 i. o..st caz,
Irie n.nnr d:, 1. Dln inoRatilat.a (10) f,nrtl.c s,-, a LI J--11"1lli-d_ t). vr€N,,Ie
:'','lu:.S,.,.:l- : -. A.r^.r, a.s.e .tijr: i.\ rr,i p..i$rurs,.c. vd.l1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 133/344
13. S[ se demonstreze urmitoarele inegeliilti i
a)--L<arctR.r.'>0: lt In0 F')>'Yq:. r>0.l+C t+rIa,rd'r. a) Coaside.dn fr@fia /(') - ---:- - Ntsr, ,>0.
f'l,J - -2"(t +
")
t < 0. v, > 0, faPt e @tt oa runoti. {,,
tri ;rn;rrc, /{,) <l{oj, vr > 0 t, cs io) -o, @il€.5t{r) < o,tt lalitatea.b) Do@rdc , > 0, r@ultt cn r + : > 0 tr d€.i ir€8E ibte. .st dhiv6l6cl 6u [email protected].
heraritato: (l + ,)h(l + :) - arctg, > 0. V, > 0. Penti . dmofte re.s.t din urnd ift8..litste int.odu66 runctia /(,) - (l + :)ttr(l + r) - .Nts,, , > o. D.cll& l1') - lb(l + r) +
41- --L-t,1t +4+ -i1>0, y'>o, r.lofi. -/{'} 6tc orcsdt66 pc I0, @) ri dc.tl+,t l+r.
,(r) > /(0), Vr > 0. Cun -{0) - 0, rcztrrt /(') > 0. Vt > o, . .€3 & d@onst 6t in€solitat4
f4, Utiliztnd teorcma lui Cauchy, s[ se demo&stlere in€alitrtea In(l +
-F,) >:t:gj. r>o.
l*aua,a, coasia*rm Itroqiilc /k) -{I +,)h(r+,} ti g(r)-.rcts,, reio,t1, >0,t{r6 saiidso conditiil tcormd ] i Caftltr Fo i.tery.lEl 10, /1. P.i lrEarc, axiltl_ ceil lutir uDunrt , € l0, r). estfel hclt
l't) - (ot -rH +lt+lJtnlt+rl _ l+ln{l+dj6{r) - 8(o) 8'{.) a'ot8 t - -----t '
1+.r
".tr, - --lllM 12L< (r + r)r {r + e), vr b 0, r.pr G dd o'ak@'{ ,n..
(l + djtl + rn(l +.)l
b) t4 a.ost *,/'(,) - -:
Cil6lllnd dorlst3 e, ortinoL
a*c d@r6ci,t@s pe (0, .b I
Vt > 0, 6q .e [email protected]
15, Sl se arate clt r
,') l(/) - (a + btt)e-" \erifici ecualia t"+,ht'+hzf :0|b1 .f@):a cos(ln r') +rsin {Lr r) verifice ecualia r,y" +rt'+ y:0.R.robctc. a)
^letul'1')-(-.tD:+r-Io)6-,.rt/"(')-(itr'-21,+.trd)o-r'a3tlclca
l"Fl + 2hl'l') + h'l(') - o.
lqinir 4 .r 3cd 0 ,) F I-U) - -:- 6 (tL
')- il-? cos (i,, .
t\ deci ,'J,,k) +if (r) + Jl*) : o.
16, Si se calculeze dcdvatelc de ordinul n ale ufitrtoarelor lunctii :
a) /{x) -I I L\ t(t\ - Lt c} /(r) -- e.'cus (rr + ')
r
2rr -tt.5 " ' l+,d) lk) : atctg z.
Raat@/a, tt sniem Ji,J sub ror,m;1t1 -I
-| r-' .obtn,eor-(2:-iX,+r) u-5 ,+l
,= {.o- - -1.
*1.r ,671.)-1ij.-il-'-r,+
ry.}. c*.ra-:'a7..r,rc.*rr r -.
'1 7 7l\ 2t Id,.,,r i.(4-l{-r i.- l}' r-'rr. rrr.}.r.1,1-Ji,-'.,-., [.-i) '-,
'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 134/344
ob""rvAm .A F "4- h- t)r-2)... t_ntrr 5l-r-,il "-rl
-(- 1r(-2) { 4)(i+ t)-r't}r_ , ,,. .,
{l_:}-' ' _ r, + rr-}
lr Dq e dcm.bri. 0(qsh formuLl pri jjduqc, lbd adever * ,ed" cj ph .tr l * L(mul. e r6ve.irica15,. Fresrpbnea a.easf, ton , aitod6t peltru * ,i sa artflh c{ q esre Edeveot 9l
,{,,,-(/,rF),..-{_,,.i{,_-_u{,- i),,, -_,,u . *}_
-{-r)"ti-1Llll,-'-"'^ra * dero$rreaza ,"*.,-
"-tt'-tl
-t' ""'l
b) D"@,(rFl{,)= .l - 2(l ir),, reattA /(r) - 2,1.- ,t '. J-\^) - 2t_7t2j (t + r)a ,i rngenia,ld'\r) . 2(- lf rr(tf,,).'{.ulii@romltA .Do-lcd"noo,r'a r:aildulthcaEAis'r,
() ln a" r caz vo. lolo rguln lui L€ib,t de ddv"rc d proUusurui (@rc s €1e d@esrru
;.roda inauctril(hs)(e) - tt")e -t clrwtll'+ c2nt,-.)s', +...+ cnhstr). {ll}
scriel(') - ,(,)s(,), uide Ik) - e',,i 8{4 - cos (r, + 4. c fterodo indlcfiei r p6te 6r.r.tr r'\r) - rreq )ir "f.r -a'-.[a'+.+*ij. Forosnrd a.esrc rerrtare rnlmlls( ),
,.i, -.,,{",^ro,, o rci,-'a-"(' ,, .,) .".*[,,,,r ";j]
d) DacA /(,) - a.clg', re.ntt. z - tgJ. pri derivae,
rr,)--] --,r,,
-cos?/ru/.,.- -;""(iral.l,r rrrdj l. zlri d;riv.rea rttimei relatii obtideE
,-r,r- {--.'",{,, iJ, -","."(, I)1r,,,-,,.-,1,, :,1.
(e / {r) -1 t,.t[z * -. ll-1tag.,lt.r -l_ -.,r"":ll, JI.t 2 2lt t 2I \. ,J
r,.bn,erari.obruFm/r{,)b_z/.co,./*,,nrb_ ".}- .zl"*,f-.2(f+l)_o.r'a-,{r'-lJ-,,*,-",t-jJ. \ 2t \ 2l
P'.{edlnJ :i,ni,or ob i,.8 /Fy:)-(, r4t o",/snqiJ- n/2, romlra eft s p6r.prin m€toda iDlju.liei. Da. tnl@qib jn *.dst& rofrlld p" /1") _ a..rs"rt
";/-.rl It,i1?, obturD
f'ti-tn- rr '(r +"i
'/"i' ' (" 8. II)
17. Sit s".d,monsrrezF ci polidoamele lui LeSenJre p,tn = r-l t(1'- I)',(ii,
- 0, 1, ...,n) vcriricrr ccualja (r - *,)p;lt) bcp;ln + q@a 1)?,(r) : 0 j
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 135/344
R.zotod,.. t) Fic ll') - lx' , t)', , = [-t, 4. *t'el oe /it,{'} - 2" lIl,G). Deo trc /1, -- 2',(" - t)e\, rcznrq, Oj - t)J Ql - 2n
'/(',.De.ivim
'€€srtultioI relafi€ p n, la o.dirul
A1 - rlJ1r)lont - 2tr:.t I(J){dr) + r,' - llP i4+
+ 2c:,,4h,t)3) .t 2c..,ft 1,1 - 2,t f.nt@ + dl.r/"){,)t,
.d 06.c.e rc\j/dr"n .,, r.r.uin /a - )P;{4+2rP;(,}-'('4IlP,{''-ob) FuDctia /k) - k' - 1)' {tisrae cooditiile [email protected] lui R'ue pe i;htu6t"l l- | lj. P.i
tr@r6 dist5 cer putin n su@t ,. € {-1, 0, 'sttl lDoft l'(r') - 0. t N J lz) - 2d 4.' - Va
rl d.a'i, J'el) - J'l'J - l l l) - 0. astfct cI lurclia /1,) $tist e coDdilji . t€o.ebei lui Rollc pcntru
fi{c din intc."dele l- 1, 0l ri 10. ll. Apliclnd ar]6i, t€..eri, .etultd cl, eistl q € (- l, 0)
rrore(0, 1) ,rtrer n\cit J'lel-o ri f'(c:)-o.' D@6. l'l-tl-l'lai-J'kd-t"11)*n,. pdtc apli@ teorema lui Rouc ricntm {u@tia /14 P. in€rc dn|nterualele l- 1, ,J, l.', 1rl,
[o,.rl,lr , l]. ContinolM ru-rbdd.rtul, dentrcemor/-D(,) s ard..?r ir pudciclo Er, qr, .. ., :,-r €e(-1, l). Deoor@e /F (-l)e/t{\iJ-...-/{-D(:.-r)-/6{)(l) -0, { Tro.tc .rriics
too..@ tii Rorlo luncfiei /'-',(r) p. tisrc din i'tcetel6 i- t. :,1, (Er, t 1,....t:,-t, 11. Prn
urmso, crist . @l putin circ trr 'unc. ,1€ {-1, a,), "' € ('; E.l. .. , ," e (:,-.r, l) asircl crI
/(i)(*,)'= 0, i- r,2..... n cu PJtt:;,lt'rl,t, rc. ,llca,,e(-1, t),i-1,2,...,n.
.ht rldlcini dlc polinod{l:i P,(r}. Dcoa.$€ a6d P,(a) - t, rc.t:liii .A tQosto redilcili sltrt singud€
18. St se sr:rie formula lui \tac l-aurinac ordinul 2t + I, pcntru lunctia /(.v) -: arctg r. , e R.
Re'atodt', D.o tccc f,trit -(" - r) (t+'tJ-hs,",r'"^'e'- l)("-. 16, dll, rc'ur,l 0ri
t 2,
lt{O) - ( ' - tl tonnl .i ,t""i. dtrpi (l), aveni
2
*"", - a- - i- ;. '.'. - 1 a....'1- 11' .'JIl - n"1,1.- t l J ? ),1
uuae ri^1'1 -Ill.11 ,,r.,.1 "'.i"[12.+:1f,.r10,"1]1, e=1n rr
24.12 | l .J
19, Si se dezvoltc fLlnljlix /.r) : c', t e R, duJri prrterilc hilronlului , + i.n4olr4l., l'l.niru a DLlinc lcz/oltarB ru.liei dnpr Ptrr^rllc t n r,l' ,r lolFi {.nn'li ' i
Taylo peltrD ,i - -1. De€No ftt{r) = e'. vle.Y, tilr'{-t - e_ , dtrPa lotruulcle (1) ti (l)
",-"-'lt rj1 , l* l ';l ,...t l'I l)'lf lrr il "4r, ',., 0-\4. r.I I 2t rt I l'lnl
20. Si se ('rlu-2" cro.rr re rornisi i'r aproximar ca
.. t r-t+'- t-'-t -'.2t ll 4t
-R.z6Jd'e, Suiind d.lia (rl Fntro t - { 9i r - l, obfnEd
.-r, i,.', Lr-', 'cs,o. . r
It 21 3l l 5l
prin urmare, d@rea @Nisr rrir tpror;inard f:qti 6ie . - ].u ,' a".--., 0 . p, l) ti e ': r,
obtinrm . <.t ... j - I . -t **, u .,,1l.ol
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 136/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 137/344
i..'lcti.,Conio.rlnluEtll/t,)-dl/r'lrolo'inromuldt,irartci'prtr.rrr.,J*2r1,{l/01 r ?i(r) + ,?,(rl,Ibnl-
"**
"** *,_lIld< lor t.eblie se nv@ Irr{250)l < lo .,
D..rroo. y'.)(,) _ (_'r*,
-L1_l_r ir i gL, - --l-
t.E.(250)r= :7'r::.I {l:--IL_1-l
t.r'o ror F.{'1" ll: i.'----al'+ rlr r" t5j tirr(, tt
rdi..:{
tn.1z:01;.f-l'r I l o rJ'- lr <tr'o (\tr IrIl)J r'tr-lj. 2,.(.'ri, Itji
o".r -e*"^ * f]- -. l:-L < ro ', ,ehrtl c., lentru a > 2 .",-".on."o "",u,"_ ,4r.lrtr.(, T ,.:
p;" u**,.y'2f" arrsor -:i I - j9-.,, . *** -.i ,nic. rril rr, 1_ 5J{ 5r.'25, Si se calcule"e cu ajutorul formulei Iui Taylor urnitoarct. limitc:
")[*F-t,],r timr'r.l tq-"io2, Fr.',
' ;:; r ;:;;c) liml:r- r,lnlr -'ll
"-oL \ rfJR.totoa/.. al lrol6i.<l tormlr. lui IIao Lauri , or,finen /r F
';- - '-:l- n.,t.t*f,
'oao&lj]-o crrd :-n r,,i,,,'-.."
']--' .,'.|-L*& ll = -'..x6t_i-t=--.
F{ ". '-o[2] ', J 2b) Dup foonll. lui Mac l-atrrir avcn tn(l + 2t) - 2n - 2,, t, L ., r ,rl"{4 ti sinz'-3r
-2, - a rs + ni(:,. Tnr.rJ "4ds ci tin {4il = r,." l -.i - o.3 " c-o :
, - ,. lnr lr2r) - sl 2, + 2'r'ct.llf,
l d--
1.
o) DeB,* rio l, - .,r" {r . 111- r* [t -I ,ar ",;l ,, ," ".*a Lr rr1. ra ru,
'--lt r./l r-ol.y . I
t6c lruriD, i (l i t-t j: -nrb,,.o\rinemciri'uiuedcr.
46. Se se determin" ,1.,.,",r" .l. .rrr-m pcnrru ,r',''.,,,,",,u"^,',
.',a)Jk)-zd -d+l.i,,.1 I +]' b)(r- z.os., i{1,.-r{.Rta "arc. al Dei.:4ta f'lt) = l2r -3r se a l@, petrl.D ,:0 5i r=r-t,. Sc a,:c.,r
e, /"(o)-o rii(3)(0):-6t0 ri .1eci,-0 u sre punct ae crt'em. oeoarccc ri",;'*
[-+.ji ..,.;...",:.";", ;-. aci uo pudc, de e\ts,c. u:isi*s ".," ..",
de iijtduEeb) Arcd/'{r} - -2{nt-2f }. dcL,,rr)-0 pelh
'-(). Apoi,/,{0)-o, / {or -0ri
la(o) - 2, cH cc implicd Jdptul ci r - 0 esto u pudcr dc mjdn pclrru luucfb datA,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 138/344
/27 Cutrr trebuie dimensiollat: o cutie lilindrice dc conserve pentrir ca la o{itfcitate date $ se lntrebuinteze minimum de material pentru colstmcJia eil
Rc,,|od/e. Ele V -.obst toTuoul . tiei. D..e lotEnr j ,,r.za curl€j .ilirdrice $i,int s€nera-
,c'tu . arD,c, z - ftr,, d. ,dd. r - *Arid,o,al-r..iiLJ,..Licsrp,4.\re2i1 r-ri-
-2,,, -v.. A .h ; t ) - {.,rr - r/)/r ,i .@rd s. ,,L.,,,I.n,.,."*lII'''.
"-",*. \4r,? "(r0) - l2t > 0, retul Li .e ,. ost. u lunot de Dinin lentru / (x). prnr D rnare, dimensimile curiet,f \tl, v .rllr : r-2. ,,rr i r. - l - l 5i hathngr.-_.
, Val i,i(28.). Si sr (JI rl"re Dentru functia fir) -,rr I. I v-li"u. l./rv^ ,, --l$ h -tt',t sr diferenjrala ajt r"l li ;i.. :n,o)np,r ,cc,r. u.io"i. a", t
'i - l); a) /r .111,) l:0, Ir(J&-0,0t.Rkatudra. jaetu l/{'r r)- {1,8-?)i+ J,.t".l.hE ri tVl'r, r) e(.],3,2)r, n6ncr o.i
A/(l, r)*l+0n:+r, g dl{1, t) -r. Apot' ) A/(1j l)*Jsid"r(tr l) * t;b) Al(1r o,l) - 0,131 9i dj{l r 0,l) * 0,I j .) A/(1j 0,01) * 0,010301 qi dl{l i 0,01) - 0,01. coblo.td reh drele,.e olsre{ cd pcDtru v$jsiii 1101 dlo dguE. t 1nt se poate pro_\ind vdriatta runcJtei prin ditc d "
fid. sa.
2J. [)ri mis'trarea direcL; s-a gtrsir c5 diarn(Lr t u..rLi ccrc csrc r,- 5,2 r:m,eroarea maxina tiind mai mich dellt 0,U5 cm, Sd sc ai.scascr uro:.rea marimA.rproyima.ivi codrisi ln evaluarea trIiei / a accsrni -(jc. S,i s( nflc cro;uca rcla.,,r.1 lla 51 asa Drocentunu
gL.loo.
Rt.alw4 D.at..e ld, I < 0,0, rn e16 ri. in conrpnulio cr ,, rczuu{ .d pu1(l6 rrro}ilrryrnnth oiioi 4,.1 pr'lr dll.rontlrrr aJ, pootrlo Z - Il, fl,a,t1] d.t .= g dr ij dccj d.{l <0,i t rtrr,42
relalivA o*o-94 -
Ia, -
9,91pt,iar .loarN f1..inhull .sr i.r{.i..4r
,]0. Cu cc croare relativ, se poate mil$rua txza /l I urili sl€re, dacir se ccrc caei si, fic drrrlrrioat c,t qxactitare JL lo. l
.tr,ro,ral,. voltrmDl ricr6i ..to I/ - {i,Er/3, astnt o:L rtT, : {ntt (tr?. lt.oorea roloiiv4 eero.4/l _.. d.& I dV I I I
"','t csto rte i,
rehtivd, ln mn$nra
8.1.2. Problenre propuse spro rczolvar.e
31. Po rird cle la deiinitie, st sc calculeze derivata l'(-vo) pentru I
a) f(x)-fix+i,'0 - 0Ib)y'(r):tn(r, t-5.v),,ro: t;
c) /(. ) : siD (2rr + 1), 0 : 2 r d) /(r) : tg r, r, =. I.32. Sir se calculczc derivatele laterale ale iunclici /ia) ln purrctui ro pentru
a) J&)
-e' t, xa'= 1 t b)
tk) "-| *
l,ro -- o :
lsinr, r<0.d) lr: l
larrS\.i>0,a *,:{:;:7:
O,ro:0i
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 139/344
a) f(t)
sc ccrcetcze derivabilitatea {unctiilor:
? 3y), o-1<r [,*-, 'r <'
-i) izt,,z. *rtt b\I(n -llrrsi;n'+ -i'. :
l'in""''n'' '"i' 11. x> 0: d) /(Y)-,
[91''"''"'-''-'r) ";',),0<r<t:f)/(r) : max Il l - vl,3l t l,:r e..[ ;
Ir*. x < t,3+3.r. r). '€R; r')/k) =l 0. r_r,
ll,r (.rr- 2r+2). r > L
(x
ln
5
4
Lln
_II
x)
*J
x)
f(
f(
c)
€)
s)
34. S; se determire coeficicntii d. , e R, aslfcl incii functia
14-{r"':0 t <e' si rie derivabiti penrru oricc r> 0.
lat I b \'-
35. Folosind regulilc de derivare, s.i se catculeze derivatele u(mitoarelor funcfii :
l/.3l 3l
--
)/(x)
-V "-tI L\
l(|- Vl+V:';c)/(r) -e
';d\ l(x)-z&': e) lln tlrnl-'; fI /(.r) - rrccosa rt )f tt
s),t{x)-.Icrs, ,i=,; h) /(t) -arccls-rA. a> o;
t) I@) - x'| | J@):";
k)./(r): rt": t) .l(x) -2n;
m) ,/(x, : rrctg (tg'r)i n) /(i) : (l + *,\li : u) /i'f '-i ",s; -
- i.,r.i' py 71.".1 - r - ,f,arctg '
+-':j"',
36. Si se studieze apiicabilitetea teoredei lui Rolle pentru ulmatoarcle fun(lll :
lcosf,. ,: € Io- i:l
"rrr"):1 . ).'."o.1o;l;L)/("):1,-ri,,
lsn
1,' ,{ c
[-.-j
37. S[ se discute, dup:r (,alodte parametrului'',
ddi.cinile reale
a) rz- * n: O, x> Otbl znf + s2 _ 4Dt-O, N
pe I0, 21,
ale ccuatiiior :
e tt.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 140/344
18. S{:gjLetermine atsrsa i a unui punct, tn care tangenta la curba de ecualie/").-Vr+ l. - -1, rj'. p,.aLeLi c, coarJr c. uu-rlF ljurlcretn tF ,l,sci.i.-05ir-J.
19. UtiUzind I orFma lu: L"Brd1ge. s'. sa.lLmonsrr^re urmaro"ret., in gaiir.rili:
.Lr cir /, -rinJ < ,-r ib)t4.,aa -rsnab-:J.0<a.:D< a.
co.tr'
- - -
l40. SI se demonstreze urmitoarele inegalitlli I
l. rsr2.r -,r-10. ^l:r,r",-> t+,.(Fo;3 \ 2l
c) arcsin,v> r+t, r-(0, rt; dl icosr> sinr.t '[i *]'e) sin:u> r *4, *> o.
41. Si se deterrnine valoarea rfurldtiilor i
a) /(,) : I r, ((')
care intervine ln teoreme
luiCeuchy
ln cazul
€ll, el ;
b) cQ):4. x e lo, 3).
42, SZ. se.dcmonstrcze urhltoarele cgalitifi:
a) arcsir Vi-;s + aiccos r: 7r, , c (-1, 0) j
c) arcsi.r .r r3 rrcco, .r Flrcs:n 2.. r---,:
"=l-Jg'al.
'''_l*-,'i/
4J.q'" rrr. (r lrLcnr/lvr -l' f l l, y>0, cslF cresciro r.". rJ, f,rn.tiat r/
-"'.'. fr . L)''.r-o.csr'.ie.cr-s.;rodrerianb-t^ru rc.,.:,?j l- nr .-. i.rJ,i ,.t, nun cirr. inlrnir
44. Apliclnd lorrnuta cregteritor Iiriie sub forma ilx ,l h) - t(") - f'(x + Oh)k,pcntru funcfia /(r) : o + bx + c eo,, sI se calculeze 0 5i si sr arate ci esic inde-p ndent de \alorrea lui r.
45. Si se celculeze /"(i).1{i.f (r) -.J,(k(ulJ, e fiind o fLrnclic Ll:Iinitr-L pc It,care admite derivatn dc ordinul al doilea, iar /, este una dir funcliile:
rl ,(x) =.r rin.y I oj ,(r, c.'; .t tlq - .
b)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 141/344
4l6i Si se arate ci r
a) f(x\: (a + IF=-D verifics ecualia (r'? - 1))" + xr' - k'r:o j
b) n.r) : - verjfic; ecualia u' + ) = 3)s :ic.s zt
c) f(t) : e-" cos* verificl ecuatia ttt) + , : o :
d) /( ): Cre-'+ C?e t', Cr ti Ca Iiinal constante arbitrale, verifici ecuaiiat"+itt'+zr:0.
.l ScDorledeterminad $i b asilel ca lun.lia/x) -- (ar - 6)e?' * vedficc 'u-stia'l'{t - 2y 3, + 2 ' - r : 9x e" ?
47. Si. se ileEonstreze ct Polinoarnele lui CeL i5e v P" 1;) : jl cos (tr xrc c os ,). *l l
o e N, vtirificir e$alia (l - x'A)P;(tc) - tP;(x) + n'zP,,(x) :0'48. Sl se calculeze derivatele de oldinul ,, pentru urmb.toarele functii:
aJ fQJ "= e"e" 1 b) /(r):l$(ar+b): c) flx) '-(ri'-6r+2)-1 j
d) /(x):cos'*; e) ,rf.):f r t1 Jt:u1:'=J"':: 8) lU):xse'zt;
h) /(x) : si x1cosa,r.
49. S21se sc e formula lui Mac Laudn de ordjnul t, Pentru funcrla/(r) - v/V + N,
N> -a, d> 0.
50. 55. se dervolte polinomul /(r) : ,s - zt'| + 3, -- 5 duPll Putelilc |)tregibinomului r - 2,
51. O coardd g ea, suspendata, su} actiuned Srcutdtii salc i,r fornla li.nlito-flllui r: achi1. Si se atatc ce, pentr.r .r. mic, lorrrr i.ces'ci coardc cs:e dat:.
aproximativ p n ccualiA paratrolei y'- a1{'
52. Sl se cvalueze eroarea comisl tn urm[toalele aproximftri:A. .t
a) sin:r =.y-lx-, lrj<-1t b)Jl--r l+:--- r€ 0, ll16''' - 2 8
53, Sl se determine n e N, astfel ca
FolinomulTaylor f,(r), ln ,0: 0, asociat
funcJieil(.r): e', * e R, sd o aproximeze ln intervalul i-1, 1l cu trei zecimale
exacte.
54. Se presupune c, in formula lui Mac Laurin pentru fu[cria /(r) - cost,,r e R, n:5. Se sc determine un interval de forrna l-1, y'], pe care fr(t) si
aproximeze functia cu o precizie de 0,00005.
55. S:r sp calculeze cu aprcximdlic ti sl se evalueze apoi erorlea comisi. pLnt,u
.) V:o; u) y;;""") ./" ; d) ln (1, 2) ; d Jzn: t) arcsin 0,4s.
56. S:r se arate c5 tn dezvoltarea lui Mac Laurin a furciiei/(t): e', I € R,restul R"(-v) este inlerjor lo; -{lli, pentru ,>0, Se se dealrrci apoi valoarea lui e
('+ l)lcu trei zecimdle exacte.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 142/344
57. Se se arate cd restul R.(x) in Iormula lui Mac Lauri Dediru fuoctia. /fr) :-- In (l + t) este, in modul, infcrior lut
,' + lxi+ 'r- ' Pentru -1 < t < o'
Si se calculeze ln(O. 9) cu cinci zecimale exacte.58. Si se calculeze, cu aiutorul formulei lui Taylor, urmitoarele li nite :
a)Iim"'o'-"io" b) Iim ''si '- '(l l-t) r c) lim t8'-d"'r
''
r I rqy=1.59. Sr. se deternine punctele de extrem pentru urmltoarele funcfii :
t0,3 tt+L'
h(r+e-3), r> 3J
c) /(r) - cos r d'"", .' € R.
60, Si se lnscrie lDtr-o sferd de razi R un con, avltrd aria laterale eaxiE)d.61, Se se circumscrie unei sfete un con, avlnd volumul mi in6?, Intr-o emisferi de GzA. R sd se tnscrie utr paralelipiped de volue lqaxie,
avind baza un petrat.63, Si se construiascd un vas cilindric deschis deasupn, cu perelii gi lundul
de grosime dati , 9i de capacitate d.at{" V : nat, astlel incit s: ie tntreluinlezcminimum de materiaLl
64, Cu clt cregte arid unsi cerc cu raza Il : 9E,5 rL dacl raze sa cterte cll O, I m ?
65, Un rezervor cilindric .u rc.za d.e 2,7 n, contine lichid phi la [email protected] do8,2 m, Ce volum de lichid trebr e scos ientru ca nivelul lichidului s[ coioare cu15 cm ?
66. S[ se afle volumul urr'ei sfeter al c[rei per€te are grcsiooa ale * *,"utoddiametrul exterior de l0 crn.
67, Intr-un sector circular avcm R: 100 cm Si ungbiul la ceBku c-60..Cu clt variazi aia aceshti sector, alhcd I
a) raza R se mirette cu I cm ?
b) unthiul d se Dicioreazi cu 30 ?
8.2. Fhnciii de mai multe variebile reate
Dclvate la4iaro Dif@Farc. Fie /: I CR' r R o fd 4ie Ml iio itar vdiabile rals ,iie (, , r0) n prmt iatqior dn1fioii.l. Fnena jl,,,) ft L puactd (,. /.) dqiyati pqfirlatd rapoft cu @iab a r (res 6tiv ,) dacd, qisrE .
trn f(,. vo) -/Go..]o) , ( ti^ l(,. tt -J1"., tt Itu'u" t-t. t
, -f, z"lt
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 143/344
Fi acesta este linitA; limita insdgi * nnbelte d€ri?5ta larllal, ir mlort cu r (respdtiv 7l ahD.lrl
/(:, r) tn p'nctul ('0, /0) si se not€aza 4('0, r0; *.r4'""r [*t*n,,,i',
t"r *" r',""r]
lir.ctia /{r, J,) .ste diJcrcnliabilE i. lunctnl (,v o)e A, dac, vdriatia s A,/(to, J'o; /l, }):
-Jlrd I h, o+ h) - l'r, yl paale ri scrls, srb lorna A\4 n) h' h) = LAl,t ri + al'aroln, h)ln + V,l'r, rr) + ai,r, o: h, h)1h, ntue '|d?o o) d - l, 2, siit dori mnrr€ rqle, iar
da'r0.J0.,,, 1. turi.r5".'..,,"
r'. .,rr0,:10:/ r'-0a-l2rr. r)-r0,0)
Direrenljala lu c1ie, / are €* ,ai. dJ - 4d, + tdt., Dertvate parftlle Si dit.renliale de ordi. strerior' Dacd cxista doivrrcle Pa.fr.le ale luncliilor
't ii ,, .le se i"n*c d..iv.te l)arljale de oldnrul al doila ti sc note^zd asrlel:
, i ,tt o2t ? t Jt YJ,.,_t';,.:,1.,1 __'", r. ,',_ ;lf l F... .. :.tlt ., :,,1, tl',,=1"'-lrl---.' zJt r^.). .rl .t
critcilrl lui scl,sdrr, Dncll i n.1id / &ro derivrta PUlirh ml\te do or ljntrl al doihi 6 5, 4i
tri.'o vecn,rlnte a l)rncirlrj I,t$ rn) e A ti dddi /rr 16 slrt (onrtnnc ln (r". x ). trin, cL 4;(r ..vJ-- J"ltn t:
Dil€renlioli de or(hrtrl , d (r,n,:tici ./ erte
ay- 11 a,...-4. j'' i = -'Jl ,6.' - 6;-ll-
r- rr -...'Ii' o: I ; ,r'- '
...;4.11r--j:ldrdr)r-'.,"14.,.r, ,i'' i tc"-1 a)
runcltlcomrtseD. tv4tcld4ldlcqidlrderll4lc.lll./rC1r'ii/JC11r'l)(rrr,lr,,r" ir),. t
,.., t^(x x,, ..., r, sinl ', iricttt rcole dc I lirnLbilo, ddi ils Pe nrullirnc{ r, ditfl,trid)ilo1,,
pulctur&k1,,3, . , xg) dsttor incr (1,?, e3, .. , *) €,D,rl-,,('1,"3,
...,"3),
i "" r, 2, ,,iit docd l trclir I | + n, 9(r d, .,
")catc o 11,noLic rcaln (lo ,, v iaL)ile, dircrenli l)ilit ln
puach,r (,1, (ll, ...,,11,), lltuici l$rclia tunp, $I1 J\\,,y , x',) - ?(,r(rr, 's , 'J,u"A,, n, . . ., ,,), . . ., ,,1,t, fl,,,,,,r) *to dilckntri,n,ild h (,1' ,3, .,,1) €.'1 r.i deliuetcle
solo lartlalc ln lapon cu voriabilala rr, i * l, 2, . ., t, e4.alcnl{aza du/r Lsea
L-tj .fut-lL. r+. ).iL. . t- t,2, .t. tz)at, .vt txt .\ .r.i ir". :^t
'ForBulo lui'lny o , lr€$pnnen qr' lunclid /:,1CR'-R arc dcdvRre larliolc- coritule
plorla ordirul ,-t^l inohsiv, h domcnill /l C B' Ddcd (,1,,1, .. , rl) ti kl--7'1, 'l+, , . ,,,,., a*+ h") sirt dold luncte din,'{, oc pot fi rnitc Prlntrrtn scgrret de d(APtd, conlllet irchs
ln ,{, a$nci arc loc lornuh lui faylor
l\9 h1.^.--h,,.,"r'rr=': i,I,,i.f l,:
+ - ayt,9,,3,,,"1 1 --L,1'y1,1 + aht, rg r 0n,, ...,,i.t ohp), 0 € (0, r), (.r)
, l - ' ,J" lr:
udetmtedilerenfjalcleslntcalculdteleniruoetterileh\,h2,..,, n/ ale v.rirbiLelor nrdcpcndcnLe
Functii onosene, Frnctia I r /l C R'
-R se nnneilc o o6'eta do SGclll ,, da.d Pcrtnr o.ic€
t € R trrc loc .elatia
({)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 144/344
Teorna-lui
Etrld. Dac{ tnncfia I admile dc;iy.te parfiate conrinre jn,.r, atunci o c.nditicD€c.sar5 9i sllioient6 pinttu ../si fie omoBhr de Aradrn, 6te e
tJ' + 4l:, +...+ 2, 1",: nJ. (i)
Deriyat. duld o direcfie. Fie f ,ctia /: ,4 C R3 _ R, tie lrro(,fr /G ,0) xn pund iterior nr u4nun ;ii I (cos &, cos B, c6.r) o dircqe d*e,_ Fje Mlz, r.4 nnl,"""t L,-...
"ia*ita.gal
"eer, ee pnu rr,
9i are recto.nl directo. t. Daci, *iste si este finiti limfta
lr ,*^t -. ,r-1t - :
llvlvttlI ,ldo'tt iatDnci aceasta se nu'nerte deri,ata rulcti4i / itupi, dn@Fs t.
Dac, €aisrt dedvarcte t;, 4 ,i 4 F a@sr€ sint c@iinue, at""ci
: 1n - I:tMl "o. d t J',t ,otc6p 1 t:tvl.a f.
Likr'. jo. j- DenrrL rr4rii a"."i -,rr. rarirbir. r.at., FG /dD.rraJ.il CR,_Rr .'.Y.9 .: , uo.rdrd,-r.FrD,i:a/rrc hinim toor ir on,rlt \0dd,r "*.i.r",,.,og,v{i,itate I, atuix0.sffer inctrJ(r) >/(jo) pdrn orice x:{a1,,.,..,,,t=,-.
p,"",,rl,esic pu .i d. ma^-'im tocat pentru ftnctia/dml f(:) < /{\) penrru orice x € },_ '
Da.e lunctia / are {leriyate pa,tiale coDri,rc pi.i ta ordinrl doi j..tusj?, j;lr o veciriilar aprn.,r, . drio -r -" - r,0. .,1. . . ,ir."r,.-,
. .1 dac6 dy(,J Arf nozlr i. rr .; L, :D5l : r' q p.rl-- 81'"^" cior), puxcrut ro csh ,:u punct d. mirrm Frr , r.r. a adj r, ..rcCativ deli,ti (c. rorma patErici), ro.stc un pu r dc rtuitu penrtu /: .) a."a ayt.") t. ii ".r-tozittle si ral.d ncgartre, rd nn 6te lhrct dc extrt,:.
Dacn se noreazs"":fl,",l..l,i.i:t,2,...,i1 si Dt:
'" "':
h = l, 2, . , l, atunci c.ndifia aa :o st fi€ pnnct dc rtuim 6te echja.tdt; .u comtifiile ,r > 0,D,>0, .., D,>a; condifia € \ sr lic panct de @ in: esrc echi,aleira", -,atgiir" a,.0,
D,> A, D <0, D.>,A, ...itr caan xnci irncltil-/(*, r,) dc daui ?aiaLrre, preupu* a av@ derj.Tarele partrarcde o t,.trl
doi continue in,-i CR', a) dacr 4(J ,i,) : _4(,& ro) _oFj,"_41," y,):'o, "",^-,; _,,,t,.,,rv,-.\t-o.,t;,'o.yorounirurt,o.)b),Lr,*.a,,*;"r.p-i,..;;,"."r':,,.". ,
1,tt.": r.y): o i, /0<0 ,'ra-sB>0, rr ,drr {,, ,,0) M7i@zL \n _"_*. ;.,,,;" /,c) J4 e t( 0 ror: i;(1,. \oi:o" '"/c -.:<q pn,ctul (_ro. ,.) ou
"","pun"t a"
"*t..,fic iun.lia /:l CR, r R ir6Dpnsi dilerdfiabi 5 in .r. Aso.idn tu,.fiei scatare
/vecrorul
Et^,lJ: U:, J;; .f:j ""\\it cadicDtur falctiei/ tn pnnctDt (,, ,, 4.s.,( conriderim acro ruefio recrcriar.L r(?,,,,): (ur(,, r.4,.\1,, ?,.), %(1,,,2)), n..r.
iuncliire scalare \(t,t,,), t:1,2,3, sinf prcsntrse ilifdotjabile pe",,t}i-"u e, S" n.,,."t".
dvcr;e'I,, /-.ro tri v -alarul
1ai""- hstr; 3'\ ar 2r i:z
nnm ffp rctorul leltorL tui v TEiont
r:;' 'l:i' i"i: *;, , lu; - ':.')*"t, : L.t ,, ;. ,.
i,
l
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 145/344
8.2.1. Probleme rezolaele
Pornind de la definitie, si se
. 4 t(1. o1 * t;(7, 1). a*x n'b)/;{r.;) st /;(1, o). d^caJb, r) :e'ha'
c\ lhlt. r). d^ci JP. t): J7llz '
d) -f:,(1, rl Fi J;;$. 1,\, da.cL Jk, lJ : , tn t, ,. + o.
Raotraa 6) h h6.a detrDitiel .vctu
rt' ot - tla. ol ,r",-'ua4[:,ol-rr,,
" ' -t1 t= rio'-----j-Ji,tr I - E 2
1411
v;rc_,'- rt "t["-.- dn, - ,na
-€u"'----l-*.n,-a ,--
Procedtud c. 6.i 3N, obtinen
' "tp'/fral-rDsj-=-.n'n"'l z bt '-t
-1
?.
"ioI.r - s" 3
r{i. i)- *". -i
calculeze :
lJ:Vsln.r+$n"t:
'tg e-r ;n3r - rc' -t 2
. t-l2
-2""q+('- 1)
t{t t-L
l(1, o) : lLb ----:= o.
"*f r,+ tt
a)^'en
/^1. tt ' tfS:"1t, 4 * w 4A:J - - . e".
'^''n:Y,ry-P- :'d sidnar r(L rr: f . r- *';,*,'11
(' - \rlnlV+ ^tT+h 1r+7.l
-,- ('-'-9)(*'**),'r{,-;)({;;;ft$
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 146/344
d) D.dee/j(r. r-llTj:5g5-rurr:rr,'r -31*-,. r.zl,,a .6
siirrd, ,,';(1, I) - r, de@@e
ttlnt-rlnrJ;tr.t):tn-' - : --'ta'tj4tt,1-t l)+0.
2. sr sc xrare, i Juocl ia Jk, yl -lt'dacl
^/ o sif *0'
nu .,,. .o,,,i,,,,10, daci r:0 sau J : 0,
ln origine, dar admite deivate parliale in origine.
.?eUlM'.. (oq\,alam ued c ruelb Du ere c@four t' diatu. d.dFr rs /(r, ,)- l*/\0, 0 .
Ato
.".^. o : r.".t/j-jl:j 0:jl = o ,i /(0, 0j - rim 1l9ll-:ll 19 - 0.
teaenflu ne €lmitc sA baglm co,ctnria cn Dtr o i@ fqnctio care adDire d*ivdrc la4ialc dc
ldu irr r.port c loat6 vatiab ele nn -rn punct estc @nrinu6 h acel prDct,
-..3. t oruind tl.: ).r defjnitie, si sc nrate c:r functia l(x, l)-.rc - ay+t: €srcdifer€nljabjli ln Imnctul 1L0(t, l).
.'ldrluar, Colcrllnd valialjo flrcliei, oDtirEnr
Al(1, l J 7', ,i) =/(1i. r, l+i)-/(1, I) = {, + lr + litt + h,yt + lh + h)hvid(,.r, l'n (3n - h?) : Iinr (, .t- l) : Oi Acosra arars c[ iuDclju / .src d1er/.l) ,Lo. o) (n,tr-(o.0)
rD punctll (1, l) ri ditcrdlielo s 6rc dllt, \:1et+3d?,
4 Si se arate c,-. furrclia /(.y. i) : lxrbz+ r\-t€' ('r'J)+(0 0)'
I o , (*, )):(0. o),
$i admite dcrivate pa4iate in origine. dar nu este diferentiabilt
estc con.
ln acest
r,,,arr,,.. Deolece o g
-g<
-rlz:
i:,, ezuxirim
;',: te Jr. rj,r)-(0,0,corr rui :n .ri8rn-. Apo,
/(,, /)=0 iideci
runcfial
4(0. o):- rnI4I-4q- I : o ri 4(0, o) : o.
Presrlurert pri, reducere ta ah$rd cI / d fi ilif@ntiabil4 t, oi8i,e. A ,ci ar t.elui ca
AJlj, 0.: t..h) : u:lo, o) + dtn, kJlh + Llip, o) + a,@, h)lh,
dd(r. ii : 0. cum 4(0. 0J *4(0, 0) : o, eaalitat€ de mai su> sf pGip .. f.e
;;'iu u; - ,to' r)1nL,rr"* ru,,4 *"+'"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 147/344
lrlttlllnlla pr'elonrnft p rr lr iotd h li,nitn sn n?ero lu --]l- - o, eae usP@te'r/,. *r-ru. o) l' + ,{r
rtu,,1, ,,. 1n, --11-- * ---tL 7 u ,,.ir,u ,n , u.
rr,,0 ,Lt. i I | ,r,
l] Sl se c,rlcr-rlcze il,,riv.rtelc parfiale de ofltinul unu Pentru urmitoarcle functii\./ -
,t) llx, )) : e"- " I h)J(x.)):(r"I )\arctgL,2 a0;v
cJ (x, ),. z): err+,r sin ? A1 ll:r, 1'. zi:11\fy'z', x>0, >o.z>0.l?eot are. n) Ps.sttt\4 t {kat, obfined 4 - e' ,i; prst.ind
'iixat, obiiqem L - *zve' *-
or P'o. "dind rni'-r, or lin-n
r. u,acrgi rsr/o "2r.r.'ea-t)
c) I; - 2' nn1' e+r: J; - zt nn2'e.4a ; l:- 2sia' co
'e. +n
d) Puten scrie
/(,, ,,,) :
,ha
+ '1"+
'ttz,asttet cL
Ji _ L + t" ,, l, -t", + a ri J::tt1y +:.z
lb. Sr se calculezc variatia totali ti diferenliala totab in punctul (1, 2)-a func-r;"i/('. l, - -y,/. S).-.omprre dcFrrcx pertru: at h -1. k '2, Ll I - 0.t.
02: e) I -0.01., - 0.01.
Re.ateare. \atialia totarr, a funcli€i este Al(1, 2 i ,, AJ:4h +h + 2hz +2hh +hth,iat<lil.-rcnriara s este dJ(r,2: h, h) = l, + i. Apoii a) l/- 11 ti drr" - 6r b) A/- 0,662 ii d,r:0,61
c) A,/- 0,050'4Ol
$ 4/:0,05.Se ob*it5 ci Pcoilu varintii nici ale a.8ldent€lor se @16
variatia lunctiei ri dife.enflala e torrli
7. Si se calcdeze vaioarea aProximatil': psntru 1,023'0r'
Rd,,r,a'?. cdnsid€dn r\n ra J(t, t) : t"i aLesem . : 1, : 3 $ I : 0,02, l - 0,41. De'
oa,c.d va.i^tiilc argldeit€lor sint mici, puten aproxi@ variatia luncliei I prin dilerenliala e r
Al(i, I iO,O2;0,0l) d,/(1,3:A,o2tO,OI):tz th +,'l^r'h:3 1 0,02 a- 1i 1 0,01 - 0,0d.
t\jn u.ma.e, f(l + O,O2; 3 + 0,01) : 1,02 ,01:r 1+ 0,06: 1,06.
8. S: sc arate dn derivatele parliale de ordinul doi mixte a.] 'iot.,c|ici f(x v)-lr-lnlt :-1. r *0..-) l , ) ' .1u.inr
"onrir - i.ori8in rr tuturi/,, r0. r' -= /,1.(0,0i.I
I o .-'-0.tl "" l/ ,'
naolid"e. D-o..ee .n d\ d p orru d > t. ezn6 cr 0<rt'kU t . - <2rzY
t -
r de.,ro.e rim :r,/.,17: o, -..lti "eti6 J@, ) -l('d, o) t deci iudt6 €st6
.onti,Nd in tot planul, Fnnclia adnite deriTat€lc la.tiale
l.'n v*0. _ i" "{,-;J -t ,\, r:\j+tt ii 1;1,, t)
I o ,-0. I t) , :o
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 148/344
I J3l
, I"; 'o'., ;',,-l .'u"" 'I o ., =0. I , .y-o.
/;l', t) = l:rlr,
).
sc ol,*rut ce ac{.stc derivate pa4iate lrixte nu,iar contidu€ in ongile, do-
1rr 4 oenru ,, 10.x-,r ('1 i- rr)1 (t + h3)'
9. S:r sc c:ilculcze difercntialcle de odinul intii ,i al doilea peDtru functiile:,r )1',.1, - p. c.,: i t), t,\, ), .t.- tyz.
lizyDloaz, e) Deooreco iunclja ldlnit€ ddivate parrilalo de oric€ or.ti , contirD. in r.r ptanut,cd nite diler€niiaG d6 orice ordin, Dar4 = e'cos/ $iL _ _.d stn ,, a,lfel cd d/ _ Lj(cm y,r, _-sitr),dr).lApoi 4l =ot.os/, t)--a,dn,,i/j: =_ercosr, a,aer ca ay=[-.9-at +
lri'-;.d)l '"J:.It,,t_2J;nrt, L./,: r),, _ e.tco,,{d*f _2sjD, <rdr, _co6 (d),.1
b^a.h
.'i = j., J; = ,, r,4*,J,6srt€t ct dJ 1r,itx a,d, + j9rd.. Dcdccc /, =/;; _* t;:, = o ti Ji, * z, rii, - ,, Jii - y, ruzdii dy- 14a,+- at+-j_a,)t41=z,a"isa.- 2. dtdz -- z, t),&, at at l
.. 10, SiL se calculeze dorivatelo parlialc ti diferentiala de ordinul , pentru frnctia/,. .") : s"'.
Rcratrvdl'.
Pntitlisc'aa
1,, ll = an"anv, o,11o1 "aj"z.
-oro""orr utErI
-akbtr.*.t) _- a\b- J, t e s. lnrofl,r'.l td In.nurn 1r,, n,.,n a"' btLa'j-r
dtl : l'ng4r .t- c1r4 -tb.1.14t.14r .1,,,-r cnb^ldrrl ^ eM. wkd" + b dr)r,
flsi sc ,Lr:rte ci lunctir /(.y. J ) vcrificd ecuatia lui Laptace A/ - 0, unde6/:':i _ ;riind c;L: r,f1r, r.r - tn(.rarrrl: bt Jk. r): a,ctsZ.
u".r**.,a r,,*7;: r'- , /,,- 1l -l9eldh nroii.,e.je siqerrie t:.::21) - t"1.
., ),ts ,",1,, _ r",")c rlls r\ll ,1
-\/=0I , .
-',,' .., 1.1 , 2"t- ,' .-
.J " ,_ t - t",, - u;,l"fI'rltr urln. .ll - 0
l). si .. cnt ,,1,z.. .'lI . ytLrnct ,: t : JOr. 1)) ,i 1t : u(,).0 : zl(. ), pentru func_
l:il :
rt ftu, a) : ." : b) i(u, r): Jnf+;,: c) l(%, 1)\: arcE .
,?r.or a/a. Folosid regnla dc .teri,are a rlncl o. conpuse (2), .arc pertru €zul de iatt sosc.le snb forn,a
dl aJd aJ da
;- t7)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 149/344
s) D.nt&.1; - ouLt ei /o- ,r in,, rozdt6 ci.q : ,,' 1,'+ q'l{ o'. s. red*opera 4stler
lmula .i6 ilorivde . qprorn€i (n(r)) (') d; b t tr4ii de o vaettrl{ 161I.
b) I'acstazt-"(,r+ rzJ-1t' ti J;-tl,' 1' u')'t',6sHel c6 dnpa (t) obti..mj4-("r"
aol-,/r{,s,+@).
c) .a - rrt + ur)-r(vr, - ru).
13. 56 se calculeze /. qi lj pentru funcfiile:
^)l(11, t)) -lI.(la'z+ v), n\de :eo+",:tu:12+ l
b) J@, r) - arctg a ,t oo6" r : r sin ; ii u - xcos].
Rd/0dra l\ scest c&, regula {2) de dsiva.e a Iulcliilor c@ us * Mio
at at tu ,l tv Al .l ?u bJ a.8)
or A bx .1 Aa .t At a At a,24 I
r) D€oiroce /; - f;;,t,-; " ";=ab'].,'.-2'.dupd (8r fzultt
?t : -]L F, e, .. Iz, *
-i- 1,' -p 4.
Lpai qi-Zta,+'-2ru tir;- l, osllcl cil, dulil (8),
, - -:r-.2", + _l-: -J-,ru'y. t1.
Ar vr '.,n
b) Aleo /; -
-,
L* - --:--, ;-.iny, ;- cos1,u'u- *cosv 1t oo' - z sin 1'
L- --:- "a, - -l- "u, ': ..1- r.n"u,r,," -,in ,
"o"tt - o, L- 4'a, jt+ot '
'iral^Al
14, S1 se arare c: Iuncliilc urmilorrc vcujficl ecualiile indicatu:
aJ /tx, \,): *ffl ,rerUi.i cc,r tit\xt;--)J;:0,b) lk; l, z) : yfuy, * 4 1e - pl verilici ecuaJia rzf -- 1rl; + (rz - r\J; '. 0.
xdoJ'aQ. b) Pehtrt calc[ltrr denvareror larliale /; 5i -r; ilttuduc€h I"ftti& k 1i- 1 ti
lolo.im legea de ddirare a tun4nlor conluse. Astfcl /(r, ,) * g(r(t, /)) 9i
.r; - 9 . .i" .*'I--l . 4,=
42 . :. - q.-dnJ,\J',4
F.itr u,naR. r/j I rt;---q --9'-a
b) Dace iltloituc€n tuncliile e{,, /, 4 =4 e\rlt y, z\ - rr + r' - 1r, .tub'it(", 4 -- pt"@, r, 4, o(r, ,, 4l sr 4@\ f;: s; , + e?,: te" + 2.te,, J; - e.";+ e,"; - ,e:, r" ?ve;
/, - p""i + p"'i* - z"pl,.
*J;-14+@,-r,)Ji**l e;+2 ?;) - r,\'e: + 2te:.) - Q4't * ,\e: * 0.
\s,n:" | - l@, rj, unde r : ,r) si r - a. Sa sc calculezp J;, J;',ti 1';.'t.,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 150/344
R*atw/.. De@tee a;-r..i:-L"";=,,,r:-i.0,*
reBrra dc rci,rar. a r.:no_
fiilor codpusc s,b rotM (8), s'arI
r; -r;-i+1;,i: yr;+;f. r;: r;-; + t ;: "4_;r;.
t;: -. u:t'. . 5t , 1 ''\.to).: ruat, | _urtI
PontQ carculul {tcn?aEror u:)i ri (ji):, vffi totci dia trd le8@ de ddivarc a ruocfuror .on-p * srb fonna (8), Jnl@nind tn a,:4te rontrr5 fnnctia /, pe rrnd, pri 4 9i 4 :
U:,)i: U;t'" -i+ U:,)'.4. 6'": (.):,,/"+ Uk',,'",
Ui', "tt::' t Ji" 1152- r1;7t ltlIt
l.bcl1ild ace€f. e*pr6'ti l 4i, se ded"co
r; = r V:, + ] t)+ ) pn:,+ +)- *r;.+ u:,;- jt:-" ri,-+/,i+,il++l;.Procedld simld, obtiieB
/;- 6,;:pfi++
r;)i,"-,u:s;+ u;;+ t- jt.Pc
'trcslo,hl dcrivatelor {{); ri (4); r4tosim ronnuta (8h, tD cs€ rllocuiE p€ rind e / t.l {,r /, trsil.l cd
V,t'" - Ui)i,"i+ UA:.,'t-,t;- #ti"
. (,)i : U;,i'6 + t/)1", -' /; - it;i.tol4in.l acosrc rrrltrale, ob9nrcm
n;=,('n:,- *il)+ (n;-4t:)+tt-;r;:"/"t-+il+ r;- /,
, -,.,' L. ,,\' ,,, z,.,
t .,. x ,,1 t t . ,.\. *.. 2t -,'' \' n - ; t- ) V lxt":, .
; t;:l +.-=r",' t ', - ; t;;.
' lt, I I a4: zu,r:;i i:, Efi16. Si se alaie ct rnrctia, -l(', ,) : epc _ ai + gV + dJr, unde fudctiite
9 9i
{adurit derivate d€ ordinut
doi, satisface ecualia coatdei iiitaate 1;, _ a,1;1,,e*dodz. Inkoddeu tn{4nk d(,, i-z-ar g olr, r)-r+.r, *ua o 1a " il-e@@,,)) + qlt?, t)). De@ree,;- 1. "'"- 1, *:,- -a et,;-",'*aa a"6"'1ii "
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 151/344
fi- tJi):. - @:')i + tel'.: lei)lui + N);'i - e;'+ +L
r;:- tl"th- "t-te;)?i + Ni):,i: ",\Ei+ +i;t.
6net .5 li,: a'f;
17. Sd se scrielormulakiTaylor pentru {unclia /(x, 1'): e""tnpunctui(1, .' ll
o^r**.^"-f--4-*..+/,h-1,2....,,, astier ,a .a'f ,1t, -tl- r r'fir
a'Laf z .trrY:-rdbtr€, dy(1" -l)-(r+t}' ei d'+y(l+ 0r, - I+0,{)-(,+,Frle0o"). Tinl"d s€aur ,r.
Iordula {3), obfi @ IntlE 0 e (0, l)
' ,,, -Lt,,-0,' '111i, 1*1'+{r i r, - l+})+ l?--:(}
2t^l
* -J- '''- /f r
'oi*r'
r, + l).
18. folosind lormula lui Taylor de ordinul doi, si sc calculeze valoarea aP(r\i
marivi pentru
./lPJ-
Vqos.J?[ol'ol.. Se cot3jd.rd ttt(tir /(,, 1, : ]r rrl/ . c (are o dorvolldm duP lotu ult lli l " 'ln pn.ctul ll,1), p.trt u , - 0,03 tt * = - 0,02 |
/Io.r.fo,ii:rrr + r,, t--t1*1r. r-J-17L 1) +Jitt, t)h)+
, gy,p, qt' a z1;,rt, t)l'h + t;,t:, r {rl .. n' - r - -L{Lo,or
- 1.".u:) -
.r. il - 1.o,ooog - 3.0,n0,. - 3.n.oontl + R ,ztl . 6 9 )
a3dc cd /i"o3- Vo,9E i l,ooEl.
19, Considerind Itl, l 1l I si rI sulicicnt dc mici si sc aproximczc frrn li'l(x, ), z) : (t + x)tt2(t + J)-r/'l{ l + t-r 'z.
.n@orra',. FolciD to@lla lui Taylor de ordil unu h luncld (0, O t:). D.Gree.4(0,0,0) _" j
Jp, o, o,J - - L Qi t:lo. o, or : - j , rcz't.. flr' r' z) * | , l, - / -'112.
20. Folosid delinilia 9i teorema lui Euler; si se arate ci funclia /(r, 1, r) *
'lL:: (* + ))eu + (J + z)e' + (? + 3)e' cste omosen:i.
n.tatxaTr. iotai^ mai. tntli detinitia snb lorDn {a) Deorcce /(,', 'r.t;)-ttlz,tr')'|u'tt^
ca lulctu / ar. mo8.DI de €Bdul L
Apli.itrd t.()lt@ Eds, .red
11- lr + -1,. - ".l", [r- ir.i 'v]*"' ' I v I t r' I
4 lr - 1r'- ttl" -[r --1'J'r]'"/.'
r:l r - Lr, .,1*' ,''-Lp-4ler'.t t . Ids d .e 4i+ tJi+ 'Ja-l ei d€ci itnclia / est€ omosent d€ s€dul l.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 152/344
ll.. ser,.,t.ci, JJ(;4r. v.?) Jdmir- derivare parliale $i est- omogena:., i,;l 1i_,,t,".t
dF'ivl,-t- pJr iare ,r. o.ainor on,i ;f;;- ri";iii- .rn"8;""n.ntwr.. h bua d€ljnitiei /(r,, tr, t,J:{^t, /, t, DeritDd aceast4 rdelht.re i raporr,\,.t, ntlj\d tt;(', tr, tz) - tfl1z, , 4 sar 4111, tl, ,4 : t I t;t,, ,, , r,*
".,-"
"r i ** , -,', d" emd-t n - L S,mi;. r" ar,,c c.r )i .; yi .;
"r",
..".g... a.
"*a, "
_ ,. "
.$.' r."q"r" c.i. dacl r(.r, v ?, ddmrre derivsrs p,y1;"1. de ordirul dor erstr_dmo8cnJ de rradui n. atun.i
t a a a.\t)lr_+ j _,.L,Tl t_nh nt.
n .,le/i. D.@rc@Jdt dnogenr de emdul ,, dulr teoreda r d Eul€r,4r'€D,4 + r :+4:_hl,Drri il4 a,us'J'"'dti. tn rrpo,, r,.por L I t,:, o, : cm
'r;, t tL + .l', - (" - r)L, ,ti,, f. i;i r n:i: a _ t)r;, ,tii + ,t;:, + ,ni _ tu _ 1)t:.lnn,rlliid occsfc relatii prnr j,, ,i .€sp..tir: ,i tintad seana d. retalia a t$i@rr, obrirom
*1i: + tl;:, + "'1,; + 2, l:i, + 2",1, * r",t",, - tX,/. + fi; + .t) _ th _ t),J.
. 21. Si. sc caiculeze derivara furcfrei_ /lr, )): x" _ J" +.vJ, (.v. r) € u ,i tr,,,. ul 1/ (2 2,, d,rt-. Jir 1i" I..ir- f ,.-,u drreclid i,ori,;u.i ,'.,*"i O. ,,,,rrrrsli de 30'.
np:,r,a/,. cGilustrrite dn.ccroare dre directiei I strr cos" = "*.0._ j ui
"o" n _ *" or: f.c. ,:.. ;12.2) - 6 ei l,{2,2) - _2, dnp: loflnula (6) (.daptdr, penrtu tuDclnd€ doud vari:. iro),.d/r-/irf"i7-6, ,.;:-1_J,
ffl.i .. .,t"ui.". dlrivrta funcfiei 10, . 4 -:.r + J, +:,. tn pqnctul.rtri-i 1..1',n14;|...1,i.rr.\luId- v (r. r, l5r
/i.i,ludlr. cosinusrril€ di.mroare ar. ao""1'", [i ,,n, .o, n _ ],.o. B _ 1
", """ " _t. t1 ll
dede
d/ 68
dt 1l
-r.j5,'r .e calc,rl.z"- dcrivrra
intr'u,r purci ,11(x. t. z). dupi
funciiei
/(r, t,,)::,/ +i, t:,i+rj+zk.direcfia gradieniului snu.
n.'ottb.. p'ueu s.tie lt,,,, 4:1,, + , +r,-+,""r", ", E^d f : U:, /;, r) - - -: ,
l- r.' L,,d , 1.,-,,t', -t-- j..*v , , trin.,,-.. I_
-j/ ;J :{.1 ;;-,ii,:"' ' n'
.,,.F$.f1,. f"l:r':..,r{,,o.,t:tt,ti.;--,i+;j+,i. si se carcureze
srad s,rrvr. rr - . ,r /1, ,l
./r,zd,,/ri.A"em n.- #.i-:"rr,, s;:rJ,h, si : : .J,(,J.. aslrcr ql srad s_
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 153/344
di,1a14- L rlt t P" -r"1-"t,t l,'t, ,' "'rpt tl'(4 -1-v,,t ',lqrtAt'z"
l' ,ol-'ur) r=li ; *l-l;,-:'rr'-l-t -ir'):t(z:-r-:' '1, "
1,,,, ulfl sd sc gise.rsci puncretc '1. ,xl,"ri) lo,3l pcnrru Iuncliile:
Y.ff*, ri =* l13-3.u. {.' )r-Rr'r,r ftx. ))- 3'c}'z -'3 I5r -36J r e.
(r. ,) e Rllc) Jk, i: -8t"* 18J'z- 8r' -
'3 - 3'r 3r, (&J) e R1;
d)/(.v, t) : sin ' sin ] sin (, + J), o <:t <2t,0 <5'.<7r.R,.,rr,,,. i, Delemindn nEr
'trlit.r" Jli1,,u 'J sduln ale sGlchJ'i L-
-Jz'-3r=o,J;-;r1-rr:o.Obrinpmv,n ' j: rll,l' tt
^roil',i'-6"J;--trt -
- 6/, Discutlh penlE {ie.ore Ploct 1n Parle:
l1r(0, 0)-roto - s3 = - 9 < 0, ru cstd lunct (lo cxtleh i
M,ll, tl-totr- s3:27 > 0' ro:6 > c,' cstc lunct de .ruim I
) Purctcre st4ionare s.lislec sisi(mnl J;.=3t"-t"- 15:0, 4-6'r'-Jc-o Fd'uio@, ownr.h punctel. sidiiosr€ Mtlz, 3) $\ Mxl-2 -1) Dcdr.cc /:i - - at /:; - 6r rt
4l - 6,, rctult disulia:
nt1(2, 3) +'oti - 53 = - 468 < 0, n,L eslc lutct dc dir.m,
M (-2,
-3)+ roro
-r3: -'{0E < 0, nu csie lunct de qt6.
Pri urnsrc, functa n adt te €$@1c
c) l,unrtcrc st ti@rc siDt drt€ <le sohliilc sistcnlului 4 - 3, - 6t - ' 0, fi- a/' --24jt-36y-a:0.
P'i; 6zolva@ acestui sincm obJin(n utdrlotrrole Putct. I
u,(r + Ji, zl, u,(r * Jt, z + rfi), tt"1t + JV,z - uh),u.n - Ji,zl'vil - Jr, z 1 J t), u,( - J;' z - JiJ.
Dean* ,:-6' -6, J;=o 1i I;: - t4t - l1r - 36 - 12lf - 1t+ r' a""nI
u, + Jl, zl *'d"-;e - - nJi < o, Du este pnrct de e't@ |
u"l 1 Ji, z + tfi) =,s. - .3 : rrr."/i > o, 6 * a J i > o''ste pu*t d€ ninilr I
v"(t 1 Ji, z - Ji]r *,5^ - "f;*utJt > o, ," - 6.,/ip o. etc puct dc niaim r
u,(r - Jl. zl *,;, - '?-tzJi > o, ,": - aJi < o, estc.pusct de aarim I
n,(t - Ji, a a J3| *'.'" - "l - - utJi <0, "" este luct d6 crtrd t
u.l- J;. z -."131 *'"r, -"3* - utJz <0,
""
6sto lurct de dtm.
d) ln a@st w, Ptrdtele statiorle sttrac sateEDl
J'r - cos' de r i'A +, +'tu, sin/ c@(' + /) - sst e {2t + t) * 0
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 154/344
sero vindacr silred, obtileD puncreL".Vr (a,. ..f. n\
./,; - 6i.a zk + r) r\ li - z si\,..s t, + 2 ), ..:; It J' D.*'/" - 2 si.' oc(2' r' t)'
Mln, nJ +\t. - $ - 0, /, : o, u s podte splne dmic,
M'{:';)-'.'. - "3 - 1o o,
'. = - r/i< o,""t.
poo"t a" -or..
, ld @ut lu@ttrlli Mj, de@r€e diiercnfinlele de ordi ulu $i doi slqb nd€, rrebuie se .oD-6i{te.arn itr fotuula lui Taylor tcrae i de o.dj supe,lo.. Cat.dind drereq}iala a"",a-
,"a,"U-iDeh dyillr) - 6r,(, + i) + 0_ se obsend ci ac€sra ia 9i yalon pozifivo;i v"roa
""g",t""ip"i.,ur&arc, puq.tli M1 Dtr ere pnoct de €*trejn.
:.2-8._Si
se determine punctelc de extrem ale funcliilor:a) /('t, r, r) :
"t + y, + z, + z, + 4 - 62, (r. r', 4 e Rs l)t t ' 1, z):sin,+sinj,r+sinz-sm(x+'yiz), G,y,z) e (0, n) xx (0, ') x (0,
').
..ynl:rc.:l Foact6l. statiorare sjnr sorutu rre sistenului
4_ 2, + 2 q o,l;-2,
+a _0,
Du,.r +:Fon M\_1, _2, 3). D''@ tia]. de odin dotd,,(li.-1,4t L4r r r,) str po,t.i, a",.n,,a,, dF.i futr,-d nZ"r",,p"*, a-^"J.-'
L) Sistemd qre delemirE punctet6 stalionere est€
J', - c6' - c6t, + t +') - o, { :"or
_ cot" + + 4 = a, /: =.os I _c@1, +, +,)_ t).
:.*.:.llT:*,::-'-cos,,-.o\:_cGt,+r+r).Aceasraimplicr,_/_,rqirtervarurtarcLtn iduondn. jati, oot.dcn rosr_(q} su _2sin,en2,_
-0.d"uLJc,-a,a-inu"-,o.i,c,.p,.,",.1i.*,,v{i, I,Il. u,r."ori._r.0"..o,",2 - \t.z z).
-Ith' + n' + r + hh + 1,r + wt
:,z
l( + ) r +r
r' +
j{} + j i'
"1.
.ste neSativ detilitr Fi d@i plnctnt n, este un lunct de Earjm.ij. 29. Jleloda celot mal mlct pdtratc. Se numegte asifel o metode loarte resptnditn
de lr,lu, rar" a unor misurSri. \'om expunc accrsrii merodd pc urmitorul model.fft silp.unel cr prin anumite experienfe se determine pentru melirlli\e a., b, c ;i do ,,r,rltirn" d. ddrc 1\d1, b,, .1. d,t. i _ t, Z, ..., j,, j :,,, f;iod fixar. Se cer; srgisinr trei mirimi r. Jr, , astfel tnctt
. ,t$ + bd + cp: d, i:1,2,...,rr.ln general sistemul de ecufii (9) cste incompatibil Si de{i problema astf6lou are solrfie. Se modifici probtema in fetul urmitor. C.,,rotaliu S, : ,r,r 1+ c& * d. cerem str se detcrmine (x, , ,) asttel tnctt funcJia eroare
fi,. :' ., ,i r; - j p.x I h., + "., - d.,z
sl. fic rninimA. De aici gi denumi.ea metoalei. Vom artta ulferior ci ultims problemiadnrite solulie. Aceasti solufie va satisfaec sistemut tle
ecualii(9)
numai ap;;;i_\)orn.-Ptcs{pune cl darcie *perimentaie slnt astlel tncit rangul sistcmului ate
ecualii (9) este cgal cL trci.
(e)
pustb0*
(10)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 155/344
Sistemll de euatjj e detimilt punctele sratioD... ale lrncFei /(t :v ')eslc
ji=2 2 a,tal + b0 t- ctz d): I)
Ji=22b1o,z i bfl |t" 't) 0
ti - 2 >.tlzF + bat +'F - dli : o'
Forosind notatiile lli Gau$ > .r'. : k, al, t a,bt: ta. 6-r etc. sisicnul se scrie
ta, a), a- ln, b)t + Ld,.1, - Ia, d) : o ta, bi; - b hD + tb .l: tD rl : o {rri'
ta, clr + Ib, tb + t., .i. - ,. d1:o.
De@re.. I;',-21a, d), J;:21b. bl, /;:2a,.1. l;y:2I" bl f,, -2th ,) .,',.,:
r "),t.zttts d'J : 2Ild. al]f + lb: b1t? + ta, 6)te + 2ia, blth 1. 2"b, t1h -t 2ld .lrl] - 2 :lr(d/i F,,^ -F
+ ril)'. Aceasrs nltirn; .xp.esie ardtn cn dy > o pdbtr {Jl, h, 4 + {0, 0, 0) ii d'l - 0 ntlia'dacl {n, }, l) : (0, 0, O). ?nE n.',e, d7 csic o rdna Pilrtlicn PozjtiE drfiniti cru drsr'LL rr
nantrl I.ftrei pattatice dT.oitrciile cn detcr jnantul sisloDrlti illJ ti dy este po'ZitiT rlrrnrnri
rczn1tl ci *stehul (l1l este nn sisl€m Cnner' Deci sistcDrul (lt) adtuite o sotriie urice (tr' r'i :r)
De@recc dT(ro, ro,,J este Poziiv deltuit5" rezulra ci (t0, r-0,'01
este un fnr't de nrnrnn r(rf'luo.l.. ', /,:, dJ " Jc {10).
8.2.2. Pmtieme ptoptse spre rcTolvarc
&, ro,n'n,t Ll, l: d.liniliP. r'i s. .alculcz':;l /^1 t) 1i l^). l). daci /(.r. J) I',(l : , I Jj) :
b).f^ 2, 2). J;t 2.2) \iJ;ez.z).dactflr",i-14:ct /-1". ol.,la.i /t1. 1J .xsin(r lJ)-
I
ir. {-.'" rr.,L. (i run.iir/(t. n- tt?;,
(, ,i r0 0 } 0 |
admite ctcrivatcle parlialelj ;i/j in origine, dar cste discontirut ln lccl Pillct
\Os;."..'t "t"..a"ri\alcle parliale de orJirul inlii >i rl
'iuJ:p'' rru
'rrr"rt",X. r"n, t;; ,
a) /k, r; : -r,sir'r; t)\ Jt', t): ',': c) I@, i - -i?-;:dj J(x, | : arcrs.:lL: e) /{a ,) =arcts(' }}:
l) /(f. )) : ln F + )2\: t\ l|t ).;) ./(x, ), z): e"'sinz.
z): s; : h) Jt::. j, , - arclsa;
33,Pornind dc
ladeJiniiie,
sise aratc cI funciia
Jlc J)-zif51rr-v
T J0'), Sr' "ste drferenliabili pe R'.
34. Sir se calculeze d,f(1, 1) ii d'l(I, l) penttu umetoarelc funcfii :
* rr'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 156/344
35. S, J,{inesrc o aptj.aiie /:Rr+ R prin /(0,0)_0./r\ })_.,j_rl.(I. lr ; (0 or. S.t s. araic ci / esre direrenl;abiti pc R,. S, se
",, . , r-, ::-ii.ii".,:.i"'::;i"r"1 '"'. pa11rale-rre or<r;nur ,roi. til.;i;;l;.r;);;i,"lr"f i""i
@ t, * ,,,.,,.." d/(]. {. 5), drci /(r. .,. ,) -
6f s,, ." ."Loi",. aV, a."i,.t>
+Fa) 16, r. x) : 4z: bl f(r. y, z) -.tx,tTF+z.
-._38. lnlocuin,t variafia unei iuoctij prin diferen-tia.la acestria, si se caiculczecu Jlro\ mrt .:a) /l "0f F-I. 7 L) r.c02 .2.0032 .3,00{3 ; c) sin 29".is 16".
. 30. ( u "ir .rid-.] voturnuJ Si A.ra totrtA a unei .uiii dc .o rrv^. d" Jofir,t ,cilindriri. d..trmensi(Lni: r^" ), v,,eiza y.u i,,in. ia, * se,nr,..","
""
ri:lr'nirrim.a r - b .m. daci ", ,',....
-lo. \l . uf;nJrrzrbazeir$rtn iimc,lra,rn, .rl,ndru.s.-oDtinuL r 2 i,h -e r,n .- 0.2 n.. r-rr .nrrorrorL,sorulisicu..eror,, Fl.ri\ii". I.,aliul.l . lrn"r i,e"rni .ilin.ift /
41. O cutie paraletipipedidr tnctrid are rlinensitnlte €nterioarc,_ l0 cnr.
L .,t ', ..'^
.. L, cm rr c,osimea ,erelclui csr. dc 2 ,nn,. si sp J "I,.i,^ .;,,-.,ma'r. .n1.. ul .... .,r;Jdlur nsr.ar ccnstru;rii a.est,.i (urii_
(?. l'i" ron.tio 11". ). ,\ -= e-i,+-, (". r. z) - n,. s: sc calculezc dcri\.alcjcparti,l Ll or'l nut
'
.?: Jihrcrrirh de ord,nut ,r.
@).. ."r."r",^,,r.,i'3r.,:t;rrirt,.d.ordi,,irl ,,pe,rrrujJrclj.t .j)/y. ,: ( r'z + )\ e''. (:u. s) -It" ; b) lb:. | -.r "-,-. 1", "; =n, O J k. n : -j',= 1, )t +o; d) J@, )) : in (1+ ,,1, x+-r>0. r{r-r'r)
44 n r'i I - 1 .-a*', "r",.,to,,,t r"i rl-r."^.r 't'l rrri LapiJ... "isJ c-] .l.z"A/.,,j,r
- iE-","' (' j)-ia b\i lllr,r'l'-" :trksi',r' -
I(0. 0)
;c)
l(r. J) - e.f(_ir -_),) cosj _ zrl sin: ,1.4i. .,. s. r, rili.c ., Iutrclia /(,., y, ,, I
face ecualia lui Laprace ot =t;: +t'llFT--.( r 'J -(0 0 0) srrr5'
(9 s: .. ,"I.ut"," s. daci /{,) -,(?i(r). ,(1tr. ?.n|u:a) ,;@. i) : 4, t'u.
'ttrj - cosr,,(n -"i,i";,r ., .,. F' i ?,/r) - 11. -,(,)_ x,_ 2l' \tj . , ". , r) _ sin r. ::{1) . ,,,s,.
t),(y:a s.rakLrrlz,-: si:. daci a)/(, _r):arcts: ,iJ:x,:b) (x,)r_rJ . ,?(1).
a) /(r. r ) -. ln
-1 cosl), (r:.
])
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 157/344
@ Sa se"atcut",e
9 . dacrL I\c\ - eb'@) '(')' ?'(')1. Pentru
a) ekt, 1,, a) : tulu;l t'(x) - t1 + r' tl'):ln'' to{x): tg:t 1
r,y q1", u. ao1:-$1, *(x): Rcosx, o{z): Rsl;x' tolx) - k
r{9)Si s: c,Lcrt:r, I ii 6 Plitru
^t
vl -l?b'G' 1) rr{r' v)J lrt'
Yt: rt,, 1)i. lal'i r)-x+)'1)("'t):xz+12|b) J : eltt, xl,\a(:(, y) : xz - t2. x(*' )) : a"'
\psr se carcuteze d,r ei d'1, d^ce: a\ f(ci. t\: r(;' ,)t b) l(r' t):q(x+rtr- r): c) /r(, J,z)-elx+J+2, *+)2 lz\'
$'si '" *t"'" t: ' .-. .. r .., r ,. t , .
a) Jlx, t) -- ) ?(x'1 -]') veri{ici ec\talia-J;+-Ju:7J:
b) 1@' v\: 'r + *e(i) ""rit'"l ccullle xI:+ )tJ;: ftt + J
r l,\c) JQ, | : c 9l y4 J verificl ecuagi:r (r1 - ) )l; + xiJ - xtl I
d) .l@, i - EA'tl "r J;y+(iJ verilictr ecuatia"J:i
- ty;i : o I
e) llx, s-) - ryqltr -1 ) verifict ecuilia.t 1: + i"J;- Uz + tt)J'
52. Ce devirrc ec,rlia
h'J';
- t'fi:a' &c\ J@' l: e(w'Z)t
5J. Sl se calculeze ex$esia E-J;:,+ j; * lJ:', tltcd J@' v\-hlu'*u')tflnde (.t, ]) : xs ti v(*, t) : x2 - )'.
@ Sl..u ."l"ul"r" 9. daci l:9(r, 1,, ir), undc 't:9 \*), o-q1?'q)'
(81 Sr se calculeze J:i' J;si J;' dr'cn /: 9(s t) unde g({' l) : 'rr + }r fiu(t:t) :
'r.6o) Sr s" ,.ri" fornula lui -l'aylor,
Pentm:
Y;f '. yf - -x' + Lxr + s '- 6* - zv - 4' in Punctut (-2 1) t
t) Jl", l, 4 - rA -l t' + N2 + 2-xt -J' -a'-3f - z+ a, ln Punctul {1' 1' l)'
57, Sn se dczvolte/It + 0.1 1 e, z { liiupr guterile lntregi ale lui [' ] qi tr'
i,^cn J(1, f, z) : x2 + y2 + z2 - 2'at - L:t - ziz'
.fg) euro"in,-r lormula lui Ta 4or de ordinul doi. si sc calculeze valoarea aProxi-
'ri\(i pcntrr a) (O,gs)aor: b) 1,02'201'3,03''
@. -Si se scrie fornula lui'ravlor d' ordimrl trei pcntru funcJial(r' t) : e" sinl'
lui) considertnd ca t 1:l' l'ttl si I 3 | sini suficieri de mici astiet tucit Puterile
l" ffii" ."p"'i"t r.i t"' 'l poJl ri""gi;'t",
sI se rpr.oximeze fuDcf\a f Qt ' t ' z) :* (l ilD{l +, + zt-\t'.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 158/344
_._,61-._lgl9.hddefitrilia tj reor€t3la tui Eulc., se se arate cI urmetoarele funcriisIEt omogFle:
a) ny. r. :) -.1"^r llr"**; i b,tz,)arcrl +k2.,1)arcqt.\x. t. ,) * (0. 0. 0\:
b) Jt", t. 4
-Jff#++, k, r'.z)
?(0. o. a):
c) J1x.11 - z"s[L) r-.1't{rl. " io.,,cz.\r, t:t.,"-91,j:, .^_,f1,:th compusr./(r..J) : Eet, zt, a), tllt'te *, r, zg sint tunctii de
:*,.n"j,i:""1,:/,fi:l".ledesradtrt,l.asip,resptictiv. sescaraieli;[fi:i;__
_63, D.,c; furtia 9(r.J,t cstc omog.n:"r,de grad ul n, n:.ilr, r) este o furcljcoar:11:. si.c arare.c; functin/(r. rt..
"( ,rr+G.i;;ii":iilriiii'i.Z +ri":- p{r?, +J+,+ r'{).
- 64. l)act ph, J) ri +(r, y) stnt furclii omotcne dc Srailele rz gi n respccL^,s. se arat( ci funcrja/(.r,j; :""1r, 1y e+r,, i,r v,j;rr8lial9i"""lJ j/i I. i,".i)i"j)j+t65. S[ se calculeze derivata fulcliei /(a 1) - 5"" _ g, _;'_ l in punch]
M(2, t), dupl directia rfi, undc ,V(5, 5).
.-,1U,t0.." calculeze derivata funcJiei /(r, J,, z) : 2ro - 3rr -16r} ln puDctul
M(1, 1, o), dr:pi directiile rxclor .tc coordonatc, opoi iupl ji*ai",fl,-1,,rr'(1, -2, J).
67, Sl se calcuteze derivata funclici /(*, y.
",1:4+.1+ 1 tn uunctul
M(x, s', z), dup'a. directia vecrorului de pozilic r"f ".i.,ri jirn.t."
68. Si sr.giscasrit condilia ca (lcrirat: , .
(2, y, z\ + (0. 0, o), dupi dirc'cria r(c",1]llll i,il J,: ll ; i;;"";;: ". "t
. 69. $ii^sc calculeze derivnta functici /(r,,, ?):arcsin;#. Ju puncrLrl
M(t, 1, t). dr:pE directia fri, stiind cn N p. 3, _21.70, SI sc calculeze derivata funcri
Mlt, 1, r), drptr dirccJia,1,,,,,r. '"t
lk'1. z):xzL,tt4
",
in rrunciLrr
7I. Sl se calcu.lczc unghiul gradieolilor ftrncliei /(.,r, :,) : tn I in puncteie
ru{j. -l) ;i rrr. rr.
?2, nx.:. t - xi + tj + rl{, sA se calcuteze:
a) stal (i r) I b) div r 9i aiv fa'| c) rot r, ror (ixr) si rot Il{/)j i. d) erad r(,, t, ,/,-,"."-.rr yi gradJ.
I)aci /, A Si v sint fun.lii dF varirLitcle,, r, ?, sj sc dcmonsrrcze iJ,.nri
a) div(srad/):4,/j b) Lgd:e^;f + t\s+ z sra<tJ.sra.d g;c) drv (rot v) : 0 J d) rot (grad/) : 0. A liind
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 159/344
'.i+) Sa ." ,l"t".-in. p,rn' tele de cxt(em local pentru fuDctiile:
Ylt", yl :-Lx2 + zx)t - 5) T 6r ov (r' )) e R::
b) lt,. y) : (' + l)ij + 1)(, + i') (', 1) = Rs ;
c)
^',, :
"+ t' - Lt'z + 4:tJt z)' (4. J) € R3;
l) l{'. Jl : 11 + 3xi' 15, - lz). (t. l) e R' ;
.j'LQ.t:*"+ra,)'+qN-er-J)' (r. J) e R':;
t\ Jk, tl : *'t2(a - x - J) 't>01>D a> 0|E llx. t\ -- tr2€ v t 0'
hr /(.r. ) -'1'lr -V -if a-0 b- 0 -; r;<':i) J?. t\: c-+3, (rr + rz), * > o, ) > o I
50 t0jt l(,.t):,r +i - -j \>0 -0:iL) JV, )) : \'rI $:2 +.i)' (.' r) € R \ {(0, o)} ;
t) l(r, t) : sin +sinr'l-sin (,t
l- J'),' " [t ;,], " [t' ;].75] St sc ,lctermine punctcle dc ':ttlc)rr pcnrru luncliilc:
Ylt", r."t :," a j' - "" -,s - I -- 2r' 'r' r. :) e lt3;
i,) r(r. .,. ?):.r + + - t; - i' :\ > 0 r'> 0 :> 0;
c) Jlr,J.z)-x +(,- l)i+ (r 'l- l)'g+' lN 'l- (j - z)3-l-(,+2)'+'s+k-3)s++ {: + 3)'. (-Y. Y :) e R'i
J) /(r, 1. ?) : +: * i-n, > o 1> o.;>o;
c) Jlx, :', z) -- 4:t''- bt + *z + ', (t, J', ') < R3'
"' pe'rtro uu bazin paraletipipedic' sl sc de-76. I"iird dali citPrcitatcr / : '-
i icrnu|lc Jimsnsiunrlc 5lte.r,stlel incit;it $e hrtrcbuiolcze minim de matetinl (supra-
lr 1 rninirni) Pcntru c'rnstru(lr'r srr'
' 77,5:t se insctie intr_Lur con circular rl|ept rrl1 paralelipiped drcptunglric de
lollrm maxim.
78. Sir se detcrmine un prnct M (-t, ir' ?) Pinlru care sunri Pitratclor disian-
l.lorsrlcla',PunctcIixc lt@ b.' t ) I ztL'cilcrnrrrrm'
,di)SisedctcrmineexLr:ntct;r"l ia)/(Y J 'l -f,Jl:s(7 r 2\--li
,}Yo, u)71'. y. :) 13 i .J:. ': lzrl F r: (t J ")e It3;rl l(r' 1 ?) -
(r I ::) ct't't' ". (\, ). ., j Rr.
B 3 Fulrc ii dLli']ilc imPlirit'Schimbiri iic varicbilit
F n.flr dcritrilc idplicit. Tcor'n' ' l:i l" ' lia t: t' : Rt ' R u'Je O src Jrop-rrng[iu
," -';:'; ; '" , o, in - o . v . t " ' r' 1srJr'r r'r' v') -0 r'duPrn6r cr.r'1rr rrr' v
"i"n"L"",J p".fi.r" contnru' l De'"n rr;{io ?o) *0; 14 l.o'ro co 'Iilii
cxistr u nrlr'a
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 160/344
r0 I xDr.{,,ti_oruocfi.otric{/:(io-r.:0 h-,,r.rproprieritiJe:a)/{%)_y^silst.
ic.""lu' ('o - r, ro {- r} F
: ' ' r^" Jr,))'t' e @r- h' \ + 7)'
: ltlreoeEa Z. Fic (uetir F: DCR'', R, und- D .r. pdrcleupipedut .l _".,,,.,? ;,,. L 2
1..
1.t. 1" --o
1 1 < tn F b 1. tie.,, g. "9....,,9,'y", = ol-;;;;;;; ;.1.J# ;k,.j,]...-,,&,.1,. '*,,. denvare pdlLr- conrdu. r.r D ,i .a F;,,1. ,2...., *oot rol 10. ta **r::lT':"*": un pamreripiped a::l _r<:,<11 Lh i_-t,.2,-.., p, -ii'o i,*sio unicl
"' j.(1, 1,.r: '"t^\
* ....,i):0, \tttL, i,...,,,) =r; q r.*1i" j"a.it"
^a.a"otonrrterc dc o.dinul tolii cmrirue in r 9i
I',1\, tt,,,,, t,: t) 'i - \,2,-...I, 12)
ttti, ...0,f.,tr,);....u) i.
Icgrcna 3) beupurcn ca e&,dal sisr€hui do rbocfii Fr=
F (rr.,.,...,
tr,,y,,
t,,..., t-5,i^- 1,2,..., z.^ deri'irc tD pararelipipedur DcR,-o, *l_4<';<11.a",'t:i,'2,..,"-o,j-t.2,..., n, lstier c6 F,(rl, .9.. . ., ,gi ri, r",,. . ., rg^) -'0,h=t,2,..., . preupunqn de.*ln. ea c{ functiiro -Fr,-i, jr,:,...1 .ii"i** a"i*t"r.
da o.dinul lnrri conrilu. tn D tl cr, derorhinatrtrl fu clioual fiacobian t)
. , . rr.ti 1i.,,j.. . .irrr,l I
Dlt{ r '1"t ," , ', ; ,- ,. 1 '
DMct"r kl," o,..., 1t li, ,...,.y*1. tn accsto conditil .xisn ^ paraleripil'eir r:,f -r<-n.< "'i ? /', i - t,2,,..,, ,, ri un lbrcn de D fudcrii ,r" : -6 n, - ir, r - t. 2,..., ,,, uric,
slnt corrinue ln pa€t.lipip.dul E; b) runc$:te i.pri"ii" .i.t,rl.".*riii "' '
'
F\l'1,",..-&,:L6',,,..,',:),,..,1;,1+,',,...,:r)) =0.i= t,z....,,t,taat (3)
. .) futrlfiib nnplicite adlnt d.dvaro pa+ialo do ordinul hiti conta (e itr ;,i &cst€ so . _
prh dciear€ fr rpo*. 4,t = t,2,..., p, o idcutirllilo, (J). So obrinc srrcl ud sist.nn ccualLi rini.rc t orcuDosdtoro (J),,, j: i.2,...,.,"r
*-i a"*..in.nt"v" 7.
ri co li e tmprcu4 cir deliyetcte 1o. tn Ndtijn€ dr$hi.d , C Bi'. Da.{ rn D ei.'submulfimc a. a arc loc o lelalic de lona
tt:vltt, d,-., rt- , r,+\..... t-l (4)
i l. tor, spuom cI funcliilc r,, stlr trn:tioul d.pendcoLc in DrrlinE tn qc rc1"1i" 11,) "* i*,({) p@te ri eai s cElr, d6 rdh& Alrr, r,,..., r.):0. h caur cioa ir ricio stinulliue
lui D tru a?.m o *6er de &ratic, c.lc n rLincfn sc nun€sc funclioMl indcpctrit€,te.Petrt. stuilid ilcqctri.ltei futr4io@lc a sistenutui de tuuctii consiileer $ iotroituc matrtca
tl'".
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 161/344
iDa . r4qul naricei.lui Jacobi c$. /> I ni P',dct"i nto("l, 19,' . rf, a1lnci.tisri o'ech'-
tatc F a ln4ctuhi n10 astfcl iniir t furctii dtu c.l. ,n sinr nrdcp.rd€ntc Innclidliil ln V, ceie-
lalte iiidd d.ptn.le'rte de accslca.
\ DireDc cr tcaituri. Ds.a se cc.c st so dcl€rmirc execmle rudct'i.i:)'-l{rr' r , ' '})13
-1-tr,, r ,.rr) -/(r1, rj. ., ',1 r i,,r,l.' ' ...,i,) r". i ire"(,r, 11 , iJ,
ulde )r.}'j,..., ia sifr , l1,tli.atoLr lL,i In3ru s. J. u,,":-.0^o"i
sisterr'r'l dcI+t ecmli
o .oDJrrL $LtrrorLd .le .rlr.r esr. aL ?r_ljr, r ,..., ,,) si tdstr.iz. $nxr .rnstant. Dacii dti.
esre .oa',/ .1",',,. , r"'ni.. :Jr ,l :. Itl '' irg '
/ i'r'' rd
lur'lLIrr urtr, "r' ' 1"
8 3.1. Probl€me rczolvate
1. Sn se caiculczc /i(l) 9il"(l) pcntru {u;ctia inPli.itn i: /(r) dcfiliti prnr
€cuafia (-l.e -[ ],'?)3 :1r' + ]1 - t : 0, satisflclnd condilia /(1) : l.
n,zdhar,. C.ndiiilc Lc.renei t sint i cplinirc, Allicl1)d aceastl t.otefti', drFi' roitrula (l)
- as{el ceJ'(l) : - l. l'ertru dcretu,idxrd l"i/'(l) d;.i:;:. rclatia dc niai nranrte ci o d;1e in
f"-,.u".'
pe ,' oltnmt .Dldio;, sisim
asrlcl rr / rlr- 2.sirer ci / (rJ * -?.
2. i(ron.i.lcrl l,rn liJv / Yl,Jsllrrit;i irnpli.itprin rFlalia \a I .tr +'2u (r - o
4 > l Si se araic cnl"(r) - 0 9i s:,r se iustifice rczultatul;
n*a-*'. pp.ui.. cur luil)(r) * pdte aPlica r.*'r. trl Ai.i 'u"'upl;"o t'or' itla -'
toit6. D€oarece r:/(')'&elnie se ?erilice rulatio'2 + t +2ar :0, rcarllt ci
'e+l(r) +
+ z"fti : n. ;cd'itrd ncedst, ultine ideniitate, ohiildf, 2, + 2/(4f{') + 2ar(} + 24'J b) - 0,
r r d/ui
., _ I\,1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 162/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 163/344
I.rol,d'.. Folotnd Flalule l5), oblirc-nr
,+t-sii'"- r, +,F;T;" ,'": {"-fi--s* -
,ttot "rI
,siu:*:-1,,:.- 'l:nn.-v(r'l-:-sinJl . ti / l:)sin:- 1,r : ..0'' "'
tyt-:l c:+s'
:-r{t+t)losr
_.'in?-r-
{t+t)losr L"in?-J
ln blzA rclstisi dc ,lrinnfie i r{ncFci ' -/(r' Jr. '6. SiL s. calculeze dz 5i rl': ln Punctul ilo {2, 0, l) pcatrtr irrrrrlir : ' /1r' ;1'
definiiir implicit prirr 2r'z* 2.)'* --'- 8r, - : -F 8 :0RNatNa/,. 'li,tnd *a.na <t a. :.ir' + .;at n 't'. :,hld')' + 25U, ttl '
'i.(drf're'ilr
cd lcst. dllicic'rt s& calcllrD d.rivai.lc Pa4i.i. dc oinrul_rrtr ti doi;1. Intliei lt l)a'a_Rln'
\, 8z-ll , -1y' ' 2r '-8r- I ' 2i-8r-l
D.4vln.l 4c.st. r.ratii-,'' raporr .u , ti t ti tin;,il *t'E c6: :fl, t), ddLr'm
,, J F1-(56j l8):; ll2(- +2xt-sri_ i)-a' t.2. u - 1;' {2: - 8r - li1
(-& +32, + 4)(2. - 8r - 1) - l: '
rJ"*.dc ,;(,it) = ,;(]t'J : o. rcaiti d:(v.) - o-^r "i, ";lltt"l
: + "i,W,) - o'
- -:. a\rlclra
Jntnf"l - --- firtr)t + tdrlrt.15 15 - ,Problen. per. Ii rdul/it5 sE thpl; aelcl. Consid'riud r r' /rr,
'J,P'in diFrrni'r+'
relati.i d. delrn4.. obtinrm
,tdt + lld + 2.taz - ttd, t 8td, - d':0, (6)
. d|2-1'id'-/a,a,2a-&r-l
tD putrctul ,l/d a?.h d'(,ttJ - o. Difcrcntlind rolalia {6) lnci o darr, obicfl'n c{ dr 9i dl
E'dt corslanrc ti d. .stc o In clic, oblin.m
ardr,t + tldvlr + 2(drlr +2id& - Edrdr - E dt, - Ed:d; - dt, - {].I ', t'Din accoetA rcl&tic d.duc.n
dr, - ----]- (t6 d'd' - .(dr)' - {(drjr - 2(d J'1,2r-&-l'
' )' +.(drrl.srl.l cl n, pu ctul M. ardn dt(vJ -=l(dt
.;\ 4,) -
7. Funciiile {r: 9{t, t),lt:9(t t) slnt definite iraPlicit prir relaliile a -; a -
- x + )', ru + 1) - l. Si se calculeze ;' 'tt;'o; qi'
4haiun. ocri"^a ccrc doo rcrali i" .ip; @ "' obtincn sistcnnr ":::"=,t' :\:r)vl- -x,cu iccunctutc)c /; ti u; R.tolYlnd sel sisf6 oblin'm\-,-"";
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 164/344
Dcrivind i,uD ilp ,li,ua ..l,rlii de d.fif,iti. in 6ao,t cn v, aL, inF,n .is,r.,l+ fl-. - t- crre J, trn,i,ln
ni+4: t, 1;..,
- Pdrlr lctdri;nro ac.slor dtrivrrc parF,t. Flqtr tutasi si rrnlat.a,la n,rdti. prnr nrrrrcnlnrtJ iplnlirl.r llc nejiniir nllirFnr siir.tr,ul dn t .r _.tr I cl,, nli _. )dr = _ ,d, - {lr,
'
rur'.r( ru.ir Li ttr,, rti
,i) ,lr : dr si r,, - _,lr '' .rI
r-t r.-1Dfa1rc.e,r":,.,1r F ;t,5i '1t: Jn''+"y'r, prin nrcnriicara cr Fl.fiile rtc nd $s,.rjtrnpm '\p.,.ilc prnr", j.,, r;,
"r $ nj.
8. Funcliile r:-/(.r) ri :: g(,r) sint dcfinitc impiicit ornr rctati e ;riz: a,.r +) | ; - l'. i.l q, . alculeze d). dz, dl' :i di-. -
\ n.:,,"ar., Prnr dirercnlierca ..iatiilor de dctnrific, ..hnkt a .r .\te,7rri.Lt{ ,,r ,n.,",,"na".,", ,o, r 'ri, slnt iunclii de r, dbliren r:dr + rdr + rlL: o; nr td: ,-d.:0. It.rollind accst..jcpa|i
rn pri"inle ne.l";$"rct;r d/ .ji d:l ot4,flcn
.t? : itr-"(.j - r) (7 :)
, Diicrenfiiut ac.sfu ntrih. r|h1ji $i tnrnrl slea ei rlttr) :a, oLtin{m
." rbd) =
-:r{.
- r,tl(f _:),tv l_},ld, . rt.Ji _ r{r _ j)tt.. nlr, ,n,. Jy. r.r'(r )t'tlr----l) , r,dr t,i(r - r)d, ; rr{/ - ,),t. I '::r": I .),'.-.,. .,-,.t' r,. .r,(: _ rf
I lr - v)iltl): ii d,' - r,u.
.9, l;ie fun.r;.r..ompu.i.? ./( ,j,) d,,tinirri do: ,1 i ..r, Iunrliit /,h. rrii.?{1, )) fiind derin,r- jmpl;' il prin rclaliile
'r | '1 I ,.i 1. ui. y S.. .,..al.ulrze :,rt, ?r.
ltaal4rc. F.tosi.l rcartile dc d.rirare a ftacliitor c.,,Fe, ar.nr
r, ,"", : ",,i. ,i -. -,",L | ,,,i.
Da, .l: '.t si .l: rul r-nrrualc,nutderi,arero,.prr ',r.,,..*;.5,-..;,l.I.rn,i"m."r-r,itrd€ deinrifie. oftjncnr sistenlt n1' ,f zr.7t
- dz, 2tutr; z,,t :,r\.i*" i^i,"t conitDce ta shlio,lu --,l.-t,l. ,r1 sra,. - " &I | ,iu, -r.t.r ,,",ut -)t t(t _2al 2rtf 2ut '.t,t,l
-' :------ -, - :-------1. 2r u(t n) . . ,t - zu)Jrrclt \
Jutu-nt , .l
't2BtI2/\
10. Sir s. calculcze d?, daci ? - rrq. .r cx rSi j c, ..
t4.2D1@,c, Arem d;: did) - d{ + /d,_ Direrenliid ftta1,itc . c denne$ iu Fite ,lr, J,}
ti (/, ,r), oLtircDr d' : (ds + d,)cr-1 iir: (dc - d,)e'-. sx dx +.1, :/ dr. dx _ d -
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 165/344
- .l',.n", ', l'l' .' r"l1 .r .l(-- r' -1a"l ".,,"r
.: r,-:1-la' ' 1a"l -1 l rt. 1 1lr l'11., -l I I .,,, -L . ,.r,.t' \ I .. 2
* 11. tic fLlnctix r = l(r, -rl d.fnriti impticit trin , c': .t e' t- 1 e' Sn sr tal-I
( lll /i fi/ ?l /r, I Ii' r' - --
, - t.. l'-^.". .'.1 '1 '_ i'r'l ' 'ri'_ l''lt-- i^ . ., i". I l"':' q' ' .""arc."'A
."-.{=) ' _: l r " I dl
-: .r-] " ., - ",1 ' ,'l '.'. ll I I
. l', ,.'-'''"'l ''lLIIJD. t 1.r. , i
'
': . ;t +' I ', r-l-'.llIlL:]"1
-" Ic,:l.rJ
12. Lrr.rurltirl, tt. ,, t :, :..;\f I^I.-.' .i,tr,,. '-..1r')
,,t"iin;' r'RJ.''.r.z ip^rarr", {rrr' 1i
'i.r,I r' 'r'r
{un' Iii.r' -,'.. \t ri f i ru. l' .j
t ; .t il I irl/rrrt.. , ,., \.,r. ,, 1
I ",i*.g"r cgal cu.loi l'.in ntare, .elc 1'.i ju,rlii sjnl/Ilqr'r(1' rc rrnctilDal in R3 Oone ditre
funclii lntt indcPendcnle tuncfnn,.l, / si g . heia, n, IiiJxl dc|crdrrLril rLrnclior:l dc ac'\tcr' Se
"e.iJicr.
upr cE hll, t, :) :l:1,,1,"J - f i', v, ,
. 13. Iric fLrncliilc flt, .\. a - (r -F.1, +:)x, S(', 1, :) : 2:1 4 1' t'2, si
h(:c, \, z) :3i -l- 2 -1, - lzrr. 1s), definite pc R3. S:'1 sc arate ci: d) funq-
tiile 7, g, i,.nu sirt ind.pcndfntc in orilinc; b) existi o leci itatc a pun'tului
rt{o(-1, 0, l) pe carc l.d.Pinilo dc I i ,.2.ir, '' Il- ' l'.J'
ir' r:I . r .? I.\" rl
': l{ -r_ _ rlr/
n' ln olsiic L.rneul drtiL ' Dc6(cc freliilc, A ni 'i' adBit d'rivitc
l.-tiio out,n,. turull.1 (l trislil i, /Nil,atdlc a odSnrii, ln crrc llncliile / ti'
slfli dcteddcttc
iro g; uccr turcfiitc, B, , sinL dcrt$,I;nl. tu olisinc.I
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 166/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 167/344
17. S: cc Jrr^-Inix^ rr. n l frn li.i /(1. \. .) cu IceSruril^ illdicalF:ei /(.\ \,., \J \" -. v,,;'l il i. {rird lcgri" prirr,ondil,a i" r' | :s -
- 3, r > 0, I > 0, : > 0 ; b) flr, j, r) = r r:, variabilele tiind lcgate prin cc,ndi-
tiih -r'-: -t-0r,, y: .' 8 0.
n{ohdr..) riundtia ltri ldtsrnnac csl. /-(ri:r,,:) :n0 +i3 + ": i ik' I 13+: - 31 5i dicirl?, * (Jr? + 2L,ii1{ l (]r: l-2rll(ia,- (3j 2),)d::0, ac--ts+:j-a*0 lrrdici. il3la1- ?1t= 0, r(3:y+2r) '..0,.(3i +:rl -0 ii,c-f/ l-i1- 3-0/,> 0, l> 0i ,>0 lterdr
vrnl nqos, r.r..,,, A[..r,, ],. _- ., .\/ t, t, I t),.r.\.Lc,,:L:(r'i..21..t,f -.(6) -.
)-:--r.21)(,r/) -- (aj r .:r){,r:rr si ,1,/11,1 .: r'Lrr)+..1- (l1f t. (t,) l .sr. .litiv dcln,iu, rc.did ct,li src un punct (lc rnLnr irorlrtr iiLr)clio /
l)) Cdnstrtrl un 1ir]dilx,sr Ls,j/"(r,'v,:) J9" ;r,1*t.y , -5l _i_lr{j'J'1 ,..1_*-q)'Ar)oi l- - r,il' -F ,r ,lr ' - ,vr (lr - r,{,It.- dr -F (1.) +r*i(/+,)1,.--(y - .) l), . (r .l. r)d:l -: lr: t" L.- r {r.- i)ldr'1. i".: t, -- \(r +.)ld, il bxl'r rr -- }. (r..,,)ldJ. l
Condiliilc trccese$ d(, cxLtrxr eini ',.
' ,tt
--r.t r,*8*0.l{czorrhd acesr sist{,fr, glls r stl'{iiti
1, '), . -t11at2.2l\ 11 2. 1,2,.\1"12 2.
('ji.
"/ ,' s ." "r:r..:l l ", | .-l-|'
'ij-.'r.:
d ,. 2. , \ /,.1 ...2 , ]a)tj d. 2\l ). 1r .
itr afuastr erpre,ie rr,rurr,ilc dr, I rL l:',u
si;t,j,r.lcren.lette. ])itutoqlnd lcsstndlc, oljlircm ci,L ...,iii t.Sa'. F.., Lr Jy I 'r (/ tJ.... lv , J)J 0.
''".'.i,u ).r '--. 1- -.'.{.r'l 1r,, r" n9J
rl rl lid,IlMrJ =2h t.t {.,tr. Jr , 'L=.rr,
--:l-.1r. : l.yi-,1:- 0,3 3. 3
Din \ntidelc doul rcualil oltirur (1., * *,lr iL ,L - d. r\rlcl c.1, d3/.(u1) - -2ft1r)' < 0 9i dcci
ttrnltul Mr €ste ur Ptr ct dc mexin, Sirnilnr s0 trori, clPtructolc it; liMr slut P|trclc de xldirtr Fxrtru.tructia L
lro tln rr : t, )., : -2 fi pu orrn .[tr(2, 2, 1), avcu ',
d /, lr{, : -2lx l/ r' Lr JJ __'1,
t 0, 3.ix ldJ - {tl' - 0
l)in lltl {Le duua ecurlii ar\in ,1, - -,rt, d;* 0, rstld c4 d r(M{) :2(lt) > 0 Priq Mro,_ r, trcLul Mt cate utr ptrnc Ur urnn pe fur tutroli.r/ Similn., lunctale itlr ti Md slnt DuncLe dc nii irh.
18. Ce dcvin ccJaliilc urmilodr(. daci -c Ir" *hinrb.irrL, (lc variabill inJicate ?
y a) xtltt) + rjt.- \r-.= 0, rJ.cr jrb) (l-r')tt'-rxj'+ o?-l i:0, x:cost;
',:* '. -", ,,, ',,{i.: r) ',[1 ; i
q c) zi,t* atiij= 0, rr. = 5 - r?.1- Zr - l Tal,
168
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 168/344
, --9n 'i1av.,i a 1av-4..r, .".,/:1 - rr J, t,I t ar t,r,-
J ,,, la,, - ., j
,'.. d , .r '{"oi{" 13j}jL. ",,fd,- ,:d\ .-,qlJ: d' I i dl ,jr jl .tr I .r," -,-' ;1.
?nlo,uind -c"s' " io p. .ri. frEE de.i,e
d"t -dt" -4rdir die
) in n.'1 az d, - '.inrdr ri de.i
. dy dr I d
, dr dr sjir dr
.y. u{ -. 1li.-:|-1
a'1rdr \ .inr .r/ j .r" | .,i rr 1".
'
_ I Jzy ,.r / ,tri I rt"" -si .tyri,,.r dlt sin:i JrJ $,,,/ d,r ,.n r.t-
:_"*(
asrlel (.r d, uatia .aplr tornr 'l'f . ,-,"u - 0..
_ -c).Tr.ri.* i driD,J;dbit.t. r,i), cu b6irc ?ari,hit- { \r., p.u,rn ,r de,i/atFi-r,,,ir,..
,n rap^rr iu r si I. d,,r/a,ctF funciiei emlxs. ./t , r, i. r+p;r ,";, o ,, ,oota.-" ...'hdepcrdente, Fotosinit r€g 11 de dai,,ar€ a aunctii,a. conpn$, oLf,on
.,, . ;,., , ,,,,: -*," r.,i.,1 .; ,; ., .:. "; . .; . . ,
. ,, = .1."1;, I zt,.1i +i :; (,;\,, t | ,;,.
Apli.lnd djn.ou Feutr.l, J",i?,,re^tunjlrrjorco,ntny, r/.,r
F,.: a;;", \.'".;:, -".,, 1d,;t.;ti- a:;;.t,.,:.t,,t) a,,, ,.",1,;,.i-,,,.- {'.}': :"" t- 4''
Prit rmdrF,'/
--,Lqrc ntduit nr @nalie co,rdlr ta u.nnt*.- r,,i.: o .*,ta., ; : O,
r 19. 5:i se rransfor:le ccurtja x2:t - -. I-; - :., luinu ca noi \ariab;l" indrt"n_d^nte ri..n. ,J _ _: .;, cn noui, tunclic zrr _ _r l. Itt
naolnare. Db .clatja .lc d€fiite a noii rrncrii a,en.,' 1 ' 1 .. t ,
"; '- ; '' ", .i,;. ffrr"r oi.;- -"1.: ." I r ,;= -:.,;. tlrs,i.J n
l:lll';-.j:'ij 1, t"n1,"%,-f ;-o, r" *. :)'..a-1.',
"r"
,,#u.,0.,. i,,.*r(8 rJ de dflvre a-rln,tiitor , om@se a"em;- | l
ur:,;,; .4t:,,.i r _.;,;= a:,;.t r:, ; . _ tn:.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 169/344
+ 20- Si i lr.,.lnorrn c rdr: 'r \'- 0' con'iJ"ri'rJ ] ca viLisbilt
i.. 1. 1"111"n1i ;r I '.' r Ln'l' o ''
/l.zdrdr. A^1n
't af rlr r/ ' l--I - ./ r, l.lr. ,l .'l
21. I'c|tnr\ Lunclil 1 ''1l(tla) l'(1) fi /1'(1), drcn /(l) -'
l)r /'(0) iii /"(0i, rlacir /(o) ''c) l'(l) ri l"(l), d.Ici' /(l) -22. Si s| crlcllczo l" li 1"
s.3.2. lroblemc propuse spre rczolvare
sl'L sl cnlculczc I
,.i r, -2r r \r , i*).-Z-0:r,, -. ..t'-2 ,+r-1.- l-0i
I $i rx -F..r$ - x -l- . -:2 '- 0,
]iDtrLr {urrcliil: ,\':/(t) dcfinita implicit prin
rru:Ltun11 IL ccu.rlii: .- .--t,--zd.t.v+ I:nr <tr tr''../F= :.L). : r'-ln.\ i lr) .\ : r-l-.'
...,.,i.4 r. =0: I l-r'r.r -lD(t:'r T {-rvr -0'^l
'2J. si, -. (l.L(rrnirl( (\'r-rn(L fiurc iri iruPlicitc l : l(il dciinitc Priu:
-),', -f ;.'r,
-l.t -- :,- 0 i l, -13 + r - jr - 3t - i + 4 "= 0 i
2.t. S:. sr l"tll.r( : ;i :, P rrt u:
.- I ., - f .:, - o,i,... : : /r t .\' cslcd'lirritiprLn(r+J') c' - 1.f -?, =9
I
i:i I ; i -; ;i;-it ,il r -- /ir,'r') sati'rnt" ecuafia ?s - ,"cu -)c'- 1(':o'
a'--'i('' y\' dcfinita implicit Prini'23. Sir s0 calculczr :l si :i Pcnirlr.flLncti ,, -"'
1", ; ',-'", ]i''. .:-0. d) x rz)'t rzx - rJ'- zv+J-0
26.Sr-Lsecalc.olezcderiyaielepar.fial6deordinulintiigidoialefunclieiimpli.,, /1", .n )dcfinito Drinirc - :/(r. JJ
)derinite Pr"r I
^ttl r4+4 , r-o;b) r'? l-r +, - I:o
17.-Si se calculczc cl: 9i d'z pcntru {uncfia implicit4 ':/(t' Jr)' dtliniti prin :
.r, Li I,lp* i -d3i1)) L - Ir -:o: c) lnt= {+}+ - 1'
2J.
,:):i ."
,t,r...n:n . {u,m"l run'lii.:- /(r. v) definili implrcit pLin:
2.( 4 Lr ll- 0: bJ r'-f'-lr raj F?r+/ -8 -0;rji-J:.r:: 2t LZ.r+Zz-z-o'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 170/344
29. Si' sc arat. ri'a) da.:'r r,(_ T:) (t + )lA :.o. atunri ;t,r _ :t:., ,b + )z;: 0 :b) dacs r?+J;'-2,- 2V(:) : 0. at,,xr (,, , ,,;r,-t],;+-io(" ,t.;_0,.),h.i ,,, )2|.,- ?tar.. b\ | ,. .,,,,..,.i ,rr i,t,i,.t.- |..,.. bx , ay:d) ,lr,i F(u -,',,. 1' - trt 0, arun i .r., ., t.
.30. lt.nl r fun.tiil. impti.ir. , /,,) i : ,r ,l,tinir.d,.sisremul ,,, ._-22.- t.\2 |2y, jl,'.0.s-sc,Jl,ut :. .,,;.i';."-i;;"' j.._,-z : t. .'..-': " .i' -'
.
31. Si se calculeze d;ferentia.lete de o,iljnul i,,tji.i rt doiled penrru fun, t, re.J . /{\ I ;i z - f(r), (lctinir. d. sisrcm.-1 l
a) r,-;nra??-I, o. rrr r -: 0t . f,+ j t,,j. j
-tz O.
3?. F,u,nctiile
'r(', -r) ti.rfj, r)sint ,t, f,,rLtt ,r,rrlj
iip.i.r
sistcn)ut, i,:.r,:
i,ilL,rl':'fr":*1"f1:3 i'"'';': par-;"''r' "'rt ;";ii :; ^ia"ii"i'r'''"',. ,3.1 luncllih.r,(r .?) ri :/,. \) .inr ,t. ,in;r )r
npti i,. s: s,. .rh,rt.zF .rir,,.r,lial€lc JF ordinut intii si at doiL.a ddc.1 :
al x + r . r.',
.) " - 0 .
L j r d. \r r.r.3 i,jjI,cl- t + ] + x' +
" - t : 0, r,+ .2+u L* t:0,- I
.34. Si se calcuteze: a) :;ii:;daci-:-.- cr,);_.ucosr,1 : sin-r; tt)
";sj :,/
d,, j :"/?.
J5. (i s- .ah"t.zF :: si ,. , onsi t in I . . JU.r ,i. d,. r si ,,, sri;r,,t .i,:acos0,osr. r /,srn0ic. - i, :._ ,tn.. , ,.. (;ird;";i;;r;.36.
-cr'sl .ahutcze ,tifcrentiai.,t, ,t,: r.
?). deriniui impricit n,r n1, -'lj'","|'; I :j."t u";r"' ptntru hint i :I
J7. ji se aratc ci fuqciiilp y, - , F i I
-,\(,.r.r) : ?(1 -1.r t- .{: ., .inr" p'1,j"n1. r,l",.fi.l,,,r i,. X;. ,'"*
. r FlatiJ ,1, dep.ndcnr., l
38. S.-, .r, a'ale .i tun, I,it, i. .\) ? , .r F ,/, y. _ {,r1 + r)t tz r",, rr.. rr; a{J".- :,) ,t1r d"f,end nr. run, liolal'piRy. C"r"
".iJrAr,,. A..f' IJ.nli lurcrionih i I
39. gr se cercetcz: dcpendenla functioual,i a funcliilor:
") ), - .j1=. . ', f= . .t tint," p R: 'r0. 0)J;\r j r"
, .1,1.'' ,_:.1, 1.. t, ( .): . 2, y.)r 13 _t y3 , .1 -j. ."pF R3.
") r,: I- q- tX' -:]
a2z' t" )' -; z'
.]":#_.,,:u*,.. ;._ + j +2.: /
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 171/344
1,.--
40. Si sc dclcrlllinc e\trcmelclmctiei fG' i: + :-'^{inbil"l" fiina
.lLrrIrrt prirr -, + +.
,11. Sar sc d.'tcrminc ertrcmcle functiei l(' 1) cu ltegituile indicate:
' I 0: b) /{r' I) Ir -lr'? L.}1' re
)e-I ;
al.,{.,1 .' t',; | ;() /{rl \r .r. i l--t l: d) /(u .t') ) i 2t. t'? | ): 5'
.t42. sj "c J rnirr" slrrm,le lc8alP pentru funciiilc:
a:) llx, 1,3)-\i 2y+22 pcntrd f,l + t? + z'z : 9 ; i
r: rrr,..:) .j : L: I : pqntru i I ; | ;. | : 4 \ b ' r : o ;
.. /rr I r l lr - Zi ncnlru r +12 1 :r - 16;
dl.l('. r.:)- jr+] +"pentru
x |+z-2 x2+v'|+z -4; ' ,
,.r /r'., :, .,.:p.ntru.r' rjl-:1r I,r i]+c- 0
4J. S: - o tfrm;F, lxloa'ca ma\imi'-i
nininf,r. suP/.'i inl/ penlru
' " D..a2 l1:<l:' lt . \ ' r . r.r.1, i \- rn
I.r/. r f,-\jinn:(, Ji\'+b Jzt'<'tl
a" .,o.i.Uih4l- 5i .. Lr.u'f"T" ccualiile urmitoarej :.;;. r,.:
Iolosind schimbirile
^|
, , ii,. -.\'rcocr {2)sinl Fdr 0, i8: rFlu; E)'
45. S:r s transformc ecuatiile urmitoare, schilabind rolurile variabilelor inde-
p.rrdcnte ;i dePendente intre ele:
\r' -(J'f -,1" .0:b)'" lzv v'12:o: c) t?q' -3(Jr") i0
, 46. Sl se t.ansforrn" ffrditohleld ecualii, folosind noile v6riabilc ta ii { :
.."; r?;'0.daci u-''t 'a" tt";I L'. r r:;, "r- 0 daci o-
'.'-L: t't) {a';,- Yu,i:o, iaci ":'1'':l:
4),L-4z;+3:;::0. daci *=3' +t' n:'t + t:
,. r '; ]1- -u:+zl,-:"-o daciL lt: x 1t--:
h\ a, dactu:L't:t'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 172/344
, ':. Coasiderind pe r Fi) cAnoi variabile indep-.nlente 9i pe d ca o noni f[naiie .:' -c trdnslorme urmAtoarele ecualiL:
.i.r-; ...,;r-- (.v - x./:. dac; uJxz -) ,,-+ +siu. r\z-{j r):7,.tL) ty L - Jz; .-, daci r _ :. r - .r' ti u.- xz . .,
.l ,;+2a+';,:0,'ctacn
w':;4 j..,-r-y ii u:xj -::': , \
dJ (r'\ ?)--; F(l-,e):; .)-j:, da.:; 'r -), -,. ,.-.,, j;; , ,, .l"r :{r:,rF;;i)t".+,r. -0, da.i , -I, ' -r: I J',si , ?::
' t) zil-zz'i,+zi:0, daci ',: x{y, u: qi w:1-
48. Si se transforme ecuatia Iui Lapla c e A,r - /;: + L: - O. troeind la (oor dona-tele polarc t: rcos0, t: / si;0.'
i9. 5: se tr.nsform. .cualia lui l.aplacc -\l = 1,, I l,,i + t:; - 0. rr"cin,tla coordondtcle sfericc x - r.os0cos g, I - rsinpcos p, i'- rsinp.
50, S;L sc calculezejacobianul /: -]1r-lL, drci .r - 'cos0, v: r :i.r 0./ t)(' u,
51. S:i se catculeze jacobianul Jt) \' 1 :'
: rsin0cosg, z:tsin9:'"9'-'' oacir r- /cosvcoio J-_
SZ, Sl r" a,,*,"i.. *tlemele funcli.'i /r.r, -, . :, 4 : .1 +.v+:+icLLicur,tilirrttl - cr :0, r > 0, _]J> 0, a > O, i > 0, c'> O.'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 173/344
)l:'. :
i.' lj
rl , .,1 ., tt,
'q turbefbr.iit spafiu ,
' 56 lurhotto -rc d€ crlLl r.gular o mlltid. de pu ro ditr bpatiu, al; crror coordohafe *, t, rvodlici uDul drn urm{loarcle sfrene-,le ccnrtii :
L, 1 , 1i
rrt,".,i:
r,:Fl,, r,4:0,c(,, )j, lJ -0, (,, )r,4 e DC li' (rcpr.,€;tdea inplicit{) i (1)
;.* 1(s, , ' = sls' t)t (,, ),) € o C &e (reqrp?eflareqF ltc1t4) i]r
hU, r - 1,O, '* h(t), t e (d, r) (relr€zortor.& paro,q .rric{,), ,, rr ,(3)
taao tunctiitc F, G, J, e, f1, J,, h e.s ftc urnal*r.l€. conditU d r.8 ls itit | 6) r\trr t{rcriir. le ti contttrue: b) funclnlc /l, /r. /. stauil.sc o cor.spoldutd liulivocd.oi bicorrinue hm pu*tolo culbei 9i itrtlrvalll {o, t) i c) odr:tit dc iv.i. d. oldiJaul htll, ru ioate nul. i d) c.l pllln urul
. DlF. Ot DlF. Gt DlF. G)4rn d.lermnin l{nc .n<
-, -
91
-
c8t. d erit dc zcro,D(.,, 4, D(:, r) D\,, ))
Vcclor.1l o cnrln csi. 4afi prin
. r - r(r), uDdc r(4 4 /1(4r +.6(r)l +"6(r)k. " (r)
Ecudlirle rangcnlei inr -un prnct lcgulat,rv0/r0, )., :0' al culb.i 5Jn
. {-:-i -r--) - :::t , ;r)' l-(io) -/1i') L/J
.und€ r0 osrc asll.l c, ,. = r(ro), r0 = r(r) Fi :. - :(ri) I ecuaii.s ll4nului no.nal lr curbl l ptr,c.illMo e.c
' ,t.l("
- '.)
-F i(r0)(:',
-/0) + i(r0)(. - ,,) - o. ' (6)
D5Lr.,' , pre l"J rl lorm- i'nDlr' a r l/. u, , . .,u"trjl" r'D8cnFr "
.\/. tinr
'-:rn = : r =,113, ,rae r=l r'.1 ,6 = lg. L. ..-4ry \1)
- A lJ c Dlt, ') DP, ,) \. n{,, ,l
'r;r -Jc"l' " rn tL . i'- iJ lanului no" al c-le
,4'r ' ro' 'rr.', - ),. - C ,. _ 0.,'8,
v.*o'l
.';d,,,. t ,, r,,n., "iutr t: '. .-r.on I r,"""''": g - lZ-l ver"o,ur b,no,marei; - li\il
$i v - p. r ,e,\trrr ,,"rmrr.i princLFlr, Axerc t.icnrutui tui Frcnet h p;lchn regulat M0 trl
ufti cuirJq {,1. lrfsFrrr jtr Mo l4 curbi, linornrata la cirbl 'is M...(di.eapta @ t cc6 F i M.'lialo didigh 0) fi normtih prtlll:b6l l curli ln Mr ldnapt& p. trcr. priD Mo tl ir. dir.cli. v).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 174/344
n'a le ,iftlr.,lu. lurf'.a.t.ir,l:ptrnul€xlaror(prrnut@r,den,i,, L ..rena,.t.t,,t,n. ;ir_ .' si. nidr.,r ,..n,,,r.,pr"nLr c ,rc p,r M, si ;,c pa_,,., .,, ;,i":,,,;;' ., l l;, ':; ;, i,']i1.,:'jll: p.ix r/. i e.,. p;rar.l ,. dimliire r si ,1.
r,,ti"""r"
anur pu""r..
"."",.i; :;;;:;;.;;;,,:;J il; ':l::,"
iu -\s cstc nr,rt ri. c.rbA
/( lix';t.
In,..; curburii se run.rt. ra,r A" --,,""" ,, : _l-.
(e)
Iorrinn.r lnrrrrn D{ncr re tnt h n curtd.st.,r",; 1,,u n,p_..iu1 ri,, j: . ,un,t+cste unshiur a do,ii l)ntornprc in dorn it,nde aDropinr., ,^.
". ",,..,",,1",. ":l:l,,jiurct.. Torsiun-.r crrb.i n,tfun pnrct nl sir .sr; (htr ,1"d. .rr ri j,, rr kt. do a
R.tn dc rDNi,i,,. .9. ?..
Iroflntrlelc lui rr6nt snrt i
dr _'
| (i. i. ?,0b)
I'= - T" (r r)*"#
Eirrcsi{ .r.nr. rlttri ,r.^- ""r"
a" =,r/Fll .,. :.,rr.
. 0.1.I. ptoblemc rczoh.aie
1. S:, ic nri. caLrnliitc rln(cnt(i fi c( irli:, pt:rnufui rror$xi tr. o curlt ir.rr-r rpunLt dilt, Ilc tru' a) x... ci cos 3t, .r : c/sin 3/. :: c ri in t:, 0: ,
r'1.\'. .rj :. --i- irl punctut .t/u{t, I, r):
"rr-r.-.-6 0.r_ 1z x i_.6 t,. ;ll t, r,.trl l/ ,, _, _r)11. r - 2co./ i 2siDr j
a1.k, in rnrncrut .%l/j l).
t 1,r" u4'. , D.inr.r. I r; _. r. rlot 0 ,i :ini _. t, ,xr .it,r. . r, .4j _.
rca'rt:L drfi hratnc (5) si (6)...,ua$ne rarse,,rci ,ixLj_r== j:,-, ,".,",:"
;,,,,no'n'l ... I - I :..r n, -_trr-.||- 0vur,.tv_.t.tt ,l
L Iftrcre,,rI.r.r ,1 triIt,nfc tirft,sicut,I.rna pnraDEl.idi.Iutu I cr t.ra,netr j te r,-r , .?_/,
l'', =," 5 16 pd /":,. Deo,rcc.' ;{D : t, i(t) : 2...(t
.._3,tuzultrc:, r.,1rirr.si,
-'
', .
-i
,ir rrntia Ftannt"' n,{,nnt ^,- ., _:r _ _.,' \'- r ' .,. e",,. rLn,.,r.ut rror.ri. cam ,l
. :ll ::;r;;;:;":],:.il:,:1,;:,;i':,jl:11j,"11,":'l*l:.':1.,,:;, .. l,:,r.7nr. rn ?nn,t .,, I ^htin.,n Jr{ _ 2y.i ,.; _ 6, ; _ -,}; F j,,:,, u
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 175/344
t ? n(t l Mo a("{ .isrph de/itre lj + 4i+;= o, j + 4i+ J: _ o. Sot, lia aceslui <jn.n €\k
fr_,
frr*
::r, _ +: i'"i"::: "_il.iT:::;,...,- :
l+2 ?+1 I- -:B -l-,rar ecnalia pran ri
'orhatesre,_,+,_o.
I
dJ; - -2sii'i+2^os't r{[,,* ;lIl: --htt /;,,^. ^^^ --^--., t-:,
+t/ij ,ia, kzlhA cr *uaFne tds*rei s&r z-E- r-f .,-t_,li E 4
plalutni ronar esre -J^ *.lt+ * o - o - o.
2,-Secon:rderi,urba.'. e,,r.-en,"--Ja 9i punctul Md(ld _ 0J. a) Sn
se calculeze versorii bazoi lriedrulur luipr"'"r., ,,i.a' i": i'";';;."'*"
rur trcD.r' DJ sa se sclre ecualjile arelor 'i
'
.,^.R":1**.4Av€n rp)-i+j. nA*** i:;,i
-u-,j
+.r/u1 ui;:.,r+"-1, -^hr(vl:r_r LV2kri rr0)- i li. prib lrroG,
'r,= :[i=;, J; I -{o.i or.r -1.
^-U,rl."
*ui"a
nlo; : P1o) " <"t: f rr * .
: - 1i+ li +:i rz 2- 2
'b)1r1ild eMd de re?utra'ete de roi rus, pDt@ a6ma c{ ecua,iile ta,C"nrc; ,tn- l_I _ :
-l-,1 ' ; -cudriire bipo@r€i"r,r
j-:l-L- I _ a-,
-r --r-:Et'
I
,.1 1-l
Ecuatja pla,llui osnlator este ac@ a Frannroi itetdfri,at de pDdur ]l{o ,i at ciai vector nonlat
' + ', . ,, , I o - r) + * , - o *, . , .t / t J7. - o.\227tcnalo t',."'lur Doral ".,e ar1u a planutui k rrre prjn Mo, de vqjor do.mal
rt-t,(.- l)-- 0/- t) r'_.-oqu,.,; -/t.:^zEctralia ptardui r€chicdr este a::@ a ptafttri ce tH. p;i _iro si a. *.t- _*r ,,
' ::.r_l+.r'bt.tl ,oeax+r_2. o.2 2-3,S:isscaicutezeversodibazeitri€dnrluitu;Fr€ner:inpuncrulrt/o(_z,4,_rz)
ld curbl r, f ). 0,^" - y O.
Retdvl; \om considcra Doltm curbd e rqpEdraE , : ,,.y e ,(t), : _ :\ .), lvcin:b 11)Fi r'r) finrl I' f'nrrc inFr.('r trin ' -y--z= o,,t-r:O, DeriTjDd accsrc r.hi i .lc dn",^,.n mn,,i ,D / .\i\"n 2\ -2ri_i. o, zt._i.:-o $ .:r;;j;;,'_';'l;";:l::llrn t/nr',r lro sc.q sFt,n, dcviro _1 _si_t-0, _t_i-0,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 176/344
? .-.r- 0. Rc'ol"lld a.ar siited. obliftm jrvo E I jtrro\ : .i, .rMo, _:l i ;(vor _.t (ud - 2. 'tMd: .t6. pi,1 nrmaF.ivemi(Mo.-i_rjjzst"i;1v,i _:; _ror.-ir..r.r;tilN. .26ai z\l .lir. D., i_i, lr0r - , i - 4j t zsl ,r/eo r 6,,,,",_,"r, :.i .,,,1..,"2u,ia, v(Mor : 9r %r \ r %r.
4. Sn sc giseasct vcciorii de pozitie,ti puncrelor de pe curba . ] t , .l _-
+ (2,,- Irk {n care trn8enrala.urLi es:" p".p-ndicularj pea,e,p,, r, __,
,l-z -0,.Y-:- 8-0.Raotto,.. Dtectiad" -,. ": l'.
j' -i fil=,*u*u. Di.cria 1rn8€,rei nrt.{,, i I 0 _rl
pxnct lxrenl este n - -, r *, +.4jk, cite dour, dlrectn fiind pe rperd-;ul .c, iezrrlr, u.i _ el'
- + - 3 +.4r = 0 dau {c * 3l I t: o, do utulc r = I plio",;*, exisrr ud sinsur *n.r,
al drdi lFcror d€ pozti €se drj : i F jtri.
5. Si se calculeze curbrua ti iorsiunea curbei r - t. : : p, z _2f1.
",,"i;;ii[:AveE i/').F r+:'J + 2,3r,, i(,)=21+{'L ei 1.4:11, an1.j .i,i^ii-2(:,]+ r,
-- 212t1 - l\R: -:.-
-2(2, ,ll{/rri T-1221' 't\1n-
l ett- r,".(2t'--ttz I 8
6. S:l se aIIe elemeDr l de irc ds al curbr,i itti .lc i
a) t": achrcosi, J,- dJhrsin,, z.Lat: b) Zfte+3fz'+ z -.4::0,12--2) --z:0,
r.toridd..4l Arm i(. + 4rstrr.orr - 1Disin,), j(,) E./.tr, qjr |._ (I I cos r.. i(,, _,,. n. .iti J' +Jis + ;s : o (Dlr,r+ ch I -t- 1) = 2a c$ir, Dccl dr * af(cl,t)dr.
-,.,,_1.:",.i'.:,,,-*,.u*'".r,6nrh, cnrrr
^prchdec,..t = t. : ).. ri r -..r.. runctijl,j ijxltnj..
tVL 4t) Iin dcfl'ito nrnr 2,q -- t 2 + 1 - 4, a O, it + 2rt _ , ;0, O",tutna"..0r" "ol.il
r,.rrr -, ; 0, Doielnd ccc$lc lcjrlii tn"
t 1 i - i - o, de Jrdc (IsiD j * i.apor cu r.e r, obt'inotr a, +^6ri .t 2 i - 4; _ a,
.2* -l |ti_;*o, a" uu,t".",,,n i * r,2t-2 r 4-2 , 2,/ * - _ ;----: ar. iccq" .cznlrJt. ic o r'.c1t-5
(4 - 5)r.l
7. S:isealleraz,,decllrburJacurt,"i \ /_-.int. I - J co.l g_ tsrrj.
, Raatu:re. A'eh i(r) :(l-&s4t +sinr j+2rcs1t, ir1r1= *t"ri I esr j _ sin ,f' I"
;,; -2(os,t 1-2;^ [t r-,,1'l i_ , I----- ,2 "2t- ,/, -2'ir' r{si ;'i =rf r ..,"-'
Prin nllncre, _' n: |: ---4".ttt
| .tn,l;
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 177/344
8. Si se ara{c ci pcntru elicea cilindricir I : acost. j.:asint.zr urLura ;i tor"iunea sint constant(.. - bt,a> A,
//.1'.. D.L"'ec; . ,sjn td.ctj Dk. i. . n,o.ti -i...tti-i,^,n.,; J." t-, ; \ ;i -,v4' r,'.i t;, i, ;) d=t,
as{ror.i "em K- 'id+b" -'"
,,,.--$iy;1ai:.''r'..jta, + bt 6' + e
- q. \i .^ a I ., r c c:i .xrba r astoer,-1,. dsin2t.: a,oir/...1ru, .rt plnn.-,.si i^ r:r'ry.i rualia plrnul"i ce conlinc accasti ,urLi.
/, J,,...n-Jirif,,ra-q,j )i \utni..nrain niurt; si tFsirn.,ra i,.,.,.1,,.^... I
,l-= 4./ sn] 2/i 8dclrtli+4's 2ik, re, r (;,;,;):o:i,l"cil:0 l'l,,, ,Lnf.r€. r,,lra
,',rnr,:.. nrrnur nsuri,.r. ireo,,.,c F.-,. ,,",1, o.r.,.. r1.... 0ri k /v l, .-,. rt .t -.ntrr'r rnanut i 6i',tnt
S.t.2. Frobleme Dropuse sprc rczotrarc
. 10. Sr-L--sc scrie {uatiilc tanscntci 9i Lro.atu n,,.nu,u, nonnal in puncrLrl -}10lJ ur", l' t. ntlL :
a) (f) i.- llcos ;. t: l'sirtcosr,: -=.'sir1, ,tt,{r,-;J ,
b) (I):-r.+J.,. );- j. Mo\. t. z):c) (D :vc + ,1,r + z,: 25. r + z - s. tto?. 2J1. 3) ld,.t,., :j 4 _ 0, r: + r _ { , 0. t/o(/, L rr:c) (l) r1 + r + "5:
6, -rr - '+ ^s : t, tIo(I,, t, r.
, ll. 5i ,.L^r,rinin, ^rsorii tr;e.i[rtui lui Fr.n, I in tu ,r I ,/o rt ,,[ -i t.,rlJ' '.
i) (f) .f : I - cosr, -i -. sinl, : -= t, )1.(h:-1. \
L ,1, v . tl. ? . 2y. llolz,4. 1).. \2t
c {fr l'z - ,. .Y'z- -, l/o(1, I. l) :
d) (f) r,+J?+,.1 t{:0.'-i, +z --6:0. trr{z, 1,3).
12.. :i.s^ ., ,i, ^.,,dliit- rrr.tor 1i atc planctor tri,{rutdi Iui I-n n..r iI I rn. rLI .t/or,'url,r l'. pelrru:
t. Il . rl /r) r'-:.r -.,.r.r/"1;.i ., I,I'r rfl .1r T \: ?1 - q. l.'.- r. .- i.'Jto{2, t. 2):o)
1Urv3 :
t.xa
:24.. {og" s. 9\1
J' {r'r:r=Lf =-r.' +. trflo .2).\
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 178/344
f8. Si se arate cI tansclrta. no; a prin;ipaE si trinormala in orice punct atclrbci r - er(sin ri + cos,j + k) Iomedzi fiecaie ctte un unghi corstari t c; a-ya O.r;
19. Si se determine Functele de pecurbar:- i+Utj + tk, unde nurmala
prin, iprh r.t" pardlel.i cu ptanul sv J 2J, - 5: . 4 - 0.
20. S.1 s- "al(ul.re crubura intr-utr ?uncl al curbei t:. ") -'.J-c .- IJZi bl r-e,sinr.,, -e,cosl,:-e.
21. Se di curba r : ri + (t - 4j + 4fk. a) Se s; ..t ,teze yersorri rriedruluiri Frenct tn punctul I :11 : b) si se sc;ie';u;tiite normabi ;inciaate si cdbri:
o.culator in i - t : c) si se cajcuteze iocsiunea jn p'un.tui, - r.
^22- Sl se celculeze laz:r cl: cqrburi a ctileiconice r :'l cos l. ), : t.int..: at
ir) oflglnc.
,23. Si se arate ci curlrele de=a lungul clrora curldra este nuli siht drcpte.
.24. S.1 se arate Li curba x:zf
+t,,y:tp-2t, z:t?+t.- 1 €s e,c.,n-.
tntr u plrn. Si se scrie rcuafh acestui plan.
25. s.. sc .alculezc rdza de curburi Si raza de torsiune p,nrru .licea cir.ul.,r.,J dcosl, i:asint. s-,t.1l
26. Si se calculeze curbura si torsiunea p€trtru cBrba r : ,i + -l1,1 I -L p [ .
2'L27. Si sc deternxine raza de curburirfi torsiunea curbeij : i,, 3: == 2 13. .
28. S: se gis"asci puncrcte cubci i- 1zt
-l1i I ls.j 1 1r r?,k, in ,J,c
oscuiato Ia eorbl este rerpendrcular pe ptand 7r - 12lj_-l- 5: - 0.
29. Si se detennire pgnitete curbei ,: -li + ri + (2t,- t)k t" ."," L,,,;rl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 179/344
9.2. Studiul coniceloi pe ecualia generali.\
Se hloaite conic6 6 nultime de prDcte dh plan,iale crro. cdrdomtc iir raport cu un rcperc"czhn oirotro-nral v.' ili s- a@lia
tr,yt ara4 zzjlrr+a3jftjd6, Izdat1n,,-o. (lJ
.".it--'i|
.',1 * o. liad'lii @Dcei {l) sinr :
.t' t". - t lq" ..""1d:l"l:
":l:a_1",, ,. ael. r .at a ,. t,t
l"' "- ",tar dpatia caracteristici
arc rtddcinilc .calc ,S1 ii -S ,
9-1.s+3:0, (3)
Daci A + 0, coric. sc trtrnc$te n deg.rcBtd, io. docr A = 0 conii $ numcaic
Drc6 l + 0,, colrica cst. cu ccniN, [email protected] elrn'tui finrd datc dc sisLc,nnl
rlJc6 8 - 0, cotri-r r5to falra (cntlr.
Da.r A * 0, rtunc; : 6) pcnlr conic. cu entru, I r.o, cenn,u canonic.r cir.
Tl;3. y : "t, + 1't/ + dE = o.
;t ,.;, = ",", =a1y-J'r=or 14,
srxt r srrl l- : - o,15)I
ti d,oosiB r.lerint{ po trtr 8 > 0.lipse rcatc da.I JA < O Si clip* irdagimrc dac6lA > 0j t)utru3 <0, ave,hrnorbolej
b pcnttu co c. tIrI cc;lru,8:0, co ic rcflc,iDri rarur.otc i (a.1,.aJuaii. caronicl esc
,.:= *f -4),,,* (6,' I r,tDaca A - O, ,iL (i: ai tclrru conrcc cu enku, i > 0 4rdlA cA iv.nr drcflc *,rDre nhEqi-
narc, iar I < 0 srgtr, .t av6m di- .pt sdte r'ede ; b) penhu conicc f{ri ccntru, I * 0, coiricn sc
ezq - .. b," .- , l7)
s detormirl urgbiul pc ca.e il .e um diDtrc &t. de sim.trje.de conrci ctr scn arn Or a rcp.-.ului ioitiBl,
D&l | = O g.ulul term.trilor dc,6adnr at doile din @uatia (l) Iorhcazi p5tratul rtrui bnrohJbiar ld , ri r, iar .cuafi . I
dcduco 1. dor, drept. pardlcle 3au confnnd.tc,
Ddcd I*o. arunci d c.uafd
' tca:-i 1:-j r (8)
I'dotofriq{ diktia axri coniel Pcdtru a t€s snricut parabotci, $ {dcldutia conicei irL rornat",
+ o'"y.+"1, - ztJ;i1.i{l: ,I-a9, r.et+p)-0, a..".-i,uuan,'* a"tr"r .". I,n.i,,r"i
.du
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 180/344
rcprczilte gnfic collicele trnnitoare: \ ,yr \rJ 5Jz .{, f 6y': I 0:Ll.\,-4.U il.-3,. 3J+2--0;S.z l4'j lb,': - Z0r lOJ -- 5 - 0.
lrn .,'".., ''* -.. t .l 21
. | ;.0,,,..".,,.1 "",,n,ri o r8, Jrr:c. rcpc.
' l-tIrulLilxpu,"u,OIL0 v , d-t'nrrr f'.n L-.o-t, J.-r0 , L.urr'., conno de,in^
,;"-:;.y' ; -ri,.- 1:1 -'3,y, -.1);.r- (-r"o+ l0r0-i.6)j+ iA - 3,; +. yi.-t""+ it"+ t:itt'.ul""
";O' ri il" c"oriu a"
"i,r"taea colicei r.cbuie .a ecuatd dc nai tuainte si IG ,cschnnMii
.,"d"ru ,' ,"91 ,.
"rr- r i. -il. Ar,aJ,." .la.r 2,0-r,ro. i. o s, - J,o
+ 1orr0 I 6:0, adiis o'(2, 0). Fatn de noul rcler e.uatra eoBrceL esre j -Jr-r-+5t, l-0.ta,i' r u'n drel- in iurl. I'oii or,gi'r d cu un Lnc'r @. Cr Lmut^t i-).6)9r]rn?.j:,L s'n q + I cosI ecuJt'a deadc
ri
-t,(c6,9-isioIcosq,f 5sin'qi T -\ y(-si,,2r - J cos2? + Jsin2e) +_+ y,(si s I + 3iiapcosp + J@sr9)* 3 - 0. -
Aleg^nr ungh'ul p.rcbri ,a Jx-l" OX >i O y .r rie a{c d..hrr',c, P'in u..raF ate6.rn unghut qa"rlcl 6 F u0ttu de Frai indin'- sl n^ oei.hiuLa r arln.i I I iotcL,^, ,l' y, pu {. -y, y, su.nr
't, -yr. A eaJa 0 rr imntd cind {}n2q ..":.-0..,,e:n-.1,
\ 218.9 3:+-1- = -, oc unae t6P = -, n
'a :--
3'i6' '-" =
9.2.1- Pmhlem€ re?nh',ta
Utilizind ralionamentri teoretic senoml, sl se"
s:i sc
a)
.j
sub Ionn:r canoni.ii
3
1'10
Iu ' r,; al.8ap J iur 9, -uati. .oni..i ,^,.1q ...4 1q . r. -1: yr - I = 0. C ni.a ,si. o .t,D)t dc
"..,,.*7a,, i/* ^_",.ecurllrex:u'' $i Y:0, dcci i.os9+iei q-0
5i*; "i" 9 1 7 io" 9 : o su k *'oj co,s 9 +L(r-10)
sin 9=o ri -(,-,0) sir 9 + 0- /q) 6s 9 - 0,dc unde 3r+i-6:09i' -, + 3 +2:0. Tinltr<l sean4 eide itr;secFlc cootli cu acrcOr tr Or, obtin-f, r.pr.r.brare did ligura 8.
r, In.ac"*,az t-l t -:1 -J, 0. p,o^drr.r ,a h pxc.c.tiur ad,enol obiilc' )-2'l
ol.-, l-l ri auslb cod,c{ hta de rerrrt iojesp fr- 4ji t;, .-L o. p.n,.u ubshiul\ 2 t' 2
d6 rotelio g&ih valoarsr e=| $ *uatia"aroni"a
ar. rorha zx, - 6yr - r:0."oon.
r.ro"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 181/344
Fig,6 - }.is. g
c)D"r"..8=l ,. -:i - a..,...,.,. n,,i inriru.oJa,." i,.; shi e... ..i.o.. _,l-t2 ir,l
-i6 p, ,,:i sl' I + .i co6 9.l:af, d.,onr r(,rflectrdlia co)irLci esi..rr(9 cosr g I z.s,in p"n,
q ti+ 16 sn]' f) .t ri.(7 si 2? - 24 cos ?9) .L ji{l) sin, ? -- 21snr p ms ? __ lC .6j 9) + J(_Z; s,s 9 r
. - lU sil p) r- i/20 FirL 9 - l0 cos q) -. .' : (1, .\tcgeh lrghjll I .o61fet cn gtrrpul lNroilor dcgrEdr, dii ri .: tud (a n.,h,a, ltr .ir. di.j ,rn\r9 _ 21si,.9tur,. ,6\,,\ = o \i _-i,,2? _
-2{co,2? .n.ottinch-se*]"idc..i,n,, r'{l' *
;.-,.. = I
(ir. ..cci.r,,. ..rrFer. ... ,.:.r.;i
csFrrn I'. 'h 2r;1 - 2.2J\'. {j. J = 0, A. ,nr (rccru:thr rrrnlt rri"i
- J, .t .. - i, . ),.dDdr
a,c cr,tr ri c.Dr\ ,t.,r. :5)a_z2.r-.. li50.r. .J -.tjj.d_22.\."..1:"..J. r.Der(r,,i,.A n r,,..ir. L.,r.t (1 5J r., I -.,.:.r.3-.2:;" ,f ',"'^ .";;;, i"., . i
stc o psobolt o' rhtul z. rrirlzjM n,ics.clir ,.rabol(i o, *o" o,lii or,"r,t,,
,o- -;. I lli. rcpr. .y/, I/. i.i..r. -,,n,n contr,.j e.-c l, - 32.2)
::-x. lrd lutrrrc, coDie
farca din ljgum 10,
Fig. l0
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 182/344
2. Sn sc scrie suL torma cinnnici ri st"crep(zinte grafic conicele :
a) 6J,2:4xy +gyz $;-32., - 6-o:b) 7\z -8x1 1-J, 6r toJ-, l-0:c\ 9r, + 2h:1. + 16J11 l0.r + 301 : o ;
nj *, lzvya,t"-.2r+r -i 3:01e) ir, + 3-Y:ir + J:|: - : - '1 .-0;'I) r 4,v] + {}s + 2x - 4r -- 3 - 0. \k.inn. 4 -\rn 3 .. I -2 u,rn. / - tj,
aulii-c4;ctcristici Se -i 155 + 50 : 0 ajre .eiticinilcs;-5, Se:10. tted.ecc 8>0, A+0, IA<qi
ni6 cste o elipsr rcati, a di.ei €craiic redusn esbric ll 5r'. r0l4- ro- o su x' l1 - r*0. c-,a,.,E4
firlric ccrrrurui sarisrac sisl€mut 3, -, _ t : 0, -)r + 9J/ - 16 :0, asrfcl "i ,u(t, :t. ungr,iut
il r' r'.c n r" t. J- - uar'J 16:? 1, d",udc rgp J - Rer,./cr,,r."., ",",',., ..,, 0",.'i. r,r',J r. I - f ' ;
r,) n, accst caz, I: -s,:\: -9, I:a,.iar .1uati4 ;ru(rcd*ici r -sj_e:0 arBddlcnrilc-.t :9, S:: -l_ [email protected] < 0,A * O, @d€ ccrc o hiperboE (fig, 12)la cirei e.uaiic
cstc 9X: - 1r - I=o, r}oritolar€lc entrurri .t"t a"r.,a..i=,";,,u1 1x-4t 3::O,
l\
-rr , rr 3=0,rdiceo,l1, tl. Dirccti elo. esre dclcnnimtr dc ccralia re 2e : -], a""na"
?': 2..c) ArenrS=0,1+0;coniddsr€opaaboti.purem*ricdualiasur,fonnr{iil. 1)l _\r v+
j1, -0. scriinrl accastr eimtie sub rolm (rr+t,+,)e -zpJ-i1+1 t, + lr +11) :o,,. 6r + tol : -.{0, Ae : 30} : 30, ap - tor'p : O. rc4t3 at: .r d:0, p:0 ii.: - l, Pri,' urd1tre, as paabotei ;.e ilepta j, + ,7 - 0, ia. t.ngelra in"irt,r
pai;or€i cst.-,, + 3, : 0. sc dbscrvr .r wi.rri paiEbolei eitc z(0. 0)- Dcuag4 enoni.r
",tc,yi - x. rnt"*mr- ,or.i rriL. r,. , u r:cr. de.oordotuL.
"r,,, n"-,.. rn.or u' (-f , r){"
_*)
d) A''eD S:3, A:6,J-5 $i tA.-.t'>0. co'ie_€*e o ,'i,i'..i; ,".
"'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 183/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 184/344
n^\up'rldl.r.i rrr" nrto'1'or .r..A "'f.,r t.-rt t, ),Iz ro "dn.r a",./-i. de or.lilul.. i
'o.,. nLd. d).cJtutil u,,,1 4i,, d,.,1, .o",1iiILn.tro i
,Dlt, J,) r)(J,, /,t Dltx, Jt)
I,1.,, r, I.ta , t, Lc.r. df I ie /oo.
lh punct Ilo al unci supran:te, nry'care c( ,titiLtc Jc ;cgutarjrar. a)_d) sinL sar,srbc, rc, \o nu-
rncj,tc l)urct r.cnlat p.'tr snpatafa da1n. Da.:-r c.l F,tin lna di' co,.litiil€ dc rcsrtarttare.nu csra-ru.r; L. r' ,,. J ',,..V.. ',L.er"n., rs.iArt. r. ,ru s,DIJ4L rtd-a
\.,.nlJt ^ .fnrrt. r.1 ...i 1..4 prn.
I : r(r/, 1]), rDde r(,. t),: L\t, t)i -, t' (l, u)j + fs(l, a)k. (4)
sL'untrir cu,t.1cN;Ll.nilj.rci,fl(4ocdLtriI'rrasll:rpoNpraiafdt,i,CX,actirciocufievNl.ri.tle esto
r: (,,, ,o),(r; %) e,A i R3, ,,r,
rldc csio vqriabit fl. u0 .src corstant, srpfafald :j iiilrd ddrl ryjn ccuefia vocio.iatil, ({). sc rtrucrre
(rrDL cJnltl.triti d0 lirul ,) o'duLlrr' Iii r {sdt[ r].j srrratrfr ), fnc:j, a catei ecratie osto
F (/o t,), (k., ,) c acRr. (6)
(irld0 coo(lo)rrr sdr }di{nctr0o Al. in.i $rfJrlclc r.r u.nzd,. letca do clrtjc, veclo lranserti{r c lrrc li.inrcir (ri Ionririi fiinrl
"":'"t -- t;s - 4k qt t; *.,;t+ ri,: +,ik, Fslocriv, prin
{,icc |rrci.cqrlrl ir) $ dtul.ji 1rcce ctio.o 6ilguri, crrb{ di,l ijecer( iatrriji(,.
U.r . 7cr:r'* n. n- t -rtrd(rh :,'
rFur, rl rr rasul.l d s.0r csro
tr, F ,L I ucr siu$ lnr rlXri =. o.
N "= r; xr; l7)
O oldrl' l)o $rtrdftrf{ ) se (lcfnlqfic prir r,o rctAlio trLrc coordonatelo cn rilirii d ri, $rb ua dinl. trrl0i I'
,(r, ) :0, sau r * f(o), "Ni +(() sAI ,,E {r),
':'(4. 0)Ilcualiilc rorDrllcj h s,rnlAtlt , dn1n snt) rorD{L.{t), tIiFun punct\isd{t ,uo(ro, r0, ;o) lsaun/o(k=ro u-'ol3t,rr
i:- - Z--1. .- i-:icA ,b c
N(,r,
^.
q. A = -l_- , z, - llj--::, c - L 4 .1,,,
l)'1.. l\ r, 'l t)i. )r "al,i pl"n' ni ra."-"1r l,..rtutJtr :,, r,n-r,l ,4, ..c
.t'-'"A,,-ra\ t., -vo Lc(:-"t. o -,1;,v.
l"/%lr, J supnlrl" :.,rp,11rt rrin rcf-nz,.r' JL.1 ,,,tj. rt lr), jrLn,ic,uat.,t" roh,al.ira):
prrnclL,l res at l{0(in, ro, id) sitrt
(e)
alcurafi lontd' t;
-'h, 0 = to.
' 'i
ccuilin prcnului t.nAent la
FitMt6
i-ic:z:5=i-llF;t r.far 4l rr"l r,tr.,to)
$rrala}{ ii rlto, e : $te
I ri(vo)(r yo) + r;(M")(. ,") : 0.
(l l)r
(12)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 185/344
,l.l)x.n snprainlr: cslc dain prin.crrih (J)sa'L(1),.ln .i.xrrr.riA rj r(i I.rnc
^r. rr.r .. /r{ t,i: I :.r:11, rlr, + (;(d,)
I.i, (i;1, : (r;)r r (r;rt, 1.;r,, : 4t i = ";', + r',"y," 1 .,:1,
,.',,,;.".
.t
DNI trii,'1'r ftrr.t ngulat n/r ars',rlinilri I'r. d.,tl c$Lc Ir ii I, sn e I[ srri,t.la.un{hirllllr nr1 (lelrng.rrrl. nr,1/rlrr.rsrr doLLii ftdr cs1.:,1A1 d.
/i(i,tx I/.i,1 ^u I.lr0t) i Cd0lu
1ri(,r,,F .2/r1r {h d('bF)'r1i/jidll], f 2.FDesu Fo{lrlfa.nrlrlor drrdotroif |d .str {1{L {10
',"-0,- -l.t--.
\i/il'\ qrrl
(161
(17 t
Cor(litnL (1o .Llog "rlinltc o orr tlor 11
tifr
I'r)-'rrlo
. rt (tr 8a -1. 7;((l& 3, .i (to ri) ,1. G du 3u : 0l
irr ii cdrul d$L,eld qrmorrto risto ;r ..' tt.
lilcr".nr ,l '. nrn n- {uDhlJ.n : r:c 'xnr^ir
d' '' \r'/7jf:ii dr (r'.
l)rrri n crro ^r'r'il, "c a nr.,, r n.nrt t,,.ur^t'1o :. u .. JI- - =:l: l. .q'.in' lNl t jo -'r''
n.dr s r{d,)r..t- 2r1, drr, .-
irt}u)lk,'. r.r':r- i,.rd tr (lJ,rA I nrlJI.. tlr1. ]\r.l. ,.nf f,rnrit r."Lr'L.
llsl
/-: n';r.,
r/.- n';". .v = I r,i.
9,3.1, Proilelrlo rezolvato
1. Sc (onsiJrTii :uprairJa (f) ::( : tt -f r, .J : tt * r, t: r.rt,, r) Sii sr lllccolrllolrtelc uxriczicnc nle purlctnl,rr 11|Qr, :2, u : l) $i l1?(r, .- l, u : 2). L) 5:r
,sr
r,:riiic| drc;\ pun.telc 1.1,(4,
2,3)
;illI,(1, a,
-2)apa4in suFrrletej. c) Si\ sc
atl rrtr-( z.rllrrc:' impli. il,i x s l,Iltl,l, i.
' R.ratldft. a) trlocnnrl tuofrlon.iicic onrl,ili, ,.= 2 ti ,: I ln cc',l,irc \trt ' r.iri,L L,r,'cD,
cooidordl(lccurtczicrcaleptrnclLrlni]'lr:t:il,):1,:=2.SLnril.rrc,,ltr'epttrf,r/,:r:3,,'- -1 :2.
b) Pnrchrl lt, apar|nf sulmiclci rhcn sistcDrrl ,+ -1,1t- :2,"ir= 3 cslc conrFlil)jl'llk-n.l;/dr, sisto l anterior .stc courprtibil delcrtinaf cu loluilu
"* r, u: 1, Prnr urnriie,
,'1, e ). hoc€dlnd snnihr lentni turchl n/r, s consratd ct,iui + :..) IriJnn,irld , 9i , l,)tre ecraliilc laraD,ctrice rle sllratefei, olttcn ccuath nnlljcilt a rcesteif,
0.
2. Fie suprtfata lr)x: '+?,):fi ,,r: Ir. Si sea;atcc:L :alcurl'ele,coordonatc l',, pe. supralili, sir:r\t dreptc j b) curbcle coordonatc l', 5it1t .drbeplancjc) (l') pe sirprafala >, estc curbtr pllD:t.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 186/344
,l,f,trd?. al l.uatiilc adt)r6tri@ at€ nn.l, ,; r -,,i _, rli. rcn../i li
'urn"r, i4, r; u-ei r- -u-"i;:".o.clatiil. .anonice ale utr.i dreprc.
. .l -1r,) ilcnatiile pa(ncrrice atc un(lcnatiile pa(ncrrice alc unei curh oarocare .lc rip |" sht , - a + ,n,1 : , - ,,i, ? =,./.
eriminiul prramctn,r r iut.e acerb ;cuafii, bhli,"* *n*-,u-* i-ori"rd .""i.u;ir""],,"ra".ji"
r = - r ,i ALoiLlr d n ,r n.i re,ca)rrarc .r?ta cA curLa I, cste conliluteti
pirnrl r r 2,0-0,c) C rbaInrc.cultiilc paranetdce r: Je I i, r: xz - ,, <,l.iEtioinild padnrctrut /,,oLti'r.\ r ty-2r--0, ("-1i,-1:, llpr .c rutr cA curba f este conlirutr.i, ft.autirI-2ii-o.
j.: ,.r;d"rr -uprJtqla t: .r d. . -4,..5e,er(:J/ i.r-s'rul .onnrlci l,) in nrn,rl.l lltu-2. . o.:',,,ud irl" normahi +ioruatiaI l'.rul,r: Jns(nr l, .ul r"fir., iu t) .r, tul .11 .
/ ..".',' ..r1-dj..,j.{uk-,.: ,c'i-.c'j 1,1.,^/ur.. N - rr.r,:'- rxri+'f,i rrLl-i(rj _;,r. ln rrn.lur ]170 .7cD N_8i.8j _lt,astiet;i n_
:i - -' lq.l.l,) Ii,ln\im ecuatiilc {9)ii (10). Deoarcc. j1l U -t. l1Z.0) :2, :(2 0) : O, e.tr. Frre n.,rualei
n',p,.rnii t,, p.n"rut ,11. .',lt--' :1,-
'* i._
_t.tcurlia prandui 4 serr csLc 8(, _ 2) _
I ,. ...r i. .:- - 1i,.
4. S,-L sc scric ocuafjile nonnilei 9;"..1o9io
ptnn,Jut tangent la suprr\fala t,ij1 punctul i1d, pentru:
ir ':.r , J,., '..\ 'r 2.r-tt:
L, :, | . ts tt,2. 2. 2t :
''r r)r r': 2. /.I4r:- i.2\.-{J.b:8-0. 1/r{0 L,.2.ri
. d) (r) : - s" ,4-- s" trol. 0..2).
n vrlr".J) \'..L, , r.l 1.. ,","r.i. ".. N=r".r,-rz.,)i_{, i)J_2r., Eri pultr .VrLl, I 2r a/e,n N: 1i _ j - t , Ijrnr nrma.c, ecualiilc no,nal€i in lurchrl rrr0
,i,-
. "-, --.1 -i i,, c.,. ri- ,,r,,, _t _2 I'i
rrrg,,r".r.,. 1 -2. -l .i.
f) ii acost caz N:rix.;-6a,(,-")i+ 3\u,-c)j)-21 - )k. penrr punctul nr,
sisteN a+ :2, "e + tP * 2, /3 )- tn e 2 dli co.rdonatele ftlbitbii,:r: lt De@.€cc n{tur'c" ltor7".r'N. .;,i t./0 ..'c n.. rlLa. ,ingu.arp.nt,u-rr -r", I)ir,,,qr{a'pJ"' " rj^.' .' lornJh r: n, ,. . I rln,..
, , Iio.o. ,n " ,,orirr^ .,t, t r.1r s./12 .\ ,"h N - Grnd a =_ : ,i + F,i . r,r=,2..-\-I{ 1li (:\ 2r'.{j lr '.2:-r,Jrr, xsrl.l J i,r,n('-l .lt^ ol,l rm N-radF--10i,4i lL..Jr'.d
"r'..T' riil" .-n.'t-\i.Lilrata,,.t., rangclri-,utEI t4i1p,.a.,.,tLr.<ir.,, rr. ,".i.,,: I:
-2,,
1u., 4r'-2-- {-0l^4
a1 r:""niia".p'.r"1"i
e"t" aal-i sDb rorna *plicit{. I'(;n}d , : ,i, y : ,, r6zutt , + sut + 4i - 3
fi,ra,0/;r, u: o).
\ectofulno.iEl in,uo esre
N_;i*.1: _
loi-.{j+k.prin
rrnlare, coratiit.flor,n,i )i",u.tstrrnntui..1q.n.ir,lr.,n,.':--J -. " -2 l. -l0r-4J / I 0,
t)1cr c. ,r,i ,pidr're, * , * *u .,.-, ,",",', ;1, - ,r 'r:0.a,rn(i .. "u*," *
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 187/344
tangcnt ;i ccuatiilc normalci lntr-un punct cu-.il
[) I t/\ios I], .t - ,, sin ?, ?: .tt.j
/r/r//,d/.. n) r)eoa,ece r;=.os,i.rsh' j. r;: -,si'ri I sosu j-1,at, *o,r,l lr-edslndl-,.os l+nt, astlel .ri e.ralb Dhnnrri tarior
""t",.i",,1"-"..^
a_- tor /r -, nrl r trL--r I. o\,,,,r'\tr,-a}'cosot,r-arr..0.tlcral,il.n.n,iki
,: 'u{''1ty3..i-
. I I " " " .z l' l"'" ' z I-;.,: - 1', . .i t,, i
'.,,-rir,.i,.. i. ,"' ,:,,
i "-r .. * t:- r' ,,1,i ' ri -t' ,t - .'l2t l'i .1- ti.t tX .t at12) r,l'i -- ,t ". ti ^ p)4 ]\"or $frflt'fA rr j I = 0, Dcoor.co N - Ar d.7 =.r,o.0t..1 1f0j .l-,0/01 r" ,V01.,,, r,, ,"1
ft,,,ril on eo,atjll r,rarllui t;'iBcnr csic /oro(, - ,J 1-,",,,1y - y; -- )p,1,: i) : o ;,:,,'Jl;:i
-l'nx/--iry$ -3-tt. ricu{Niirc rd sot(,i sr,tj-j
=. -I-:- , = j--3. ,*, ""f" -,,f -.J;o .ron
-v.,),_) :..(r_ro'. ,6.,Sr
-considr;t s,rpmfJf,r (:r l'1, ;)) - (ht.- 3/,Jr - r3ji t3,). - lttrl)..
,")j i:1r' - 'z)k.5t <c J"t^rnrin..: a/ rrl.oirul rt\ f(,1,,,, Ftrlr,z rl.) c,,,irril')J i- J(x, - 'z)k.5:1 <c J"1^rnrin..: a) rrI1orrul rt\ ft,1,,r, F (rlrrz ; l.l c, iri:,pldnuhri r:rng, nr I:r suprafa i jn p ncrul .VJr, .. ,. d).
n"-tot".\ ^ r". r-1 ,r-",; 2htl 2 .>i t. . r.., .. r . , t ",r. ull_It..
a) r,rnt nnnrr., drpn lo.ftuta.(13), oLtinc'n .ir - o : 9(l -1. n' .,_ on1, 5i i' = o. n"rrut .lr,d(r 1 o.l n, _
',.tl.tr. - rd,rJ. il.,L.lF,t",tu,4n vrt,,..lJ hpo,rrt,,. ."n .
7. Sn se scrie pjima forhi fundamcntali pentru suprafata : I')r) .r i . ) -l. z .,r; tJ r FJn,.olJd," a r;-i,,k.r;- j 1k. D.,i,r: r : u t- rrri i ,,.
dr:- ('r(dnr
L.2,udrJu: r.-r.,^.lrf.b) Putcm scne @natio sulraretei sDb rorrs ,:/{r, r,), rn.t. rD,.1ia J nl(r, ,) s-te deri,il{
I
{ - :r'1
:)ji"l::"1,'^%(r. o, o) a,cn N:r;xr;,-L ei a.,i
"o,,,iinrraDnrri ranscnl n, pnncn,
...i
impri.n p j1 c.ralir' -r-]'*o.prin umrr, z-.;, j;, ; -
t"r.J./: .r p"-t t -L,r, t-. a.r, -l.rr".i,n,, ".41 (q.1
.r
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 188/344
i
8, Se. consideri stlrafala (t)r : l'li + zj { z(1 } z,)k. Sn se c:dintr€ curbel€,coordorale $i unghiul\pe calell facecq:ba_(f) r, + ,
, . 1ti ,jJ r(l + rlk. S: se.rl.ulezF unghiutJintr. curbel" coordonate ii unghiil pc care il farecuri,a {f) n - r., - 0 cu cuibele,oordonat"pasuprafa(:.Aplii alie: rf.ru - I, tfo)& - rl.
8, So considern suprafala (I)
\(l'l ,]lLl /l'lf
P'r.rnrr,nhJr."dFm 0 ,a s.),hr"r inr.. tr.'Bhi"l Sr lr'r..urr.Ftc f,ri f/ re:. D.dF
(f.l r't,
f /'.f iJr- 0)..11.{, rrh.rdr. Di. - 'qr{. drr-i f trr,,, i"r;"tr.F C).im 8, . 3,.
lj.l.s.'.n rn- . r,rl nre in I,rnrula lll . oblinemt
^ /:,l, Au r r.l.,5. F E
rr ,tlr/-- 2tjlur:6, [/]l/j_ A I d,r?
D,u J'n i t.,s^\' r,cnrtiirorc.lordoutrnrl).sj.i., -.,",,: -r - -r,, "rt,l3 F - l.f, | ,r" r.,uJ'n i t.,s^\: r, cnrrjiror c.lor dout rnrlf gljim ' -. r0,,: -r - -rr isrnt s F- l-,1 -r0 r,
1: -u.(i .,J .i .. - I -,h. D.;i
'iii-r;lli:r' F T
' 'l\2 a, 2\ + rr(3 + a'o ,F lrj)1,/
r.cnrrr opriutic ,r, urtd ca- 0, - - +, deci 0r = sRc@ l- +1.' 1J - t i3,
Simrlor 81Fin Ics trn8liul 0r Al .urbelor I, tl I relafia
-,0-2r.j- rco*u. I
-" Ll - 'l 13 - 4'. -- 4til11 '
F"nrrueDricnti. ,..r," ,""",1" *-*.-ili.. 9. Sil sc iletcnnine, unghi[riL' trirrnghiului curbiliniu detcrminat de cuibele
(f,) tu-0;(l' )r,:0, (l'.)',+?,: l,r pe supiafala (E)r-'cosa, :,fi
sinr, j:0. ,',.ll,,olu.,r. vn Inrih tri,nlghiuhi inlt pu nctele,4 (,, * o o - O),r(; * t,, - 01, cf i- O,,l* 1;.,
*Irflilr d c.*rrflfs. rcltru subrelafa : avein .E.: l,.F *0, (t;q 1 + rr. Deoieoc li€ 0, rizdll ii cnrbelp c;ordonoto lslnt ortogorAle Prln uda.c, lDghiilt din..l
+ , ,ho cc. fr'l
Ir si,,L LUrl L coorJolalc,
ln purcru n1a- 1, ,-0)av.nt= l,"F-0, G;2 t e I' d, = 0, lFr pc I',, 3q - -3r'cl'drpn folnlla (l1) l4ln9m'I
- .r-ds6u-r Fd,8u ]r-'--;'.,
EttzdqtE-2Ji+ cP/rB .t€llt-2]9+c]1vz .Jt' I
lonnula (1r) obln,em I
-adr8,- 6drEu G-F I' .u.f -2F-6,-rtd Eu LCIE-2I: rC)-tt 12
";'. ' EttzdqlE-ui+ cl/r8 \t€(tt- 2]9+c)lvz Jt' I
,,",., "{-+ll', *',. t. :l' 1.n
, - tt *"- E - t.I - Q.6, r si r..r,. ds- o,lpe I, 8r- -3,.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 189/344
. 8,'-rljd,6z | ru(d/8r td,8,)l {-'i suiLr dr -r
d, 1 ,r,. ,,bb f,)u -,Fadn3' Osi.ondili;dco,r.gon,rr,1r c..,."6,.c: '.,.t?.r ,,-d. r f .rd tr.n. arb:lEr, Fzutt:
18J' I r:)d/ + u/.r': o sr dtn:(rl' ,'il
. n.
' 'r' ,'4r.3 r r') - conr rcp,pzint: ccuga rBiahiior 6nogon, - ie f..r -' .,.ri'd $r,.a . obt'nrfr .datia u:( : i l,rj coDrr.
Il. c"Ji"upraf-la Flicoidal.i'(l) ri .
',cos/,y .x"in,.: ,r r...SrLrc:
../ audrid rhn,rlui Iangent si c.uatiile nomrlei ,iD prncrut l1o1.r- i. ). .--,:t,) prirna Jormi Jrnda"ent"li a snFafetei; c1 rn ,hiut cuttritor coordonnrc;
, ) .i . d"ro min. .urb"ln de pe supratald, orrogorrrtc cuL\elor prr3m.r .1 ,
' .1r r,iul ,le.Lri" al supGfelei i t) a doua Iorm.i tundrm. ral't.'|k:rtuire. \,etu r;:;os.'i+ si ,j:f , {---;;si .,i+,&sfj. k si N:{ril-;
, .i , r r.) lt,L.., i, ,rrl v, -r.0, I in)n^mN i+j t-t, rr,"t d "-r. 11.
"r,...:,1,.,"..ni.,^
. '- ' +: - n: o, i.r..iajiiic n6;atai i;i::i-: =Z:=r'1 -n.
1 l)J.arcce n:2, F: \ c - t +,4., *rt" *, qu"l l.u"d, - (t + r:){{lrr:.F'nrhi"l
'.
,-lo on.dotulc ;.le
'latd. {;i0:
d) pcrhl, (r,,F/:,o ri dai &: o. 6ucr * ddff."$*-ji# c,te :Lrr .: d, = 0 jaur.l(24 + r') - 0, dc nrde 2" +, : coLst- p€nhr curh.b O,)s:,", asdct cr 6r - O. elr.titia d€'l-,rr i ifi',r" r .
'r. da (l | 1do:0, ----:: 'lz | r, O, J.,, ri/ n, .t r, ,(
r r Fx',.I 3r l-u o,1.'.
e) ionrsind lornlla (11, obtin€io d6 - (l + a.J1/:ds d,- a- . ,,l) .\"eD r;: = o, r;; s -n ;i + .a6,j,
'o = -" cui - ., si,, uj si ri =. {t r 2, ),/:. r,in/ .0. rl , .(t +zu't t , N. r'(t.1-2,,1-, . rJr. r I rlorr f r.'i rr.
,lJ hcnlr r .rrc n dn = (1 - 2r;:J rrr(-zds + 13 d,).
9.3.2. Pre$leme prcpuse sprE rezolrare
12. Srs. rcrilr,ec; c.uaiiiler -- (i{i i 4 t k) ;ir - r , os . i. rr.i ..i r,id+ )/+ rcDreziDti acceasi sunrafati-
13..5.. s. dn^rmin- reprezenLarca. impl;citi penLru supratala: d) r ,rsi f.+NLj l(Mr+ "r')k j t) r:r'+sin : :t4+cos '. i-t'- a.
' 1-,1. Fie supraiali r:i1"+ +1, r:1tz--t+ 1..4-. 1t1) + 2. Si se..riratcci-L curbelc coordonatc I, sint drcpte, iar curbcle coordoriatc t, sint cLl.):c piani.
,15. SiL sc amte ci cu.bele coosdonatc ale iuixafefii:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 190/344
16. 5r', r^ dr.n, ,;r , \rr"rnirarea \.clorului r - {,/ t,rji t,,, . 1/? j ..-
;tu 2',k,l..,rirunplau.c scs-rie" riliar.errui ptan. \.i s" j,.ri,..c .,r.r
It,-utui r"r'g,n l.r suti.,rr ,1 inrrull pu Lr 'ur,nr al \i'u.1?. Sli sc scric ccurtiilo n,,rmalci ri ccuafia ptririulLri tans.rDi la *rn.{hta :iI 1 L"r,rl l/... p(-.rrr
.,r ,:l , .i - :. r.J .3. V",./ .. t. , )..r,) /)r r ' ... i tt ,r ,j : ri- .^.,,k, t1,{1, J. J,
, /1. r ',..'.i r/,- , I,j ,t. 2ft tt, .. . j. , .. -..1, :, , .,, ltutt..-2. :,.,.j ,:. -- r. ,?. .l1Jr., 2. 0,.
i t:.
s) (:) r: -l l r + ,-, :. 2{?. J/o(/t cos r, ft sin x. ft) : ,
r') {I)i:?'cosr. I -.. sinr,z:r. 2, r.1.1o11,0, l).
. .,l : tl :, ,'.'i. rLLr.rti.r ltrr/rului txn8ent gi ecua iilc normalei ta supratala.lrlr rrrr .rrr,'l .r.r,1,1 irl tiu
(r/ ':ri 1.j - 'jJ .J.k: 1,. ,., F.\i -, , 0.
lq. :. . u,.Dunsu',,.,iirurnipltrar"lorsr.gmcnr.lorriiarcDeryete,l"c,or-J' plJrr,l rlrs ur 1.. .rrrraf3ta ,:3 lr3 ?z t - n,i r,jc corr"r.rnr.r.
20. lrr rl nur .r .rl ,liu*,i.lrrln " "V ,, --t 0 normalx lornh.,/,cgrrlc crr .rr<elc dc coordonate ? a,
rr. si 1 Ll.nr,r)\tru r.'L pdrr.rul in carc normata ta suprafala x2 | \t2 + z _ l"l,nr.r-.r,.,ii I,l.,,,rt 1L/ r^.fI-, IJ.gat.] .tisJn : cJe ori; rc si ,t, punrr,,I
I ,t
'J r'.1r. ,1., ir,Lil,r ) , . rt,fJl,rrd.
22. Sri se calculeze hLngirnr:a eiemcrihrlui dc arc di pe suprafala j a) x : uN -l .r,
1 rl.: '.r:,r11 li--- t 0.
23. S,'i sc .rratc ci supralctele ry;:.i3 si.22 : r +Jr,+/(r' -rr) silli
.,i, ,nlan"l, r ei rrr,. :lnr ortugunalpj.24. l i j.t|t3l.t r 1i Jj .in 1rr r)k S; .. d.rcrmiI.. unllj..l ,hxrr..
.fj,1 0 .i {t;rr/ r. .0 p.supratali.2;. Si'r sc. calc u,Iczo .unghiut curbelor (t,1 .,/:;+ i yi (t.) a:: , p"
"nlr'4ii.ifr r = ?iaos ri,F ?, sin?j.+.?dk.26; I.iidd dat el;ncihl rtc:a; pe o irrprafati si sq calcuiele unghiul curLotor
fi l'r, pentru ;_
a) d5,
-.(d?,)s.i. (d?),. (r,) l,= Zu,
llt),
=zu; l
I'r '1. ,d?rjj . \1t,.- dzttd,)t2, (fr)r u 0. ttrrTr .?r-0.2/. 5i j, dil^ unghiuril. triunshiului cuLil iu, detFrninar dc , urt,"t(
. jt.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 191/344
' 23. Sir sL: r.rrtule(l',)?, : 0. tl'.L, :'
ze LLnBhiuLjle p,r Id. (1'3) r:0, (rd
truhrcllllui . rrbilin;u, dFr.rmindr de curbele
24.: ,1. rorur I {,?f, 6ros ircosz,, ) -(a+ bcosr).in r.z._Lst\u,. " dr-1. .,. rrb. "., rJJ ate srnr oflogonal^. Sj s".alcul-z" clemenrul de arieal tdrirlui.
30. Sc dn sl1pmla_ia n : u cos u, v - r sin ,._z : . a, Sa se d.termine unghiut,curbclor coordonaie. b) Sii :,.: .icicrminc curbae aepesupirraii. or1oa";li" ."it"r-.on:t,
Jl. lrrrrrrl JaLj sf"ra r -a.ostt.in.., . asi r,, sa s.arate c: curbclc coordonate:ilrt ort,. olrale. Sa se calculeze Diima si a doun formafLrndamcntali.
, 32. S, .^ s ri. a doux form.t lun,l. r,r"nrdli a suprJfctLr :
,. l/"inr,)_r.__."jLr r_rj'.J tt:,, r - u l_ u.
J3..lri^ erp:ldLr \ .//.osJ,.) .r.inrr, ? -u ... a) S) . d,r.rmin"
,,Lrshiul eurbclor ltr) /r c,: 0 ri (t,) ,, - & + 1 -;-"- b. b) Si se calcu_1 r unoL.ul c-rb"lor coojJonar.. \; sn dete|r.in. . nI" , . u". , rrc rdjc torLe, u.t t( J - tro suh L{ un8hi d^ b0".
J4. l'i. .l|triJ-ia \. rco5:r. -, -.,,in?. : . dJ. 1) s.. sc .r[. uruh:urjLctriunghiului .rrrt,iliniu J-rrminJr ie ,urb,t. ,r\r I - t. {1., t au"l2"1i lf ,)'-n,2 o" 5up.afariL. b. S; :e derermiue ridi". nrijt . ortoeon"tc'al, Iami-I rrh, rfb.?, (t,.t-- ..ton:t. rLr"at.pesuprxfLli.cj -js s.ripJ dnux lormlrrr"(] I lr.n Jl,i I suptat-1.t.
.35.Fi uLl r|., suprrtufa r . ,r cos ri L ,r qin .jj ri.k.
".1y J.termir,c a , i,
aslfclca
unghiulcurbelor rr+,- 0 ti rr-,:0 s.i fjc al 90",; h) .]6. ; , ) 60".
' 9.4. Suprafe,te riglate ti de rota{ie-l
o suprairfn gelexatn prd dep14a € un.i drpte tF spatir y,lun,etrc sn/.arali ,iglari.O sxpraJafi cili'drica est. gcneuti dc o d.ealJt6, gen€r5l.irca, rnre se dellasc.ri ii sfllru
' ' ,i,'i" t t". clr c, o d:rec,ic fi\.;. rp':jilDdu-sr p.o cur-.1 Ls.. numi.r . ,,t-t di." r+1.".suprafala conic, este o $upraial gele.ati de o dreapti care rrece prlnh trr ptrrct tix, luruit
virf, st.ijnrindu,se pd o c rb6 tiil, rlmit curbi diiectoa.c.+rpDrrLr \oioidA,u ..lrn drr. (or .Lp\dtalJ E,1rd c J- o d-"p{;
"drcs. d.a'r.
sa/: i ' {ctiJ, rlnrl 'hd DJ'atera .u un ptao drr ]D, grrt pta Jirrr" , r^ ip,,j,n; p, o dre,n,,.d,. , -.i tco, Lo;Iif,J C.
S "' +rc s'p, ht.r do.orJ,:c suprdctc e^nttr d6 o.ufbr C c,r^ sc ror"r.., rard lLn.,,r,,'fu jurul unci are lixe d, ln iceastt rotafie, ur pu+ct at curbei C .lesole xn cclc cu cetrttul pc aia .te
r Qtatic d ii,plarul ccrcllui pepcidicllar p€ ur, briD nr@re, s .ai 9a dc .oiatic poale fi sencrata
'lcu1 r.' rardrl I- cu(enrrrt r.dxdderororied,pt"nur,e^utji perp.ndi ,lar Fe a\d r, sprirr.i .dr-sc pc curba datt C, Cercul generator s€ lumcate po.atel,
9.4.1. Prcbleme iezolvate
1. S.i sc scric "cua ir suplrfel.i ciliodri." al" c rei g,.ncratoarn sinr fErrtot., u dL.apta d ri care arc curba di|ncto.r-c l/-, pinftu:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 192/344
l,) ( /) 2x'.+Je -22:0, r+z -1:0i,:l- rr (C)ll
c) (l) care rlc dircclia u12, 3. {) ;i (c) (rv - l)'+ i} + 3)g + {: - 2)r -25 - o, :t -l - z + Z =' o.
Rr:,r,,/2. x) G.tr.irl.atle, finrt Fralelecu d arrle'J$dre'tre r' I t 'lccLrr c uaftl'^{G)
''d"r'd3_i{d o'r"'C :i_ l l' '|"aroaL
"'i., .',,, , .
'r,r'.c'rnr doDe curbt c ii c t'cb ic se ic cotrrlrtibi1 dete''
l)cci, ^/.nsl cnN\N-i'+::t' Fll+1-Lrrs+ :l:: 2==n
":-l,:t""t':u;;', ;,; ;
',*,,, 't.ui1 .,currii si a prha, o rr'rr-(ri Prlr'':1r':-1P 1l/2 rnro'
,,,,.,",i," ",.*
",."iadr,alic a,isteN,,l,i .,1irr r rlJtL L .t d, r,Jr,LrLliiJc s/. .- r L Fir3-4-
* ii ii",*r . *t""r"f"' *.biinc clirnnrind pe i, I' ii'L'' 'rrui'L[ E ic Li'rL' q rtlr1ia dc r''mp*tr
;";;,,-.';, .-I, x+2v+r- r,5),x- a^ +P--I:0lndDulr r',)'-J+'+'ilj' .. ,"', a;, ' r-r r 2: 2\ {- 2 -"-"
r,) l)L(l,L$ric{ trfiilcdtPllilstrblorna2l -rt:u r r':oti "'" lrl:':'l' 'li]d:-1"",",,,''"',',,,,,i t',"1* il,rutiito snreotoarci,i'r (',:' r)-r'i-i:Lr':' rcnnldt{u4it
,'-- l, -i, "-3i.-1,,2C-/*?:'-0,r'+'-1:0 trq ie 5i tLcLor l)ntil'il JercrmiDah'
tr .,l.t ,' r-: ' rr" '. rrorfr':lJc"ll" r-:\12 _F-2\)r-
l':Linlirli](lauLtlDcnrll'Lrii)'iil,ilLt(c.LxliilcgclLclaL',.| L{nlnliddecanrPihbihtlte,oblilon.,r. l ' f r'ti..'l*r.,1: -,_ r '-l:-I 'r''t -l: -3.'11 -r-34_0
r, (;' r t{t.nr,tr { rlir(f'
tr( ii '11 r(lcl cn dtrnliilc lor sitrr
':-, -t.::- ",N-::J ri,, il - .y - 3a - 2p :.: r , 2" - ' - 2d - | =tL'
l3
Ilri (Lrl)( l0 srr l) orrtl'(/i 0r lt ltrn(1flo trD1orn8rc' Sistrrnrl (lc €lxraiii 3z -2y -'"
?"'l;"";,'i' - r;'' 11' -;;' '(: -2j1 -2r-0, I -,-z 2-\t r.trtrio 3a IL6 conrPdtihtr
,i".,",,,"i ,i' ,,l,Lirtr, 1', r din {'csr rrisrotr,"l']ii 'rn lolaliu 'l' cor'r)trtibihtrr' ()'-zlr-5I+
:i; :;;-.ri;.;il -";r- Lr))r-" j-r) tLL'rorn,t uuur r^ l'rrir l rt s hrtr' ocustll'[",""r ,.*'i si r(,]tiitr {to co ipdtibiliraLo, oblinedr ccMli{ sn]rurctci (-t-2v+2a_5)t+1 1.- r, .- r. .,r' -- ilf 'F (-41 - {r, + J, - rc)c _ 2J = 0
l. Si si scric cctlillift cl]irldr'L tLi cilcurnicris slului r _l- J't -F tr: L' itiilld c[
g0ll( ritlr)ilrrll srLlc tolrlrciLzr'L rrrrghiLrri irgrtltr cLl rIj(clc (lc coor(loui le'
it,:,,ha4 l).doko0 g,lLiift*otrfl'e i( ldsaz)l Irqiii' i rqrlr cr ''r'lo t" oDrlnMrP h ltn 'd,;,,,,1 ,tt
"*1,,(cos1, c;sp ('s1) - cosx (1, L, Lr' llcrLihLh Bri'unt'ricr Pdt ri scris' \ub rorma
'--,1 ,I-J'-::,:s str,'*1,=,r-"1,0=)., t -.*x,-'0=l' Inrcrscct'h scnertiotrelo
111
,r,1.( ri pu;,h coxrilin da irler$eDli{ s[ iiouu si
Ar
luroll)cdi siiterhrl de Ecuafii
' -iv-I'
",.,,"j+r,+."-r=otle|triosldiLriiosi[srr:rsduti;inlo ildlri'dinlrinre]eeuafiiln^,,,"'. ""1'"'l- 'rr -2(1 +Plrlr:+p'r-I=0 P'dLru
'aaoensri cqrafie sn
'ibeo sinaDrd
,r'(iicitr:,tLerun'ft2(r l_P:-rPl -l:o ltL" 'rirLi5i II'LtmJr'r+lr'lafrtd€mNFatihititate
si ""*Liil. *".,r1,.,"i, oL;i,,enr ccnrlia ciljdlrLitri (r )rI F(L-:j: ( r)(t :) - j/2t0'
3. Si sc scLir: rr:uafia sLrpr':rfelci conice cu virful in Prhctul I/(0' 0' 0) ti curba
dircclo,'rc (4,) ai I l' -1-:i - {:0, r: -.1'1 - I :0'
n.;al,ar,. Ec riiil0 sdr.Lrtonrci sint a - l - : Prniun conlifia 'aac'slta si se 3priiin'
pc curlt C, vri,etJ(ict sirtcdnl
'lcccu{liit:}--'':p: :+-}t+' - {:O:
"
-11.;.1,:n
sAti(:corl'rli,ild.nrniMtltli,iiind,,l,,LlnenssLe'd'obltucLncundlirdcLoPrtibilitat'-lir+50:+l-l) l)litri|ir'l pd,nin.t'Lr rrip l'rtr€ acctrsrr'
'clafiedc compatibilit'te ti ecualiilc
godcr:ildNri, oL4i ri D c0tr{1r strtGl.loi -:jrr -f 5r + ?: - 0-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 193/344
4. S: se giseascl locul Beometric al taDgentelor duse din punctulld sfcm (r - 5), + (-i, + 1), + r, - t6: o.
/(0, 0, o)
' Rctalvt.. Ectzla tft; <l .Frc @r.cee pli l/ rsr": -" -" I,rlen c.ndilia calg
d r€pli sa itrtersecteze sJcra rlmai lltr uD punct_ Ddji cualja {7.r + F + 1lj. + ? (s _ 5), + I{). * O
ftebuie s, aibt o siDgure s6rxti.. Oblincnr artrl retatja de.6mpatibnn.re l5t _ 9F: _ loiir , l0:0.Ani$inird paranetrii I ti F hrre @.str
'crali€de .oD4Eribrnare,i ecualiite tangcnrei, otrlir€lr ecua i.
colrluil5rr -.
9l - lot, - 16rt -O.
5. S, se srriF ecualra s,,p,dlelci ronoide gene,are d, u J,"jj)r:i , Jr( r ,r ..jlnrpe axa C,?,.r;mlne paralell cu planul ro-t;i s. sprijini p- dre.prr ,.,, r _ ;
-o.t+2y-3-0.
R. aha/.. 6e0.ftt.tt6 G p@te Ii insgilata q njrc.setia a doui tjtaDe : unrt parar.t c ro1.r - I, si unrl Idclnd parrc <titr ra$i6l'n de ptane @ conlin ara O,, , + ttr, - 0. Deci (C) :*r,. + pr:0, PuniDd co .litia caG si * sprijinc pe d, obtincD sisrend z - ir, i + V :0, ,-r<tt..+2/-3:0. Elimnrtnd ?, n, din acest sistcD, obljnen cordilia d€ coslaribiltat€lr + s(J - 1) :0. Elioirhd I ti p irt.e accasd ecualie ri eloliile g.,..4toorci, lbfiled ecuqlia
llrpntrlei ?:-3(3-?):0.
,6, S[ se scrie ecualia supmfclei gcnerate de o dreapte care se sprijinl pe dreapta(0:
=+'.:, rimhte paralel.r ru planul (I,)r- 2] - z - O t,i se sprijinlL pe,1
cl'lrb lC) t - 2z + I - O, a - 2z - L : O.t t.)J - zz L i -u,,Y - zz _ I :o.k41tud,c- De@kce ccurtiile lui r' * Iot scrie : -:y = O, , - 2, - O, ecualh uL ri lE,
diD falcicurur dc ]oE cc ca"lte .a^pta t.ste z -z, r^1, - zi - A. prin trrhrle, ocuoliit0 scnelEtoarei srnt (o)
' -2t+1,1' -2 ) ao,, -2, -, -p.I,lnhd conditil c{ c sA & sprtjnro dcr.ba C, rozdt8 ce sjsteDu dc acuafii, - 2y +
'l. - 2r) = 0,, _ 2r -, - t,,, - 22 + \ - 0,,t -2t - l-0 hebuic r, iic.odpltibit dctemirar, Oblnrefr asltel elalia de conpatit)itit.to
3 + ar + 3l({r - l) F 0. Eljnnrhd x ri p l' t.e &edsia Etatie de comlariLilitatc ,i ecuotijtc Borera-r@rcl,oltiuon.cu.liAsularelci(2r-tr-U+3)lt-2r)+a,l2r_r)(,-2r-r-t)*0,7. Sd sc.dctermino ccullir suprafcf€i ce:se oblj.se obljDc prin rotirei curbei (C)
' t'; -t; - t : o in jurul txci or.
fr,,barr. Cdonl dr t.l I nre centrlt llc aaa O,, r^2. v..inbilA i ,ta ul sru esle p{pcrdicnterp6 Or, Ccrcrl I p,ale ii isrLinat. inn,stin rn.i ste.e da mza variabiin, cr c.r rut jitr-un blncrd6 p. at u: 9. ',n tlu, id,pe J'culJ, pc Or. LuinJ d,g kr c- nrn., .t .(.i O*,
^.zntrAll) ,, + rL +,'., N, r - ir. Dtu con{tipa ca I s. se sp.ijnrc pr orrba c oblnreft sisrcrtrrt
r=0,:-/ -t-o.r
+yr
l-?3
=-t?,r:t ,
Lrre r,rl,Dic \:1 fie carn+ iiLil dcf.rn'Irnr,Eltb,bird.,r 1 orrt:nnn, Fratn tb co-porir,irirore { -,"# - ,=n
.di d). -,?+)j+,rtil,:'ireca:l.ccralie,oDtilenec"atias"p.arc,teia-l:l:t-a, L)2
8. Si sc determiDc ecuafia. suprafrlri ce sc oLtnrc prur rotir(-, Llrrl,t,.i lC).+, .=2, :0 h jurul drcptei (d) r 2: o, y - 2:0.
Ru'hd/. Ua punct ar d.eprei d p@te fi lmt ,tto(2, 2, O), i& dntcfia s. esrc (0, 0, l). I, D
o.d.rc, ceaur pamrer este (I') {, -2)z+(t - 2)2 + ,2 : i.r, : : 14 liljn rird r, r, , di si:kxnrl
l' - 2)' + lr - 2), + " 1^', 2 - t" ' -.1-.-2, t=0, obtnE i'-a11 _r-0. lntuctrinrt tDroesr{.urri,n6r.ratior,-lz-2)'+l?_2).+,.$F_:di;:rcunl,ilurrrcutulrh,nt r, Ll,ncm5. .ti6 rupcieloi (, - 2). )- tt - 2l' - .t - a - o_
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 194/344
rl. Nurrriul LrlLnJr nroi"cian (de proi..lie) il unei ,urbe C pr un plan P su-
u,rl,,l,, cilirxl,i",lavinds"neriroarFlelarrleie.rrdir".{idnorral-ila.planrr drePt
irllrl, .lif,r'toare " rrba C. a \rba ob inuti Prin inlFrs'cii? trlrndrxrrnc I'roreclrei;;i;,';li;::i;.i;;,r;a d. r.'u" "ui'l*i prin inrF,s.cii? ril,ndrxr-ine I',oiectie
ll rrtrl(i r:.u plJirul l:enunrette Proreclr' a 'u bri 'p Plarurl /r'5a r' d^erer-rorecttc a cu bei C D nlanrrl /' 5; - oeter-
ijiririi,;rii",i."i rj-i..t'nt 5i cdrba-proiecfie ientru curba (r,') -1' + 1' : x r + zr -J |,, 0, pc planul aol,.
/littrarr, (;..eruloarele cilinilrului Ptuiectant siot Dar.lere c r\r o' dcci au ecuatiil6
lltlr.-1, I -r'. r" "in:ra"-lli.tti' d'n si"lcmul r-J u t2 : -l -'-
i'tt, ,r ,"l.' r"'"r'., .l- -.1rf1ririli "r4 F: | {r + zFjr - )' 1 'a " Ll'-e
f r'rl I * r ,ri' .curtrru geueratoa.ci, olrtinem @uatia cirirdrnh i f'oi'cratt t' il' + 2 )' - t-O
llur llllr m rl rroieclie sint t + (: + 2rr - r : 0,':0'
l(l lri,'cLrrba (C) F("-, r':t):o'G(' f, z) : 0' Sr"r sc arrte ci gisircrt ccuati€i
illlllrlrrlnr Proiccrant al curbei p. planul'0-t
revinc la a climina llriabila z din
rlrl,,rirnl f(rllrlt cn ccualiilc curbei.
/ldrrfr, l:,'ncralorrelu cilirdrului proicctant snrt {C)}: i t: l rr:lnnirJrer lui'' 1' '
ditr
rlrrrr,rrx.=)., t:iL, Flt, r,4:o cl, r' z):o * rcduce ln a eli in'
din ecuatril€
,,1i, r, :) ,.0 (;1t, F :):0 Dcci i0rntiadc conrPatibilitatc cst' ol4irNli' P r eljmnrara lti tnrire
tr{lrrlr r /rii., r, il - 0 C(). il t:o Fic acalrta ftialie HlJ,rL}-o irlocui danri1-''Ir*t
rl||t'Lrhl,Ll.ltr cul,1r'. r(,,t): O Pcntru @uafin cilindrtrlu' Dicdtnnl''[ioln't *dm de ndJrl
;1"',
, r'. 1 ',,. rrlli,s ,r ). ur =: n ,c,'fte (l .c ali^ ''l
\'n u'l pn ie'rrnt il (urbei c Po
l'rr'l t - ri.r'Prirc'n"t nl,'?i Fc'"iiirl('n'lPi
9.4.2 ProblcrDe proPuse spre lezol\'arc
ll, Sr' sr: s{:ric ccrtrtia suprif(t,)i ciiin(lrico alc cr''Lrci gLrncr^ionlc sint Paralels
.fl (lr'irt)1ri I si (:irrc aro curba dirc'ctoaro C, pcntru:rl ('/) r.l )- ".,0, r'- J --: =' 0 ti (C) 1 -l-ltr i' /3,: '- 0;
l,) (r/) ,{,1' dircclia u{6, l, l) ti lC, t3 -J3 - i - 0, z:01i.) (i/) .r1r di'cctia u(1, 2, -l) ti (C) a -l- y + ':
0' .t:r + ) + ?'- 4 l
,l) 1'/) i.,-l== z Sl lC) x'z+t'-a:0.2:0i
' {r ' '- "i rl.t '" r' -l-0: ui2l 9l'i
r) (,/) Or ii (C) 1 +J':-3r'lzJ-t-o,z:o
L2. S,i sc tl:tcrrnin,: cr:Lralia supra{ciei cilindrice a ciriri cLrrb:L rLirccloarc rste (C)r Lr :r r:, :r : 2z fi alc cirrei scnentoare sint perlcndicularc pc Planul curbci
,1r.,-'.l. . s-r cljiis.rsci cculliacilindruluicLrearcc'r dircciorr crrb'r (C) xN - 2:z'
I \ I : :0, Sc[crntorrele fiind PerPendicrllre Pc planul directoarei'
I L Si s0 scri(: ccuali.i cilindrului circ risr:ris sl'rrei (' -- l)'+ (l - 2)'+
I (, :l)' '= l. cu Scncraioarcle paralelc crr dircclia u(1, t l)
lii. Sli sr: sr:rir: cctra i1 cilinrhuluicircrrrnicris sfcrelor (r
-2)? + (Jr
-l)r +
., Z:; ii ri l- r -l- ; - 25.
16, Sfuxl v: i'.ir l- : -- 2r == 0 cst( lurrriurt:L (lc un tascic'Jl de raze paralele
zoy'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 195/344
direc-7,,Si se scrie ecuatia supnfefei conice cu t':lr{ul in punclul ftoare C:
a) r/(0. 0. 0) si (C) z: a. ,";2: a*;b) I/(r. 1, 1) si (c)
":0.x2+y2 4-ol
c') Vt2. Z. 2) :i ta) }' 4.r + I o. ? 0 |
d\ vl-2.0.0) 9i (Cl 3rx+ 6J2-z-o. t:- +,. t-0;e) v(o. -a, 0) rj (CJ r, + Jx + :2 : 4, t * z : 2 :
Ii 1,0. 0. 0, ,) (t.\ r a<ost, ) a.;nt , bt.
18, Se ccLc ecuali:r conului cu virJul F(0, a, 0l circumsr:ris stcrci+ (r - b)': tz.
19. Sa' se scric ecurlia con[lui cu tilfnl in I1i3, 0. -]) si xic c:"rlui
sint tanaerr. "lipsoidulu; ]1 t. '" t ' i 0.
20. S:-L se scrje €cuatia conului cu virftl ?n p|ncrn1 t'(5, 0, 0)latoare slnt tangente la sfera x:, +:r: + ;, 9 : 0.
21, Si se scrie ecuatia supnte.tei conoide, gener.ate dc o drcattr"r cc se
pe drespta d, este parahli'r cu plarul P;i sc spriiiniL pc clrrLa C, ducii:
a) (d) r: z, j: o. (F"cty. tcl * -*,I : 0. ,, : 2;
b) kt) Lt+ z 4:o,3y 2z-z-o, (PJ _r+3t ?-Fll=.0,(a) r 2: -u 2.1'-t::.1 -O;
.) (d) oz. lP) xoj, (cJ , - t. v : t2. z : t3 .
dr{dr' : .,i'l .r it i-z-0,(lr- 0.- 0;ll
iDtcrs€c ic dintrc
pl,rDtll i0_r.
ti cDrba
prjn ror I,tia
.) (d) x I :0, r==0. (P) r+-r- j:0. {al O:.
22. S:L sc scric ec llia suprafetci dc rotalie.'t
rnmictn jurul dreptei l, pentru:
a) (C) ,r' - 0. k - aj + ., : b . (d\ oz:b) (C) }- t-0.2r-z-0. Id)O,icj (C) ,: 0, ) 2F:: a. @) ot':d) //): u. .,, + | o. {,i) o.r'r u ov;
e) (c) ot, (d) r: j : z;r) Q) ,: o. ():, -t \,t - a,(t, , \:):0, {.1) or ;
t) (c),:0. )t3 - r )2:a. @) ot-
2J. <: .. e;r.,x: i F.uiriilc proirti,.i .r,rt, i Jc
;f ;':r l- 0cu pl r',I r l4:-.1 -0.p24, Sl se demonstreze c:r proiectia c rbci lui Vj\.iirni x: + ,r.,,F
t + U, - ot - 0 pe ptanul rO: esre o parabolit.
25. S: sc g:rsc$cl ec ajiilc proiectiilor curl,ci
- l2z - 6 : 0 pe plaDele de coordonatc.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 196/344
26. Sisescrieecualiaunricilindrudeiotafiecetreceprinpunctuiiuo(-1, l, l)
Si arc ca axe de rotatie dreapta (d.J x : t + t, y : 3t + t, z - t - 1.
27. Se se arate cl suprafafa t : (u +")i + (uz + 1) - t): + (-r, +, + l)k
r, prezintS o suprafa , LilioJri.e.
9.5. Cuadrice pe ecuatiile'lor canonice
4 se ,uEc6te elipsbid srpralata a ccrei €cuatie esle
-:r.:F- t-n.
LSe nt4ctte liperboloid cu o pirzi snpralata a crr€i ecuatid est€,
r1 4t:: +: _,:+_ 1*0,a2b^C
H,p.rboloroll (L o t,o/. o -,1: dou: L nlii )e 8. .r.'@r. r.cn nj I
/ vl 4 , I t--)ll-.1, ---= lt- _l,xct(,
\ b) a . )L bl/ ',1 .
; .; -'t,-;r. ;-;:.u [,.7J.',. n.
)se nn4 rte birdboloid cD d;"d ltnze su 'alata a ca.ei suat'e €sr.
: __: _: rl_n,a' bt
h * ,"r ' -r. paraboroid phphc sup,.IaF a dr"i a u-li" ".r"
-+:-1..5 t. rtb.tlc panboloid bipcrb.li. sapraldta a,ir-i rudlic c{.
L -L- ),
Paraboloidul nip.rbolic are dori laDitii de seneratmre re.ril'in:
(r)
t4
{3)
l,rt
.(rl
l6l
(?)
(8'
(e)
9.5.1. Probleme r€zolvate
l. Fiind date punctele fixe F'(0, O,
-r);i F(0, O, c), se cere locul teometrio
al punctelor M(r, y, z) din spatiu, a ciror sumi a distanlelor la cele doud punctofi.\o este coDslanl: ti egal: cu 2a, c> ..
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 197/344
&aat@/a Dw lMF l + IMF| * Za, rcznr? tIF l :2d _ lMFl $i pritr ridicac la pitrato li "o IMFP-,ta. ltuFtl. aaltl-.12 -rr,t,, |,t+1,-,1,- .z MFl,t rf..auf.r. Lv _(: .r -.11st
"|,F+1,_,1,- t"M
tMit." - t. Ridi. iud dr no, td p,.,Jr oL,n.n .: I yr I p - 4' - o" Ia .t -
un ellpsnid de rohtF i. jutul a:.i or,
2. Fie punctul F(0, 0. fl ti tilrndl rl/ z . . - O t" cere tocut Beomcrric at
puDctelor dir spatiu. astfel ca raportul distanlclor lor la punctul F ti planul p:i fi, onslant 9i cgat .u -. > d.
-rr:,/,a,'. Tebuie si dere.nnrnn puncrele M(j, r, :) d,, .o"1ro, p.".- *- 1@ :3 a1,r,"y,'d(M,
4 fii'd dista't.-.re rd puncrur ,1r tf, tranul rr o.., vF: 4 r"t.r,"t,
*r"r".,
t I y. t-tz -t)".. " l,- "),,'.] -{- _,':0.d't .l
Prii nnmre, I6d gsmerric csre n, rriperboloid cu doua pnrz€, <re.oratie to jurut s*i 04
3. S_: se gtseasci pmiecfia p€ ptanul r0, a curbei de intersectie a etipsoidulur
'. + "l+ a- l:0 crL phnul 1t+t + z - 1: o si sa i se derenDine centrul94de sniiet e-
Ra.lra'c. Prir etioim.m tDi z intre {uatiite cnrr)dj de inr€rsecfie 1q + 141i - 1: q
t t, +t- I * O obti&; ecDafia cilin.lruluj proie.tanr ts.,. + 18,, + t3.- - ,") - ,] - ,, : O
DTi €Bnne prpi@tici sltrr z : O, 45zt + tsay + t3 2 ,$z-t,r-27:0.,D@ce d .
- l-: .: l> 0rit\ + 0, rczull.l La proiectia cste o etipsi. Coordo6tete @nt.lltri stisf@ sisremut| " ,rt
{5, 9 e-o,qr I ry a .:d,i.+ , -,1,
a. se de hipcrbotoidul ,u o prnz; + -+ + - r-0,i pranur (p){.r-25to{"-5Jr 10r - 20 : O- a) Si se scri€ generatoarele rectilinii carc trec prin punctut
. Mae5, 4,2). b) Se se arateci
planul P intersecteazehiperboloidul da.t dupidoui g€neratoare rectilinii ale c[ror ecuafii se.cer a Ii determinate.
R..olwe. lI;te dotri famitii de Se ;ratoar. stnf, dup: (t) Si i{), date de
ps '1 . )lr ri.'.1- -lir-'1. ".^. 2 | 4l - /..( 4t
p,t .- t"- -, l,-rl, I .1, .'l'r /i. p-n. 5 2 ( {/ 5 / }i {,a) P.ntru detemin@ eeneratoa.eto. rectilinii cerute von punc @rilitia e ,- -5, ,-1,
t=
2.a vsifi@ stra$ilq de mi sus, Oblirem ). : 0 fi F : 0, asrtel ct €E @t€rcle erute stnt2t + 5z - O, :4 Si Z' + 5z: O, t: -4.
b) Pdt.u q pladut P sn ir €rsectee hiperboloidur ctr o ttrd dnpd dodi genmrodc ..ctililtlt . uic s dGte l. F= n edei incit Cr ti cp sd iic continute tn p. peutro 6 p 56 corfi 1 Cr
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 198/344
mt. n.ce*r ti suljcient e sistemt 4' - 51 - 10. - 20 : o, 4r - 5tit + Iot - 20I: 0' 4)" I
1. 5/ - lo z - 20 : 0 si rie .otlPatibil nmP,6 nedetermimt Aeasta imPli'E 1 * l 5i d'ci u@
ah ftmsatd- esle 1,- 5t + tO. -2o:O,42+51- l't -Zo:0 Pnttu € P sd con*ricp
n t noccsrr i suri.-ient € sisteDsl 4t 5t-lot-2o:O 4t + 5Vv + 10t - 2Qtt - 0 4V'-
-6 -IOW-20*OsIliecolrPatilrilsinPtunedeterminat_AceanadatAcaF:Itidecie_trltn genear@r€ est; ar+r/+ tuz-20-tj,4, 5t-102-20-0'
5, Sir se determine locul Seomctric generat de dreptele 2,
-
32 + 62
-
6d:o,Zcx, 1l - Ld? b-0.dcR.
' n..,r,{r.. Elidllnd ped d,n c.re o.,r -*ri gat. jl *l" - "- r-o e rel''/ntA
rD [iperboloid cu o pitza.
6, Sisescrieecualiilcgenentoarelorrectiliniicetrecprinpunctul'IIo(1,6 -1)lpartinhrd pamboloidului hiPerbolic 4" - z'?: J/.
lidr,r','.. Folosind lonNlc simila.c d (E) rr (9), re^lrt 'acele doal ladilii de g'trerd1odr6
tr|. pn6 'olorlulur dat slnl
\ai 2,+z:?t'2a-'*- ' rt n,
lG )t 2t 't-lY'2'+t'-' $e\''irt
I'Dol'rl c D.l4i6 c. ac61e Ectcfrtdru si lracA Prin PDDctul Jtto glsim tr--:Sis-l Pri lrdtro'
col6 doun EencEtoerc rectilinii slnt 6: + 3: -, = 0, 2, - t - 3 - O ti 2t - t - t' 0' 2t +' -,
9.5.2. Probleme propuse spro rezolvare
7. Fiind date punctelc frxe 'ic{O, 0, c)]'i F'{0, 0, -.), se eere locul t(omctric
al punctelor din siatiu, a cltor diferenll a.distanlelor Ia cele doua Puncte lixc esto
constanti ti egal6 cD 24, c> a.
E. Fic pDnctul F(0, 0, r) ri nlinul (P) z - 4: 0. Se cere locul Eeonretli( al
punctelor.din spatiu, astfel ca nportul distanlelot lor la punctul F ti planul P sd
fie constant gi egal cu :, c < a,
9. rie nuncrul flo. o,2l si Dlanul (P) ,l L- o. Se cere locul seorn'tric2l' ' ' : ' 2
al punctelor din spaJiu, aie ciror distante la putctr FSi planulP sint egale.
10, Si se gdseascva pnnciele de interseclie ale'elipsoidutui -i1 1 21 + | - r : o
cu aheapta x : 4*21, t = -6 -3t' z : -Z 2t.
lli Se'se determiae curlele de intersecti€ ale elipsoiduluill 4 f,+d- ':o
cu planele dc cot)rdo.)atc-
12. Si se sctie ecualia planului tangcnt Ia €lipsoidul j + i +- - I : 0
iE punctelc lLi dc intersecJic cu dreaPta ,: f ,.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 199/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 200/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 201/344
u'\J;'-a,-:J' - nl,+Jc t "l+o.. t ot
,JJ."---'., 'J,' -', LN.'tra."-o
_
2. Calcultrl plimitiv.lo cu njdorul schinbi.ii rie iariabitr. Fie runcliite n: I r _/ ,t _/r _f + ,.Pre$p,,oeb c / are de.iva€ .i)rtinlla pe / $i €. / esre cotrriDui pe l. Dact I flt)dt - FU) + o,.
'.'.' J ,{L(:.)L ('rdr : F(r'')) + c.
3. tlctoda int.gri.ii prin pdrli, Fie/tiA d.Jr tunctii dcfnritc pe i ntetualul a D&a / 9t A rudc.ivrt. coltinue pe I, atrnci se poate aplie torNna.te inregrare p.in pirti
ltq,<t,:tF_l{.)}..4. Pllelliv.l. furctiiror mlionar. ln r. I:ie /?trr: ]]jl,
", s.,.j plr) < sdd otr) Dara
0{')-k-'rf,.. (*-r,rr, rr<re 't,i=1,2..... o lli'..,,".'nu. rqrG rrErincto 116 porino-nuhi 0{r) ti ar e N, j = I,2,.-., tr, cste ollinrl dc nrultiplicit&re at .rdrciaii r,, ahmoi dee.o'n.pun.r^1 ln frr td r.'nD e I ir ftr,l i{.
l,.r P(- :r r, ,.. r - .--,...-
', "tl, , ,, t, .,,j: (. ,,"- y,. + , tt
-r r..-, ''" .,, rr)(" -'.f (, ,,)".
Da.i pilinornnl O(r) ^rcridrcni comptei€ d ruirna z ir, de rdlq de b,nHrlrcit r. D,
atun.i in d€scompnne.ea (1) apa. Ga4tii sinp,a .1. adnE
, u.te,z + t', + q: l' - a -ib)l' - o +ib). (?)
Da..e sftrd p(,) > srad t(,j, aruci se i&e ir,p:irtirer,. asder ce ni,): c(,) t -fjl-, '. *akt
grad Pr{r) < g,atr C(}) ii c{r) rr polido i[ r. Reddcca asttel problena la @ul tratar b.i sus,J Int.grnrea an{mitor runclii ir.iioflalc. a) lalqral. de ti?,
( r [- it-{f'"'' l" + b1' t"l k, ,t,. J [ 1,,r., t,.,dj I
un'r,i Il cstc o lurctie ratiodtrla 9i ,, C,..., r'., a. snrt nunere t"b.gi ,
Dai:i , E c,nr,m.nr.c. (?r,. . , tJ, cu sclimbrrcr dc variabila
a. I b _2".,+d
u igLrla (3) s-" rMr.c la o inlcgdle ci fu..lii r.fional..l.) Iat,6'.t|. l. 1i?.,1
.
\ -=-=:=:d,,.r-(t)ttrnd potDoD dc s,ad 6.
J.ldt rb,tl
lr,
I P,'j\---
--dr:Q.4tt)\Jat,+bx+c,r\--
:, (d)) ,l"t' - h\ a. J ,l.x'- b' -.
unde 0,, r{,) este ua polinon .l€ grad ,s - I ctr cr{icFnF dbdetemiDsli, ir. I 6t. utr px]@rtr@1. se dcterdinA rolinonrl 0"j(,) ei ruerrut r p.id <bn@€ ideqtitrln (6).
c) t4ttertt. d. t;pbl Ir'j-k - ')'J;?= 6;=; '
(J)
(t,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 202/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 203/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 204/344
r4
irlod,i d hai sus, deducem
, - j{-Ji_''+,i.*"'.+;.Prcc..rnh ca ra rnDcrlr pr.ccitdt. ri6
^z)- €. I,t ) _.o3,, lsdel c.l,(,) _ .. ,i s(,1 _
I - J e' cos rdr - e'n': - J et sin 'd.acun /(,) - c, e ?l - si,,, l'(,) - e,, s{r) _ _ cos, ,srior c6
Jc'sin:dr - - e'cos' + Jc@s"& - - c-cos, + 1.
/ __ Il Gio, J *,,) + c.2
c) nc r. - J {,' + 4 ) .d'. t'tes.aE prin pe4i, rntxr
/(r) *kf +a'F", s'{r) - r si dcci /'(i)
- -zL,l,r + dr)-t-\, s(,)
-,. obrin.d
I t - rlt' .r d\-, + 2k l,1, xa + dt)-*'d, - zt. . .,1-, + 2, tG, + a\ _ d\1,, +.\-1dr,I" - 4t' + aa- + 2h J (,. +,.t-.d, _ 2d' I (,r + d,)-i-rd,.
r, _"Lz'
+ d')-' + znl, _ 2M. r,+t,
.h trtrdc w obfioe uondroM.r r;md. de (orcot :
t"r, = -1 1,'.' o1-' 1- '" - |
2tat
-Iin-12"
'
.. - l. rlr l
,,'',,",':
) a - * - - trr's - + C, dio Flati. d..rccur6nr. DIED o i . 3u@siv ID rD,,.,1.: j.calculczc/ .I-v\t
V.., \ '''- ' ,r'; ra{', -,",* ' a, , .i ( '+ ' a,.Jr'.-1 )\.- 21't' i)et+\t2 '
, ({ .'1. \- --l-:-]-J,: I \-:1 : it l *
a*-- "r" ); , J(a-rj" :..)4,'- 4'.t j
/r'j l,r..'
lr., o.ua rt : rtuFj .i,uprc,.\tr
N+3 1+ B + o .,(,_l)i4f rJ , ,_t ,+tlo lrrtiild acmsir 'jo6""u,5i.pn; rictn t , - o, obtifta ,, - _3. h4ulliao , _ lgiapoiirdtrr r- lj rernlt{ r-2. Sieilar, obria€m C-t. D@i
)-' -'-)l ; ;', ;;J-- - rbFr F2r'r'- r'+rurr+ rr rc
q
h) Riild.irile DnDittrrului slnt ,r - O. ,, -,,- _ t. Desl>alosea h rraolii sin to aE
1r-3t+z A B c:t+2rf +: t t+t (,+r\t'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 205/344
Ad .ird la acel.gi Nmitor$i eaa.tind ceticicdtn rermerito, de aet,9i eJad, obti.rnrSi a- -6. Deci
t't2-J,+2 afz I 6 1lff: "'- l:-+-,.j', l*=""''-nr+t '--1 -c
\*#n* : :\;#n*. +\*#,,,= +]o e'" + 3' + i)
d) NtrFitorlr .re ridrcini conrplexe $i deci * p@1e $ric .a sumi de pAllat . ,t + 4x + S
= (, f 2)r + L Mri i ii hcctrr sl at)&i ta ntrDirrtor <lerirsta prrenrczei d. ll n 6itor i
( ------::r -,1,=1( 2 +'r d,-[ trr- J (,.r.r -5,r 21r,3+arFjf -- J r.,.r,_lF-
:_ r r _( di' I ""+r +5 Jlt:+2r-r-r
ln uhime inr6grdlt no en t + 2 = t li nbl'nem
r.:[ d'-(
d'"
JtG+2F+lp J kr+lJ'Ttllnd sca@ de €xercitiul 3,
"10" *. ." ia ' - t), oblincn
f r+l z+3- ^r.rc ' - i: - :
J{rglrrf 5lr 2(r+l:l t 2
e) (,, - 1), = {, - 1)t('r + r + r)i. Deco@pudrca ra tr&tii siolie €ste
I lt A A,+D Exi(r:- l{
'-t {.- tJ" ,rtr+r (r._ rTtf
p,in ics,iiidrc s. ob, n. .r . - ; , r - + , c: ?; , o :+
,. - .r . -n f . eroi
r,-ir'" + 1)-,+*u.tg,+c:
4 2t+l+ q/3 {3
+ -1 arctg(' + 2) T C
:lr (,,+zi.r)+
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 206/344
lf ,' ,"=-l I ,i'0,*'fr\,,,-
.- ,, 6
\{r1 :+ ')' .
) [("- +i . ;l
'- ':' -':l+ =r;'#",*';''l
, I rtt r i- |
r --l:- Ia--- : i;, ; --TI ,"- t.. J{,3 - Il a (' - Il iJr vji I I ;r-2
Ith.crul n ma r'rli iT.trf@-:-
t t t t, ,;-- ,iTr'"h''e
l- ,' -='1 *,*lf 1'-2 d' {-',rlf "--,0,1'- q
),,_"'rj ' ')u "--]
"+ (;-=:i*'+i,"1*-'..
;l-tf
'"1#- -5 1."\," "-;
fu,ol@t.. a) Pent .tinit@ ddielild * f@ sub6tifulia ' -r ' astfel d
\a:w : \#*- "t*": " t' -' *' - j;l "'-
= 2C '. 3r' + 6t - 6rnF + ll + c - 2'att - 3'ttt + 6:t - 6141"r + 1l + c',
lr) Pro@dem sidna , ,uilnd 2t - I - t', 6tlel lnclt
-l)"+
., "'V,'-'*: 1# d'-ta1f.t',. t**".rJ" t'* ^ r#'llndvlnd. obtiren
:1.:4 - pq,,+ 2",' + at *:Ei+ o* 1*+ r'.'ocll# -ffi'
rdrnh.l 16 a..lati lu6itot ti iderlificltrd (Nxc@ln pntcnrc r'r ' 6sm a' ' 1' "t - U' o" : _ r'
.r,0tr1--ZPri urMrc'
' 7+t- 'r,('+VFJ-i)-c'JJ, + 1d'- itz'+ z*t'1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 207/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 208/344
P n'i. 16 r / aJI.l .l
( '' .( o, --__L.c._ | .cJ rr'.r ,Gr,: J rj I I.' r l rsr- l
l)..rftf -'. n o.5r - - (\in 8r - rjn 2r, relul14
(''",,'*ra .--L.^r, t1'os:'-c.JIr'{
r) dr l'rr''.3,-., /,-.oil8r)/2ri
( '' r0, .'" t' 0, - 1"":, - i si Is, tc.
)1J6
l) , , . : I . . . 4 .'
. . 5r - . {,o. or ,o- /tr) co. 5,: (co'1'
t^o5r I los -r fcorJrJ/r,
1",". -'," -. s, u, : -l (f .t ,o * "t, r *"i" z" 11.i' r,; * r.
tt_2 -2tt141 _4d/s
'+/,,+2,+2:-: De.i- ,.\r= -
d)
- r"VF:;;-i - rl- I'1V.7:;; - t-z'l-c.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 209/344
10.1.2. Probleme prdpuse spre rezolvare
{. Folosind s bstituliile indicate, s:r sc catcuteze:,, (+'. L--lnIiL) [r(5x, - ]),d(. i,,-i r;
Je'+l J
, l-**.':",,.) jfEdx. x:t"
"i.=-i-.,:+r-1,;', i** + --.,b. liolosind substituiii trigonometrkje cotrverrrbilc, s:r sc calculeze j
", l$0., " i# ,.r j7,-:-,oa', o, j-ra---
") Jl#d';r) \(r +xrrs''dr.
10. Utilizind sul)stitlllii hipcrbolice convcn^bite, sf, sc caiculeze:
"'(.,',.,a',a+0: b; \-;fn ll, a 0:d i-*:. J ir:_a: Jr.Jr f r:
d)i'
zt , t 3 , da.
ll. Folosi)rd .netoda substitutiei, sa sc caiculezc:
"r i1$; rr iSi; o i-u$.o' o) *-u,,"t lt'f a, : { f ;*; d" j *r i ;;."*A;-12. S: se calculeze p.in mctoda integrnrii prin pdrti:
") \r' 'a"' r)ir"""a;';.) i,"'a'; a) i---r--- e"""'" ",r" ;
., i.';r"',a,, rt r..o.6,4,. a-o.bz0;B) \r,e,s,nrd,:n)
J" "".;",,a" ;'t \'"e, 9'
13. Sl se determine o relatie de recurentt pertru calculul integralelor :
.r t,
- l* ".a,.
'rc Nr b) 1,
- \r,,' .,r,..,
-Nrcr r, -- 1ar-*"1-r1", a /-0, e f[; d) 1,: Jsin^r (lr
'l€ N] et t.*
:Jsin-",vCv,,' € Ni I) 4,,.-/tS'vrl.v, '.+ N| {) /,, ..ie.'.,,s'rdr,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 210/344
15, Sii sc .alclleze:
rur \ ,ll*'1, .
' J .l\/' - V,
,r) [-'1-:--l J ' ,
" J u, pt
16. S.L se calculcze :
r,r IJ ',t"' c) [rf'- '|'r'|dr I-J."i*r J \t+'r
jt=j**,' {=J"'+
,r -S u i-j-a,; .r 11fta.; arJk+r)r1L,+2'
17- bi sc calcuieze:
"lpi' , ,"' "',.)tn, 5+-, ,, .r
,'12 a "; "'6''
,rr {- ll------,} [-''r' r ,'1't' a, \1
i.'rr-*r "a,':
J Jr.Vr+ Vl, J
,,, (---:9=-,r,' [.,{l[ -'+a': 'l IVG-F-*;'J",.iF \J' J J'
lE, S.-. sr , rl, ulcr( :
"'\-'.1.,* t' i;;+* ' '' l;;.,*-L..',:,_r,
( r. i *, ( '',' ' -:*' J : r) \ -;ri -; ct, :
-')"'.rr:-.". -''n" . \ ) 5'n: r 2cort .-J (L-ros'r
x, \-:;1'r',,.1.1j;,u *i: : ,t \:{: a'; ir \-
.i* ;
t i ---;"' 5J- -U "';cosidx;nJ si"3cos adr;
t,) \"iur snr 2r sin 3r rlr;
.r;)_t;inz sin : sin ] ck.
li,. :,1 ., (.rLculczc, i,lo;rrrtl sul,sLitutiilc lui Euler, in"Icgralele:
,$ ;.'===' u: i;;t'-{;''') i;57. r'''
.'.i J'- ,' i--'r' -'{) r, r-- ; | '? J(r -rliri
JttL -. ', .. t,r,t ^ ,
"1 1.,'a r;',,- a, ; b) ,v sn r cos 2.r d' ;
") t"" 'in' ' o' ;
rr ffi7; e) ("" + 1'r")-"dr; rr ltffi ;
" i;;; *10 2. Integrala definit:'r
Irls / o lDnolic d.tinil ii Drl8i ltFe[4 6] FicA:a:;0<t'< <" =D,o diYizine
,, L'i.*i',u,, f"j Dlti8t--'i-,r-t i€ l, r, ", ''Norm' <liviziu'ii A cste numsrur D(a):
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 211/344
S"da Iii. €sn at4latt lutr4ict t corespunzttdre di,iziulii A, 6rc {tetiliti pn.
(1)
iore8bbai peic, hl,l e Tlla, rl), daci €xiste nn lunrir re R ft prop.ietate, cao.ice tir de diyizinri (f,) ctr D(A/) r 0 av n 6An(, * ldic.re ar ri punctele jnt6rmedia 6
4e ?.,1,.t1- Numa.d r s maerte iqtssrara rui / e id, rr., *"**"n
r- fr1.10,.Functd I 6te intesnbili pe L4, bl, I e Jll., ,ll, .laci 9i nDnrai dace
. v: > 0, lD. > oi (l) < D,+ dr(/) - r < ., v:F\e tu.- ilr Jk),,v.: sup {'), po&n
'€ k,-r ,rl. suDere Darbou, su €ri@..
rn(, se defils prit
, sair: , .rr,3,, srd) _ : ,,0,.
t, ciite.iul ]{i Dirb.e Funefia / €ste irrcgraLilr pe ld, 6l daci si ,umai daca
ve>0, 18,> olu(rl) <8€+.sA(/) _sao<e.2, Clas. d ftrlcFi lntcAEbile a) Orice iun.tie contidur pe t4, Dl 6re irtegEbilA pe [d, ,].b) O.ice functi. mlrsirit GE a.e u nuEir finit de putr.te rte di*onriu.itate pe t@, 6l esre
egraoila pc la, 61.
"l Ofl." iulclie motrotort p. [a, ,] ..F in.^Erdh, t "- d, ,1,
3, P.ollietili lre bregElci d.fi ir. ti are runcliilor inregratilq a) Orice f,mtte irr.grabilb[a, ,] €sie ndrgiliti F ta 6I. Recilroe nu e6te, tn geneEl, ade,iarb) Dace J, s e v@, r) ei c, g e n, atulci d/+ ps € 7(4, .l) ,i
f *r* e,r- - " 'r** o ',*.
(2)
sa0) si
' \;a.- -1/a,, \ la.-0.rd J6 ,.ja
dl Da.t f, s e 7 lld, bll, dttt€L fe e t@, b|.
) o'.a 1, s - 711", blj Ftfi*) < s(,), y, e ta, b),
s{4 > o, arrdci I r,l' > o.
r) Dact J e vtia. btJ,4t a6, | t € 7tu, bt) st l["0,I = [',r,*. .*o.* m esre 4deveratigereEl.
))o I Jo
e) Dacz. J e"(i4.
al) F n <i'J < ,11, arnnci
tbml6-d)<\'dr-\'lb-a)l
p, cu z < p < ] t asdcl cn
\ /d. . F(6 - ,l {pn.n6 Iomula {r. E6rti)..,d.
hj Dacl ste co fid. pe [., ,], atuqci eiirr4 n prlcr . e f., at Bdol tlctr
'
'
atunci \ /d, < I cd:. td o*rioutar,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 212/344
D6.t"leZlt4,b))
J"ru, :
L ra, + l. r u,.
l1'
h,),t. -hltt4 +
t",t +...+ Jt\, )l+ R$,
J"
lR,(l)) < hM'lb - d), M'? supl/'(,)].td,rl
(E)
,1, atun.t 6re ld iordula
(,
ld rl ii
{10)
bl-l
(llt
(t2J
l) I)dc, /€ 7 (ld, ,l), ri F(,) este o priniti"i. oluilpela,
\ t.. /, _r4 r.1J],
ti Da.L J e v l[a, rl), ah,'ri n-*i'.('): fl(r)dr este c6dtinl6 pe (4, 6].
rt Dr'r / F{. 01 'ruc,e k. Dt. 1'.1 rJn ri' / ,t',,r "n" dri'dbilr pF
t"tNl . fl't.'1. Mctoda ltrte8rnrii pri, pn4t, Dac, / ii g siqt funofii cu d€rivatl codtintl p. 14, b),
tt'(L
).' ".'''j'= '"1"-), ..'5. MDtoda schimbdrii v^tialit.i, a) P/iwa Jotneld dE lLhn bara a vdriabiki. Fie ltid,
/, / + t. Dadl
'
ore dcri..rtl coutiiul pc ia, 6l ri / este c@tinuA r. /, ahLoi
I' Ir ,' '' "u'= J,,,.,, '','"
I/('(4)u- ='),,(,,)
i{/), ()d,.
t') A doud Jothtld de sqhi n)d/ a uaridbitdi. Ft : tu, bl1J t/r/+R. DacIr l) { esto
rlrlct nonoton, pc td, ,1, 2) tuncl:in invcsi , : ,*r Are dcd'at . contidul pd /, 3) I eslc con-
6. Apu.afll al€ iahgrilci d€ainltc, FIel o tuiclic contnd, Po ld, Dl. Ad4 .d a sulrafefol Etrgl-.llo do grdlLcul iLrnctici ./, trxo O.i Fi drcptclo de octralii , * d ti * - ,, csts ilett de
"r:\ )Jl4d'. (13)' 1,,
volumul corpului obtiutrt lrnr lotirea s,aiicului hncticil ln jurul &xci O, este dai do
at/-r\/ r|rr.
J
D..n luctia / are derivat^ contiuud, lulgnnca I a arcuhi de curb, 6,
r t,). <, < 6, c>rr d' J J
':\ Jt '"o'
d'
l)dc, l(r) > 0 cstc contiruli, pe la, 61, .dordomteLc cctrtrului de gleutote al
no A'aficul flrn.fici I drcptclc r - a, r -, ri axa o, sint
tt'".;\. , -,;\" d,,und^ u, \ /{')d,
::, t J, J..
t. M.todc da calctrl alroxinatir dl irtegr.t.i ddfirit ..a) MLtoda dt.lttilsnikild lieJ I [4,6] -R,rLrivalriln pc ia, il cu dcrivatlt odrginita c,la, tl ti A o diriziulc r itrte.wtlului ld, D) r€U'
r([ ri rJLn.Leh e.hil,\'xnr: .,-d - i, ,, j--3, i-0. 1,..., '.qh,n.i
( 1?)
(l4l
(lJ)
( l3)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 213/344
b) M.toda t o?a.lar- Dacl /: la, ,l ' n are ,terirala /" nlnrginitn pe [d, ,], atunci
\ l{,)d, : Uk) D .rr.,, ...- ,r,-Jll+ r,U),-h2
rR{t./ < - r/ '6 a '1 ::j]t 1)r.
c) Fdbbtd t*i $'tr,'. DacA l: td, ,l -'R rre de.ivata /ir) ma.elnits pe Ia, Dl 5i A
r€liz66 pns pwctale zt = a + fi, r, :ir' - o),
; : o, 1,..., 2,, atunci\ln)
\ l,)d,::{b - o,tll\ot .D , 4J(., -, rrr '...t tt'|, ttl -J"J
+ zutd + Jb) 'r ' + llxi" z)ll + R"lr' tte
tR,lJ) < --: \b - d .u tr. .v r' ,,p /r)(r)t.? qro
t.n b
10.2.1, Probleme rezolvate
Il. Cu aiutorul sumelor integ.ale, si se calculcze integralele de{inite :
.r5 - rto .ara) \'rs d,; tr) \' z/ dn j c) \ sin.r d{..Jr .tu. ))
r.146',. a) DcdRc.
^,)
pe ll,5l, raztrlr, (I €ste inlegBbila p. ll, JlP.ntru celculul iDtegralei est. d€ ajtrni 6 .alcult limita Fi.uhi oAf) pmtru o .legtre ..'Norbilil
r divizirlij ti a punctelor ilrerhediare. Considcram diviziun(a A::,= l+t, r-;t
:-:,i-0, ,,. ,r E,-,,, i- 1,2,,,,, {, Atunci
{I ao r { - r '2r - I _ 6r ,1x '. Ir:l_= l{+- i +- r
,t ' ,r 4 I
-rJr 16. - r ,511a-J-:l:I., r, - rr.I - 156I l,.-
lr) Funcfi4 cste cotrtidua c [0,10] ri este dcci nrtegrabilA pe acest ilicrval- C.nsidelem r, -,:u, r,,.,, "ol-19.Alqem 4, :., i ,.. 2,. , ", L, i
'^rl, \-z'r .'" \1r^ --l\'-", Jl"'.r ), 1,i)2r...-,2r',J-,,L-J ,Lr " L-J
l0 2tr- I
''- zror-t r,>
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 214/344
, , j.DDoti5 esfe iotegebiu pe tO, rl, Conside.rn ditiliua€ d p tutcle e'nidistatrte 'r - I
r .i) 1 .,-, ', ii aleseh it-',, i:1 2. .' ':
*',-I(''";Jt 'l ,''''"f ' +"'':rr"l-
2
- 2 ri d{i " sind' : 2.
2. Sl se cerccteze intqrabilitatea funcliei
I L. dacJ r c're ralionat,lla\
-I
I -1, da"; .' "sle i.r ional. definil; Pe [4, 6].
/i.r,i1.,,. penr.q di,iziudea A I a : \ <,1 <,,. <,. - b, uveE d^U) - > /qr(4 : rF,
rhri, rhsln :' € I', 1, ',1 trndr raFonal, atuti 'A(t -> kt*
',-J - t - ' ti d@l da(, +r, ..Dacealcgcm:, dumt. i69iodal, atunci l(:r) - - 19i d{i6a1i*'-0"-b L:'
f) 1^ srD.lor integnre dcPlazlnd de alegera pnNtelor :r, rezult' c' lu&tia 6 ste iotcgbiil}
l. ' poaIe ca suma a do.ri [unc ,r.are nu sint integrabi]e pe [4, 6ls5 fi€ iDte'
; r l 1,e -a, 6l ? Dar pLodu'tl i,. . , .'r. Racpuosur 6r" al'ma r/. Con"id.rlro luq iile
t 1, 0, l-l reoJJr:l- ' ,,,'):i - deruire pe Ia, r)
l.l,rer, tt rer'
si .ar. u srnt ;t€gEttrle. Totld luncfia sunt 4r) - J1l4 + J"kl - o' € ti Prodrsd ?(') :,r', ,r',) - - l. este iDrsrdb'u op ld 6l
q. olosind notiunea de inlc:rala dclinit;, s: se calcul^ze limitele girurilor:
"' 'r'i' r-d rr o- -L'1'a2"' + t"\' b>o'
,.?or".,e. a) purem $riea":-Llf +3+...+1:11 -t
i,-t:"or.rt,
""ao
1,,)-r,,e10, 11, A.,,: ,i:0, 1,..,n$et-'it, i-1.2 ' Dei
',1,. -.,i:",^o. t',d, -lt, 1,' t2,, ta\"1 I \_\ i '^'-":;[i;l t;l ' -l'")]'-;Yt'"' """'
nndal(4 =',,,elot rl ri A :,, : 1, i - 0, \, ., h iat a'- '' -'
ri- ., - (r',a, - -1-
' I 'h P-t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 215/344
5. Si .. c,lcul"r. o prilriri ., Or,,* *""r,,a) /rx) - max rl, n? , d,finiril p .0. 2j |b) /r) : J I -t cos r, dclinitn pe 10, 2,r1.a.,ote/.. a) Fnn ttaJ{4 esi€ contjnue re [0, 2], deci o p.i'jtivr *" r"*;^ r1,1 -
f,flaarDa"n ' e Io, r:, "'.-: rt,t -
t'
r.,r, : l. Daci r € (r, 2t, arln.i
a,r - iirlro - ijr '4, +
\",'a,: :11f .
b) Flnclil /(,) csle continDr re t0,2al fi dcci prnn iva",t"
r1,; -I'yppr.
o-"*-l@ :
: Jtl-,;l rczD,r6 c, dici , e ro, ^-r,i,,nci
' n,,J:"
,. .-,tt = t1i.i,, L.D'tc , e (t, 2tl, .hrnci
.r"14- 'rr,ro= "7;,**,,,- "v/r--+d r*tJT-zJi";"L.6. Si rL' crrlcr.l,:zc:a)
ii' "/,.',si'r * Ar, uudc /1.r7 "= nrirx -sin d, siDr xl, .r G R i
) tl,rr"r
a'' undc /(;v) *. ,",'-
[(i)',.J ,
'- o.
.n.folr;ro. lroloriD r.lilivitdtc4 inlcgr.tci c( runolic de irreNar d) Dcdrece /(,)- si J,r < 0 ri /(,) * sir ,r, , > 0. oltnn|r
"'..rr'r.*,a': 1",,"i"',r,+ .i'"i,,,,,i,= 1,,,(f.;r:"1',.-+t"/,_. _rea,_ ,,,,[*__# *,,+*.*rla,+
" -;1(,-",);"==(+-+,.,*.{*Jl-",r.i-#'b) ln ace"r uzlk) :3-, ' <o ei /(r) -3',,>0, lsucl "r
_ -. 1,rr.,."= 1,.-*'\i,",-.-#]_,1,*li:;7. l'iriL a catclrla intcgralclc,-si se demonstrcze unnitoarele ineSaliriti:
1. fir \:a) -1 < \- --: di < 9 r,b).,] < \' e,'cl.r <..J r, '.2 ra
"\e2,r a,?. a) rrDcTia 114 =. --,-1a ".1" slrict -escato..c pc t4, 61, asttcl .t n-ll4\<,R,:- \i it - 116) : D,li rchirJ (JJ
'.7itr.. in€adt aler corur6,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 216/344
,,,,,,t",00.t "calcula integralele sA se cerceteze care diotre ele are valoarea m
")r, - 1"
, *.te , a'. r, : \' rn 1r a t.r a,;r, i. -i'-;.1.',, r. - t-"'a,.-Jr - JrR*atw/e. ) \lotu
arfta cn ,arcr8 " o tiilr 1 ,1, , e 12, l0l. consid.rdn runclia ,(,) ::r rrotg' - tn(l +,r), ,€R. Deoarec€ r,(r) _ rrcra" _:_- :, ,,ur,i , (,) : 2r,> 0
eiJ.,r'r,r.qe.r-sr,oa.-oiR Deo,,c.d7,.., 0..,.,, I,l-,r., .0 r.-m o,l,"ilio,._utr '.'ct 4 ".e ,>0,C,,,t0,=n,-r',t",,1^,,.'',,.O "'",^'riiil.^J-0. \.,., .g,>J t F,,,, Lc .,. tr,.,:.t,, /r\ / .
l,) l)r.arocc er<e'' pentru,€ll, ll rezurlii cr 1,>1,,{t. S. s."rrlu,z" in-cj-ll,.t .:
, :;+- 6)5"-llla, n'atrd/e. a)F\cll,)-12.1-,-r l{^, ,e 10, ll. Do.arec€ 1,14_ - p_2412+, -
-rr)*'/i-0 ro,rrru, = j, *".,,. pur(r (1. d,,.,rh ,.nrru /(..,, ,-r,, .. . _r111_ ? ,
^1.,ir/ 6 '/4. - j- ,,
'.''ret,ri (5 nv.,,
\2 I a
2 ,lt .1, I
I'J';-i<li ) F"rcrh /k) - :j].ia ""," .r""",..".e 1",,," r," [r . jl , a*,** rra < o pe scclr i tervar.^
,-'.-,{:l- - ,' r,.,f ll::-r--.
',.,;,'.,";,i.,,:, 1ri .1h e,ardarea
L1J
*"1;1;+.."€10. F.'.. .i1. ut,..,. i,, ,.i,r.lx /., (.'.,,,. , ,''. - . l.L
n,e6. -Jr''.r."ii: .;.".,. ,,J-r._r) ,i"..,"";,,{(r) := -c.s r. Dcci
l,^ t'' ', ^,1- r. r[ ' .,,.' sr,o." rdr *lJr
:t,, - tti"/t.i,,.
e,(r - sin:r)tr, : (h - t)J h, _tik _ t) I,,
ltn,ru a > r. pr.n .nir.. / = :_----: J,-s, v., > 2. t)-oa,Ac 1_10;1- l,Jjdetatiad-nrai ln.idrr v'tinas
u' 2
-p.'ruq*2.: ir,- (lJ l4-\...r1,-,2,"-\_2),4 t
pcnrru 2'l:" 2t 4 2
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 217/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 218/344
15. Si se calculeze aria mi"rrginit:r
dreptele r:0 Fi ,:2r,(lL: srrficul frncliei /{;v) : e-'sin,, axa Or
ffi+'{./'+
ti
, -""
rrr,tr", :l" -'t.i""i* : (".".u,
"0" - l- " ".,"' a' : r' + r,.
r,-' r,:\"u-',..'"a.= : .^,1"-1.-.,..J, =. E-,--l;"-'-'.'. ='"- '-"'""'l; - :" ''" "' - ''n +
'|- r
\rh (i' Ir- (c-r + l)/2. simitar sc obFE 1.:(c-n-e- )/2, occi.,,r -a"+- + - o-n,
16. SA se calculeze lungimea curbei care arr ecuatia /ir): 2lu,Y, .t - [2,2"r/3].
t , .Jt\)=2r'
I,"r'r -":t. ",'n ''-",. r=l'/i17;;-,a'.\, (aslA iategralt se elcul.r, utilizind substirulir t : 2 tg, j
, - z i-,.,
- =.,{i ."':t L.u,r:i
i|/ - 2f/r-ia - r(" rj- 1d/ - J"a' 'r *"t J , sinr'G'I J",' .'"' J" r'*"
th/lt=--l-j-rlr"L'3-1,.osl)l",'l-rt,"'"; -1" 'E- t-2 J2 )-
17. Se se calculezc co'ordon:rtcle ccnt.ului de Sreutate al supratrelei rnlrginire
rl rurba de (uatre /r Ll O.Lsi dreDtele r:O.r- .
JI -.'/r.zaldl., co r.r loimulei (16), von calctria ftn lndi numitofuI Mr. Co substituti s: sin t,
('"-+'. u" (./'r',,,a, - -L["'n rr - .o.2rr,J, -
= + ;,(,-,.",,, e{)d,= F- ;
1 tr Lr ii substitutie calcrl ,m
lt,#* =$^'int+ - lda{ - cos{)'sio,a,-,
: (- *., -+-",+:"-'ill':* -a;i
r).
\:,u,rr,,o, 1,..(
', '-.'-'-*:)".-(-mllt,irrele c€rtrului dc grcutat slnt
,; -, '1t:-ilt, ," -[-
]" ,i * r. 17; * 4].-]e-.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 219/344
18, Sn se detcrmjne r'clumul corpului obtinut prin rotirea curbei de €cua
, : sin r. .r c 10. rl in junrl a\ei or.Pezalab., D\pA ,ornxla l1{} alem
". .f .,,,',d, _"1"' -;"*.' -i.
19. S:r se calculeze }aloarea aproximativi a nun}:rrl i;, pornind de Ia
lrtdlPr \-"
,i, -. -.
Ea.ahar.. turn\ 4'J:I
,', Lo, rla{l I ,'}
f(,) - -ut't 1,1-'.1'k) - 16,' - z)lt + r,)4, J"'lrJ - 24lr -;)(t + rt) t,
Jt'tij) : 2a p,, _ torr + t)(l +,:),, l,)1,) : 2401_ 3,5 + loat - 3i)\1 ,\-..
^)M.toda ttaf..eta,. Deqde l"'{l) - 0 schinrbirdtr ri seurnol de la phs Ia hinns,
\.^ t"l') arc varoare mr\in't rn,:1$i dci u': *p11'1,11 : y'1t1
-
L .
Ir'.11 zpi urDarr, lniid in lormrla tmpezclor, de cf,mplu, t:10, erda.€a mfinA v. li
-[r-16- o1 : -IIl : --L : o.qrorroo.t2 tzrt f 40O
Etectrlnd calcll€le, olrlincm :
,o : 0; l(ro) : r;. ,r : 0,1j l(,J - 0,990099;| ,': 0,2: Je2) = o,96:l5aa:
\ -0,3t
l{\) -4,9 71a1,
r. - 0,r; J(rrJ : 0,862068 :
' : 0,5 ; /{'il : 0.800000 ;
Allic{m lornnla trap€zelor ri dedtreB
r, : 0,6; Jtr,.\:0,135294,
zt : o,7 : Jl,t) :0,6111a0 |
,, - o,a: Jk,\: a,609156 |
t, :o,9: Jlt,):0,5524E6 t
rb:l;/(f,b)-0,5-
(' -L 1, 6,951r,5.. t4, i996rr) - 0.7s{.8r:.-1, I t,"
Pr in urn-r", r: 3,1l9a-13.
b) Fdm'ta t sij'?e". D.mrcc€/c)(4 < o pe I0, ll, rczulti.i waloarea mariDre . l ,este Mn) */r\o) :2-1. r-ni.d 2r,: l0 ir lomnla lui Sinpsr, Slsim eroara
| /r u)i . --j1- - o,oooooos.
. 2ltrio 5r
Aplichd lonula {19), deducen
| " . -:::{r,5+4.J,9jrlJ6.t 2.J,lo8b5o} - 0,?8Jt'-8lir I -rr J
dsrrel .A t: J.lr lJr2.
tl l'er.dadtu?r,heh'un1br.
Dffe l./'(:)l:-i-' -; < l, tszu I rr c: M' < I
5ihtld t
-l0'
h toDDl. "deptu'glinrilor, av.h li.U)l < o, . iplictsi fomrlo dlqtungbit.ilo., oblinetu
(r o. r.r,oogtrz 0,8019812, dcct r J,zr992aE.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 220/344
. 10.2.2. Probleme pmpus€ spre rezolvare
20. Cu :jutorul surnelor intcSrale si se calculeze urmitoarele integrale definite
", i'."n.:ut "rr ry) d.'; c)i3 |
r'' d.( r ur'" * ia, r
-
o
il*tl
... a < bt r)1""a". "> o.
21. t'olosind integrala deliriti'r, sr-L se calcuteze Iim a" pentru :
. :r a,---L,-r i ... j ,-,.-t) o".- ",+nlt at, ,) ",+,t
,r.22\ 2tnz,
h, ,,, ,"-
--+)'
Itl,,"' '. - lE i ;ffi 'r- - i_- : t) a^- -,1e 12t +. . .l r').
22. Sir sc cercetcze integritLilihtea functici
I x. Ye0,-L-_ ,(t:
t_,: _:. ,rcfirrrii pe 10. rl.
23. S-. sc crlcrrluz" o nri rri ir pL'Dtru:a) /(.rl - rr)iu-l', 3-,-. dcfinitj ne J-t. tl;l, /r.,r == .1
-I r. (l(finit:,
te t-1.21.
24, Fiuir a calculo iDtcgrablc, si se dcmonshcze urmdtoarele jnegalit5li:
^)../li < l-]/,'r;-l tl.v <l/-; b) 0 < 0,,,rIn (t - ",)a,
< 1tn{;c1
J't'r'lr 1"lar> l,;i'u", ,.1) f sin''dr <$/'?sin'*rzdr;
"t l'* *i",',r." a i'"sin,-rdr; t) 'Jr +.'ra,> '" a,
25. S:, sr rvJluLzL, iDtctrrlclL,:
", i' u,a -r r, : rr llrri* ; o (",' ../,g , a, r
'i) ""/' + i"'i''r'^.
s, .. *"r*. j"/: cos' r d.v. ,r e N.
27. Si sc ca)culcze intcgralelc:
e : *-'b)
i"'J"'r'r";
") f,ot i"";ii;'o> o; '.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 221/344
s, (','",, *,r, ,n, (' .' ". a.: nr [' vi
r. -,o i,, lu',+ rtJT+ L
.0 l-,,r'\, ;fu,rr l_,an(osl rs "28. Si se rezolve
""'^tr. i|rffi:;29. Si se calcul€z€ :
:) r" -(. x.;n' t dr. n eN: L) 1"
.J0. Firi a cnlculr irrtegralele, si se :I
\,,x Los -Y dr I
;or ('(t-")1a"rJ0
: [" ", r."'" r F :in' \ I 1l\'
J"
raie cl'l
.31.
.32.
,a)
)
e)
c)
33.
'/- "T
s, - ?d"- 1,.z:;t-;=a'
Fi""irul
r^ - ('rr - -," n. s: - 3r" ' li . s^ (l
_J., '
['?.'rr.')d,. dnd-/(r)- i, r\[]. \:1, r'. R:Jo'
t":,", ,..'t.r. .t [' t', J':'lr\"'t.." r,lJ,, '' ) -z
f '"i' . . r'. . \ L 1:],tr; rt ['r.,,, . 1{ .:, l'lI ' J^l
i" " ,,-nJr ti-dl+ l
:'".c.a.ut.r" (" Ij "'-:r":-"1- Jr ut,t, n'l r t" la rrr' I 'ri lrrnPlrli.h l in2:
34. sa se calculeze (1'rix) dx pentm a('v) : €' - l , ;v e i0 ll'tili(r)-tgt'
J "r
..=[-:.0] , cu xiutorui sutstrlutiei u(r):l Se se vcrilicc apoi rczultatul prio
t.lr,lhul dir". t.
35. S:r se calculeze aia mirginit; de :
/'-l\1/c ^a, /rr, -l:---l-. Lr,. t l-.r .r::l\'+j./
l,r t,r, a,o. r -o 7r r -.'-;l. 'r '1
c) (r) --,'-:-Ll . o.r. .r o 5i r - ::It+ |
dr /(r):--i ^ ,()Y,x--I sir*2.(r+rr
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 222/344
36. Si se calculeze aria domeniului limitat de curbete:
^) ):2- xz $i y?: r,., bJ y:22- *z Si ,y: _,";c) J:
'2.j - si t:2"; d) t -ro, si r,: tn?lj.
37. SI se calculeze lungimile cu.betor:a) 1 :'3t2, 0 < r < 4; bJ r:arcsine-". 0 <, < I ;
c) x: tz- ^r.t <, < e; d) y: rn*. /- s r -< /8..38. S, se caiculeze cooidonaiele centmtui de greutate at figurii mirginitecurL" J -siny,0< ( <i;i axaOr.
39. SaL se calculezc vohmul corpului obtinut prin rotirea curbei:a) J,==xlnr, 1<r < e, in juml axei Or;b) I : sin r, 0 < , < n, injurul axei Oy.
de.
40. Apticind metoda dreptunghiurilor (r, : r2), si se catcuteze valoarea aproxr-mdriv; ' rnt^galer \'" *
"" r d, si s: se comprr. ,FzulratLl oblinur ." ,.i.",".axacii,
..41. Pu,ninldelainreB'ala4\'Vt-#dr- ;, s.l s^ uat,ut./^ v-tor,ru dpruxi_
Jomatrvi a num;rului :r 5i apoi sl se eYalueze erorile.
^--.n-i: l-.I:il9'l:,9.r trapezelor. sf, se calculeze raroarca aproximativi ei eroriie.penrru ur rtoarele rntegrrl.:
"r \'--:-. at - t2: t1\"7;4.. "-. r.
43. eu"jutorul lorn ulei lui Simpson s.I se catcut";, JIo...",1
urm:rurr,lo rnrc;ral":
.', [oJ',t,. lr - a j L, [- -]"" dr-J' J" '44. \i j.,..lcul./ ['.-'.r,,," o aprox;,qalie JF t0 r.
-10 '
10.3. Integrale improprii
op.o.ilor;': *.
l,.l nl€era r. p. i.trrva,e irfin n.. Ije / detinid p. [a, co] ri jnreg.abiE pe ta, ,1, V , > a. Lieitari.\'r,,,,r, r.1 ,...u .r,rij. ".r**[',r.ta,.Dacqlimi,a€..erjo,:,in,psrara6rec@veFJ' 1"'
sar l(,) esre ilrcaraljjta e In, 6l Dacr imita este iltinitd sau Du exisra, inteerala csta
Anal .g "c ,nrr.J,. in .6'-j. .:
,,1-_ i"rra*.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 223/344
Drc[ l(r) aitnritc priniti{a F(') pc i3' d)' atonci
\-/':a' ' "r"t-r'otr{r)l, "oh
ri(6) r"n irrl
I D";o- \t <sr) r<Id d) J' sr: 'ta'*t-*t')"'s{""'nTcafi
L|ra d \*/{,)dJ e'rc di'erqFnrr' s'r \ P{rldt *'P dr'''s' ri
J,,.I'
,' :
arunci a) pcntru .ti <
alurci pc,,,u^r, \-,'u, 'stc conlcrsc r' |i Pcnrrr r< t'
i*1"' """ """* '"
Ir.cA (- ,/k, d, $E conv.rsd'ti, e"i l"I")d' 6* ir"'lnt r qFrs' (;' ri / r'( r'+ult (
inr.sdl,ildJ;" ld.cc) olice lurclic absol"t i''"gotuira N Id' 6),c'r" i ''Jil lcIr' r"
,l. (,ir.rt,'l lul Dlttchl.t. D"ci a) /€7{:u''ll'
v'>a rr l\,4lrtlr</i r6{r L' L ro'
lotoo crLr. z{ro crnd,-@, ahrnci
t'lt.trt.la."o" '''"'*"""''
J, clltcriul lul Ahcl. Dacl a) l(') este iotegrabiE Pc ta' o) l') alt) $rc'rnodoronjt fi nlrgi ri(l{
p. i4, @), atunci t,"s'a''lttskto"
csrc con'crscnrr'
II. Intessl. l trpropdl ititr funclii n'E&Eitrilc l:ie'
I I' llnct si trtrla' lcr r l r r fLr r( f ln / (lr{i i i iil
,, , ,,.r. ,tit n. -'"" 'ut.ddlt' D - 'l € > 0 P'in dclinilic s( frrc
(" 71,1,r' = "'"(-"1'r'r'
J, .-,, .),
D@nl(r) adLnjt. plnlitiva'(')
r'' [a t - '] 5i d&i exlnr li'nna rji') - nrl |1': ')du '
ir'r * -tor - nr'r -"r')li,
Dda exiss lnn (, - x)V(r) : r' atunci Pe tro ) < I si ri < d
senttr l]€ntr, )r > 1 ti r > 0lr
/(,d' stc di*'cott'
. 10.31' Protleme rezol ate
l. liolosind delinilia' si se ccrcetezc convergdDls intcsralclor:
"r(-A; b1 ['e-"'sinxar.,. o'.)t-:;; 1"
'Jo t+}l Jr
1;'n4il:r.o<n<-, (r)
z-6 c|-'l
* - "(-,t,ti (on,Fls.uri rr rrtti \"rt't'r' """ '^1q-'rr' I t u
)' )'rl:..r:ed'r 'ntri ",1 ['lt't,r, *r" ai"'e"nrr'
\
. 1;o, ,171*1: ri,'o < r < o, 12
'"".'u. i'rto**'" -**'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 224/344
15, S:i se arate ci urmltoarele integrale e(ist:l ;i sir se calculeze:_
'- d, .. a+-"' ) ,,'=, bt ;;i;'., f, .:, il\-ffia':,lhet \ =_:=--, a <br fr [ -]l,lri-r')tb-') Jr yvr.. ig' ;-'otq
16. Si.sc sludieze natr 1 ti, tn .a,, de.convergcnl:. sj se rajculeze
iiiloJrea
\rrmltoareior i.rtegrale :
, \-","- bxd'. a> o: br ('e,,cosrrd,, d - o;-, -lo
f- d'" 1",-,"r 'n;o '1 ' Nrd)),;-Tdr.a-0
',-N'.1" tlor ', t
--
or.
)7. \;s' strbil.a\c- convcrSFn,a int-grat-to. :
.^,-.i','a",a-0./.-0rr' --* 'r"jl1'. ". o,
, (- l,;" r, F.'g) dr. a > o' ,r, [- ='J; .r', o - u.J, J.,, . l,
18. :, s. studieze conversenlr in'egrrhi Fre.nell, "*."r,
19. Sa 1c cal uleze:
a) L(?.q):B(q. ;b) B(p, nt:i"ffia.y]
ct Et.t -.p):f {t-dy.0< p.trdt B.f. -- tBlf. q t\-4,Brl t. t ,,, p> t.tt> t:
Fr f/y' + j) -_ prt . p> 1,
und, B(1, 4J $i f(y') sltrt integral.tc lui Euler, delinirp in Fxerciliite t2 Si Il.
. 21. 5; s- redu(: la inr"Srale Euler si de ai(isa se ileducl natura urmeroarclorhtegral":
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 225/344
.r (- "-' a,. r;. ,, = R: il)'io (l + r)'
-"t,6*' ol-::-a",
i;"'"".l'.i>0. leR:
1tL. t ,= R: st"
-",".-'ar. " - s.
10.4. Integtale cate depind de un parametru
sa cotuid;.im tonctia/(,, :v) delinii, pe .l.ePttDshiul [a, b)x]c dl. S. PerPstrem cd pentru
ri..rn. y = [r, d] ttnpz Jl', r) est. intesrabil, Pe la; 6l in sens Prop'in $u imP.op.in. Daci
d(r) ri p{/) si't dona tutulri r€al€ delinitc Pe Ir, dl 9i cn Yatori n intermltrl ld, Dl' .tanci ae *nrfun.+i,l F: [,, dl - R, delitita prin
fslnF('),) =\ '(r. r),rr.
-l.ll,,
Furcfa /(:, /) tide nniforn, in Pnhctd /o e fo, dl, cittre luncti. e(,) : (d, 5J r n dace
Ye >o, 18.>0i /-h <8.+iJl'' /J-?{,) <e, Y,efd,tl.
L Dac ef,istt liditels
lim a(:/\ = rr. l n, pr)r) - p0 linr /(r' :tr - 9('),u-u"
diin,a linita riind unito.la ln .ap.rt cu t, otL,nc.i iurctia q(r) cste in .gdNE P. ad, Dl ti
Ir. (o'u /'.,r'a*-'[o q'a' l{r
,-ulo J,"t. Dsca fulcfislgte oo'tinut Po ta, lxt.,
'tl,iarlurcliUca tiI sht @luu. P€ l'. ll'
'turoirulcd Fly) ere @ti u4 P6 intcrualul k, dl
-?. Dac4 tuctia L coltiaqi p.'3, b)xtc, d1, admjtc dcrivalr. P.rfi.li t 6Po.t cu ,. .ontnrlip. la, h)xlo, d'), nr fuDcFile q 9i 3 sinl do.i"abil6 Pe lr, d), atrei FUI 6t6 d"ivdbih Pe l', dl
I r'{y):\'"'i r ) lv-/{1.r1 p \" - ' "(t)' r'Ja A.I Jtlt\ t J
luitn fordDla lui' Itibniz.
{. D4c Ilncfi4l cste cdtinui pc ia, bl xl,, dl, atunci aG l@ r€lafa
$1\'r,.,,, ,'
1.' - f{t'n, ,",)"
10.4.1. Probleme rezolvat€
L Fi^ fun.tia /(.', r) .. ' ' -l d f:1i i p" :0
lim \ /(., ))dr - \'lin //Y. J)r-" Jt ..i I u ,u
(.1)
0)
1l x (0.
dr.
i.). Sl se arate ci
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 226/344
1..,/ a Demle
u, -(' ', ",'r'd, = - l. ;r. I r",,r ,r.r r,. tr:"r/"d,-.1_trj' r {Ju li
lroi r,r, /t1. )l - rim e tr,'. -' : 0...tl,r -.r [r r,n, r1,. 11 a, - [r o ar - o p, eg,ribea ou .sreJ.r'n Jo
{d.vAr ld. Si obswlm .5 :u sint i.deplinit€ condrtiilc de valab,lifate a .eraiiei (ll. Fv.tBJ(L tr)
fitrritrdr, jD prNtli, : o, diforn ctfu€ l r4i, p(,)
=0. lDn ndevJr, dea d prerpu. aqsi
lon, nr i'sc'nna ci Fntru oice . > O st eaiste r > 0 astiel lnclt /(,,t)J<.,ind4t cer <I.,lrr, une lrbif'ar r'n [0, ,1. Lrld in pa.ticnlar,::y < r, atm
IJk, i : dt : ) +a atunci ctnd t_0
I2. tji" tr)n{lia F{J,)-('lnJ,' y"d\.J> 0. :i ./r0r - l. S: se arrto
Jt
ri / (o) + \' i1l'J* + r,l d.r.Jlr + 0t .' la-n
nluluore. Fie 2 > a.llregrnrd r 54i, oblnr.dr
rl = \' r'.1,. + ya' - "r"V,' - r' li - t,*..
:,'V'. n - t + r arctg-L-b l,l
.r7(0) - rin'{r) : F(0)-- j,:l [j-' /i;;. ** j] - i.
p" ,r, uhr p"nc, a"cn 4l - o si.i(l
ir l\-oat ta\ l:t'J" -r'l d:-o'.,rj+€\., tu-t)
Sa ob*DdE ca u stDl stislecute condiliilc de valaldrtat. lle rela$ci tJ). Irt.-ad.vr., lLr .ria
-- iJ'a a ,r - ----L unilorr ps 10. llt( Io, Il. iDc h..a alalia (5)ltt ' ,r+y'r' rn_r' i.
t-'ln(t ..,,t. r * (0. e),t L (o €)l. Firrd daii fun(lia
/(r,.) :1. se se
t ]' a:o'J,€(o' o)'
I l.,,l.zi derivrta lun.liei l{\) - ti ,. .:t ar. J [0. 6].jI
nzrnva/.. Deote:. tltu 1tz, ,) - lin r.141-t2) -/. -i(q J,.), rcrirtr .{4r);(0. uJ (' u)+(0, rq) t,
4.,"1K" "*,.",*10, elxlo. @r.^roi;---L.
, 'f aFiJ::t,'-o,d.d. l,'., rl(t + 'r)
.d. conliDtre e [0. @)x10, -). De asemenca, Iuctiile a(t) - 0, Bb/) rr atr d€iiv&t. coltiluc po
( 0, € ) x [0, €), deri lulctj' F 41e derivabila ri dupd relaJja (5) aveo
' 10)-\ te\'' t)tr' + J\t J,e\ Idi- - tott+r')-3to(li r'l'b Jol I- r/ t t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 227/344
.4. )ri,nd cii p--rLu ab . o arem
{''? dr- r-..i.,..,.,,"1","(^- d'
Jn d,o,"' +b",0,, ..a "'" """-'-"'), (a'.,,,r+b'"i;.,lolo.i .d oosibilildr"d d--;v..r prim"i i,,tFJr l" . a funclie dF param'Ln.
^eaha'.-t)c ao' > 0, ir''-" - lA.- e'a" - ., ar - .1 - oua,,urui d. on*,O. t O, r*1'-
lla, bJ q @r.os" + t sin")-r a.e derivata f; - -2d coe 4a, cosr , + rr sinr,)-' ca'iinue
'.€a. - e, q + el u{iloft lati de r. Sc poate aplica deci retatia {5), astfet .e
"'",--- ;-'-u'-., ;.', acd,-L'd.rc)sim,r4- ie obline,
"" *'^'#*-*' "':i #'6erbo-' ,.+er'Frcln.l a * a0 ri , - ,i si adunnrd .;ratiile .lc nni
',s, a'en
t,"a;#*"'r*=,*i*.,f)h *,u,sc "ra.oorin-n ,oc-",,at*-;)
5. Folosind posibilitatea dc derivare in raport cu panmetrul, sA se catcule,rnr' ,aro 'll'po"
'up"'"t"t'ul' t' " *"*'"
F(,u):$'' "..tcr 1tg:t)ax' v ) o.Ec.bt.a,.. Fie r,,.-,r-d d- e.) s,, e ,,u ,-0., ,r) - "r{;,rJ -"-"
/(,, r) este de.ivabiu ra @port,c, :y r,"*- *.. ".[0, ]] t'I -u *i*r- n*r" **o
,:r, " - L Lll. r) - o."...
. " e. p @o.iDnr id roport .u anocro'di6tu. 0"".,,", "
,..1";l apricrnd Frrr; , obrin-m (cu suD. i,L,id rsr -,J
,,,_ ",, _,+:* h-_*f;:,*. f-,f ;_
_"
Pnu a.rre,obrid.nFfvr-:-dl,-tJ-C.Frc'Ddpa), ' O, oLlio"d n,O, - " ",, ,, t
r-rd . in d.l:.itie F.or - u, rezu'k c - o. r'i,i "-"*, r,1yl - a r,1" .* 11.
6. Folosind posibilitatea permutnrii integraielor depinzind de un po.arI,et.,r
sd sc ialculeze {tek)dr, n"a.. +k):frtl -xa), '.*0, a. ,> 0 sr e(0) -- 0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 228/344
a,-,*,,. pr nu*r^",
,p14 : \',,
tiiri pc r0, 4xla, ,1. so p@re ap)ica doci
('.,.',,," : ('
,F(.},r -\ r,d:---:,, =-: Y+ l J+l
\r ,|t] \ 9(r){lr =\ . } : rr " - ' .
J" J,,r r a I
$riind
;tlln(
10.4,2, Plobleme propuse spre rezolvar,e I
ca 1"-a- Jtn,1- LJ). L>0,)>u,s:s-(j1t(Ltr, ('---:- 6,,tur r] - l,l .,.1, di 7 ttcd \
-
.: -: arcr;:, sl Se aruld ciLJ0 F-). ) J
10. Prin derivarea'hr raport cu parametfl.ll J,,s[ sc cAlculezc, intogr.]lclc:
,, fl l (l-ri'')Jn,t'lt-"
(r _ r r,) ar ln d _,r r
ffi; vJ< rt ') \ --:----1"j dr' \ ' < r:
.' \',]1*, yl at, undc /(.v ,r*-lll-{l', x a n:i / 0, )J:) i-r, r(r .
'' \'f,-.,la', un,l,7,x, 11 -#,, -0$i ,(0.rr---,,.
- ll..lulo.i'tl p^srLihrd,oo'in\, s r io.dn Ll. in,grare in inr,.rr.r..l(,ic ,, , j,-.':lnrr,ru, s,, .,- , alcu.,/":
E(0) -. ?(r) ,- 0, a, b > 0;
9, Sa so cr culezc delivata iDili,
a1 i1j,): [r'+u 11r, ]) (tx, L,ndc /)dau
b) .r(.r):$ul' +r,,
*r)cl,,
IJrr+.lDr 3 ,t[;t;,"-;o"t*-,f.tosir)d foruula lui l"eibniz, pcrltnr fujrr:liile I
(.t, ]) : r;:{, t+o,iJlo.)):\;
unde/cste
o lunclie difelcDtiabilii,iio Rr,
depin-
Y\"/ -_ Y\'/
tr) \' e(r) ,tr, unde e(Y) = :--Jn tn)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 229/344
I[,,"':..'.' ::.;:-"::]il@'lj <'
10.5. integrale curbilinii
".,,j;,1,""j.:j,il.j.:li i" p,i*.Jlo-, r. ri,, 'i o dnatie cortin{r * *' ""-** " c *'
:\,esi,u1 nn sisren, de pu'*". ",,,.'
.o),r.",1"i."',. . ]; :': ,-."... "'.". ",,, .-"'" ",""'""'::
;.or"a"r'ne':''- *:."#.T;l;.=,=,..*,-nc:i,.,,,'f
Linitr a:.sto slr€ tcnttu , - t 9i na :\tr - 0 6le, Pid delidiie, idtegela clrtrlini' de PriE'
;'' i, ',,,. ',,,. . - { rq. 11.r" o,: n r - vil' ',. r-^.lu^a,;', rr..lr
.n'"a,-fri. ?kDv/i-,?'(4F d,. i',
. ljacj curLd C.'c a3r{ .ub iJrn3 Pae'cbi't
':
'\ltl,t : r'l'). t € ia" p1' t:t
' tn'A,-\u^44.'rt't)JegtFiFffw ,"
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 230/344
Da.-1 C eslr o cDrbd iqnlari, i sFrliu, dat, de
3 * a\(4, 1 - yt6, z:.lt), te {d, p), lrliat J =. Jtz, r, ,),
^tnaci
\"n",t, ,t^' -fioot, tt't. <'t u/("14F + (}'(4f ,f G14F dr (rr
. (e)'
Dakr,,, j r)>OrFt' 2in6d-' 4pL,.r,t .r,J,,r.. C.arur.rm"e Vr ^@rdo6-te.le cnf.ului de geulare G ar tirutui, sint dare do
* *\.tr'. ", "1
a,,," : -1,\., 1q,, y,,p".
n. + "',t', ,, ,0". "- j\",to,,.,tu'.
LDngiEea unui arc d€ *.te c ** Z:i"a".
r,tes.ala c .bilid de sleta
d€nrd de Flsul de pdcrrs pc drumul de inreg.aeII. Int.srale curbilinli d. sp.1i a doua. Dace InDctite ,{,, i ri Ql,, sinl continu€ {D D 9,arrba &grtat, C este datl prnr reprezenta.ea (t), senslt <lc parcrrs jijnd ..tr,t to"t , ou.ua au i" 'z la ,, atlrci nrtegdla clrbninie de spela a dona se dprtnr pnr
i- er', 1,a,.4.,,y,t,- {',t'.".n,-
Q,,, e,J,o.,ldr. {ror)c )r
Ibi gFodl, d-ci lc, ( rr d , r .. L io"nd {5, L, iind Je la d ,., 0, a " (,
a_L
\^Pr:,Jrdr.- . .,_\'p... .,...t I.r./,.)......r..,r/.
rruJt ,u
tn ca,nt e.tiat, ouba C iiin.t dati srb ro na (?), foduta (11) cariit, fortud
\-t{,, r, nd, i- gr . ) ,r,- /..r. r. .L. \-1, ., q. ,r, , (J ,
)c )"
+ QQO, t(t), 'lt))t'O + R{xtt}, ,O, iL4 'tt))dt. il2)
lsrcba l, tjc P,9, R tutrctii co ti e pe d domeniu spatial D. Colditia receqre si sDJi.d,^nrr p4m c iltF8raja curbit'ni- (t2 s- n" ,,d oendelra dc drr i, o .r",a sr er rc ol rcfi€ t'i,, t, 3) dldeltialili ln D, a cnrei due.elliald rorat: est€
<1V -Pdt +Qd, + Rdz, ' {13)
brocti^ Vl,, r, :) .sre da"a dc r.uolta
r'(r, r. rr - \ p(i, v0. ..)t, \' p,r, /. ?0 d, ^' Rt,, ,, t,o , tr.)J" Jq" -"
. ,Teorcoa 2. T.ie .rr, 0 ri ,R tunctii cortinue ii c d€.ivare lartiate eontin 6 in domdiui spa- \
tial D. Coidilia le€Mra. ri $ticictrt €nr u cd ilt€sEla"""l
i"i" ltzy ,t fie in.telendc,ri ile
aP tQ aQ tn aR aP
,Ar at d. ry A, Ar(u)
zi,o
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 231/344
In qzll pr.i, rulcfja {(', t) din teorema I $t. dar de
n,.,,, -J""r'r".a ' u"0,,,,ra.
iar io'di9ir (ri) s rcducc ta
bP_itQ.
e, ix
10.5.1. Probleme rezolvaie
1. S{ se calcureze ur :ltoarele intr:grale crrrbilinii de
{,Jl /- \ r}d'. u',d' rCJ J -- tl Y' IIli
t, /.-( r'ds,,ll,,t,,,,.r-
_a{,
)a d. zll
o /:\ J;(21 d:, un c (.J.r--l -sitl/.t-- i
,i, /-( '.'' ds.rrul:1C, .:.rco:r,, ) --- dsirl'/, i
-rc
2.
:-a)
b)
tldl
(rtr
srieF n,til,
4 i0, 2v11.
.[., ;],
ir. i .I rDpn'A.
,.' f" ac.n 62 ,rr - Ji - ldy, ,aIEl cI
r=(211rar1,'.,1, = - (- ,-.' "ar,'-J irl --r-,"'t - Jf i'r' ' 11
),,' ' ;.', i I lo 'r
cr r'{4 = I - (i'sr. } ri| j.in I ri dr- J(r - ot')r + cjar' dr - '?lsh- ld''.n: ..' . r1; co.1d,_ g qi,.1.l-,, _ __1 _.r:2\ lsin,llsin- dr-1\ $t
-\ I - )' / z 3 zl" irl
d) Are'a :/
- -3.
c63t sio r, J'l - 3d sinr I c;si, astlet c ' d - 3a I siarc@r I d'' Deci
r:[". ",",... r'--f a{'"1"i'z,r"a "u 128 jO
: } "[|;" r.''.,r'", - f,,i,*'o: " f '' t* zo'" - fr
-r-"r
*] -. = -l-(' ,r - ,,,,,,c -
h' .
or J-r 70
Se se calculezc :
I:\ zl,, I y't d(, Lal v - / cos t, r - 1 sin l, r-1.
r-( (tt+rr 1rt)ads, (C) x-4'l''-t't-asiol'
t e 10,
-tll:tllc{to,2' li
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 232/344
,rr - (" m rr ". *or".1,u.* o. l;; (" ra -. i ,r, - o ; 7o : -l- {l a,","i"}
ar- it- .
- l" ro,-,')r"' -,,1, r d, -^.
("{ r + (o"r )d, * -:d ;J-" J" z
fotosir s,lsrtrLf.r r : rcas . Apoi
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 233/344
4- Si se calct eze lungim€a pe'imettului C al triunshiul i '4rlr'43'
Ir1- r. -1), A,11, -1) 411- i)' .
'urr.,
:otura A\A2 ar.m t:t,t- l ,- i-1, l astlel ci
1..'[' i -t:riJU r=Ir'11-f rrl {/J-r'
.[t. io,-: i"'r" if,4i avd '-t)- i_'-l l]tr -
J-r '=\l
'Ju":zJT'on;'e:4+2J''I
5. Si se calcrileze urmiioarele irtesrals curlrilinii de sPeta a doua: il
".i--("rd'- d (')x-i"l r'lc0l)c-1') I :\j"J t - r' a, + , d j ''
(c\ y +lr: t -{ > 0 parcurs tn sens direct;
.r.(,d,. ' |.':-ic)'-''r "'" J'' r '0r:.rc
ar r:( -3- - l , C rr'"a porliurea din cercul ri -f- irx +2a): t)
o"n,,, *rJr'-r:t o"r lir.mitalce tn lun'rul 'lra - r '
F .i,t' a) DuDr r(laaal )
'vm' ,-\l^e'- ut"- '"JO
fl O r.P zentare paramctice a clrbei este t: cosl't:lsntt leI-rJ2'nl2) Dc'i
I . ["" (- Ji---,.",,.i', r 2.u.',, Lv i - 5:,,r"' "' "'' i_:. -'" " -
- o'f" t'-' ds2')di - -'
.l Avem
,-(.''-" "t" {)*'''*uir'-+-" :d) Pstcm scae ,'+ I + 2at - t' + U + 4)' - e' asrl:el d da' runen ':
a'osr ' '
+a'
,.ini ih,ci'-[0,rl
u*it 2l
'iinr 'corl I "' l-"tl
':$'[----"*..... ;;;51-:-t' '"- " ' ' '''cl"'
-$t'i' -;+r.'-;;i'" '.'" ';6. sr se celculer" /-[ (*] r')d'-(. - l)dv LrrdF ' ' n'r''1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 234/344
.,{.:,lwl.. D.scompnnem cnrba C in t.ei cu.be siDpl.: I
p4 ) -,.. e P, |)t IAB ,-z-y, eit,2ii \Dotr:o,y-z-t, t- o1-
'- ".,*
1,"* i_ -\'"2,*+\'t-., z +41.a, +\'1-z q4a,: -2.
7. Constatind in prealabil c:l sint indetendente de drum, sI se calcut.ze urm:L-
lc'arcle integrale curbilinii. in care s-al1 spedficat numai capetele curbei de inte_
") i .\_ drr.Y | , 1t2. ti. D(t,:i:
', , {..--f='''. ,uar.: r. o ..,bi ." l.rsr punctel: ,ril, zl .iJrI' I lA(3, 3) ti nu jricrsecteazi hiperlola rj: -j ;
' / - \j,. "d{ :dr..xvdz..l(t. 1.ot, Bt),3.tt.
tk:otBt . a)i)c.at.ce
plz,
t):
r,glz,
t) : ' i ln -ue - t, Edfi ct (t7) esrevo.i-li€td. Dupa (16) rez.tta 'j
-rn
it lrrr.),_\ l,?/ \:,r/_ ji +:r, =1r'- 2,
-i ,-,r h tr
Deonr€c. /: r(a), rczrka I:v11,3) - 13 -2 - l.
b p.,.". - -L. J,y r) -: .' )1) . lQ 1, 0, ".
'\r' Lltr ij :.
lielatia (16) s @te alljca, deerece drnFnl codsideat nu interscteazl r, : - 1 F d.ci
,' ,.'l' l - * (" -1"-'',r ;zrrl' 4ro;r ,,r'-r" '-rr F,,J 31+t J2ttn ft: l./ 5
Deci 1 : t'll, 3) - 1n 6.
. D{ .-r prr, r. '\-rr.ntr,,.}t:a , R{t.,,n-_,, r p; .d,:..g,-J.;^,,
P) - l ? - v i' lFFala €stF iddpocbd&rA de d.sm. De.'
'r.. 1 ,r - ('o ar - ('o at +l'qa,. ^",1':,"",)tJoo' f(l ".r / - 1,2, J, lr -6.
3. S[ se calculeze lucru1 mecanic d totlei F(-hx(x, + yr) \/z(ia + tz + zr)-\t,,
-hy(*+t2)-1h(x'+)1+A th,0J, i>0. de-a lunsd cu;bei (c)': --jel-,r+d ,
.o./r sul @"r- sib/ [ ,l
Rezobaf.. DeBft.e"
+ tt : (cos, + si r-?si:' + y' + z. e t, at /lt) - -k .r + dn4-r,J'(,) - (cos, + stu4+, rezdr4
z'-( r.a.-r(^', 9:t-::l6r-6[da atrc"' oott-Lt6 . t,.
Jc Jo (cct*sin4rJa kGr+sin4r ,/t
-
239
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 235/344
undF -sre ar(ul -tir-l r I .,ri r:., , .r'"0Alt q, g:0) ri 0,, . 'r. 0 ( .
.e caiculcze inl"[rxl,r 'Url iri,r. J .l' l irrti
I - \ (11 i- \1)r 'l\'
(tr :' 0) cuprins ir\tre punctels
r'(rj : r'1r) cos 0 - 0'(r)/ sin 0 Fi
".: ji".14r -. (r'(,11, ur : ./i' t,r;' + io't+ ar.
ln "rLl olemeiI-0" '
. d' : /";i;t'-' "t";d.r0 = ac't'Jn' + 1d€
A o, , -'rr - r - t'. rs si
r=\ r''.0 \. r-d - \ l'" -'- v/': I
10.5.2. ProbLnre t',op.I'c sple rc)ol'a'e
10. Si se calculczc uj-n:itoarele irtegrale curirilirii dc spcla lnLii :
rrt 'Jd\, r/' \. ,"..>0:
fFt I r, ds, tC) y -.Ett sin'). r/ - ar, - co-/,. ' - 0. -4. :
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 236/344
12. sl ". cal.ulpze luqqrrn,:,..r,ul,r ), ercnni,elr y t- artcostr, t -dcrsiE'i.r .' r. .,upr'ins i',1r. pu,:,1(- Lr/0 Lr. U, ii ,4,a 0. a).
13. Sir se determilrc n:asx tinllLi €lipLi,- +; t:0. rtiind ci densrtatea
de nrasi a punclri,ri .liir.. ) .:rrc l14, Si se calcuirzc inasa lirulrri cu densitatea,f indicadr:
i, (C) y
---,u, 10. rli /(r. )) -- I +.r;
tt tct "-*r.;r: j^."
-. *", t e lo, tl: Jtx. r. z) -c) lC) t: cht, t: sh t, == l, I e i0, ln 2l j l(x, y, z) : x:
(2i'rn :
Ld) lQ * = a cets|, ;t :,i sio l, r : rl, t e la, zrl : fltt. t, r) : l\, + Jz +.')')15, Si se caiculer-e coord{,Dirtcle ccntrului de gcutate G a1 firului material C
cu densitatea /, dxc;i :
a) lcl t-a(t- si11r), ): d(l -.c9si), i € [0, r], J{t, i- t;
b) (C) r: a(I - sin l)..e : .?(1 -(os
,), r,e
[0, zftl, f@, 1) - ytt2 :c) lC) *-- acosl1. r': .ls:n3r, 1€ 10, -.l,lir, -\): l:
16 L 2ld) iC] x - aF, r: Jf5rn, : -- zi'. t e l-t, f . J\t. r 4:,
16. SiL -sc cilculczc orniitoar'elc infegrale curbilinii de spefa a doua I
n)J"(r.-i--").t-":-',tt. lc) h: (J' -F ljrr , I e io, il;o
1,. I tJ.,, (.) J,.= ln(r--.rl,\e ll,2l j4:\
ci i L-',J.v 1-,1;. (Cl ,i: l.u,r,l =='l;int, r =-0. zr) ;_h
.1, \_ .r \l- + J dv, (C) .1 - 2.r-.cosg l, t: a s: .21. t , i0. ,-l:
", i. r+ n )'O.t.1, (C) y:2 cos r. .y- Jsin/, r * [0, fj;t-
f; r_(2,i -ll,lr i-.u,iy, (;r ,r =d(/ -si r/).J-":t .-(osl), t i [u, 1..1.,c-
rz. si sec,,l.ulczc
[- J-r'=--.
I/- ],,ati p".. -.,rl.r:+J - r,2 rr. sensul
Jc .. tllrvcr: a( (l'r Je ceasomic.
1 . rj io cr,lculez, urmirna,i.l, in. 6",1c, ,1.'linir (lc spela a doua:
11 \r\-,)dx+(z-.r)dr"/\'-J,l:.r.ly-dc{,sl,u ,, s;rr r, r Lt
r. n ??l:
ii
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 237/344
,11 ,',1, rl
r.t( r.tt I ydr F'd?. (C, r- a(os1. u.lO'in'., .i.i-l').''l
.lr (rJ' \'ryT(r'z+rr ?2,,1. {.) .i. 1'..1 -sir/. \Jt-.l- cosl, z: I + t, t € 10. 1).
19, Vcrificirrtl lnai Inlli d stnt indepi.:nriente dcdrum,
4oarele iDtegrale curi.rilinii, lu care s-au s?ecfiLrat num,ri
tngrarc i
. .l \ - 'rt.'- \'Jv -J\l --\i,l). lr--l
l'r [- r'"'J F 2J ^'df. .lr0 t) t:\z
.t \- 1a. --l.ao (i. 2), /J(2. r), luain
'; ( - - '-"l. '" -"4), ,tlt. z. bt- J.
Jr (' r) \t-Jrirn.rrsectcaz.'r prifta l)isectoare ;
lsrnt+
si, se caLrrriirze rrrmi-capetele curbci de in-
pe un clruu ce lu2), luirtn pe o
.) (- '.d, . --, --'.I.
At- t 3,t), L)\r.) ) qt'
"inteise.teazi planul z : 0 ;
. a :dr + ilr l ?il; ,..: \- ' -+--- /1. . -1,2. /l(rr, l. 1),tUi lr, t- ,: +:?)1/'
6, 3t, Lu.lil l)c o cutbi'i c. nu
lueti pe t curiri ce nu tre(e
lr, v, - luaii pe o c rhi situati\ - ,r.,, [^ a- ' --:]1 /1. r, rr. rJ
Jli \Y:
ID primrrl octant.
20, Si se detcn(inc lLrcrul rnccalic al unei {orfe t{astice lnrlrcplatc cirtrc ori-
Sinu frproportionaliL cu distduia pulrclului de aplicatic la orkin€, 91iind
_c,i
punctuL
.de oplicatrii rr lorlei ilcscrie, 1 sens dira,t, slcdul dc clipsi j: F: - l:0,r> 0..r > 0.
21. Si sc tleiernljnu furlctia pL)tcnlinl l'(x, 5t, t) {tlV - P dx * Q tly 4- R dt)
al fa4ci $(P, 0, R) ii opoi lucrul mcr:rtnii ai lortei l'Pe dn1lrlui indicat:
r' r) F{0, r), -rrr1 }i putldl o":cr'. ,48. .u i{}r. Jr, ?t\, B(v,, Jr' ?,\l
L1
[ -: J-, ,
-purhtu,
Piel.LJrn ,4rr, b, ,r lJ inlbrr ;
.ffi ")E - *tr'r, punctul pleacb de pe s{era ri + y' + }c - a' 9i ajunge ge slero
rc'+ 1 +z : bN, b <a.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 238/344
19. Sl se schimbe ordinea de integrare ln u.m:1toarele integrllc iterate:
lt tu' ^. - a:']rr2 rdr Ia) \ d) \'/{,, r)d\; L'l \ dd\ /(,. ))d} \ .r'\ //r, rtd'
Ju J, ) ntz J-t .at2 J.1,, tr
.) t ,i'[' /{.{. riJ,: dy ('.r1 (n"-"1r'.,,d'.J_{ t_z' _\) Ju'
2e. Se se ca]cuieze urrn:toarele integrale duLle:
i) i\,"",a' a1, 1r.,1 ti,ni,o, ae x:t2. x:o qi y: t:
u,5\,,,,
. J I d., dy, (.D' limirsr dF r . x, ri r? .r :
rr (( ,.,,r - ',,irJ,.r .. (n' .t'*J'<1,.y10. r>0:llD'
*r(( r"- r')''?,lr,lr, \t') .JoAB.l(1, -l), a(1, l):)JD
n\ \\ t\) - '?)r']d dl. tI^ ,LO1B,,41t0. t\. I'tt. 1'.
21, Sir sc cfectueze schirnbarea de variabile de ia coordonatele carteziene l:r'oordon-rel" polar, in inreSrdb duLl:(i i1.r'.;,drd7;i ,:poi ir rcsratr uL inrrr..
)JDsi se transforme in integralc iterate, pentru urntioareib ,:.
s) )r r -..t- 't02<\r-.):/Dr'
22. Folosind coordoratele po{arc, siL'se transiormc urmitoarele integrale dubleinr"8' al,. .'npl, :
a) \\ t(./r'?r- 'jrdrdr, rDl r:-1- ':<2.,v,a>0iJJ'''
1-":
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 239/344
b)
r)
23.
[( /{,r | ,1) J.J rDt .2 , a-.
(i ii'ls,r,. ,D, ,r . ',:r. .,. , , (r))n \tl '
Utilizind coordonai.ele pohre, sl se calculeze:
(( *", - ,,,1',tr. tbt r. - " .1 : ttttln' aX
4
b)
c)
d)
e)
tr \\ Jr,a.1:1,.1r. tt), .t' <,:.r), <2 1. )u.))D
24, Cu ajutorul unor schimliri de v. jaLJilo nd*r|xt , sh sc ctriculczc irltcgraleiedub)e I
ar"i (r] a"o. tD) t <* +* < e, --J3 <.1 <.1
2s. S. s. v."i'ice fnrr.ri . lui cr-.n p. rrJ lu,,.;iije P
r,0.d,li:rrte pe Jom"-
niDI (il) .r, + ty? < r, dxc.t .
.) r, t-l r(*' \'rL 'r '(o, o'' L 0, ..JJ -(0,0r;
,,(,, r) :IY(-L'+ rtr) ' /r r) + (o' o)
I 0. (t 1) : (0. 0);
pr,. ,'r=-l'i" r,'r r. (, .1) ;- ro. r)r'-
t 0. (r )):(u ul
Qt", yt:l c + r') L. (i r)- /d o)
I 0. (r. J) = (0, 0).
.t
lll,(,-F])d,rdr,
(r) l < r+rr < 13.
'
<1 < i|
,, j,,{'" jl -';}".'r. ro; -,,1-. - - ii ;-;. ,,
c) (( t' +,"1 a.,,r;, {r..,1 i ;{ . I ,
i,)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 240/344
.
26. Foloshd formula lui Green, se se calculaze urmitoarele ilte8lale cur.liliuil I
a) ,ice"''(cos'"2ry tlx + sin 24r dt), (c) :t'-+r':a'l
L't ,i -"r d, + .rlr dJ, (C) xz | )' . a'' I
c) yjc2(r'+f') dr,+ (J'+t)"df, c {iind perimetrul triuDghiului lBc, cu.4(t. 1), B(2, z), c(\, 3):
d){,c@, + ,)\/, dx + Jtxr + rn 0 + G+-t )) d , (c) (*-t),+(y-t)'-t.
27. Si se calculeze direct ti cu ajutorul formulei.lui creen, ulm.etoarele integralo,:urbilinii :
'),i (.v - v) & + dy. C Iiind frontiera lui I n) x, + y, 4 2r, > O t
L) I ir-3.L'?rdr+ (3x'y -rs,4r, C liind stertul ile cerc { +)'- l,completat cu ra,zele OA pe Ox Ei 0B pe O1 ;
(),1,e txi - r\ dt + l\, + x) d, . ct + - t.
28. 5t se calculeze ariile domcniilor ufiDttoare:
n) (D) Iimnat dc ) -, r, ,i y - x ;
l,) iD) limitat de y' -. Zlx, *r + r: 8 1, I > O t
c) (r) limitat de r: , i:2t, k+ -A, r+Bt-a, a>Otd) (D) Iimitat dc J's - 10, + 25, 2 : *6,r + g '
c) (r) lirnitat de y - ar, y: b:r, lO<a<b),y,-y'x, 1': r1*,O< Kq,n> 0, y> 0.
29. Sir se calculeze volumele corpurilor mdrginite de suprafefele:
a) x+ +z-a, x-0, :0, z:0, b) ,t+t+t:4d, l't+.tt:o.,r:0.
30. Str se calculeze masa peotru liecare din pEcile plaltc, de densitate de mase/(r. JJ dath :
4 @ # +i : 1.' > o. t > o : 1k, y) - Ja=V, I
b), este limitat de k+ y-5, xy:z; f(x, y),::(y,31. Si se calculeze coordonatele centrelor de gr;utate ale plicilor plaae, de
dcnsitate /(r, J,),
^)
(D) fi+y, <a,, t >o: Jk, I:1:t,) lD)i +r; < l,
^.> o, >o:lb,r):t j
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 241/344
c) (D) este liltlital der- cos' )- o -+ < n <ail(r' J) -l;
.d) D estc limitat de J':4r+ 4, )': -z t + 4;J{x' y)-h;
'e) D estc limitat de t + Jr : 3' xt '- 2' l(x, J) : J'
32. S[ se calculeze momentele ileinerlie ln raport cu axele de coor'loratc
pucile plaoe omogene, mrrginite dc curbele:
o.) x + t : z, * :2, y - z : b) f - x'z, r - )',
10,?. Integrale dc suptafat5. Formula lui Stokes
L Inl€ialc de .trllafaF atc P.ie. str,it. lli{ t o snpralat& &gula15 dat' Pnt
t -,1n. t), , : rlr' o), ' - '(u' '), h', )€D CR1'
tidita t,ind d.sti Fnt 6ic. tl.8 re & Puctelo' i'rt'nnediffi valdr@ inL8"l'r dc suPrajtri[
do pim rlcF s1o i.d. .nd. ii do ales6ros.lcfoi slPtalctei d6 iDtegtuc'
Irtcsrsla d sutE al{ de Pnna s?cJA. 3c calculdz{ dulA fofrula
(1)
ric a - {t .', ..., 5,} o divizi ,. d errralcki )], Leari'et' pLiD rotea*-"'l*.t"" :""i9:"','', - 1 2, ,. .,
-,t_ d o4ibbilo clon'nldr6 de {rPolela lie d, diahttn'l crlei ma nici stere
corlire acnontrr & slPEialA ti. Nontr? ilivi?iunii A csle Nn'iLl r{A) -l srdi } e rudctur
,, (,)en, 116 aditr6r.
Fe Flr, t, t) o flncfi. co lin [ c t. Sc nllnotio illcg'E]o de su?dall de Pridt stctrd u'
(( .o, ,,,o' -
Iim d^(F), 6arF) * i r{:,, r,, (J,'
JJE r{A)ru lEl
lt1
(3)
[ "t', "a* - \l,ur,(,' )' tu, e)' 4"' 41JEE-:7" d"a"'
ude z - (,;f + b:)' + (af , | * ,;x; + ;t'; + ';';,a - k;f + U;I'.+ (':j'
&Fr.d6iicoolio@lii
Prim6ilod. iurdamelt4l€ s $IPrafelei
DdcI srpn&la F8llatt > 6tc datt tnb {orda clPlicfte
' - tl'. t). t', r4e D C Rr,
atlaci lodula (l) 6lt t5 {otle
it r,""'".
: i\,.,' r, r tt, e) uE + {+ r a' av t -,'"' c - "o.
Ir. rnt.sr.h d; srl.er.ll dc s el a .loua. Iie fun4iire P - Pl', r' tl' Q - Ql''''
t)t
&
-1?(,,
t, 4contin c in p'nctclc errdxeloi :. l''ie t+ lota NPraJeiei E8lrate :' dtidii de
Y"*,t "-"J*.p*t, -"p, cosll Iltesrala d€ snrBjale de spefa a doa se redlcc Ia o Etegbud. slpra6te de rFts ht i
tJ)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 242/344
_ Iqmul4 lul stote. It t o sptalaF &grr3|. cu d@5 iot , de e slriji .n pc @nrtrqlrncris re8uret c. D*t luacF c ,p(', , ,), gl,. ,, ,), ar(,, ,,,) srot trlctii cortirl; si cu diiv.r.
'.rri,Lcootinr. rarr uo domcli , /c E . qrc conlilc snprajal; :, atulci 5E to^ rom;h hi sto&s
,i,,ra" +Ba, * or" -\tlif -#] .*" + (?-_llJ -,p +
,20 AP\,, I -' _ llc4yl dd sn ; F.dr _ \l ,or F d,, It
(ir :tl' I ', ).'rrdc F(P, 9, n), o este rersotul lornstci ta fata co4dd@l, a supdi.tci, i4r s.lsDl d. a c rs p6
o,rbo C estc cer asilt lelei cosspuzrt@rc (cu. a C €t6 pdureE .stfel i,ctt un oU*mtot co strirc{ e C se 1tu6 tot timpul ra srt ga Iata consideaii a su .at lci ),
ADlicafil, 1. :1dn po.fiudn de sllBtafr > .src
.2, - il *:i[.,a-"a,,",.2, N }J nd $i coordo6tel6 ccqt urui de Srout re 6 al po4iuun t dc srldtrtA, ?. care c,io distrt.
hitli deqsitnto do @s, p(r
,,,), sitrt dat dc
.,r.-l("er,.
r. +' '.- \\"+r,, t. aa..
. - j\l*o,", "to",, - j\\""v,','to,.
3. iloDcriul rlo itrc+i. nt po4iulii t dc sop.atatr,ld 6porr cu o.rsia.a, s6 carcut.arn ou forEul.
t =
J{
t.' +.,, *.rrt.. ,. ou'.
(8)
{r)
llot
10.2.1. probleme rozolvate
l. S[ se calcLliczc ffmr'rioarele integrale de suplafatl de prima speli:
"lr: tr+-r +r) dd, und.e teste suprafala *z+lz+zz:a2, z > o"l
i) i =\[ r- ry+,J-Ldo, urdc ) csrs porliunea din planul r+r+r- ll.
)E,le, rpat{ de llanelc de coolLlooa(e t
c) / - [i zdd, unde:esre pJriiunea dia perab)]oidut r: (.y3 + J,')/.1, decu-J-]t
patli de cilindrul ', + :},: 3.
ndol,zr,. a) Pdrte 3upralata: codsiitcriu rcp.czeqtas .:+ @sg c6e,, - 4 ri 0 cos9,: -dsiu9. 0 € fo. t:,9 c (0, E/zr. pd4qlturgisiddo:
Jlgc:;:-F d0 d9 *a'rc€9ld0d9.l)upr lorinula (3) oblitrctu
t - f"ool"i. *,0*"r + dsn,0cose +dsine)c. &,ed? = 0 + o + e' - o.
269
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 243/344
hr srnr.rata t ;rte hnlalid l-Ec, e l(2, o. o), B(o a o) * c(0, 0, ol ti e Proi4teaza
r' or.'Jl o o"rn t","8 i; o,a s Dd tutia suP6retd t P@re Ii *nsa snb lortu qpl Lnr
' - o -' - y. F, i€ La,as dir Plao'll:or' APlicrn lomula (5)'u, _ - l 9' * l do - V Jdr'l''
tf | ,- :ar-\\-*;r/ia'ar-*1"*]"
"" "f '
c) Supratata e Proiatea, tr daDl rol dnpa domoid PIan (D)"
+ t'< 8"D€i
:. '-thp,t,,rl eD. APrj.6E tom'ns 15); aven p:
''q ' r' do-{l "r )1rf d'd} ei
r - ( I t,, + ntr +"
* r',"' 6'a, : -L l""ao ['nuul' * "1''
o' -],JDz 2h Jo
- - [] r,",r* - j r'.,,r,{Iln':,i,, "
2. Sd se calculeze ufm5toarc1e itrtegrale'le
suprafate de spela a doua j
a) r- trO1*+y dxnzl zdt'd1. unde > este fala cxterioari a sfer':i
xt+)2+23:d.rlb) r:\L(, -z)d2dz4 k- t\dxd'+(x-tJdqdt' uhde : este fatn
exterioar['l"nihisi
".ooo.1oi 2:nE-"1y 0 < a < I1
O r: ti"(f ar a' + -L a' a' + 1 a' ar) unde > cste fata interioarl a clipsoi-
aurui{1/u-+{-1r==0.
ador"',, a) Yq,or.l N 'rci r att t,.i.i.rtqioare a sterci *"'(;':';)' *""
. , du [ fo@trla (6), obtin b
, - ii"[t +r+ i] * -tl { a" -.ii,"* - r*',
u".,".* "* t".' ."*t{" * - .-'.
b) Srp-lata ts. conpune di srPr4letclc:t - fala lalc6u
6o lui 9i t' - s@tiu @ @tutli cuptaNr
i:
'(ti8 29)' Deci
'-ll,.i .-.'.'".D.o.l@ lals dt€ridt a rdi >5 e vtForul dna D (0' 0'
duFr foddt (6) obli €D
a-t ,t' rra"-il,t- -rro"ar'
ddo {D) t +l < t , t : o, 6te Proi@tia lui t ln plomrl'(
Tdhd la c@rd@et6 Pol@, enlt4r, : (ldo(h,,{@so _ .i, o)d, - o.
-b -lons. zl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 244/344
.,,. i::,.1$' " 't - 't Jil? - o -'.+ eprareki :, u vecto. r"*r ra suparara r
"*'{-ffi-. - 7*, rJ * rs..a or -./ztD.dre.e yerso.El ar totu€zn rD8ni obr€z d o:, Ezuif, cos y < O Si deci
"'.iIT"-ao_r1_., )' c..d or -,/;lF'l- 1
DDp tohurA (6) rezdrA
"- #J[, [',
-;+H -" - r, -,r]* - €g r, _ .,* _
- .\\ot" - auat - z\ouo$,"1.r"
o - -. oro, - o.
c) versotul Dormrt.i ille.io.ie cr.sp@:tra* telei tnfsicdc euFsoidrhi sre , _ _ @ O_I I t 2t 22\ SEdot l- ",'-;'' -1 ""4'
.r - ;g-a q - z{i a'a a if /'.ld bt 1l
Lr&i, dupe toeula (6), ae@
,-;j (-* i;F*--,(*.*.lJ= -r[+. * ";J Jt {l *ro *
11,tt'*
L,ln, narJtrrl'p$'d rrpretuide . - z ccicg, / _ 6si, 0,o, p,, - . siD ?, 0 e lq 2r 1,
'-
i :- ;Johrirco i6 -F-.,.'cGt0cos'e I a:L 6ins0(os. e r a r, .c, e silr p _
- "'t'"'-"e 1 +f,+f). u,oo * - "',*ei{"4 +4 + ij'/iorr. e,r ""-"..
acJ*" or"
-"eav -: tit,"
ro,,"
+ o"vt.3 Si se calcnlez': 1 :
f" J dt + dt + tt d,, n de c este celcul rg + J2 + z - ar,r l- J, -1- r:0. parcurs ;r sens invers selsului ale migcare a acelor de ceasomic.daci p.ivim din direelia pozitiv{ a axei Or.
",1.i,1.n/,, Sr v.rttj.d, r$or tnnn c1 stnr tnd
*itij,{.i:.,:"s:;? ; ;&H"fffrT': T;1"i"_1 "l:;1y,i.:." t*1t,Llt
I - ; jf 1"*, +.*E + "*rd" - - Jt td.,
,-
-ii.*.*..J :
. l0r
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 245/344
- I ' ' s.il6 di6{@E alc do'tuloi la lata i' D&:i Dde(e . cda - co, p - cosl - i: s$r @n:
s . iobiontl lroicLlie' ce'cului i 1'c pratur 'o1a u@i {p& erimi'ae lui
'tqtr cole dona
rDl:++ry+','<:,t-0.'2
' - Jt L* : -.t "*",-_ -'*'J' d@.* dd : Jt'r'dr
4. Se se translorme cu aiutorul tormulei lui Stokes ilrtegralele curbilinii in
irltegrale de suPrafat :
a\ I:,i.G'z- v,z) dx + tJz - xr\'J[+e2-")\dz C fiind o curbi inchisit t
b) -r:yictd, +zdi+tdz' (C) a:a'os2t' t -+stn2t z:asiltlt'
R.,bt@/e, d) Apricittl lolnula lui Sroke, obti@ t:0'
L D,'ui * elirtl Dardmel'rl / c" ol'lid e{sFiL turbej \b rdB {c) 1r d - 1- ar'
". ;'- ;;',". *"'";tati t po.ttu@ diu planJ' +' - @' dccupatd dc cdul c' d dcG,6' /r lr
verso'r
trormrer" =
*'.'t; 0 -d-l d"e' rorBUIs (71' obr:oed
'':- ".F*:-' t-*--#'
undo D en. proiofia intcrioruhi c'rcnt{i c pa Pt^nl tot:\Dl 2z'+ I -242 <O' ' :o'
5. Sl se calculeze aria potliunii din PaBboloidul x'+ lt - 22' met8initd' de
planul t : 2.' n rotrotr, P.d€ta poltindi de sParaF F plaNl tO' et (t): tr+'t<l' D'ci'
'-'_
6. Sl se calculeze aria porfittnii din sfera r? + lvl ++ .2: a2, deEloEalL de \ilindrul t' + \' - 6) : o'
siiuaL:r tn semispatiul z > 0.
R t rttr, Proi4ti. suP..felei nr llaad 'Ot* ftc6 Pe doDo'
nirr i D) 1 Fl - zr < 0, : = o Dat'd r:r" '|a:-"-'/t'i., ,l= o,- n'ut,z p- -*t""- ls ,rl l- \')
ti dd:a(ci-r'-t l r lrI/ P :d un rr''/'a
a:\\o<c -+
-v;'"a"ur -
" $ao '"'""r"'-cr*
o -
:""(" 1r - 1"o, o11ao - 1r - u r,".
lo
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 246/344
7. Si sc calculeze coordon"tFle cen_trului dc greutate at porliunii dc supraIaJtron og, ni (:) ?- (.\, r 1 ,,/r. aF.uprri ds suprJrtr * _ tt:'i".'
"- "
It.r./,ara. Trebnic si mtcrlrm ..ontonafele cenrruhi de Arelrar. al uei podiuli din $pldar. rli,oL o^,p1,J J.Ln itindtu, o&si,ak. ri..d.",r.",,,1 1. r ,rr .c.,r, : , ,"",,JS."i.t,in "e p,o'^ r(Jr t1 Dlatr't rol JD|. aod€ljut
lD) r. + r < o,, t : 0. A\e6 ? : ,1,, + r\ ,,9 : y6i + ,,)-11, si
^/- \\:'.
v/;\\ ,r,.ry../"q" d0 {"''", . : lt -.,.JJD )_r2 iI (l -(82' ;JJ"* # .,.''oi;--'" .0u' +
1*llor1o=o,:,:Ia.9
8. S; se.ahutcz- m. ncrrut ,1, in.fiie. in rar orr .,,1t )'J i'|. a,, r -0.J>0,,)0. d. d'cns:r^r"R.bl,d/.. l\Iame\n11 d€ incrfie hr .apo.r cu da O: osta
axa Or, al portiinii sfericc(le ma.sl' ?(x, 9, z\ - z.
,- (( r" t.:)p...).4,1 .((,,,- .',o"JJ .jh
"."1" "lr"t,'" ) - . n-., r.v m,, m.rcd,-re . r. a6 0,os . . .,..n 0..be. : _ asi s..'lo;l r I ,j ,.@'( . d. = ,, ( oroo.,e, r,u'.a
(ni2 tn 2,,,I"'*\"-",o,p d ne,s.a ooe._ j,1- - o*.,."=r:.
t0.Z.Z. pr.obleme propuse spre rczolvare
o. S.i . .al ut./, rrrniloJrFle int 6rat.,t".jrpraL :i d. prima speti:
a) \\, h+i.f:)do,Ifitncisuprafa{acubului0 <, < 1.0 <y < 1,0 <, <i1it
r,r i[-,.', +;,,a". \\ ^z a ), + ., -. d.;
.,, i ,, - r.) ,do. : rijn,t sup,arata ta,erat,r.a.o: rrt.u-l I ,i - j,.*p.,*i
lntr' I'[n"]e 05i :-t;al
JJ,frr -l- r" + ?r) do. > Iiind lorliunea srFratclcj con;cc : : (r, il- r,)l/,,
derupstj d- supr-f.rrr:rs j- J:-
2ax.
.11\, t .' + :) lc. : rr.Id por ,un(J sxljrl. t, i ("r.:., ?.' rlrrJ-)r.". dcrupaudcpl.,nul - - t;
IJ \::'dc tI) * rrcosz. 1a ',srn, r- t.1,. It - lO. a. 1) -[0,zt:lst i "ff +'j + $1"' d., 61L.,t ', - 1 ,
.. af 1 _n,JJ, , uo. (r) ? . (J, | )?)\,. 0 <"} - tr
l0..S,i s..rlc,rhz. urrrjroarole jnre8rate d" |lrlrai.li 4" sprta a doua:a)
$rn,dl dr-'.),1 & (lr+r3 dr clj,I iiind Ia,x in,r, ioir.t x slerei rz+J,+r :4,,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 247/344
U; \\-yz a; O-l+ v:d?dr+ rldrd.1'; r fiind fata cxLerioari a tetraedrului
llmirar'1ie plrr-le r-0 v'p, 1-o tlv+z-41, r \i-zar av, x lii,,d rala c{r.rioar: a elipsoidulur { + } r- t -' -- o ;
dr (( tdv d. i- v.l: dr + : dv Jv, t riind fata cxtcri'sri ?trcLisl'r cilindrulur-l); -
"+)'z:a'.-r<?<,11. Utilizlnd {ormula lui Stokes, si se caiimtei'e ur:mitoarele htegrate turbilinrr
i""*"r iJ i-t""-'i-ii"a astlel iactt domeniul iaterior si {ie l-lsal in sttnga) :
^),it bt+,) e,+k+')dy + ('+y) dz, (q f + v"+z' : ""' ':+9+z
: 0 t
.rc
c' i.rdr-{r F})JJ F(r It I'1d2.
lcl '-asiaL't-atost
?: a (sin I + cosr' I e [0. 2El:d) J rtd.v .:,d-r + r,i tL, C fiid pen''Le:J[d ABDA el triur$hiLllui "tBD'
*,rr'l 3, or. B\o. a. o) nrc' o a) |
er,. r'v3dt IJJ +,&'f ) i lY':4''z-ol
fr ,J (y' - j)tr+k,-.13)df l(x'-t'ldr, c liind couturul oLlinur prinrc
intcrseclia cutului f0' dl.x t0, alxto' 4l cu Plzn].l'l *+t+z--d
12. Si sc JIle aria po(iuniide suPraJaF sectioDate de:
. a) cilindml x' + )2: a" {,. t > 0) dilr ParaboloidLrl hiperiolic I : Yl i
b cilndrul ,'+t2-zx:o din conul"+yr-' -0'c) citindruf tc' + tt - 4)2 din conul r - (y'z* zerrt'
-
13. Se se calculeze arira. Po4iunii de srprafati z' - sin 14 cos 1)' t : srn ,, srn t'
E-.ua 0. rl. / €10.2-.1.--fL Sa
""*f""fez" ari" porii"nii conului {('s + t1 - '1 - 0' cuPri4si inire
Dlanele,-0 ti z:2.*-i.tsi."
"ri.
-". supralelei'nateriale
(D tz-(r.'+f)12' o < z < l' da'1
dsNitatea de mase €ste P(jr, Y,z) : z'
16- Se se determine coordonatelc centntui de Srestate al por{iunii de supra'
UF-;:*"+t", decopate de ciliqdr l d+Jrr-'-0'17. Sn se afle masa supr:L{etei unei sfere qateriale' dacl densitatca
'lemast
ln fiecare punct a1 sferci esic egali crr:
rr ,listanta de la pudcl la diamctrul veIUcaI'i patratirl ,tis'.rnlit de ln Punct, a)'
18. Si se dete@ine PentrE suprafata conici o'do6cn:i i: 11 (v' + r') /''
al pozilia centrului de Sreulate G:timomentete de iaerlie ln raPort cu Plaaele
'[ecoor'lonate-
r",, : t, z\ da. I : v' z\ dc'' *, : t') "'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 248/344
l{)- Si s, ,l'rflmiDr momentut dp inFrtj. 1r. rrporr u pt.,nul .yol al portjunii,re suD,afala z - trz+ ),)u2,0 < z < t, den.irJi"d ,r" ,i,".1-iiffi,1;';:l;,: I I,y.
I 0.8. lutegrala tr;pld. tr-ornoula Cauls_Ostrogradskil.,Iltcgrala lripu. Fi./(,, ,, ,) o rnncfic hIrginit, e domernn rE6rginit / C Rr. So [email protected]
;,:;::,;:""j"";ll:":.pare,ridseDsionar..dr..-r..r1., "a(.r-.," "Ir,";";.;;;,":,l, ,.. r_ r. 2...., , , ,,j , I ".{"r .1. .,rer il. ivora4 di,j2i-oijA no'aaL{A), q{. , d m: ,a*lirrtu dine , , i.. ,,,.h..r;,;f ;:-r,.::l:;1;;eiehann atai.t, tunctiei Jlx, /, ,), co4sprrzdr@re dr7iziurii I a tni IJ, est€
(t)
. ([( tr'. n. no)' . ':",'ill,,"^
t''r' Qt
rbira l n.r are-n Frtru orie aletcrr a I.utr.tplo, rrt" nr ... .i., ,t,. 1 ,LP oh 'i,ajarlt irt.Fmhi rriprc s r€{rlcp ta unn"., a,"-J
,-,",i.ql IJu l"diul v(sr.GarntrstrtJe.taDets,-.\i. - d r ." .rur€ .u Dtjnlt : _ rr, , <{<1, proimtezi h ptaht ,(, dapd domeaix D,. Atntrcr, nlqt /(r, ,i rl *,, _*,"""',. 1,,
"-,i_ td f,'J)Jyrr,./ 4d"_ . _J\,,-i ... , ,. ,{)
.L,r UoT%,ui t/ eer. tiDjtar 4- . $,_€J-l: i,j.,,dri: s.n"?.,rr".e p.,r,pte.u a,a o. ta:tl,i in r'"\rip " FtaauJ ,ay t.^n,de domrnint i-,, ," : .-.--:-"- .,;
14 r) e-/) ri ocsupdraFspen@ri,-nt,,r' ,.1.1':,.' '|D 'Lf" i'(ridd.-e1,.r'.DAc^ tt, . 4 are .o,iruA rD r. arr .
'^U) -.r,. $" 1,, g,)"ol
,,. ti,, ,r" (,1 - .,f-llntegEld tljlb a tunctiei/(,,7, r) crtias, ra doncnnn ,,cs1e
$1",,.",d,_ll,*")1: ';;. .,.A; Schinbarea dd va,labtle i toregrata lript . Fie fuansrornarea
- (r) , - eI,. p, @j, , _ 4,tu, ",q,l , : t", ",
.s, 'r' u ' 'rp lun inle 9, + ti 7 6Lrisrac lorditine:
. ) siai fulctt coati,le tm e i cu derivafete lor parfizte j
.f',) sabit./ o.o'cspo <tcr1A bi,,oi/dA,i Li.otrrin,r d.n",,,,1u. / djDorvr si pLnLrL e LoDmtrrui / Ji. sjiafj,j o,fl,1..rL-,^,ni.a,..,r r u,
ii, lar /... P',,, .,
.r,, F.... . m. , ,..,-.. jo r.Dtx, r,0lri orirnF r-,p:a t,.Dstomrrjr t, ilr.8rara UiDtJ . ,rn.i,,. , dr A lorh.ts
JV'lD cazul coordoiaLenr--Uti{itice ,, 0, ,, cu r:rcos0. I:,s:r0, r:?, rorDuta (6) esr6
lj ,'r'. ,, ,;", - l 1".;('c.s 0, r siJr 0, ?)/d,r,o.,,,
(J) ,i
'
(6)
(\
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 249/344
L ForEula causso3tros.ldski. 'i6 r u'lodod
lnclus, Edretlit d6 supraJala u'ils' E 6
.a,"*_p'lt"'",e""
1o fitrdrc o'rD1 - au Dactr lrnclirlo P-P't' r'L Q 'Q.t t zt'
R-ni,t.4.i,' -.".. r: L J'ri/arc pa"ridle roDrluuo itr I aLuriar^ l''ormlla
crus
e _ ,k.l r"l[ ."aua, +or,a'+ Rd'd:y-\\\ l-:- f iJJr. )J)v\ t' rY 'l
5,r"-,"+e-**"-'r*-ltl"[#++'++i' (ro]
dnde t..sto lafa e*tadoad"a spralefei >, iar n(oG d'--es p' oc1) cslc ve'sorur normaloi la t''
,r. arricilii. r.) \'orddlr orptrui " "'"'t"-ili"t"
h) stas rNi corp rli coo'donaielo cthlrllui do tdutat€ G rl cor|dlui r/' p'ttru drusitrrd
d. d3. p(r / :), dDt
l' - \il" 'r"' t'aa' ""- j\\\,'er'' t' a'n'
. *=jii",r",r a'r';-f,tii"+r' r' 'r'r' (rr)
c ) Mof,oltclc J. ircdc rd rrr^r' cn f "1le $ aYolo 4c co'4or'Ll' 1u capc{ilo
'.,,- i"
,',t', ,, oa,, r,., = ii\u*rt" r' 't'r',
1o'B l,'Plobleme rozolvate
l. se se calc,rlezo.I *
i \"rr-ar,
(7):0 <'qa' 0 {} < b' tl <:(o'
R.'.n *6. Do@niltr I/ Iind para.loLiPildlul [0, a] x 10,'l
x l0' al' voN ui iza eah 'alcullr*t t "*
ou' Io.dulelc (3) sau (4) Drc{ D= [0, D] x t0' 'l'
aiu'ci
'-$* ,.,*,*= , " l , "'"" j*' l ror "'r' ''r'
2. st sc rLanstrrme lnr"srrlt r.ipli r - iii"rf' r,,'r d' irr i ' d-rh i 1'te
Dsrlru urmiioarelc domenii :t"',i*lr'"ir","rir" r*t lim;rJ J^Y--0,1J -0 i--ofi ri J l-:-Ij
r.i ir csL. r^l:Ld rl Lnlitar ,l: .r' r y2 = a" z j ll t - ,,l'
;dor"d/, i) APLicim lornula (3) ctr d-.0' d- 1ei (D"I'+'< l-'' r>0 t> 0'
p)
r,,' - \",'or"' ,' a*' "" - " r"
,,, = ur-' -r- r'rer, ,, .).,, i", - ili"
(12)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 250/344
b) Apuam tom .1. l4), u (Dl,' i y' <.r, 9,(:, ,) - 0. s,(- .r) = l,
' -Jl" *+ll r. - gl * ffL ^, \^r*.
3. Si se calculeze urmtrtoarele ietegrale tnple:
,r r:i J,,ar wt, j+{+ ,-t< o.;> o;
bl r:j$,.,a,, / Iiind Iimitat ae z':iL6'ar,1, z:o ei z:ht
.., t :
JJj, {, +, + :), dl,, r/ fiiDd partea comunf, sJerei ,, + }, + s, < 3a9r Frrbolordului xz + y2: Za2.
xa&r@re. s) Z q-t r, -hienlioia r"t .&re.Ur"e
rolosim torDlta {3). VotEaDr I/lpriff lahe lt'aDete J e o ri, F., ia, sriee + * g"_r, :"""" "" J ",r";**-,
'"' l,b. "(,iT)<t @".ide'ie'{' :l)",',[,-:;"'.A,i1 crip*i ,, -"* ,,0
{r - :f s a*
/=J; d"JL,,,t",1"*[ ,d"5\.d,at:\.
*"b(t_ ",]a"_, ^"t.
_...b)Vlllelll6retrEftardedarctc.-Os z_r, iar seliu€a cu ,lznul , _ 6oDst €6i.{D,) rr r
}' <:- r.
Dunt {3) a,*-(Ltt,
J;'J1,.,n,0,_J", *
"* =fi*;: ,,a2. -:o,"2
- , =: a: t",.'i s romula ({). voiuoEl p * pdjeda,d ,r,3. Jt. in ptdDut o, . domehrul /n) rr - I < zr, p.oiari *+j@n (Dr) t + y' < d , . _ 7,. AFoi,
.
'rlc Jr FiE. 32
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 251/344
. ,,r, ,t : ?" + t\t", 9,k, ,J - h ei dcci (4) inPlicd
'-ij,"" 5, ., ,, ,*- j i,["-: .'-"'l"o'-
.*[" * , P' 1t1'd': '"t"
o) Cal" lou. cupraJol' duPrt @rc (Cl r' ' ,t 5 2tt t - aYoldrul
olrrins lDtrc pranele, : o 9i, :'./:. S*1i"""" d planul' : const esle
(D,)"
+ lz < 2a', z e lo' dJ $,' + rt < 3a'' zi''' t" ^Jil
' - ll*
li,, _,,. *, o + r + o,u,dr +l;E
a,ll., n n n *, -,,,,
*, *,,'qur'
SolBi .I coorloMt6l6 polt.a p6nfL cdculLrl integtdolor dllle, oLriine$
r = " [2" /E r", + ,r,*l * + l"m [," vnG'p'a
"yo']a, -: z"
"r"',' + *'ro, + f .\',t
". rc* - o* - ".' ("/u - +)'S?i se precizcze domeniile c cere stnt considerdte integralele:
r - I'a,l'aril"ra',
':
i_..'
fl;ri;," -l;l:'/l;.,,.
4.
a)
b).
a*a z. e) se *rie r - (( a'av ['*' /d,, ulde D ste lriulshid o,14, cu'4(1,
0, 0)'
))D Jo .
9fl, r,0), D€.i volunul / cstc m{r€tlit ile Plalolo-t _ 1, -0' -t" -0 9l '_'+t' rrl p.eearoo sioun , oblrnen t*,*u { - f, + -; n t'
5, Folosinrl o schimlare converiabild de variabile, s[ se calculcze umltoarelointegGle:
Ig .rilr : tl sf,, + r, -t- z,) (rv, tv) ,z + r'' + 22 < a2 r
',,- iil"(*-*-r{1,:r,,1r,, *iji, .,r. "c) l.-(([ ll] 't )z-r (: zt,)ndv,(v\ tc, FJ:<i,-l <?.1.
'JJJI L=-.
tdotrafr. a) Dedioce iloitredibl de integrare 9i trrcFa d intcgat confiu coftrlilafid *r +'r +'r'
cte orvenabil E, iolosnn coordonalele de.ice. lrroosrld r: /cos 0 @s 9, , *tsi 0cos? 9i j:
-t <i q t ibocuatra c. d t:n^9re v, oLl'DL'n
tV t 0 <t <d. 0<0<ztr ---<e<-,,2
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 252/344
I)upa fo.Eula (8), oblinem
b) Estc coavd6bit sd folosim coor.lonatete stef, - ,/ sitr 9. Doncliul i7 esfe l-mns{ordat tnice ge 'Eliat6 t-dl c6 0 c6 9' /-,' si4 0 cos 9,
t/) 0</< r, o <0 <28. _a <r< I.z2I'r iJcooianul trao.Iorm[rii estc I = ab.t,.as @. Dupr lor@ala (6), obtiaeo
, - [o* ["" a,p['.r..".,oa,-1^,ao.Ju J4t2 J0 't
.) Esre lorvendbU sl totosnn .oddooar.lF (il.adricc,_,coso, /_/si 0,,_,, car6 du.
"i:l::lt t PamroripiP'dur lll') 0 </< L o <0 <24 -,., a r. ;;;,J;#: i;:
' * $" oo lf, * I' r" + p - zy1-,t,,a, - 2"16, * (, - 4.,r.1: , -. :"J',tr," .2, r rt,i-{2- })d- -(. Jl-t ,- \'-"t'"l;;"'u',-v'-EJ'
6. Se se calculeze cu aiutorul formde,r" *p*a{
'-.'-" "* '1*'- u'uuei Gauss-ostrosnds&i urmetoarele iBtegrate
.l t-- j"-,ara I yz ?,:Lr r zz ctrdyl tiiod feia exterioart a srerer
r' + yz + 22: at.b) r -.lt
"d/d' + tsdzd' + z'd.dy, > fiiftl Iala exterioara a supraretei
inchise r2 + 2 : 22, z : h,
"o|Ift^'"4) coDditile peDhu aplicar4 ford.i 19) tihd rldepridrtc, o (n ,r + /. + ,, < a,,
':\\le'+"t+ua"''Irp lnd ir coodonare Jc e, domeaiut p "ste L
-*=E=1. "ir-*;-;i;;;l;"',"fTi'n-"'*+"aa{7') o </ <a' o <0 <2tr'
Jo J--l, ' Jo "' "'. I (cos 0 oot I + si 0 eos e + sin ?)d/ - o.Do-"cut ti.io, d'E e$e {I/) r + l <'.., o <, < t. Dtrp6 fdoul. ceusos,,o6,adsh:,
r * ((i.. r,,,- ,,, 1_ ,,10,.)IvPqtru calculd acestej i,te8€le rotojm coor.
< r < ,, 8 e to,2 iil, ,
=to, t]i. D6t
loDatcle ciliadrice' Doh'liul tnlsforoot ede (It')
i -,l* ao
$o,
J.r,, +,1d, - 6"
: ( i, +l l;& _
+ [,.d,_ + ],.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 253/344
?. SE "e calculeee volumul ;,araletipipedului strimL m;rgjnil de urm;toarel'
st. nlane: d,x + b,t + c"" -- J, hr 42x I brt l.rz ' Lnz' a x' %) rt3.
- 1'l', unde deiFrminaniul
t", D"'ln- l.- n^
"-le6te diferit de zero'
t.. ,: ;tr6,0t,a,,. vorudnr pa's1cr+4.dur"t dlt eltc
"orr/ :
ittvda rode {4 : - 'r
< ar +'rt
+
I on <nr. -r:+',r b;'a%t<4 F -\<Ltt+bn/+"t< 13 tda i?lculul intcgral'i
.,,"i..r.. i.".-*r,i-*
dc €,6r, e s-af I bD+q.. o:o,t
;'il'';;;;.';;-;,;r
puarcrrpip.{ilt strtmb u i PardcrjPiPed'ir drcpt {r/1 - ir < ' <',''
Aplicild lomlla (5), obtitr@
'"o :
i"'a'
[o'o'
la -o'
- -fsr"t"r''
' )-r., Lt' lL lDl tDl
8. s: :c afle lnae ni si se delermlne Poziiia centrulLri de greutate al lcrci
".i ';"* .-);;;aie deositatea tn puircteie stPlei e'te inveri I'roporl'"1"1:
I' bi{,^ir" di i" a.este lLrncle pine It origine'
F.rcha'.. Dcnnala,tn P 'ctal 'to(",4 e' Pl'' / :) : -
"=--
Dtrr dupe
forNrt (li), aven
rr^r[([
(,srJx+f]n/'d,, cE ([): 'rr ,'r ? ' '
-lJJv.
Domcdul r .stc cuPdrs latie Ens&'t - o ti2 :2t i^r sfrulea cu llannr ' : colst estc {D't
'r + I < 2d, -".
Prir utut , d d lotutla (i), oblinen
' - of" a,[i 1'01 vaal-'r"6'6r'-afl d'f d€iv,"'. ' ...' ""d'
-lo JJo,
. _"f1,-t,+,"),hlr-b--,/ld,:zi-l-(vG-
)*--,*''.Prd..Ilnd <im'lsr, c obl're
*-f l" ,.<"+ "+n'hd'd'='#\:lJu*'-*)a'
"o '-' '- -o
g- Sa sc calruleze oro 3elrtul d€ inertic, in raporl cx or'ginca pcntrLr por liunea
d" :i;: ii;-i;;';;.;"'-Z' "'., > o' i ) o,'
") 0 dei'rtaiei de masi riind
pl c, t, z\: z.
x.'dk6lc, Momeofin do inc4it ld EPori cd onBi@ €tc
'r.- $ r* + r" + *r.(''.
ad" :illv
("" + /" + r)'d"'
T@ird la .ooldona'c sJsi.. <Ioddid P cs'c trddoffit lb (t1 0<t<d 0<U<- u<?<-
r. - f'ur "n * ex'ea'- lL '
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 254/344
10.g.2, probl€[Ire ptopule rpre .srolvarc
10. Si se cxlculez" urma'oarele integrale:
"r l'a.J'a" i,+vr-- r r)-vidz: o) (,* ." dr "('-i4*,d,ll.lsi se transfoln1e inreslata
tdpli t:\\\,tC", t. r) d, tn iot€slale iteratopentru urmxtoarele domenii:
' a) I/ este .0""r { 1f1: { f;utat de .r: 0 ;i z: c j
'b) Z este limitat de supnfelele z:t' rz_yi, z: O.
I2. SJ se calculere urmitoarele inte8rale lripte:
.lllJ" t, r-rt"a,. (n I + y + z < 1. x > o. > o, z> ol
b)JJl,
(,' + r'f a,, v),, + )), < t2, z > o, x + y + z < za ;
"t lll" ",aa (t/) r, + )z + ,, < e,. 12 + ,2 + z. < 2d, :
d) fii" t'" + r. + "'ldt), (v) r, + 22 < #.,2 + y2 + z2 < (f , * > o
"l Jll,,, u,, (v) p .i t, < ?r. o < z < z;
0lJlv(1,+)2Jd,, \t/t ).,+ , <2z.0.-:< ?;
srlii"*a, v)*.;,i<t.13. S; se prerizeze domeDiile pe care sirt con$.r..ate rnrF ral,le trp.e:,r
1""a,l{-- ol'rr-* r,. t,,)a'; u ",r, ",r,Jr.,iu v z) ry.
tr4.-.Folosind coordonatele sferica $ se calculeze integratele urnitoare :
.tlJi" t', + r,' +
",t',,d1). (v) x2 +,2 + 22 < z r
b) J'd"i/- dl,Jv::j_--- ""a", ala"fr-_.., r-- @z +r\d,.
15. Folosind coordoratele cilindrice, si, se calcuteze integralele :
", lil",**,', 0,. (v]t *+)2-zx<0,
1>0.0 <?< r;o)
lJl, r,o + ,,tr' u,, (r/): *za yz <zz. x2* f *f 48.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 255/344
16, Printr-o schinba"re de varmbile coovenabild se se calculeze
$t (' - * - *-:)''' d". wt | + { + S < r'
. 17. Cu ajutonrl Jolmllei Gauss-Ostrogradski s: se calculeze urmetoarele' inte-
gale de supmJali:
a) (( r'd)d"+/'d.zda+Id,dv tfiind fala exterioar; a cubulur0 < f
'a}0 ( t < a' 0 < , < ai
tl (('r a, ar-+--r, O, at + z $' dt', fiimd' talzexterioare a tetraedrului limitat,
JJ>:
de planele ':0, :0' z:o' *+t+z:a;
,f \i- fI,.*. FJ,'?cos0-l z'cost)do, t fii.od fal.a e'xlerioar; a supraf'l"i
cahk rn.hi-
"*:-;-
0 0<?:D:
dj i( ,'dld, F4'dzdr+ *+dtdf, U fiind fala exrelioara a suprdr'f i
tnchisil .iiindrului^"
+f - a',0<'<D;
e) [( rrz(r dy dz + v dz d' + ?d.t dv), > friril fala extedoad a suprafetei in-
JJt
chise 12 + 12 + 2t : a", t > o, y >- o. z >10.
18. Sa se translorme' cu aiuto l fonrrulei GauslOstrogradski' irtcgralclc de
supra{a11, >i;mitind domcniul 7:
",(( ,'l- \z L A\tzlcnsa I cosF ; cosy)do:,JJ:
ul (i'ar* Itdzd' lzd'dtt ') [[ r'ava' F?/drd' FY)d(d];
JJr JJ')
al{,
t', + r, + "lv'('cosa + tcos I + zcosr} dq'
19. Cu ajutorul Jormulei Gauss-Ostrcgradski' si se demonstreze idertititile:
o ,r,r a, : $" -a- do' 1,t't.e^t : f; + J;' + fi: 'at 9- - + a" +
+ilcosB*Acos'r est€ tlerivata dupn direclia normalei la t;ata
o)" t'+r-rn*r u, : l k # -r PJ*
20. Si se calculeze:
a) volumnl corpnlui merginit de paraboloitlul
***-t-
t 5i de planul
z:0',Ui votumut corPului $Arginit de paraboloidul j'+
' :44t ti de suprafata
cilindrului , + rr: 24, t /
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 256/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 257/344
(r'
11. ptu.rot 9I SEEII DE FUNCTN
11.1. $iruri rle funclii
nio rirtr1 i, /:,. . ., t,. . . d6 luDctii detilitc pe u eotaii jD €@l r cu varori @le. grd {4}de ltncfii oste geflf_lg4g$s 1o idtervsrd I crh. turcJia lr r r R, deo{
v. > 0
riYr € I, 1,3(,) 6Nl
|tk) - l(,)t<
.,u"
>kzl,).
$irrl (r) de l@ctn L r r+n corve.ae rDuom tn iotc alut rcatrero (lR// raR, drc,
vc > 0, :,.€ N I lrk) -"1(r)l < ., va'> ,. $i Vr e r. {2t- Crilerid lur aaucht. $irul (/,) d. Iubcli /,I I - R c. r.rEe unitorE tn / 6 e lurcti,h I - n d"aE ti lu4oi d&t
ve > 0, 1,.€ Nl Lf"(,) tJ^@1< ., ,i', * > 4. ,i y, e r. {3)
i rorcda r. Frc {/.) uo nir u4uorr cooversclt e r.cetre runclia /. Drcr tmrc tulcfiit. /i.idL -oor.nup iD puncrul z e r. atua.i ti lu (lia tinii, / sro co,rirua t llDctut e,
leorcea 2. Fi6 r u intdv.l oltrginit ri (r) q tir ds tunclii itedvabile, dctin e e J. Dac{(1,) conv€lge trnilolm cnft / 9i (/,) coDycrAe nnuolh pe , cdke & dturci tulcfia / .sle d.rivar,iltpeI$iJ'l'):c6),reL
Imr€da 3. Dad ( ) *tc aq 9k d6 funcltl .ontinuo, unirorq corv6raelt pc {., 6l cdtrof,'nctia, aturci
liD \ 4t4d'. \ lr.,rd'. lr).Jo
Tcorna ,r. Dad eFst{ uD rlr (d,), artr u 5i lim ,D - o, r,rteL toctr )J,lt) -ll,)l <.\,
vr € t atnnci rirul ili) .oaTcisc unirorm pe 1 "ar." l'"*9r" f.
11.1.1. Probleme re'olv,te
1.5i s- arrr- ci tirul dc lunctii lk..l":Ln. rJ ,R,/"ry)-,.tl -r'). rsreconvergcnt, lnsi iru uniform converJent pe I0, 11.
Rezat@r6. Fi. 0 < , < l. De@rccc I'o r -O rdnrta tim /"(:J=0. epoi7,1t1 -o9i a.a
liE tr(t) - 0. Dooi lin l,(r): q V,
"
1o] t1. 5,-t
""
*r",i.,ro* *o""""*r. p. ln a.€s .
.6 {t6oicn reb}ia (2} @ loc. lnh-adev5r. tut,d .<- ei r"-2jl'ero, rr.."."a(r,J- j,Ir e N, tl d@t llogelt ld dtE r.lsti4 (2) u ..$ rridacut. pur& , - ,..
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 258/344
2. Si se arate ci girul de Iunclii (/'),ur':(t, o) :R,
utt _ lt tn, - {)sin + + ,, _"J"r.r'
este unilorm cotrvergent.
R.toIMt. A@, Pdttu , > 1,'
(,1 + l)sia' 3 27t E
2l; 2 '1" ndl-_.-_.;' '-
li{'" + rj'i"': +,'+ J"'
a..",r.si'=I<asiI'r+lr-in':>0.o.oo,",.ti-I-o'.""ttldupitPor'f,'r'Iai(4"..1a
tiade ld z.ro, ntildm Pc (1, @).
3. Si sc arate ci tilul ale funclji (/'\ /' : R -+ R, /'k) :D -ggj: ' ist'
unilornr convergent ti linita sa cste o lunctie coDtinu[ Pc R'
Id,/rrtu. \jom aplie.riteriul lui Cdnchv. Avpm, Portr 'a n,
I .o( '' -- l :oel" - ztr cos 0, + r)t I -r'..,{,} -^t')t= l;-;; - (,-r,i",_3, - -(,60,+p+i) -l-1.
(r'i l)l'+ 2) u+2)(.r_: J) tn-' Ptb ?t1) n+ I r+ 2
^ _ I . =I _ I
=I -- I <-I<., daca tr>'.-
"n-2 r-J tlt nrrr I 4--l t-Prl r+l
-rlr-'l .
t' l
Dups c'ite.iul lui cnuchy, 9irul (1,) 61. uii{om coDvclg@t ' ciiilc , liind coltiluc' iar
$irtrt fiild urilorn contera€rt, limite ti.nlui cBt o tulctic coitilud'
-a4. Si se ,rate ci sirul (le tun"lii (1.) /" : (o o) + R /'(.1) : ,2" sin
- '
tr-1
nu estc uniform convergcnt.
.'?.ro,,,/r. S. aplict cntcdll rd Cauclv i
' 1 *...*r,-,"i"_Ll.r,,h) -J,'r) :12'r'in-,.r ra"r I
al.aem r - r.: _: € (0, o), asthi .{
.'" --L. .;. r"a - t r,',.. , "+- - siD Jr*'I - (-r)--r.3" r. 2 J1 rjtr 2
Luhd I:r, dedoc@ c, l6i(,) -r(,)l:12'+{-lf + .+2"l- )al:24tlr-2+4'l +
. . + l-:f '2*',1> -L '2
Acosta antl d tlrrf. (3) nu csto vdUicsut, doci tirl 6.t ulitorF co w8.tt.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 259/344
5. SA se aratc cd $iarl de funcfii (h, J,: R --rR, f^(r): --1 n"ig
,n, .oou"rguuniform pe R, dar 0imr(')l:-, + rilr f;(t).
R,ntuo,.. D".Dt{e ,J.(r.. l- "",, ,, I
I n t. ; ; - 0, re^It{ .{ f,inl d. [email protected] oouvorso
po R crtre runclia l(r) = o. Ddil,{,):o e Sidr(r)1,_0. pe dealt . partc, {(t) * 1
FL. pnn Dirnarc. hr J;lt) *:. RezrltaLrr. diie.r, o*.1* u",u u"n-r.r-"o ""o"u"* "*o.j
' n ""," - ,
S.""
arnte ce $i ul de funcfii (i,), , : |0, 1l -> n, , : ,; e-., couverte,
lr('1"t.).t,, + \ltirn /"{r) d;r.n Jo-.
)u ".", ,-.'
R oto.tat Eridaat, hn ll(,) : 0 rr dsi/(,) = 0, , c 10, 1).
fL tt\'/"k)d,-\' D'-ih* -
I c-,"'l'* I-
I"-'h Jo z b 2 2-
dcci rim$/,(,).h
: rfr{; - +"J = j. io"$ri- r,r"1 a, _ o.
Rozultatul so.xpliaa llitr laltul c ,rrul Du osrc trnllom coE?qge6t, hrr-.&yd,r, d..t e de8.tJ, rezulrA /,('r) -c-r"-1eid6ci reldflo (z) r 0,ro veriflcat .
11.1,2. problotr|eDropllse spre rotolvars
7. Sit se arate cd girul de funclii (^),, : lO, ,a) -+ R,l,(x) - - e-',, converse
clrrc Irnclil /(r):0,.,v c [0, c.).
l-t',.:: "'","cd lirul de funclii U,) este udIort[ convergent pe intervatul in,pL'ntru i
^).f;(n : G+ "\ ,' e t1. o) i
,) L,a)-#,,eu.6):9, Si S'e arate ci girul de funciii
r,) /,(.u) : -L, x e p, al I
,rt J,{") - ,##r. ,t a Lo, /,1.
(l) converge simplu. dar rou esLe unilorm
E r"6:;;' x e to. @t; b).f;i-Tf6.". ts, r).
10. Se se arate ci tirul de fuactii (JJ, /" : [0, *) ,, R /,(r) .: D] e.", nu con-
r'-1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 260/344
. l.lt ..: ,.
lp,h) <lr-t.lsrtrr.rr-tvr ' ro)'11 tLa\4 + 1i (q l)l
o""",*,.*f t(rt .ro)',1 6,c-o.*rp".,,j.rc,rr,rcr -r (M.1 -rn.r., -o-,.t-J ln ) Dt (a._1,
deci lnn Ei{,) - o, V, € l.
. 5. Sl se ararn,.- fuo.lille: aJJ{r)-.si') r. r eR: b) f(.\): cosr. r cRrc) h(x)- .t,I ' R. sinr d^/\olrab'l tn i..i. Jc fur.)ip" R ti s.: s" d,.rcnniruscriile Mr. Lnurin corcspunzi toare.
E@atoaft. Evn4nrc slnt ind.ilnt dorivaLir" l.r n er 7,,rp1 -", f, + "a) , u,"1,) -_ \ 2J
-e"1,+'-l ri ni (,) -c . pctrr.tr n:0, 1,2,.:.. Dcoarce l/(')(,)l < Leilso(tr) <r,VteR,eEQ,1,,2,,,,,ltncfiilc/tiBsnrt dorro|alirc lr sdo.lc pnte.i po R, pcrrN Junciia,rvcn o. < c', e orico jnieflal cotupact t-a, dl ti <lcoi /l csre .lozvojl^bit, tn scrie de t re jioncG altJcl do inictual. Dc aici Eiacc
ct,cilo dervotratir,
ncR.
De@ec /('r)10)*o ri /(rr+t(o) =(,1)1, r,',r3'1 =1-'r1. $i 6"+'r(o) :0 iL /,1ir(0) -r,olti oru &aolttrue
,---+.,,tt-lt-t"1 - :€nlt lt .1 (tJ T l)t
.*,- r -il+1- f .. , r11,-t-.,.. ye nl21 4t (att)l
c'-l+ a+:-.,. jL.-j- ,y€n.lt 2t ,t
6.SI sc aratc (i hrnclidc ur,ntiar- si.r",lazvoltilbil. ln scric dc nurdi sj s,isegaseascidczvolta.x.I,,:a.izln,l'r,s^inicr\iLlrl) c rL. ,31,) valabili I
a) /(r) .- (l F yJ1, r:. - r, d .. R\10, r z. ...J i
b) /(.') = arc'in r. r c l- I, rl.lkrorhld. o) D@ruc Ja)F) = dld * 1) . . .(a - t I l)(l 1L ,)*' el ltrtp) a ala _ t). . .
...(4 - r + l), dlria lt& Lirrtu c@stlr/-lrwc drtc
r pa, 1J3:- L"' 1 +ar? I (z-s I rr,,lt zt
Rcit,rl d uiti ul r at tarcTi.i l, s.t ,.flntr r,,i C,,.ry ..,.
n"{*)-'k_ | i k-j'lrr ,0.r*"-,rr -0,,r,,-,l
-','%4r+0'f-r{i-€-}".eo1n,'1
n".\t tt 2t o h+ttll + 0,, nr
Deoarci. e.ie f; o"*, ot" .oo*"g*rt pcnrru I'l < l, lc*. t,41, r )znlta tiro ai,i :0, p.r.n-1
to lr, < l. llnttrd sca@ ci
l4't(l * klJrl < k;(1+ 0,)'-' < t.,t(l + t,t)"-"
o<(l__q)'<1.
285
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 261/344
rozulta c5 liq ,R,(,) - o, Pcnt 14 < r. P.ir if@r., Pclt u l'l < 1, cstc 'alabili ddtoltar'@r., Pclku lrl < I cs'c 4labrlr t-'".-t
{,-,i:r+;, r't";tt ur...r dk rj j{-':rir' ..
F'd4ia /(,) - (1 + ,)' s nututte tuftti. biqnnj'Itr,f ii*.""" y'f,t': tr.-A:r/t, Pmtru kl< t' re,'nq d J'estc o f'lcFc linomiaL ldle'
cnind id dc?volt@ functlei biDontare pe
'
cu -t' rl d : - l/2' obtinen
fr:,*j"*fn, *ry+#P + il 'r'.PriD itrtesrarca terne o lmen a acateia Pe [0. :], 6
'tl<1, dcduccn cI
srcsi ,-rr )*;**1*,' ":fi{|h;;,"#*Cud 6cc&sti *n6 esto conrcr€ .td ti ttr Pulctelo ,: - 1 $i ':
1, dcorccc
llJ...l2E-t).--i-<:L:<-l-, v""r., 14 -lr"l 2. f I
-J(2" r--'it
-
"'rctult cg d.tvolta@ oliinutt 6t valabiA Pc l-1, rl.Pcniru , - 1, oblincnr ePre,e;tsrc. ht trp suu fo.hd dc seric
' tt.r.i. Probleme ProPUsc sprc rezolvare
7. Sli se deiermine multimea de convcrgcnll ti suma Pentru urmltoarelc serid,r puteri:
"r $t-rt' "'"'' 'ut $t,+ rlx'; c1 f 1-1y+1zu r1"-' ';?,* t"+tifl \1 o
al f t-U"t,,-r- r)rr'; et i(n+ t)k'-F2\(t'+sl'"; I f fi.u ,r l" o*"'-,". *-U,.* uJl"^*.*"*o pcntro ur*itoarel"?" u" n**t' 'o
irr-(-2ri'"; b)
i+.*",.o i*,n, i*,/ ;-1 h"l
",il' +-ll'"'*,0;.tli):,.. " -,0;;t 5-lr+-1 ,.... .i] *,.'/J\ i) /- rt L--t,\ t - nt
:'1rr i+,'; ir )-(-r)",'(" t)",jr l"(r 3r"i' z.J l'\t /"J " z ?.t_t
ri \-G-tr .ir
s\_lt" F3),;}n)
51.l(.rr,:".
' LJ t1 - l',2: z-J "' a-1 n-l
206
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 262/344
9. Si.c irate c.1 seria t - \-\ '-lft' .stc .on\pre.nle Dc R. iar' z-J (2 1,(5 6J . ..lLJ,- l) lal
surl]a sa, /, verificL ccnal.;a f"lr\ + ,JQ() - 0, V , e R.
10. Si .. aril. .: fun.tiile urm:iloare:lnr d,zvollabile in scrie de p,rtcrit s-5e det"rmirL'dezlolr:rrca ;i int,rrr.ul l. c"re accisia rsle vdlabild:
a) / r, -- -Lln I . | ,l < r : I) /f.r.) : i' ,l-R\{*2. -.1 : - 1' ,{ 15" Fo
c] l^t: tossx..r - R: cJy y'r) - sirr3 r, .r c R;"1
7111 -- ---I-l .
11. Srl se determine seria de pute , convergent:r pentru t e R 9i asttet lncitsuma / a ei si verifice ccuafial"(t) -/(t) - 0, v' e R.
12.sis ;seas'.\:cr:x dr lnrl"r; (.nr(rSnnl.i pc R, a (:uci sum.i / \"rilr.;,ecuatia l"(n) - nJ'@ - J6): 0, , e R.
11.4, Scrii Fouriet
L nriaE /{,j < ri.lac, .onn.lil. iL': I)i,nlrlcr li idrcrrlrl (d, D), du(d tn ar.sr in,cDrl
fulotir /: a) cBtc lnirorn mdrgn,il{, IJlr)l<N, a<r<bi ) eu Dunr.r fir,il dc dlcor.tindtr.ti de $afa htlir c) orc un nsnfd ii,,it de c*trcnre slrictc.
TeorcDr l Dlllcl,let. DacA I n.1i{ J(r) netodlc[, or €ri@d 2tr, $tiefaco condilii]d li'iDllichlet lD i.t€nnlul (-r, n), atDnci l, Iiec^ri l] rc ..lc contirlittrt t e (-n, n) fMofia ,/(t)p@to li dctvoltal{ ln erio t.iSotonret.Lc, Ironlier
r,1 - ? 1 )1 r",,-* + ,' 6ir "),.Z)(r)
. r-t
ulde cd6.i.Dlii loudc dr rt ,i $ c .lcllcatd drri. Iortuulel.
d, -: \ /f*/ co. aldr, n - A, t, 2. .,tJr
.12,i
--: \ /(r)
'in '1d,.
q
-t, 2,...
t J-n
Dacs , € (*', r) atc rn purcl.de (u*o $ujlnte |etrtN funcli4l(,), atuDci sum .5i,) 3
..rlci lorricr (l), ataFt ttrrcti.l /(,), es1. dau dc
s( ). l/rr-n) I /(, .l 0,1/2. (1)
Lu eutmilnJi iv@ s(*r) : s(n) : Lfi-r ..1. 0) + llt - 0)112.
2. a) Dnc{ Iunclia JIx) .st fitl', II-,J *.f(:), atlnci ,' - 0, , * l, 2,..., ti *rja Fourier
6tc
11'1- .-1.\a.""*-, ""0".,-3i'71"1-"-d,,'-0. i.... ({r2 LJ rjo
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 263/344
b) Dac, Iulafia /k) estc inpart, ll-4 - -J14, atlnci o, - 0, r - 0, l, ?,, ... iiFourid eto
(r) - l r, si n'.".0" 6.: i f 1,; s" "'d.',
s - t, 2, . ..a-r r .b
3. scd Fou i. pcdtru o frDcti. pcliodicd cu *io{L z. D..-5 luncti. /(,lslirhco coadil{1.
lui Diricbl€t l irteryalul (-t, t), .tEnci ln Pllctcle de cortinait tc, e l-r, l) ae l@ ddroltaa
lk1 - 5- + 5\ L, (69, + o",ioi1,) ,2 Z-r I t t l
(r)
o
"'- il,t'n-";'*' " -"'
a. : 1t', n'r". f 'a.,, - t, 2.... .
1 1.4.1. Pfobleme rc'6lval€
1. Sn se dezvotte in serie Fourier Innctia Jb): e*, c ra 0, ln(-,t,
't).eaal&/. Fna.lia l?\ - c* stislao caidedt @ditiile hi Dii.ilrlot, ..tt r crtae (l). collom cu lo.d 16 e (2), obtitrd
,"-j\"-
.rt -- -- 1"'" - .'G) : -: sr ai I
..-l(" "*-"*0,=I t "o,*+""io-ru"l" -i J-" n{d. + n') I-.
lt^- (- t'i -: --::- sh 4:,
'e 1, 2,,,,
E c +n'
Prnr unM.e, potrtF , e (.r, E) vou arca
.., -2
"h "-JI \1 {-r)'races
-rlarrrl .
" lu.lJ d
+'r'I
inter ld
lD punctol. , : - -_ 91r : f, s @ s@ itin .]dbr &.pt dto s(-.) - S{t) - lf"+.in)/2rl €Sdilota d6 lai strs qu drai.6t vdauU,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 264/344
2. c1 sr drzlolr- ln ..rie Fou|er funLtid /(.\) - t-- i.1 in'crralul iO 2r). Si
,\1 l-l-r'': l' u-t
,'?r,,/rdlc, in a.est €2, c@lioienlii dez"oldni in s.in Fourie. (l) snrt:
la2"a-r I I | _\ l::- ^,^--\
-dr--l:r-
"li)'
.-t ilii
rr::r r I \i.rr,j t a:-,. \
-rn.,rlr
=-ra I
-l
, -\ li rlr:0.:_ r li 2-:o
.r I a:tr ID.- .\-sinr,dl --(r ,-
-\
co.,rdr. -.
' k: l,2,...
edn Fonrie. corespunzdt@r€ estc
"-,_1.._t,o-,. :-2ZJh
P.trlru ': 0 (su ,:2^-l ,nna siiei este s(0) : .s(2n) = 0' ri n€i are le egalitatea
.,,, "n ':ltne8alibl@ de nai ll'r':lr-, Sn ii
\1 I l"I lt 2\- t
. t-1
3. Si. sc.giseascd seria Fourier a functiei /(r) : I . i i intervalL l-n, rl.R.znttu/.. Deoarc.B l(r) esre o lunctie parr, vom ntosi romnlclc (4) pentru dctermirarct
Fou.ier, ATem
2art r l. llrao- .\ rd, .-
| --:d.rr ato" J,, :1" lo
- -t f ,'" ,,u.) =2"
-t -r.n$ I rn', __r,2,...
'o..l.lilpl.i D. hlcr frLdd e'i.tucL p, .luoe foiro.la ri,-n
, -r -1\1.\:"- ' '2 t /.J \:r - t,t
.,'r:r
c.r)
-r, ega'iE'en dr- ld p. in' ruJh in hi: {-:,:1.
4. Si se dezvolte funcfiile :
?") It6): sin at, dupe cosinusuri, l iiiervalul 10, n), a + 0:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 265/344
Rdot@t. a) PtelDns\^d
Dac^c-Zin+ I,
4
lurctia /{r) tu paritate l bte arll
2an l-..qrr 2
" :- \ sin,rLrL
SI presrllDem .a d + N. Atunci
2IL - cocdrl 2a I, r e.
-
rl-co\ '1i,
osdel ci
r,1r : ._(, +cosri).f; ar _ (2,r F l):
Dt:A d - 2n, atunc: ? , = 0. ",. , =::'
, l-': 0, 1, 2,,.., 9i
8,r r- irr(2^-f l)/ -
1 /-J 4rl-(:h+tf
d-.
-
i-=-- . -:-------::----:- , d:--r-0, I-
E (zrn + 1). - i4.
sior:. - rr, - -11- r rz. - rr F ---l14 -l, , . i",":." t, zi:tid' + 1, - 4hr t
se p&lLtnscste lunctirl r(r) prtu imparitale t inter.r'alL (-;,0) ri $ lolas-"rto
nri1,,. d =, re/urrr 6e - 0. pr.' - a + .*' u,- ]1 :::l:; tl-l- t)" co,o").
Daca l4l+ N, otuncj
2l2h - 1\,?._r * --::l:,-::- (t .o.d:) Fi D.;: --:-::;--;: {l - cos,i), I e
^r.;l\24 - tr - a'j r(r4--4-,
-rl.l .ojar)\' "_
":'2i-1,-:rl 'ora:l\
/tl2a- 11,-l a l-
'c t0, il.
fr1 \2h - If -o,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 266/344
,sin (2,r _ 1)r, , e p, -,1.
Drti a:2n _ 1, aiunci rji_r_0, 6r*:
.snr 2a', ' < to, :1.
Dadl a = 2,n, atunci 6 r_. -.rdffi".. : o
"*" *-;D#.Qn - tJ
4
rllh- I2 -46t
t q:sc
-dezvolrenr serie Fourier iuncf ir lk) : lo _ a in intenalul l.j, 15)..,1*,/d',. in acesr caz lotosid farmurr (6) in ca;e, : 5, n,ren
,q;1i".:,,*y,,"."r:,"",t:^=.:-,Ij^,::-fr" i"4"1 in intenarul (_,, _j si s5 ss
i..,"'",#"r'i";::;;#",:::.'i,1";i",ll:1.';"'liililij,1,"i;
i,,;'"i,,ffritirli, peniru:a) /(.,): r: b)l({):.r,; c) /r,):cR N. ^ /,", _ - ".. , ^, , ., .o.1', a. R\S: d' /(r) =sind.y,srr a.r, a e n ; d Jt,l :
"l oi. ; i'o'.s) .t\rt : cn 6x, a * o.7. Si se d€zvolte in serie Fourier funcfia /(r) : a, in intcrvalul (0, 2r).8. Si se determino clezvoltarca in serie Fourier a functiei -l(r: xr, tn jnter_
(0;2r,-1. Si se catculeze apoi suma seriei nunrc.r""f f_,1"_ ].
9. -Si segiseasci ser-ia Fouricr <le sinus_uri
a functiei/(r) : 1, h intervatut (0, ,)sc catculeze suma seriei ntmerice
)(_l)"{r:. I
I0. r.'r .c ,1. z\oftc in seri" Fourier:r) fLn.l,a /(,r.-,, , i";nr.,,:,t,i f_r. ri;l'l ll* ti" lt.t - e'. in inrervalur ( .r. /).Il.-S; sc dczvolrn jn scrie de cosinusu,i, pc intcrvalul (0, r), funcljile:nIG)- 1, , = (0. it si/{.rj
-o. , * (t, z):
b)/(r) - coi ', ,r " (0, |lsifrrr: _...,,-".(.._.J
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 267/344
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 268/344
l./3.)Ecuarii cae € i.duc ta ecuatii oDo8€ne. rie ecla1ia
,.- (t-at .l ,,,, b,. b...,.,"\ p.
t,, o)_,./.) D.ce 4 + ': - 0, .cuatia (e) e're o e.ratie onoseae.
bu".r.:.:..i o l':-^, "",..-r,.ro sor...,e 1
": b'l
+ .1- 0, a.t + b,j )- ., - 0, prir schnrhrea de 'a.iati, ri de tx.;flE
(e)
'.lfe e, LJlir (tr j , "
, .x,., r r i3t ..Fd t". _
, th.*'Jl -," r16\'n din dir-reDlliI'^,alr,
Fac'or irt?6rrnt. Ii,iLaric-/'
t
PlN, r)dt t Qlx, )d = 0.
a) Dace eslr re.lir.afi c.ndilla
at _. iQ
,t er
spun€n cA ecudlir (121 proviite dnrir o dilererliah tolatA. Sotrtia e
.,u,Jr,, t:"." l;
ecnatia (9) * r€d .e la o ea,atie
c) D&e.i+.ir0 F a=0.
1:tr+,y*lo+o,
s.himba, a d. h,n.f€
\a , bl::6) t
sist€n nni al, + ,r:r, +
(10)
(ll)
o2)
(li)
Qlr,,)d.t. ' (lr)
120)
(2 )
b) Daci corditia (11) nn este srtisldcntt, dr. existi un iact6r nrxegrant q(r,
')asdcl c6 e*pr|sE
,tl, dr "i n0drr est. \jri.rentiala rolau a unei lun.tii, arunci intesra.ea eolatiei (12)&rednccr.p.oblcma .czotvatd la pu.lrl a). Se detedina uror irtord i,regrant tn urnfioa.elc dol5 cazd,r.
. lr,( .Pt ,t,ddr _l: -'_1. r. 1',,.,2=4.. : _r(,,drr \r.,( \', \ lL,Od-.6 l: __l-r,,..a,,,i,=.q.) ri __:_: r,J LL./ l .r ) )
,t. Ectralii diftr€.1irlr lini.re de ordjbrl inrti. O €(ualic diido4iala de lorna
' t +Llr)''8k)' (lr)
dc g.adul ur,, i 1, ri t/' se lrEegtc ccurlie liaiarE. Sohtia geneoli a acesreii esre date de
(18)
(te)
sc lutue e ecraltu lni EorDouUi, Accastl ecnatie se redrcc la o ecuafi. iniare c ajltotul srbsllr 1ici
, : €-.t P(.)(lr.c+ Jc(,)"J "(.)d'd"1.
@r",,1i" Iui Berbo,.ur. o .ru, i, d- v'J,, ur i' ,. d. ro'n,r5'.
,'+ P('), : 0(r)r3; d € n\{0, 1},
z : ,t-d.
ff,)Ecuarta rur nlcc.il. O ecstie dite,Lnrirjr Jc lorna
r' + P(,)r' + Ql4t +.R14 - o
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 269/344
sc ldregte ecnati. hi Ri.ali Daci /lr) eile o elLlje p#icDtart a ectatiei (21), stxnci
I/:r\ -,::<tJrrnnsrorD; ecuatia (l isr. o dnali. lni:rri.
Teorena de .{rle'F si nricilaic. Fie ccualia {a) cn cordiFa initiali {l). Daca si4r satislicttd
a) t nn.la Jl*, r) .stc .otrr nNi in dr.i'tx rslriul (/) : | ' :. <a, lt-ro <b:ll) {uncljr /l'. r,r satist:se o.onditic Lir$nitz i/('. y\ J{', fll<t It - jti, o.i.a.€ a. fi
(', :)'), (i, r1 dir drcFirnghirl , atun{:i prcLlrrla lqi cNciry {4) ti {3) addnte o siDgu.i slDtie
. (r'.4r:,. ..r,.r., r-:.) , \\t" t. .n,it(a, fll, u "p,," y'i.I trl
Itetoda rpr.\inaiiiio. sr.rcl,,. .ral1 ci stulir r : ?{'} di t6rem I,rccedert6 este limita
iilnui dc iuxclii (arl, dat d.
nI\ /t.r. Jtl,,,-l,o n. \lhl.n t.r,
lI. Eclafii alirermli2l. il. o.iiiuul ilrii, q€rczoli'abitc id r,port c t-.loleerahil. trin n.lodr rlFtrrnrnre
8. Ecualii de oditrul htii, .czolv,bilc in €polt cu y snrt de llma
S Ii.: schimldrer de lun. ,ct : gIL ,').
a' : p(r) $i d6i t : si,, p].
9 Ecualii de or{nnil intii. raiuiile ltrraio.tctr',sirt d"torf,L z - LIJ, 1 ) Acest€ se .edtro
ia cazul precedert, da.i r i.yerszn nlul 'arnbilelo.. l)act se i. r e vmiabili depeDdeng, id yn. I,,,,*i, plr, ll -t 1,:.) * io,ma (2i).Jr,iLi:'e|e"l"i'i);d@aroc:'=,ty:,,
I .)@ e"'";" ,i raslalge. se nnnrtrc ecultia lui l-as@D6e 6@tia dif.renfiali
1 ::"{11 + lb'j, eIYt + v'. l?6)
I L Er' dtj- lui flJir:nr Jr ruirir/
| - r, +.jt,")- (ztl
3 t ra {u.li.,rF
r':rc I qlq.
.' \l,'. rr_ l.', ." J'.i,lc
": -+1p1, v: -p,t\p) + +tpt.
' t l. l.l. Probleme rezolyate
1. Sir se detcrmire supr:rfxta dc c:hnibra a unui lichid greu, trrnatcili ddc, carc sc rotestc cu viicza un3hiulari colbianti o ir jorul rxciL. ,iJ"r. .. .L ,..". ar .
ne:r/u./o, Dic C cut s.ttiunc r ruFalctci ciulite c pladnl ,Oa Asnprd oei particule de lichi(L
,1.dtxs[n',,arlrtofoc,ro.ictnntilo4elc:,4(crcnt.a$),nors(lo4(ccotdlusldoin$tio)9l
12q
(25)
l?al'.
intr-un vascilindrr. ui,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 270/344
r,riLoc. c.'o, r,r.""'.illre
1\urr- panndei ,o\ide'Le (ns. .( r.
t'.=ki':"r',"tr*T'*r:.''':"i':1"-;":""""" "
J-{{t-J:;::r:: r[ :il::]:::'+l ;':Tff
"::
,l ( e.iliiblu a li.hiilnrui sj olline prin roii@ curbei c ti jlrrt,\-i or. s. vrrin- . , rii.1
o,".",
JI ,.: , J.1 i c-
2. Si se aflc crprcsie D.atLln-rti.,i a irgii de dezintegr,are a substantelor mdio-aLrr\e.
n*r*-. LeSe de d;2nnesree rrdiLactn/n alirnrd .i"ileza
de tra,sbrntm mdi@ri./:4 la undontnt dJl /, este proportinnald .u .intjGtca de sllslanj5 €iisre 1i ta acer m6me,f- pri ursarc,
,rNe h(;) cstc nue elcn'enlulu ...ci r.ri7 etisrent. ta nnnenrrt , ,i ,(4, d,(r) este ma$ ]a,,oL-o"ir r: d, .run ,
1"-.r' )--q, _)..,., r,'-_ -)4,,-r
t *-,.".,""- dcd.nnkF.t^,1,ri^.,.,. prnin.(nr.. r"L" d,.drioi.aft aFiri c\T. a
"rr 'nari,5
^ tnt -:t c $" /".-) "0-e,s. iiite8rezc (
' , xl ll' Ll'l l, ti ,l' : -
@,./r r- 1.a"1.1- '.a; o:1}),.r, .' d, = 1T- '...1; ; ../' r.,L'.
Rtutxare. al Esle o eoalie . ya.iabil€ s.laratrite. S"oudoa,,t" oi'tir"* --=4- .=
{l F I- -4- * pcD,o'-e r '"- . Jt . ,i- . il,' , c.
b) I',arias"*'re$btorar.,-V-l rJ':dr-{- -.i= '61 -O*"-9 .JI +r: '
".-r',J-r+*rlr"1"1.rrilli.1, 'rJn t- | t^t.t j4y1,".
Prin ndnare. obl:De elntia
4, Si .e Jelern ine iolulii:. I lr rr ul;r. i I ,, r rrri ( -
verificind ccndiliile initale rrc.i,,ale :
a) (1 + €")r3': e", rf0) - 1; b) (l +.],) -F rr.l':,durw,.. .)\Putrtld t'- dyldr :i s"r^ri' u.", t.:'-r. , U1i,"*
1ra2- -I1-6, oo J1 =,'(r + *) + c.
-i- *, (Jr+ ,' ,.r, - r.
",'/i-r1a,.
dilerenliale urmlioar e,
o J{l):0.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 271/344
Fi|hd,:0 ri t: I in sol[fia geDealt,
or^rrrrre este i-:J - 511 ."1.
dtrti.cm I -rn 1 + c de rtrdd c-2
'n,"- 1,.{t T y?r -_ro r,+rnc, de.i)Pro(d rl i.il--. obli'rc'nI tf ,
' fi +J: c.
r"*'.a "ondifhinitial;, a?en l:c
tielDtic
la.tictlarn€ste:
.Jt
t ,': t.
s. Si se integrcze ecuatiile difcrentiale omogene:
a),r':ri+r, r'(l):0; b),r'd,t+ QJxt ;c :0.
Razat"o,e, a) t:ora:ind mbstih'th 7 : t/. ,/ : * +, ', oblincn succesi?:
r..,... l.na, j,r_,. J'' =r.r,r+c 4i-'" - ,".',/ 2 .:r'
l'utrin.l condith iuitialt, ollinotr C - o $i <rlia particul.ri certrt5 esteXr - ztt ln l, l.
rl Pr.c".rd,' d1 l,k i .lrct ), -: . ol4in* x r (:/; - ll{8, _ n) :0 4rJ;-r -- 1,,.,,=9 -112",', - I'J,, - - -LJr.rnl'il.Farl =-ln:r +C, l":r -l:1"':c 2dtt Lr,
6. Sl se integtcze ccutfiilc difcrcrlialc rcJrrctibile la ccuatii omogene :
a.) z,+ y:(4o- yJ:': $1 1.r-' -'iy ''' 3)y'+1t-i -1-o:c) (3r+ 3, - I) drl- (x +,r + l)d/: 0
lttralu/t. Et:\4li\tc nnt dc ntur (91
n) Erlc o ec dtic o rortcn6. ci sul^titufi i : n, ol4ilcm
Itrrj:----: - r Clr i, (r -:.,t. -","
-.,t,
,.r s..l] -]l ={^/0. s,\,c,n,,r .:*-1r- \-n,7,-tt-7-o are sr-i,'0=
r.
t/ -.r'" : :11 ,r -unriu,r.,in.t\ -1 ) -1r-3r-., ). \r''qr.,rr' . -. I -r, r .
",'nn,'.t
'..,,,
*iJ. se I'Ee schnnb'ren dc lurctie - tr.(,), c@ ce condtrce I. elulia 8cn{nl, (,- l)r(,+ l)rr'=c
sar (, --,),{, +,) = c stu (r -: + t)zItr +' - tl : C.
s ll ll-0. Ere.run, shi,nLrrea de r'uitip r-l-tr{r), dqttel lt, rl
r 1.. r,. t:..rrlic.,r1r.r ru,, (n, - l:dr t-{1 i r)ldn-d,) -n *"tt
I ----;id'-
n + 2r l 1l: -2'+ C su 3g+1+ln(*+, - 1) - C.
@t..
'',"t*z...u,triile cu di(.lcntiaii totall:
@[.' ,.' ]J''. (e+z'"r r')a,v -o . r -t '1 - ti('i$ 2,: y Ltt - 2 ys,tr +- .,j'z dy - 6lilr d/ - 0.,"(l ) :#,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 272/344
o,,*-" a) A?en p - r, + 2r),: + 1"i
p : ,, + 2."' i j, ,"{i"r"}i
iq-g -,,r-*, -0. cddi;*,,r,""r.
,.,ur-j,"-;'oo'-''; ^- * -i-
"" ,,-J;{,-,:,i.,l)u,,\"[,., ,,, +J" t,"n ,,r,, ,",J,."
_ r._ *,"'- I r'P";1 ,ri- 1 ';';J
".,.ur..l,. i r,.,ia *,-.-r, ".,- ':i', I J1l 1"-r, . 1,.,,, -q.-'
b, in P - ^t - .rt i e : ,' - 6t , nu1.1"1
9-L:2,- 6r"-- .,, - u " - o. p.o u.,,.,e. armn 'r '.r
','J'=
\'.:""'-a3la,- \'1*-6't:]dt-uatl-,';,i...
', z,nt,"-
"Y- ' Y" - bfu. - 2'"rit'
solut'a ts4da]a esct'J 2r')r-c, Drnconditiainilarn*zcltrc-oiidcclsoturiaparli.ntua.-,i,fr *b ,,] _ r,,, : r.
a- ocr,,.."i'.1 D'i rr,rji un {acror;nresrani. sa:. jnr,s.(/.-) ,,cll,, - J.u\J ,l.r + (,,o".r.- ),sin_rtdJ,. 0lt) { - lr',llJ,d\-r,lBvd.l, 0;
' 'r'.'.t,'')
r d\
-0: d) (1 F
J)d.r r (.r ,t;..
u.nua*-.
" + - * - -," - o.osl +.6, -?sr/) : --(rcosr, _r sjr:y),a\ncr.r
-+(+-+l- I'i
sr ,em'rr ezrr reralid ,,r,. .. ."*. r^-.rur inrearanr il.n.rie
trJrui dp ,, A*d,-ll-,1,, *rr^t.a trl,l::,r it.cj zl c,. t,.n,t,:m..Eti€ rn,t;. u
,r * r ri obtileh eDatia cn dUeFntja]' rolaje
6'(, qqr r., cosr)& j r(: . ( _ , s,u?) ,rr . o.
rt,. y, : \' ",p;.," I 1.""*y"1
ar p l, .,(, co / - , "in ir d/ -
- e,(, Flr - sjn]' + ? cosrrJ _ e".l,o siDft - sin,h +:rn c.s:rnl,
g"""."U ..t" ..1r"inl - si,1 + ycds, - c
o';-;- -crsr- 3#"o.)- -,rsr(r rr,,sinq, rnfcr " jl+ _:,,1
- *crAr, 5e eulr d*i tacrorot ilt-BraD. Ij,.tie nudJi ac y. n.,.1; F{n dFGnniud &e$€ste, dup6 rol,at'ja (16),
;--.ttldt, ou l Je | : -tn j si,r, t, <te uq.rr s*
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 273/344
irf,Jtild " ua:iJ obtinem @otfiz c ditPreDhd: total'sh?
f-L p :*l a. - . '91- av - o
ts: ' i {tr'/-
' "= ;("-",- 3,")d/ -
\'. fi;'-
i;* "
-t;;'3t:L rolutia eenerali, esre -i- +:5 : c
I'i".yc) se €ntt {actor int sdnt it folrf,n(''l):Pi'?) i4dultild duat4 cupl"l' obfr'em
nr"'1i"1 a' 1 r 1n111"'1 - "lit, - 0 P€'tr o acasta 5;. fie o ecuatie cu diierenliali t otals te
: t+(,r,)itsj - 1)l :-r .Ia-1'Y
pi'v11, , d..i lzry - r)v. + r* lr't - ,) -,' -1 d,. dr
: aJ,\L + ttr2tr , -"t|t'-ir:0'
Aradar, ln p I = 1n I , ;1, a : "- s'u P : t 'rt r' Deci aualn cd direreDti4u torat4 a'o rort'nu.*1,-- lay:o,t
t'
"r' rr - \"r'"a,+.i1.{, - 1} a' - "r - r. rr r
SohlE sderale este '/ - tn l, | - c
d) So arl- ut l-clor inlcqdl de Iord r,( , /r 'FiF J' 5" nottm L(r' )rl ir tr'
lnn. ,ind ecuFd <t,'t c .-(i, v) -P(/(r' t)) ob1itr d t'l {- /r'(' l- ,,rJ+u-rl 4t o'
Pent.u e aceastt ecualie se tie cu diiertntiaPt tobl,, trcbDie ca
)tl' 2 ' Lt\|t,,)l--:
Ecuaba cu djie.dliat6 tobir *"ffi
a' + frd/ : o- Prn dn e'
"''', - ,"#" \' #"' 'r"'/+17p-'g-: -fr""/"X'?I*"te-)
ri sotuta aeneralr *tu r"./FTl;+"-ts
a - c- EsideDt @"at; Iiitrd oqos'li Putd
tratata prid ;etoda cocpunzttdrc.
9. Se se inteJreze ecxatiile diterenliale liniare :
\2at tf'- f .. -{,r b) Y' l-;:- -zx lz' ilo\
.) ' + 2,r : t', ytoi;:11 '
x'rot,a'r. a) Ecuata s€\sc@ slb forro nonmit y' - J' - ' l DupA rormdt (18)'
, -"
t+.'" (" - 5 "-5i *,) - "'"''
(6 - 1.-r','r'| i,) -,1c - rn r, rr.
1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 274/344
, - "-f*,""1" * 5,.*,,J-'LJ :=[" *
,r,+, ?i *).
r : -----T (c + {r - t,l.
Dil colditia inifiara, deducen c - 2, .strel cir: ri, - 2. + ajll + l)tx - 1):1.
() J=e-1crJrrerdr)-crrl.'i,?_t).Dir,c,nd.rdinitierir.,ut,lc:e/2.s.Iu,pa" c.rrrr c;r raLi "' " I - 1"t .' 1 ,, - i7e
llr. S', sL jnrcS clf, r'cualiilc drffl.o iJlc Bc,nou::i .
ar 3' , 1u - -_1. . r,, , - y.. "Jj:.1 i,' , .\ _ ,".".,\.) __ t.'1"
-R.oludrd. a) ln acesl q2 d- -2;i sulsritufq (2Ol 6re,:Jx_ Dcci/-.-,1^,ir,: )"-n:,,.
rllcuird ,q muprip, ot.:u-m d ltia l'Jrri .r' r j j"..,,,,".,.
,,r,.,".u,. '
. _ "'i'1"{..
5 o:_J+*:j : ri1.. ;,1,
.) r' +; - -,f, 6 - 2 +' - T1 * r ; r-t Fi r, : _z 2" Ectrafia tralsrornat esle
Iri a'p {lu,i- qib, rr, /(r)4C"+ r:. t_)4 i sntDrif, 6-n.rqh a etr:liej e.re .,
- t( - I r'r r. Dio c-Ddi id irir€ta d,,i.1fi C - d. asr, r c.i sotr:.n rddcuja,{ cllra ,1 esr^J _
11. :" s" irreBI,.e e"'rr i:le (iil,.rellliatc xle tui Ric.ari:
at ) -'?- rt r. J1{,{r- ^: i,) l,'l -.,- sio.r l{,..",'r -_1 ,
t(o) - -2.
.ste t' -. 2zr - L Sotufia .cesrei ccdxlii hri,re este;(,) : e,,(c + J e*' dr). beci slutia generxHs @atr - rcJre.," r'rc .Je idr),.
b) substtufta , - -L +.-' corduce r. @ at4 rn, are z. - 2ts,., - n\,- solutia €.16
rslr . i e.F, aualii dlernlidre uniarc 6lf:(t ,*; + DFci sh.rk lrodrle a €cuarFi
I 1..-3,, -
;
.f
:a _ *.;. Dj colditia iDiti,l.i F uru
"rc o
,, t..i rtulia EEri.u]a.,
b) Dupr lornli.a (t8), obtiftm
at4 este / * -j-.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 275/344
12. S5 sn aflc cea dr'a rr-ia aprorinatie p"r^Lru s^lutia c'uati'i ditprentiale
) .- + r". in dr.ptun3l,iul , < 1 ,, s '' cu mndilir irriliali rrot - 0'
R.zalLdt.- Dea;Me flt' tJ :': +,' cstb a Polinom ln ' 9i / 6ndif e teoremei de €iistentl
ri ,,;.iiate sirt ndep n;te. ;;ci exist o singurd c'rb' integrala a ec"ntic' dil'renli'lc & trec prm
o';..Dcdrr*lfr,t)- Ilt i't-- re i2 ' t ' r' r:< rlr-tl P'nr'u'l<-r,
r i r-i, rez'tu 'i ln r_l,lir p aa''n /<- t DFo'iae ttlt r)l< "- rl'ttj a M--
'' r, , i : -i. {-l , 1l : I e'r" urnrnrc eristenla ii unicitatea etstici ecDtiei este asisunt'' ll 1, 2
r,nhru"rurl--L l n,'", '.,"a. p"oxim irror ' cc:s'r' ^'o n"'' ' et-l rl' | 2 2l
c6 .r@R{ <lo 0Prdsim:lia c'b )'' -),")l<rtt('i;;l'-
rczulrl cr pcn"1 e*crc4ti .o1sido$t oronro crte
r,(.r -,, 1, <: r. i={}.'. r.r<}
r).-.. a'crnEximrpcrnno'r'cmi,trocu*dpc){rrcu.v,' ** r1'r -""14ru$ }"oro
13. St se integrcze ccuatia (l 'f ) ) d, : (y'f+Tsin y - irf) dr'
/t".ruta se obsdTt ct e.uolit cate liniad ln t 9l d'' Schimuid rolul lui' 6u
'$ricF ecuall'
lLr nrnclia , € v.ri.bilt dePcndent
sin /'., + rr J r.,1"
-\i,'(". r .'", .[#',,.].\- iJl :t' 'J
Lt-1 ,--::G - c.')l ."pre:intr solu ir lenerrlA a ecueli'i'
14. SA se intcgreze ecuatiile :
I ,,,.. ., , --{t-4.t t-)r2+2y'3ib) t--'xs -r" ,. ,.
Rdotaa,.. t) taotind : P(t), din eoutie rczDlti ct | -"
+ 211' Dditltd e@sta euslo
ei ti.inri @mt de notara rsctli, obtilen , : (2, + 61'g1 94 *' 6n - p 1 epl ap pii"",drc'
ol,Fdm r -:y' ; lp't cri r -p: +2Pt sou'ia e're oolnrt5 rib lorm6 Pr@marict^-
br i.urlia este ilc forna (2rJ Faclld subsriLJlra t' 'PIt) oblnemv--tf +-?1
^:t_n - j-.o'" [, * ' .r]11 .iu (r,r {r;('dp -r,h) -0.L2 rr /(L
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 276/344
' ..tt -p r. -0, atunli+-?,r.c, si sruriz scnFarj csh
"_1.,,1.,
t |) | lp --o or,rin"m sruiia sidsrlari: -(_{r),h, y -lz4k. 2.irp,.2L,
'.
'-,le foha dari ra plocrur 9, Norrm dcci y,= p("), r+f.t .l r: yt.1p', _ 2tr.,' . t - .r;'". ,r.
'nEpof, a v $i linind s dr I
, ." -"r.,."\ir.* *;;'
-' obline@ +'r'da diraeoli'u
bJt I d'
fr") 0" :;' ' 4 ut'zt'' t|" cr * , ' J;, J,- - '.' -.r. inlcuhd p.u ntntia.e crprin,l .cur{iJ. obrjn-T
' : Un, - 2rJc[1r,l2.JE _ rf: su (, - c).: {,?15. S,-L sc intcsrcze ecualiite <tifercnliate:
,,'? I l,: b) rr _,lr" : " I
l: 7J; c) t'\r'+J',1'.,,..r ,, ,
J|.rz./?.;trd4. rcuaine a) ,i b) sint de tip rjsratrse, iar Jmlinc c) ,i d) de tip claraur.n) N.iiDd r- : r'(,), rcz,ra t : xit + lt_ Dcri.,iad i, Ep,rr e , obtin€u
' t2 z\pJ 4\ , p ptLL:zp,r ,p, :b | 2 , - ,,d' dp_ ,tp p_t' r_p
-C t i Y' -r1?-rJ. tp_lf
'.ti /,s) ,p-?t-p=?t Lt db '
d,,+2Pl-7,.F17D-0. sot, 'h s"neral: esrj
: ct -t C2, iar sorutia sitrgdad 6r€ * : _2,p, y: ,p __ y: _ L-
a1 y - 71'1= 1: "p 1J4
r7-F,p.o r[, r_4_l 14., j3 l, ._-L]- o.| ,Jt ip'td. J. \ ,l;- I 'I
',,,6.ner-tt
-ey
-,c+
r/r l|ti4r sortrtia
siosda,E 6te r = _ - ?: .
r Jr . e ,
sru rt + vr: 1
\ I /'
l0 Fi^ I rrr - f$t*"t', r. Si se formcze ecua[ia diirr, nlial] liniJr; de
si se deduci dezvoltarea in s.rie dc tJr-ri ., func-rJ.. ij,or x luncli.i ?(.r) _. (aresin rp,
^,. ",1,,j l,ji:.: 1 l:jemin:ao rerarie hrF ruDc,je g d.ridia * o*.,^"1.u/r _-,,_
'rqn1. p.'r, d..,?rr. obli]:d
r,Jil " '' -3-=-|' ''1 J1=3- -i r.-F-'(t -")Y;-')t-t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 277/344
D@i ,r(,) este elljie Particurart petrttu e@fa (r - 's)/ - 'r: t cu conili1ia i4tialt'Jr(o) : 0'
Crutdm solufia acestci eralii de ro@ t(r) : > a/' t'r@dod i' ecudfie' s obtin'
a + > I('+ Uz.+r - 'r4*,1": 1-
P:i urnee, tezdti ,1: l, (' + i)zrr1 : ta'-1. t > l Deer*e
2 4 6. . .2k )jt thr:: 5L ddi2n + l)
",,-,_ -.o', :$ z 'i(h\' **t.,l |
-'/J l:a + 1]l
",+' : f .:.i_. p.e +l
Murlrnea de mnYdgcDl-; 3 ac€stci serii de pute'i 6tc ( 1 l) IDteg'ind o Pe irlte"alrl 10' ')'cu
, c (- l, ,r. ob'rl.n'
' -r ' ra{ sinr)" ''} J1 ll1'""
''' " = 1- "'J llh + 2)1
12.1.2. Probleme proFlse sple rezolvare
17. SA sc determinc legea de raiaiie a presiunii. atmosfeltce cu in:illimca
18. Sn se formez,e ecuatiile diferenJtule ile Jam;li;lor de curbc:,a * ,,t
arJ -43- ''sin r: l,) l-- Csin2' I srntr'; cl f ---c1
+r
19. Sn se cletelmine crrJba carc trece prin Frnctul lr(1 ] stiin" c; l^"ta
tangentei Ia cu1.}l in pllllctul culent cste de dori oti mai mare d€ctt panta lazer
vecioarc a punctllui dc em€entn' ,I20. Si se integreze urmitoarele ccualii diferenliale cu variabile sc a.xbilc i
o fr + fr: o; b) zyr'- eil. .ttt)- | |
c) (1 f :r') dr: Ji-- rr .'r; d) | - J-xv. g{oJ: r;-.j is,.in:;:a' : .os'?tc{s-1 dv 0;f)n-v'-v J':
B) 3e't6Jdr {l e') sec'el Jt 0;L),r"sint Jlnl J'l -J-e:
i\ (x),-l-,jX,(.+ ('2j y)d-r:0. y(0):1; i) Jr'sin2'+ srn2.1== 0 j
r1 "y'.*1,-p "i"y:0j 1) (:r': + 'J+)&+
(x2- vx2ldv- 0'
21; Sb. se integr€ze l1rmetoardi ecuatfi difereB.tiale omogene:
a) r'--{'ibl y'-l F ct4l: c)J'- A t 1 d) , r 'J )Jr dx - 'r'z dt - 0:r-t
e\ x '- y L,/jn----ii2; tl 2z)r' - a'+3.v"t giz'-?y'-^4x -)'"v(t)-l'tr lir,--t.r iy- zxydx, t4ot-tii)zxvdr l(r2 )P) dv -0 j vil) - r;
i) 2x3d),:(y3+a29,Lt;x1 xy'- Y: J,z +f:lt i I _ 2e,/,J dr + 2€,/,{t '-ldJ,: o, J{o) .- I.
t J,' 302
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 278/344
"."iilild#:-*^
ecuafiile dircrcnJialb urm;toare, reducindu-le mai lntli la
, '- -:-l t,r' 41 j., , ...-1 4v-1..
.r_tyT1l
': r t" ', ,.. :' "i::, ,'-(\+v-li: ' 2t-t+4r+2t+t2\+1r+t'
; J,'-- l----- - |l' ,2. .t..'.Z L.x-Il-0.::. sr'.i iii;,.)^ L"u, ,ir Lrr dir r,n .,ri loL"l::J .:/o 11.1. .0,.0,.ul
1') (t c,, - ,tr) d.y + ({ ctt -- z.r ) djr - 0 ;
,.. r2r-J-,)d." tZ -, rd,. 0,'J{t) -lid) (yz - 3r\ dx + ztt d * 0, J](0) : I ;
,) (2Jn-a,y:.-.r,J,t.-.."j _4.i,,Jj . u
t). INN + r, -F 2x) d.,t + zft) l+' : O :
8) (xs -- 3rj,s -F 2) dx - (:,.t}y"- J,,) d. * O j
t,1 31.1--1,\3--.lj,,.lv -{) :
i I.r -- c, .) ck -L c , it - rldJ : O, y 0, -= 2.I rl'24. DJtJunin:rd mai luril uu ftcror inrejr;lur, s;i se inrcgreze ecurliilc dife-
'renliRle i
:L/ 2.r'vcl.r-- cl]:0; Lr (l - rry Jl -l I ( -xtd :O:c) (t'g.-3i ) dr-Fz)t Ay:oi cl) - (cos , sin y -F tg? r) d.r + sin r cos -y dy: O;e) ($zy + ys+zx )d,i)- (xja +r)(t+2t)d - O: f) (x,-5t+6)dy+
+ (jxr - 8r + 13) dr: 0; C) (rr + y'+ z.tl d:t + z dr - O:h) J,(l + r]) dv*rd9:a; i) zyrdn+ (3y *xr + 3) dy-0;Jr 1dr+(/3*l.rx)dJ,:0r \) r,y + )i J.v - zxy dt: o.
as,.C{lr1ind un faotor integrant dc {orma ra{t, y} :[t(w(x,1)), si. se integrezec, r: iilc dii. renlial^ urm.rua,c:
a) (t + r,y,) dr + (x I x,y]) dy: O, 4\, tt: xy .
h) (xtti + ll t+ (x3)), - r)dy-0, (\,.y): r :.) (y, -- x, + 2q,) dr + (r, - r, - 2rt) dJ : 0, w(x, y) : xz :, yz ;(ll 2(3 - 3rrl - )'1 - yrJ J' 2j .- jyy, F y,
- rJ, dy _ 0,
'//Y. J) Y _',.
26. si . i'rr<"rezr urm ,'oaroi ":u,f:: Ll hreirlialc dc orJi11'it in :i ]iniare:
xtJ- xi b) v'nir-\3i trJ:Jr -zy-y+3)dJ,:01.1) ,'++,- rr: 1 +,' v(o):o;e)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 279/344
f) y'- j: -r', J'n:2, s:) ()")v'+24':a'
)'(0)-3:h) xy' - t: -]Jtx, x> 0; y(l): I | 1) J'+ )):2e'; j) l'+ 3l'-
k) l"cosr4ysinr: t: r) r'-F-Y:a.
27. Si se integrezc urmitoatele ecuatii dilerenliate Bcnoulli :
o) y', t - -2r1,, J{r) - 1 ; \).f.xzy'
-4t:y : y"'
)(tl:t;
' ,"Ja" oi)|Yr-) -.'..r)rdL Ff" ;.-r.e) 3rd1 :1(r-f r sin r - 313 sin ')
A' ; D G\3 + ' )r' - 1)
ni u -av- "-:ht . l 2t 2xJ7': i).Y-lt -l: Far3,'sr u2r-
28. Sd se irtcgreze ecLrafiile diferenliale Riccati :
a) '- rt - ae -t t, t,(r') -,t 61 1'-J j"'--1:o;.,',1,1 :
c) y'-r'f ytgr--]-:0, J,t(t): t3:';
at t' : i t - | t - j, J") : + : c) v' )- 1c - Z 1 4- 3 - o','o"" i'
I.
f) ( r + r )y' * 4x )'e - ztl4tt -f 3)/ - {.f (l -i rl}i : 0, )'(*) :
29. Clutlnd solufii particularc de lorma indicutii, si se intcgrozc
ccudtji difercntiale:
a) r'+ , -i il-y43.-e. y,1r1-- 1;
b) (l -l- to)Jr' - y'l - t .t - 2:c - 0, Jtt( \ : ar",
c) 1' - xyt I2x1 - ts - 1 :0, ylr): at F
rt\ L + _i v1 - - r. . 0. 1,{r) =- dr3.
30. Sir se aflc cea de-ll treir aproxirnalie pentru solutia ccualiei difcrrnli'rle
y' ::t ,(0):
I, pcntru l-v i 31; l1- I i < I.
31. Si sc integreze ec 1aiiile Ctairaut :
a) :'ty'+^)'s r) y:'y'+*;c\ y:' ' alt+ '")|
d) y:tt'+ffi;.) -v:r'y'+cos jr'.; t) )'-xJ'+4)rlt- ')'
Jl. Si se integreze F.ualiile Latrange:.
a) 1,-(r +')r+yr;
b)Yy- ry'-y'";,1
ay y: --; : L) t - z:tJ' - ,'r' q-v
*ItY'l
b:
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 280/344
33, S[ sc integreze ecuatiiie di{erentiale ]
,, ,_ jr,,,t,.r: I 1.',): b).t- IIJ ,";,) r \J,12(v;JJ
d) r: siir y'* rn y' : e) y: {a'+ J'z)i4; I) r:tn(v'z+ y' ) tnzJ '
34. Aplicinit mctoda seriilor dc putcri, si se iltegreze €cuafiile diferenlioie:
a) ,':rl]+t, f(0): l; b) 1'::---,'', r'P): -2:t j'- tJ r.r - l. .(l) -' : d') y' I v c' Jr(u) I
35. S:1 se integreze ecualiile diferenliale:
", l' .,o.-Lla" +.,.os/-dJ - o; L) l'-I+ts':' t ,tc. "
t'- -ij1-r'l.ly {r; d).u'g(y i I)d + (,r- I){f l) Llt -o' It
"t y'-[L .L) I . rj I) 2(y+z)J.Lr -l.t+ y- l)"IJ,'- 0;" t rl'
g) .y'(.v { siny):1ih) }'- a (l +Int *lni); i) J'J"* }''* cosz;
j) y'(.r cos J, + asin2y) :1 k\ tt(q2+ l)df -dt:0;l) (3x, 4- 2r : y\ dx + (r2 - 2rr - 3r\ nt:0:nr) tg;v 1'- 1: a; d) tdy - y,l ,t: ytdx; o) y: J'-F }''t;o, r : .lr'-F 3-: cl) y - " sfu y'.
v-
36, Si se inte$cze priD metoda seriilor dc puteri i
a) r-r'+ (r - l)'?; b) tr2t'+(t- t)t+ l:0;c) (l-})J'-],r(0):I37. tirnctir v - tr.y cste soiutic it ccuatiei difcreDtialc l' : I + JI Si-' se
calcLrlcz.. IoiosiiJ rneioda scrici Trllor. primii rinci coeficierrli ncnuli ai cl(z\ol-
trrii functici tsx dupi i'utelilc lui Y in c in;Ltatcr orrgrnrr'
12.2. Dcuatii diteren{iale dc ordin supeiiorrezolvabilc Prin cuadraturi
t. i" no."rt" ccnttic dilerelii:lA itc ordinul ' o euatie dc lornn
Fll' t, t', " ' tl'\ : o
cu F dat 9i <lelinit intr_ut dooeni did Ra:.
Probtema hi Caochy pcnh-u €coaia dil@nlnL (l) de o.diul t, ins@Bnl
liei ei, 1= s('), €re vsjijc:' corditidc iiifial.
l,t) - t.. |(zo) : t, ..., r('-t\('J : ta' Eo e 14 bl
2. Dctralii diferentiale dc forD3 l"):/(i),'>
1. Se dcte'minl solr4io
sucocsive. r-. o actlol dc { a1i. se r.duc€ ti enati dc riPul
(r)
(2)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 281/344
Ddci se cundste o reldeatare parad.r.ici a o.bei t"(,,, ,.) ::0, de td.m , - e(r), , - ,l(r),rc,1, Bl. und-9. U rio'srlt coDbdue,ri n.isnr,'lin Suqdrnccortiei (J) re ooFdp subJortupdrr-
r: q(,j; dyc-r):rG) dr: +(t)?'(tl dt +,t"1) It) +t t(r, cr), .._, y(t) - hr(|, c\,
3, Ecuatii rlif€renrialF d. rorbt
c"). (1)
Fb,&- ,
/r):0. (51
Dac6 se cun@ite .ep.€zcnbrea rbdhctrioi a ctr.rEia(r. r) : 0, arunci sotutia senc.at so detd-.bine snb lornra paranctrica
":
\. L dt + c t r,*1) : ?(1) j,rr.'.,' - q4 a, | 99 1 - a t - rtn-2) 14 =
: lt'l "*.,, .... r :
\r'd' + c,.
4. Ecualit tlitercnflale d. forea
DocI Fe cunorlte o rep.czentarc
.brr-r, ,G) - 0_ (7)
pard'netrici pent.u curDa rt(a r) - 0, atulct ,('{) a 9(r)
#- # rca,rtii t ('r)'= 29(r)e'0)d,+
ci.
Pt\u se ,cd(e rd 6zur 3.
,.)cuatli dlferenliBlc de ldoe
_E(r, r,Gr, .. . ,r,) :0.
/r,(,) : ,(,).
Pd schinbared de rurofr.
60 utJlino ecuatia F(y, t, {, ,.., ,1'{l : 0, de ord'nut ' - ,.
'\t) Ecuatiih dir$ctrtiale de ror@
. r(t', ", -.., l^\ * o
"e iotcA@rE ditr.t ),/ q l' ti lulnl , drept mriabilt iddep.ndenrt,
\1)Ecuatille direr€Dflalc de rom.
' FU' i" r-' '--' ,'") - 0:
$ Etogr.ati rotl4d ,,' - , ti rllqi f d.ept f{nctie ti , @ €dabili iDd€ped€o -
8. Erualtl dir.lcqlial. oDoA.tre tn r, r,, -.., ),ri'
. F(\ , t, ..., l4) :0,
odirului cu o laitate d&i. puncm
44: L -" 7 - "l<ta',
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 282/344
12.2.1. Probleme rezolvate
t. s; i6 inrcRre,?c p.ur i;le direrenliale:
J) r"-. ) -."in:r: s, 1 '. t.-Ijll.r'(o)-+ y'(0)- 0. )"(0).-+:' It L2): - 1 -
t.) x+Jr"-e/ 0.)\-T-ola ".
-J
r'r's-.- d dole o" sureir ti ol4inem
lc', J:'--srri Clr+ C:'6
I ) Pro(cd nd .imi ', d r r,ri"J s@ ct
u 18 - -- iL - - 151, a 21' - 24( l 2rr'{r + 2l' (1 + 2)5
,,,= 6lt + 2) " + 6A + 2t- - c1, 1. : -3F +2)-'-2lr +2)-'+ q"+ c''
1: il'+2r1 + l*+2)'+ jcf" ac"71s"
Din colditiile iniliaie obtiftn C\ : 0, Ct : I' Ci : 5, 6ficl cj.
)1.) 5{' r2) '41'1zi*;'+.r.c) Notjritr/": r, a"em reprdelfa@ padmefuicn t - e' -
"-: t Deoar*e,-: t' reznlti
, , _ u., -, c.. oo., 6, : l_ _L,, _ 1, _ r1u, .r'*td.-t"t l)d ' d(:,'--,-Ut. | /
+ c1l(er - 1) d/ ti de.i r : et - r,
I
",:,,[:' i)..{-;,rt+q}-.rc-.'t c,.
2. Si se irtcgreze
.rt'- N-t'ld F
a) "' : y"': b) ," - -.t-' vlz): t r'l2l: 1 ; c) v"" +)r"": 1'
Fr:,rua''. r) Pur'ld"
-, oblinPnr rcpFzdtrrd r" - 1 y'"- -lt Deor'" e dv = " d'
r dJ -Lr re).lG a,- -"'ar '' : I ' I c,. Apoi dv':t"d:: -/rrlr ionlia r'-
- -hr , + Cr.
p-'.*" ar - r' a', *,,rt, d, : -(-lni +:c.) + dr F d*i, - -l 0' h l - clr) dt + cr'
rstlel c,\\tt * t.'t 1 cr, lltl: --L'"--l r&r l"
b) Notlnd ,, : ,, ftzrlta cr. t' : -t-. asd€t'-t
dy' : -t{ & i dt : lv'd' D€ci <L *
- . c dr, - il, de undd t/ ibl': -f_3 dr.^poi
ly'f :'t
+ ct Din conditiile idFare readu'
1,. I Cr. C'-rr ir d"('y -/ '. P'io urme dr:r tdrsudr _r jr,d ulJcr:-r(t'
Din coldinir" i^irr'e pzrl," 2 : -l a c. $ ." 1. o*i -tF. *'.2
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 283/344
c) Curba de ecratie,:+23: I are rcPrezedtarea -.osf,,:sint Deci /"':cosrsilt:lint ii ilt :t"dr, d€ci cG r dr : cG r rlr si , : t + C* tPq dY' : t d,,.l ':sintdt,r/'E ...cor , + c?. Dea^t.c. I1t: t'at, rczDlti .lJ: {-cdrt + Cs)dt *
z : t + q,, - -sitr+ c.r + cs.
3. Si se integrcze ecuatiile diferortialc:
^)r" - 2r' cts.v : snr3 -' ; i.,) :1." {l +t'J - ly'y"' : o.
nsolual', a) Punniil l.' :.ir), ol{i'Etu o €cEtie direrenii,l, lini.r, t'- 2t clr t - si.3 r.culu|dlL -)-..r' rr.'71q 41 . ,i"..'-l i''4 1
b) Notim rlrJ :'irl ri obtinco ,-(l + t') - 3r(t'F:0- Dac6 .cun notrm p' : ,{r)
.lr iDr?.rir - ..,. ?_ 5' i.cr' --::Lnf, de unde l"l:i-. nl-lJ lln', d4
) ti, 2
,:(i+p ),/.cr, 4:qt161,r,c,, lt + j4-.t'di:crd', ia. sia (arcts ) =cl,+c:. Decij
,,-r:tg{amsrr(c/+ce)). 'otoiirdrclafad}:r'dr'obFneddr'-P.k:Zlt+f\t"J?,
deL,.r",-- .1 ,"1 'n1, ,"si,-|
sin(ircrgp)-9.' cr' (l.4. Si se intcgrezc ecuatiile :
") ; ',r''l,.rto) -0. s' 0il-Ji:t'\ y"-z))
a,n',ol at'. a) Noti.Dt'-tti :t ,r- Ditr rcla{ir d}':.v iL' rcalr' dr: --------: 5r
Lr" | '-j-I I r c,. .\poi. din,ehlir d/:r'dr, rzurr d, - -iiP", "rr't .a"' l?-rl r-P"
,.=--Liorr-rgr rc,ei
'-
r'"l'r lF., li-tl
Din condliire tuiFrre * obtsne ?: rvE orc impricE'(t: J']|:o',(1: J1): o""u't
., c, : -h (r + J4, c, : o. DEi $ruFa ciutarl 6te
. =- Lrrr-",r,,: tr"lt t tI r r"(r+J;)) lt.tl
b) Noriin r" : ?(r) asti€l c5 1r' : ?'t. Ecn li^ denaa
p : zrp,.a."oa.
at 2r d , 46i p - ' L '. sL p - o'dv
D. a:ci oJLitrm 9-"+ rc,,-l-"*re'+::+.r' pcnr'uc1>0s:=--] - '"1'-i-t'- -' Jr ' Jc' Vq 1 -LL l)-J-crL
-r-.,, i'en, r cr<0. DaLi cr:o obfjntu t(r)- '
o""" '-o rr n /- c -
722.2 I:tobler're proDusc sple rezolt'are
' 5. Si se integreze ecuatiile diferertialc:
rr,-l;bJl'--?f'.;.) 1,"'
-ln.r, r -i l.)rl)-)'l -i' \lr-0JLr r 11-
11 u ' - LJIJ: c) y" - -{t I- rs3 ), y(0) - 0. /'(0) - 0.' - rnlJ
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 284/344
..
e)
s)
8.
a)
d)
9.
a)
Si se integreze ecuatiile di{ercntiale :
":l- .ia-it',br y" -./rff; cr 1 -1;"'
[-lt- r ; r, y'tt - l) 11 - aY"'' r ') "t t )"y" t rl;j -'1zr
\" s integraz. c.Ur iiLc JifrnnllJle:
li,')' ltJ :brnl
';rt,' 'l':0 rtor-- 0 y\01 --l'
" -rr"'+ (f"')3:0i d) xrta - 3\r"' - 4)'N : 0 :
1 + (r,), " zj1',,l(1):_y'(D :1: f) t)" +r":t".'r(0) -J,'(0):1tx1,":1', ylo): y'\o) -oII\) xv":Jt +Oy' Jr(l):0' v(e'): l '
j., : irt.rrc,/^ .LJliIl" 'lil rcnlif,le:
I rL , 2\ t.J l" - tit" ;:' -0:./ J .,l -.tt)';'- v
h| : t- (t - 1), )(2) :2, '(2) : -t : e) )'1" + ": l l(0) : v'(0) : 1'
S:-i se jiltegreze ccualiile omogene 1n ' y" t" i
ry " + rlr')" - l,l,':0; b)"zor"-11t-x1')':c)11"-(1'\'1'
+'t'J F + 6T.\, { in,,.9,,2.:
y" - (t'J" * t'(t-1):0, J'(0) : v'(o\:2:b\ ' + b')' - zvv" : o'
J,(0) :j'(0) : t : c\ )" :(t')' - i, Ytt) : -i' Y'A) :i:d) 2J' + ]"f{}')'z- 6r) - 0' JQ) - o' r'Ql : z: e) ()'3) : 4J'(')
'l, ) rv" )" ()")'t g) y - '{}
)'g iJ"'13'
10.
a)
12.3. Ecualii ililerenfiale liniare de ordin superior
ll/Ectral'i dife,enlir. iitri:r" de otdinul ' ctr co'rlci'Dri v:riabiu l:ie'
Lr =a |l')tt ^' + arltJ/|"-t' + .. +aa@)t, drl') + 0,
$de dlr), r e ld, bl, t - 0, 1 ...,,. sint lunctii c6 tii ' cate Ecualre ib{4ntidu li tut
ordind ,, ouogclr,, are lodnd
Ii -O
t. Dacr, ,t, 2, ..., t,, €ste tt sistcm tunilanentel de soluf lgJrtru (2)' atutrci
to
-
C'rt + Crlt +., + Cih
Ct.i - 1,2, ,.,,^,liurd ooustolto artdlraro, ftPr6'irt6 soll1ja gc{'rAlj, a 6clatioi'nosolo
s09
a
(u
{2)
I3)
{2t. '
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 285/344
Eclafia onogent care adhite sistmul Inndamcnt.l (le sotufii t, J,'
i,Ur; ,, -.- -,):0,
repezihg vrorsLiand 3istemulDi de luncln yr, ,,r, ..., J,i.Daci so c n@9te o sobfic larticul&n g @latiei orhogcn€ (2), ric .ceasra r, (r), aruncl prin
de ouile o aqlaljo t neculosltn;, cu ordnrll Dicroial cu o un;ttrio
a, So\4ja gclorall o 4lafici dircrcitialc ncomoscrc
Lt:J@1, cn llr) .on6 6,
il'): xlIa)tr + E2la)h+....1 K.|x)e",
ulde tuncfiile ]r,(i),': -
1, 2, ..., 11, s itedlc ditr sistdnr
Jti\ + d,2, +... + J<;t. : ot: 't + rlri + ...+ dr'" : o
ilzl
( )
(6)
rDde ,a este solllia gcne 61, a ccuati€i ohoseEe (2], i.. .): cste 6 solutie pzrlicnla.: a €cnaliei n€F
Metada ualialiei ca,sta,t.tal (heldda ili LaCRnge): da.5 sc crr@5te n sist€rn tlldametrrAl dcs.htii 11,J/,, ..., r,, al ecualiei omogenc (2), attrnci o slxlic prticutard a { a ;ei lconogeft sd.l"rmid: d' pl lohu 4
Elrtn-D + tilna' + . . . + ti:r'a-D -f@
,
prin , r ^draturin4lr)
\1{[[r.,"" dir.rm]iarc riniars de crdhur , c .ocrici€nli .onsiznli. 3. r.nlrn (rer1ro,i,,rr.rfiDj{54ed rMdatucrtal de soiu ial 4uatiei dilcrenliale tiriorc onogene de o(linrt , (u c.eti.nrnlji arI E 0, 1, ..., r, corsianli
L : dnltn) + o\J,tr-lr+.,,+ail 4 O
* cEul{ solllji de forira ,r - er,, nju gid -* asttcl :a e. 5tia .ara.t$isiicl
( t0)
(r 1)r(') - aoli + ar,cr + ... +ai : o,
6) Daca.Ij(/) arc lndtcinue realesi distincte r , rr, ..., r , .tlnciun sisGm {nnilahrEid dc sori,fii.pcrtru .cu6fin (10) es1€
tr:.u, \- er,,, ..., h- e'r.,
&lDtia seleBl6 o eratiei omosene {lo) esro
,P - C*tc + C/.t& +...+c#,
810
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 286/344
b) Dacd, .iDt.e .iiLicitile ecualiei dactdistie 6is6 i r'iLiciai coqnexe:inpte' d6 €\€m h
":"+i9,.rtq"i liecrrei Perechi,le r4dletri compl* cmjuStte li coresPutrd dot{ solutii 1iliat
y - e'ce?', -+2: S'an$t
c) D&4 lrirt.o r6iltcide eclttiei €acte.istie elist, ti rid 'ciai rea'1e mnltiple (de *caplu rr
e+e ;dscininultiplr. de ordir , + 1), aqrnci fteiei asdel {b red&itri ii'or€slund
solutii liriat
indclendente (]l trumir egal cu ordiaur de m tipricirate al t5dtcinn)de lo'nd
(rtl
(15)\ - er.ra, , - tett , .. -,*t : t?er'$.
d I DA.. n nntre rldrcia e ecualiei @dteristi@ disti ti rI&tcitri c'dplcxe @ultide {d€ e{eDllu
,,.-;, ' .. ,.1-t -i1 ir - ,; - . . . ' ;a t - d - rji)' u ci ':ec1rc' ai Gl d" 'rdr(in'
Jl
"L-." .a" '" tr mir J soluiii linis indcpetrdcnte eStl cu dub"il'umrrl
ur (e i4drcn o droul d6
( l6), - {' cos?z. rr- de c6itr, ... tF1 -'&d'cdpi,'
,i - edd si"?', tl -'€6 sin 0' . -.' rii'r -'%" sirpr'
4. S.itrlir seleralE a cc &tici ilitercatqle liniarc ueonos'nc dc o'ilioul ' cu'ocficietrlii co4t0 1i
ta -l'), cu / lutrclie contion\ (l?)
.,-/+i, {161
untlc f ostc soLulia gc&rtLl a ecualici onogcrc (10), itr i estc o solulie Palticnl4rl 4 €cldlici ncorno'
s.n. (17).''1'
'i"tiosit,rLtii so arcge solutio pa.ticula.tt iluPl lo'ma lui./(') Scrolosegto Nloda c@liclcnlilo
ar) Iie j(,) - P'(j)' poli'om <le Srad '' t'
Dr' I - o nu slc iad'i'inl 'eolbfLel' €fdct"isiiic6'
60 calii , de fo.ma
j:8"@, (Le)
un.Ie 0"{r) esio tru Poljnom oar@rc, .le 8.nd '. Dacn / - 0 €te rid'ciii dlliilE de ordb }'
otulcl so o tr, solulid P4rticdar, ac iorma
t = ;9-l'r. (20)
bJ lie /{r) - d'Pnk\. Daai ' - a u 6te ridicind a @uafiei'4€cteristic6,
se caute sotufia
parliodrrr, de lormat - €'a^?r'
ia' l+cr /-4 eqle.;d:cid mrltiPr,i dc ordin i $ ir
i : ,'{'Q^l'l'
t - stpn(, c6 9: + B*(') siD 9'1,
iar deci r - d $ ill .st rdiLlcili sultrPl, de o.dio L * i4
q) Fie /k) - cdtP,,(,) cos p' + Pi.(,) sin p,l ti fie'-ffi(4 4) DacE
' -4* ip tr
si6 r&UiciDi a ecsJiei caracte.stice, stunci e @ut{ elofi4 Pdticula'A de lor@
(z\)
122)
t - '.e'tA^l'lc@P' +.QIQJ.\a9"..
l
lzt)
l21l ,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 287/344
q) DzcA, JQ) : Jrlz) + J,l'1 +..., nade Jl,) d una di, rometc n.ntionate, arrnci * qllnsohriapam.darai(r)-iltti.,(')+...,dr.,(,)coFspudz:rurfofln.rt_,,...,.
IIL Ecuallile lui Eule. sirt €cualii de folm
aa,ar<nt + art rrtn-:.) +...+ oo: lG), (:.r)' lrdo .s . ,.,, a, stDt co$tdte re,]e, idl(,) ste o funclie conttuuj, Asrr.l de ccMtii sc r+d(c ja€c8fit c coeticieDli cor3tarlt, prin s.ldmba@ de yaiiabit5
12.3.1. Probleme rezolvate
1. Sl se cerceteze delendeota liniari a urmiloarelor sistcnrc clc lunlrfii I
a) y,-sinr,),: cosr, ,: I, x.,R; b) y,- si,,,,
ls: 1' t e R.
Rqolta,e, L) Relstia 1 r+ ).,/"+4?,:0 impri. )a nn : -t ts .os , + r. = 0. n.n?nr,tEc@std ultih& rcraFe de doud sri l 6port o,, rezulti tr 6s, - )9 si,, : 0 ri _r1 si. , _ \ c.j,._- 0. Din aceste trei ecualii otttinen X1 - r* - 2{ _- 0 ,i ddi sistemDr esfc li,i ind;Fndert.6l,1jndr,lccl8ri rerultat caltuIjnd rr6mtiEftn ataFt jsrmnlui dc tunctii t:(r,,, y,, ,,)_ _l + 0 si (l(,sirteDd cste linia. i d. dddr.
b) tr (.)r, vs. / ) - O ii sisr€mbt *re tidr dependcnr. Reral'; ,Jp f"-J.r t5 t ... , , ^ |
2. Si se fonneze ecualia difereniiali linjad olsogeni ii si sc scric solutia -ra
Bene.ali dace se cunoaFts sistemut Iundamental dt sohiii:a) y' : t, y" : x2 ; b) t,: e", y2: e" sin r. y3 € er cos:r-.
I.ioluar.. Se vdificr u9.r d ceie ilout sistehe dc nDcrii sinr tiDi.r nnlependu, re. Irer rrn r t iit .ecnalia coresplnzntoarb trehie q orice atei sottrlie ? sa dcpiDdr tinia. de lrLnctiilc sisrc;ultr a,tr,itrcbuie l.depliritn cordilia (.1).
t, ,, 1tta) r'(rr, /f, ,) = o, lt t' y. l-0, ,' . - Lty t 2r - o.
lo 2 t-lSolutiA g. o.all d ecn.ii.i .stc
/E
cr' + qrr.b).1/(J t ),e,))-0,J-'-3 i.+1r.-2r:0,sotutihgen.Eue3re)-Cr.r-c,r ..1
,,3, 'olosir)d solutia prrticulartr indicati, si se intc$rz( urn,j,toa11.lu ccurlridllerentrale:
a1 ' 4-11'-y:0.y,-lIl. h\:,J"-(x+ r)y1-zr.y - t)),= 0.
v, - c'i c) I ' r- (tg I - 2 ctg rb/' + 2J' ctsz , , o, 1.n.- .in x, v lll_ o.\ JJ
r,'l-l: t" I JJ
3t2
l'l=tr'
,r,-yir,,-i -y, *1'-- j: - 31, -y2,
(:(}
{li )
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 288/344
r- ,,..,'oth'm
.nrL,c'a ic .ldcrJ. (r). asner ,E r=,.7 i. o.,i ' -,''L'+r",:-,i.^ -.:,'r /corr siD:i / sii: 2co.r 2sinr:\. tr. l_ -_t t zt__ - _ I _t si P.int: ft t r ," \" l
inlo.unN. ix ecuatie oltineir snccesi?:
=,
;-" ff." ":*' .:-qce' + c'
lrcci sollli' si .nli .sL. -1, : -ci iIl + c,g1:.
Ir))
^?cd 'j: c", t;: '{', 1;' :,'"*, arc lnldnire d ecMfi€ corduc la identit4iea
t,'-.tt-t-2, 1.2= 0. r\ce&ta iqplid laptul ci'r-t-2:0, -r+2-0 ti, r-2. D41o soldl,. prrti.uhri cstc rr - eef. Iici,d sdnDbar€ de ttrrclie, - se,j, obtiD€E d 4tia
, 1 -0. d. rndc 5-{i - "j' . =. *'.tt
r=--C,rJr
I s r."sid4i y- --:C,tJr Il)e'r a,"p.9' '
''c) ruued
/:rsinr, astlel .d
;" sin r dr' sir, ' _ ,_ dJ, /: q@sr, _ cr sin, + c .
J)..i -y - Cr sidsr 'f Cr sin r sl r':crsin2r +C,c6r. Dir con litiib nitial€ *,"fti C,- -j=,, Jt
'. - ., n. i,.hlid ar..c"lcr.l .',rbLa,"rc /Ji"in :
- 2sjnr.
4. liolosind soluiiilc partic[larc indic|t€. s.l se iBtegreze uroltoar€le ecuatii,difer.rntiale liniare nmmogene :
z')
y" i lt - .t)y' * :- : I. _rr : i. , , : -r:;b) (.r3 ---xe + 7r+ 9)J]" a$ - t + a)J' + (6rc - 6) : 21, - 2x - t6, y,-
: at + b, )(0) : y'(0) : 0.
,i.i,l drd. a) i:tcind s$sritnlla J, : I : r(r), obtinem ecuzta omosclA ir lnactia nectrno*ut /," + ( r - x)u' + L : 0. Pentn acati $uati€ cnnmtrem $l4ia parlicnlarr el : tt - h a, * 1,
rr.c(xrnd q la c,.'ercitixl p.*ed€ni, puco : ,u,: :1, - 1) 5i obtinen succesv:
, r r" - rr r c:(, r) r c,ri ,,J1, - "*''u_-0,.
f) CJr t i trd solutii d.Io.ma indi€li, sAsim 1' : i. Cn schim6a.ea deluncfie l' = lr+ 1- t + t,lr,iir.nr cc alia omoccns {'3 - ,e + 7r + 9l'- - 4l'2 - r + 1)a, + 6(} - 1), : 0. Dsade. ,,li,i.rtii sntl polinoane ln,,.nnlnm soiutii aie &.;s 6Efn dd loma &:,4,r + Drz + Ct + D
ii i.iin,l in €cuatie ii identifichd, obtidd id firn elltiae .i : t + 3, {r ::r + 31 8, lmI 'trnei7a un sistem fu.damentJ de sonrtii. tur nrmm, soluta Sene€re a ecuallei omogen. este
r: cr,,, l crrj: cr(r: + 3) + c:{tr3 + JJ-8). sarntia se'dal, a ecuatiei inif8le cste deci
y = h + t :' + c'Itz -r 3) + c,('3 + 3' - 8).
ntl).' r'{. iilir[. i',ili'rlc r.z lrl C - --, Cq - * - ri solu{ir .l-brr esto r - -} (]r - 8)/9.t9 3
. 13
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 289/344
5. Utilizlnd metoda varia.t.ici conitantelor, si se integ€z€ urmitoarelc ecuatii
diferenliale liniare neomogene :
al x'J -.rJ -11";rJ), ly -sc..t.
n*alratc. a) Eclalia .mosera .ala+rd '.re , t- - rt, - n. o*i J : 31". ,' - .,,
t,
ceutam sohlia 1,lrlicllari i a ccualiei reono8em de acceai t-'rbE ct ,o r-,nrd i - .&r(, 11 r
l jir(:).l, . ti .n c 'erd('a w.rialici .onsh clor
ti'\ | tiL: o, Iiil - .'
D.ci.ri;- 3, ii|- - 1,,, *tra erouou r,,- ix,./r.: - -lJ $i i * .-. D,{i
r.it -stc J --j' - j - I c'1? i c:+
It Ecudli. .moRe , asociatl 6rt, y l- t - O. l"rnum r" - t 9i dei ,-' - -l asllel c5 .lr_' ;
* f., tJt ,i dtt e ,.tt int?lict
.L- - L,2 ay - y .t , y .tr- - - t nt, v" - x J;'i.
Deci dy F ?- o: a,arjt cr d' - ---J . o^'", e d, F r,, dr, kzL -ilt ttc' - tg
d) - ---dj +,, - + VCr -r + c, ti r: + arsn-:.-:- ? ca
r('-r'Elihlnhd loramctrrl , ti r(uotlnd.onstanfutc.orcsNDzitor, ol4hc'n sohrlia guxnolil a ({ {1j€
odogeDo slb fohro/o = er + 6: cos, + (1 sh J. crtrl5D soltlia Particsla$ i a.c nl ei ncon(8onc
.ul, lorhs i: rr(x) + Irt(ilcG
r + 4h)sin r. Metud4 voriatiei conshnlclor .onducc l. sislrnnil
/li+Ji;ce/.l.Ji;sin:-0, -Ji;si": + nicc,=0, - rii .os , - 4 sin , - s.c l, a.Llrl doDr,,,co dl= sc( r, 4;: - r, rii=- j. ir(i n, : r,,l,s ia + IlJ. l, = -",.ri" - rn .-.,r' l-t2 llls, ; -l,l'g l:: 1.I11 -,.o,' +.i". r lcos1l. s r ii ee'.'ird. c,r rn1 ".n.s(t ,ntc
I t2 4ll
/ - a, - a,(s, .r. -..i.. + r"l,g [l ] ill -,*", - s,n,.ro . s,' I tz I l
6. Sir se inteBreze ccuatiile diterenlialc lirriarc cu coclicicnli constanli:
^)t" * y:0, (0)
-2,t'(o) * 0; b) f'{'
-5r" + 4y
-
0;
c) y" +2r'+ )':0, t(0):.0,.''(0):1;
d) J,r?' + 3y(6) + 3yr5) + .],.r'rr : 0 r
e) r"' - y" + t'-r:o; t) 61]13'+ 48 t$t + tzvttj + v":o:8)
'r{'+ 2J & -3 '+Zt'I t-.O.
n,dlrdld. a) EcDalin .amcteristicn f- I -o are rlrleci rle renl. si distincretr- -t 'r - t..adlel cn t0 - Cre_' + C er. Dir condiliile iriiiale ot'tincm C1: Ct - I 9i deci solutia .rticulartceuiati este to - e-'+ ei.
b) EcuEf@ caEcteristi.S /-ta+4-O are rid:rcinile rcale distincte t\- -2, /2* -l'\- 1. ra-.2. Dupi (1J) rcztrl€
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 290/344
.) Areml+2/+ l: O, \- rt: -L Dtrp, (15) retr1t c5 sste{nl lundametrtat dd solulil
este t1= e ', a:,ea, astle7.d. f:CLc'+C2ze-t. Di coEdiliile idiial€ dedu.-& C - 0 d
d) {r + 3/6 I 3/5 +'4 - 0 +'L - /z : h : 14 = 0,'s :'s - r? = -1. Ddi
lo : cr 1- ca, + ca,2 t c4:3 + c.{r + c6tea + cr,2e-'.
4 ti-.t, + / - 1:0€r1- 1,,2: -i h:i. Dsi, dnp, {ul, aveo
ta: qe' + c cc' + ca sini. 'I' r4. 6'' li,'."-o€i,l4,gtti3.0+n '3-0,,,- '
,"-:t','-,:
-, -.- Li. r'=.r ( r c, o.' rr.sa' 1c,..*1 -, c', "in- t a.".d:+2-22)
.+ c-,""in
a
s),r -l ztx + 3/' + zt r :0 +{r +'+ 1f : c ) \ - /, -
- . -l , 6. ni ,, - 3,.- l-'"". 'l , * .".-i"o" /]-*4222_ -*.. ,r;
22
+ crre : cG-r+
7. Si s€ integreze ecDaliile difc.e tialc urmntoare prln @etoda varialiei constas-l"lc,.:
.rr )' .r)' z"-=l -: L)-v'+v-Lsr.I_l c'
Rda u/.. L) F:cntia caracieistici a cculq onogqe ata$te estc
"
+ l/ l- 2 - 0, cn .6d ci-
nile rt : -2, /2 - - l. Deci ro - qe_F + ee-1 Ciutd,o sorula partid ali a eclafid nmmogenedn i r' 4 i : Ktl.\" 2. + K,t^f '. Dupi (o) or'lin.m
4e,"+ K;e':0, -2Ela ' - riie-. - (r+ d,)-t
rid..irt: -e + 1'(l + e.), rr: in{1 + e'), 4*rd..i i:e Fl-e'+ln(l+611+e-1'(1+ e').
solufiagcne.alaeccnalieineorn'sEneertcT-Gr.-s'+c,e{-e- +(6{ +e-')ln(l+e').lJ) r" 1 J, : 0 = rz + 1 : 0 - 11 : -i, t3 - i ti / : q cos, + Ca sin r, C6lird solnJia Par
ticulr,i de lo.ma i:&r(4ccr+(1klsitrr. obtincm dl cos r + j(; sin r : 0, _(i $n; +
r /.;"".. = -j,. d" uddt' .irr sinr-,. l,*[l*111, rt rcrr. D< i- .,siD]-' I t2 4.'l
rr r\l- ,," ';1.- , -ll-"r.,*'- sdulF sa',nr:aeoaf'd Dcn. oBqF ^5re/-crcoc, i
I t2 4)l
{-c, '1 -(os,rn '"1" :llI t2 4)l
s. Si sc integreze ecuatiilc diJe.entiarc :
aj t" - sy' + 6y:6x, - loi+2; b) j"'- j":L, y(1): l, y'(l) :o.y"{1) - -1 ; c) J" -- 3 ' + 2t : e."(r'z + f,) ; dJ t(ar - J'(3) - l' + t : es;
x) y"-y-,xe"+r+Fe-': 1l y"-'tf'+6f :sir.xi
d la) +2y" + y:si^": h) t"t - 3y' -2 - 10(sinr + rcosr)i) y" - 4y: e,'{ 1 1 cos r - 7 sin r) ; j) t" +2y'+2t: ':ea + e
k) " - Z ' + z.y - 2e' cos { - .li c'sin r-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 291/344
Rtral&re, d) Arem "-5t+6/-0, c /s-5l+6--0 9i h=2,/::3, asriel ce
tl - Crek + C,c*, D€drcce /: 0 nu cste redlcinA a ecuatio cara.teristic., ctut:Lm sotutia larti'cDrali dc ioma i: /4,2 + Br + c. Deriwtm $ lnl.cuitrr ecraiie 2,,1 - l0.J] - 5r -i 6.'4r: ++68,+6C=6,2 101+2. De aici .ezulti ,'J : l, /r-C-Q ri de.i t:r:. S.lufia gdiral,.rr.r.'.1Tr1r' ,9.
b)tcnatiacaracterisiica/t-t =0aresot,fiile'r=r:=09i/::l,nsticl.i''r'.-crrcll l-
+Coe". Dedre&
/:0cste radicini dlbli
lenituecnalin caracteiistici, corlorir c (20)r r.n,ti:lx1 o
soluf:" p ,. Jr, Ll.J j- r:,4.. P.DIJ.:.|. r' n '..-I
-, 8: .- l. ...i ,. r- BFr-€r,r4,1iF,,,or. B-l.,: -,- t'. ''2
Ir0L Urrl .'.r,.cd-ll" C,. ,C Lr,1'. l(\2
1:_11_."-'-_{rs ll.62,6
c) Solulia scneLaln tr .cralici onneeneesle
to =Cro -F C.c5.
D..xr...7
- ],s r:1. s,rlrfie
a €.lrlici car.clorisricc, contorm cu (21), ciuliin sohlia FiLj.ul.r:i,lc lornft i : .n'(1" + ]ix i C).
lold,.i.rl nd'ut'e, i"Jr'r,' I- - R=-l.- I F" o.'..-2
€sre , = Clif .. 4,e1, +"i, - 2r + 2)eul2.
d) Ecralia caracicristica /. - t; - t + l. A a.e.Idi.t,ile tr * /t- t txa
f-'s-Ct" "'."""f c, ' ,.J
Demrece ': l cste r5dicina dfbl6 penlru e.laiia ca'aci.nsdci, (lnln (22), sc J.ur:l 3r,1Lr FrrtcdlrI de ioroa j - r .Jc', Rczultt ,l - l/6 ti i - ',c'/6,
iar slllia gen.rn)it a ..r41 .i ..or ogele
este l, : r'+ j..e) Eclafi. c;racterisrice I - l : l) a.e rddicirile rj : - 1,;" - 1,.strrl .n , : Crc_' + C:e'.
srntcE nr cann.r1)cr/(r) - J16) + J,k) + J,lrlt nfi. JllJ) : rc', J,(; ) - r. 1(r) :'le ' sr.attagohlia de tolna jl'): iL6) + j,(r) + ts(,), .u tr(') - "(drr | ,r).', i 14) : .,' + l,,. ilh) :: t(alz 1- b^,2 +.xt + d')e '. l ocund po lrlt) ld .ioi.lia diflrenli.lii, tl,txn, in lrtll s.nu1la
t(") -l*{" - l)c, ' -,l '('--f 2a, + r,+:r).i-' ri:r *)j t.
43
t) Ecualia .aractciisrict t3 - ?r + 6 - () are'ddncinilc
rr - l,'s - 6 i, dtciro: C'e"+ c:."'.
Slnt 'in cazri cr) cn d-0, p= l9i P,,j(r) =0, l';,{,) = 1, asrlcl cii ,,.-0 j)eo,df
'--.*ip: *j nt este jadacini a ecuali€i ca.aclclisti.c, du$ (13) e in rr:r si.:+/J.osf,lEr@llnrl tn ecnatia neonogenr, oblinem i = 15 si. ' + ?.os*J/74 5i deci s.l,*ia srr.Dlil n .cralitircomoa€ne esle :,, = cre + c,e6' + (5 sin, + t cos')/t1.
g) Eclaiia c.racteristice ,' + 2rt + 1=O arc.drlacinile /t-'i--i, 'r-'r=i, 9i.ldi,/'-{cr+cr,)cos,+(cr+c.r)snr,.sirrenrilcazllrilcu4=0,p:l,P,,,lr) =0 t'1,{1) nli h:0. Deoa.eE r = +i dsle rndicinn drbtd pentru ecuatia caracitrisu.l, d.Pn (21), se l.i -, (r sin r + n.os,). se or4ire,a - - 1/8, t: 0, aslrel d' solulh 8c.eral,i. colltni r .nnse.Ll
I
.5t. / - LCr- C.r o5t I (C: . C,r1:inr - 1."rnr'h) Ec(.lia c{rocleristic{ tt - 3r - 2 - 0 are r{dlcilile
r'- {c, + c/)o*'+ cre". Do@ruco /(}) - /r{r) 1 l(,), c
./l
tt=12-t1,'r-2,
astt, rI
,k) * ro(si",.1. r.(,s'), /rk) .".
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 292/344
- -8,3, sc etrt.. solutia particnlari de r.rnr. t(') : J:(r) + t {'), dr'r(r)
= kr + Dj sti, ++ (rt + d).ast Fi j,rlr) :.f, + /.r? + 4r + ,, inrduinil in dnafic, s. oL$rc, <lnle id.qtifi.arc,
;, l-r ,1.,,", 1. .'.1.,,,- r,, 16, )J.- 1,.' i) ./ l'- i,'.,; -',r-
c",. rlr -,1,..,.g' ;,1.i,,,:r.
" l. t tr )il Ecfxtia.rracle.isti.l/'1:Orrerad:icinilerr--Z,r^=.?,asllelct a-a'c_"+Cre".lrt.rrecer=2-inucsternd:cinnarcuaticicamatcristirc,duP5(23),sciat'--c:'{.'lc.sr+tsii. t-ink,.uio,l iu ecuatic, se obline r: t si r: I, rsfe di enfia gcFrali a ecuali.j esre
v-r,f .tr",.,.t (:'knsr I jsiir.
j) l:.urtia ,:aEci.risiice 6tu /3 + 2' + l - 0 ri a.e . dio le/r--l-ii.so[lia 8(neralAa cc"atiei
"moscnecne jio: .lc_'cosr + cre-'sin '. D@r€@ .{r} : /r(x) +/:(r), { it') -
- xc-'rir(,] - e c.sl,seiat(rl - i (4 i,i:lal, q j(")-l.ax+ Ble'+'e '(c cos ' + r si 4.
Seobline,.J=l,B=0,C:o,r:l/2,Prinr.nErc,$luliaAc.lcalt:€M1i.incomd8.u.eie
v " t , t-.r,.in.lt2l-U Ecnalid cadcteristicr. ': - 2/ + 2:o, tu r'dd,Nidle rr:: I+i, impli.:i rr' = C1e'cosr +
+ c,e'sin r, De@'.cce / : l:Ei $le radtuinn silrDli prntru surFa cd&teflrr I Jtrt,J ll4), * a
t = ierf(..r, + ,)cosJ + (c,+ D)sh,l. se obti,e.,r - t, B:c - D -4. r Litr rfu,aJc, \Llurigcrcmli e ecualjei neonmsen€ cs1e, : e' (q cosr + c. sin, + t cosi].
9. Sar se intcgrcze urmitoa.ele ecua{ii de tip Eulcr :
a) 3rg-r" .+ rJ ' + lr - 0 ; b) r.2y" Z:tv' 2y-x;.) l3r +z),y" +'713' +2)y': 63'+ 18;
d) x3)"' -l 3x. )" + 'r' - : x.;(l):y,(r):,',,{r) - 0 je) r: L" + a,ul' + 2t == cos r.rl,:orrarr.a)SutstitDtiaI,|==er$ircratiile{27)co.dtrcIacralialt-2i+7r-o,ca.care
', r'."- -' :?-o.rr:tdJci,,irc',u -jt' 1.1. 1.'" *..,,,., \ot'r.. a.'.'dr,
L, ._, c,.' ,,::1, "..." -"91,-c.,,r"*-lJt,.','l ,.-.''.,"{'-r,, . I.' I j I t 1 l
Lt r.ekAnn s,,r,rlirutia {26J ri rcinli . @4,6r{et.i ol,linen i -3i +2), -- I. [curtia o,,. ,enrltaiare a.esloi {Lliii are sohlia gcncmri tp - Caat a- C&a', ia. solllfia parricnlrrl a eoralicj rc.nrrge.. estc i -. rc'. Dcci, $i4ia A€neraE a eu{iei n@dosenc eslc t : c i.' + Czett - .t -.
.,. C,.. ln
. F" e, ...,in,i.,,* J /u,iJ A tir I2i-c'. Deres.* -l-,"- +,,
"
Ij' +2tr' * 3i, lt. + 2)'r- : t\:j - .
Pritr urriare, e.raiia caprrr. larml 9t + tli - -2ter +60. soruia ecEafici ornoac.c.ste r, -
+'-Cr C,c " .Solul'rpa' clrrda<,n:lieimo'nus.mejei- -crr 5r. U"cr
)-cr-cro r -o'I t-F, tc,{rr+2t../J- {} +2) i 51 3r-2.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 293/344
d) substituli4 (2r, condu@ la @ad.ril ; - ) : et. sorDia scnerar ' a ccualiei omogenc este
' li /Tr'1. s"r,.o tu.ri ulJtu 'c J'teirnili ' b rorn_ I -r'-crcr+e-r)tc ccir,r qsin ';-./
- rc'/l. Pnd urmr ", sohFr seneralt csJp
Ln ltr ' I
),,). c., -c",-r.*,[+r,i,i|i.",,.,r"['r'.r,,r, j ..r,,.
.iJ'Din condiliite inifi.le d.nucetn C1: - 3', C': : 5' (r : j: 'rllcl c; s'hltir c'niti e(16
r "/i ,.1 f.,*i.i.,.,,,1 , ",,Ii,., ,ll. -;.,rn _rl t_l),,.lv..{ 2.,,,,.,/ ... l'. . j.I
eJ Cr schiml,ar€ de varabili (26), c.uati. omogcnl ataFti ecmlid coilsiddnte re i'r''nr
i+ 3i+2/: o ii arc sohlia setcaln rP: cle-N'l+ cae r- cP21' cz'-1 lentru detcrdi'areh
;nci $1 $ Pariiculate a e.mtiei ncomogete inilirle $ aplici nrctodi lrirrlici cnnstnr'ielor',sc
c^tr1
solutid la.iior'1ard d. fom8 t: t(r(ri'' l r{3{i)'rr' s" 'l4ilc sr\te t rl riir_3 + Jl:fL - O
-2kt.'-r - r<:'-, -: :, dccr r,= -:sin'-cos,, ltt:.in, ti i: -t-'c.t,. D6.i
tgolutia sFre.au o ccnatici iniliale este / - crt'' + ca,_r - '-'c6''
123.2. Probteme Plopllse spre r€zolvatc
10, Sd se ccrceteze dependenla liniarl a urm:ttoarelor sistcmc dc f[rlclii :
a) yr- r, y".= xt, s- tti b) 1': c, Xrr- e2', lt:et'.) yt:.y, - x 1- t, )3: +2: d) J" : 13, )',: -Zr',
11, Sl sc forneze ecuaiia ditcrentiali litriari omogeni si si1 sc scric solutia sargcLrelali, daci se cunoa'td sistemul fundamcntal dc solufii:
a),, == sin ;v, lN : cos ti', b) y r : c', y" -= xe'', c) 1', - :r, ir :^:2,
' "= Ns ;
d) y, : 1, jr, : e-r'cos t, la : c-?'sin -1.
12. Sii sc intcgrczc ccuatiile difcrenlialc urrrrittoxrc, cunosclnd'cito o solufie
prrlrcrlsri:a) {r -r)), -zry'+?y-o. yt rIlr) j (xj - l)1" + lx -2)1,' - y: o. y"- r-t{r-- 1):;
c) (2x - tl)," - (4]y'+ 1)y' + (4x2 -2t - z)v: o' )') - ar;t) (z:y -:{ \r" + (x' - 2)y' + zll - d-1':0. t, :.x'.
13. Si se iniesreze ecuatiile diferentiale ncomogcnc, cunosci'rd soluliile parti-. ul.rrc ind:, -tc :
a) {2r, 3.r)J,'r ' (6+6v)J'I 6}'- 6 j' I J.. - \ 2|
b) (r- 1)J" - x.y' + y': 3' h: zx + 3' te: 3x + 3'
14. Folosind metoda vadatiei constantclor. sr-r sc intcg'eze ccualiilc difercDtiale
a) (.y- l)r" - y'-(:t- l)'; b) tl"'+ ": | + lti c) r?y" a *y'11.
3r8
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 294/344
15. Si] se integreze ec1laliilc ditcrentiale cu coeficienii constanli:
a) t" -5 ' +61 -0; r):"'-zt" - 5t'-lzy=0: c) t'-9 *0'),1, y --r'-o - J ', lJ j(0,-5.J\0 8i
'11 y" + tt' l- 2jl -= 0. J(0) - l, 1.'(0) : -1.16. Si sc intcgrezc ccualiile dilerenJlalc :
-' -.4., 4 --0: t, "-o -- 2.,'-8J-0ic) )"' - 3q" + 3at\ diJ : 0 i d) Jttb) - 4Jt"' :0:e) "' - t" -)' )- y :0; 1) ]|"'-5J."+8y' 4J:0. J.(0):j"{0):y"(0):0.
17. Si se intcgrezr: ccuatiile (lilcrorlialc:
a i .\ " - - J, - 0, y l l l r. I-l-0,Lrr{ -51," r 4r -oi\21 - \zJc\ ))" + ' 1- : 0 j d) t"' - 51" + l7-v' - 1 1: 0 ; e) J(i) -I- 2J/''+.)/: 0;
f) /(5)
-
lljr(r) +501"'- 9{j"' +,13r' * .169y - 0; gJ r{r) ,F4_y:0 j
h) l(a) .-l- sJi" + 16y ,- 0 . i) J(J'r 4" ClJr(i-l) + CXy,'-r' + ... "1. Cly * 0.
18. Apliclrtd n{lod"r variotici co stantelor, s5. sc iutegreze ecualiilc dil{.rcntidrr i
") f"-r-.;h ; b) -t" -l-.t,:.. ;c)l""Fr:ctgtt:t1)t"-y:111:(;
c) r" - 4" -l l' * 1en ; {) " + 2 ' -l ), : x-t e-' ; g),1" +)r': tg'sr:c.t;
h\ \ " - 6 \' .r 9r ".. --l-,y.g -- 6.r -. 2) ca.; i) ),-3J +2J:ca,1+c.,{.
19, Sir se intcgrczr: ccualiilc difoleDtialc:
^t3)'-2)'-) -r'z 1r)" --) -.ys- lt q).r-2yt-)r'=l'd) J(a)- J]:13-Fr, ),(0) : y'(0)=.J/"(0) : -y"'(0) : 0: e) \\ - yts)*1zxiIt J)" + y * ,te-' : 8) " * 4 : xrcr.; h) r" -5r' "16 : (rs l- l)e,+ .rc ,,;
i) y" a Zy' : azs-t' 1: 2,r -- 1 ; i) y'.' - 3 ' + Zy : xee'ik) t(5) +. J]($) :rleo j I) )t' 4- Z ', ^ 3 :zxe]s. "f (.v + l)c' :
m) l(r) -- 2J(r) + Jr" - e"; n) r"' + r" : *2 -l 1 + 3re';o) J "' l- :'"" 'f ,""' l- J, =" t'
20. S. sr lntr;rz ..u..lir1 ,l I i.nli.tk :
J-(osrtL. )'' - -2y- lsin2x j ()y"-4)-r'si 2x
dr J' ,r'- 2) {-J.r'z 2lr- l2r .os 3r + (llr? - 5r - 5J sin3. i
e) r-" - t - e''l({ * 4r) cos r - (6i + 2) sin 'l ; t\ " - ) - e' x sitL c :
d t" - \' -1 4 : e"(2 cos x - {* sin :v) ; h) )(a) + }(3) - cos 4'.
2l , SiL sc integreze ecua.tiile diferenliale :
a) " - 4)' + 4f : siD .f cos zt-j b) 1"'*'{y':66511'
c) lLat - Jy" -42:x,+ I + e3,+ 4cos*; d) " -1-2:2$cos*cos2rle) J" - 4'+) =. sirr', -- J' r; 0 J" - 2J ' + 5J - c"(,r cos 2t - xtsinzv)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 295/344
22. Sir sr: integreze ecualiile dilerenliale:a),,t" +:q'- :o: b) lzttJ"t-zsr\" + z8:t ' - 6j - 0:c) r,j" - 4r)'+ 6r.:r; d) (a +.1)')t' - 3k + 1)r' + 4 : (.:t + t)B;
c) (' -F r)31" + 3(' + 1)'j,' i- (' + l)r : 6 rn (' + 1);f) r;'jr"' l- -5rJ," + 4l' : ln:r ; d r')t" --r '+)i:2.r, )tlt) : 0, J'(t) - t.
23. ,{plicind metoda sciilor dc puteri, sir se determine sol{lia pentru {iecxredin ccualiile dileren{ialc :
z) :t " + : 0. l(0) - 0, J,'(0)
,J t" * L:' +J,-0, J'(0) -1'(0) : t, 1"(0) .= 0.
-...-'??
- l ; b) 1"1. r,'(0) :0j
o *nriie d shtcnuhi ronntrl de ecldtii diletenliale dc ordirul li,tii
(1)
.tr , L,rclii coutnuc e Ix D, ,aR", oslo rotrezontltil dc , IuActii ordoDntc 1 = (r (,), ,',(rt..,,. , r,(r)), dtricdbilc pa L c,irc lrdnslonnlt ocudllilc (l) ltr idoniixtlli, l)en0'u oricc t c 1.
I'rolilcmr lui Cluclry fctrtru sisLchul (l) ldsodnr i dctcnnindrca dccloi solulii a sistetrrului, clltvdiliclt corditiilc i ilhlo
(2)
iDdlis/rr-rol<4,
l/,(t ,.,.,r)-Llr, ..,.tJi<t-> t)-rt, t=1,2, ..,, (Ji
rhci rr'noliiro i,l',rt,ya,...,:y/J iirl co lnNo h p.ralclitipcdll
,, - y? ) < b. i "- l, z, ..., ,, ii sriillc oondllir Lipschit'
4 11 : a, 1(0) : l, -\,'(0):0 J
d) y" + t'+ r:0,
1:.4. SisteFc de ecua(ii difcrentiale.$isiomo aimelrice
nil,r4 rle odi,n,r I i soltriici cslc
,".u-,J [',,1 .r,,-' ". ){:-tt.t."... ' t: ..,.t t.?.)\
Sfrn.u ci rD iDtcgrct sistcnr,l dc ccurlii dilcrctrtialc (1) $rh sul lotii. sirn.t-'i.I
ir, =jr1r- . : :,y,-x,1-,,",,...,,,,1,
r, .{, r"(5)
rlarar on dctorninat n - I irtegrale p.nre irdependcrtc;le sale. \
Idt.smrcr sistenrelor de ecnalii dilerentiale sc Iace ct rn.todd aproinntiilor succesiYo, toetoda
elin$l,rli, n'cto{ta combinrliilor integ.abitc rdc.
vd ouin. o combinalic itrtcgrdbih daci
'ogtsi n innclii p,(rr tr, , , ,
{s1icl cd X prY, : 0. ixr ) pjd'r csle dir.rentiah r.tdld a tunclici c(',,i-1
ID,(n, {r. r .. , .y,l ti (r. tu .., e I,
iciinili rcnllr, -xor <l - nirt.,, ,
j-,
oirnci cxirli o sol 4ic rnta a rLobl.itri (L) fi (2),
.., i:1. /:mAxsul,./.\^ ), .. .i. ..^Frox...1 l
o lnlcgrsli pri.1d Gtc C(rr, :,,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 296/344
12.4.1. Probleme rezolvate
1. A,plicind metoda eiiminlrii, si se integreze urmltoarcle sisteme de ecultiid:i ,,nfirle :
' a) l; -,1',. -r' =. li j b) J;-.. J',+ i',, ;: )',i,r', ti: t't+ r,.
, _yr(0) -.--1. _rr(0) =- l. J3(0) -- 0.
n.zrh,a/.- a) Ddiriml pri'na c.rath ii finjn<1seama de-. dona ecuaiie, obtitem.cuatin lilia.Ide .nrinrr doi t; -.1r.=0. Solulin gcnerab ; ac.steia cste J1: cp'+ cze'- Dedece r, -ri,,. /Lt , ' (-,c'ic".-.
L) Dcri'ind nlfina cc$fic ii lininrl seama rl. rrnn.l. doui, obln,en r; : /; + r,; : 11-r r +t 2r,. D.ci t;' .. 21' : rr -l- rr :1; ri :,;'
';a.,.' - 0 s.lulia s6e€rt a estei ecu.fii csrc
tr,' : Clc '+ Cx.e. sclidft .toi rltiNclo don, (laiii ii ii'en sein. de reznltatll lr€ced.nt j
obtir.ro r; t y : 5C2.x'- sdlulia gdFalt a a.eslci c.ratii cstc J1 : Cae_: r C"cc'. Din nlti@ .cu-
otie d sist€'nnlli dcd{("n, tr... -cr.-'.i C"ot - Cxc '", iar condiliilc inilialc Cr:0, C. = O tiCi - l..Sohtin dnl.r5 cslr ((..i:)i.- -r ', I ", e 1,
10 = 0,
2. Aplicind nrcto(li c nlJinaliilor int0grtbilc, sir sc intcgreze urmitoarelesi{c,n, rlu c.,rilii ,lil' r,nli.tl, :
.., , ,. l - nr, _ 1,3 _ 'li ,ni *-
c) -t; -. .-v,
.:- . ' -F .r'3, -\; .'=II - -1, -F J' , .1; r'=.\r +),-)";d) li .,.\,r -= z.r_rj, _r. i .\r '.. --2. .J,r j d I'i ,,
"\l-F 3.rr_r:, :":ztu", li,-2lll".
,&:r/ r.. r) t,trirn tli r.l.d.11 irFoarr. oLlr oin IirJliaL vulillilc:cPaht. On=
*t,
c\r t,, r i, L r. l\ --:. (r l. . rl :, i tr*rn '.1 j'- fil,'i
,1 , :1._ .1 ., -.,lrr ,1,:
', I 1'
di rilriu.lcdon.'rrrt),)a'lcol,lil.nrnr =d(rr Fxlj k.i"n'lou:inlc8rrl)t'n:
cst. , - rr - ,r -: q. J).ai idlnria {$.nrir n sistc dui c(.
-.(r. r-rr-t- ar.
l)) sin.n 'l drr pirrc li srris sr1, ionN
d,, '1 . _ . d., 4,. I x ,1" t1.1,: l- r{l,l,"- :tr-, - t*\
-o 0
')r'rdr'^,lLi.i {li'l ir: -x.l :u u' tro,r ,,,1,,. r",1r,:0:i.teidouiiitegmlePrim€
sinr rr r: t.13 - cr ri "i + 'i + a3 = c' Acestca datr soluiia se e..15.
.J ,\dunrn .cnatiirc mc$bnt ctr (eobfo ri obtinen (tr +'
+ r.)' :rr + J, + r c@. c6
r(trr .rL . inl.4rali rrrimt cstc e{(h+} +rr) :C1, DacE s.lden Prnno ecutie din @t lalto
{rori. or,irreDr {r': ... 1 )' : -zlr, - 11) ,i lyr - tr)' - -2(:yo - 1), dc lDde rczdt 51te dou{ iqto_
snl, r,rin,c D (r," - \',) - cj, c"(r - ld * Cr cele trei ittegrulcpnn.
d4u $lufug. .reE
r
ri rj rr I ,r1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 297/344
dj lnmullin prima ecDalie cu 11, a doud cu y's 9i.dnlbl rcz"ttlterel
t"',', j."; -'1 "r,,.;J)i rl -ri 'i... -u "; ":er'',
56 inorltnn plima eouafie N t , a doua cn -h qi odtnt lezrltaielc:
lt, - ,ri J 2,(r1 " il 'n. '-c9 :-49& = zr or
sistEDd srb foinx siDelrio{
dy, (1,,l d ,
Dh plinirlc dou?t ropooric oDtlnoh o ecuoltu onioscnl
astJd c, schitnbarea dc luncfic
lldnele dou, dpoarte obfiaea
Jr, l1r,\t.3lr,," = tl;l 'Z;
I =.11-cordncc lo j.Lcsmla
rri'n5. t)'iry;L(r?T
rlj-l*cr.
^poi,dn'
Jv" dv"
Celr doni intcgmle lrin€ dar solutia geneuld o sistenf nl,
3. Si se determine primele doun aproximatii pentru solulia sistemului
- r - .\, jl - 1, 1i ru .ondiliile inili3l ,_,u, ' ?/0\ 0.'-' ' d,
Rdotvah. pe6 rc.effu, lr ;t
: , +,' ri
J,lr,1, ,)
: N'1
- tl,dnll toullo {1) .tti-
.m succesiv.
1'1',q,1 -- r.*i"t, r.0)d1 r 1:,r, ,)tx):0..\'rr- rr,v-:t-":
n1',1,;:r+ 'l' (' +)[-, +)]"'.'-* +,
'r' =.,-i:l'-t' rll"--"-;4. Apliclntl metorla oproximAfiiloi succesivc, si sc irrir:greae sistcnrul
b--zxyt, drlinit pc (lomcniul -l <^,
< 1, -.1 <]r] < l, '-1da -'
condiliile inilialc Jr(0) : l, l,(0) : 2,
ietolMle. naaarccelr@, r\, t) * 21r" t\.fet,t. 1, h) *zr)t snlisilc condiliil0 (3)ti .h\x'rr/t) *- lzrtt <2, L k, h, r,) : zrtri < 2, trz'lla cd (ri 14 o sohllc icl a sistclrulNi dolldtr
I)eDir l^ < -, Ag'oximatiile sulxliei si 't:
322
<i <l,cll
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 298/344
)
', r-i'.u,.: 1.6 1-2.,--L*..".' , ;, r ' 2.: at z--c-Lr:
1i',: I ,r.
i"z [,i,. .F :
")a,*t + u, + ],,,.i ]- *,
r." :-(':[, . 'ul .: ', f. -L-"," J. I 2 l 2: r:
ri4 .- r r,, I ., : ," .-1,' "' , ,, 1,, l.-_,, .1,", ..' 2t Jt 4l - 2. J: al
,,:r rJ-r..|,'.1 *r, ,(+r++",+f".+).
*=z{r.,.J-,' rti*+...)+ f ",+ j,'rlo,+.... r,t=-1.
12.4.2. Probleme propuse spre lezolvarc
5, S:r sc intc8rczr rirmr"Itoarclc sistemc simetrice:
a)
S:: sc irtcgrczc sistcmcle :
lJ, , I r_ t ,,ar :^" .1x ),r - t:1,. - ,Lt,
; -'i+r, i= -rJi?. S,'r se aflc prin:clc doui aproximatii prntt Lr solu f ia si' t.mDlir i $
: r, + 1,,
i . ,, ,,, Iuird drcpt aprorimatii dc ordinul zcro funcliile flo':d+ rr,Jr'
-ri"),-. I rdl, si condifiilc iniliale {r(0):4, tlo) - 6.-d, dl
8. (.- , rd rqrcz prirr rn too" "liminirli lse vor "liminJ ?iJ) sistnmul::z -
6.
1)
c)
, " 'dy, "4r I i'zd.rr, J'd.rt
.
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 299/344
12.5. Sisteme de ecuafii diferen(iale. liniare
1 Sisl€E. d. eualii diaerctrli.le litrlare cu
,l - s-\
:: ) 4,irrrr r/i(r) .- 1,,t' /J
Ar, S ) ,. ),,i r.L.., .-, t"...r(rlr'. \r)
(l)i-1
nca,.(r /,1,)sitrliun.riiror.'.'..n -r''-j)-.rr,-....,r.)/,/i,j.{,,.,/, t..... t"l1 i \, Atrl= (n.r{rj).,h.c/... eu I j .. -u It,) -0. ii.iernu,.1..t.. -
.. 4, i .- 1, 2, ..., ,.
0, Sist.6. de @tii ilif.renlbl. lillare cn coeficienli .onstatrli. snrt sirdne.l. ib ra (l)
coefici. fi vrrial,jli. (-,r lsrt(l de sislen
r. .... ,, \a )' : -.r(iir. r r:(r),
t-t
ti sc nirmegte sistcurll o,nog( ns,ciat sistcdului (l),
soblia sc&dli. sistoll i onbsc4 (2) *1o
,i: cL),1ri. ct" r...ic,yt,, i: l, ..., r, s{ }'=c,r' l c:r" t...-ic,1',, (rl)
undc Cr, t = 1, 2, ..., a, sint couitartc drbitrarc, idr y/ = (r'r1, ar , ..., ,,t,)t, i: l, 2, ..., rr: azin1, trsistem rundanentrl d. solulii dl sislcnrlui'edn:lrntr sisleo rl.,
"ectorimlulic pdrtru (2j,,
linidr ind(pcnd€ntl. Pcntiu c4, v€ctori solulie \'tc" ( n, tt1, ..., tt)t, i-= l, 2, ..., ,, si n,l'3.,inte, lolufii liuiar nrdcp.ndcli. catc r;cc*r Si sriictuLt u dot0rnrnr 'rlul lti $&nshi l/()i, y ,..,, ,, y) = dotUi sd lic dif.rit de zero cll pL4nr nLtFqr Jlurut (tir /, nrld,nhn d-" contiluiltrt4 al
Solutia selqald; sisleNului.nco rogeD (l) este
' 1,.i,.. 1, rrj
uldc It cst€ solulia gcmralt a si$cnrrhi on&gqn &$oj^l, d{rl {jc (:1), itu t.\rL o sntrtio f.rriqLldrda sislcnuhi Dc.nrogctr (l).
Dtc sc cun(ettc sistc'nul rrn(l4ucntal l( $.ln1ii Vr, )'r, , , ,, 1x, aturci eh,lii plliicrlxd 7e Poatc dctcmrnu au (jutor l rtrctodri /rrixl o \' ,o l |telor, So rluti snulir parriorlxra il. ior nn
y -- .iir(x)r't i../i (f)r' -....al{i(/) ,, (j)
uldc tuciiilc I',(r), t: l,2, ..,,,, $ ilclcnrnllt din sisLcrrul
>/rj(tr,,,...r(,),i:t,2,...,". (6tj-r
D&, s. cnn.Ltt. rr sisle ,IL'ndarrcltal de lnllii. I'r, 1.,,.-., 1,, rtr:..i sishrul d.c(':riii(In ia'. $i ohdgencl .irc ldnrttc a..st sisl.nr tlndannJ .l .1. sol{ii.sle
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 300/344
?Lrcuin4 iD r:l.nxl t2), sF'blin
> (,d ,3,).r,: o. p)
' i'1
DL condilia ca sisl.mtl de r. a-ti; nrg.r,r'.. (9) sa ailnitE $lutii e a.rlc r'zulii €nali' c'racteistcn
( l.)
.) Dac.-r @na1ia c.racteisti.t: .r. ..1 t rrisciti HIe ti distirc-tc, lor 1' cor'spubd vectorii
p.op.ii lr, i = 1,2, ...,ir, tcspadr r $rn|ii dc fona (9), G constrtuic u sistcm lundarotrtrl
de $htii, solxlia eeicmra (3) sc s-'e in.dat
b) l)ac sualia carncteristjca are, d€ Pil&, ddriin. t1 mlttipl4 dc ordind l atunci lErtea di
&lrtia BderaJi [email protected] ei aft, jD aqeral, Ionn.
P1l')ert', ]"\,)c'2t, ..., P"I,b\', d sndP'{i} < n, i : 1 2,''
cJ (or-J -d6.:nno' ornpl^lc 'r rdl4z: iBila'.
{ 11)
12 5.1- Probleme rezolvate
1, O slbstanfe ,4 se descomPune in altc doui substante J9
"iC Viteza de for-
|rare a fiecireia alin accstea este Foportionalt cu cantitatpa de substanli nedes-
compusii. Sl se detemme variaiia cantititilor ce se rormeazi, j,l 9i lr, tn funclie
de tjmpul x. La moDentut ini-tial ' - 0 cantitatea d€ substanta este a Cantitdlile
de subst rli B Si C {ormate drgi ireterea unei orc slnt 4/8 ;i 34lP.
R.talu/.. ta taomckit , caDtitar@ de sdbsldli , 6te 4 t1 - r,
' vit.zele dc io.marc ale stt'siantellr a ti C ror ti
df ili-b A i"- r' Jt): r:{d_\_rJ ,a.
D' c.r^ dd) pruatii nr i'n, tu -Lh"
,' d.ci t3 : i-i 1r I Cr Deoan ^ rrr'r " r'0 - n,
d1i ht h,
erl ta c. cr - o <r J i /tjr",, ta."inop.z,tnp,inr'' aliP'obr'n'm 3h _ 11,_ 4r1'-
-a,a. r',, ' od arprs'6 '.r ip dde'FFlori i'nia'r, slts,n Ji(,r
fy"
c.. ' '.
Din .ondrtia iDifial , /'(0) : 0 reznltn a' - _rf{& + fo}_1 ti deci
'1,1,1 ---lLJr-i r,rr,,r,. 1"1'1= --&L11 " '' 'r"-, a, 4] ir
r,npln'I si ronni'iil_ ,t\t)' ;,i4lltj1, a.u'""- *'- lo:rF3 __l'2 Atad'r'
\olllJ robl"mei.qe
y,1'1 11t z-1. 1,"14 -J111 :1'4
2, Si sb construiascii siilcmul dc ecuatii difetenliale ce admite ra sistem fLLrrda-
n,entil rlc solutii v. "" I I j""'. 1'., / lI --
tr'2., t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 301/344
Rezaliare. [email protected] t'.(L1, y:) : -lc_F + O, rzDlte cA sisteDul .le solulii cste tinid. n e-
?eDdent pe I?. Dute €cualiilc (7) shtenul de ecDafii dili.rentiale enc
l,i -+* ---,1 1,, 2P' -l1","..-t".1 l. 0. l' 0
1" -"^ --' | 1," -'--, -"''tr"-t,i: -5 r) 2r 1; - 1- 6 ,.
J. qe LonsiJera sistemul rl" ..urrii dit, r^nlixl li-- -s", t2v. - '-.r,J; .. 5vr r oj) 3-a,, J; Jr -- 4Jz ,r:. 5i s" r;,r, ,,r .oiuliLlc-
,'2\ l2x-l'), ,-r\' -r" 1 ,. v.. I
'1"-"Y1:l_.r lc', )::l
\-:/ \:'-'/\-,1
{orn,eazi un sistern fundamental pe n. S;1 sc scric $olulia gcrrcral a sistemului.
Rttbl&la. Se y.trl\cr, ugor cli 1i, 1, 9i y, sltrt ytutii ale sisrcrrlui dc ecuatii, De@r&cWlv1, Yr, Y) : -4.'tu * A, V, e Jl, cele rlci solutii i.rrheo?d. sistcmul ntudonetrtal do solufii.Stsr(nul do oftdtii liind ohoEe , rczultl, cd Bolutie sd go ctr 16 estc datA dq iormula (3), dcoi
tL{ zcLetc )- 12, 1. l)c oj' - qc+l, ,,. .- -croi - 2,c e{i ,t- c.c{r,
, y' - 'zc\cv + l2t " l)C/- r - c'.-rr'
4. Sl se integrezc sistcmul clc ecrr.rgii .liiL'rLr_iel: -ri:-/r
-F t, .rj.\;
-: -2Y1 + Nz In t4
Arrorrald, Allicdm netodn oliNinarii. l){f,r,rn' r,1'u crurriu5i otfrncrn r; * -r,'. jnr,*ui,',t
I cea d+a doua oouaiie, oblinotn ocuatrla (]c tij) ri,Llcr rrr i' - 2_yr - -.r,ln '. Itoz.tvin,t nccaslr
ec a,ic, obtjnem fi=cr.r,-[., -]r.. -. 1'"-]... ,". fri,tr.. ccu&tio rczur,a )s.-r-),i:t69l- r ; c,'-' -:c,. - I ruri,. ir ?-ir-
J995, Sil se detemine solutia geneLali a sisternului :
a) yl :3y,- z- t,,ri " -y,*sr, - jy ; .\ - J , - /: '
J.v, ;
t) 't: y,+ h, li* ,+ h, i,- rt+ y )cl r:: -h + y, r;: -yz * 1t, li: ,- 4t":d) ]1- -2,yj * 2): 12,s, yi - - tot,1-6y, .8t,.v3 -3J, -J. -2.",ne.alodte, a) EcMFa caractcristicd a sistemnlui cste
r-, -l r I
I ',-" r . . o .
' ,r - 2. ,, = J, r" : 6.-l' .r ;,1Pedtr /r:2 sistemul al€elric (9) are lorna At-Aa+A3:0, -,rr + I .ts - .{" - 0,Ir -,4s + r,:0 9i nre sohtir,.11: l rE:0,.,,., - -1, Dcci o sohfie a sistcmuhi considdat
/ l\*t" v,*l ol";,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 302/344
?ent t : 3 ssiemnr algcrrric (9) devito - I 2 + A t : 0, - A L -l 2,4 r - A 3: 0, A I - A s : lr
' l1\ri .ru,, ,{,- 4" ,r, ) dG:1'.-lll.r'.
\ i'/
. r,oltru r:6 sstenlDr alsebric 19) 6te -3Ar-/,+tr:0,1 -At-.4,-A.:4,
A,-/^.:As- o5i nrc.or 'ia n1. t.4z- -2.,r3-,. De(i t"l-i1."
Dcoore c.rc
tr i rada.ini sn,t disliicte, rezxlta ci ccle trci sblulii [email protected] sist@ l"ndao€ ;l qi.orlfa st{eralta sictcnrrnui estc 1': Crvr -- Crv, + Cay3 su ,'1:Cler'T Crei'+ C er',,z:Ctetq - zojda,
, * --c{b a- c,o.' + coetu,
t i, r",.' .-z -,.rrr 'J.,,qa'i.1 ;sF
l-, L r
I I -' I
lr t -r:0, de uDde /r:2, /. = /.: -1,
Poltru h.= 2 ei$1enrl .)gcbdc 0) .ne 2At - A2 - A' - a, *.4 I + 2t, * A r : 0, ^A L ^ 4 t +-l- 2.4, -. 0 irr ore sol4io ..{ 1* )a * }r - 1, Penlru rAddcile du 16 /' * - I Eistehul (i}) ,e reltnce
lr o sinstr,t .cuatric dislh,cin.rl .- ,r, l-,4, - 0 d stel.emul d€ solutii ol sisleDrirlui dc ocuafii fllge-
nrlce (:r) csrr forMl bi,r solutiile,tl * 1, /1e* -1, Ae:0 Fr lr: l, ,1 :0, ,1 * -1, ]irondcci solrtriile liriar nr (bpeDdcnto
/l\ / t\ r l\v,*|il.'., &: l-,1"-. i',*l ol.-l
\t \ o/ \-rlSol,,+iA g0n nr{ crio Jr : o: ?' . C2.-' .l- C$r, t6 c*t' - cza-at ,.: C,t'- CNa-'.
c/ l:.tr lio Liru:rerislnn csre
l-r-' r uI
I 0-1-/
4 :0 ctr r.-0./"-/"--1.
| 1 0 -a-'1PcDt'rtr /r=0 d)firun 6istanNl 'At+At=0 -At+M -0, /r-rlJ,:O qi o.A
,4\A\*7, A,^4, -4.- l, dstlcl o y,=lll, p6nt ldncine d bl6 /r:/.: -3 sistchn,l" \r/dlgcbrid {3) 6rctinn2.4ta-A2=0,ZAt+4Ao-0,.r1-lr*0dare naiosohljcil1dctc .dentr.. id dcesi ftr, cl.trtiln peitru sisi€hrt ddt solulti de lorhd (11), adice
' ,r - \A1-' B\,).-b, t, = lz, + B,a)e-s, ,3 q ('{' -F . ,,)e-&,
D.cI le inlocuim ln sisterirul r1dt, ollireD va.loril€ Bt: L B,4 -2, Bs: I At: t, Bt: -1,,4J - 0. i' -,esr IPI ..lLrirlP.hr
l\,1\r".l-rl"',)"=l-1,"'.
\ o'l \'lSolutia Ccnerali a sistehltni ile ecualii esle :y1 : 4Cr + Cj er' + Ca,te,yt a.t- c,?r' lar,d /x:cr. ca f3r,
,l) rcualir cnr.ct.risrnr ene
/1:0,t2:t+i'\=f-i'
2-/ 2
-10 6-/3 -l
zl
-2-,)
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 303/344
P.ntr 11- 0 .btia.m sdlulia
--'l-":,'.;:'"1,-'l'^,''"'Ir "",,"''I ,;i'.lsoluli- €.neriu a sGre,nului d. ccuat., eyc,, - q,- c:i n -,o,.. -sio4 rc,e.r.o 1- siDr),lt: -Ct - 2C,.'.osz - 2C2 e, sin,, ,, - 2q - C, e5 sin, f C, ei c6,_
6. Si se tnteg|oze prir mcroda arirf;ei ,onsrrnretor -r"rnmul d" ecuatii dife-r, ni'ale yr ,,, l; : l,r I eJ - e ,.
,l,rol@r,. Procedild ca.la exerciliul antcrior, oblincm sorufi Aeueral{ . sisremDtui omoA*as$iat 2;: tr, ti : , s\ torna ,1 - qe, + c,e-',
']3: crc' _ c.€-,. Ciutr-
"or"gi.po.d""r".:
a sistcnnlui ncoaose dc fo'Ea ir - Irr(,)e' + ri,.(trle ., , : /(r(r)t' - r(,(,).-., rtr 6re luictiitbE1t.t st K,'t) ,on6c. e uar,lc k;{ T t(;e- -0. Ar " ..A:- r. ., (-r. obtin.,n
n,-i. l.*'. n; .-r--',"'., srrel .r a/em x,t,):a-.t,-u,22'2221
rrrc,r cre.-+""{, l} +.{. +l
t, - c,e - c"-" + |""{,, - ) , };-? ,)).
7. Sa se integreze .islcmLrl d" ..ua ii dii.rpntial^
;- 7h"r-
34y, - 4zy, + zet", t : -9, - 1ot, + 6f. + 5er,;
":ar
+10rg
-18]r -F 8e'10'.
Xa,tula Sistemul omogeD asociar are sotulia gcne.al
ii - 5cf ." - 2cre ., + 4c..ak, li - c{e + zc,e+ - cre-n"
'13 - 2C1e-" + C.c-6 + Crc-D"
c6Dti4 o solutic particular, a sisteDntui ncodoge inifial d€ lortu ir - ,. en + Boh + Ce '.rr - Der. L 6er" r r+N i is F cet- + arr - {er.,, ltrtdurnd ro ,i,r.md d. su,lii, prin :.tentificrF
-Jl-irs- lig-l ac
70 21- llJ 2a0 A7
_ti_21 ..68,11
"=(j) *"" r,r- r+i ob'nem
/. I '\ , -r. ,y,,_cJ+*tE,,l_" *,, ",,[ ,;
i_
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 304/344
Prin unarc, solntia gererat , ste
, tc:c .:.e. - trc...,.,j.l.. t., ",.7o )17
/r+c,"r,..2( t a{:tz, 1_1 .- .8..,,2 C 211
r e 2cr€-F + c"c-& c,-L,, 21a. t g.t.280 247
Itll3
286
12.5_2. problemc pr€puse spre rezolvare
8.::.sp-construiaq.i ci\(.rn,.1. dc.(l,3lii,lI.rFn1ialc.e ddmir urmetoar.l(sNteme fu$damentale de soluiii:
", ":(H;l ",_ (-:: il),u
",:( li l),":(_.;il),.) Y,:fl.l"". r'" - /ol"-.tx,i - ll/
- 9. Aplictnd metoda climidirii, si se tntetrezc srstemul dc ecuatii di{ercntialet'J;: - )1 - z)s, t2)r=.3)t,.F ryr, dupi cc mai f"tf; ,- f"* ..flfrni*". i.l"^_iebili r:--'-.
10, Sl se intcgrcze urmitolrcle disteme de ccualii diferentiale omogene:
a) li :.y: "l- 4y,, y',: y, + J' ; b) li : -3 , - tz, y," : y1 * yz I
c) ri :2r - r,, r; - lt + 2j.; d) t;: -z ) + y,, );- -4y1+ 3 :el ri :2y -l ts, yl: y1 -t zr,: y1(o) - I ; j,(0) - 3 ;
ll y" : 3y - 81, i ay", t', =. - yt I 5t z 2 s. t:": -Sy, * t4yu* 6y"1
S) t', : - zjr, -p y" - 2y.,,ti, : :,, - zy" * 2y,, ri - 3 r, * 3 , + sy" iti) r:: )',.-r,+ y., li-i,+ J.,y., )t: _r, + zh:t) yi : yr
- ys Ji: lr t'g: yr - ye-tL Aplicind metoda eliminiril si se integreze urmetoarele sistemc de ecuatij,ilrierentiale:
") t'-- -3vt-r,.); yt J.I b)r;..4y,- rt,. ji:3y, .4Jzic) Ji : 6|1 - 12 "* s, tL:y,_3yz_yg, i: _ ayt + lzJ,s+3%:,t) .v, : y" * ts. r; : ta + h, JN : 9, * y., yJ}) : 1, r,,(o) : 1. ]lslo) : o J
c) J,i ,= 1-.Ir + r,_ s6x, ,L: _2y + r|_ze":
{) -\,i == -tyr - 2} + cos .' + siD; + e-, ,:: Zr1_ , * cos.r +. sin r ;
s) -ri : *yr l- e', L: y -l e-'. .
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 305/344
12. ,\pticind metoda variatiei constantelor' s; se iitegreze ormitoarele sisteme
<le rclralii dilerentiate:
a) j,i:11y1 + 16r, + | t. y', - -zy' i2-x+t:,h) tl: ys x. r:- h + e", yr(o) .: l. f0) : 0.
13. Ceutlnd o solulie Particul,arnprir mctod:r coeficientilor ncdetermin4r'
15:'L se integreze sistemele de ecuatii difercnfi'fe :
rj I'i:yr- )',1 3:c', Ji- -4r-t-2v.+8'+z:1., Ji.- 5.ri Zt"Ic', IL J'-6r: I c":
c) y;- z), J', : sin:r' vi 4)' I z-v"+cosr'
14. Cu ajutorul seriilo. de ?uteri sl se integrcze sistemelc de ecualii di{ercnfiale
a) 1,i: ,v1, + (l -,ti. " ) : h - .:,l'(0): 1' ]y,(0): 0 |
I,II'J J: ,,")i l - -a:. J;: - ; i"Y,+-t , z'
12.6. E€uatii cu derivate pa{iale ale ordinul intiiliniare 9i cvasiliniare
Sc nnrn.ttc (:u 1ic c ltri,ntc lsrlinlc <tc onhnrn i tl liniarA ti o rogstri o ccullr€ dc ldttr4
-y,1,, y-...,,"1J11-1-t"t.,.,,. .,,.1j -r" +-Y rr1 r, ,i")-g1L*0, (l)
't+d"{idc s rste tnrct4 nocuooscutl' i.r lu'c}Ule rele Xb i : Z' ''
sint oooti"lo tl ad dcrivote
ralliJlu (onti ]u4 r'. r 'luBc'trtr DCX'9i nu si t t6le id"nh( I'lc.i\reDul 6r.rroIs1,r Jtalr ccuJfici (l) catc
'1, ' rlto dr.' xr 'Y" {"
solutia se&rali a ccMti.i cu dcri.ste pa4iale {t) arc losa
(2)
r: O(Ft, F ..., .,j), (r)
u nde .I, cst€ o runctic rcale cu dori/ate Pdfialc contia& pe un dod6dir dh 'e"-f ia' Fr' ]. " 1'N:1
slnt r - 1 irLtcg.ale .ime, iDd€pcn<lente ltrnctionar''te
sirte'nnlui caracte'istic (?)'_ __
p.our."" r.lt Cn""lt" pcnl." .cnatit c'ldi" t6ls4iatc
(t) insaldnn debrmina'ca acelci sohfii
a .o{tiei (l) crrc ?edli.i coadilia
" l.:r -'e(" ". - ' "" ')'({)
lunclia o liitd contitli, 5i cu a)rlnte parliarc cotia"e'
b""rol,"
." a"ti""t. p"+i6le ile ordiNr ittii ct^silina'i este o'cutlie
de 'for 'a
x.,r, ,^ ... "", o il i x"{', *g r' ,4 + + r xL', ', 't "' i irr - ett
: x,111\' 's " ' "t') (5
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 306/344
")
l.
getcral, . ace+ei cctralii .ste datn inplicit prir
oF (*1, .. ., r_ ,4, .'(," . . ., ,r, '), . . ., rtx ..., r,,,")l
_ 0,
undeFl,a;,..,,a,sr^nt,nnos'al€p.nneindeFendclteJrnclionalalesisleotrtnisimcrtjc
1l',: d". : . . : lt -, n"17)
12.6.1. Probleme rezolvate
Sir sc intrgreze rnlntoarclc ccu:lii cu derivatc partiale :
',-j1 -rrri ot ,,, : z,"j .\" 0;
(6)
, '# r+ ..- oi ,rt;..r:1, v,.-j o,
tl,,or'?r. r) sistcnd tomctcListic 11h: i - e.e jntcsrnro r nll rl ,, 13: cr ri de.i
*nr r sorclnln sic" - aD(,? '-,,9).
'' sie*,n,,l cJ"r, r",il,i. "'' -r'' :ii'.u," ,r,rcral.lc 1i.,. , Jr.-r, ,,,"-r"
\ '2\lL,ncliorDl indcpcndcrlc. Dcoi solLrlh Sovnli, csio
":O(rlv,s, r.rr).
. n'. ih., SLren ,l cAr^ircrisre a : := : ,,, =_t1 ,rctur"gralelc trirnc - _ C,, . . .,lj :
: c"-r tunctiolAr i,,dtrotrdcntc Deci R)r 1ia sdlcrorl . Nnlici cstc , - -l?,?,,+),
,l) Sistcnll cdaclelj61ic :::r :,r nrl dr,
Jn-t/*-c. Prin nn.are. .otulio Fc,'mrtr^
c(unriu *' ,*,r,,J.\*J.',. \,,|cnt[ i - I ob1tun J'r r ] : cr J]j * 1 * c , d+ ur.rc ar ,." (l -- c1f, ,N * ( I r- crF,l'lo
'indr(c6,.r in,"1r-i",1,,_1 *,r --r. obFiq,, r= l..cr'- l-(rr. l,'1.,1'.,, c
r)o cr rl c1 cu Bpresiile lor nrjtinle, .leluon sohlia"l,t.rl "
: 1r 4 .u/[ - Jil, - ft +
2. Si se inlegrerc urmiiioar<lc c, ualii cu d.ri\rl. Prr ial. (1a'iljni,r, I
2iuit xttt - -F xzu-- xt; Dl It -_+rr-r...|\"- - 111.
L:o,lafe. a) Sisrcmulcaracterislic(7)arei acestcazlormcdtr--dir d'ri ,r inte8fut 16
'It tz
r.'i,n dirtilde - .r , k : 2. r I . . SolL a seDe,Jll J ",udlni"EcA1 ,.. z,,l =0.\)
1 ?o .ce*,az sis,'nd cara( (ri.,ic (l *r" I - -1" - .. - 1 -'r- ri ., i,. mr"te
pnne dinincrolr : c,, ..., ji-r= c,-,, 4 c- \oDr,a Bdndrr "
.,."".' *,rr i',. .,'; t r,
':' *):"
stl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 307/344
3. si s- dcrcrmine .oLulir ..uatiFi , i:,- , :: i lI care lrece n.'' ."*"I
definitt de eeatiile'?
+ 'i: \, u : 2
,rsudr'rl,. sisrcdrr wact .,,rb a -d} : di*"
-tesralet. pdmc distinc..ir - t' : -"
ld"Li.orur,a qrucErda"..,t' '"- o{:: ''-).-o rr',,,i,a rr r:sildioa *r;'r 'ir'i-r'
n =2,\ - c,,1:- c'..r,;i"-" Clcl+cj:_|ci inl'{uid aici c1 }i ci cu e*presiil' l@ri orrl.* -r'r'l crnia,E
',' - .; - ,
12.6.2. Probleme proPuse sple rezolvare
4, Si se integreze urmr.rtoarele ccuafii ct derivate partiale liniare :
"r rt r ri) -111 i.','." o; t'\ -,"-, ..+ -'., | ',)1: -0;'ir, - ,t -nt,
'i'I +\-1i '-J j-l o ) \rrfj 'r)-5. Si se intesreze urmitoarcle ccualii cu dcrivate parlialc cqasitiniare:
,,' \ g I y, u:- J,,-. Lr r.,rji .r.,r'"- - -',r::'2', ' i,, _ J"
,, ,, t, ,, .r, I d) (r r J;-,,- tr I - t:b1t dt
1.,'l p1n.- ri) ' ',:{tx, |.it-- -l6. Se se .ez-olvc problema lLri Cauchy pentru urm;Ltoarcle ecuatii cu derivate
pJtir'h:h , ia
a,)-Y --. l:- - l.' ',''. lt..'';-n- b)z."ja:L:z\*; xi - xi. ul.,:, - r,; .
,1r,31 ,, iii, , ,t ., ,?: d .','. iii -'" *L.--'u"',1.,-, ',; .r
-ts.Y, ',,:, ,'. ":",-,.-"i-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 308/344
INDICATII 9I RASPUNSURI .
l. Mullimi. Relalii. Structud
1.1. Multimi
s..nc.,.:l,.c r, rc.", rcs l.t..r =lu, A,.. {, /r. r}.I]...t =Ic,d}, B_u, rl,ti | 1,t, b,., d,., L E, rtj_ 16. r) _.rxr.rc _ l{r.,. rj. rr. , , 1r .. ,). ir. a y1, p, 0,, ,1,li.,
,.. t., (a, ., t), {2, b,'), 12, c, ,), \2, a, y). 12. h, yt, (2, c, 1,1y, ,"1 .u
"z , i': 1)1r, ), ,1,t, L il \ , d), (t d, h), lt, b, b). tt, .. b.). tt, a, 4. |, b, a..i,
",a: e, .,
"), 1r, t, .)', i2,",
a, r, b), (2, b h), 12, c, b),
lz,a, e),
12,t..1,12, r..)1.
r 2. Eetnlti
a, 4 4,4 a. 1. CI.-cl^ (te eJriv.l"nrl (int (t:rt. de rc,,u,i hxh:to ,. E, t,,. 6) e o silt. .4 p. itat,d. . + p. dcci nn ecrc 'n ,r,v.i.
2. Elcmcntc do algcbra linisre
r L Delermin.nli
12.a)6;_l) Ji_c)8:d) 2l'c) rr;r) 16: s) ?. lJ. a) ,p"_ llt.z), 12, t)1, q = dtl,a, --atat:b)(pr:Ilt,2,3), 12,3,tl, lj,t,4. 12, t. r). tt, i,:t, (.t,,2, l)1,";. *,,;;;:;+t- a,{qdnL "l aud %. - aed,ldrj - a\jahq* - o, ,i ,,,. q e, = I(t. 2, 3,. t), lr, j, "r,'"2t,
11 4 2, 3), l\, 3, 2, 1), (1, 2, a, q, lt, i, 3, 2t.12. r. r. r1, i.r, r, r, ,1, f., ., ,, 1i, iz. :, l .t,12, 1, 4, 3), (2, 4, 3, t), (3, 1, 2, 4), 13,2, 4, 1), (r. 4, r, 4, (r, :. t, 1). lj, t. ;.;);, \;, ,,,,, ,).(r, r. 2, 3), (r, z, i, t). 11, 3, 1, 2), 14, 2. t.l), (r, r, 3, 2), (r, 3, r:, t)i,
"::
";;"";",;;, +1 a1{*aaaan + aioad,.a.z * di.ua'- - d\.a2&sd.. _ .,;;.;,| -- (,,a2rada* + a'6ud*a + at2oz{.{6 + ano4a, 'i + ""y,.""". 1, ....._i. + ",;;.";;;_
dbaztd\,ad _ dha\ar 14 _ i,/Pl ,x.d4 _ d\8.{,{t -l d,a*ard' +
+hut21dr.4A
=l+ou+,'.. 14. al -61 b) 3s2t c)t 260. ts. ,= lt . il-it-F J r '1
i. 2.i. jni t.j-2.Do.i ide,*"r, _ d,.,eqr. 16.,[ i]{} c?{rinpr -
. t..-,'ef-,'. a,pjar"d.,. t7. .,""",",i,a,,.,.,," = o a"kc.c ..t nl{ltrrnnr din_cei circi ractori esre ze.o, jl ,. a) d,.- _ZA, a":,r, a,: ra, dA:112, du: _32,at - -_16, 4r:_0, ad :,1E, d$ : -32j A1 ".: -t2, "_:
_Sa,",,
: 14,",, = St,i., _ S:,
d|z-- 16,-d*- 17E,d{:-136, di: -22. d&: l?f, da,: te,".__
_rO,".,_:e, J.,:ta
%3.=-54,et: - 16 ; c) d -- r 0, dr : oo, oo_eo, o., : rzo. n.l : m, o,, : ro, n J'_r29,dsr' ,0, a,r=r0.d"r. -l2o,.ds- -10,%,: .60,
".,.IzO, n_ _oO, *._uO, i.. _r.
r{. ra --3r1.0 F5l.21.a) .:b) _12/,:c) 52;.t) _ll0j,1 ,",1,. zz..1li91 U o;., _r.r.r.rr. \r (@t
-I ti.r,r d.
FriMre
titri. i, sc uritizcnzj n,orrietato r.gitl a. .*.ffi-*.,':333
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 309/344
21. ttz: 6 - l, d3:1 -,: -lo. 25. a) Sc $ote -l {.ctd de ?e 1nria a doua ti coloaln a
(lona L) Se scot lactorii u, ,, t de pe celc fre coldne- c) Se &irne toate liniils h ima. d) Se scdt
foctoDj d, ,, , de pe cot@rclc 2, 3 ni 4 ti apoi * inmDrtette linia a 2 s, . 3 a ti t 4'a.r b. @,ri dh
resDdli /. e) Se desc;npue .tc(eminantnl dir nn:mbrul doi tu snsn dc dct.nninanli {) S inetl l.f llrinr colmn, cu ar, ii.poi s $ot f&tdi dc pc lilii d, 6, .. 26. Se sPlici acecati Dclod, dorezd-
va( ca i:r cr.6, pcntru (lctertuir.nt \'lt.leflnondc. Sc oblinc relafia de rdurcnllt r'itr ar'.
...,;,):(a -di(.3-d,)...k.-,Jtt;-,k.. na. .... o)+o "-tto,, ,, .4,)] ,1r'Lkn;
v rt t,...., d, =.d,-- rr...-1.4i).r'.{a'./:,...,",l.LDa)l)e F}{
I., 'ei l i:. D'
hr;le doln iirii r 9, lt 66J, c) l)npI prih.re trci linii: 12ll d) DnPir rltittlti doun 1iiii: 1000
2q, {) :1,
.l 0000,t000040oo04
4,.1. # -.4r t. d3 0
" ^.,., .1 o at1.u-t c+dz o o
"" " -l o o aa+b'-.:.. 1' o
O 0 I\ r: Lt-]-d)31. n), bl, c), d): ride ndepcndente; e) rinid ilcPendcntc;4'pent " 7.en\{-3, l}
tiliar idcpendente, iar tenttu ).: 3 sx'.
= I sint rini..e d.pendctrle,
32. a) Dez,bltlnd .lupt Primi colmni, obtr @ D":2' I + D, r, Deduc.D D, - 2"_1 -
+2*1+ +2:1:2' r. b) Sinilar obtincm P,:dpt*\+PF de urde P,,:,"t'r F
+arftx+ -+a1' at
2 . M.tricc
,.x-[ ] lI. v..f j -rl. s.Fi" A'ta4t, e $.,1 ""a':bt,"i c t.,t \
lrrrl \i o,.u =. -dr. Atur.i A : B -l C +ar: bu +., i deq ar- br+. : r, - .r, Djn ultimcle1 I b,, at,t s.d)r.f'll t:./+@, ,,'llrii obti'.-r ba;bn
| ",1, .az \. ar
*" {: I) "* * , *' *{; "J* ':{-; l) ,' ':
f-i I
-J1
D*-ct2"(; 1) '[:Ti:-ili:)''"'(i
; :) " li ii)
,cr'\ a -r
n lo q:l
U.1t-il -,, 4
\10-2t I' I -2 -
lo I n -t,_,\ ; ,-_, -,
/ -3 -.t\
-;j) "-;{ , -' -,},'\-222)
o(':{-i'" -'t "::-i)'
" (_j i__,1),,":[_ii_l,i),
"il :ii:l @,ito '...c;; I
"l,u',---l-:, lb - ott -dlt-
,i) -,":( ;i_:):
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 310/344
,-"-*..
I-1, 41, ana.t 4.h) )., j''a's4 r:r r>
'l 2 il-, IL
- 2=,1nE,,1:l:1 :+nnflt r. I?. l-q -t -,. I
\r. s 6,
,J "(i;;il'(l i I i) "'."o slne dc deteminanti. lentru detcrmnraca lui ,{-t - (b,) sc €uti tr
+ t?i, Dao6.t6e .a .an : E +ia,tb'r :8,., dedrccm d/r : Dr" -jl
l detc sc adune nai irtii tolc liriile la Prinra $i sc scoale l&ctor t'l_,r'
nl
t6rt dn toat€ @lclaltc. bl sc nrnti cI > auDjr: t,r'. i-r
rang.J : 3, iar cnt'
+ mnA,, : 2; c) )-t
l 2 -1 0
'"rl_-,] i:\-r, e 5
20, S. scEe d.t, ca o
d. ror'ra D/r - ,8jr '
- --L-r,1, 2r.,1 1,
.l oi se scadc l)rinra col
rs.nareuNste:a)z;t)z;c)2;d)2:e){;4:tj8)l;n)r. 16. a) Pcntr i:2i s" t : - I '
2 3 sisieme do ecuallt algobrtce liniarc
5. r) I ncompatibil I b) '1: -2, 4:2, to = -3, rd:3i c) ii = (2+ Y)/J, rr:(l_l_3d-31+
+ t't)16,r''=c,,.:9, 16 -1: tl),1: t912, ',-26',r: '3' 't= 0,
"45'' o) Iicomlaribil
/{\ /l\6.'rr,:i I.-6, r : -li b) ,i: r, ' - 2, ,.: r' ? 6) .\'.=+ l.rl, u
"=l ,l,,\./ \./
/ 1\
"rx - I z I . a. z,:1, z,- l. 9. a) mns.{ :2. 'atr8r-3,
inconparibil. b) conPatibil dLn.:F
\r,/nljrat cu 6ohti. rr: 3, ,r:2, ,. = l. c) ?cntr L e R\{-3, l} sistunrl esie comFtibil d0ier'
nihdt, Dacd l= -3 tib+.+d+d*o, sistemll cit€ @mlstibil simPlu nedetermilat. l)rcI)'* t tio= D: r: d, sidtemut ste codldibil tiiPlu redetdninat lnrest sistenul estc inc'npd'
tibjr. r0, d) n:-Itid=I: ) :3;c)b-z,,t= l t' ' = - , r : _- ; d) 8n + 69'' = 70
'-t o g ,, sisremur ste comnatib l I'tlu,. 1) rj d*{trp .34tlt1 ,ip/tt2Jd-2
'.ir'r'.njrsl. 'd- -1,p=-l,n lr,t-iu' *tut'.rr-18 lt/5 1 'l{ lor/r,* - a, a e R : c) d : z, P : - 12, n : -2 $ sr4id *1 : 2, -- 2',,, : (t - b)13 4 - a'
r?tlJ9-\t b,a,b€R. 12.^:-5 ti tL: - d,t.:a'tt:
rr",,- -4o a cR: q : n
lt la. x. - -a \-1a, t., a a.eR.
. 24. SD.tii vectoriale
12. a) Liniar indepeldent; b) linid dcpenilert: 8q-7'''+tr:oj c) - d), - e) liiiarindcpcnilcnt; l) liniar depeldent: -Ar+2A.-3A,:0 1:1. ).- 11. p:3 ti _?lr+3'4r+
.f ,r3-0. 14. a) b) liniar irdepcddeatr; c) tinia. (6pendenti: %-3o'+1r=0, d) lidiar do'Dendcnfi : 1?( t + "J
: t 75. al Da : :'t l + zrz + 03 ; b) Nu ; q D. :, = -rr + tr-]rthl
335
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 311/344
22. Dc cxcnpru: A) r,:(-1, 2); b),.== (0, o, 1): t%-- I j,r),"= i.r3.4t3 -;)t
*i-l f, ij j il.(i ;j) "(j i;) ,,, ,, ."-
-. N' -,.112, r,: lzt - t' . ra - z.)12, t\:lar-r,-,, t r)12, /'= \-r\r r' +\+r.)12,25. ar t; b, .26 I1, t, 2. r:- P. r, -t.zt,l-r-2, J. -5 - r. 21.v', v.. , ' 15 Jro vi9..+{.-t, t,0 0 - =-t-2, -2, J, tt.2a.t ' " - _t. 20.rn .4- r,r
J- Ja [5-31 -6 l] e,DxLfric.d sistom{lui, Vcctoriilinie din,.l apartiuloi ni. A r.zolva sistcmnl li i4 9i o'nogcn lnsnn i
^d.t.rmiE toli vcctorii din A' ca.. .int orrogonali vdtorilor linic dtu rEtricee L Sistelnul fuxda-
nurtal d. slutii roDrczirtt o lRze a slbsFltiulli gendat <16 multim4 solutiilor sistendri,
toi. 10,t,t,011J5, 1-t, s. -s. z11Ji6. tt"1
1r,0, 11Ji, b) (-.1, -r, r)/.,/iE j") {-3,
\\t,)2..- \- 10 ,-6'.,, 6\-r,r\i b) u {2r, t-r -1,. i.'6. 17., 1.. Lrde
F,t. :i: I lt r .- J_, - '," + { . u;rr.t ,tjib)rroiardep.nd.n .:,"-1tz-2t,,,,,t2,.) liriar ind€pcndenti, ileci ldnna?'' LazI; d) rini.r indep€nLenli: romerzi t'n.i 13. D,,r.;' Dnea
cic trcii lazi n , 1.r ; .r + -2tt + 4a, - tr ri=. (12'. - 10rJ15, 19. ) Di. n) r)^.4 Nnid) ra.20. a)
":Jh8 3 + Jr ; tr)
': - 1'.12 1 cl t- :l'r+5.r; dJ r:2r,+2N2+v,. 2r.
Lt \,- ,, ,: 1, rx:4tL 4i, + 4 ., 4: -,r i'4-1.4=I;;, : 2 r - r' - . + yi, ,r -
- ].,a; )
6, -2)11.32. ^,l: l; o: l 9idJ -t4.
2.5. oFlalori liniari
E. 11 Nu. b) Di, c) Da. d) Nu. e) Da. 9. liu srnt izoDorlism.. 10. ar (d.o/1.(, 'r, r') =
=. ltL- '.+',, -,',4+,,): Uost lr\, ') - (z ', h+ r.l, b) llo l'r, '1, 's) al2s ,3,')'.1- 2r1, 1'1-,',')t
.) leal) l%+ 4 t): -\-64e'. 12.'l l-16, o1e l-u-2u, -B-t)
'l l'1(B + ut + utt) : l- - a, t, r+r+v); c) J-tlu, )-o-t-l (3c - 2,)r I d) Ntr csto
invqsbu; c)Ft,, o, u):l-3u+2"-2v,6a-3e+1u, -zt+o-u). 13, N . t. /{dJ *: 17,
.i,-3) ,i l(u) - (-J, -3, 2) slnt liliar ildepdd.lti. 15, rr r, rr sint liriar d. c dcnti:
r 1+ ,, - 3, E 0 i JlaL) - l-5, 5), ll ,) : (1, tt), tlq :12, 3) rllt ljniar dcpondonti:
-l$L) "r l@') - 3|ls') - 0. t7..) Da. b) N .c) Dr d) D4. c)N'. 18. dj A'= {"r - (l, l,0), / -. (-1, 1, -lr. ', - (-1, l, 2Jli 1r = 0, \ -,1, \: -2: m.k'ca schhbl.il bar€i cIL ..r'ticci cu vstorii rinie ,:. ,s, ,' i bJ G' : l\= l-11, r,t1,"":'-z-zJi, -tJt,z.,. ,-z-zJi -r -.u/.r, u1|:r.,=,r, i,= r-./i r,* r+/Jr c) 2-ta|-lt, -2
, : (r, r)lj r -0, ),,:l d) 6':{' :l-2, t,0),,,:i|0,0, l), '3: (-l' l' 1)}; r1-
2.6. Folme linide. folrDe DSlrttlco_
,1, -2. 5. a) Li'iar deped.fi t Jl + fE - J' - l.: O ; b) ridia. dcpendeat: -J'- sl'+ Jr:0,zh+Jt+h:o: c) linia dependent -zh+Jz+h:o.6..) rL:,,+,, 2-r,+2rtr
\ * h + ll, : ,i a- te i- t8: p - t, o - t: p@itiv ddiniit; \') h:4-2\+\, ta:- o,5l,z +'A), h * 0,5('s - \) + lO : i + & - r'i : r : 2, d : 1 ; ncd.seDcratd, ;d.tnritr j
.) h - 4 + a,5,,, t, -",
t. : 0,51'. - a), h : o,51" + trJ + JU) : ri - r,2.it? - ),'s +ri :
I4 2. a 4 o: ledescns.ad, n€delid6: d)
h: 4+lr' )- *. -l *a + f, )/.2, r,
-,r -l (,r.i r,-F
/6)/3, /r-\r.-(rf 4) 4, ya:\i'i15, t,:'6-litt:t;*J11.r.-'-'5+ u.l "
+jo :r::.6=5: Doziriv defilit j' ' .) &: 'r + (,' +,. +.. .+'")P, t,-':+l*"+
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 312/344
'', -. .,./r ....r-t ,. t t x". t. -.x.+tUJ-r'l r ,,':"1 +1ri. o'-"1r,h, r .. L : poziuv,reri,.i,r. t. a,, 1Ji4 - Ji- 1y../r.,":,./L.. 1,,+r" . ;,.,. tJzt, - '.i'n/o*,ra .-.,.4 tJy F6'3: b) zt=t-2.v1-2t". )sl,J.r- -r 'i -+'-, - 2i | 3, aa : l 1 - 2t, - 2\) I 3 + flJtt : 3l + 6t3 + et?. c) 4 : l-zh - 2r2 + \,) I 3,.
t, : | -2 | | + ) z - 2 jt | ). ).\ - l)\ - 2r, - zrrl 13 - Jb) : .-9fi + grt + 184 ; d),i: (-.'r +- t.'J2," : r,,',,. Ji -" - t, - tryi : - zfi . tZ t z4, "t,,= t$f t
" _J i" :J.
:, 2), : J2r;'\lb: . - tJ 3r,.+ r,+.t2r .J6|fti:-att ri|rt., -/ -J r.. \ 2J..'r,r/J6 '. Vr', i,.rr,IJh, ',:t,/:h-,J2y,+r"tl\/r, Jtrt:ttt .r" e);.
srr, r':' -.y, :ri/r/.r \-l-zh+AtJ5iJlrl: . ?t"iLal br r,. { j , -- t; t J,. _\, -,',, rqJi,;: h Jtuj - -21 + fr+ Ut i),, - )t', - t , - J \rx 2.
: (-"Ji,^ )"1?t Jr. -2r1 +2tii jt,'*b\-t)kr2, ,,:r,. '.-ty,+ tJzt\r): ri + lri + i)t.
3. Algcbrx v€clodali
3.,. u-5i bj ' r/r., r - rtj I ;o, fa,.i:,,.36- Fic,{,,^s,, c, @ijt@{re hrurrror s.fc,1, AB. i AttAc tt,4+: AA +Gjir:a. siriu,, r.16; ci +c7j:o si uE .l-
2+ ++ -
Bt + GII 4 0. Ad riim aerr@ ri fiad [email protected] .14 + BB'+ CC, : e. 3?. Fie or 9i Os.
, ro:cr ,ir- rui u -.10 :i (D.,,1*,*. o,-7:fz +i,: fi -,i-7J l,i -
l+ + +.I.t Otn ,AB) tC IaJ$ddj, IA +tE. LtO+2o2t. Simiirr obtiD+n /arli_
- z1i". t". ^1 1- -'1, p:0-1:-r3j b) 1:3, r.:l-vl:v.. 39. a) cotiniare,b) colilialcj c),€corini.'e. a0: sl iopid:n: 2vr + s, - v, : 0 r b) .@prtutui; c) copran4ri:
v1+ v + 3 = 0, 41. ,\ - 1- l':'r,: r,;l = -2 + 1- -v, t,. o-1,"=tr-* t-1,",
43, Sun. pit.atelo. diagolaletor rDi pa.aretogtu 6rc egaU o\onr nn..*"* ,'.*n,o.'*",44. v1.v':0..15. -(a3+ :+c')t2. ao.
"1r 5.u/s-;
".--f *Jtz.
l -: t:":, ".:, .-",.,",1
"** + . a. J3i. 4s.60.. so. ;; -.- f {,..r.,
r ll ,rr I J2tD', - , I
,1 '.1r". ci - r, - -L o."r" s, "35 I
,?p.^.-,.J)a jh)-];;;c)
l:i-
r8i?5j + Lk).52..a)
r ) / .o4 r . r+ y't). c) Dh excr.ifiut.'0, ta,= i_L, d.. i , Ba, ,= \ 2. dl0,5.,rct.
. ni, :r."':r,,r-,..r/ro r :/o , ar + A. s.r. vr=ri jj 3*. *.,r,: _:. ss. ct,"..".1*
- -]' r,l', - : .i,,-,. u :;r"-i6- v,rr. - -. rri-:i -,r,, ", "--rl,'.,i -.,,".,,
:= -,i ..: 57.J. ra s0.,,,a",,, .,:a ;orr/j, i,, o,r-:tr-r2o /J .r,rvs,-.r9-
51. v, rr .is . G. br... 60- a) 12; jt jr; () r. ar. ,rn/r, L) o. 62. a) .v,. r. rrj _ o, co.
tri'lari:v,--y1+2\',ib).oprrlari:{-2y+5ir)rr+{31-5e)t"+(2c-3p)v,;,0;c).opte"nari: vt+ve+t,*0j d) copb,&i: -5 r+l?.-r,:o; c) @oPte.ri; r) coptdaril
-{vr - evr + v, * 0. 61. I - -, -trr _ 2'. +.8rt - 0. 54. a) 0; tl(h,, 1r) r c) 2(vl,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 313/344
v:, vr) i d) (" , v., vJ/r'
€) {irl, Y". s.) 6i.a)?r, b) 0 6e.a) r: h} vi:\5' rj n{rr,
v;: l- i + 4j + zk) l7, v;-{li-5j+*ll?: c) 1/7: d) vr ''( ivr x tl): - 9i + j - 17 1'
rv,\r?'\v. = 9r -6j i .?0.v 'si 6j +7k-rt-a)-'J2tht;Jol 72 '. :
,-ll,,. '5t,) h,. -z:Jt.n, .i,J6.r.' '-Jro',) /,. 2-rrro", .l
426 3' li ' 5' - 15
j,, ;sJoa6.7J.ar r.: L) t.7a-:-';,\/3, "; 3 7s.t' i + rrr/r l)Ir')- :+r -/1 rl+ rr',r6.5, lr.76..oq = , .c0-:-:, cGY -0 7?. irl lr' r' 73 ro , _-
2 J. l
.^0-- g,.*"=-L 7e. a),,:t s- l; r,t - 80 r I I L-' r6nr) J6h9
, - a r ,': , - .- 10 + t' + y'2- r4 +2a',' i'i F,n=0. 3t. ,'t-1t'2 o a2- 't) '
.- u:0.' sr. '-t+r, r - ;+ t' + f ' + 2a'?' + ,'" - 8 : 0 ; r': r" cosz - t" sin c,
y =r'sinr+y coqa,d:45", r" -{.0:d:135",/a-4 u a{ l,eorrccc tr=:"o d-'- v1sinn, y, -'i'ln"+rico,a ti ' ::rcosa-{sioa, ,^-';sind .)';cosa .czulin
' , -- 1 ,. 1- t- I L
rJ,-,l)r:rir--/ ,r.8s,y:-r=
G'-^/2t +^./r),y== t i(t'-
J2l - VJ:),4 t vD
':: + -tt2a +,/2,|+-/3''t-t:0.
3 J6
4, Planul ti dreapta in spaliu
28. d) -1t+rr lr:=0 j b) l,-t+2:-6.0 2t i\- slntcoPli n.. t -' i_':-
- r - 0. 3r. , - ' + 3: : 0. rz. "r 3 * - '0- v -i. 1 : - z a o , b) - , -' r 's 1 , - t o.
.33. r) 4 i b) 10. 3{. .) eo'j b) 01 3s. a) coli.ilre i "canr Pc ilrcartn :j :+ -"4
' - t t - | l:-]..t [email protected]. ar -., =.13 .* o- 3,b) colrlaro:scaIL4P.drcalq=:-l-: _, h 2j
."o,1 = 1, r,; vectorul direcrot sl drcPrci cste u{6 7 6) rrtlcl" '" "= i -l3 - iJ
"*r: , rr' a *** ' r,t ur{10,2. rr) 5i n(3, 12, r} nnpricn *t',,",t ="**# 77
38. ',=:,-: ='
+ 5.39.IGzorvtBcele ilollI [email protected] ec$lii ln 0port ctrr
riJ, de exemPltr,
-a810,z) r - t, 9 - -7t + 1, z - - lgt + l-t : bt, : t, 1r : -3t + 5, z - -5t + 4 10 a) 7r - 5 +
+'-3-o' \) -to,-t+at-t9:O)c)z- :o;d) -2'+r+3.-0 ,1 Planxl trcce
prin M ti 3re^orm\ta
Oit:3t-6r+2t-{q:0.41. \MrMz,Is) - t + 3l + : - 2 = o t
\M\M,Mj) - ' + a, + ' - 2 : o i lvLt|.uiz. - at - 3t + 6 : 0 ; IMaMtM')z' - \U - 3. +
+ C - O. lf. ,: \, y:2, 2:3. 4 . Sistednl dc @ualii este coopatibil detc&iBt, cr solulia
, : 1, : I, z : 1, 45. SisteDrt lorE t cu cdc trci ccurtii 6te conPttibil, simlh nedetcrmin'i
,Obtinem ), - 3 ti ecualiile drePtei ile iqters6tie,: -L+t,t: -L+2t z * t, il6. a) Stnt con'
curente ln punctnl {3, -1, O). b) Priurr si al t.eire Phn sttrt Paraleie Primele dod{ pLne, ca 5i
sltimele do 6 plane, se itrrer;ttszv. duPl o d@Pti. c) PlaGle * idersecteazd drPn aceeaii dreaPtir
deac.tulii,z' - r + 5r-1:0,3/- \72 +22:0. 'e.4) cobcuede incunrr' { i -.t i),b) Trci dintrc Plane se idtersccte 7.5 ldtr-ur punct cc nu ap.rtine.clui de_i1 tnnca' 43 Deoarecc
piond trcco lriq orisiie, cturEm ccuafi' sub forns t, 't Bt + Cz : o Fie N('1, I,, c), ast(cL'i1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 314/344
Nr:o ii * (N, \J=60', :',i2, 1, v/t implic l' ,:0 *D '+3]:o4r' t(t tu nl+
+ u j : 0 ii u ar - o, n1{-ri :. l). Ddi tr(1, 0, -5) r,i ccn.tiirc cr91.i .t,,t 1: a1 0 ,3
5c. ll--l : Ll- i:1. sl. i)r.nlita .5dati 6te conlinurn ir plalrl P iii in llannl Ji ce
3 -1 I
irc.e rrn, 1i... 1a I ri (lc Pclpendicda. Fe pladnl -P Ecurti. Plarnr'ri Pr est€ ' + 21 r : 0.
ll.naiiirc dreFei ,+ -: a=0, -r+2t-.-0- s2. Dr.Ptcle siit concD.ente in PLrrctll
,U( -r:r, 5,.
3). Icuaia ll.ndnl estc 9t+lot-72{{:0 53 a) 2'
t-l32-4:0-3i F|r+t, 26:0,ti)2t 3t + * + I : 0,251 + 1Ay + : 5:A:.)4t+3 2 :C,
-, + 6f + 7r: 0. s4. r) l:ic ,{1, 2, -1), uI-1,2,3) 9i ui,, P, ,). Din condiliile trr -- 0
li .ur: O rezuttn u12, t, l), Dr@pta cintrti €ste continoti in Planrl Pr ce tr<cc Prh 'rlt1l? l 9)
$ este paral€lcn dir.ctiite trr ri ii in Plad P. @t@ePiDn{3(3, 1, 1) ti esteParalet cn di.ectiilo t
ti u, Obfinen 3t 2 : 6'-0, 5t+34r-t1t-3A-0. b) Directia droPtei certate $te u(7, 1, 5) i
3'-l4t-5'-rc:0, -z6t-lif+j5z-13:O. s5. a) M1(-3, 6' l) ri trt(a, -3, 2) \.i'M,14, -1' -7)fi ur(8, -3, 3). I-ur8inii:' lerPerli.ularei c@me este egalll c distaDla dc la Pnnctll .11' Ia pla4li
cnre t'lece lrir ttl estoPridlel.n.iirecfineqtiI}EoatiaPlaidbieste-3t+'4t+122-69=0,
Distanta dc d punclrl nfN la accsrPiaD.stc tl, Se p@t. ot*r€ ct lutgimct lerlendi.llatoi co uteelreziut{ ldltiren .dN trnza1oa& I.2ei.onsir te Pe ve.torii rt li ,, ln ar.1eli i cd l corslruit
e vcctdii,lr'rtI , tr, ii { . l,) M'(0, 0, o,) \(1, 1, 1) ei.i/,(1, 2, 0), Jo, 0, "l)j h,eihoe pcr €n-
dicurrrci con,unc '*tc..:. .:/ v,(-7, -a, -3), ur(3 1 -z) 6i lt,llt -5 2\' ;6 -4 - t) |
r/2d:Bi 4 MJt, I, l), \(0, -1, -l) ti v"(0,0, -2), t,(6, -3.0); l: l s6 rl'r1p, l, 3),
t\13,4,2) ti )ttt(2, -1, 0), ,: ur. DePt b snt PMlcte. DisttDlt tntre drolte cslc in tnDca
pdlalclosornrlui coDstluit' ?e vectoni n4rM. $ r, coEsPrDzitoot€ tazei 1. Obline l : 3 5?
-2r + rdv.. r,: - ll * o 58. LI'z:, - :1, o). .,tr. - r, a) +,,tr,(-?, 5, e). u, 3. - r, ir i\2 2 I '
d = 25 | 63x )' lll9r ^ 2Az + 16 = O. 59. Ptsaul .tltaa facc Pdte din tasciculd do Plltc cu ?lanel€
\ad. 4' - | l- 3t * 1 : 0 ri, + 5/ - : + 2 - O. lc@t6{eic ului dcll.nccste 4t -, + 3'_ 1+
TlrTJr-:--21 O. a) )= :' oi+3r,+t-oib)L= -511'2\-34 -.2o:-l':0
.7r..l :r..-Irr-J:o: I) r:J, ?t+ l4t+5:0. 60. ta20t+1t-t :0 61
N(-r, -r, -nJ,, a- )t + i1 - 1 : 0. 62. al -' - t + 3' - 1 : 0 j b) -, +1 -. + 2 : 0 :
63. Fasciclrur de praDe ce tr.ce pdn (d) &c €@atia 2: -r+'- t+\.1'+t J) :0 De@dce'llh'ur ( "p'in 1r'0 ol:iaen l - F dccit-5/+5r- 2 06lr lTLlr+2)-t 1)
:Ocste lerlendicDrar ,€ t +jt _l- ::0, irndi.ni: -0,5 i n.ci -t+Z -t+1:0 65 a) Inter
sccteaT, lta,nl ln PDnctuI .rrr(0, 0, -2), D) D@pla este laralell cu plaDd c) DieaPta este corli'
nn1r, in pr.n. 66, Proiecfia pnnch,lti ft co@domreb t : 5, J - l,t-0.6? Pnnctele d.intelsecfie
/ro 7a llr v ,- l i' "r L o.,'
"' l; ;-l . rslr"r ,i .'r.iirj J'rr'ci jnt
-.: tJ
63. XJ'(z,9,6). 69.5,+ tt i 92 - 44 : O. Jn: ilirl3, 15, -3J:23'-75y_ lgt+gg:o 7l.
, /.(r, 1, ,), N{r, r, 2) . , a- + 2. 1:O. '2. \=2, M( 5, 2' -2173.
Ai\,0,
0) r(0, -6,0),
r lO O, {/.
' 339
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 315/344
5. qiruti dc nulBcrc rcrle
,:l..r 1., - -Ll- --Lr . d."i ,, lLi:I'. u*, ". r lf' - ' l"l , ,.--l' 1t itr,,' I r) tg,J "-'-lt */J"'-
tr-""- i<. au"i'>-|. a-; I I
z,s+t 2,3 z, t. ":olul' ")l"- rL rn'I rt<<
.rncr n >
# u., '.:'{#).24. a) pcn,ru r:zt. a* --z }L
-z: r,t,t^,
r - 2t + I, d' : : 0 { 0- D.q4. cel. dou:i snLiiru.i an limite difcdt., rc^lii ci (',,)
nu ccrr' _orv.rccn. b similar:. r t t r; '",,, - ,oln , l: ,-L t', I
. (ta It- oo..0d.. ir.c cl (.,) ru ar limit,r. P.' 'u o,tro l'L /.; "i;r -I\ li j
d{,.f -({r I l). / M, cs c. .r:tl cA tirrl (. l 6icnF'6r4hir.26.ola4-- .-,tt.)ia
- t"-:--L4l--l:--1, "1
,": ("+r)'-.i.ar ,". rlr-l'1"'l -r. 17. a ,. <6n' .r .lrr { | t2, I
<
-:-
-F
"-. si ib.i.,-0: rr o-""=i -
-:'L-
-.0-"1.r I L,rri,,j{+ Il rir ,r-lt,-l'El A i o r c) o <," - . -'-. . . ?. : l i' -,t -." - o : r,. rr * r d, -. r. A,nncr' I 2 3 ' trJ
d /"lr ''-l.c<o,- -L --... --- I.-t -0 7 2 r'-1 n\ tr+l n I 2 t-l t tl,ri doci a" - o i d) prir i,iducti. c .eti cd o,- 2n-: I
. 1"u, ," -..6\r ;+ " ", {
< -+. Tr*ind 14 liai6, .btrlcn lim,, = r: ur n": -:.=--- -. .l-".:l/inr+t i ir,... r \.' :
1 r"'i(V'ifl -r- { i---rr z
li:l-r," - ,/"t - tt +{* f'6:i-0 + iri,i= -.- /F:Tii1
- [(+l 'l [' {+i "]-'- i" 'Drcla -i (i rci
'im 'r - 'j:'ucr e ' i ar r:
ri,n,q-1;a*6r: p,"lunci
tina.*-l; s) i,: ---= --:-; decn o <d < I, arurci li'nd,-c-i + c
=o: aice c= r. ,"- -L -- j ddcj a> t, alDnci lin a. -c; r,f ," l: - .L] [. 2 2 t ( 2:l
-(--L)'l -0, i) .,.: 3-"+2'-'+ l .-1.2e. a) p.nrru d.=0, e. rJir. Iri"ir't..rii\ 2tl ,-"t[L\*z 2
13,
2*-.t d*: -1i rs.+r- L ?nr rtl'*, li . - Ititirul .ste contdA.dt, b) Pcnrftd0= Ise
,aElEprinid 4ieciai.:1na3.r:a:L-t,attetcrlima,:l9irt.ctritul (d,) €stc con'or-
"*r.io. at o, t o, va c N: : L - --1- < I, v, > a. Astfel (ar) sr. mondun d., :1 o,i. ., r+t
'r$,aiojr irtdior ri dai 6te co.vers€lt- Fie , lim 2,. Dsde a,,, = ;i, -, , t",,'
t&cere ra rimirr i: ot, ailics r- o. ul a.>o; ta. :5:L?l < l, v, e N. girul iii,d moro-
't@ descree6tor ri mrrsinit i"erior, 6te cdIqEEt Fic r-i;^ o,. o"*** ,"*' : I12I n,, sl.tr.c.r. la Udit{, ezn1tl : 3 i. oeci r - o * e, - o. c) De@r6ce a0 > o, rczultr a" > l, i,e N
3
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 316/344
rftrclrr /(4 = --l:- r ' e tO, , corupuDnrdrc dj,utunii pril plncr. .cti<tisrsnrc ai / .sfc i -,^o'r.rr, pe [0, r], nvurLe c6i- -9--1o2, e),,=o"t6orno, l, - 11:3 ]q,4 ,/,.:1.r, Sc srrrl ,rin in.tucF. cj ai < d.+r < b,
r r < r,, v, e N. Dc.t r > rt > , , , > D, > , . ...:r.,r> >,,,. l)rir urdrro, c{is0t /r : lim a, ,i t. - tirn ,i. Trcctld l.linii{ td r6r.iiile ilo
dcr itic,. deducam,: = r,. 3t. i) t",* - ", t < rj. + -l +...+ _]_ _ _l={r + * +
- .+):*{'- *).i."aace">,,"-.e[- :1, ;"".;*;;,,ra. u-tc convursenr. r,; ., - -L [r - -t- 1- 1- - *...* i - I l:rl,_ J[ r I 7 r+3(r_ t_Jtrl 3l-- .L I. eu*, p.." -,^ r -
I ( I - I i I Ir-rn/.. '-'+ -'' rlrrJ' TiIlEl'T t;-;<-<"r*t'ooa*
' :..q. -.ii [-]'Lq,cc / € N D(i'k , 6G @Nc,s."' .),. - +(j - + - + - *
_+ -
-+.+--l--....- ',_ ' F_1 _ t * ' __-1.)_lf_1. i=_L., ,
,. | \n_t +z ", ,tJ ,,+ LalJ 312 3 {
',i ;: - ;]' t "'., - "' r' t(j.*,,*, *,*) < i < " vn >'. -' r (:j. vr c n s dec, (a,) csre conversd'i d) ., -'
- #-J.-r4,,
-d, I -
q+ -1 I 1 t tl '- -;+ ?+ | .;Jl"; <e v'>'::Et_J, vrEN ri dcci r(dJ .,tc coDrersen..
32. x. a..,. n..: -= ,, tll , . -+ l0 l"li> p(lo+' Fi; . d-.hnd€ rz. _2, FJ Z't+s 2"+2t | | 2|+2par
-",1' JIIIJ:L,1ri.r@i (,,) 6rc divcreur: r,) 04, _,r * $+$ +.. . +
. - .-*-r".-".t>g-o +i drci (o,) csic *l"ii .J:il**"r,-.t, Lp . rL,'l2"
- --___ t-
: +i. ".['-
+i',".,r",'"{'n 1).'.
r,rr'"[' + f)
-,. *f;oi
si di: I + --: <1+ 2, D6i l<2.<3, Vr€ jV_- Apoi c,s -.,:{apt' cc arate . aq" - d, are ac.)r i *mn cu a" a + D@Ie ar _ ao > q, r.zdr5 ci ,r.{ _
-drr:,0 ri deci (a,r) esre cres.jlro._ cuh t<cr<3,aisfr,rt+tid,ri.,De@ ecc.._ar<0,
.cz,nd..I a r+1 - d,i-1 < o,i dcci (a r.J cste dNrdi.".. c"- r . air, . l. *sri /c _ ti,n z:r+rn
Si arrt:irr ci /r : J,. irccind Ia fihitn in rctaliilc,."*,: t 13 9i .,.., : r1-L, ogp,*
.-2 -ti rr- I +:, dc utrdc ( -rrgrt -2) -0. Deoerce alts *2 (tn .c.cr caz 6 -- I l2lir nDpricn I -0, nnposibill, rczltEa.i L:l . prir rm e,lcisrd tina,: I -t,:tr.
3{1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 317/344
.,* 1*1;,1,{u- ll In,> -L,V'ren. r)in nftim. ircSalitate $nsnpentru 1, 2, " Itorrir-en t..-L '.-rnt,,' rt >rtjt... I l- D"- i_ l :
l
^ 2 ' .t+-]n,>h(,+1)-'ttt>()Sia">0-Aestadraticr(2.)esteDtrginititfc.io.-{poia'-,'1-: hlr + l) in , - -L t' o = t,,t cste ddr.s.ito Piin umare, ,siftl (4,) cst. con'/{rsl it-' r+1
Se not€zi C:lina,, Lihita c a ti,rh'i *nnme$tc constaDt. lni lnler, c- 0,57t2- 3t a) 0:
r,0: ,2.d,0...'.,1,9,c] uj fi)-L: i) l;i)j :l, lim.. .i,' "' "
(' {P., U 2 (r+t)" "
, t" ':-r,,n "" rinir,,{" rr)r''''J- ' rr.(--ll' it-l-l[r"1., r'?1,, ':] ,
;... rl-'r " a "lnt r, "l" rl lr i
PentluO<d< 1, limd,:@;a> l, litrrz':0. 35- Iitr ar+u2- +4" :lna d"rr'
: -3-. 36. s" lliic.t criteDdl lui stolz. 37. S. iptici rczllt-ard de 15 cxercifi 1 rczol'al. t? :
1-la) coj b) e-r:c) li d) 1i e) 1e_1:4 li g) 1: h) l/32 ro.o'>o 5 -9lr :
'ot
-J- < t * 1",''
, 31a-J- 3;o -3-a 2,-\
"_ ..o" : /-o, . . ., o,,-- "ttt2o :.onvergent, APoi t t ";"
2' v a,JL 2' - ,i.' .i-
- ein2a z'
- 3. :0. rre o":,in-l lsin3.'. .="i,Jl--. a" n.i za,,:'. | ...
2da2atr/t2t22t
: .." -]- - ";i *.",1 - "o,a.r-
. . . + "o.''-,'
- ".. r+ -- ", "+ - *.=..
2nE lnt 2n2 znt ,f= 2;:d.t;+ . Rezllt. ri6 r" :- ri in bM rxercit,ului 33 .r,iinon rint a, = -L - 'ztutzn\zc
'td.;;,"*",uir,,s ,ao i)" {'-+}['-+){'-+)(,-+) ('-+)(,-iJ'
nlr\ h tt I:1:r- 1
br ,,: - l ("/;;;-,r. - \ :,-r:'-.2"-t "- "k'" (|r"''rt+" 'lv"r'r'4. ,,_l
=__4_..".,:_]_ sr,n4, =
11.-i1r' y"'1"+"1 2ll')t+"1 2lyrr+ I rr)
-,' ,,,"_S. ' .\ t ,_ '{2 l)r2'F2+l) 'n-lir,'La_ "-
4 LJ\k-1)t lJ hl ^t''tot"' E t txl"-,+i
r 2 J n-2x-1 it+^it 2 n 1-'l t .2.^\^ s .1:.1 I
J 4 5 , r'l 2r-211 3 t('+ l) 3 'r+l i l rrl
:r+
"'".',.',
?:
IY* '< 1 > (z') de$rc$'to$i dcci (4") estc convcrs'lt'
1,€clnit b lnnfti id reratira adt: {1{i" "^,obliom l-rer+t:o;
: .,, r,, -iii'lrl-,t-fr-,.1-.,lm6,:0.'d2 .t --t 1 7+...-E '-t;-TJ -t; sljt,,-. ['-j] '(r:-*)'" Apo a.,,, o ,--
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 318/344
tttt -t
'EJ
dr{ JJ' l _ sr"i' r4ri) r' c 'r") oror s meriinir"'t,'"nr. D(ri erislt
',/.,:r / D,hd, r a., , -,._ r .,.-,t; zh : I
trlii lin"lr r : I Este deci dc ajtrls st €lcdrm
l-,,.,r-,,.... , -l -i .,/-.' tt I I I, -l . ,' -^l=t+,-,, ,-..-;.) ,,", j scanu d3 c\Lriin,l J0, d), rea,itn ci li,n.," : rnz,.iar ;im;, _ r^rl n .
".{*,
lrdn ifdtr.li. cr ? ., /ii , , a ... b, .: b,.*,, ", "",t" ,r"o Ur,n "rr"*O,"n; ;" ;*;,;..
,'1,.tf'" ',,1,
1LL cr d,) c{r rrt.. ^ (d,) .nc {l{:screscAror. Dcci, ,"";r" "-t _;;;;;". '. rr . I m dl /_ . tL r, ,,. trj , trt ( rr h t,,,,iiii h rclaiia a, : (4,_r t ,l,J/2 obtinen 11+ li.
1'; l,;. I ,i.i;,. ,1,, ,],-,',,1..,'.., ' ,,,o:" t" :. ii ud:snp. ,.
_". ,, ,,,"i,, (".i,,;,;;.;:;;,i";;:i:i,,'i'ijlj ill,:*i,*"[;:"fi[i",:l;;l.lH::rir 44. A) 0.,;1,)_1,0, l.4s. n) th,r.,, _\lz,i;4,*3lz) ut 1i.,":q iG
",_
"""+('-+-+ i +-;:)-*{,**.*--]--- -_ _r__l_. .,._rrr , ,._',"'.1_1 ,^.'r"--, i-,, jJ t' *Ttr--i-+--l -;;1-;:",":._,-,.,;;'----;,r) s,-=.LIr- ' l--I...,-.r.t -' '-tl'-;il-;' r d,'=lrr(,, r' l) -h'l -ths-rtr(,- r)l+s,=
.,t l:J-ruz- ' tt2 t a = t _ |=;;=--i-+s":r-J-+-r. zt. ,, ." _t.,r
;-i-;- - * : L) J' - " -' - r' c',i * r' Lr) a, - r/ri") s" - -5 fr.
- -' -.I " -l-r' r '.. . ,. -Lt ilu t\- \q./ trut L,* ' - 6 sL 'le'i ser:a cs'o.tiv^rgoru,22. sFr4
* , 4 U,,,, r/r, iiiu" = z; d) ri0a, ,. _o/2;
6. Se i numdrice
;;u"=i".r. I -2
'" d-r "6"rr.. truF.rneriur je .and,$a.r sen.
I
'"'" I'r';;-"
De@rece'8'r'2'-
' r' u5i nr' .rr rr .crir \\ tl; )-- a b, dccL cr" Lo ?e,s"dtu peurru , > IL ,, t,, .,, , ..'_- .
nrr-l) _--- \
rierh / < l- 23. s0 anlica fu.rbda in{tu.tiei_ poDrrul
= 1, dup{ 6ite.iur de co <tensole
E ;--1*; a'€accca'i ln'fud c'[
:rsri1){',rg2)-Isri )(ls'+rsre2)<1sr}')x,ill ..n*r, r at conpsrsfioi ltxinn so.t.
{src diycrsor[ ni <lcci proprictatcr id.luctivr €ire adovirar{ pcnrru , + ,, a. .i""
a _l_ , ***,I " -'ff
' '-' -
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 319/344
'lL?'15: b) at >:, diverSeo'l ,)\/r
I.-- L r,zllu c;. io di".rE^r'L e),,: -, l /"rB.n'i. r) p.n'.u d ' L a < -" , ,.
v
'tcnla'rj.nlills\l,'<_,ron/.'3i'lt;pclrLa.|0'la''.r rll - -' r)
srurn a ,> r*o" <-1-, = l-.,- --.1-, oLverLrr',. : a c ln, lr..r'.r,'F I
A6Dt6, dut[ cdlcril lll nl codpsrofici j b) d<1+d]i<dr,convcrgon{,a:l,linro,'*0,rlitt,t
sbntnj. > I rVrl<V": a+aa>-:- - €, d,vErgc.tr I i) d, - l, d:rclFh1lj t) d, > _:..r'
dteorr.ltij L) ., < . I : | , colvcrgcnu i l) D, - -: 9i dJp: clitcrrul III Al comPtrraiicl $rir r\'at3,
divM&rra. 25. c" -0+. * - + . So folo*tto apoi criterill IU 4l comparddo ei sc .Lrinc , ..-. l\
?0. e) Div.lse4tA i )-8) conve.8.ni6; h), < l,corvelgcttijd > l,diYergFltdia * 1,limd" + 0'
div.r8.ntn. 27, a)-c) convcrgortr: il) a < l, colvcrgcntd i a >.1, div.rg(ntI j a: l, Iinra, + 0,
div.ri.ntd:c)- '\ Lonv.-ge1i:r' 18 il Div'rg.r'u:.L' li 'c1r":i'a' "rrnrr:11 ;rdrwrgeril: dl ,\'. lon,errentA i a. 2, dtv.16rrr'.: "'. I - i. Jrrror'n', di''r'r'r'1o)d>0, c.nvergenli ; a<0, dive.Setta i i) a > c I, di,.rgentr: a<.', ionvergcntir; d:
r,, rl' l' l)' I
t ',t L,-.r3-:-
-:-L
>--------:-L
i----:
siJu - ' "riJl Ll 'rr,,i*r,'_
r l,''' I"tj--l-
divorgent ,;g)
@<a, divcr8tntrj d>4,cotvergcrtej
h)t<a(b-4), cotrvcrgcntli t>d(6_u),
dt@gcdr; i) a < ,, divc.gett, i a >,, co,vergcntr; a :, - n se Pmlo aiirnr. rimic,'alurn
r.rier.l.p. /i'. l iertrrdllircdr"an lindeli.' : r. a. :, d n15c1 i :,' 2'on, r " J rn . "'.,rl
hlvprclnrcib/lnr<n+d,. :,convl nr. i4r'r''c'ii l)4,'E t.rlz
.onvars€ni, i c)-111 *0, corvorgerti;4 j4 -a+r a<., cotr"crscnti ; a>cl"divcr-
eEbt{j a -c:jl]r:
--l->i. fiha,+0, div.lsihtli E) a < ,, couv.rgcrt[ i d>d, L]irdr''
t'-;lF$ntltid - r, lt;d, * 0, (1ivorgcntl, ) Clit;riul ro ,ttolui: a < e, Ji"ct8. La;, >,,, convr4lci,litr.
Plitr d - c, crit.rid lui RdnDe ar4t[ pU, soru osft div*gora; rt Vii - O. rcn'"lss'id j)(rii(d l
bi nnslo r d< o-l divcrscnlt j 4> c-r, corvcrseita,, 1'*t." , -"-'*,lg -' rl=,[""+r -J.
- =J
r,.*-* . <{
r - }i','"*".;= t q 1 e,,t*i "lfr -'i. ]'L sorid c6,c .rivcrs'r i
tf i/"--.1-:-l*,,a l, L,vr,slnr'rid> l..,ve'E"ntt a-'.lLratr*c "i;ssent.1 l ':{ju
I'u r{u,o:c.',7r'r'n,r,: "', i'i .0.."--r"'a. n) cr,-:ur ruj RuL.: l<1, J',('s rit> ''.ronnrgc'rd )r<l. otvc 6_qrd: r> l, 'l?cr8cnd t= l: DcntruD:'l I a, con,"r-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 320/344
c-"4. penur 6< | -d, d'vu8.rr: FrIrx, L L -.a t e obtiF rri, l_a dr,...zJ a+n
r':, r. Fi.6,=-,cuajurorulcl.e,jrtu...,c.otr, r:m,. tri4,,pl . r"riut I *t .omTd-
1,ei sria .ste dive€ert5. 30. 4 li{"t* * U, U) 19. 31. Se aplici criteriut tLri r,eibDia::, 4 lo,|<], uU*t t convo.gerrt j ,limd, nu crisg ii de.i seria esrc di"crg.nli j c) la,|<
_-.,f,l.olu'"onv.r8cor5.dtPeoirud/Iscrir..,,aL.n-ro.-e.,,"n"n,.,n",",:-,,i.ste sriconv€rgorti (crireriul lui Leibniz), penrru a < 0, I'm a, * O, s.ria este dj/ergcnrrj e) l4 l>> r,rjma, *0, di"e.sent{; l;l< t, absolut --".".,,'J, ,f a- +r, rnraa+0, divers€trtij
' '/r {r It. .lDolu' con e'Benrn; ct -:' .j. , - t", u1,,rs-,,,i JJ. d, crir"rdt lu,i '|tr J'
l'ri h(r: "- na,os" '.t"inln.l ,." sr,,
.,,. r, ..,3.-l i.'(' <
', r"--:,,o",^-g-,ti b) h.ta, 1A di,".s--,": (,,,.r,,t I., L..j h1r.,.,_ jr,-,-
$n,.-5i iin-r ,'12i ,.... - .,""+2.i,
i s, = :"i,,
aj_l , ,,n,.
,_, s"1i I
' l-"1
l-_ |, ....- |
....,5r. on/^.Seq':..lrCnjreyercilixtd,,r.rior,.u,,,rccoov.,e.n,.,
r,, ,,+o. d:?erE1,c , jima FO. J..er ^n,;. si.,,rc,,ur tu:^t,.t
u,_ii.o" '.." to,
*.^. -" *.3 coa?ersenr, du ,e *ircnu{ lui Lojbliz; s.- I ,i dcci
",,",*,r,,,,,, *
"*.honrfon desc.escitor. D€ci *rj{ e.te co @rgcnta. h) 1o"1 a J5 *.i. absolur conrcraenu-
t - D TF,'e 'onv',6en11. di,pr *itsiul ILi D'ricbl.r. Luiddh,-(oi Lu o. - '--. ",n-1
ln l}lzr *ite.iulri lui Ab€t, s;ria este con,erserri. 34. Da, 4E s. vedo <lin exflplclc s) ,i b). a) s€ria
. rs^i,rno/e,apa.r. \poi /, .a,d. ari.Ll...-dp,>t-Dr'{= ._t , l=.__L. +t\/r i, ,lz J*t
. I ll - | |-
>:, roulii ce liu., f 0, d@i *n. \\". *t"lb ,lt I /,rFa+ r zJo "iac,.r". b' ti ac"d .r2., - 1-r1" ,{- .-L 1 ' '
l rr t' "';;-r+"+-'-,|-{-r)4r--:-tt+1- t-...*-l.Dcoareco l.il-0 (.flrerid ldi storA ri (|ril) ete <lesc,@c{ror, rezultE . .
"-nj,. *,. -**."nn (c.ireriul lui Leib z). 35, &el- - e, u6.o1o1
"oororscnr .Fic sL,, F
.arl
).^
-"'.,.,=f )'.. ,r-, , s(,;.s,",.,i"",."""."-1f," pa,-,,a...*.-J ,t Z1 tx-o X, 'r t 1r
345
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 321/344
+ l1- rll : -: ir + y]". Deci s{').s{r') : -s(* + /}. 36. Fi€
deci srio lrodns arc suma €gal6 cu pr{dtstrl r elor celor d@I scxii 38 a) 1i b)
c) {(1 - r 2) | u)#t.'''l
1l I tt v/i- t t') c * 0'5777 :o; t" J 1'
"1 "" - 1
?. Limito ti continuitate pentru futctil \
?.1. Limile Dcnt tunclii
12,dt.r-1 <8. +l.f(:l - 1 1 : 1 2(' - l) + 3lr - ll'1 - k -,1 ' < 28. -,J8:
- 51 ':
< 68. < e, (hcn aksen 8, < I ri o < t < i' Lr, t * = ifr,r : -1,--, . ;' ; ".'t''decear.€eno< s.< c jcJ:: - ll <t.+l+<'=- < -4'-' n*n o'4, ' ]/l'
(.- r)" 3; {e
rr. nt *. - --l- - o =/r t"t : o - o :', --':-3 - - o + l') - I - I | )" - " -m +'---' ' 2n lt'i il)'
+/(:,)-oro r,:(a'+ l)a-.o +ll4:t'tt c)'r
:'- ' 6 + Jl") 4. e 1 r':
2-:(a{-. J)a- 6+/r',)-or.r)',. --1--o-71."1-o' ",=,^= "0+/r'\:
-0-0. 14.ar,= t .,.: ' +lll4- l'")l: l: bl l'1- lL<8e' 'r-I <- 2trtr -
{2' + l)E. ,,-'J t,- lt+ Lr,-l' <2t./e di,A o.r. l.
<3 + /{l,1 -./hJ l:' I-rl F +ll \'ll .t"i ll ',
15.alr" n eristr, h= o1 b)|'-t.:ot cl /.'7' nu 'trisld 16 a) -:l']) 6 c) -- d)e|
'Ie)ee;1)e..1. lt.d:l,p- -4' :-4'P-2. rs n)'('+r) r'1
fl"Jll"'"1 * 6; 1'
r) -4rn2:4 d"(ln,-J) etL;t)-Ji; i1 '";;1' "'; kl a{L'(tne)'I r) a"oda {ha){rnd F1)
19. a) R' i b) :' + r: < r',q'er.,te t__1, ll; d) '€ (-@', -2lu 12' tx,)-rel-2 2l;
"lir'i l'r" i>o'rs*+f t.{<r' 2o n) l' r:<8."-'''\''';: 'l;
-8 -,t'-t)y.rrr
2(-v-J)
+J(,
-2)
l \ r:1 5 6. < 06. r'daN0 t'
'-t' "Jr' -ll.lr.-.1'1 1'-5.-I; r) I \cb) lj.- <8r. v-21<E.+lJl,'t)- ., ,| 't '
l,'Y l'". '"r"J)zJ
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 322/344
;v .-66+l/(r .y)i<-t't<--.. ihcio,:33<2.: (ui, j<iE, rr<6s+ /(,' .|) <
".J, ,'',).rr..:..d .j 0..8.4r;n1 , t /.6^=r/,t.,1t ," rf.l " ' r. ], .< ] l. : ., dacr o < 8. < 2.. 2r. a:) tili\ I@. )- fj:L, h+ i ) b) 1ifr te, i : ::t.t 2 -
;j,,t'' t 1s -';-a:."''
'*^t22. a) lin linj/(r, J/l : lim lin/k, rJ =. o; lnn /(,, J,) nn qista I r) tnn tjm l(/, 1) : I,u,o.+o (q )-(o,0)
"-u u,ornn rin /(r, 1) : - l; tim Jlr, y) t\t €{sri: cj tin titu /(,, r) trtr crislr,lnr ftn/(:,1) =(q /),(o,0)
-1: 1i,\n J?,r) n\ exist ; 23. .) 0. b) Nu cxisrr. cl cr- d) o. c) liLl oxisri.
?:, runctii continue
rl. a) contir 1 pe R\ {-2}. b) codtjnua pc k\ l0i. cJ c.nh,,,,r""
[,'. fi, , lj . "l ,
?i .1,,n'.i tro R\ {0}. e, coxrirn'r F R, t) Conrin,,e rF R {r,; 14. ,,', :1, ir1 , n'= " u,
.lrl) :t rt.", -* t*,c) 0. 17./(det,,: o;/(o):0jl(r) = -t, r<0. r,ru oslc
.., rin,l,1" i,r r = o. 18. cort,nua l" ro. col$.rl,a ": t, z, .._1. v, /(,) -.. s(,) c.utir :r'o{\t-r rJ:/o4.orridtrlpcR.20.s)x(r)csrc<ti$orrihl:iDoriccplndr (.rox) (r) a0 r:src
n)nti,tr:ll L1c R, lr. continur, ntrmdi h ptrnctul j : o. c) Di$onrind t,r orice plnir. 21, /{r) coDfi,N{l0lr, +/(r) Lo Drupdeidre.hi Darborx. qm/(t)y'(2j < 0, (^rri.i. , lsisr{ae (1,2) l( )=0.rJ. .. .,. r,e f0. 2:. ..r-'gJ<8.-t,6r-tp,,l--'1-''::.5-.. -,{tr, +.r..J2r3,,- r J:1
r.- ../i r, i, rs€R. r,-+i<N +,
/{,,)
-./ktI-,2 |
d,, :.'i:l .J
-,r:r
-,;"t-, u. I 2ll 2 2l< 3"* e, .lcci8"=:;c)'r,i,e tl, oo), tr-',t<S.*l/k,) -/(,,)t: E}i#+ <
.3. ++<n'"=e.dc,i8r:e.23.il/conlinuiIc[c,e]+/cteuniroi,n corrinla re lE,.,' \t.Lcrn rr .
., 2 4.L'(2{+
t)
'-l. j:.-ll>r',2=inu.sr^nx,ru,,nconrinue1.(0,cl.c)At.Eem,,.[fn,-r;ll''',tt "1 ' t' '21
.,.:[r,,+ rl:] /"=
"r-. r--o.i.r 114-Jt4tr:2+t ru esrc unirorm corrinn€.
I 2t, l,i'm -o1':1,d. -r er,.cnn r, -, Fj, ," - - r + - - { . r. €) >',,-rs:
1
--.:-0, ia. l@-ll,.'l-@+J nu esrc uirdm cdlinua; r) Alcslm ,:L,,":
,j * = a, 1) >I'r-':Ii0. iar ykJ -J(t,)I> r.24- Alesind xr:[e" + U]-]''",
':: f'i;)rh, cotrch dem cd i si t ntr sint nnirorm cortinft_ FuncFa (, + n{,) : , 6re lnirum
.onlnrnlt pe R. Fnnclia i /, m eslc rDilonn conrinue pe R, cqm e pGre vcdea alegt,d ,1 :
= [rr', - rrl]"" u,,,: [Ja)"",,2r. n" "-,. conrinur. z?. nJ con;inrr r,, R, {r0. oJ}. b)continur
nr nr, .) CouLinnil in R:. d) Contnri lt rnultnno.re.tcriniiic, c) Conhnnr nr Rr. I) Co.tnrul tnfi\{(0, 0)), s) ctriln rrnR .h)cotrrnrritr r.'.28.uniro.mcotrrl,ulIo(1,2)x(1,2).
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 323/344
L Teoria dil€renliald a luncliilor
LI. Fu .lii d€ o vari.bilS reau
rr,.l Irlt ,1,.) 8cosei dl ?.32. ){(,) --t, l\:ljir)/j(o) :-1, /(0}*1'at
4,4(o)= -1,fi(0i:o; d) ftlo) = ilq * 1 3i. r) r)crivdb e o (0, co) b) D€rivablrd po ll"i
:ii':r*uu r'" io,")U
G; ;). ,t) tcrivurriri rc R c) De'ivobird Po p' ') t) D€livdbild rro
o',1-1, -LI. s) Doflvalib Pe R \t-2, 0l lr) Doivdbilr po R 34 4-3c-1' D: -?'I 2 4t
35.a,2r(. -,) ,3\r,'c)" i,) 3,.v11 ,",-',")-+*.- """;;d)6(r'21['ts rr(t-'I
.+ rst'rt2rs i' .t "';'r"l -1.--1-,n ]-"t'-t,'' s' J-1r-41-",rr-r t ..+ r
r) {dr-, )r/,; i),,'(r+rn,); j),""e"1),,",+t,x+)-J -r ""'[*"" ',1.-','i.e'),
l)2"r'(r ',r,'r,"'ri",,'' j,'a' " 'r.i,t ':t't tr' t"";("";-')p) te,(l t- t8r -F tSrt)-1. 36. a) N este tlricabilt: / au' estc derivaliiln in Punct"l '
: 3r
b) EBt€ aplicabni:, - 1.31.a)J'lr):o+': l.iirallninollcr'Fo,'n' +rn Pdtruu-e ( @'0)
euBtia e itou, reitl.ci rat€:,rq (0, l)ii, + (1, o) Potru--0ccualiaarcridlci : 'lubhI
r:1. P€ttru,, € (0,6), duatia n are nici o red''ch' rmla b)/'(") - o<tr * 0 9i ': - I; '
Pentru D<o ecualia art o silgurt dde.jri '.rra,.( # -oJ rot" ''-oe'ualia a'e
I ilridar:or dLhrJ '=0. ndr'u -*to '"l'J
","'rr'rlci'f,"i'ini'")(''[ '--.)'
,". t- J o), ', - 10, *1. Pcrtru ,,::16-110 ectr.iia arc ri'ucnrA atlu r, - r, - - - -'tl3D)J"$i r, € (0, co). Pentru ,r,e (36-'re, .o), €cuaiio ara nuiai o
'{i1'cinnleau tn irirr'ahl (0' ?)
*. ,: -. Su"1
* *t,J leoEna lui Ldqrange ' tri /(') : sii'' '
€ td''l
ti se tine s ' '11
17'p1 -1*.;<r. \) 1l')-t8,,'eIa' ul;sliinescabtrcncos'd>co's'>cos'b 10 aJl{')-
-'", -' -+, "
={.. })
*r'r,r' o, - (0,:) *r
"r
-**'-'" r
lu il'r' rt'
> f to) : o +-J t't ".;.';.. n. (t, ;J *r''i' I,o) * o +/{rr ***' * [t ;) -*Jl|>JP)*ot ) /{,) -e'-1-' ier{ int.-/li) >9'*e.(0' co^) ir,./'k) <0"',Ji-*, bi=rr,f >ifof0)-0,,e (0, c.)ei/(') >/(0-0)-o,xe (- o' 0) c)soia/(i)'
-.*"io,-n-d, ,e(0, l) ei s. r@€d@l6 q. nrnt tnaintc d) /(r)='cos' -'r'r'6
,-l . ul-,rc"t{*)-''" ;)/r'r:"'."-' j,,>o+?(rr>/'o-0 -''n,.
"l
,rG-11 ', r,1 r11,r/s tz. 4 114 = n -i1J t -fi l-lrccos,-tr, I e (-r,0J +
' -, t'l') - o + Jl4'^.onst, , e (-r, t) */- +l = consr' - coDst : o : L) se rr/(') *t-r "
l 'l , .- r-'-.*rrn'r - , . ,-,, oo) rr /(4 - cts' + Nirs -i+l- + -;- '
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 324/344
8-3. Funclii definiie implicil. schimbEri d. ttuiabiit
1J21. Lt .r. r'(lr - -3j r,l f(0) -0, /"{0) -- -:c)/'(ll* - 2 ,/ rrl
-'22.
^) ':rl - \)'-1,1' : -/{r - 4{ j l,).}': (l - 'r'\'?'tt1 } t":i '(t -"F
1t\t r ++2tk-1(1-' .-\tn f,lr, tr" \4: cl t/ : lq -,) lt - dx)
' t r'-tt - d\ l a')-'; d)r'-- \, +i? -g \:. r'-21*z+f)(t - i4: a) y -(" -r)lt a r)-t: r':1e4" r2la +
-r.t t 4-,-, -. t.^,-*," tL'c'-ytc't{C t 'l-.: i) . -:t,+ria/-
2J. o ' -'- p.,.r'J^ n' ..n:l'): " -trKr dc 'r\in':c) ":-;J" 1: V25i
' -;.,,A, jJ;o.^."d"ma\im,, -?J;,:-|J,,'", Ju' -- ' ./2. n' - ",1'
,,,ini'n. 2r. n) :;(j, 2.0) ti/,2 01 l: L),;.o 0 nr -:;a o o)-
- 1. 25.4 ";=*2'(6' -],-1 .;:W-,-"- l)(6:-tfl: \') .'' - lrz ' ,') kt -
")-rI
r.:.-h ril,:' -:vi j ) r - - 1(,nt+,ttt+,to4{ ,,-- jG-Jrn'){/+
-:r ,,r'd.r -'
-r),f-r,)rr-r/) '; :; =j (rrJ*-6y\1.'-trt't. za.
^ti,
= - |1,,;-
-tt"."...d-.....--j:,,-::-.,.-b\r-'::4-- *-" ai r;' - --:= (,r - ,?)-3 . F) .r--
-lbrt' d2b' d:Dt ' tzli
,1,-- :;,'- U'- t).-1::; - -tt'a' "-lf - r)'{ 27' a} 'ri= -'-\Uds+tl )tdr, - -rr(t.F, )<1,..1-2rydr(l/+('i+r,.dr,l; L) dz 4.f'lr + )-tlt d' + '
q/) j dr, :,(, +
nr-[[3,rr-- a')0,-f nr']'"r
,', - <r - "r-,(.r,+ dr) ; d ' -.(L - j)4(d'.+ dr)r
28.a)Mi(1. -l -2) - runc d^ 'nininr;nl (l, -2, lt) - rxnct ne ,ntx m : l .[rrt-1 2, -2) -
-nurctdc ulm;rt,(-1,2. l) -ru cr de mitrim j c)ntr(-3-J6, -3 - J6, -1 -2Jd) --r,'nct 'ro ninnn:,rr,f-l+./r, -t+Je, t+zJ6 - Punct <lc nrxin 29.;) ,;-- -yt, - J -1, +.tl )-' t'; = -l' +' - n U - J - 0 + 4/i{. sc idloctriesc h cclnfio ii so
line *c u do rcrtrtia de.rclinifie floctici im0licite; bl ,'-lt-1It+ \1| ";:\r -1)\t+-l- t/')-l c) Fio :d'+ br1-.., astlcl cIp=9(',). ltcznlt . c :;: (49'-2,)(2' -t9')-1riz;: (b7' -2r')lz - r.? )-r' d)ln,notia t(,, t) cste dclinitt inr?licit dc .clitia l'( , ,) :0, lndo
';1,, )=,-c,i(t,rl:r-bz.Prio tlcri em eliliei t(4, r):0 in upolr cu' obfinem
F'"lt - dt',1 -hr;i,:o+z.:F'(4F,+bF")1. snnihr $ obtirc ,;: ;;tdr;+bF;I,t'
30, r (t) : -1, , (r) :i, y 'trt : -: | 'lq - aP5, 3t. zl .V- -'121-t l)(1+rfrdx I
55ZJd,=x\2r-1.)l r-?)
'dr;d.),--(r,+:)i.t{?, + t){r+:).r,.(2:+ lf +r'(2r- 1) ldrl
d':-(r+,){:(r/ 1) (r 1. ,J. - '1122 - t)' - *(2, - I) ld} : t'),r:-I,r';,1,=ord'J,-v
e -r, :(yr + ar)d., i d.':0. 32.";(0,
r) : ;(0, 11 :r: u:{0. L):-r. ,lo, L) :0i
':iJa, \ :"ivlo,
1) : ;"p, 1) :0 ri a;"{0, r):2, ;,io, tl : r, ,;r0. r) :0. r3. r) d : (r ++ )-'l dr +a.tr), nr:{1+r,)-lid'-rdrr),di,:-d%:2(lrrr3{dr-,dt)dr; b) de-- {s. -,1{i{r1- r:)dr + io. - r3)tt i, d,: -(r3 -,3)-{{r3 - ar)d, + (r,'-} )d/li dr,- --d1o- -zl"z - r,).la d', + I, d],3 l,'d 1+,dr.l; c) .as - bL - r) tL@ - 4&v + O - r).i/j,.1, - - (" - u)iftL -,)dr + ld - )d l: d%--d',--0,-r)-rtr"+d/ +d, +d,r).
r,r. a,r, n;---:sinu , - --jL: .;:d;-te,..-il;,"
i,-wi,- w,-
'*lf , \:- l-r-
-:,';=,,; *;- - t-'.i
a' -z[- 6ya, a r.. drl{r.. - r"r) Ii d'r - (rn, -Z'ztrr,
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 325/344
-ro),f'[3rn)0n'-rb / t2) '- 1,@'Ad,dt-Z n,lta* -t',-zLdJ'] 35. '1--l* 2t
-;: ";: - jj r ' :0. r'" ": , + ', '
:, + :. .srrer t F(? ')- 0 A/cm d4: dr - d?'
d{ -d/J d:ri.r;d/, };du-o.Daid:- - lF;+ FJjII; dr + rdrr). simildr, obiinem dln=
- dzr, d , - .I+ $i.L;d, ; F;"d'td" t F;da + ti;,a/ i F;;du) dr r;d:u-o asrier ce d?,:F -0.; - r.;,{ l,.;,lF;, - LFJ,F:+ EitF;fl|l]J' - dy)'. 37. r,i:r'r-}..C8 r.:/i*
-',r,-fi Js " {?ir.t;) :': ) }.:,i,:i c,,'+h1)i-a: dlr,-)s-'' --r.{0,\- -$,v,6JZ'J;1-pu'ct dc frarim: 4-:l7 w"r-"Jz -"Jtt-- pulot it. thirlrn. .1 .) 1= -2.'P(a'+ r1-t-, e ab'la' + bT t, v : 4r'('3 +- t?)-r - tulct
d. minin i b) ). = o + * : l, r' = o - P ..t d. ninim ; q I : - 17 r - x - 1 - p'nct o"
E.d a j dJ\- - -,-t,7-z - Pu'ct ilc.Exin: \:f +: - -t' v: -z-puct
do i nim 42,a) x,* -L*,-t' : -2, '-2 - Pxlct <le nraxin i t,=J'-"- -r'
,-2, t- -2 - hct de minis; b) \ - -4'+, : *4, , - , - 0 - pnnctc de aods i
^z
: -C +, : .: O, 2 :+, - Punct. dc eilin: c) t : - *-' = +, r - *,': -
- j -"*"
de n:xid j )e:;=,
: -+'': - *',:
i - *"d d. minio j d) ?,r -
- i' ": - i=, : i' "
: i., : i - **t dcndim; r -'' ": ) -' :' - '
2- -2.-p*"ta"-i";'", o t': -f'*':i=':": -+'z:$ar':"=-{'
, - S r,, = " = -8., :
f, - **,"u.
-"--,\: g'
n:
+'. =':
+" -- - $ r" :
" - {, : - {,,, *":5
": - f, - o'** o" -'nn"13' a) FDrc'
fi, Inrut confint{ pc iiondiDl itchis ,:+r"< 1, l+ atinge mdAioile. ltr intcdorul cercului
iurctia ee ninim h orisin., tal@r€ s fitil Fo. Pe @E tu 4tu are mtlnne ir punctcle' -
1 31- JJ- ei ""t*,".
n'axi*'r'icsc] omi' .m,,- =ito ri maxin,c r, '-tfr, {roi rl=0 ri sup/= l1/2, )
"'€.iu de ta polctll antdior s obfine inll-0'enPJ:251
c) inr /= - 1, su /: r i d) i't =o, pl:1J1.44.^)#+q:0, r,1,' 1 rr9 +'1=
- o. 1s.^t/ -'I- ),," .. =
frur, - * "
- iF) : iij) H - - #" i -e -lt)-tx +tt--lx)t - 1-0. b) Sc PBCdcd ca la Pulcsrl anlcrior: i -4''-01cJr '--(r1{-. -1,r)-1:4)r+:rr'-o.46.a),'r:0i b)
";; - : = 0 | t) 2 ,; -..a: u i
d) rN-o: o) 4; -'a=o: t) o,;-z i"+t;-Ez =0.. .7 al t':0 j )-@d-u;c) 2u::,: t, d) Din .: 'y - u tczttt^ ,'= t ' u; .'='-stri Gualia dcvin€ lzrr-@l,0 -wr) + 11-l)t' -u;):r +:l-r&. [email protected] er' - z'.u = " - r' Rzultr c"*-
-rr;-t:te-,u,- t, n;:tzr+,:2rr-rus-u, .rr.: kz + ':.4t , yd -,i,
u.:.-r,:...-r:x'-,u,.-t. lnlduiodacr6l'Flatiileo'=urtr+o.1rriu,:utuu+tuurt.iu1i,.i
o;. 1+ - \;"+ @v -que( t
ro;+ *t"r'..;- tt2',
-@)tu;
-
,,'- t)bAtt
--tu;+'u"f' Aces,ra i'locuitc itr rcuali€ atrdoc tztdma@i-ot eJ ';: _ l rl @.':0'.8.,D rolaiiil. r - / co3 0, ,:* r sin 0 obtinen
'; - cG 0. 0; : - f"i"
0 ei ';* si o, 0; -
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 326/344
.
I
-.: as0. DFi L. J,rcsq-- Jo,'\U rr ,y-l,sr,0_ _ ,; G0. At ,i /., ./,,,o,:0_
- ,nzo Jit j"+et; i""ro a; _l .i,..0.., r. .,,- t....,"0.].,._o ro ;l .
.(*'0 /;; - -l"i"
ro /. . -L, ^,0 ,: ..,'., . - t I
= Ji _ ta, _J, 0. 44, p n djl. ,en.
ticrca_rclafiilor htre coordonar€ se obln)e d/ = cos 0 cos I d, + sin 0 cos ? d] + snt I dr, d0-
- _'-L 1-"io e a, + "o"6 dr) ri .tp : -l (-cos 0 stu 9 dr - snr 0 snj 9 dr, + cos p d:). Din in.tcos9
.va.nratorm"ipii,"idir",cn,ai.l,_t;,Jt+ ,,t .J;d._,,",/;.t0,.d9,cded,.e/-
-/;co,0cca- --Liu,i"o -iy.,, 0""q. ,;-,, j.,0 o ,= | rn,*e-t-r^.'cG9
-'.o,p'".,jD0si.,e./; r;,:,e.14.*r.i,,r,nrr.^/--l,. --r r. ] r,;- r,;-l,ss;*
-ir. 50. J=,. sr. J:rco.e. s2.) i r=r ,*':'"r, -:",,*J
u'.",1-,.,,q,a-n+tdtt-z=td d - ptrlcfdc nrjni$,
0._ Geometria analiticd Sl dilerenlial5 a curbelor $i suDralelelor
g.t. Qeomeirla .liferenliota . curbotor in spsltu
n. o22=
-2J-: -b -: 1, , -2, .- Ji, - o r)x- r*., - t=+:,_r_+ {: -.r0 = 0i q # *' -, Ji : ++ : zJi - y - z Jl" * a, ar . - r/i-
e- I r- I-' ;i-'- +,"-Jty-Jlt+Ji=
r,;"r
jj
-:-:-I=:_-_1 z,_,=.0
-1rr ,-vr 2 n _trr. n; .=-i1r*r.y, o={tr -r,y," - -l; h)r-+{r. rj -url. p=- 1_2,_ r..
n-tfrr-rr-a-ar,)r.r t=-L(2 r j- 4k). [- I,o,-a:-,.,. u=]-t-:rr-- 26t+22k): d) r =.-L (r - 21 - t), t-{ti- 1. L1, "*],r-r1 ,r. o, ruur"o,n,r,u-r tt,-z z,li .. ,11 t ,,-, ,,u.1
', = 6.--
4; Dr,dn'ord {ur
"==-
-:
ndr.n. prinLipnta ,\',
2t-l 3v-2 2t -taf =
,*:?
prrDur norn,rr etr,-zt.z,- =o:plx...,r o\.,rrur,/,.
zz-2912- -01 plaDll radricrro; lpq) 2,+r\2,-Z-o) h) (T) ,-2.=
1)-t ,-2 x-2 v-t'--;:--;il"J ,
:-_, j*2 (^)^-2-
0.)-,t I. u {PN)}-:r -
-2,:ot lPo) 4t - J) +,, s: ot en) r+z-3:ot")
U.) 1- : L-2 : ' -6e I
,-, t-6 ]--9 z-9 ,-- t-6 t(E) ;=Z:-- *,1#-#_+., ^. 21 6) e?_r{,=n
ea) gr-6 +2t- 18-0; (Pn) tu+.1t-6'-45-Oi a1 g1 ,-z=11-2 -';2,lB), - t - 1 - 0, . - 2 j ln -, + 2 -, + 2 *' - 2 t (pN), - +.2, -8*o ) lp?), +y-O i
IPR) -r+r+r+2:0. 13.a) d -trt(,r+r'+ 1lrr4. 1,; .1j -I
sitr2t ({+9,iit)rh,t?
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 327/344
c) dr--(,1- p"4z;ar. u. (.J r: o. / - t i: (8,,: L: L li.'P.\)r Lr:Ft({4 -rJ]lt'z-p-Ot
lpq \zo" + r), + 2ot L . (az - i')1t'z + ait - 11: o. ro. lPo) 1-':o: IPR) -' +r+
+. - r -0. u- "f .; rr-:
v: -k 1 7,,-)=o z 0:lll l,0). rsl *.(', L)-
-*-+ .* u=.'**(-+J, <o t):-t2 Le tL=ttz '= r' /r-2 su
- (t - 2j - 2kl/i, A : -Qt + 2l - k) 13' v : (-21 - J - 2lr)/J i b) (N) -; = J - -l- |
(r'o) 6' .- 6/ + 3: - 8 : o i ct T - -str' 22, R : l - o"). 23 D&r curbd I e$e dr.aPt.2
4 r0 +lu, atrnci ; : u si. i : 0, asttel cd avem r : 0. hvert, dace svom r - 0. din ri@
ronnula aluiF,cnel rczulrt.g = o. oeci dr - 0 ri t: u - const Cu,n.: jl:u,oOtiou..-dr tu
e u +ro, cca€ attcrf cst. o <lraptt, 2a, +-oa,a6 ca a;d o curti plane, conl'fnrti ld pla.Dt'Nurato.- D.o e.u.fia llanului .ste , -, -Zt-2:O' 25' R-lsa+b')tt,
r , tB' + h'vb. 26. r< - ..t.,+2r'a.27.). =rrz,t1 l'- a.\:-z.Mtl-),RT
-a -r: L-.{ =M.l ,:L,::i.re.,, r=Mr(-r.-r,r)i/: -z ,u"l ,t.tl.' - 7 -t7 lrl {o) \2 l
9.2. Siudiul ednicetor Fe ecualla generala
4.d, EcuJtia enotric-r {,ll - I -0: ;nt cL2 JJrq-aEts2 cotrie n's*"t62a'9{
axr or I' Fnctele Mr{o, 2) 9i M'{0, 5). b) Ecu4ia q'o .6 xt -I - l:0 i centtul c{_I, 2) I
e - estB 3; cotri@ nttcscte.zt axa o' in punclur M, i|, olri *'or r" e"""a" -nz, io -[)
,, u" lo. -l-l. L) conic' desF'e'i,e in rrer .," ,"" ", -:;'- ,1-or,t -r-t=o o"u*i^
- -"*i v,' - -**' *a nJrabolei J' - lot - l : 0 j e - a,ctg l coni'r intcrsccteazt 8aJJ' -Z
oi in pun.lere ,t,{- 1-/t o1eiu"1-t+Jt oJ ei a'a o/ in Pua*ere t'[,, +]I) t'
,,r, [0, - I - ./t]. c) ricuati' cEuonjci v - I - I - o, centlur c(-?, 3) ; q : a*gl.1l
conica iutcrsecteaza ax' o: in Pucter€ M1\-41J1' qi M,l4t6' 0) i as ot rn Puoctll
,r/..o,2), I) Ecuatia @oDict 1r= - -.Jfox; e=".'sz; a'a lBrsbolct t'-zv- -01JV)
i.L ,g.dta r virlul prrabor.i 2, + 4, + -1 : 0 Pahbola ilteBdt.ati alel€ ot 9i O, h Pulctel'
nr,.2. o)
riM,(0.2J. s) Ecuctia *-'u."
-ll--.#-l:o-cctrtruI c(2. -l)l
zll5t2) 2l..'15 ' Z)
'* o-,"- l-Jl. h) Ecualia @looicl v'- + 4xr c-r:'r' 2 4,12
og poEbol.i r-t'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 328/344
* *: o, o"ron" t vi.rLr pa. orei r+r - il:0. s..; r. /--, _lrul*11,,,.l,ipcrLot:l j i : - Z, a-,u a-np .-,",,. :,,'n"-,.,,,, .,l _,. ., r:r',", l,; r, :p"nboll: 1.. L dFf,"tp p...i.Jc I ,v iJ-o )i: t)._ I rn. 6, s" ".-Lr; o..,i,.,^: -r ri sFobiin,treptetczr-v+5=o'J-jv-'..o'''j"-,'..".-'.,>:lvnitF|r-|a7','.1
,.-? \-2. q t,,-2t;,.r.; ,t'.
',"'.-'.., ..: ,i-- r "i 2,-t-
r={-r. -.riu1 ;",1';;,;;; '' i " '') ri'l F'r r---'-d'abo'1.. ll J t - d'1,1" r"l o.. ur. : )--L d,,.,.
pr.ar.re: i e/r ), etrr." imn nnrc lo 1c;-,,;, 'ir,'i:?i ;i";;,j;: ;,i'l" 1, 1,","".,,,i'ilj-;ji;. ui"ir'rrr4'r r' (u ir, ',j'n ,,,.'....,,..,: i.:.,..
n.J G.omctii diferenlirll a ruDrrI , (to.
," "-,,1"' "'- li-'i ''.-';'" '".''('r; 't {j : o'- t) , -n:= r. ,,.
I l>-_---0'...,i ^t,Gt.s..t,n,nr.i/,,,,ru"\L,r|t ,,.r l..),* o.tiDecur t,.
lnrtlkilu nl,,,,t.i . _y_ :r"_ rr, . _-L1.oi -2)"'uo- l:0. ,rcrasrn nrirn dl I,.e trtji
rn flrrr.l r-r -2%=U. ls, ,f., _:j-:jll =.l),-t./.r _ L r, '. _ ,.,, 2t-' b,,
2. ..4 b
"'-
"--=;--
.--
16. v(r',,11 n..,.1t ri ..,J,,..rr:..t N= r;. r;
=t,,_rr,-_r,,
i_1-1r,1 ._,".-_liniir or vclro,t clrNrnlti_j l.ak. ],e(r snre,imnirci,,rin,.r,,u,,,,,',.1,".,;,,,i,.,:,;::;:i11,;lj:,]"":,lr;,:."::l;li,j;l;jIl,;:Eoralle lu*l i tans.rr cslc nco.a$i c .c,6tia snprnrctci.
"., ,*, *=r::ii',
erllT -g',2:-q .o tr,\', 2_ ,, _ l:tprl1_ 1r r.r.n., i\,."_._
,-3 z-t---'J rPr', -3r-r..t i2-0.,ri {\)t:r 'i, ,_,, tr.t -2tJJ\.+?+i:o: .1 11,1 I--..1=r_r=,_a ,.3 _t, - - \Pt) rr - I:v i : tq o, r.,v,,_1
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 329/344
]1, ol . .. veri(icr ueor c, t;u,l: lu;-:tt,l. 22 a) ds:LIz+ 1,14*'+212 + 2 +t)Aud t:J+ (2 + 4veJdl1tl , b) ds- l{l +r,4 )d' +4"5d'd y+lt+4;frdrnl ' | ")
d":l[L+:i)d,'+
, 1 lla.a, . fL - l r-lod"". 2i. cnd F, 7: i | ,' j+,r \, Ead F, tu nPb' .1 t b':t J
+ 2'l )i + 2t j - t1a + 2,f')k + smil Fr 8dn Fr:0. 2{. e0". zs arc' i- 3J'z6
a8
", -l- ll: r ,,.*5=.27. { (r'. rJ il@st- f;J.<,r,I-r d(a<-: ,
try-t,
+ i ls) : arccos . :e. t**'* sint curlE corodomtc Pe suPralat4 ti F:0,'czu1s
cn
lote unShin.ile latrulaterdri sint de 90".29. F-0; dd:rlt+.c.saldd,. 30 4 90" b) cd-
difia de ortosonaritate ste 26' + /8, : 0 ++8',
+ 3'
-0 + I
[--1 +,J : 0 * - : i
+i:co.st. 31, dst:aldLt +ae.oe {Att; ad2r:adf +d6t4dt:.32 a)ndtr:("++ t," + i"\nn Lzo au" - 4, dkAe + 2l{ + t\dt1: b) n-itt: - 2{# + '+ 4{'a\ 'z
@ dul2+
+ad").33. a) e0'; bl cos 9:t2(l+"11-t'; s:+1.31. al *(Il I,):dcc6-;
",r,.r"1 ",.-,irI:
+tr,, D 0: l') crtrditia dF odosonalrhre cnc'3r -{sr-
t j/+ a )8, : o + 8{rd,; + a') + 2,} : 0 € l{1€ + z') + 2 :const : cl ' 4tr:-2a\a'+ 2)-tt2dudo
35. a) a: + \; b) d::LlJt+2]t q" - +Ji
I4. suDratele riglate i de olalie1r.a)lr+jy) +{,-r+,)'-2?.t1')G 6Jr;lr-3:)3:t: .i
'L -2i)z+8ir-2,)(r1:l++ t{(,+.)s- t6:o; dt ln - z}' + lr : :) - , : o : e, t6k - k)' - 9l3t -24' - Lz96-
.=a:\'t+f --3s+zt-t:o. 12. Ecuatijre sebentmrei l li v -*:'-i'.+t't0z
:h=^, z+2x:.n+2to=F. Se obtine 12' +.)'+ 251f -znt- 10":0 13 C€lerat@rclo
au dnecfia (r, 1, 1). orrTi'em {, -y + t)(' + r - 2.) : o. 14. -2" - ztz -2" + 2' + 2rt +
+ zxz - 6t + 62 - 3 : O. 15. Generit@rde snrt PaBrere cd linia c€nttel.r slerclor, ClC (2, 1, 0)
ii deci au ecuatiile t - 2t - l, , : P Pulnd cmdrtB e 46tea st int€rsteze slerele inh_dn
singrr ptrnct, obfitrelr condilia 1: + 5if
-125 : 0. Ece,q ciXndrdli esle l" - Zr)' + t" -
I2i: b, 16. Ecuatia cilirdrdui prddtdt estg - zta - zva - 28 + 2,r I 2rz + 2,t - 2' -2 + 4t + I : O. ForEa umltrci cste irte.io.ln cdrb.i de ntecctie a ciludrttui Proiectant cu
planrr, : 0, anulfe : 2 : O, - 22' - 2f + zzt - 22 - Z + 1 - n. Y. a) t' -,t : 0 t b)"
++rt -ztt -.rt-?tz+ s,-{:o; c) 4f 3zz + atz -at2 16r+lt +1:0; d) t'++ 22 . + 32' - 4'y -5*z+42+ 4' -at - rcz+ i:0; e) 12+a)'2-4,(t +a) +2n":0tfl ,l :a r-r r: ,",1 aeayy'o]. rs. (f -6'Xr, -a), t l)2 - o, - b,)e + oa - .').t -
tb I- 2abz(t - a): a. rs. 4*' - rr'' - 6r" - t2rr - 36r+2+ + 66 : 0. 20. gla - 5)': I6lr'+t').2r. L) 912-*)'- r3r,(2 - ri - ,ry' : o; b) to* -
gqf - E z + l05tt + t5t, - l16n - 4at --262+264:o: c) 'r2-Jt:0; dl * 2lz + r + ,)l' - zl + 2' + 2 - 3. : 0 : .) '1,++
+ 4 - r - = o.27.
4 1" + f + f --a2
-G)' : t6\t;'
-*):
D1('a
+ r',) -tt
-I 4
eo:cr vf T2'-2,\r .0; d) (o*):r'T" -t:oi \oy\'-- +L'=-l:0: e):r,+F-aabt
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 330/344
+ 2+',:o). t) I'z + ' + ,')' - ekx + 2' ' t') : o i -")",trf i""i". "*.,tul"
re,.i'ate q sl i. cilhdflr prci€t'rt 6te ,tt + tr ' h'
.nrb€i sirt zJ,t + ,' - {, : O, t : 0. 24 Se P@edw: e la aeeillul
"t"i-i: o,''" + * - ." :0. ?5. in Prdd ,or: st' + vt + .16'--
r2 .'
oi"*t ,o,, ,:y- rr, 1 Jor+ i{4'- to8:0, ':oi in ptanur 'o':5zr+ii_w : o: y I o. 26. ciii;Ll e"F ol,linor prir rotie drcpls ce {rcce p'iD Mo
ru.rreala,Jr 'l= :'l ,, t' jord drept'i d Deci curba
3
,-:L2 : - t _ 1* . S€ obfi6 5,r +r. + izr - 3" - * - 3 z'- a' - z, +I
27; Errninird ' ri ;, oltin€,n ecn.fia snpiaretei sub fo'ms iDPricitt lz' -' -z)t-2lt'-t+i 4 : O o rIp', p,) : o, nnde P\ = z' - - z' P^ = t - t + z ti Fls") :'3 - 2' A@sta
arati cn supralaJa cate o supraf4t cilindrc'-
9,5. Cuadrice D€ e.ualiile lor canonicc
7, Leul geom€tric €ste hiPerboloidul .s d@a. Plne'-- -L -:' +I:0 E L@ul goe
nretdc esto elrpsoidul dc rot.liic i_-+ + - - 1:0- 9. l-6ul seonDtdc este Pnraboloidul elillio
ne rcrali. tt,+r1:21:, 10, ,trl2' -3 0) ti rrtz(o,0,2)'
1 = 0. l?. Plnctele de itrtelsec1i. 6ht
ll, Elrp*lc: ,:0, i-+U--
916
-,(-+,-+ -f)"t.ti 1. 9) r'r,*r.t 'e*+slntlPr e,+ 12,+4,+30-o
si tP") 9r- 12 r-i'-30:0. lJ, Proie.l'i tn Planul rot : , : 0, 9tt - 2lrt ' 12,, - 66t -.-it-tr:ir.rc ((n-rul 12, -l,o): rroicclis tu Planul /Or: ::0, 2bt -24)r- 32tt -+66r'-88 f ?3=O arc ccnt l (0, -1. l); PFi.ctia in Plinul tO.:r:0,. 1ae+L6t'+
+ 28i - 44' - 88, + s5: o .rc contlul(z, o, t1.tt."1,:tazJi,1'-z'azJi,,=s+aJith),-1, J:2,,:9. 15. a, - l):t+ 16r:+& +8t- 16'- 16:0 /:0i lrj-lJta++ l6ra-El-F8?.. L6i--8:0 16 4,:3t'-l:-6=0 {t-taJ--32-24 '0,,i +a-
- 3. - O, y:2. 1?. Itipe.boloidul cn o Pnlzd t ' + 9rt - 36ze - 36 = 0 18 6'-4f-3t++12: o,6x + 4t + 3t + t2:osi6t-4 -3,-l2:0'6r+4t+3.'12:0 19, a) Mr(o,0' 0)
t\M212,3, \)i ) ,1r(0,O,O).20.a)Mr(o,0,o)+1:Ot M.lt2 12' t2)+4'+2 -3'-36=0tb) ry1(0,0,0)+ :oj tt,(36,36, 361-1r-2 -z-36:0. 21 t-2 -42=0, a++2 -.\:O ni r -2, -8:0, t+2t-22:0. 22.2t -3t-62:A,2r+3 -6-0 9i
2t - 3 - 6 : 0, 2t + 3 - 6t : O- ?3. --*#
10. Integrarea Iuncfiilor
10.1. Primitive
8.r) -rn(l+- ) + c j b) '-:(5 '-i)3+c;ti0
c) 3 olrri +.:-d) - 1 (r -,GPr,1c I.t-
E 1 p 4 t'h - z1t 1 t1't' + c; r) rtri'l - ta2ldlln:r'l + c. 9. a)' - tg t ; fl, 1 J r + tl -
-]Ja, ,-. u, '=u/)s"r: Irc rry'/.2-* +c,c) .:.i"r'-L(.v i:; +
+ Frodn r) F c ; d), = si t1 t I z rcsi\F + c t.) z - s" I : ".i"i" - u/il,r + c I t), - tt t I
tl ..S
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 331/344
L, $=fi + 9 nl' + JF -*l + c : c), : sh'; rtr l' | - h (r + J71' tl + c.: a1' a t'
-6rrr, [*r)lL-2'-'7-tt'+c. u' 4 - *'i" 2"+c;.b) r'(1+c)+:'
") .-+tJ' .- tr - ("*" rpl + c: a1 31.'- zllill+c'a L *\
- "*'t"
--rr"ir p.,ri)+c,r +''l+i*;|.l c:s)24J;+c rz a) 'lrn* r)r cr
u, 11o*- r.+,-c, ., ;;,;;;l';', c; d)l i:fif,*"'+c:cr --Lrrdrr+
- i,,,* * ur, t u,-"t 4 -J_ tooor,+ a cos 6:)c"+cj s) ; f(" - t) "":
- r)3cos'lc' + c j rr [; f, -i, - t<"*2' + 2 n 2') - 1({ $n 2' - 3'd24le + c t
u L n^" - z, + rla' + c. (O"r I'="c-sI,-\"ro
- "i b) rr+r
- 'lnltra
-(" + 1) r-
4 '": ' l, ii-- -,,F l; ar r'-,: -L1-"'r'-"+.^,ic) r,4-._l-:-'t4'-,rt4+-;-t'j", t"'-1,-4', " r,
fft.-,t,- -coB ';c)t"+r- -ltc6'si -'-("- r)It-J' Ir-hlisl-l: 'r
rFr-
'*'*u - t,-,; rl - - r' l.os,l + c i sr t' - ;+- r(' -"' +' sin')e" cos'-r' +'(' -
- it,-,:,@t :ft ,,* f''r' - t1-- 1o p1zlac: b)'trrtr'l-3-3rhr-21'ic
' t+ j'oF+rt-hF+2 Tci e):tu '-3r -
.u.:111,-;'"(t-,')fc'dLir\
"-,"- \;l' - tt- lr't,'+ r' + 5) + au'"ts(' + 2) + c j 4 irnF-r --lnl:-31 -r-3+ c:
a Inv-i-r"r;'u*f arcts+ c; b) ffi"^t,u*,'*"'o' 65
-. 1 .,,nu. t t-2
i) 2ht,T{t-2rnl,r2l--+++;+c; j) h l' + rl- trd.k -' r')tT q;;t-'-
5 ----2,1j -" u, 1,.- lr-
6 +c: D ir'(:,r'+ lr-:lok'-
, -*:T; r+u,"
"
6 ;+, :--+o,., +l^ - *.* *+1"
r + "*,u 1 -
"il,,' u 1t n .T. - + i - +".+" -' 1 u-''' - 1ro' *.,' r) - c'.' " -
- (r +il/. j c) I f' - Af,'- 4'r' a Ir"1,+.,/I=-l+ ct a) J-"n
- -*" - -'^ -
\,,n-u,^l ut,u. - , * I i1,u" f+ u *r +'", ",41*t,'i 'r ri-3rb r-r F
+ -}-"*u lltJ- - --:t-"-
-r c-':{-:-lLy^;t)rol'"- rr- j rtr(rt I'r- 1)+
:7.,*"+." i",I1-t--f i i" i;,.*r.tt*'.- "{"-' r
J1"-=*1-", " -'L,r-*l*.'+atJEr "' o (*'-* "-+4 JG; - +'1' * j"G;; *''
"' T+ ry'l'=;E -*** ;; -'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 332/344
',\..-..7. a) i (r -.,,(r rrr{i' + c; b) j\r - 11 -f i"(rr,+ ) r + *"rz4f + c,
cur={r+,s1r/i; O - f i+ + :.ttz + *"t -zh + c: dl -ztt+,4\zt' + ct"1
J-L 1,n
+ 2f)lt + z,)-11, + c i t1 p". z1q1tq*yn+c, ct j (t + rt 16& - z(l + rt)tr a
-3{r I r,xj, c; h) l1Irf^-f (t 1;"1ri. y6i4l1*rre1,rr,-JJ(lT,i/.i/'+c.'8 5.
7'
; (''lu i -,| -,"].": -,l)+ ", "r O.1,"{}*f]j -r c; c) ds(ts:+
- r) - c, a, .s j =,' -Lr" r,"- 2"a.r,11-l-;,"7 ,", o - j, - j,"
""".
,.,,.f.t"l '+./a l* ., o1 ,r,-,,2 cc : . , c j D _ _ + c; s) si2.12 lt_J, I
+J'+("-+]-c': ) ""-';+r;++'lfi;l'"' j) c's ',-r,- 1u 1r 1 1i'r, 1 c ; 11 -L a r,l rg a l+ c; D - 1 J9:a - l-t9:a - lr. lr81r.
2tt .os'l-21 I si r, 6 sjn', E l-211.j.i1- 3"i,,-{-+ c, nr :l-"* , t I 1
r J 6 .6 ---2 ---ct+c:P) -'os('t--coe{'-1 - -- 3 , 3-- 5t- 3 7t 3 tlrcoszt-.i q'f-cc ---."" 6 - ll "- o
--a, "". o
rc.
1t- 1r':=-----:-a) - l/ a"*,s l/ 3l-:-:l- + c; b) Jr + i - t - 1"r 1: a, ra l--J-l- z arctg r a c 1
. 13. I 3t'- 4 ,,-;---- - .,,,_-- Y+2\
+ 13 - *) \/ t - 2x -,? - 2arcsi .:-l: + c ; d) J I - t = I (l -,)+ *-:- arlJg2= - s
-, -' *
16-*
"
i', -L,r'.-** r0.,- ro'+ao'+ll r,r - :1'"",
"*q iz - a'z' -.o"2,1cr. + c; a) *-rr(z+o'+182282.,4fiTi" + t)- + c ; 6) -3{,ri' + t-t + c i t rq t"l - lDl 2 a, a z J Fl;li1 1 c t.-- r,+3r I I -
10.2. Integrals d.linit5
zo. .1 t i t) 1") #; a) t, ,,: t.q.,;:o, 1,..., n,.' q -21t,: at:_4,i: t,2,.... bl
- J. 1; 4 a, ,,:d.qt. i- 0., .", *,:{*l'', E,-4. i-1,2...., ^*nL," . rt. q J6 --L, , -16, rr+rina.: j 2; b)ri,.o"- ['-- L-] j c) rim c"-4 la, _10 l,rr I n
-r" 2cu Bics.* a,,,-L,r-o, 1,..., i sr E,= :], r^t,2,..., ntJolrr )'
Ct 4t ar &rim.,=\ +-2;.) 1iD ,.:1 -g-d./' - r); a" h.'l' , Jo{l+,.J Daca , e I-1, 01, F(r) : --l {3'- }r): dao
, . 1- t, 4, r1,1- r - -l (r - ,)., i.r l"lt.E
- . ?2. N cstc iDt c B ilA,
,i. a,r- -l(1 - r")r
at".Fk) * 4++k- l\
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 333/344
'- 2- 2- ^ t-j1.0.,".=t.a) o<.,n.,<t*I<-2s. al 2<J<J5:bl :::\/<-: 't44" tt " 2
{2'- lJ ll T'
21 42 27 4 -2lni..r"+l-J .26. J",: --;:7i-; ', -':d" - rr ..1.1 - '
z \ z '_ -",, r ./i_I; ,, 1,,, r,,z,t, .,,_l(" :/i1,,b)2-a;.1f;ar-tt+*,r €)l--
I l, -_ /i11 11J-'
tt
1,r.lI-
l: t' {er+ l /2 r) c"-''r8:
r"l('5-:o)::p'zlvzI
'2 4 2
q) : - rn 2. 2s. r :: 2s. a, 5ubsLi '4ir':-r'onluPr'r'-Ij""i"''a'=;"'*""-t
"_';b)Se lace strbstitu'io '=I-'9i*oufi""p*ttu /" :
\- 'i'"t d, obtrrein /' :
-
,i,
,--l("ittrt,*+ cos'r)<ll. ultinr rntearnu se qloalcez ' ca ln ci€rciliul 10' 31 r=sinl+" aJo
t s. = --2j-:L- . se finc scdda de incsdritatea Id sd ved€ 6 ' 5' rclatia (?)l''' 11,..(2,+ l)
t ? 13....2b-L <-:=di,n:^, ,zJn, ts,r- si 4-ci lin s,:
zJi - 21...2^ J2'rI 2^+t ^-'"-'0. ,r,
"1 "'- l: b) ,(/: - r) cl 4i d, 2(e Ii 2 - r): ')
2:0 rn2 - ir'8
]", -*"'
d<ttrAati'a)' aacloe(i, s)r b- -'dlcd"a>3 33 1-:1 34 - n--z+e',2,- i"'- - r^ I 8 -. 32 ..9
ls."t
r'(z-Ji)+Ji; ul -z+'sf -|; c) rn-:i dr-rni- 36 r)-q' u'?'
.c) ai d) 3 - e 37 a) + (rot - rt I rt r"(" - JF:-i): ") + t" - 1r'' o' t - * "' *'
.38. *o- ,w-i s'a) J-Pe-zJ'b)2r''l
10.3, Integrale imPrcDrll
10. a) corvcrsonfnr2i b) diverselt{, c) divdsctrtd i d) couverscnt[ :i; '
O *'*'e*ta'
11;4 con'ersonurfj El convelsetrtd: z(r-'./i] rr'n) at"*s"nra; Ll cotrvcrgontai c) co '
"l.soate;ol aj"ergearf; o) convetsenlJ: I) convelseH i sr conversmt : h) divdsctrrd i ll coq'
wrs.ltei i, convdsedid v . s'^1I;
u] '; 1j ' o';r"+'l' et-_.tld-b)l
,) 2) s) r" r- ,u.. v v' tt aia, q i|..#a .Ij
5...(2r-3) ,-,"+rn.
az+ba'-t246...12il-2) zrt d) I*-ro,1",-IJt r2Al:l)..*'j c) di/dscnu. ro., .r/i 9i aloi io irleerl/r lnb'Prrfi conver
2.4 6...2h
,s6 tr.. 1e. a) tsj- *t: |. l1 s" a"*o'p'"" Pe to' El ei tr' 2il si apoi se Pnne t8'*'r2 3
h"\
zn . a, sc ae*omouoc oe[0, alr,[.]|. "l ,,scpL1.,6, , -]=. :0. ,r su r.""
li"lt
- [ 2l l? .l tL
-*bsatoll, ,: t -,. b) Se lace substitniia': --L '1
5" ;'' L' Punctul lleccdcnt 4 : I -''1+ r)
d) S. qtesreizr Pri prrli. c) sciltegrdza prin prrli 2l nr sir'L:''h*I:7al'"i'
''l ,.1t- ) rL r *"
""."".s"nrp.ntru d > - r, tr > - | i b)' * rt ^ a I - L B (;, ; - t) *
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 334/344
+..o *'J{ri;.n' u' >0,, > r .) :I-r+, *s(,-h,t,,
a>u .o:J, - -,+?--Lfrr- l) (oDveraerr penhu , >
,) coDve.gertS pentN
- t;";
,:-Le1-
converg.nt{ pentru 0<rr <r,,(i, il .-'1""*,, : t), - /. * r : : B( ;, T").€),' : I + r = - r (, ++].
-,'","""".10.4. Inlegrale care deDtod de rrn Darametru
. " I, ., /t r \' O'"t,-,r'-r,i. arr 'e a) FIr\ ;l-j- ---Ll 'in 116 ' 1r - [- r---lJ"i"rr,.1r;
b) r'ur = 2J"",;
r, I. r - lJ dr I th - t\hb - . b, _ r) - lo _ \ttar - r, a, _ r). cn J :-11,, a. ri.ny n,."",n I b) 4/1 r7-0,c)
"r,-L(r:Fv/r-f 1,rt'-,^,,* r,
<r' t r > 0 ir - I tu t I - r), dace)' < 0 | e) * r" b+J +I). u. ar dr*s------e-:-l- r
o, -l-,"g:-tll c,- I,"aE-& .:, r-ra-r'r'-r)2, (a- trrr I z d.+c -
^'"'8 +#' tr'ott:n1j; b) tarcsDtl
31 .r:- - -l1arcos 1r : dt +r,(r - v/T:7).
r0.5. Int€grrle curb lnit
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 335/344
17.a)1; b, i=, ' -t. -*' " ''to-Jt- ' '"' l '' il, 1'"', 'f i" ,-,i-;, ., \".""flfl7; ,.' :15"'.) \-.0l ,,,/*' ') )-- J 1 /--F" '
[".'(-E- /o.,:c.
\'a'\-r''' --(:t' ;i: t
l',tt':':;
""il "jf',+,.,J'.'ii:' :' " iJ'.,' li 'l;: = '^:,.,.)i,,,'_-'r:,-.,"4,i,-:" , "";, -+,r" r'r"'''.'r' u,o"r '
,1n-,',i,,,*''*'rti"",1 " " "' 1 "" \"'j; "
10.6- Integrala dubl5. rormula lui creen
10.?. InteErtlo de suprataF rormula lui stokss
t. 1) er )gi1: n 2 -'1o' - o1'/'; 6' 's1"-Z" ' Oi
"/i6a42 aaj e):-x\/21 I) -:
15J0 f
";e,{(l+r,,)'/'rl
9. d) 9i ) -i4'ic)-@"\6-rq) '")-1i- 3
11 -*04u"*"r'n.ltnlz*utr [0 a) -taaib) oi4 noto; d) 3id '1' 11 r) 0-'
;;,'";:.,'"",-,',., -9' , -s$'n
^t ;rt'*"r''-':'o'"&'"'5"
-lc--n. xlJi , r'1r ..u/i11 rr'
"/irs -l 't - o"/5 16 'c rvc 0 t ti t
-2.l +.., ut f --aa. f8 dr r, - e :o"a -hl
j"",ri,,
+ .1'r'. rq. €'
,-\ t _ 1 ntlatlt + azylt, 1",.-1""-
10.8. rnlegrala t.tDu. Formula G'uss_oslrogradshi
ro. o;J" 1rt 1 LzJt-zt Ji1; tl 1 'Ji t' "l t: i-"*. ['(,-i)
'''",\-,r,-1\r'
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 336/344
,ii
o' (l/', "' u, (l'i='-- JG,t,.)d.. t2.
Ur I:tr: gl6:
aazb.. lJ. J) r,, r <?,, 0<r<.t
t) r r.nitar de z = a, ':a, lz: ax, ,:0, si,: a. u.
"r *:
rr* p.,/i"_ rl;
")**'.rs. .) j"r tt sc dcsconpnnc r/ jn il - inre.io. parabotoidului 9i z e lo, 21, ,i l'e - irt..io
srcni,:ei2,:ufi. s."u1i'.1 dJr-s). 16. #atc.fi.ar r,{:r,1 - aj
"11-o,6,,
a ]..so' , ] , ,' ,[[( . L] 1, ,,+r ,si-,/EJ,. b) r ((( a,=r "".,, ,,0,:"' d JJrv JJIY
.\\\,,"
-'l' r, , r,. 20. ar s=, , .'..11,, ,*,' "' f ^", (se ioioce,. coodo*rere
..reii.e). .r) s; p.occdeazi catapucrll pr€c€dentj Mrl3.2t. a) hEdbaat/; b) 27hd. 22. a.) ,o:ro_0,
'o=3ct4; b) 'c='c=o,.e=f ra./T+ rr., o ", : |" .: ir, ," = ". zt. **ttJt-5t.ze. r.o,:1.t.. t*-;""0,. t^,
]"at.-
11.2. Serii de funclil
6-a)a>1,', l ineadeco .r'eryenfl:njo<d<l.nut+im€a.leco;?e.Centa:n..{"=n,_
rl -, t-r'. -l:a<0. i r nq de cobr"senF:{,e r,F}_ .:l: b) o<a< r, DUtt}86
"I zl
.oqv.rs.nfr: R, a- I, nrllio€ de conv€rg€nfr: (1, co), 4> l, mulfimd <16 conv.rsull I
11. Siruri si serii de funclii
l t.l. sirurt de rirnctti
s.a)/('):0i b)/(,) :o; c) o
=f,t't<
j,fi.1=o,d)/(,) -0. e. a)
/(r)=o i se.rjee6
;'r'"r :(r--l)"['+(L-+ff-* ro s€ ap]icd crite'iur rtricauchv:lrr') -- r,f,rr'
--L*--L*- +'+-+. u, se roroserte cdterirr rui cdcly. rj. sor I r r r: 2n :a
a.at ^.r{r,i..^,'.,m"o1rrrd,:,.;-."un,rdr antqecnrD4-t ..-_snr(t .(o.r?+... + ,.s^j .r :_ s,nrcj:j_+. D, 11t.ftna 3c*"-
"-iuri.
f,,4t)a,:f,.r^ r;t,ta,*
*ri-.,.'-(' t'' a, ,- n.r-.o....
60 :l
t" ^\ r. . n,
^'(r' '':)d::
t)\,
J l;""l.; ft*', o 1*,r, -.uz:r ' o
1; a1 1--, -rlu(-1,-+)r(-+, .), .r r-*, -,rut,, o),
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 337/344
n,?: e) lo. 6): b) ruultinea vldt: i) F\{0\ t Da se adicl tridill lll al conp€ratid'
;,:",";';, ;i;il-;; rc ,ssdra 6te n: L"a "< t -'tlirn 'r' cd/F sPn.n oste vidd
e. :,1 rotoioa io.galitat"o 2ah < e' + F aart' l-f' | < -L ' *rie absolut t 'lt:- '":*'
r"* oro*.--[r--l]'... {' rJ)"' *o<"-('-*I - {' +i" -(''t
l'3
-, L :
',
.1:*riF arJsotur ri lnuom codver8cnt5 Lr s'r'e f,b'olur si
*;l ';" rrrr-,(n+r) s'' t ^ l^ _ - solut ti rulorm cotYerg€nit g seriile slnt llifonDunirorn convc,s.n r: d) .,i" 1 < l;l :*rcab
-- ^ '--l *''l'<.' t
'c)I/'l'l4rl to 3) s"r''=e "'- l:rinsr{rr-
corvFrgeb(f. ar ,, < -.q,,rr -
{2,_r\
- - r, ' 10, t1 utu-""101
-o'*** t*tt" s"-a 'r('): - 1' '€ (o' 1l ti /(0) -o
esrc disollibui ",:i, ., ^ ::i" l.1lY l; Ti',,11: i::',,T",T H:::il'f "'::[] :isne derivireror u $te unildm conve'8en" r*# ::.;;;p" i5, tr o u,"+. cl't = o,
. tr. /{11
-
o, , e lO, ll S.ri4 denvttelor 6te
iil ,i,l"i,. .* r".iit" i .31e dsivabtu Pe to rl ti /' : I : o' rezurtdca sna d{tt 4t:
ffrll" 'ffi i:;-i;';il; n x' s".i" ""r'
s-p'"oovers'nta
Pe [o' u c'fo 'r{') :0' ' e Lo' tr 5'
(tlf.tu, - o. s.ria irtcgdte.$e conversEnt 9i arcsurna ll Acesh se ddtortre taPrului cd sEria
Joioiii.lA ru .3tc lnilorn cohvdgat''
113. serli de Dut6rl. Serli TeYlor
?-a) (-r, rl: rt,r:i'{:]l+f -*e'r-rr+-l' b) {-r' r}i'l(4--i--'
"i i-,, u,rr, -## d) (-r.t);/(')-+i;-':'r (-r' r)':'l(1):=-e---':;'):(-r'1)'
rat-];*"ta'-J-nJ=' "o (-i' j)'"r(-3'3rrc)(-2 2)rd) ?r'')
(-e'' e{)'
t n, 8) (- r, r) r h) n. i) PdtN 4i) -') $ atar'az-i *ria tr a"''''-' - d a'l e l- P' F)
ri dcci ,€ fd-P, a+c). obfin@ (0, 2l t -l' L) to' r)r l) {-e-3' e-3): m} (-2' 1}
ro.
"
n, : i l--
"+r.
l,l < I j b) se d'$onPlnc /(') t' tiactii si$plc it s€ uiiliz'dz
'/--J 2" t
.r.zvorta,.a,dncti.i bt oni.,. : .r{,) :3i (-"' {+ - +J""'
1'1 < z ;"1 -'0',: 1 -" +
, - r,.)r(,) : -
t['*f)".r'r''' ,,.r,U:,.j**'D#
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 338/344
11.4, Se.ii Fourle.
'3'.z) |p,= 2 )'t-rr',":l-:9, s(rF):0; b)/(:):i+rFr-u" 9 11, sr*.r -.(J,3,Ltf .n=-di c, /,=*:,,-l*
X,-\.:;:;l.srtr)_.oi *, ot ra-.
- 3"r".-|i- rr',"'"", stJ --): o j .) 9-l-I - 3k - 6)i sin'2' - rrr . sr6) :
" /-J 2 /_J ),t- L ''_Ei
- " i ' , s, t ,, = ' i b : 4 sr r- --) - o; rt,t . . i"t," \\ t- rr.-, " dn ,,0
; .) /,,)-t 2 E /_r' at+6'et/v''
-_g-' "r"-l+ - )'r-'. ",-" l:s(rn) chd'.r., ."-r \- jljt.8.,,_
x trt L1 dtt^z I Lr "-i
-l",+,,l]-,,'-,*f '"-*, *u":", --n f (-r)"*'l:1",-o un-r* H" H ' t2
e. 711 . 1) '--.L.in r2L - r)r. s. a , I ri \\ r- ll,-. -l I. ro. ur r,,, _-lrzr-t- Z /_J 2n_t 1 ."
';I-+- +i--r - ,oq2,- r)--:i q71,1 -"r,11, "ir-,,,
, f,"*rs- a,LJ tt\_ tr tt 4j rr_,\r[ t
-- '''#J] rL') Ei+Xr;1-'-)';;(;.DeL)"- ;i*'z",)'
12. Ecualii difercnliale 9i .u derivate partiale
12.i. Ecualii dire.enliale de'ordinut ttrUi
17, Presirrea y' pe planni, : i 61e eaati ctr presn,n@ t + <tl din ptanut, :, + dI pl;s,p(siunea Psd, daro.irt
siertifistmtr ui de
er, Dci f:l+dp+psah
-" al __
pgd',Dupb r.s@ saa.ror pe'Iecte ?v : a'r eora p - 21 pi a*i u : - at,, <le uade r{l --un
nr I RT
- c , AI18, Se rezorva ecuaTia data ttr priviria tui C ii apoi * dqiv€zr- a) C: (/ -..,1sinr)/l rt lrin derivae obti .e @latia,y' _ 3, -,,sin* + *cosrt b) t,_ icte2,r _
- - 2 .rE 2y s,q. : - I sinz, 6st 1 c),r' +,"rt - k, + 3 = O. rs. r, -2J + - c/' rit'
afr8 j/f arir€'qc$ r l, -clt_9); b) )rr_ r: tlter T rl _ ttr(e + t) r
dcos, aEra
' ctd)yt,:-;tt.
It: e)
ctst/:i8':+c: t) z:crlt+rtrtttt.It8l- c(l - c1'j h) tat - lBLi \ l l rt)lt-j,l)-2, il t|s tsly-ci h), ,tnr -c,,.t
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 339/344
,^i-'#:"01:,-::,::;1")','^i-i,",.,-)'-),',','*'l:uri-"u"t'r c:\q-2ctr I 'oiJ rl x
L K) ^. - - r- ", | : t\ ty +
r,r. _ ro : i, y,.r - cd .,:i ur': = l1"r ::.j::-- il ",";' V : l- i' r"rr' u, -,',ft" ,,.."f)
I ': :'., 1;:";,'_;;',,,-;,." ,,'. 8v. .,, .8,-4,-c,'","
;'-^,:;': "" -" : " =;' "'"r,, ;' "';i"i - J'.",",,Q1 i -|:,;."'"^='o:i,",t-2-e-c:. ti - "
L le :"' - I - ' - ' -;^ ,..." ^" .., ":i.*,"=r.
+r.-c:r,i-'," " - c:sr:-i'
ed :;j;
i;-- : : : *:_i_- ;.: l, : r,,',",; ;'_'_, r,;,:;l' d)'---:-iil-*'' a
:::,e.,r +J,,_c: r,r __],1.1,'-c,- 5:r 6)(v _ 2r T jr(Jj -8) - ci gl b
, t, - 1', ; -, - or= 1' :'' -''' f '''1 - ? t ; i :]'::- - : ; ;j ;:e\,:- i ,,'ay- =c' b) a=-,r Ii r2ril-l-'' " --- '',ut"t '
'Ai' r-^1 =
"u+ nfrl" , - cr T I | ) ) =-: *"+
I -cl, - ")td) M= l, + r)-a i *'+ 'r +v - "v -'l:7
r fl+r\rir".t27+
o c.i.")
rcoorto liniir. tn' @ lLrnctio i' - ct - /-r i d)' - ; ti:;JF v'
* 0,"1" r, u y=- -t t)t=ii2x+z.i dv-3-"i t'- tr-";0",t
^t"
=
", .^-,. ,,
"-lll,"-,.:ckirr) ,,Eccos,- Bin( t t11 = c J'-* t (/a1712"t
5 -r^1.f{ i...n,ren'tl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 340/344
y--Lo,. ,., ',,= ir' .cr. s ;, t ,p,. Jr. ar v- l.r',,,,. -r,t"
+ lc -2')'): "- -2p, 1- t)\') '=cr +cn, r=1,+r)p", r-nP"+1ic)(/-- c) - .1cr ; r -F r = o ; d) ':sin y' lrn p, -f sn\p+cos +p+ct e)4rJ,'+pt,'n t r - C
?- t
- r-, :j1 .l ..1 , -R r, )r,, -2 .2r-,,. ,cR:.lr(r) :t2 lt))
---L'r-1.L-R ,r, r., r, |1. r;"-L,,,,,-n 3s.or"io/--- ro,t I
2 4 l) (r'1- l)l
1-ctb)/*, a,.ii (cr) r c) ,' + t - ctt d) j/+lnrr- ll -6lr /-f t)-ct.) -I
- ffrl I Cc,, .. t':r '. t t te'-, C g r- Cr--1.i,'/ l.(sr/tb) ,,-
. ,-c., iJ r,. c^n .:..r. l u",:rt r. c^.nr- 2.,\t ,inr,: t*; ,, 1-r,55
,
rcer'-rr
r, i,r,) -,)' -rrec.t.t,)-c sidr-rrd) ,lL=c:o)':c+' ,,n ,', '+lp'- rnp t=p.p' t )\,).=c'--c-tdt'42tP4.t ^tl;l 't
r*p51 t-
cos,r-c'l-r srnr'36 4)]=,r+ I+(,,,-t)I#, 'e n b) Nl addite .oruii€
b iofu{ de lerie,dc putori. lncercl d o solulia du {. mq ) ' 4,r', rzulti 4i : tl 9i rotu do
/-J
rt 2 l1 , 62 -lE'Rr+:+_ x\+_ra+-8t.' 3 15 3ll .2835con?MSonta u6-c zoro. q y- ) ,', , e (-1, 1). 37.
Z-J
12.2. Ecualti .lt €ronlialo ds ordtn rulotlor rozolvabtlo prin cvadraturi
5. a).y t'16lr' - r, qr . c, ]r)J - - lu(l +'l + rs(tsr + c,'. c,, q1-f"'r,r;
:f,,'+ j,,--1,*,rtrd)r*rosia' + c,t + co, + cut E, -rq @s,1 6. a),-
= siD(, + cr) + c'; b) r - sh(, + cr) + c,, + qt c) t -lt'- ct)', n * + r'+ac,r+c,,d) ,,-r lef,+c, -r- c,, ctzt'-4,t- r, rr ,- c,-or,l,i"":c*l.z,at-c,'+
.' 1c,,.1c,; b)' - - r - jr,
"11-16,,, - - a1' qt rc.t r: +fi*'"tc"'+
+ c,: a1 y-Le,,u- 'o+]c,rn+",,+",; .1 y - I I ,'1 ; t) t - ' + 1, s) r -ecrrj hryE---L r.'- r,- {J r r: sau,:-i- 1r-.1 p{1J 61,1.
2(e, - lJ r 2(cr L l) I
6,s) 1-cr(r+r ), t.-2qp+c,iu)t-c,t +,*c",-2,F
c.€c,t pootrD cr#or
f -0,-;j r"l#;l' d)/---Lro)/-'+ r: e. s)r -cr(, +cr); b) -cn 6-o,t6l
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 341/344
ilffi'*l:'ii;;,;i;:;:i:T;:ij:;::,
;..":',r-i:;* ;-
a11ra,,y, 15, s) , - cretr + cre ' : tJ) )-c,t'- clcrr crr' c) J_cr'-n+ctcrti
i t't:tl;; i':;r" lri: : I I i,i;i2,1 irii:i:i*i Il''",*:
",r - ; i'1^.*3-, - t,'" /f,' '}
d) v - cte'ror (cr co3ri+c' rn r'i) :') /-crcos' -
*l;t,-*i*r'r:iiq #;:l'*,ilr; I*iiT'i?,frii1i'ut r ' C, *.
"- C,
"'u ' - ' *t ' r tin r l'sin r' : c)
'= cr cos { T cr sln r T-$D r]"llil
i;:[:; .litjif ;rJ:,; 1 ; ;; .li ; ;Hr; ;1:j;i:--1 "t",,-tr.,,1,.."'"-","'*.*
i - rt | {r-lt L)J-"'"'"-;',"''"yJ'1
+'., ^" 1,)-n -,t.:) .' c\+ q7 + lct+ c'4e 4 rzn'-s s" 1J" 1 " t a1 v-
- i ,., ,, ,t-"' """, , c,"in'+ -lt' - IJc ':sr t -'lcre
"""*'(i"-+'-*i1t'' t
"- c,." + c,"" - -r (2 r - 6t- o)c'--l'('+z)eD: r) /-c'+ctexT
* u-'- ur*r,i, 3r)€ "ir),,-c*'tq'""-
l't"+
3:r- 2:)€'ri )
'":
*
z tz ' .Ll)"',r) / _ c," t g'* - 1 tz"'" ')o-'++crrr crlr+c,cos, - crrinI | -('r - Er
I r,p' , ml, c, I crr L lcrr c.r)o'r;rr"' j r)t - cro-'- c'ac',+'"-
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 342/344
- "-*,-.'{1,- 1, a;,=c,-'*c.os, r-cr q,.*-l1z*- r'.'. za o17-
3 t2 12 1l " 3
e cr cos : + c. sh x + t sin t ; b) 2 = cre, + c4e r - -1 {cG 2, + 3 s6 2,) i c)/ - cr.j'+
- c,.',- 1,2,*r, , iin2r'et dl/e cr.t c,e'+(, - l).os 3, - 1r $b Jr;4,-
- crrE + c*e+; t(3J, + ,) cos, + (20'+ 3) si ,1e, | 11 2' c,"-'4 c,* 114- 0,1
+ f1)cG , + {.rr - I0), sini}c'j 8) / - {c,cos, +q sin,+, cos,)etr h) =q+ cr' +
,+ c," + c.e-. + -1:: {4 i..'r, - ,i,, r,1. L\. ^) 2 =lct+ c'*)e" +-11n"o.r,-:,ior,;-
50'20-:- si; 3,; c) , - Cret +156
lC,c-.r r."..,- a.sinr+i(D-i rr :--:\ s,u r: dJ /-Crcosr C,sinr+6J
I ,' .',, - l, c.". r,. f .i" 3: i e) , - (c, -t carre' L I2'lI 8 32
-,:t.: t) t:lc(atr+ 6i+4.os21 + (d,r + €, + l)si,n 2'). 22. d) :c,''t+C'zl3+bl - c1,' + c,'t + caih' I c) ri-clt t.cs.r+ L vId)y-cr(r + r)r+c,(1 + tlrhlr +
+ I + {, + 1)' ; c) J, = (, + )-{c, + c,1,, (' + 1) + 1"1,+ i)l ; 4 :v - q + c,z'+ cs,-1 tn' +
1I ,1t., - r1 ,q) J-,rlnl trnr ,,.23. ar r -\\t 'r'-:lll-,
re F:brt-r-1 , /_J (r)/(nr r)
*t"+t:;.-1
17 ,t +t.., 'e n:tl 6r
---{-+ .r, "-..2 r 6),
' l2.tl. Sistome de ccualii dilerenli6le.
- 5. a) ,r + /, + ,, - c,, r,i.r, - c,: o1
+ 'l\';'-c,: c,l \\-ct, ,rr - . |'l-
1t - q,,.. , L'- c,,,1 c1 '": cr. {ri +,; .f
- ri+c,. e) r -2r'-cr. ',1 2Jzr't-,'-
-",,u * -c, '"-J,l=TT;a-c :se (ri. sisr.Dur sub rord+
-+-(r. + Jtl + r: + rl) dr"- t=--H-:== ti* Iolo{rc nron'ictdtile DroDorliilor' a) s' scri' ti3tedul u tordrr, - rdr, dxt = rrd/. dt -,rdt e,e r inr.Baa', prin metuda elimidrii I bJ ,l * ,i - Cr.
\"2;l: c': \'1+ ,i+,7: ct,';t"*, - c'rj)arcrc:, + arcts,r - ct,l2-2.)(t+'llrt'-qi
tr[,,
+,,' - )r,, + r,, = c,, ,e['(,, . rF - J,l(,, r r){c4drr - c, r r) h a + r?-'l:
- c', r,1r,r - cr i m) r.- 2rr 4 c'. rJl.;:-" - , -.':c': n)::1,'.r-.r.,grl+'3)r/'-c,
6, sktemul $ s.ri9 sub fooia sin€trica t'llh -0t ' t)dlt
--"d', de uDde rr{tr-r):cr.yt-l | 'l'
ldma @latie rczulta\ (r, - ,)-rd(r, - ,) - *{ *, 6 -,1u'o;rlu,-")r;c,, b) g' -cl .f,
2' + lr, rt)t qt 3h +
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 343/344
+&+/l:c,"a+ t + t.7 \2\- a(r +, +,r) + a("+ j*)' t,':"["* j'J *
8. S':rremll . scrie ir'= ? 1) : l)'ri'l n Llr'r'J e -1"
.l i''""- *"-,a"i.ate r'ei. a.tr., ca v linen r'z': -lJ: 6)-) Dri"r' ''"asdulrirri"'lii"
''il "", linem s'rnl dec -rnre i1i'idre:"d
=8or- <4r - /-) rrrmrrh I $ :
i'''" I.*_".'"r'. in:l,ru ): trh 'l "r. i-tii obilur" P"z lr" " '1ln d rP Frl 'I'r -
+ Jrlr 61.'l6r l] rL -^lllia r-cr'-c 'r _ crr' AP''=''r' 1',a 'r"'
si , - Crt + - c /r + - Cat t
12.5. Sisteme de e.uafii dile.eniiale liniare
.l8. -, '),i-'),. ,= -2),:rl'i -[j -, -"J.' {i+r' .'Jrr r,:l-;'
.,'-''),'{ i. '.'l'-J/, ')'i - lr'| vi ): rv c }''c'e'- rcl-'-
r- - - c.e '-'3 .rp{' n,
10, al /r 2cre ' 2cx^" vs: - ''' ' crP'r: b)vr' .cr rct" z_'
2,,- -lq+c' f rc,)e"r c) rr:(cl cos,-Fc' si\1 ')e", t' - (q sin t - c'-cos')e"'6jr,-ci"';+"c,"','t'-4cfJb+cae-':eJrt:2er'-e',r'L'2er5+e tt),':-zcf-'+jit"..,' y"=C,-'f c".' - 2o'.@, 6:4cr-" + 2cze'- sc.e2': cl .t' --c,'"" +
-c:'-:," -:c;".;; c,"-'' ' ,c-e- ', ,,3: - 3c,ee + cae 'r h) r'1= cre'" + lc, - cJl + :Iry' rl:.|c" +'j q,1r
"rt".\c'+; ,c,-c,'r"','r.r' '3''rr"rrs-c,c'-
crsilr-
'"f -. ' .^ i c^ 'i* r + "',1 T c'Grn r - os \' lr' al /' - rc, c rr":' )t_(cr-
iil-.,'r"'; , r', r, -tc,.* 1' -4, 'i" r'F- 'r -r-c,sn rr - cam(,te{': 'r }r --ji,*."1c,+'.-ri..-,r":c,"'
1c:e* ' arrx', rs -:/,," 8c c'r 3'sc'i d) ,,=
-)'-":", i,-o .i 1,-c,.,;-",u"- I 6r ^' ti -2c,et'-c'c' rnr l2r-irr;
ltrt=e''lct.osr1C \in2r)| cns :, ), -
'-'('r
ril 2r-Ct'o:2rl
;""inrr8v'-
2
- C,.o"r.Crsirr I 'b r, /s - C' sin : - Ct los I - 'lr r' t2-a)ir' 2''rr_ 1c:c' -
-- 1ro- tos,t /, c,e '- c e"r f 'o:'-*
''.'1, i'''5P'r:; '-'
y. - L 6. - -1 1 *' - ,. i n) h = cP " + czc" -"t
2 : 4c$-" - c|e* + 2" + 2'
b)',
: zc,. .-"".-+fte+ e''I 2
," = c,e-r' . c,"-r T --.' - ,r,: .r tr:cr.
+ cr, +.2 si ', ,- *2q-czlr+2')- 3sinJ zcosr'
1,- r"-". o, = l,60:0. sdobtine /r - I + r" - 'lL) Se
12,6 tr.ualii cu tlerivate Darliale de ordinu lnlii liniare li cvasilini r'
a.a *:o(,lJiT\), u) " =.(f .' ''-",J'c) r-o{x'+
d) ,l(,1 + " ) - r{,i + , ) i "i , r,,',, - ,: .rs' (' 'ir)t'
11. a) Se caurl rr -
proccdea'i sirnil.r; 1* Cr + c:r'
,1+,?+ "\-o'
x
'. ")* (1.,, -'.1 3:1'
"1o (:r-'l + .1';"t)='
l' lt:l-u1 .1,-i'. ,". ,J' -,;-l' - o, ",. oL' - '; ' , ),ar -o: r or '|
"i' 'i-'i--u' "t ','- 2'i-ztl+ 2,1 -ri'r; 4 t 'ttl
8/13/2019 Dr Stan-Chirita - Matematici Superioare
http://slidepdf.com/reader/full/dr-stan-chirita-matematici-superioare 344/344
BIBI,IOGRAIIIE
I Arrmn, L., Itorozan, T. CtLstr. de fhbleh. de Ldktul diJ.in ,a] ti itttstut \-a1 t'Bu.urer'i, r' u.J T'l.n 1. lo6-
2. Rass, J. E,,.ta de \ldthlnatiques Paris, Ilasson et Cie, 1965
3. Bercovici, 1t., R in er, S, :rriandar, A Cuke?r. ae trabkhe de cea ctrie d^awitn
ti dirt lila. u.nresli, Edit ra Didaclicn 5i Pedagogice, lt7J.
,tiBerman, C i. A Pt.ilen b..h -i" hath&dtical d,a,rs Mosco} lln I'ullislers, 1977'
, D i n'n
o r e, l<. G. tttatl.,ttknl dkalr3il A st/aishlJalsd/d arpr"'l CamLndg€, Cambndg€
Unive.sily Press, 1981,6. Bloom, D \1. Lnmt aigfin antt g.o',rtry' Catul.idge, Canlridge Unieersitv Press, 1979
?. Bucur, Ch, CAnpu, E, AeitL, S CilleE.t. de ltabbne da'ahsl
dile/eslial ,ii"tut/at. ral. l7l, llnctretti, E(lituta Tehnici, 106?
3 centifa, A, cirLerto, lt, Rodiud, t tt*/tizi e tuhplenehti di gea tt/ia Padota'
cEDArf,.l981.
s Cioba.u, L., PaPaehi c, ^-,Crr.iunar, P lfdttnati'i Il la$' C€ntrul dc
mulliplicare al Instifutului Politehnic, l98l
CoslinesdD, O, Amibri€sci, C, B'rsan, -l Tapalagi. g.n*dllt - lrobte c
nucrrcsii, Edirura Didacti.e si Pedrgogicl, 197'{.
C rai u, u, Itolculcl, \t C e8./' d? f/Lbitkt ie anatha naltddti'tt Bucuretti' Ddilur'lii(lmtici $ I'eda8o8icA, 19i6.
C'aiL, \t, t t t.", \. .ltahtd nottuarrd Bucu'e'ri [.], 1. Dida,lrl "' ledrSo8nA
r1, DerDidovircb, lt net\.il d'?t./ri.es at rtabli$es d'anatlse nta1h|tuati4,t, Moscor' Editions
ir, lr_2
rt. Donciu, N., Irrondor, D ' lg.b/d;i nnatitd,$tena Ln C tgcre de lable$''\'l L9lll,Bncurerti, Fditni. Dida;inri si Pedagogi.n, 1973
1J. Fadeev, I), SomiDsl{i, t Re.u.il n'e,at.kss d'algibr sitelieule [{oscoD, Ediriols
16. Ciine, S, cAhpu, E, llucur, Gh Clttse,e tz Ptublem. dt.dhll diltttalkt I i"ttEtat
vol ll, &rur€iri, lirliru'a TehdicA, l 66
17, ILranrov, iU. ,r 6 dr le P,Lbtt .s d'ublbt.lttldtl,. Mccou, Editiorc Mir. 1,7?.
18. M s st i er d, t,. Li,&t utE.6n uith Eaae.l/k allliztkk . Ner York Marcel D€Lker Id'
t0
,t,
t:
19 Miaors&i, f. t). t,,abtetus tn nignd natnehatias, \las.o\r, Mir Publishers, 1980.
20, Uur8uresctr, E,, Donciu, N., Po escr, v Getuetti. asalitkd lA tpalil
sct/i. diJs,e\ltuln. Cklese/e de Ptobl.bs Btculeltt, Editura Didacttc 9i PedagoSi'A,
Orariu, v., s te ntr rire, r. Eaudlii diJe/etlitk ri.u dai@t. la4iolc Bu.tent|1970,