&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������1BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV
ÅÅ $$OOJJXXPPDDVV TTXXHHVVWW}}HHVV
xx Já sabemos somar, subtrair e multiplicar matrizes.
Porque não aprendemos a dividir matrizes?
xx Sabemos que a UHVROXomR�GH�XP�VLVWHPD consiste na determinação da
VROXomR ; da HTXDomR�PDWULFLDO $ ;� �%.
Então porque não calcular directamente ; �$���% ?
Por exemplo, para
bastaria começar por calcular,
e depois apenas multiplicar,
xx Acontece que:
¨̈ $���nem sempre existe
¨̈ Mesmo que $���exista, é tão difícil calculá-la como resolver o sistema.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������2BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Neste capítulo trataremos apenas de PDWUL]HV�TXDGUDGDV.
ÅÅ 00DDWWUULL]]HHVV LLQQYYHHUUWWttYYHHLLVV
xx Uma matriz $ ∈ 0QlQ(£) diz-se LQYHUWtYHO, ou QmR�VLQJXODU,se existir uma matriz % ∈ 0QlQ(£) tal que,
$ %� �%�$� �,QA matriz % chama-se LQYHUVD da matriz $.
xx Por exemplo a matriz
é LQYHUWtYHO, porque existe a matriz
tal que $ %� �%�$� �,�, ou seja, a matriz % é LQYHUVD de $.
xx 3URSRVLomR: A LQYHUVD de uma matriz quadrada p ~QLFD.
'HPRQVWUDomR: Suponhamos que $ tinha duas inversas: % e &.
Nesse caso, pela definição, $ %� �%�$� �,Qe também $ &� �&�$� �,Q
Então, pela definição de matriz identidade, e substituindo,
% �%�,Q %��$�&���� ��%�$��&� �,Q & �&
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������3BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Uma vez que a LQYHUVD da matriz $ é ~QLFD, podemos representá-la por $��.
xx Como veremos mais tarde, se alguma matriz % satisfizer $ %� �,Q, então
também satisfaz�%�$� �,Q e portanto % é a inversa de $.
> $$OOJJXXPPDDVV SSUURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGDD ,,QQYYHHUUVVDD
x 3URSULHGDGH��: ,Q é invertível e � ,Q ���� �,Q
x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então $�� é invertível e � $������ �$
x 3URSULHGDGH��: Se $ e % são invertíveis então $ % é invertível
e �$�%���� �%���$��
'HPRQVWUDomR: Se $��%�∈ 0QlQ(£) são invertíveis,
então existem $��� %���∈ 0QlQ(£) tais que,
$ $��� �,Q e % %��� �,QCalculando o produto,
�$�%���%���$��� ��$��%�%��� $�����(DVVRFLDWLYLGDGH)
$��,Q $���(LQYHUVD)
$��$���(LGHQWLGDGH)
,Q (LQYHUVD)
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������4BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
e, como provaremos, nesse caso também,
�%���$��� �$�%�� ��,Qe portanto $ % é invertível e %���$���
a sua matriz inversa.
Note que é igualmente simples verificar que,
�%���$��� �$�%�� ��%���$���$��%�(DVVRFLDWLYLGDGH)
%��,Q %���(LQYHUVD)
%��%���(LGHQWLGDGH)
,Q (LQYHUVD)
x Portanto, D LQYHUVD�GR�SURGXWR�p�R�SURGXWR�GDV�LQYHUVDV�SRU�RUGHP�LQYHUVD
e este resultado pode ser generalizado ao SURGXWR�GH�YiULDV�PDWUL]HV,
� $� $� ����$N ���� ��$N�������$����$���
Como caso particular deste, temos a potência de uma matriz.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������5BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então, para todo o N ∈ ´ ,
$Né invertível e � $N ���� ���$����N
'HPRQVWUDomR: Pelo 3ULQFtSLR�GD�,QGXomR�0DWHPiWLFD, basta mostrar que:
D� a propriedade é verdadeira para N ��
E� VH a propriedade for verdadeira para NHQWmR também é verdadeira para N��
e a propriedade fica então provada para todo o N ∈ ´.
'HPRQVWUDomR�SRU�,QGXomR���
D� Para N ���a propriedade é evidente pois $� $� E� (SDVVDJHP�LQGXWLYD)
$VVXPLQGR� que� � $N ���� ���$����NSURYHPRV� que� � $N������� ���$����N��
Calculando,�� $N������� ���$N $ ���� (SRWrQFLD�GH�XPD�PDWUL])
$�����$N ���� (LQYHUVD�GR�SURGXWR)
$�����$����N (KLSyWHVH�GH�LQGXomR)
��$����N��� (SRWrQFLD�GH�XPD�PDWUL])
e assim fica provada a propriedade para todo o N ∈ ´.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������6BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível então $Té invertível
e � $T ���� ���$����T
'HPRQVWUDomR: Se $ é invertível, então existe $���tal que $ $��� �$���$� �,QProvemos que � $����T é a matriz inversa de $T
Calculando o produto,�$T � $����T ��$���$ �T (WUDQVSRVWD�GR�SURGXWR)
��,Q �T (GHILQLomR�GH�LQYHUVD)
,Q (GHILQLomR�GH�WUDQVSRVWD)
e, como provaremos, nesse caso também,
� $����T $T ,Qe portanto $T
é invertível e � $����T a sua matriz inversa.
x 3URSULHGDGH��: Se $ é invertível e D ����então D$ é invertível
e � D$ ���� ��D���$���� ���D $��
'HPRQVWUDomR: Como exercício.�
x ����
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������7BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x ([HUFtFLR: Sendo $ e % matrizes do tipo QlQ, prove que:
D� $2 ,Q ¾ $ �$����
E� Se $2 %2 �$�%�2 ,Qentão $%� �%�$
ÅÅ &&iiOOFFXXOORR GGDD 00DDWWUULL]] ,,QQYYHHUUVVDD
xx Consideremos por exemplo a matriz,
Pretendemos averiguar se $ é uma matriz LQYHUWtYHO e, em caso afirmativo,
FDOFXODU�D�VXD�LQYHUVD.
Ou seja, queremos determinar uma matriz,
tal que $ %� �,� .
xx Como sabemos, basta determinar uma matriz % tal que $ %� �,� ,
pois fica também provado que $ é LQYHUWtYHO e que % $� �,�.
xx Nesse caso, ficamos também a saber que a matriz % �$�� é ~QLFD.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������8BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Partindo então de $ %� �,�,
ou seja,
onde, igualando colunas,
xx Temos assim GRLV�VLVWHPDV para resolver,
xx Contudo, como ambos os sistemas têm D PHVPD�PDWUL]�GH�FRHILFLHQWHV, as operações elementares são as mesmas,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������9BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Temos então para VROXo}HV�GRV�GRLV�VLVWHPDV,
xx Está portanto encontrada a matriz %,
xx Contudo, se as operações elementares efectuadas sobre as duas matrizes são as mesmas, podemos MXQWDU�RV�GRLV�SURFHVVRV.
Partindo de uma matriz ampliada da forma [ $ _�,� ] ,
chegamos a uma matriz ampliada da forma [ ,� _ %�] onde % �$�� .
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������10�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
¨̈ $OJRULWPR�SDUD�FDOFXODU�D�PDWUL]�LQYHUVD�Dada uma matriz $ ∈ 0QlQ(£) :
�� Construir uma matriz ampliada da forma [ $ _�,Q ].
�� Executar sobre esta matriz uma sequência de operações elementares,
de modo a transformar $ na matriz identidade ,Q.
No final do processo obtemos uma matriz ampliada da forma [ ,Q _ $�� ].
xx Caso não seja possível transformar $ na matriz identidade ,Q,
então a matriz $ QmR�p�LQYHUWtYHO.
xx Por exemplo para a matriz,
Partindo de [ $ _�,� ],
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������11�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
E portanto,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������12�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx ([HUFtFLR: Mostre que a matriz
é QmR�VLQJXODU e calcule a sua LQYHUVD.
6ROXomR:
([HUFtFLR: Uma das seguintes matrizes é VLQJXODU.Calcule a matriz LQYHUVD da outra.
xx ([HUFtFLR: Determine o valor de N para o qual é VLQJXODU a matriz,
6ROXomR: $ é singular para N �±��
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������13�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 33HHUUPPXXWWDDoo}}HHVV
xx Chamamos SHUPXWDomR dos elementos do conjunto { �����������Q�}a uma lista desses Q elementos, apresentados qualquer ordem.
Representamos uma permutação por � L�� L�� �����LQ �onde cada LN ∈ { �����������Q�} para todo o N ∈ { �����������Q�}e LN � LM para todo o M � N.
xx Por exemplo, para o conjunto { �����������������},
permutações possíveis são: � ������������������, � ������������������, ...
xx O conjunto de WRGDV as permutações de { �����������Q�} denota-se por 6Q.
Para um conjunto de Q elementos existem Q� permutações, ou seja, _6Q_ �Q�
xx Por exemplo para o conjunto { ��������}, _6�_ ���� ��
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ �����������
Para inferir que _6�_ ���_6�_ ��� basta notar que, para cada permutação
de { ��������}, existem � SHUPXWDo}HV�GLVWLQWDV de { �����������} .
��� ��������������� ��������������� ���������������
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������14�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx É esse o caminho para a GHPRQVWUDomR�SRU�LQGXomR de que _6Q_ �Q�.
xx Dada uma permutação � L�� L�� �����LQ � ∈ 6Q , o par � LN� LM � com N ��M chama-se uma LQYHUVmR se LN > LM.Ou seja, o SDU�GH�HOHPHQWRV aparece WURFDGR em relação ordem inicial.
xx Por exemplo na permutação��������������������∈ 6�existem � LQYHUV}HV:
������, ������, ������, �������e �������
xx Para determinar WRGDV�DV�LQYHUV}HV�GH�XPD�SHUPXWDomR � L�� L�� �����LQ �basta considerar o SULPHLUR elemento da permutação�L� e encontrar todos os
elementos que são PHQRUHV que L� e estão GHSRLV� de L�.
Depois repetir o processo para os UHVWDQWHV elementos L�� �����LQ�� .
xx Uma SHUPXWDomR � L�� L�� �����LQ � ∈ 6Q é SDU se o Q~PHUR�WRWDO�GH�LQYHUV}HV que nela ocorrem é SDU.Uma SHUPXWDomR�p�tPSDU�se o número total de inversões é ímpar.
xx Por exemplo, para Q ��, as � permutações sobre o conjunto { �����},
SHUPXWDomR�� WRWDO�GH�LQYHUV}HV�� SDULGDGH��
� ������� �� SDU�� � ������� �� tPSDU�
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������15�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx E para Q ��, as � permutações sobre o conjunto { ��������},
SHUPXWDomR�� WRWDO�GH�LQYHUV}HV�� SDULGDGH��
����������� ��� SDU�� ����������� ��� SDU�� ����������� ��� SDU�� ����������� ��� tPSDU�� ����������� ��� tPSDU�� ����������� ��� tPSDU��
xx Para uma dada permutação � L�� L�� �����LQ � definimos V,
xx Assim, podemos definir o VLQDO�GH�XPD�SHUPXWDomR como,
�±��V �� se a permutação é SDU �±��V ±� se a permutação é tPSDU
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������16�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ ''HHWWHHUUPPLLQQDDQQWWHHVV
xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£),
definimos GHWHUPLQDQWH de $, representado por GHW�$ ou _$_ , como o escalar de dado por,
onde �±��V é o VLQDO�GD�SHUPXWDomR,
�±��V �� se � L�� �����LQ � é SDU �±��V ±� se � L�� �����LQ � é tPSDU
xx Para Q ��,
xx Para Q ��,
�������� ������� SDU� tPSDU�
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������17�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Para Q ��,
xx Para este cálculo existem YiULDV�PQHPyQLFDV.
Por exemplo,
���� �±�
xx Outra mnemónica, mais conhecida por 5HJUD�GH�6DUUXV, tem duas possíveis versões.
A �� YHUVmR consiste em UHSHWLU�DV�GXDV�SULPHLUDV�FROXQDV,
��� 6RPDU os produtos das � GLDJRQDLV�SULQFLSDLV,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������18�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
�±�e VXEWUDLU�os produtos das � GLDJRQDLV�VHFXQGiULDV.
xx A �� YHUVmR da 5HJUD�GH�6DUUXV consiste em UHSHWLU�DV�GXDV�SULPHLUDV�OLQKDV,
�±�
��� De modo análogo, VRPDU os produtos das � GLDJRQDLV�SULQFLSDLV,
e VXEWUDLU�os produtos das � GLDJRQDLV�VHFXQGiULDV.
xx Escolha uma mnemónica e calcule o determinante de,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������19�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
_$_�� ��
����l � l ������������l � l � ��������l �����l � ��� ±�����l � l � ��±�����l � l � ��±��������l �����l � ��� ������������������������� ������
xx Pela própria definição de determinante, o Q~PHUR�GH�WHUPRV�D�FDOFXODU é igual
ao Q~PHUR�WRWDO�GH�SHUPXWDo}HV, ou seja, Q�.Tal como no exemplo anterior, para Q ��, foram calculados � termos, sendo
cada termo o produto de � elementos.
Para valores superiores de Q este cálculo torna-se incomportável.
Mesmo para Q ��, seriam necessários ��� ���� termos.
xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£), seja $��L�_�M�� a submatriz
quadrada, de ordem Q��, que se obtém de $ eliminando a linha L e a coluna M.Chama-se FRPSOHPHQWR�DOJpEULFR, ou FR�IDFWRU do elemento DLM ao escalar,
$LM� �����L�M�GHW� $��L�_�M�����
xx Por exemplo,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������20�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
ÅÅ 22 77HHRRUUHHPPDD GGHH //DDSSOODDFFHH
xx Para uma dada matriz $ = [ DLM�] ∈ 0QlQ(£),
para quaisquer L, V ∈ { �����������Q�}.
xx Assim, para calcular o determinante de uma dada matriz, basta HVFROKHU�XPD�ILOD (linha ou coluna), PXOWLSOLFDU�cada um dos seus elementos pelo respectivo FR�IDFWRU e VRPDU.
xx Para o exemplo anterior,
Escolhendo a SULPHLUD�FROXQD,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������21�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Como exercício, escolha qualquer RXWUD�OLQKD�RX�FROXQD e confirme o resultado.
xx Deste modo, a aplicação do 7HRUHPD�GH�/DSODFH permite-nos transformar o
cálculo de um determinante de ordem Q, no cálculo de Q determinantes de
ordem Q��.
xx Por exemplo para a matriz,
desenvolvendo ao longo da SULPHLUD�OLQKD.
_ $�_���
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������22�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
xx Naturalmente, escolhemos a fila que nos facilite os cálculos.
Por exemplo para a matriz,
desenvolvendo ao longo da VHJXQGD�FROXQD,
Neste caso, podemos mesmo evitar o cálculo do determinante de ordem �,
desenvolvendo ao longo da TXDUWD�OLQKD,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������23�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
> $$OOJJXXPPDDVV SSUURRSSUULLHHGGDDGGHHVV GGRR ''HHWWHHUUPPLLQQDDQQWWHHSejam $ = [ DLM�] e % = [ ELM�] matrizes quadradas de ordem Q.
x 3URSULHGDGH��: Se $ tem uma ILOD (linha ou coluna) GH�]HURV,
então _$_� ��.
3RUTXr"�
x 3URSULHGDGH��: Se $ é uma PDWUL]�WULDQJXODU (superior ou inferior)
então _$_� �D���D������ DQQ.
3RUTXH�D�SULPHLUD�FROXQD��RX�OLQKD��GH�FDGD�XPD�GDV�VXFHVVLYDV�VXE�PDWUL]HV�WHP�VHPSUH�Vy�XP�HOHPHQWR��R GD�GLDJRQDO�SULQFLSDO��
Por exemplo,
&RPR�FDVR�SDUWLFXODU��YHULILTXH�TXH�R�PHVPR�DFRQWHFH�FRP�XPD�PDWUL]�GLDJRQDO��
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������24�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: Se a uma linha (ou coluna) de uma matriz
DGLFLRQDUPRV�XP�P~OWLSOR de outra linha (ou coluna),
o valor do determinante não se altera.
Por exemplo, sabendo que,
se adicionarmos à segunda linha o dobro da primeira,
verificamos que,
Assim, por exemplo sabendo que,
podemos também calcular,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������25�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: Se a matriz $ tem GXDV�OLQKDV (ou colunas) LJXDLV,
então _$_� ��.
3HOD�SURSULHGDGH�DQWHULRU��SRGHPRV�VXEWUDLU�DV�GXDV�OLQKDV��RX�FROXQDV��LJXDLV�H�REWHU�XPD�OLQKD��RX�FROXQD��GH�]HURV��( JHQHUDOL]DQGR��
Se a matriz $ tem GXDV�OLQKDV (ou colunas) SURSRUFLRQDLV,
então _$_� ��.
Assim, por exemplo o determinante,
pode ser calculado de duas formas:
ou detectando duas colunas proporcionais,
ou transformando numa matriz triangular com um zero na diagonal.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������26�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: Se WURFDUPRV�GXDV�OLQKDV (ou colunas) de uma matriz
então o determinante WURFD�GH�VLQDO.
Por exemplo, sabendo que,
se trocarmos as duas linhas verificamos que,
Assim, podemos por exemplo calcular,
x 3URSULHGDGH��: Se PXOWLSOLFDUPRV�XPD OLQKD�(ou coluna) de uma matriz
por um escalar Dentão o GHWHUPLQDQWH�PXOWLSOLFD por D.
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������27�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Partindo de,
e multiplicando a segunda linha por D obtemos,
Assim, por exemplo para,
como�_�$�_� ����então �_�%�_� ���_�$�_� ��.
Naturalmente, multiplicar toda a matriz por D consiste em multiplicar todas as
suas linhas (ou colunas) por D. Por isso ...
x 3URSULHGDGH��: _ D $ _� ��Dn | $ _�Por exemplo para,
como�_�$�_� ����então �_�%�_�� ���� _ $�_� ���� � ��� ���
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������28�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
x 3URSULHGDGH��: _ $T _ �| $ _�
É simples verificar que, para Q ��,
Para dimensões superiores basta verificar que, pelo 7HRUHPD�GH�/DSODFH,o desenvolvimento poder ser feito tanto ao longo de uma OLQKD como de uma FROXQD.
x 3URSULHGDGH��: Sejam $ e % duas matrizes que só diferem na linha L.e seja & uma matriz cuja linha L é a soma das linhas Lde $ e de %, e igual em todas as outras.
Então, _ &�_� �_�$�_���_�%�_ Por exemplo para Q ��,
onde as matrizes $ e % só diferem na segunda linha,
e a segunda linha da matriz & é a soma,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������29�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Assim podemos aplicar
por exemplo,
x 3URSULHGDGH���: _ $�%�_� �_�$�_�_�%�_ Como exercício, verifique que, para Q ��,
&DStWXOR���±�0DWUL]HV�LQYHUWtYHLV��'HWHUPLQDQWHV���������������������������������������������������������������������������������������30�BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB�
BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB
ÈOJHEUD�/LQHDU���������������������������������������������������������������������������������������������������� 5RViOLD�5RGULJXHV����������������������
Por exemplo para,
_ $�%�_�� �_�$�_�_�%�_�� ����±��� �±��
Note, no caso de $ �%,
esta propriedade permite-nos concluir que _ $� _ �_�$�_�.
E generalizando para qualquer Q ∈ ´, _ $Q _ �_�$�_Q.
x 3URSULHGDGH���: Se $ é uma matriz LQYHUWtYHO,então _$_�� � e _ $���_� �_�$�_��� �����_�$�_.
Por exemplo para,
cuja matriz inversa é,
temos,
� _�$�_� �±���� �_ $���_� ��±������ ��_�$�_���