Teoria Microeconômica II – Economia Matutino - Marcelo Ranieri Cardoso
Aplicação: Duopólio de Cournot
• Duas empresas dividem um mercado. Sejam
– q1 e q2 as quantidades produzidas, respectivamente pelas empresas 1 e 2;
– p(q) a função de demanda inversa na qual q=q1+ q2 e
– c1(q1) e c2(q2) as funções de custo da empresa 1 e da empresa 2, respectivamente.
• As duas empresas devem decidir simultaneamente quanto produzir.
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Duopólio de Cournot
• O objetivo da empresa 1 é maximizar
p(q)q1-c1(q1). Ela estará dando a melhor
resposta à empresa 2 caso
p(q1+ q2) +p´(q)q1=c1(q1)
• Analogamente, a empresa 2 estará dando
a melhor resposta à empresa 1 caso
p(q1+ q2) +p´(q)q2=c2(q2)
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Exemplo
• p(q)=a-bq
• c1(q1)=c q1 e c2(q2)=c q2.
• As função de reação de cada empresa
são
22 e
22
12
21
q
b
caq
q
b
caq -
-=-
-=
• Resolvendo o sistema formado por essas
duas funções obtemosb
caqq
321
-==
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Duopólio de Cournot: solução gráfica
q1
q2
b
ca
2
-
b
ca
2
-
b
ca -
b
ca -
Curva de reação
da empresa 2
Curva de reação
da empresa 1
Equilíbrio
de Nash
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Possível dinâmica
q1
q2
b
ca
2
-
b
ca
2
-
b
ca -
b
ca -
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Oligopólio de Cournot com n empresas
• Função objetivo da empresa i:
ii
n
j
iq
qcqpi
-
=1
max
• Função de reação da empresa i:
)(d
diii qcq
q
pp =
1
||1)()(1
-
-==
i
iiiii s
qcpqcq
q
q
p
dq
dpp
si-1/||
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Questão 13/ 2003
• Considere um duopólio de Cournot no qual as firmas escolhem simultaneamente as quantidades. A função de demanda inversa é dada por P = 6 - Q. Suponha que as firmas possuam custos marginais constantes respectivamente iguais a c1 = 1 e c2 = 2 (os custos fixos para ambas firmas são nulos). Em equilíbrio, qual a razão entre os lucros das firmas 1 e 2 (isto é 1/2 )?
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Aplicação: Modelo de Bertrand
• Duas empresas dividem um mercado
produzindo exatamente o mesmo produto
e devem determinar o preço de venda do
mesmo.
• As duas empresas apresentam a mesma
função de custo: ci(qi)= cqi (i=1,2).
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Bertrand (continuação)
• A função de reação da empresa 1 deverá
ser:
p1 = preço de monopólio caso p2 > preço de
monopólio
p1 é indefinido (maior preço menor do que p2
caso c < p2 < preço de monopólio.
p1 c caso p2 = c
p1 > p2 caso p2 > c
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Bertrand (continuação)
• Analogamente, função de reação da
empresa 2 deverá ser:
p2 = preço de monopólio caso p1 > preço de
monopólio
p2 é indefinido (maior preço menor do que p1
caso c < p1 < preço de monopólio.
p2 c caso p1 = c
p2 > p1 caso p1 > c
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Bertrand (continuação)
• O equilíbrio de Nash é alcançado quando
p1 e p2 são tais que as duas empresas
estão simultaneamente sobre suas
funções de reação, ou seja, quando
p1=p2=c.
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Bertrand: apresentação gráfica
pm
pm
c
c
p1
p2 “Curva” de reação
da empresa 1
“Curva” de reação
da empresa 2
Equilíbrio de Nash
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Bertrand com diferenciação
• Imagine agora que as duas empresas não
produzam exatamente o mesmo bem mas
substitutos próximo.
• Nesse caso, quando um empresa cobra um
preço abaixo de sua concorrente, ela não rouba
todos os seus consumidores.
• Isso tende a fazer com que, no equilíbrio de
Nash, os preços praticados estejam acima do
custo marginal.
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Exemplo numérico
• Duas empresas concorrem por meio de escolha
de preço. Suas funções de demanda são:
Q1=21–2P1+P2 e
Q2=21–2P2+P1.
Seus custos marginais são nulos.
Caso as duas empresas concorram através da
determinação simultânea de preços, quais
devem ser os preços, as quantidades
produzidas e os lucros de cada empresa?
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Continuação
• A função de reação da empresa 1 será
P1(P2) = 0,25(21 + P2)
• A função de reação da empresa 2 será
P2(P1) = 0,25(21 + P1)
• Resolvendo o sistema formado pelas duas
funções de reação obtemos P1=P2= 7
• Os lucros de cada empresa serão
1=2=98
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Aplicação: o modelo de Stackelberg
• Duas empresas dividem o mesmo mercado e devem decidir quanto produzir.
• Uma dessas empresas (líder) toma a decisão antes da outra (seguidora). A empresa seguidora decide quanto produzir conhecendo a decisão da líder.
• A líder deve levar em consideração a função de reação da seguidora.
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Exemplo:
• As duas empresas possuem custos
marginais constantes iguais a c.
• A função de demanda é dada por p = a -
bq.
• A função de reação da seguidora é
22 1
2
q
b
caq -
-=
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Continuação
• O problema da líder é maximizar1=p(q1+ q2)× q1-c q1
Tal que
22 1
2
q
b
caq -
-=
• Ela deverá escolher
b
caq
2 1
-=
b
caq
4 2
-=
b
caq
-=
4
3
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Modelo de Liderança Preço
• Duas empresas:
– Líder – define o preço do produto
– Seguidora – decide quanto produzir baseada no
preço definido pela líder.
• Sejam
– qs e ql as quantidades produzidas pela seguidora e
pela líder, respectivamente;
– CTs(qs) e CTl(ql) suas funções de custo; e
– q(p) a função de demanda.
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Modelo de liderança preço
• A função de reação da seguidora será dada por
CTs´(qs)=p.
• Seja qs(p) a função de oferta da seguidora. O
máximo que a líder poderá vender é
q(p)-qs(p).
• Desse modo, o problema da líder é maximizar
p(ql)- CTl(ql) tal que
ql=q(p)-qs(p), ou seja, maximizar
p(q(p)-qs(p))-CTl(q(p)-qs(p))
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q(p)
CTl´
CTs´ ou qs(p)
q(p)- qs(p) demanda residual
RMg associada à demanda residual
p*
p
q,ql,qsql q(p)
qs