![Page 1: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/2.jpg)
Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı polar koordinatlarda yapılır; burada parçacık sabit bir başlangıç noktasından r mesafe
uzaktadır ve bu radyal doğru θ açısıyla ölçülmektedir. Hareket radyal bir mesafe ve açısal bir konum ile kısıtlı olduğunda veya açısal bir konum ile kısıtlı olduğunda veya kısıtlanmamış hareket radyal mesafe ve açısal konum cinsinden ölçüldüğünde polar koordinatları kullanmak uygun olur.
![Page 3: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/3.jpg)
r ve θ koordinatları eğrisel yörünge izleyen bir parçacığın yerini tam olarak belirleyebilirler. x ekseni gibi keyfi bir
doğru θ‘nın ölçümü doğru θ‘nın ölçümü için referans olarak kullanılabilir. ve birim vektörleri
sırasıyla r ve θ’nın pozitif yönlerini göstermektedir.
rev
θev
![Page 4: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/4.jpg)
Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,
hız ve ivme vektörleri r ve θ koordinatlarıyla ve bunların zaman türevleriyle belirtilir. ve
birim vektörleri de ve gibi daima
rev
θev
nev
tev
birim vektörleri de ve gibi daima birbirine dik ve değişken birim vektörlerdir. +r (pozitif radyal yön) daima kutuptan parçacığın bulunduğu noktaya olan yöndür. +θ yönü ise θ ‘nın artışı yönünde ve r’ye diktir.
θe ne te
![Page 5: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/5.jpg)
konum vektörü
olarak yazılır, konum vektörünün zamana göre türevi alınarak
ve
hız ve ivme ifadelerini elde edebilmek için ve ‘nın
rv
rv &vv= rva &&v&vv
==
rev
θev
rerrvv
=
hız ve ivme ifadelerini elde edebilmek için ve ‘nın zaman türevlerini belirlemek gerekmektedir. Bunlar
‘ya benzer şekilde elde edilir. dt zaman aralığı boyunca koordinatlar dθ kadar yön değiştirir, birim vektörler de aynı şekilde döner ve ile olurlar. vektörel değişim +θ yönündedir, vektörel değişim ise –r yönündedir. Şekilden,
re θe
te&v
re ′v
θe ′v
redv
θedv
![Page 6: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/6.jpg)
ve
{ θθ θθ ededeed rr
vvvv
1
==
{( ) rr ededeed
vvvv -
1
θθθθ −==
dt’ye bölerek
θθ θθ
eeedt
de
dt
edrr
r v&&vv&vv
===
( ) rr eeedt
de
dt
ed v&&vv&vv
θθ
θθθ −=−==
![Page 7: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/7.jpg)
‘yi zamana bağlı olarak türeterek,rerrvv
=
rr ererrv &vv&&vv
+==
22 22 θθ θ vvvrvrv rr +=== &&
vv
rv
vv
rv
‘nin r bileşeni, ‘nin boyundaki değişimi gösterir.
‘nin θ bileşeni ise ‘nin dönmesinden dolayı meydana gelir.
vv
‘yi türeterek ivme elde edilir.
![Page 8: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/8.jpg)
( ) ( )
θθθ
θθθ
θθθθ
θθθ
ererererer
erererererdt
vda
rr
rr
vv
v&v&&v&&v&&
v&&
&v&v&&v&&&v&v&&
vv
−+++=
++++==
2
( ) ( ) θθθθ errerr r
v&&&&v&&& ++−= 2a
2
22
2
2
θ
θ θθθ
aaa
rrarra
r
r
+=
+=−= &&&&&&&
![Page 9: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/9.jpg)
İvmenin θ bileşeni alternatif olarak
şeklinde yazılabilir. Parçacığın açısal momentumu
( )θθ&21
rdt
d
ra =
şeklinde yazılabilir. Parçacığın açısal momentumu göz önüne alındığında bu formu kullanmak daha yararlı olmaktadır.
![Page 10: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/10.jpg)
Şimdi parçacık A noktasından A' noktasına giderken hız vektöründe meydana gelen değişimlere bakalım:
rvv
θθ drdvr &=
θθ &&& rd
r =
‘nin yönündeki değişim: Bu değişimin şiddeti ‘dir
’dır, +θ yönündedir.ve ivmeye katkısı
rvv
rd& rdt
rd&&
&=
‘nin şiddetindeki değişim: ‘nin boyundaki uzama veya kısalmadır ve
‘ya eşittir. Buna karşılık gelen ivme terimi , +r yönündedir.
rvv
θvv
θθθθ drdv &=
2θθ
θ &&& rdt
dr =
‘nin yönündeki değişim: Bu değişimin şiddeti
‘dır, ivmeye katkısı ’dır, -r yönündedir.
θvv
θvv
( )θθ
θ &&&&&
rrdt
rd+=
‘nin şiddetindeki değişim: ‘nin boyundaki uzama veya
’dır ve +θ yönündedir.kısalmadır, ivmeye katkısı
θ&&& rdt
r = ’dır, +θ yönündedir.ve ivmeye katkısı
![Page 11: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/11.jpg)
yörünge
vv A´
vv
θvv
v′v
rv′v
θv′v
+r′rv( )θ&rd
+θ
Arvv
dθdθ
rvr &=rd &
+r
rvdvrv
θdr&θθ&rv =
( )θ&rdθvdv
′θv
θθdr &
![Page 12: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/12.jpg)
Tüm bu terimler toplandığında ve elde edilir. , θ‘da herhangi bir değişimin olmadığı durumda parçacığın radyal yöndeki ivmesidir. , r’nin dairesel hareketteki gibi sabit olduğu durumda ivmenin normal bileşenini gösterir. , r’nin sabit olması durumunda parçacığın teğetsel ivmesidir, ama r’nin değişken olması durumunda ‘nın şiddetindeki değişimden ortaya çıkan ivmenin yalnızca bir kısmını
( )2θ&&& rrar −= ( )θθθ&&&& rra += 2
r&&2θ&r−
θ&&r−
θvv
değişimden ortaya çıkan ivmenin yalnızca bir kısmını oluşturur. Son olarak , iki etkinin toplamından oluşmaktadır; ilki, r’deki değişim nedeniyle ‘nın
şiddetindeki değişimden olan etkidir, ikincisi ise ’nin yönündeki değişimden olan etkidir.
θ&&r2
θvv
( )θ&rdrvv
![Page 13: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/13.jpg)
av
r
θ
A
yörünge
+ r
2θ&&& rrar −=
θθθ&&&& rra += 2
+ θ
Toplam ivmesiyle onun bileşenleri şekilde gösterilmiştir. Eğer ‘nın yörüngeye normal yönde bir bileşeni var ise, normal – teğetsel koordinatlardan bu bileşenin yörüngenin eğrilik merkezine yönelik olacağını biliyoruz.
av
av
![Page 14: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/14.jpg)
r’nin sabit olduğu dairesel hareket durumunda,
+ r
+ θ, + t
n
Oθ
v
P
at
anθ& θ&&
( ) [ ]
( ) ( )
[ ]θθ
θ
θθθ
βρβρθθ
θθθ
βρθθ
eeere
erre
evervrererv
rr
r
r
v&&v&vv&&v&v
v&&&&v&&&
v
v&vv&v&
v&v&
v
+=+=
+/+/=
===+/=
22
2
-a -ra
2r-ra
0
![Page 15: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/15.jpg)
Burada r ile n aynı doğrultuda, ters yönlerde,
θ ile t aynı doğrultu ve yönlerdedir.
ar ve aθ terimleri, x=rcosθ ve y=rsinθkoordinat bağıntılarının ve elde etmek üzere türevlerinin alınmasıyla da
xax &&= ya y &&=
elde etmek üzere türevlerinin alınmasıyla da elde edilebilir. İvmenin dik bileşenlerinin her
biri daha sonra r ve θ bileşenlerine ayrılıp düzenlenerek polar koordinatlarda ivme ifadesi elde edilir.
![Page 16: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/16.jpg)
1. Hidrolik silindir O etrafında dönerken, piston kolunun l uzunluğu
silindirdeki yağ basıncı ile kontrol edilmektedir. Silindir sabit =60
derece/s açısal hızında dönüyor ve l 150 mm/s sabit oranında azalıyorsa
l=125 mm olduğu anda B noktasının hızını ve ivmesini hesaplayınız.
θ&
![Page 17: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/17.jpg)
2. Yukarı doğru düşey olarak fırlatılan fişeğin y yönünde a=−−−−g −−−− kv2 ile
tanımlanmış ivmesi bulunmaktadır. İvmenin ikinci terimi aerodinamik
direnç kuvveti nedeniyle oluşmaktadır. Görülen anda fişeğin hızı 15 m/s
ise ona karşılık gelen ve değerlerini hesaplayınız.
Direnç parametresi k sabit olup 0.01 m-1 değerindedir.
θθ &&&& ,,, , rrr θ&&
![Page 18: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/18.jpg)
3. Düşey (r-θ) düzleminde yer alan eğrisel yolun 400 m yükseklikteki en alt
noktasında, P uçağı yatay 600 km/h hıza sahip olup yatay ivmesi
bulunmamaktadır. Eğrinin eğrilik yarıçapı 1200 m’dir. O noktasındaki radar
tarafından kaydedilen ve değerlerini bu an için belirleyiniz.r&& θ&&
![Page 19: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/19.jpg)
4. AB kolu, β, açısının sınırlı bir aralığında dönmektedir ve ayrıca A ucu AC
kanallı kolun dönmesini sağlamaktadır. β=60o ve sabit olduğu an
için ve değerlerini belirleyiniz.θ&&&& ,, rr θ&&
srad /6.0=β&
![Page 20: Düzlemde eğrisel hareketin üçüncü tanımı - deu.edu.tr polar koordinatlar... · Düzlemde eğrisel hareket yapan parçacığın bu sistemde herhangi bir t anındaki konum,](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022119/5e0f28670da22408c4641013/html5/thumbnails/20.jpg)
5. t=0’da , beyzbol topu 30 m/s hız ile yatayla 30o açı yapacak şekilde
atılmaktadır. t=0.5 s olduğu anda, ve değerlerini
hesaplayınız.
θθ &&&& ,,,, rrr θ&&