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rea de Mecnica de Medios Continuos yTeora de las Estructuras
Elasticidad y Resistencia de Materiales
E1 - Tensin
Alejandro Domnech Monforte (TC-2330-DD)Curso 2014/2015
E1.1 - Introduccin
E1.2 - Equilibrio y concepto de tensin
E1.3 - Frmula de Cauchy: Tensor de Tensiones
E1.4 - Cambio de Sistema de Referencia
E1.5 - Tensiones y Direcciones Principales
E1.6 - Crculo de Mohr. Caso plano
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E1.6 - Crculo de Mohr. Caso plano
Marco de referencia 4 / 27
Elasticidad y Resistencia de Materiales
I Disciplina
Fsica > Mecnica >
Mecnica del punto material
Mecnica del slido rgido
Mecnica de los medios continuos
Mecnica de fluidos
Mecnica de slidosI Objeto:
Diseo mecnico de elementos estructurales y mecnicosI Requisitos:
RESISTENCIA, RIGIDEZ, ESTABILIDAD
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Marco de referencia 5 / 27
ElasticidadLa teora de la elasticidad estudia las tensiones y deformaciones en un slido tridimensional concomportamiento elstico sometido a un sistema de fuerzas exteriores:
I Planteamiento complejo de las ecuaciones Campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensiona-
les que satisfacen complicadas ecuaciones diferenciales
I Dificultad en el tratamiento de las condiciones de contornoI Solucin exacta casos particulares de geometra y carga
aplicadaI Slidos con geometra arbitraria: Mtodos de resolucin
aproximados (diferencias finitas, elementos finitos...)
Sacrifica en aras del rigor la viabilidad de la resolucin exacta de los problemas del slido elstico
Marco de referencia 6 / 27
Resistencia de MaterialesEl objeto de la Resistencia de Materiales es el estudio de aquellos slidos deformables que por suscaractersticas de forma geomtrica, carga y condiciones de contorno, admiten hiptesis simplificativasen relacin a sus estados tensional y las deformacional.
En geometras aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosas, arcos, etc.) obidimensionales (placas y lminas, membranas, etc.) el clculo de esfuerzos internos se define sobre unalnea o una superficie en lugar de sobre un dominio tridimensional.
Las hiptesis adoptadas permiten un planteamiento simplificado apto para la resolucin analtica demultitud de problemas cotidianos de ingeniera estructural.
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Marco de referencia 7 / 27
Hiptesis adoptadas
I Comportamiento elstico lineal El slido recupera su estado inicial al suprimir las fuerzas aplicadas Relacin lineal entre las cargas aplicadas y las deformaciones
I Material continuo Campo de funciones continuasI Material homogneo Idnticas propiedades en todos los puntosI Material istropo Idnticas propiedades en todas las direccionesI Cargas aplicadas estticas o cuasiestticas No se consideran los efectos dinmicosI Deformaciones pequeas frente a las dimensiones del slido Las ecuaciones de equilibrio se
pueden plantear en la configuracin indeformada
Como resultado de las anteriores, se admite como vlido el principio de superposicin
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E1.6 - Crculo de Mohr. Caso plano
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Condiciones de equilibrio 9 / 27
I Cada porcin del slido est en equilibrio por la accin combinada de las fuerzas externas y la distri-bucin de fuerzas internas que aparecen en cada partcula de material de la seccin de interseccin.
Concepto de Tensin 10 / 27
Vector Tensin: Fuerza interna que acta por unidad de superficie
I ~ =d~FdS
I Magnitud vectorial INTENSIDAD, DIRECCIN, SENTIDO
I El vector tensin depende de la orientacin del plano pi , de la posicinen el mismo y de la parte del slido considerada (accin - reaccin)
I ~ = (x, y, z ) DEPENDE del sistema de referencia
Componentes intrnsecas del Vector Tensin
I Tensin normal: n = ~ ~n (~n vector unitario S)
I Tensin tangencial: =~ ~ 2n
I n, INDEPENDIENTES del sistema de referencia
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Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 12 / 27
Cuestiones
I 2 planos de corte por un mismo punto... Son iguales los vectores tensin?
pi ~I Cmo calcular ~ en funcin de la orientacin del plano pi ?I Para qu pi son mximas o mnimas las componentes intrnsecas de ~ ?
LEY DE CAUCHY
~ = [T ]~n
Tensor de tensiones [T ]
Estado tensional asociado a un determinado sistema dereferencia en el entorno infinitesimal de un punto
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Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 13 / 27
Un estado tensional, infinitas representaciones...
I En el entorno infinitesimal de un punto el estado tensional es nicoI Su representacin matemtica depende del sistema de referencia
Para un sistema de referencia dado...
Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 14 / 27
Notacin y signos
I Notacin:I ni (i = x, y, z ) Componente normal al plano de corte iI ij (i, j = x, y, z ) i , j Componente tangencial asociada al plano de corte i en la direccin del eje j
I Criterio de signos:I Cara : Corte segn un semieje I Cara : Corte segn un semieje I ni TRACCINI ij en cara lleva el sentido de un semieje I ij en cara lleva el sentido de un semieje
Tensor de tensiones
[T ] =
nx xy xzyx ny yzzx zy nz
El estado tensional en un punto queda definido por 9 componentes
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Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 15 / 27
Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales ij = jiI xy = yx xz = zx yz = zy
I El tensor de tensiones es simtrico [T ] =nx xy xzxy ny yzxz yz nz
I El estado tensional en un punto queda definido por 6 componentes
Frmula de Cauchy: Tensor de tensiones 16 / 27
La ley de Cauchy
La ley de Cauchy establece la relacin entre el tensor de tensiones en un punto y el vector tensinasociado a cierta orientacin definida por el plano pi :
xyz
=nx xy xzxy ny yzxz yz nz
~ = [T ]~n ~n =
=cos(~n, X )cos(~n, Y )cos(~n, Z )
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Cambio de Sistema de Referencia 18 / 27
Expresin de [T ] y ~ en un nuevo sistema de referencia
I La expresin de [T ] y ~ depende del sistema de referencia escogidoI Se emplea la matriz de cambio de base [R]:
[R]OXYZOXY Z =
cos(xx ) cos(xy ) cos(xz )cos(yx ) cos(yy ) cos(yz )cos(zx ) cos(zy ) cos(zz )
[R] : matriz de cambio de base de un sistema ortonormal
I ~ = [R] ~
I [T ] = [R] [T ] [RT
]
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Tensiones y Direcciones Principales 20 / 27
I Reciprocidad tensiones tangenciales La matriz de tensiones [T ] es simtricaI Toda matriz simtrica de coeficientes reales es diagonalizable y sus autovalores son reales
una base (~n1,~n2,~n3) en la que [T ] es diagonal= Sobre las caras definidas por (~n1,~n2,~n3) , @ tensiones tangenciales
z
x
y
I Las direcciones~n1,~n2 y~n3 son las direcciones principalesI Las tensiones normales 1, 2 y 3 son las tensiones principales (1 > 2 > 3)
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Tensiones y Direcciones Principales 21 / 27
I direccin principal, el vector tensin es paralelo al unitario: ~i ~ni ~i = ~niI Introduciendo esta condicin en la Ley de Cauchy:
~i = [T ] ~ni =nx xy xzxy ny yzxz yz nz
*.,
iii
+/- = *.,
iii
+/- [T ] ~ni = ~ni Problema de autovalores y autovectores
Autovalores de [T ] Tensiones principalesAutovectores de [T ] Direcciones principales
Recordando lgebra lineal...
Si un nmero y un vector no nulo~x verifican la relacin A ~x = ~x diremos que es un valor propio o autovalor de la matriz A y que~xes un vector propio o autovector de A asociado al valor propio
([T ] [I]) ~ni =~0 *.,
nx xy xzxy ny yzxz yz nz
1 0 00 1 00 0 1
+/-
*.,iii
+/- = 0Solucin no trivial (~ni , 0) [T ] [I] = 0
nx xy xzxy ny yzxz yz nz
= 0
Tensiones y Direcciones Principales 22 / 27
Polinomio caracterstico de [T ]
nx xy xzxy ny yzxz yz nz
= 0 3 2 I1 + I2 I3 = 0 I1, I2, I3 son los coeficientes del polinomio caracterstico
I1 = nx + ny + nz
I2 = nynz + nznx + nxny 2yz 2zx 2xy
I3 = |T |
I1, I2, I3 independientes del sistema de referencia INVARIANTES DEL ESTADO TENSIONAL
El polinomio caracterstico de [T ] NO DEPENDE del sistema de referencia Un nico polinomio caracterstico los sistemas de referencia posibles
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Tensiones y Direcciones Principales 23 / 27
Estados tensionales asociados a las direcciones principales
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E1.6 - Crculo de Mohr. Caso plano
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Crculo de Mohr. Caso plano 25 / 27
Transformacin de tensionesOBJETIVO variacin de las tensiones en un punto segn la orientacin del plano
s
ny
t
xy
X
Y
X
Y
q
s
nx
Tetraedro de Tensiones
t X
Y
q
s
n
s
ny
txy
txy
s
nx
Tetraedro de Fuerzas
s q
nxdAcos
tdA
q
s
ndA
t q
xydAcos
s q
nydAsen
t q
xydAsen
Equilibrio esttico
n ( ) =nx + ny
2+
nx ny2
cos 2 + 2xy sin 2
( ) = nx ny2
sin 2 + xy cos 2
Crculo de Mohr. Caso plano 26 / 27
n ( ) =nx + ny
2+nx ny
2cos 2 + 2xy sin 2 (1) ( ) =
nx ny2
sin 2 + xy cos 2 (2)
(1)2 + (2)2 (n ( )
nx + ny2
)2+ ( )2 =
(nx ny2
)2+ 2xy
Se trata de la ecuacin de una circunferencia en el plano n,
C =(nx + ny
2, 0
)R =
(nx ny2
)2+ 2xy
I Representacin grfica de todas las combinaciones (n, ) que aparecen en un punto en funcinde la orientacin del plano considerado
I Cada par (n, ) se representa como un punto en la circunferencia
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Crculo de Mohr. Caso plano 27 / 27
1 = C + R =nx + ny
2+
( nx ny2
)2+ 2xy
2 = C R =nx + ny
2
( nx ny2
)2+ 2xy
max = R =
( nx ny2
)2+ 2xy
tan(2 ) =2xy
nx ny
La ecuacin del Crculo de Mohr es vlida para cualquier estado tensionalse plantea a partir de las tensiones principales:(n ( ) 1 + 22
)2+ ( )2 =
( 1 22
)2
C =( 1 + 2
2, 0
)R =
( 1 22
)
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