1
講義06 2次遅れ系の応答
ポイント
・2次遅れ系のインパルス応答，ステップ応答を求めよう．
・2次遅れ系の過渡特性が，システムのパラメータ（定数）の違いに
よってどのようの異なるかを理解しよう．
・極と過渡特性の関係について理解しよう．
ブロック線図
u（ｔ） y（ｔ）
入力 出力 時間関数で書いたもの
（時間領域という）
U（s） Y（s）
入力 出力 ラプラス変換で書いたもの
（周波数領域という） )(sG
Text: 佐藤，平元，平田：はじめての制御工学，講談社
応答(response)：入力を入れたときの出力の時間関数としての動き
)()()()(
)()()(
11 sUsGLsYLty
sUsGsY
2
6.1 2次遅れ系のインパルス応答
6.1.1 インパルス応答の計算(1)
極．次遅れ系の伝達関数のはの根
は因数分解．ここで，
部分分数展開
入力がデルタ関数インパルス応答
定数
標準形次遅れ系の伝達関数の
2,02
2
2
2)()()()(
)1)(,(
):,0,0()0,,(
2
22
)(
2
22
22
21
2
22
2
22
2111
22
2
22
nn
nn
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
ss
ssss
s
k
s
k
ss
K
ss
K
ss
KsGsUsGty
sU
Kcba
ss
K
bsbb
as
bb
c
bass
csG
LLL
減衰比
固有角周波数
:
:
n
3
6.1.1 インパルス応答の計算(2)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
(1)の場合
teK
s
KsG
teas
ast
s
s
teas
ts
s
K
s
K
ss
KsG
j
n
tn
nn
nn
at
at
nn
nn
nn
n
nn
n
nn
n
2
2222
2
2
11
22
1
22
1
22
1
22
1
222
2
2222
2
22
2
2
1sin11
1
1)(
cos,cos
sin,sin
1
1
112)(
1,
LL
L
Lここで，
極の実部が指数関数のべき指数
極の虚部が正弦波関数の角周波数
4
6.1.1 インパルス応答の計算(3)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
(2)の場合
t
n
n
n
at
n
n
nn
n
n
nteKs
KsG
teas
ts
s
K
ss
KsG
2
2
211
2
1
2
1
2
2
22
2
)(
1,
1
2)(
,
LL
LLここで，
極(実数）が指数関数のべき指数である.
5
6.1.1 インパルス応答の計算(4)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
1212
)1(
)1(
2)(
1,1
22
22
1
21
2
1
21
2
21
2
22
2
22
n
n
nn
n
n
n
nn
n
nnnn
KKKk
s
ss
kk
s
K
s
k
s
k
s
k
ss
K
s
k
s
k
ss
K
ss
KsG
とすると，上式で，
をかける．式の両辺に
を求める．●
式
(3)の場合
極が指数関数のべき指数である！
teK
eeeK
eeK
ekeks
k
s
ksG
es
KKKk
s
ss
kk
s
K
s
k
n
tn
tttn
ttn
tt
t
n
n
nn
n
n
nnn
nnnn
1sinh1
12
12
)(
1
1212
)1(
2
2
11
2
11
2
212111
1
22
22
2
22
2
2
22
22
LL
L よりここで，
とすると，上式で，
をかける．式の両辺に
を求める．●
6
補足：双曲線関数
jxjx
jxjxjxjxjxjx
xx
xxxxxx
ee
eex
j
eex
eex
ee
eex
eex
eex
)tan(,2
)sin(,2
)cos(
)tanh(,2
)sinh(,2
)cosh(
7
6.1.2 インパルス応答の解析(1)
(1) 0<ζ<1のとき
指数関数と正弦波の積
時間とともに，振動しながら
ゼロに収束する．
under-damping(不足減衰)
(2) ζ=1のとき
tのために，初期時刻付近では
大きくなるが，その後，指数関数の
ためにゼロに収束する．
critical damping(臨界減衰)
(3) ζ>1のとき
指数関数と双曲線関数の積
時間とともに， ゼロに収束する．
over damping(過減衰)
011
1
01
1
121
11
22
2
22
222
22
nnn
n
nnn
であるので，当然ながら，
よって，
よりと乗すると，の大きさ比較：両方をと
は正か負か？
8
6.1.2 インパルス応答の解析(2)
9
6.2 2次遅れ系のステップ応答
6.2.1 単位ステップ応答の計算(1)
s
k
s
k
s
kK
sssK
sss
K
sss
K
ssGsUsGty
ssU
K
ss
KsG
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
321
2
22
2
22
2111
22
2
2
2
1)()()()(
1)(,
):,0,0(
2)(
2
部分分数展開
数入力が単位ステップ関単位ステップ応答
定数
標準形次遅れ系の伝達関数の
LLL
10
6.2.1 単位ステップ応答の計算(２)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
2
2
22
22
2
2
1
1
321
2
22
2
22
12
1
121
)2(
1
0)2(
)2(2
1,1
j
j
jjk
ss
k
k
ss
k
s
k
s
k
s
k
ssssss
jj
nnn
nn
n
nn
n
nnnn
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
式
(1)の場合
21
2
2
1
2
21
2
2
323211
223
2
2
22
22
2
3
1tan
(1sin1
11
12
1
12
11
1)(
12
1
121
)2(
22
ただし，
）導出はレポートで提出（３）式
．役複素数をとればよいだけ計算して，その共なので，※
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
teK
ej
je
j
jK
ekekKs
k
s
k
s
kKty
kkk
j
j
jjk
ss
k
n
t
tjtj
tt
nnn
nn
n
nnnn
L
11
6.2.1 単位ステップ応答の計算(3)
2
31
22
2
2
11
222
2
2
11
2
2
3
2
2
32
2
3
2
2
22
2
2
11
2
3
2
2122
21
321
222
3
222
2
21
22
2
tan
1sin
1cossin1sincos
1cos1sin
1cos1sin2
,,
11
1
2
k
k
tekkk
ttekkk
tkk
kt
kk
kekkk
tektekksss
kkk
s
sk
s
k
s
k
sss
n
t
nn
t
nn
t
n
t
n
t
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
n
n
nn
ただし，
を求めれば，上式を満たす
L
極が複素根の場合には，以下のような別解がある．
12
6.2.1 単位ステップ応答の計算(4)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
(2)の場合
13
6.2.1 単位ステップ応答の計算(5)
つの実数根は互いに異なる，の場合：
実数）となる重根の場合：
は共役複素根，の場合：
21)3(
(1)2(
10)1(
1, 2222
nnnnn
(3)の場合
12
1
)2(
12
1
)2(
1
0)2(
)2(2
1,1
2
22
3
3
2
22
2
2
1
1
321
2
22
2
22
n
n
n
nn
n
nnnn
k
ss
k
k
ss
k
k
ss
k
s
k
s
k
s
k
ssssss
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
とする．をかけて，式の両辺に
を求める．●
式
14
6.2.1 単位ステップ応答の計算(6)
6.2.2 単位ステップ応答の解析(1)
15
6.2.2 単位ステップ応答の解析(2)
16
6.3 応答と極の関係
代表極
：極の中で実部が一番原点に近いもの
レポート： p.10の式の導出
および右の（１），（２）
![0 1 ! 1 2 & ! ! 3 / 0 ! 4 / · p k rrs t t s k u u v w s k u v m n x n m y s u z k [ rv w s \ ] n n w x n t m s ^ n [ w _ t ` p a b o c q ... [ w _ x n m v j [ n t t n q ks h [ k](https://cdn.vdocuments.pub/doc/165x107/5e7175a58d13b8711e69f439/0-1-1-2-3-0-4-p-k-rrs-t-t-s-k-u-u-v-w-s-k-u-v-m-n-x-n-m-y-s-u.jpg)
