计算方法(B)
童 伟 华 管理科研楼1205室 E-mail: [email protected]
中国科学技术大学 数学科学学院 http://math.ustc.edu.cn/
2019-2020年度第一学期 00151103 00151104
2
第四章 非线性方程求根
非线性方程求根 非线性科学是当今科学发展的一个重要研究方向
非线性方程的求根非常复杂
例如:
3
=
=
21
)2
sin(
y
yxπ
无穷组解
−==
=
=
⇒
+=+=
10411
2
2
aa
aa
ayxaxy
无解
一个解
两个解
四个解
非线性方程求根 非线性方程的根通常不止一个,很难找到所有的解
非线性方程求根,通常需要给定初始值或求解范围,用迭代法求解
(介值定理)设 是区间 上的一个连续函数,那么 取到 与 之间的任何一个值,即如果
是 与 之间的一个数,那么存在一个数 使得
(推论)
4
( )f x [ , ]a b( )f x ( )f a ( )f b
( )f a ( )f b
( )f c y=
[ , ]c a b∈
0)(.,.,0)()( =∃⇒<⋅ xftsxbfaf
y
对分法 基于微积分中的介值定理,对区间 不断进行细分
,缩小搜索区间
停止标准: 或
5
[ , ]a b
11 εxx kk <−+ 2( )f xε <
对分法 对分算法
6
迭代法 基本思想:将方程 转换成等价形式 ,给
定初值 ,构造迭代序列:
若迭代收敛,即
则有
基本问题: 如何构造迭代格式?
是否收敛?收敛速度?
收敛的条件?(例如是否与初值相关?)
7
( ) 0f x = ( )x xϕ=0x
1 ( ), 1,2,k kx x kϕ+ = =
*1lim lim ( ) ,k kk k
x x xϕ+→∞ →∞= =
*( ) 0f x =
迭代法 定理:设 在区间 上的连续,如果 满足
(1)当 时,有 ;
(2) 在 上可导,并且存在正数 ,使对任意的 ,都有 ,
则存在唯一的点 ,使得 成立,而且迭代格式 对于任意的初值 均收敛于 的不动点 ,并有误差估计公式
构造迭代格式的要素: 等价形式 满足 ;
初始值取自 的充分小领域;
8
( )xϕ [ , ]a b ( )xϕ
[ , ]x a b∈ ( )a x bϕ≤ ≤
( )xϕ [ , ]a b 1L <
[ , ]x a b∈ '| ( ) |x Lϕ ≤* [ , ]x a b∈ * *( )x xϕ=
1 ( )k kx xϕ+ = 0 [ , ]x a b∈ ( )xϕ*x*
1 0| | | | .1
k
kLx x x x
L− ≤ −
−
( )x xϕ= '| ( ) | 1xϕ <*x
迭代法
定义:设迭代 格式 收敛到 的不动点 ,
记 ,若 ,则称该迭代格式为
阶收敛的,其中 称为渐进误差常数
9
1 ( )k kx xϕ+ = ( )xϕ *x
0||
||lim 1 >=+
∞→C
ee
pk
k
k
*k ke x x= − p
C
Newton迭代法 将函数 在 处做Taylor展开:
Newton迭代格式:
10
( )f x 0x
200 0 0 0
''( )( ) ( ) '( )( ) ( )2!
f xf x f x f x x x x x= + − + − +
0 0 0( ) '( )( ) 0f x f x x x+ − ≈
01 0
0
( )'( )
f xx xf x
= −
1( ) , 1,2,'( )
kk k
k
f xx x kf x+ = − =
Newton迭代法 (收敛性)设 , 为 的单根,则存在
,使得对任意的初值 ,Newton迭代法是2阶收敛的,即有
(重根情形)若 ,为 的 重根,则存在
,使得对任意的初值 ,Newton迭代法1阶收敛的,即有
修正:
11
2( ) [ , ]f x C a b∈ *x ( )f x 0, 0Cδ > >* *
0 ( , )x x xδ δ∈ − +* * 2
1| | | | ( 0).n nx x C x x n+ − ≤ − ≥
1( ) [ , ]mf x C a b+∈ *x ( )f x m
* *1| | | | ( 0).n nx x C x x n+ − ≤ − ≥
0, 0Cδ > >* *
0 ( , )x x xδ δ∈ − +
1( )
'( )k
k kk
mf xx xf x+ = − * * 2
1| | | | ( 0).n nx x C x x n+ − ≤ − ≥
'
( )( )( )
f xxf x
µ =
*( ) ( ) ( )mf x x x p x= −[ ]1 2
( ) '( )'( ) ( ) ''( )
k kk k
k k k
f x f xx xf x f x f x+ = −
−
Newton迭代法 Newton迭代算法
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弦截法 Newton法:需要求导数
思想:用差商代替导数
弦截法迭代格式:
13
11
1
( )( )( ) ( )
k k kk k
k k
f x x xx xf x f x
−+
−
−= −
−
弦截法 (收敛性)设 , 为 的单根,则存在
,使得对任意的初值 ,弦截法收敛,收敛阶为 ,即有
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2( ) [ , ]f x C a b∈ *x ( )f x 0, 0Cδ > >* *
0 ( , )x x xδ δ∈ − +
1 52
1| | | | ( 0).n nx r C x r n+
+ − ≤ − ≥
(1 5) / 2+
弦截法 弦截迭代算法
15
非线性方程组的Newton方法 考虑二阶非线性方程组
Newton迭代格式:
16
1
2
( , ) 0( , ) 0
f x yf x y
= =
1 0 0 1 0 01 0 0 0 0
2 0 0 2 0 02 0 0 0 0
( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) 0
( , ) ( , )( , ) ( ) ( ) 0
f x y f x yf x y x x y yx y
f x y f x yf x y x x y yx y
∂ ∂ + − + − ≈ ∂ ∂ ∂ ∂ + − + − ≈ ∂ ∂
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0
0 2 0 02 0 0 2 0 0
( , ) ( , )( , )( , )( , ) ( , )
f x y f x yx x f x yx yy y f x yf x y f x y
x y
∂ ∂ − −∂ ∂ ≈ − −∂ ∂ ∂ ∂
11 1
2
( , )( , ) , ,
( , )k k
k k k k k kk k
f x yxJ x y x x x y y y
f x yy + +
−∆ = ∆ = − ∆ = − −∆
非线性方程组的Newton方法 对于一般的 阶非线性方程组
Newton迭代格式:
17
n1 1 2
2 1 2
1 2
( , , , ) 0( , , , ) 0
( , , , ) 0
n
n
n n
f x x xf x x x
f x x x
= = =
Tn
Tn xxxXfffFXF ),,,(,),,,(,0)( 2121 ===
11 1
( ) ( ( )) ( ) ( )( ) ( )'( )
kk k k k k k k k k
k
F xX X X J X F X J X X X F XF x
−+ += − = − ⇔ − = −
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
n
nn
n
xf
xf
xf
xf
XJ
1
1
1
1
)(