AutocorrelaçãoEconometria
Alexandre Gori Maia
Bibliografia Básica:- Maia, Alexandre Gori (2017). Econometria: conceitos e aplicações. Cap. 13.
Ementa:• Definição;• Identificação: Análise Gráfica, teste t, Durbin-Watson, Breusch-Godfrey;• Correção: MQG e MQGF;• Estimadores Robustos para a Variância;
Teorema de Gauss-MarkovDefinição Análise
Gráfica Teste t Durbin-Watson
Breusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
1) Relação linear entre os regressores x e Y: O modelo só é válido para relações lineares.
2) Os valores de x são fixos em repetidas amostras, não aleatórios:Quem varia é o regressando, o regressor é fixo, qualquer que seja a amostra. Em outras palavras, dados os valores controlados de x, Y variará aleatoriamente segundo uma distribuição de probabilidade, com valor esperado dado por E(Y|x).
3) Esperança condicional dos erros igual a zero, ou seja, E(e|x)=0: É a mesma coisa afirmar que E(Y|x)=xi´b.
4) A variabilidade dos erros é constante, ou seja, E(ei2)=s2
Os erros são homocedásticos, ou seja, sua variância é uma constante.
5) Os erros são não autocorrelacionados, ou seja, E(eiej)=0: Não há relação entre valores dos erros.
Autocorrelação - Definição
Não Autocorrelacionado
Definição:Autocorrelação significa a associação entre os valores de uma mesma variável, por exemplo. É comum quando os valores podem ser ordenados no tempo (com dados de séries temporais) ou no espaço (com dados espaciais). No contexto da regressão para dados de séries temporais, há autocorrelação nos erros quando:
0)(),( ¹= -+ sttstt eeEeeCov
Autocorrelacionado
Sendo que o tipo mais comum de autocorrelação aquele dado por um processo o autorregressivo de 1ª ordem, AR(1):
ttt uee += -1r r é o coeficiente de autocorrelação dos erros (-1 < r < 1) e ut são os erros independentes.
e
t
0)( =-stteeE e
t
0)( ¹-stteeE
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Autocorrelação - CausasPrincipais causas da autocorrelação:
- Inércia: séries econômicas costumam apresentar ciclos, ou seja, períodos de crescimento ou decaimento. Quando esse comportamento se reflete nos fatores não observados (et), é comum que mudanças na tendência ocorreram lentamente.
- Falhas de especificação: a autocorrelação pode ser devida à ausência de um regressor ou falha na especificação da forma funcional. Os erros expressariam, assim, um padrão sistemático devido à ausência dessas informações.
- Defasagens: as decisões econômicas em um período t dependem, muitas vezes, de informações defasadas do período t–1. Desconsiderar esse tipo de relação sujeitaria os erros à correlação serial.
ttt uee += -1rttt eXY ++= ba
ttt eXY ++= batttt eXXY +++= 2
21 bba
ttt eXY ++= batttt eXXY +++= -121 bba
tttt eXYY +++= - bda 1ou
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Autocorrelação - ConsequênciasDefinição Análise
Gráfica Teste t Durbin-Watson
Breusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Ineficiência dos Estimadores de MQONa presenção de autocorrelação nos erros, os estimadores de MQO continuam sendo não viesados e consistentes, mas deixam de ser eficientes (ou seja, não possuem mais variância mínima). Em outras palavras, seja b o estimador de MQO, então existe outro estimador b* tal que:
Não Autocorrelacionado
Y
X
Intervalo de Variação das
estimativas de MQO
Intervalo de Variação das
estimativas de outro método
Autocorrelacionado
Y
X
Intervalo de Variação das
estimativas de MQO
Intervalo de Variação das
estimativas de um método
mais eficiente
)ˆ(*)ˆ( bb VarVar <
^^
Autocorrelação - Consequências
0)( =-stteeE
å =
= n
t txVar
12
2
)ˆ( sb
tstt uee += -r
åååå
-
=
-
=+
==
+=1
1 11
2
2
12
2
2)ˆ(n
t
tn
sstt
sn
t in
t i
xxxx
Var rss
b
Seja o modelo: tt10t eXY ++= bb
Pelo MQO:åå
=
== nt
2t
n
t tt1
x
yx
1
1b eå =
= n
t2tx
S1
1
22ˆ
sb
Na presença de autocorrelação:
Na ausência de autocorrelação:
não viesado na ausência de autocorrelação e viesado na presença de autocorrelação
2)( s=teVar
2
2
1)(
rs-
=teVar 2
2
1),(
rsr-
=+s
stt eeCov
0),( =+stt eeCov
e
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Tendenciosidade da Variância dos Estimadores:Outra importante consequência da autocorrelação é o viés do estimador da variância de !", mesmo para amostras grandes (inconsistência). Como resultado, as estatísticas de teste t e F deixam de ser válidas, pois dependem da variância do estimador. Em outras palavras, na presença de autocorrelação teremos:
)ˆ()( 2ˆ bb VarSE ¹
IdentificaçãoPrincipais testes para se detectar a autocorrelação:
Análise gráfica: ê ´ t
Teste t: regressores estritamente exógenosIdentificação
Testes Estatísticos
Durbin-Watson: MCRL
Breusch-Godfrey: autocorrelação com ordem superior a 1
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Análise Gráficaê
0
Ausência de Autocorrelação
Não há nenhum padrão evidente de relacionamento no tempo
tempo
Autocorrelação
Há um padrão cíclico de dispersão dos resíduos ao longo do tempo
tempo
ê
0
Autocorrelação
Há uma tendência quadrática de dispersão dos resíduos ao longo do tempo
tempo
êAutocorrelação
tempo
Há uma tendência linear na distribuiçãodos resíduos ao longo do tempo
ê
0
0
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Análise Gráfica
Podemos suspeitar de um comportamento cíclico dos erros. Afinal, é natural supor que a área plantada no trimestre t não dependa apenas do preço no trimesre t, mas também de informações observadas em períodos anteriores: área plantada em um trimestre anterior; preço pago pela cana-de-açucar no período anterior; outros fatores não previstos pelo ajuste (política de incentivos do governo, previsões sobre os preços futuros e expectativas sobre o estabelecimento de usinas na região, por exemplo) que tenham lento amortecimento no tempo.
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Teste t para Autocorrelação
îíì
>=00
1
0
rr
: H: H Como correlações seriais são, usualmente, positivas, sugere-se teste
unicauldal para verificar existência de autocorrelação nos erros.
ttt ue e += -1rtkj jjt eXY
t++= å =1ba
Se supormos que os erros apresentem autocorrelação de primeira ordem:
Se estimarmos os resíduos de MQO êt, podemos testar as hipóteses:
Poderíamos utilizar a estatística t dada por:
r
rˆ
ˆS
t =
2
12
2 1
ˆ
ˆˆ ˆ
-=
= -
åå=
t
nt
nt tt
e
eer 2
12
2
ˆˆ
ˆ
-=å=
t
nt e
S sr 1)1(
ˆ ˆ
2
22
--=å =
nut
n
ts
Sendo os estimadores de MQO dados por:
Caso os regressores sejam estritamente exógenos e a amostra seja relativamente grande, teremos:
0
p
t
1)1( --nt
Como não observamos et, a estatística t é válida
assintóticamente caso os regressores sejam
estritamente exógenos.
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Teste t - Exemplo
ttt uee ˆˆ252,0ˆ 1 += -
As estimativas de MQO foram:
A estatística t associada ao coeficiente r foi:
O valor p do teste de hipóteses será dado por:
0
0,079
1)134( --tSe rejeitarmos a hipótese de ausência de autocorrelação pelo teste t, estaremos sujeitos a um erro de 7,9%. A validade do teste depende, entretanto, (i) da ausência de relação entre os erros et e os valores defasados do preço da cana-de-açucar e (ii) do tamanho da amostra, que não é razoavelmente grande.
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=
443,1175,0252,0ˆ
ˆ===
r
rS
t
1,443
îíì
>=00
1
0
rr
: H: H
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Teste de Durbin-Watson
îíì
>=00
1
0
rr
: H: H
ttt ue e += -1rtkj jjt eXY
t++= å =1ba
Supondo que os erros apresentem autocorrelação de primeira ordem:
As hipóteses do teste são:
A estatística de teste será da por:
2
1
2 1
ˆ
ˆˆ ˆ
t
nt
nt tt
e
ee
åå
=
= -=r
Sendo o estimador de r dado por:
Com fdp dada por:å
å=
= --= n
t t
nt tt
e
eeDW
12
22
1
ˆ
)ˆˆ()ˆ1(2 r-»DW
knDW ,
DWp
îíì
<=22
1
0
: DWH: DWH Para autocorrelação positiva (r » 1), DW aproxima-se de 0.
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Para autocorrelação negativa (r»–1), DW aproxima-se de 4.
Para erros não autocorrelacionados (r=0), DW é igual a 2.
p é a probabilidade de erro ao afirmar que os erros
apresentam aucorrelaçãopositiva de 1ª ordem
Teste de Durbin-Watson - DefiniçãoEstatística de Durbin-Watson:A estatística de Dubin-Watson (DW) pode ser utilizada para testar as hipóteses:
îíì
>=00
1
0
rr
: H: H
sendoå
å=
= --= n
t t
nt tt
e
eeDW
12
22
1
ˆ
)ˆˆ(ou )ˆ1(2 r-»DW 2
1
2 1
ˆ
ˆˆˆ
tnt
nt tt
e
ee
åå
=
= -=ronde
1- »r 4» DW0» r 2» DW1» r 0» DW
Teremos que:
O fato de a estatística DW basear-se em valores estimados a partir da amostra (êt), ao invés de valores observados (et), condiciona sua densidade de probabilidade aos valores observados na amostra. Caso não disponha de um programa estatístico para calcular o valor p. Durbin e Watson elaboraram uma tabela com possíveis valores extremos de DW em função no número de variáveis independentes (k) e observações da amostra (n).
0 Id Sd 4
Rejeita H0: r > 0
ZonaIndecisão Não Rejeita H0: r = 0
0 Id Sd 4Na zona de indecisão, não se pode rejeitar nem aceitar H0,
IknDW ,
SknDW ,
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
0 4
!"#,%
!&
'
Teste de Durbin-Watson - Exemplo
Como o valor de DWobtido a partir dos
resíduos (1,4725) está na região de indecisão, o
teste seria inconclusivo, ou seja, não há
evidências, para afirmar que os erros sejam ou não
autocorrelacionados.
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:
2419,0ˆ
ˆˆˆ
21
2 1 ==åå
=
= -
tnt
nt tt
e
ee r
Distribuição para uma amostra de 34 observações (n=34) e apenas uma
variável independente (k=1), teremos:
0 393,1 514,1 4
IDW 1,34SDW 1,34
5%5%
DW=1,4745
As estimativas de MQO foram:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=
îíì
>=00
1
0
rr
: H: H
Devemos testar:
îíì
<=22
1
0
: DWH: DWH
ttt ue e += -1rsupondo que:
As estatísticas de teste serão:
4745,1ˆ
)ˆˆ(
12
22
1 =-
=å
å=
= -nt t
nt tt
e
eeDW
Onde:
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Teste de Breusch-Godfrey
ïî
ïíì
¹
===
0
0...
1
10
j
q
: H
: H
r
rr
tqj jtjt ue e +=å = -1rt
kj jjt eXY
t++= å =1ba
Supondo agora que os erros apresentam autocorrelação de ordens q:
Como os erros et não são observados, trabalharemos com o modelo:
Para permitirmos que os erros defasados relacionem-se com os regressores:
tqj jtj
kj jtjt ue Xe +++= åå = -= - 110 rdd
tqj jtj
kj jtjt ue Xe +++= åå = -= - 110 ˆˆ rdd
E o teste seria dado por:
2ˆ)( eRqnLM -=
2qχ
p
LMOnde Rê
2 é o coeficiente de determinação do ajuste para os resíduos como função de seus valores e dos regressores defasados. O valor p representará a probabilidade de erro ao afirmarmos que os erros apresentam autocorrelação de ordem q.
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Teste de Breusch-Godfrey - Exemplo
Se afirmássemos que há autocorrelação de 1ª ordem, estaríamos sujeitos a um erro de 15,5% segundo o teste de BG. Diferentemente do teste t e do teste DW, que testam apenas
autcorrelação positiva, o teste BG considera também a presença de autocorrelação negativa.
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:As estimativas de MQO foram:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=
Para testarmos a autocorrelação de 1ª ordem pelo BG:
tttt ueecoPre ˆˆ253,0022,0043,0ˆ 11 +++= --
As hipóteses a serem testadas seriam:
îíì
¹=00
1
0
rr
: H: H
023,2061,0)134()( 2ˆ =-=-= eRqnLM
21χ
155,0
023,2
E a estatística de teste seria:
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Correção AutocorrelaçãoSeja a equação autocorrelacionada:
22
321
32
2
12
2
1..................
...1
...1
...1
11)( ss
rrr
rrrrrrrrr
rVe =
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-=
---
-
-
-
nnn
n
n
n
Var
eXβy +=A equivalente matricial:
Supondo que a autocorrelação seja dada por:
Se conhecemos V a equação corrigida será dada por:
ttt uee += -1r
O objetivo é transformar o modelo para que este apresente erros não autocorrelacionados. 1º passo) A equação (1) implica em:
A autocorrelação regressiva de 1ª ordem implica:
ΛeΛXβΛy +=
Onde
Pois:22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE
O que implica em:
2
2
1)(
rs-
=teVar 2
2
1),(
rsr-
=+s
stt eeCove
(1)
(2)
1--= ttt eeu r
2º passo) Subtraindo da equação (1) a equação (2) multiplicada por r:
)(...)()1()( 11111 1 -- -++-+-=-- tttt eeXXYYtt
rrbrarúúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
---
=
1...00...............0...100...010...001 2
r
rrr
Λ
utX*1a*Y*
que apresenta erros ut não autocorrelacionados
e 1-= VΛΛT
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
!" = $ + &'(') + ⋯+ &+(+) + ,"
!"-' = $ + &'(')./ + ⋯+ &+(+)./ + ,"-'0(!"-') = 0($ + &'(')./ + ⋯+ &+(+)./ + ,"-')
Mínimos Quadrados GeneralizadosDefinição Análise
Gráfica Teste t Durbin-Watson
Breusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Correção da autocorrelação:Uma vez conhecida a matriz V de variâncias e covariâncias do erros, podemos obter os MELNV transformando as variáveis originais. Seja o modelo:
eXβy += em que:
Então ΛeΛXβΛy += em que
apresentará erros não autocorrelacionaods, pois:
1-= VΛΛT
22)( ss IΛVΛΛΛee ==TE
e
22
321
32
2
12
2
1..................
...1
...1
...1
11)( ss
rrr
rrrrrrrrr
rVe =
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-=
---
-
-
-
nnn
n
n
n
Var
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
---
=
1...00...............0...100...010...001 2
r
rrr
Λ
ttt uee += -1r , ou seja:
Mínimos Quadrados GeneralizadosEstimadores de MQG:Seja o modelo de RLM:
eXβy += com autocorrelação dada por
Alternativamente, eu posso obter os estimadores de MQG diretamente por:
Caso a matriz ! seja conhecida, eu posso aplicar MQO às variáveis transformadas !" e !# para estimar os coeficientes $.
%&'()) = ,-.
Então os erros de ΛeΛXβΛy += serão não autocorrelacionados: %&'(!)) = /-.
yVXXVXΛyΛXΛXΛXβ 1111 )()(ˆ ---- == TTTTTT
Esse método é denominado de Mínimos Quadrados Generalizados (MQG). Os estimadores de MQG são não tendenciosos e os mais eficientes (MELNV) na presença de autocorrelação nos erros.
Raciocínio análogo é válido para obter os estimadores da variância:yVXβyVy 11 ˆSQRes -- -= TTT e 2112
ˆ ˆ)(S sb--= XVXT
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
MQG com r conhecido - Exemplo
ttt uee += -15,0 ou seja 5,0=r
22
313233
312
32
332
2
1...5,05,05,0...............5,0...15,05,0...5,015,05,0...5,05,01
5,011)( ssr Ve =
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-=Var
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:As estimativas de MQO foram:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=Supondo agora que:
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
e
Para obter as estimativas de MQG, transformamos as variáveis:!" − 0,5!"'( = *(1 − 0,5) + /(0" − 0,50"'() + 1" ΛeΛXβΛy +=
1-= VΛΛTem que
Á345" = −3,343 + 5,056934ç;" + <1"As estimativas de MQP são não tendenciosas e as mais eficientes. O estimador da variância também é não tendencioso. Mas a validade dessas estimativas depende de um pressuposto forte, que a variância dos erros seja de fato uma função linear da renda, com = = 0,5.
As estimativas de MQG seriam:
MQGF - r DesconhecidoMínimos Quadrados Generalizados Factíveis:Seja o modelo de RLM:
eXβy += com autocorrelação de 1ª ordem: ttt uee += -1r
Caso r seja desconhecido, podemos usar a estimativa do modelo com os resíduos de MQO:
yVXXVXβ 111 ˆ)ˆ(ˆ ---= TT em que
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
+--+-
-
=-
1ˆ...00...............0...ˆ1ˆ00...ˆˆ1ˆ0...0ˆ1
2
2
1
r
rrrrr
r
V
ttt uee ˆˆˆˆ 1 += -r
Nesse caso, os estimadores consistentes de b, embora viesados para amostras pequenas, serão dados por:
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
MQGF - Exemplo
ttt uee ˆˆ252,0ˆ 1 += - ou seja 252ˆ =r
Seja a relação entre a área plantada de cana-de-açucar e seu preço:As estimativas de MQO foram:
ttt ereçoPreaÁ ˆ79,454,2 ++=Temos ainda que:
Teremos então as seguintes estimativas para as matrizes de transformação:
e
As estimativas de MQGF seriam:
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-=
1...252,0252,0252,0...............252,0...1252,0252,0...252,01252,0252,0...252,0252,01
252,011ˆ
313233
312
32
332
2 rV
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
-
+--+-
-
=-
1252,0...00...............0...252,01252,000...252,0252,01252,00...0252,01
ˆ 2
2
1V
úû
ùêë
é-== ---
90340070
)(ˆ 111
,,TT yVXXVXβ
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
Estimadores RobustosEstimadores da Variância Robustos à Autocorrelação:Seja o modelo de RLS:
ttt eXY ++= baEmbora os estimadores de MQO para b continuem não viesados, as estimativas de suas variâncias serão viesadas.
com autocorrelação de 1ª ordem: ttt uee += -1r
A real variância do estimador para o coeficiente angular seria:
åååå
-
=
-
=+
==
+=1
1 112
2
12
2
2)ˆ(n
t
tn
sstt
sn
t tn
t t
xxxx
Var rss
b
Um estimador robusto para a variância poderia ser obtido por:
åååå
-
=
-
=+
==
+=1
1 112
2
12
2
ˆˆ
2ˆ
)ˆ(n
t
tn
sstt
sn
t tn
t t
xxxx
Var rss
b
Embora esse estimador seja robusto à presença de autocorrelação, considera apenas autocorrelações de 1ª ordem e erros homocedásticos. Há tratamentos mais abrangentes na literatura. Essas estimativas são válidas assintoticamente e podem não ser apropriadas para amostras pequenas.
Definição Análise Gráfica Teste t Durbin-
WatsonBreusch-Godfrey MQG MQGF Estimador
Robusto
!"#$ (&')