Econometria de Séries Temporais
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA (UFJF)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)FACULDADE DE ECONOMIA (FE)Econometria 3Econometria 3
Rogério Silva de Mattos, Rogério Silva de Mattos, D.Sc.D.Sc.
O COMEÇO
• Box e Jenkins (1970) – processos estocásticos não-estacionários/integrados (Modelos ARIMA)
• Granger e Newbold (1974) – Econometria clássica não vale se variáveis do modelo são séries temporais não-estacionárias (Regressões Espúrias)
CORRELAÇÃO ESPÚRIA
Venda de azeite de dendê em Salvador
Consumo de Chimarrão em Porto Alegre
Mera Coincidência
Fator Comum
Y
X
N
Causalidade
XY
XY
REGRESSÃO ESPÚRIA
ttt bXaY
ttt uYY 1
ttt wXX 1Independentes !
Experimento de Granger e Newbold (1974)
Se = = 1Yt e Xt NÃO estacionárias
• R2 altos e DW baixos• Alta chance de rejeitar H0: b = 0• Razão t não segue t de Student• Estatística F não segue distrib. F
Quero estimar :
Assumindoque:
MENSAGEM FUNDAMENTAL
Econometria Clássica
Econometria Clássica OKESTACIONARIEDADE
NÃOESTACIONARIEDADE
COMO PROCEDER ?
• Remover tendência (Detrending)?– Pode não resolver !!! Tendência estocática
• Diferenciar até estacionariedade?– Perda de informação de longo prazo (t. econômica) !!!
• O que fazer ?
ECONOMETRIA DE ST
• Teoria da Cointegração
– Verificar Estacionariedade (Testes de Raízes Unitárias)
– Séries Estacionarias, usar econometria clássica– Séries Não estacionárias, verificar Cointegração
• Séries Cointegradas – modelo de correção de erros• Séries Não cointegradas – modelo sem correção de erros
ESTACIONARIEDADEX
NÃO-ESTACIONARIEDADE
DEFINIÇÃO
Processo NÃO Estacionário Yt
)(),()()(
)()(2
tYYCovtYVar
tYE
sstt
t
t
Processo Estacionário Fraco Yt
sstt
t
t
YYCovYVar
YE
),()(
)(2
Alguém depende do tempo(Média e/ou Variância e/ou Autocovariância)
Média, Variância e Autocovariância
constantes
EXEMPLOS
EstacionárioNão Estacionário
Exemplos
MAIS DEFINIÇÕES
• Processo integrado de ordem d ou I(d) – precisa ser diferenciado “d” vezes para ficar estacionário
• Processo estacionário é I(0) ( “Não Integrado”)
)0(~
)1(~IY
IY
t
t
)0(~
)1(~)2(~
2 IY
IYIY
t
t
t
RAÍZES UNITÁRIAS
• Processo I(1)
Yt = (1-B)Yt ~I(0) 1 raiz unitária
• Processo I(2)
2Yt = (1-B)2Yt=(1-B)(1-B)Yt ~I(0) 2 raízes unitárias
• Processo I(d)
dYt = (1-B)dYt=(1-B)(1-B)…(1-B)Yt ~I(0) d raízes unitárias
POR QUE “RAÍZES UNITÁRIAS”?
tqtd
p BYB )()(
)0(~)1(
)(~
IYBY
dIY
td
td
t
dpdp BBB )1)(()(*
Onde:
Polinômio expandido AR para Yt possui:• p raízes fora do círculo unitário (estacionariedade)• d raízes unitárias (não estacionariedade)
Logo:
ARIMA(p,d,q) p/Yt: =
ARMA(p,q) p/dYt:
PROCESSO AR(1)
ttt YY 1
• Se | | < 1, Yt é um processo estacionário
• Se | | ≥ 1 Yt é um processo não estacionário
= 1 Yt é um passeio aleatório
| | > 1 Yt é um processo explosivo
EXEMPLOS DE AR(1)
Estacionário
I(1)
I(0)
Não Estacionário
PROCESSO DE RAIZ UNITÁRIA
)0(~1
IuuYY
t
ttt
)0(~1
IuuYY
t
ttt
SEM CONSTANTE
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
PASSEIO ALEATÓRIO
),0( ...~ 2
1
Ndii
YY
t
ttt
),0( ...~ 2
1
Ndii
YY
t
ttt
PURO
COM DESLOCAMENTO (DRIFT)
Processo MEMÓRIA CURTA: Um choque repercute por pouco tempo sobre a série. Esta tende a voltar para sua média. Choque transiente. Exemplo:
MEMÓRIA(Nelson e Plosser, 1982)
1||1 ttt YY
Processo MEMÓRIA LONGA: Um choque repercute permanentemente sobre a série. Esta não tende a voltar para algum lugar. Choque permante. Exemplo:
ttt YY 1
• Para desenvolver a intuição, brinque com o arquivo AR1.XLS
TIPOS DE TENDÊNCIAS
btTDt DETERMINÍSTICA
ttt uYY 1DETERMINÍSTICA
+ESTOCÁSTICA
t
iit utYY
00
ttt uYY 1ESTOCÁSTICA
TENDÊNCIAS E DIFERENÇAS ESTACIONÁRIAS
TENDÊNCIA ESTACIONÁRIATend. Determinística + processo I(0)
ttt
ttt
uYYuYY
1
1
Obs: Tendência estacionária “puxa” a série. Diferença estacionária c/cte “empurra”.
tt ubtY
DIFERENÇA ESTACIONÁRIA-Sem constante-Com constante
RESUMINDOProcesso Estacionário• Não integrado ou I(0)• Sem raízes unitárias• Sem tendência estocástica• Memória curta• Choque Transiente
Processo Não Estacionário• Integrado ou I(d), d > 0• d raízes unitárias• Tendência estocástica (com
ou sem tendência determinística)
• Memória longa• Choque Permanente
TESTES DE RAÍZES UNITÁRIAS
• Processo AR(1) Estacionário (b=0,||<1) :
• Diferença Estacionária (=b=0,=1) :
• Diferença Estacionária c/cte (b=0,=1) :
• Tendência Estacionária (b0, ||<1): (ou Tendência Estacionária)
• OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
JUNTANDO TUDO
ttt YY 1
ttt YY 1
ttt YY 1
ttt YbtY 1
ttt YbtY 1
• Processo AR(1) Estacionário (b=0,-2<<0) :
• Diferença Estacionária s/cte (=b==0) :
• Diferença Estacionária c/cte (b==0) :
• Tendência Estacionária (b0,-2<<0): • OBS 1: Tendência Estocástica = Diferença Estacionária s/cte
• OBS 2: Tendência Det. + Estoc. = Diferença Estacionária c/cte
MUDANDO UM POUCOttt uYbtY 1
Onde = - 1
ttt YY 1
ttY
ttY
ttt YbtY 1
TESTE DE DICKEY FULLER
ttt YbtY 1
H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
ˆ
ˆ
SEstatística de teste Tau:
• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância
1)
2)
3)
4)
Equação Geralde Teste
DICKEY FULLERVersão 1
ttt YY 1
• H0: = 0 • isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
• H1: 0 • isto é: Yt = Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma
• Estatística de teste Tau:
Sem intercepto ou termo de tendência na equaçãode teste
ˆˆ S
DICKEY FULLERVersão 2
ttt YY 1
• H0: = 0 (e = 0: ver tabela ADF em Dickey Fuller (1981))• isto é: Yt = t ; não estacionário com tendência estocástica
• H1: 0 (e ≠ 0)• isto é: Yt = +Yt-1+t; estacionário sem tendência alguma • (mas com intercepto)
• Estatística de teste TauU:
Com intercepto apenas na equação de teste
ˆˆ S
• H0: = 0 (e b = 0)• isto é: Yt = + t ; tend. determinística + tend. estocástica
• H1: 0 (b ≠ 0)• isto é: Yt = +bt+Yt-1+t; tendência determinística apenas• (tendência estacionária)
• Estatística de teste TauTau:
DICKEY FULLERVersão 3
ttt YbtY 1
ˆˆ S
Com intercepto e termo de tendência naequação de Teste
Obs: É possível ainda testar H0:b==0 (tendência estocástica apenas) usando a estatística 3 que segue a distribuição F (ver Enders, p. 181)
Extraído de Dickey e Fuller (1981) “Likelihood ratio statistics for autorregressive time series with a unit root. Econometrica 49 (4). pp.1057-1072
Versão 1 (Sem intercepto)
Versão 2 (Com intercepto)
Versão 3 (Com intercepto
e termo de tendência)
H0Tendência Estocástica
Apenas
Tendência Estocástica
Apenas
Tendência Determinística +
Tendência Estocástica
H1 Sem Tendência Alguma
Sem Tendência Alguma
Só Tendência Determinística
RESUMO DO TESTE ADF
TESTE DE DICKEY-FULLERAUMENTADO
• Faz-se o mesmo teste de hipóteses do slide anterior• Valores defasados Yt-s incluídos para eliminar
autocorrelação serial de t (se houver)• Lag máximo p tem de se determinar antes
(minimza-se o critério AIC ou BIC)• Eviews usa valores críticos e valores-p com base
em MacKinon (1996)
t
p
sststt YYbtY
11
VALORES CRÍTICOS DO TESTE ADF
Fonte: Tabela Ade Enders (2004), Baseada em Fuller(1976)
TESTE ADF SAZONAL
t
p
sststttitt YYbtDDDY
11332210
Exemplo para o caso trimestral
outro0
trimestre1 iDit
• Usam-se os mesmos valores críticos do teste ADF• Caso de Sazonalidade Estocástica: ver Enders (2005)
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
ttt uYbtY 1
H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Z:
• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância
1)
2)
3)
4)
Equação Geralde Teste
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2)ˆ(
ˆ)( ˆ
22
TESTE PP DIFERENÇAS (1)
ttt uYbtY 1
• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2)ˆ(
ˆ)( ˆ
22
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2
)ˆ(ˆ
)( ˆ22
Versão 1
Versão 2
Versão 3 sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2
)ˆ(ˆ
)( ˆ22
NAS 3 VERSÕES
•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
T
ststt
l
ssl
T
ttTl uuwu
T 111
22 ˆˆ2ˆ1̂
TESTE PP DIFERENÇAS (2)
• Esta fórmula é um estimador consistente de 2
• Chamada Estimador do espectro na frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West
• l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DE PHILLIPS-PERRON
ttt uYbtY 1
H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
Estatística de teste Z:
• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância
1)
2)
3)
4)
Equação Geralde Teste
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2)ˆ(
ˆ)( ˆ
22
TESTE PP DIFERENÇAS (1)
ttt uYbtY 1
• ut pode ser ARMA(p,q) heterogeneamente distribuído• Não tem lags defasados de Yt
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2)ˆ(
ˆ)( ˆ
22
sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2
)ˆ(ˆ
)( ˆ22
Versão 1
Versão 2
Versão 3 sssTsZ
Tl
Tl
Tl
ˆ2
)ˆ(ˆ
)( ˆ22
NAS 3 VERSÕES
•S: erro-padrão do estimador de MQO de •S2: erro-padrão da regressão de teste ou estimador de 2 assumindo ut ruído branco•2Tl : estimador de 2 assumindo ut heterogêneamente distribuído
T
ststt
l
ssl
T
ttTl uuwu
T 111
22 ˆˆ2ˆ1̂
TESTE PP DIFERENÇAS (2)
• ût p/(t = 1,...,T) são os resíduos da regressão de teste em qq versão• Esta fórmula é um estimador consistente de 2
• Chamada Estimador do Espectro na Frequência 0• Pesos wsl são a janela de defasagem e há 3 opções de computá-los:
1. Barttlet2. Parzen3. Newey-West
• l é o parâmetro de largura de banda
TESTE DF-GLS
ttt YbtY 1
H0: = 0 (processo não estacionário/uma raiz unitária)H1: 0 (processo estacionário/sem raízes unitárias)
Regra de Decisão:
ˆ
ˆ
SEstatística de teste Tau:
• Se Valor crítico C Aceita H0 (Yt NÃO É estacionário)• Se < Valor crítico C Rejeita H0 (Yt É estacionário)
Escolha do nível de significância
1)
2)
3)
4)
Equação Geralde Teste
Porém computada a partir da estimação da equação de teste por MQG (GLS)
TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (1)
ttt uYbtY 1
• Os erros ut seguem um AR(p)• Na versão 1 a estatística-tau é a mesma do teste ADF• Na versão 2 e na versão 3 a estatística-tau é computada
a partir da regressão da equação de teste por GLS• Vantagem do teste DF-GLS vs ADF e PP
• Poder do teste DF-GLS é maior sob erros AR(p)
TESTE DF-GLSDIFERENÇAS (2)
Uso de variável Ytd (livre da constante e/ou da tendência) no
lugar de Yt na equação de teste
tt wY ˆˆ
t
p
j
djt
dt
dt uYYY
1
tt wtbY ˆˆˆ Versão 3: cômputo por GLS de:
Versão 2: cômputo por GLS de:
td
t wY ˆ
Estimação por MQO de:(sem constante e tendência)
Onde (seja na versão 2 ou na versão 3):
COINTEGRAÇÃO
RECAPITULANDO …
• Econometria clássica não é valida quando as séries são NÃO estacionárias
• Em particular, se as séries NÃO estacionárias forem independentes, obtém-se regressões espúrias
• Diferenciar séries até estacionariedade não resolve, perde-se informações de longo-prazo
• O que fazer ? …. Teoria da Cointegração
HISTÓRICO
• Granger (1983) – introduz o conceito de cointegração na literatura
• Granger e Engle (1987) – estabelecem relação entre cointegração e o modelo de correção de erros
• Década de 90 – proliferam trabalhos teóricos e empíricos
• 2003 – Granger e Engle ganham o Prêmio Nobel de Economia !!!
CONCEITOS INICIAIS
)1(~)1(~
IXIY
t
tSejam 2 séries não estacionárias:
Seja a regressão: ttt bXaY
• Yt e Xt serão cointegradas se t ~ I(0)
• Yt e Xt serão NÃO cointegradas se t ~ I(1)
IMPLICAÇÕES• Se Y e X são cointegradas, então:
– tendência estocástica comum– tendências estocásticas se cancelam mutuamente– relação de equilíbrio no longo prazo– relação de curto prazo (?)– Desvios no equilíbrio de longo prazo são transientes– A regressão de Y contra X não é espúria
• Se Y e X NÃO são cointegradas, então:– tendências estocásticas são independentes – Só relação de curto prazo– Desvios não tendem a se corrigir, são persistentes– A regressão de Y contra X é espúria
ILUSTRANDO
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Tempo
X Y e
ttt
ttt
ttt
uXXvYY
XY
1
1
2
t passeio aleatório ~I(1)t ruído branco ~I(0)
Cointegração Não Cointegração
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
Tempo
X Y e
• Xt ~ I(0) então a+bXt ~ I(0)
• Yt ~ I(0) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(0)
• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(0) então aYt+bXt ~ I(1)
• Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) então (em geral) aYt+bXt ~ I(1)
ALGUMAS PROPRIEDADES
DEFINIÇÃO DE COINTEGRAÇÃO: Se Yt ~ I(1) e Xt ~ I(1) ,e existir uma combinação linear aYt+bXt ~ I(0), então Yt e Xt são cointegradas.
1) Computar a regressão cointegrante
2) Aplicar teste ADF sobre os resíduos
TESTE DE COINTEGRAÇÃO(Engle e Granger, 1987)
ttt XbaY ̂ˆˆ
ttt wt 1ˆˆ
H0: = 0 (Y e X NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (Y e X SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
OBSERVAÇÕES
• Se X e Y forem cointegradas:
– a regressão cointegrante NÃO é ESPÚRIA !!
– MQO aplicado à regressão cointegrante (para estimar a e b) são superconsistentes
– as razões t são assintoticamente normais
VALORES CRÍTICOS
Fonte: Tabela C de Enders (2004). Baseada em MacKinnon (1991).
MODELO DE CORREÇÃO DE ERROS
k
jtjtj
p
iitit uXYY
110
Onde: ttt XbaY ˆˆˆ
Modelo S/
Correção
deErros
Em caso de NÃO cointegração
Em caso de cointegração
k
jtjtj
p
iititt uXYY
11110 ˆ
Resíduos da equação
cointegrante
Modelo de
Correção
deErros
OBSERVAÇÕES• Se as variáveis forem I(0), elas são não cointegradas e estima-se o
modelo sem diferenciá-las
• Se Y e X forem I(1) e cointegradas, mas só uma possuír também tendência determinística, deve-se incluir a variável t como explicativa na equação cointegrante
• Se Y e X forem I(1) e cointegradas e ambas possuírem tendência determinística, deve-se verificar no teste de cointegração se a série de erros tem tendência determinística também. Se tiver, inclua a variável t como explicativa na equação cointegrante.
k
jtjtj
p
iitit uXYY
110
VÁRIAS VARIÁVEIS• Usaremos exemplo da Demanda de E. Elétrica (NT
292/2008 – SRE/ANEEL)
• C = consumo de energia elétrica• P = tarifa média de energia elétrica• Y = PIB• EL = estoque de equipamentos elétricos• b1, b2 e b3 – elasticidades do consumo
tbt
bt
btt eELYkPC 321
MODELO LOG-LOG
ttttt eELbYbPbkC loglogloglogloglog 321
Passo 1: Verificar estacionariedade de cada série (logC, logP, logY e logEL) usando o teste ADF
Passo 2: (assumindo que todas são I(1)) realizar o teste de cointegração de Engle e Granger
H0: = 0 (logC , logP, logY e logEL NÃO SÃO cointegradas)H1: < 0 (logC , logP, logY e logEL SÃO cointegradas)
Nota: Usar os valores críticos de Engle e Granger (1987)
1ˆlogˆlog tt ete
ESTIMAÇÃO DO MODELO
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
r
lititt wELYPCeC
111110 loglogloglogˆlog
Modelo para Séries Estacionárias ou I(0)
Modelo de Correção de Erros (SOB cointegração)
Modelo Sem Correção de Erros (SEM cointegração)
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
r
litit wELYPCC
11110 logloglogloglog
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
r
litit wELYPCC
11110 logloglogloglog
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
r
litit wELYPCC
11110 logloglogloglog
OBSERVAÇÕES• Se uma série for I(0), não deve ser incluída na equação cointegrante
para o teste de cointegração• Mesmo que todas sejam I(1), a cointegração pode envolver todas as
quatro variáveis ou apenas um subgrupo delas. Procure fazer o teste de cointegração para os subgrupos também, o que permitirá verificar se alguma série não era para estar na equação cointegrante
• Havendo séries I(1), segundo o teste ADF, com tendência determinística e outras também I(1) sem, ponha a variável t na equação cointegrante
• Se todas as séries forem I(1), segundo o teste ADF, com tendencia deterministica, verifique no teste de cointegração se ha tendencia determinística tambem nos erros da equação cointegrante. Se houver, inclua a variável t na mesma.
SAZONALIDADE
tttttttt eELbYbPbDaDaDaaC logloglogloglog 321332211
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
ttttt
wELYP
eDDDC
111
43322110
logloglog
ˆlog
Equação cointegrante
Modelo de Correção de Erros:
t
n
ssts
k
jjtj
p
iiti
tttt
wELYP
DDDC
111
322110
logloglog
log3
Modelo para Séries Estacionárias ou I(0):