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Econometria
1. Inferência
Danielle Carusi Machado - UFF – Econometria
1/2016
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Distribuição Normal de ε
Usada para facilitar as derivações deestatísticas de testes em amostras finitas.
Derivação das distribuições exatas dasestatísticas t, F.
I N X 2,0~/
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Inferência – hipótese de
normalidade
12 )'(,~| X X N X b
Distribuição normal multivariada, desta forma, cada elemento
de b, tem uma distribuição normal da seguinte forma:
12 )'(,~|
kk k k
X X N X b
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Testes de hipóteses clássico
Usando a regressão linear gostaríamos de testar a
validade de uma teoria que formulamos nonosso modelo estatístico.
O modelo é usado para testar uma hipótese sobreo processo de geração de dados, descrito pelo
nosso modelo.
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Estimando um Intervalo de
Confiança Assumindo normalidade de ε :
bk ~ N[βk ,vk 2] para o verdadeiro βk .
(bk -βk )/vk ~ N[0,1]
vk
= [σ2( X’X )-1]kk
não é conhecida pois σ2 deve serestimada.
Usando s2 ao invés de σ2, (bk -βk )/est.(vk ) ~ t[n-K].
(Prova: razão de uma normal e da raiz quadrada de umaqui-quadrada/grau de liberdade)
Utilizamos os valores críticos de uma distribuição t-studentao invés de uma normal padrão.
1)(Pr2 /2 / k k b k k b k s t b s t b ob
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Testando a hipótese usando um
intervalo de confiançaO IC nos dá o conjunto de valores plausíveis –
região de aceitação!
Testando a hipótese que um coeficiente é igual a
zero ou igual a qualquer outro valor particular:O valor hipotético está dentro do IC?
O valor hipotético está dentro do conjunto devalores plausíveis?
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Testando a hipótese para um
parâmetro – teste t Comece com a hipótese nula.
Por exemplo, H0: j=0
Se aceitamos a nula, aceitamos que x j , após
controlarmos pelos outros x ’s, não tem efeito emy. Precisamos de uma hipótese alternativa, H1, eum nível de significância.
H1 pode ser unicaudal ou bicaudal.
H1: j > 0 e H1: j < 0 são unicaudais. H1: j 0 é bicaudal.
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Testando a hipótese para um
parâmetro – teste t - unilateral Se queremos apenas 5% de probabilidade de
rejeitar H0 caso ela seja, então dizemos quenosso nível de significância é de 5%.
Escolhido um nível de significância, , olhamosno (1 – )-ésimo percentil na distribuição t com n– k graus de liberdade e chamamos esse valor, c ,de valor crítico.
Rejeitamos a hipótese nula se a estatística t é
maior que o valor crítico. Se a estatística t for menor que o valor crítico,
então não rejeitamos a nula
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yi = 0 + 1 xi1 + … + k xik + ui
H0: j = 0 H1: j > 0
Testando a hipótese para um
parâmetro – teste t
Não rejeitamos
Rejeitamos
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Testando a hipótese para um
parâmetro – teste t
Como a distribuição t é simétrica, testar H1: j <0 é direto. O valor crítico é simplesmente o
negativo do anterior. Rejeitamos a nula se t < –c; se t > –c, então não
rejeitamos a nula.
Para um teste bicaudal, escolhemos um valor
crítico baseado em /2 e rejeitamos H1: j 0 seo valor absoluto da estatística t for > c.
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Testando a hipótese para um parâmetro
– teste t – hipótese bilateral yi = 0 + 1 X i1 + … + k X ik + ui
H0
: j
= 0 H1
: j
≠ 0
c0
-c
Rejeitamos Rejeitamos
Não rejeitamos
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Testando a hipótese para um
parâmetro – teste t
Como a distribuição t é simétrica, testar H1: j <0 é direto. O valor crítico é simplesmente o
negativo do anterior. Rejeitamos a nula se t < –c; se t > –c, então não
rejeitamos a nula.
Para um teste bicaudal, escolhemos um valor
crítico baseado em /2 e rejeitamos H1: j 0 seo valor absoluto da estatística t for > c.
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Calculando o p -valor do teste t Uma alternativa ao procedimento clássico de
teste é perguntar: “qual é o menor nível designificância ao qual a nula seria rejeitada?”
Calcule a estatística t , e olhe em que percentilela está na distribuição t apropriada – este é op -valor.
O p -valor é a probabilidade de observarmos
valores iguais ou maiores (em valor absoluto) àestatística t obtida se a nula for verdadeira.
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Testando a Hipótese para uma
combinação linear: Intervalo de confiança Aplicação: Decomposição Oaxaca Blinder
Em um estudo de oferta de trabalho são estimadas duasregressões separadas, uma para homens (nm) e outra
para mulheres (nf ).
Estamos interessados em comparar estas duas regressõese, particularmente, se há discriminação salarial.
f ,,,
m,,,
1...n jonde 'ln
1...nionde 'ln
j f f j f j f
i m m i m i m
x wage
x wage
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Testando a Hipótese para uma
combinação linear: Intervalo de confiançaEsta decomposição pode ser computada usando a média
dos regressores e estaremos interessados em formularum intervalo de confiança para o 1º. termo.
Por hipótese, considera-se que os dois conjuntos de
observações são independentes.Os estimadores bm e bf são independentes com médias
iguais a βm e βf e matrizes de covariância σm2( X m’X m)-1
e σf 2( X f ’X f )
-1
A matriz de covariância da diferença é a soma destas duas
matrizes: σm2
( X m’X m)-1
+ σf 2
( X f ’X f )-1
IC para d = bm – bf
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Múltiplas restrições lineares Podemos testar conjuntamente múltiplas
hipóteses sobre os parâmetros.
Um exemplo é do “restrição de exclusão” –
queremos testar se um grupo de parâmetros éigual a zero.
Agora, a hipótese nula é algo do tipo
H0: k-q+1 = 0, , k = 0
A alternativa é H1: H
0é falsa, ou seja, pelo
menos um dos ́ s é diferente de zero.
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Teste de restrição de exclusão
O teste é feito estimando o “modelorestrito” sem x k-q+1,, …, x k , assim como o “modelo irrestrito” com todos os x ’s.
Intuitivamente, queremos saber se x k-q+1,,…, x k causam uma variação suficientementegrande na SQR
.irrestritoirerestritoér
onde,1
k nSQR
qSQRSQR
F ir
ir r
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A estatística F A estatística F é sempre positiva, uma vez que
a SQR do modelo restrito não pode ser menorque a do modelo irrestrito.
A estatística F mede o crescimento relativo naSQR quando se passa do modelo irrestrito parao modelo restrito.
q = número de restrições
n – k – 1 = grau de liberdade do modelo
irrestrito
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0 c
f(F)
F
Rejeita
Não rejeita
Rejeita H0 ao
nível de
significância se
F > c
A estatística F
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A estatística F em função do R 2
Podemos usar o fato de que, em qualquerregressão, SQR = SQT(1 – R 2) e substituirna fórmula:
.irrestritoéirerestritoér
onde,11 2
22
k n R
q R R F
ir
r ir
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Significância da regressão
Um caso especial é o testeH0: 1 = 2 =…= k = 0.
Como o R 2 do modelo com apenas o
intercepto será zero, a estatística F serásimplesmente:
11 2
2
k n R
k R F
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Restrições lineares gerais A forma básica da estatística F é válida para
qualquer restrição linear.
Primeiro estime os modelos irrestrito e restrito.
Em cada caso, anote a SQR e substitua nafórmula.
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Exemplo: O modelo is votoA = 0 + 1log(gastoA) +
2log(gastoB ) + 3prtystrA + u.
Agora a nula é H0: 1 = 1, = 0.
Substituindo a restrição: votoA = 0 +log(gastoA) + 2log(gastoB ) + u .
Agora votoA - log(gastoA) = 0 + 2log(gastoB ) + u é o modelo restrito.
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Estatística F : Resumo Da mesma forma que no teste t , o p -valor
pode ser calculado olhando no percentil dadistribuição F apropriada.
Se apenas uma exclusão está sendo testada,então F = t 2 e o p -valor será o mesmo.
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Formas funcionais e mudança
estrutural
• Variáveis binárias
• Não linearidade nas variáveis
• Modelagem e teste de mudança estrutural
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Variáveis binárias numa regressãoVariáveis binárias ou dummy:
-valor 1 para algumas observações (efeito ou pertencem a algum grupo) e zero para
observações restantes.
-Deslocamentos discretos de uma função dentro do modelo de regressão.
- Efeito tratamento
- Exemplos: efeito da universidade nos ganhos ao longo da vida, diferenças de sexo no
comportamento da oferta de trabalho, etc.
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Diversas categorias-Conjunto de variáveis binárias
Exemplo: dummies para correção de fatores sazonais
-Armadilha da variável dummy
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Diversos grupos- Exemplo: vários estados para 10 anos.
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Fatores qualitativos-Exemplo: níveis educacionais
Variável discreta: 0 – sem escolaridade (SE), 1 – Fundamental (F), 2 – Médio (M), 3 –
Superior (S).
O que acontece???
Modelo mais flexível (mais alto nível alcançado)
Fazer esperança condicional: E(renda/idade, SE), E(renda/idade, F), E(renda/idade, M),
E(renda/idade, S)
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Regressão “Spline”- Dados cross section para indivíduos de diversas idades: alguns padrões são específicos
para determinadas faixas etárias.
- 18 anos: fim do ensino médio
- 22 anos: fim da faculdade.
-Amostra pode ser dividida em 3 grupos.
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Não linearidade de variáveis- O modelo de regressão deverá ser escrito de uma forma mais geral.
um conjunto de funções linearmente independentes de z.
Seja g(y) uma função do y observado, o modelo de regressão nesta forma geral é:
Como é o modelo de regressão linear??
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Formas funcionais
Termos de interaçãoExemplos
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Teste Chow: exemplo
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Algebra Teste Chow
1960-1973 1960-1973 1960-19731
1974-1995 1974-1995 1974-19952
1960-1973 1960-1973 19
1974-1995 1974-1995
Unrestricted regression is
Restricted regression is
y X 0
y 0 X
y X
y X
60-1973 1960-1973
1974-1995 1974-1995
1 2
1 2 1 2
In the unrestricted model, = [ ,- ], = .= ;
[Var( , )] = Var[ ] Var[ ] (no covariance)
R I I q 0Rb - q b b
R b b R' b b
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Econometria
Multicolinearidade
4. Testes de hipóteses no modelo de regressão linear
5. Propriedades assintóticas dos estimadores MQO
Danielle Carusi Machado - UFF - Econometria
2/2015
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Multicolinearidade
Característica do banco de dados que afeta a matriz de covariância doEstimador de MQO.
Considere um estimador de um dos parâmetros k : E[bk ] = k (não viesado)
Var[b] = 2( X’X )-1 .
A variância de bk é o k -ésimo elemento da diagonal da matriz 2( X’X )-1
Escreva [X,z] sendo [outros xs , xk ] = [ X 1, x2]
M1 matriz que gera os resíduos da projeção de um vetor no subespaçoformado pelas colunas de X 1.
O elemento da diagonal será: [ x2M1 x2]-1 que corresponde ao recíproco da
soma do quadrado dos resíduos da regressão de x2 em X 1.
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Variância do estimador de MQO
A variância estimada de bk é
Var[bk / X ] =
Quanto maior o fit da regressão de x2 em X 1, maior a variância. Nolimite, um ajuste perfeito produz uma variância infinita.
.
)1()()1(
222.2
2
2
1
222.2
2
S R
s
x x R
s
n
i
i
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Variância do estimador de MQO
Forma mais geral
Defina a matriz X que contém uma constante e K-1 variáveis explicativas
A variância estimada de bk é
Var[bk / X ] =
n
i
k ik k x x R
s
1
22.
2
1
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Multicolinearidade
Não existe “cura” para a colinearidade (análise componente principal).
Existem “medidas” de multicolinearidade, contudo não há solução.
Entender as implicações para a estimação:1) Pequenas mudanças nos dados causam grandes variações nas estimativas
dos parâmetros;2) Os coeficientes estimados podem ter erro padrão elevado e baixo nível de
significância, apesar da significância conjunta e de um bom grau deajuste;
3) Os coeficientes podem ter o sinal contrário e magnitudes implausíveis.
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Multicolinearidade
O que é melhor:
1) Incluir uma variável que causa colinearidade, ou;
2) Eliminá-la e gerar um estimador viesado?