電気電子数学 II 課題3 2016. 11. 11 K. Shibata
以下では,i, j, k はそれぞれ x 軸,y 軸,z 軸方向の単位ベクトル,r は位置ベクトル
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r = xi + yj + zk とし、rは原点からの距離
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r = r = x 2 + y 2 + z2 とする。
[1] (1)
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ddt(A × B) =
dAdt
× B + A × dBdt
を示しなさい。
(2) ddt(A ⋅B) = dA
dt⋅B+ A ⋅ dB
dtを示しなさい。
(3) A ⋅ A= A 2となることを示しなさい。
(4) (2)と(3)を利用して,ある点が原点を中心に円運動(等速でなくても良い)をしている
場合,その位置ベクトル rと速度ベクトルv = drdtが直交することを示しなさい。
(ヒント:円運動をしているということは,位置ベクトル rの大きさが変化しない)
[2] 時刻 t によって周期的に変化するベクトル
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r1(t) = (0,cosπt,sinπt)Tと定ベクトル
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r2 = (1,1,1)T
があります。 (1) tを変化させた時の位置ベクトル
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r1 で表される点の軌跡と
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r2 を三次元空間上に図示しなさい。
(2) 位置ベクトル
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r1 で表される点の運動がどのような運動か,一意に特定できるように述べなさい。
(3) この点の運動の角速度(角周波数)を答えなさい。 (4)
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r1 ⋅ r2 および
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r1 × r2 を求めなさい。 (5) tを変化させた時の
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r1 ⋅ r2 および
€
r1 × r22 の値を、横軸を tとしてそれぞれ図示しなさい。
(6)
€
r1 ⋅ r2 および
€
r1 × r22 の最大値を求め,それぞれが最大値を取るすべての場合の
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r1 を (1)で描いた図の中に示しなさい。
[3] 時刻 t によって周期的に変化するベクトル
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r(t) = bcosπti + sinπtj (b: 定数) について,以下の問いに答えなさい。
(1) 速度ベクトル v,加速度ベクトル a を求め,aを rで表しなさい。 (2)
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b = 2の際の
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r(t) の軌跡を xy平面上に図示し,その形状を説明しなさい。
以下は,
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b = 2,
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t =1 の時について答えなさい。
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t =14
の時(少々難)についても解いてみる。
(3) ベクトル r, v, aを求めなさい。 (4) 単位接線ベクトル tを求めなさい。 (5) 加速度ベクトル aのうち,単位接線ベクトル t方向の成分を求めなさい。 (6) 加速度ベクトル aのうち,単位接線ベクトル tと垂直な成分を、ベクトルの形で求めなさい。
(7) 単位主法線ベクトル nを求めなさい。 (8) 加速度ベクトル a を単位接線ベクトル tと単位主法線ベクトルnを用いて表しなさい。 (9) 曲率半径
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ρ を求めなさい。