藤井 啓祐!京都大学 白眉センター / 大学院情報学研究科
量子計算の基礎!効率よく記述できるもの+α
若手のための量子情報基礎セミナー!
1
前編!
目次
✓ 量子計算!
✓ スタビライザー形式!
✓ 測定型量子計算
Pauli演算子,ブロッホ球,Clifford演算子,non-Clifford演算,
Solovay-Kitaevアルゴリズム,直積空間,CNOT演算,万能量子計算
量子状態量子ビット
( )|+� = (|0�+ |1�)/�
2, |�� = (|0� � |1�)/�
2
| i = ↵|0i+ �|1i|0i =
✓10
◆|1i =
✓01
◆
↵,� 2 C |↵|2 + |�|2 = 1
,
,
量子状態量子ビット
( )|+� = (|0�+ |1�)/�
2, |�� = (|0� � |1�)/�
2
| i = ↵|0i+ �|1i|0i =
✓10
◆|1i =
✓01
◆
↵,� 2 C |↵|2 + |�|2 = 1
,
,
Bloch sphere
↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓
y
zx
�
✓2古典ビット
Pauli行列
X =
✓0 11 0
◆Z =
✓1 00 �1
◆Y =
✓0 �ii 0
◆
•反可換(anticommute):• XZ = iY
Pauli演算子
ZX = �XZ
X|0� = |1� X|1� = |0� (bit-flip)
Z|1� = �|1�Z|0� = |0� (phase-flip)Y |0� = i|1� Y |1� = �i|0� (bit&phase-flip + global phase)
qubitに対する作用
Pauli行列
X =
✓0 11 0
◆Z =
✓1 00 �1
◆Y =
✓0 �ii 0
◆
•反可換(anticommute):• XZ = iY
Pauli演算子
ZX = �XZ
X|0� = |1� X|1� = |0� (bit-flip)
Z|1� = �|1�Z|0� = |0� (phase-flip)Y |0� = i|1� Y |1� = �i|0� (bit&phase-flip + global phase)
qubitに対する作用
Pauli行列
X =
✓0 11 0
◆Z =
✓1 00 �1
◆Y =
✓0 �ii 0
◆
•反可換(anticommute):• XZ = iY
Pauli行列の固有状態(Pauli basis)X ! |+i ⌘ (|0i+ |1i)/
p2, |�i ⌘ (|0i � |1i)/
p2Z ! |0i, |1i
Z basis X basis
Pauli演算子
ZX = �XZ
Bloch sphere
↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓
y
zx
�
✓2
|0i
|1i
(|0i+ i|1i)/p2
(|0i � i|1i)/p2
|+i|�i
ブロッホ球
Bloch sphere
↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓
y
zx
�
✓2
|0i
|1i
(|0i+ i|1i)/p2
(|0i � i|1i)/p2
|+i|�i
ブロッホ球
e�i✓Y
e�i✓X
e�i✓Z
HHadamard
= 1�2
�1 11 �1
�
Clifford演算
Phase
=S1p2
✓1 00 i
◆
Clifford演算:Pauli 演算子を Pauli 演算子にマップA = UBU†
Pauli演算子
HXH = Z
SXS† = Y
Bloch sphere
↵ = cos ✓,� = ei� sin ✓
y
zx
�
✓2
|0i
|1i
(|0i+ i|1i)/p2
(|0i � i|1i)/p2
|+i|�i
ブロッホ球
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
任意の1量子ビット演算構成するためには!non-Clifford演算が必要.
x
y
π の有理数倍の回転だと任意の角度の回転を実現できない.
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
⑩
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
⑩
⑪π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
⑩
⑪
⑫
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算
x
y
(3�p5)⇡
無理数倍 → 任意の角度θ の近似を効率よく得られる.
①
②③
④
⑤
⑥⑦
⑧
⑨
⑩
⑪
⑫
⑬
π × (3-√5)=137.5...
non-Clifford演算π/8 演算:T = e�i(⇡/8)Z
non-Clifford演算π/8 演算:T = e�i(⇡/8)Z
⇣cos
⇡
8
, sin⇡
8
, cos⇡
8
⌘
y
zx
THTH = cos
2 ⇡
8
I � ihcos
⇡
8
(X + Z) + sin
⇡
8
Yisin
⇡
8
non-Clifford演算π/8 演算:T = e�i(⇡/8)Z
⇣cos
⇡
8
, sin⇡
8
, cos⇡
8
⌘
y
zx
THTH = cos
2 ⇡
8
I � ihcos
⇡
8
(X + Z) + sin
⇡
8
Yisin
⇡
8
✓ = 2arccos[cos
2(⇡/8)]
{H,T}
回転角→
の積で任意の1量子ビット演算を!効率よく近似できる.
Solovay-Kitaev(U,n)! if n=0, return basic approximation of U! else Un-1=Solovay-Kitaev(U,n-1)! V,W s.t. VWV†W†=UU†n-1 !
Vn-1 = Solovay-Kitaev(V,n-1)! Wn-1 = Solovay-Kitaev(V,n-1)! Return Vn-1Wn-1Vn-1†Wn-1†Un-1! !
O(logc(1/�))
Solovay-Kitaevアルゴリズム
Dawson-Nielsen, QIC 6, 81 (2006)
多量子ビット系| ai ⌦ | bi 合成系(直積状態):
|0i ⌦ |1i =✓
10
◆⌦✓
01
◆=
0
BB@
0100
1
CCA Kronecker積|00�|01�|10�|11�
多量子ビット系| ai ⌦ | bi 合成系(直積状態):
CNOT (controlled NOT)
= |0��0| � I + |1��1| � X�
���
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
�
���
|00�|01�|10�|11�
⇤(X)
CZ (controlled Z)
|00�|01�|10�|11�
= |0��0| � I + |1��1| � Z�
���
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1
�
���
e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)
⇤(Z)
2量子ビット演算:
|0i ⌦ |1i =✓
10
◆⌦✓
01
◆=
0
BB@
0100
1
CCA Kronecker積|00�|01�|10�|11�
万能量子計算 Solovay-Kitaev アルゴリズム: → 任意の1量子ビット演算{H,T}
万能量子計算 Solovay-Kitaev アルゴリズム: → 任意の1量子ビット演算{H,T}
CNOT + 任意の1量子ビット演算 → 任意のn 量子ビット演算{⇤(X), H, T}universal set
万能量子計算 Solovay-Kitaev アルゴリズム: → 任意の1量子ビット演算{H,T}
CNOT + 任意の1量子ビット演算 → 任意のn 量子ビット演算{⇤(X), H, T}universal set
H ei⇡8 Ze�i⇡
8 Z e�i⇡8 Z ei
⇡8 Z
e�i⇡8 Z e�i⇡
8 Z
ei⇡8 Z
S
=Toffoli gate
万能量子計算 Solovay-Kitaev アルゴリズム: → 任意の1量子ビット演算{H,T}
CNOT + 任意の1量子ビット演算 → 任意のn 量子ビット演算{⇤(X), H, T}universal set
X
X
X
X
X
X
X
X
{|000i, |111i}部分空間 内の回転:
U
同様に任意の2準位間のユニタリ演算を実現できる.
目次
✓ 量子計算!
✓ スタビライザー形式!
✓ 測定型量子計算
Pauli演算子,ブロッホ球,Clifford演算子,non-Clifford演算,
Solovay-Kitaevアルゴリズム,直積空間,CNOT演算,万能量子計算
スタビライザー群,Clifford演算,Gottesman-Knillの定理,マジック状態
スタビライザー形式
n-量子ビット系:
|�n� =�
s1,s2,...,sn
cs1s2...sn |s1s2 . . . sn�
→パラメータの数は指数的に増えてしまう.|s1� � |s2� � · · · � |sn�
効率よく記述する方法?
スタビライザー形式
→ Stabilizer 形式D. Gottesman, Ph.D. thesis, California Institute of Technology (1997); arXiv:quant- ph/9705052.
n-量子ビット系:
|�n� =�
s1,s2,...,sn
cs1s2...sn |s1s2 . . . sn�
→パラメータの数は指数的に増えてしまう.|s1� � |s2� � · · · � |sn�
効率よく記述する方法?
スタビライザー形式
Pauli group, Stabilizer group
n-qubit Pauli group:
{±1,±i}⇥ {I,X, Y, Z}⌦n 2 Pn
Pauli group, Stabilizer group
n-qubit Pauli group:
{±1,±i}⇥ {I,X, Y, Z}⌦n 2 Pn
例)
even overlap 反可換×2=可換!
Stabilizer group :Pauli群(エルミート)の可換部分群
hXX,ZZi = {II,XX,ZZ,�Y Y }
S = {Si}
stabilizer generator
Si 2 P, Si = S†i , [Si, Sj ] = 0
Si � S Stabilizer state:すべてのstabilizer演算子 に対してSi|�� = |��
を満たす状態 .|��• stabilizer group は可換群なので,同時対角化できる.• stabilizer generator の固有状態であれば十分.
Stabilizer states[Gottesman PhD thesis arXiv:quant- ph/9705052]
Si � S Stabilizer state:すべてのstabilizer演算子 に対してSi|�� = |��
を満たす状態 .|��• stabilizer group は可換群なので,同時対角化できる.• stabilizer generator の固有状態であれば十分.
(|00�+ |11�)/�
2Bell state例1)
例2)S2 = �ZZ�
S1 = �XX, ZZ�
{|00�, |11�} で張られる部分空間内の任意の状態.→ generatorの数がqubit数より少ないとき.
Stabilizer states[Gottesman PhD thesis arXiv:quant- ph/9705052]
Stabilizer state の例 Graph state
Ki = Xi
Y
j2Vi
Zj
i
Z X ZZ
measurement-based quantum computation (MBQC) のリソース状態![Raussendorf-Briegel PRL ’01]
Stabilizer state の例 Graph state
Ki = Xi
Y
j2Vi
Zj
i
Z X ZZ
measurement-based quantum computation (MBQC) のリソース状態![Raussendorf-Briegel PRL ’01]
Surface code (Toric code) state
Af =�
i� face f
Zi
Af
Z
Z Z
Z
Bv =�
i� vertex v
XiX X
XXBv
Quantum error correction code/ ground state of topologically orderd system [Kitaev Ann Phys ’03]
Clifford演算:Pauli product を Pauli product に! → stabilizer state を stabilizer state に
Stabilizer形式(Clifford演算)
Si| i = | ihSii
hS0ii
S0i| 0i = | 0i
U
[Schrödinger][Heisenberg]
U
| i
| 0i = U | iS0i = USiU
†
Clifford演算:Pauli product を Pauli product に! → stabilizer state を stabilizer state に
Stabilizer形式(Clifford演算)
Si| i = | ihSii
hS0ii
S0i| 0i = | 0i
U
[Schrödinger][Heisenberg]
U
Clifford演算子U の作用は,stabilizer演算子への作用
によって記述される.Si ! S0
i = USiU†
| i
| 0i = U | iS0i = USiU
†
HHadamard
= 1�2
�1 11 �1
�HXH = Z
Clifford演算
HHadamard
= 1�2
�1 11 �1
�HXH = Z
Clifford演算
Phase
=S1p2
✓1 00 i
◆
SXS† = Y
HHadamard
= 1�2
�1 11 �1
�HXH = Z
Clifford演算
Phase
=S1p2
✓1 00 i
◆
SXS† = Y
CNOT (controlled NOT)
= |0��0| � I + |1��1| � X�
���
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
�
���
|00�|01�|10�|11�
�(X)(X � I)�(X) = X �X
�(X)(I � Z)�(X) = Z � Z
X
X
Z
Z
X
Z
⇤(X)
HHadamard
= 1�2
�1 11 �1
�HXH = Z
Clifford演算
Phase
=S1p2
✓1 00 i
◆
SXS† = Y
CNOT (controlled NOT)
= |0��0| � I + |1��1| � X�
���
1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0
�
���
|00�|01�|10�|11�
�(X)(X � I)�(X) = X �X
�(X)(I � Z)�(X) = Z � Z
X
X
Z
Z
X
Z
⇤(X)
CZ (controlled Z)
|00�|01�|10�|11�
= |0��0| � I + |1��1| � Z�
���
1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 �1
�
���
e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)
�(Z)(X � I)�(Z) = X � Z
�(Z)(I �X)�(Z) = Z �X
X
Z
XZ
XX
⇤(Z)
|+i
|+i
|+i|0i
|0i
|0i
|0i
H
H
H
H
H
H
H
|+i
|+i
|+i|0i
|0i
|0i
|0i
H
H
H
H
H
H
H
X ZX
XZ
XZ
XZ
Clifford演算
Gottesman-Knillの定理Input:! ! ! Pauli演算子の固有状態.!Operation:!! Clifford演算!Measurement:!Pauli基底
(Clifford演算だと classically simulatable)
n qubit stabilizer state → n個の演算子
Si| i = | ihSii
hS0ii
S0i| 0i = | 0i
U
[Schrödinger][Heisenberg]
U
| i
| 0i = U | iS0i = USiU
†
Gottesman-Knillの定理Input:! ! ! Pauli演算子の固有状態.!Operation:!! Clifford演算!Measurement:!Pauli基底
Classically simulatable!
(Clifford演算だと classically simulatable)
n qubit stabilizer state → n個の演算子
Si| i = | ihSii
hS0ii
S0i| 0i = | 0i
U
[Schrödinger][Heisenberg]
U
| i
| 0i = U | iS0i = USiU
†
Gottesman-Knillの定理Input:! ! ! Pauli演算子の固有状態.!Operation:!! Clifford演算!Measurement:!Pauli基底
観測量(Pauli演算子)とstabilizerとの交換関係から,!確率分布を効率よく計算できる→Gottesman-Knillの定理
Classically simulatable!
(Clifford演算だと classically simulatable)
n qubit stabilizer state → n個の演算子
Si| i = | ihSii
hS0ii
S0i| 0i = | 0i
U
[Schrödinger][Heisenberg]
U
| i
| 0i = U | iS0i = USiU
†
Magic state
INPUT! ! ! ! : Pauli演算子の固有状態 →一般の混合状態!OPERATION! !:Clifford回路!MEASUREMENT! :Pauli基底→Pauli演算子の固有状態の混合は classically simulatable
y
zx
Bloch球
(noisy magic state is enough for universal QC)
(Tr[⇢X],Tr[⇢Y ],Tr[⇢Z])
Magic state
INPUT! ! ! ! : Pauli演算子の固有状態 →一般の混合状態!OPERATION! !:Clifford回路!MEASUREMENT! :Pauli基底→Pauli演算子の固有状態の混合は classically simulatable
z
magic state
|Hi = cos(⇡/8)|0i+ sin(⇡/8)|1i
xBravyi-Kitaev, PRA 71, 022316 (2005); Reichardt, QIP 4, 251 (2005)
Clifford演算のみで pure magic stateを蒸留できる.
⇢H = (1� p)|HihH|+ p|H?ihH?|
p =1
2(1� 1/
p2)
y
zx
Bloch球
(noisy magic state is enough for universal QC)
(Tr[⇢X],Tr[⇢Y ],Tr[⇢Z])
目次
✓ 量子計算!
✓ スタビライザー形式!
✓ 測定型量子計算
Pauli演算子,ブロッホ球,Clifford演算子,non-Clifford演算,
Solovay-Kitaevアルゴリズム,直積空間,CNOT演算,万能量子計算
スタビライザー群,Clifford演算,Gottesman-Knillの定理,マジック状態
グラフ状態(クラスター状態),量子テレポーテーション,様々な応用
Graph state
Graph state (cluster state)
graph G=(V,E)V:頂点の集合,E:辺の集合
XZ
ZZ
stabilizer generators:
Ki = Xi
Y
j2Vi
Zj
点i と隣接する頂点の集合
Ki|Gi = |Gi for all i 2 V
Graph state
Graph state (cluster state)
graph G=(V,E)V:頂点の集合,E:辺の集合
XZ
ZZ
⇔ |Gi =Y
e2E
⇤e(Z)|+i⌦|V |
stabilizer generators:
Ki = Xi
Y
j2Vi
Zj
点i と隣接する頂点の集合
Ki|Gi = |Gi for all i 2 V
Graph state
Graph state (cluster state)
X
Z
XZ
XX
= |0��0| � I + |1��1| � Z
CZ (controlled Z)e�i�/4(Z1Z2�Z1�Z2�I)
XI → XZ
IX → ZX
graph G=(V,E)V:頂点の集合,E:辺の集合
XZ
ZZ
⇔ |Gi =Y
e2E
⇤e(Z)|+i⌦|V |
stabilizer generators:
Ki = Xi
Y
j2Vi
Zj
点i と隣接する頂点の集合
Ki|Gi = |Gi for all i 2 V
2D cluster state
i i +e
i +n
i +w
i +s
Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w
Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).
projective measurement
2D resource state
X ZZ
Z
Z
2D cluster state
i i +e
i +n
i +w
i +s
Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w
Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).
projective measurement
2D resource state
X ZZ
Z
Z
2D cluster state
i i +e
i +n
i +w
i +s
Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w
Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).
projective measurement
2D resource state
X ZZ
Z
Z O
i
h↵i|!|Gi
2D cluster state
i i +e
i +n
i +w
i +s
Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w
Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).
projective measurement
2D resource state
X ZZ
Z
Z =
space
time
U1
U2
U3
U4
U5
h0|⌦NUn · · ·U1|0i⌦N
Oi
h↵i|!|Gi
2D cluster state
i i +e
i +n
i +w
i +s
Ki = XiZi+nZi+eZi+sZi+w
Cluster state computationRaussendorf-Briegel PRL 86 910 (2001); Raussendorf-Browne-Briegel PRA 68 022312 (2003).
projective measurement
2D resource state
X ZZ
Z
Z
• 相互作用は状態準備のときのみ.!• 物性物理との対応.!• 状態の性質から量子計算の能力を評価.
=
space
time
U1
U2
U3
U4
U5
h0|⌦NUn · · ·U1|0i⌦N
Oi
h↵i|!|Gi
量子テレポーテーション[Bennet et al., PRL ‘93]
Bell measurement
input
output
=
Bell state!(maximally entangled state)
identity gate
| i |00i+ |11ip2
X ⌦X, Z ⌦ Z
量子テレポーテーション[Bennet et al., PRL ‘93]
Bell measurement
input
output
=
Bell state!(maximally entangled state)
identity gate
| i |00i+ |11ip2
X ⌦X, Z ⌦ Z
U
U
unitary gate
UXm1Zm2 | i
量子テレポーテーション[Bennet et al., PRL ‘93]
Bell measurement
input
output
=
Bell state!(maximally entangled state)
identity gate
| i |00i+ |11ip2
X ⌦X, Z ⌦ Z
リソース状態+測定 = ユニタリー演算
U
U
unitary gate
UXm1Zm2 | i
|��
|+�
one-bit teleportation:
X
XmH| i測定結果に依存してつく!“Pauli byproduct”
Zhou-Leung-Chuang, Phys. Rev. A 62,052316 (2000).
One-bit teleportation
input
output
|��
|+�
one-bit teleportation:
X
XmH| i測定結果に依存してつく!“Pauli byproduct”
Zhou-Leung-Chuang, Phys. Rev. A 62,052316 (2000).
One-bit teleportation
input
output
|�� H XmH| i= Xm
circuit diagram
input state
X XmH| i
| i
Z(⇠) = e�i⇠Z/2
|��
|+�Z(⇠)
One-bit teleportation
X
Z(⇠) = e�i⇠Z/2
|��
|+�Z(⇠)
= |+�Z(⇠)| i X
可換
One-bit teleportation
X
Z(⇠) = e�i⇠Z/2
|��
|+�Z(⇠)
= |+�Z(⇠)| i X
可換
One-bit teleportation
X
XmHZ(⇠)| i
Z(⇠) = e�i⇠Z/2
|��
|+�Z(⇠)
= |+�Z(⇠)| i X
可換
One-bit teleportation
X
XmHZ(⇠)| i
input state|�� HZ(⇠) XmHZ(⇠)| iXm=
=XmHZ(⇠)| i
Z(⇠) = e�i⇠Z/2
|��
|+�Z(⇠)
= |+�Z(⇠)| i X
可換
One-bit teleportation
X
XmHZ(⇠)| i
input state|�� HZ(⇠) XmHZ(⇠)| iXm=
=
1D cluster state → Hadamard gate, Z-rotation gate
XmHZ(⇠)| i
Gate teleportation:D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
output 1
output 2
Gate teleportation
Gate teleportation:D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
output 1
output 2
input 1
input 2
H
H
circuit diagram
=output 1
output 2
Gate teleportation
Gate teleportation:D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
=
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
output 1
output 2
input 1
input 2
H
H
circuit diagram
=output 1
output 2
Gate teleportation
Gate teleportation:D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
=
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
=X
X
output 1
output 2
input 1
input 2
H
H
circuit diagram
=output 1
output 2
Gate teleportation
Gate teleportation:D. Gottesman and I. L. Chuang, Nature (London) 402, 390 (1999).
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
=
|+�X
X
|+�
input 1
input 2
=X
X
output 1
output 2
input 1
input 2
H
H
circuit diagram
=output 1
output 2
Gate teleportation
2D cluster state !→ two-qubit gate
MBQC on 2D cluster state
Z Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z ZZ Z Z Z Z Z Z
ZZ
Z Z Z ZZ Z Z Z
Z ZZ Z
ZZ
XX
XX
XX
XX
XX
XX
XX
MBQC on 2D cluster state
MBQC on 2D cluster state
MBQC on 2D cluster state
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算Nielsen Phys. Rev. Lett. 93, 040503 (2004) → micro-cluster !Yoran-Reznik Phys. Rev. Lett. 91, 037903 (2003)!Browne-Rudolph Phys. Rev. Lett. 95, 010501 (2005)→ fusion gate!Duan-Raussendorf Phys. Rev. Lett. 95, 080503 (2005) → cross-strategy!K. Kieling, T. Rudolph, and J. Eisert Phys. Rev. Lett. 99, 130501 (2007) → percolation
Bell pair
成功確率1/2
brute force
クラスター状態
MBQC!(Measurement-based quantum computation)!一方向量子計算
有限サイズの!micro-cluster
~! ~ divide and conquer
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
star-cluster!by KF & Tokunaga!Phys. Rev. Lett. 105, 250503 (2010)
ps = 0.1, pu = 10-4 fault-tolerant!
snowflake !by Matsuzaki-Benjamin-Fitzsimons !Phys. Rev. Lett. 104, 050501 (2010)
Li et al.!Phys. Rev. Lett. 105, 250502 (2010)
ps = 0.1, pu = 10-4
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
Valence-bond solid (VBS):single “site” measurement
singlet = maximally entangled state
site
edge state
| i =X
i1,··· ,iN
hR|A[iN ] · · ·A[i1]|Li|i1 · · · iN i
Matrix product state (MPS): edge state
correlation space
Gross-Eisert, PRL (2007) !Brennen-Miyake PRL (2008)!Miyake, Ann. Phys. (2011)!Wei et al., PRL (2011)!Li et al., PRL (2011)!KF-Morimae PRA (2012), KF et al., PRL (2013).
各サイトをスピン三重項へ射影
H = J�
i
[SiSi+1 � 1/3(SiSi+1)2]
Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki 状態:
Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki, Comm.!Math. Phys. 115, 477 (1988).
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
c̄0(t0)
1
c̄(t)1
c̄(t0)
1
@c̄2
c̄2
Raussendorf-Harrington-Goyal, Annals Phys. 321, 2242 (2006); NJP 9, 199 (2007).
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算Broadbent-Fitzsimons-Kashefi, FOCS 2009!Morimae-Fujii, Nature Comm. 2012; PRL 2013; PRA 2013
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算
Matsuo-KF-Imoto, PRA (2014)
イジング分配関数近似量子アルゴリズム
MBQCの特徴と応用 リソース状態と計算のための測定が分離されている.✓ エンタングルメントなどの性質から、量子計算の能力がわかる.!✓ 状態準備は確率的エンタングルメント生成でよい(線形光学).
量子多体模型の基底状態(熱平衡状態)をリソースとして利用.
トポロジカル量子計算
ブラインド量子計算